Mechanik und Mechanik und Festigkeitslehre Festigkeitslehre · Mechanik und Festigkeitslehre Dieses...

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€ 29,00 [D] | € 29,90 [A]

ISBN 978-3-446-45319-7

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Karlheinz Kabus

Mechanik und Festigkeitslehre

Dieses seit Jahrzehnten bewährte Lehrbuch ist nach didaktischen Gesichtspunkten aufgebaut, die in langjähriger Unterrichtspraxis gewonnen und erprobt wurden. Umfangreiche mathema-tische Kenntnisse werden nicht vorausgesetzt. Den einzelnen Abschnitten sind Lernziele voran-gestellt. Durch Kontrollfragen wird die Lernzielkontrolle erleichtert, und durch Praxishinweise wird auf die Bedeutung des Lehrstoffes aufmerksam gemacht.

Berechnungsgleichungen werden hergeleitet und als Größengleichungen angegeben. Die Maßeinheiten und Formelzeichen entsprechen den neuesten Normen. In der Festigkeitslehre ist die für Konstrukteure besonders wichtige Gestaltfestigkeitsberechnung einschließlich der Berechnung von Wellen und Achsen nach DIN 743 gebührend berücksichtigt. Werkstoff-kennwerte und Erfahrungswerte für Sicherheiten bzw. zulässige Spannungen sind angegeben.

266 praxisbezogene Lehrbeispiele aus vielen Gebieten der Technik vertiefen den Stoff. Empfohlene Arbeitsschritte sind eine Hilfe beim selbstständigen Lösen von Aufgaben.

Leserkreis:• Studierende an Technikerschulen, Technischen Fachschulen und Hochschulen• Studierende an Technischen Universitäten (für Studiengänge mit geringer Stundenzahl

im Fach Technische Mechanik)• auch für das Selbststudium und zur Unterstützung für Techniker und Ingenieure bei

technischen Berechnungen in der Berufspraxis geeignet

Beilage:Eine separate Beilage, die auch unabhängig vom Lehrbuch zum Lösen von Aufgaben benutzt werden kann, enthält alle notwendigen Tabellen, Diagramme und Formeln.

Karlheinz Kabus


8., aktualisierte Auflage

45319_Kabus_165x240_GU.indd Alle Seiten 26.07.17 15:42

Kabus ' Mechanik und Festigkeitslehre

Karlheinz Kabus


unter Mitarbeit von Bernd Kretschmer und Peter Mohler

mit 530 Bildern, 266 Lehrbeispielenund einer Beilage mit 42 Tabellen, 25 Diagrammenund zahlreichen Formeln

8., aktualisierte Auflage

Dipl.-Ing. Karlheinz Kabus, Studiendirektor i. R. (yÞDipl.-Ing. Bernd Kretschmer, Studiendirektor an der Staatlichen Technikerschule Berlin i. R.Dr.-Ing. Peter M"hler, Studienrat an der Staatlichen Technikerschule Berlin

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der DeutschenNationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet!ber http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN 978-3-446-45319-7E-Book ISBN 978-3-446-45320-3

Einbandfoto: Gittermastkran (Author: Smial at de.wikipedia), Permission: CC-BY-SA-2.0-DE

Dieses Werk ist urheberrechtlich gesch!tzt.Alle Rechte, auch die der $bersetzung, des Nachdrucks und der Vervielf#ltigung des Buches oder Teilen daraus,vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie,Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht f!r Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unterVerwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielf#ltigt oder verbreitet werden.

# 2017 Carl Hanser Verlag M!nchen

www.hanser-fachbuch.deProjektleitung: Ute EckardtHerstellung: Katrin WulstSatz: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad LangensalzaDruck und Bindung: Friedrich Pustet KG, Regensburg

Printed in Germany

Vorwort

Mechanik und Festigkeitslehre geh"ren zu denwichtigsten theoretischen Grundlagen jedesTechnikers und Ingenieurs. Das vorliegendeBuch will dem studierenden Nachwuchs bei derErarbeitung dieser Grundlagen behilflich seinund ihn zur selbstst#ndigen L"sung praktischerAufgaben bef#higen. Es ist besonders f!r denGebrauch an Technikerschulen und Fachhoch-schulen gedacht. F!r das Selbststudium und f!rPraktiker, die ihre theoretischen Kentnisse auf-frischen oder erweitern wollen, ist es ebenfallsgeeignet.Der Stoffumfang ist vorwiegend auf das Tech-nikerstudium abgestimmt. Einige Kapitel gehendar!ber hinaus, um auch Studenten an Fach-hochschulen ein Hilfsmittel zum besserenVerst#ndnis der Vorlesungen in TechnischerMechanik und interessierten Benutzern Wei-terbildungsm"glichkeiten zu bieten. Auf eineAnwendung der h"heren Mathematik wurde ver-zichtet, da diese an Technikerschulen nicht ge-lehrt wird. Bis auf wenige Ausnahmen werdendie Berechnungsgleichungen hergeleitet unddanach als Gr"ßengleichungen angegeben, sodass mit beliebigen Einheiten gerechnet werdenkann.Die verwendeten Einheiten und Formelzeichenentsprechen den in einem Verzeichnis zusam-mengestellten neuesten Ausgaben der einschl#-gigen DIN-Normen und den gesetzlich vor-geschriebenen SI-Einheiten. Auf die !blichenEinheiten wird hingewiesen. In $bereinstim-mung mit dem t#glichen Sprachgebrauch sowieden Normenempfehlungen werden die WorteGewicht und Last im Sinne einer Massengr"ßeverwendet. Wenn Gewicht als Kraftgr"ße ge-meint ist, wird der Ausdruck Gewichtskraft be-nutzt.Die Nummerierung der Bilder, Gleichungen undLehrbeispiele erfolgte kapitelweise. Kontroll-fragen am Ende eines in sich abgeschlossenenSachgebietes sollen die Lernzielkontrolle er-leichtern. Praxishinweise machen auf die Be-deutung des jeweiligen Lernstoffes f!r die Be-rufsarbeit aufmerksam. Dabei werden auch diefr!her verwendeten, nicht mehr zugelassenenEinheiten und die in der Praxis gebr#uchlichenZahlenwertgleichungen erw#hnt.Lehrbeispiele aus vielen Gebieten der Technikerm"glichen eine Vertiefung des dargebotenenStoffes. Bei der Auswahl der Beispiele wurdeeine enge Beziehung zur Praxis angestrebt.

F!r h#ufig vorkommende Aufgabenarten werdenArbeitsschritte empfohlen. Dem Prinzip derGr"ßengleichung folgend, sind auch bei denZwischenrechnungen die Einheiten mitgeschrie-ben, so dass man bei umfangreichen Gleichun-gen nicht die $bersicht verliert. Nur wenn Ein-heiten sich offensichtlich herausk!rzen, wurdensie weggelassen. Die Genauigkeit der Ergebnis-se wurde in der Regel auf vier Ziffern be-schr#nkt. Wird mit der gesamten vom Rechnerangezeigten Stellenanzahl weitergerechnet, soergeben sich in manchen F#llen etwas abwei-chende Resultate.Weitere $bungsm"glichkeiten bietet die aufdas Lehrbuch abgestimmte Aufgabensammlung„Mechanik und Festigkeitslehre – Aufgaben“.Sie enth#lt eine große Zahl vom Leser zu l"sen-der Aufgaben.Alle Tabellen und Diagramme (Bildnummernmit vorgesetztem A), die zum L"sen von Auf-gaben ben"tigt werden, sind in einem separatenAnhang untergebracht, der auch eine Zusam-menstellung der wichtigsten Formeln enth#lt.Die f!r Festigkeitsberechnungen erforderlichenWerkstoffkennwerte und sonstige Einflussziffernsowie Erfahrungswerte f!r erforderliche Sicher-heiten bzw. zul#ssige Spannungen sind darin an-gegeben, womit die Berechnung vieler Bauteileohne weitere Unterlagen m"glich ist. Der losebeigef!gte Anhang kann, z.B. bei Pr!fungen,unabh#ngig vom Lehrbuch benutzt werden.Besonderer Wert wurde auf eine $bereinstim-mung mit dem im gleichen Verlag erschienenenLehrbuch Decker „Maschinenelemente“ und dendazugeh"rigen „Maschinenelemente-Aufgaben“gelegt. Die „Mechanik und Festigkeitslehre“ ent-h#lt gewissermaßen das theoretische R!stzeugf!r die genannten B!cher.Allen Kolleginnen und Kollegen und Lesern,die uns auf Verbesserungsm"glichkeiten hinge-wiesen haben, sagen wir herzlichen Dank. Beiden Mitarbeitern des Carl Hanser Verlages, be-sonders bei Frau Ute Eckardt und Frau KatrinWulst, bedanken wir uns f!r die gute Zusammen-arbeit.Wir hoffen, dass auch die 8. Auflage den Stu-dierenden und den Lehrenden ebenso wie denbereits in der Praxis t#tigen Technikern und In-genieuren ein brauchbares Hilfsmittel werdenm"ge. Anregungen und Verbesserungsvorschl#ge

Bernd KretschmerPeter M"hler

Inhaltsverzeichnis

1 Einf!hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Aufgaben und Gliederung der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Gr"ßen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Statik starrer K"rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1 Die Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Kennzeichnung und Darstellung von Kr#ften . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Verschiebesatz und Wechselwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Freimachen und Lagerungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Zentrales ebenes Kr#ftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Das Kr#fteparallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Zeichnerische Kr#fteermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3 Rechnerische Kr#fteermittlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Allgemeines ebenes Kr#ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1 Moment und Kr#ftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2 Rechnerische Kr#fteermittlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Zeichnerische Kr#fteermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 R#umliche Kr#ftesysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.1 Zentrales r#umliches Kr#ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.2 Allgemeines r#umliches Kr#ftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Ebene Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1 Aufbau, Annahmen und Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Ermittlung von Stabkr#ften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.1 Rechnerische Stabkraftermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.2 Zeichnerische Stabkraftermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1 Begriffsbestimmung, Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Schwerpunktberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1 K"rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.2 Fl#chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.3 Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Gleichgewichtslagen, Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1 Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Haft- und Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.1 Reibungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.2 Reibungswinkel, Selbsthemmung, Haftsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.3 Reibung auf geneigter Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Technische Anwendung des Reibungsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.1 Gleitf!hrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.2 Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.3 Reibungskupplungen und -bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.4 Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3.5 Rollen und Rollenz!ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.1 Seilreibungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.2 Technische Anwendung der Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5 Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.5.1 Rollwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.5.2 Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.1 Bewegungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 Geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2.1 Gleichf"rmige geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2.2 Ungleichf"rmige geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 Kreis- und Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.1 Gleichf"rmige Kreis- und Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.2 Ungleichf"rmige Kreis- und Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3.3 $bersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Zusammengesetzte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4.1 Geradlinige Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4.2 Waagerechter und schr#ger Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4.3 Radialbeschleunigung bei Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4.4 Relativ- und Absolutbewegung, Coriolisbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . 115

7 Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1.1 Tr#gheitsgesetz, Grundgesetz der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1.2 Anwendung des Grundgesetzes der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.1.3 Tr#gheitskraft, Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1.4 Impuls, Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2 Arbeit, Energie, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.1 Arbeit einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.2 Energie und Energiesatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.3 Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3 Gerader zentrischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3.2 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.3.3 Plastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3.4 Wirklicher Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.4.1 Grundgesetz der Dynamik f!r Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.4.2 Tr#gheitsmomente, Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.4.3 Drehimpuls, Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.4.4 Arbeit, Energie und Leistung bei Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.4.5 Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8 Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.1 Schwingungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.2 Freie unged#mpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.2.1 Schwingungen mit geradliniger Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.2.2 Pendelschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.2.3 Dreh- oder Torsionsschwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 Freie ged#mpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3.1 D#mpfungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3.2 Geschwindigkeitsproportional ged#mpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . 1848.4 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.4.1 Fremderregung von Schwingsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.4.2 Federkrafterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.4.3 Unwucht- oder Massenkrafterregung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.4.4 Kritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.4.5 Schwingungsisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

