GÖLDNER/HOLZWEISSIG

Leitfaden der Technischen Mechanik

Statik· Festigkeitslehre . Kinematik· Dynamik

Leitfaden der Technischen Mechanik

Statik· Festigkeitslehre · Kinematik· Dynamik

für Studierende an Technischen Hochschulen und Fachhochschulen

Prof. Dr.-Ing. habil. Hans Göldner Prof. Dr.-Ing. habil. Franz Holzweißig

8. Auflage. Mit 602 Bildern

SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek

Göldner, Hans Leitfaden der technischen Mechanik : Statik, Festigkeitslehre, Kinematik, Dynamik ; für Studierende an Techn_ Hochsch. u. Fachhochsch. I Hans Göldner ; Franz Holzweissig. - 8. Aufl. -

ISBN 978-3-662-12255-6 ISBN 978-3-662-12254-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-12254-9

NE: Holzweissig, Franz:

® Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1984 Ursprünglich erschienen bei SteinkopffVerlag Darmstadt 1984 Softcover reprint of the hardcover 8th edition 1984

Lizenzausgabe für den Dr. Dietrich Steinkopff Verlag, Darmstadt 8. Auflage

Satz: VEB Druckhaus Köthen Fotomechanischer Nachdruck: Grafische Werke Zwickau Redaktionsschluß : 15. 3. 1984

Vorwort

Das Studienfach "Technische Mechanik" ist für technische Studienrichtungen von großer Bedeutung. Mit dem vorliegenden Leitfaden wollen die Verfasser den Studen­ten ein Buch in die Hand geben, das ihnen bei der Erarbeitung des für den Ingenieur wichtigen Fachgebietes hilft. Der Inhalt entspricht dem Stoff, der an Technischen Hochschulen und Ingenieurhochschulen den Studenten der Grundstudienrichtung Maschineningenieurwesen vorgetragen wird. Über den eigentlichen Lehrstoff hinaus­gehende Betrachtungen werden als Ergänzungen dem jeweiligen Abschnitt angefügt und sind mit einem Stern versehen. In knapper Form werden die theoretischen Grund­lagen geboten, wobei auf den Kenntnissen der vorleistenden Bildungseinrichtun­gen aufgebaut wird. Beispiele, deren selbständige Durchrechnung empfohlen wird, unterstützen das Verständnis. Der Stoff wird in die Gebiete Statik, Festigkeitslehre, Kinematik und Dynamik ge­gliedert. Formel- und Bildnumerierungen werden abschnittsweise vorgenommen. Bei Bezugnahme auf Formeln oder Bilder eines anderen Gebietes wird vor die Num­mer der Anfangsbuchstabe des Gebietes gesetzt. Das Buch wurde parallel in zwei Teilen geschrieben. Während die Gebiete Statik und Festigkeitslehre von Prof. Dr.-Ing. habil. GÖLDNER behandelt wurden, übernahm Prof. Dr.-Ing. habil. HOLZWEISSIG die Kinematik, die Dynamik und die Einführung. Beide Verfasser hielten es nicht für notwendig, eine Abstimmung des Stiles vorzu­nehmen, sondern sind der Meinung, daß dadurch die unterschiedliche Vortragsweise verschiedener Dozenten unterstrichen wird und eine gewisse Farbigkeit in der Dar­stellung entsteht. Eine inhaltliche Abstimmung ist jedoch, wie man feststellen wird, erfolgt. Inhalt und Aufbau des Buches haben die Verfasser mit mehreren Fachkollegen bera­ten. Sie danken besonders für wertvolle Hinweise den Herren Prof. Dr. sc. techno FISCHER, Prof. Dr.-Ing. WITT und Dr. sc. techno SÄHN. Frau Dipl.-Ing. GÖLDNER half uns beim Lesen der Korrektur. Auch dem VEB Fach­buchverlag Leipzig, der sich für die Publikation von Büchern zur Technischen Mecha­nik stets besonders einsetzt, danken die Verfasser für die ordentliche Ausstattung und die rasche Bearbeitung dieses Buches.

Prof. Dr.-Ing. habil. HANS GÖLDNER Prof. Dr.-Ing. habil. FRANz HOLZWEISSIG

INHALTSVERZEICHNIS

1. 1.1. 1.2. 1.8.

