Post on 06-Feb-2018
Technische Mechanik I L 1
Lösungen TM I − Statik und Festigkeitslehre
1 Modellbildung in der Mechanik
Aufgabe 1
1 Nm2
� 1Pa (Pascal).
Aufgabe 2
0.4536�kg � 0.03108�slug
Aufgabe 3
[a] � m, [b]� dimensionslos, [c] � 1m, [d] � 1
m2
Aufgabe 4
Dichte: 1�kg�m3 � 1.940 � 10�3�slug�ft3
Geschwindigkeit: 1�m�s � 3.281�ft�s
Energie: 1�Nm � 0.7376�ft�lb
Aufgabe 5
3000� 1min
� 50� 1s � 18000�grds � 314� rads , P � 31400�Nm
s
Aufgabe 6
v � 29.06�ms
Technische Mechanik I L 2
2 Vektoren in der Mechanik
Aufgabe 1
rOA ����120��m , rOB ��
��330��m , F1 ��
�
�
5�2� 5�2 3�
0
�
�N , F2 ��
��4 3�40
��N ,
F1 � F2 ����
9.428� 0.330
0��N , �F1 � F2
� 9.434�N , rOA � F1 � � 6.16�Nm ,
rOB � F2 � 32.78�Nm , rOA � F1 ����
00
� 9.33��Nm , rOB � F2 ��
��
00
� 8.78��Nm
Aufgabe 2
R � 51.3�N, � � 80.8°
Aufgabe 3
rAB ����
21
� 2��m, F � 500
3����
21
� 2��N
Aufgabe 4
R � 100���
�
1� 3�
3�
1� 2 3���
�N, R � 551.3�N
Aufgabe 5
M ����
� 2.751.00.625
��Nm, d � 0.131�m
Aufgabe 6
M ����
0� 6aF
0�
Aufgabe 7
F
F
F
F
F
F
F
F
b) c)a) R
R
R
Technische Mechanik I L 3
Aufgabe 8
R � 1
14� ���
1� 2� 3
��S1 �
1
14� ���� 1� 2� 3
��S2 ��
��
00
� 1��G ��
��
0� 10��FW M ��
��� 200��aG
Aufgabe 9
a) S � 114���� 1246��S b) G ��
��
00
� 1��G
c) R � 17���� 623��S ��
��
00
� 1��G M ��
��0120��Ga � 12
7���
1� 34��Sa
Aufgabe 10
a) S � 14��
�
3�1
2 3��
�S b) G ��
��
00
� 1��G
c) R � 14��
�
3�1
2 3��
�S ��
��001��G M ��
��� 210��Ga � 1
4��
�
0
6� 4 3�
2� 3��
�Sa
Technische Mechanik I L 4
3 Gleichgewicht freier Körper
Aufgabe 1
R ����
00
� F��, MP ��
��
aFbF0�
Aufgabe 2
a)�im Gleichgewicht
b)�nicht im Gleichgewicht
c)�im Gleichgewicht, äquivalent zu a)
Aufgabe 3
R � F����
11
� 2��, MO � 2aF��
��
1� 10�, äquivalent zu zentralem Kräftesystem mit rOP � � 2a
3����111��
Aufgabe 4
F ���
�
FF� sin�
0FF� cos�
��
, MO ���
�
�
aFF� cos�
FF�(c� sin�� b� cos�)
� aFF� sin����
,
Mn � FF� cos��(c� sin�� b� cos�)� aFF� sin�� sin�
Aufgabe 5
S1 � S2 � 265.2�N, S3 � 515.4�N
Aufgabe 6
S1 � ( 3� � 1)G S2 �12�3 2� � 6� �G
Aufgabe 7
R ����
�
F20
� F � G
���
MO ��
��100���bG ���
�
�
� 11
� 12
���
�2aF F � b
2aG
Aufgabe 8
F1 � 4F2
Technische Mechanik I L 5
4 Gleichgewicht gebundener Körper
Aufgabe 1
Bindung eben räumlich
Reaktionen Wertig-keit Reaktionen Wertig-
keit
Seil, Kette
1 1
starre Koppel
1 4
Gelenklager
2 5
Kugelstütze
1 1
Rollenstütze
1 2
Technische Mechanik I L 6
Aufgabe 4
GT � 180�N, G1 � 120�N, x1 � 0.4�m, y1 � 0.2�m, G2 � G1�2, x2 � � 0.2�m, y2 � 0
Aufgabe 5
s �mg sin�
4c
Aufgabe 6
Abschnitt links F1 � p0�l xC1 �l2
Abschnitt Mitte F2 � 9�p0�l xC2 �8l3
Abschnitt rechts F3 � p0�l xC3 �11l2
Aufgabe 7
a)� A � � 35
F, B � 35
F b) A � F, B � 2F
c)� A � F, B � 0 d) A � 65
F, B � 145
F
Technische Mechanik I L 7
5 Gleichgewicht gebundener Systeme
Aufgabe 1
i)� fu � 6,�nc � 6,� r � 0,�n � 6,� f � 0, kinematisch und statisch bestimmt.
