April 2002 Blatt 2.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Mathematische Modelle zur Prozessidentikation

Testsignale Zur Durchführung der PI sind experimentelle Untersuchungen erforderlich, um hieraus auf das Systemverhalten zu schließen und ein

mathematisches Modell erstellen zu können.

Anforderungen einfach zu erzeugenan Signale reproduzierbar (z.B. Signalgenerator)

einfache mathematische Beschreibung anwendbar/zugeschnitten auf Prozess

anwendbar auf vorhandene Stellglieder Signalverarbeitung auf System

April 2002 Blatt 2.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Identifikation / Einfluss der Stellglieder

Stellgliedy

Prozessu1

Gesucht: Übertragungsverhalten P

Alle Elemente und Glieder des Systems sind zu berücksichtigen !

u2

G = GS GP U2 = GS U1 Y = GP U2 Y = GP GS U1

Wenn u2 messbar, kann GP2 direkt aus u2 und y identifiziert werden !

Wenn u2 nicht messbar, kann GP2 direkt aus u1 , y und Kenntnis von GS identifiziert werden !

GP = Y/U2 GP = 1/GS Y/U1

April 2002 Blatt 2.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Heizungsregelung

Schema:

Ein/Aus

Luft

Gas

yRegler Brenner

w uKessel

RohrleitungKörper

Raum

Messen

Wirkungsplan:

Aufgabenstellung:

Das Zeitverhaltens des Wohn-Raumes für die Heizungs-Regelung ist durch Identifikation zu bestimmen.

April 2002 Blatt 2.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Heizungsregelung

Wirkungsplan

yRegler Brenner

w u1

KesselLeitungKörper

Raum

Messen

y

Brenner

u1 Kessel

RohrleitungKörper

Raum

Pt PT1 PT1 PT1

Für Identifikation Raumverhalten Kenntnis von u4 erforderlich

u2

u3

u4

April 2002 Blatt 2.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Einfluss Verzögerungselemente

Identifikation:

Bei Wahl der Messorte Sind Verzögerungselemente (Systemkomponenten) zu berücksichtigen, welche die Dynamik des Zeitverhaltensbeeinflussen.

Fälle:a) Proportional / zeitverzögertb) Proportional / zeitverzögert

mit Rückkopplung c) unstetig / integrierend

(z.B. Stell-/Schrittmotor)

April 2002 Blatt 2.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Signalarten

Kriterien für Signale: • natürlich / künstlich• deterministisch / stochastisch• periodisch / nicht periodisch• kontinuierlich / diskret

Signale: Physikalisch in Form von Spannung, Strom, Temperatur, DruckBeschreibung in Form von Amplitudenwert(Funktionswert) für definierte Zeitpunkte

Definitionen: Deterministisch:in jedem Zeitpunkt ist ein eindeutig vorher-sehbarer Wert definiert.Stochastisch:Signalverlauf ist nicht eindeutig vorhersehbarBeschreibung durch Mittelwert, Streuung, etc.

April 2002 Blatt 2.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kontinuierlich Diskret

Nicht periodisch SprungfunktionRampeDreiecksfunktion

SprungfunktionRampeDreiecksfunktion

Periodisch Sinus-/CosinusfunktionRechteckfolgeDreiecksfolge

Sinus-/CosinusfunktionRechteckfolgeDreiecksfolge

stochastisch Zufallsignal (kontinuierlich)

Binäres Rauschen(beliebige O/1-Folge)

Unterscheidungsmerkmale Signalformen

April 2002 Blatt 2.8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für Signalverläufe

Nicht periodisch

Periodisch

stochastisch (Binäres Rauschen)

stochastisch(konti. Rauschen)

April 2002 Blatt 2.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

LTI-Systeme – Voraussetzung für unsere Betrachtungen

Ausgangspunkt für die Entwicklung von Identifikationsverfahren istdie Verwendung math. Modelle für Systeme, Prozesse und Signale.