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9 Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.1 Spannung und Form#nderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.1.1 Begriff der Spannung und der Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.1.2 Freischneiden, Schnittkr#fte und -momente . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.1.3 Normal- und Tangentialspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.1.4 Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.1.5 Dehnung, Hookesches Gesetz, Elastizit#tsmodul . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1.6 Schiebung, Gleitmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.1.7 Form#nderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.2 Lastf#lle, Sicherheiten, zul#ssige Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.2.1 Lastf#lle, Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.2.2 Werkstofffestigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.2.3 Sicherheiten, zul#ssige Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.3 Zug-, Druck- und Scherbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.3.1 Beanspruchung auf Zug oder Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.3.2 Reiß- und Tragl#nge bei Zugbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.3.3 Zugspannungen durch Fliehkr#fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.3.4 W#rmespannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.3.5 Fl#chenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259.3.6 Walzenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.3.7 Beanspruchung auf Scheren (Abscheren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.4 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.4.1 Biegespannungen in geraden Tr#gern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.4.2 Fl#chenmomente, Widerstandsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.4.3 Biegemomente, Quer- und L#ngskr#fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.4.4 Berechnung biegebeanspruchter Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.4.5 Schubspannungen bei Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.4.6 Durchbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.5 Verdrehbeanspruchung (Torsion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.5.1 Verdrehbeanspruchung kreisf"rmiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . 2649.5.2 Verdrehung nichtkreisf"rmiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.5.3 Verdrehwinkel, Form#nderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689.6 Zusammengesetzte Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.6.1 $berlagerung von Spannungen, Festigkeitshypothesen . . . . . . . . . . . . . 2699.6.2 Biegung mit Zug oder Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.6.3 Biegung mit Verdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.7 Gestaltfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.7.1 Kerbwirkung, Bauteilfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.7.2 Kerbwirkungszahl, Spannungsgef#lle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.7.3 Berechnung auf Gestaltfestigkeit (Dauerhaltbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . 2819.7.4 Tragf#higkeitsberechnung von Wellen und Achsen nach DIN 743 . . . . . . . . 2899.8 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.8.1 Stabilit#tsproblem Knicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.8.2 Elastische Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2969.8.3 Unelastische Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.8.4 Omega-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

10 Hydromechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.1 Einteilung, Eigenschaften von Fl!ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.2 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30210.2.1 Druckausbreitung in Fl!ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30210.2.2 Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30610.2.3 Druckkr#fte gegen Gef#ßw#nde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30810.2.4 Auftrieb und Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31110.3 Hydrodynamik reibungsfreier Str"mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

Inhaltsverzeichnis 9

10.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31610.3.2 Kontinuit#tsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31710.3.3 Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31810.3.4 Anwendungen der Kontinuit#ts- und der Bernoullischen Gleichung . . . . . . . . 32010.4 Kraftwirkungen station#rer Str"mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.4.1 Str"mungskr#fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.4.2 R!ckstoßkraft eines Fl!ssigkeitsstrahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32910.4.3 Stoßkr#fte von Fluidstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33010.5 Hydrodynamik wirklicher Str"mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33210.5.1 Viskosit#t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33210.5.2 Laminare und turbulente Str"mung, Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . 33410.5.3 Energieverluste in Rohrleitungsanlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Verzeichnis der angef!hrten DIN-Normen und Richtlinien . . . . . . . . . . . . . . . 342

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Anhang (lose beigef!gt):

Tabellen, Diagramme, Formeln

Inhaltsverzeichnis10

1 Einf!hrung

1.1 Aufgaben und Gliederungder Mechanik

Lernziele:– Die Aufgabenstellung der Technischen Mechanik er-

l#utern.– Die Gliederung der Mechanik in Teilgebiete angeben

und die Inhalte der Teilgebiete erl#utern.

Die Mechanik ist als das #lteste Teilgebiet derPhysik eine f!r die Technik besonders wichtigeNaturwissenschaft. Sie ist die Lehre von denBewegungen der K"rper und den Wirkungender Kr#fte auf feste, fl!ssige und gasf"rmigeK"rper. In der Technischen Mechanik werdendie physikalischen Lehrs#tze auf K"rper ange-wendet, die in der Technik als Maschinen, Fahr-zeuge, Ger#te oder deren Teile vorkommen. ZurAufgabenstellung der Technischen Mechanikgeh"rt die Entwicklung von Methoden zurschnellen L"sung technischer Probleme, wobeies nicht immer auf exakte, sondern auf ink!rzester Zeit erreichbare, f!r die Praxis ausrei-chende N#hrungsl"sungen ankommt.Das Gesamtgebiet der Mechanik kann man inverschiedene Teilgebiete untergliedern:Die Kinematik ist die Lehre von den Bewegun-gen, unabh#ngig von den dabei wirkenden Kr#f-ten.Die Dynamik ist die Lehre von den Kr#ften undihren Wirkungen. Sie wird unterteilt in die Ki-netik, in der die Zusammenh#nge zwischenKr#ften und Bewegungen dargestellt werden,und in die Statik als Lehre vom Gleichgewichtder Kr#fte an einem K"rper.

Man kann die Statik als Sonderfall der Dynamik anse-hen, bei dem zwar Kr#fte, aber keine Bewegungs#nde-rungen (Beschleunigungen oder Verz"gerungen) auftre-ten. Die K"rper befinden sich im Gleichgewicht (inRuhelage oder in gleichf"rmig geradliniger Bewegung).Sie werden vereinfacht als starr aufgefasst (Statik star-rer K"rper). Aufgabe der Statik ist die Ermittlung un-bekannter Kr#fte. Die Kenntnis der am K"rper angrei-fenden Kr#fte ist eine Grundlage der Festigkeitsberech-nung technischer Bauteile.

Die Schwingungslehre behandelt Vorg#nge, bei denensich kennzeichnende Gr"ßen so #ndern, dass sie nachbestimmter Zeit wiederkehren. Handelt es sich dabei ummechanische Gr"ßen, so spricht man von mechanischenSchwingungen.

Wie in der Kinematik reicht es mitunter aus, nur denzeitlichen Verlauf der Schwingung zu betrachten. Unter-sucht man die Ursachen einer Schwingung, so m!ssenauch die wirkenden Kr#fte und Momente einbezogenwerden. Dies entspricht der Kinetik.

Die Festigkeitslehre ist ein besonderes Teil-gebiet der Technischen Mechanik. Es werdendie elastisch-festen K"rper untersucht, und zwarder Zusammenhang zwischen den #ußeren undinneren Kr#ften und den durch diese hervorgeru-fenen Verformungen. Festigkeitsberechnungengeh"ren vornehmlich zu den Aufgaben desKonstrukteurs, der die Bauteile auf Haltbarkeitund Stabilit#t zu berechnen hat.Die Hydromechanik behandelt in der Hydrosta-tik die Kraftverh#ltnisse in ruhenden Fl!ssigkei-ten und in der Hydrodynamik die Vorg#nge inbewegten (str"menden) Fl!ssigkeiten.Die Mechanik kann auch nach dem Aggregat-zustand (der Zustandsform) der K"rper einge-teilt werden in die Mechanik der festen K"rper(unterteilt in starre, elastische und plastischeK"rper), Mechanik der fl!ssigen K"rper (Hydro-mechanik), Mechanik der gasf"rmigen K"rper(Aeromechanik).

PraxisnachweisGr!ndliche Kenntnisse der Technischen Mechanik undihrer Verfahren zur L"sung technischer Probleme sindwichtige Voraussetzungen f!r eine erfolgreiche Arbeitvon Technikern und Ingenieuren.

Kontrollfragen:– Welche Aufgabe hat die Technische Mechanik?– In welche Teilgebiete kann die Mechanik eingeteilt

werden?– Welche Inhalte haben die Kinematik, die Kinetik, die

Statik und die Festigkeitslehre?

1.2 Gr"ßen und Einheiten

Lernziele:– Die Begriffe physikalische Gr"ße, Zahlenwert, Ein-

heit und Gr"ßengleichung erkl#ren.– Die in der Technischen Mechanik vorkommenden Ba-

sisgr"ßen und Basiseinheiten sowie deren !bliche Viel-fache und Teile nennen und Einheiten umrechnen.

– F!r zeichnerische L"sungen die Betr#ge von Gr"ßenin Streckenl#ngen umrechnen und umgekehrt.

Zur Formulierung der naturwissenschaftlichenGesetze bedient man sich der Mathematik undgibt die Zusammenh#nge als Gleichung an. DieGr"ßen der Mechanik sind physikalischeGr"ßen, f!r die Buchstaben als Kurzzeichen(Symbole) eingesetzt werden, z. B. l f!r L#nge,s f!r die Wegstrecke, A f!r Fl#che, V f!r Volu-men, m f!r Masse, t f!r Zeit, v f!r Geschwin-digkeit. In den Gleichungen (Formeln) treten sieals Formelzeichen auf (Tab. 1).Nach DIN 1313 wird der Gr"ßenwert als Pro-dukt aus Zahlenwert und Einheit ausgedr!ckt,als Wortgleichung:

Großenwert ¼ Zahlenwert! Einheit:

Symbolisch wird eine physikalische Gr"ße wiefolgt angegeben: G ¼ fGg ' ½G!:Darin bedeuten: G die Gr"ße (durch Formelzei-chen angegeben), fGg der Zahlenwert derGr"ße, [G] die Einheit der Gr"ße.In der Angabe s ¼ 400 m bedeutet s die Gr"ße,z. B. eine Wegstrecke, 400 ihren Zahlenwertðfsg ¼ 400Þ und m als Meter ihre Einheitð½s! ¼ mÞ: Das Produkt „400 m“ ist der Gr"ßen-wert oder Betrag (in der Messtechnik auchMesswert genannt). Der Zahlenwert gibt an,wievielmal die Einheit im Gr"ßenwert enthaltenist. Durch den Zahlenwert allein ist eine Gr"ßenicht vollst#ndig angegeben, die Einheit mussimmer mitgeschrieben werden.Gleichungen, in denen physikalische Gr"ßendurch Formelzeichen oder durch Zahlenwerteund Einheiten angegeben sind, heißen Gr"ßen-gleichungen. Darin d!rfen außer den Zahlen-werten auch die Symbole f!r Einheiten gek!rzt,multipliziert und dividiert werden (s. dieBeisp. 1.1 bis 1.8).F!r den Begriff Einheit wird manchmal f#lsch-licherweise der Ausdruck Dimension verwendet.In DIN 1313 kennzeichnet man mit Hilfe vonDimensionen die Art einer Gr"ße. So hat z. B.die Geschwindigkeit die Dimension L#ngedurch Dauer, aber die Einheit Meter durch Se-kunde.Durch das „Gesetz !ber Einheiten im Mess-wesen“ ist die Verwendung der Einheiten des In-ternationalen Einheitensystems (SI-Einheiten)vorgeschrieben. In der Technischen Mechanikwerden folgende SI-Basiseinheiten der Dimen-sionen L#nge (L), Masse (M), Dauer (T) undTemperatur (Q) benutzt:

Gr"ße SI-Basis-einheit

SI-Basis-dimension

Name Zeichen Name Zeichen Name Zeichen

L#nge l; s Meter m L#nge LMasse m Kilogramm kg Masse MZeit t Sekunde s Dauer TTemperatur T Kelvin K Temperatur Q(Temperatur J "Celsius "C)

Im Einheitengesetz sind die Definitionen der Basisein-heiten angegeben, wie sie von der Internationalen „Gene-ralkonferenz f!r Maß und Gewicht“ festgelegt wurden. Siesind f!r das Meter und die Sekunde auf Atomstrahlungbezogen (das Meter wurde am 20. 10. 1983 nach derLichtgeschwindigkeit neu festgelegt). Urspr!nglich wardas Meter als 40-millionster Teil des Erdumfanges defi-niert, sp#ter als Abstand zweier Markierungen auf ei-nem in Paris aufbewahrten Stab, dem Urmeter. Die Se-kunde war urspr!nglich der 86400ste Teil des mittlerenSonnentages (60 s/min ' 60 min=h ' 24 h=d ¼ 86400 s=dÞ.

