Vorlesungsskript Hydromechanik

Hydromechanik

Vorlesungsumdruck für die Bachelorvorlesung „Hydromechanik“

Ausgabe April 2015

Technische Universität Braunschweig Leichtweiß-Institut für Wasserbau Abteilung Hydromechanik und Küstenin-genieurwesen Prof. Dr.-Ing. Hocine Oumeraci

Inhaltsverzeichnis 2

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................................... 2

Abbildungsverzeichnis ............................................................................................................... 7

Tabellenverzeichnis .................................................................................................................. 11

Symbolverzeichnis ................................................................................................................... 12

1 Aufgaben der Hydromechanik. ......................................................................................... 19

2 Physikalische Eigenschaften des Wassers ........................................................................ 20

2.1 Dichte ....................................................................................................................... 20 2.2 Kompressibilität (Volumenelastizität) ..................................................................... 21 2.3 Oberflächenspannung (Kapillarspannung) .............................................................. 22 2.4 Viskosität ................................................................................................................. 26 2.5 Löslichkeit der Luft und Luftgehalt des Wassers .................................................... 26 2.6 Zusammenfassung ................................................................................................... 27

3 Hydrostatik ........................................................................................................................ 27

3.1 Der Begriff "Druck" ................................................................................................. 27 3.2 Hydrostatische Druckverteilung infolge Schwerkraft (Grundgleichungen der

Hydrostatik) ............................................................................................................. 32 3.3 Hydrostatische Druckkräfte auf ebene Flächen ....................................................... 35 3.4 Hydrostatische Druckkräfte auf gekrümmte Flächen .............................................. 37 3.5 Auftrieb (Prinzip von ARCHIMEDES) ................................................................... 42 3.6 Schwimmender Körper und Schwimmstabilität ...................................................... 43

3.6.1 Schwimmfähigkeit ....................................................................................... 44 3.6.2 Schwimmstabilität und Kriterien ................................................................. 46

3.7 Einfluss zusätzlicher Beschleunigungen auf den hydrostatischen Druck ................ 49 3.7.1 Problemstellung ........................................................................................... 49 3.7.2 Senkrecht beschleunigter Wasserbehälter .................................................... 50 3.7.3 Horizontal beschleunigter Wasserbehälter .................................................. 52

3.8 Zusammenfassung ................................................................................................... 55 3.9 Aufgaben .................................................................................................................. 57

4 Einführung in die Hydrodynamik ..................................................................................... 75

4.1 Definition und Feldbeschreibung ............................................................................ 75 4.2 LAGRANGEsche und EULERsche Beschreibung ................................................. 76 4.3 Klassifizierung von Strömungen ............................................................................. 76 4.4 Grundgesetze der Physik und Stoffgesetze bei Strömungen ................................... 77 4.5 Wichtige Begriffe der Hydrodynamik (stationäre Strömung) ................................. 78


4.6 Zusammenfassung ................................................................................................... 83

5 Kontinuitätsgleichung ....................................................................................................... 84

5.1 Eindimensionales Strömungsfeld ............................................................................ 84 5.2 Zwei- und dreidimensionales Strömungsfeld .......................................................... 86 5.3 Zusammenfassung ................................................................................................... 88 5.4 Aufgaben .................................................................................................................. 88

6 Einführung in die Potentialströmung ................................................................................ 91

6.1 Definition und Begriffe ............................................................................................ 91 6.2 Strom- und Potentiallinien bei stationärer Strömung .............................................. 94 6.3 Praktische Hinweise für die Untersuchung von Potentialströmungen .................... 97

6.3.1 Untersuchungsmethoden – Übersicht .......................................................... 97 6.3.2 Hinweise zur Erstellung von Potentialnetzen .............................................. 98 6.3.3 Hinweise zur Auswertung des Potentialnetzes .......................................... 100

6.4 Zusammenfassung ................................................................................................. 103 6.5 Aufgaben ................................................................................................................ 104

7 Einführung in den Energiesatz ........................................................................................ 105

7.1 Allgemeines zur Energie-Gleichung ...................................................................... 105 7.2 Herleitung der BERNOULLI-Gleichung .............................................................. 106

7.2.1 Annahmen und Ausgangsgleichung .......................................................... 106 7.2.2 Ausgangssystem ......................................................................................... 106 7.2.3 Herleitung der BERNOULLI-Gleichung ................................................... 108 7.2.4 Diskussion und Anmerkungen ................................................................... 110

7.3 Anwendungsbeispiele ............................................................................................ 112 7.3.1 Ausfluss aus Öffnungen ............................................................................. 112 7.3.2 Rohrerweiterung und -verengung .............................................................. 113 7.3.3 Staudruck ................................................................................................... 114 7.3.4 Dynamischer Auftrieb und MAGNUS-Effekt ........................................... 118 7.3.5 Hydrodynamisches Paradoxon................................................................... 121 7.3.6 Schiffskollision .......................................................................................... 122


8 Einführung in den Impulssatz ......................................................................................... 129

8.1 Allgemeines ........................................................................................................... 129 8.2 Besonderheiten des Impulsbegriffes in der Hydromechanik ................................. 129 8.3 Herleitung des Impulssatzes in der Hydromechanik ............................................. 131

8.3.1 Ausgangssystem und Annahmen ............................................................... 131 8.3.2 Herleitung des Impulssatzes ...................................................................... 132 8.3.3 Stützkraftsatz.............................................................................................. 133

8.4 Anwendung des Impulssatzes ................................................................................ 136 8.4.1 Allgemeine Vorgehensweise ..................................................................... 136


8.4.2 Anwendungsbeispiele ................................................................................ 136


9 Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne .............................. 155

9.1 Ausgangssystem und Annahmen ........................................................................... 155 9.2 Ableitung der Zustandsgleichung eines Fließquerschnittes .................................. 155 9.3 Untersuchung der Zustandsgleichung bei konstantem Abfluss ............................. 156 9.4 Durchfluss bei konstanter Energiehöhe ................................................................. 161 9.5 Zusammenfassung ................................................................................................. 165 9.6 Aufgaben ................................................................................................................ 166

10 Berechnung von lokalen Energieverlusten ...................................................................... 170

10.1 Beispiel aus der Gerinneströmung: Ebener freier Wechselsprung ........................ 170 10.1.1 Problemstellung ......................................................................................... 170 10.1.2 Ausgangssystem und Annahmen ............................................................... 170 10.1.3 Berechnung der Unterwassertiefe .............................................................. 171

10.2 Beispiel aus der Rohrströmung: BORDAscher-Stoßverlust .................................. 173 10.2.1 Problemstellung ......................................................................................... 173 10.2.2 Ausgangssystem und Annahmen ............................................................... 173 10.2.3 Berechnung des BORDAschen Stoßverlustes ........................................... 174


11 Laminare und turbulente Strömung ................................................................................ 180

11.1 Definition - Auswirkung der Viskosität ................................................................ 180 11.2 Unterschied zwischen idealen und realen Strömungen – Das D'ALEMBERTsche

Paradoxon .............................................................................................................. 180 11.3 Laminare und turbulente Strömung - Das REYNOLDS-Experiment ................... 182 11.4 Viskosität und Reibungsgesetz von NEWTON ..................................................... 185

11.4.1 Definition und Fluidreibungsgesetz ........................................................... 185 11.4.2 Implikationen und Gültigkeit des NEWTONschen Reibungsansatzes ...... 187

11.5 Umschlag laminar/turbulent – REYNOLDS-Zahl ................................................ 188 11.5.1 Umschlag laminar/turbulent ....................................................................... 188 11.5.2 Herleitung der REYNOLDS-Zahl ............................................................. 190 11.5.3 Bedeutung der REYNOLDS-Zahl ............................................................. 191 11.5.4 Kritische REYNOLDS-Zahl ...................................................................... 192

11.6 Grenzschicht-Konzept nach PRANDTL ............................................................... 196 11.6.2 Grenzschichtentwicklung ........................................................................... 198


12 Laminare Strömung im Kreisrohr ................................................................................... 206

12.1 Allgemeines und Annahmen .................................................................................. 206


12.2 Schubspannungsverteilung .................................................................................... 206 12.3 Geschwindigkeitsverteilung .................................................................................. 209 12.4 Zusammenfassung ................................................................................................. 213

13 Laminare Strömung im Boden (DARCY) ...................................................................... 214

13.1 Herleitung des DARCYschen Filtergesetzes ......................................................... 214 13.2 Wichtige Anmerkungen ......................................................................................... 218 13.3 Behandlung als Potentialströmung ........................................................................ 220 13.4 Hydraulischer Grundbruch .................................................................................... 222 13.5 Zusammenfassung ................................................................................................. 224 13.6 Aufgaben ................................................................................................................ 225

14 Turbulente Strömung im Kreisrohr ................................................................................. 233

14.1 Einleitung ............................................................................................................... 233 14.1.1 Erweiterte BERNOULLI-Gleichung ......................................................... 233 14.1.2 Zentrales Problem der Berechnung von Druckrohrleitungen .................... 233

14.2 Allgemeines Widerstandsgesetz der stationären Druckrohrströmung ................... 235 14.2.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes .......................................................... 235 14.2.2 Wichtige Anmerkungen ............................................................................. 238

14.3 Widerstandsbeiwert λ ............................................................................................ 239 14.3.1 Widerstandsbeiwert bei laminarer Strömung............................................. 239 14.3.2 Widerstandsbeiwert bei turbulenter Strömung .......................................... 240

14.4 Lokale Verluste ...................................................................................................... 249 14.4.1 Entstehung.................................................................................................. 249 14.4.2 Berechnungsansätze ................................................................................... 250

14.5 Druckströmung in Rohren mit nichtkreisförmigem Querschnitt ........................... 254 14.6 Praktische Hinweise zur Bemessung und Optimierung von Rohrleitungen .......... 255 14.7 Zusammenfassung ................................................................................................. 257 14.8 Aufgaben ................................................................................................................ 259

15 Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne .................................................................. 266

15.1 Grundlegende Unterschiede zwischen Strömung im Druckrohr und im Freispiegelgerinne .................................................................................................. 266

15.2 Strömungsfälle - Gleichförmiger und ungleichförmiger Abfluss .......................... 268 15.3 Widerstandsgesetz und empirische Fließformeln für den gleichförmigen stationären

Abfluss ................................................................................................................... 271 15.3.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes .......................................................... 271 15.3.2 Empirische Fließformeln ........................................................................... 273 15.3.3 Einschränkungen bei der Anwendung der Fließformeln ........................... 277 15.3.4 Grundaufgaben der Gerinnehydraulik ....................................................... 278

15.4 Hydraulischer Radius und hydraulisch günstige Querschnitte – Sonderfälle – ... 279 15.4.1 Hydraulischer Radius ................................................................................. 279 15.4.2 Gerinne mit gegliedertem Querschnitt ....................................................... 282 15.4.3 Gerinne mit inhomogener Rauheit ............................................................. 284


15.4.4 Hydraulisch günstige Querschnitte ............................................................ 286


16 Weiterführendes Schrifttum ............................................................................................ 297

Abbildungsverzeichnis 7

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1.1: Stellung der Hydromechanik innerhalb der Technischen Mechanik und Gliederung .................................................................................................... 19

Abb. 2.1: Oberflächenspannung mit und ohne Randeinfluss ....................................... 23 Abb. 2.2: Bestimmung der Oberflächenspannung ....................................................... 25 Abb. 2.3: Kapillarwirkung verschiedener Flüssigkeiten .............................................. 25 Abb. 3.1: Zusammenhang zwischen verschiedenen Druckbegriffen ........................... 29 Abb. 3.2: Schweredruck ............................................................................................... 31 Abb. 3.3: Pressdruck .................................................................................................... 31 Abb. 3.4: Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung .................................... 32 Abb. 3.5: Hydrostatische Druckverteilung .................................................................. 34 Abb. 3.6: Druckverteilung bei geschichteten Flüssigkeiten ........................................ 34 Abb. 3.7: Definitionsskizze zur Ableitung der hydrostatischen Druckkraft ................ 35 Abb. 3.8: PASCALsches Paradoxon............................................................................ 36 Abb. 3.9: Hydrostatischer Druck in Gründungsfuge ................................................... 37 Abb. 3.10: Druckkraft auf gekrümmte Flächen ............................................................. 39 Abb. 3.11: Definitionsskizze zur Ableitung der vertikalen Druckkraftkomponente ..... 40 Abb. 3.12: Resultierende Druckkraft auf gekrümmte Flächen (konvex) ....................... 41 Abb. 3.13: Resultierende Druckkraft auf gekrümmte Flächen (konkav) ....................... 41 Abb. 3.14: Definitionsskizze für die Bestimmung des Auftriebs .................................. 43 Abb. 3.15: Prinzipienskizze zur Bestimmung der Auftriebskraft Fz ............................. 44 Abb. 3.16: Schwimmvermögen ..................................................................................... 45 Abb. 3.17: Stabile, labile und indifferente Schwimmlage ............................................. 47 Abb. 3.18: Ausgelenkte Schwimmkörper (Definitionsskizze) ...................................... 48 Abb. 3.19: Linien gleichen Druckes .............................................................................. 50 Abb. 3.20: Vertikale Bewegung eines Wasserbehälters bei unterschiedlicher

Beschleunigung b ......................................................................................... 51 Abb. 3.21: Horizontal und geradlinig beschleunigter Wasserbehälter .......................... 53 Abb. 3.22: Horizontal rotierender Wasserbehälter ........................................................ 54 Abb. 3.23: Hydrostatischer Druck auf eine senkrechte Wand ....................................... 58 Abb. 3.24: Druckspannnungsverteilung auf eine senkrechte Wand .............................. 59 Abb. 3.25: Kreissegmentschütz ..................................................................................... 60 Abb. 3.26: Druck auf schräge Fläche ............................................................................. 61 Abb. 3.27: Druckspannungsfigur auf "Nase" ................................................................. 62 Abb. 3.28: Kräftezerlegung ............................................................................................ 63 Abb. 3.29: Druck auf eine Klappe ................................................................................. 64 Abb. 3.30: Druckspannungsverteilung auf die Klappe .................................................. 64 Abb. 3.31: Druckspannungsverteilung bei gekrümmten Flächen .................................. 65 Abb. 3.32: Prinzip des ARCHIMEDES ......................................................................... 69 Abb. 3.33: Auftrieb einer Mauer .................................................................................... 70 Abb. 3.34: Beschleunigungssysteme ............................................................................. 71 Abb. 3.35: Beschleunigungssystem im Zustand "2" ...................................................... 72 Abb. 3.36: Schwimmstabilität ........................................................................................ 73


Abb. 4.1: Unterschied zwischen äußeren Kräften und Trägheitskräften ..................... 75 Abb. 4.2 : Definitionsskizzen für Stromlinien .............................................................. 78 Abb. 4.3: Stromröhre und Stromfaden ......................................................................... 79 Abb. 4.4: Kontrollvolumen und System ...................................................................... 80 Abb. 5.1: Prinzipienskizze zur Ableitung der Kontinuitätsgleichung (eindimensionaler

Fall) .............................................................................................................. 84 Abb. 5.2: Ableitung der Kontinuitätsgleichung für den zweidimensionalen Fall ....... 87 Abb. 5.3: Rohrerweiterung........................................................................................... 89 Abb. 5.4: Rohrverzweigung ......................................................................................... 90 Abb. 6.1: Analogie zu den Strom- und Potentiallinien in der Elektrizitätslehre ......... 91 Abb. 6.2: Definition der Rotationsfreiheit ................................................................... 92 Abb. 6.3: Potentialströmungsarten ............................................................................... 93 Abb. 6.4: Strom- und Potentiallinien bei einem Stromfaden ....................................... 94 Abb. 6.5: Ebenes Potentialnetz .................................................................................... 95 Abb. 6.6: Konstruktion eines Potentialnetzes .............................................................. 99 Abb. 6.7: Randstromlinie bei Strömungsablösung .................................................... 100 Abb. 6.8: Prinzipienskizze zur Auswertung des Potentialnetzes ............................... 101 Abb. 6.9: Wehr ........................................................................................................... 104 Abb. 7.1: Stromröhrenquerschnitt für die Ableitung des Energiesatzes .................... 107 Abb. 7.2: BERNOULLI-Gleichung bei Druckrohrströmung .................................... 111 Abb. 7.3: BERNOULLI-Gleichung bei Gerinneströmung ........................................ 111 Abb. 7.4: Ausfluss aus einer Öffnung ........................................................................ 112 Abb. 7.5: BERNOULLI-Gleichung bei Rohrverengung und -erweiterung ............... 114 Abb. 7.6: Staudruck bei stationärer Anströmung einer Wandung ............................. 115 Abb. 7.7: Angeströmter Körper im Druckrohr .......................................................... 116 Abb. 7.8: Prinzip des PITOT-Rohres und des PRANDTLschen Staugerätes ........... 117 Abb. 7.9: Geschwindigkeitsmessung mit dem PITOT-Rohr bei Gerinneströmung .. 118 Abb. 7.10: Dynamischer Auftrieb ................................................................................ 119 Abb. 7.11: MAGNUS-Effekt ....................................................................................... 120 Abb. 7.12: FLETTNER-Rotor ..................................................................................... 121 Abb. 7.13: Hydrodynamisches Paradoxon ................................................................... 122 Abb. 7.14: Kollision von Schiffen infolge des BERNOULLI-Effektes ...................... 123 Abb. 7.15: Ausflussbehälter ......................................................................................... 125 Abb. 7.16: Druck- und Energielinienermittlung .......................................................... 126 Abb. 7.17: Rohrerweiterung......................................................................................... 127 Abb. 7.18: Schematische Darstellung der Energie- und Drucklinie ............................ 128 Abb. 8.1: Kraft-Zeit-Verlauf und Impuls ................................................................... 130 Abb. 8.2: Ausgangssystem für die Herleitung des Impulssatzes ............................... 132 Abb. 8.3: Prinzip des Stützkraftsatzes ....................................................................... 134 Abb. 8.4: Stützkräfte als Schnittkräfte (Analogie zur Stabstatik) .............................. 135 Abb. 8.5: Widerlagerkraft bei Rohrkrümmern ........................................................... 137 Abb. 8.6: Widerlagerkraft bei einem Winkel = 90° ............................................... 138 Abb. 8.7: Schräg auftreffender Strahl ........................................................................ 139 Abb. 8.8: Normal auftreffender Strahl und Gesamtdruckkraft .................................. 140


Abb. 8.9: Propellerstrahl, Druck- und Geschwindigkeitsverlauf ............................... 141 Abb. 8.10: Die vier Grundformen des Schwalls .......................................................... 143 Abb. 8.11: Schwall und Definitionsskizze ................................................................... 144 Abb. 8.12: Definitionsskizze für die mittlere Wassertiefe bei Gerinnen mit beliebigem

Fließquerschnitt A ...................................................................................... 146 Abb. 8.13: Impuls auf eine Platte ................................................................................. 149 Abb. 8.14: Düse ........................................................................................................... 150 Abb. 8.15: Wal ............................................................................................................. 152 Abb. 8.16: Schwallwelle .............................................................................................. 154 Abb. 9.1: Ausgangssystem ......................................................................................... 155 Abb. 9.2: Wassertiefen bei konstantem Durchfluss (q = konst.) ............................... 156 Abb. 9.3: Stützkraftminimum .................................................................................... 158 Abb. 9.4: Praktisches Feststellen der Fließart (Strömen oder Schießen?) ................. 161 Abb. 9.5: Durchfluss bei konstanter Energiehöhe ..................................................... 162 Abb. 9.6: Konjugierte Wassertiefen h1 und h2 ........................................................... 163 Abb. 9.7: Grundschwelle ........................................................................................... 166 Abb. 9.8: Wellenbild beim Werfen des Steines ......................................................... 167 Abb. 10.1: Ebener freier stationärer Wechselsprung - Definitionsskizze .................... 171 Abb. 10.2: Prinzipienskizze – plötzliche lokale Rohrerweiterung ............................... 174 Abb. 10.3: Ausgangssystem bei der Anwendung der BERNOULLI-Gleichung und des

Impulssatzes ............................................................................................... 175 Abb. 10.4: BORDAscher Stoßverlust .......................................................................... 179 Abb. 11.1: Vergleich zwischen idealer und realer Strömung ...................................... 181 Abb. 11.2: Das D'ALEMBERTsche Paradoxon .......................................................... 182 Abb. 11.3: REYNOLDS-Experiment für laminare und turbulente Strömung ............. 183 Abb. 11.4: Larninarströmung ....................................................................................... 184 Abb. 11.5: Turbulente Strömung ................................................................................. 184 Abb. 11.6: Prinzipienskizze zur Erläuterung des Reibungsgesetzes nach NEWTON . 185 Abb. 11.7: Reibungsverhalten NEWTONscher und nicht-NEWTONscher Fluide ..... 189 Abb. 11.8: Umschlag laminare/turbulente Strömung .................................................. 190 Abb. 11.9: Zur Entstehung der Turbulenz ................................................................... 193 Abb. 11.10: Grenzschicht- und Außenströmungsbereich .............................................. 197 Abb. 11.11: Grenzschichtentwicklung an einer längsangeströmten ebenen Platte ........ 198 Abb. 11.12: Grenzschichtentwicklung bei einer Rohrströmung .................................... 200 Abb. 12.1: Schubspannung bei laminarer Rohrströmung ............................................ 207 Abb. 12.2: Schubspannungsverteilung bei laminarer Rohrströmung .......................... 208 Abb. 12.3: Definitionsskizze ........................................................................................ 210 Abb. 12.4: Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrströmung ........................ 212 Abb. 13.1: Der DARCY-Versuch zur Herleitung des Filtergesetzes .......................... 215 Abb. 13.2: Sickerverluste durch einen Damm ............................................................. 217 Abb. 13.3: Unterströmung einer Talsperre .................................................................. 220 Abb. 13.4: Sickerströmung als Potentialströmung – Definitionsskizze....................... 221 Abb. 13.5: Prinzipienskizze zur Herleitung der Bedingung für den hydraulischen

Grundbruch ................................................................................................ 222


Abb. 13.6: Laminare Strömung im Boden ................................................................... 225 Abb. 13.7: Durchströmung von Böden – "Reihenschaltung" ...................................... 226 Abb. 13.8: Böden in "Parallelschaltung" ..................................................................... 228 Abb. 13.9: Kanalhaltung .............................................................................................. 229 Abb. 13.10: Hydraulischer Grundbruch ......................................................................... 230 Abb. 13.11: Durchsickerung eines Dammes .................................................................. 231 Abb. 14.1: BERNOULLI-Gleichung (links) und erweiterte BERNOULLI-Gleichung

(rechts) ....................................................................................................... 234 Abb. 14.2: Energiehöhenverlust bei Druckrohrströmung ............................................ 235 Abb. 14.3: Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes ........................ 236 Abb. 14.4: Einfluss der laminaren Unterschicht und der Wandreibung auf das

Widerstandsverhalten ................................................................................. 241 Abb. 14.5: Das MOODY-Diagramm für technisch raue Rohre .................................. 245 Abb. 14.6: Technische Rauheit und Sandkornrauheit.................................................. 246 Abb. 14.7: Das NIKURADSE-Diagramm für Rohre mit künstlicher

Sandkornrauheit ......................................................................................... 247 Abb. 14.8: MOCK-Nomogramme zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes λ ...... 248 Abb. 14.9: Entstehung der lokalen Verluste ................................................................ 249 Abb. 14.10: Einlaufverluste ........................................................................................... 251 Abb. 14.11: Auslaufverluste .......................................................................................... 252 Abb. 14.12: Lokale Verluste bei Querschnittserweiterung ............................................ 252 Abb. 14.13: Verluste bei Querschnittsverengung .......................................................... 253 Abb. 14.14: Umlenkverluste .......................................................................................... 253 Abb. 14.15: Optimierung des Rohrdurchmessers D ...................................................... 256 Abb. 14.16: Darstellung des Systems ............................................................................ 259 Abb. 14.17: Pumpsystem ............................................................................................... 262 Abb. 14.18: Bewässerungssystem .................................................................................. 264 Abb. 15.1: Strömung im Druckrohr und im Freispiegelgerinne .................................. 267 Abb. 15.2: Strömungsfälle bei stationärem und instationärem Abfluss ...................... 269 Abb. 15.3: Strömungsfälle bei stationärem Abfluss .................................................... 270 Abb. 15.4: Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes ........................ 272 Abb. 15.5: Versuch von BAZIN – Prinzipdarstellung ................................................. 275 Abb. 15.6: Isotachen bei Voll- und Halbrohr............................................................... 276 Abb. 15.7: Nomogram nach der GMS-Formel ............................................................ 280 Abb. 15.8: Einfluss der Wassertiefe auf den hydraulischen Radius ............................ 281 Abb. 15.9: Einfluss der Spiegelbreite auf den hydraulischen Radius .......................... 282 Abb. 15.10: Zerlegung eines gegliederten Querschnittes mit "Vorländern" ................. 283 Abb. 15.11: Kompakter Gerinnequerschnitt mit inhomogener Rauheit ........................ 284 Abb. 15.12: Definitionsskizze eines hydraulisch günstigen Rechteckprofils ................ 286 Abb. 15.13: Definitionsskizze eines hydraulisch günstigen Trapezprofils .................... 287 Abb. 15.14: Kanalquerschnitt ........................................................................................ 291 Abb. 15.15: Gerinnequerschnitt ..................................................................................... 292 Abb. 15.16: Trapezquerschnitt ....................................................................................... 293 Abb. 15.17: Gegliederter Querschnitt ............................................................................ 295

Tabellenverzeichnis 11

Tabellenverzeichnis

Tab. 2.1: Dichte des Wassers w [kg/m3] in Abhängigkeit der Temperatur und des Salzgehaltes bei Atmosphärendruck ............................................................ 21

Tab. 11.1: Abhängigkeit der kinematischen Viskosität von der Temperatur .............. 187 Tab. 13.1: Durchlässigkeitsbeiwert für die DARCYsche Filterströmung ................... 216 Tab. 14.1: Richtwerte für die technische Rauheit k .................................................... 246 Tab. 15.1: STRICKLER-Beiwert kst in der GMS-Formel .......................................... 277

Symbolverzeichnis 12

Symbolverzeichnis

Formelzeichen Benennung, Bedeutung Einheit

A Druckfläche, Fläche [m²]

A(h) Variabler Fließquerschnitt [m²]

Af Filterfläche [m²]

Ap Durchflussfläche eines Propellers [m²]

B Wasserspiegelbreite [m]

BS Sohlbreite [m]

b Beschleunigung [m/s²]

C Dimensionsbehafteter Geschwindigkeitsbeiwert [m1/2/s]

c Wellenschnelligkeit [m/s]

cL Leitfähigkeitskonstante [-]

cl Laminarer Strömungswiderstand [m²/s²]

ct Turbulenter Strömungswiderstand [m²/s²]

D Lichter Rohrdurchmesser [m]

Däq Äquivalenter Rohrdurchmesser [m]

Dp Querschnittsdurchmesser eines Propellers [m]

d Wassertiefe [m]

ds Längenelement (Integration) [m]

dKap Durchmesser der Kapillaren [m]

dK Korndurchmesser [m]

d10, d60 Korndurchmesser mit 10% und 60% Siebdurchgang [m]

E Energie [J]

Ei Interne Energie [J]

EK Kinetische Energie [J]

EL Lageenergie [J]

Ep Druckenergie [J]

Epot Potentielle Energie [J]



Eq Wärmeenergie [J]

EW Kinetische Arbeit [J]

Ew Volumenelastizitätsmodul des Wassers [N/mm²]

F Kraft [N]

Fr Froude-Zahl [-]

FAd Adhäsionskraft [N]

FA,FZ Auftriebskraft [N]

FG Gewichtskraft [N]

FK Kohäsionskraft [N]

FN Normalkraft/Druckkraft [N]

Fp Druckkraft [N]

FPropeller Propellerschub [N]

FR Reibungskraft [N]

FRes Resultierende Kraft [N]

FS Schwerkraft [N]

FT Trägheitskraft [N]

FW Widerstandskraft [N]

Fz Auftriebskraft [N]

f Freibordhöhe [m]

G Körpergewicht, Eigengewicht, Schwerkraft [N]

g Erdbeschleunigung (9,81 m/s²) [m/s²]

H Fallhöhe [m]

HN Nettohöhe [m]

Hp Betriebsdruckhöhe [bar]

h Hydrostatische Druckhöhe [mWS]

hD Saughöhe [mWS]

hE Gesamtenergiehöhe [mWS]

hE, min Mindestenergiehöhe [mWS]



hgr Grenztiefe [m]

hi Lokale Verluste, Verlusthöhe [mWS]

hk Kapillare Steighöhe [m]

hm Abstand Körperschwerpunkt - Metazentrum [m]

hman Manometrische Druckhöhe [mWS]

hr Reibungsverlust [mWS]

hs Flächenschwerpunktskoordinate [m]

hv Energieverlusthöhe [mWS]

hw Tiefgang eines Körpers [m]

Δh Schwallhöhe [m]

I Gefälle [-]

I Impuls [Ns]

I Impulsstrom [N]

I Stromstärke [Ampère]

ID Druckliniengefälle [-]

IE Energieliniengefälle [-]

Ikrit Kritisches Gefälle [-]

ISO Sohlgefälle [-]

Iw Wasserspiegelgefälle [-]

IO Flächenträgheitsmoment [m4]

K Gesamtkosten [€]

KBa Baukosten [€]

KBe Betriebskosten [€]

k Rauigkeit [m]

kf Durchlässigkeitsbeiwert [m/s]

ks Sandkornrauheit [m]

kst Äquivalenter Abflussbeiwert nach MANNIG-STRICKLER [m1/3/s]

L Kennzeichnende Länge, Rohrlänge [m]



Lm PRANDTLscher Mischungsweg [m]

M Metazentrum [-]

m Böschungsneigung [-]

m Masse [kg]

m Massenstrom [kg/s]

p Druck [Pa]

min p Grenzdruck [Pa]

pabs Absoluter Druck [Pa]

patm Atmosphärendruck [Pa]

pD Dampfdruck [Pa]

pü Überdruck [Pa]

pmax Maximaler Staudruck [Pa]

pS Sohldruck [Pa]

pStau Staudruck [Pa]

pu Unterdruck [Pa]

p0 Atmosphärendruck, Umgebungsdruck [Pa]

Q Durchfluss [m3/s]

q Spezifischer Durchfluss [m3/(sm)]

qmax Maximaler spezifischer Abfluss [m3/(sm)]

Δq Spezifischer Teildurchfluss [m3/(sm)]

R Hydraulischer Radius [m]

Re Reynolds-Zahl [-]

Rekrit Kritische Reynolds-Zahl [-]

S Stützkraft [N]

SK Körperschwerpunkt [-]

SV Verdrängungsschwerpunkt [-]

T Temperatur [°C]

t Zeit [s]



U Benetzter Umfang [m]

U Spannung [Volt]

U Ungleichförmigkeitszahl [-]

u Porenwasserdruck [Pa]

V Volumen [m3]

V Volumenstrom [m3/s]

Vv Verdrängtes Wasservolumen [m3]

V0 Anfangsvolumen [m3]

v Fließgeschwindigkeit [m/s]

v Mittlere Strömungsgeschwindigkeit [m/s]

vf Filtergeschwindigkeit [m/s]

vf,krit Kritische Filtergeschwindigkeit [m/s]

vf,zul Zulässige Filtergeschwindigkeit [m/s]

vm Mittlere Geschwindigkeit [m/s]

vp Fließgeschwindigkeit eines Propellerstrahls [m/s]

vR Rotationsgeschwindigkeit [m/s]

vS Örtliche Geschwindigkeit [m/s]

vx, max Maximale Geschwindigkeit [m/s]

vx, max Scheitelgeschwindigkeit [m/s]

v* Schubspannungsgeschwindigkeit [m/s]

W Arbeit, Energie [J]

xkrit Übergangsbereich [m]

z Geodätische Höhe [m]

γ Intermittenzfaktor [-]

δL Grenzschichtdicke [m]

δT Dicke der turbulenten Grenzschicht [m]

δUL Dicke der laminaren Unterschicht [m]

ε Scheinviskosität [m2/s]



ξ Lokaler Widerstandsbeiwert [-]

ξB Widerstandsbeiwert für stetige Querschnittserweiterung [-]

ξD Widerstandsbeiwert für unstetige Querschnittserweiterung [-]

ξE Widerstandsbeiwert für Querschnittserweiterung [-]

ξa Widerstandsbeiwert für Auslaufverluste [-]

ξe Widerstandsbeiwert für Einlaufverluste [-]

ξj Widerstandsbeiwert an Störstelle [-]

ξk Krümmerverluste [-]

ξr Reibungsverluste [-]

ξu Umlenkverluste [-]

η Dynamische Viskosität [kg/ms]

ηp Wirkungsgrad einer Pumpe [-]

λ Rohrreibungsbeiwert [-]

κ KARMAN-Konstante [-]

κ Kompressibilität [bar-1]

ν Kinematische Viskosität [m2/s]

B Dichte eines Bodenelements, Schüttdichte [kg/m3]

eis Dichte (Eis) [kg/m3]

F Dichte eines Körpers [kg/m3]

W Dichte des Wassers [kg/m3]

σ Spannung [N/m2]

σ Oberflächenspannung [N/m],[kg/m2]

σzul Zulässige Spannung [N/m2]

τl Laminarer Anteil der Schubspannung [N/m2]

τt Turbulenter Anteil der Schubspannung [N/m2]

τx, τ Schubspannung [N/m2]

τ0 Wandschubspannung [N/m2]

φ Potential, Potentialfunktion [m2/s]



ψ Proportionalitätsfaktor [-]

ψ Stromfunktion [m2/s]

ω Winkelgeschwindigkeit [1/s]

Aufgaben der Hydromechanik 19

1 Aufgaben der Hydromechanik

Die Hydromechanik1 ist ein Zweig der Technischen Mechanik (Abb. 1.1). Sie befasst sich mit Kräften und ihren Wirkungen auf tropfbare flüssige Körper (niederviskose Flüssigkeiten). Sie wird in Hydrostatik und Hydrodynamik unterteilt (Abb. 1.1).

