New Mechanik und Festigkeitslehre -...

Karlheinz Kabus

Mechanik undFestigkeitslehre

7., aktualisierte Auflage

Kabus � Mechanik und Festigkeitslehre

Karlheinz Kabus

Mechanik und Festigkeitslehre

unter Mitarbeit von Bernd Kretschmer und Peter Möhler

mit 530 Bildern, 266 Lehrbeispielenund einer Beilage mit 42 Tabellen, 25 Diagrammenund zahlreichen Formeln

7., aktualisierte Auflage

Dipl.-Ing. Karlheinz Kabus, Studiendirektor i. R. (yÞDipl.-Ing. Bernd Kretschmer, Studiendirektor an der Staatlichen Technikerschule BerlinDr.-Ing. Peter Möhler, Studienrat an der Staatlichen Technikerschule Berlin

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der DeutschenNationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internetüber http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN 978-3-446-43534-6E-Book ISBN 978-3-446-43618-3

Einbandfoto: Gittermastkran (Author: Smial at de.wikipedia), Permission: CC-BY-SA-2.0-DE

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus,vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie,Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unterVerwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

# 2013 Carl Hanser Verlag München

www.hanser-fachbuch.deProjektleitung: Jochen HornHerstellung: Katrin WulstSatz: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad LangensalzaDruck und Bindung: Friedrich Pustet KG, Regensburg

Printed in Germany

Vorwort

Mechanik und Festigkeitslehre gehören zu denwichtigsten theoretischen Grundlagen jedesTechnikers und Ingenieurs. Das vorliegendeBuch will dem studierenden Nachwuchs bei derErarbeitung dieser Grundlagen behilflich seinund ihn zur selbstständigen Lösung praktischerAufgaben befähigen. Es ist besonders für denGebrauch an Technikerschulen und Fachhoch-schulen gedacht. Für das Selbststudium und fürPraktiker, die ihre theoretischen Kentnisse auf-frischen oder erweitern wollen, ist es ebenfallsgeeignet.Der Stoffumfang ist vorwiegend auf das Tech-nikerstudium abgestimmt. Einige Kapitel gehendarüber hinaus, um auch Studenten an Fach-hochschulen ein Hilfsmittel zum besserenVerständnis der Vorlesungen in TechnischerMechanik und interessierten Benutzern Wei-terbildungsmöglichkeiten zu bieten. Auf eineAnwendung der höheren Mathematik wurde ver-zichtet, da diese an Technikerschulen nicht ge-lehrt wird. Bis auf wenige Ausnahmen werdendie Berechnungsgleichungen hergeleitet unddanach als Größengleichungen angegeben, sodass mit beliebigen Einheiten gerechnet werdenkann.Die verwendeten Einheiten und Formelzeichenentsprechen den in einem Verzeichnis zusam-mengestellten neuesten Ausgaben der einschlä-gigen DIN-Normen und den gesetzlich vor-geschriebenen SI-Einheiten. Auf die üblichenEinheiten wird hingewiesen. In Übereinstim-mung mit dem täglichen Sprachgebrauch sowieden Normenempfehlungen werden die WorteGewicht und Last im Sinne einer Massengrößeverwendet. Wenn Gewicht als Kraftgröße ge-meint ist, wird der Ausdruck Gewichtskraft be-nutzt.Die Nummerierung der Bilder, Gleichungen undLehrbeispiele erfolgte kapitelweise. Kontroll-fragen am Ende eines in sich abgeschlossenenSachgebietes sollen die Lernzielkontrolle er-leichtern. Praxishinweise machen auf die Be-deutung des jeweiligen Lernstoffes für die Be-rufsarbeit aufmerksam. Dabei werden auch diefrüher verwendeten, nicht mehr zugelassenenEinheiten und die in der Praxis gebräuchlichenZahlenwertgleichungen erwähnt.Lehrbeispiele aus vielen Gebieten der Technikermöglichen eine Vertiefung des dargebotenenStoffes. Bei der Auswahl der Beispiele wurdeeine enge Beziehung zur Praxis angestrebt.

Für häufig vorkommende Aufgabenarten werdenArbeitsschritte empfohlen. Dem Prinzip derGrößengleichung folgend, sind auch bei denZwischenrechnungen die Einheiten mitgeschrie-ben, so dass man bei umfangreichen Gleichun-gen nicht die Übersicht verliert. Nur wenn Ein-heiten sich offensichtlich herauskürzen, wurdensie weggelassen. Die Genauigkeit der Ergebnis-se wurde in der Regel auf vier Ziffern be-schränkt. Wird mit der gesamten vom Rechnerangezeigten Stellenanzahl weitergerechnet, soergeben sich in manchen Fällen etwas abwei-chende Resultate.Weitere Übungsmöglichkeiten bietet die aufdas Lehrbuch abgestimmte Aufgabensammlung„Mechanik und Festigkeitslehre – Aufgaben“.Sie enthält eine große Zahl vom Leser zu lösen-der Aufgaben.Alle Tabellen und Diagramme (Bildnummernmit vorgesetztem A), die zum Lösen von Auf-gaben benötigt werden, sind in einem separatenAnhang untergebracht, der auch eine Zusam-menstellung der wichtigsten Formeln enthält.Die für Festigkeitsberechnungen erforderlichenWerkstoffkennwerte und sonstige Einflussziffernsowie Erfahrungswerte für erforderliche Sicher-heiten bzw. zulässige Spannungen sind darin an-gegeben, womit die Berechnung vieler Bauteileohne weitere Unterlagen möglich ist. Der losebeigefügte Anhang kann, z.B. bei Prüfungen,unabhängig vom Lehrbuch benutzt werden.Besonderer Wert wurde auf eine Übereinstim-mung mit dem im gleichen Verlag erschienenenLehrbuch Decker „Maschinenelemente“ und dendazugehörigen „Maschinenelemente-Aufgaben“gelegt. Die „Mechanik und Festigkeitslehre“ ent-hält gewissermaßen das theoretische Rüstzeugfür die genannten Bücher.Allen Kolleginnen und Kollegen und Lesern,die uns auf Verbesserungsmöglichkeiten hinge-wiesen haben, sagen wir herzlichen Dank. Beiden Mitarbeitern des Carl Hanser Verlages, be-sonders bei Herrn Jochen Horn, bedanken wiruns für die gute Zusammenarbeit.Wir hoffen, dass auch die 7. Auflage den Stu-dierenden und den Lehrenden ebenso wie denbereits in der Praxis tätigen Technikern und In-genieuren ein brauchbares Hilfsmittel werdenmöge. Anregungen und Verbesserungsvorschlägewerden weiterhin dankbar entgegengenommen.

Bernd KretschmerPeter Möhler

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Aufgaben und Gliederung der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Statik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1 Die Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Kennzeichnung und Darstellung von Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Verschiebesatz und Wechselwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Freimachen und Lagerungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Zentrales ebenes Kräftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Das Kräfteparallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Zeichnerische Kräfteermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3 Rechnerische Kräfteermittlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Allgemeines ebenes Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1 Moment und Kräftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2 Rechnerische Kräfteermittlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Zeichnerische Kräfteermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Räumliche Kräftesysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.1 Zentrales räumliches Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.2 Allgemeines räumliches Kräftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Ebene Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1 Aufbau, Annahmen und Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Ermittlung von Stabkräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.1 Rechnerische Stabkraftermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.2 Zeichnerische Stabkraftermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1 Begriffsbestimmung, Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Schwerpunktberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.2 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.3 Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Gleichgewichtslagen, Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1 Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Haft- und Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.1 Reibungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.2 Reibungswinkel, Selbsthemmung, Haftsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.3 Reibung auf geneigter Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Technische Anwendung des Reibungsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.1 Gleitführungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.2 Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.3 Reibungskupplungen und -bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.4 Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3.5 Rollen und Rollenzüge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.1 Seilreibungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.2 Technische Anwendung der Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5 Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.5.1 Rollwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.5.2 Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.1 Bewegungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 Geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2.1 Gleichförmige geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2.2 Ungleichförmige geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 Kreis- und Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.1 Gleichförmige Kreis- und Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.2 Ungleichförmige Kreis- und Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3.3 Übersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Zusammengesetzte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4.1 Geradlinige Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4.2 Waagerechter und schräger Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4.3 Radialbeschleunigung bei Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4.4 Relativ- und Absolutbewegung, Coriolisbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . 115

7 Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1.1 Trägheitsgesetz, Grundgesetz der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1.2 Anwendung des Grundgesetzes der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.1.3 Trägheitskraft, Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1.4 Impuls, Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2 Arbeit, Energie, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.1 Arbeit einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.2 Energie und Energiesatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.3 Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3 Gerader zentrischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3.2 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.3.3 Plastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3.4 Wirklicher Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.4.1 Grundgesetz der Dynamik für Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.4.2 Trägheitsmomente, Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.4.3 Drehimpuls, Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.4.4 Arbeit, Energie und Leistung bei Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.4.5 Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8 Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.1 Schwingungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.2 Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.2.1 Schwingungen mit geradliniger Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.2.2 Pendelschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.2.3 Dreh- oder Torsionsschwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 Freie gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3.1 Dämpfungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3.2 Geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . 1848.4 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.4.1 Fremderregung von Schwingsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.4.2 Federkrafterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.4.3 Unwucht- oder Massenkrafterregung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.4.4 Kritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.4.5 Schwingungsisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Inhaltsverzeichnis8

9 Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.1 Spannung und Formänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.1.1 Begriff der Spannung und der Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.1.2 Freischneiden, Schnittkräfte und -momente . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.1.3 Normal- und Tangentialspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.1.4 Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.1.5 Dehnung, Hookesches Gesetz, Elastizitätsmodul . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1.6 Schiebung, Gleitmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.1.7 Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.2 Lastfälle, Sicherheiten, zulässige Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.2.1 Lastfälle, Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.2.2 Werkstofffestigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.2.3 Sicherheiten, zulässige Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.3 Zug-, Druck- und Scherbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.3.1 Beanspruchung auf Zug oder Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.3.2 Reiß- und Traglänge bei Zugbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.3.3 Zugspannungen durch Fliehkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.3.4 Wärmespannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.3.5 Flächenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259.3.6 Walzenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.3.7 Beanspruchung auf Scheren (Abscheren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.4 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.4.1 Biegespannungen in geraden Trägern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.4.2 Flächenmomente, Widerstandsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.4.3 Biegemomente, Quer- und Längskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.4.4 Berechnung biegebeanspruchter Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.4.5 Schubspannungen bei Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.4.6 Durchbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.5 Verdrehbeanspruchung (Torsion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.5.1 Verdrehbeanspruchung kreisförmiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . 2649.5.2 Verdrehung nichtkreisförmiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.5.3 Verdrehwinkel, Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689.6 Zusammengesetzte Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.6.1 Überlagerung von Spannungen, Festigkeitshypothesen . . . . . . . . . . . . . 2699.6.2 Biegung mit Zug oder Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.6.3 Biegung mit Verdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.7 Gestaltfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.7.1 Kerbwirkung, Bauteilfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.7.2 Kerbwirkungszahl, Spannungsgefälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.7.3 Berechnung auf Gestaltfestigkeit (Dauerhaltbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . 2819.7.4 Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen nach DIN 743 . . . . . . . . 2899.8 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.8.1 Stabilitätsproblem Knicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.8.2 Elastische Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2969.8.3 Unelastische Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.8.4 Omega-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

10 Hydromechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.1 Einteilung, Eigenschaften von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.2 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30210.2.1 Druckausbreitung in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30210.2.2 Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30610.2.3 Druckkräfte gegen Gefäßwände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30810.2.4 Auftrieb und Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31110.3 Hydrodynamik reibungsfreier Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

Inhaltsverzeichnis 9

10.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31610.3.2 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31710.3.3 Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31810.3.4 Anwendungen der Kontinuitäts- und der Bernoullischen Gleichung . . . . . . . . 32010.4 Kraftwirkungen stationärer Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.4.1 Strömungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.4.2 Rückstoßkraft eines Flüssigkeitsstrahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32910.4.3 Stoßkräfte von Fluidstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33010.5 Hydrodynamik wirklicher Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33210.5.1 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33210.5.2 Laminare und turbulente Strömung, Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . 33410.5.3 Energieverluste in Rohrleitungsanlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Verzeichnis der angeführten DIN-Normen und Richtlinien . . . . . . . . . . . . . . . 342

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Anhang (lose beigefügt):

Tabellen, Diagramme, Formeln

Inhaltsverzeichnis10

1 Einführung

1.1 Aufgaben und Gliederungder Mechanik

Lernziele:– Die Aufgabenstellung der Technischen Mechanik er-

läutern.– Die Gliederung der Mechanik in Teilgebiete angeben

und die Inhalte der Teilgebiete erläutern.

