Post on 19-Oct-2020
So many paths, that wind and wind,
While just the art of being kind
Is all the sad world needs
Ella Wilcox (1855-1919), The World’s Needs
17
Tunelamiento
El proceso del tunelamiento controla el decaimiento de estados atómicos y nuclea-res metaestables, aśı como también la transición de fases termodinámicas sobre-calentadas o sobre-enfriadas hacia fases de equilibrio estable. Las integrales detrayectoria son una herramienta importante para describir teóricamentes estos pro-cesos. Para barreras de tunelamiento grandes, el decaimiento transcurre lentamentey sus propiedades se pueden explicar generalmente por medio de un desarrollosemiclásico de una integral de trayectoria simple. Combinando este desarrollo conlos métodos variacionales del Caṕıtulo 5, es posible extender el rango de aplicacioneshacia el régimen de barreras pequeñas.
En este caṕıtulo presentamos una teoŕıa novedosa del tunelamiento a través debarreras grandes y pequeñas y discutimos en detalle varios ejemplos t́ıpicos. Unaaplicación fundamental útil se obtiene en el contexto de la teoŕıa de pertubación, yaque el comportamiento del desarrollo perturbativo de orden superior está gobernadopor el proceso de tunelamiento semiclásico. La nueva teoŕıa se utiliza para calcularlos coeficientes perturbativos a todo orden, con una precisión excepcional.
17.1 Potencial de Pozo Doble
Un sistema simple del fenómeno del tunelamiento lo representa el potencial de pozodoble simétrico dado en la Ec. (5.78). El cual se puede reescribir en la forma
V (x) =ω2
8a2(x− a)2(x+ a)2, (17.1)
mismo que exhibe dos mı́nimos simétricos degenerados en x = ±a (ver la Fig. 17.1).La constante de acoplamiento es
g = ω2/2a2. (17.2)
Cerca de los valores mı́nimos, el potencial es aproximadamente igual al potencialdel oscilador armónico V±(x) = ω
2(x∓ a)2/2:
V (x) =ω2
2(x∓ a)2
(
1± x∓ aa
+ . . .)
≡ V±(x) + ∆V±(x) + . . . . (17.3)
1227
1228 17 Tunelamiento
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x
0.1
0.2
0.3
0.4
x ( ) V ( )
Figure 17.1 Gráfico de un potencial de pozo doble simétrico V (x) =
(x− a)2(x + a)2ω2/8a2, donde ω = 1 y a = 1.
En la posición central, la altura de la barrera del potencial es
Vmáx =(ωa)2
8. (17.4)
En el ĺımite a→ ∞, y para un frecuencia ω fija, la altura de la barrera es infinita yel sistema se puede descomponer como la suma de los potenciales de dos osciladoresarmónicos independientes bastante separados el uno del otro. De la misma forma,las funciones de onda del sistema tienden hacia dos conjuntos independientes defunciones de onda de un oscilador
ψn(∆x±) →(
ω
πh̄
)1/4 1
2n/2√n!e−ω(∆x±)
2/2h̄Hn(∆x±√
ω/h̄), (17.5)
donde las cantidades
∆x± ≡ x± a (17.6)
dan cuenta de la distancia de los puntos x a los mı́nimos respectivos.Una separación similar se obtiene para la amplitud de evolución temporal, la
cual se puede separar en la suma de las amplitudes de los osciladores individuales
(xbtb|xata)a→∞−−−→ (xbtb|xata)− + (xbtb|xata)+ (17.7)
≡∫
Dx(t) exp{
i
h̄
∫ tb
tadt1
2[ẋ2 − ω2(x+ a)2]
}
+ (a→ −a).
Por conveniencia, en el Lagrangiano del sistema suponemos una part́ıcula de masaunitaria M = 1
L =ẋ2
2− V (x). (17.8)
17.1 Potencial de Pozo Doble 1229
Si a no es infinita, una part́ıcula en cualquiera de los dos pozos del oscilador tieneuna probabilidad diferente de cero de tunelear a través de la barrera del otro pozo,y las funciones de onda de los osciladores derecho e izquierdo se mezclan entre ellas.Dado que la acción es simétrica bajo la reflexión especular x → −x, las solucionesde la ecuación de Schrödinger
Ĥψ(x, t) = H(−i∂x, x)ψ(x, t) = ih̄∂tψ(x, t), (17.9)
para el Hamiltoniano
H(p, x) =p2
2+ V (x), (17.10)
se pueden separar en funciones de onda simétricas y antisimétricas. Como es usual,los estados simétricos tienen una enerǵıa menor que los estados antisimétricos, ya queun número menor de nodos implica una enerǵıa cinética menor para las part́ıculas.
Si el parámetro a es muy grande, entonces, para el ĺımite a → ∞, las dosfunciones de onda de menor orden coinciden aproximadamente con las combinacionessimétricas y antisimétricas de las funciones de onda del oscilador armónico
ψs,a ≈1√2[ψ0(x− a)± ψ0(x+ a)]. (17.11)
Debido al tunelamiento, las dos enerǵıas de menor orden serán ligeramente diferentesdel valor de la enerǵıa del estado base del oscilador
E(0)s,a =1
2h̄ω +∆E(0)s,a . (17.12)
Para valores grandes del parámetro a esta diferencia es muy pequeña. En mecánicacuántica, la diferencia de los niveles de enerǵıa ∆Es,a se puede calcular a ordenmenor en teoŕıa de perturbación sustituyendo las funciones de onda aproximadas(17.11) en la fórmula
∆Es,a =∫
dxψs,aĤψs,a. (17.13)
Ya que, para valores grandes de x las funciones de onda ψ0(x ± a) de los pozosde potencial individuales decaen exponencialmente en la forma e−x
2/2, entonces ladiferencia de los niveles de enerǵıa ∆Es,a será exponencialmente pequeña en funcióndel cuadrado de la distancia a2.
En este caṕıtulo derivamos la diferencia de los niveles de enerǵıa ∆Es, ∆Ea y suscorrespondientes amplitudes de tunelamiento, a partir de la integral de trayectoriadel sistema. Para valores grandes de a, el cálculo será relativamente simple, debidoa que podemos recurrir a la aproximación semiclásica desarrollada en el Caṕıtulo 4,la cual será exacta en el ĺımite a → ∞. Ya que estamos interesados sólo en los
1230 17 Tunelamiento
dos estados de menor orden, el problema se puede simplificar de forma inmediata.Utilizaremos la representación espectral de la amplitud
(xbtb|xata) =∫
Dx(t)e(i/h̄)∫ tbtadt[ẋ2/2−V (x)]
=∑
n
ψn(xb)ψn(xa)e−iEn(tb−ta)/h̄ (17.14)
para tiempos imaginarios ta,b → τa,b = ∓iL/2, de donde tendremos
(xb L/2|xa − L/2) =∫
Dx(τ)e−(1/h̄)∫ L/2
−L/2dτ [x′2/2+V (x)]
(17.15)
=∑
n
ψn(xb)ψn(xa)e−EnL/h̄,
y donde usamos la notación x′(τ) ≡ dx(τ)/dτ . En el ĺımite de valores grandes deL, la suma espectral (17.15) es obviamente más sensible a las enerǵıas más bajas,la contribución de las enerǵıas En de orden superior se anula en forma exponencial.Aśı, para calcular los pequeños cambios ∆Es,a de los estados de menor orden, sólotenemos que encontrar el comportamiento exponencial de los términos principaly secundario. Puesto que la amplitud de las funciones de onda es grande cercadel fondo del pozo doble, i.e., en x ∼ ±a, podemos considerar las amplitudes deevolución temporal para las posiciones inicial y final xa y xb justo en el fondo, unavez a cada lado de la barrera de potencial,
(a L/2|a − L/2) = (−a L/2| −a −L/2), (17.16)
y otra en los lados opuestos
(a L/2| −a −L/2) = (−a L/2|a −L/2). (17.17)
Para estas amplitudes de evolución temporal podemos calcular las aproximacionessemiclásicas en el ĺımite L → ∞. Como resultado de este procedimiento, en laSección 17.7 hallaremos una fórmula para el cambio de los niveles de enerǵıa.
17.2 Soluciones Clásicas —— Solución Positiva y Negativa
De acuerdo con el Caṕıtulo 4, el comportamiento exponencial principal de la apro-ximación semiclásica se obtuvo de las soluciones clásicas a la integral de trayectoria.El factor de la fluctuación requiere del cálculo de la fluctuación de la correccióncuadrática. El resultado tiene la forma
∑
soluciones clásicas
exp{−Acl/h̄} × F , (17.18)
donde Acl denota la acción de cada solución clásica y F es el factor de la fluctuación.
17.2 Soluciones Clásicas — Solución Positiva y Negativa 1231
-2 2x
-4
-2
2
4
¿
10V (x)
Figure 17.2 Solución positiva clásica (ĺınea sólida) en un potencial de pozo doble (curva
a trazos cortos, cuyas unidades se han marcado en la mitad inferior del eje vertical). La
solución conecta los dos máximos degenerados en el potencial invertido. La curva a trazos
grandes muestra una solución que parte del máximo y se desliza hacia abajo en el abismo
adyacente.
La amplitud (17.16), que contiene el mı́nimo del mismo pozo en cada lado de laexpresión, obedece la solución clásica trivial que se mantiene todo el tiempo en elmismo mı́nimo:
x(τ) ≡ ±a. (17.19)
Existen también soluciones clásicas para las otras amplitudes de la Ec. (17.17)que conectan los diferentes mı́nimos en −a y a. Estas soluciones cruzan la barreray en el ĺımite L→ ∞ serán
x(τ) = x±cl(τ) ≡ ±a tanh[ω(τ − τ0)/2], (17.20)
donde el parámetro arbitrario τ0 especifica el punto sobre el eje temporal imaginariodonde tiene lugar el cruce. El cruce tiene lugar para un tiempo cuyo orden es 2/ω.Para valores de τ grandes positivos y negativos, la solución se aproxima exponen-cialmente hacia ±a (ver la Fig. 17.2). Aludiendo a su forma, las soluciones x±cl(τ)son llamadas soluciones positiva y negativa, respectivamente.1
Para deducir estas soluciones condideremos la ecuación de movimiento para eltiempo real
1En la literatura de teoŕıa de campos estas soluciones se conocen como instantones o anti-instantones, esto debido a que el intervalo de tiempo necesario para cruzar el valle es muy corto.Ver las referencias al final del caṕıtulo.La definición de solución positiva (negativa) se refiere al desplazamiento positivo (desplazamientonegativo) de la forma de la onda. Para otra definición ver, por ejemplo: G W Griffiths and W E.Schiesser en http://www.scholarpedia.org/article/Linear and nonlinear waves. (N. del T.)
1232 17 Tunelamiento
−V (x)
x
Figure 17.3 Potencial de pozo doble invertido, el cual controla el movimiento de la
posición x en función del tiempo imaginario τ .
ẍ(t) = −V ′(x(t)), (17.21)
donde V ′(x) ≡ dV (x)/dx. En la versión Euclideana, donde τ = −it, tendremos
x′′(τ) = V ′(x(τ)). (17.22)
Dado que la ecuación diferencial es de segundo orden, y a diferencia de la ecuacióndiferencial de tiempo real (17.21), ahora tendremos un cambio de signo en el poten-cial. Por lo tanto, la ecuación Euclideana de movimiento corresponde a la ecuaciónusual de movimiento de una part́ıcula puntual en tiempo real, donde ahora el po-tencial se ha invertido de arriba hacia abajo con respecto a la Fig. 17.1. Esto estáilustrado en la Fig. 17.3. El potencial invertido acepta la solución clásica parax = −a en τ → −∞ y alcanza el punto x = a en τ → +∞. La part́ıcula necesita untiempo infinito para dejar el máximo inicial del potencial y escalar al punto final.El movimiento a través del valle central tiene lugar para el tiempo finito ≈ 2/ω.Si la part́ıcula no empieza su movimiento exactamente en la cima sino ligeramentedesplazado hacia el valle, por ejemplo en x = −a + ǫ, alcanzará el punto x = a − ǫdespués de un tiempo finito, luego regresa a x = −a+ ǫ y oscila hacia atrás y haciaadelante indefinidamente. En el ĺımite ǫ → 0, el peŕıodo de la oscilación tiende ainfinito y la part́ıcula cruzará el valle sólo una vez.