Das Kilogramm war urspr!nglich definiert als die Mas-se von 1 dm3 ¼ 1 Liter Wasser bei 4 "C. Heute gilt: EinKilogramm ist die Masse des Internationalen Kilo-grammprototyps, des in Paris aufbewahrten Urkilo-gramms.Ein Kelvin ist der 273,15te Teil der Temperaturdifferenzzwischen dem absoluten Nullpunkt (tiefstm"gliche Tem-peratur) und dem Tripelpunkt von Wasser. Ein Kelvinentspricht genau einem Grad Celsius ("C), zwischenbeiden Temperaturskalen gibt es nur eine Nullpunktver-schiebung.

Die Einheiten f!r andere Gr"ßen, wie Ge-schwindigkeit, Kraft, Leistung usw., sind vonden Basiseinheiten abgeleitet, sie werden aus ih-nen gebildet (z. B. f!r die Geschwindigkeit dieEinheit m/s bzw. m ' s(1). Es werden auch Viel-fache und Bruchteile von Einheiten verwendet(Tab. 2). Maßgebend f!r Einheiten ist DIN 1301,f!r Formelzeichen DIN 1304. Einige in derTechnik !bliche Vielfache und Teile der Basis-einheiten sind in Tab. 3 angegeben.

Beispiel 1.1F!r eine feingeschlichtete Oberfl#che ist eine Rautie-fe von 6,3 mm zul#ssig. Wie viel mm sind das?L"sung:Gegeben: Rt ¼ 6,3 mm.Gesucht: Rt in mm.

Mit 1 mm ¼ 1

1000mm (nach Tab. 3) wird

Rt ¼ 6,3 mm ¼ 6,31

1000mm ¼ 0,0063 mm

oder durch Erweitern

Rt ¼ 6,3 mm1 mm

1000 mm¼ 0,0063 mm,

da sich mm herausk!rzt.

Beispiel 1.2Welche Innenh"he in mm muss ein Beh#lter f!r einFassungsverm"gen von 4000 Litern mindestens ha-ben, wenn seine quadratische Grundfl#che 2,5 m2 be-tr#gt?L"sung:Gegeben: V ¼ 4000 l ¼ 4 ' 103 dm3, A ¼ 2,5 m2.Gesucht: h in mm.Da 1 dm3 ¼ ð100 mmÞ3 und 1 m2 ¼ ð1000 mmÞ2 sind,betragen

V ¼ 4 ' 103 dm3 ð100 mmÞ3dm3 ¼ 4 ' 109 mm3,

A ¼ 2,5 m2 ð1000 mmÞ2m2

¼ 2,5 ' 106 mm2:

Aus der bekannten Gleichung f!r das VolumenV ¼ A ' h folgt f!r die gesuchte Innenh"he

h ¼ V

A¼ 4 ' 109 mm3

2,5 ' 106 mm2¼ 1,6 ' 103 mm ¼ 1600 mm:

1 Einf!hrung12

Mit den vorgenannten Umrechnungsbeziehungen er-h#lt man auch ohne Zwischenrechnung in einem ein-zigen Rechnungsgang:

h ¼ V

A¼ 4 ' 103 dm3 ' ð100 mmÞ3 'm2

2,5 m2 ' dm3 ' ð1000 mmÞ2 ¼ 1600 mm,

da sich dm3, m2 und mm2 herausk!rzen.

Beispiel 1.3Ein Ger#teteil wiegt 0,0375 g. Seine Masse in mg istanzugeben.L"sung:Gegeben: m ¼ 0,0375 g.Gesucht: m in mg.Nach den Tabn. 2 und 3 ist 1 mg ¼ 10(3 g bzw.1 g ¼ 1000 mg. Somit ist

m ¼ 0,0375 g1000 mg

g¼ 37,5 mg oder kurzer

m ¼ 0,0375 ' 1000 mg ¼ 37,5 mg:

Beispiel 1.4Wie viel kg wiegen die Massen 8,6 t und 4,2 Mt?L"sung:Gegeben: m1 ¼ 8,6 t, m2 ¼ 4,2 Mt.Gesucht: m1 und m2 in kg.Nach den Tabn. 2 und 3 ergeben sich:

m1 ¼ 8,6 ' 1000 kg ¼ 8600 kg,

m2 ¼ 4,2 ' 106 t ¼ 4,2 ' 106 ' 103 kg ¼ 4,2 ' 109 kg:

Beispiel 1.5Die Zeitangabe „78 Min. 45 Sek.“ ist in Stunden, inMinuten und in Sekunden umzurechnen (Zahlenwer-te als Dezimalzahlen).L"sung:Gegeben: t ¼ 78 min þ 45 s.Gesucht: t in h, in min und in s.Nach Tab. 2:

t ¼ 78 minþ 45 s ¼ 781

60hþ 45

1

3600h

¼ ð1,3þ 0,0125Þ h ¼ 1,3125 h,

t ¼ 78 minþ 451

60min ¼ ð78þ 0,75Þmin

¼ 78,75 min

t ¼ 78 ' 60 sþ 45 s ¼ ð4680þ 45Þ s ¼ 4725 s:

Bei zeichnerischen Verfahren und in Diagram-men werden Gr"ßen als Strecken dargestellt.Daf!r ben"tigt man einen Maßstab, der zweck-m#ßigerweise als Maßstabfaktor angegeben wird.Es gilt

Maßstabfaktor ¼ darzustellende Großezugeordnete Strecke

oder mit der Gr"ße G und der zugeh"rigen Stre-cke Ggez:

Maßstabfaktor mG ¼ G

Ggezð1:1Þ

Entspricht z. B. 1 cm einer Zeichnung demGr"ßenwert 5 m, d. h. 1 cm ¼b 5 m, dann betr#gtder L#ngenmaßstabfaktor m1 ¼ 5 m/cm (5 Meterje Zentimeter).Aus Gl. (1.1) ergibt sich f!r eine darzustellendeGr"ße G die zu zeichnende

Streckenlange Ggez ¼ G

mGð1:2Þ

Einer gezeichneten Strecke Ggez entspricht beimMaßstabfaktor mG die

Große G ¼ Ggez #mG ð1:3ÞMit den Maßstabfaktoren wird bei Berechnun-gen wie mit Gr"ßen verfahren; die Einheitensind immer mitzuschreiben.

Beispiel 1.6In einem Diagramm sollen verschiedene Volumendurch Balken dargestellt werden. Mit welchem Maß-stabfaktor sind die Balkenl#ngen zu errechnen, wenndas gr"ßte Volumen von 200 m3 mit einer L#nge von8 cm zu zeichnen ist?L"sung:Gegeben: V ¼ 200 m3, Vgez ¼ 8 cm:Gesucht: mV in m3/cm.Entspr. Gl. (1.1) ist

mV ¼ V

Vgez¼ 200 m3

8 cm¼ 25 m3=cm:

Beispiel 1.7Wie groß ist die zu zeichnende Streckenl#nge in mmf!r einen Abstand von 10,5 m bei einer Maßstab-angabe 1 cm ¼b 5 m?L"sung:Gegeben: l ¼ 10,5 m, m1 ¼ 5 m=cm:Gesucht: lgez in mm.Entspr. Gl. (1.2)

lgez ¼ l

m1¼ 10,5 m

5 m=cm¼ 2,1 cm ¼ 21 mm:

Beispiel 1.8Welchen Betrag in m/s hat eine Geschwindigkeit, diemit einer Strecke von 3,6 cm dargestellt ist, wenn dieZeichnung die Angabe 10 mm ¼b 20 km/h enth#lt?

L"sung:Gegeben: vgez ¼ 3,6 cm, mv ¼ 20

km=h

cm:

Gesucht: v in m/s.

1.2 Gr"ßen und Einheiten 13

Entspr. Gl. (1.3)

v ¼ vgez ' mv ¼ 3,6 cm ' 20 km=h

cm¼ 72

km

h

¼ 721000 m3600 s

¼ 20 m=s:

Eine Gr"ßengleichung zeigt die Beziehung zwi-schen physikalischen Gr"ßen. In einer Zahlen-wertgleichung wird lediglich die Beziehungzwischen den Zahlenwerten von Gr"ßen dar-gestellt. Sie gilt nur f!r bestimmte Einheiten,die stets besonders angegeben werden m!ssen.Beispiele f!r Zahlenwertgleichungen, die in derTechnik gelegentlich vorkommen, werden amEnde der Abschnitte 6.3 und 7.4 erl#utert.

PraxishinweisGr"ßengleichungen haben gegen!ber Zahlenwertglei-chungen den Vorteil, dass sie unabh#ngig von der Wahlder Einheiten gelten. Sie sind bevorzugt anzuwenden.Umrechnungen von Einheiten k"nnen mit ihnen !ber-sichtlich durchgef!hrt werden. Bei Verwendung von Maß-stabfaktoren wird die Beziehung zwischen einer Gr"ßeund der zugeh"rigen Strecke ebenfalls durch eine Gr"ßen-gleichung ausgedr!ckt. Die noch h#ufig anzutreffendeSchreibweise der in eckigen Klammern eingeschlossenenEinheitenzeichen ist nach DIN 1313 nicht zul#ssig.

Kontrollfragen:– Was versteht man unter einer physikalischen Gr"ße?– Was ist eine Gr"ßengleichung?– Welche SI-Basisdimensionen und welche SI-Basisein-

heiten kommen in der Technischen Mechanik vor?– Welche Vielfache und Teile der Basiseinheiten sind

in der Technik !blich?– Was versteht man unter Maßstabfaktoren, und wozu

dienen sie?

1.3 Koordinatensysteme

Lernziele– Die Notwendigkeit von Koordinatensystemen erken-

nen.– Den Aufbau eines rechtwinkligen Koordinatensys-

tems erkl#ren.– Bezeichnungen und Vorzeichenregeln f!r kartesische

Koordinatensysteme nennen.– Die Ebene in Quadranten einteilen.

Die Lage einzelner Punkte in der Ebene oder imRaum kann mithilfe von Koordinatensystemeneindeutig bestimmt werden. Beim meist ange-wendeten kartesischen Koordinatensystem ste-hen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinan-der (Bild 1.1). Die waagerechte x-Achse oderAbszisse und die senkrechte y-Achse oder Ordi-nate schneiden sich im Nullpunkt 0. Rechts vomNullpunkt auf der Abszisse und oberhalb des

Nullpunktes auf der Ordinate liegen positiveWerte, links bzw. unterhalb des Nullpunktes ne-gative. Die Ebene wird durch die Koordinaten-achse in vier Bereiche geteilt. Diese werdenQuadranten genannt und von der positiven Abs-zisse aus im mathematisch positiven Drehsinn(linksdrehend) mit I, II, III und IV bezeichnet.Durch Angabe von Werten auf der Abszisse undder Ordinate l#sst sich jeder Punkt in der Ebeneeindeutig festlegen.

Sollen Punkte im Raum bestimmt werden, somuss eine dritte, senkrecht auf der durch die x-und y-Koordinaten gebildeten Ebene stehendeund ebenfalls durch den Nullpunkt gehende Ko-ordinate hinzugef!gt werden. Nach DIN 4895werden die Koordinaten mit x, y und z bezeich-net (Bild. 1.2). Es sind auch davon abweichendeAngaben f!r die Koordinatenachsen m"glich,wie z. B. in DIN 1080 festgelegt.

Kontrollfragen:– Wie ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf-

gebaut und welche Vorzeichenregeln gelten?– Was versteht man unter dem mathematisch positiven

Drehsinn?– Wie k"nnen einzelne Punkte in der Ebene und im

Raum eindeutig definiert werden?– Wo liegen die vier Quadranten im Koordinatensystem

der Ebene?

Bild 1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene

Bild 1.2 R#umliches kartesisches Koordinatensystem

1 Einf!hrung14

2 Statik starrer K"rper

2.1 Die Kraft

Lernziele– Den Kraftbegriff definieren und die Krafteinheit an-

geben, den Vektorcharakter von Kr#ften erl#uternund Kr#fte grafisch darstellen.

– Den Verschiebesatz und das Wechselwirkungsgesetzals Erfahrungss#tze an Beispielen erl#utern.

– Das Verfahren des Freimachens von K"rpern als Vo-raussetzung f!r die Darstellung des Kr#ftegleichge-wichts und f!r die Ermittlung von Kr#ften erl#uternund auf Bauteile anwenden sowie die Auflagerartenund ihre symbolische Darstellung angeben.