Es werden LTI-Systeme betrachtet.• linear: Superposition• zeitinvariant: Systemreaktion unabhängig vom Zeitpunkt der

Betrachtung

Signalbeschreibungen für nichtparametrische Modelle • Kurven / Wertetabellen • System als black box • g(t), h(t), Frequenzgang

System)(tua)(tue

April 2002 Blatt 2.10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beschreibungen für nicht para. Modelle

Beschreibung im Zeitbereich/Frequenzbereich:

Gewichtsfunktion g(t) = g(t) * δ(t) G(s) = G(s) 1

Sprungantwort h(t) = g(t) * ε(t) H(s) = G(s) 1/sSystemantwort y(t) = g(t) * u(t) Y(s) = G(s) U(s)

g(t) = d/dt h(t)

Frequenzgang G(s) -> G(jw) G(jw) = Y(jw)/U(jw) = |G(jw)|ejphi(w)

g(t)G(s)

)(tua)(tue

April 2002 Blatt 2.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beschreibungen für param. Modelle

Signalbeschreibungen für parametrische Modelle

• System als white/grey box

• Systemstruktur bekannt (DGL, G(s))

g(t)G(s)

)(tua)(tue

dmy/dtm + am-1dm-1y/dtm-1 + .... + a0y = bndnu/dt + bn-1dn-1u/dtn-1 + .... + b1du/dt + bou

)(

)(=

++

+=

)(

)(=)( 2

210

10

sA

sB

sasaa

sbb

sU

sUsG

e

a

Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße wird durch eine Dgl. oder Übertragungsfunktion eindeutig wiedergegeben !

April 2002 Blatt 2.12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT1)

Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied)

)(

)(=

+1=

+1=

)(

)(=)(

1

0

sA

sB

sT

K

sa

b

sU

sUsG

e

a y(t) = Ku0(1-e-t/T)

0

20

40

60

80

100

120

0 25 50 75 100 125

u0

u

0

20

40

60

80

100

120

0 25 50 75 100 125

Ku0(1-e-t/Ts) Δ y

TS

Y(00) := KS *u0

y/Ku0

April 2002 Blatt 2.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)

Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied)

)()(

=)+1)(+1(

=++

=)()(

=)(21

2210

0

sAsB

sTsTK

sasaab

sUsU

sGe

a

T1 = ZeitkonstanteT2 = ZeikonstanteK = K1 K2

Fall 1: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“

PT1K1 T1

)(tu PT1K2 T2

)(ty )(tu PT2K T1 T2

)(ty=

Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2)

April 2002 Blatt 2.14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)

Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich:Partialbruchzerlegung:

Y(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2)

Koeffizientenbestimmung nach (Satz nach HEAVISIDE): Ak = lim (Y(s) ( s-sk))

A0 = K

A1 = lim (K/s(1+sT2)) = -KT1 /(1-T2/T1) = -KT12/(T1 – T2)

A2 = lim (K/s(1+sT1)) = -KT2 /(1-T1/T2) = -KT22/(T1 – T2)

s->sk

s->-1/T1

s->-1/T2

April 2002 Blatt 2.15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)

Y(s) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2)

Y(s) = K/s - KT12/(T1 – T2) 1 /(1 + sT1) + KT2

2/(T1 – T2) 1/(1 + sT2)

Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt:

y(t) = K [ 1 - T1/(T1 – T2) e-t/T1 + T2/(T1 – T2) e-t/T2 ]

Beipiel PT1-PT9 Glieder mit verschiedenen ZeitkonstantenExcel-Kurven (Anlage) Verdopplung der Zeitkonstanten T2 = 2 T1; T3 = 2 T2; T4 = 2 T3; .....

April 2002 Blatt 2.16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Verallgemeinerung PTn-Glied mit unterschiedlichen Zeitkonstanten:

Ai = 1 für i = 0

Ai = - (Ti) n / Π (Ti – Tj) für i > 0 i j und n>1j=1

n

Beispiel : PT4-Glied, d.h. n=4

A0 = 1A1 = -T1

4 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ]A2 = -T2

4 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ]A3 = -T3

4 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ]A4 = -T4

4 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ]

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn)

April 2002 Blatt 2.17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Sprungantwort System 4. Ordnung

Beispiel : PT4-Glied, (n=4), verschiedene Zeitkonstanten

A0 = 1A1 = -T1

4 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ]A2 = -T2

4 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ]A3 = -T3

4 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ]A4 = -T4

4 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ]

y(t) = K [ 1 - T13/(T1 – T2) (T1- T3) (T1-T4) e-t/T1

- T23/(T2 – T1) (T2- T3) (T2-T4) e-t/T2

- T33 / (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) e-t/T3

- T43 / (T4-T1) (T4- T2) (T4-T3) e-t/T4]

April 2002 Blatt 2.18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)

Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied)