Abb. 1.1: Stellung der Hydromechanik innerhalb der Technischen Mechanik und Gliederung

Die weitgehende Bedeutung der Hydromechanik für den Bauingenieur ist offenkundig, denn sie bildet die Grundlage für die Bemessung und Planung der meisten Ingenieurbauwerke und -maßnahmen im Wasserbau (z.B. Stauanlagen und Flussregelungen), im Küsteningenieurwesen (z.B. Küsten- und Hochwasserschutzbauwerke), in der Wasserwirtschaft, im Grundbau, im In-dustriebau, im Anlagenbau etc..

1 Hydro (gr. hydro = Wasser). Da Wasser die weitverbreitetste Flüssigkeit ist, hat es der gesamten Lehre den Namen gegeben.

Technische Mechanik

FESTKÖRPERMECHANIK(Mechanik fester Körper)

FLUIDMECHANIKMechanik niederviskoser Flüssigkeiten und

Gase

RHEOLOGIEMechanik hochviskoser Medien

z.B. Fette, Farben, Schlick

HYDROMECHANIK(Mechanik niederviskoser

Flüssigkeiten)

AERO u. GASMECHANIK

HYDROSTATIKLehre der ruhenden Flüssigkeiten

HYDRODYNAMIKLehre der bewegten Flüssigkeiten

HYDROSTATISCHE DRUCKKRÄFTE

ROHRSTRÖMUNG(Druckrohrströmung,

d.h. ohne freie Oberfläche)

GRUNDWASSERSTRÖMUNG(Durchströmung poröser Medien)

GERINNESTRÖMUNG(Strömungen mit freier Oberfläche)

Kinetik

DynamikKinematik

Statik

*) Die fett umrahmten Kästchen kennzeichnen den Stoff, der im Rahmen der Vorlesung Hydromechanik I und Hydromechanik II behandelt wird.

Physikalische Eigenschaften des Wassers 20

2 Physikalische Eigenschaften des Wassers

Die wichtigsten physikalischen Eigenschaften bei der Lösung vieler Aufgaben der Hydrome-chanik sind Dichte, Viskosität, Kapillarität (bzw. Oberflächenspannung) und Kompressibilität. Auch die Löslichkeit von Gasen und der Luftgehalt des Wassers können unter Umständen eine Rolle spielen.

2.1 Dichte

Die Dichte wird als Verhältnis von Masse m und Volumen V definiert:

3m kg / m

V (2.1)

Die Dichte w des Wassers ist in geringem Maße temperaturabhängig. Sie besitzt einen Maxi-malwert bei 4 °C: w = 999,97 kg/m³ 1000 kg/m³ (Anomalie des Wassers).

Genaugenommen ist w auch druckabhängig (siehe Kompressibilität). In der Regel genügt es jedoch, bei der Lösung der meisten Aufgaben der Hydromechanik w = 1000 kg/m³ anzusetzen. Bei einigen speziellen Aufgaben (z.B. Schichtenbildung in Seen und Talsperren) ist jedoch eine genaue Bestimmung der Dichte erforderlich (siehe z.B.Tab. 2.1).

Salzgehalt, Schweb- und Schmutzstoffe beeinflussen ebenfalls die Dichte des Wassers w (z.B. 0,94 % Salzgehalt in der Ostsee führt zu w = 1007 kg/m³, schwebstoffhaltiges Flusswasser kann Dichten von w = 1050 ÷ 1100 kg/m³ erreichen).

Der frühere Begriff der "Wichte" ( = g) ist nach SI2 unzulässig und sollte nach DIN 1044 möglichst nicht verwendet werden.

2 SI = Système International d´Unitiés


Tab. 2.1: Dichte des Wassers w [kg/m3] in Abhängigkeit der Temperatur und des Salzgehaltes bei Atmo-

sphärendruck

*) 0 ‰ Süßwasser **) 35 ‰ Mittelwert für Ozeane

1 ‰ 1 g/l 1 kg/m3 Totes Meer: 263 ÷ 320 ‰ (salzigstes Meer der Welt)

2.2 Kompressibilität (Volumenelastizität)

Sie bezeichnet die Zusammendrückbarkeit des Wassers. Analog zum HOOKEschen3 Gesetz für Festkörper 0 = L/L = /E gilt für Wasser:

0 W W 0

V p 1 V 1 = oder =

V E E V p

mit: V/V0 = relative Volumenänderung (V0 = Anfangsvolumen) [-]

p = Druckänderung [N/m²]

Ew = Volumenelastizitätsmodul des Wassers [N/m²]. Er ist druck- und temperaturabhängig: z.B. bei einigen bar und bei T = 20 °C ist Ew = 20.000 bar (= 2,0 ÷ 103 N/mm²) im Vergleich zu Stahl mit Es = 2.000.000 bar (d.h. Wasser ist 100-mal elastischer als Stahl)

3 HOOKE, Robert (1635–1703): Englischer Physiker und Naturforscher.

SALZGEHALT [0/00]

0*) 5 10 15 20 25 30 35**)

TE

MP

ER

AT

UR

[°C

]

0 999,9 1004,0 1008,0 1012,0 1016,1 1020,1 1024,1 1028,1

5 1000,0 1004,0 1008,0 1011,9 1015,9 1019,8 1023,7 1027,7

10 999,8 1003,7 1007,6 1011,4 1015,3 1019,2 1023,1 1027,0

15 999,2 1003,0 1006,8 1010,7 1014,5 1018,3 1022,1 1026,0

20 998,3 1002,1 1005,9 1009,6 1013,4 1017,2 1021,0 1024,8

25 997,1 1000,9 1004,6 1008,4 1012,1 1015,8 1019,6 1023,4

30 995,7 999,4 1003,1 1006,9 1010,6 1014,3 1018,0 1021,7

35 994,1 997,8 1001,5 1005,1 1008,8 1012,5 1016,2 1019,9


Mit folgender Definition der Kompressibilität des Wassers:

1W = 1/E = Kompressibilität bar

folgt:

0

V 1 =

V p

(2.2)

Nach Gl. (2.2) ist ein Druck p = 200 bar notwendig, damit das Wasser um 1 % zusammenge-drückt werden kann:

p

0,01 = p = 200 bar20000

Deshalb kann Wasser bei den meisten Strömungen als quasi-inkompressibel angesehen werden (Kompressibilität des Wassers vernachlässigbar).

Bei Druckstoßproblemen spielt jedoch die Kompressibilität des Wassers eine wichtige Rolle und muss daher berücksichtigt werden.

2.3 Oberflächenspannung (Kapillarspannung)

Wird ein Wassermolekül (H2O) als Kugel angesehen, so hat es einen Durchmesser von ca. 2·10-

7 mm. Die Wassermoleküle ziehen sich durch sog. Kohäsionskräfte4 FK gegenseitig an. Inner-halb der Wassermasse heben sich diese Molekularkräfte auf (Abb. 2.1). An den Begrenzungs-flächen mit anderen Medien (z.B. Luft) und Festkörpern (z.B. Wandung) treten jedoch resul-tierende Kräfte (Grenzflächenkräfte) in Erscheinung, deren Wirkungsradius kleiner als 10-6 mm (kugeliger Wirkungsbereich) ist und deren Richtung vorwiegend von den Dichten der angren-zenden Medien abhängt:

4 Cohaerere (lat.): zusammenhängen. Kohäsionskräfte treten also zwischen gleichartigen Teilchen, d.h. Teilchen desselben Körpers, auf.


Abb. 2.1: Oberflächenspannung mit und ohne Randeinfluss

(a) Grenzfläche zwischen Wasser und Luft (Wasseroberfläche)

Die Moleküle der Wasseroberfläche werden von den darunter befindlichen Wassermole-külen stärker als von den darüberliegenden Luftmolekülen angezogen. An der Wasser-oberfläche wirkt daher eine nach innen gerichtete resultierende Kraft FRes, die auf die Flächeneinheit der Grenzfläche bezogen den Kohäsionsdruck ergibt (Abb. 2.1).

Dieser Druck muss überwunden werden, damit ein Wasserteilchen aus dem Inneren an die Grenzfläche gelangen kann. Daher ist eine Kraft F entlang des Teilchenweges s, d.h. eine Arbeit W = F·s, erforderlich, die eine Vergrößerung der Grenzfläche um A be-wirkt (siehe auch Anmerkungen zur Oberflächenspannung S.24 ff.).

Dieser Sachverhalt dient der Definition der Oberflächenspannung

W

= A

(2.3)

mit der Maßeinheit Nm N

= m² m

.

Die Oberflächenspannung hat somit das Bestreben, die Wasseroberfläche zusammenzu-ziehen und klein zu halten (daher Tropfenbildung). Sie ist stark von der Wassertemperatur abhängig: Für Wasser bei T = 20 °C ist = 0,073 N/m im Vergleich zu = 0,47 N/m für Quecksilber und = 0,025 N/m für Alkohol.

FRes

FKFAd

kein Randeinfluss

Randeinfluss

res kF F 0

res kF F 0 90 90

kein Randeinfluss FRes

FAd

FK

Randeinfluss

Wandung

res kF F 0

res kF F 0

(a) benetzende Flüssigkeit (z.B. Wasser)

(b) nichtbenetzende Flüssigkeit (z.B. Quecksilber)


(b) Grenzfläche zwischen Wasser und Festkörper (Wandung)

Die Wassermoleküle an der Grenzfläche Wasser/Festkörper werden nicht nur durch die o.g. Kohäsionskräfte FK, sondern auch durch die Teilchen des Festkörpers (Adhäsions-kräfte5 FAd) angezogen. Die Richtung der resultierenden Kraft FRes ergibt sich aus der vektoriellen Summe von FK und FAd, wobei sich die Wasseroberfläche stets senkrecht zu der Resultierenden FRes einstellt. Dabei werden zwei Fälle unterschieden (Abb. 2.1).

Benetzende Flüssigkeiten (z.B. Wasser):

FAd > FK: Die Resultierende FRes ist nach außen, d.h. zur festen Berandung, gerichtet. Sie muss daher eine konkave Form annehmen Abb. 2.1a).

Nichtbenetzende Flüssigkeiten (z.B. Quecksilber)

FAd < Fk: Die Resultierende FRes ist nach innen gerichtet; d.h. es muss sich eine konvexe Form der Wasseroberfläche einstellen Abb. 2.1b).

Die Oberflächenspannung in der Nähe der Wandung wird als Grenzflächenspannung be-zeichnet.

Anmerkung zur Bestimmung der Oberflächenspannung

Zur Bestimmung der Oberflächenspannung einer Flüssigkeit kann z.B. der in Abb. 2.1 darge-stellte Versuch dienen. Ein Ring mit dem Durchmesser d wird in die Flüssigkeit getaucht und anschließend mit der Kraft F nach oben gezogen. Dabei haftet die Flüssigkeit an dem Ring bis

zu einer Höhe s, wodurch sich die Grenzfläche um den Wert ΔA 2( πd )s vergrößert.

Nach Gl. (2.3) und Abb. 2.2 gilt:

W Fs

A 2 d s

F

2 d

(2.4)

5 Adhaerere (lat.): festhängen, anhaften. Adhäsionskräfte treten also zwischen Teilchen verschiedenartiger Körper bzw. Medien auf.


Abb. 2.2: Bestimmung der Oberflächenspannung

Anmerkung zur Kapillarwirkung

Liegen die Wandungen des Festkörpers sehr dicht zusammen (wie z.B. bei dünnen Röhrchen, die als Kapillaren bezeichnet werden oder bei engen Spalten und Fugen), so wirkt sich der Randeinfluss viel stärker aus. Je nachdem, ob eine benetzende Flüssigkeit (Abb. 2.3a) oder eine nicht benetzende Flüssigkeit (Abb. 2.3b) vorliegt, wird die Flüssigkeit angehoben oder abge-senkt.

Abb. 2.3: Kapillarwirkung verschiedener Flüssigkeiten

d

s

Ring

Zugkraft F

anhaftende Flüssigkeit

zu untersuchende Flüssigkeit

U = d

s( d)s

dKap

hk

Glasröhrchen

Wasser

Meniskus

dKap

Glasröhrchen

QuecksilberMeniskus

hk

kapillare Steighöhe

(a) Kapillaraszension (z.B. Wasser) (b) Kapillardepression (z.B Quecksilber)


Die kapillare Steighöhe hK

6 folgt aus der Gleichgewichtsbedingung "Gewichtskraft = Kapillar-kraft", im Falle kreisrunder Kapillaren mit dem Durchmesser dKap:

2Kap

k W Kap KW Kap

π d 4σh ρ g = σ π d h =

4 ρ g d

(2.5)

und im Falle eines engen Spaltes zwischen zwei parallelen Platten mit der Spaltbreite a und der Länge der Randlinie b:

k w Kw

2(h a b) g = 2b h =

ga

. (2.5)a

2.4 Viskosität

Viskosität wird nach DIN 1342 als die Eigenschaft eines fließfähigen Stoffsystems definiert, beim Verformen eine Spannung aufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit7 ab-hängt. Die Stoffgröße "Viskosität" ist demnach ein Maß für die durch innere Reibung be-stimmte Verschiebbarkeit der Flüssigkeitsteilchen gegeneinander. Die Viskosität wird in Zu-sammenhang mit dem Fluidreibungsansatz von NEWTON in der Vorlesung "Reale Flüssigkei-ten" (vgl. Abschnitt 11) näher behandelt, da sie den grundsätzlichen Unterschied zwischen ide-alen (reibungsfreien) und realen (reibungsbehafteten) Flüssigkeiten ausmacht.

Die Vernachlässigung der Viskosität bei idealen Flüssigkeiten ermöglicht oftmals einen schnel-len Einblick in die Strömungsprozesse; d.h. viele Strömungsgesetze werden für ideale Flüssig-keiten abgeleitet und dann durch experimentell ermittelte Koeffizienten dem Verhalten der re-alen Flüssigkeiten möglichst gut angepasst (vgl. Abschnitt 11).

2.5 Löslichkeit der Luft und Luftgehalt des Wassers

Aufgrund seines Absorptionsvermögens8 enthält Wasser eine gelöste Luftmenge, die dem Druck direkt proportional ist und zudem auch von der Temperatur abhängt. Bei Druckvermin-derung (z.B. beim Öffnen einer Flasche Sekt!) wird gelöste Luft frei, die in Form kleiner Bläs-chen mit der Geschwindigkeit v = 0,25 ÷ 0,30 m/s (im ruhenden Wasser) aufsteigt. Zum Bei-spiel enthält 1 l Wasser bei 100 % Sättigung unter Atmosphärendruck 22,4 ml gelöste Luft bei 10 °C bzw. 18,3 ml bei 20 °C. Dieser Sachverhalt ist besonders wichtig bei Anlagen, die im Unterdruckbereich arbeiten (z.B. Heberleitungen), wo es zum Ausscheiden der gelösten Luft

6 Bei Kies ist hk < 3mm; bei Sand hK = 20 ÷ 80 mm und bei Lehm- bzw. Tonböden beträgt hK bis ca. 400 mm.

7 Bei Festkörpern ist die Verformung und nicht die Verformungsgeschwindigkeit maßgebend.

8 Absorbieren: aufsaugen, einlagern.

Hydrostatik 27

und damit zu Abflussstörungen kommen kann (Verengung des Fließquerschnittes durch An-sammlung von Luftbläschen).

Außerdem werden bei Abstürzen und hohen Fließgeschwindigkeiten große Luftmengen durch die Wasseroberfläche aufgenommen, die dann bei Fließstrecken mit geringeren Geschwindig-keiten wieder entweichen. Dies muss z.B. bei Schussrinnen und anderen Hochwasserentlas-tungsanlagen durch besondere Maßnahmen (u.a. Entlüftung) berücksichtigt werden.

2.6 Zusammenfassung

1. Die wichtigsten physikalischen Eigenschaften des Wassers sind die Dichte, die Viskosität und die Oberflächenspannung (Kapillarität). Die Kompressibilität und der Luftgehalt des Wassers können bei bestimmten Aufgaben der Hydromechanik zusätzlich von Bedeutung sein.

3 Hydrostatik

Hydrostatik ist die Lehre von den Gleichgewichtszuständen ruhender, inkompressibler Flüs-sigkeiten bei Einwirkung äußerer Kräfte (Pressung, Schwer- und Trägheitskräfte).

Da Flüssigkeiten keine Zugkräfte übertragen können und da Reibung (Schubkräfte) bei ruhen-der Flüssigkeit nicht vorhanden ist, können in der Hydrostatik nur Druckkräfte auftreten. Auf-gabe der Hydrostatik ist es, diese Druckkräfte und ihre Wirkungen auf Bauwerke und andere Körper im und am Wasser zu bestimmen.

3.1 Der Begriff "Druck"

(a) Definition und Druckeinheiten

EULER9 definierte als erster den Druckbegriff: Druck ist der Quotient aus Kraft F und Fläche A und stellt somit eine Spannung dar:

Kraft F N

p = = Fläche A m²

(3.1)

Die SI-Einheit für den Druck ist das PASCAL10 [Pa]:

1 Pa = N/m²

9 EULER, Leonhard (1707–1813): Schweizer Mathematiker und Physiker.

10 PASCAL, Blaise (1623–1662): Französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph.

Hydrostatik 28

1 bar11 = 105 Pa ( atm. Druck)

Die alten Druckeinheiten dürfen nach SI nicht mehr verwendet werden. In der Praxis des Wasserbauers hat sich der Anschaulichkeit wegen der Begriff der Druckhöhe eingebür-gert (siehe auch Abschnitt 3.2):

D 44w

p p p ph = = m = m

kg m Nρ g 10 Pa1000 10 10m³ s² m²

D4

h 1 m=

p 10 Pa

11 "barus" (griech.): schwer

Hydrostatik 29

Daraus folgt für die alte Druckeinheit mWS (Meter Wassersäule):

1 mWS = 0,1 bar = 104 Pa = 10 kPa

10 mWS = 1 bar = 105 Pa = 100 kPa

(b) Weitere Druckbegriffe

In der Technik werden häufig folgende Druckbegriffe verwendet:

Atmosphärendruck p0, absoluter Druck pabs, Überdruck pü, Unterdruck pu,

die in Abb. 3.1 definiert sind.

Abb. 3.1: Zusammenhang zwischen verschiedenen Druckbegriffen

Druckniveau 1

Druckniveau 2

Atmosphärendruck

p1,ü

p2,u

p0

p1,ü = Überdruck

p2,u = Unterdruck

p2,abs

Vakuum

pabs

0absoluter Druck

p1,abs

p 0=

10,

33 m

WS

Hydrostatik 30

Atmosphärendruck: mittlerer Luftdruck auf Meeresspiegelhöhe bei 0 °C und 45°

geographischer Breite: p0 = 1,01325 bar

In der Hydromechanik wird i.d.R. p0 als Bezugsdruck gewählt, wobei:

p0 1 bar = 105 Pa

Absoluter Druck pabs: Alle Druckangaben, die sich auf pabs = 0 (Vakuum) beziehen, sind Absolutdrücke und daher positiv.

Überdruck: pü = pabs – p0 > 0

Unterdruck: pu = pabs – p0 < 0

Ein weiterer wichtiger Druckbegriff ist der Dampfdruck pD, auch Siede- oder Verdampfungs-druck genannt. Unter Atmosphärendruck siedet Wasser bei 100 °C. Bei geringerem Druck ist hierfür eine niedrigere Temperatur erforderlich: z.B. pD 0,2 bar bei 60 °C und pD 0,024 bar bei 20 °C. Wird der Dampfdruck pD erreicht, so bilden sich als Folge der Verdampfung kleine mit Luft und Wasserdampf gefüllte Hohlräume (cavitas), die zu unerwünschten Erscheinungen führen können (Verengung vom Fließquerschnitt durch Ansammlung von Luftblasen, Kavita-tionsschäden, etc.). Dies ist von besonderer Bedeutung bei Strömungsvorgängen, wo Unter-druck an bestimmten Stellen auftritt und den Dampfdruck erreichen kann. Als Folge der Ver-dampfung kann die Strömung abreißen. Theoretisch ist dies bereits bei einem Unterdruck von:

0 Dmin p = - (p - p )

möglich; d.h. bei 20 °C folgt z.B.:

min p = - (1,013 bar - 0,024 bar) - 0,989 bar - 100 kPa -10 mWS

Diesem Unterdruck entspricht eine Saughöhe von hD 10 m. Diese stellt einen theoretischen Grenzwert dar, bei dem ein Abreißen der Strömung eintritt. In der Realität kommen weitere Einflüsse hinzu (Luftgehalt, geodätische Höhe, etc.), die diesen Grenzwert auf etwa hD 7 m bzw. min p = –70 kPa sinken lassen.

(c) Entstehung des hydrostatischen Druckes

Bei der Entstehung des hydrostatischen Druckes bestehen grundsätzlich zwei Möglich-keiten:

Schwere- bzw. Gewichtsdruck:

Der Druck an einer Stelle im Wasser rührt ausschließlich vom Eigengewicht der darüber lastenden Wassermassen her (Abb. 3.2).

Hydrostatik 31

Pressdruck:

Ein Pressdruck wird mittels eines Kolbens auf das in einem vollständig abgeschlos-senen Gefäß befindliche Wasser ausgeübt (Abb. 3.3).

p F/ A (3.2)

Oft treten jedoch Schweredruck und Pressdruck gleichzeitig auf.

Abb. 3.2: Schweredruck

Abb. 3.3: Pressdruck

1

2

p klein

p groß

Fp

A

p

p

p

Kraft FFläche A

Hydrostatik 32

3.2 Hydrostatische Druckverteilung infolge Schwerkraft (Grundglei-

chungen der Hydrostatik)

Innerhalb einer Wassermasse werden die Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung an einem herausgeschnittenen differentialen Wasserelement in Form eines Würfels (dx, dy, dz) betrachtet (Abb. 3.4). Der Würfel hat ein Gewicht von:

wdG = g (dx dy dz)

Abb. 3.4: Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung

Auf die obere Würfelseite wirkt die Druckkraft:

0dF = p dx dy

Auf die untere Würfelseite wirkt die Druckkraft

UdF = (p + dp) dx dy

dx

dz

y

z

xp0

p0 p0

Atmosphärendruck

dy

dG

p0

Druck p

Druck(p + dp)

Hydrostatik 33

Die Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung lautet:

w

0 U

p dx dy + g (dx dy dz) - (p + dp) dx dy = 0: (dx dy)

dF + dG - dF = 0

wp + g dz - p - dp = 0

wdp = g dz (3.3)12

Die Integration von Gl. (3.3) liefert:

wp g z + C (C = Integrationskonstante)

Da an der Wasseroberfläche der Atmosphärendruck p0 herrscht, folgt:

0z = 0 C = p

w 0p = g z + p

Da der Atmosphärendruck p0 als Bezugsdruck betrachtet wird, folgt für die hydrostatische Druckverteilung:

wp = g z (3.4)

Gl. (3.4) besagt, dass die Druckspannung p mit der Tiefe z unter dem Ruhewasserspiegel (z = 0) linear zunimmt (Abb. 3.5).

12 Gl. (3.4) stellt einen Sonderfall des EULERschen Grundgesetzes der Hydrostatik (VENNARD und STREET, 1976):

w x y zdp a dx a dy a dz

Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.

für den Fall ax = ay =0 und az =g (ax, ay und az = Massenbeschleunigung in Richtung x, y und z) dar.

Hydrostatik 34

Abb. 3.5: Hydrostatische Druckverteilung

Die Druckfläche (Dreieck) ergibt die gesamte hydrostatische Druckkraft:

wp w

( g h) 1F = h = g h² N / m

2 2

(3.5)

Anmerkung zur hydrostatischen Druckverteilung bei geschichteten Flüssigkeiten

Bei geschichteten Flüssigkeiten (Flüssigkeiten mit verschiedener Dichte) ist wie in Abb. 3.6 vorzugehen.

Abb. 3.6: Druckverteilung bei geschichteten Flüssigkeiten

p = w g h

h

z = 0

z

2p w w

1F g h

2

wp g z

h

3

Wasser (2):

Alkohol (1):

z = 0

h1

h - h1

1 g h1 2 g (h - h1)

p1 = 1 g h1

p2 = 1 g h1+ 2 g (h - h1)

h

z

Hydrostatik 35

Anmerkung zu den Niveauflächen

Auf den Ruhewasserspiegel wirkt der Atmosphärendruck, d.h. p = p0 = konst.. Solche Flächen mit p = konst. (bzw. dp = 0) heißen Niveauflächen. Die allgemeine Gleichung für die Niveau-flächen entsteht aus Gl. 3.4 mit dp = 0:

x y za dx + a dy + a dz = 0 (3.6)

Für x y za = a = 0 und a = g folgt:

g dz = 0 dz = 0 z = konst.

Dies ist die Gleichung des Ruhewasserspiegels (z = 0) und aller dazu paralleler Flächen. Für den Fall ax 0 siehe Abschnitt 3.7.

3.3 Hydrostatische Druckkräfte auf ebene Flächen

(a) Ableitung der hydrostatischen Druckkraft

An einer festen Wandung wirkt die differentiale Druckkraft dF stets senkrecht auf das Flächenelement dA. Die gesamte Druckkraft auf eine beliebig geformte ebene Fläche A der Wandung greift im Punkt D an (Abb. 3.7). Mit dem Druck p = w g h nach Gl. (3.4) und h = y sin folgt aus dF = p dA:

w wdF = g h dA = g sin y dA

w

A

F = g sin y dA

Abb. 3.7: Definitionsskizze zur Ableitung der hydrostatischen Druckkraft

α

dA

S

D

x

xsxD

y

ys

yD

Fläche A

dF

dAS

D

F

zh

hshD

S(xs, ys) = Schwerpunkt der geometrischen Fläche

D(xD, yD) = Angriffspunkt der Druckkraft F (Angriffsmittelpunkt)

Hydrostatik 36

Da das Integral A

y dA das statische Moment der gedrückten Fläche A in Bezug auf die

x-Achse darstellt, lautet die Gleichgewichtsbedingung für die Flächenmomente:

S

A

y dA = y A

w S S SF = g sin y A und mit y sin = h

w SF = g h A (3.7)

w S

Die hydrostatische Druckkraft F auf eine ebene Fläche A ist gleich dem Produkt aus dieser

Fläche A und dem hydrostatischen Druck p gh im Schwerpunkt der Fläche A.