ii)� fu � 9,�nc � 8,� r � 0,�n � 8,� f � 1, kin. unbestimmt, statisch bestimmt.
iii)� fu � 6,�nc � 5,� r � 0,�n � 5,� f � 1, kin. unbestimmt, statisch bestimmt.
iv)� fu � 9,�nc � 10,� r � 1,�n � 9,� f � 0, kin. bestimmt, statisch unbestimmt.
v)� fu � 9,�nc � 9,� r � 0,�n � 9,� f � 0, kinematisch und statisch bestimmt.
Aufgabe 3
� � 10.9°
Aufgabe 4
b) MA � �mA
2� mG
��gR c) mG �mA
2
Aufgabe 5
FH � G3
, � � GFH
� 3 , Neigungswinkel � hat keinen Einfluss
Aufgabe 6
FC � 12�000�N , � � 30
Aufgabe 7
NA � ND � 25
5� mg, NC � 35
5� mg, NB � 3mg
Aufgabe 8
G � 2�4
mg
Aufgabe 9
G �mg
2 sin ��cos �� 1
cos ��
Technische Mechanik I L 8
6 Schwerpunkt und andere Mittelpunkte
Aufgabe 1
tangentiale Lage: rMOC � r
GOC
� 0
radiale Lage: rMOC � 0, rG
OC� �0��� a2(3R2 � a2)
R(R2 � 3a2)�� 0�T
� rMOC
Aufgabe 2
Linienmittelpunkt: rOC � 2R�����110�� ; Flächenmittelpunkt: rOC � 4R
3�����110��
Aufgabe 3
rOC � 3R8 ����111��
Aufgabe 4
a)�rOC � a6���531� b)�rOC � a
2���111�
c)�rOC � a4� ��
�
�
31�25�2�
d)�rOC � a
8��
�
45
3 3��
Aufgabe 5
x0 � 0, y0 �85
a
Aufgabe 6
a)
2a
a
2a
b)
a
a
a
a
c)
C
C1
C2
C
C1
C2
C
2
1
Aufgabe 7
A � 2��(4� 5� )�R2, V � 8�3�R3
Technische Mechanik I L 9
Aufgabe 8
V � 42�a3
Aufgabe 9
A � 162�a2
Aufgabe 10
x4 �38
3(10� �)a y4 �
12� �10� �
a
Aufgabe 11
xC � 4938
a yC � 3319
a
Technische Mechanik I L 10
7 Reibung
Aufgabe 1
a � �0�L� tan�
Aufgabe 2
obere bzw. untere Kiste rutscht bei � � arctan�0
obere Kiste kippt bei � � arctan 0.5 � 27°
untere Kiste kippt bei � � arctan 1 � 45°
bei �0 � 0.6 kippt zuerst die obere Kiste
Aufgabe 3
R � 12�G � 3� P�, N � 1
2� 3� G � P�, 0.51�G � P � 0.64�G
Aufgabe 4
alle Kisten bewegen sich gleichzeitig
Aufgabe 5
tan � 12�tan�� 1
�k� , Abheben bei �k �
1tan�
Aufgabe 6
F2
F1� e
��S
sin��2��
Aufgabe 7
1.Fall M � 0: P � 227
�Ma� 2� e��s��
e��s��� 1 , Selbsthemmung bei �s � ln 2
�
2.Fall M � 0: P � � 227
�Ma� 2�e
��s��� 1e��s��� 1
, keine Selbsthemmung möglich
Aufgabe 8
M � G�r�2�(e��s�� � 1)
1� 2�e��s��
Aufgabe 9
F �mg
2� 3��0
� 1�Aufgabe 10
kein Rutschen : �0 �3�3
G1
G1 � 4G2kein Kippen: h
b� 3�
2�1� 4
G2
G1
�
Technische Mechanik I L 11
Aufgabe 11
S � la cos�� G R � �1� l
a��G 1� �0 tan� � a
l� 1� �0 tan�
Aufgabe 12
N1 � 2� mg N2 � ( 2� � 1)mg R1 � R2 � mg �1 �2�2
Aufgabe 13
N1 �3�4
la�F R1 � �3l
4a� 1��F N2 �
3�2
la�F
4a
3� 3� �0
� l � 4a
3� 3� �0
Technische Mechanik I L 12