Para calcular este movimiento, la ecuación diferencial (17.22) se integra despuésde multiplicarla por x′ = dx/dτ y reescribirla como
1
2
d
dτx′2 =
d
dτV (x(τ)). (17.23)
La integración dará
x′2
2+ [−V (x(τ))] = const . (17.24)
Si τ se reinterpreta como el tiempo real, obtenemos la ley de la conservación de laenerǵıa para el movimiento en el potencial inverso −V (x). Aśı, en la Ec. (17.24)
17.2 Soluciones Clásicas — Solución Positiva y Negativa 1233
identificamos la constante de integración como la enerǵıa total E en el potencialinverso:
const ≡ E. (17.25)Además, integrando la Ec. (17.24) tendremos
τ − τ0 = ±1√2
∫ x(τ)
x(τ0)
dx√
E + V (x). (17.26)
Una mirada al potencial de la Fig. 17.3 muestra que una part́ıcula en reposo, cuyaórbita empieza en τ → −∞, debe de tener E = 0. Sustituyendo expĺıcitamente elpotencial (17.1) en la Ec. (17.26), para |x| < a obtenemos
τ − τ0 = ±2a
ω
∫ x
0
dx′
(a− x′)(x′ + a) = ±1
ωlog
a + x
a− x (17.27)
= ± 2ωarctanh
x
a.
Con lo cual encontramos las soluciones positiva y negativa que cruzan la barrera:
xcl(τ) = ±a tanh[(τ − τ0)ω/2]. (17.28)La acción Euclidiana de este objeto clásico se puede calcular como sigue [dondeusamos las Ecs. (17.24) y (17.25)]:
Acl =∫ ∞
−∞dτ
[
x′cl2
2+ V (xcl(τ))
]
=∫ ∞
−∞dτ(x′2cl − E)
= −EL+∫ a
−adx√
2[E + V (x)]. (17.29)
Para la solución positiva tenemos E = 0, de tal forma que√
2[E + V (x)] =ω
2a(a2 − x2), (17.30)
y la acción clásica se convierte en
Acl =ω
2a
∫ a
−adx(a2 − x2) = 2
3a2ω =
ω3
3g. (17.31)
Nótese también que para E = 0, la acción clásica tendrá la siguiente forma integral
Acl =∫ ∞
−∞dτ x′cl
2. (17.32)
Tendremos también soluciones que empiezan en la cima de ambas montañas yse deslizan hacia abajo del absimo adyacente exterior, por ejemplo (ver de nuevo laFig. 17.3)
τ − τ0 = ∓2a
ω
∫ ∞
x
dx′
(x′ − a)(x′ + a) = ±1
ωlog
x+ a
x− a (17.33)
= ± 2ωarccoth
x
a.
1234 17 Tunelamiento
Sin embargo, estas soluciones no pueden conectar entre śı los mı́nimos del pozo dobley por ello no serán consideradas en los que sigue.
Dado que tenemos las soluciones clásicas (17.19) y (17.28), junto con una acciónfinita, entonces podemos escribir las contribuciones clásicas a las amplitudes (17.16)y (17.17). De acuerdo a la fórmula semiclásica (17.18) estas contribuciones son
(a L/2|a − L/2) = 1× Fω(L) (17.34)
y
(a L/2| − a − L/2) = e−Acl/h̄ × Fcl(L). (17.35)
El factor 1 en la Ec. (17.34) enfatiza la cancelación de la acción en la solución clásicatrivial (17.19). La exponencial e−Acl/h̄ contiene la acción de las soluciones positivas(17.28). La degeneración de las soluciones con respecto a τ0 se tiene en cuentamediante el factor de fluctuación Fcl(L), como se demostrará abajo.
De hecho, las soluciones clásicas positivas y negativas (17.28) no se obtienenexactamente de la solución (17.35), ya que tales soluciones alcanzan el mı́nimo delpozo de potencial, x = ±a, sólo para tiempos Euclideanos infinitos τ → ±∞. Enlas amplitudes por calcular necesitamos soluciones para las cuales x sea igual a±a para valores grandes pero finitos de τ = ±L/2. Afortunadamente, el error sepuede ignorar ya que para valores grandes de L las soluciones positivas y negativasse aproximan a ±a de manera exponencial. Como consecuencia la acción de unasolución propia que alcanzaŕıa el punto ±a para valores finitos de L difiere de laacción Acl sólo por términos que tienden a cero como e−ωL. Ya que en últimainstancia estamos interesados sólo en el ĺımite de valores grandes de L, podemosdespreciar las desviaciones exponenciales.
En la siguiente sección determinaremos los factores de la fluctuación Fcl.
17.3 Fluctuaciones Cuadráticas
El ĺımite semiclásico incluye los efectos de las fluctuaciones cuadráticas. Estas fluc-tuaciones se obtienen luego de aproximar el potencial alrededor de cada mı́nimo porun potencial armónico y manteniendo sólo los términos de menor orden en el desa-rrollo (17.3). El factor de fluctuación de un oscilador armónico puro, de frecuenciaω y masa unitaria, se calculó en la Sección 2.3 y el resultado hallado es
Fω(L) =
√
ω
2πh̄ sinhωL∼√
ω
πh̄e−ωL/2 +O(e−3ωL/2). (17.36)
Para valores grandes de L la contribución principal de la exponencial contienela enerǵıa del estado base ω/2, mientras que las correciones contienen toda lainformación sobre los estados excitados cuyas enerǵıas son (n + 1/2)ω, donden = 1, 2, 3, . . . .
Nótese que de acuerdo a la representación espectral de la amplitud (17.15), el
factor√
ω/πh̄ de la Ec. (17.36) debe de ser igual al cuadrado de la función de
17.3 Fluctuaciones Cuadráticas 1235
onda del estado base Ψ0(∆x±) en el mı́nimo del potencial, lo cual concuerda con laEc. (17.5).
Consideremos ahora el factor de fluctuación de la contribución de una soluciónpositiva. Esta contribución está dada por la integral de trayectoria sobre las fluc-tuaciones y(τ) ≡ δx(τ)
Fcl(L) =∫
Dy(τ)e−(1/h̄)∫ L/2
−L/2dτ(1/2)[y′2+V
′′(xcl(τ))y
2], (17.37)
donde xcl(τ) es la solución positiva, mientras que y(τ) se anula en los extremos:
y(L/2) = y(−L/2) = 0. (17.38)Supongase por el momento que L = ∞. Entonces la solución positiva estará dadapor la Ec. (17.28) y el potencial de la fluctuación será
V′′
(xcl(τ)) =3
2
ω2
a2x2cl(τ)−
1
2ω2 = ω2
(
3
2tanh2[ω(τ − τ0)/2]−
1
2
)
= ω2(
1− 32
1
cosh2[ω(τ − τ0)/2]
)
. (17.39)
Aśı, las fluctuaciones cuadráticas están reguladas por la acción Euclideana
A0fl =∫ L/2
−L/2dτ
1
2
[
y′2 + ω2(
1− 32
1
cosh2[ω(τ − τ0)/2]
)
y2]
. (17.40)
Las reglas para hallar la integral funcional con un exponente cuadrático fueronexplicadas en el Caṕıtulo 2. Las trayectorias y(τ) se expresan en términos de lasfunciones propias de la ecuación diferencial
[
− d2
dτ 2+ ω2
(
1− 32
1
cosh2[ω(τ − τ0)/2]
)]
yn(τ) = λnyn(τ), (17.41)
donde λn son los valores propios. Esta es una ecuación de Schrödinger para unapart́ıcula moviendose a lo largo de eje τ en un pozo potencial atractivo de tipoRosen-Morse [comparar con la Ec. (14.135) y ver la Fig. 17.4]:
V (τ) = ω2(
1− 32
1
cosh2[ω(τ − τ0)/2]
)
. (17.42)
Las funciones propias yn(τ) satisfacen las condiciones usuales de ortogonalidad∫ ∞
−∞dτyn(τ)yn′(τ) = δnn′. (17.43)
Dado un conjunto completo de estas soluciones yn(τ), donde n = 0, 1, 2, . . . , halla-remos ahora la representación de modo-normal
yξ0,ξ1,...(τ) =∞∑
n=0
ξnyn(τ). (17.44)
1236 17 Tunelamiento
Figure 17.4 Potencial (17.41) para las fluctuaciones cuadráticas alrededor de la solución
positiva (17.28) de la ecuación de Schrödinger. Las ĺıneas a trazos indican los estados
ligados para las enerǵıas 0 y 3ω2/4.
Después de sustituir este desarrollo en la Ec. (17.40), hacemos una integración porpartes del término cinético y las intergrales en τ con ayuda de de la relación (17.43),y la acción Euclideana de las fluctuaciones cuadráticas tendrá la forma sencilla
A = 12
∞∑
n=0
λnξ2n. (17.45)
Con esto, el factor de fluctuación (17.37) se reduce a un producto de integralesGaussianas sobre los modos normales
Fcl(L) = N∞∏
n=0
[
∫ ∞
−∞
dξn√2πh̄
]
e−∑
∞
n=0ξ2nλn/2h̄ = N 1√
Πnλn. (17.46)
La constante de normalización N , a ser calculada más adelante, contiene al Jaco-biano que lleva la norma de la partición temporal a la norma del modo normal.
Primero calcularemos los valores propios λn. Para esto usamos la amplituddel potencial de Rosen-Morse obtenido mediante la transformación Duru-Kleinert(14.138) en la Ec. (14.139). Si el potencial se escribe en la forma
V (τ) = ω2 − V0cosh2[m(τ − τ0)]
, (17.47)
tendremos estados ligados para n = 0, 1, 2, . . . , nmax < s, donde s está definida por[2]
s ≡ 12
−1 +√
1 + 4V0m2
. (17.48)
De acuerdo a las Ecs. (14.141) y (14.143), las funciones de onda son
yn(τ) =
√
m
n!
√
Γ(s− n)Γ(1 + 2s− n) 2n−s
Γ(1 + s− n)coshn−s[m(τ − τ0)]
× F (−n, 1 + 2s− n; s− n+ 1; 12(1− tanh[m(τ − τ0)])), (17.49)
17.3 Fluctuaciones Cuadráticas 1237
donde F (a, b; c; z) son la funciones hipergeométricas (1.453). En términos de s, elparámetro V0 se convierte en
V0 = m2s(s+ 1). (17.50)
Las enerǵıas de los estados ligados son
λ2n = ω2 −m2(s− n)2. (17.51)
En la ecuación de Schrödinger (17.41), tenemos m = ω/2, V0 = 3ω2/2, aśı que s = 2
y existen exactamente dos soluciones. Estas son
y0(τ) = −√
3ω
8
1
cosh2[ω(τ − τ0)/2](17.52)
y
y1(τ) =
√
3ω
4
1
cosh[ω(τ − τ0)/2]F (−1, 4; 2; 12(1− tanh[ω(τ − τ0)/2]))
=
√
3ω
4
sinh[ω(τ − τ0)/2]cosh2[ω(τ − τ0)/2]
. (17.53)
El signo negativo en la Ec. (17.52) es cuestión de convención, con ello logramosque y1(τ) tenga el mismo signo que xcl(τ − τ0) en la Ec (17.89) (a ser demostradoposteriormente). Los factores de normalización se pueden verificar usando la fórmula
∫ ∞
0
sinhµ x
coshν x=
1
2B(
µ+ 1
2,ν − µ2
), (17.54)
donde B(x, y) ≡ Γ(x)Γ(y)/Γ(x+ y) es la función Beta. Los valores propios corres-pondientes son
λ0 = 0, λ1 = 3ω2/4. (17.55)
La existencia de un modo con valor propio cero es una propiedad general delas fluctuaciones alrededor de una solución clásica localizada de un sistema coninvarianza traslacional a lo largo del eje τ . Esto nos previene sobre una posibleaplicación inmediata de la aproximación cuadrática, ya que el modo con valor propiocero no está controlado por una integral Gaussiana como lo están los otros modosnormales en la Ec. (17.46). Esta dificultad y su solución serán discutidas en laSubsección 17.3.1.