Die Mechanik ist als das älteste Teilgebiet derPhysik eine für die Technik besonders wichtigeNaturwissenschaft. Sie ist die Lehre von denBewegungen der Körper und den Wirkungender Kräfte auf feste, flüssige und gasförmigeKörper. In der Technischen Mechanik werdendie physikalischen Lehrsätze auf Körper ange-wendet, die in der Technik als Maschinen, Fahr-zeuge, Geräte oder deren Teile vorkommen. ZurAufgabenstellung der Technischen Mechanikgehört die Entwicklung von Methoden zurschnellen Lösung technischer Probleme, wobeies nicht immer auf exakte, sondern auf inkürzester Zeit erreichbare, für die Praxis ausrei-chende Nährungslösungen ankommt.Das Gesamtgebiet der Mechanik kann man inverschiedene Teilgebiete untergliedern:Die Kinematik ist die Lehre von den Bewegun-gen, unabhängig von den dabei wirkenden Kräf-ten.Die Dynamik ist die Lehre von den Kräften undihren Wirkungen. Sie wird unterteilt in die Ki-netik, in der die Zusammenhänge zwischenKräften und Bewegungen dargestellt werden,und in die Statik als Lehre vom Gleichgewichtder Kräfte an einem Körper.

Man kann die Statik als Sonderfall der Dynamik anse-hen, bei dem zwar Kräfte, aber keine Bewegungsände-rungen (Beschleunigungen oder Verzögerungen) auftre-ten. Die Körper befinden sich im Gleichgewicht (inRuhelage oder in gleichförmig geradliniger Bewegung).Sie werden vereinfacht als starr aufgefasst (Statik star-rer Körper). Aufgabe der Statik ist die Ermittlung un-bekannter Kräfte. Die Kenntnis der am Körper angrei-fenden Kräfte ist eine Grundlage der Festigkeitsberech-nung technischer Bauteile.

Die Schwingungslehre behandelt Vorgänge, bei denensich kennzeichnende Größen so ändern, dass sie nachbestimmter Zeit wiederkehren. Handelt es sich dabei ummechanische Größen, so spricht man von mechanischenSchwingungen.

Wie in der Kinematik reicht es mitunter aus, nur denzeitlichen Verlauf der Schwingung zu betrachten. Unter-sucht man die Ursachen einer Schwingung, so müssenauch die wirkenden Kräfte und Momente einbezogenwerden. Dies entspricht der Kinetik.

Die Festigkeitslehre ist ein besonderes Teil-gebiet der Technischen Mechanik. Es werdendie elastisch-festen Körper untersucht, und zwarder Zusammenhang zwischen den äußeren undinneren Kräften und den durch diese hervorgeru-fenen Verformungen. Festigkeitsberechnungengehören vornehmlich zu den Aufgaben desKonstrukteurs, der die Bauteile auf Haltbarkeitund Stabilität zu berechnen hat.Die Hydromechanik behandelt in der Hydrosta-tik die Kraftverhältnisse in ruhenden Flüssigkei-ten und in der Hydrodynamik die Vorgänge inbewegten (strömenden) Flüssigkeiten.Die Mechanik kann auch nach dem Aggregat-zustand (der Zustandsform) der Körper einge-teilt werden in die Mechanik der festen Körper(unterteilt in starre, elastische und plastischeKörper), Mechanik der flüssigen Körper (Hydro-mechanik), Mechanik der gasförmigen Körper(Aeromechanik).

PraxisnachweisGründliche Kenntnisse der Technischen Mechanik undihrer Verfahren zur Lösung technischer Probleme sindwichtige Voraussetzungen für eine erfolgreiche Arbeitvon Technikern und Ingenieuren.

Kontrollfragen:– Welche Aufgabe hat die Technische Mechanik?– In welche Teilgebiete kann die Mechanik eingeteilt

werden?– Welche Inhalte haben die Kinematik, die Kinetik, die

Statik und die Festigkeitslehre?

1.2 Größen und Einheiten

Lernziele:– Die Begriffe physikalische Größe, Zahlenwert, Ein-

heit und Größengleichung erklären.– Die in der Technischen Mechanik vorkommenden Ba-

sisgrößen und Basiseinheiten sowie deren übliche Viel-fache und Teile nennen und Einheiten umrechnen.

– Für zeichnerische Lösungen die Beträge von Größenin Streckenlängen umrechnen und umgekehrt.

Zur Formulierung der naturwissenschaftlichenGesetze bedient man sich der Mathematik undgibt die Zusammenhänge als Gleichung an. DieGrößen der Mechanik sind physikalischeGrößen, für die Buchstaben als Kurzzeichen(Symbole) eingesetzt werden, z. B. l für Länge,s für die Wegstrecke, A für Fläche, V für Volu-men, m für Masse, t für Zeit, v für Geschwin-digkeit. In den Gleichungen (Formeln) treten sieals Formelzeichen auf (Tab. 1).Nach DIN 1313 wird der Größenwert als Pro-dukt aus Zahlenwert und Einheit ausgedrückt,als Wortgleichung:

Großenwert

x.

¨

x.

¼ Zahlenwert� Einheit:

Symbolisch wird eine physikalische Größe wiefolgt angegeben: G ¼ fGg � ½G�:Darin bedeuten: G die Größe (durch Formelzei-chen angegeben), fGg der Zahlenwert derGröße, [G] die Einheit der Größe.In der Angabe s ¼ 400 m bedeutet s die Größe,z. B. eine Wegstrecke, 400 ihren Zahlenwertðfsg ¼ 400Þ und m als Meter ihre Einheitð½s� ¼ mÞ: Das Produkt „400 m“ ist der Größen-wert oder Betrag (in der Messtechnik auchMesswert genannt). Der Zahlenwert gibt an,wievielmal die Einheit im Größenwert enthaltenist. Durch den Zahlenwert allein ist eine Größenicht vollständig angegeben, die Einheit mussimmer mitgeschrieben werden.Gleichungen, in denen physikalische Größendurch Formelzeichen oder durch Zahlenwerteund Einheiten angegeben sind, heißen Größen-gleichungen. Darin dürfen außer den Zahlen-werten auch die Symbole für Einheiten gekürzt,multipliziert und dividiert werden (s. dieBeisp. 1.1 bis 1.8).Für den Begriff Einheit wird manchmal fälsch-licherweise der Ausdruck Dimension verwendet.In DIN 1313 kennzeichnet man mit Hilfe vonDimensionen die Art einer Größe. So hat z. B.die Geschwindigkeit die Dimension Längedurch Dauer, aber die Einheit Meter durch Se-kunde.Durch das „Gesetz über Einheiten im Mess-wesen“ ist die Verwendung der Einheiten des In-ternationalen Einheitensystems (SI-Einheiten)vorgeschrieben. In der Technischen Mechanikwerden folgende SI-Basiseinheiten der Dimen-sionen Länge (L), Masse (M), Dauer (T) undTemperatur (Q) benutzt:

Größe SI-Basis-einheit

SI-Basis-dimension

Name Zeichen Name Zeichen Name Zeichen

Länge l; s Meter m Länge LMasse m Kilogramm kg Masse MZeit t Sekunde s Dauer TTemperatur T Kelvin K Temperatur Q(Temperatur J �Celsius �C)

Im Einheitengesetz sind die Definitionen der Basisein-heiten angegeben, wie sie von der Internationalen „Gene-ralkonferenz für Maß und Gewicht“ festgelegt wurden. Siesind für das Meter und die Sekunde auf Atomstrahlungbezogen (das Meter wurde am 20. 10. 1983 nach derLichtgeschwindigkeit neu festgelegt). Ursprünglich wardas Meter als 40-millionster Teil des Erdumfanges defi-niert, später als Abstand zweier Markierungen auf ei-nem in Paris aufbewahrten Stab, dem Urmeter. Die Se-kunde war ursprünglich der 86400ste Teil des mittlerenSonnentages (60 s/min � 60 min=h � 24 h=d ¼ 86400 s=dÞ.

Das Kilogramm war ursprünglich definiert als die Mas-se von 1 dm3 ¼ 1 Liter Wasser bei 4 �C. Heute gilt: EinKilogramm ist die Masse des Internationalen Kilo-grammprototyps, des in Paris aufbewahrten Urkilo-gramms.Ein Kelvin ist der 273,15te Teil der Temperaturdifferenzzwischen dem absoluten Nullpunkt (tiefstmögliche Tem-peratur) und dem Tripelpunkt von Wasser. Ein Kelvinentspricht genau einem Grad Celsius (�C), zwischenbeiden Temperaturskalen gibt es nur eine Nullpunktver-schiebung.

Die Einheiten für andere Größen, wie Ge-schwindigkeit, Kraft, Leistung usw., sind vonden Basiseinheiten abgeleitet, sie werden aus ih-nen gebildet (z. B. für die Geschwindigkeit dieEinheit m/s bzw. m � s�1). Es werden auch Viel-fache und Bruchteile von Einheiten verwendet(Tab. 2). Maßgebend für Einheiten ist DIN 1301,für Formelzeichen DIN 1304. Einige in derTechnik übliche Vielfache und Teile der Basis-einheiten sind in Tab. 3 angegeben.

Beispiel 1.1Für eine feingeschlichtete Oberfläche ist eine Rautie-fe von 6,3 mm zulässig. Wie viel mm sind das?Lösung:Gegeben: Rt ¼ 6,3 mm.Gesucht: Rt in mm.

Mit 1 mm ¼ 11000

mm (nach Tab. 3) wird

Rt ¼ 6,3 mm ¼ 6,3 11000 mm ¼ 0,0063 mmoder durch Erweitern

Rt ¼ 6,3 mm 1 mm1000 mm ¼ 0,0063 mm,

da sich mm herauskürzt.