2.1.1 Kennzeichnung und Darstellung vonKr#ften

Aus der Erfahrung des t#glichen Lebens ist derBegriff Kraft vor allem als Muskelkraft bekannt.Ebenso kennt man die Federkraft, die Magnet-kraft, die Windkraft, die Wasserkraft. Kr#ftesind nicht sichtbar, sondern nur an ihren Wir-kungen erkennbar.Beim Spannen einer Feder durch den mensch-lichen Muskel wird die Feder verformt. Ursacheder Verformung ist eine Kraft, ihre Wirkung istdie Form#nderung. Wenn ein Magnet ein St!ckEisen anzieht, ist die Zugkraft selbst nicht zusehen, jedoch ihre Wirkung, da das Eisenst!ckzum Magneten hin bewegt wird. Infolge derErdanziehungskraft, der Schwerkraft, werdenalle K"rper von der Erde angezogen und beimFallen in Richtung Erdmittelpunkt bewegt. Inder Mechanik wird diese Kraft als Gewichts-kraft bezeichnet. Auch durch die Gewichtskraftk"nnen K"rper verformt oder in Bewegung ge-setzt werden.Allgemein gilt f!r dieKraft als physikalische Gr"ße:

Eine Kraft ist die Ursache f!r die Verfor-mung oder Bewegungs#nderung eines K"r-pers.

Demnach m!ssen !berall, wo sich Geschwindig-keiten #ndern oder K"rper verformt werden,Kr#fte wirken.

Heben sich die Wirkungen zweier oder mehrererKr#fte an einem ruhenden K"rper auf, so bleibter im Ruhezustand, d. h. die Kr#fte sind imGleichgewicht. Beispielsweise m!ssen die an

den Punkten A und B des Seiles in Bild 2.1 an-fassenden Personen mit gleich großer Kraft zie-hen, wenn das Seil in der Ruhelage bleiben soll.Um ein Gewichtsst!ck in der Ruhelage zu hal-ten, muss man der Gewichtskraft mit einergleich großen Kraft entgegenwirken (Bild 2.2).Nach der Definition des Kraftbegriffs bestehtauch bei der gleichf"rmig geradlinigen Bewe-gung Kr#ftegleichgewicht, da keine &nderungder Geschwindigkeit erfolgt.

Das ist z. B. der Fall bei einer Hubbewegung mitgleich bleibender Hubgeschwindigkeit. Die dabeian einem Lasthaken (Bild 2.3) wirkenden Kr#fte,die lotrecht nach unten gerichtete Gewichtskraftder angeh#ngten Last und die nach oben gerich-tete Zugkraft der Kette, sind gleich groß.

Kr#fte, die gleiche Wirkungen hervorrufen, sind gleich.Darauf beruht die Messbarkeit von Kr#ften. Die Mes-sung von Kr#ften kann z. B. mittels geeichter Federwaa-gen oder Gewichtsst!cke (W#gest!cke) erfolgen. Die zumessende Kraft wird entweder mit der Federkraft oderder Gewichtskraft verglichen. Jede Messung ist ein Ver-gleich mit einer festgelegten Einheit.

Die Einheit der Kraft ist das N (Newton1),gesprochen: njuten). Es ist eine aus den Basis-

Bild 2.1 Gleichgewicht zweier Kr#fte beim Seilziehen

Bild 2.2 Kr#ftegleichgewichtzwischen Handkraft undGewichtskraft

1) Isaak Newton (1643 bis 1723), engl. Physiker

Bild 2.3 Kr#ftegleichgewicht aneinem Lasthaken

einheiten des Internationalen Einheitensystems(SI-Einheiten) abgeleitete Einheit mit der Defi-nitionsgleichung

1 N ¼ 1 kg # m/s2

InWorten lautet dieDefinition der Krafteinheit:1 N ist gleich der Kraft, die einem K"rpermit der Masse 1 kg die Beschleunigung1 m/s2 erteilt.

In der Technik werden oftmals auch die EinheitenkN und MN verwendet (1 kN ¼ 1000 N ¼ 103 N,1 MN ¼ 106 N). Als Formelzeichen f!r die Kraftist der Buchstabe F (von force, engl.) in DIN 1304festgelegt. Verschiedene Kr#fte werden durch In-dizes1) unterschieden, z. B. F1, F2, Fa, Fb, FA unddgl.

Die Definition der Krafteinheit beruht auf der bewe-gungs#ndernden Kraftwirkung (s. auch DIN 1305) undfolgt aus dem Grundgesetz der Dynamik: F ¼ m ' a(Gl. (7.3), Abschn. 7.1.1; die kinematische Gr"ße Be-schleunigung a mit der Einheit m/s2 wird im Ab-schnitt 6.2.2 behandelt).

Die Erfahrung zeigt, dass die Wirkung einer Kraftnicht nur von ihrem Betrag (dem Gr"ßenwert)abh#ngt, sondern auch von ihrer Lage am K"rper,gekennzeichnet durch den Angriffspunkt, undaußerdem von ihrer Wirkrichtung, was am Bei-spiel eines Wagens in Bild 2.4 dargestellt ist.

Die Kraft ist demnach eine gerichtete Gr"ße.Physikalische Gr"ßen, die erst durch Betrag undWirkrichtung vollst#ndig angegeben sind, nenntman Vektoren, z. B. Kr#fte, Geschwindigkeiten,Beschleunigungen. Gr"ßen, die allein durchZahlenwert und Einheit bestimmt sind, heißenSkalare, wie z. B. Zeit, Temperatur, Masse. ZurKennzeichnung einer Kraft als vektorielle Gr"ßewird nach DIN 1313 ein Pfeil !ber das Formel-zeichen gesetzt, und man schreibt ~FF. Wenn nurder Betrag einer Kraft symbolisch anzugebenist, wird F ohne Pfeil geschrieben.Zur eindeutigen Bestimmung einer Kraft geh"-ren folgende drei Angaben:

Der Betrag oder Gr"ßenwert, gegeben durchdas Produkt aus Zahlenwert und Einheit oderbei zeichnerischer Darstellung durch eine maß-st#bliche Strecke (Bild 2.5), die Vektorl#nge,die Lage, gekennzeichnet durch einen PunktderWirklinie, den Angriffspunkt,die Richtung oder der Richtungssinn, aus-gedr!ckt durch den Richtungspfeil am Kraft-vektor.

Unter der Wirklinie einer Kraft versteht mandie durch den Kraftvektor verlaufende Gerade.Die Vektorl#nge wird mit einem Kr#ftemaßstab-faktor mF errechnet. Da der Richtungspfeil amKraftvektor die Kraft bereits als Vektor kenn-zeichnet, kann in Zeichnungen der Pfeil !ber Fentfallen.

Beispiel 2.1Wie groß ist die zu zeichnende Vektorl#nge in cmf!r eine Kraft von 1800 N bei einem Kr#ftemaßstab-faktor von 400 N/cm?L"sung:Gegeben: F ¼ 1800 N, mF ¼ 400 N/cm.Gesucht: Fgez in cm.Entspr. Gl. (1.2) wird

Fgez ¼ F

mF¼ 1800 N ' cm

400 N¼ 4,5 cm:

Beispiel 2.2Welchen Betrag in kN hat eine Kraft, deren Vektor32 mm lang ist, wenn die Zeichnung folgende Anga-be enth#lt: 1 cm ¼b 500 N?L"sung:Gegeben: Fgez ¼ 32 mm ¼ 3,2 cm, mF ¼ 500 N/cm.Gesucht: F in kN.Entspr. Gl. (1.3):

F ¼ Fgez ' mF ¼ 3,2 cm ' 500 N=cm ¼ 1600 N

¼ 1,6 kN:

Eine besonders wichtige Kraft in der Statik istdie bereits erw#hnte Gewichtskraft FG (als For-melzeichen ist neben FG auch der Buchstabe Ggenormt). Ihr Betrag kann aus der Masse m eines1) auch als Nebenzeiger oder Fußzeichen bezeichnet

Bild 2.4 Gleich große Kr#fte, die verschiedene Wirkun-gen hervorrufen

Bild 2.5 Zeichnerische Darstellung einer Kraft

2 Statik starrer K"rper16

K"rpers und der infolge der Erdanziehung auf ihnwirkenden Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s2

errechnet werden nach der Gleichung FG ¼ m # g(Gl. (7.4), Abschn. 7.1.1). Sie ist stets lotrechtnach unten gerichtet (zum Erdmittelpunkt hin).Ihr Angriffspunkt ist der Schwerpunkt desK"rpers (s. Abschn. 4.2.1). Damit sind Betrag,Lage und Richtung der Gewichtskraft bekannt.

Beispiel 2.3F!r drei K"rper mit den Massen 1 kg, 50 kg und10 t sind die Gewichtskr#fte zu errechnen.L"sung:Gegeben: m1 ¼ 1 kg, m2 ¼ 50 kg,

m3 ¼ 10 t ¼ 10 ' 103 kg.Gesucht: FG1, FG2 und FG3.Nach der Gl. FG ¼ m ' g wird

FG1 ¼ m1 ' g ¼ 1 kg ' 9,81 m=s2 ¼ 9,81 kgm=s2

¼ 9,81 N,

FG2 ¼ m2 ' g ¼ 50 kg ' 9,81 m=s2 ¼ 490,5 N,

FG3 ¼ m3 ' g ¼ 10 ' 103 kg ' 9,81 m=s2 ¼ 98,1 kN:

In der Natur sind Kr#fte entweder auf ein Volu-men verteilt, Volumenkr#fte genannt, oder aufeine Fl#che als so genannte Fl#chenkr#fte. DieGewichtskraft und die Magnetkraft sind Volu-menkr#fte; sie wirken auf alle Teilchen einesK"rpers. Fl#chenkr#fte sind beispielsweise dieWindkraft oder die auf eine Kolbenfl#che wir-kende Wasserkraft in einer Kolbenpumpe. DieVorstellung der in einem Punkt wirkendenEinzelkraft ist eine Idealisierung. Die Einzel-kraft wird ersatzweise f!r die verteilten Kr#fteeingesetzt und ist als deren Summe ihre Resul-tierende. In der Statik verwendet man auch denAusdruck Streckenkraft f!r Kr#fte, die aufeiner Bauteill#nge verteilt wirken. Ferner unter-scheidet man ebene (Abschn. 2.2 u. 2.3) undr#umliche Kr#ftesysteme (Abschn. 2.4).

2.1.2 Verschiebesatz undWechselwirkungsgesetz

Zur Erhaltung des Kr#ftegleichgewichts beimSeilziehen (s. Bild 2.1) spielt die Lage der An-griffspunkte der Kr#fte keine Rolle. Ihre Wir-kung bleibt dieselbe, unabh#ngig davon, ob dieAngriffspunkte dicht beieinander oder weit von-

einander entfernt liegen. Ebenso verh#lt es sichbeim Fortbewegen eines Wagens (Bild 2.6). F!rden Bewegungsvorgang ist es bedeutungslos, oban einem Seil oder unmittelbar am Zughakengezogen oder auf derselben Wirklinie hinten amWagen direkt oder mittels einer Stange gescho-ben wird. Diese Tatsache wird ausgedr!ckt imVerschiebesatz:

Kr#fte am starren K"rper d!rfen auf ihrerWirklinie beliebig verschoben werden.

Wird auf einen K"rper eine Kraft ausge!bt, soreagiert er mit einer gleich großen Gegenkraft.Beim Seilziehen sp!rt man, dass das Seil an derHand zieht. Am Lasthaken (s. Bild 2.3) zieht dieKette nach oben, der Haken zieht an der Kettenach unten. Ein K"rper dr!ckt mit der Ge-wichtskraft FG auf seine Unterlage, diese dr!cktmit der gleich großen Kraft F gegen den K"rper(Bild 2.7). Von den an einer Ber!hrungsstellezweier K"rper paarweise auftretenden Kr#ftenist eine die Aktions-, die andere die Reaktions-kraft. Diese Erfahrungstatsache wird ausgedr!cktim Wechselwirkungs- oder Reaktionsgesetz:

Kr#fte, mit denen zwei K"rper aufeinanderwirken, haben eine gemeinsame Wirklinieund sind gleich groß, aber entgegengesetztgerichtet (Aktionskraft ¼ Reaktionskraft).