2.

2.1.

2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.2.1. 2.2.2.2. 2.2.2.3. 2.2.3. 2.2.4.

3. 3.1. 3.1.1. 8.1.2. 3.2. 8.2.1.

3.2.2. 3.2.3. 3.3. 3.8.1. 3.3.2.

Vorwort.......................................................... Ö

Einführung und geschichtlicher Vberblick . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Statik............................................................. 23

Grundbegriffe ............•........................................ 23

Die Kraft .•....................................................... 23 Das Gleichgewicht ................................................. 25 Der starre Körper . . . . . . . . . . . . . • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Das ebene Kraftsystem .........••....•......•.....•......••........ 25

Ebene Kräftegruppen, deren Wirkungslinien durch einen Punkt gehen (Das zentrale ebene Kraftsystem) .................................... 26 Zusammensetzung von Kräften •..................................... 26 Kraftzerlegung .................................................... 28 Gleichgewicht ..................................................... 29 Das allgemeine, ebene Kraftsystem .. .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . . .. . .. 30 Grafische Ermittlung der Resultierenden . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 30 Kräftepaar und Moment ............................................ 31 Kräftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . 31 Moment einer Kraft in bezug auf eine Achse .......................... 32 Versetzungsmoment ................................................ 33 Analytische Ermittlung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Gleichgewichtsbedingungen ......................................... 35

Ebene Tragwerke ..............•......................•........•... 36

Grundbegriffe .....................•............................... 36 Grundelemente der Tragwerke ....................................... 36 Lager und Verbindungen ....•........•............................. 37 Bestimmung der Auflagergrößen einfacher Tragwerke .................. 40 Stützung eines Trägers durch ein Festlager (Gelenk) und ein Loslager (Rollenlager) ....•.............................................•... 40 Stütz~g .e~er. Scheibe durch .. drei Pendelstützen (Rollenlager) ........... 41 Der emseltlg emgespannte Trager ..............•..................... 42 Schnittgrößen eines Trägers ......................................... 44 Gerader Träger mit Einzellasten . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . 46 Träger auf zwei Stützen mit Dreieckslast ............................. 47

8.3.3. 8.4. 3.4.1. 3.4.2. 3.4.3. 8.4.4.

8.4.4.1.

8.4.4.2.

3.4.4.3. 3.4.5. 3.4.5.1. 3.4.5.2. 3.4.5.3. 3.4.5.4.* 3.4.5.4.1. 8.4.5.4.2. 3.4.5.4.3. 3.4.6.*

4.

4.1.

4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.2.

4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4.

5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.* 5.6.

6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Inhaltsverzeichnis 7

Abgewinkelter Träger mit Verzweigung ............................... 49 Ebene Statik der Systeme starrer Körper ............................. 51 Einteilung der Tragwerke ........................................... 51 Diskussion der getroffenen Annahmen ................................ 52 Statische Bestimmtheit der Tragwerke. . .... ... . ... ....... .... ... ... .. 53 Ermittlung der Auflagerreaktionen, Gelenkkräfte und Schnittgrößen von Stabwerken ..................................................•.... 55 Systeme gerader Träger - Lager und Verbundgelenke liegen auf einer Geraden (GERBER-Träger) ........................••..•...•.......••. 55 Gerade, gekrümmte oder abgewinkelte Träger - Lager und Verbundgelenke liegen nicht auf einer Geraden (Dreigelenkträger) ...................... 58 Sprengwerk ..............•........................................ 61 Fachwerke •....................................................... 63 Bildungsgesetze für Fachwerke - Ausnahmefachwerke ................. 63 Rechnerische Bestimmung der Stabkräfte (Schnittverfahren) ............ 65 Grafische Bestimmung der Stabkräfte (CREMoNA-Plan) ................. 68 Weitere Lösungsverfahren .......................................... 72 Methode der Stabvertauschung ...................................... 72 Verfahren des unbestimmten Maßstabes.... ... . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . .. 73 Doppelschnittverfahren ..•.•.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Seile und Ketten....... ...•... ............ .. . ... . .. . . .. ... . ... .. . .. 75

