Problemorientierung als eine zentrale Idee

- nicht nur für den Mathematikunterricht?

RingvorlesungFSU Jena WS 2000/2001

Bernd Zimmermann

Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Problemorientierung - Vortrag Ringvorlesung FSU Jena WS 2000/2001

Gliederung

• Neu(est)er Anlaß• Mögliche Konsequenzen• Was? • Durch Beispiele: Was und wie?• Wozu? • Warum?• Ausblick

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Lösen eines Problems nach Pólya

Rückschau und Ausblick

Durchführen des Planes

Ausdenken eines Planes

Verstehen des Problems

Neu(est)er Anlaß:

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TIMSS - aktuell!!

• Henkel: TIMSS-Ergebnis ist "Schande für unser Land“ (Die Welt; 24.11.2000)

• Stärken der deutschen Schüler liegen der Studie zufolge im Bearbeiten von standardisierten Routineaufgaben. Die Methodik inMathe und den Naturwissenschaften sei zu stark auf Rezeption und Wiederholung angelegt, das eigenständige Entdecken von Gesetzmäßigkeiten komme zu kurz. Zu selten würden die Schüler über ihre Fähigkeiten hinaus gefordert. Die Unterrichtspraxis bleibe deutlich hinter den Vorgaben der Lehrpläne zurück. Dringend verbessert werden müsse das didaktische Konzept der Grundkurse, die häufig nur ein verkürztes Programm der Leistungskurse böten. Als Konsequenz drängen die Forscher darauf, die Lehrerausbildung zu verbessern.Die Stimmung an den Schulen ist hingegen besser als erwartet. Von Lustlosigkeit, zu hohem Leistungsdruck und Konkurrenzkampf kann der Studie zufolge keine Rede sein. Drei Viertel der Oberstufenschüler seien gut motiviert.

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TIMSS - aktuell!!

• „Auch zehn Jahre nach der deutschen Einheit zeigen sich zudem weiter deutliche Unterschiede zwischen Ost- und Westdeutschland. In der ehemaligen DDR sind Mathematik und Naturwissenschaften noch immer fester verankert.“ (B. Schubert, Tagesspiegel 23.11.2000)

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TIMSS/III - aktuell!!

„Thema verfehlt, Sechs! Schlechte Noten für Deutschlands Schulpolitiker.“ Von Thomas Kerstan (Die ZEIT; 48/2000, 23.11.2000; im Internet unter http://www.zeit.de/2000/48/Hochschule/200048_2._leiter.html)

„Neues aus der Schule. Die Bildungsstudie „TIMSS“ räumt mit Vorurteilen über die Oberstufe auf.“ Von Thomas Kerstan (Die ZEIT; 48/2000, S. 92, 23.11.2000)

„Deutsche Schüler im unteren Mittelfeld. Deutscher Abschlussbericht der internationalen mathematisch-naturwissenschaftlichen Vergleichsstudie TIMSS(Frankfurter Allgemeine; 273/47, 23.11.2000)

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Vergleich der jeweils besten 10% im TIMSS-Mathematiktest am Ende der S II

(aus: Baumert/Boos/Lehmann: TIMSS/III Bd. 2, Opladen 2000, S. 150

Fähigkeitsniveau Deutsch Frankreich Slowenien Schweden Schweiz

elementaresRechnen 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Anwendg. einfa.Konzepte/Regeln 25,7 0,0 0,0 12,0 11,0

Anwendung vonLerninhal. d. SII 63,0 69,8 30,7 65,6 60,4

selbstständigesProblemlösen 11,3 30,2 69,3 22,4 28,6

Insgesamt 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0

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TIMSS - aktuell!!

„Thema verfehlt, Sechs! Schlechte Noten für Deutschlands Schulpolitiker.“ Von Thomas Kerstan (Die ZEIT; 48/2000, 23.11.2000):

Jetzt kommt der zweite Schock. Empirisch gut gesichert, methodisch über alle Zweifel erhaben, weisen die Berliner Wissenschaftler nach, woran es fehlt. Das Problem ist nicht, nirgends, die Schulform, es ist der Unterricht in allen Schulformen. .... Mathematik pauken sie (die Lehrer) ihren Schülern als ein starres Regelwerk ein, als Gebrauchsanweisung zur mechanischen und verständnislosen Lösung von Klausuraufgaben. Dass man über unterschiedliche Lösungswege diskutieren kann, dass Mathematik eine mächtige Sprache ist, in der sich die Welt beschreiben und verändern lässt - Deutschlands Abiturienten haben davon nie gehört. Ähnlich sieht es in der Physik aus: Schüler, die zur Elite des 21. Jahrhunderts gehören sollen, wachsen mit dem mechanistischen Weltbild des 19. Jahrhunderts auf. Kreative Spitzenleistungen wird man von ihnen kaum erwarten können. Da auch die Bildungspolitiker dieses Landes durch ihre eigene harte Schule gegangen sind, bedarf der Rat, sie mögen doch bitte, bitte diese wichtige neue Studie lesen, einer kleinen Ergänzung: lesen - nicht auswendig lernen. Und dann über unterschiedliche Lösungswege diskutieren.

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Konsequenz:

mehr Problemorientierung!

Problemorientierung –Was ist das

und wie kann man das unterrichten?

