Post on 06-Apr-2015
Scaffold 29S:Komplexe Zahlen
Niall Palfreyman
Biotechnology & Bioinformatics
Weihenstephan-Triesdorf University of Applied Science
Phase 1: Präsentation
Quanten
» Ein Photon ist weder Teilchen noch Welle, sondern ein Quantum.
» Der Zustand eines Quantumsist ein Pfeil ψ, der sich überZeit dreht (rechts).
» Der Winkel des Zustands ist die Phase, und beschreibt die Welleneigenschaften des Quantums.
» Der quadrierte Betrag beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass wir bestimmte Teilchen-Eigenschaften messen werden.
2
x
Was ist Phase?
» Im Diagramm ist nurdie eine Dimension x,doch ψ beschreibt die Position des Quantums in drei Dimensionen x, y, z.
» Wie kann eine Phase senkrecht zu allen drei Achsenrichtungen zeigen?!
» Kann es nicht. Also die Phase rotiert nicht im physikalischen Raum sondern in einem komplexen Raum!
x
1545: Cardanos Problem
»Finde zwei Zahlen a und b, deren Summe 10 und Produkt 40 ist:
»Eine Lösungwäre .
»Doch existierenwirklich solcheZahlen?
155
04010
4010
10also
40und
10
2
a
aa
aa
ab
ba
ba155 a
Komplexe Zahlen
» Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) nannte Zahlen wie komplex.
» Eine komplexe Zahl hat die allgemeine Form , wobeiund .
» i ist definitiv keine reelle Zahl ( ), muss also eine komplett neuartige Zahl sein, deren Quadrat gleich –1 ist.
155
ziyxz Ry,x
12 i
Ri
Tipp
»Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist.
»Akzeptiere einfach, dass i eine neue Zahl ist, deren Quadrat gleich –1 ist.
Komplexe Berechnungen
»Sei ; was ist der Wert von ?
»Lösung:
»Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit Komplexen Zahl ist genau so wie bei reellen Zahlen!
»Nur überall dort, wo Du den Ausdruck bekommst, ersetze ihn durch –1.
iz 3 2z
91933 2222 iiz
2i
Beispiele Berechnen
»Berechne diesekomplexen Zahlen:
»Lösung:
ii 7243 ii 7243 ii 7243
iiiii 11574237243 iiiii 3174237243
i
i
iiiii
2922
28296
744273237243 2
Reeller und imaginärer Teil
»Sei eine komplexe Zahl.
» ist der reelle Teil von z.
» ist der imaginäre Teil von z.
»Merke: der imaginäre Teil y ist selber eine reelle Zahl!
iyxz
xzRe
yzIm
Gleichheit
»Zwei komplexe Zahlen z1, z2 sind sich gleich (z1= z2) iff Re(z1)=Re(z2) und Im(z1)=Im(z2).
»Falls Im(z1)=0, ist z rein reell.
»Falls Re(z1)=0, ist z rein imaginär.
Komplex Konjugierte
»Oft wollen wir das Vorzeichen des imaginären Teils tauschen; diese Operation heißt komplexe Konjugation.
»Wenn eine komplexe Zahl ist, ist die Zahl die komplex Konjugierte von z.
iyxz iyxz
Beispiel komplex Konjugierte
»Was ist die komplex Konjugierte?
»Merke:
sinicoszsinicosz
iziz
iziz
iziz
235235
3434
3434
ziyxiyxiyxz
Betrag einer komplexen Zahl
»Der Betrag einer komplexen Zahl ist .
»Also:
»Wir können diese Idee benützen um komplexe Zahlen zu teilen, z.B:
iyxz 222yxz
222
222
zyx
yiixyixyxiyxiyxzz
i
i
ii
ii
i
i155
43
375125
4343
432575
43
257522
Komplexe Ebene
»Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene:
»Addition ist ähnlichzur Vektoraddition:
»Konjugation ist eineReflektion durch die reelle Achse
x
y
21 zz
1z
2z
1x 2x 21 xx
1y
2y
21 yy
Betrag und Argument
» Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen.
» ist der Betragvon z, und
» ist dasArgument von z.
» Eine komplexe Zahl besteht also aus einem Abstand r und einer Drehung θ.
zr
x
y
O
y
x
r
zarg
cis Notation
»Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren:
»x = r cos(θ)
»y = r sin(θ)
»Also:
x
y
O
y
x
r
DrehungAbstand
sinicosr
sinircosrz
Eulers große Einsicht
»Multiplikation mit dem Ausdruck entspricht also einer Drehung um den Winkel θ.