Además de los dos estados ligados, existen funciones de onda continuas dondeλn ≥ ω2. Para la enerǵıa
λk = ω2 + k2, (17.56)
estas funciones de onda están dadas por la combinación lineal
yk(τ) ∝ AeikτF (s+ 1,−s; 1− ik/m; 12(1− tanh[m(τ − τ0)])) (17.57)
1238 17 Tunelamiento
y su complejo conjugado (ver el final de la Subsección 14.4.4). Usando la identidadde la función hipergeométrica 2
F (a, b, c; z) =Γ(c)Γ(c− a− b)Γ(c− a)Γ(c− b)F (a, b; a+ b− c + 1; 1− z)
+ (1− z)c−a−bΓ(c)Γ(−c+ a + b)Γ(a)Γ(b)
F (c− a, c− b; c− a− b+ 1; 1− z), (17.58)
y F (a, b; c; 0) = 1, encontramos el siguiente comportamiento asintótico
Fτ→∞−−−→ 1, (17.59)
Fτ→−∞−−−→ Γ(−ik/m)Γ(1− ik/m)
Γ(−s− ik/m)Γ(s+ 1− ik/m) + e−2ikτ Γ(ik/m)Γ(1− ik/m)
Γ(−s)Γ(1 + s) .
(17.60)
Estos ĺımites determinan el comportamiento asintótico de las funciones de onda(17.57). Con una elección apropiada del factor de normalización en la Ec. (17.57)se cumplen las condiciones de frontera estándar de la dispersión
ψ(τ) →{
eikτ +Rke−ikτ , τ → −∞,
Tkeikτ , τ → ∞. (17.61)
Estas expresiones definen las amplitudes de transmisión y reflección. De lasEcs. (17.59) y (17.60) podemos calcular directamente
Tk =Γ(−s− ik/m)Γ(s + 1− ik/m)
Γ(−ik/m)Γ(1 − ik/m) , (17.62)
Rk =Γ(−s− ik/m)Γ(s + 1− ik/m)
Γ(−s)Γ(1 + s)Γ(ik/m)
Γ(−ik/m) = TkΓ(ik/m)Γ(1− ik/m)
Γ(−s)Γ(1 + s) . (17.63)
Usando la relación Γ(z) = π/ sin(πz)Γ(1− z), este resultado se puede escribir como
Tk =Γ(s+ 1− ik/m)Γ(s+ 1 + ik/m)
Γ(1 + ik/m)
Γ(1− ik/m)sin(ik/m)
sin(s+ ik/m), (17.64)
Rk = Tksin(πs)
sin(ik/m). (17.65)
La matriz de dispersión
Sk =
(
Tk RkRk Tk
)
(17.66)
es unitaria ya que
RkT∗k +R
∗kTk = 0, |Tk|2 + |Rk|2 = 1. (17.67)
2M. Abramowitz y I. Stegun, op. cit., fórmula 15.3.6.
17.3 Fluctuaciones Cuadráticas 1239
La matriz de dipersión es diagonal sobre los vectores de estado
ψe =1√2
(
11
)
, ψo =1√2
(
1− 1
)
, (17.68)
los cuales, como probaremos abajo, corresponden a ondas parciales pares e impares.Los respectivos valores propios λe,ok = e
2iδe,ok definen el cambio de fase δe,ok , en
términos de los cuales tendremos
Tk =1
2(e2iδ
ek + e2iδ
ok), (17.69)
Rk =1
2(e2iδ
ek − e2iδok). (17.70)
Verifiquemos la asociación de los vectores propios (17.68) con las ondas parcialespares e impares. Para esto, agregamos a la función de onda (17.61) la soluciónespecular
ψr(τ) →{
Tke−ikτ , τ → −∞,
e−ikτ +Rkeikτ , τ → ∞, (17.71)
y obtenemos
ψe(τ) = ψ(τ) + ψr(τ) →{
eikτ + (Rk + Tk)e−ikτ , τ → −∞,
e−ikτ + (Rk + Tk)eikτ , τ → ∞. (17.72)
Sustituyendo la Ec. (17.69), esto se puede reescribir como
ψe(τ) →{
eiδek [ei(kτ−δ
ek) + e−i(kτ−δ
ek)] = 2eiδ
ek cos(k|τ |+ δek), τ → −∞,
eiδek [e−i(kτ+δ
ek) + ei(kτ+δ
ek)] = 2eiδ
ek cos(k|τ |+ δek), τ → ∞.
(17.73)
Por otra parte, la combinación impar será
ψo(τ) = ψ(τ)− ψr(τ) →{
eikτ + (Rk − Tk)e−ikτ , τ → −∞,−e−ikτ − (Rk − Tk)eikτ , τ → ∞, (17.74)
y con ayuda de la Ec. (17.69) será:
ψo(τ) →{
eiδok [ei(kτ−δ
ek) − e−i(kτ−δok)] = 2ieiδek sin(k|τ |+ δok), τ → −∞,
−eiδek [e−i(kτ+δok) − ei(kτ+δek)] = −2ieiδek sin(k|τ |+ δok), τ → ∞.(17.75)
De las Ecs. (17.69) y (17.70) vemos que
|Tk|2 = cos2(δek − δok), |Rk|2 = sin2(δek − δok), (17.76)
y más aun
e2i(δek+δo
k)=(Tk +Rk)(Tk − Rk)=T 2k +
RkR∗kTk
T ∗k=T 2k + (1− TkT ∗k )
TkT ∗k
=TkT ∗k. (17.77)
1240 17 Tunelamiento
De aqúı encontramos expĺıcitamente la ecuación para la suma del cambio de fasepar e impar
δek + δok =
1
2arg
TkT ∗k
= argTk. (17.78)
En forma similar hallamos la ecuación para la diferencia del cambio de fase:
−i sin[2(δek − δok)] = TkR∗k − T ∗kRk = 2TkR∗k = −2R∗kT ∗k
|Tk|2. (17.79)
Dividiendo este resultado por la primera ecuación (17.76), obtenemos
−i tan(δek − δok) = −R∗kT ∗k
= −sinh(ik/m)sin(πs)
, (17.80)
y aśı
δek − δok = arctansin(πs)
sinh(k/m)sin(πs). (17.81)
Para s = entero, los cambios de fase par e impar son iguales
δek = δok ≡ δk, (17.82)
por lo que la amplitud de reflección se anula y la amplitud de transmisión se reducea un factor de fase puro Tk = e
2iδk , donde por la Ec. (17.78) el cambio de fase será
2δk = −i log Tk. (17.83)Ahora las funciones de onda tienen un comportamiento asintótico simple
yk(τ) → ei(kτ±δk), τ → ±∞, (17.84)y para cambios de fase tanto pares como impares la Ec. (17.64) se reduce a la forma
e2iδk = (−1)sΓ(s+ 1− ik/m)Γ(1− ik/m)
Γ(1 + ik/m)
Γ(s+ 1 + ik/m). (17.85)
Para la ecuación de Schrödinger (17.41) y con s = 2, esto se convierte simplementeen
e2iδk =2− ik/m2 + ik/m
1− ik/m1 + ik/m
, (17.86)
y por tanto
δk = arctan[k/m] + arctan[k/2m]. (17.87)
Ahora, si intentamos evaluar el producto de valores propios de la Ec. (17.46),encontraremos las siguientes dificultades:1) Los valores propios nulos darán un resultado infinito.2) Los estados continuos implican que la evaluación del producto de los valorespropios
∏
n
√λn, no sea trivial.
En las siguientes dos subsecciones ambas dificultades serán eliminadas.
17.3 Fluctuaciones Cuadráticas 1241
17.3.1 El Modo con Valor Propio Cero
En la integral sobre ξ0 de la Ec. (17.46), el origen f́ısico del infinito obtenido dela solución con valor propio cero está en la invariancia traslacional temporal delsistema. Este hecho es la clave para eliminar el infinito. Una solución positiva en untiempo imaginario τ0 contribuye tanto a la integral de trayectoria como la soluciónpositiva para cualquier otro tiempo τ ′0. La diferencia entre dos soluciones adyacentesa una distancia temporal infinitesimal se puede ver como una pequeña fluctuaciónde la solución positiva, la cual no cambia la acción Euclideana. Existe un valorpropio cero asociado con esta diferencia. Si como en la ecuación de Schrödinger(17.41) existe sólo una solución con valor propio cero, su función de onda debe deser proporcional a la derivada de la solución positiva:
y0 = α
[
xcl(τ − τ0)− xcl(τ − τ1)τ0 − τ1
]
τ0→τ1= αx′cl(τ − τ0)
= −α aω/2cosh2[ω(τ − τ0)/2]
. (17.88)
Este resultado coincide con la solución de valor propio cero (17.52). El factor denormalización α se fija mediante la integral
α =[∫ ∞
−∞dτx′2cl
]−1/2. (17.89)
Con ayuda de la Ec. (17.32) el lado derecho de esta expresión se puede expresar entérminos de la acción positiva:
α =1√Acl
. (17.90)
Sustituyendo las Ecs. (17.2) y (17.31), esto se convierte en
α =√
3/2a2ω =√
3g/ω3 (17.91)
[la ráız cuadrada positiva se corresponde con el signo negativo de la Ec. (17.52)].El modo de valor propio cero está asociado con un cambio en la posición de lasolución positiva desde τ0 hasta cualquier otro τ
′0. Si la longitud L del eje τ es
infinita, entonces la integral sobre ξ0 en el producto (17.46) será infinita. Por otraparte, si L es finito sólo un intervalo de longitud L de τ estará disponible para losdesplazamientos. Por lo tanto, para valores grandes de L, el valor infinito de 1/
√λ0
debe de ser proporcional a L, es decir:
1√λ0
= const · L. (17.92)
Ahora, para hallar la constante de proporcionalidad, transformamos la norma deintegración (17.46),
N∫ ∞
−∞
dξ0√2πh̄
∞∏
n=1
[
∫ ∞
−∞
dξn√2πh̄
]
, (17.93)
1242 17 Tunelamiento
a una forma en la cual el grado de libertad de traslación aparece expĺıcitamente
N 1√2πh̄
∫ ∞
−∞dτ0
∏
n 6=0
∫ ∞
−∞
[
dξn√2πh̄
] ∣
∣
∣
∣
∣
∂ξ0∂τ0
(ξ1, ξ2, . . .)