Anmerkung zur Bestimmung der Lage des Schwerpunktes S und des Angriffspunktes D der Druckkraft

Da der Druck an der unteren Seite der Fläche A stets größer als der Druck auf der oberen Seite ist (p = w g z), liegt der Angriffspunkt D immer tiefer als der Schwerpunkt S. Die Lage von D und S erfolgt nach den üblichen Gleichgewichtsbedingungen für die Flächenmomente (siehe Vorlesung "Technische Mechanik").

(b) Druck auf horizontale Bodenflächen: Das hydrostatische Paradoxon

Der hydrostatische Druck auf die Böden der Behälter Abb. 3.8 ist in allen drei Fällen gleich groß (p = W g h) und von der Form der Behälter unabhängig, d.h. bei gleicher Bodenfläche A und gleicher Wassertiefe h wirkt die gleiche Druckkraft F auf alle drei Böden.

Anmerkung: Auch bei engsten Fugen, Klüften und Spalten wirkt der volle hydrostatische Druck (Abb. 3.9).

Abb. 3.8: PASCALsches Paradoxon

A

FF

p = w gh

h

F

AA

hh

Hydrostatik 37

Abb. 3.9: Hydrostatischer Druck in Gründungsfuge

3.4 Hydrostatische Druckkräfte auf gekrümmte Flächen

(a) Herleitung der resultierenden Druckkraft

Es wird die gekrümmte Fläche z = f(x) in Abb. 3.10a betrachtet. Der Ruhewasserspiegel (RWS) schneidet die gekrümmte Fläche in B (x0, 0).

In der Wassertiefe z wirkt nach Gl. (3.5) der Druck

wp gz

und die gesamte Horizontalkraft Fh = W g h²/2 wirkt auf die fiktive vertikale Ebene 0A. Um herauszufinden, welche gesamte Druckkraft auf die gekrümmte Fläche wirkt, wird ein Element ds aus der gekrümmten Fläche herausgeschnitten (Abb. 3.10b). Senkrecht auf das Element ds wirkt die Druckkraft dF = p ds (Abb. 3.10b). Die Zerlegung der Druck-kraft dF entlang der x-Richtung ergibt dFx und entlang der z-Richtung dFz. Die Betrach-tung der ähnlichen Dreiecke (dF, dFx, dFz) und (ds, dx, dz) in Abb. 3.10b führt zu:

xdFsin α =

p ds

dzsin α =

ds

xdF = pdz (3.8)

w g h

h

gedichtete Gründungsfuge in A

A B

(a) Fuge dicht zwischen A und B (Dichtung in A): richtig !

w g h

h

offene Gründungsfuge

A B

Dichtung

w g h

Druck in Fuge AB

(b) Fuge dicht zwischen A und B (Dichtung in B): falsch!

Hydrostatik 38

zdFcos α =

p ds

dxcos α =

ds

zdF = p dx (3.9)

Die Kraftkomponenten Fx und Fz über die Wassertiefe h folgen aus der Integration von Gl. (3.8) und Gl. (3.9) (mit p = w g z):

h h

x w w h

0 0

h²F p dz g z dz = g = F (horiz. Kraft in Abb. 3.10a)

2

Hydrostatik 39

Abb. 3.10: Druckkraft auf gekrümmte Flächen

h

p = w g z

Detail A

z

z = f(x)

x

A

B

0

ds

x0

dF = p ds

RWS

2w

h

g hF

2

z

(a) Definitionsskizze

dx

dz

dFz

dFx

dF = p ds

ds

dFx = x-Komponente von F

dFz = z-Komponente von F

dz = Projektion von ds in z-Richtung

dx = Projektion von ds in x-Richtung

(b) Detail der Kraftzerlegung

Hydrostatik 40

0 0x x

z w

0 0

F = p dx = ρ g z dx und mit z = f(x) (gekrümmte Fläche)

0x

z w0

Fläche 0AB über der Kurve z f (z)

F = ρ g f(x) dx

(3.10)

Die z-Komponente der Druckkraft F2 stellt somit die Auflast des Wassers auf die ge-krümmte Fläche z = f(x) dar (Abb. 3.11).

Abb. 3.11: Definitionsskizze zur Ableitung der vertikalen Druckkraftkomponente

Die resultierende Druckkraft F auf die gekrümmte Fläche wird durch Aufspaltung in eine horizontale (Fx) und vertikale (Fz) Kraftkomponente bestimmt (Abb. 3.12).

z

0

B

z = f(x)

A

x

h

Fz

Auflast

x0

0x

z w

0

F = g f (x) dx

0x

0

Fläche 0AB = f (x) dx

Hydrostatik 41

Abb. 3.12: Resultierende Druckkraft auf gekrümmte Flächen (konvex)

Abb. 3.13: Resultierende Druckkraft auf gekrümmte Flächen (konkav)

z

0x

h

Fzx0

Fx

FFz

α

RWS

ρw g h

FxBetrag:

Richtung:

2 2x zF = F F

z

x

Ftan

F

Luftseite

Fz

0 x

z

hWasserseite

Fx

FFz

α

x0 RWS

Fx

w g h

2 2x zF = F F

z

x

Ftan

F

Hydrostatik 42

Anmerkung:

Liegt das Wasser auf der konkaven statt auf der konvexen Seite der gekrümmten Fläche, so stellt die vertikale Kraftkomponente Fz nicht die Auflast, sondern den Auftrieb auf die ge-krümmte Fläche dar (Abb. 3.13). (Für die Definition des Auftriebes siehe Abschnitt 3.5.)

3.5 Auftrieb (Prinzip von ARCHIMEDES)

Auftrieb tritt in folgenden Fällen auf:

Bei Körpern, die völlig bzw. teilweise ins Wasser eintauchen.

Bei Bauwerken, die im Wasser (auch Grundwasser!) errichtet sind bzw. vom Was-ser unterströmt werden.

(a) Auftrieb auf eingetauchte Körper

Prinzip von ARCHIMEDES13: Die Auftriebskraft Fz ist gleich dem Gewicht des ver-drängten Wasservolumens VV:

z W VF = ρ g V (3.11)

Beweis: Wir betrachten einen beliebig geformten eingetauchten Körper mit der Dichte w in Abb. 3.14, wobei eine Einheitsbreite b = 1 m zur x-z-Ebene angenommen wird (zwei-dimensionale Betrachtung!).

Die obere Grenzfläche des Körpers, auf die die Auflast wirkt, ist z = f1(x) und die untere Grenzfläche, auf die der Auftrieb wirkt, ist z = f2(x). Damit ergeben sich die differentialen Vertikalkräfte auf ein Körperelement der Dicke dx:

Auflast z1 W 1 W 1dF = ρ g z dx = g f (x) dx

"Auftrieb" z2 W 2 W 2dF = ρ g z dx = g f (x ) dx

Resultierende Druckkraft z z 2 z1 W 2 1dF dF dF g f ( x ) f ( x ) dx

13 ARCHIMEDES (287–212 v. Chr.): Mathematiker und Physiker aus Syrakus.

Hydrostatik 43

Abb. 3.14: Definitionsskizze für die Bestimmung des Auftriebs

Die resultierende Vertikalkraft Fz auf den Gesamtkörper folgt aus der Integration (Abb. 3.15):

Bx

z z w 2 1

0

F dF g f (x) f (x) dx

B Bx x

z w 1 2 w V

0 0

F g f (x)dx f (x)dx gV

z,1 B

1

F Fläche OABx

begrenzt durch obere

Kurve z f (x) (Abb.19a)

z,2 B

2

F Fläche OABx

begrenzt durch untere

Kurve z f (x) (Abb.19b)

(Definition von VV siehe Abb. 3.15 c)

3.6 Schwimmender Körper und Schwimmstabilität

Baukörper wie z.B. Senkkästen (Caissons) müssen gelegentlich schwimmend zum Einbauort transportiert werden. Dabei müssen stets zwei Bedingungen erfüllt werden: Schwimmfähigkeit und Schwimmstabilität.

z1 = f1(x)obere Kurve

zo = f1(x)

untere Kurvezu = f2(x)

z2 = f2(x)

xB x

z

A Bdx

0

2zdF

1zdF

RWS

Hydrostatik 44

Abb. 3.15: Prinzipienskizze zur Bestimmung der Auftriebskraft Fz

3.6.1 Schwimmfähigkeit

Am Beispiel des Schwimmkörpers mit der Dichte F, der Höhe H, der Schwimmfläche A, dem Körpervolumen VK und dem verdrängten Wasservolumen Vv in Abb. 3.16 sollen nachstehend die Bedingungen für die Schwimmfähigkeit demonstriert werden.

Körpergewicht in der Luft:

F K FG gV g H A

Auftriebskraft (ARCHIMEDES):

A w V w wF g V g h A

Schwimmbedingung:

AG F

F w wg H A g h A

F w wH h

Daraus folgt der Tiefgang hw:

w f wh / H (3.12)

+z = f1(x)

z

A B

xB0x

(a) Druck auf obere Fläche

z1 = f1(x) als Auflast

1zF

B

1

x

z w 1

0

F g f ( x )d x

=A

(b) Druck auf untere Fläche

z2 = f2(x) als Auftrieb

z

B

z = f2(x)

xB0x

2zF

B

2

x

z w 2

0

F g f ( x )d x

(c) Resultierende Druckkraft auf den

Körper (Auftrieb)

z

A B

xB0x

VerdrängtesWasservolumen VV

zF

2 1z z zF F F

Hydrostatik 45

Und der Freibord f = Fw

w

H h H H

:

F

w

f H 1

(3.13)

Abb. 3.16: Schwimmvermögen

Beispiel:

Gesucht: Dicke H einer Eisscholle (Eisplatte!), wenn diese mit f = 5 cm aus dem Was- ser herausragt. Dabei ist (bei T = 0 °C) ρeis = ρK = 916,7 kg/m3 und ρwas-

ser = w = 999,85 kg/m3

Lösung: Aus Gl. (3.13) folgt für die Dicke H:

F

w

f 0,05mH 0,60m

916,711

999,85

G = K g VK

H

Fre

ibor

d f

Tie

fgan

g h

w

p = w g hw

Schwimmfläche A

SK

SV1

SK : Körperschwerpunkt

FA = w g VV

SV1 : Verdrängungsschwerpunkt

RWS

Hydrostatik 46

3.6.2 Schwimmstabilität und Kriterien

Schwimmfähigkeit allein ist für den Transport nicht ausreichend. Zusätzlich muss der Baukör-per für den Transport stabil schwimmen und darf dabei nicht kentern.

Hinsichtlich der Schwimmlage sind grundsätzlich 3 Fälle zu unterscheiden, die inAbb. 3.17 dargestellt und erläutert sind.

Für die Ableitung der Kriterien der Schwimmstabilität wird der Schwimmkörper in Abb. 3.18 betrachtet, der leicht um den Winkel α aus seiner stabilen Lage ausgelenkt wird.

Die wichtigsten Parameter für die Beschreibung der Kriterien für die Schwimmstabilität sind (vgl. Abb. 3.18):

hm: Abstand zwischen dem Schwerpunkt SK des Schwimmkörpers und dem Metazentrum M. Das Metazentrum ist der Schnittpunkt zwischen der ausge- lenkten Schwimmachse und der Wirkungslinie der versetzten Auftriebskraft FA

hk: Abstand zwischen dem Schwerpunkt SK des Körpers und dem Verdrän- gungsschwerpunkt Sv1 bei Ruhelage vor der Auslenkung

Vv: durch den Körper verdrängtes Wasservolumen

∆Vv: durch den Körper verdrängtes Wasservolumen infolge Auslenkung

I0: Trägheitsmoment der Schwimmfläche A in Bezug auf die Achse 0 y:

20

A

I x dA

Hydrostatik 47

Abb. 3.17: Stabile, labile und indifferente Schwimmlage

Kör

per

mit

gle

ichm

äßig

er

Mas

senv

erte

ilun

g (z

.B.

Kug

el; Z

ylin

der)

Indi

ffer

ent

Stä

ndig

es D

rehe

n de

s K

örpe

rs d

urch

äuß

ere

Kra

ft

Kör

per

mit

tie

f li

egen

dem

S

chw

erpu

nkt

Sta

bil

Rüc

kkeh

r in

Aus

gang

slag

e,

wen

n U

rsac

he d

er

Aus

lenk

ung

bese

itig

t is

t.

Lab

il

Um

kipp

en b

zw.

Ken

tern

in a

nder

e st

abil

e S

chw

imm

lage

Kör

per

mit

hoc

h li

egen

dem

S

chw

erpu

nkt

Ruhelage Auslenkungdurch Kraft

SK

SV

1

SK: S

chw

erp

unkt

des

Kör

pers

SV: V

erdr

ängu

ngss

chw

erpu

nkt

SK

SV

1

SV

2

FF

F

GF A

rück

dreh

en

SV

1

SK

Sch

wim

mac

hse

Sch

wim

mfl

äche

SV

2

SV

2F A

F A

kent

ern

dreh

en

SK

SK

SK

GG

Sta

bil

Lab

ilIn

diff

eren

t

Hydrostatik 48

Abb. 3.18: Ausgelenkte Schwimmkörper (Definitionsskizze)

Durch die Auslenkung wird der Auftrieb auf der aufgetauchten Seite um den Wert ∆FA = - ρw g ∆VV verringert (Abb. 3.18a). Auf der eingetauchten Seite nimmt die Auftriebs-komponente um den Wert ∆FA = + ρw g ∆VV zu. Wird das eingetauchte bzw. aufgetauchte Vo-lumen in viele kleine Scheiben dVv = z dA (Abb. 3.18) zerlegt, so lässt sich das entstehende Drehmoment M aus der Integration der Auftriebskräfte für die Scheiben über den Abstand x zur Schwimmachse berechnen. Da bei sehr kleiner Auslenkung z/x = tan α = α ist, folgt: A w V w wdF g dV g dA z g dA x (3.14)

Das infinitesimale Drehmoment dM ist:

2A wdM x dF g x dA (3.15)

Daraus folgt das gesamte Drehmoment M:

2w

A A

M dM g x dA

2w w 0

A

M g x dA g I (3.16)

M Metazentrum

VV

hK

SV2SV1

SK

a

FG

FA

z

0

-VV

+VV

hM

x

a

FG = Gewichtskraft des KörpersSK = Schwerpunkt des KörpersSv1 = Verdrängungsschwerpunkt vor

der Auslenkung (Ruhelage)

y

b = 1 m

a

0x

z

Schwimmfläche A

dA

b

AdFx

z

dA

0 x

z

VdV z dA c

Hydrostatik 49

Durch die Auslenkung entsteht ein Moment der Auftriebskraft FA∙a um den alten Verdrän-gungsschwerpunkt Sv1, das mit dem Moment infolge Veränderung der Eintauchtiefe der beiden Seiten im Gleichgewicht stehen muss:

A w 0F g I (3.17)

Der Hebelarm a (Abb. 3.18) folgt aus

w 0 w 0 0

A w V V

g I g I Ia

F g V V

(3.18)

Da die Auslenkung α als sehr klein angenommen wird, kann der Hebelarm a durch die Parame-ter hM, hK und α wie folgt beschrieben werden:

M K M Ka (h h ) sin (h h ) (3.19)

Wird Gl. (3.19) in Gl. (3.18) eingesetzt, so folgt für die Lage des Metazentrums:

0M K

V

Ih h

V (3.20)

Das Flächenträgheitsmoment I0 ist für die Schwimmfläche A (Abb. 3.18a) zu ermitteln.

Für die oben erwähnten Schwimmlagen (s. Abb. 3.17) gelten folgende Kriterien:

hM > 0 : stabile Schwimmlage

hM < 0 : labile Schwimmlage

hM = 0 : indifferente Schwimmlage

Liegt der Verdrängungsschwerpunkt SV oberhalb des Körperschwerpunktes SK, so ist die Schwimmlage stets stabil.

3.7 Einfluss zusätzlicher Beschleunigungen auf den hydrostatischen Druck

3.7.1 Problemstellung

Im Abschnitt 2 wurde gezeigt, dass Wasser leicht verformbar und nahezu inkompressibel ist, aber auch, dass sich seine Oberfläche stets normal zur Resultierenden FR aller auf sie wirkenden Kräfte einstellt.

Wirkt also nur die Schwerkraft, so stellt sich zwangsläufig eine horizontale Wasseroberfläche ein. Dies ist der Fall, wenn das Wasser im Behälter nicht bewegt wird bzw. eine gleichförmige geradlinige Bewegung erfährt, d.h. es wirkt außer der Erdbeschleunigung g keine weitere Be-schleunigung. Dabei wirkt die Erdbeschleunigung stets senkrecht zur Wasseroberfläche (Iso-bare p = 0) sowie zu anderen Linien gleichen Druckes (p = konst.: Isobaren).

Hydrostatik 50

Abb. 3.19: Linien gleichen Druckes

Der Einfluss jeder zusätzlichen Beschleunigung b auf das Ausgangssystem mit der Erdbe-schleunigung g kann durch eine effektive Beschleunigung be berücksichtigt werden:

eb g b

(3.21)

die wie folgt in die Druckberechnung eingeht:

W ep b z

(3.22)

Dabei ist zu beachten, dass die Trägheitskraft infolge der Wirkung von b stets in entgegenge-setzter Richtung von b wirkt. Im Folgenden wird die Wirkung der zusätzlichen Beschleunigung b in senkrechter sowie in horizontaler Richtung betrachtet.

3.7.2 Senkrecht beschleunigter Wasserbehälter

Hier sind drei Fälle zu unterscheiden, die am Beispiel eines Wasserbehälters in einem fahrenden Fahrstuhl demonstriert werden können (Abb. 3.20).

Fall 1: Gleichförmige Bewegung nach oben bzw. unten (Abb. 3.20a)

Fährt der Fahrstuhl mit v = konst. nach oben bzw. unten, so ist

p = 0Isobare

Isobare

Isobare

Isobare

Isobare

g

p = w g z

RWS

z

z

z = 0

z = 1 m

z = 2 m

z = 3 m

z = 4 m

4 2p 1mWS 10 N / m

4 2p 2 mWS 2 10 N / m

4 2p 3 mWS 3 10 N / m

4 2p 4 mWS 4 10 N / m

Hydrostatik 51

dv/dt = b = 0,

d.h. es wirkt nur die Erdbeschleunigung g. Der Bodendruck

wp g h

bleibt unverändert.

Fall 2: Beschleunigte Fahrt nach oben (Abb. 3.20b)

Der Fahrstuhl hat eine nach oben gerichtete Beschleunigung b = konst. Dadurch entsteht eine Trägheitskraft in entgegengesetzter Richtung von b, d.h. in Richtung von g. Dies bewirkt eine Erhöhung des spezifischen Gewichtes des Wassers von

w wg (g b),

sodass sich der Bodendruck entsprechend erhöht:

w wp g h p (g b) h (3.23)

Abb. 3.20: Vertikale Bewegung eines Wasserbehälters bei unterschiedlicher Beschleunigung b

Beispiel: Bei einem Erdbeben ist b ≈ 0,4 m/s2 nach oben gerichtet. Dadurch kommt es zu ei-

ner Druckerhöhung von ca. 4 %:

w

w

(g b) h g b 9,81 0,41,04

gh g 9,81

(a) Gleichförmig nachoben bzw. unten

p = w g h

h g

b = 0

(b) Beschleunigt nach oben

p = w (g + b)h

b 0

h g

p = w g h

p = w g h p = w (g + b) h

(c) Beschleunigt nach unten

b 0

g

p = w g h

p = w (g - b)h

h

Hydrostatik 52

Fall 3: Beschleunigte Fahrt nach unten (Abb. 3.20c)

Der Fahrstuhl hat eine nach unten gerichtete Beschleunigung b = konst. Sie bewirkt eine Träg-heitskraft nach oben, d.h. in entgegengesetzter Richtung von g. Dadurch kommt es zu einer Abminderung des spezifischen Gewichts des Wassers:

w wg (g b) (3.24)

sodass sich der Bodendruck entsprechend vermindert:

w wp g h p (g b) h (3.25)

Sonderfall: Beschleunigte Fahrt nach unten mit der Beschleunigung b = g

Erfährt der Fahrstuhl eine nach unten gerichtete Beschleunigung b = g, so wirkt nach Gl. (3.24) ein spezifisches Gewicht des Wassers von:

w (g g) 0 (Schwerelosigkeit)

Der hydrostatische Druck ist somit nach Gl. (3.26) p = ρw (g - g) h = 0.

3.7.3 Horizontal beschleunigter Wasserbehälter

Die Wirkung einer horizontalen Beschleunigung soll zunächst an einem horizontal und gerad-linig fahrenden Wasserbehälter und dann an einem horizontal rotierenden Behälter demonstriert werden.

(a) Horizontal und geradlinig beschleunigter Behälter

Wird der Wasserbehälter in Abb. 3.21 nach rechts mit b = konst. beschleunigt, so wirken auf die Wassermasse m folgende Kräfte:

Trägheitskraft F m b

,

Gewichtskraft GF m g

.

Hydrostatik 53

Abb. 3.21: Horizontal und geradlinig beschleunigter Wasserbehälter

Die resultierende Kraft FR folgt zu

2 2R e eF m b g m b , b b g ,

d.h. die Wasseroberfläche muss sich schräg einstellen, damit sie stets senkrecht zur resul-

tierenden Beschleunigung eb

bleibt.

Der Neigungswinkel α der Wasseroberfläche folgt aus:

G

F m b btan tan =

F m g g

(3.26)

Anmerkung:

Durch die Schräglage der Wasseroberfläche wird potentielle Energie gespeichert, die nach Wegfall der Beschleunigung b in Wellenbewegung umgesetzt wird. Deshalb sind z.B. bei Schiffshebewerken nur geringe Beschleunigungen (b < 0,015 m/s2) zugelassen.

(b) Horizontal rotierender Wasserbehälter

Bei beschleunigter Drehbewegung wirken Zentrifugal- und Schwerekräfte zusammen, d.h. zu jedem Abstand r von der Rotationsachse 0z gehört eine nach innen gerichtete Beschleunigung b (Abb. 3.22):

2b r mit v / r Winkelgeschwindigkeit

2b v / r

RWS Isobaren (p = konst.)

ursprünglicher RWS

R eF m b

b konst.

GF m g

h

F mb

Hydrostatik 54

Nach Gl. (3.27) ist:

2 2b v / r / r

tang g g

Andererseits gilt (Abb. 3.22):

dztan

dr

2 2 2 2dz r r

dz r dr z(r) Cdr g g g 2

Das heißt, die Wasseroberfläche ist ein Paraboloid (Abb. 3.22).

Abb. 3.22: Horizontal rotierender Wasserbehälter

r0

z

Detail M

Isobaren p = konst.

M

dr

dz

Detail M

r

r

-b

gbe

0

z

Tangente

b

r

M

Hydrostatik 55

3.8 Zusammenfassung

1. Der Bezugsdruck in der Hydrostatik ist der atmosphärische Druck. Die SI-Einheit des Druckes ist Pascal (1 Pa = 1 N/m2).

2. Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit ist in alle Richtungen gleich groß. Druck ist daher eine skalare Größe (kein Vektor).

3. Der hydrostatische Druck infolge Schwerkraft steigt linear mit der Wassertiefe z:

wp g z

4. Die hydrostatische Druckkraft wirkt stets senkrecht auf die Begrenzungsfläche.

5. Die hydrostatische Druckkraft F auf eine ebene Fläche A ist gleich dem Produkt aus die-

ser Fläche und dem hydrostatischen Druck p = ρw g h im Schwerpunkt dieser Fläche:

w sF ( g h )A

6. Da die hydrostatische Druckverteilung nur von der Wassertiefe abhängig ist, spielen

Größe und Form des Wasserbehälters keine Rolle (hydrostatisches bzw. PASCALsches Paradoxon).

7. Zur Bestimmung der hydrostatischen Druckkraft auf gekrümmte Flächen ist eine Auf-

spaltung in eine horizontale (Fx) und vertikale (Fz) Kraftkomponente erforderlich:

2x wF g h / 2 (h = Wassertiefe)

z wF g V (V = Volumen über der gekrümmten Fläche bis zur

Höhe des RWS)

8. Die Auftriebskraft auf einen Körper im bzw. am Wasser lässt sich nach dem Prinzip von

ARCHIMEDES bestimmen: A w VF gV

(VV = durch den Körper verdrängtes Wasservolumen)

Die Größe der Auftriebskraft eines eingetauchten Körpers ist somit von der Eintauchtiefe unabhängig.

9. Ein Körper schwimmt, wenn das Körpergewicht gleich der Auftriebskraft ist. Für die

Schwimmstabilität werden stabile, labile und indifferente Schwimmlage unterschieden. In der stabilen Schwimmlage liegt das Metazentrum lotrecht über dem Schwerpunkt des schwimmenden Körpers.

Hydrostatik 56

10. Bei der Wirkung einer zusätzlichen Beschleunigung auf eine ruhende Flüssigkeit ist zu

beachten, dass sich die resultierende Beschleunigung (bzw. Kraft) stets senkrecht zur Wasseroberfläche einstellt, wobei bei der Berechnung der Resultierenden zu beachten ist, dass die zusätzliche Beschleunigung entgegen ihrer Wirkungsrichtung anzusetzen ist (Trägheitskräfte).

11. Die Oberfläche einer beschleunigten rotierenden Flüssigkeit hat die Form eines Rotati-onsparaboloids.

Hydrostatik 57

3.9 Aufgaben

Aufgabe 3.1: "Einheiten"

Was ist die SI-Einheit für Druck? Welche weiteren Einheiten können Sie für den hydrostati-schen Druck angeben? Wie können Sie diese auf die SI-Einheit umrechnen? Aufgabe 3.2: "Druck"

Was verstehen Sie unter relativem und absolutem Druck? Aufgabe 3.3: "Salzgehalt"

Wie ändert sich die Dichte des Wassers bei zunehmendem Salzgehalt? Welchen Einfluss hat der Salzgehalt auf den hydrostatischen Druck? Aufgabe 3.4: "Kavitation"

Wie groß ist der Dampfdruck? Was verstehen Sie unter Kavitation? Geben Sie zwei Beispiele, wo Kavitation auftreten kann. Aufgabe 3.5: "Hydrostatischer Druck"

Wie groß ist der Druck, der auf einen Taucher in 1 m, 10 m und 100 m Wassertiefe wirkt? Geben Sie diesen Druck in den Einheiten [mWS] und [kN/m2] an.

Hydrostatik 58

Aufgabe 3.6: "Hydrostatischer Druck auf eine senkrechte Wand"

Berechnen Sie den hydrostatischen Druck und die resultierende Kraft pro laufenden Meter auf eine Mauer. Gegeben: p0 = 1013,25 mbar

w = 1,0 t/m3

d = 10,0 m

Abb. 3.23: Hydrostatischer Druck auf eine senkrechte Wand

Lösung:

a) Ermittlung des hydrostatischen Druckes an der Sohle ps

Berechnung des absoluten Druckes:

50Mit p 1013,25mbar 1,013 bar 1,013 10 Pa folgt :

5 5S W 0p g d p 1000 9,81 10,0 1,013 10 1,994 10 Pa

Anmerkung: Es wirkt von der anderen Seite der Mauer derselbe atmosphärische Druck entgegen. Der Luftdruck kann somit vernachlässigt werden und es ist daher zulässig mit p0 = 0 kN/m2 zu rechnen.

Berechnung des relativen Druckes: 2

S w 0p g d p 1,0 9,81 10,0 0 98,1kN / m

d = 10m

Sohldichtung

z

Hydrostatik 59

Abb. 3.24: Druckspannnungsverteilung auf eine senkrechte Wand

b) Ermittlung der resultierenden Druckkraft:

ds

0

p 98,1F p dA d 10 490,5 kN / m

2 2

Aufgabe 3.7: "Druck auf Kreissegmentschütz"

Ein Kreissegmentschütz soll einen Stollen mit einem Rechteckquerschnitt verschließen. Der Stollen hat eine Breite b von 5,0 m und eine Höhe a von 2,0 m. Der Winkel α des Kreisseg-mentschützes beträgt 55°.

a) Bestimmen Sie Größe und Richtung der hydrostatischen Gesamtkraft auf das Auflager im Punkt M.

b) Zeichnen Sie die Druckspannungsverteilung auf das Schütz für

den horizontalen Wasserdruck, den vertikalen Wasserdruck.

d = 10 m

Sohldichtung

z

Fres

d/3

ps= 98,1 kN/m²

Hydrostatik 60

Abb. 3.25: Kreissegmentschütz

Gegeben: ρw = 1,0 t/m3

g = 9,81 m/s2

a = 2,0 m

b = 5,0 m

h = 1,5 m

α = 55°

h

ra

M

r

Hydrostatik 61

Aufgabe 3.8: "Druck auf schräge Flächen"

Berechnen Sie die Druckverteilung und die resultierende Vertikalkraft auf die "Nase" ABCD.

