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Basistext – Lineare Gleichungssysteme

Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die allgemeine Form

! ∗ # = %

Mit zwei Unbekannten gibt es die allgemeine Form:

! ∗ # + % ∗ ' = (

Gelten mehrere dieser Gleichungen liegt ein lineares Gleichungssystem vor. Allgemein hat es die Form:

!))#) + !)*#* + ⋯ + !),#, = %)

!*)#) + !**#* + ⋯ + !*,#, = %*

…

!.)#) + !.*#* + ⋯ + !.,#, = %.

Äquivalenzumformungen für lineare Gleichungssysteme

Folgende Umformungen sind in einem linearen Gleichungssystem möglich, ohne dass die Lösungsmenge sich ändert:

1) Vertauschen von Gleichungen 2) Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstante ungleich 0

Beispiel: 2x1 + 3x2 = 4 | *2

! 4x1 + 6x2 = 8

3) Addition einer Gleichung zu einer anderen

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Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren löst man eine Gleichung nach einer Variablen auf und ersetzt dann diese Variable in den anderen Gleichungen.

Beispiel:

x1 + 2x2 = 4

∧ 2x1 – x2 = 8

Die erste Gleichung wird nach x1 aufgelöst:

x1 = -2x2 + 4

Dieser Ausdruck ersetzt nun x1 in der zweiten Gleichung:

2(-2x2 + 4) – x2 = 8

! -4x2 + 8 – x2 = 8

! -5x2 = 0

! x2 = 0

Wird nun dieses Ergebnis in die erste Gleichung eingesetzt erhält man:

x1 + 2*0 = 4

! x1 = 4 0 = 124; 067

Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen „verglichen“, die auf einer Seite des Gleichungszeichens identische Terme besitzen. Die jeweils anderen Seiten werden gleich gesetzt.

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Beispiel:

2x1 = 4x2 - 5

∧ 2x1 = 3x2 - 3

Die jeweils linken Seiten der Gleichungen sind identisch. Damit werden die rechten Seiten gleich gesetzt:

4x2 – 5 = 3x2 – 3

! x2 = 2

Das Ergebnis wird in die erste Gleichung eingesetzt:

2x1 = 4*2 – 5

! x1 = 3/2 0 = 89:* ; 2<=

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden zwei Gleichungen addiert. Das geschieht indem man die linke Seite der zweiten Gleichung zur linken Seite der ersten Gleichung addiert. Die jeweiligen rechten Seiten werden ebenfalls addiert. Es ist dabei gewollt, dass mindestens eine Variable aus der Gleichung verschwindet.

Beispiel:

2x1 + x2 = 5

∧ -2x1 + 3x2 = 7

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Die Gleichungen werden addiert:

2x1 + x2 – 2x1 + 3x2 = 5 + 7

! 4x2 = 12

! x2 = 3

Das Ergebnis wird in die erste Gleichung eingesetzt:

2x1 + 3 = 5

! 2x1 = 2

! x1 = 1 0 = 121,367

Beim Additionsverfahren ist es wichtig, dass die Gleichungen vorher geeignet umgeformt werden, also mit den richtigen Faktoren multipliziert werden, damit die Variable verschwindet.

Beispiel:

2x1 + 3x2 = 7

∧ 4x1 + 5x2 = 9

Hier sollte die erste Gleichung mit -2 multipliziert werden:

-4x1 – 6x2 = -14

Wird diese Gleichung nun zur zweiten addiert entfällt x1.

Das Additionsverfahren ist eine Vorstufe des sogenannten „Gauß-Verfahren“, welches bei großen Systemen Verwendung findet. Dieses Verfahren soll hier nicht behandelt werden.

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Lösungsmengen

Es gibt für lineare Gleichungssysteme drei grundsätzliche Lösungsmengen:

1) Keine Lösung Kommt es bei der äquivalenten Umformung zu Widersprüchen, so hat das System keine Lösung. Zum Beispiel könnte man das Ergebnis 3 = 4 erhalten. Ebenso könnte man folgendes erhalten:

2x1 = 5

∧ 5x1 = 5

In beiden Fällen ist das System nicht lösbar. Unlösbare Systeme treten oft auf, wenn man mehr Gleichungen als Variablen hat.