Beispiel 1.2Welche Innenhöhe in mm muss ein Behälter für einFassungsvermögen von 4000 Litern mindestens ha-ben, wenn seine quadratische Grundfläche 2,5 m2 be-trägt?Lösung:Gegeben: V ¼ 4000 l ¼ 4 � 103 dm3, A ¼ 2,5 m2.Gesucht: h in mm.Da 1 dm3 ¼ ð100 mmÞ3 und 1 m2 ¼ ð1000 mmÞ2 sind,betragen

V ¼ 4 � 103 dm3 ð100 mmÞ3

dm3¼ 4 � 109 mm3,

A ¼ 2,5 m2 ð1000 mmÞ2

m2¼ 2,5 � 106 mm2:

Aus der bekannten Gleichung für das VolumenV ¼ A � h folgt für die gesuchte Innenhöhe

h ¼ VA

¼ 4 � 109 mm3

2,5 � 106 mm2 ¼ 1,6 � 103 mm ¼ 1600 mm:

1 Einführung12

Mit den vorgenannten Umrechnungsbeziehungen er-hält man auch ohne Zwischenrechnung in einem ein-zigen Rechnungsgang:

h ¼ VA

¼ 4 � 103 dm3 � ð100 mmÞ3 � m2

2,5 m2 � dm3 � ð1000 mmÞ2 ¼ 1600 mm,

da sich dm3, m2 und mm2 herauskürzen.

Beispiel 1.3Ein Geräteteil wiegt 0,0375 g. Seine Masse in mg istanzugeben.Lösung:Gegeben: m ¼ 0,0375 g.Gesucht: m in mg.Nach den Tabn. 2 und 3 ist 1 mg ¼ 10�3 g bzw.1 g ¼ 1000 mg. Somit istm ¼ 0,0375 g 1000 mg

g¼ 37,5 mg oder kürzer

m ¼ 0,0375 � 1000 mg ¼ 37,5 mg:

Beispiel 1.4Wie viel kg wiegen die Massen 8,6 t und 4,2 Mt?Lösung:Gegeben: m1 ¼ 8,6 t, m2 ¼ 4,2 Mt.Gesucht: m1 und m2 in kg.Nach den Tabn. 2 und 3 ergeben sich:

m1 ¼ 8,6 � 1000 kg ¼ 8600 kg,m2 ¼ 4,2 � 106 t ¼ 4,2 � 106 � 103 kg ¼ 4,2 � 109 kg:

Beispiel 1.5Die Zeitangabe „78 Min. 45 Sek.“ ist in Stunden, inMinuten und in Sekunden umzurechnen (Zahlenwer-te als Dezimalzahlen).Lösung:Gegeben: t ¼ 78 min þ 45 s.Gesucht: t in h, in min und in s.Nach Tab. 2:

t ¼ 78 min þ 45 s ¼ 78 160

h þ 45 13600

h

¼ ð1,3 þ 0,0125Þ h ¼ 1,3125 h,

t ¼ 78 min þ 45 160

min ¼ ð78 þ 0,75Þ min¼ 78,75 min

t ¼ 78 � 60 s þ 45 s ¼ ð4680 þ 45Þ s ¼ 4725 s:

Bei zeichnerischen Verfahren und in Diagram-men werden Größen als Strecken dargestellt.Dafür benötigt man einen Maßstab, der zweck-mäßigerweise als Maßstabfaktor angegeben wird.Es gilt

Maßstabfaktor ¼ darzustellende Großezugeordnete Strecke

oder mit der Größe

d

¨

d

G und der zugehörigen Stre-cke Ggez:

Maßstabfaktor mG ¼ GGgez ð1:1Þ

Entspricht z. B. 1 cm einer Zeichnung demGrößenwert 5 m, d. h. 1 cm ¼b 5 m, dann beträgtder Längenmaßstabfaktor m1 ¼ 5 m/cm (5 Meterje Zentimeter).Aus Gl. (1.1) ergibt sich für eine darzustellendeGröße G die zu zeichnende

Streckenlange Ggez ¼

.

¨

.

G

mGð1:2Þ

Einer gezeichneten Strecke Ggez entspricht beimMaßstabfaktor mG die

Große G ¼ Ggez �mG ð1:3ÞMit den Maßstabfaktoren wird bei Berechnun-gen wie mit Größen verfahren; die Einheitensind immer mitzuschreiben.

Beispiel 1.6In einem Diagramm sollen verschiedene Volumendurch Balken dargestellt werden. Mit welchem Maß-stabfaktor sind die Balkenlängen zu errechnen, wenndas größte Volumen von 200 m3 mit einer Länge von8 cm zu zeichnen ist?Lösung:Gegeben: V ¼ 200 m3, Vgez ¼ 8 cm:Gesucht: mV in m3/cm.Entspr. Gl. (1.1) ist

mV ¼

.

¨

.

V

Vgez¼ 200 m

3

8 cm¼ 25 m3=cm:

Beispiel 1.7Wie groß ist die zu zeichnende Streckenlänge in mmfür einen Abstand von 10,5 m bei einer Maßstab-angabe 1 cm ¼b 5 m?Lösung:Gegeben: l ¼ 10,5 m, m1 ¼ 5 m=cm:Gesucht: lgez in mm.Entspr. Gl. (1.2)

lgez ¼ lm1 ¼10,5 m

5 m=cm¼ 2,1 cm ¼ 21 mm:

Beispiel 1.8Welchen Betrag in m/s hat eine Geschwindigkeit, diemit einer Strecke von 3,6 cm dargestellt ist, wenn dieZeichnung die Angabe 10 mm ¼b 20 km/h enthält?Lösung:Gegeben: vgez ¼ 3,6 cm, mv ¼ 20 km=hcm :Gesucht: v in m/s.

1.2 Größen und Einheiten 13

Entspr. Gl. (1.3)

v ¼ vgez � mv ¼ 3,6 cm � 20 km=hcm ¼ 72km

h

¼ 72 1000 m3600 s

¼ 20 m=s:

Eine Größengleichung zeigt die Beziehung zwi-schen physikalischen Größen. In einer Zahlen-wertgleichung wird lediglich die Beziehungzwischen den Zahlenwerten von Größen dar-gestellt. Sie gilt nur für bestimmte Einheiten,die stets besonders angegeben werden müssen.Beispiele für Zahlenwertgleichungen, die in derTechnik gelegentlich vorkommen, werden amEnde der Abschnitte 6.3 und 7.4 erläutert.

PraxishinweisGrößengleichungen haben gegenüber Zahlenwertglei-chungen den Vorteil, dass sie unabhängig von der Wahlder Einheiten gelten. Sie sind bevorzugt anzuwenden.Umrechnungen von Einheiten können mit ihnen über-sichtlich durchgeführt werden. Bei Verwendung von Maß-stabfaktoren wird die Beziehung zwischen einer Größeund der zugehörigen Strecke ebenfalls durch eine Größen-gleichung ausgedrückt. Die noch häufig anzutreffendeSchreibweise der in eckigen Klammern eingeschlossenenEinheitenzeichen ist nach DIN 1313 nicht zulässig.

Kontrollfragen:– Was versteht man unter einer physikalischen Größe?– Was ist eine Größengleichung?– Welche SI-Basisdimensionen und welche SI-Basisein-

heiten kommen in der Technischen Mechanik vor?– Welche Vielfache und Teile der Basiseinheiten sind

in der Technik üblich?– Was versteht man unter Maßstabfaktoren, und wozu

dienen sie?

1.3 Koordinatensysteme

Lernziele– Die Notwendigkeit von Koordinatensystemen erken-

nen.– Den Aufbau eines rechtwinkligen Koordinatensys-

tems erklären.– Bezeichnungen und Vorzeichenregeln für kartesische

Koordinatensysteme nennen.– Die Ebene in Quadranten einteilen.

Die Lage einzelner Punkte in der Ebene oder imRaum kann mithilfe von Koordinatensystemeneindeutig bestimmt werden. Beim meist ange-wendeten kartesischen Koordinatensystem ste-hen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinan-der (Bild 1.1). Die waagerechte x-Achse oderAbszisse und die senkrechte y-Achse oder Ordi-nate schneiden sich im Nullpunkt 0. Rechts vomNullpunkt auf der Abszisse und oberhalb des

Nullpunktes auf der Ordinate liegen positiveWerte, links bzw. unterhalb des Nullpunktes ne-gative. Die Ebene wird durch die Koordinaten-achse in vier Bereiche geteilt. Diese werdenQuadranten genannt und von der positiven Abs-zisse aus im mathematisch positiven Drehsinn(linksdrehend) mit I, II, III und IV bezeichnet.Durch Angabe von Werten auf der Abszisse undder Ordinate lässt sich jeder Punkt in der Ebeneeindeutig festlegen.

Sollen Punkte im Raum bestimmt werden, somuss eine dritte, senkrecht auf der durch die x-und y-Koordinaten gebildeten Ebene stehendeund ebenfalls durch den Nullpunkt gehende Ko-ordinate hinzugefügt werden. Nach DIN 4895werden die Koordinaten mit x, y und z bezeich-net (Bild. 1.2). Es sind auch davon abweichendeAngaben für die Koordinatenachsen möglich,wie z. B. in DIN 1080 festgelegt.

Kontrollfragen:– Wie ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf-

gebaut und welche Vorzeichenregeln gelten?– Was versteht man unter dem mathematisch positiven

Drehsinn?– Wie können einzelne Punkte in der Ebene und im

Raum eindeutig definiert werden?– Wo liegen die vier Quadranten im Koordinatensystem

der Ebene?

Bild 1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene

Bild 1.2 Räumliches kartesisches Koordinatensystem

1 Einführung14

2 Statik starrer Körper

2.1 Die Kraft

Lernziele– Den Kraftbegriff definieren und die Krafteinheit an-

geben, den Vektorcharakter von Kräften erläuternund Kräfte grafisch darstellen.

– Den Verschiebesatz und das Wechselwirkungsgesetzals Erfahrungssätze an Beispielen erläutern.

– Das Verfahren des Freimachens von Körpern als Vo-raussetzung für die Darstellung des Kräftegleichge-wichts und für die Ermittlung von Kräften erläuternund auf Bauteile anwenden sowie die Auflagerartenund ihre symbolische Darstellung angeben.

2.1.1 Kennzeichnung und Darstellung vonKräften

Aus der Erfahrung des täglichen Lebens ist derBegriff Kraft vor allem als Muskelkraft bekannt.Ebenso kennt man die Federkraft, die Magnet-kraft, die Windkraft, die Wasserkraft. Kräftesind nicht sichtbar, sondern nur an ihren Wir-kungen erkennbar.Beim Spannen einer Feder durch den mensch-lichen Muskel wird die Feder verformt. Ursacheder Verformung ist eine Kraft, ihre Wirkung istdie Formänderung. Wenn ein Magnet ein StückEisen anzieht, ist die Zugkraft selbst nicht zusehen, jedoch ihre Wirkung, da das Eisenstückzum Magneten hin bewegt wird. Infolge derErdanziehungskraft, der Schwerkraft, werdenalle Körper von der Erde angezogen und beimFallen in Richtung Erdmittelpunkt bewegt. Inder Mechanik wird diese Kraft als Gewichts-kraft bezeichnet. Auch durch die Gewichtskraftkönnen Körper verformt oder in Bewegung ge-setzt werden.Allgemein gilt für dieKraft als physikalische Größe:

Eine Kraft ist die Ursache für die Verfor-mung oder Bewegungsänderung eines Kör-pers.

Demnach müssen überall, wo sich Geschwindig-keiten ändern oder Körper verformt werden,Kräfte wirken.

