Steigung und lineare Funktionen

1. Der Begriff der Steigung

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In England werden Steigungen und Gefälle von Strassen als Verhältnisse angegeben.

Steigung einer Rampe, einer Strasse, einer Bahn...

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Bestimmen Sie die Steigung derRampe und der beiden Seilbahnen.

Steigung; Steigungsdreiecke

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500m1000m 1000m500m

m = 2/10 = 1/5

m = 500 / 1000 = 1 / 2 m = -500 / 1000 = -1 / 2

m = 550 / 2200 = 1/4

-

Positive und negative Steigung

500m1000m1000m-500mn.r.n.r.n.o.n.u.

m==HöhenunterschiedHorizontalunterschied=∆y∆xn.r.n.o. / n.u.

Nehmen Sie ein allfälligesMinuszeichen in den Zähler

Bergfahrt

Talfahrt

n.r. = „nach rechts“, n.o. = „nach oben“, n.u. = „nach unten“

Definition der Steigung

=∆y∆xn.r.n.o. / n.u.m

Nehmen Sie ein allfälliges Minuszeichenin den Zähler!

yx∆y∆x

Steigungsdreiecke in Anwendungen

Schiefe Ebene mit Steigung (4/10) = 0.4 = 40%:

•gebogen als Serpentinenstrasse•aufgewickelt als Schraubenlinie•sich selbst durchdringend als Kehrtunnel

yx∆y∆x

Die Steigung von Geradenstücken bestimmen

yx16-616-1-6-1ABCDEF

Die Steigung von Geradenstücken bestimmen

yx16-616-1-6-1ABCDEF

Lösungen:

3/2 = 1.5

7/5 = 1.4

-1/7

-1/5 = -0.2

-3/1 = -3

2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A bis F

yx16-616-1-6-1ABCDEF

2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem

Lösungen:

A(2 | -1)B(4 | 2)C(1 | 5)D(-4 | 6)E(-3 | 3)F(-4 | -2)

yx16-616-1-6-1ABCDEF1. Quadrant2. Quadrant4. Quadrant3 Quadrant

3. Gesetzmässigkeiten zwischen x- und y-Koordinate

a) Welche Gesetzmässigkeit besteht zwischen der x- und der y-Koordinate bei folgenden Punkten?

(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1)

b) Tragen Sie diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.

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(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1)Gesetz: y = 2x + 1

Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden g.Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung nicht erfüllen, liegen nicht auf g.

Das Funktions-gesetz

y = 2x + 1

ist gewisser-massen der „Member-Code“für die Mitglied-schaft einesPunktes P(x | y)bei der rosa gezeichnetenGeraden g.

(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (5 | 11), (-1 | -1)Gesetz: y = 2x + 1. Steigung 2, y-Achsenabschnitt 1.

yx16-66-1-6-1m = 2/1 = 2(0|1)

4. Funktionen: Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graph einer Funktion

Eine Funktion f: y = f(x) ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. y = f(x) ist die Funktionsgleichung, d.h. das „Gesetz“, das zwischen x-und y-Koordinate gelten soll.

Beispiel: Funktionsgleichung:Zur Anzeige wird der QuickTime™

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a) Erstellen Sie eine Wertetabelle:

x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ------------------------------------------------------------y |

b) Zeichnen Sie obige Punkte in ein Koordinatensystem ein.Verbinden Sie die gezeichneten Punkte zum Graphen der Funktion f.

Wie sieht dieser Graph aus?

x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ---------------------------------------------------------------y | 0 2.6 3.5 3.9 4 3.9 3.5 2.6 0

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Der Graph stellt einen Halbkreis dar.

Bemerkung:Als x-Werte kommen hier nur Werte zwischen -4 und +4 in Frage. Man sagt, die Funktion habe den Definitions-bereich [-4; 4].Die y-Werte bewegensich nur zwischen 0 und 4.Man sagt, die Funktion habeden Wertebereich [0; 4].

5. Lineare Funktionen: y = m x + q oder y = a x + b

Zeichnen Sie die Graphen folgender linearer Funktionen:

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benötigt.Zur Anzeige wird der QuickTime™

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Hinweis zu den letzten beiden Aufgaben:

Lösungen

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Erkenntnisse:

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y = m x + q

m = Steigungszahlq = y-Achsenabschnitt = y-Koordinate des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse.

Wie zeichnen wir lineare Funktionen aus der gegebenenFunktionsgleichung, ohne eine Wertetabelle erstellen zumüssen?

Beispiel:Zur Anzeige wird der QuickTime™

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1. Schritt: Steigungszahl als Bruch notieren:

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2. Schritt: Start beim Schnittpunkt mit der y-Achse, d.h. bei Q(0 | 5):

3. Schritt: Steigungsdreieckzeichnen: 5 nach rechts,2 nach unten.Gerade g fertig zeichnen.

6. Zusammenfassung

Lineare Funktion: y = m x + q oder y = a x + b

Dies stellt eine Gesetzes-Beziehung zwischen der x-Koordinate und dery-Koordinate der einzelnen Punkte dar. y heisst deshalb „gebundene Variable“. y ist durch das Funktionsgesetz von x abhängig.

Der Graph einer linearen Funktion y = m x + q ist eine Gerade mit Steigungs- zahl m und y-Achsenabschnitt q, d.h. mit y-Achsen-Schnittpunkt Q(0 | q).

Genau die Punkte P(x | y), deren Koordinaten das Funktionsgesetz erfüllen („Member-Code“), liegen auf dem Graphen der Funktion.

m=∆y∆xSteigung

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