Das räumliche Kraftsystem 78

Kräfte im Raum, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden (Das zentrale räumliche Kraftsystem) ................................ 78 Kraftkomponenten ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Gleichgewichtsbedingungen ......................................... 79 Bockgerüst ... ... ... . .. . ... ... . ... ....... .... .... . .. . ... .. . . ... .... 79 Kräfte im Raum, deren Wirkungslinien sich nicht in einem Punkt schneiden (Das allgemeine räumliche Kraftsystem) .............................. 80 Moment.......................................................... 80 Zusammensetzung beliebiger Kräfte .................................. 81 Gleichgewichtsbedingungen ......................................... 83 Schnittgrößen ..................................................... 85

Der Schwerpunkt •..•......•...............•....................... 88

Definition des Schwerpunktes ....................................... 88 Körper- und Volumenschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88 Flächenschwerpunkt ............................................... 89 Linienschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 Die Sätze von GULDIN ..................................... '" . . .. .. 89 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . .. 90

Reibung zwischen festen Körpern .................................... 91

Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91 Gleitreibung (COULOMBsche Reibung, trockene Reibung) ..........•..... 94 Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Zapfenreibung ......... ,. . . .. . . .. . . ... . ... . ... . . . . . ... . .. . . . .. . . ... 96 Rollreibung .•..................................................... 97

8

1.

1.1. 1.2. 1.3. 1.3.1. 1.3.2. 1.3.2.1. 1.3.2.2. 1.3.2.3. 1.3.3. 1.3.3.1. 1.3.3.2. 1.3.3.3. 1.4. 1.5. 1.5.1. 1.5.1.1. 1.5.1.2. 1.5.1.3. 1.5.1.3.1. 1.5.1.3.2. 1.6. 1.6.1. 1.6.2. 1.6.3.

1.6.4.

1.7. 1.8.

2.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4. 2.5.

3.

3.l. 3.~. 3.2:1. 3.2.2.

3.2.3. 3.2.3.1. 3.2.3.2. 3.2.3.3.*

Inhaltsverzeichnis

Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98

Grundlagen der Festigkeitslehre ..................................... 98

Einleitung ........................................................ 98 Belastungsarten und LastfäIIe ....................................... 99 Definition der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100 Der einachsige Spannungszustand .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101 Der zweiachsige Spannungszustand ................................... 103 Spannungen an geneigten Schnittflächen .............................. 104 Hauptspannungen .......................•......................... 105 MOHRscher Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107 Der dreiachsige (räumliche) Spannungszustand ...........•............ 109 Spannungstensor ................................................... 109 Hauptspannungen und Invarianten des räumlichen Spannungszustandes .. 110 MOHRscher Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112 Verschiebungen und Verzerrungen ................................... 112 Materialverhalten .....................................•............ 115 Lineares Elastizitätsgesetz - HOOKEsches Gesetz .......•.............. 116 HOoKEsches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand .............. 116 Formänderungen durch Schubspannungen ............................ 118 Verallgemeinertes HOoKEsches Gesetz ................................ 120 Ebener Spannungszustand ..............................•........... 121 Ebener Verzerrungszustand ......................................... 121 Formänderungsarbeit und Ergänzungsarbeit ........................... 123 Voraussetzungen ................................................... 123 Formänderungsenergie bei einachsiger Zugbeanspruchung ............... 123 Formänderungsenergie und Ergänzungsenergie für den ebenen Spannungs-zustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124 Formänderungsenergie und Ergänzungsenergie für den räumlichen Spannungszustand .................................•.............. 126 Zusammenfassung ................................................. 128 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128

Zug und Druck .................................................... 135

Voraussetzungen und Grundlagen .................................... 135 Spannungen und Verformungen von Stäben mit konstantem oder wenig veränderlichem Querschnitt ......................................... 136 Spannungen in Stäben mit stark veränderlichem Querschnitt ............ 138 Statisch unbestimmte Probleme ..................................... 138 Wärmespannungen ................................................. 141

Biegung ........•.•............................................... 143

Voraussetzungen und Grundlagen .................................... 143 Flächenträgheitsmomente - Momente 2. Ordnung ..................... 145 Definition ......................................................... 145 Trägheits- und Zentrifugalmomente bei Parallelverschiebung der Koordinatenachsen ...........•......................•••.••..••..... 146 Trägheits- und Zentrifugalmomente bei Drehung des Koordinatensystems. 147 Hauptträgheitsmomente und Hauptträgheitsachsen ...........•........ 148 Trägheitskreis von MOHR-LAND •..................................... 149 Trägheitsellipse .. . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . .. 150

3.2.4.* 3.3. 3.3.l. 3.3.2. 3.3.2.l. 3.3.2.2. 3.4. 3.4.1. 3.4.2. 3.4.3. 3.5. 3.5.l. 3.5.2.* 3.6. 3.6.l.