»Eulers große Einsicht war, dass
» dreht Zahlen um den Winkel θ!
sinicosei
sinicos
ie
Exponentialdarstellung komplexer Zahlen
»Zusammenfassend ist jede komplexe Zahl das Produkt eines reellen Betrags r mit einer komplexen Drehung um den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse aus: ierz
Multiplikation
»Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ?
»
»Beträge werdenmultipliziert; Argumentewerden addiert!
i.ez 401 2
i.ez 502 3
i.i.i. eeezz 90504021 632
Re
Im
z1z2
z1 z2
Division
»Was ist der Quotient der Zahlen und ?
»
»Beträge werdendividiert; Argumentewerden subtrahiert!
i.ez 801 6 i.ez 30
2 2
i.i.
i.
ee
e
z
z 5030
80
2
1 32
6
Re
Im z1
z2
z1/ z2
Die Wurzeln aus 1
»Was ist die 3. Wurzel aus 1?
»Jede Zahl z, für die gilt:Davon gibt‘s drei Stück:
13 z
11 0 ie
321 ie
341 ie
Inverse
»Was ist 1/z ?
»Sei , dann gilt:
»Betrag ist 1/r;Drehung ist –θ.
42 iez
47214
211 ii
zee
irez
ir
iz
ere 111
Exponentialfunktion
»Berechne :
»
»Betrag ist ; Argument ist y.
iyxe
iyxiyx eee
xe
Komplexe Berechnungen
»Berechne :
» sinicos
1
sinicos
sinicos
eesinicos
ii
11
Komplexe Berechnungen
»Berechne in Exponentialform:
»
z
i
i
er
sinicosr
sinicosr
sinicosr
erz
35 iez
353 55 ii eez
Eulers Gedicht
»Berechne :
»2π ist eine Umdrehung, also
»Berechne :
»π ist halbe Umdrehung, also
»Also:
ie 2
12 ie
ie
1ie
01ie
Phase 2: Abruf
Komplexe Zahlen
» Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) nannte Zahlen wie komplex.
» Eine komplexe Zahl hat die allgemeine Form , wobeiund .
» i ist definitiv keine reelle Zahl ( ), muss also eine komplett neuartige Zahl sein, deren Quadrat gleich –1 ist.
155
z_____z Ry,x
__i 2
Ri
Tipp
»Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist.
»Akzeptiere einfach, dass i eine neue Zahl ist, deren Quadrat gleich ___ ist.
Komplexe Berechnungen
»Sei ; was ist der Wert von ?
»Lösung:
»Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit Komplexen Zahl ist genau so wie bei reellen Zahlen!
»Nur überall dort, wo Du den Ausdruck bekommst, ersetze ihn durch ___.
iz 3 2z
9933 2222 ___iiz
2i
Beispiele Berechnen
»Berechne diesekomplexen Zahlen:
»Lösung:
ii 7243 ii 7243 ii 7243
_______iiii 74237243
i__i__ii 31437243
i
___i__
iiiii
2922
29
744273237243 2
Reeller und imaginärer Teil
»Sei eine komplexe Zahl.
» ist der ____ Teil von z.
» ist der imaginäre Teil von z.
»Merke: der imaginäre Teil y ist selber eine reelle Zahl!
iyxz
xzRe
__zIm
Gleichheit
»Zwei komplexe Zahlen z1, z2 sind sich gleich (z1= z2) iff Re(z1)=Re(z2) und Im(z1)=Im(z2).
»Falls Im(z1)=0, ist z rein _____.
»Falls Re(z1)=0, ist z rein ______.
Komplex Konjugierte
»Oft wollen wir das Vorzeichen des imaginären Teils tauschen; diese Operation heißt komplexe _________.
»Wenn eine komplexe Zahl ist, ist die Zahl die komplex Konjugierte von z.
_____z iyxz
Beispiel komplex Konjugierte
»Was ist die komplex Konjugierte?
»Merke:
_________zsinicosz
_____ziz
_____ziz
iziz
235
34
3434
___iyxiyxiyxz
Betrag einer komplexen Zahl
»Der Betrag einer komplexen Zahl ist .