Heben sich die Wirkungen zweier oder mehrererKräfte an einem ruhenden Körper auf, so bleibter im Ruhezustand, d. h. die Kräfte sind imGleichgewicht. Beispielsweise müssen die an

den Punkten A und B des Seiles in Bild 2.1 an-fassenden Personen mit gleich großer Kraft zie-hen, wenn das Seil in der Ruhelage bleiben soll.Um ein Gewichtsstück in der Ruhelage zu hal-ten, muss man der Gewichtskraft mit einergleich großen Kraft entgegenwirken (Bild 2.2).Nach der Definition des Kraftbegriffs bestehtauch bei der gleichförmig geradlinigen Bewe-gung Kräftegleichgewicht, da keine Änderungder Geschwindigkeit erfolgt.

Das ist z. B. der Fall bei einer Hubbewegung mitgleich bleibender Hubgeschwindigkeit. Die dabeian einem Lasthaken (Bild 2.3) wirkenden Kräfte,die lotrecht nach unten gerichtete Gewichtskraftder angehängten Last und die nach oben gerich-tete Zugkraft der Kette, sind gleich groß.

Kräfte, die gleiche Wirkungen hervorrufen, sind gleich.Darauf beruht die Messbarkeit von Kräften. Die Mes-sung von Kräften kann z. B. mittels geeichter Federwaa-gen oder Gewichtsstücke (Wägestücke) erfolgen. Die zumessende Kraft wird entweder mit der Federkraft oderder Gewichtskraft verglichen. Jede Messung ist ein Ver-gleich mit einer festgelegten Einheit.

Die Einheit der Kraft ist das N (Newton1),gesprochen: njuten). Es ist eine aus den Basis-

Bild 2.1 Gleichgewicht zweier Kräfte beim Seilziehen

Bild 2.2 Kräftegleichgewichtzwischen Handkraft undGewichtskraft

1) Isaak Newton (1643 bis 1723), engl. Physiker

Bild 2.3 Kräftegleichgewicht aneinem Lasthaken

einheiten des Internationalen Einheitensystems(SI-Einheiten) abgeleitete Einheit mit der Defi-nitionsgleichung

1 N ¼ 1 kg � m/s2InWorten lautet dieDefinition der Krafteinheit:1 N ist gleich der Kraft, die einem Körpermit der Masse 1 kg die Beschleunigung1 m/s2 erteilt.

In der Technik werden oftmals auch die EinheitenkN und MN verwendet (1 kN ¼ 1000 N ¼ 103 N,1 MN ¼ 106 N). Als Formelzeichen für die Kraftist der Buchstabe F (von force, engl.) in DIN 1304festgelegt. Verschiedene Kräfte werden durch In-dizes1) unterschieden, z. B. F1, F2, Fa, Fb, FA unddgl.

Die Definition der Krafteinheit beruht auf der bewe-gungsändernden Kraftwirkung (s. auch DIN 1305) undfolgt aus dem Grundgesetz der Dynamik: F ¼ m � a(Gl. (7.3), Abschn. 7.1.1; die kinematische Größe Be-schleunigung a mit der Einheit m/s2 wird im Ab-schnitt 6.2.2 behandelt).

Die Erfahrung zeigt, dass die Wirkung einer Kraftnicht nur von ihrem Betrag (dem Größenwert)abhängt, sondern auch von ihrer Lage am Körper,gekennzeichnet durch den Angriffspunkt, undaußerdem von ihrer Wirkrichtung, was am Bei-spiel eines Wagens in Bild 2.4 dargestellt ist.

Die Kraft ist demnach eine gerichtete Größe.Physikalische Größen, die erst durch Betrag undWirkrichtung vollständig angegeben sind, nenntman Vektoren, z. B. Kräfte, Geschwindigkeiten,Beschleunigungen. Größen, die allein durchZahlenwert und Einheit bestimmt sind, heißenSkalare, wie z. B. Zeit, Temperatur, Masse. ZurKennzeichnung einer Kraft als vektorielle Größewird nach DIN 1313 ein Pfeil über das Formel-zeichen gesetzt, und man schreibt ~FF. Wenn nurder Betrag einer Kraft symbolisch anzugebenist, wird F ohne Pfeil geschrieben.Zur eindeutigen Bestimmung einer Kraft gehö-ren folgende drei Angaben:

Der Betrag oder Größenwert, gegeben durchdas Produkt aus Zahlenwert und Einheit oderbei zeichnerischer Darstellung durch eine maß-stäbliche Strecke (Bild 2.5), die Vektorlänge,die Lage, gekennzeichnet durch einen PunktderWirklinie, den Angriffspunkt,die Richtung oder der Richtungssinn, aus-gedrückt durch den Richtungspfeil am Kraft-vektor.

Unter der Wirklinie einer Kraft versteht mandie durch den Kraftvektor verlaufende Gerade.Die Vektorlänge wird mit einem Kräftemaßstab-faktor mF errechnet. Da der Richtungspfeil amKraftvektor die Kraft bereits als Vektor kenn-zeichnet, kann in Zeichnungen der Pfeil über Fentfallen.

Beispiel 2.1Wie groß ist die zu zeichnende Vektorlänge in cmfür eine Kraft von 1800 N bei einem Kräftemaßstab-faktor von 400 N/cm?Lösung:Gegeben: F ¼ 1800 N, mF ¼ 400 N/cm.Gesucht: Fgez in cm.Entspr. Gl. (1.2) wird

Fgez ¼ FmF ¼1800 N � cm

400 N¼ 4,5 cm:

Beispiel 2.2Welchen Betrag in kN hat eine Kraft, deren Vektor32 mm lang ist, wenn die Zeichnung folgende Anga-be enthält: 1 cm ¼b 500 N?Lösung:Gegeben: Fgez ¼ 32 mm ¼ 3,2 cm, mF ¼ 500 N/cm.Gesucht: F in kN.Entspr. Gl. (1.3):

F ¼ Fgez � mF ¼ 3,2 cm � 500 N=cm ¼ 1600 N¼ 1,6 kN:

Eine besonders wichtige Kraft in der Statik istdie bereits erwähnte Gewichtskraft FG (als For-melzeichen ist neben FG auch der Buchstabe Ggenormt). Ihr Betrag kann aus der Masse m eines1) auch als Nebenzeiger oder Fußzeichen bezeichnet

Bild 2.4 Gleich große Kräfte, die verschiedene Wirkun-gen hervorrufen

Bild 2.5 Zeichnerische Darstellung einer Kraft

2 Statik starrer Körper16

Körpers und der infolge der Erdanziehung auf ihnwirkenden Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m/s2errechnet werden nach der Gleichung FG ¼ m � g(Gl. (7.4), Abschn. 7.1.1). Sie ist stets lotrechtnach unten gerichtet (zum Erdmittelpunkt hin).Ihr Angriffspunkt ist der Schwerpunkt desKörpers (s. Abschn. 4.2.1). Damit sind Betrag,Lage und Richtung der Gewichtskraft bekannt.

Beispiel 2.3Für drei Körper mit den Massen 1 kg, 50 kg und10 t sind die Gewichtskräfte zu errechnen.Lösung:Gegeben: m1 ¼ 1 kg, m2 ¼ 50 kg,

m3 ¼ 10 t ¼ 10 � 103 kg.Gesucht: FG1, FG2 und FG3.Nach der Gl. FG ¼ m � g wirdFG1 ¼ m1 � g ¼ 1 kg � 9,81 m=s2 ¼ 9,81 kgm=s2

¼ 9,81 N,FG2 ¼ m2 � g ¼ 50 kg � 9,81 m=s2 ¼ 490,5 N,FG3 ¼ m3 � g ¼ 10 � 103 kg � 9,81 m=s2 ¼ 98,1 kN:

In der Natur sind Kräfte entweder auf ein Volu-men verteilt, Volumenkräfte genannt, oder aufeine Fläche als so genannte Flächenkräfte. DieGewichtskraft und die Magnetkraft sind Volu-menkräfte; sie wirken auf alle Teilchen einesKörpers. Flächenkräfte sind beispielsweise dieWindkraft oder die auf eine Kolbenfläche wir-kende Wasserkraft in einer Kolbenpumpe. DieVorstellung der in einem Punkt wirkendenEinzelkraft ist eine Idealisierung. Die Einzel-kraft wird ersatzweise für die verteilten Kräfteeingesetzt und ist als deren Summe ihre Resul-tierende. In der Statik verwendet man auch denAusdruck Streckenkraft für Kräfte, die aufeiner Bauteillänge verteilt wirken. Ferner unter-scheidet man ebene (Abschn. 2.2 u. 2.3) undräumliche Kräftesysteme (Abschn. 2.4).

2.1.2 Verschiebesatz undWechselwirkungsgesetz

Zur Erhaltung des Kräftegleichgewichts beimSeilziehen (s. Bild 2.1) spielt die Lage der An-griffspunkte der Kräfte keine Rolle. Ihre Wir-kung bleibt dieselbe, unabhängig davon, ob dieAngriffspunkte dicht beieinander oder weit von-

einander entfernt liegen. Ebenso verhält es sichbeim Fortbewegen eines Wagens (Bild 2.6). Fürden Bewegungsvorgang ist es bedeutungslos, oban einem Seil oder unmittelbar am Zughakengezogen oder auf derselben Wirklinie hinten amWagen direkt oder mittels einer Stange gescho-ben wird. Diese Tatsache wird ausgedrückt imVerschiebesatz:

Kräfte am starren Körper dürfen auf ihrerWirklinie beliebig verschoben werden.

Wird auf einen Körper eine Kraft ausgeübt, soreagiert er mit einer gleich großen Gegenkraft.Beim Seilziehen spürt man, dass das Seil an derHand zieht. Am Lasthaken (s. Bild 2.3) zieht dieKette nach oben, der Haken zieht an der Kettenach unten. Ein Körper drückt mit der Ge-wichtskraft FG auf seine Unterlage, diese drücktmit der gleich großen Kraft F gegen den Körper(Bild 2.7). Von den an einer Berührungsstellezweier Körper paarweise auftretenden Kräftenist eine die Aktions-, die andere die Reaktions-kraft. Diese Erfahrungstatsache wird ausgedrücktim Wechselwirkungs- oder Reaktionsgesetz:

Kräfte, mit denen zwei Körper aufeinanderwirken, haben eine gemeinsame Wirklinieund sind gleich groß, aber entgegengesetztgerichtet (Aktionskraft ¼ Reaktionskraft).

Das Zugfahrzeug und der Anhänger in Bild 2.8drücken mit einem bestimmten Teil der auf siewirkenden Gewichtskraft an jedem Rad gegenden Boden. Dieser wiederum drückt mit gleichgroßen, entgegengesetzt gerichteten Reaktions-kräften, die auch Stützkräfte genannt werden,gegen die Räder. Während der Fahrt zieht derZugwagen am Hänger (Aktionskraft) ebenso wieder Hänger am Zugwagen (Reaktionskraft).

Bild 2.6 Auf einer Wirklinie an verschiedenen Punkten angreifende Kraft F

Bild 2.7 Gewichtskraft FGund Gegenkraft Fals Reaktionskraft

2.1 Die Kraft 17

Erfahrungstatsachen, wie der Verschiebesatz und dasWechselwirkungsgesetz, das erstmalig von Newton for-muliert wurde, nennt man Axiome1). Das sind nicht be-weisbare, sondern durch Erfahrung bestätigte Lehrsätze.Auf ihrer Grundlage werden andere Lehrsätze auf-gebaut. Wegen des Verschiebesatzes sind Kräfte am star-ren Körper linienflüchtige Vektoren. Dies gilt nicht fürdie Ermittlung der Verformung von Bauteilen in derFestigkeitslehre. Dabei ist der Angriffspunkt von Bedeu-tung und die Kraft ist ein gebundener Vektor.