3.6.2. 3.6.3.

3.6.4.

3.7.* 3.7.l. 3.7.2. 3.7.3. 3.7.4. 3.7.5. 3.7.6. 3.7.7. 3.7.8. 3.7.9. 3.7.9.l. 3.7.9.2. 3.7.9.2.l. 3.7.9.2.2. 3.8. 3.9.

4.

4.l. 4.2. 4.3. 4.4.* 4.5. 4.5.l. 4.5.2.* 4.6.

5. 5.l. 5.2. 5.3.*

Inhaltsverzeichnis 9

Zeichnerische Ermittlung von Trägheitsmomenten ..................... 151 Ermittlung der Spannungsverteilung bei Biegung ...................... 152 Gerade Biegung ................................................... 152 Schiefe Biegung ................•.....•............................ 153 x, Y sind Hauptträgheitsachsen •..................................... 153 x, y sind keine Hauptträgheitsachsen ................................. 154 Überlagerung von Biege- und Längskraftspannungen ................... 157 Zug (Druck) und Biegung ........................................... 157 Außermittiger Zug (Druck) .........•.......•.....•................. , 157 Querschnittskem .................................................. 158 Biegung eben gekrümmter, symmetrischer Stäbe . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . .• 159 Stäbe mit schwacher Krümmung ...•................................ 159 Stäbe mit starker Krümmung ................................•...... 159 Verformung bei Biegung .•......................•................... 162 Differentialgleichung 2. Ordnung für die gerade Biegung prismatischer .... Träger •.........•............•................•..•..•............. 162 Differentialgleichung 4. Ordnung für die gerade Biegung ................ 165 Durchlaufverfahren und Matrizenverfahren für die gerade Biegung ....... . prismatischer Stäbe •......................•......•................ 166 Grafisches Verfahren zur Ermittlung der Biegelinie für die gerade Biegung gerader Stäbe ..................................................... 172 Ergänzungen zur Biegetheorie von Stäben ............................ 175 Elastisch gebetteter Balken ......................................... 175 Verformung bei schiefer Biegung prismatischer Stäbe .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 177 Verformung bei gerader Biegung gekrümmter Stäbe ............. , ...... 179 Der kurze Stab - Einfluß der Schubverformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 183 Der breite Stab - Einfluß der Querkontraktion ....................... 185 Die "mittragende" Breite ...................................•....... 186 Biegung gekrümmter Rohre ....................................•.... 187 Nichthomogenes Material ........................................... 187 Wärmespannungen und -verformungen bei Balken .................... 189 Wärmespannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 189 Wärmeverformungen .•............................................. 194 Längsverformung des Balkens ..........••.•••...•..•.•.... " ., .. , .. , 194 Biegeverformungen des Balkens ..................................... 195 Beispiele .....•.................................................... 197 Zusammenfassung •................................................ 206

Schubbeanspruchung infolge Querkraft ......•..•..................... 207

Allgemeine Betrachtungen ...•.......•..•..•..•.••.................. 207 Querkraftschub in einfach zusammenhängenden Querschnitten .......... 207 Querkraftschub in dünnwandigen offenen Profilen ..•.................. 209 Querkraftschub in dünnwandigen geschlossenen Profilen .......•.. " .... 212 Schubmittelpunkt .......•••••..................................... , 213 Offene Profile .............•....................................... 214 Geschlossene Profile .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 215 Beispiele . . • • . • • . . • . • • . . . . . . . . . . . • . . . • . • . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . . • .. 216

Reine Torsion prismatischer Stäbe •..........•....................... 218

Voraussetzungen und Grundlagen .................................... 218 Torsion kreiszylindrischer Stäbe ..................................... 219 Torsion von Stäben mit elliptischem Querschnitt •...........•••• - - . . . .• 221

10 Inhaltsverzeichnis

.0.4. * Membrangleichnis und hydrodynamisches Gleichnis .................... 224 5.5. Torsion dünnwandiger geschlossener Querschnitte ....... . . . . . . . . . . . . . .. 225 5.6. Torsion dünnwandiger offener Querschnitte ........................... 227 .0.7. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229

-6.

