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Transport – Einführung

. – p.1/24

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Inhaltsverzeichnis

1. Einführung

2. Transportgleichung

3. Analytische Lösung

4. Diskretisierung der Transportgleichung

Es wird die folgende Annahme getroffen: ρ = const, d.h. allebetrachteten Fluide werden als inkompressibel behandelt.

A. Herleitung der analytischen Lösung der Transportgleichung

B. Stabilitätsanalyse des zentralen Differenzenschemas für dieTransportgleichung

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Materielle / Substantielle Ableitung

Du

Dt︸︷︷︸

1©

=∂u

∂t︸︷︷︸

2©

+∇ · (vu)︸ ︷︷ ︸

3©

=∂u

∂t+ v · ∇u +�

��

�:= 0 (Konti-Gleichung)

u · ∇v

1© : substantielle Beschleunigung2© : lokale Beschleunigung3© : konvektive Beschleunigung

mitv 6= 0 −→ Eulersche Betrachtungsweisev = 0 −→ Lagrangesche Betrachtungsweise

(Bewegung relativ zum System)

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Navier-Stokes Gleichung (u = v)

Die Navier-Stokes Gleichung kann als Transportgleichung fürGeschwindigkeiten interpretiert werden.

L(v, p) := ρ∂v

∂t+ ρv · ∇v −∇ · σ + f = 0.

Die Oberflächenkräfte σ setzen sich aus dem hydrostatischenDruck p und den viskosen Spannungen τ zusammen. Letzteresind bei den newtonischen Fluiden proportional zum Gradientender Geschwindigkeit und der Viskosität.

σ = τ − pI τxx = 2µ∂vx

∂x.

f sind die Volumenkräfte, d.h hier die Schwerkraft.

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Transport Gleichung (u = c)

Die klassische Transportgleichung ist ein skalare Gleichung fürbeispielsweise eine Konzentration

L(c) :=∂c

∂t+ v · ∇c

︸ ︷︷ ︸

Advektion

−∇ · (D · ∇ c)︸ ︷︷ ︸

Diffusion

+ r = 0.

Die dimensionlose Zahl die das Verhältnis von Advektion zu Dif-fusion beschreibt ist die Pecletzahl.

Pe =AdvektionDiffusion

Pe =v · LD

[−] (Pecletzahl)

L =̂ charakteristische Länge, z.B. Länge des Gebiets

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Transporteigenschaften

Typische Transporteigenschaften in diversen Hydrosystemen

V DM ,DL Pe = vlD

[-] Xs [m] t

Fluss 1 [m/s] 25 [m2/s] 2 50 50 [s]

Ästuar 0.05 [m/s] 10 [m2/s] 0.25 6.25 125 [s]

Grundwasser 1 [m/d] 50 [m2/d] 1 25 70 [d]

V =̂ Typische TransportgeschwindigkeitDM =̂ Typischer longitudinaler DiffusionskoefficientPe =̂ Konvection-DiffusionsverhältnisXs =̂ Verteilungsbreitet =̂ Zeit bis zur vollständigen Durchmischung

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1D - TransportgleichungWir betrachten eine repräsentative Modellgleichung, hier die in-stationäre Advektions-Diffusionsgleichung

∂u

∂t︸︷︷︸

1©

+ v∂u

∂x︸︷︷︸

2©

− ∂

∂xD

∂u

∂x︸ ︷︷ ︸

3©

= 0

1© : Speicherterm2© : Advektionsterm3© : Diffusionsterm

u ist eine Funktion von (x, t), v ist die Geschwindigkeit und D derhydrodynamische Dispersionstensor.

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Analytische Lösung

Die Pecletzahl ist Pe = vhD

Die analytische Lösung für eine stationäre Transportgleichungd.h. ∂u

∂t= 0 ist

u − ui

uj − ui=

exp(Pe · xh) − 1

exp(Pe) − 1,

{

u = ui for xi = 0

u = uj for xj = h

Die Lösung dieser Gleichung ist auf der nächsten Folie für ver-schiedene Pecletzahlen grafisch dargestellt. Wie man auf dieseLösung kommt wird im Anhang gezeigt.