2.1.3 Freimachen und Lagerungsarten

Bei der Lösung von Aufgaben der Statik ist vor-zugsweise das Kräftegleichgewicht an Körpern(Bauteilen, Maschinen, Geräten) zu untersuchen.Dafür ist die Kenntnis aller am Körper angrei-fenden Kräfte erforderlich. Diese Kräfte wirkenan den Berührungsstellen mit anderen Körpern.Nach dem Wechselwirkungsgesetz treten an die-sen Stellen Aktions- und Reaktionskräfte auf.Will man sich über die an einem Körper angrei-fenden Kräfte Klarheit verschaffen, so löst manihn in Gedanken an allen Stütz-, Berührungs-und Verbindungsstellen aus seiner Umgebungheraus (macht ihn frei) und ersetzt die weg-gedachten Teile durch die Kräfte, die sie an derfreigemachten Stelle auf den zu untersuchendenKörper ausüben. Dieses Verfahren wird alsFreimachen bezeichnet und beruht auf derAnwendung des Wechselwirkungsgesetzes. Imfreigemachten Zustand kann ein Körper starkvereinfacht dargestellt werden. Bild 2.9 zeigteinen auf diese Weise freigemachten Hebel.An allen Stellen, wo ein freizumachender Körpergedanklich von seiner Umgebung getrennt wird,in Lagern und Gelenken, an Stütz- und Füh-rungsflächen, an Seilen, Aufhängungen usw.,werden die auf ihn wirkenden Kräfte als Vekto-ren angesetzt. An Verbindungsstellen mit unbe-kannter Kraftrichtung trägt man bei ebenenKräftesystemen zwei senkrecht aufeinander wir-kende Kräfte ein, da jede Kraft in zwei senk-rechte Komponenten zerlegt werden kann(s. Beisp. 2.7). Liegt die Richtung der Kom-ponenten nicht eindeutig fest, so sind sie in derRegel im positiven Sinne der Koordinatenachsen

einzutragen. Die Gewichtskraft darf vernachläs-sigt werden, wenn sie gegenüber den anderenKräften relativ klein ist.

Beim Freimachen werden die auf einen Körperwirkenden äußeren Kräfte dargestellt. Auch die Ge-wichtskraft ist eine äußere Kraft. Sollen innere Kräfteermittelt werden, so denkt man sich einen Schnitt durchdas Bauteil und trägt an der Schnittstelle die vomweggeschnittenen Teilstück ausgeübten Kräfte ein. Die-ses Verfahren heißt Freischneiden (s. Abschn. 9.1.2).Dabei werden die inneren zu äußeren Kräften undkönnen mit den Regeln der Statik bestimmt werden.

Die Berührungs- und Verbindungsstellen, an de-nen die Kräfteübertragung zwischen Bauteilenstattfindet, werden auch als Auflager bezeich-net, die dort wirkenden Reaktionskräfte dement-sprechend als Auflagerkräfte. Durch die Artder Lagerung sind meistens Wirklinie und Rich-tung dieser Kräfte bestimmt. Nachfolgend wer-den die wichtigsten Kraftübertragungselementeund Lagerungsarten erläutert, die beim Freima-chen eine besondere Rolle spielen, Reibungs-kräfte sind dabei vernachlässigt:

SeileSeile, Riemen, Ketten (Bild 2.10) und ähnlicheflexible Elemente können nur Zugkräfte über-tragen. Durch Rollen werden die Wirklinien derKräfte umgelenkt.

Bild 2.8 Aktions- und Reaktionskräfte an Fahrzeugen

1) Axiom (griech.) ¼ Forderung

Bild 2.9 Freimachen eines Hebelsa) Hebelsystem, b) freigemachter Hebel

Bild 2.10 Kräfte an Seilen und Kettena) Anordnung, b) Seil und Kette freigemacht


PendelstützenPendelstützen und Zweigelenkstäbe (Bild 2.11)nehmen nur Längskräfte (Zug- oder Druckkräf-te) auf.

ParallelführungenEinseitige Parallelführungen (Bild 2.12) undebene Stützflächen können nur Druckkräfteübertragen, deren Wirklinien senkrecht auf denStütz- oder Führungsflächen stehen, so genannteNormalkräfte.

RollkörperDas sind Kugeln und Zylinder (Bild 2.13) undähnliche Körper. Sie übertragen nur Druckkräf-te, deren Wirklinien durch ihren Mittelpunkt ge-hen bzw. auf der Tangente im Berührungspunktsenkrecht stehen (Normalkräfte). Das gilt eben-falls für gewölbte Berührungsflächen beliebigerForm.

LoslagerDas sind Lager, die eine Längsverschiebung desgelagerten Bauteils (z. B. Achse oder Welle) zu-lassen, und verschiebbare Gelenkverbindungen(Bild 2.14). Sie übertragen wie Parallelführun-gen und Rollkörper nur Druckkräfte senkrecht

zur Führungsebene bzw. senkrecht zur mögli-chen Bewegungsrichtung (Normalkräfte).

FestlagerDabei handelt es sich um Lager, die ein Längs-verschieben verhindern, und um feste Gelenkver-bindungen (Bild 2.15). Sie können Kräfte in be-liebiger Richtung aufnehmen und sind für dieÜbertragung von Längs- und Querkräften(Axial- und Radialkräften) geeignet.

EinspannungenEine feste Einspannung (Bild 2.16) verhindertjede Art von Bewegung des so gelagerten Bau-teils. Sie lässt weder Verschiebungen noch Dre-hungen zu. Als Reaktionen können Kräfte inbeliebiger Richtung (Längs- und Querkräfte)und ein Moment (Abschn. 2.3.1) auftreten.

Bild 2.11 Pendelstütze und Zweigelenkstaba) druckbeanspruchte Pendelstütze,b) zugbeanspruchter Zweigelenkstab

Bild 2.12 Freimachen von Parallelführungena) Maschinenteil mit Führungen,b) freigemachtes Maschinenteil

Bild 2.13 Stützkräfte an Rollkörperna) ebene Berührungsflächen,b) gewölbte Berührungsflächen

Bild 2.14 Loslagera) Ausführungen, b) Symbole, c) freigemach-tes Bauteil mit Loslagerkraft als NormalkraftFN

Bild 2.15 Festlagera) Ausführungen, b) Symbole, c) freigemach-tes Bauteil mit den Festlagerkräften Fx(Längskraft) und Fy (Querkraft)

2.1 Die Kraft 19

Die Lagerungen werden auch nach dem Freiheitsgradbeurteilt. Darunter versteht man die Anzahl der Bewe-gungsmöglichkeiten eines Körpers. Im Raum hat jederKörper sechs Bewegungsmöglichkeiten: Verschiebungenin Richtung der drei Koordinatenachsen und Drehungenum diese Achsen. Das sind sechs Freiheitsgrade. In derEbene sind es nur drei, nämlich Verschiebungen inRichtung von zwei Koordinatenachsen und Drehung umeine zur Ebene senkrechte Achse. Lagerungen verrin-gern die Zahl der Freiheitsgrade. Beim Loslager hat derKörper noch zwei Freiheitsgrade, das Lager ist einwer-tig. Festlager gestatten nur einen Freiheitsgrad undsind zweiwertig. Feste Einspannungen haben keinenFreiheitsgrad und sind dreiwertig. Mit der Wertigkeitwird die Anzahl der Unbekannten beim rechnerischenAnsatz zur Bestimmung der Auflagerreaktionen aus-gedrückt.Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass bei vor-stehenden Betrachtungen Reibungskräfte vernachlässigtsind (die Berücksichtigung der Reibung beim Freima-chen erfolgt im 5. Kapitel)!

Um Fehler beim Freimachen zu vermeiden, emp-fiehlt sich ein systematisches Vorgehen nachfolgenden Arbeitsschritten:1. Schritt: Prinzipskizze mit schematischer Dar-stellung des freizumachenden Bauteils anfer-tigen.

2. Schritt: Kraftangriffspunkte und Wirkliniender Kräfte einzeichnen unter Beachtung derdurch die Lagerungsarten gegebenen Bedin-gungen.

3. Schritt: Kräfte unmaßstäblich mit Richtungs-pfeilen und Bezeichnungen eintragen.

Bild 2.17 zeigt das Freimachen am Beispiel ei-ner Getriebewelle. Der 1. Schritt ist im Bild-teil b) dargestellt. Im Bildteil c) sind der 2. und3. Schritt vollzogen.

Am Kegelrad tritt außer den angegebenen Kräften(Bild 2.17b) noch eine zur Zeichnungsebene senkrechtwirkende Tangentialkraft auf, die hier nicht eingetragenwurde. Die Kräfte an Kegelrädern ergeben ein räumlichesKräftesystem (Abschn. 2.4, s. a. Beisp. 2.33). Die Eigen-gewichtskraft der Welle kann vernachlässigt werden.

Beispiel 2.4Bild 2.18a zeigt in vereinfachter Darstellung denKurbeltrieb eines Verbrennungsmotors. Die Pleuel-stange ist freizumachen unter Vernachlässigung ihresEigengewichts.

Bild 2.18 Freimachen einer Pleuelstangea) Kurbeltrieb als Tauchkolben-Triebwerk,b) freigemachte Pleuelstange

Bild 2.16 Feste Einspannungena) Ausführungen, b) Prinzipskizze, c) an derEinspannstelle freigeschnittenes Bauteil mitdem inneren Kräftesystem, bestehend ausLängskraft Fl, Querkraft Fq und Moment M

Bild 2.17 Getriebewelle mit Los- und Festlagera) Zeichnung, b) Prinzipskizze, c) freigemach-te Welle


Lösung:1. Schritt: Skizzieren der Pleuelstange als Pendel-stange.2. Schritt: Kraftangriffspunkte sind die Gelenkmit-telpunkte am Kolbenbolzen B und am KurbelzapfenA, die Wirklinie geht durch beide Punkte.3. Schritt: Einzeichnen der am Kolbenbolzen in dieStange eingeleiteten Druckkraft FB (Pfeilspitze zurStange hin) und der vom Kurbelzapfen ausgeübtenGegenkraft FA (Bild 2.18b).

Beispiel 2.5Der Hebel des in Bild 2.19a vereinfacht dargestelltenSicherheitsventils ist freizumachen, wobei die Ge-wichtskräfte des Hebels und des Ventiltellers zu ver-nachlässigen sind.

Bild 2.19 Freimachen eines Ventilhebelsa) Vereinfachte Ventildarstellung,b) Prinzipskizze, c) freigemachter Hebel

Lösung:1. Schritt: Skizzieren des Hebels mit GewichtskraftFG des Belastungsgewichts (im Schwerpunkt S0 lot-recht abwärts gerichtet), dem Ventilteller als Loslagerund dem Lagerbock als Festlager (Bild 2.19b).2. Schritt: Gelenkmittelpunkte als Kraftangriffs-punkte markieren und Wirklinien parallel zur Ge-wichtskraft einzeichnen (eine Längskraft am Fest-lager ist nicht vorhanden, da keine Belastungskraftin Hebellängsrichtung wirkt).3. Schritt: Einzeichnen der durch den Druck p aufden Ventilteller ausgeübten, aufwärts wirkenden KraftF und der aufwärts (positiv) angenommenen Lager-kraft FL, die vom Bolzen im Lagerbock auf den Hebelals Reaktionskraft ausgeübt wird.