2) Genau eine Lösung Lassen sich die Variablen eines Systems mit Hilfe der oben beschriebenen Verfahren ohne Widerspruch bestimmen, so besitzt das System genau eine Lösung. Hierzu müssen mindestens so viele Gleichungen wie Variablen vorhanden sein.

3) Unendlich viele Lösungen Erhält man nach dem Umformen einen Ausdruck, so dass die Variablen voneinander abhängig sind, so hat das System beliebig viele Lösungen. Beispiel: x1 = 2x2 Hier wird eine Lösungsvariable durch eine andere Variable (beispielsweise „a“) ersetzt und die andere Lösungsvariable wird in Abhängigkeit geschrieben. Die Lösungsmenge hier wäre also 012!; 2!667

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Basistext – Gleichungen / Ungleichungen

Gleichungen

Das Gleichheitszeichen verbindet zwei Terme. Es bedeutet, dass der Wert des ersten Terms dem des zweiten Terms entspricht. Man kann eine Gleichung als eine Art Balkenwaage ansehen, wobei das Gleichheitszeichen der Aufhängung entspricht. Wenn man nun auf der einen Seite eine Operation durchführt, muss man die gleiche Operation auf der anderen Seite auch durchführen, um die Waage wieder in das Gleichgewicht zu bringen. Es handelt sich dabei um eine sogenannte Äquivalenzumformung (Symbol: !). Durch geschicktes äquivalentes Umformen, kann man den Wert einer unbekannten Variablen ermitteln.

Beispiel:

3x + 5 = 7 – 2x

! 5x + 5 = 7 | + 2x ! 5x = 2 | - 5 ! x = 2/5 | : 5

Die Lösungsmenge enthält alle Werte, die in der Gleichung eingesetzt eine wahre Aussage ergeben. In diesem Beispiel ist die Lösungsmenge L:

! = #25&

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Quadratische Gleichungen

Jede quadratische Gleichung kann in der Form '() + +( + , = 0 geschrieben werden. Für ' ≠ 0 gilt also:

() + +' ( + ,

' = 0

Man ersetzt die allgemeinen Brüche durch neue Variablen und erhält:

() + /( + 0 = 0

Das ist die Ausgangsgleichung für die sogenannte pq-Formel.

Es gibt zwei Lösungen für diese Gleichung:

(1,) = −/2 ± 56−/

27)− 0

Manchmal kann man die Lösungen einer quadratischen Gleichung auch durch geeignetes Faktorisieren ermitteln. Gesucht werden zwei Zahlen x1 und x2 für die gilt:

() + /( + 0 = (( − (1)(( − ())

Es muss also gelten:

x1 * x2 = q und

x1 + x2 = -p

Beispiel:

() − 5( + 6 = (( − 3)(( − 2)

Denn (-2) * (-3) = 6 und (-3) + (-2) = -5

Damit erhält man: L = { 2 ; 3 }

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Eine weitere Möglichkeit eine quadratische Gleichung zu lösen ist die sogenannte quadratische Ergänzung. Diese soll an einem Beispiel erläutert werden:

2() − 8( − 24 = 0

Zunächst muss wieder der Faktor vor x2 verschwinden. Man teilt also durch 2.

() − 4( − 12 = 0

Nun wird „() − 4(“ so ergänzt, dass die zweite Binomische Formel anwendbar wird.

() − 4( + ?42 )− ?42

)− 12 = 0

⇒ (() − 4( + 4) − 16 = 0

⇒ (( − 2)) − 16 = 0

⇒ (( − 2)) = 16

⇒ ( − 2 = √16 ∨ ( − 2 = −√16 ⇒ ( = 6 ∨ ( = −2

Ungleichungen

Ungleichungen werden im Prinzip genauso behandelt wie Gleichungen. Allerdings dreht sich das Rechenzeichen um, wenn bei äquivalenten Umformungen die gesamte Ungleichung mit einem negativen Wert multipliziert bzw. dividiert wird.

Beispiel:

-x < 2

! x > -2

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Besondere Vorsicht muss walten, wenn man mit einer unbestimmten Variablen multipliziert bzw. dividiert. Hier muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden.