∣
∣
∣
∣
∣
. (17.94)
El Jacobiano que aparece en el integrando cumple con la identidad
∫
dτ0 δ(ξ0)
∣
∣
∣
∣
∣
∂ξ0∂τ0
∣
∣
∣
∣
∣
= 1. (17.95)
Calcularemos este Jacobiano usando el método desarrollado por Faddeev y Popov[3]. Dada una fluctuación arbitraria yξ0,ξ1,ξ2,..., el parámetro ξ0 se puede obtenerformando el producto escalar de la fluctuación con la función de onda de valorpropio cero y0(τ):
ξ0 =∫ ∞
−∞dτyξ0,ξ1,ξ2,...(τ)y0(τ). (17.96)
Más aun, es fácil ver que la fluctuación yξ0,ξ1,ξ2,... se puede reemplazar por la trayec-toria completa
xξ0,ξ1,ξ2,...(τ) = xcl(τ) + yξ0,ξ1,ξ2,...(τ), (17.97)
de tal manera que podemos reescribir
ξ0 =∫ ∞
−∞dτ xξ0,ξ1,ξ2,...(τ)y0(τ). (17.98)
Esto se sigue del hecho de que la solución adicional positiva xcl(τ) no tiene ningúntranslape con su derivada. De hecho,
∫ ∞
−∞dτ xcl(τ − τ0)y0(τ − τ0) ∝
∫ ∞
−∞dτ xcl(τ − τ0)x′cl(τ − τ0)
∝ 12x2cl
∣
∣
∣
∣
∞
−∞= 0. (17.99)
Usando la expresión (17.98), la función delta δ(ξ0) que aparece en la Ec. (17.95) sepuede escribir en la forma
δ(ξ0) = δ(∫ ∞
−∞dτ xξ0,ξ1,ξ2,...(τ)y0(τ)
)
. (17.100)
Para mostrar la relación entre la coordenada normal ξ0 y la posición positiva τ0,reemplazamos ahora a xξ0,ξ1,ξ2,... por una parametrización alternativa de las trayec-torias en las cuales el papel de la variable ξ0 se intercambia con la posición de lasolución positiva, i.e., reescribimos la fluctuación de la integral
xξ0,ξ1,ξ2,...(τ) = xcl(τ) +∞∑
n=0
ξnyn(τ) (17.101)
17.3 Fluctuaciones Cuadráticas 1243
en la forma
xτ0,ξ1,ξ2,...(τ) ≡ xcl(τ − τ0) +∞∑
n=1
ξnyn(τ − τ0). (17.102)
Por definición el punto τ0 = 0 coincide con ξ0 = 0. Aśı, si sustituimos la expresión(17.102) en la Ec. (17.100) y usamos esta función δ en la identidad (17.95), encon-tramos la condición buscada para el Jacobiano ∂ξ0/∂τ0:
∫ ∞
−∞dτ0 δ
(∫ ∞
−∞dτ xτ0,ξ1,ξ2,...(τ)y0(τ)
)
∣
∣
∣
∣
∣
∂ξ0∂τ0
∣
∣
∣
∣
∣
= 1. (17.103)
Ya que el argumento de la función δ se cancela para τ0 = 0, desarrollamos el argu-mento en potencias de τ0 y conservamos el término de menor orden. Escribiendoy0(τ) = αx
′cl(τ), obtenemos
∫ ∞
−∞dτ xτ0,ξ1,ξ2,...(τ)y0(τ) = −ατ0
[
∫ ∞
−∞dτ x′2cl +
∞∑
n=1
ξn
∫ ∞
−∞dτ x′cl y
′n
]
+O(τ 20 ).
(17.104)
Usando la Ec. (17.32) y abreviando los productos escalares entre paréntesis como
rn ≡∫ ∞
−∞dτ x′cl y
′n, (17.105)
podemos expresar el lado derecho de la expresión (17.104) de manera más apropiadaen la forma
−ατ0[
Acl +∞∑
n=1
ξnrn
]
+O(τ 20 ). (17.106)
Sustituyendo este resultado en la Ec. (17.103), y usando la Ec. (17.90), obtenemosel Jacobiano
∣
∣
∣
∣
∣
∂ξ0∂τ0
∣
∣
∣
∣
∣
= Acl1/2(
1 +Acl−1∞∑
n=1
ξnrn
)
. (17.107)
Como una consecuencia, el modo con valor propio cero contribuye al factor de fluc-tuación (17.46) en la siguiente forma:
Fcl(L) = N∞∏
n=1
[
∫ ∞
−∞
dξn√2πh̄
]
e−(1/2h̄)∑
∞
n=1ξ2nλn
∫ ∞
−∞
dξ0√2πh̄
e−(1/2h̄)ξ20λ0
= N∞∏
n=1
[
∫ ∞
−∞
dξn√2πh̄
e−(1/2h̄)∑
∞
n=1ξ2nλn
]
∫ ∞
−∞
dτ0√2πh̄
Acl1/2(
1+Acl−1∞∑
n=1
ξnrn
)
= N 1√∏∞n=1 λn
√
Acl2πh̄
∫ ∞
−∞dτ0. (17.108)
1244 17 Tunelamiento
Para las fluctuaciones cuadráticas, los términos lineales dentro de los paréntesisgrandes se anulan, dado que estos términos son impares en ξ. Aśı, para las fluctua-ciones cuadráticas podemos usar la siguiente regla mnemotécnica simple
−∂ξ0∂τ0
=∂x(τ)/∂τ0∂x(τ)/∂ξ0
=ẋcl(τ) + . . .
αẋcl(τ)=
1
α+ . . . =
√
Acl + . . . , (17.109)
donde los . . . denotan los términos lineales irrelevantes en ξn dentro de la integral(17.108).
Sin embargo, para fluctuaciones de orden superior los términos lineales en losparéntesis grandes no pueden ignorarse. Estos términos forman una acción Eu-clideana efectiva
Aeffe = −h̄ log[
1 +Acl−1∞∑
n=1
ξnrn
]
= −h̄ log[
1 +A−1cl∫
dτ x′cl(τ)y′(τ)
]
, (17.110)
la cual será necesaria en los cálculos a desarrollarse en la Sección 17.8.La integral sobre τ0 es ahora una expresión apropiada para imponer la finitud
del intervalo temporal τ ∈ (−L/2, L/2), a saber∫ L/2
−L/2dτ0 = L. (17.111)
La comparación de la Ec. (17.108) con la Ec. (17.46), muestra que la evaluacióncorrecta de la contribución del valor propio cero 1/
√λ0, la cual diverge formalmente,
es equivalente a la siguiente sustitución:
1√λ0
≡∫
dξ0√2πh̄
e−(1/2h̄)λ0ξ20 −−−→
√
Acl2πh̄
∫ L/2
−L/2dτ0 =
√
Acl2πh̄
L. (17.112)
17.3.2 Parte Continua del Factor de Fluctuación
Ahora regresamos al segundo problema de la Ec. (17.46), el cálculo del productode los valores propios continuos. Para evitar llevar a todas partes el factor denormalización N , es conveniente factorizar las fluctuaciones cuadráticas, dadas enla Ec. (17.36), en ausencia de la solución positiva. Sean entonces λ0n los valorespropios asociados. El potencial de la fluctuación, el cual resulta ser armónico, esV ′′(xcl(τ)) = ω
2x2 [comparar con la Ec. (17.39)], donde conocemos el factor defluctuación a partir de la Ec. (2.171). Comparando, entonces, con la expresión sinsolución positiva (17.46) obtenemos la siguiente relación para el factor de normali-zación
N 1√∏
n λ0n= Fω(L) =
√
ω
2πh̄ sinhωL∼√
ω
πh̄e−ωL/2. (17.113)
Llevando este factor fuera del producto del lado derecho de la Ec. (17.46), obtenemosel cociente del producto de los valores propios:
Fcl(L) = N1√∏
n λn= N 1√
∏
n λ0n
√
∏
n λ0n
∏
n λn= Fω(L)
√
∏
n λ0n
∏
n λn. (17.114)
17.3 Fluctuaciones Cuadráticas 1245
Mientras que L sea finito, las funciones de onda asociadas a los valores propioscontinuos serán discretas. Sea que ∂n/∂k denota la densidad de estados por intervalodel momentum. Entonces, para valores grandes de L la razón de los valores propioscontinuos se puede escribir como
√
∏
n λ0n
∏
n λn
∣
∣
∣
∣
∣
cont
= exp
[
−12
∫ ∞
0dk
(
∂n
∂k− ∂n∂k
∣
∣
∣
∣
0
)
log λn
]
. (17.115)
La densidad de estados asociada se puede obtener de la expresión para el cambiode fase (17.85). Observemos aqúı que para un L muy grande, donde las condicionesde frontera son una cuestión de elección, podemos imponer la condición de fronteraperiódica
y(τ + L) = y(τ). (17.116)
Utilizando este resultado junto con las formas asintóticas de la Ec. (17.84), obtene-mos
ei(kL/2+δk) = e−i(kL/2+δk), (17.117)
esta condición muestra la cuantización de los vectores de onda k en valores discretos,los cuales cumplen con la condición
kL+ 2δk = 2πn. (17.118)
De la derivada con respecto a k obtenemos la densidad de estados
∂n
∂k=
L
2π+
1
π
dδkdk
. (17.119)
Puesto que en ausencia de una solución positiva los cambios de fase se anulan,entonces tendremos
∂n
∂k
∣
∣
∣
∣
0=
L
2π, (17.120)
y con esto la fórmula general (17.115) tendrá la siguiente forma simple
√
∏
n λ0n∏
n λn
∣
∣
∣
∣
∣
cont
= exp
[
− 12π
∫ ∞
0dkdδkdk
log(ω2 + k2)
]
. (17.121)
Para calcular la integral (17.41) en nuestro problema espećıfico de las fluctuaciones,usamos la expresión (17.85) para hallar la derivada del cambio de fase para todovalor entero de s:
dδkdk
= − 1m
[
2
4 + (k/m)2+ . . .+
s
s2 + (k/m)2
]
. (17.122)
1246 17 Tunelamiento
Para s = 2, el exponencial de la Ec. (17.121) se convierte en
1
2π
∫ ∞
−∞dx(
1
1 + x2+
2
4 + x2
)
log[
ω2(1 + x2m2/ω2)]
. (17.123)
El término ω2 en el logaritmo se puede separar de este resultado usando elteorema de Levinson [1]. El cual afirma que la integral
∫∞0 dk(∂n/∂k − ∂n/∂k|0) es
igual al número de estados ligados:
∫ ∞
0dk
(
∂n
∂k− ∂n∂k
∣
∣
∣
∣
0
)
=1
π
∫ ∞
0dkdδkdk
= s. (17.124)
Obviamente, por la Ec. (17.122), esta relación es correcta. Esto es una consecuenciadel hecho de que un potencial con s estados ligados tiene s estados menos en elcontinuo que el sistema libre. Usando esta propiedad, la integral (17.123) se puedereescribir como
log ω2 +∫ ∞
−∞
dx
2π
(
1
1 + x2+
2
4 + x2
)
log(1 + x2m2/ω2). (17.125)
La integral reescalada se calcula usando la fórmula
∫ ∞
−∞
dx
2π
log(1 + p2x2)
r2 + s2x2=
1
rslog
(
1 + pr
s
)
. (17.126)
El resultado es
log ω2 + log(
1 +m
ω1)
+ log(
1 +m
ω2)
. (17.127)
Sustituyendo este resultado en el exponencial (17.121), obtenemos√
∏
n λ0n∏
n λn
∣
∣
∣
∣
∣
cont
= ω2(
1 +m
ω
)(
1 +m
ω2)
. (17.128)
En nuestro caso, donde m = ω/2, obtenemos 3ω2. Incluyendo en el denominador elvalor propio λ1 del estado ligado hallado en la Ec. (17.55), obtenemos
√
√
√
√
∏
n λ0n
∏′n λn
=1
√
3ω2/43ω2 =
√12ω ≡ K ′. (17.129)
Multiplicando este resultado por la contribución del valor propio cero, tal como seevaluó en la Ec. (17.108), obtenemos el resultado final del factor de fluctuación parael caso de una solución positiva o negativa:
Fcl(L) = Fω(L)KL, (17.130)
donde
K =1√λ0L
K ′ =
√
Acl2πh̄
√12ω. (17.131)
17.4 Fórmula General para el Cociente de los Valores Propios 1247
17.4 Fórmula General para el Cociente de los ValoresPropios
El cálculo anterior del cociente del producto de valores propios√
∏
n λ0n∏
n λn
∣
∣
∣
∣
∣
cont
(17.132)
de la ecuación de Schrödinger tipo Rosen-Morse, aparece en muchas aplicacionespara diferentes valores del parámetro s de la intensidad del potencial. Es por lotanto útil deducir una fórmula para este cociente que sea válida para todo valor des. La ecuación de valores propios tiene la forma
[
− d2
dτ 2+ ω2 − m
2s(s+ 1)
cosh2m(τ − τ0)
]
yn(τ) = λnyn(τ). (17.133)
Consideremos primero el caso para un valor entero arbitrario de s. Siguiendo ladiscusión anterior, se encontró que la razón del producto de valores propios tiene laforma√
∏
n λ0n∏
n λn
∣
∣
∣
∣
∣
cont
= exp
[
− 12π
∫ ∞
0dkdδkdk
log(ω2 + k2)
]
(17.134)
= exp
{
− 12π
∫ ∞
0d(k/m)
s∑
n=1
n
n2 + (k/m)2log[ω2 + (k/m)2m2]
}
.