»Also:
»Wir können diese Idee benützen um komplexe Zahlen zu teilen, z.B:
iyxz _____z 2
222
222
zyx
yiixyixyxiyxiyxzz
i
______
i
ii
ii
i
i155
375125
4343
432575
43
2575
Komplexe Ebene
»Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene:
»Addition ist ähnlichder Vektoraddition:
»Konjugation ist eineReflektion durch die _____ Achse
x
y
21 zz
1z
2z
1x 2x 21 xx
1y
2y
21 yy
Betrag und Argument
» Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen.
» ist der _______von z, und
» ist das_________ von z.
» Eine komplexe Zahl besteht also aus einem Abstand r und einer Drehung θ.
zr
x
y
O
y
x
r
zarg
cis Notation
»Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren:
»x = r cos(θ)
»y = r sin(θ)
»Also:
x
y
O
y
x
r
DrehungAbstand
__________r
sinircosrz
Eulers große Einsicht
»Multiplikation mit dem Ausdruck entspricht also einer Drehung um den Winkel ___.
»Eulers große Einsicht war, dass
»__ dreht Zahlen um den Winkel θ!
sinicos___
sinicos
Exponentialdarstellung komplexer Zahlen
»Zusammenfassend ist jede komplexe Zahl das Produkt eines reellen Betrags r mit einer komplexen Drehung um den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse aus:
_____z
Multiplikation
»Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ?
»
»Beträge werdenmultipliziert; Argumentewerden addiert!
i.ez 401 2
i.ez 502 3
_____eezz i.i. 504021 32
Re
Im
z1z2
z1 z2
Division
»Was ist der Quotient der Zahlen und ?
»
»Beträge werdendividiert; Argumentewerden subtrahiert!
i.ez 801 6 i.ez 30
2 2
____e
e
z
zi.
i.
30
80
2
1
2
6
Re
Im z1
z2
z1/ z2
Die Wurzeln aus 1
»Was ist die 3. Wurzel aus 1?
»Jede Zahl z, für die gilt:Davon gibt‘s drei Stück:
13 z
_ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _
Inverse
»Was ist 1/z ?
»Sei , dann gilt:
»Betrag ist 1/r;Drehung ist –θ.
42 iez
_____iz
ee 214
211
irez
_____rez
i 11
Exponentialfunktion
»Berechne :
»
»Betrag ist ____; Argument ist ____.
iyxe
iyxiyx eee
Komplexe Berechnungen
»Berechne :
» sinicos
1
____________
sinicos
eesinicos
ii
11
Komplexe Berechnungen
»Berechne in Exponentialform:
»
z
_______
sinicosr
sinicosr
sinicosr
erz i
35 iez
_____i eez 55 3
Eulers Gedicht
»Berechne :
»2π ist eine Umdrehung, also
»Berechne :
»π ist halbe Umdrehung, also
»Also: ____________
ie 2
__e i 2
ie
__e i
Phase 3: Übung
Berechnen
»Berechne diese komplexen Zahlen:
ii 2345
ii 2345
ii 2345
Reeller und Imaginärer Teil
»Berechne folgende Ausdrücke:
221 iRe
221 iIm
Division
»Vereinfache den folgenden Bruch:
i
i
5
64
Quadratische Gleichungen
»Find alle Lösungen dieser quadratischen Gleichung:
0222 zz
Berechnung des Betrags
»Sei z = x + iy. Schreibe folgenden Ausdruck in der Form a + ib :
zz
11
Berechnung des Betrags
»Sei z = x + iy. Beweise, dass:
2zzz
Multiplizieren
»Sei und . Berechne und schreibe die Zahlen z1, z2 und z1z2 in der Polarform . Was fällt Dir an den Argumenten und Beträgen auf?
iz 31 iz 3332 21 zz
iezz
Rotationen
»Sei . Beweise, dass die Multiplikation mit dem Faktoreiner Drehung um einen Winkel θ gleicht.
ie
ierz
Komplex Konjugierte
»Sei . Zeige, dass:
und
iyxz zRexzz 22
zImiiyzz 22
Komplex Konjugierte
»Seien z1, z2 zwei komplexe Zahlen in x+iy Form. Beweise folgende Ergebnisse:
2121 zzzz 2121 zzzz
2
1
2
1
z
z
z
z
Komplexe Zahlen und Trigonometrie
»Berechne den Ausdruckals trigonometrische Formel.
Ȇberrascht? Wir werden bald mehr zu dieser Formel zu sagen haben.
ii ee 21
Gratuliere – super gemacht!