Beispiel:

a*x < 5

1. Fall: a > 0

! ( < &'

2. Fall: a < 0

! ( > &'

3. Fall: a = 0

0 < 5 allgemein gültig

Grundsätzlich erhält man als Lösungsmenge oft keine diskrete Werte sondern Wertebereiche.

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Bestimme x durch „Rückwärtsrechnen“

a) !4# + 2& ∶ 10 = 1

b) !5# − 8& ∶ 4 − 5 = 3

c) !!5 + 4#& + 3& ∶ 4 + 6 = 11

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Bestimme x durch „Rückwärtsrechnen“

a) !4# + 2& ∶ 10 = 1

x4 +2 : 10

2 8 10 1

: 4 -2 x 10

b) !5# − 8& ∶ 4 − 5 = 3

x5 - 8 : 4 - 5

8 40 32 8 3

: 5 +8 x4 +5

c) !!5 + 4#& + 3& ∶ 4 + 6 = 11

x4 +5 +3 : 4 +6

3 12 17 20 5 11

: 4 -5 -3 x4 -6

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Bestimme x durch „Rückwärtsrechnen“

a) !4# + 2& ∶ 10 = 1

x4 +2 : 10

2 8 10 1

: 4 -2 x 10

b) !5# − 8& ∶ 4 − 5 = 3

x5 - 8 : 4 - 5

8 40 32 8 3

: 5 +8 x4 +5

c) !!5 + 4#& + 3& ∶ 4 + 6 = 11

x4 +5 +3 : 4 +6

3 12 17 20 5 11

: 4 -5 -3 x4 -6

Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren

2x + 3y = 25

∧ 5x – 3y = 3

3x - 3y + 3z = 6

∧ x + 5y + z = 2

Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren

2x + 3y = 25

∧ 5x – 3y = 3

Die Gleichungen werden addiert:

! 7x = 28 ! x = 4 In die erste Gleichung einsetzen: ! 2*4 + 3y = 25 ! 3y = 17 ! y = 17/3 L = {(4;17/3)}

3x - 3y + 3z = 6

∧ x + 5y + z = 2

Die zweite Gleichung wird mit -3 multipliziert und zur ersten Gleichung addiert:

! -18y = 0 ! y = 0

In die erste Gleichung einsetzen:

! 3x + 3z = 6 ! x = 2 – z

L = {(2-a ; 0 ; a)}

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Löse folgende Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren

x + 2y = 14

∧ 2x - 3y = 7

x + 2y = 44

∧ -3x - 6y = -132

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2x + 8y + 4z = 4

∧ 4x + 18y + 2z = 12

∧ 3x + 10y + 5z = 8

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Löse folgende Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren

x + 2y = 14

∧ 2x - 3y = 7

! x = 14 – 2y (Einsetzen in die 2.te Gleichung)

∧ 2(14 – 2y) - 3y = 7 => -7y = -21 => y = 3

Einsetzen in die 1.te Gleichung:

" x = 14 – 2*3 = 8

L = {(8;3)}

x + 2y = 44

∧ -3x - 6y = -132

!

x = 44 – 2y

∧ -3(44 – 2y) - 6y = -132 => -132 = -132 => 0 = 0

Man setzt y = a

L = {(44-2a ; a)}

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2x + 8y + 4z = 4

∧ 4x + 18y + 2z = 12

∧ 3x + 10y + 5z = 8

x = 2 – 4y – 2z

∧ 4(2 - 4y – 2z) + 18y + 2z = 12 => 2y - 6z = 4 => y = 3z + 2

∧ 3(2 - 4y – 2z) + 10y + 5z = 8 => -2y -z = 2

x = 2 – 4(3z + 2) – 2z => x = -14z – 6

∧ y = 3z + 2

∧ -2(3z + 2) – z = 2 => -7z = 6 z = -6/7

" y = 3(-6/7) + 2 = -4/7 " x = -14(-6/7) – 6 = 12 – 6 = 6

L = {(6 ; -4/7 ; -6/7)}

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Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren

2x – y = 12

∧ 2x + 3y = 28

x + y = 12

∧ x – y = 8

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Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren

2x – y = 12

∧ 2x + 3y = 28

!