El término ω2 en el logaritmo se elimina por la generalización de la Ec. (17.124)para todo valor entero de s:
1
π
∫ ∞
−∞d(k/m)
s∑
n=1
n
n2 + (k/m)2= s. (17.135)
Por tanto√
∏
n λ0n
∏
n λn
∣
∣
∣
∣
∣
cont
= ωs exp
[
1
2π
∫ ∞
−∞dx
s∑
n=1
n
n2 + x2log(1 + x2m2/ω2)
]
. (17.136)
Las integrales se pueden hallar usando la fórmula (17.126), con lo que obtenemos√
∏
n λ0n
∏
n λn
∣
∣
∣
∣
∣
cont
= ωss∏
n=1
(
1 +m
ωn)
. (17.137)
Para s = 2 y m = ω/2, obtenemos el resultado hallado en la Ec. (17.128).Con un poco más de trabajo podemos hallar la razón para todos los productos de
valores propios discretos y continuos y para un valor no entero de s. Introduzcamosun nuevo parámetro z y supongamos que s es un parámetro menor que 1, de talmanera que no hay estados ligados, y consideremos la ecuación de las fluctuaciones
[
− d2
dτ 2+m2
(
z − s(s+ 1)cosh2m(τ − τ0)
)]
yn(τ) = λnyn(τ). (17.138)
1248 17 Tunelamiento
El operador general de Schrödinger en consideración, Ec. (17.133), corresponde alcaso z = ω2/m2. Ya que por hipótesis no hay estados ligados, la primera ĺınea en lafórmula (17.134) dará el cociente de todos los valores propios:
√
∏
n λ0n∏
n λn= exp
[
− 12π
∫ ∞
−∞dkdδkdk
log(m2z + k2)
]
. (17.139)
Aqúı δk es igual al promedio de los cambios de fase pares e impares (δek + δ
ok)/2.
Por la misma razón, y sin error, reemplazamos log(m2z + k2) por log(z + k2/m2)[donde hemos usado la generalización de la Ec. (17.124)]. Después de la sustituciónk2 → ω2ǫ, encontramos
√
Πnλ0nΠnλn
= exp
[
− 12π
∫
Cdǫdδω
√ǫ
dǫlog(z + ǫ)
]
, (17.140)
donde el contorno de integración C, recorrido en el sentido del movimiento de lasmanecillas del reloj, encierra a la singularidad en el lado derecho del plano ǫ. Conuna integración por partes obtenemos
exp(
1
2π
∫
Cdǫ δm√ǫ
1
z + ǫ
)
. (17.141)
Para z < 0, el contorno de integración se puede deformar para encerrar al únicopolo en ǫ = −z, siguiendo la trayectoria en sentido contrario al movimiento de lasmanecillas del reloj, de donde hallamos
√
∏
n λ0n∏
n λn= exp[iδm
√−z]. (17.142)
Sustituyendo el promedio de los cambios de fase pares e impares para δk halladosen la Ec. (17.78), obtenemos
√
∏
n λ0n
∏
n λn=
[
Γ(√z − s)Γ(√z + s+ 1)Γ(√z)Γ(
√z + 1)
]1/2
. (17.143)
De acuerdo a la fórmula (17.51) y para n = 0, en la ecuación de la fluctuación(17.41) los parámetros m2 y ω2 = zm2 son tales que darán origen a valores propioscero. Es decir, para z = s2. En la vecindad de este valor de z, el valor propio
λ0 = m2[z − s2] (17.144)
será un valor propio nulo. Dividiendo este valor propio por el producto (17.143),obtenemos una ecuación que sigue siendo correcta en el ĺımite z → s2:
√
√
√
√
∏
n λ0n∏′n λn
= m
[
(√z + s)
Γ(√z − s + 1)Γ(√z + s+ 1)Γ(√z)Γ(
√z + 1)
]1/2
. (17.145)
17.5 Determinante de la Fluctuación de la Solución Clásica 1249
Esta expresión se puede continuar anaĺıticamente para z y s arbitrarios, siempreque los valores de z estén muy cercanos al caso s = 2. Para s = 2 y z = 4 (lo cualcorresponde al caso m = ω/2) recuperamos el resultado hallado anteriormente en laEc. (17.129):
√
√
√
√
∏
n λ0n∏′n λn
=√12ω. (17.146)
17.5 Determinante de la Fluctuación de la Solución Clásica
La evaluación del determinante de la fluctuación dada anteriormente requiere delconocimiento completo de los estados ligados y continuos de la ecuación de la fluc-tuación. Por fortuna, existe otra manera de encontrar el determinante que requieremenos información, donde sólo se necesita conocer el comportamiento de la soluciónclásica para valores grandes de τ y el valor de su acción. La base para esta derivaciónes la fórmula de Gelfand-Yaglom deducida en la Sección 2.4. De acuerdo a esafórmula, el determinante de la fluctuación del operador diferencial
Ô = − d2
dτ 2+ ω2 − m
2s(s+ 1)
cosh2[m(τ − τ0)](17.147)
está dado por el valor de la solución D(τ) para el valor propio cero en el punto finalde τ , es decir, τ = L/2
det Ô = ND(L/2), (17.148)siempre que esta solución sea tal que cumpla con las condiciones iniciales en τ =−L/2:
D(−L/2) = 0, Ḋ(−L/2) = 1. (17.149)El factor de normalización N es irrelevante cuando se considera el cociente de deter-minantes de las fluctuaciones, como sucede con el problema en turno.3 Para cumplirlas condiciones de frontera (17.149), necesitamos dos soluciones linealmente indepen-dientes del valor propio cero. Una de ellas se conoce de la invariancia de traslacióntemporal. Esta solución es proporcional a la derivada temporal de la solución clásica[ver la Ec. (17.88)]:
y0(τ) = αx′cl(τ). (17.150)
En el problema anterior de la fluctuación, Ec. (17.41), donde s = 2 y m = ω/2, lasolución clásica es xcl(τ) = arctanh[ω(τ − τ0)/2]. La cual tiene el comportamientoasintótico
y0(τ) →ω
2e−ω|τ | para τ → ±∞, (17.151)
3Si el determinante se calcula para la partición temporal del operador Ô, donde se reemplazad/dτ por el operador diferencia ∇τ , la normalización es N = 1/ǫ. Aqúı ǫ es el ancho de losintervalos temporales. Ver el Caṕıtulo 2.
1250 17 Tunelamiento
donde la exponencial decae en forma simétrica en ambas direcciones del eje τ . En loque sigue será conveniente trabajar con las soluciones de los valores propios cero sinel prefactor ω/2, las cuales se comportan asintóticamente como un exponencial puro.Estas soluciones serán denotadas por ξ(τ) y η(τ), la solución ξ(τ) será proporcionala y0, i.e.,
ξ(τ) → e−ω|τ | para τ → ±∞. (17.152)
La segunda solución independiente se puede encontrar de la fórmula ded’Alembert (2.236). Su forma expĺıcita no es necesaria, sólo su comportamientoasintótico es relevante. Suponiendo que el Lagrangiano es invariante bajo inversióntemporal, lo cual es generalmente el caso, el comportamiento asintótico se encuentramediante el siguiente argumento: puesto que φ
(2)0 (τ) es linealmente independiente de
φ(1)0 (τ), podemos asegurar que la segunda solución tiene un comportamiento expo-
nencial asintótico opuesto (i.e., crece con τ) y tiene la simetŕıa opuesta bajo inversióntemporal (i.e., es antisimétrico). Aśı, η se tiene que comportar como sigue:
η(τ) → ±eω|τ | para τ → ±∞. (17.153)
Ahora construimos la combinación lineal que cumpla con las condiciones frontera(17.149), para valores de τ = −L/2 lo suficientemente grandes y negativos:
D(τ) =1
W[ξ(−L/2)η(τ)− η(−L/2)ξ(τ)] , (17.154)
donde
W ≡W [ξ(τ)η(τ)] = ξ(τ)η̇(τ)− η(τ)ξ̇(τ) (17.155)
es el Wronskiano de las dos soluciones. Este Wronskiano es independiente de τ ypuede evaluarse a partir del comportamiento asintótico de las soluciones, es decir
W = 2ω. (17.156)
Sustituyendo las Ecs. (17.152) y (17.153) en la Ec. (17.154), encontramos la solución
D(τ) =1
W
[
e−ωL/2η(τ) + eωL/2ξ(τ)]
. (17.157)
Aún sin conocer las soluciones φ(1)0 (τ) y φ
(2)0 (τ) para valores finitos de τ , para valores
grandes de τ = L/2 el determinante de la fluctuación tendrá la forma:
D(L/2) =2
W=
1
ω. (17.158)
Para fluctuaciones alrededor de la solución clásica constante, la solución para elvalor propio cero que cumple con las condiciones de frontera (17.149) será
D(0)(τ) =1
ωsinh[ω(τ + L/2)]. (17.159)
17.5 Determinante de la Fluctuación de la Solución Clásica 1251
Para valores grandes de τ = L, esta solución se comporta como
D(0)(L/2) → 12ωeωL para valores grandes de L. (17.160)
Por lo tanto el cociente es
D(0)(L/2)
D(L/2)→ 1
2eωL para valores grandes de L. (17.161)
Este número exponencialmente grande, es una señal de la presencia de un posiblevalor propio cero en el determinante D(L/2). Ya que el intervalo τ : (−L/2, L/2)es finito, no existen necesariamente valores propios cero. En el intervalo finito, laderivada (17.150) de la solución positiva no cumple con la condición de frontera deDirichlet. Si se impone adecuadamente la cancelación de la solución en los puntosextremos, la distribución de part́ıculas tendŕıa que comprimirse en alguna manera, yesto desplazaŕıa ligeramente la enerǵıa hacia valores superiores. El desplazamientoes exponencialmente pequeño para valores grandes de L, aśı que el posible valorpropio nulo tiene un valor propio exponencialmente pequeño λ0 ∝ e−ωL. Para elcaso L → ∞, se obtiene un resultado finito eliminando este modo del cociente(17.161) y considerando el ĺımite
∏
n λn0
∏′n λn
= limL→∞
D(0)(L/2)
D(L/2)λ0. (17.162)
El comportamiento principal e−ωL del tentativo valor propio cero, se puede eva-luar perturbativamente usando como antes sólo el comportamiento asintótico de lasdos soluciones independientes. A orden menor en teoŕıa de perturbación una funciónque satisface la condición de frontera de Dirichlet para L finito, puede obtenerse dela función propia φ0, la cual se anula en τ = −L/2, usando la fórmula
φL0 (τ) = φ0(τ) +λ0W
∫ τ
−L/2dτ ′ [ξ(τ)η(τ ′)− η(τ)ξ(τ ′)]φ0(τ ′). (17.163)
Los ĺımites de integración aseguran que φL0 (τ) se anula en τ = −L/2. El valorpropio λ0 estará determinado imponiendo también la cancelación de la solución enτ = L/2. Suponiendo que φ0(τ) tiene la solución de valor propio nulo D(τ)
λ0 = −D(L/2)W[
ξ(L/2)∫ L/2
−L/2dτ η(τ)D(τ)− η(L/2)
∫ L/2
−L/2dτ ξ(τ)D(τ)
]−1. (17.164)
Sustituyendo la Ec. (17.154) y usando la ortogonalidad de ξ(τ) y η(τ) (lo cual sesigue del hecho de que el primero es simétrico y el segundo es antisimétrico), estose convierte en
λ0=−D(L/2)W 2[
ξ(−L/2)ξ(L/2)∫ L/2
−L/2dτ η2(τ) + η(−L/2)η(L/2)
∫ L/2
−L/2dτ ξ2(τ)
]−1.