Beispiel 2.6Die in Bild 2.20a gezeigte Leiter ist an einer festenLeiste abgestützt. Sie lehnt an einem Rohr und wirdmit der Gewichtskraft FG einer Person belastet. Die

Leiter ist unter Vernachlässigung ihres Eigenge-wichts freizumachen.

Bild 2.20 Freimachen einer Leitera) angelehnte Leiter, b) Prinzipskizze,c) freigemachte Leiter

Lösung:1. Schritt: Skizzieren der Leiter mit Festlager A amBoden und Loslager B am Rohr (Bild 2.20b).2. Schritt: Bei A horizontale und vertikale Wirklini-en der Festlagerkräfte FAx und FAy, bei B Wirklinieder Loslagerkraft FB senkrecht zur Leiter einzeich-nen.3. Schritt: Kräfte mit Richtungspfeilen wie inBild 2.20c einzeichnen und benennen.

Beispiel 2.7In Bild 2.21a ist eine an Scharnieren befestigte Türdargestellt. Die Tür und die Scharnierhaken sindfreizumachen.Lösung:1. Schritt: Getrennte Skizzen für Tür und Scharnier-haken anfertigen.2. Schritt: Kraftangriffspunkte festlegen: Schwer-punkt S0 für die Gewichtskraft FG und die Scharnier-mittelpunkte bei A für die Loslagerkraft FA mit hori-zontaler Wirklinie sowie bei B für die FestlagerkräfteFBx (horizontal) und FBy (vertikal).3. Schritt: Eintragen der Kräfte an den Türschar-nieren mit Richtungspfeilen und Bezeichnungen(Bild 2.21b). An den Haken wirken diese Kräfte alsReaktionskräfte entgegengerichtet (Bild 2.21c).

Bild 2.21 Freimachen einer Türa) an Scharnieren befestigte Tür, b) freige-machte Tür, c) Kräfte an den Scharnier-haken

2.1 Die Kraft 21

PraxishinweisDas sorgfältige Freimachen ist eine wichtige Vorausset-zung für die Lösungsverfahren der Statik zur Ermittlungunbekannter Kräfte. Die Eigengewichtskräfte von Bau-teilen und Reibungskräfte können dabei vernachlässigtwerden, wenn sie gegenüber den anderen Kräften geringsind.Im Bauingenieurwesen (Baustatik, Stahlbau, DIN 1080,DIN 18800 u. a.) werden Kräfte, die von außen auf einSystem einwirken, als Lasten bezeichnet, und anstelleGewichtskraft ist der Ausdruck Eigenlast üblich (sinn-gemäß Windlast, Schneelast). Ebenso sind die BegriffeStreckenlast und Flächenlast üblich. Dagegen wird imMaschinenbau unter Last eine Masse verstanden. DasWort Gewicht wird allgemein im Sinne einer Masse alsWägeergebnis verwendet. Um Missverständnisse aus-zuschließen, soll Gewicht nicht anstatt Gewichtskraftgebraucht werden (s. DIN 1305). Wo eine genaue Be-rechnung der Gewichtskraft (bzw. Eigenlast) nicht er-forderlich ist, kann man mit dem Näherungswert derFallbeschleunigung g � 10 m=s2 rechnen. Damit entspr.DIN 1080: Die Masse 1 kg wirkt mit der Eigenlast 10 N.

Kontrollfragen:– Was ist eine Kraft, wie ist ihre Einheit definiert und

durch welche Angaben ist sie bestimmt?– Wie lauten der Verschiebesatz und das Wechselwir-

kungsgesetz?– Was versteht man in der Mechanik unter dem Frei-

machen eines Körpers?– Welche Kräfte können von Seilen und Ketten, Paral-

lelführungen und Rollkörpern, Pendelstützen undZweigelenkstäben übertragen werden?

– Worin besteht der Unterschied zwischen einem Los-lager und einem Festlager?

2.2 Zentrales ebenes Kräftesystem

Lernziele:– Den Satz vom Kräfteparallelogramm und den Begriff

Krafteck erläutern.– Unbekannte Kräfte in zentralen Kräftesystemen zeich-

nerisch und rechnerisch ermitteln.– Die Gleichgewichtsbedingungen des zentralen Kräfte-

systems nennen und bei der Ermittlung von Kräftenanwenden.

2.2.1 Das Kräfteparallelogramm

Wenn Kräfte nur an einem Punkt eines Körpersangreifen oder sich die Wirklinien in einemPunkt schneiden, so handelt es sich um ein zen-trales Kräftesystem. Oft interessiert die ge-meinsame Wirkung dieser Kräfte, d. h. die Kraft,die alle anderen Kräfte ersetzen könnte. Diesegedachte Ersatzkraft oder resultierende Kraftwürde die gleiche Wirkung ausüben wie alle an-greifenden Kräfte gemeinsam. Für zwei Kräftelässt sie sich ermitteln nach demSatz vom Kräfteparallelogramm:Die Resultierende zweier Kräfte mit sichschneidenden Wirklinien ist die vom

Schnittpunkt ausgehende Diagonale des ausbeiden Kraftvektoren gebildeten Kräftepa-rallelogramms.

Die jeweilige Resultierende Fr der Kräfte F1 undF2 in Bild 2.22 wurde durch maßstäbliches Auf-zeichnen des Kräfteparallelogramms ermittelt.

Das Zusammensetzen von Kräften ist eine vekto-rielle Addition. Die Vektoren, aus denen die Re-sultierende geometrisch zusammengesetzt oder indie sie zerlegt werden kann, heißen Komponen-ten. F1 und F2 sind Komponenten der Resultie-renden Fr. Als Vektorgleichung geschrieben:~FFr ¼ ~FF1 þ ~FF2.Der Satz vom Kräfteparallelogramm ist eben-falls ein Axiom, auf dem weitere Lehrsätze derMechanik beruhen. Seine Richtigkeit lässt sichz. B. durch folgenden Versuch nachweisen:An einem feststehenden Träger befinden sichzwei verschiebbare und feststellbare Haken, indie Federwaagen eingehängt sind (Bild 2.23a).An jeder Federwaage ist ein Seil befestigt. Bei-de Seile münden in einem Ring, an dem einKörper hängt, dessen Gewichtskraft FG die Seilespannt. Die Seilkräfte F1 und F2 werden an denFederwaagen abgelesen, der Winkel a gemessen.Danach wird der Körper nur an eine Federwaa-ge gehängt und an dieser die Kraft Fr abgelesen(Bild 2.23b).

Die Kräfte F1 und F2 üben gemeinsam die glei-che Wirkung aus wie die Kraft Fr allein: Der

Bild 2.22 Zusammensetzen von Kräften mittels Kräfte-parallelogramma) a 90�

Bild 2.23 Versuch zum Satz vom Kräfteparallelogramma) Körper an zwei Federwaagen hängend,b) Körper an einer Federwaage, c) Kräftepa-rallelogramm


Körper wird im Ruhezustand gehalten, das Sys-tem befindet sich im Gleichgewicht. Zeichnetman die aus mehreren Versuchen mit unter-schiedlichen Seillängen oder Befestigungsab-ständen jeweils ermittelten Kräfte F1 und F2maßstäblich als Vektoren unter dem betr. Win-kel a auf, so ergibt sich stets die resultierendeKraft Fr als Diagonale in dem durch Parallelver-schieben der Kraftvektoren entstandenen Paral-lelogramm (Bild 2.23c).

Beispiel 2.8In einer Versuchseinrichtung entspr. Bild 2.24a wur-de das mittlere Gewichtsstück durch Anhängen derbeiden äußeren Gewichtsstücke in der skizzierten La-ge im Ruhezustand gehalten. Durch maßstäblichesAufzeichnen des Kräfteparallelogramms ist nach-zuweisen, dass die Resultierende der Seilkräftegleich der Gewichtskraft des mittleren Gewichts-stückes ist.

Bild 2.24 Versuch zum Kräfteparallelogramma) Versuchsanordnung, b) Kräfteparallelo-gramm

Lösung:Gegeben: m ¼ 5 kg, m1 ¼ m2 ¼ 3,5 kg, a ¼ 90�.Gesucht: Fr ¼ FG.Die Gewichtskräfte betragen

FG ¼ m � g ¼ 5 kg � 9,81 m=s2 ¼ 49,05 N,FG1 ¼ m1 � g ¼ 3,5 kg � 9,81 m=s2 ¼ 34,34 N ¼ FG2:In den unter a ¼ 90� gespreizten Seilen wirken dieSeilkräfte F1 ¼ FG1 und F2 ¼ FG2. Gewählt wird derKräftemaßstabfaktor mF ¼ 10 N/cm. Mit diesem er-geben sich nach Gl. (1.2) die zu zeichnenden Vektor-längen

F1 gez ¼ F2 gez ¼ FG1mF ¼34,34 N10 N

cm ¼ 3,43 cm:

Damit wird das Kräfteparallelogramm gezeichnet(Bild 2.24b). Für die Resultierende wird gemessenFr gez ¼ 4,9 cm. Somit beträgt nach Gl. (1.3):Fr ¼ Fr gez � mF ¼ 4,9 cm � 10 N=cm ¼ 49 N ¼ FG,was zu beweisen war. Die lotrecht abwärts wirkendeGewichtskraft FG ist so groß wie die aus den Seil-kräften F1 und F2 gebildete Resultierende Fr, wirktdieser jedoch entgegen.

2.2.2 Zeichnerische Kräfteermittlung

Die zeichnerische Ermittlung von Kräften beruhtauf dem Kräfteparallelogramm. Es genügt, nureine Hälfte des Parallelogramms zu zeichnen,nämlich ein Dreieck als so genanntes Krafteck(Bild 2.25). Dazu werden die einzelnen Kraft-vektoren unter Einhaltung ihrer Richtung zu ei-nem Kräftezug aneinander gereiht, wobei dieReihenfolge keine Rolle spielt, wie Bild 2.25bzeigt. Die Verbindungsgerade von Anfang undEnde des Kräftezuges ergibt die Resultierende,deren Richtungspfeil am Ende des Kräfte-zuges liegt.

Zu beachten ist, dass Resultierende und Einzel-kräfte niemals gemeinsam wirken, sondern nurdie Resultierende oder nur die Einzelkräfte. Sieersetzen sich gegenseitig. In diesem Buch sindzur Unterscheidung entweder die Resultierendeoder deren Komponenten mit hellem Richtungs-pfeil dargestellt, und zwar vorzugsweise die je-weils zu ermittelnden Kräfte.