Das Zugfahrzeug und der Anh#nger in Bild 2.8dr!cken mit einem bestimmten Teil der auf siewirkenden Gewichtskraft an jedem Rad gegenden Boden. Dieser wiederum dr!ckt mit gleichgroßen, entgegengesetzt gerichteten Reaktions-kr#ften, die auch St!tzkr#fte genannt werden,gegen die R#der. W#hrend der Fahrt zieht derZugwagen am H#nger (Aktionskraft) ebenso wieder H#nger am Zugwagen (Reaktionskraft).

Bild 2.6 Auf einer Wirklinie an verschiedenen Punkten angreifende Kraft F

Bild 2.7 Gewichtskraft FGund Gegenkraft Fals Reaktionskraft

2.1 Die Kraft 17

Erfahrungstatsachen, wie der Verschiebesatz und dasWechselwirkungsgesetz, das erstmalig von Newton for-muliert wurde, nennt man Axiome1). Das sind nicht be-weisbare, sondern durch Erfahrung best#tigte Lehrs#tze.Auf ihrer Grundlage werden andere Lehrs#tze auf-gebaut. Wegen des Verschiebesatzes sind Kr#fte am star-ren K"rper linienfl!chtige Vektoren. Dies gilt nicht f!rdie Ermittlung der Verformung von Bauteilen in derFestigkeitslehre. Dabei ist der Angriffspunkt von Bedeu-tung und die Kraft ist ein gebundener Vektor.

2.1.3 Freimachen und Lagerungsarten

Bei der L"sung von Aufgaben der Statik ist vor-zugsweise das Kr#ftegleichgewicht an K"rpern(Bauteilen, Maschinen, Ger#ten) zu untersuchen.Daf!r ist die Kenntnis aller am K"rper angrei-fenden Kr#fte erforderlich. Diese Kr#fte wirkenan den Ber!hrungsstellen mit anderen K"rpern.Nach dem Wechselwirkungsgesetz treten an die-sen Stellen Aktions- und Reaktionskr#fte auf.Will man sich !ber die an einem K"rper angrei-fenden Kr#fte Klarheit verschaffen, so l"st manihn in Gedanken an allen St!tz-, Ber!hrungs-und Verbindungsstellen aus seiner Umgebungheraus (macht ihn frei) und ersetzt die weg-gedachten Teile durch die Kr#fte, die sie an derfreigemachten Stelle auf den zu untersuchendenK"rper aus!ben. Dieses Verfahren wird alsFreimachen bezeichnet und beruht auf derAnwendung des Wechselwirkungsgesetzes. Imfreigemachten Zustand kann ein K"rper starkvereinfacht dargestellt werden. Bild 2.9 zeigteinen auf diese Weise freigemachten Hebel.An allen Stellen, wo ein freizumachender K"rpergedanklich von seiner Umgebung getrennt wird,in Lagern und Gelenken, an St!tz- und F!h-rungsfl#chen, an Seilen, Aufh#ngungen usw.,werden die auf ihn wirkenden Kr#fte als Vekto-ren angesetzt. An Verbindungsstellen mit unbe-kannter Kraftrichtung tr#gt man bei ebenenKr#ftesystemen zwei senkrecht aufeinander wir-kende Kr#fte ein, da jede Kraft in zwei senk-rechte Komponenten zerlegt werden kann(s. Beisp. 2.7). Liegt die Richtung der Kom-ponenten nicht eindeutig fest, so sind sie in derRegel im positiven Sinne der Koordinatenachsen

einzutragen. Die Gewichtskraft darf vernachl#s-sigt werden, wenn sie gegen!ber den anderenKr#ften relativ klein ist.

Beim Freimachen werden die auf einen K"rperwirkenden #ußeren Kr#fte dargestellt. Auch die Ge-wichtskraft ist eine #ußere Kraft. Sollen innere Kr#fteermittelt werden, so denkt man sich einen Schnitt durchdas Bauteil und tr#gt an der Schnittstelle die vomweggeschnittenen Teilst!ck ausge!bten Kr#fte ein. Die-ses Verfahren heißt Freischneiden (s. Abschn. 9.1.2).Dabei werden die inneren zu #ußeren Kr#ften undk"nnen mit den Regeln der Statik bestimmt werden.

Die Ber!hrungs- und Verbindungsstellen, an de-nen die Kr#fte!bertragung zwischen Bauteilenstattfindet, werden auch als Auflager bezeich-net, die dort wirkenden Reaktionskr#fte dement-sprechend als Auflagerkr#fte. Durch die Artder Lagerung sind meistens Wirklinie und Rich-tung dieser Kr#fte bestimmt. Nachfolgend wer-den die wichtigsten Kraft!bertragungselementeund Lagerungsarten erl#utert, die beim Freima-chen eine besondere Rolle spielen, Reibungs-kr#fte sind dabei vernachl#ssigt:

SeileSeile, Riemen, Ketten (Bild 2.10) und #hnlicheflexible Elemente k"nnen nur Zugkr#fte !ber-tragen. Durch Rollen werden die Wirklinien derKr#fte umgelenkt.

Bild 2.8 Aktions- und Reaktionskr#fte an Fahrzeugen

1) Axiom (griech.) ¼ Forderung

Bild 2.9 Freimachen eines Hebelsa) Hebelsystem, b) freigemachter Hebel

Bild 2.10 Kr#fte an Seilen und Kettena) Anordnung, b) Seil und Kette freigemacht


Pendelst!tzenPendelst!tzen und Zweigelenkst#be (Bild 2.11)nehmen nur L#ngskr#fte (Zug- oder Druckkr#f-te) auf.

Parallelf!hrungenEinseitige Parallelf!hrungen (Bild 2.12) undebene St!tzfl#chen k"nnen nur Druckkr#fte!bertragen, deren Wirklinien senkrecht auf denSt!tz- oder F!hrungsfl#chen stehen, so genannteNormalkr#fte.

Rollk"rperDas sind Kugeln und Zylinder (Bild 2.13) und#hnliche K"rper. Sie !bertragen nur Druckkr#f-te, deren Wirklinien durch ihren Mittelpunkt ge-hen bzw. auf der Tangente im Ber!hrungspunktsenkrecht stehen (Normalkr#fte). Das gilt eben-falls f!r gew"lbte Ber!hrungsfl#chen beliebigerForm.

LoslagerDas sind Lager, die eine L#ngsverschiebung desgelagerten Bauteils (z. B. Achse oder Welle) zu-lassen, und verschiebbare Gelenkverbindungen(Bild 2.14). Sie !bertragen wie Parallelf!hrun-gen und Rollk"rper nur Druckkr#fte senkrecht

zur F!hrungsebene bzw. senkrecht zur m"gli-chen Bewegungsrichtung (Normalkr#fte).

FestlagerDabei handelt es sich um Lager, die ein L#ngs-verschieben verhindern, und um feste Gelenkver-bindungen (Bild 2.15). Sie k"nnen Kr#fte in be-liebiger Richtung aufnehmen und sind f!r die$bertragung von L#ngs- und Querkr#ften(Axial- und Radialkr#ften) geeignet.

EinspannungenEine feste Einspannung (Bild 2.16) verhindertjede Art von Bewegung des so gelagerten Bau-teils. Sie l#sst weder Verschiebungen noch Dre-hungen zu. Als Reaktionen k"nnen Kr#fte inbeliebiger Richtung (L#ngs- und Querkr#fte)und ein Moment (Abschn. 2.3.1) auftreten.

Bild 2.11 Pendelst!tze und Zweigelenkstaba) druckbeanspruchte Pendelst!tze,b) zugbeanspruchter Zweigelenkstab

Bild 2.12 Freimachen von Parallelf!hrungena) Maschinenteil mit F!hrungen,b) freigemachtes Maschinenteil

Bild 2.13 St!tzkr#fte an Rollk"rperna) ebene Ber!hrungsfl#chen,b) gew"lbte Ber!hrungsfl#chen

Bild 2.14 Loslagera) Ausf!hrungen, b) Symbole, c) freigemach-tes Bauteil mit Loslagerkraft als NormalkraftFN

Bild 2.15 Festlagera) Ausf!hrungen, b) Symbole, c) freigemach-tes Bauteil mit den Festlagerkr#ften Fx(L#ngskraft) und Fy (Querkraft)

2.1 Die Kraft 19

Die Lagerungen werden auch nach dem Freiheitsgradbeurteilt. Darunter versteht man die Anzahl der Bewe-gungsm"glichkeiten eines K"rpers. Im Raum hat jederK"rper sechs Bewegungsm"glichkeiten: Verschiebungenin Richtung der drei Koordinatenachsen und Drehungenum diese Achsen. Das sind sechs Freiheitsgrade. In derEbene sind es nur drei, n#mlich Verschiebungen inRichtung von zwei Koordinatenachsen und Drehung umeine zur Ebene senkrechte Achse. Lagerungen verrin-gern die Zahl der Freiheitsgrade. Beim Loslager hat derK"rper noch zwei Freiheitsgrade, das Lager ist einwer-tig. Festlager gestatten nur einen Freiheitsgrad undsind zweiwertig. Feste Einspannungen haben keinenFreiheitsgrad und sind dreiwertig. Mit der Wertigkeitwird die Anzahl der Unbekannten beim rechnerischenAnsatz zur Bestimmung der Auflagerreaktionen aus-gedr!ckt.Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass bei vor-stehenden Betrachtungen Reibungskr#fte vernachl#ssigtsind (die Ber!cksichtigung der Reibung beim Freima-chen erfolgt im 5. Kapitel)!

Um Fehler beim Freimachen zu vermeiden, emp-fiehlt sich ein systematisches Vorgehen nachfolgenden Arbeitsschritten:1. Schritt: Prinzipskizze mit schematischer Dar-stellung des freizumachenden Bauteils anfer-tigen.

2. Schritt: Kraftangriffspunkte und Wirkliniender Kr#fte einzeichnen unter Beachtung derdurch die Lagerungsarten gegebenen Bedin-gungen.

3. Schritt: Kr#fte unmaßst#blich mit Richtungs-pfeilen und Bezeichnungen eintragen.

Bild 2.17 zeigt das Freimachen am Beispiel ei-ner Getriebewelle. Der 1. Schritt ist im Bild-teil b) dargestellt. Im Bildteil c) sind der 2. und3. Schritt vollzogen.

Am Kegelrad tritt außer den angegebenen Kr#ften(Bild 2.17b) noch eine zur Zeichnungsebene senkrechtwirkende Tangentialkraft auf, die hier nicht eingetragenwurde. Die Kr#fte an Kegelr#dern ergeben ein r#umlichesKr#ftesystem (Abschn. 2.4, s. a. Beisp. 2.33). Die Eigen-gewichtskraft der Welle kann vernachl#ssigt werden.

Beispiel 2.4Bild 2.18a zeigt in vereinfachter Darstellung denKurbeltrieb eines Verbrennungsmotors. Die Pleuel-stange ist freizumachen unter Vernachl#ssigung ihresEigengewichts.

Bild 2.18 Freimachen einer Pleuelstangea) Kurbeltrieb als Tauchkolben-Triebwerk,b) freigemachte Pleuelstange

Bild 2.16 Feste Einspannungena) Ausf!hrungen, b) Prinzipskizze, c) an derEinspannstelle freigeschnittenes Bauteil mitdem inneren Kr#ftesystem, bestehend ausL#ngskraft Fl, Querkraft Fq und Moment M

Bild 2.17 Getriebewelle mit Los- und Festlagera) Zeichnung, b) Prinzipskizze, c) freigemach-te Welle


L"sung:1. Schritt: Skizzieren der Pleuelstange als Pendel-stange.2. Schritt: Kraftangriffspunkte sind die Gelenkmit-telpunkte am Kolbenbolzen B und am KurbelzapfenA, die Wirklinie geht durch beide Punkte.3. Schritt: Einzeichnen der am Kolbenbolzen in dieStange eingeleiteten Druckkraft FB (Pfeilspitze zurStange hin) und der vom Kurbelzapfen ausge!btenGegenkraft FA (Bild 2.18b).