Abb. 3.26: Druck auf schräge Fläche


g = 9,81 m/s2

patm = 0 kN/m2

Lösung:

a) Ermittlung des hydrostatischen Druckes an den Punkten A, B, C und D

pA = p0 = patm = 0 kN/m2 (Bezugsdruck)

pB = ρw g z + p0 = 1,0 · 9,81 · 8,0 + 0 = 78,5 kN/m2

pC = pB = 78,5 kN/m2 (gleiche Wassertiefe wie Punkt B)

pD = ρw g d + p0 = 1,0 · 9,81 · 10,0 + 0 = 98,1 kN/m2

Druckspannungsfigur

RWS

d =10 m

A

BC

D

5,0 m

2,0 m

8,0 m

Hydrostatik 62

Abb. 3.27: Druckspannungsfigur auf "Nase"

b) Ermittlung der Kräfte auf die Teilflächen AB und BC

2 2A B1 AB

p p 78,5 0F L 5 8 370,3 kN / m

2 2

B C2 BC

p p 78,5 78,5F L 5 392,5 kN / m (Auftrieb)

2 2

c) Ermittlung der resultierenden Gesamtkraft auf die Nase:

AC

AB

L 8,0sin 58

L 9,43

H1 1F F sin 370,3 sin58 314,0 kN / m

RWS

d =10 m

F1

F2

78,5 kN/m2

78,5 kN/m2

98,1 kN/m2

A

BC

D

Druck auf Teilfläche CD.78,5 kN/m2

C

D98,1 kN/m2

Hydrostatik 63

Abb. 3.28: Kräftezerlegung

V1 1F F cos 370,3 cos58 196,2 kN / m (Auflast)

resultierende Vertikalkraft der Nase:

v,ges V1 2F F F 196, 2 392,5 196,3 kN / m (Auftrieb)

Das gleiche Ergebnis lässt sich viel einfacher nach dem Prinzip des ARCHIMEDES be-rechnen, wobei VV das durch den Hohlkörper ABC verdrängte Wasservolumen darstellt.

v,ges w v

2 2H w

F g V 1,0 9,81 (8,0 5,0) / 2 196,2kN / m

1F g h 314,1kN / m

2

Aufgabe 3.9: "Druck auf eine Klappe"

An einem Behälter ist eine quadratische Klappe befestigt, die im Punkt A drehbar gelagert ist. Welche Kraft ResF ist notwendig, damit die Klappe geschlossen bleibt? Das Eigengewicht der

Klappe darf vernachlässigt werden.

Gegeben: w = 1,0 t/m³

g = 9,81 m/s²

p0 = 0 kN/m²

F1

A

C

FV1

FH1

B

LAC

Hydrostatik 64

Abb. 3.29: Druck auf eine Klappe

Lösung:

a) Berechnung der resultierenden Kraft auf die Klappe:

pA = ρw g h + po = 1,0 · 9,81 · 1,0 + 0 = 9,81 kN/m²

pB = ρw g (h + a) + p0 = 1,0 · 9,81 · (1,0 + 0,1) + 0 = 10,79 kN/m²

F = [(pA + pB)/2] a2 = [(9,81 + 10,79)/2] · 0,12 = 0,103 kN

Abb. 3.30: Druckspannungsverteilung auf die Klappe

F

Fres

b = 0,3 m

h = 1,0 m

a = 0,1 m

Sohle

RWS

A

B

A

B

a

pB

pB – pA

pA

Hydrostatik 65

b) Berechnung des Moments der hydrostatischen Kräfte um den Punkt A:

B A2 2A A

p pa 2M p a a a

2 2 3

2 210,79 9,810,1 2

= 9,81 0,1 0,1 0,12 2 3

AM 0,00523 kNm

c) Gleichgewicht der Momente:

A Res Res AM = F b F M / b 0,00523 / 0,3 0,017 kN

Die erforderliche Kraft FRes, um die Klappe geschlossen zu halten, beträgt 17 N. Aufgabe 3.10: "Druck auf gekrümmte Flächen"

Für eine zylindrische Stauklappe, die im Punkt "0" drehbar gelagert ist, soll die resultierende Kraft Fres mit dem zugehörigen Winkel α berechnet werden. Daraus ist das Moment auf die zylindrische Stauklappe zu berechnen. Das Eigengewicht der Klappe kann vernachlässigt wer-den.

Gegeben: w = 1,0 t/m³

g = 9,81 m/s²

p0 = 0 kN/m²

Abb. 3.31: Druckspannungsverteilung bei gekrümmten Flächen

VAF V

r = 2,0 m

Fres

r

RWS

F H

(0) r = cos

r = 2,0mF H

F VFres A

Hydrostatik 66

Lösung:

wH

1,0 9,81 2,0g rF r 2,0 19,62 kN/m

2 2

Die Vertikalkraft entspricht dem Gewicht des Wassers über der Klappe (Auflast):

2 2 2 2V w A w

1 1F = g V g r r ) 1,0 9,81 (2 2 ) 8, 42 kN/m

4 4(

Aus dem Satz der Pythagoras ergibt sich die resultierende Kraft und der Winkel:

Fres = FH2 +FV

2 = 19,622+8,42²=21,35 kN/m

V

H

Farctan arctan (8,42 /19,62) 23,23

F

Da die Wirkungslinie der resultierenden Kraft durch den Mittelpunkt der zylindrischen Stau-klappe führt, entsteht hier kein Moment. Aufgabe 3.11: "Die Krone des ARCHIMEDES"

ARCHIMEDES wurde von seinem König beauftragt, dessen neue Krone daraufhin zu überprü-fen, ob sein Goldschmied die Krone wirklich nur aus Gold hergestellt hat oder etwa billigeres Silber der Krone beigemischt wurde. Der König hatte dem Goldschmied l kg Gold für die Her-stellung der Krone gegeben.

ARCHIMEDES dachte lange über die Lösung des Problems nach. Während er sein wöchentli-ches Bad nahm, bemerkte er, wie das Wasser in der Badewanne stieg, wenn er sich hinein setzte. Da kam ihm die leuchtende Idee. Mit einem "Heureka" (Ich habe es geschafft!) sprang er aus der Wanne und überprüfte wie folgt den Goldgehalt der Krone:

ARCHIMEDES bestimmte das Gewicht der Krone zu l kg. Anschließend besorgte er sich l kg Silber und l kg Gold. Schließlich tauchte er sowohl das Gold, das Silber und die Krone in einen randvoll mit Wasser gefüllten Eimer und ermittelte die Überlaufmenge.

Aus den Überlaufmengen für das Gold und das Silber konnte er folgende Dichten ermitteln:

ρGold = 19,3 g/cm3

ρSilber = 10,5 g/cm3

Für die Krone ermittelte er eine Überlaufmenge von 56,16 cm3.

Überprüfen Sie, ob die Krone aus reinem Gold bestand. Wenn die Antwort "Nein" lautet, dann ermitteln Sie den beigemischten Silbergehalt.

Lösung:

Hydrostatik 67

a) Bestimmung der Überlaufmenge und somit des Volumens von l kg Gold und l kg Silber

VKrone,Gold = mGold/ρGold = 1.000/19,3 = 51,81 cm3

VKrone,Silber = mSilber /ρSilber = 1.000/10,5 = 95,24 cm3

Die Krone besteht nicht nur aus Gold, denn dann müsste die Überlaufmenge 51,81 cm3 betragen. Der Goldschmied war also ein Schwindler.

b) Bestimmung des Silbergehaltes

Das gesamte Volumen der Krone setzt sich aus einem Gold- und einem Silberanteil zu-sammen.

Gold Silbergcs

Gold Silber

m mV

Dies gilt auch für das Gewicht der Krone.

mGold + mSilber = 1.000 g mGold = 1.000 g - mSilber

Silber Silberges Silber

Gold Silber Silber Gold Gold

1.000 m m 1 1 1.000V m

GoldSilber

Silber Gold

1.000 1.000Vges 56,1619,3

m 100 g1 11 1

10,5 19,3

Der Krone waren 100 g Silber beigemischt. Aufgabe 3.12: "Tiefgang eines Schiffes"

Ein Schiff mit einem Gewicht von 40.000 kN fährt vom Süßwasser ins Salzwasser. Berechnen Sie die Änderung des Tiefgangs ∆hw. Gegeben: ρw = 1,0 t/m3

ρSalzwasser = 1,025 t/m3

g = 9,81 m/s2

Abmessungen des Schiffes:

Länge L = 100 m

Höhe H = 10 m

Breite B = 10 m

Hydrostatik 68

Lösung:

Zur Lösung der Aufgabe wird das Prinzip des ARCHIMEDES verwendet. Danach entspricht das Gewicht des verdrängten Wasservolumens VV dem Eigengewicht des Schiffes GSchiff.

a) Berechnung des Tiefgangs im Süßwasser hw, süß:

Schiff w VVG g

w,Süß40.000 1,0 9,81 L B h

w , Süßh = 40.000 / 1,0 9,81 100 10 4,08 m

b) Berechnung des Tiefgangs im Salzwasser hw, Salz:

Schiff Salzwasser VG g V

w, Salz40.000 1,025 9,81 L B h

w, Salzh = 40.000 / 1,025 9,81 100 10 3,98 m

Der Tiefgang des Schiffes nimmt beim Einfahren vom Süß- ins Salzwasser um ∆hw = hw, Süß - hw, Salz = 10 cm ab.

Aufgabe 3.13: "Prinzip des ARCHIMEDES"

Das Gewicht eines mit Wasser gefüllten Behälters beträgt 60 MN (a.)). In diesen Behälter wird ein Körper mit einem Gewicht G = 10 MN gelegt, der schwimmt (b.)) bzw. auf dem Boden liegt (c.)). Berechnen Sie die überlaufende Wassermenge und das resultierende Gewicht unter der Annahme, dass der Wasserstand in allen drei Fällen gleich bleibt (h = h1).


ρStahl = 8,0 t/m3

g = 9,81 m/s2

Hydrostatik 69

Abb. 3.32: Prinzip des ARCHIMEDES

Lösung:

zu b) Der Körper schwimmt im Behälter. In diesem Fall kann das Prinzip des ARCHIMEDES angewandt werden. Dieses besagt, dass das ρW∙g- fache des verdrängten Wasservolumen VV dem Gewicht G des schwimmenden Körpers entspricht.

w VG g V

3V wV = G / g 10.000 / 1,0 9,81 1.019 m

Dies bedeutet, dass das Eigengewicht des Behälters konstant bleibt.

R´= 60 MN

zu c) Der Körper liegt auf dem Boden des Behälters. In diesem Fall muss das Volumen des

Körpers VK berechnet werden, da dieses der Überlaufwassermenge entspricht.

3

KStahl

GV 10.000 8,0 9,81 127,4 m

g

Das Gewicht des Behälters ergibt sich nun aus dem Gewicht des mit Wasser gefüllten Behälters abzüglich des Gewichts des übergelaufenen Wassers zuzüglich des Gewichts des Körpers.

RWSa.)

R = 60 MN

RWSb.)

R`= ?

RWSc.)

R``= ?

Hydrostatik 70

K w R" R G V g 60.000 10.000 127,4 1,0 9,81

68.750 kN = 68,75 MN

Aufgabe 3.14: "Auftrieb einer Mauer"

Ein schlechter Ingenieur hat sich die unten dargestellte Mauer mit einer Sohldichtung stromab-wärts ausgedacht. Ermitteln Sie das bei dieser Anordnung erforderliche Gewicht G der Mauer und machen Sie einen Verbesserungsvorschlag.

Abb. 3.33: Auftrieb einer Mauer


g = 9,81 m/s2

p0 = 0 kN/m2

Lösung:

G = 1.829,6 kN/m

Aufgabe 3.15: "Beschleunigungssysteme"

Für das unten dargestellte Fahrzeug ist der hydrostatische Druck an der Sohle Ps für die Zu-stände "1", "2" und "3" zu bestimmen. Alle Behälter haben die gleichen Abmessungen bei gleicher Wassertiefe h = 2,0 m.

d = 10m

Dichtung

G

a = 2m

a /2

undurchlässig

(A)Sohlfuge

Hydrostatik 71

Abb. 3.34: Beschleunigungssysteme


g = 9,81 m/s2

b = 2,5 m/s2

Lösung:

Zustand „1”: 2

S wp (g b) h 1, 0 (9,81 2,5) 2, 0 24, 62 kN/m

Zustand „3“: 2

S wp (g b) h 1, 0 (9,81 2,5) 2, 0 14, 62 kN/m

Zustand „2“: tan b / g arctan(2,5 / 9,81) 14,3

tan e / (d / 2) e d / 2 tan e 1,5 / 2 tan14,3 0,19 m

2 2 2 2 2

resb b g 2,5 9,81 10,12 m / s

11

ccos c (d e) cos 2,12 m

(d e)

22

ccos c (d e) cos 1,75 m

(d e)

b

b

b

h = 2,0 m

d = 1,5 m

2

1 3

g

g

g

Hydrostatik 72

2

S,li nks w res 1p b c 1,0 10,12 2,12 21,45 kN / m

2

S,rechts w res 2p b c 1,0 10,12 1,75 17,76 kN / m

Abb. 3.35: Beschleunigungssystem im Zustand "2"

g

Fahrtrichtung

d/2 d/2

h

b

c1

c2

e

Beschleunigungssystem im Zustand “2“

Hydrostatik 73

Aufgabe 3.16: "Schwimmstabilität"

Für den unten dargestellten Senkkasten aus Beton sollen Schwimmfähigkeit und Schwimm-stabilität überprüft werden.

Abb. 3.36: Schwimmstabilität


ρBeton = 2,2 t/m3

g = 9,81 m/s2

Lösung:

a) Überprüfung der Schwimmfähigkeit

Ermittlung des Betonvolumens VBeton:

VBeton = 50,91 m3 Ermittlung des Betongewichts G:

Beton BetonG g V 2,2 9,81 50,91 1098,7 kN

Anwendung des Prinzips des ARCHIMEDES:

V V w VF G F g V G

3V

w

G 1.098,7 V = 112,0 m

g 1,0 9,81

Berechnung des Tiefgangs:

V VV b c t t V / b c 112 / 5,0 ·5,0 4,48 m a

Freibord f = a - t = 0,52 m

a =

5m

c = 5,0 m

0,4 m

0,4m

Schnitt 1 -1 und 2 -2

b = 5,0 m

0,4 m

0,4 ma =

1 1

f

t

2

2

Hydrostatik 74

Der Senkkasten schwimmt.

b) Überprüfung der Schwimmstabilität

Der Körperschwerpunkt liegt bei aK = 2,5 m. Der Verdrängungsschwerpunkt liegt bei aV = t/2 = 2,24 m über der Sohle des Senkkastens. Hieraus kann der Abstand hK zwischen Körperschwerpunkt und Verdrängungsschwerpunkt berechnet werden:

hK = aK – aV = 2,50 - 2,24 = 0,26 m Ermittlung der Lage des Metazentrums hM:

30

M kV

I 5,0 5,0h h 0,26 0,20m 0

V 112 12

3

0

b cmit : I Flächenträgheitmoment

12

Das Metazentrum liegt 0,20 m oberhalb des Körperschwerpunktes, d.h. es handelt sich um eine stabile Schwimmlage.

Einführung in die Hydrodynamik 75

4 Einführung in die Hydrodynamik

4.1 Definition und Feldbeschreibung

Hydrodynamik ist die Lehre der Bewegung von Flüssigkeiten unter dem Einfluss von äußeren Kräften und Trägheitskräften. Der Unterschied zwischen Trägheitskräften und äußeren Kräften wird durch Abb. 4.1 veranschaulicht.

Abb. 4.1: Unterschied zwischen äußeren Kräften und Trägheitskräften

Während bei der Hydrostatik die Gewichtseigenschaften der Flüssigkeit, d.h. das spezifische Gewicht (w g) bzw. das Gewicht G = w g V maßgebend sind, stellen in der Hydrodynamik die Masseneigenschaften der Flüssigkeit, d.h. die Dichte w bzw. die Masse m = w V, die maßgebenden Größen dar.

Wie in der Hydrostatik können auch in der Hydrodynamik die Flüssigkeiten als Kontinuum angesehen werden, sodass jedes Flüssigkeitspartikel durch seine Dichte, den Druck, seine Ge-schwindigkeit und andere Strömungsgrößen charakterisiert werden kann. Da eine Flüssigkeit leicht verformbar ist, kann jedes Partikel eine andere Geschwindigkeit, einen anderen Druck usw. haben, die außerdem räumlich und zeitlich variieren können. Eine Beschreibung der Ge-schwindigkeit und weiterer Flüssigkeitseigenschaften der Partikel zu jedem Zeitpunkt durch mathematische Funktionen ist möglich (Kontinuum) und erforderlich (Feldbeschreibung). Ab-hängige Variablen wie z.B. Druck und Geschwindigkeiten werden Feldvariablen genannt. Das betrachtete Flüssigkeitsgebiet heißt Strömungsfeld.


4.2 LAGRANGEsche und EULERsche Beschreibung

Für die Beschreibung des Strömungsfeldes gibt es zwei grundsätzliche Betrachtungsweisen: Die LAGRANGE14sche und die EULERsche Betrachtungsweise. Bei der LAGRANGEschen Betrachtungsweise wird jedes Partikel identifiziert und zeitlich ver-folgt, es entstehen sog. Bahnlinien. In diesem Fall sind die strömungsmechanischen Größen (Geschwindigkeit, Beschleunigung, etc.) nicht fest, sondern an das Teilchen gebunden (Teil-chenkoordinaten). Anders als bei Festkörpern sind bei Flüssigkeiten die LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen mathematisch zu aufwendig und daher nur in Sonderfällen anwendbar. Im Gegensatz dazu ist bei der EULERschen Betrachtungsweise das "Einzelschicksal" der Par-tikel uninteressant. Deshalb werden die strömungsmechanischen Größen an einem festen Ort beschrieben (feste Koordinaten). Da der Ingenieur mehr an der Wirkung der Fluidteilchen als Ganzes auf ein Hindernis (z.B. Bauwerk) als an dem Einfluss des Hindernisses auf jedes indi-viduelle Fluidteilchen interessiert ist, und weil die EULERschen Bewegungsgleichungen ma-thematisch weniger aufwendig sind, eignet sich diese Betrachtungsweise besser für die Be-schreibung des Strömungsfeldes bei ingenieurmäßigen Anwendungen.

4.3 Klassifizierung von Strömungen

Folgende Strömungen werden unterschieden:

Strömungsgruppen: Linienströmung (1D), Flächen- bzw. ebene Strömung (2D) und räumliche Strömung (3D)

Strömungsarten: stationäre (zeitunabhängige) und instationäre (zeitabhän- gige) Strömung, gleichförmige (wegunabhängige) und un- gleichförmige (wegabhängige) Strömung

Strömungsformen: laminare (Schichten-) und turbulente (verwirbelte) Strö- mung

Strömungsklassen: Potentialströmung (drehungs- und reibungsfrei) und Wir- belströmung (drehungs- und reibungsbehaftet).

Bei einer Einteilung nach Homogenitätsgesichtspunkten kann zwischen:

einphasiger Strömung (homogenes Fluid: z.B. nur Wasser) und

mehrphasiger Strömung (inhomogenes Fluid: z.B. Wasser-Luft-Gemisch)

unterschieden werden. Bei Gerinneströmungen wird außerdem noch zwischen schießendem und strömendem Abfluss unterschieden (vgl. Abschnitt 9).

14 J. L. De LAGRANGE (1736–1813): Französischer Mathematiker.


4.4 Grundgesetze der Physik und Stoffgesetze bei Strömungen

Die Erfahrung hat gezeigt, dass folgende Grundgesetze der Physik auch für alle Strömungen gültig sind:

Massenerhaltungsgesetz

Die 3 Bewegungsgesetze von NEWTON15:

(i) Jeder Körper verharrt in einem Zustand der Ruhe oder gleichförmiger, gerad-liniger Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern (Erstes Bewegungsgesetz).

(ii) Die Kraft auf ein Objekt ist gleich seiner Masse multipliziert mit seiner Be-schleunigung: F = m b (Zweites Bewegungsgesetz).

(iii) Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung, d.h. Actio = Reactio (Drittes Bewegungsgesetz).

Die 2 Hauptsätze der Thermodynamik:

(i) Energieerhaltungssatz (Erster Hauptsatz).

(ii) Die Änderung der Entropie16 eines Systems und seiner Umgebung ist immer positiv, d.h. alle Vorgänge der Natur führen zu einer Entropieerhöhung (Zweiter Hauptsatz).

Das Postulat der Stoffeigenschaften:

Die verschiedenen Eigenschaften eines Fluides stehen in Beziehung zueinander. Ist ein gewisses Minimum an Stoffeigenschaften (i.d.R. zwei) bekannt, so können die anderen Eigenschaften daraus abgeleitet werden.

Wichtig ist, dass diese Grundgesetze für alle Strömungen gelten, unabhängig von der Natur des Fluides und anderer Randbedingungen. Zusätzlich kommen einige Gesetze hinzu, die nur unter bestimmten Bedingungen bzw. für be-stimmte Fluide gelten, so z.B. das Fluidreibungsgesetz von NEWTON (vgl. Abschnitt 11.4). Solche Gesetze, die nur für bestimmte Stoffe gelten, heißen "Stoffgesetze". Die Anwendung der Grundgesetze wie z.B. das Massenerhaltungsgesetz, das Gesetz der Ener-gieerhaltung sowie das 2. Bewegungsgesetz von NEWTON haben es ermöglicht, die drei wich-tigsten Erhaltungsgesetze der Hydrodynamik herzuleiten:

15 I. NEWTON (1642–1727): Englischer Physiker und Mathematiker.

16 Entropie (gr., lat.): physikalische Größe, die die Verlaufsrichtung eines Wärmeprozesses kennzeichnet.


die Kontinuitätsgleichung,

die BERNOULLI-Gleichung,

den Impuls- bzw. Stützkraftsatz.

4.5 Wichtige Begriffe der Hydrodynamik (stationäre Strömung)

(a) Stromlinie: Bahn eines Teilchens, d.h. die Strömungsrichtung an jedem Punkt wird durch die Tangente an die Stromlinie S beschrieben:

S S

dsv = (v = Geschwindigkeitsvektor)

dt

(4.1)

Stromlinien des gleichen Strömungsfeldes können sich weder schneiden noch knicken (sonst wären an einem Punkt zwei verschiedene Tangenten, d.h. Geschwindigkeitsvektoren, möglich).

Eine Verdichtung der Stromlinien S bedeutet größere Fließgeschwindigkeiten und eine Auf-weitung der Stromlinien bedeutet eine Verzögerung der Strömung (Abb. 4.2).

Abb. 4.2 : Definitionsskizzen für Stromlinien

ss

Verdichtung beschleunigte Strömung

s s

Verdünnungverzögerte Strömung

ss

sv

sv

a) Stromlinie

b) Verdichtung und Verdünnung der Stromlinien


(b) Stromfaden und Stromröhre

Eine Stromröhre (Abb. 4.3) ist ein Bündel von Stromlinien begrenzt durch eine Mantelfläche. Durch die Mantelfläche erfolgt definitionsgemäß kein Durchfluss (kein Fluidaustausch nach außen). Die mittlere Geschwindigkeit über dem Strom-röhrenquerschnitt A ist:

S

A

1v v dA

A (4.2)

Ein Stromfaden ist eine infinitesimale Stromröhre mit dem Querschnitt dA (Abb. 4.3).

Abb. 4.3: Stromröhre und Stromfaden

(c) Volumen- und Massenstrom

Volumenstrom V : zeitliche Änderung des Wasservolumens bzw. Durchflusses Q:

V Q / dt dV (4.3)

Massenstrom m: zeitliche Änderung der Masse:

.

wdm d( V)m [kg/s]

dt dt

(4.4)

Bei w = konst. (inkompressible Flüssigkeit) folgt:

sv

Stromröhrenquerschnitt A2

Stromröhrenquerschnitt A1

Mantelfläche

Stromlinien

s

s

Stromröhre

ssss

Stromfaden

ss

dA

S = Stromlinie


w w

dVm Q [kg]

dt (4.5)

(d) Kontrollvolumen-Konzept

Um die o.g. Grundgesetze als mathematische Modelle zur Beschreibung der Strömung formu-lieren zu können, wird ein Ausgangssystem bzw. ein Kontrollvolumen benötigt. Der Unter-schied zwischen System und Kontrollvolumen besteht darin, dass:

ein System eine bestimmte Fluidmasse (z.B. ein Fluidpartikel) bzw. eine infinitesi-male oder finite Fluidmasse darstellt,

ein Kontrollvolumen ein bestimmtes fiktives Gebiet im Strömungsfeld (infinitesi-males bzw. finites Volumen) beschreibt, wobei das Volumen beweglich und ver-formbar bzw. ortsgebunden oder fest sein kann.

Beide Konzepte in infinitesimaler und finiter Größe werden für Untersuchungszwecke verwen-det (Abb. 4.4). Das finite Kontrollvolumen in Abb. 4.4 wird z.B. durch zwei Kontrollschnitte und die Wandung begrenzt.

Die Systembetrachtung entspricht der LAGRANGEschen Beschreibung und hat den Vorteil, dass die o.g. Grundgesetze direkt auf die Massensysteme anwendbar sind.

Abb. 4.4: Kontrollvolumen und System

Infinitesimales System: Fluidpartikel im Punkt (x,y)

Finites System: Masse im finiten Volumen

v

Strömung

v

Finites Kontroll-volumen

Infinitesimales Kontrollvolumen

y

x

1

1

2

2


Das Kontrollvolumen-Konzept entspricht der EULERschen Betrachtung und hat

den Nachteil, dass die o.g. Grundgesetze nicht direkt auf die Volumina anwendbar sind. Diese Schwierigkeit wird dadurch überwunden, dass durch den sog. Trans-portsatz (WHITE, 1979) eine mathematische Verknüpfung zwischen beiden Be-trachtungsweisen hergestellt wird.

Dabei wird davon ausgegangen, dass zu jedem Zeitpunkt eine bestimmte Fluid-masse im Kontrollvolumen vorhanden ist (zeitliche Änderung der Fluidmasse!), d.h. die o.g. Grundgesetze können für jeden Zeitschritt auf das momentane System im Kontrollvolumen angewandt werden. Das Kontrollvolumen ermöglicht somit die Identifizierung eines spezifischen Systems, auch wenn es nur für eine kurze Zeitspanne gilt:

syst syst

systw

m V

dB d db dm b dV

dt dt dt (4.6)

Mit Bsyst = bestimmte Eigenschaft des Systems wie z.B.:

Masse m b = 1 Impuls I = m v b = v Energie E = m v2/2 b = v2/2

Das finite Kontrollvolumen wird häufig verwendet und stellt ein wichtiges und einfaches Kon-zept für die Lösung vieler Strömungsprobleme dar.

(e) Lokale und konvektive Beschleunigung

Wird ein Fluidpartikel in einem Punkt P(x, y, z) eines räumlichen Strömungsfeldes zu verschie-denen Zeitpunkten t betrachtet, so hängen nach der EULERschen Betrachtungsweise die Ei-genschaften der Fluidpartikel von der Zeit t und ihrer räumlichen Lage (x, y, z) ab, d.h. für eine wirkliche Fluideigenschaft B gilt:

B = B (x, y, z, t) (4.7)

Die Gesamtänderung von B folgt nach den Regeln der Differentialrechnung für den dreidimen-sionalen Fall in Gl. (4.7):

dB B B x B y B z

dt t x t y t z t

(4.8)

Mit x y

x yv , v

y t

und z

zv

t

als Komponenten der Geschwindigkeit v in x-, y- und z-

Richtung folgt aus Gl. (4.8):

x y z

dB B B B Bv v v

dt t x y z

(4.9)


Da die Eigenschaft B willkürlich gewählt wurde, kann in Gl. (4.9) für B jede beliebige Fluide-igenschaft angesetzt werden:

x y zz

dv v v

dt t x y

(4.10)

Wird als Strömungsgröße die Geschwindigkeit v mit den Komponenten (vx, vy, vz) betrachtet, so folgen die Beschleunigungskomponenten in x-, y- und z- Richtung:

x x x x xx x y z

y y y y yy x y z

z z z z zz x y z

dv v v v vb v v v

dt t x y z

dv v v v vb v v v

dt t x y z

dv v v v vb v v v

dt t x y z

(4.11)

Wird nur eine eindimensionale Strömung in x-Richtung betrachtet, so folgt aus Gl. (4.11)

x x xx x

dv v vb v

dt t x

(4.12)

Analog lässt sich entlang einer Stromlinie s die folgende Gleichung (4.13) ermitteln:

s s ss

dv v v v

dt t s

(4.13)

(f) Stationäre und instationäre Strömung

Stationäre Strömung: sv 0

t

⇒ vs(t) = konst.

Instationäre Strömung: sv 0

t

⇒ vs(t) = variabel

Entscheidend für die Unterscheidung zwischen stationärer und instationärer Strömung ist also die lokale Beschleunigung sv t . Diese Unterscheidung ist unabhängig davon, welchen Wert

die konvektive Beschleunigung ss

vv

s

annimmt (Gl. (4.13)).


4.6 Zusammenfassung

1. Bei der Untersuchung von Strömungen gibt es zwei Betrachtungsweisen: die LAGRAN-GEsche und die EULERsche Betrachtungsweise. Die EULERsche Betrachtungsweise, die sich nicht um das "Einzelschicksal" der Wasserpartikel kümmert, hat eine viel breitere Anwendung als die LAGRANGEsche Betrachtungsweise, die jedes Wasserpartikel iden-tifiziert und verfolgt.

2. Bei allen Strömungen gelten auch die Grundgesetze der Mechanik (Massenerhaltungsge-

setz, die drei Bewegungsgesetze von NEWTON, die zwei Hauptsätze der Thermodyna-mik sowie das Postulat der Stoffeigenschaften). Alle anderen Gesetzmäßigkeiten, die nur unter bestimmten Bedingungen und für bestimmte Fluide und Strömungen gelten, heißen Stoffgesetze. Die drei wichtigsten Erhaltungsgesetze der Hydromechanik sind die Konti-nuitätsgleichung, die BERNOULLI-Gleichung und der Impulssatz.

3. Zur Unterscheidung zwischen stationärer und instationärer Strömung dient die Formel

für die totale Beschleunigung:

s s ss

dv v vv

dt t s

Stationäre Strömung liegt bei ss

v0 v (t) = konst.

t

und

instationäre Strömung bei ss

v0 v (t) = variabel

t

vor.

Kontinuitätsgleichung 84

5 Kontinuitätsgleichung17

5.1 Eindimensionales Strömungsfeld

Es wird im Folgenden eine stationäre inkompressible Strömung in einer Stromröhre mit den Fließquerschnitten A1 und A2 und den entsprechenden mittleren Fließgeschwindigkeiten v1 und v2 betrachtet (Abb. 5.1). In einem Stromfaden wird ein infinitesimales Volumen dV betrachtet:

dV dA ds (5.1)

Die Differentialmasse des Volumens dV ist:

w wdm dV dA ds (5.2)

Abb. 5.1: Prinzipienskizze zur Ableitung der Kontinuitätsgleichung (eindimensionaler Fall)

17 Leonardo da Vinci (1452–1519) hat als erster das Kontinuitätsprinzip beschrieben. Die mathematische Formu-lierung als Kontinuitätsgleichung konnte jedoch erst fast ein Jahrhundert später durch seinen Landsmann CAS-TELLI (1577–1644), Schüler von GALILEI (1564–1642), erbracht werden.