8 Fachwerke
Aufgabe 1
a) einfach, statisch unbestimmt, kinematisch bestimmt
b) nichteinfach, statisch bestimmt, kinematisch unbestimmt
c) nichteinfach, statisch unbestimmt, kinematisch bestimmt
Aufgabe 2
Nullstäbe: a) 2, b) 3, 4, 9 c) 1, 2, 4, 7
Aufgabe 3
a) nichteinfach, stat. und kinem. bestimmt, Nullstäbe 1, 4, 7
b) nichteinfach, stat. best., kinem. unbestimmt, keine Nullstäbe
c) einfach, stat. und kinem. bestimmt, Nullstäbe 2, 9
Aufgabe 4
a) 1 zu entfernender Stab: 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10 oder 11
b) 1 zu entfernender Stab: 15
c) 1 zu ergänzender Stab
d) 1 zu ergänzender Stab
Aufgabe 5
S1 � S4 � S5 � S12 � 0, S2 � S6 � � 23
G, S3 �23
2� G, S7 � S11 �2�3
G, S8 �13
G,
S9 � S10 � � 13
G, S13 � G
Aufgabe 6
S1 � S4 � S5 � � 29
3� � F, S2 � S3 �29
3� �F, S6 � S7 �19
3� �F
Aufgabe 7
S1 � 0, S2 � � 2G, S3 � 0, S4 � 5� G
Aufgabe 8
S1 � � F2, S2 � 3
2�2
F, S3 � � F
Aufgabe 9
S1 � � 2F , S2 � 0 S3 � � (3� 2 3� )�F
1 23 4
5
6 7
Technische Mechanik I L 13
Aufgabe 10
Nullstab: 5, S3 � 2F, S8 � � 2� �F, S11 � 2 5� F, S12 � � 6F
Aufgabe 11
Nullstab: 9, S1 � S5 � � 2�2
G, S2 �12
G, S3 �2�2
G, S4 � � G, S6 �32
G
Technische Mechanik I L 14
9 Innere Balkenbelastung
Aufgabe 1
Einzelkraft: Q(x) � � G��x � L2�0 M(x) � � G��x � L
2�1
Verteilte Last: Q(x) � � GL� x, M(x) � � G
2� x
2
L
Aufgabe 2
a) p(x) � p0 � p0��x � l �0 � p0��x � 4l
�0
b) p(x) � 2p0 � p0��x � l �0 � p0��x � 2l
�0 � p0��x � 4l �0
c) p(x) �p0
3l� �x � l
�1 �p0
3l� �x � 4l
�1 � p0��x � 4l
�0
d) p(x) � p0 �p0
l� �x � l
�1 �p0
l� �x � 2l
�1 � 2p0��x � 2l
�0
Aufgabe 3
Q(x) � 43
p0l � p0x � p0��x � 2l �1, M(x) � 4
3p0lx �
p0
2x2 �
p0
2� �x � 2l
�2,
Mmax � M�43
l� � 89
p0l2
Aufgabe 4
Q(x) � F � F��x � l �0 � F
3l2� �x � l
�2 � 2Fl� �x � 4l
�1 � F3l2
� �x � 4l �2
M(x) � Fx � F��x � l �1 � F
9l2� �x � l
�3 � Fl� �x � 4l
�2 � F9l2
� �x � 4l �3 � 5Fl��x � 4l
�0
Aufgabe 5
a) Q(x) � F � F��x � l �0 � 2F
l� �x � 4l
�1, M(x) � Fx � F��x � l �1 � F
l� �x � 4l
�2
b) Q(x) � F � 3F��x � l �0 � 3F��x � 2l
�0 � F��x � 4l �0
M(x) � Fx � 3F��x � l �1 � 3F��x � 2l
�1 � F��x � 4l �1
Aufgabe 6
FA
MAp
q
Technische Mechanik I L 15
Aufgabe 7
M(x) � � 12
p0x2 � 1
2p0lx � 3p0�l��x � l
�1
Aufgabe 8
Q(x) � � p0��x � l �1 � 1
2p0l��x � l
�0, M(x) � p0l2 � 1
2p0l��x � l
�1 � 12
p0��x � l �2
Aufgabe 9
Ax � �5 3�3� 1�G, Az � 4G