Beispiel 2.9Es ist die Resultierende zweier Kräfte von 1200 und800 N, deren Wirklinien sich rechtwinklig schneiden,zeichnerisch mittels Kräfteparallelogramm und mit-tels Krafteck zu bestimmen und der Richtungswinkelzur größeren Kraft anzugeben.Lösung:Gegeben: F1 ¼ 1200 N, F2 ¼ 800 N, g ¼ 90�.Gesucht: Fr und ar.1. Kräfteparallelogramm (Bild 2.26a)Gewählt wird der KräftemaßstabfaktormF ¼ 400 N/cm. Damit ergeben sich entspr. Gl. (1.2)die zu zeichnenden Vektorlängen

F1 gez ¼ F1mF ¼1200 N

400 Ncm ¼ 3 cm,

F2 gez ¼ F1mF ¼800 N

400 Ncm ¼ 2 cm:

Die Kraftvektoren werden unter dem Winkel g an-einander gezeichnet und zum Parallelogramm (hierzum Rechteck) ergänzt. Die vom Schnittpunkt derWirklinien ausgehende Diagonale ist die Resultie-

Bild 2.25 Zusammensetzen zweier Kräfte mittels Kraft-ecka) Kräfteparallelogramm, b) Kraftecke

2.2 Zentrales ebenes Kräftesystem 23

rende Fr, deren Vektorlänge Fr gez ¼ 3,6 cm gemessenwird. Somit ist entspr. Gl. (1.3):Fr ¼ Fr gez � mF ¼ 3,6 cm � 400 N=cm ¼ 1440 N:Ferner wird gemessen der Richtungswinkel ar ¼ 33,7�:2. Krafteck (Bild 2.26b)

Bild 2.26 Ermittlung der Resultierendena) im Kräfteparallelogramm,b) im Krafteck

Die Kraftvektoren werden ihrer Richtung entspre-chend zu einem Kräftezug aneinander gereiht. DieVerbindungsgerade von Anfangs- und Endpunkt istdie Resultierende Fr mit dem Richtungspfeil an derSpitze von F2. Die Vektorlänge Fr gez und der Win-kel ar werden wie unter 1. gemessen.

Für die zeichnerische Zerlegung einer Kraft inzwei Komponenten, deren Wirklinien gegebensind, wird der Parallelogrammsatz sinngemäß an-gewendet. Die gegebene Kraft ist die Resultie-rende der gesuchten Komponenten. Mittels Pa-rallelverschiebung der Wirklinien W1 und W2(Bild 2.27a) bis zur Pfeilspitze von F ergibt sichein Parallelogramm, dessen Seiten die Kom-ponenten F1 und F2 darstellen (Bild 2.27b). Mitweniger Zeichenaufwand erhält man dasselbe Er-gebnis im Krafteck (Bild 2.27c), wobei es bedeu-tungslos ist, ob W1 oder W2 verschoben wird.

Beispiel 2.10Für eine Kraft von 2 kN, deren Wirklinie mit derx-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems denWinkel 30� einschließt und deren Vektorlänge 8 cmbetragen soll, sind die Komponenten in Richtung derKoordinatenachsen zeichnerisch zu ermitteln.Lösung:Gegeben: F ¼ 2000 N, a ¼ 30�, Fgez ¼ 8 cm.Gesucht: Fx und Fy.Der Kraftvektor wird unter a ¼ 30� zur x-Achse indas Koordinatensystem eingezeichnet (Bild 2.28).Durch die Pfeilspitze zu den Koordinatenachsen gezo-gene Parallelen ergeben auf den Achsen die gesuchtenKomponenten Fx und Fy. Die Lösung mittels Kräfte-parallelogramm zeigt Bild 2.28a, mittels KrafteckBild 2.28b.

Bild 2.28 Ermittlung der Komponenten einer Krafta) im Kräfteparallelogramm,b) im Krafteck

Gemessen werden Fx gez ¼ 6,92 cm und Fy gez ¼ 4 cm.Mit dem Kräftemaßstabfaktor (nach Gl. (1.1))

mF ¼ FFgez ¼2000N

8 cm¼ 250 N=cm

ergeben sich entspr. Gl. (1.3) die Komponenten

Fx ¼ Fx gez � mF ¼ 6,92 cm � 250 N=cm ¼ 1730 N¼ 1,73 kN,

Fy ¼ Fy gez � mF ¼ 4 cm � 250 N=cm ¼ 1000 N¼ 1 kN:

Wird anstelle der Ersatzkraft (der Resultieren-den) die Kraft gesucht, die sich mit zweiEinzelkräften im Gleichgewicht befindet, so istdas ebenfalls mittels Krafteck möglich. DieseGleichgewichtskraft ist so groß wie die Resul-tierende, dieser jedoch entgegengerichtet und hatsomit im Krafteck gleichen Umfahrungssinn wiedie Vektoren der gegebenen Kräfte.In Bild 2.29 sind die Zusammenhänge an einerPendelstange mit Seilrolle und Seil dargestellt.Die Seilrolle, an der die Seilkräfte FS wirken,wird durch die von der Stange auf die Seilrol-lenachse ausgeübte Kraft F im Gleichgewichtgehalten. Der Richtungspfeil der gesuchtenGleichgewichtskraft F schließt den aus den be-kannten Seilkräften FS gebildeten Kräftezug.Alle Vektoren haben im Krafteck gleichenUmfahrungssinn (Bild 2.29c).

Bild 2.27 Zerlegen einer Kraft in Komponentena) Kraft und Wirklinien der Komponenten,b) Kräfteparallelogramm, c) Kraftecke


Diese Erkenntnisse sind allgemein für das Gleich-gewicht von Kräften wichtig und lassen sich zu-sammenfassen zurzeichnerischen Gleichgewichtsbedingung:

Die Kräfte eines zentralen ebenen Kräfte-systems befinden sich im Gleichgewicht,wenn ihre Vektoren ein geschlossenes Kraft-eck bilden und darin gleichen Umfahrungs-sinn haben.

Dieser Lehrsatz besagt auch, dass in einemKräftesystem, das sich im Gleichgewicht befin-det, die Resultierende gleich null ist, da Anfangund Ende des Kräftezuges zusammentreffen.Um die zeichnerische Kräfteermittlung über-sichtlich zu gestalten, ist es zweckmäßig, einenLageplan und einen Kräfteplan anzufertigen:

Der Lageplan veranschaulicht die maßstabge-rechte Lage der Kräfte (ihrer Wirklinien) unab-hängig vom Betrag (die Kraftvektoren werdenunmaßstäblich, jedoch lagegerecht eingezeich-net).Der Kräfteplan ist das maßstäbliche Kraft-eck, das durch lagegerechtes Aneinanderrei-hen der Kraftvektoren entsteht.

Aus dem Lageplan werden die Wirklinien durchParallelverschieben in den Kräfteplan übertragen.Betrag und Wirkrichtung der gesuchten Kraft er-geben sich im Kräfteplan. Zur Lagebestimmungwird ihr Vektor in den Lageplan übertragen.Es empfehlen sich folgende Arbeitsschritte:1. Schritt: Freimachen des Bauteils, an dem diegesuchte Kraft angreift.

2. Schritt: Lageplan mit winkelgerechter An-ordnung der sich in einem Punkt schneiden-den Wirklinien zeichnen, Kräfte unmaßstäb-lich eintragen.

3. Schritt: Kräfteplan anfertigen durch maß-stäbliches Aneinanderzeichnen der Kraftvek-

toren in beliebiger Reihenfolge zu einemKräftezug, dessen Anfang und Ende verbin-den, so dass ein geschlossenes Krafteck ent-steht.

4. Schritt: Wirkrichtung der ermittelten Kraft imKräfteplan durch Eintragen des Richtungspfeilsangeben (Resultierende am Ende, Gleichge-wichtskraft am Anfang des Kräftezuges).

5. Schritt: Vektorlänge der ermittelten Kraft imKräfteplan abmessen und in Krafteinheitenumrechnen (ihren Betrag errechnen). Danachden unmaßstäblichen Kraftvektor in den La-geplan übertragen, falls seine Lage nichtschon vorher bekannt war.

Beispiel 2.11An einem Lasthebemagneten (Bild 2.30a) sind zweiKetten unter einem Winkel von 100� angebracht. Je-der Kettenstrang ist für eine Kraft von 10 kN zuge-lassen. Welche größte Kraft darf an der Aufhängeöseauftreten?

Bild 2.30 Lasthebemagnet mit Zweistrangkettea) Darstellung, b) freigemachte Öse

Lösung:Gegeben: FK ¼ 10 kN, a ¼ 100�, gewählt

mF¼2,5 kN/cm, damit FK gez¼ (10/2,5) cm¼ 4 cm (nach Gl. (1.2)).

Gesucht: F in kN.1. Schritt: Freimachen der Aufhängeöse (Bild 2.30b).Die gesuchte Kraft F hält mit den Kettenkräften FK dieÖse imGleichgewicht.2. Schritt: Zeichnen des Lageplans (Bild 2.31a). Dieunmaßstäblichen Kraftvektoren werden im Schnitt-punkt der Wirklinien (Ösenmitte) angesetzt.3. Schritt: Parallelverschieben der Wirklinien derKettenkräfte in den Kräfteplan (Bild 2.31b). Auf denWirklinien die Vektorlängen FK gez aneinander fügen,Richtungspfeile eintragen und Krafteck schließendurch Verbinden von Anfangs- und Endpunkt.4. Schritt: Richtungspfeil der Gleichgewichtskraft Fso eintragen, dass im Krafteck alle Vektoren gleichenUmfahrungssinn haben.5. Schritt: Messen der für F im Kräfteplan entstan-denen Vektorlänge Fgez und umrechen mit mF entspr.

Bild 2.29 Kräftegleichgewicht an einer Seilrollea) Anordnung der Rolle (Lageplan), b) Kräfte-parallelogramm mit Resultierender undGleichgewichtskraft, c) Krafteck zur Ermitt-lung von F mit Angabe des Umfahrungssinns(Kräfteplan)


Bild 2.31 Lage- und Kräfteplana) Lageplan, b) Kräfteplan

Gl. (1.3). Es ergibt sich Fgez ¼ 5,2 cm und damit diegrößtzulässige Kraft

F ¼ 5,2 cm � 2; 5 kN=cm ¼ 13 kN:

Auch wenn zwei Kräfte mit bekannten Wirk-linien bestimmt werden sollen, die sich mit ei-ner gegebenen Kraft im Gleichgewicht befinden,kann sinngemäß nach den vorgenannten Arbeits-schritten verfahren werden.

Beispiel 2.12An einem Mast (Bild 2.32) ist ein Halteseil für denOberleitungsdraht einer Straßenbahn befestigt. DieSeilkraft beträgt 750 N. Welche Kräfte wirken in denSpannseilen 1 und 2, die mit dem Halteseil in einerEbene liegen?

Bild 2.32 Mast mit Halteseil und Spannseilen

Lösung:Gegeben: F ¼ 750 N, a ¼ 45�, b ¼ 33�, gewählt

mF ¼ 150 N/cm, damit Fgez ¼ 5 cm (nachGl. (1.2)).

Gesucht: F1 und F2.1. Schritt: Freimachen des Mastes. Die gesuchtenSeilkräfte F1 und F2 ziehen am Mast, wie Bild 2.33azeigt.2. Schritt: In den Lageplan (Bild 2.33a) werden dieWirklinien W1 und W2 unter den Winkeln a und b ge-zeichnet und die Kräfte unmaßstäblich eingetragen.3. Schritt: Der Kräfteplan wird mit Fgez begonnen. Aneinem Ende dieser Strecke wird die Wirklinie W1, amanderen die Wirklinie W2 winkelgerecht angetragen,so dass ein geschlossenes Krafteck entsteht.4. Schritt: Die Richtungspfeile für F1 und F2 sinddurch die Wirkrichtung von F bedingt. Wegen desGleichgewichts haben die Vektoren im Krafteck glei-chen Umfahrungssinn.