. – p.8/24

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Analytische Lösung II

Pe <<−1

Pe = −1

Pe =0 Pe = 1

i j

i j

Pe >> −1

x

h

ui

uiui uj

uj

uj

xi = 0 xj = hv v = 0

v+

Pe = 0

Pe = ∞

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Diskretisierung der Transportgleichung

∂c

∂t+ ∇ · {vc − D · ∇c} − q = 0

Eine Möglichkeit, diese Gleichung zu diskretisieren, besteht dar-in, den Advektions- und den Diffusionsterm zu separieren.

∂c

∂t+ v · ∇c + c∇ · v −∇ · (D · ∇c) − q = 0.

Der dritte Term ist null; er stellt die Kontinuitätsgleichung dar.

∂c

∂t+ v · ∇c −∇ · (D · ∇c) − q = 0.

Bemerkung: Diese Art der Diskretisierung ist nicht sehr gut fürIFDM/FVM geeignet.

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Diskretisierung der Transportgleichung

∂c

∂t+ ∇ · {vc − D · ∇c} − q = 0

Die zweite Möglichkeit besteht darin die Gleichung in einer inte-gralen Form zu schreiben

∫

G

∂c

∂tdG +

∫

G

∇ · {vc − D · ∇c} dG −∫

G

q dG = 0,

und dann den Satz von Gauss anzuwenden

∫

G

∂c

∂tdG +

∫

Γ

(vc − D · ∇c) · n dΓ −∫

G

q dG = 0.

Bemerkung: Dies ist die konservative Form der Bilanzgleichung.

. – p.11/24

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Diskretisierung der Transportgleichung

Die erste Art der Diskretisierung ist sehr gut für die FiniteDifferenzen Methode geeignet, weil die Differentialgleichungdirekt in eine Differenzengleichung überführt werden kann.

Zum Beispiel: implizite Zeitdiskretisierung und ein zentrales Dif-ferenzenverfahren im Ort

cn+1i − cn

i

∆t+ v

cn+1i+1 − cn+1

i−1

2∆x− D

cn+1i+1 − 2cn+1

i + cn+1i−1

∆x2− qi = 0.

Bemerkung: In diesem Fall kann es zu Instabilitäten kommen,wenn der Prozess advektionsdominiert ist (siehe Erläuterung undHerleitung im Anhang B).

. – p.12/24

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Diskretisierung der Transportgleichung

Die zweite Art der Diskretisierung ist sehr gut für IFDM und FVMgeeignet, da hier die Flüsse über die Grenzflächen approximiertwerden.

∫

G

cn+1i − cn

i

∆tdG

+

∫

Γ

(

vcn+1i−1 − D

cn+1i+1 − cn+1

i−1

2∆x

)

dΓ −∫

qi dG = 0.

Bemerkung: In diesem Fall wird der advektive Term nicht mehrals Konzentrationsgradient approxomiert. Die richtige Konzentra-tion muss nun, abhängig von der Fließrichtung ausgewählt wer-den. (Annahme hier: Fluss von links nach rechts.)

. – p.13/24

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Diffusive and advektive Flüsse

Diffusive Flüsse

führen zu diagonal dominierten Matrizen mit positivenEinträgen−→ Das resultierende Gleichungssystem kann ohne Stabili-tätsprobleme gelöst werden (Beispiel: Laplace-Gleichung).

Advektive Flüsse

müssen durch die Wahl der richtigenDiskretisierungsmethode “korrekt” beschrieben werden.

Der Differentialoperator, der die Konvektion beschreibt istnicht symmetrisch und z.B. bei der Navier-Stokes-Gleichungauch nicht linear.

. – p.14/24

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Anhang A

Herleitung der analytischen Lösung der

stationären Transportgleichung

. – p.15/24

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Herleitung der analytischen Lösung

Betrachten wir die stationäre Transportgleichung

vdu

dx− D

d2u

dx2= 0.

Zur Lösung wählen wir den folgenden Ansatz u = eλx. Eingesetztergibt sich

vλeλx − Dλ2eλx = 0.

Wir lösen nun das Eigenwertproblem

(vλ − Dλ2)eλx = 0

λ0 = 0 λ1 =v

D.