Beispiel 2.5Der Hebel des in Bild 2.19a vereinfacht dargestelltenSicherheitsventils ist freizumachen, wobei die Ge-wichtskr#fte des Hebels und des Ventiltellers zu ver-nachl#ssigen sind.

Bild 2.19 Freimachen eines Ventilhebelsa) Vereinfachte Ventildarstellung,b) Prinzipskizze, c) freigemachter Hebel

L"sung:1. Schritt: Skizzieren des Hebels mit GewichtskraftFG des Belastungsgewichts (im Schwerpunkt S0 lot-recht abw#rts gerichtet), dem Ventilteller als Loslagerund dem Lagerbock als Festlager (Bild 2.19b).2. Schritt: Gelenkmittelpunkte als Kraftangriffs-punkte markieren und Wirklinien parallel zur Ge-wichtskraft einzeichnen (eine L#ngskraft am Fest-lager ist nicht vorhanden, da keine Belastungskraftin Hebell#ngsrichtung wirkt).3. Schritt: Einzeichnen der durch den Druck p aufden Ventilteller ausge!bten, aufw#rts wirkenden KraftF und der aufw#rts (positiv) angenommenen Lager-kraft FL, die vom Bolzen im Lagerbock auf den Hebelals Reaktionskraft ausge!bt wird.

Beispiel 2.6Die in Bild 2.20a gezeigte Leiter ist an einer festenLeiste abgest!tzt. Sie lehnt an einem Rohr und wirdmit der Gewichtskraft FG einer Person belastet. Die

Leiter ist unter Vernachl#ssigung ihres Eigenge-wichts freizumachen.

Bild 2.20 Freimachen einer Leitera) angelehnte Leiter, b) Prinzipskizze,c) freigemachte Leiter

L"sung:1. Schritt: Skizzieren der Leiter mit Festlager A amBoden und Loslager B am Rohr (Bild 2.20b).2. Schritt: Bei A horizontale und vertikale Wirklini-en der Festlagerkr#fte FAx und FAy, bei B Wirklinieder Loslagerkraft FB senkrecht zur Leiter einzeich-nen.3. Schritt: Kr#fte mit Richtungspfeilen wie inBild 2.20c einzeichnen und benennen.

Beispiel 2.7In Bild 2.21a ist eine an Scharnieren befestigte T!rdargestellt. Die T!r und die Scharnierhaken sindfreizumachen.L"sung:1. Schritt: Getrennte Skizzen f!r T!r und Scharnier-haken anfertigen.2. Schritt: Kraftangriffspunkte festlegen: Schwer-punkt S0 f!r die Gewichtskraft FG und die Scharnier-mittelpunkte bei A f!r die Loslagerkraft FA mit hori-zontaler Wirklinie sowie bei B f!r die Festlagerkr#fteFBx (horizontal) und FBy (vertikal).3. Schritt: Eintragen der Kr#fte an den T!rschar-nieren mit Richtungspfeilen und Bezeichnungen(Bild 2.21b). An den Haken wirken diese Kr#fte alsReaktionskr#fte entgegengerichtet (Bild 2.21c).

Bild 2.21 Freimachen einer T!ra) an Scharnieren befestigte T!r, b) freige-machte T!r, c) Kr#fte an den Scharnier-haken

2.1 Die Kraft 21

PraxishinweisDas sorgf#ltige Freimachen ist eine wichtige Vorausset-zung f!r die L"sungsverfahren der Statik zur Ermittlungunbekannter Kr#fte. Die Eigengewichtskr#fte von Bau-teilen und Reibungskr#fte k"nnen dabei vernachl#ssigtwerden, wenn sie gegen!ber den anderen Kr#ften geringsind.Im Bauingenieurwesen (Baustatik, Stahlbau u. a.) wer-den Kr#fte, die von außen auf ein System einwirken,als Lasten bezeichnet, und anstelle Gewichtskraft istder Ausdruck Eigenlast !blich (sinngem#ß Windlast,Schneelast). Ebenso sind die Begriffe Streckenlast undFl#chenlast !blich. Dagegen wird im Maschinenbauunter Last eine Masse verstanden. Das Wort Gewichtwird allgemein im Sinne einer Masse als W#geergebnisverwendet. Um Missverst#ndnisse auszuschließen, sollGewicht nicht anstatt Gewichtskraft gebraucht werden(s. DIN 1305). Wo eine genaue Berechnung der Ge-wichtskraft (bzw. Eigenlast) nicht erforderlich ist, kannman mit dem N#herungswert der Fallbeschleunigungg ) 10 m=s2 rechnen.

Kontrollfragen:– Was ist eine Kraft, wie ist ihre Einheit definiert und

durch welche Angaben ist sie bestimmt?– Wie lauten der Verschiebesatz und das Wechselwir-

kungsgesetz?– Was versteht man in der Mechanik unter dem Frei-

machen eines K"rpers?– Welche Kr#fte k"nnen von Seilen und Ketten, Paral-

lelf!hrungen und Rollk"rpern, Pendelst!tzen undZweigelenkst#ben !bertragen werden?

– Worin besteht der Unterschied zwischen einem Los-lager und einem Festlager?

2.2 Zentrales ebenes Kr#ftesystem

Lernziele:– Den Satz vom Kr#fteparallelogramm und den Begriff

Krafteck erl#utern.– Unbekannte Kr#fte in zentralen Kr#ftesystemen zeich-

nerisch und rechnerisch ermitteln.– Die Gleichgewichtsbedingungen des zentralen Kr#fte-

systems nennen und bei der Ermittlung von Kr#ftenanwenden.

2.2.1 Das Kr#fteparallelogramm

Wenn Kr#fte nur an einem Punkt eines K"rpersangreifen oder sich die Wirklinien in einemPunkt schneiden, so handelt es sich um ein zen-trales Kr#ftesystem. Oft interessiert die ge-meinsame Wirkung dieser Kr#fte, d. h. die Kraft,die alle anderen Kr#fte ersetzen k"nnte. Diesegedachte Ersatzkraft oder resultierende Kraftw!rde die gleiche Wirkung aus!ben wie alle an-greifenden Kr#fte gemeinsam. F!r zwei Kr#ftel#sst sie sich ermitteln nach demSatz vom Kr#fteparallelogramm:Die Resultierende zweier Kr#fte mit sichschneidenden Wirklinien ist die vom

Schnittpunkt ausgehende Diagonale des ausbeiden Kraftvektoren gebildeten Kr#ftepa-rallelogramms.

Die jeweilige Resultierende Fr der Kr#fte F1 undF2 in Bild 2.22 wurde durch maßst#bliches Auf-zeichnen des Kr#fteparallelogramms ermittelt.

Das Zusammensetzen von Kr#ften ist eine vekto-rielle Addition. Die Vektoren, aus denen die Re-sultierende geometrisch zusammengesetzt oder indie sie zerlegt werden kann, heißen Komponen-ten. F1 und F2 sind Komponenten der Resultie-renden Fr. Als Vektorgleichung geschrieben:~FFr ¼ ~FF1 þ ~FF2.Der Satz vom Kr#fteparallelogramm ist eben-falls ein Axiom, auf dem weitere Lehrs#tze derMechanik beruhen. Seine Richtigkeit l#sst sichz. B. durch folgenden Versuch nachweisen:An einem feststehenden Tr#ger befinden sichzwei verschiebbare und feststellbare Haken, indie Federwaagen eingeh#ngt sind (Bild 2.23a).An jeder Federwaage ist ein Seil befestigt. Bei-de Seile m!nden in einem Ring, an dem einK"rper h#ngt, dessen Gewichtskraft FG die Seilespannt. Die Seilkr#fte F1 und F2 werden an denFederwaagen abgelesen, der Winkel a gemessen.Danach wird der K"rper nur an eine Federwaa-ge geh#ngt und an dieser die Kraft Fr abgelesen(Bild 2.23b).

Die Kr#fte F1 und F2 !ben gemeinsam die glei-che Wirkung aus wie die Kraft Fr allein: Der

Bild 2.22 Zusammensetzen von Kr#ften mittels Kr#fte-parallelogramma) a << 90", b) a ¼ 90", c) a >> 90"

Bild 2.23 Versuch zum Satz vom Kr#fteparallelogramma) K"rper an zwei Federwaagen h#ngend,b) K"rper an einer Federwaage, c) Kr#ftepa-rallelogramm


K"rper wird im Ruhezustand gehalten, das Sys-tem befindet sich im Gleichgewicht. Zeichnetman die aus mehreren Versuchen mit unter-schiedlichen Seill#ngen oder Befestigungsab-st#nden jeweils ermittelten Kr#fte F1 und F2maßst#blich als Vektoren unter dem betr. Win-kel a auf, so ergibt sich stets die resultierendeKraft Fr als Diagonale in dem durch Parallelver-schieben der Kraftvektoren entstandenen Paral-lelogramm (Bild 2.23c).

Beispiel 2.8In einer Versuchseinrichtung entspr. Bild 2.24a wur-de das mittlere Gewichtsst!ck durch Anh#ngen derbeiden #ußeren Gewichtsst!cke in der skizzierten La-ge im Ruhezustand gehalten. Durch maßst#blichesAufzeichnen des Kr#fteparallelogramms ist nach-zuweisen, dass die Resultierende der Seilkr#ftegleich der Gewichtskraft des mittleren Gewichts-st!ckes ist.

Bild 2.24 Versuch zum Kr#fteparallelogramma) Versuchsanordnung, b) Kr#fteparallelo-gramm

L"sung:Gegeben: m ¼ 5 kg, m1 ¼ m2 ¼ 3,5 kg, a ¼ 90".Gesucht: Fr ¼ FG.Die Gewichtskr#fte betragen

FG ¼ m ' g ¼ 5 kg ' 9,81 m=s2 ¼ 49,05 N,

FG1 ¼ m1 ' g ¼ 3,5 kg ' 9,81 m=s2 ¼ 34,34 N ¼ FG2:

In den unter a ¼ 90" gespreizten Seilen wirken dieSeilkr#fte F1 ¼ FG1 und F2 ¼ FG2. Gew#hlt wird derKr#ftemaßstabfaktor mF ¼ 10 N/cm. Mit diesem er-geben sich nach Gl. (1.2) die zu zeichnenden Vektor-l#ngen

F1 gez ¼ F2 gez ¼ FG1

mF¼ 34,34 N

10 Ncm ¼ 3,43 cm:

Damit wird das Kr#fteparallelogramm gezeichnet(Bild 2.24b). F!r die Resultierende wird gemessenFr gez ¼ 4,9 cm. Somit betr#gt nach Gl. (1.3):

Fr ¼ Fr gez ' mF ¼ 4,9 cm ' 10 N=cm ¼ 49 N ¼ FG,

was zu beweisen war. Die lotrecht abw#rts wirkendeGewichtskraft FG ist so groß wie die aus den Seil-kr#ften F1 und F2 gebildete Resultierende Fr, wirktdieser jedoch entgegen.

2.2.2 Zeichnerische Kr#fteermittlung

Die zeichnerische Ermittlung von Kr#ften beruhtauf dem Kr#fteparallelogramm. Es gen!gt, nureine H#lfte des Parallelogramms zu zeichnen,n#mlich ein Dreieck als so genanntes Krafteck(Bild 2.25). Dazu werden die einzelnen Kraft-vektoren unter Einhaltung ihrer Richtung zu ei-nem Kr#ftezug aneinander gereiht, wobei dieReihenfolge keine Rolle spielt, wie Bild 2.25bzeigt. Die Verbindungsgerade von Anfang undEnde des Kr#ftezuges ergibt die Resultierende,deren Richtungspfeil am Ende des Kr#fte-zuges liegt.

Zu beachten ist, dass Resultierende und Einzel-kr#fte niemals gemeinsam wirken, sondern nurdie Resultierende oder nur die Einzelkr#fte. Sieersetzen sich gegenseitig. In diesem Buch sindzur Unterscheidung entweder die Resultierendeoder deren Komponenten mit hellem Richtungs-pfeil dargestellt, und zwar vorzugsweise die je-weils zu ermittelnden Kr#fte.