(17.165)
1252 17 Tunelamiento
Invocando una vez más la simetŕıa de ξ(τ) y η(τ), aśı como el comportamientoasintótico (17.152) y (17.153), obtenemos
λ0 = −D(L/2)W 2[
e−ωL∫ L/2
−L/2dτ η2(τ)− eωL
∫ L/2
−L/2dτ ξ2(τ)
]−1. (17.166)
La primera integral diverge en la forma eωL; mientras que la segunda es finita. Elprefactor hace que la segunda integral sea mucho mayor que la primera, de talmanera que para valores grandes de L encontramos la siguiente expresión para elvalor propio nulo tentativo
λ0 = D(L/2)e−ωL W
2
∫∞−∞ dτ ξ
2(τ). (17.167)
Como se esperaba, este valor propio es exponencialmente pequeño y positivo. Susti-tuyendo este resultado en la Ec. (17.162) y usando las Ecs. (17.156) y (17.160),encontramos el cociente de valores propios
∏
n λ0n
∏′n λn
= limL→∞
2ω1
∫∞−∞ dτ ξ
2(τ). (17.168)
El determinanteD(L/2) ha desaparecido y la única cantidad no trivial a ser evaluadaes la integral de normalización sobre las funciones propias traslacionales ξ(τ).
La integral de normalización requiere del conocimiento completo del compor-tamiento respecto de τ de la solución del valor propio cero φ
(1)0 (τ); el compor-
tamiento asintótico usado hasta este punto es insuficiente. Afortunadamente, lasolución clásica xcl(τ) proporciona esta información. La solución normalizada esy0 = αx
′cl(τ), cuyo comportamiento asintótico tiene la forma 2aαωe
−ωτ . Imponiendo
la convención de normalización (17.152) para φ(1)0 (τ), encontramos que
ξ(τ) =1
2aωααx′cl(τ). (17.169)
Usando la relación (17.32), la integral de normalización es simplemente∫ ∞
−∞dτ ξ(τ)2 =
Acl4a2ω2
. (17.170)
Con esto, el cociente de valores propios (17.168) se convierte en∏
n λ0n
∏′n λn
= 2ω4a2ω
Acl. (17.171)
Sustituyendo de la Ec. (17.31) el valor de la acción clásica Acl = 2a2ω/3, obtenemos∏
n λ0n
∏′n λn
= 12ω2, (17.172)
tal como se obtuvo en las Ecs. (17.146) y (17.129).Es de notar que mediante este método, el cálculo de la razón de los determinantes
de la fluctuación requiere sólo del conocimiento de la solución clásica xcl(τ).
17.6 Funciones de Onda del Potencial de Pozo Doble 1253
17.6 Funciones de Onda del Potencial de Pozo Doble
El resultado semiclásico para las amplitudes
(a L/2|a −L/2), (a L/2| −a −L/2), (17.173)
donde los puntos finales están situados en el fondo de los pozos de potencial, se puedeextender fácilmente al caso donde los puntos finales son arbitrarios xb 6= a, xa 6= ±a,siempre que estos puntos estén situados cerca del fondo de los pozos de potencial.Estas amplitudes extendidas darán aproximadamente las funciones de onda de laspart́ıculas para los dos estados de menor orden. Sin solución positiva, y por lafórmula (17.34), la extensión es trivial. Simplemente multiplicamos el factor de lafluctuación por la exponencial exp(−Acl/h̄), la cual contiene la acción clásica de latrayectoria de xa a xb. Si tanto xa como xb están ambos cerca de uno de los fondosdel pozo, la órbita clásica completa permanece cerca de este fondo. Si la distanciade la órbita al fondo del pozo es menor que 1/a
√ω, el potencial se puede aproximar
por un potencial armónico ω2x2. Aśı, cerca del fondo del pozo en x = a, tenemos lasiguiente aproximación simple para la acción
Acl ≈ω
2h̄ sinhωL
{
[(xa − a)2 + (xb − a)2] coshωL− 2(xb − a)(xa − a)}
.
(17.174)
Para un tiempo Euclidiano L muy grande, esta acción tiende a
Acl ≈ω
2h̄[(xb − a)2 + (xa − a)2]. (17.175)
Por lo tanto, la amplitud (17.34) se puede generalizar como
(xb L/2|xa L/2) ≈√
ω
πh̄e−(ω/2h̄)[(xb−a)
2+(xa−a)2]e−ωL/2h̄.
Para n = 0, esta amplitud también se puede escribir en términos de las funcionesde onda de los estados ligados (17.5) en la forma
(xb L/2|xa L/2) ≈ ψ0(xb − a)ψ0(xa − a)e−ωL/2h̄. (17.176)
Para la amplitud (17.35) donde la trayectoria va de un valle del potencial al otro, laconstrucción es más complicada. La solución aproximada se obtiene combinando unatrayectoria clásica armónica moviendose desde (xa,−L/2) hasta (a,−L/4), con unasolución positiva moviendose desde (a,−L/4) hasta (a, L/4) y una tercera trayecto-ria armónica clásica moviendose desde (a, L/4) hasta (xb, L/2). Con esto obtenemosla amplitud
√
ω
πh̄e−(ω/2h̄)(xb−a)
2
KLe−Acl/h̄e−(ω/2h̄)(xa−a)2
. (17.177)
Nótese que uniendo las tres soluciones, se puede obtener una solución clásicaauténtica. Para verlo tendŕıamos que resolver las ecuaciones de movimiento que
1254 17 Tunelamiento
contienen una solución positiva, utilizando las condiciones de frontera modificadasx(−L/2) = xa, x(L/2) = xb. Sin embargo, de la convergencia exponencial parax(τ) → ±a (en la forma e−ωL), es obvio que la verdadera acción clásica difiere dela acción de la trayectoria construida arriba sólo por términos exponencialmentepequeños.
Como antes, el prefactor en la Ec. (17.177) se puede atribuir a las funciones deonda de los estados base ψ0(x), y para el caso donde xb está cercano a −a y xa estácercano a a, encontramos la siguiente amplitud:
(xb L/2|xa − L/2) ≈ ψ0(xb + a)ψ0(xa − a)KLe−Acl/h̄e−ωL/2h̄. (17.178)
17.7 Gas de Soluciones Positivas y Negativas y Fórmula
del Desdoblamiento de los Niveles de Enerǵıa
El tratamiento semiclásico anterior es correcto hasta términos de orden e−ωL. Estaprecisión no es suficiente para calcular el desdoblamiento de los niveles de enerǵıa en-tre los dos estados más bajos del potencial de pozo doble debido al tunelamiento. Esnecesario incluir otras contribuciones semiclásicas a la integral de trayectoria. Estascontribuciones se pueden encontrar sin mayor esfuerzo. Para valores muy grandesde L, es muy fácil acomodar muchas soluciones positivas y negativas a lo largo deleje τ sin una desviación significativa de la trayectoria de la ecuación de movimiento.Debido a la aproximación al potencial en el fondo x = ±a de cada solución positivay negativa, se puede construir una solución aproximada combinando suavemente unnúmero apropiado de soluciones siempre que estén muy separadas una de la otra. Ladiferencia con la solución clásica real es exponencialmente pequeña si la distancia δτen el eje τ es mucho mayor que el tamaño de una solución positiva individual (i.e.,∆τ ≫ 1/ω). La solución combinada se puede pensar como un gas muy diluido desoluciones positivas y negativas sobre el eje τ . A esta situación se le conoce como elĺımite del gas-diluido. Considerese una “solución cuasi-clásica”, la cual consta de Nsoluciones positivas-negativas xcl(τ) = ±atanh[ω(τ−τi)/2] en posiciones alternadas,digamos, τ1 ≫ τ2 ≫ τ3 ≫ . . . ≫ τN que están suavemente conectadas en algunospuntos intermedios τ̄1, . . . , τ̄N−1. En la aproximación de gas diluido, la acción com-binada está dada por la suma de acciones individuales. Para la amplitud (17.34)en la cual las trayectorias conectan los mismos valles del potencial, el número desoluciones positivas debe de ser igual al número de soluciones negativas. La accióncombinada es entonces un múltiplo entero de la acción positiva:
A2n ≈ 2nAcl. (17.179)
Para la amplitud (17.35), donde el número total es impar, la acción combinada es
A2n+1 ≈ (2n+ 1)Acl. (17.180)
Dado que las soluciones positivas y negativas son objetos localizados de tamaño 2/ω,para valores grandes de L, no importa como están distribuidos en el intervalo de τ :
17.7 Gas de Soluciones Positivas y Negativas y Fórmula del Desdoblamiento ... 1255
[−L/2, L/2], siempre que sus distancias sean mayores que su dimensión. En el ĺımitede un gas diluido, podemos despreciar las dimensiones. En la integral de trayectoria,el grado de libertad traslacional de N soluciones positivas y negativas ampliamenteespaciadas conduce, mediante los modos de valor propio cero, a la integral múltiple
∫ L/2
−L/2dτN
∫ τN
−L/2dτN−1. . .