. – p.16/24

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Herleitung der analytischen Lösung

Die allgemeine Lösung lautet: u(x) = M1eλ0x + M2e

λ1x

= M1 + M2ev

Dx

Mit Hilfe der Randbedingungen können M1 und M2 bestimmt wer-den.

u(0) = ui → M1 + M2 = ui

u(L) = uj → M1 + M2ev

DL = uj

→ M1 = ui − M2

→ ui − M2 + M2ev

DL = uj

M2 =uj − ui

ev

DL − 1

M1 = ui − uj − ui

ev

DL − 1

. – p.17/24

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Herleitung der analytischen Lösung

Damit erhalten wir die folgende Lösung

u(x) = ui −uj − ui

ev

DL − 1

+uj − ui

ev

DL − 1

ev

Dx.

Durch Umformung erhalten wir dann die vorgestellte Lösung

u − uiuj − ui

= − 1

ev

DL − 1

+ ev

Dx

ev

DL − 1

= ev

Dx − 1

ev

DL − 1

= ePe x

L − 1ePe − 1

.

. – p.18/24

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Anhang B

Erläuterungen zur Stabilität des zentralen

Differenzenschemas bei der stationären

Transportgleichung

. – p.19/24

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Stabilität

Wir betrachten den stationärer Transport

vci+1 − ci−1

2∆x− D

ci+1 − 2ci + ci−1

∆x2= 0

v∆x

D(ci+1 − ci−1) − 2(ci+1 − 2ci + ci−1) = 0

mitv∆x

D= Pe

(Pe − 2)ci+1 + 4ci − (Pe + 2)ci−1 = 0

Randbedingungen: c0 = 1; cNx= 0, (wobei Nx die Anzahl der

Knoten ist.)

. – p.20/24

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Stabilität

Wir ersetzen nun ci mit dem exponentiellen Ansatz eλih

(Pe − 2)eλ(i+1)h + 4eλih − (Pe + 2)eλ(i−1)h = 0 : eλ(i−1)h

(Pe − 2)e2λh + 4eλh − (Pe + 2) = 0

(Pe − 2)(eλh

)2+ 4eλh − (Pe + 2) = 0 ; eλh = β

(Pe − 2)β2 + 4β − (Pe + 2) = 0

und lösen die quadratische Gleichung für β mit der Mitternachts-formel.

. – p.21/24

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Stabilität

β1/2 =−b±

√b2 − 4ac

2a

=−4±

√

16 + 4(Pe − 2)(Pe + 2)

2Pe − 4

=−4±

√16 + 4Pe2 − 16

2Pe − 4

=−4±2Pe

2Pe − 4=

−2±Pe

Pe − 2

β1 = −2−PePe−2

β2 = −2+PePe−2

β1 = − (Pe+2)Pe−2

β2 = 1

. – p.22/24

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Stabilität

Wir berechnen nun M1 und M2 in der allgemeinen Lösung ci =M1β

i1 + M2 mit den Randbedingungen.

ci(x = 0) = 1 = M1 + M2 → M2 = 1 − M1

ci(Nx) = 0 = M1βNx

1 + M2

Löse nach M1: 0 = M1βNx

1 + 1 − M1

−1 = M1(βNx

1 − 1)

M1 = − 1

βNx

1−1

und M2: M2 = 1 + 1

βNx

1−1

=βNx

1

βNx

1−1

. – p.23/24

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Stabilität

Daraus ergibt sich die Lösung

ci = − βi1

βNx

1 − 1+

βNx

1

βNx

1 − 1

=βNx

1 − βi1

βNx

1 − 1=

1 − βi−Nx

1

1 − β−Nx

1

=1 − β

−(Nx−i)1

1 − β−Nx

1

.

Betrachten wir nun die Lösung, dann stellen wir fest, dass β1 ne-gativ wird, wenn die Pecletzahlen größer als 2 sind. Da der Ex-ponent Nx − i abwechselnd gerade und ungerade sein wird, wirdder Beitrag des Wertes abwechselnd positiv und negativ sein.Dies führt zu Oszillationen, das System wird instabil. Nur wenndie Pecletzahl kleiner als zwei ist, wird es eine stabile Lösunggeben.

. – p.24/24