-6.1. -6.2. -6.3. -6.3.1. '6.3.2. '6.3.3. '6.3.4. -6.3.5.

7. '7.1. 7.2. 1.2.1. 1.2.2. '7.2.3. 7.3.

8. 8.1. 8.2.

8.3. 8.4. 8.5.

8.6. 8.7. 8.8. 8.8.1. 8.8.2. 8.8.3.* 8.9.* 8.9.1. 8.9.2.

9.

Spannungen in dünnwandigen rotationssymmetrischen Behältern unter Innendruck ................................................. 231

Grundlagen und Voraussetzungen .................................... 231 Ermittlung der Spannungen ...... . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234 Kugelkessel ....................................................... 234 Zylindrisches Rohr ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234 Kegeliger Behälter ................................................. 234 Kreisringbehälter .................................................. 235 Zusammengesetzter Behälter ........................................ 235

Einflußzahlen ..................................................... 237

Grundlagen ....................................................... 237 Symmetrie der Einflußzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 239 Kräfte und Durchbiegungen ...... '.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 239 Momente und Verdrehungen ........................................ 240 Einfluß der Kräfte und Momente auf die Verdrehungen und Durchbiegungen 241 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 242

Sätze von CASTIGLIANO ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 244

Grundlagen ....................................................... 244 Beispiele zur Anwendung des Satzes von CASTIGLIANO auf statisch bestimmte Träger ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 247 Berechnung der Einflußzahlen nach dem Satz von CA.STIGLIA.NO • • • • • • • • •• 249 Berechnung äußerlich statisch unbestimmter Probleme ................. 250 Anwendung des Satzes VOll CASTIGLIANO auf innerlich statisch unbestimmte Systeme .......................................................... 254 Symmetrie. und Antimetriebetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 258 Berücksichtigung der Biege., Zug., Torsions· und Querkraftschubarbeit ... 260 Elastische Formänderung von Fachwerken ............................ 263 Statisch bestimmte Fachwerke ...................................... 263 Statisch unbestimmte Fachwerke .................................... 265 Ausnahmefachwerk .................•.............................. 266 Wärmespannungsprobleme .......................................... 267 Grundlagen ....................................................... 267 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269

Einführung in die Stabilitätstheorie ......•.•......................... 272

9.1. Allgemeine Betrachtungen .......................................... 272 9.2. Elastische Knickung gerader und leicht gekrümmter Stäbe; Differential.

gleichungen der Theorie 2. Ordnung .................................. 277 9.3. Näherungsmethoden zur Berechnung der kritischen Last . . . . . . . . . . . . . . .. 289 9.3.1. Einfache Glättung ................................................. 289 9.3.2. Verfahren von GALERKIN ........................................... 290 9.3.3. Energiemethode ................................................... 291 9.4. * Elastische Knickung gerader Stäbe - Theorie 3. Ordnung .............. 294

9.5. 9.6.* 9.6.1. 9.6.2.

10.

10.1. 10.1.1. 10.1.2. 10.1.3. 10.1.3.1. 10.1.3.2. 10.1.4. 10.2. 10.2.1. 10.2.2. 10.2.3. 10.3. 10.3.1. 10.3.2. 10.3.3. 10.3.4. 10.4. 10.4.1. 10.4.2. 10.4.3. 10.4.4. 10.5.

11. 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5.

12.

12.1. 12.2. 12.2.1. 12.2.2.* 12.3.

12.3.1. 12.3.2. 12.4.

12.4.1. 12.4.2.* 12.4.3.* 12.5. 12.5.1.