A2

A1

v1

v2

Detail A

Stromröhre

Stromfaden

dV

Detail A

ds

dAdV = dA ds

v


Der Massenstrom im Stromfaden ist mit v = ds/dt:

w w

dm dsρ dA dA v

dt dt

Der Massenstrom in der Stromröhre folgt aus der Integration über den Fließquerschnitt A:

w w

A

v dA v A (5.3)

wobei w und v gemittelte Werte über die Fläche A darstellen. Im Folgenden wird auf die

Schreibweise für die gemittelten Werte verzichtet. Da durch die Mantelfläche definitionsgemäß kein Ein- bzw. Ausstrom stattfinden kann, bleibt der Massenstrom (w v A) in jedem Querschnitt der Stromröhre erhalten, d.h. für die Quer-schnitte Al und A2 in Abb. 5.1 gilt:

1 1 1 2 2 2v A v A konst.

Mit w 1 2 konst. (inkompressible Flüssigkeit) folgt:

1 1 2 2v A v A konst. (5.4)

Mit dem Durchfluss Q = v A folgt schließlich die Kontinuitätsgleichung für eine stationäre inkompressible Strömung:

Q v A konst. (5.5)

In einer Stromröhre ist der Durchfluss konstant.

Das Verhältnis zweier querschnittsgemittelter Geschwindigkeiten in dieser Stromröhre ist

gleich dem umgekehrten Verhältnis der zu ihnen gehörend

oder

en Fließquerschnitte.

Typisches Anwendungsbeispiel: Gegeben: v1 = 1,0 m/s; Al = 1,0 m2; A2 = 0,1 m2

Gesucht: v2

Lösung:

12 1

2

A 1,0v v 10 m/s

A 0,1

v1 v2A1 A2


Anmerkung:

Aus Gl. (5.3) folgt die Definition der mittleren Geschwindigkeit v bei inkompressibler Strömung (s. Gl. (4.2)):

A

1v v dA

A (5.6)

5.2 Zwei- und dreidimensionales Strömungsfeld

(a) Ausgangssystem und Annahmen

In einem Strömungsfeld (inkompressible Flüssigkeit, ρ = konst.) wird ein finites Kon-trollvolumen ABCD mit der Einheitsbreite 1 senkrecht zur x-y Ebene betrachtet (Abb. 5.2).

(b) Herleitung der Kontinuitätsgleichung

Nach dem Massenerhaltungsgesetz gilt (Abb. 5.2):

x y x x y ydQ dQ (dQ dQ ) (dQ dQ )

EINSTROM = AUSSTROM

x ydQ dQ 0

mit yxx y

vvdQ dx dy und dQ dy dx

x y

yxvv

dx dy + dy dx = 0 : (dx dy)x y

yxvv

0x y

(5.7)

Dies ist die Kontinuitätsgleichung für eine zweidimensionale inkompressible Strömung (stati-onärer und instationärer Fall). Entsprechend gilt für eine dreidimensionale Strömung:

yx zvv v

0x y z

(5.8)


Abb. 5.2: Ableitung der Kontinuitätsgleichung für den zweidimensionalen Fall

Anmerkungen:

(i) Bei einer kompressiblen Flüssigkeit ( = variabel) gilt anstelle von Gl. (5.8) für den stationären Fall Gl. (5.9):

yx z( v )( v ) ( v )

0x y z

(5.9)

bzw. Gl. (5.10) für den instationären Fall:

yx z( v )( v ) ( v )

0t x y z

(5.10)

(ii) Oft werden die Gleichungen (5.8), (5.9) und (5.10) in Vektorschreibweise formu-liert:

v 0

(5.11)

( v) 0

(5.12)

( v) 0t

(5.13)

y

x

dy

dx

AUSSTROM (dQy+dQy)

AUSSTROM (dQx+ dQx)EINSTROM dQx

EINSTROM dQy

dQy= vy dx 1

dQx= vx dx 1

y

y

vv dy dx 1

y

x

x

vv dx dy 1

x

A

B C

D

s

s

s


wobei , ,x y z

der Nabla-Vektor ist.

5.3 Zusammenfassung

1. Die Kontinuitätsgleichung bei einer eindimensionalen stationären inkompressiblen Strö-mung lautet:

Q v A konst. 18

und bei einer inkompressiblen 2D-Strömung:

yxvv

0x y

5.4 Aufgaben

Aufgabe 5.1: "Kontinuitätsgleichung"

Lautet die Kontinuitätsgleichung Q = A v? Wenn nicht, wie lautet sie dann? Aufgabe 5.2: "Wasserhahn"

Erklären Sie anhand der Kontinuitätsgleichung, wieso sich der aus einem Wasserhahn austre-tende Strahl nach unten verjüngt. Aufgabe 5.3: "Rohrerweiterung"

Für die dargestellte Rohrleitung sind die Querschnitte (A1, A2) sowie der Durchfluss Q gege-ben. Ermitteln Sie die Geschwindigkeiten v1 und v2! Gegeben: Q = 0,1 m3/s

A1 = 0,1 m2 A2 = 0,5 m2

Gesucht: v1, v2

Lösung:

Anwendung der Kontinuitätsgleichung Q = A v = konst.

18 Q = v A ist die Formel für den Durchfluss, keine Kontinuitätsgleichung. v ist dabei die über den Fließquerschnitt gemittelte Fließgeschwindigkeit.


1 2Q Q Q 0,1 m³/s

11 1 1 1

1

Q 0,1Q A v v 1,0 m/s

A 0,1

22 2 2 2

2

Q 0,1Q A v v 0,2 m/s

A 0,5

Abb. 5.3: Rohrerweiterung

Aufgabe 5.4: "Rohrverzweigung"

Eine Wasseruhr zeigt während des Betriebs von 2 Wasserhähnen einen Durchfluss von Q = 1 l/s an. Gesucht werden die Wassermengen, die unter der Voraussetzung gleicher Ausflussge-schwindigkeiten aus den beiden Wasserhähnen in einer Stunde fließen. Gegeben: Q = 1,0 l/s

d1 = 2,0 cm

d2 = 1,0 cm

d = 4,0 cm

Lösung:

Für die Berechnung der Einzelabflüsse muss die Kontinuitätsgleichung gelten:

1 2Q Q Q (1)

21

1 1 1 1

dQ A v v

4

(2)

22

2 2 2 2

dQ A v v

4

(3)

Q Q

A1, v1

A2, v2

Bezugshorizont z = 0


Abb. 5.4: Rohrverzweigung

Gl. (3) und Gl. (2) werden in Gl. (1) eingesetzt:

2 21 2

1 2

d dQ v v

4 4

Da gleiche Ausflussgeschwindigkeiten für die Querschnitte 1 und 2 vorausgesetzt wurden, gilt: 1 2v v v

2 21 2

2 2

d d 0,001Q v v =

4 4 0,02 0,014 4

mit Q 1 l/s 0,001 m³ / s v = 2,55 m/s

2

1

0,02Q 2,55 0,0008 m³/s 0,8 l/s 2.880 l/h

4

2 1Q Q Q 0, 2 l/s 720 l/h

Q1

d1 = 2 cm

Q2

d2= 1 cmd = 4cmQ

Q2, v2

Q, v

Q1, v1

Einführung in die Potentialströmung 91

6 Einführung in die Potentialströmung

6.1 Definition und Begriffe

(a) Definition und Modellkonzept

Potentialströmungen sind reibungsfreie und drehungsfreie Strömungen. Sie werden we-gen ihrer Analogie zu den Strom- und Potentiallinien und der Elektrizitätslehre als solche bezeichnet (Abb. 6.1):

Abb. 6.1: Analogie zu den Strom- und Potentiallinien in der Elektrizitätslehre

Nachdem die Metallplatte an einer Stromquelle angeschlossen ist, wird die Spannung an verschiedenen Punkten gemessen und die Punkte gleicher Spannungen (Potentiallinien) werden verbunden. Die Stromlinien sind dann stets senkrecht zu den Potentiallinien aus-gerichtet.

Das Konzept der "Potentialströmung" ist ein sehr einfaches theoretisches Modellkonzept für die Simulation von Strömungen, die ganz bzw. näherungsweise ohne Reibungsver-luste ablaufen.

Das Modellkonzept geht davon aus, dass das zu untersuchende Strömungsfeld mit einer skalaren Potentialfunktion (Geschwindigkeitspotential) beschrieben werden kann. Dies setzt jedoch Wirbelfreiheit und Reibungsfreiheit der Strömung voraus.

Metallplatte

- +Batterie

Äquipotentiallinien(Linien gleicher Spannung)

Stromlinien

Senke Quelle


Die Anwendung des Modellkonzeptes "Potentialströmung" erfolgt stets in Verbindung mit anderen Bewegungsgleichungen der Hydromechanik, wie z.B. der Kontinuitätsglei-chung oder dem Filtergesetz von DARCY (vgl. Abschnitt 13). Dass die Potentialströ-mung gerade auf Sickerströmungen in porösen Medien, d.h. hochgradig mit Reibung be-haftete Strömungen, anwendbar ist, erscheint zunächst paradox. Dies ist jedoch mit der formalen Analogie zwischen der DARCYschen Filterströmung (v h/s) und der Po-tentialströmung (v /s) zu erklären.

(b) Begriff der "Rotationsfreiheit"

Um diesen Begriff physikalisch zu deuten, wird ein mit einem Pfeil (Einheitsvektor e )

markierter Schwimmer (verhält sich wie ein Wasserpartikel!) in einer Strömung zu ver-schiedenen Zeiten entlang einer Stromlinie betrachtet. Behält der Schwimmer seine Rich-tung (d.h. keine Drehung um die eigene Achse: de / dt 0 e konst.

), so ist die Strö-mung rotationsfrei (Abb. 6.2). Dies ist nur möglich, wenn keine Schubspannungen wirk-sam werden, d.h. wenn die Strömung reibungsfrei ist (Viskosität = 0).

Abb. 6.2: Definition der Rotationsfreiheit

Die mathematische Formulierung für die Rotationsfreiheit einer ebenen Strömung lautet:

y x

v v0

x y

(6.1)

(c) Potentialströmungsarten

Grundsätzlich werden drei Arten von Potentialströmungen unterschieden, die in Abb. 6.3 dargestellt sind.

x

y

vs

vs

vx

vy

s

s

se

e

e


=

kon

st.

x

yv y

v sv x

=

kon

st.

Sen

kens

tröm

ung

y Mx

Kor

ksch

eibc

hen

mit

m

arki

erte

m P

feil

Wir

belk

ern

Dre

hung

sfre

ie K

reis

strö

mun

g

Que

llen

strö

mun

g

=

kon

st.

x

y

= k

onst

.

v yv s v x

y Mx

Dre

hung

sbeh

afte

te K

reis

strö

mun

g

(Kei

ne D

rehu

ng u

m e

igen

e A

chse

)(D

rehu

ng u

m e

igen

e A

chse

; kei

ne P

oten

tial

strö

mun

g)

Abb. 6.3: Potentialströmungsarten


6.2 Strom- und Potentiallinien bei stationärer Strömung

(a) Stromfaden

Zwei benachbarte Stromlinien S1 und S2 begrenzen einen Stromfaden der Dicke dn. Durch den Stromfaden wird ein spezifischer Teildurchfluss dq [m3/s m] mit der mittleren Geschwindigkeit vs stationär abgeführt (Abb. 6.4):

sdq = v dn = konst. stationär

s

konst.v

dn ,

d.h. je dichter die Stromlinien liegen, umso größer wird die Fließgeschwindigkeit vs.

Abb. 6.4: Strom- und Potentiallinien bei einem Stromfaden

Die Potentiallinien lassen sich dadurch konstruieren, dass Linien senkrecht zu den Strom-linien gezogen werden, die jeweils einen Abstand ds zueinander besitzen.

(b) Zweidimensionales Strömungsfeld: LAPLACE-Gleichungen

Wird dieselbe Prozedur an einem ebenen, d.h. zweidimensionalen Strömungsfeld wieder-holt, so entsteht eine Schar sich senkrecht kreuzender Potential- und Stromlinien, das Po-tentialnetz genannt wird (Abb. 6.5).

dq

dn

vs

s1s2

Stromlinien


Abb. 6.5: Ebenes Potentialnetz

Dabei werden die Stromfunktion und die Potentialfunktion so definiert, dass sie in folgender Beziehung zu den Komponenten des Geschwindigkeitsvektors stehen:

in x-y Ebene

x yv und vy x

(6.2)

x yv und vx y

(6.3)

in s-n Ebene

s nv und v 0n s

(6.4)

(n) var iabel (s) = konst.

s nv und v 0s n

(6.5)

(s) var iabel (n) = konst.

Aus Gl. (6.2) und Gl. (6.3) bzw. Gl. (6.4) und Gl. (6.5) folgt:

x

y

vx y

vy x

(6.6) bzw. svs n

(6.7)

Potentiallinie

Strömungsliniey

x

(s) = konst.

(n) = konst.

s

n

vs

dn

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

vsvy

vx

ds


Das sind die CAUCHY-RIEMANNschen Gleichungen, die zusammen mit der Kontinu-itätsgleichung (siehe Abschnitt 5.2)

yxvv

0x y

die Bausteine zur Herleitung der LAPLACE19-Gleichung für die Potentialfunktion bil-den, denn aus Gl. (6.6) folgt das Differential von vx und vy:

2 2x

2

2 2y

2

v

x x y x

v

y y x y

2 2

yx2 2

vv0

x y x y

Damit lautet die LAPLACE-Gleichung zur Beschreibung der Potentiallinien:

2 2

2 20

x y

(6.8)

Für die Ableitung der LAPLACE-Gleichung für die Stromlinienfunktion werden nur die CAUCHY-RIEMANNschen Gleichungen (und nicht die Kontinuitätsgleichung) be-nötigt, d.h. aus Gl. (6.6) folgt:

2 2

2 / y

y x y x y

2 2

2 / x -

x y x y x

2 2

2 20

x y

(6.9)

Dies ist die LAPLACE-Gleichung zur Beschreibung der Stromlinien.

19 LAPLACE, Pierre Simon (1749–1827): Französischer Mathematiker.


Für den dreidimensionalen Fall gilt analog zu Gl. (6.8) und Gl. (6.9):

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

0x y z

0x y z

(6.10)

Mit der Einführung des LAPLACE Operators:2 2 2

22 2 2

,x y z

der einen Diffentiator 2.Ordnung darstellt, lässt sich Gl. (6.10) wie folgt umschreiben:

0

0

(6.11)

Alle Strömungen, die die LAPLACEschen Gleichungen (6.10) bzw. (6.11) erfüllen, sind Potentialströmungen.

6.3 Praktische Hinweise für die Untersuchung von Potentialströmungen

6.3.1 Untersuchungsmethoden – Übersicht

Zur Untersuchung von Potentialströmungen (Lösung der LAPLACE-Gleichungen) gibt es ana-lytische, numerische, Elektroanalog- und grafische Verfahren. (a) Analytische Verfahren: Diese sind nur begrenzt einsetzbar, d.h. nur in einem Teil des

Strömungsfeldes wie z.B. bei Strömungen in einem Umlenkbereich (Heberleitung) bzw. bei Kreisströmungen (Abb. 6.3) (SCHRÖDER (1994)).

(b) Elektroanalogverfahren: Bei diesem Verfahren (Abb. 6.1) wird die Analogie zwischen

dem Durchfluss Q [m3/s]:

d d

Q A v A mit v = ds ds

und der Stromstärke I [Ampere]: L

dUI c A ,

ds

mit: U = Spannung [Volt]

A = Querschnittsfläche des Leiters ds = Längenelement cL = Leitfähigkeitskonstante

genutzt.


Als flächenhafter Leiter wird metallbeschichtetes Widerstandspapier verwendet, das eine geometrische Nachbildung des zu untersuchenden Strömungsfeldes ermöglicht. Die Po-tentiallinien werden durch Ertasten der Linien gleicher Spannung auf dem Widerstands-papier identifiziert und die Stromlinien werden rechtwinklig zu den Potentiallinien gezo-gen (Abb. 6.1). Wegen der benötigten Versuchseinrichtungen und der wachsenden Be-deutung numerischer Verfahren sind Elektroanalogverfahren wenig aussichtsreich. Als weiterführendes Schrifttum kann u.a. BUSCH/LUCKNER (1972) empfohlen werden.

(c) Numerische Verfahren: Zur Lösung der LAPLACE-Gleichungen unter bestimmten

Rand- und Anfangsbedingungen werden heute fast ausschließlich numerische Verfahren in Form von FD-Modellen (Finite-Differenzen), FE-Modellen (Finite-Elemente) und RE-Modellen (Randelemente) herangezogen. Dabei ist jedoch die Konstruktion von Strö-mungsnetzen nicht erforderlich. Den geringsten Rechenaufwand haben FD-Verfahren. Bei größeren Modellen und komplizierten Randbedingungen haben sich die FE-Modelle durchgesetzt (BOLLRICH et al. (1989)).

(d) Grafische Verfahren: Die manuelle Konstruktion eines Potentialnetzes ist mühsam und heutzutage kaum machbar. Manuelle grafische Verfahren können jedoch bei einer stich-probenartigen Verifikation von Ergebnissen aus numerischen Modellen (größenord-nungsmäßig) nützlich sein. Deshalb werden im Folgenden einige Hinweise für die manu-elle Erstellung und Auswertung von Potentialnetzen gegeben.

6.3.2 Hinweise zur Erstellung von Potentialnetzen

(a) Abgrenzung des Strömungsfeldes

Als erster Schritt muss das Strömungsfeld, in dem das Potentialnetz konstruiert werden soll (Abb. 6.6), genau abgegrenzt werden.

(b) Bestimmung der Randstromlinien und Randpotentiallinien (Abb. 6.6)

Als Randstromlinien gelten i.d.R. Berandungen, durch die kein Ein- und Ausstrom erfolgen kann. Das können z.B. folgende Berandungen sein:

- freie Ränder wie Wasseroberfläche und Strahlränder, die dem Atmosphä-rendruck ausgesetzt sind (p = p0 = 0) oder

- feste undurchlässige Ränder wie Wände und Sohlen

Randpotentiallinien sind i.d.R. feste durchlässige Berandungen und jede weitere Berandung durch die ein Ein- bzw. Ausstrom erfolgen kann.

Dabei müssen die Potentiallinien stets rechtwinklig auf die Randstromlinien stoßen – und umgekehrt!


Abb. 6.6: Konstruktion eines Potentialnetzes

(c) Da die Potentialtheorie versagt, wenn sich Strömungsablösungen bilden, muss das Ablö-sungsgebiet durch eine Diskontinuitätslinie getrennt werden, die dann eine Randstromli-nie bildet (Abb. 6.7)

(d) Die Netzmaschen sind quadratisch zu wählen (n = s). (e) Zur Überprüfung des Potentialnetzes ist Folgendes zu beachten:

Strom- und Potentiallinien schneiden sich stets rechtwinklig: Die Orthogonalität des quadratischen Netzes kann dadurch verifiziert werden, dass sich die Diagonalen der Netzmaschen rechtwinklig schneiden und eingeschriebene Kreise von allen vier Maschenseiten tangiert werden (Abb. 6.6).

Stromlinien dürfen nicht knicken und dürfen sich nicht schneiden. Dasselbe gilt für die Potentiallinien.

abgegrenztes Strömungsfeld

Potentiallinie

feste undurchlässige Berandung (Randstromlinie)

freie Wasseroberfläche (Randstromlinie)

1

1 2 3 4

2

3

4

vs q

s

n

feste undurchlässige Berandung

freie Wasseroberfläche.


Abb. 6.7: Randstromlinie bei Strömungsablösung

6.3.3 Hinweise zur Auswertung des Potentialnetzes

Für die Auswertung des Potentialnetzes sind die (s-n)-Koordinaten zweckmäßiger als die (x-y)-Koordinaten. Die Schreibweise in partiellen Differentialen (Gl. (6.10)) verliert ihren Sinn, weil sich die Po-tentialfunktion nur in s-Richtung ändert (siehe Gl. (6.5)) und die Stromfunktion nur in n-Richtung (siehe Gl. (6.4)). Daraus folgt:

s

d dv ,

ds dn

bzw. in Differenzen-Schreibweise:

svs n

(6.12)

Wird Gl. (6.12) für zwei benachbarte Stromlinien eines äquidistanten Potentialnetzes, die eine Stromröhre mit dem Querschnitt (n) bilden, angewandt, so können Geschwindigkeit, Durch-fluss und Druck bestimmt werden (Abb. 6.8).

RandstromlinieDiskontinuitätslinie (= Randstromlinie)

RandstromlinieWirbelgebiet

Strömungs-ablösung

Randstromlinie(undurchlässige Berandung)


Abb. 6.8: Prinzipienskizze zur Auswertung des Potentialnetzes

(a) Bestimmung der Geschwindigkeit und des Durchflusses

Der spezifische Teildurchfluss q [m3/s m] in einer Stromröhre zwischen zwei Stromli-nien s1 und s2 mit dem Abstand n nach Abb. 6.8 ist:

s s

qq v n v

n

Aus Gl. (6.12) folgt:

s 1 2v mit = - n

s

q = v n = n

n

q (6.13)

Die Änderung der -Werte von einer Stromlinie s1 zu einer Stromlinie s2 ist gleich dem Durchfluss in der Stromröhre, die von diesen Stromlinien gebildet wird. Zur Bestimmung der örtlichen Geschwindigkeit vs werden jedoch sowohl die Potential- bzw. Stromlinien-werte (, ) als auch die Netzabmessungen (n, s) benötigt. Bei einem äquidistanten Netz (Quadratnetz) folgt aus n = s und Gl. (6.12):

. (6.14)

Der Gesamtdurchfluss q [m3/s m] zwischen den Randstromlinien folgt bei m Stromröh-ren:

q m q m . (6.15)

n

s

q

vs

s

q

vn s

1 =

2 = +

2 = +

1 =


(b) Bestimmung des Druckes

Ist die örtliche Geschwindigkeit vi in einem Punkt i aus dem Potentialnetz bekannt (Gl. (6.12)), so folgt der Druck pi direkt aus der BERNOULLI-Gleichung für ideale Flüs-sigkeiten (vgl. Abschnitt 7):

2i i

i Ew

v pz h konst.

2g g


6.4 Zusammenfassung

1. Potentialströmungen sind reibungs- und drehungsfreie Strömungen. Die CAUCHY-RIE-MANNschen Gleichungen:

x yv und vx y y x

bilden zusammen mit der o.a. Kontinuitätsgleichung die Bausteine der Potentialtheorie. 2. Alle Strömungen, die die LAPLACEschen Gleichungen

2 2 2 2

2 2 2 20 und 0

x y x y

erfüllen, sind Potentialströmungen. 3. Aus dem Potentialnetz können

Durchfluss: q

Geschwindigkeit: svn s

Druck: 2i

i w i

vp g z

2g

bestimmt werden. Zweckmäßigerweise sind die Potentialnetze quadratisch ( )n s zu konstruieren.


6.5 Aufgaben

Aufgabe 6.1: "Potentialtheorie"

Welche Voraussetzungen müssen gelten, damit eine Strömung als Potentialströmung beschrie-ben werden kann? Aufgabe 6.2: "Stromlinie, Potentiallinie"

Erläutern Sie die Begriffe Stromlinie und Potentiallinie. Aufgabe 6.3: "Potentialnetz"

Erstellen Sie ein Potentialnetz für die Überfallströmung über ein Wehr. Erläutern Sie die ge-zeichneten Linien. Geben Sie mindestens fünf Strömungs- und Potentiallinien an. Wie können Sie überprüfen, ob Ihr Potentialnetz richtig gezeichnet ist?

Abb. 6.9: Wehr

Einführung in den Energiesatz 105

7 Einführung in den Energiesatz

7.1 Allgemeines zur Energie-Gleichung

Grundsätzlich kommt die Energie in zwei Formen vor: (i) Mechanische Energie:

kinetische Energie EK = 1/2 m v2

Arbeit (EW = F s)

Potentielle Energie Epot. = Ep + EL

wobei: Ep = Druckenergie EL = Lageenergie

(ii) Thermische Energie:

Wärmeenergie Eq,

interne Energie infolge Molekularstruktur und -bewegung Ei.

Der allgemeine Energieerhaltungssatz für ein System lautet:

q i w pot. K

Thermische Energie Mechanische Energie

E E E E E E konst.

(7.1)

Die BERNOULLI20-Gleichung, die im Folgenden für reibungsfreie und inkompressible Flüs-sigkeiten hergeleitet wird, ist eine Sonderform des allgemeinen Energieerhaltungssatzes in Gl. (7.1) und berücksichtigt nur die mechanische Energie. Thermische Energie in Form von Reibungsverlusten wird später durch die sog. Erweiterte BERNOULLI-Gleichung berücksich-tigt (vgl. Abschnitt 14.1.1).

20 BERNOULLI, Daniel (1700–1782): Schweizer Mathematiker, Physiker, Mediziner und Botaniker. Mit der Ver-öffentlichung seines Buches "Hydrodynamica" im Jahr 1738 zusammen mit den Arbeiten von D'ALEM-BERT, LAGRANGE und EULER wurde die moderne (mathematische) Hydrodynamik gegründet.


7.2 Herleitung der BERNOULLI-Gleichung

7.2.1 Annahmen und Ausgangsgleichung

(i) Reibungsfreie Strömung, d.h. es treten keine Energieverluste infolge Reibung auf. Daher werden in der Energiebilanz nur:

kinetische Energie (EK )

Druckenergie (ED)

Lageenergie (EL)

berücksichtigt.

(ii) Stationäre Strömung, d.h. an einem festen Punkt bleibt die Strömungsgeschwindigkeit konstant (v(t) = konst.).

(iii) Inkompressible Flüssigkeit, d.h. die Dichte der strömenden Flüssigkeit bleibt zeitlich und

räumlich unveränderlich (w = konst.). (iv) Eindimensionale Strömung, d.h. es wird die Strömung entlang einer Stromlinie, eines

Stromfadens bzw. einer Stromröhre betrachtet.

Die Ausgangsgrundlage für die Ableitung der BERNOULLI-Gleichung bildet das zweite Be-wegungsgesetz von NEWTON:

F m b (7.2)

mit: F = Kraft

m = Masse

b = Beschleunigung

7.2.2 Ausgangssystem

Es wird aus einer Stromröhre ein Kontrollvolumen mit der Länge ds und dem mittleren Quer-schnitt A herausgeschnitten. Die beiden Enden 1-1 und 2-2 liegen in den Höhen z1 und z2 über dem Bezugshorizont z = 0.

An den beiden Enden 1-1 und 2-2 herrschen jeweils die Strömungsgeschwindigkeiten v1 und v2 sowie die Drücke p1 und p2 (Abb. 7.1).

Potentielle Energie (Epot)


Abb. 7.1: Stromröhrenquerschnitt für die Ableitung des Energiesatzes

Die mittlere Geschwindigkeit zwischen Querschnitt 1-1 und 2-2 ist:

1 2v vv

2

(7.3)

d.h. in einem Zeitintervall dt wird die Strecke ds mit der mittleren Geschwindigkeit v durch-flossen: ds v dt

1 2v vds dt

2

(7.4)

Die Masse der Flüssigkeit mit der Dichte w im Stromröhrenabschnitt ds mit dem Quer-

schnitt A ist: wm ds A (7.5)

(A = mittlerer Querschnitt = 1 2A A

2

)

ds

v2

A2 , p2v

v1 A1 , p1 z = 0 (Bezugshorizont)

1 2A A A

2

z2

1 2ds v vv

dt 2

1 2v vb

dt

wm ds A

z1

2

2

1

1


7.2.3 Herleitung der BERNOULLI-Gleichung

(a) Änderung der kinetischen Energie

Die mittlere Beschleunigung zwischen Kontrollschnitt 1-1 und Kontrollschnitt 2-2 ist:

2 1v vb

dt

(7.6)

Das heißt, über die Strecke ds wirkt die Kraft:

2 1v vF m b m

dt

oder mit m = w A ds (siehe Gl. (7.5)):

w 2 1

dsF A (v v )

dt

Da 2 1v vdsv

dt 2

(siehe Gl. (7.3) und Gl. (7.4))

2 2

2 1 2 1w 2 1 w

v v v vF A (v v ) A

2 2

Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um die Flüssigkeitsmasse m = w ds A von Kon-trollschnitt 1-1 zu Kontrollschnitt 2-2 zu transportieren, ist:

2 22 1

w

v vF ds A ds

2

Damit ist die Änderung der kinetischen Energie EK:

2 22 1

K w

v vE F ds ds A

2

(7.7)

(b) Änderung der potentielle Energie

Durch die Änderung der kinetischen Energie in Gl. (7.7) müssen zwei Kräfte überwunden werden:

Schwerkraft: wG m g ( ds A)g ,

Druckkraft: p 2 1F (p p ) A

(p2 – p1 = dp ist negativ, da ein positiver Druckanstieg der Strömungsrich- tung entgegenwirkt).

Die erforderliche Arbeit, um die Schwerkraft G zwischen der Höhe z1 und der Höhe z2 zu überwinden, ergibt sich aus der Änderung der Lageenergie EL:


L 2 1 w 2 1E G (z z ) ds A g (z z ) (7.8)

Die erforderliche Arbeit, um die Druckkraft Fp auf der Strecke ds zu überwinden, ent-stammt der Änderung der Druckenergie Ep:

p p 2 1E F ds (p p ) A ds (7.9)

(c) Energiebilanz

Das Energieerhaltungsgesetz in Gl. (7.1) fordert im betrachteten System, dass:

E konst.