Aufgabe 10
N(x) � F��x � 34
L�0, Q(x) � 34
F � F��x � 34
L�0,M(x) � 3
4Fx � F��x � 3
4L�1 � FL
2� �x � 3
4L�0
Aufgabe 11
N(x) � � 5 2�14
�F � 4 2�14
�F��x � a �0, Q(x) � 5 2�
14�F � 10 2�
14�F��x � a
�0,
M(x) � 5 2�14
�Fx � 10 2�14
�F��x � a �1
Aufgabe 12
N(x) � � 5F��x � 2l �0, Q(x) � � 2F
lx � 2F
l�x � l
�1 � 5F��x � 2l �0,
M(x) � � Fl
x2 � Fl�x � l
�2 � 5F��x � 2l �1
Technische Mechanik I L 16
10 Spannungen
Aufgabe 1
a)�d � 12.9�mm b)�SB � 2.7, nicht ausreichend c)�m � 1801�kg mit SB � 3
Aufgabe 2
d � 49�mm
Aufgabe 3
� 255�MPa, � � 204�MPa
Aufgabe 4
max � 47.7�MPa
Aufgabe 5
a) �1 � 0.111�MPa , �2 � 0 , max � 0.055�MPa
b) �1 � max � 47.7�MPa , �2 � � max
Aufgabe 6
�x � 150�MPa, �30° � 112.5�MPa, 30° � 64.96�MPa
Aufgabe 7
�1 � 117.6�MPa, �2 � � 7.6�MPa , max � 62.2�MPa, � � � 14.2°,
�60° � 1.5�MPa, 60° � 32.6�MPa
Aufgabe 8
�1 � 67.5�MPa, �2 � � 61�MPa, � � 69.44�°
Aufgabe 9
�x � 10�MPa, �y � � 30�MPa, xy � 34.6�MPa
Aufgabe 10
�1 � 51�MPa
Aufgabe 11
�� � 66�MPa, � � � 23�MPa
Aufgabe 12
�1 � 51�MPa, �2 � � 29�MPa, � � 75�°
Technische Mechanik I L 17
11 Verzerrungen
Aufgabe 1
� � 5.29�·�10�4 , L � 1.057�mm , �l � � 1.59�·�10�4 , d � � 0.0024�mm
Aufgabe 2
a)�F � 595.5�kN
b)��links � 205.6�MPa, Llinks � 1.18�mm, �rechts � 165.4�MPa, Lrechts � 1.02�mm
Aufgabe 3
NPfosten � � 6972�N , SSeil � 4930�N , �Pfosten � � 1.39�MPa
Aufgabe 4
�1 �4Fa2
�r2(3a � x)2 , L1 �
23
FaE�r2
, �2 �F�r2
, L2 �Fa
E�r2, L � 5
3Fa
E�r2
Aufgabe 5
IP � �2� �r4a � r4i �
Aufgabe 6
G � 27�070�MPa
Aufgabe 7
a) � � 0.01699�rad � 0.97°, max � 16.6�MPa
b) � � 0.01720�rad � 0.985°, max � 15.1�MPa, �� � 1.2%
Aufgabe 8
� � 0.017�rad � 0.95°
Aufgabe 9
a) � � 2315
M�Gr3
b) G � 40000�MPa Messing
Technische Mechanik I L 18
12 Technische Biegelehre
Aufgabe 1
Iy � ab3
3 , Iz � a3b
3 , Iyz � � a2b2
4
Aufgabe 2
Iy � a3b12
, Iz � ab3
12 , Iyz � � a2b2
24
Aufgabe 3
Iy � 3.32·106�mm4 , Iz � 1.33·106�mm4 , Iyz � 0
Aufgabe 4
a) I � 1276
a4 b) I � 2603
a4 c) I � 2803
a4
Aufgabe 5
a) Iy � 22a4 , Iz � 10a4 , Iyz � � 6a4
b) zC � 32
a, yC � a, Iy � 172
a4 , Iz � 4a4 , Iyz � 3a4
c) � � 26.6° , I1 � 10a4 , I2 �52
a4
Aufgabe 6
�(0, z) � � 12FLa4
z, ��L4, z� � � 9FL
a4z, ��L
2, z� � � 6FL
a4z,
��34
L, z� � � 3FLa4
z, ��L, z) � 0
Aufgabe 7
��0, 23
h� � � 133�MPa
Aufgabe 8
kritischer Querschnitt l � x � 4l , �max � ��l,� h2� � Fl
Iy� h2
Aufgabe 9