Inhaltsverzeichnis 11

Knickspannungen . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . • . . . • . . . . . • . . . . . . . . . • . . . •. 295 Ergänzungen zur Berechnung von Knicklasten ......•........•..••.••. 299 Nicht richtungstreue Kraft . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . •. 299 Einfluß der Schubverformung auf die Knicklast ............ _ . . . . . . • . . .• 300

Rotationssymmetrische Spannungszustände •.•.••..•.•.............•.. 302

Das dickwandige Rohr ...•................•....................••.. 303 Gleichgewicht am Volumenelement . . . . . . . . • • . . . . . . • • . . • . . . . . . . . • . . • •. 303 Verformungen - Dehnungen - Stoffgesetz •..•......................• 303 Die Differentialgleichung für die Radialverschiebung und deren Lösungen •. 304 Lösung als ebener Verzerrungszustand .••...............•............. 305 Lösung als ebener Spannungszustand ...•...•....................•... 306 Beispiele ...•..........•..•...................................... " 306 Rotierende Scheiben ...•.•..•....•......•.....................••... 308 Gleichgewicht am Volumenelement • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . • . .. 308 Verformungen - Dehnungen - Stoffgesetz ........................... 308 Die Differentialgleichung für die Radialspannung und deren Lösungen .... 308 RotationBsymmetrisch belastete Kreisringplatten •........•............ 312 Voraussetzungen . . • . . • . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . .. 312 Gleichgewichtsbedingungen •..•...•..•......•....................... 312 Formänderungsbetrach~ungen und HooKEsches Gesetz ................. 313 Differentialgleichung und ihre Lösungen .............................. 314 Kreiszylinderschalen .......•.............•......................... 317 Voraussetzungen .•........•••...........................•... " ...•. 317 Gleichgewichtsbedingungen • . • • . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .. 318 Formänderungsbetrachtungen und HOoKEsches Gesetz ................. 318 Differentialgleichung und ihre Lösungen ..................•......•.... 320 Zusammenfassung •.••................•............................ 322

Vergleichsspannungshypothesen •.................................... 322

Hauptspannungshypothese ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .. 323 Hauptdehnungshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • .. 323 Schubspannungshypothese .......................................... 323 Gestaltänderungshypothese .•....................................•.. 324 Anwendung der Hypothesen auf spezielle Beanspruchungsarten . . . . . . . . .. 325

Einblick in die Betriebsfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 326

-Einführung ...........................................•............. 326 Grundlagen zur Erfassung der Beanspruchungen ......................... 328 Schwingende BeanspruJhungen .......................................• 328 Stochastische Beanspruchungen . . . . . . . • . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 330 Versagensformen, Erscheinungsformen des Bruches und statische Festigkeits-kenngrößen ......................................................... 334 Bruch bei statischer Belastung ........................................ 335 Bruch bei zyklischer Bclastung ........................................ 336 Ermittlung und Darstellung der Festigkeitskenngrößen bei dynamischer Be-anspruchung ........................................................ 338 Einstufen-Dl.uerschwingversuch ....................................... 338 Blockprogrammversuch .............................................. , 345 Random-Versuch .................................................... 345 Einflußgrößen auf die Gestaltfestigkeit ................................. 345 Form~hl lXK und bezogenes Spannungsgefälle ...•....................... 346

12 Inhaltsverzeichnis

12.5.2. 12.5.3. 12.5.4. 12.5.5. 12.5.6. 12.6. 12.7.*

13.

13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6.

Kerbwirkungsz9.hl {JK .. . • • • • • • • • . • . • . . • • • . • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • . • • • • • •• 351 Anisotropie ......................................................... 353 Größenfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 354 Querschnittsform .................................................... 355 Oberflächenfaktor .................................................... 356 Berechnung der Gestaltfestigkeit ....................................... 357 Bruchmechanik ...................................................... 359

Einblick in die Plastizitätstheorie .................................... 364

Einführung ....................................................... 364 Spannungs-Dehnungs-Modelle ....................................... 364 Zug .............................................................. 365 Biegung .......................................................... 367 Torsion ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 369 Mehrachsige Spannungszustände ..................................... 370

14. Einblick in die Viskoelastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 370

14.1. 14.2. 14.2.1. 14.2.2. 14.2.3. 14.3. 14.4. 14.5_

Einführung ....................................................... 370 Das Materialgesetz für einen Werkstoff mit "linearem Gedächtnis" ....... 371 Voraussetzungen ................................................... 371 Herleitung des Stoffgesetzes .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 372 Elastisches Verhalten als Sonderfall viskoelastischen Materials ........... 374 Gerade Biegung als Anwendung ..................................... 375 Relaxation ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 377 ZusammenfaBBung ................................................. 378