Beispiel 2.9Es ist die Resultierende zweier Kr#fte von 1200 und800 N, deren Wirklinien sich rechtwinklig schneiden,zeichnerisch mittels Kr#fteparallelogramm und mit-tels Krafteck zu bestimmen und der Richtungswinkelzur gr"ßeren Kraft anzugeben.L"sung:Gegeben: F1 ¼ 1200 N, F2 ¼ 800 N, g ¼ 90".Gesucht: Fr und ar.1. Kr#fteparallelogramm (Bild 2.26a)Gew#hlt wird der Kr#ftemaßstabfaktormF ¼ 400 N/cm. Damit ergeben sich entspr. Gl. (1.2)die zu zeichnenden Vektorl#ngen

F1 gez ¼ F1

mF¼ 1200 N

400 Ncm ¼ 3 cm,

F2 gez ¼ F1

mF¼ 800 N

400 Ncm ¼ 2 cm:

Die Kraftvektoren werden unter dem Winkel g an-einander gezeichnet und zum Parallelogramm (hierzum Rechteck) erg#nzt. Die vom Schnittpunkt derWirklinien ausgehende Diagonale ist die Resultie-

Bild 2.25 Zusammensetzen zweier Kr#fte mittels Kraft-ecka) Kr#fteparallelogramm, b) Kraftecke

2.2 Zentrales ebenes Kr#ftesystem 23

rende Fr, deren Vektorl#nge Fr gez ¼ 3,6 cm gemessenwird. Somit ist entspr. Gl. (1.3):Fr ¼ Fr gez ' mF ¼ 3,6 cm ' 400 N=cm ¼ 1440 N:

Ferner wird gemessen der Richtungswinkel ar ¼ 33,7":2. Krafteck (Bild 2.26b)

Bild 2.26 Ermittlung der Resultierendena) im Kr#fteparallelogramm,b) im Krafteck

Die Kraftvektoren werden ihrer Richtung entspre-chend zu einem Kr#ftezug aneinander gereiht. DieVerbindungsgerade von Anfangs- und Endpunkt istdie Resultierende Fr mit dem Richtungspfeil an derSpitze von F2. Die Vektorl#nge Fr gez und der Win-kel ar werden wie unter 1. gemessen.

F!r die zeichnerische Zerlegung einer Kraft inzwei Komponenten, deren Wirklinien gegebensind, wird der Parallelogrammsatz sinngem#ß an-gewendet. Die gegebene Kraft ist die Resultie-rende der gesuchten Komponenten. Mittels Pa-rallelverschiebung der Wirklinien W1 und W2(Bild 2.27a) bis zur Pfeilspitze von F ergibt sichein Parallelogramm, dessen Seiten die Kom-ponenten F1 und F2 darstellen (Bild 2.27b). Mitweniger Zeichenaufwand erh#lt man dasselbe Er-gebnis im Krafteck (Bild 2.27c), wobei es bedeu-tungslos ist, ob W1 oder W2 verschoben wird.

Beispiel 2.10F!r eine Kraft von 2 kN, deren Wirklinie mit derx-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems denWinkel 30" einschließt und deren Vektorl#nge 8 cmbetragen soll, sind die Komponenten in Richtung derKoordinatenachsen zeichnerisch zu ermitteln.L"sung:Gegeben: F ¼ 2000 N, a ¼ 30", Fgez ¼ 8 cm.Gesucht: Fx und Fy.Der Kraftvektor wird unter a ¼ 30" zur x-Achse indas Koordinatensystem eingezeichnet (Bild 2.28).Durch die Pfeilspitze zu den Koordinatenachsen gezo-gene Parallelen ergeben auf den Achsen die gesuchtenKomponenten Fx und Fy. Die L"sung mittels Kr#fte-parallelogramm zeigt Bild 2.28a, mittels KrafteckBild 2.28b.

Bild 2.28 Ermittlung der Komponenten einer Krafta) im Kr#fteparallelogramm,b) im Krafteck

Gemessen werden Fx gez ¼ 6,92 cm und Fy gez ¼ 4 cm.Mit dem Kr#ftemaßstabfaktor (nach Gl. (1.1))

mF ¼ F

Fgez¼ 2000N

8 cm¼ 250 N=cm

ergeben sich entspr. Gl. (1.3) die Komponenten

Fx ¼ Fx gez ' mF ¼ 6,92 cm ' 250 N=cm ¼ 1730 N

¼ 1,73 kN,

Fy ¼ Fy gez ' mF ¼ 4 cm ' 250 N=cm ¼ 1000 N

¼ 1 kN:

Wird anstelle der Ersatzkraft (der Resultieren-den) die Kraft gesucht, die sich mit zweiEinzelkr#ften im Gleichgewicht befindet, so istdas ebenfalls mittels Krafteck m"glich. DieseGleichgewichtskraft ist so groß wie die Resul-tierende, dieser jedoch entgegengerichtet und hatsomit im Krafteck gleichen Umfahrungssinn wiedie Vektoren der gegebenen Kr#fte.In Bild 2.29 sind die Zusammenh#nge an einerPendelstange mit Seilrolle und Seil dargestellt.Die Seilrolle, an der die Seilkr#fte FS wirken,wird durch die von der Stange auf die Seilrol-lenachse ausge!bte Kraft F im Gleichgewichtgehalten. Der Richtungspfeil der gesuchtenGleichgewichtskraft F schließt den aus den be-kannten Seilkr#ften FS gebildeten Kr#ftezug.Alle Vektoren haben im Krafteck gleichenUmfahrungssinn (Bild 2.29c).

Bild 2.27 Zerlegen einer Kraft in Komponentena) Kraft und Wirklinien der Komponenten,b) Kr#fteparallelogramm, c) Kraftecke


Diese Erkenntnisse sind allgemein f!r das Gleich-gewicht von Kr#ften wichtig und lassen sich zu-sammenfassen zurzeichnerischen Gleichgewichtsbedingung:

Die Kr#fte eines zentralen ebenen Kr#fte-systems befinden sich im Gleichgewicht,wenn ihre Vektoren ein geschlossenes Kraft-eck bilden und darin gleichen Umfahrungs-sinn haben.

Dieser Lehrsatz besagt auch, dass in einemKr#ftesystem, das sich im Gleichgewicht befin-det, die Resultierende gleich null ist, da Anfangund Ende des Kr#ftezuges zusammentreffen.Um die zeichnerische Kr#fteermittlung !ber-sichtlich zu gestalten, ist es zweckm#ßig, einenLageplan und einen Kr#fteplan anzufertigen:

Der Lageplan veranschaulicht die maßstabge-rechte Lage der Kr#fte (ihrer Wirklinien) unab-h#ngig vom Betrag (die Kraftvektoren werdenunmaßst#blich, jedoch lagegerecht eingezeich-net).Der Kr#fteplan ist das maßst#bliche Kraft-eck, das durch lagegerechtes Aneinanderrei-hen der Kraftvektoren entsteht.

Aus dem Lageplan werden die Wirklinien durchParallelverschieben in den Kr#fteplan !bertragen.Betrag und Wirkrichtung der gesuchten Kraft er-geben sich im Kr#fteplan. Zur Lagebestimmungwird ihr Vektor in den Lageplan !bertragen.Es empfehlen sich folgende Arbeitsschritte:1. Schritt: Freimachen des Bauteils, an dem diegesuchte Kraft angreift.

2. Schritt: Lageplan mit winkelgerechter An-ordnung der sich in einem Punkt schneiden-den Wirklinien zeichnen, Kr#fte unmaßst#b-lich eintragen.

3. Schritt: Kr#fteplan anfertigen durch maß-st#bliches Aneinanderzeichnen der Kraftvek-

toren in beliebiger Reihenfolge zu einemKr#ftezug, dessen Anfang und Ende verbin-den, so dass ein geschlossenes Krafteck ent-steht.

4. Schritt: Wirkrichtung der ermittelten Kraft imKr#fteplan durch Eintragen des Richtungspfeilsangeben (Resultierende am Ende, Gleichge-wichtskraft am Anfang des Kr#ftezuges).

5. Schritt: Vektorl#nge der ermittelten Kraft imKr#fteplan abmessen und in Krafteinheitenumrechnen (ihren Betrag errechnen). Danachden unmaßst#blichen Kraftvektor in den La-geplan !bertragen, falls seine Lage nichtschon vorher bekannt war.

Beispiel 2.11An einem Lasthebemagneten (Bild 2.30a) sind zweiKetten unter einem Winkel von 100" angebracht. Je-der Kettenstrang ist f!r eine Kraft von 10 kN zuge-lassen. Welche gr"ßte Kraft darf an der Aufh#nge"seauftreten?

Bild 2.30 Lasthebemagnet mit Zweistrangkettea) Darstellung, b) freigemachte %se

L"sung:Gegeben: FK ¼ 10 kN, a ¼ 100", gew#hlt

mF¼2,5 kN/cm, damit FK gez¼ (10/2,5) cm¼ 4 cm (nach Gl. (1.2)).

Gesucht: F in kN.1. Schritt: Freimachen der Aufh#nge"se (Bild 2.30b).Die gesuchte Kraft F h#lt mit den Kettenkr#ften FK die%se im Gleichgewicht.2. Schritt: Zeichnen des Lageplans (Bild 2.31a). Dieunmaßst#blichen Kraftvektoren werden im Schnitt-punkt der Wirklinien (%senmitte) angesetzt.3. Schritt: Parallelverschieben der Wirklinien derKettenkr#fte in den Kr#fteplan (Bild 2.31b). Auf denWirklinien die Vektorl#ngen FK gez aneinander f!gen,Richtungspfeile eintragen und Krafteck schließendurch Verbinden von Anfangs- und Endpunkt.4. Schritt: Richtungspfeil der Gleichgewichtskraft Fso eintragen, dass im Krafteck alle Vektoren gleichenUmfahrungssinn haben.5. Schritt: Messen der f!r F im Kr#fteplan entstan-denen Vektorl#nge Fgez und umrechen mit mF entspr.

Bild 2.29 Kr#ftegleichgewicht an einer Seilrollea) Anordnung der Rolle (Lageplan), b) Kr#fte-parallelogramm mit Resultierender undGleichgewichtskraft, c) Krafteck zur Ermitt-lung von F mit Angabe des Umfahrungssinns(Kr#fteplan)


Bild 2.31 Lage- und Kr#fteplana) Lageplan, b) Kr#fteplan

Gl. (1.3). Es ergibt sich Fgez ¼ 5,2 cm und damit diegr"ßtzul#ssige Kraft

F ¼ 5,2 cm ' 2; 5 kN=cm ¼ 13 kN:

Auch wenn zwei Kr#fte mit bekannten Wirk-linien bestimmt werden sollen, die sich mit ei-ner gegebenen Kraft im Gleichgewicht befinden,kann sinngem#ß nach den vorgenannten Arbeits-schritten verfahren werden.

Beispiel 2.12An einem Mast (Bild 2.32) ist ein Halteseil f!r denOberleitungsdraht einer Straßenbahn befestigt. DieSeilkraft betr#gt 750 N. Welche Kr#fte wirken in denSpannseilen 1 und 2, die mit dem Halteseil in einerEbene liegen?

Bild 2.32 Mast mit Halteseil und Spannseilen

L"sung:Gegeben: F ¼ 750 N, a ¼ 45", b ¼ 33", gew#hlt

mF ¼ 150 N/cm, damit Fgez ¼ 5 cm (nachGl. (1.2)).

Gesucht: F1 und F2.1. Schritt: Freimachen des Mastes. Die gesuchtenSeilkr#fte F1 und F2 ziehen am Mast, wie Bild 2.33azeigt.2. Schritt: In den Lageplan (Bild 2.33a) werden dieWirklinien W1 und W2 unter den Winkeln a und b ge-zeichnet und die Kr#fte unmaßst#blich eingetragen.3. Schritt: Der Kr#fteplan wird mit Fgez begonnen. Aneinem Ende dieser Strecke wird die Wirklinie W1, amanderen die Wirklinie W2 winkelgerecht angetragen,so dass ein geschlossenes Krafteck entsteht.4. Schritt: Die Richtungspfeile f!r F1 und F2 sinddurch die Wirkrichtung von F bedingt. Wegen desGleichgewichts haben die Vektoren im Krafteck glei-chen Umfahrungssinn.