Das heißt, die Summe der Energieänderungen zwischen Kontrollschnitt 1-1 und Kontroll-schnitt 2-2 muss gleich Null sein: K p LE ( E E ) 0 oder nach Gl.(7.7)–(7.9):

2 22 1

w 2 1 w 2 1

v vds A (p p ) ds A ds A g (z z ) 0

2

: ds A

2 22 1

w 2 1 w 2 1

v v(p p ) g (z z ) 0

2

(7.10)

Um die Energie in einem Längenmaß (Energiehöhen!) darstellen zu können, wird Gl. (7.10) durch w g dividiert:

2 22 1 2 1

2 1w

v v p pz z 0

2g g

Die Größen im Kontrollschnitt 1-1 werden auf die andere Seite der Gleichung gebracht:

2 21 1 2 2

1 2w w

v p v pz z

2g g 2g g

Das heißt, an jedem Schnitt der Stromröhre bleibt die Summe der Skalargrößen v2/2g, p/(w g) und z erhalten:

2 21 1 2 2

1 2 Ew w

v p v pz z h konst.

2g g 2g g

(7.11)

Das ist die BERNOULLI-Gleichung für stationäre, reibungsfreie und inkompressible Strömungen.


7.2.4 Diskussion und Anmerkungen

2 21 1 2 2

1 2 Ew w

v p v pz z h konst.

2g g 2g g

Die einzelnen Skalargrößen sind wie folgt definiert:

z = geodätische Höhe = Höhenanteil aus Lageenergie [m]

w

p

g = Druckhöhe = Höhenanteil aus Druckenergie [m]

w

pz

g

= Piezometer = Höhenanteil aus potentieller Energie [m]

2v

2 g = Geschwindigkeitshöhe (Staudruckhöhe) = Höhenanteil aus kineti-

scher Energie [m]

Eh = Gesamtenergiehöhe = Höhenanteil aus kinetischer und potentieller

Energie

Die BERNOULLI-Gleichung besagt, dass:

Entlang einer Stromlinie die Summe aus Geschwindigkeitshöhe, Druckhöhe und geodä-tischer Höhe konstant bleibt.

oder Entlang einer Stromlinie wird der Druck höher, wenn die Geschwindigkeit kleiner wird, oder umgekehrt, der Druck wird kleiner, wenn die Geschwindigkeit größer wird.

Anmerkungen (i) Der Bezugshorizont wird oft so gewählt, dass die geodätische Höhe z = 0 ist. Bei einer

Druckrohrströmung (Abb. 7.2) mit Bezugshorizont in der Rohrachse (z = 0) vereinfacht sich die BERNOULLI-Gleichung zu:

2

Ew

v ph konst.

2g g

(7.12)

Bei einem Freispiegelgerinne (Abb. 7.3) entspricht der Wasserspiegel gleichzeitig der Druck- bzw. Piezometerlinie. Deshalb vereinfacht sich die BERNOULLI-Gleichung zu:

2

E

vh h konst.

2 g (7.13)


(ii) Werden Reibungsverluste und andere Energieanteile (wie z.B. mechanische Energie aus

Pumpen) in dem Energiesatz berücksichtigt, so ergibt sich die sog. "Erweiterte BERNOULLI-Gleichung" (vgl. Abschnitt 14.1.1).

Abb. 7.2: BERNOULLI-Gleichung bei Druckrohrströmung

Abb. 7.3: BERNOULLI-Gleichung bei Gerinneströmung

w

p

g

EL (Energielinie)

hE

z = 0

2v

2g

v = konst.

Drucklinie (Piezometerlinie)

gedachtes Standröhrchen

(Standrohr-spiegelhöhe =Piezometerhöhe)

(Bezugshorizont)

Drucklinie (Piezometerlinie)

v = konst.

hE

RWS

h

EL (Energielinie)

2v

2g

p = w g h

w

p

g

Bezugshorizont z = 0 (Sohle)


7.3 Anwendungsbeispiele

7.3.1 Ausfluss aus Öffnungen

Es wird ein Becken mit einer Anströmgeschwindigkeit v1 an einem Querschnitt A1 be-trachtet (Abb. 7.4).

Am anderen Ende (2-2) ist eine Ausflussöffnung in der Tiefe h mit dem Ausflussquer-schnitt A2 und der Ausflussgeschwindigkeit v2 vorhanden.

Der Bezugshorizont wird in die Achse der Öffnung gelegt und die BERNOULLI-Glei-chung für die Stromlinie entlang des Bezugshorizontes an den Kontrollschnitten 1-1 und 2-2 betrachtet:

2 21 2v v

h 02 g 2 g

Abb. 7.4: Ausfluss aus einer Öffnung

2 22 1v v

h2g 2g

2 22 1v v 2 g h (7.14)

Aus der Kontinuitätsgleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2:

RWS = Drucklinie

Energielinie21v

2g

p1 = w g h

1

w

ph

g


h

22v

2g

v1, A1v2, A2Betrachtete Stromlinie für

BERNOULLI-Gleichung

p = p0 = 0(Atm. Druck)

Stromlinie

p = p0 = 0(Atm. Druck)

1

1 2

2


1 1 2 2v A v A

ergibt sich eingesetzt in Gl. (7.14):

2

2 2 22 2

1

Av v 2g h

A

2

2 22

1

Av 1 2g h

A

2 2

2

1

2ghv

A1

A

(7.14)a

Da oft 1 2A A ist

2

2

1

A1

A

, also das Querschnittsverhältnis vernachlässigbar im Ver-

gleich zu 1 ist, folgt aus Gl. (7.14)a:

2v 2gh (7.15)

Gleichung (7.15) wird als die Ausflussformel von TORRICELLI21 bezeichnet.

7.3.2 Rohrerweiterung und -verengung

Wird das Druckrohr in Abb. 7.5 betrachtet und die Kontinuitätsgleichung für die Kontroll-schnitte 1-1 und 2-2 aufgestellt, so folgt:

11 1 2 2 2 1

2

Av A v A v v

A

Aus 1

2

A1

A folgt 2 1vv

Damit ist: 2 22 1v v

2g 2g

21TORRICELLI, Evangelista (1608–1647): Physiker aus der sog. italienischen Schule (Nachfolger von GALLI-LEI).


Aus der BERNOULLI-Gleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 folgt:

2 2

1 1 2 2E

w w

p v p vh konst.

g 2 g g 2 g

2 2

2 1 1 2

w w

p p v v

g g 2 g

Da 2 21 2v v

02 g

, folgt: 2 1p p

Eine Geschwindigkeitserhöhung entlang der Rohrleitung führt zu Druckabfall, ana-

log führt eine Geschwindigkeitsminderung zu Druckanstieg.

Abb. 7.5: BERNOULLI-Gleichung bei Rohrverengung und -erweiterung

7.3.3 Staudruck

Ein stationärer kreisförmiger Wasserstrahl prallt auf eine feste Wandung mit einer Anströmge-schwindigkeit v0 (Abb. 7.6) auf. Es gibt nur eine Stromlinie, die genau senkrecht auf die Wand trifft und sich nach beiden Seiten teilt: Dies ist die zentrale Stromlinie. Der Auftreffpunkt S heißt Staupunkt. An diesem Staupunkt tritt der maximale Druck auf die Wand auf, da der zent-

rale Stromfaden seine gesamte kinetische Energie dort in Druckenergie umwandelt sv 0 . Die

BERNOULLI-Gleichung entlang der zentralen Stromlinie für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 lautet:

2 21 1 2 2

w w

v p v p

2g g 2g g

EL (Energielinie)

v1 , A1 , p1 v2 , A2 , p2 v1, A1 , p1

DL (Drucklinie)hE

D1 D1

D2

2

w

p

g

21v

2g

1

w

p

g

22v

2g

1

w

p

g

21v

2g

z = 0Bezugshorizont

1

1 2

2

1

1


mit: 1 0v v

1 0p p 0 (Atmosphärendruck)

2v 0 (Wandundurchlässigkeit)

folgt der Druck 20

2 w

vp

2 , der dem maximalen Staudruck entspricht:

20

Stau w

vp

2 (7.16)

Bei jedem angeströmten Körper gibt es einen Staupunkt, wo sich die Strömung verzweigt und der Druck maximal ist (Staudruck).

Abb. 7.6: Staudruck bei stationärer Anströmung einer Wandung

Wird z.B. ein Körper in einer Rohrleitung (Druck p1) mit der Geschwindigkeit v1 angeströmt, so entsteht ein Staudruck

21

Stau w

vp

2 ,

der zusätzlich zum Druck p1 im Staupunkt S wirkt (Abb. 7.7).

z = 0

EL (Energielinie)

Bezugshorizont

21v

2g2

w

p

g

Staupunkt

v2 = 0

Anströmgeschwindigkeitv0 = v1

p1 = patm = 0

zentrale Stromlinie

21

stau 2 w

vp p

2

stationärer Wasserstrahl

1

1

2

2


Abb. 7.7: Angeströmter Körper im Druckrohr

Der Gesamtdruck im Staupunkt S lässt sich durch die BERNOULLI- Gleichung an den Kon-

trollschnitten 1-1 und 2-2 wie folgt errechnen, wobei 22v

02g

:

21 1 2

w w

v p p

2g g g

21

2 1 w

Gesamt- Piezometrischer Staudruckdruck Druck

vp p

2

.

Wird das Hindernis durch ein Hakenrohr mit der Öffnung senkrecht zur Strömungsrichtung im Kontrollabschnitt 2-2 ersetzt, so zeigt das Rohr (auch PITOT22-Rohr genannt) folgende gesamte Druckhöhe an (Abb. 7.8):

2

2 1 1

w w

p p v

g g 2g

22 PITOT, Henri (1695–1771): Französischer Physiker und Ingenieur.

1

w

p

g

21v

2 g

EL

DL

v = v1

z = 0

2

w

p

g

1 2

v2 = 0

S

angeströmter Körper

1 2v1, p1 v2 = 0, p2


Abb. 7.8: Prinzip des PITOT-Rohres und des PRANDTLschen Staugerätes

Die gesamte Vorrichtung, bestehend aus einem Piezometer-Rohr und einem PITOT-Rohr (Staurohr), bildet das sog. PRANDTLsche Staugerät, das die Messung der Fließgeschwindig-keit in einer Druckrohrströmung ermöglicht:

2

2 1

w w

p p vh

g g 2g

v 2g h

(vgl. mit TORRICELLI-Formel in Gl. (7.15))

Da bei einer Gerinneströmung der Freispiegel gleichzeitig die Drucklinie darstellt, genügt für die Geschwindigkeitsmessung das PITOT-Rohr (Abb. 7.9).

2v

h2g

v 2 g h

1

w

p

g

21v

h2 g

EL

DL

vz = 0

2

w

p

g

1 2

Lage des angeströmten Körpers in Abb. 7.7

12

PITOT-Rohr

Piezometer-Rohr


Abb. 7.9: Geschwindigkeitsmessung mit dem PITOT-Rohr bei Gerinneströmung

7.3.4 Dynamischer Auftrieb und MAGNUS23-Effekt

Auf einen im ruhenden Fluid eingetauchten Körper wirkt ein statischer Auftrieb, der sich nach dem Prinzip des ARCHIMEDES berechnen lässt (vgl. Abschnitt 3.5). Auch bei Luftschiffen bzw. Heißluftballons wird das Fliegen hauptsächlich durch den statischen Auftrieb erzielt, d.h. dadurch, dass dieser größer als das Gewicht des fliegenden Körpers ist. Anders sieht dies bei einem Flugzeug aus: Das Fliegen wird vorwiegend durch den sog. dyna-mischen Auftrieb ermöglicht. Um den dynamischen Auftrieb anhand zweier verschiedener Körper, die von einem reibungsfreien Fluid umströmt sind, zu veranschaulichen, zeigt Abb. 7.10 einen symmetrischen Körper (z.B. Kugel bzw. Zylinder) und einen asymmetrischen Körper mit besonderer Formgebung (z.B. Tragflügel).

23 MAGNUS, H. G. (1802–1870): Deutscher Physiker.

PITOT-Rohr

p = 0 (atm. Druck)

Energielinie

Drucklinie

v

z = 0

2vh

2g


Abb. 7.10: Dynamischer Auftrieb

Aufgrund der Symmetrie ist in Abb. 7.10a die obere Geschwindigkeit stets gleich der unteren Geschwindigkeit: v1 = v2; d.h. der Druck auf die Unterseite p2 ist stets gleich dem Druck auf die Oberseite p1. In Abb. 7.10b ist dagegen aufgrund der Formgebung die obere Geschwindig-keit stets größer als die untere (da ein Wasserpartikel die obere längere Strecke in der gleichen Zeit wie die untere kürzere Strecke zurücklegen muss):

1 2 2 1 2 1v v p p p p p 0 :

2 2

1 1 2 2

w w

p v p v

g 2g g 2g

2 21 2

2 1 w w

v vp p p

2 2 (7.17)

Die Druckdifferenz, die infolge der unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten an der Ober- und Unterseite entsteht, bewirkt eine resultierende "dynamische Auftriebskraft". Diese kann auch allgemein als dynamische Querdruckkraft zur Strömungsrichtung aufgefasst werden.

Anders als bei reibungsfreien Strömungen kann bei realen Strömungen (reibungsbehaftet!) auch eine dynamische Querdruckkraft nach dem Prinzip von Gl. (7.17) nicht nur durch spezielle Formgebung wie in Abb. 7.10b, sondern auch durch weitere Möglichkeiten erzielt werden. Eine dieser Möglichkeiten ist in Abb. 7.11 dargestellt. Ein aufrechtstehender, rotierender Zylinder wird mit einer Geschwindigkeit v angeströmt. Durch die Fluidreibung an der Grenzschicht Fluid/Zylinder wird (infolge der Rotationsgeschwindigkeit Rv des Zylinders) die Strömungs-

geschwindigkeit an der Stelle 2 kleiner und an der Stelle 1 größer:

1 2 2 1

2 1

v v p p

p p p 0

1 2 2 1

2 1

v v p p

p p p 0

1

3

2

4

p1 v1

p2 v2

a) Kugel bzw. Zylinder b) Tragflügel

1

23

p1 v1

va

v2

p2

4


ges,1 R

ges,2 ges,1 Rges,2 R

v v vv v 2v

v v v

2 1p p p 0

Durch die Rotation des Zylinders wird an diesem eine senkrecht zur Strömung gerichtete Quer-druckkraft Fg,dyn erzeugt, die von der Rotationsgeschwindigkeit des Zylinders bestimmt wird (MAGNUS-Effekt).

Eine wichtige technische Anwendung des MAGNUS-Effektes ist z.B. der FLETTNER24-Rotor für den Schiffsantrieb (Abb. 7.12).

Abb. 7.11: MAGNUS-Effekt

24 FLETTNER, A. (1895–1961): Deutscher Ingenieur. Das Rotorschiff nach FLETTNER erlebt nach anfänglichen Schwierigkeiten ein "Comeback" (Forschungsschiff in Frankreich, Tanker in Japan etc.)

Rv

R

R R

v v

Anströmung

rotierender Zylinder

v v

vges,1

vges,2

vR

vR

p1

p2

2

1

a) Ansicht b) Draufsicht


Abb. 7.12: FLETTNER-Rotor

Der MAGNUS-Effekt spielt auch bei "angeschnittenen Bällen" sowie beim Drall von Geschos-sen eine Rolle. Durch das „Anschneiden“ wird eine Ballrotation erzeugt, die durch den MAG-NUS-Effekt zu einer Querkraft am Ball führt. Das Ergebnis ist eine gekrümmte Ballflugbahn in horizontaler Richtung, die für den Gegner unberechenbar ist.

7.3.5 Hydrodynamisches Paradoxon

Wenn Pressluft durch die Bohrung der Garnrolle in Abb. 7.13 geblasen wird, so wird das Stück dünne Pappe an den Boden der Garnrolle herangezogen und nicht fortbewegt. Dies ist das hyd-rodynamische Paradoxon.

Die Erklärung für diesen Effekt liefert die BERNOULLI-Gleichung:

Die zwischen dem Boden der Garnrolle und der Pappe ausströmende Luft innenv 0 hat einen

geringeren Druck innenp als der Druck außenp der ruhenden Luft außenv 0 unter der Pappe

innen außenv v 0 :

2innen innen außenv p p

02g g g

außen innenp p ,

d.h. der resultierende Druck außen innenp p ist nach innen gerichtet. Deshalb wird die Pappe

angezogen statt fortbewegt25.

25 Derselbe Effekt kann an einem Duschvorhang beobachtet werden, innen wird durch das fließende Wasser die Luft bewegt. Außerhalb, d.h. auf der anderen Seite des Vorhangs, ist die Luft ruhiger: vinnen > vaußen. Dadurch wird der Außendruck paußen größer als der Innendruck pinnen:

paußen > pinnen

Daher ist der BERNOULLI-Effekt dafür verantwortlich, dass der Duschvorhang stets zu uns gezogen wird, wenn wir in der Dusche das Wasser aufdrehen.

Windrichtung

v1v2 v2

Schiffs-

bewegung

FLETTNER-Rotor

v1A B

Schubrichtung

Druck p2

Druck p1

v2

v1

A

B


Abb. 7.13: Hydrodynamisches Paradoxon

7.3.6 Schiffskollision

Am 20.09.1911 kollidierte die "Olympic", ein Schwesterschiff der am 15.04.1912 versunkenen Titanic, mit dem Kreuzer "H.M.S. Hawke", als dieser mit einem seitlichen Abstand von ca. 100 m den Ozeanriesen überholte.26 Auch hier ist der BERNOULLI-Effekt für die Kollision verantwortlich.

Nehmen wir zunächst an, dass beide Schiffe in Ruhe sind und im ruhigen Wasser schwimmen. Sobald sich die Schiffe gegenseitig bewegen (Abb. 7.14) entsteht zwischen ihnen eine Was-

serströmung innenv 0 . Dabei strömt das Wasser zwischen den Schiffen schneller als außen:

innen außen,1v v und innen außen ,2v v :

2 2

innen,1 innen,1 außen,1 außen,2

w w

p v p v

g 2g g 2g

2 2

außen,1 innen,1 innen,1 außen,2

w

p p v v

g 2g

26 Die Seegerichte beschäftigten sich lange mit dem Fall. Die Gerichte veranlassten Experimente zur Sogwirkung an fahrenden Schiffen. Dabei wurde nachgewiesen, dass zwei nebeneinanderlaufende Schiffe angezogen wer-den, wenn der seitliche Abstand kleiner als die 3,5-fache Länge des kleineren Schiffes ist.

GarnrollePressluft

pinnen, vinnen

paußen(ruhende Luft)

dünne Pappe

Pressluft

ausströmendeLuft


2 2innen,1 außen,2

außen,1 innen,1 w

v vp p

2

Da innen außenv v außen ,1 innen ,1p p

Dasselbe gilt für das Schiff 2: außen ,2 innen ,2p p

Die beiden Schiffe werden also zwangsläufig gegeneinander gedrückt. Die Anziehungskraft ist umso stärker, je geringer der Abstand und je kleiner die relative Geschwindigkeit der beiden Schiffe ist27.

Abb. 7.14: Kollision von Schiffen infolge des BERNOULLI-Effektes

27 Derselbe Effekt wird erzielt, indem zwei Papierblätter in einem kleinen Abstand parallel zueinander gehalten werden und dazwischen Luft geblasen wird: Die Blätter ziehen sich gegenseitig an.

vaußen vaußenvinnen

pinnenpinnenpaußen paußen

Schiff 1 Schiff 2

,1

,1

,1 ,2 ,2

,2


7.4 Zusammenfassung

1. Die BERNOULLI-Gleichung für stationäre inkompressible reibungsfreie Strömungen ist eine Sonderform des allgemeinen Energieerhaltungssatzes:

2

Ew

p vz h konst.

g 2g

und wird aus dem zweiten Bewegungsgesetz von NEWTON (F = m b) abgeleitet. 2. Die BERNOULLI-Gleichung besagt, dass entlang einer Stromlinie der Druck stets groß

ist, wo die Geschwindigkeit klein ist, bzw. die Geschwindigkeit stets groß ist, wo der Druck klein ist.

3. Bei Freispiegelabfluss (Gerinneströmung) mit der Wassertiefe h und der Geschwindigkeit

v lautet die BERNOULLI-Gleichung aufgrund von wh p / g :

2

E

vh h konst.

2g

4. Die Ausflussgeschwindigkeit bei einer Öffnung in einer Wassertiefe h ergibt sich aus der

TORRICELLI-Ausflussformel:

v 2g h ,

die aus der BERNOULLI-Gleichung resultiert. 5. Bei der Anströmung eines Körpers mit der Geschwindigkeit v0 entsteht an dem Schnitt-

punkt S zwischen der zentralen Stromlinie und dem Körper der sog. Staupunkt mit der Geschwindigkeit vs = 0 und mit dem Staudruck

20

Stau w

vp

2

6. Ein dynamischer Antrieb bzw. eine dynamische Druckkraft quer zur Strömungsrichtung

auf einen durch ein reibungsfreies Fluid umströmten Körper wird durch die Formgebung des Körpers (z.B. Tragflügel) erzielt, bei der die Umströmungsgeschwindigkeit v1 auf der einen Seite größer als die Geschwindigkeit v2 auf der anderen Seite ist:

2 21 2

2 1 w w

v vp p p

2 2

7. Bei reibungsbehafteten Strömungen kann eine dynamische Druckkraft quer zur Strö-

mungsrichtung auf einen umströmten Körper auch durch Rotation des Körpers erzielt werden (MAGNUS-Effekt). Eine technische Anwendung des MAGNUS-Effektes stellt das FLETTNER-Rotor-Schiff dar.


8. Das hydrodynamische Paradoxon kann durch die BERNOULLI-Gleichung vollständig

erklärt werden.

7.5 Aufgaben

Aufgabe 7.1: "Lastwagen"

Zwei Lastwagen begegnen sich auf einer Landstraße. Bei beiden ist der Laderaum durch eine Plane geschützt. Wird sich die Plane nach außen ausbeulen oder wird sie in den Laderaum gedrückt? Erklären Sie das zu erwartende Phänomen anhand der BERNOULLI-Gleichung! Aufgabe 7.2: "Papier"

Nehmen Sie zwei Blatt Papier und halten diese parallel zueinander. Pusten Sie dann zwischen den Blättern hindurch. Was passiert und wie können Sie das Phänomen anhand der BERNOULLI-Gleichung erklären? Aufgabe 7.3: "Ausfluss aus einem Behälter"

Aus dem unten dargestellten Behälter fließt eine noch zu bestimmende Wassermenge über ein kurzes Rohrstück verlustfrei aus. Ermitteln Sie Ausflussgeschwindigkeit und Ausflussmenge für den Schnitt 1-1. Gegeben: h = 5,0 m

w = 1,0 t/m3

g = 9,81 m/s2

d1 = 0,1 m

Gesucht: v1, Q

Abb. 7.15: Ausflussbehälter

Lösung:

Die Lösung ergibt sich aus der Anwendung der BERNOULLI-Energiegleichung an den Schnittstellen 0-0 und 1-1:

2 20 0 1 1

0 1w w

v p v pz z

2g g 2g g

RWS

h

d1

Bezugshorizont

0 0

1

1


mit: 0v 0 m/s 1v ? m/s

20p 0 kN/m 2

1p 0 kN/m

0z h 5,0 m 1z 0,0 m (Bezugshorizont)

21

1

v5,0 v 2 9,81 5,0 9,9 m s

2g

2 2

311 1 1 1

d 0,1Q A v v 9,9 0,078 m s

4 4

Aufgabe 7.4: "Druck- und Energielinienermittlung"

Für das dargestellte verlustfreie System sind die Energieanteile sowie die Geschwindigkeiten in den einzelnen Querschnitten zu ermitteln.

Gegeben: 0h 1,0 m

3w 1,0 t/m

2g 9,81 m/s

21A 0,1 m

22A 0,5 m

23A 0, 2 m

Gesucht: 1h , 2h , 1v , 2v , 3v , Q

Abb. 7.16: Druck- und Energielinienermittlung

h0 =1,0 m

A1 = 0,1 m2

A3 = 0,2 m2A2 = 0,5 m2

p = 0 kN/m2

h1 = ?

h2 = ?

freierAusfluss

Bezugshorizont

v = 0 m/s


Aufgabe 7.5: "Rohrerweiterung"

Vor einer Rohrerweiterung wird mit einem Manometer der Druck in einer Rohrleitung gemes-sen. Die Geschwindigkeiten für die Querschnitte 1 und 2 liegen bereits vor. Ermitteln Sie die Energieanteile für die Querschnitte 1 und 2 und zeichnen Sie die Energie- und die Drucklinie! Reibungsverluste sind zu vernachlässigen. Gegeben: v1 = 2,0 m/s

v2 = 0,72 m/s

p1,gem. = 9,81 kN/m2

w = 1,0 t/m3

g = 9,81 m/s2

Gesucht: p2

Abb. 7.17: Rohrerweiterung

Lösung:

2 21 1 2 2

1 2w w

v p v pz z

2g g 2g g

mit: v1 = 2 m/s v2 = 0,72 m/s

p1 = 9,81 kN/m2 p2 = ? kN/m2

z1 = 0,0 m z2 = 0,0 m

Ermittlung der einzelnen Energieanteile:

1

w

p 9,811,0

g 1,0 9,81

mWS

QQ

A1, v1

A2, v2



2 21v 2,0

0,202g 2 9,81

mWS ; 2 22v 0,72

0,0262g 2 9,81

mWS

2

w

p0,2 1,0 0,026

g

22

2w

p1,174 mWS p 11,5 kN / m

g

Abb. 7.18: Schematische Darstellung der Energie- und Drucklinie

Energielinie

z = 0

1,17 mWS1,0 mWS

0,03 mWS

0,2 mWS

Bezugshorizont

Drucklinie

Geschwindigkeitshöhe

Druckhöhe

1

1 2

2

Einführung in den Impulssatz 129

8 Einführung in den Impulssatz

8.1 Allgemeines

Die Anwendung des Energiesatzes (vgl. Abschnitt 7) basiert auf der Bilanzierung der Energie entlang einer Stromlinie und setzt somit die Kenntnis der einzelnen Energieanteile voraus. Bei idealen Strömungen bereitet dies i.d.R. keine besonderen Schwierigkeiten. Probleme treten erst bei realen Flüssigkeiten auf, da die Energieanteile infolge von Reibungsverlusten sehr schwer zu bestimmen sind – insbesondere bei turbulenten Strömungen (vgl. Abschnitt 11). Um diese Schwierigkeit zu umgehen, wird eine globale Betrachtungsweise herangezogen, bei der die einzelnen Strömungsprozesse und die damit verbundenen Reibungsverluste nicht be-rücksichtigt werden. Diese liefert der Impulssatz, der lediglich die Kenntnis eines Anfangs- und Endzustandes erfordert. Das heißt, die dynamischen Prozesse zwischen Anfangs- und Endzu-stand sind nicht mehr maßgebend, weil sich alle inneren Kräfte zwischen Anfangs- und Endzu-stand nach dem 3. Bewegungsgesetz von NEWTON (Actio = Reactio) aufheben.

8.2 Besonderheiten des Impulsbegriffes in der Hydromechanik

Das 2. Bewegungsgesetz von NEWTON kann nicht nur in Bezug auf die Beschleunigungb (F m b)

, sondern auch auf den Impuls I m v

formuliert werden:

d m v dI

Fdt dt

(8.1)

Da bei Festkörpern m = konst. ist, folgt aus Gl. (8.1):

F dt m dv

(8.2)

Die Integration von einem Anfangszustand 1 zu einem Endzustand 2 liefert:

2 2

1 1

t v

t v

I F dt m dv

(8.3)

Der Verlauf der Kraft F

zwischen der Anfangszeit t1 und der Endzeit t2 ist unwichtig für den

Impuls 2

1

t

t

I F dt

(vgl. Abb. 8.1), der die Fläche unter der Kraft-Zeit-Kurve darstellt.


Dasselbe gilt für den Wegverlauf der Masse m zwischen der Anfangsgeschwindigkeit v1 und der Endgeschwindigkeit v2:

2 1I m v v

. (8.4)

Abb. 8.1: Kraft-Zeit-Verlauf und Impuls

Gl. (8.4) stellt eine Bewegungsgröße (engl.: "momentum") mit der Einheit Kraft·Zeit N s

dar, während der Impuls

2

1

t

t

I F dt

(8.5)

einen Kraftstoß beschreibt – ebenfalls mit der Einheit [N·s]. Bei Festkörpern ist eine diskrete Einzelmasse m Träger des Impulses. Dieser Impuls ist daher von kurzer Dauer. Bei Flüssigkeiten liegt i.d.R. keine diskrete Einzelmasse vor, sondern eine kontinuierlich flie-ßende Menge Q (Durchfluss). Das heißt, die Masse ist variabel, sodass aus Gl. (8.1) folgt:

d(mv) dm dv

F v mdt dt dt

Kra

ft F

Zeit tt1 t2

2

1

t

t

I F d t

Impuls


Bei der Annahme einer stationären Strömung v

0t

und bei einer abschnittsweise konstant

gehaltenen Geschwindigkeit v(s) = konst. v / s 0 gilt:

dv v vv 0

dt t s

und somit:

dv

m 0dt

wmit ddm

F v ( )dt

m dV

mit: V = Volumen w = konst. (inkompressibles Fluid, (hier Wasser))

w

dVF v

dt

und mit dV/dt = Q = Volumenstrom bzw. Durchfluss [m3/s] folgt schließlich:

wF Q v

(8.6)

Im Gegensatz zu Gl. (8.3) stellt Gl. (8.6) eigentlich keinen Impuls dar, sondern den Impuls-

strom d I

dt

(siehe auch Gl. (8.1)) mit der Einheit einer Kraft [N]. Trotzdem wird diese Größe in

der Hydromechanik einfachheitshalber als Impuls bezeichnet. Im Gegensatz zur Energie, die

eine skalare Größe darstellt, ist der "Impuls" nach Gl. (8.6) eine Vektorgröße.

8.3 Herleitung des Impulssatzes in der Hydromechanik

8.3.1 Ausgangssystem und Annahmen

Annahmen: Stationäre Strömung

Inkompressible Flüssigkeit (w = konst.) Ausgangssystem: Es wird ein beliebig geformtes zweidimensionales Strömungsfeld be-

trachtet (Abb. 8.2). Das Strömungsfeld ist begrenzt durch die Berandungen und zwei Kontrollschnitte bei xl und x2 jeweils am Anfang und Ende des betrachteten Strömungsfeldes.