Kinematik ........... .............................................. 379

1. Kinematik des Punktes ............................................. 379

1.1. Darstellung der Bewegung .......................................... 379 1.2. GeradlinigE.' Bewegung des Punktes .............................•..... 380 1.2.1. Die kinematischen Grundaufgaben .............................•..... 380 1.2.2. Beispiele zur geradlinigen Bewegung ................................. 381 1.3. Allgemeine Bewegung des Punktes •••••••...•..•....•..•.•....•..•.•• 386 1.3.1. Darstellung in kartesischen Koordinaten .............................• 387 1.3.2. Darstellung in Bahnkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 388 1.3.3. Darstellung in Zylinderkoordinaten .................................. 390 1.3.4. Beispiele zur allgemeinen Punktbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 392

2. Kinematik des starren Körpers .............•.....................•.• 397

2.1. Allgemeine Bewegung des starren Körpers ............................ 398 2.1.1. Translation .................................................•..... 398 2.1.2. Rotation .......................................................... 398 2.1.3. Zusammengesetzte Bewegung .........•.....•....................... 400 2.2. Ebene Bewegung des starren Körpers ................................ 400 2.2.1. Der Momentanpol .................................................. 400 2.2.2. Grafische Verfahren der Kinematik .................................. 401 2.3. Beispiele zur Kinematik des starren Körpers .......................... 404

Inhaltsverzeichnis 13

3. Relativbewegung .................................................. 408

3.1. Geschwindigkeits. und Beschleunigungsermittlung ..................... 408 3.2. Beispiele zur Relativbewegung ....................................... 410

1. 1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.2.1. 1.1.2.2. 1.1.2.3. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.4.1. 1.1.4.2. 1.1.4.3. 1.1.4.4. 1.1.5. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5.

2. 2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.2.1. 2.2.2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

3.

3.1. 3.2. 3.2.1. 3.2.1.1. 3.2.1.2. 3.2.2. 3.2.2.1. 3.2.2.2. 3.2.2.3. 3.2.2.4. 3.2.3.

Dynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 415

Dynamik der Punktmasse ........................................... 415 Dynamisches Grundgesetz und seine Anwendungen ..................... 415 Dynamisches Grundgesetz .......................................... 415 Einige Kraftgesetze der Dynamik .................................... 416 Gravitation und Schwerkraft ........................................ 417 Federkräfte ....................................................... 418 Widerstandskräfte ....•...........................................• 419 Beispiele zur Fragestellung: Bewegung gegeben, Kraft gesucht •......•... 420 Beispiele zur Fragestellung: Kraft gegeben, Bewegung gesucht ........... 422 Allgemeine Beispiele ..............................................• 422 Schiefer Wurf .. " ................................................. 426 Bewegung mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 429 Erdferne Bewegung ................................................ 431 Beispiel zur gemischten Fragestellung ................................ 434 Folgerungen des dynamischen Grundgesetzes .......................... 435 Impulssatz ............•.•.....•..••......•........................ 435 Impulsmomentensatz, Drallsatz, Flächensatz .......................... 436 Arbeitssatz, Energiesatz, Potentialbegriff ............................. 437 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . .. 439 Beispiele zur Anwendung von Impulssatz und Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . .. 441

Dynamik der Bewegung des starren Körpers in einer Ebene .........••.• 447 Translation ....................................................... 447 Rotation um eine feste Achse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 448 Dynamisches Grundgesetz der Drehbewegung ......................... 448 Achsenbezogene Massenträgheitsmomente .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 448 Beispiele für die Berechnung von Massenträgheitsmomenten . . . . . . . . . . . .. 449 Satz von STEINER für Massenträgheitsmomente ........................ 450 Gegenüberstellung von Translation und ebener Rotation ................ 451 Zusammengesetzte Bewegung ....................................... 452 Beispiel zur ebenen Bewegung-des starren Körpers ................... ,. 452

Sätze über die Dynamik des Systems von Punktmassen (Punkthaufen) und starre Körper ..................................................... 455 Freiheitsgrad und Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 456 Fundamentalsätze des Punkthaufens ................................. 458 Schwerpunktsatz und seine Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 458 Schwerpunktsatz .................................................. 458 Reaktionskräfte und Massenausgleich an ebenen Mechanismen ........... 460 Impulssatz, Drallsatz und ihre Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 463 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 463 Impulsmomentensatz und Drallsatz ................................ ,. 464 Stoß ............................................................. 466 Kupplungsvorgang von Drehbewegungen um eine starre Achse .......... 472 Arbeitssatz ........................................................ 474

14 Inhaltsverzeichnis

4.