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„Wissenstransfer“gemäß älteren Vorstellungen:

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Häufige Wirkungsweise:

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Mögliches Lernergebnis (am Beispiel der Bruchrechnung):

„Der deutsche Osthandel erlebte in diesem Jahr einen kräftigen Schub. Nach Schätzung des Ost- und Mitteleuropa Vereins (OMV) wird der Osthandel erstmals ein Zehntel des gesamten deutschen Außenhandels ausmachen, nachdem er jahrelang nicht über ein Fünftel hinauskam.”(aus der Süddeutschen Zeitung)

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Mögliche Alternativen

32,7

3,65

21<

„dichter bei 1“ als

73

65<

32,

65=

32

73 < <

32

65=

Ordne folgende Brüche der Größe nach:

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Für die Gäste einer Geburtstagspartie

sollen 10 Stück Kuchen eingekauft

werden. Dafür stehen 21 Euro

zur Verfügung. Man kann zwei

verschiedene Kuchensorten kaufen; ein Stück Bienenstich kostet 2 Euro, ein Stück Torte 2,3 Euro.

Es sollen möglichst viele Stücke Torte eingekauft werden. Wie viele sind das?

Beispiel 2: Das Kuchenproblem

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Aki (8te Klasse):

Torte Bienenstich SummeStück Kosten Stück Kosten

10 23 0 0 239 20,70 1 2 22,70

...... ....... ..... .... ..........4 9,20 6 12 21,203 6,90 7 14 20,90

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Dieter (8te Klasse):

• x ⋅ 2,30 + (10 – x) ⋅ 2 ≤ 21

• x ⋅ 0,30 ≤ 1

• x = 3

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Clara (4. Klasse):

• „Zunächst 10 Bienenstich ‚kaufen‘. • Dann habe ich noch einen Euro über.• Tausche Torte gegen Bienenstich, kostet 30

Cent mehr. • Die passen in den einen Euro 3 mal rein, 4

mal liegt schon drüber. • Also: von den 10 Bienenstich 3 Stück gegen

3 Tortenstücke eintauschen und fertig!”

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1 +2 +3 +4 +5 +6=?

+6

1+2+3+4+5+6+....+99+100=???

1+2+3+4+5+6+....+99+100=?Das Problem des kleinen Gauss:

1

+2

+3

+4

+53

7101

50

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Das Problem des kleinen Gauss:

100

101

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Sortierspiel

?

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Sortierspiel

1+2

1+2+3+4

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FolgenfortsetzenBei einem immer wieder verwendeten Typ wird ein Folgenanfang - etwa 1 , 2 , 4 , 7 - vorgegeben und dann gefragt: Wie sieht das nächste Glied aus ? Erwartet würde hier, daß " +1 , +2 , +3 " gesehen, daß mit "+4" fortgesetzt und dann 11 als nächstes Glied genannt wird.Innerhalb unseres "Hamburger Modells" käme es für das Erkennen besonderer mathematischer Begabung oder bei der Förderung im Gegensatz dazu darauf an, möglichst viele Gesetzmäßigkeiten für eine Fortsetzung zu finden. Z. B. könnte man oben “·2" anstelle von "+2" setzen und mit "·4" die Zahl 28 als nächstes Glied finden. Es gibt aber noch mathematisch viel "schönere" Fortsetzungsmöglichkeiten: 1 = 2° und 2°+1 Primzahl , 2 = 2^1 und 2^1+1 Primzahl, ... 7 = 2^3- 1 und 2^3+1 keine Primzahl - also: 16 das nächste Glied, da 17 Primzahl.Und der routinierte Mathematiker kann sogar beliebig fortsetzen, denn f(n) = 1 + (n-1).n / 2 + (n-1).(n-2).(n-3).(n-4). (k-11)/24 liefert 1 , 2 , 4 , 7 für n = 1, 2, 3, 4 und k für n = 5, also jede Zahl k als nächstes Glied. (K. Kießwetter)

Problemorientierung -

Wozu?

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Forderungen von Wolfgang Klafki (1985)

Schüler sollten von den ersten Schuljahren an in gestuften Schwierigkeitsgraden (u. a.) lernen

• Fragen zu stellen, ... diese schrittweise zu differenzieren und zu präzisieren,...

• sich „Wege“, Verfahren auszudenken und sie auszuprobieren, ...

• Lösungen darzustellen und zu kommunizieren• ihren Lösungsprozeß reflektieren...

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Fächerübergreifende Schlüsselqualifikationen u. a.:

• Umgang mit offenen Problemen

• Umgang mit komplexen Situationen

• Vernetzendes Denken

(vgl. auch Klafki, W.: „Neue Studien...“; PISA=Programme for International Student Assessment)

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Menschenbild!

Problemorientierung -

Warum?

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Problemorientierung und Mathematik/Informatik

1887-1985

Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Problemorientierung - Vortrag Ringvorlesung FSU Jena WS 2000/2001Anwenden

Berechnen Konstruieren

Ordnen

Begründen Finden

SpielenBewerten

Problemorientierung und Geschichte der Mathematik

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• Wertheimer/Duncker 1935

• Newell/Simon 1970

• Klix/Krause 1970

• Dörner 1976

• Minsky 1986

• McClelland/Rumelhart 1986

• Roth 1996

Problemorientierung und Psychologie

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Problemorientierung und Philosophie

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Ich höre, und ich vergesse,

ich sehe, und ich erinnere

mich,

ich tue, und ich verstehe!

Konfuzius, (551- 479 v.Chr.)

Aus der Geschichte der Philosophie

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Wohin?

Vergleich von Wertesystemen

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„Auf der Suche nach einer ostasiatischen Identität in der Mathematikdidaktik“

(Leung, Hong Kong; China; ICME Tokyo 2000)

• Inhalt versus Prozess• Auswendiglernen

versusbedeutungsvolles Lernen

• Hart Arbeiten versusSpaß beim Lernen

• Extrinsische versusintrinsische Motivation

• Lernen durch Nachahmung der Lehrerrolle versusindividualisiertes Lernen

• Fachkompetenz versuspädagogische Kompetenz

und

und

und

und

und

und

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JUKU-“Paukschule“ in Japan

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Zukunft!