kritische Position bei � � L2
: �max � ��L2, h2� � 7.53�MPa
Aufgabe 10
F � 2.7�kN
Technische Mechanik I L 19
13 Biegelinie
Aufgabe 1
a) w(0) � 0 , w(4l) � 0 b) w(0) � 0 , w�(0) � 0 , w(4l) � 0
c) w(0) � 0 , w(l) � 0 , w(4l) � 0 d) w(0) � 0 , w�(0) � 0 , w(5l) � 0 , w�(5l) � 0
Aufgabe 2
w(x) � F6EIy
�� x3 � �x � l �3 � 1
2l�x � 4l
�4 � 12110
l2x� , wmax � 3 Fl3
EIy
Aufgabe 3
w(x) � �12mg
Ebh3�L � �
6Lx3 � 1
6�x � �
�3 � L � �
6Lx � 1
6L(L � �)
3x� ,
wmax � 25.53�mm an der Stelle x � 1.76�m
Aufgabe 4
a) EIyw�� �p0
2x2�5
2p0l�
�x � l �1 �
p0
2�x � 3l
�2, w(l) � w(4l) � 0
b) w(x) �p0
EIy�� 19
72l4 � 2
9l3x � 1
24x4 � 5
12l�x � l
�3 � 124
l�x � 3l �4� , w(0) � �
19p0l4
72EIy
Aufgabe 5
a) S � cu
b) w(x) � SEI�x36� L x2
2� � F
EI�� x2
2� x3
6� 1
6�x � �
�3� ,w(L) � 1
6EI�� 2SL3 � F(3L � �)�2�
c) u � F(3L � �)�2
6EI � 2L3c , max. Durchbiegung bei � � L
Aufgabe 6
Ax � 0, Az � � 3M2L
, MA � � M2
, Bz � 3M2L
w(x) � M4EIy
x2� xL� 1�, M(x) � M
2�1� 3x
L�
Aufgabe 7
a) w(4l) � �8p0l
4
9EIy b) w(4l) �
7p0l4
12EIy c) w(4l) � �
p0l4
3EIy d) w(4l) � 14
p0l4
EIy
Aufgabe 8
a) w1(5l) � � 58
Fl3
EI , w2(5l) � 10
3Fl3
EI , w(5l) � 65
24Fl3
EI
b) w1(5l) � � 58
Fl3
EI , w2(5l) � 4
3Fl3
EI , w(5l) � 17
24Fl3
EI
Technische Mechanik I L 20
14 Überlagerung einfacher Belastungsfälle
Aufgabe 1
a) gesamter Balken − Biegung, Schub; linkes Lager bis Aufhängung − Zug
b) gesamter Balken − Biegung, Schub; linkes Lager bis Aufhängung − Druck
c) gesamter Balken − Biegung, Schub; linkes Lager bis Aufhängung − Zug
Aufgabe 2
in A − Biegung, Schub; in B − Biegung, Schub, Torsion
Aufgabe 3
Biegung, Schub
Aufgabe 4
Schub
Aufgabe 5
Teil 1: �V � 355.8�MPa, Teil 2: �V � 800�MPa, Teil 3: �V � 800�MPa
Aufgabe 6
Punkt A: � 15.9�MPa , � � 0 ;
Punkt B: � 15.9�MPa , � � 127.3�MPa
SF � 2.3, SB � 3.8
Aufgabe 7
Zug: �z � Nbh
, Biegung: �b �6�N5�bh3
� xz , �b�max�(x)
�z� 3
5� xh
keine Druckspannungen: 0 � x � 53� h
Aufgabe 8
max. Biegespannung: �max � 46.875�MPa,
maximale Verschiebung: w(L) � 2.04�mm
Aufgabe 9
h�3
b�3
h�4
Technische Mechanik I L 21
15 Knickung
Aufgabe 1
Knickfall IV d � 3.4�cm
Aufgabe 2
Knickfall II d � 7.1�cm
Aufgabe 3
FKy ��2�Eab3
12�L2 , FKz �
�2�Ea3b3�L2
, ab� 1
2
Aufgabe 4
gleichseitiges Dreieck
Aufgabe 5
FQ � 264�kN, FK � 115.7�kN, FE � 66�kN
Aufgabe 6
� � w(L) � e 1� cos kLcos kL
mit k2 � FEI
,
FK � �2�EI�4L2
Knickfall I