)()(

=)+1(

=++

=)()(

=)( 22210

0

sAsB

sTK

sasaab

sUsU

sGe

a

T1 = T2 ZeitkonstanteK = K1 K2

Fall 2: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“

PT1K1 T

)(tu PT1K2 T

)(ty )(tu PT2K T

)(ty=

Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT)2 = K / T2/ [s (s + 1/T)2]

April 2002 Blatt 2.19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)

Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich:Partialbruchzerlegung:

Y(s) =K / T2/ [s (s + 1/T)2] = A0/s + A1/(s + 1/T) + A2/(s + 1/T)2

Koeffizientenbestimmung nach Ak = 1/(n-k)! lim (d(n-k)/ds(n-k)[Y(s) ( s-sk)n]) k = 1 ...n-1

An = lim (Y(s) ( s-sk)n)

A0 = K

A1 = lim (K/T2 d/ds(1/s)) = lim K/T2 (-1/s2) = -K

A2 = lim ( K/T2 /s) = -K/T

s->sk

s->-1/T

s->-1/T

s->-1/T

s->sk

April 2002 Blatt 2.20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)

Y(s) = A0/s + A1/(s+ 1/T) + A2/(s + 1/T)2

Y(s) = K/s - K 1 /(s + 1/T) + K/T 1/(s + 1/T)2

Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt:

Y(t) = K [ 1 - e-t/T - t/T e-t/T ] = K[1-(1+t/T)e-t/T]

Herleitung nach Laplace-Korrespondenztabelle

1/s(s-a)2 <-> 1/a2 [1 + (at-1) eat]

April 2002 Blatt 2.21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Verallgemeinerung Sprungantwort von PTn-Gliedernmit gleicher Zeitkonstanten:

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn)

Y(t) = K (1 - e-t/T [ Σ 1/k! (t/T)k]k=0

n-1

Beispiele:

n=1: y(t) = K(1- e-t/T )n=2: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T])n=3: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2])n=4: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2 + 1/6 t3/T3])

Beipiel PT1-PT9 Glieder mit gleicher ZeitkonstantenExcel-Kurven (Anlage)

April 2002 Blatt 2.22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kurvencharakteristik

Kurvenverlauf:• mit zunehmender Ordnung flacher• mit zunehmender Ordnung wird die Systemreaktion „langsamer“• Kurvenverlauf mit Wendepunkt

Wendepunkt bedeutet mathematisch:• 1. Ableitung weist im WP Maximum/Minimum auf• 2. Ableitung hat O-stelle im WP

Wir finden den Wendepunkt der Sprungantwort in dem Zeitpunkt,wo sich das Maximum / Minimum der Ableitungskurve (Gewichtsfunktion) befindet.

g(t) = y(t) = K / Tn · tn-1/ (n-1)! · e-t/T PTn-Glied gleiche Zeitkonst..

April 2002 Blatt 2.23 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kurvenzusammenstellung PTn-Glied mit gleicher Zeitkonstanten

Sprungantwort Gewichtsfunktion

April 2002 Blatt 2.24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (2)

Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2S-Glied)

)()(

=1+

2+1

=++

=)()(

=)(

200

2210

0

sAsB

ωωςK

sasaab

sUsU

sGe

aω0= KreisfrequenzD = DämpfungK = Verstärkungsfaktor

G(s) = K / (s-s1)(s-s2) mit s1,2 = ω0(-ζ± √(ζ 2-1)

Fall 1:ζ >1: aperiodische Dämpfung / Reihenschaltung von 2 Verzögerungs-Gliedern 1. Ordnung (wie vor; s1 = -1/T1; s2 = -1/T2)

h(t) = K(1 + 1/(T1-T2) (T2e-t/T2-T1e-t/T1)

April 2002 Blatt 2.25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (3)

Fall 2:D=1 Doppelpoliger aperiodischer Grenzfall (wie vor)

h(t) = K(1 – (1+ t/T )e-t/T)

Fall 3:0< ζ < 1 Periodische Dämpfung

h(t) = K(1 – 1/√(1- ζ 2) e- ζ ωot(sin(ω0√(1- ζ 2)t +φ)

April 2002 Blatt 2.26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Übersicht einfacher Übertragungsglieder

April 2002 Blatt 2.27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (1)

April 2002 Blatt 2.28 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (2)

April 2002 Blatt 2.29 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder

© Übetragungsglieder 1- 3: Quelle: Unbehauen: Regelungstechnik I, Vieweg Verlag