4.1. 4.2. 4.3. 4.3.1. 4.3.2.

6.

Aufstellen der Bewegungsgleichungen mit Hilfe des D'ALEMBERTBchen und des LAGR.A.NGEBchen Prinzips .............. :........................ 476 Prinzip der virtuellen Arbeit und D'ALEMBERTBches Prinzip ............. 477 LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art ................................... 480 Beispiele· zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen ... : . . • . . . . . • . . . • . .. 48& Gegenüberstellung der beiden Verfahren ......................•....... 485 Ableitung der Bewegungsgleichung der starren Maschine mit einem Freiheitsgrad ...................................................•. 491

Dynamik des starren Körpers .•.................................•.•. 496

6.1. Dynamische Kennwerte des starren Körpers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 496 6.1.1. Allgemeine Beziehungen zwischen Trägheitsmomenten und Deviations-

momenten, die Trägheitshauptachsen .................... . . . . . . . . . . . .. 496 6.1.2. Berechnung von Deviationsmomenten ................................ 601 6.1.3. Beispiele für die Berechnung von Trägheitshauptachsen und Haupt-

trägheitsmomenten ................................................ 602 6.2. Kinetische Energie, Impuls und Drall des starren Körpers ............. " 607 6.3. Bewegung des starren Körpers um einen festen Punkt .................. 610 6.3.1. Die EULERschen Gleichungen ....................................... 610 6.3.2. Der Begriff des Kreisels ............................................ 512 6.3.3. Beispiele zur technischen Anwendung der Dynamik des starren Körpers .. 613

6. Schwingungen linearer Systeme mit einem Freiheitsgrad und konstanten Parametern ...........................................•.....•.•... 519

6.1. Kinematik der Schwingungen ........•.............................. 621 6.1.1. Harmonische Zeitfunktionen und ihre Synthese ........................ 621 6.1.2. Periodische Zeitfunktionen und ihre Analyse ... _ ..... __ . _ . . . . . . . . . . . .. 528 6.2. Freie Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad .......•.•..• 635 6.2.1. Freie Schwingungen ungedämpfter Systeme ........................... 635 6.2.2. Freie Schwingungen gedämpfter Systeme ............................. 640 6.2.3. Ermittlung von Systemparametern aus den freien Schwingungen . . . . . . . .. 644 6.2.4. Beispiele zu den freien Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. 646 6.3. Erzwungene Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad ...•... 553 6.3.~. Berechnung der stationären Bewegung bei harmonischer Erregung ....... 553 6.3.2. Stationäre Bewegung bei periodischer Erregung ........................ 657 6.3.3. Ermittlung von Systemparametern aus den erzwungenen Schwingungen .. 561 6.3.4. Beispiele zu den erzwungenen Schwingungen .......................... 567

7. Schwingungen linearer Systeme mit zwei Freiheitsgraden und konstanten Parametern ....................................................... 573

7.1. Freie Schwingungen von Systemen mit zwei Freiheitsgraden ............. 573 7.1.1. Bewegungsgleichungen und ihre Kopplung .................•.......... 573 7.1.2. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen gefesselter Systeme ........... 678 7.1.3. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen freier Systeme ................ 682 7.1.4. Beispiele zur Berechnung freier Schwingungen ......................... 684 7.2. Erzwungene Schwingungen von Systemen mit zwei Freiheitsgraden ...... 689 7.2.1. Bewegungsgleichungen und Resonanzfrequenzen ....................... 589 7.2.2. Berechnung der AU88chläge des ungedämpften Systems, der Tilgereffekt .. 692 7.2.3. Abschätzung der Resonanzausschläge des gedämpften Systems .......... 693

Sachwortverzeichnis • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 697