2x = y + 12

∧ 2x = -3y + 28

" Y + 12 = -3y + 28 " 4y = 16 " Y = 4 In die erste Gleichung einsetzen: " 2x – 4 = 12 " X = 8 L = {(8;4)}

x + y = 12

∧ x – y = 8

!

x = 12 – y

∧ x = 8 + y

" 12 – y = 8 + y " 2y = 4 " Y = 2 " x = 12 – 2 = 10

L = {(10;2)}

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Berechne den Wert der Variable x

1) 3" − 5 = 4 |+5 ⇒ 3" = 9 |:3 ⇒ " = 3

2) 4" + 4 = 2" + 8 |-2x ⇒ 2" + 4 = 8 |-4 ⇒ 2" = 4 |:2 ⇒ " = 2

3) 8" + 6 = 6" + 6 |-6x ⇒ 2" + 6 = 6 |-6 ⇒ 2" = 0 |:2 ⇒ " = 0

4) 6" − 2 = 3" + 5 |-3x ⇒ 3" − 2 = 5 |+2 ⇒ 3" = 7 |:3

⇒ " = 73

5) /0 +12 " =

30 " + 7 |−3

0 "

⇒ /0 −

4/5 " = 7 |−/

0

⇒ − 4/5 " =

/30 |: (− 4

/5)

⇒ " = −657

6) 3" − 7 = /0 " + 9 |−/

0 "

⇒ 20 " − 7 = 9 |+7

⇒ 20 " = 9 + 7 |: 20

⇒ " = 2(9 + 7)5

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Berechne den Wert der Variable x

1) 3" − 5 = 4

2) 4" + 4 = 2" + 8

3) 8" + 6 = 6" + 6

4) 6" − 2 = 3" + 5

5) +, +-. " =

/, " + 7

6) 3" − 7 = +, " + 1

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Löse die linearen Gleichungssysteme mit geeigneten Verfahren

x + 3y - 2z = 1 (1)

∧ 2x - y + 2z = 3 (2)

∧ 3x + 2y - 5z = 0 (3)

Mehrere Verfahren sind möglich. Geeignet scheint hier das Additionsverfahren. Die erste Gleichung wird mit -2 und -3 multipliziert und jeweils zur 2.ten bzw. 3.ten addiert

x + 3y - 2z = 1

∧ -7y + 6z = 1 (4)

∧ -7y + z = -3

Nun bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an:

1 – 6z = -3 – z

! -5z = -4 ! z = 4/5

Das Ergebnis wird in (4) eingesetzt:

! -7y + 6*4/5 = 1 ! -7y = -19/5 ! y = 19/35

Beide Ergebnisse werden in (1) eingesetzt:

x + 3*19/35 – 2*4/5 = 1

! x = (35-57+56)/35 = 34/35

L = {(34/35 ; 19/35 ; 4/5)}

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x + 3y - 4z = 5 (1)

∧ -2y + 2z = 3 (2)

∧ 2x + 6y – 8z = 9 (3)

Es bietet sich an, mit dem Additionsverfahren das x in (3) zu eliminieren. Man multipliziert (1) mit -2 und addiert sie zu (3):

x + 3y - 4z = 5 (1)

∧ -2y + 2z = 3 (2)

∧ 0 = -1 (3)

Widerspruch ! => L = { }

x + y – z = 1 (1)

∧ 2x -2y + 2z = 3 (2)

Das System kann bei 3 Unbekannten und 2 Gleichungen keine eindeutige Lösung haben. Man multipliziert (1) mit 2 und addiert sie zu (2):

! 4x = 5 ! x = 5/4

Das wird in (1) eingesetzt:

5/4 + y – z = 1

! y = z - 1/4

L = {(5/4 ; a – ¼ ; a)}

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Löse die linearen Gleichungssysteme mit geeigneten Verfahren

x + 3y - 2z = 1 (1)

∧ 2x - y + 2z = 3 (2)

∧ 3x + 2y - 5z = 0 (3)

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x + 3y - 4z = 5 (1)

∧ -2y + 2z = 3 (2)

∧ 2x + 6y – 8z = 9 (3)

x + y – z = 1 (1)

∧ 2x -2y + 2z = 3 (2)