∫ τ1
−L/2dτ1 =
LN
N !. (17.181)
El Jacobiano asociado con estas N integrales es [ver la Ec. (17.112)]√
Acl2πh̄
N
. (17.182)
Las fluctuaciones alrededor de la solución combinada dan el producto de los factoresde las fluctuaciones individuales. Para un conjunto dado de puntos conectadostenemos
1√
∏′
n λn∣
∣
∣
L̄N
1√
∏′
n λn∣
∣
∣
L̄N−1
× . . .× 1√∏′
n λn∣
∣
∣
L̄1
, (17.183)
donde L̄i ≡ τ̄i − τ̄i−1 son las secciones del eje τ sobre las cuales las solucionesindividuales son exactas. Su suma total es
L =N∑
i=1
L̄i. (17.184)
Ahora incluimos el efecto de las fluctuaciones en los tiempos intermedios τ̄i dondelas soluciones individuales están conectadas. Recordando las amplitudes (17.176),vemos que el factor de fluctuación para los extremos arbitrarios xi, xi−1 cerca delfondo del valle del potencial debe de multiplicarse en cada extremo por el cociente delas funciones de onda ψ0(x± a)/ψ0(0). Por lo cual, tenemos que hacer el reemplazo
1√∏
n λn→ ψ0(xi ± a)
ψ0(0)
1√∏
n λn
ψ†0(xi−1 ± a)ψ†0(0)
. (17.185)
Se ha considerado que los valores adyacentes xi de todos los factores de la fluctuaciónson iguales y se han integrado, dando
1√∏
n λn
∣
∣
∣
∣
L=∫
dxN · · · dx11√∏
n λn
∣
∣
∣
∣
LN
ψ0(xN−1 − a)ψ†0(xN−1 − a)|ψ0(0)|2
1√∏
n λn
∣
∣
∣
∣
LN−1
× . . .× ψ0(x1 − a)ψ†0(x1 − a)
|ψ0(0)|21√∏
n λn
∣
∣
∣
∣
L1
. (17.186)
Debido a la normalización unitaria de las funciones del estado base, las integralesson triviales. Sólo los denominadores |ψ0(0)|2 son distintos de cero, y dan origen alfactor
1
|ψ0(0)|2(N−1)=
√
ω
πh̄
−(N−1). (17.187)
1256 17 Tunelamiento
Resulta apropiado multiplicar y dividir el resultado por la ráız cuadrada del productode valores propios de la fluctuaciones armónicas libres de soluciones positivas, dondese sabe que el factor total de las fluctuaciones es
1√
Πnλ0n|L=
√
ω
πh̄e−ωL/2h̄. (17.188)
Entonces hemos obtenido el factor total corregido de la fluctuación
√
ω
πh̄
−(N−2)e−ωL/2h̄
√
∏
n
λ0n
∣
∣
∣
∣
L
1√
∏′nλn
∣
∣
∣
L1
1√
∏′nλn
∣
∣
∣
L2
× . . .× 1√∏′nλn
∣
∣
∣
LN
. (17.189)
Ahora observemos que el factor armónico de la fluctuación, Ec. (17.188), para el
intervalo completo√
∏
n λ0n|L =
√
ω/πh̄ exp(−ωL/2h̄) se puede factorizar en unproducto de los factores para cada intervalo τ̄i, τ̄i−1 como sigue:
√
∏
n
λ0n
∣
∣
∣
∣
L=
√
ω
πh̄
−(N−1)√∏
n
λ0n
∣
∣
∣
∣
L1
· · ·√
∏
n
λ0n
∣
∣
∣
∣
LN
. (17.190)
Por lo tanto, el factor total corregido de la fluctuación se puede reescribir como
√
ω
πh̄e−ωL/2h̄
√
√
√
√
∏
n λ0n∏′n λn
∣
∣
∣
∣
∣
L1
× . . .×√
√
√
√
∏
n λ0n∏′n λn
∣
∣
∣
∣
∣
LN
. (17.191)
Cada cociente de valores propios dará el siguiente resultado independiente de Li
K ′ =
√
√
√
√
∏
n λ0n
∏′nλn
∣
∣
∣
∣
∣
Li
, (17.192)
donde K ′ se obtiene la Ec. (17.131). Expresando K ′ en términos de K mediante larelación
K ′ =
√
Acl2πh̄
−1
K, (17.193)
los factores√
Acl/2πh̄−1
cancelan a los factores Jacobianos (17.182) que aparecen
de las integrales de la posición (17.181). En forma conjunta, el factor de fluctuacióntotal de N soluciones positivas y negativas con todas las distribuciones posibles sobreel eje τ es
√
ω
πh̄e−ωL/2h̄
LN
N !KNe−NAcl/h̄. (17.194)
Sumando sobre todas las configuraciones positivas y negativas pares e impares,obtenemos
(a L/2| ± a − L/2) =√
ω
πh̄e−ωL/2h̄
∑
parimpar
1
N !(KLe−Acl/h̄)
N. (17.195)
17.7 Gas de Soluciones Positivas y Negativas y Fórmula del Desdoblamiento ... 1257
Esto se puede sumar para obtener
(a L/2| ± a − L/2) =√
ω
πh̄e−ωL/2h̄ (17.196)
×12
[
exp(
KLe−Acl/h̄)
± exp(
−KLe−Acl/h̄)]
.
Como en la sección anterior, generalizaremos este resultado a las posiciones xb, xacercanas al mı́nimo del potencial (donde la distancia máxima de separación es del
orden de√
h̄/ω). Usando la acción clásica (17.175) y expresandola en términos delas funciones de onda del estado base, podemos ahora agregar las contribuciones delas amplitudes de todas las configuraciones posibles, de donde obtenemos
(xb L/2|xa − L/2) = e−ωL/2h̄ (17.197)×{
ψ0(xb − a)ψ0(xa − a)1
2
[
exp(Ke−Acl/h̄L) + exp(−Ke−Acl/h̄L)]
+ψ0(xb − a)ψ0(xa − a)1
2
[
exp(Ke−Acl/h̄L)− exp(−Ke−Acl/h̄L)]
+(xb → −xb) + (xa → −xa) + (xb → −xb, xa → −xa)}
.
El lado derecho se recombina para hallar
1√2[ψ0(xb − a) + ψ0(xb + a)]×
1√2[ψ0(xa − a) + ψ0(xa + a)]
× exp[
−(
ω
2−Ke−Acl/h̄
)
L]
+1√2[ψ0(xb − a)− ψ0(xb + a)]×
1√2[ψ0(xa − a)− ψ0(xa + a)]
× exp[
−(
ω
2+Ke−Acl/h̄
)
L]
. (17.198)
Aqúı identificamos la función de onda del estado base como la combinación simétricade funciones de onda de los estados base de los pozos individuales
Ψ0(x) =1√2[ψ0(x− a) + ψ0(x+ a)]. (17.199)
Su enerǵıa es
E (0) = E(0) − ∆E(0)
2=(
ω/2−Ke− Acl/h̄)
h̄. (17.200)
El primer estado excitado tiene la función de onda anti-simétrica
Ψ1(x) =1√2[ψ0(x− a)− ψ0(x+ a)] (17.201)
1258 17 Tunelamiento
y su enerǵıa es ligeramente mayor
E (1) = E(0) + ∆E(0)
2=(
ω/2 +Ke−Acl/h̄)
h̄. (17.202)
Por lo tanto, el desdoblamiento de los niveles de enerǵıa es
∆E = 2Kh̄e−Acl/h̄. (17.203)
Sustituyendo el valor de K hallado en la Ec. (17.131), obtenemos la fórmula
∆E = 4√3
√
Acl2πh̄
h̄ωe−Acl/h̄, (17.204)
donde Acl = (2/3)a2ω. Cuando se expresa la acción en términos de la altura de labarrera de potencial Vmáx = a
2ω2/8 = 3ωAcl/16, la fórmula será
∆E = 4√3
√
8Vmáx3πωh̄
h̄ωe−16Vmáx/3h̄ω. (17.205)
El desdoblamiento de los niveles de enerǵıa decrece exponencialmente con el aumentode la altura de la barrera del potencial. Nótese que Vmáx está relacionado con laconstante de acoplamiento de la interacción x4 por medio de la relación Vmáx =ω4/16g.
Para asegurar la consistencia de la aproximación tenemos que revisar que lahipóteisis de un gas de baja densidad de soluciones positivas y negativas es auto-consistente. Cuando buscamos en la serie (17.195) el exponencial (17.196), vemosque el número promedio de términos de la contribución está dado por
N̄ ≈ KLe−Acl/h̄ = ∆E2h̄
L. (17.206)
La separación promedio asociada entre soluciones positivas y negativas es
∆L ≡ 2h̄/∆E. (17.207)
Si comparamos este resultado con su dimensión 2/ω, encontramos el cociente
distancia
tamaño≈ h̄ω
∆E. (17.208)
Aumentando la altura de la barrera, el desdoblamiento de los niveles de enerǵıadecrece y la dilución se incrementa exponencialmente. Aśı, la aproximación de gasdiluido será exacta en el ĺımite de una barrera de altura infinita.
17.8 Corrección de las Fluctuaciones al Desdoblamiento de los Niveles de Enerǵıa 1259
17.8 Corrección de las Fluctuaciones al Desdoblamientode los Niveles de Enerǵıa
Calculemos la primera corrección de las fluctuaciones a la fórmula del desdoblamiento de los nivelesde enerǵıa (17.204). Para esto escribimos el potencial (17.1) en la forma dada por la Ec. (5.78):
V (x) = −ω2
4x2 +
g
4x4 +
1
4g, (17.209)
donde
g ≡ ω2
2a2(17.210)
es la magnitud de la interacción. Desarrollando la acción alrededor de la solución clásica obtenemosla acción de las fluctuaciones y(τ) = x(τ)− xcl(τ). La parte cuadrática fue dada en la Ec. (17.40),la cual escrimos en la forma
A0fl =1
2
∫
dτdτ ′ y(τ)Oω(τ, τ ′)y(τ ′), (17.211)
donde tenemos la matriz funcional
Oω(τ, τ ′) ≡[
− d2
dτ2+ ω2
(
1 − 32
1
cosh2[ω(τ − τ0)/2]
)]′
δ(τ − τ ′) (17.212)
asociada con el operador de Schrödinger para una part́ıcula en el potencial de Rosen-Morse (14.136).La prima en el corchete indica al ausencia del valor propio cero en la descomposición espectral deOω(τ, τ ′). Ya que el modo asociado no tiene fluctuaciones Gaussianas, ese modo se debe de eliminarde y(τ) y tratarse por separado. A nivel semiclásico, esto se hizo en la Subsección 17.3.1 y el valorpropio cero apareció en la fórmula del desdoblamiento de los niveles de la enerǵıa dados en laEc. (17.204), como el factor expresado por la Ec. (17.112). La eliminación del modo asociado diolugar a la interacción efectiva adicional (17.110):
Aeffe = −h̄ log[
1 + A−1cl∫
dτ x′cl(τ)y′(τ)
]
. (17.213)
Usando las Ecs. (17.88)–(17.91) y luego de una integración por partes, esto se puede reescribircomo
Aeffe = −h̄ log[
1 −√
3g
ω3
∫
dτ y′0(τ)y(τ)
]
. (17.214)
La interacción entre las fluctuaciones es
Aintfl =g
4
∫
dτ[
y4(τ) + 4xcl(τ)y3(τ)
]
. (17.215)
Ahora, en la integral de trayectoria hacemos un desarrollo en series de Taylor del exponencial
e−(Aint
fl+Aeffe )/h̄ en términos de la intensidad de acoplamiento g. De acuerdo a las reglas de la
Sección 3.20, una evaluación perturbativa de las funciones de correlación de las fluctuaciones y(τ)da origen al siguiente factor de corrección en la integral de trayectoria
C =
[
1 − (I1 + I2 + I3)gh̄
ω3+ O(g2)
]
, (17.216)
1260 17 Tunelamiento
donde las integrales adimensionales I1, I2 e I3 se evalúan sobre todo el eje τ :
I1 =ω3
4h̄2
∫
dτ 〈y4(τ)〉Oω ,
I2 = −ω3g
2h̄3
∫
dτdτ ′ xcl(τ)〈y3(τ)y3(τ ′)〉Oωxcl(τ ′), (17.217)
I3 = −ω3
h̄2
√
3g
ω3
∫
dτdτ ′ y′0(τ)〈y(τ)y3(τ ′)〉Oωxcl(τ ′).