Einfachheitshalber werden nur die waagerechten Komponenten der Strömungsgrößen berück-sichtigt, d.h. bei xl herrscht die horizontale Geschwindigkeit vx,1 und bei x2 die horizontale Komponente vx,2.

An einer beliebigen Stelle x des Strömungsfeldes wird ein Kontrollvolumen dV mit der Di-cke dx und dem Fließquerschnitt Ax betrachtet. An dieser Stelle herrscht eine mittlere Ge-schwindigkeit vx = dx/dt über dem Fließquerschnitt Ax, sodass:

xdx v dt (8.7)

Abb. 8.2: Ausgangssystem für die Herleitung des Impulssatzes

Die Masse dm des Kontrollvolumens dV beträgt somit w w xdm dV A dx und mit dx aus

Gl. (8.7) folgt:

w x xdm A v dt (8.8)

8.3.2 Herleitung des Impulssatzes

Eine Geschwindigkeitsänderung dvx entlang der Strecke dx, d.h. in der Zeit dt, ist nur möglich, wenn die Summe aller Kräfte auf die Masse dm die resultierende Kraft dFx ergibt, wobei:

xx

dvdF dm

dt

y

xx1 x2

KontrollvolumendV = Ax dx

Berandung

vx = dx/dt

dx = vx dt

vx,1

vx,2

Fließquerschnitt Ax

Kontroll-schnitt


Und mit Gl. (8.8):

xx w x x w x x x

dvdF = A v dt A v dv

dt

Mit Qx = Ax vx = konst. (Kontinuitätsgleichung) folgt:

x w x xdF Q dv

x ,2

x ,2

x ,1

x ,1

v2v

x w x x w x x v1 v

dF Q dv Q v

x w x x ,2 x ,1F Q (v v )

Ähnlich lassen sich für die y- und z-Richtung folgende Gleichungen herleiten:

y w y y,2 y ,1F Q (v v )

z w z z ,2 z,1F Q (v v )

Allgemein lässt sich der Impulssatz in der Hydromechanik dann wie folgt schreiben:

2 1wF Q (v v )

(8.9)

Die vektorielle Summe aller an einer Fluidmasse angreifenden

Kräfte ist gleich der Änderung des Impulsstromes dieser Masse.

Anmerkungen zu den Maßeinheiten:

Wie bereits bei Gl. (8.6) angedeutet, ist die Größe

3

w 3 2

dI kg m m mF Q v kg N

dt m s s s

ein Impulsstrom und hat die Einheit einer Kraft [N]. In der Hydromechanik ist es jedoch üblich, dI

Fdt

als Impuls und mit I anstatt mit F zu bezeichnen.

8.3.3 Stützkraftsatz

Die Anwendung des Impulssatzes in der Hydromechanik erfolgt vorwiegend in Form des Stütz-kraftsatzes. Um das Prinzip des Stützkraftsatzes aufzuzeigen, wird der Stromröhrenabschnitt mit dem konstanten Durchfluss Q in Abb. 8.3 betrachtet, der durch die Fließquerschnitte Al und A2 begrenzt wird.


Abb. 8.3: Prinzip des Stützkraftsatzes

Auf den Stromröhrenabschnitt wirken folgende Kräfte:

Eigengewicht der Fluidmasse G in diesem Abschnitt

Resultierende aller äußeren Kräfte auf den Stromröhrenmantel R (z.B. Kräfte aus benachbarten Fluidteilchen, Reibungskräfte, etc.)

Druckkräfte in den Kontrollschnitten 1-1 und 2-2:

p1 1 1F p A Aktionskraft

p2 2 2F p A Reaktionskraft

Die vektorielle Summe aller dieser Kräfte auf den Stromröhrenabschnitt in Abb. 8.3 ist:

p1 p2F F F R G

(8.10)

Definitionsgemäß erfolgt kein Fluidaustausch durch den Stromröhrenmantel und somit auch kein Impulsstromaustausch, d.h. für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 gilt der Impulssatz nach Gl. (8.9):

2 1wF Q v v

bzw.

2 1w wF Q v Q v

(8.11)

RA2 , v2, p2

FP1 = p1 A1 (Aktion)

-FP2 = p2 A2 (Reaktion)

A1 , v1, p1

G

Q = konst.

Fluideintritt

Fluidaustritt

2

2

1

1


Aus Gl. (8.10) und Gl. (8.11) folgt:

2 1

p2 p12 1w w

Stützkraft S Stützkraft S

R G F Q v F Q v

(8.12)

Definition:

Die Stützkraft ist die Summe aus Druckkraft und Impulsstrom am jeweiligen Fließquerschnitt. Ähnlich wie in der Stabstatik kann sie als Schnittkraft betrachtet werden (Abb. 8.4). Der Stützkraftsatz lautet somit:

2 1R G S S 0

(8.13)

wobei: p 22 2wS F Q v

(8.14)

p11 1wS F Q v

(8.15)

Abb. 8.4: Stützkräfte als Schnittkräfte (Analogie zur Stabstatik)

1S

1S

2S

2S

2

2

1

1


8.4 Anwendung des Impulssatzes

8.4.1 Allgemeine Vorgehensweise

Bei der Anwendung des Impulssatzes wird i.d.R. in drei Schritten vorgegangen:

(i) Begrenzung des Strömungsraumes, einschließlich der Einzeichnung der Geschwin-digkeiten an den Kontrollschnitten.

(ii) Einzeichnung aller Kräfte, die auf den abgegrenzten Strömungsraum einwirken. Das sind:

Impulsströme (w Q iv

) und Druckkräfte piF

, die dann die Stützkräfte

iS

an den Kontrollschnitten ergeben:

pii iwS F Q v

Dabei ist bei der Festlegung der Kraftrichtungen zu beachten, dass die

Stützkraft iS

- am Fluideintritt eine Aktionskraft und

- am Fluidaustritt eine Reaktionskraft

darstellt.

Andere Kräfte wie z.B. Gewichtskräfte, Widerlagerkräfte und weitere angreifende Kräfte auf die Berandungen des Strömungsraumes.

(iii) Aufstellung der Gleichung(en) für das Gleichgewicht der Kräfte (wie in der Statik):

F 0

und falls erforderlich auch M 0

(M = Moment)

8.4.2 Anwendungsbeispiele

8.4.2.1 Widerlagerkraft bei horizontal liegendem Rohrkrümmer

Aus Abb. 8.5 ist ersichtlich, dass die Änderung der Strömungsrichtung in einer Rohrleitung

eine Abtriebskraft K

erzeugt, die vom Widerlager aufgenommen werden muss (Widerlager-

kraft K

).

Die Abtriebskraft K

besteht aus folgenden Kraftkomponenten:

Stützkraft p11 1wS F Q v

am Kontrollschnitt 1-1 mit p1 1 1F p A

Stützkraft p 22 2wS F Q v

am Kontrollschnitt 2-2 mit p2 2 2F p A


Abb. 8.5: Widerlagerkraft bei Rohrkrümmern

Die resultierende Abtriebskraft K

ist somit:

1 2K S S

Der Betrag K

kann direkt aus dem Kosinussatz bestimmt werden (Abb. 8.5):

2 21 2 1 2K S S 2S S cos

(8.16)

Anmerkung:

Es ist zu beachten, dass den Winkel zwischen den Stützkräften 1S

und 2S

am Fluideintritt bzw. -austritt darstellt, unabhängig davon, wie die Rohrleitung zwischen Kontrollschnitt 1-1 und 2-2 geformt ist (s. Abb. 8.6a, b). Ist z.B. = 90°, dann folgt aus Gl. (8.16) mit cos = 0:

2 21 2K S S

(8.17)

K (Widerlagerkraft) 2S (Reaktionskraft)

1S (Aktionskraft)

1S

v1, A1 , p1

v2, A2 , p2

(Reaktion)

w 1Q v

p1F

1S

(Aktion)

2S

2S

K (Widerlagerkraft)

Widerlager(Betonblock)

1v

w 2Q v

p2F

2v

1

1

2

2


a) b)

Abb. 8.6: Widerlagerkraft bei einem Winkel = 90°

8.4.2.2 Aufprall eines freien stationären Strahles auf eine feste Wand

(a) Schräg auftreffender Strahl

Ein freier stationärer Wasserstrahl (Q = konst.) trifft schräg mit dem Winkel auf einer festen, ebenen Wand auf (Abb. 8.7). Es entstehen entlang der Wand zwei ablaufende Strahlenden mit den Abflüssen Q1 = v1 A1 und Q2 = v2 A2, wobei Q = v A = Q1 + Q2. Es soll die Normalkomponente FN der Aufprallkraft auf die Wand bestimmt werden.

Da der einlaufende Strahl und die beiden ablaufenden Strahlen eine freie Oberfläche ha-ben, ist der Druck an den Kontrollschnitten 0-0, 1-1 und 2-2 gleich dem Atmosphären-druck, d.h. 1 2p p p 0 . Damit entfallen die Druckkräfte an den drei Kontrollschnitten

0-0, 1-1 und 2-2 (Fp = Fp1 = Fp2 = 0).

1S

2S

2 21 2K S S

1

2

1

2

.

2 21 2K S S

1S

2S

1 12

2


Abb. 8.7: Schräg auftreffender Strahl

Da die Kräfte entlang der Wand keine Komponente normal zur Wand haben, beträgt die Normalkraft FN: NF S sin

mit wS Q v folgt: N wF Q v sin

mit Q A v folgt: 2N wF A v sin (8.18)

(b) Normal auftreffender Strahl

Für = 90° ist sin = 1. Daraus folgt aus Gl. (8.18):

2N wF A v (8.18)a

Mit 2

Stau w

vp

2 (Staudruck, siehe auch Kapitel 7.3.3) führt Gleichung (8.18)a zu der

Gesamtdruckkraft: N StauF 2p A (8.19)

Dabei ist A der Fließquerschnitt des einlaufenden Strahls. Gl. (8.19) besagt, dass die Auf-schlagfläche an der Wand nicht bekannt zu sein braucht, um die gesamte Druckkraft FN auf die Wand zu bestimmen (Abb. 8.8).

S

NF S sin

TF S cos

Q = konst. Q1 + Q2 = QQ1 - Q2 = Q cos

ablaufender Strahl

ablaufender Strahl

einlaufender Strahl

2S

S

stationärer Strahl

1S

FN

v, A, Q

v2, A2, Q2

p = 0 (Atmosphärendruck)

2

20

0

1

1

v1, A1, Q1


Abb. 8.8: Normal auftreffender Strahl und Gesamtdruckkraft

Anmerkung:

Wird der Strahl in Abb. 8.8 als Ausflussstrahl (Ausflussquerschnitt A) mit der Ausfluss-geschwindigkeit nach TORICELLI (siehe Kapitel 7.3.1) angenommen:

v 2 g h (mit h = Wassertiefe über der Öffnung),

so folgt aus Gl. (8.18a) für die Druckkraft FN:

N wF A 2g h

N wF 2 g h A (8.20)

Der Vergleich zwischen Gl. (8.19) und Gl. (8.20) zeigt, dass die maximale Druckspan-nung auf die Aufprallfläche (Staudruck pStau) gleich der hydrostatischen Druckhöhe

w g h ist:

Stau wp g h (8.21)

8.4.2.3 Propellerstrahl

Es wird in Abb. 8.9 der Strahl eines Schiffspropellers betrachtet. Bei vorgegebenem Druckver-lauf (Abb. 8.9b) soll der Geschwindigkeitsverlauf (Abb. 8.9c) unter Anwendung des Impuls- und Energiesatzes bestimmt werden. Der Impulsstrom an den Kontrollschnitten 1-1 und 2-2 beträgt jeweils:

1 w 1 2 w 2I Q v und I Q v

Daraus folgt die Impulsstromdifferenz I zwischen den Kontrollschnitten 2-2 und 1-1:

2 1 w 2 1I I I Q(v v )

= 90°

FN

vA

Stationärer Strahl Staudruck Stau W

v²p

2

GesamtdruckkraftFN = 2 pStau A


mit p pQ v A und 2p

p

DA

4

folgt:

2p

2 1 w p 2 1

DI I I v (v v )

4

(8.22)

Diese Impulsstromdifferenz ist gleich dem Propellerschub Fp, der sich aus der Druckdiffe-renz p unmittelbar vor und hinter dem Propeller ergibt:

2p

p p

DF p A p

4

Abb. 8.9: Propellerstrahl, Druck- und Geschwindigkeitsverlauf

a) Propellerstrahl

Dp QQ W Q v2w Q v1 v1

A1, p1, v1 A2, p2, v2

Propeller

Propellerstrahl

v2vpvp

1

1

3

3 4

4

2

2

b) Druckverlauf

p1 p2

p

2

p

+

p

2

c) Strahlgeschwindigkeitsverlauf

v2v1vp

v

2

v

2


Aus pF I folgt:

2 2p p

w p 2 1

D Dp v v v

4 4

w p 2 1p v v v (8.23)

Um vp = f (vl, v2) zu bestimmen, muss die BERNOULLI-Gleichung zweimal angewendet wer-den, wobei der Kontrollschnitt 3-3 unmittelbar vor dem Propeller und der Kontrollschnitt 4-4 unmittelbar hinter dem Propeller herangezogen werden:

BERNOULLI-Gleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 3-3:

Druckhöhe um Kontrollschni

221

tt 3

1

-

w w

3

31 p p / 2 vp v

g 2g g 2g

2 2

1 3

w

p / 2v v

2g g 2g

(8.24)

BERNOULLI-Gleichung für die Kontrollschnitte 4-4 und 2-2:

2 22 4 2 2

w w

Druckhöhe am Kontrollschnitt 4-4

p p / 2 v p v

g 2g g 2g

2 2

4 2

w

p / 2 v v

g 2g 2g

(8.25)

Die Addition von Gl. (8.24) und Gl. (8.25) führt zu:

2 2 2 23 2 1 4

w

p v v v v

g 2g 2g 2g 2g

und mit der Annahme, dass v3 v4 ist, folgt:

2 22 1

w

v vp

2

oder

2 1 2 1

w

v v v vp

2

(8.26)


Aus Gl. (8.23) und Gl. (8.26) folgt:

2 1w p 2 1 w 2 1

v vv v v v v

2

2 1p

v vv

2

bzw. 2 1 pv v 2 v oder 2 1 p pv v v v

2 p p 1v v v v (8.27)

Gl. (8.27) besagt, dass die Zunahme der Geschwindigkeit bis zum Propeller (vp – v1) nur halb so groß ist wie die gesamte Geschwindigkeitszunahme v vom Schnitt 1-1 bis zum Schnitt 2-2.

8.4.2.4 Schnelligkeit von Schwall- und Sunkwellen

Schwall- und Sunkwellen entstehen bei plötzlicher Änderung des Durchflusses Q (z.B. Schleu-sungsvorgänge). Die vier Grundformen des Schwalls sind in Abb. 8.10 dargestellt. Zur Berechnung der Wellenschnelligkeit c wird der Impulssatz herangezogen. Am Beispiel des Füllschwalls in Abb. 8.11 soll gezeigt werden, dass c g h .

Abb. 8.10: Die vier Grundformen des Schwalls

Kräfte im Kontrollschnitt 1-1:

2p1 w

1F g (h h)

2

1 w 1I Q v

21 p1 1 w w 1

1 S F I g (h h) Q v

2 (8.28)

hv, Q

hc

StauschwallAbsperrsunk

c

Absperrorganh

h

c

Entnahmesunk Füllschwall

c

v, QAbsperrorgan


1 2

Kräfte im Kontrollschnitt 2-2:

2p2 w

1F g h

2

2 w 2I Q c (da v 0)

2

22 P 2 w w

1 S F I g h Q c

2 (8.29)

Abb. 8.11: Schwall und Definitionsskizze

Zunächst muss v = f (c) bestimmt werden. In der Zeit dt legt der Schwall die Strecke dL zurück: dL c dt

Das in der Zeit dt hinzukommende Volumen ist:

dV h b c dt

mit: b = Schwallbreite. Somit ist der Volumenstrom:

dV

( h b)c Qdt

Aus der Kontinuitätsgleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 folgt:

1h h b v h b c

dV

v1, Q

dL = c dt

h

w g (h+h)

1

2P w

1F g (h h)

2 v2 = 0

2

2P w

1F g h

2

1 2

w g h

c c c


1

hv c

h h

(8.30)

v1 nach Gl. (8.30) in Gl. (8.28) eingesetzt, ergibt:

21 w w

1 hS g (h h) Q c

2 h h

(8.31)

Damit folgt aus der Impulsgleichung und mit S2 = S1 und Q c h 1m aus Gl. (8.31) und

Gl. (8.29):

2 2w w w w

1 h 1g (h h) c h c g h c h c

2 h h 2

22 2 2 2 2

w w w w

1 h 1g (h h 2h h) + c g h c h

2 h h 2

22 2 2

w w w

1 hg ( h 2h h) + c c h

2 h h

2 21 hg ( h 2h h) = c h 1

2 h h

Aufgelöst nach c ergibt sich:

2

3 h 1 hc g h 1

2 h 2 h

. (8.32)

Da in der Regel ∆h << h ist, folgt h

0h

. Damit vereinfacht sich Gl. (8.32) zu:

c g h (8.33)

Das ist die LAGRANGEsche Gleichung, die für alle langwelligen Störungen gültig ist, z.B. für:

Wellen im Flachwasser,

Seiches, Tsunamis und Tideboren.

Gl. (8.33) gilt für jeden beliebigen Gerinnequerschnitt A, wobei die mittlere Wassertiefe h wie folgt anzusetzen ist:

A

hb

(8.34)


Abb. 8.12: Definitionsskizze für die mittlere Wassertiefe bei Gerinnen mit beliebigem Fließquerschnitt A

Wasserspiegelbreite b

Schwallhöhe h

Fließquerschnitt A

mittlere WassertiefeA

hb


8.5 Zusammenfassung

1. Die Größe I = ρw Q v hat die Einheit einer Kraft [N] und stellt einen Impulsstrom dar. Sie wird jedoch in der Hydromechanik als Impuls bezeichnet.

2. Der Impulssatz in der Hydromechanik lautet:

w 2 1F Q v v

d.h die vektorielle Summe aller in einer Fluidmasse angreifenden Kräfte ist gleich der Änderung des Impulsstromes dieser Masse.

3. Die Anwendung des Impulssatzes erfolgt vorwiegend in Form des sog. Stützkraftsatzes.

Die Stützkraft S

ist die Summe aus Druckkraft pF

und Impulsstrom I

:

p wS F Q v

4. Die Anwendung des Impulssatzes erfolgt in der Regel in drei Schritten:

Begrenzung des Strömungsraumes durch sog. Kontrollschnitte,

Einzeichnung aller Kräfte auf die abgegrenzte Fluidmasse,

Aufstellung der Gleichung(en) für das Kräftegleichgewicht (dabei sind die Kräfte vektoriell aufzusummieren).


8.6 Aufgaben

Aufgabe 8.1: "Impulssatz"

Formulieren Sie den Impulssatz. Welcher Unterschied besteht zwischen Impuls- und Stützkraft-satz? Aufgabe 8.2: "Gartenschlauch"

Legen Sie einen Gartenschlauch auf den Boden und drehen Sie den Wasserhahn auf. Was pas-siert und wie kann das Phänomen mit dem Impulssatz erklärt werden? Aufgabe 8.3: "Rasensprenger"

Erläutern Sie das hydromechanische Prinzip eines Rasensprengers.


Aufgabe 8.4: "Impuls auf eine Platte"

Die Öffnung mit der Fläche A eines Behälters ist mit einer Platte verschlossen. Die Anpress-kraft hat die Größe W. Wird die Platte etwas abgehoben, so strömt das Wasser aus der Öffnung aus und der Wasserstrahl trifft auf die Platte. Dabei übt er eine Kraft W' auf die Platte aus. Wie groß sind W und W', wenn die Querschnittsfläche des Strahles gleich A ist, d.h. es zu keinen Reibungsverlusten kommt?

Gegeben: h = 3,0 m

A = 0,07 m2

w = 1,0 t/m3

g = 9,81 m/s2

Gesucht: W, W'

Abb. 8.13: Impuls auf eine Platte

Lösung:

Die Kraft W ergibt sich als die resultierende hydrostatische Druckkraft auf die Klappe.

W = w g h A W = 1,0 ∙ 9,81 ∙ 3,0 ∙ 0,07 = 2,06 kN

Die Kraft W' entspricht dem Impuls, der durch das ausfließende Wasser auf die Klappe ausge-übt wird.

W' = I = ρw Q v v 2 g h und Q A v

I = ρw A 2 g h = 1,0 ∙ 0,07 ∙ 2 ∙ 9,81 ∙ 3 = 4,12 kN

W' = 2W

h h

A

W W'Klappe

v = 0 v = 0


Aufgabe 8.5: "Düse"

Wie groß ist die Kraft F, die von der Verbindung zwischen dem Rohr und der aufgesetzten Düse aufgenommen werden muss? Das Eigengewicht des Wassers und der Düse kann vernach-lässigt werden.

Gegeben: d1 = 0,2 m d2 = 0,15 m

p1 = 2,0 bar p2 = 1,0 bar

Q = 0,2 m3/s

ρw = 1,0 t/m3

Gesucht: Verbindungskraft F

Abb. 8.14: Düse

Lösung:

Berechnung der Geschwindigkeiten:

221

1 11

d Q 0,2A 0,0314 m v 6,37 m / s

4 A 0,0314

222

2 22

d Q 0,2A 0,0177 m v 11,32 m / s

4 A 0,0177

Berechnung der Druck- und Impulskräfte für die Schnitte 1-1 und 2-2:

Q

d1

d2

Rohr

Düse

v2

v1


2

1p 2, 0 bar 200 kN / m

22p 1, 0 bar 100 kN / m

1 1 1F p A 200 0,0314 6, 28 kN

1 w 1I Q v 1,0 0,2 6,37 1,27 kN

1 1 1R F I = 7,55 kN

2 2 2F p A 100 0,0177 1,77 kN

2 w 2I Q v 1,0 0,2 11,32 2,66 kN

2 2 2R F I = 4,03 kN

1 2F R R 7,55 4,03 3,52 kN

Die Verbindung muss eine Gesamtkraft von F = 3,52 kN aufnehmen. Aufgabe 8.6: "Wal"

Der unten dargestellte Wal schleudert das Floß durch einen Wasserstrahl in die Höhe. Das Blas-loch des Wales hat einen Durchmesser von D = 15 cm. Die Ausströmgeschwindigkeit des Was-sers aus dem Blasloch beträgt vNase = 20 m/s. Das Floß hat inklusive Mannschaft eine Masse von 300 kg.

Wie hoch wird das Floß geschleudert? Es wird eine stationäre und verlustfreie Strömung vo-rausgesetzt!

Gegeben: DNase = 15 cm

vNase = 20 m/s

mSchiff = 300 kg

ρw = 1,0 t/m3

g = 9,81 m/s2


Lösung:

Die Lösung der Aufgabe folgt aus der Kombination von Impuls- und Energiesatz.

Berechnung der ausströmenden Wassermenge:

2 2

3NaseNase Nase Nase

D 0,15Q A v v 20 0,35 m / s

4 4

Abb. 8.15: Wal

Gewichtskraft des Floßes:

G = m g = 300 · 9,81 = 2.943 N

Anwendung des Impulssatzes:

I = ρw Q v = 1,0 · 0,35 · v

Es muss folgende Gleichgewichtsbedingung gelten, damit das Floß durch den Impuls auf einer konstanten Höhe gehalten wird:

I = G 2,943 kN = 1,0 · 0,35 · v v = 8,41 m/s


Berechnung der Höhe des Floßes nach dem BERNOULLI- Energiesatz:

2 2Nase Nase Floß Floß

Nase Floßw w

v p v pz z

2g g 2g g

mit: vNase = 20 m/s vFloß = 8,41 m/s

pNase = 0,0 kN/m2 (Atm. Druck) pFloß = 0,0 kN/m2 (Atm. Druck)

zNase = 0,0 m (Bezugshorizont) zFloß = ? m

2 2

Floß Floß

20 8, 410 0 0 z z 16,8m

2 9,81 2 9,81

Das Floß wird 16,8 m hoch geschleudert. Aufgabe 8.7: "Impulssatz (Einheiten)"

Beschreiben Sie anhand Ihnen bekannter Formeln den physikalischen Unterschied zwischen dem Impulssatz in der Festkörpermechanik und dem Impulsstrom in der Hydromechanik. Be-achten Sie insbesondere die Einheiten. Aufgabe 8.8: "Schwall und Sunk"

In einem Rechteckgerinne sind jeweils in 120 m Entfernung flussauf- und flussabwärts eines Schützes Pegel zur Wasserstandsmessung eingesetzt. Die vorhandene Fließgeschwindigkeit be-trägt v0 = 2,6 m/s. Durch das plötzliche Öffnen des Schützes entsteht eine Schwallwelle, die am Pegel 2 nach t = 15 Sekunden gemessen wird.

a) Wie groß ist näherungsweise die Wassertiefe h2 unterhalb des Schützes?

b) Wie groß ist näherungsweise die Wassertiefe h1 oberhalb des Schützes, wenn am oberen Pegel die Wasserspiegelauslenkung gleichzeitig aufgetreten ist?


Abb. 8.16: Schwallwelle

Lösung:

zu a) Die Schwallwelle bewegt sich mit einer Geschwindigkeit u fort, die sich aus der Grund-strömung v0 und der Wellenschnelligkeit c zusammensetzt:

2 0 2 0u c v g h v

2

s 120mit : u 8,0 m / s

t 15

2 20

2

(u v ) (8,0 2,6)h 2,97 m

g 9,81

zu b)

1 0 1u c v g h 2, 6

1mit : u 8,0 m / s

2 20

1

(u v ) (8, 0 2, 6)h 11, 4 m

g 9,81

Die Kontinuitätsgleichung wird durch eine variable Gewässerbreite erfüllt.

v0 = 2,6 m/s

v0 = 2,6 m/s

h1

h2

Pegel 2

Pegel 1

s = 120,0

Schwall

c

c

s = 120,0

Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelgerinne 155

9 Theorie der kritischen Tiefe bei Strömungen im Freispiegelge-rinne

9.1 Ausgangssystem und Annahmen

Es wird eine ideale Flüssigkeit in einem rechteckigen Freispiegelgerinne mit der Breite b, der variablen Wassertiefe h und dem variablen Fließquerschnitt A(h) = b h betrachtet.

Abb. 9.1: Ausgangssystem

9.2 Ableitung der Zustandsgleichung eines Fließquerschnittes

Der Abfluss ist: Q A v b h v

Der spezifische Abfluss q (d.h. der Abfluss pro lfd.m) ist:

Q b h v

q h vb b

Daraus folgt für die mittlere Geschwindigkeit v:

q

vh

(9.1)

Die sohlbezogene BERNOULLI-Gleichung an einem bestimmten Ort entlang des Gerinnes lautet:

2

E

vh h

2g

und mit v = (q/h) aus Gl. (9.1) ergibt sich die Zustandsgleichung des Fließquerschnitts zu:

DL

Energielinie EL

hE

Drucklinie

h hvariabel

2v

2g

b

A

Fließquerschnitt A(h) = b h

DL

Energielinie EL

hE

Drucklinie

h

2v

2g

Q, v


2

2E

qh h h

2g (9.2)

1 2f (h) f (h)

Die Größen hE, h und q (bzw. v) werden als Zustandsgrößen zur Beschreibung des Fließzu-standes bezeichnet. Um die Aussagen der Zustandsgleichung (9.2) deutlich zu machen, wird diese für folgende Fälle untersucht:

konstanter Abfluss (q = konst.) Ableitung der Grenztiefe hgr

Durchfluss q(h) bei konstanter Energiehöhe (hE = konst.) Ableitung des maxi-malen spezifischen Abflusses qmax

9.3 Untersuchung der Zustandsgleichung bei konstantem Abfluss

(a) Ableitung der Grenztiefe

Für q = konst. und mit 2q

k konst.2g

folgt aus Gl. (9.2) (s. Abb. 9.2):

1 2

2E

f (h) f (h)Gesamtenergiehöhe

h (h) h k h (9.2)a

Winkelhalbierende quadratische Hyperbel

Abb. 9.2: Wassertiefen bei konstantem Durchfluss (q = konst.)

2gr

gr

vh 2

2g

hgrh < hgr

v > vgr

h > hgr

v < vgr

Strömen

(unterkritisch)

Schießen

(überkritisch)

StrömenSchießen

q = konst.

Wassertiefe h

quadr. Hyperbel

min hE

hE (h) = f1(h) + f2(h)

2gr

gr

v0, 5 h

2g

f2(h)= k ∙ h-2

Summenkurve

f1(h) = h

Winkelhalbierende

1,5 hgr

Energiehöhe hE (h)


Die Grenztiefe hgr tritt bei der Mindestenergiehöhe min hE ein. Die Bedingung für min hE lautet:

gr

E

h h

dh0

dh

mit hE(h) aus Gl. (9.2) folgt:

gr

23E

h h gr

2 23gr3

gr

dh q1 ( 2)h 0

dh 2g

q 1 q1 h

g gh

2

3gr

q h

g (9.3)

Zur Grenztiefe hgr gehört eine Grenzgeschwindigkeit vgr. Aus Gl. (9.1) folgt:

gr gr gr grv = q / h q h v

Der spezifische Abfluss q in Gl. (9.1) eingesetzt ergibt die Grenztiefe hgr:

2 2gr gr

3gr

h vh

g (9.3)a

Gl. (9.3a) nach vgr aufgelöst führt zu:

gr grv g h , (9.4)

dh.:

2gr

gr

vh

g (9.4)a

Gl. (9.4a) besagt, dass die Grenztiefe doppelt so groß ist wie die Geschwindigkeitshöhe2grv / 2g :

2gr

gr

vh 2

2g

(b) Bedeutung der Grenztiefe

Bei der Grenztiefe wird eine Mindestenergiehöhe min hE benötigt, um den Durch-fluss q = konst. zu fördern (Abb. 9.2):

2gr

E gr gr

vminh h 1,5h

2g , (9.5)


d.h. diese Mindestenergiehöhe beträgt das 1,5-fache der Grenztiefe.