5. Schritt: Im Kr#fteplan werden gemessen die Vek-torl#ngen F1 gez ¼ 2,8 cm und F2 gez ¼ 3,6 cm. Mit mFergeben sich entspr. Gl. (1.3) die gesuchten Seilkr#fte

F1 ¼ 2,8 cm ' 150 N=cm ¼ 420 N,

F2 ¼ 3,6 cm ' 150 N=cm ¼ 540 N:


Wirken mehr als zwei Kr#fte (Bild 2.34a), sokann man die Resultierende oder deren Gegen-kraft (die Gleichgewichtskraft) durch wiederhol-te Parallelogrammkonstruktionen ermitteln. Eswird jeweils von zwei Kr#ften eine Zwischen-resultierende konstruiert, z. B. Fr 1/2 aus denKr#ften F1 und F2 sowie Fr 3/4 aus F3 und F4(Bild 2.34b). Durch Zusammensetzen von Fr 1/2und Fr 3/4 ergibt sich dann die Gesamtresultie-rende Fr. Diese erh#lt man auch, indem man dieZwischenresultierende zweier Kr#fte mit dern#chsten Kraft zusammensetzt und so fortf#hrt,bis alle Kr#fte erfasst sind.

Einfacher und schneller gelangt man zum Zielmittels Krafteck, das zu einem Kr#ftepolygonwird. Beim Aneinandersetzen der Kraftvektorenspielt die Reihenfolge keine Rolle, wie Bild 2.35zeigt. Die in Bild 2.35a angedeuteten Zwischen-resultierenden Fr 1/2 und Fr 3/4 veranschaulichenden Werdegang zum Polygon. Sie werden nicht

Bild 2.34 Vier Kr#fte an einem Punkta) Lageplan, b) Kr#fteplan mit wiederholterParallelogrammkonstruktion


mitgezeichnet. Das Krafteck wird !bersichtlich,wenn die Reihenfolge der Kr#fte so gew#hlt wird,dass sich der Kr#ftezug nicht selbst schneidet,was bei der Folge F3, F4, F1, F2 geschehenw!rde.

Der L"sungsgang kann ebenfalls sinngem#ß inden zuvor erl#uterten f!nf Arbeitsschritten erfol-gen.

Beispiel 2.13An einem Telegrafenmast sind in einer Ebene dreiDr#hte befestigt, in denen die Kr#fte 350 N, 500 Nund 300 N unter den in Bild 2.36 angegebenen Win-keln wirken. Die Resultierende dieser Kr#fte ist zeich-nerisch zu ermitteln mit einem Maßstabfaktor von100 N/cm.

Bild 2.36 Kr#fte an einem Telegrafenmast

L"sung:Gegeben: F1 ¼ 350 N, F2 ¼ 500 N, F3 ¼ 300 N,

b ¼ 65", g ¼ 130", mF ¼ 100 N/cm,damit F1 gez ¼ 3,5 cm, F2 gez ¼ 5 cm,F3 gez ¼ 3 cm.

Gesucht: Fr und ar als Richtungswinkel zu F1.1. Schritt: Entf#llt, da die angreifenden Kr#fte undderen Lagen bekannt sind (Bild 2.36)2. Schritt: In den Lageplan werden die WirklinienW1, W2 und W3 unter den Winkeln b und g gezeich-net und die Kr#fte unmaßst#blich eingetragen(Bild 2.37a).

3. Schritt: Der Kr#fteplan wird mit F1 gez begonnen(Bild 2.37b). Anschließend wird F2 gez unter demWinkel b angetragen und daran F3 gez unter demWinkel g angef!gt. Die richtigen Winkel entstehendurch Parallelverschieben der Wirklinien aus demLageplan in den Kr#fteplan. Anfang und Ende desKr#ftezuges werden verbunden, so dass ein Krafteckentsteht.4. Schritt: Die Wirkrichtung der Resultierendenwird durch Anbringen des Richtungspfeiles angege-ben. Seine Spitze weist auf das Ende des Kr#fte-zuges, liegt also an der Spitze von F3.


5. Schritt: Die Vektorl#nge der ermittelten Resultie-renden und ihr Richtungswinkel zur Kraft F1 werdenim Kr#fteplan gemessen: Fr gez ¼ 4,63 cm, ar ¼ 54".Durch Parallelverschieben in den Lageplan ergibtsich die Lage von Fr. Es betragen:

Fr ¼ 4,63 cm ' 100 N=cm ¼ 463 N, ar ¼ 54":

Wirken mehrere Kr#fte auf derselben Wirk-linie, dann liegt auch die Resultierende Fr bzw.die Gleichgewichtskraft F auf dieser Wirklinie(Bild 2.38). Kr#fteparallelogramm und Krafteckwerden zu einer Strecke. Zur !bersichtlichenDarstellung zeichnet man die Kraftvektorendicht neben die Wirklinie und markiert die Vek-torl#ngen durch kurze Querstriche.

Bild 2.35 Kraftecke als Kr#ftepolygonea) Reihenfolge F1, F2, F3, F4, Fr, b) ge#nderteReihenfolge F3, F2, F1, F4, Fr, c) wie b), je-doch am Ende mit F als Gegenkraft zu Fr

Bild 2.38 Kr#fte auf gleicher Wirkliniea) zwei Kr#fte gleicher Richtung, b) zweiKr#fte entgegengesetzter Richtung, c) dreiKr#fte verschiedener Richtung


2.2.3 Rechnerische Kr#fteermittlung

Kr#fte auf gemeinsamer WirklinieDie Berechnungsgleichungen ergeben sich ausBild 2.38. Danach gilt f!r die aus n Einzelkr#f-ten gebildete

ResultierendeFr ¼ SFi ¼ F1 þ F2 þ F3 þ . . .þ Fn ð2:1ÞIn diese Gleichung sind Kr#fte mit entgegen-gesetzter Wirkrichtung mit verschiedenen Vor-zeichen einzusetzen. Vorzugsweise werden waa-gerecht nach rechts und senkrecht nach obenwirkende Kr#fte positiv angenommen und zudiesen entgegengesetzt wirkende negativ.Die Gegenkraft zur Resultierenden, die Gleichge-wichtskraft F, die das Kr#ftesystem im Gleich-gewicht h#lt, folgt aus der Gleichgewichts-bedingung SF ¼ 0, also F þ Fr ¼ 0 oderF þ SFi ¼ 0, weil bei Gleichgewicht die Resul-tierende und damit die Summe aller Kr#fte gleichnull ist. Somit betr#gt f!r n Einzelkr#fte die

GleichgewichtskraftF ¼ $SFi ¼ $ðF1 þ F2 þ F3 þ . . .þ FnÞ

ð2:2ÞAuch in dieser Gleichung sind entgegengesetzteWirkrichtungen durch verschiedene Vorzeichenzu unterscheiden. Die Wirkrichtung der errech-neten Kraft ergibt sich aus dem Vorzeichen desErgebnisses.

Zwei Kr#fte, deren Wirklinien sich recht-winklig schneidenAus Bild 2.39 folgt nach dem Lehrsatz des Py-thagoras der Betrag f!r die

Resultierende Fr ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiF21 þ F2

2

qð2:3Þ

Zur Kraft F1 folgt f!r den

Richtungswinkel tan ar ¼ F2

F1ð2:4Þ

Damit ergibt sich die

Resultierende Fr ¼ F1

cos ar¼ F2

sin arð2:5Þ

Die Gleichgewichtskraft F zu den Kr#ften F1und F2 sowie ihr spitzer Richtungswinkel a zurWirklinie von F1 (Bild 2.40) lassen sich sinn-gem#ß mit den Gl. (2.3) bis (2.5) errechnen.

Beispiel 2.14Die Wirklinien zweier Kr#fte von 2 kN und 3,5 kNschneiden sich rechtwinklig wie in den Bildern 2.39und 2.40. Es sind die Gleichgewichtskraft und derenspitzer Richtungswinkel zur Wirklinie der kleinerenKraft zu errechnen.L"sung:Gegeben: F1 ¼ 2 kN, F2 ¼ 3,5 kN.Gesucht: F und a.Aus Bild 2.40 folgen entspr. Gln. (2.3) und (2.4) f!rdie Gleichgewichtskraft

F ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiF21 þ F2

2

q¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffið2 kNÞ2 þ ð3,5 kNÞ2

q¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi22 þ 3,52

pkN ¼ 4,03 kN

und f!r den Richtungswinkel

tan a ¼ F2

F1¼ 3,5 kN

2 kN, daraus a ¼ 60,26":

Die errechnete Kraft F ist so groß wie die Resultie-rende Fr und liegt auf derselben Wirklinie, wirkt je-doch entgegengerichtet zu Fr.

Zwei Kr#fte, deren Wirklinien sich schief-winklig schneidenF!r die in Bild 2.41 den Winkel g einschließen-den Kr#fte F1 und F2 erh#lt man die Resultie-rende Fr aus dem Cosinussatz

F2r ¼ F2

1 þ F22 ( 2 ' F1 ' F2 ' cosð180" ( gÞ

Da cosð180" ( gÞ ¼ (cos g ist, betr#gt die

Resultierende

Fr ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiF21 þ F2

2 þ 2 # F1 # F2 # cos gq

ð2:6ÞDer Winkel zwischen der Resultierenden Fr undder Kraft F1 ergibt sich aus dem Sinussatz

Bild 2.39 Resultierende von zwei rechtwinklig zueinan-der wirkenden Kr#ftena) Kr#fteparallelogramm (Rechteck),b) Krafteck (rechtwinkliges Dreieck)

Bild 2.40 Berechnungsskizze zurErmittlung der Gleich-gewichtskraft


sin arF2

¼ sinð180" ( gÞFr

Mit sinð180" ( gÞ ¼ sin g folgt f!r den

Richtungswinkel sin ar ¼ sin g # F2

Frð2:7Þ

Mit dem Sinus- und dem Cosinussatz lassensich auch die Gleichgewichtskraft, die Kom-ponenten und alle Winkel in einem schiefwink-ligen Kr#ftedreieck errechnen.

Beispiel 2.15Die Seilkr#fte in den Spannseilen nach Beisp. 2.12sind rechnerisch zu ermitteln (Bild 2.42).

Bild 2.42 Berechnungsskizzea) Mast mit Halteseil und Spannseilen,b) freigemachter Mast, c) Krafteckskizze

L"sung:Gegeben: F ¼ 750 N, a ¼ 45", b ¼ 33":Gesucht: F1 und F2.Mit dem Winkel g ¼ 180" ( a( b¼ 180" ( 45" ( 33" ¼ 102" folgen aus dem Sinus-satz

F1

sin b¼ F2

sin a¼ F

sin g

die gesuchten Kr#fte

F1 ¼ Fsin bsin g

¼ 750 Nsin 33"

sin 102"¼ 418 N

F2 ¼ Fsin asin g

¼ 750 Nsin 45"

sin 102"¼ 542 N

Mehr als zwei Kr#fteZweckm#ßig bedient man sich eines x,y-Koor-dinatensystems (Bild 2.43), in dem die Vektorender Kr#fte im Achsenschnittpunkt beginnen.Alle Kr#fte werden in Richtung der beiden Ko-ordinatenachsen zerlegt, so dass sich nur zweisenkrecht zueinander stehende Wirkrichtungenergeben und sich alle Komponenten leicht zu-sammenfassen lassen.

Mittels der Winkelfunktion erh#lt man die

Komponentender Einzelkr#fte

Fix ¼ Fi # cos ai ð2:8ÞFiy ¼ Fi # sin ai ð2:9Þ

mit i ¼ 1, 2, 3 . . . n bei n Einzelkr#ften und aials spitzem Winkel der Kraft Fi zur x-Achse.

Bild 2.41 Zur Berechnung schiefwinkliger Kr#ftedrei-eckea) Lageplan, b) Krafteck

Bild 2.43 Kr#ftezerlegung und -zusammensetzung imKoordinatensystema) Zerlegen von Einzelkr#ften, b) Zusammen-setzen zur Resultierenden


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