5. Schritt: Im Kräfteplan werden gemessen die Vek-torlängen F1 gez ¼ 2,8 cm und F2 gez ¼ 3,6 cm. Mit mFergeben sich entspr. Gl. (1.3) die gesuchten Seilkräfte

F1 ¼ 2,8 cm � 150 N=cm ¼ 420 N,F2 ¼ 3,6 cm � 150 N=cm ¼ 540 N:


Wirken mehr als zwei Kräfte (Bild 2.34a), sokann man die Resultierende oder deren Gegen-kraft (die Gleichgewichtskraft) durch wiederhol-te Parallelogrammkonstruktionen ermitteln. Eswird jeweils von zwei Kräften eine Zwischen-resultierende konstruiert, z. B. Fr 1/2 aus denKräften F1 und F2 sowie Fr 3/4 aus F3 und F4(Bild 2.34b). Durch Zusammensetzen von Fr 1/2und Fr 3/4 ergibt sich dann die Gesamtresultie-rende Fr. Diese erhält man auch, indem man dieZwischenresultierende zweier Kräfte mit dernächsten Kraft zusammensetzt und so fortfährt,bis alle Kräfte erfasst sind.

Einfacher und schneller gelangt man zum Zielmittels Krafteck, das zu einem Kräftepolygonwird. Beim Aneinandersetzen der Kraftvektorenspielt die Reihenfolge keine Rolle, wie Bild 2.35zeigt. Die in Bild 2.35a angedeuteten Zwischen-resultierenden Fr 1/2 und Fr 3/4 veranschaulichenden Werdegang zum Polygon. Sie werden nicht

Bild 2.34 Vier Kräfte an einem Punkta) Lageplan, b) Kräfteplan mit wiederholterParallelogrammkonstruktion


mitgezeichnet. Das Krafteck wird übersichtlich,wenn die Reihenfolge der Kräfte so gewählt wird,dass sich der Kräftezug nicht selbst schneidet,was bei der Folge F3, F4, F1, F2 geschehenwürde.

Der Lösungsgang kann ebenfalls sinngemäß inden zuvor erläuterten fünf Arbeitsschritten erfol-gen.

Beispiel 2.13An einem Telegrafenmast sind in einer Ebene dreiDrähte befestigt, in denen die Kräfte 350 N, 500 Nund 300 N unter den in Bild 2.36 angegebenen Win-keln wirken. Die Resultierende dieser Kräfte ist zeich-nerisch zu ermitteln mit einem Maßstabfaktor von100 N/cm.

Bild 2.36 Kräfte an einem Telegrafenmast

Lösung:Gegeben: F1 ¼ 350 N, F2 ¼ 500 N, F3 ¼ 300 N,

b ¼ 65�, g ¼ 130�, mF ¼ 100 N/cm,damit F1 gez ¼ 3,5 cm, F2 gez ¼ 5 cm,F3 gez ¼ 3 cm.

Gesucht: Fr und ar als Richtungswinkel zu F1.1. Schritt: Entfällt, da die angreifenden Kräfte undderen Lagen bekannt sind (Bild 2.36)2. Schritt: In den Lageplan werden die WirklinienW1, W2 und W3 unter den Winkeln b und g gezeich-net und die Kräfte unmaßstäblich eingetragen(Bild 2.37a).

3. Schritt: Der Kräfteplan wird mit F1 gez begonnen(Bild 2.37b). Anschließend wird F2 gez unter demWinkel b angetragen und daran F3 gez unter demWinkel g angefügt. Die richtigen Winkel entstehendurch Parallelverschieben der Wirklinien aus demLageplan in den Kräfteplan. Anfang und Ende desKräftezuges werden verbunden, so dass ein Krafteckentsteht.4. Schritt: Die Wirkrichtung der Resultierendenwird durch Anbringen des Richtungspfeiles angege-ben. Seine Spitze weist auf das Ende des Kräfte-zuges, liegt also an der Spitze von F3.


5. Schritt: Die Vektorlänge der ermittelten Resultie-renden und ihr Richtungswinkel zur Kraft F1 werdenim Kräfteplan gemessen: Fr gez ¼ 4,63 cm, ar ¼ 54�.Durch Parallelverschieben in den Lageplan ergibtsich die Lage von Fr. Es betragen:

Fr ¼ 4,63 cm � 100 N=cm ¼ 463 N, ar ¼ 54�:

Wirken mehrere Kräfte auf derselben Wirk-linie, dann liegt auch die Resultierende Fr bzw.die Gleichgewichtskraft F auf dieser Wirklinie(Bild 2.38). Kräfteparallelogramm und Krafteckwerden zu einer Strecke. Zur übersichtlichenDarstellung zeichnet man die Kraftvektorendicht neben die Wirklinie und markiert die Vek-torlängen durch kurze Querstriche.

Bild 2.35 Kraftecke als Kräftepolygonea) Reihenfolge F1, F2, F3, F4, Fr, b) geänderteReihenfolge F3, F2, F1, F4, Fr, c) wie b), je-doch am Ende mit F als Gegenkraft zu Fr

Bild 2.38 Kräfte auf gleicher Wirkliniea) zwei Kräfte gleicher Richtung, b) zweiKräfte entgegengesetzter Richtung, c) dreiKräfte verschiedener Richtung


2.2.3 Rechnerische Kräfteermittlung

Kräfte auf gemeinsamer WirklinieDie Berechnungsgleichungen ergeben sich ausBild 2.38. Danach gilt für die aus n Einzelkräf-ten gebildete

ResultierendeFr ¼ SFi ¼ F1 þ F2 þ F3 þ . . .þ Fn ð2:1ÞIn diese Gleichung sind Kräfte mit entgegen-gesetzter Wirkrichtung mit verschiedenen Vor-zeichen einzusetzen. Vorzugsweise werden waa-gerecht nach rechts und senkrecht nach obenwirkende Kräfte positiv angenommen und zudiesen entgegengesetzt wirkende negativ.Die Gegenkraft zur Resultierenden, die Gleichge-wichtskraft F, die das Kräftesystem im Gleich-gewicht hält, folgt aus der Gleichgewichts-bedingung SF ¼ 0, also F þ Fr ¼ 0 oderF þ SFi ¼ 0, weil bei Gleichgewicht die Resul-tierende und damit die Summe aller Kräfte gleichnull ist. Somit beträgt für n Einzelkräfte die

GleichgewichtskraftF ¼ �SFi ¼ �ðF1 þ F2 þ F3 þ . . .þ FnÞ

ð2:2ÞAuch in dieser Gleichung sind entgegengesetzteWirkrichtungen durch verschiedene Vorzeichenzu unterscheiden. Die Wirkrichtung der errech-neten Kraft ergibt sich aus dem Vorzeichen desErgebnisses.

Zwei Kräfte, deren Wirklinien sich recht-winklig schneidenAus Bild 2.39 folgt nach dem Lehrsatz des Py-thagoras der Betrag für die

Resultierende Fr ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiF21 þ F22

qð2:3Þ

Zur Kraft F1 folgt für den

Richtungswinkel tan ar ¼ F2F1 ð2:4Þ

Damit ergibt sich die

Resultierende Fr ¼ F1cos ar ¼F2

sin arð2:5Þ

Die Gleichgewichtskraft F zu den Kräften F1und F2 sowie ihr spitzer Richtungswinkel a zurWirklinie von F1 (Bild 2.40) lassen sich sinn-gemäß mit den Gl. (2.3) bis (2.5) errechnen.

Beispiel 2.14Die Wirklinien zweier Kräfte von 2 kN und 3,5 kNschneiden sich rechtwinklig wie in den Bildern 2.39und 2.40. Es sind die Gleichgewichtskraft und derenspitzer Richtungswinkel zur Wirklinie der kleinerenKraft zu errechnen.Lösung:Gegeben: F1 ¼ 2 kN, F2 ¼ 3,5 kN.Gesucht: F und a.Aus Bild 2.40 folgen entspr. Gln. (2.3) und (2.4) fürdie Gleichgewichtskraft

F ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiF21 þ F22

q¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffið2 kNÞ2 þ ð3,5 kNÞ2

q¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi22 þ 3,52

pkN ¼ 4,03 kN

und für den Richtungswinkel

tan a ¼ F2F1

¼ 3,5 kN2 kN

, daraus a ¼ 60,26�:

Die errechnete Kraft F ist so groß wie die Resultie-rende Fr und liegt auf derselben Wirklinie, wirkt je-doch entgegengerichtet zu Fr.

Zwei Kräfte, deren Wirklinien sich schief-winklig schneidenFür die in Bild 2.41 den Winkel g einschließen-den Kräfte F1 und F2 erhält man die Resultie-rende Fr aus dem Cosinussatz

F2r ¼ F21 þ F22 � 2 � F1 � F2 � cosð180� � gÞDa cosð180� � gÞ ¼ �cos g ist, beträgt dieResultierende

Fr ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiF21 þ F22 þ 2 � F1 � F2 � cos g

qð2:6Þ

Der Winkel zwischen der Resultierenden Fr undder Kraft F1 ergibt sich aus dem Sinussatz

Bild 2.39 Resultierende von zwei rechtwinklig zueinan-der wirkenden Kräftena) Kräfteparallelogramm (Rechteck),b) Krafteck (rechtwinkliges Dreieck)

Bild 2.40 Berechnungsskizze zurErmittlung der Gleich-gewichtskraft


sin arF2

¼ sinð180� � gÞ

Fr

Mit sinð180� � gÞ ¼ sin g folgt für den

Richtungswinkel sin ar ¼ sin g � F2Fr ð2:7Þ

Mit dem Sinus- und dem Cosinussatz lassensich auch die Gleichgewichtskraft, die Kom-ponenten und alle Winkel in einem schiefwink-ligen Kräftedreieck errechnen.

Beispiel 2.15Die Seilkräfte in den Spannseilen nach Beisp. 2.12sind rechnerisch zu ermitteln (Bild 2.42).

Bild 2.42 Berechnungsskizzea) Mast mit Halteseil und Spannseilen,b) freigemachter Mast, c) Krafteckskizze

Lösung:Gegeben: F ¼ 750 N, a ¼ 45�, b ¼ 33�:Gesucht: F1 und F2.Mit dem Winkel g ¼ 180� � a � b¼ 180� � 45� � 33� ¼ 102� folgen aus dem Sinus-satz

F1sin b

¼ F2sin a

¼ Fsin g

die gesuchten Kräfte

F1 ¼ F sin bsin g ¼ 750 Nsin 33�

sin 102�¼ 418 N

F2 ¼ F sin asin g ¼ 750 Nsin 45�

sin 102�¼ 542 N

Mehr als zwei KräfteZweckmäßig bedient man sich eines x,y-Koor-dinatensystems (Bild 2.43), in dem die Vektorender Kräfte im Achsenschnittpunkt beginnen.Alle Kräfte werden in Richtung der beiden Ko-ordinatenachsen zerlegt, so dass sich nur zweisenkrecht zueinander stehende Wirkrichtungenergeben und sich alle Komponenten leicht zu-sammenfassen lassen.

Mittels der Winkelfunktion erhält man die

Komponentender Einzelkräfte

Fix ¼ Fi � cos ai ð2:8ÞFiy ¼ Fi � sin ai ð2:9Þ

mit i ¼ 1, 2, 3 . . . n bei n Einzelkräften und aials spitzem Winkel der Kraft Fi zur x-Achse.

Bild 2.41 Zur Berechnung schiefwinkliger Kräftedrei-eckea) Lageplan, b) Krafteck

Bild 2.43 Kräftezerlegung und -zusammensetzung imKoordinatensystema) Zerlegen von Einzelkräften, b) Zusammen-setzen zur Resultierenden


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