Para revisar lo correcto de las dimensiones observamos que, junto con la Ec. (17.210), la soluciónclásica (17.28) se puede escribir como xcl(τ) =
√
ω2/2g tanh[ω(τ − τ0)/2], donde las dimensionesde y(τ) y τ son
√
h̄/ω y 1/ω, respectivamente. Los corchetes de Dirac 〈. . .〉Oω denotan el valoresperado con respecto a las fluctuaciones cuadráticas reguladas por la acción (17.211). Debidoa la ausencia del valor propio cero, las fluctuaciones son armónicas. Los valores esperados de laspotencias de y(τ) se pueden representar, de acuerdo a la regla de Wick estudiada en la Sección 3.17,como una suma de pares de contracciones las cuales involucran productos de funciones de Green
G′Oω(τ, τ′) = 〈y(τ)y(τ ′)〉Oω = h̄O−1ω (τ, τ ′), (17.218)
donde O−1ω (τ, τ ′) representa la inversa de la matriz funcional (17.212).El primer término en la Ec. (17.217) da lugar a tres contracciones de Wick y será
I1 =3ω3
4h̄2
∫
dτ G′Oω2 (τ, τ). (17.219)
El integrando contiene un término asintóticamente constante que para valores grandes de L daorigen a una divergencia lineal. Esta divergencia se sustrae en la siguiente forma:
I1 = L3ω
16+
3ω3
4h̄2
∫
dτ
[
G′Oω2 (τ, τ) − h̄
2
4ω2
]
. (17.220)
El primer término forma parte de la corrección a primer orden de la fluctuación sin la soluciónclásica, i.e., este término contribuye a la constante de enerǵıa de fondo de la solución clásica. Estasolución se obtiene reemplazando
G′Oω2 (τ, τ ′) → h̄Gω(τ − τ ′) =
h̄
2ωe−ω|τ−τ
′| (17.221)
[recordemos las Ecs. (3.304) y (3.249)]. En la expresión (17.195) de la amplitud, la enerǵıa de
fondo sólo cambia el prefactor exponencial de la forma e−ωL/2h̄ a la forma e−(1+3gh̄/16ω3)ωL/2h̄ y
no contribuye al desdoblamiento de los niveles de enerǵıa. La fórmula del desdoblamiento de losniveles de enerǵıa tendrá el factor de corrección
C′ =
[
1 − c1gh̄
ω3+ . . .
]
=
[
1 − (I ′1 + I ′2 + I ′3)gh̄
ω3+ O(g2)
]
, (17.222)
en el cual se han eliminado todas las contribuciones proporcionales a L. Aśı I1 se reemplaza porla parte sustraida I ′1 ≡ I1 − L3ω/16.
La integral I2 tiene 15 contracciones de Wick que se descomponen en dos clases:
I2 ≡ I21 + I22 = −gω3
2h̄3
∫
dτdτ ′
× xcl(τ)[
6G′Oω3 (τ, τ ′) + 9G′Oω(τ, τ)G
′Oω (τ, τ
′)G′Oω (τ′, τ ′)
]
xcl(τ′). (17.223)
Cada una de las dos subintegrales I21 e I22 contiene una divergencia respecto a L, que se puedeencontrar utilizando el reemplazo (17.221). En la Ec. (17.222) las integrales sustraidas son I ′21 =
17.8 Corrección de las Fluctuaciones al Desdoblamiento de los Niveles de Enerǵıa 1261
I21 + ωL/8 e I′22 = I22 + 3ωL/16. Aśı, en las amplitudes (17.195) ambas integrales llevan el
prefactor exponencial e−ωL/2h̄ a la forma e−[1/2+(3/16−1/8−9/16)gh̄/ω3)ωL/2h̄ = e−(1/2−gh̄/2ω
3)ωL/2h̄,de acuerdo con la Ec. (5.258). Para comparar las dos expresiones, tenemos que utilizar la relaciónω =
√2, ya que aqúı ω es la frecuencia en el fondo de los pozos de potencial, mientras la ω del
Caṕıtulo 5 [la cual es igual a 1 en la Ec, (5.258)] parametriza la curvatura negativa en x = 0.Las contracciones de Wick del tercer término dan origen a la integral finita
I3 = I′3 = −3
ω3
h̄2
√
3g
ω3
∫
dτdτ ′ y′0(τ)G′Oω (τ, τ
′)G′Oω(τ′, τ ′)xcl(τ
′). (17.224)
El factor de corrección (17.216) se puede representar por medio de los diagramas de Feynmanen la forma
C = 1 − 3 + 12!
(
6 + 9
)
+ 3 + O(g2), (17.225)
donde los vértices y las ĺıneas representan las expresiones anaĺıticas mostradas en la Fig. 17.5.
g
h̄xcl(τ)
g
4h̄√
3g
ω3y′0(τ)
G′Oω(τ, τ′)
Figure 17.5 Vértices y ĺıneas de los diagramas de Feynman para el factor de corrección
C de la Ec. (17.225).
Para la evaluación de las integrales necesitamos una expresión expĺıcita para G′Oω (τ, τ′). Esta
expresión se encuentra fácilmente de los resultados de la Sección 14.4.4. En la Ec. (14.139),obtuvimos la amplitud de enerǵıa fija (xb|xa)ERM,EPT resolviendo la ecuación de Schrödinger
(
− h̄2
2µ
d2
dx2− ERM +
h̄2
2µ− EPT
cosh2 x
)
(xb|xa)ERM,EPT = −ih̄δ(xb − xa).
(17.226)
Sustituyendo EPT = (h̄2/2µ)s(s + 1), para xb > xa la amplitud será
(xb|xa)ERM,EPT =−iµh̄
Γ(m(ERM) − s)Γ(s + m(ERM) + 1)
× P−m(ERM)s (tanh xb)P−m(ERM)s (− tanhxa), (17.227)
donde
m(ERM) =
√
1 − 2µERM/h̄2. (17.228)
1262 17 Tunelamiento
Después del cambio de variable x = ωτ/2 y h̄2/µ = ω2/2, hacemos s = 2 y usamos la enerǵıaERM = −3ω2/4. Luego, el operador de la Ec. (17.226) coincide con el operador Oω(τ, τ ′) de laEc. (17.212), y para τ > τ ′ obtenemos la función de Green deseada
GOω(τ, τ′) =
h̄
ωΓ(m− 2)Γ(m + 3)P−m2 (tanh
ωτ
2)P−m2 (− tanh
ωτ
2
′), (17.229)
donde m = 2. Debido a la invariancia traslacional a lo largo del eje τ , esta función de Greentiene un polo en ERM = −3ω2/4 que debe ser removido antes de alcanzar esta enerǵıa. Elresultado es la función de Green sustraida G′Oω (τ, τ
′), la cual necesitamos para el desarrollo per-turbativo. El procedimiento de sustracción se puede hacer más fácilmente usando la fórmulaG′Oω = (d/dERM)ERMGOω |ERM=−3ω2/4. En términos del parámetro m, esto equivale a
G′Oω (τ, τ′) =
1
2m
d
dm(m2 − 4)GOω (τ, τ ′)
∣
∣
∣
∣
m=2
. (17.230)
Si en la Ec. (17.227) sustituimos los polinomios de Legendre (14.143)
P−m2 (z) =1
Γ(1 + m)
(
1 + z
1 − z
)−m/2 [
1 − 31 + m
(1 − z) + 3(1 + m)(2 + m)
(1 − z)2]
, (17.231)
la función de Green (17.230) se puede escribir como
G′Oω (τ, τ′) = h̄[Y0(τ>)y0(τ)Y0(−τ y τ< son, respectivamente, el mayor y el menor de los dos tiempos τ y τ′, y0(τ) y Y0(τ)
son las funciones de onda
y0(τ) = −2√
6ωP−22
(
− tanh ωτ2
)
= −√
3ω
8
1
cosh2 ωτ2, (17.233)
Y0(τ) =1
2√
6ω
1
2ωm
{
1
2
[
d
dm(m2 − 4)Γ(m− 2)Γ(m + 3)
]
P−m2
(
tanhωτ
2
)
+[
(m2 − 4)Γ(m− 2)Γ(m + 3)] d
dmP−m2
(
tanhωτ
2
)
}∣
∣
∣
∣
m=2
. (17.234)
De la Ec. (17.231) vemos que
d
dmP−m2
(
tanhωτ
2
)
∣
∣
∣
∣
m=2
=
√6
144y0(τ)[6(3 − 2γ + ωτ) − e−ωτ (8 + e−ωτ )], (17.235)
donde γ ≈ 0.5773156649 es la constante de Euler-Mascheroni (2.469). Por lo tanto
Y0(τ) =1
12ω2y0(τ)[e
−ωτ (e−ωτ + 8) − 2(2 + 3ωτ)]. (17.236)
Para τ = τ ′, la función de Green será
G′Oω(τ, τ) =h̄
2ω
1
cosh4 ωτ2
(
cosh4ωτ
2+ cosh2
ωτ
2− 11
8
)
. (17.237)
Nótese que el resultado de la aplicación del operador de Schrödinger (17.212) a las funciones deonda Y0(τ) y y0(τ) dará −y0(τ) y 0, respectivamente. Estas propiedades se pueden usar paraconstruir la función de Green G′Oω(τ, τ
′) por medio de una ligera modificación del método de
17.9 Tunelamiento y Decaimiento 1263
Wronski presentado en el Caṕıtulo 3. En lugar de la ecuación diferencial OωG(τ, τ ′) = h̄δ(τ − τ ′),debemos de resolver la ecuación proyectada
O′ωG′Oω(τ, τ ′) = h̄[δ(τ − τ ′) − y0(τ)y0(τ ′)], (17.238)
donde el lado derecho es la relación de completes sin considerar la solución de valor propio cero:
∑
n6=0
yn(τ)yn(τ′) = δ(τ − τ ′) − y0(τ)y0(τ ′). (17.239)
La solución de la ecuación proyectada (17.238) estará dada por la combinación de las solucionesY0(τ) y y0(τ) expresada en la Ec. (17.232), con las propiedades anteriormente establecidas.
La evaluación de las integrales de Feynman I1, I21, I22, I3 es algo tediosa y por lo tanto serádescrita en el Apéndice 17A. El resultado es
I ′1 =97
560, I ′21 =
53
420, I ′22 =
117
560, I3 =
49
20. (17.240)
Con estas constantes el factor de corrección (17.222) será
C′ =
[
1 − 7124
gh̄
ω3+ O(g2)
]
, (17.241)
con lo cual, la fórmula (17.204) para desdoblamiento de la enerǵıa del estado base será
∆E(0) = 4√
3
√
ω3/3g
2πh̄h̄ωe−ω
3/3gh̄−71gh̄/24ω3+.... (17.242)
Esta expresión se puede comparar con los valores propios conocidos de las enerǵıas de los estados demenor orden del potencial de pozo doble. En la Sección 5.15 calculamos la aproximación variacionalW3(x0) al potencial clásico efectivo del potencial de pozo doble y, para valores pequeños de g, obtu-vimos una enerǵıa que aún no incorpora los efectos del tunelamiento (ver la Fig. 5.24). Agregandoahora a esa enerǵıa los desdoblamientos de la enerǵıa ±∆E(0)/2, halladas en la Ec. (17.242), obten-dremos las curvas mostradas también en la Fig. 5.24. Estas enerǵıas concuerdan razonablementebien con las enerǵıas de Schrödinger.
17.9 Tunelamiento y Decaimiento
La discusión previa del desdoblamiento de los niveles de enerǵıa nos conduce deforma natural a otro fenómeno importante del tunelamiento en la teoŕıa cuántica:el decaimiento de los estados metaestables. Supongamos un potencial que no escompletamente simétrico, para definir la situación agregamos al potencial V (x) dela Ec. (17.1) un término lineal que rompe la simetŕıa x→ −x:
∆V = −ǫx− a2a
. (17.243)
Para valores pequeños de ǫ > 0, este término reduce ligeramente el mı́nimo localizadoen x = −a. Las posiciones de los valores extremos se encuentran de la ecuacióncúbica
V ′(xex) =ω2a
2
[
(
xexa
)3
− xexa
− ǫω2a2
]
= 0. (17.244)
1264 17 Tunelamiento
Figure 17.6 Posiciones de los valores extremos xex en un potencial asimétrico de pozo
doble graficados como función del parámetro de asimetŕıa ǫ. Si se rota en 900, la gráfica
muestra la forma cúbica t́ıpica. Entre ǫ> y ǫ< existen dos mı́nimos y un máximo central.
Las ramas denotadas por “min” son mı́nimos absolutos; mientras que las denotadas por
“rel min” son mı́nimos relativos.
Estos extremos se muestran en la Fig. 17.6. Para valores grandes de ǫ sólo existe unvalor extremo, y además se encuentra que este extremo es siempre un mı́nimo. En laregión donde xex tiene las tres soluciones, digamos x