Bei der Grenztiefe hgr muss sich auch ein Stützkraftminimum ergeben. Aus dem

Stützkraftsatz folgt:

2

P w w

ImpulsDruckkraft

1 qS F I g h q v und mit v = folgt:

2 h

2 2 1w w

1S g h q h

2 .

Mit q = konst. ergibt sich für das Stützkraftminimum:

2

3gr

q h

g . (9.6)

Bei der Grenztiefe hgr hat die Strömungsgeschwindigkeit vgr gerade den Wert der Wellenschnelligkeit c (vgl. Kapitel 8) denn aus Gl. (9.4a) folgt:

gr grv c g h . (9.7)

Der Abfluss mit der Grenzgeschwindigkeit vgr, der kritischen Tiefe hgr und der Min-destenergiehöhe min hE wird als

Grenzzustand bzw. kritischer Zustand

bezeichnet. Die Grenztiefe stellt somit einen Grenzwert zwischen zwei Fließzuständen dar:

h < hgr: SCHIESSEN (überkritisch)

h > hgr: STRÖMEN (unterkritisch),

hgr

min S

Stützkraft S (h)

h

S (h)

grh

2 2w gr w gr

2 23

gr gr2gr

dSmin S 0

dh

g h q ( 1) h 0

q qg h h

h g

Abb. 9.3: Stützkraftminimum


d.h. für jede Energiehöhe hE > min hE sind für denselben Abfluss q zwei Wassertiefen möglich (Abb. 9.2), die als konjugierte Wassertiefen bezeichnet werden:

eine gehört zum schießenden Abfluss,

eine gehört zum strömenden Abfluss. (c) Beschreibung der Fließzustände

Ableitung der FROUDE28-Zahl Die FROUDE-Zahl dient zur Beurteilung der Fließart (Schießen oder Strömen).

Sie ist auch eine wichtige Kennzahl in der Ähnlichkeitsmechanik, d.h. bei der Nach-bildung von Gerinneströmungen im verkleinerten Modell.

Sie beschreibt gleichzeitig:

- Das Verhältnis der Trägheitskräfte FT zu den Schwerekräften Fs:

T

S

FFr

F (9.8)

- Das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit v zur Wellenschnelligkeit c:

v

Frc

(9.9)

Beweis: Mit L = Längendimension und T = Zeitdimension folgt:

Trägheitskräfte: 3 2TF m b ( V) b = L L/T

Schwerekräfte: 3SF m g ( V)g L g

Das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Schwerekräften ist somit:

32

T3 2

S

L LF LT

F L g g T

L x

L

2 2

2T2 2

S

F L L und mit v folgt:

F L g T T

2

2T

S

F v vFr Fr =

F L g g L .

28 FROUDE, William (1810–1879): Englischer Ingenieur.


Wird für die charakteristische Länge L = h (Wassertiefe) und für v die mittlere Geschwindig-keit eingesetzt, so folgt:

v v

Frcg h

. (9.9)a

Für die meisten Gerinneströmungen in der Natur gilt:

Fr 10 .

Beschreibung der Fließarten Grenzzustand (kritischer Abfluss): Für den Grenzzustand gilt:

gr gr

vh h v v c Fr 1

c

Schießen (überkritischer Abfluss): Für den überkritischen Abfluss gilt:

gr gr

vh h v v c Fr 1

c

Daraus ergeben sich folgende wichtige Schlussfolgerungen für die Praxis:

Schießender Abfluss liegt in der Praxis meist bei künstlichen Gerinnen (z.B. Schussrinne) sowie bei Wasserfällen (zum Teil auch bei Wildbächen) vor.

Da v < c ist, breiten sich Störungen mit c nur in Strömungsrichtung aus (stromab!!), d.h. die Berechnungen von Wasserspiegellagen (sog. Stau- und Senkungskurven) sind in Fließrichtung durchzuführen.

Strömen (unterkritischer Abfluss): Für den unterkritischen Abfluss gilt:

gr gr

vh h v v c Fr 1

c

Daraus ergeben sich folgende wichtige Schlussfolgerungen für die Praxis:

Strömender Abfluss stellt in der Praxis den Normalfall bei den meisten natürlichen Flussläufen dar.

Da v > c ist, wandern Störungen in der Strömung auch stromauf, die Berechnungen der Wasserspiegellage werden auch stromauf durchgeführt.

Anwendungsbeispiel:

Sie befinden sich an einem Fluss mit nahezu konstanter Wassertiefe. Die FROUDE-Zahl der Strömung ist nicht bekannt und Sie wollen trotzdem feststellen, ob schießender oder strömender Abfluss vorliegt.


Lösung:

Sie werfen einen Stein ins Wasser, um festzustellen, ob in dem Gerinne mit nahezu kon-stanter Wassertiefe der Abfluss strömend oder schießend abgeführt wird (Abb. 9.4):

Abb. 9.4: Praktisches Feststellen der Fließart (Strömen oder Schießen?)

Wandern die induzierten Oberflächenwellen nur in Fließrichtung (stromab!), so

liegt Schießen vor (v > c).

Wandern die Oberflächenwellen auch stromauf, so liegt Strömen vor (v < c).

9.4 Durchfluss bei konstanter Energiehöhe

Aus der Zustandsgleichung des Fließquerschnittes (Gl. (9.2)):

2

E 2

q 1h h

2g h (9.2)b

folgt bei konstanter Energiehöhe hE = konst:

2

E 2

q(h h)

2g h

2 2 3Eq 2g (h h h )

Stein

Stein

v < c

v > c v > c

v < c

(c – v)

(c – v)

(c + v)

(c + v)

c c

c c

v v

v v

a) Strömen (v < c)

b) Schießen (v > c)


mit q = q(h) folgt:

1/ 22 3Eq(h) 2g h h h (9.10)

Gl. (9.10) ist in Abb. 9.5 prinzipiell dargestellt.

Abb. 9.5: Durchfluss bei konstanter Energiehöhe

Der Abfluss q(h) hat ein Maximum bei der Grenztiefe hgr, d.h.:

gr

2E gr gr

1/22 3h hE gr gr

2 h h 3 hdq 12 g 0

dh 2 h h h

2E gr gr 2 h h 3 h 0

gr E grh 2 h 3 h 0

E gr gr E

22 h 3 h 0 h h

3 (9.11)

Strömen

(h > hgr)

Schießen

(h < hgr)

Durchfluss q

h2 > hgr

h1 < hgr

h = hgr

qmax

h = 0

q < qmax

hE = konst.

Wassertiefe h


2gr

gr gr gr

vv g h h : 2

g

mit hgr aus Gl. (9.11) folgt:

2 Egr gr E

2hv h h3

2 g 2 2 3

Aus dem Ergebnis in Abb. 9.5 lässt sich folgendes ableiten:

Für jeden Durchfluss q < qmax sind bei vorgegebener Energiehöhe hE = konst. zwei Wassertiefen möglich, von denen

- eine dem schießenden Abfluss (h1 < hgr), - eine dem strömenden Abfluss (h2 > hgr)

angehört (s. Abb. 9.6). Wie bereits unter Abschnitt 9.3 erwähnt, werden h1 und h2 als konjugierte Wassertiefen bezeichnet.

Der maximale Abfluss qmax bei vorgegebener Energiehöhe (hE = konst.) tritt im Grenzzustand ein, daher führt eine Verringerung des Abflusses (q < qmax) (s. Abb. 9.6) zu einer:

- Abnahme der Wassertiefe im schießenden Bereich, - Zunahme der Wassertiefe im strömenden Bereich.

Abb. 9.6: Konjugierte Wassertiefen h1 und h2

h = hgr

qmax

h = hE

h = 0

Strömen

(h > hgr)

Schießen

(h < hgr)

2gr

E

v1h

3 2 g

E

2h

3

Durchfluss q

hE = konst.Wassertiefe h


Berechnung des Maximalabflusses qmax (Grenzzustand)

Mit gr E

2h h

3 eingesetzt in Gl. (9.10) für den Grenzzustand (h = hgr und q (hgr) = qmax) folgt:

1/ 22 3max gr E gr grq q(h ) 2g h h h (9.10)a

1/ 22 3

max E E E

2 2q 2g h h h

3 3

1/23 3

max E E

4 8q 2g h h

9 27

1/ 2

3max E

4q 2g h

27

3max E

8q g h

27 (9.12)


9.5 Zusammenfassung

1. Zur Kennzeichnung des Fließzustandes bei Gerinneströmungen dient die FROUDE-Zahl Fr:

T

S

v F vFr

F cg h

Sie beschreibt das Verhältnis zwischen Strömungsgeschwindigkeit v und Wellenschnel-

ligkeit c gh , aber auch das Verhältnis T SF / F zwischen Trägheitskräften FT und

Schwerekräften Fs. 2. Bei Gerinneströmungen werden folgende Fließzustände unterschieden:

Strömen (bzw. unterkritischer Abfluss): Fr < 1

Grenzzustand (bzw. kritischer Abfluss): Fr = 1

Schießen (bzw. überkritischer Abfluss): Fr > 1 3. Beim Grenzzustand (Fr = 1) liegen folgende Größen vor:

Wassertiefe: 2gr

gr

vh h 2

2g

Strömungsgeschwindigkeit: gr grv v gh c

Stützkraft ist Minimum bei vorgegebenem Abfluss q

Mindestenergiehöhe min hE bei vorgegebenem Abfluss q:

E gr

3min h h

2

maximaler Abfluss: 3 3max E gr

8q g h g h

27 .

4. Bei jeder Energiehöhe hE > min hE ist ein und derselbe Abfluss q mit zwei verschiedenen

Wassertiefen h1 und h2 möglich. Die Wassertiefe h1 > hgr gehört dem strömenden und die Wassertiefe h2 < hgr dem schießenden Abfluss an. h1 und h2 werden als konjugierte Was-sertiefen bezeichnet.


9.6 Aufgaben

Aufgabe 9.1: "Grundschwelle"

Gegeben ist ein Rechteckgerinne mit den Abmessungen b = 30,0 m und h0 = 2,5 m. In diesem Gerinne wurde ein Abfluss Q = 150 m3/s gemessen.

Abb. 9.7: Grundschwelle

a) Ermitteln Sie die größtmögliche Höhe einer Grundschwelle ohne Aufstau im Oberwas-ser.

b) Ermitteln Sie die Wasserspiegellage über der Grundschwelle.

Lösung: zu a) Anwendung der Energiegleichung für den Schnitt 0-0 und den Schnitt 1-1:

2 20 1

0 0 1 max

v vh z h d

2g 2g

23

3gr

q Q 150h mit q 5 m / s m

g b 30

2

3gr

5 h 1,37 m

9,81

h0

dmax

EL

h1

DL

Bezugshorizont (z = 0)1

20v

2 g21v

2 g

10

0


00

Q 150v 2,0 m / s

b h 30 2,5

Der maximale Abfluss kann nur im Grenzzustand abgeführt werden. Außerdem ist im Grenz-zustand die Energiehöhe minimal, sodass die Energiedifferenz zwischen Schnitt 0-0 und Schnitt 1-1 ein Maximum wird. Diese Energiedifferenz entspricht der Höhe der Grund-schwelle dmax.

Mit v1 = vgr und h1 = hgr folgt:

22 2gr0

E 0 max gr

vv 2 h h 2,5 d h

2 g 2 9,81 2 g

gr grv g h 9,81 1,37 3,67 m/s

2 2 2gr0

max 0 gr

vv 2,0 3,67 d h h 2,5 1,37 0,65 m

2 g 2 g 2 9,81 2 9,81

zu b) Wasserspiegellage: dmax + hgr = 0,65 + 1,37 = 2,02 m Aufgabe 9.2: "Strömen und Schießen"

Beim Werfen eines Steines zeigt sich das folgende Wellenbild. Die Wassertiefe im Gerinne beträgt 1,7 m und die Breite des Rechteckgerinnes 4,5 m. Folgende Fragen sind zu beantworten:

Abb. 9.8: Wellenbild beim Werfen des Steines

a) Wie ist das Wellenbild zu interpretieren?

b) Wie groß ist der Abfluss?

c) Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit?

d) Wäre in einem flächengleichen Dreiecksgerinne die Abflussmenge bei gleicher Grenz-wassertiefe größer oder kleiner als im Rechteckgerinne?

v


Lösung:

zu a) Es handelt sich um den Grenzzustand, d.h. die Wassertiefe entspricht der Grenzwasser-tiefe hgr!

zu b)

23

3gr gr

qh q g h

g

3 3 q 9,81 1,7 6,94 m /s m

zu c)

grv h g 1,7 9,81 4,08 m/s

oder

q 6,94v 4,08 m/s

h 1,7

zu d)

Die Grenzwassertiefe im Dreiecksgerinne berechnet sich zu:

2

gr 1 225

1 2

2Qh mit m , m : Steigung der Gerinneböschung

m mg

2

Die Grenzgeschwindigkeit im Dreiecksgerinne berechnet sich zu:

gr gr

1v h g

2

Es wurde die Annahme getroffen, dass: ADreieck = ARechteck

21 2 gr gr

1 m m h b h2

1 2 gr

4,5m m m m h b m 2,65

1,7

2

gr 25

1 2

2Q h

m mg

2


2

51 2gr

Dreieck

m mh g

2 Q

2

2 5 2 5 3

grDreieck Dreieck

m h g 2,65 1,75 9,81 mQ Q 23,75

2 2 s

3

Re chteck

mQ q b 6,94 4,5 31,23

s

Rechteck Dreieck Q Q

Aufgabe 9.3: "Grenzwassertiefe im Dreiecksgerinne"

Ermitteln Sie theoretisch die Grenzwassertiefe in einem Dreiecksgerinne. Aufgabe 9.4: "Grenzwassertiefe im Parabelgerinne"

Ermitteln Sie theoretisch die Grenzwassertiefe in einem Parabelgerinne (y = x2).

Berechnung von lokalen Energieverlusten 170

10 Berechnung von lokalen Energieverlusten

10.1 Beispiel aus der Gerinneströmung: Ebener freier Wechselsprung


Im Wasserbau stellt der Wechselsprung (= sprungartiger Übergang vom Schießen zum Strö-men) eine wichtige Möglichkeit der Energiedissipation dar. Deshalb werden hinter Wehr- und Hochwasserentlastungsanlagen Tosbecken gebaut. Das Tosbecken hat die Aufgabe, den Wech-selsprung herbeizuführen und zugleich zu kontrollieren. Würde der Wechselsprung aus dem Tosbecken austreten, würde er Erosionsschäden an der Gerinnesohle verursachen. Eine der wichtigsten Aufgaben bei der Berechnung des Wechselsprungs ist die Bestimmung der Unterwassertiefe h2 in Abhängigkeit der Zuflusswassertiefe h1 und -geschwindigkeit v1:

2 1 1h f v , h ,

h1 und h2 sind konjugierte Tiefen (siehe Definition in Abschnitt 9).


Es wird der ebene freie Wechselsprung in Abb. 10.1 betrachtet, wobei nachstehende Annahmen getroffen werden:

(i) Reale Flüssigkeit im Deckwalzenbereich (Reibungsverluste!) und ideale Flüssig-keit (keine Reibungsverluste!) außerhalb des Deckwalzenbereichs.

(ii) Im Deckwalzenbereich ist nur Flüssigkeitsreibung (keine Sohlreibung!) zu berück-sichtigen.

(iii) q = konst. (stationärer Abfluss)

(iv) 1 gr

1 gr

h h

v v

schießende Zuflussbedingungen

(v) 2 gr

2 gr

h h

v v

strömender Abfluss im Unterwasser

(vi) horizontale Gerinnesohle im Tosbecken


Abb. 10.1: Ebener freier stationärer Wechselsprung - Definitionsskizze

10.1.3 Berechnung der Unterwassertiefe

Im Gegensatz zur Druckrohrströmung wird bei einer Gerinneströmung nicht die lokale Ver-lusthöhe hi gesucht, sondern die mit dieser Verlusthöhe hi verbundene örtliche Änderung der Wasserspiegellage. Dies wird durch die Anwendung des Impulssatzes an den Kontrollschnit-ten 1-1 und 2-2 wie folgt erreicht:

2 21 2

w w 1 w w 2

h hg q v g q v

2 2

w: g

2 21 1 2 2h v h v

q q2 g 2 g

2 2

1 2 2 1h h v v

q2 g

(10.1)

Aus der Kontinuitätsgleichung

1 1 2 2Q v h v h konst. (10.2)

folgt:

2

1v

D 2 1L 6 h h

Deckwalze

EL

EL

DL

1

2vq konst

(empirisch)

21v

2g22v

2g

ih

2h1h

21

w

hg

2

22

w

hg

2

w 2g h1 2


12 1

2

hv v

h (10.3)

v2 aus Gl. (10.3) eingesetzt in Gl. (10.1) führt zu:

2 21 2 1 1 1 2

1 1 1 12 2 2

h h h h h hq q qv v v 1 v

2 g h g h g h

1 21 2 1 2 1

2

h h1 qh h h h v

2 g h

1 2

2

h h1:2 h

1 2 2 1

qh h h 2 v

g (10.4)

Mit q = v1 h1 folgt aus Gl. (10.4):

2

2 1 11 2 2

v hh h h 2

g 2

1: h

2 22 2 121 1 1

h h v2

h h gh (10.5)

Mit 11

1

vFr

g h (zuflussbezogene FROUDE- Zahl) eingesetzt in Gl. (10.5) folgt:

2

22 21

1 1

h h2 Fr 0

h h

(10.6)29

Aufgelöst nach dem Verhältnis der konjugierten Wassertiefen folgt aus Gl. (10.6):

2

12

1

1 1 8 Frh

h 2

Da die negative Lösung physikalisch sinnleer ist, folgt:

221

1

h 11 8 Fr 1

h 2 (10.7)

Das heißt, die Unterwassertiefe h2 ist eine Funktion der zuflussbezogenen FROUDE- Zahl Fr1.

29 Quadratische Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0 mit der Lösung

2b b 4 a c

x2 a

mit 2

1

hx

h , a = b = 1 und c = -2 Fr1

2


Anmerkungen

(i) Die Anwendung der BERNOULLI-Gleichung zusammen mit dem Ergebnis aus Gl. (10.7) würde folgende örtliche Verlusthöhe hi = f (h1, h2) ergeben:

3

2 1i

1 2

h hh

4 h h

(ii) Die zulaufseitige FROUDE-Zahl 11

1

vFr

g h entscheidet auch über die Art des Wech-

selsprunges:

Fr1 > 1,7: freier Wechselsprung mit ausgeprägter Deckwalze, wobei h2/h1 > 2,0 (günstig!)

Fr1 < 1,6: gewellter Wechselsprung mit Oberflächenwellen, wobei h2/h1 < 1,8 (ungünstig!)

Fr1 = 1,6 1,7: keine voll ausgebildete Deckwalze (Mischformen!)

Bei Ausfluss unter Schützen gibt es den rückgestauten Wechselsprung. Näheres über den Wechselsprung ist u.a. bei CHOW (1959), PREISSLER und BOLLRICH (1980) und NAUDASCHER (1992) zu finden.

10.2 Beispiel aus der Rohrströmung: BORDA30scher-Stoßverlust


Bei einer plötzlichen Erweiterung eines Rohrquerschnittes von Al auf A2 löst sich an der Aus-trittskante die Strömung ab und es kommt zu einer Wirbel- und Walzenbildung, bei der Energie durch Flüssigkeitsreibung dissipiert wird (Abb. 10.2). Dadurch entstehen lokale hydraulische Verluste, die sich mit dem Impulssatz und der BERNOULLI-Gleichung relativ einfach bestim-men lassen.


Es wird die Druckrohrströmung in einer Rohrerweiterung (vom Querschnitt Al zum Querschnitt A2) nach Abb. 10.2 betrachtet.

Dabei werden folgende Annahmen getroffen:

30 BORDA, Jean Charles (1733–1794): Französischer Ingenieur und Wissenschaftler.


(i) Reale Flüssigkeit im Wirbelgebiet (Durchmischungsverluste!)

(ii) Ideale Flüssigkeit in allen übrigen Gebieten (keine Reibungsverluste!)

(iii) Wandreibung vernachlässigbar, d.h. nur Flüssigkeitsreibung im Wirbelbereich

Abb. 10.2: Prinzipienskizze – plötzliche lokale Rohrerweiterung

10.2.3 Berechnung des BORDAschen Stoßverlustes

Nach Abb. 10.3 muss zusätzlich die lokale Energieverlusthöhe hi (Reibungsverlust im Wirbel-gebiet) in der BERNOULLI-Gleichung berücksichtigt werden: BERNOULLI-Gleichung für die Kontrollschnitte 1-1 und 2-2:

2 21 1 2 2

iw w

v p v ph

2g g 2g g

Daraus folgt die lokale Verlusthöhe:

2 21 2 1 2

iw

v v p ph

2g g

(10.8)

Wirbel- und Walzenbildung

Bereich hydraulischer Verluste

v1 v2

Strömungs-ablösungen

A1 A2


Abb. 10.3: Ausgangssystem bei der Anwendung der BERNOULLI-Gleichung und des Impulssatzes

Impulssatz für die Kontrollschnitte 1'-1' und 2-2: Bei der Anwendung des Impulssatzes wird statt des Kontrollschnitts 1-1, der Kontrollschnitt 1'-1' so gewählt, dass

er unmittelbar hinter der Erweiterung liegt, wobei der Fließquerschnitt nicht mehr A1, sondern A2 ist,

im Schnitt 1'-1' immer noch die Größen v1 und p1 statt v2, p2 herrschen.

Stützkraftsatz im Kontrollschnitt 1'-1' und 2-2: 1 2 w 1 2 2 w 2p A Q v p A Q v

1 2 2 2 w 2 w 1p A p A Q v Q v

1 2 2 w 2 1(p p ) A Q (v v ) w: g

1 2 2 12

w

(p p ) (v v )A Q

g g


mit Q = v2 A2 folgt:

1 2 2 12 2 2

w

p p (v v )A v A

g g

2

1 2 2 2 1

w

p p v v v

g g

2

1 2 2 2 1

w

p p 2v 2v v

g 2g

(10.9)

Gl. (10.9) und Gl. (10.8) führen zu:

2 2 21 2 2 2 1

i

v v 2v 2v vh

2g 2g

2 2 2i 1 2 2 1 1 2

1 1h (v v 2v v ) (v v )

2g 2g

Das ist die BORDA- Formel für die lokalen Verlusthöhen hi:

2

1 2i

(v v )h

2g

(10.10)

oder mit der Kontinuitätsgleichung: 1 1 2 2v A v A

12 1

2

Av v

A eingesetzt in Gl. (10.10) führt zu:

2

1i 1 1

2

1 Ah v v

2g A

221 1

i2

v Ah 1

2g A

(10.11)

Nach Einsetzen des lokalen Widerstandsbeiwerts ξ in Gl. (10.11) ergibt sich:

2

1

2

A1

A

und es folgt die übliche Form für die lokale Verlusthöhe (vgl. Abschnitt 15, "Turbulente Strö-mungen im Kreisrohr"):

21

i

vh

2g


10.3 Zusammenfassung

1. Bei einem sprungartigen Übergang vom Schießen zum Strömen (Wechselsprung) ist das Verhältnis der konjugierten Wassertiefe eine Funktion der zulaufbezogenen FROUDE-

Zahl 11

1

vFr :

g h

221

1

h 11 8 Fr 1

h 2

2. Die Größe der zulaufbezogenen FROUDE-Zahl Fr1 entscheidet über die Art des Wech-

selsprungs: Fr1 < 1,6 gewellter Wechselsprung, Fr1 > 1,7 ausgeprägte Deckwalze und Fr1 = 1,6 bis 1,7 Mischform.

3. Bei einer plötzlichen Rohrerweiterung vom Querschnitt A1 auf den Querschnitt A2 führt

die kombinierte Anwendung des Impuls- und Energiesatzes zu dem lokalen Energiever-lust (BORDAscher Stoßverlust):

221 1

i2

v Ah 1

2g A

.


10.4 Aufgaben

Aufgabe 10.1: "Wechselsprung"

Im Wasserbau ist der Wechselsprung ein wichtiges Phänomen bei der Energiedissipation. Hier-bei kommt es zum sprunghaften Übergang vom Schießen zum Strömen unter Ausbildung einer Deckwalze. Für das gegebene Rechteckgerinne sind die Wassertiefe hinter dem Wechselsprung h2 sowie die Verlusthöhe hi zu bestimmen. Gegeben: Lösung:

Q 36v 6,0 m s

A 15 0,4

11

1

v 6,0Fr 3,03

g h 9,81 0,4

221

1

h 11 8Fr 1

h 2

2h 1,53 m

3 3

2 1i

1 2

h h 1,53 0,4h 0,59 mWS

4h h 4 0,4 1,53

3

2

1

b 15 m

Q 36 m s

g 9,81 m s

h 0, 4 m


Aufgabe 10.2: "BORDAscher Stoßverlust"

Ermitteln Sie für das dargestellte System die einzelnen Energiehöhenanteile und geben Sie den Energiehöhenverlust infolge der Rohrerweiterung an.

Abb. 10.4: BORDAscher Stoßverlust

Gegeben: Lösung:

32 2 2Q A v 1,5 m s

1 2 1 1 2Q Q v A Q

21

1

Q 1,5v 3,0 m s

A 0,5

Ermittlung der Energiehöhe über die BERNOULLI-Energiegleichung am Schnitt 1-1:

1

2 21 1

E 1w

p v 100 3,0h z 0 10,652 mWS

g 2g 1,0 9,81 2 9,81

Die Energiehöhe hE2 ist um den Betrag ∆hi (Bordaverlust) kleiner als hE1:

2 1 1

221 1

E E i E2

v Ah h h h 1 10,537 mWS

2g A

Damit kann die Druckhöhe im Schnitt 2-2 bestimmt werden:

2

22 2

E 2 2w

p v h z 10,537 mWS mit z 0

g 2g

2

22 2

Ew

p vh 10,422 mWS

g 2g

v1

p1 = 100 kN/m²

A1 = 0,5 m²

A2 = 1,0 m²

v2 = 1,5 m/s

3w

2

1,0 t m

g 9,81 m s

Laminare und turbulente Strömung 180

11 Laminare und turbulente Strömung

11.1 Definition - Auswirkung der Viskosität

Bislang wurden nur ideale Flüssigkeiten behandelt. Gegenstand der folgenden Abschnitte ist die Strömung realer Flüssigkeiten.

Eine reale Flüssigkeit unterscheidet sich von einer idealen Flüssigkeit durch die Viskosität31:

Ideale Flüssigkeit Viskosität Reale Flüssigkeit

Die Auswirkung der Viskosität auf den Energiehaushalt und den Fließvorgang kommt wie folgt zum Ausdruck:

Kein Gleiten der realen Flüssigkeit relativ zur Wandung (Haftbedingung). Das hat zur Folge, dass keine gleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung mehr vorliegt (Abb. 11.1).

Strömungswiderstand durch innere und äußere Reibung. Das hat zur Folge, dass das Energieniveau entlang der Stromlinien in Strömungsrichtung abnimmt, d.h. es treten Energieverluste auf.

Laminare und turbulente Strömung. Die Einführung der Viskosität führt zur Ent-stehung dieser zwei Grundströmungsarten, die bei idealen Flüssigkeiten unbekannt sind.

11.2 Unterschied zwischen idealen und realen Strömungen – Das D'ALEMBERT32sche Paradoxon

Zunächst wird gezeigt, warum die Vorstellung der idealen Flüssigkeit nicht ausreicht, um Strö-mungsprobleme und ihre Auswirkungen in der realen Welt behandeln zu können. Zu diesem Zweck ist der Vergleich zwischen idealer und realer Strömung in Abb. 11.1 dargestellt.

31 siehe Definition in Abschnitt 11.6.

32 D'ALEMBERT, Jean Le Rond (1717–1783): Französischer Mathematiker und Schriftsteller. Er war einer der Verfasser der franz. Enzyklopädie und einer der franz. Aufklärer des 18. Jahrhunderts. In der D'ALEMBERT-schen Zeit war dieser Unterschied zwischen Theorie und Realität ein Widerspruch (Paradoxon). Siehe hierzu Abschnitt 11.6.


Abb. 11.1: Vergleich zwischen idealer und realer Strömung

Bei der stationären Anströmung der Platte durch eine ideale Flüssigkeit (Abb. 11.1 oben) lässt sich Folgendes feststellen:

- Geschwindigkeit unmittelbar an der Wandung behält den Wert v0 (Gleitbedingung),

- Geschwindigkeit bleibt gleichmäßig verteilt,

- Stromlinien verlaufen geradlinig.

Bei der stationären Anströmung der Platte durch eine reale Flüssigkeit (Abb. 11.1 unten) lässt sich Folgendes feststellen:

- Geschwindigkeit an der Wandung ist gleich Null (Haftbedingung),

- Geschwindigkeit bleibt nicht gleichmäßig verteilt,

- Stromlinien werden nach außen verschoben.

Am besten geeignet für den Nachweis der Unzulässigkeit der Vorstellung der idealen Flüssig-keiten zur Beschreibung realer Strömungen und ihrer Auswirkungen ist jedoch das sogenannte D'ALEMBERTsche Paradoxon.

In Abb. 11.2 ist ein ruhender, symmetrischer, schwebender Festkörper in einer idealen Flüssig-keit dargestellt, der mit der Geschwindigkeit v0 stationär an- und umströmt wird (keine Träg-heitskräfte!).

Da in einer idealen Strömung keine Reibungsverluste auftreten, ergibt sich das gleiche sym-metrische Druckbild33 an der Vorder- und Rückseite des Körpers: Die resultierende Druckkraft

33 Es werden lediglich die Drücke in horizontaler Richtung berücksichtigt.

Stromlinien

Platte

ideale Flüssigkeit

reale Flüssigkeit

stat

ionä

re A

nstr

ömun

g

Anströmgeschwindigkeit

v0v0 v0

v0v0

v0

Haftbedingung v = 0v = 0


auf den Körper ist gleich Null (FV – FH = 0). Also bleibt der Körper in Ruhe und wird von der Strömung nicht beeinflusst. Dies entspricht jedoch nicht der Beobachtung in der realen Welt, da sich bei realen Flüssigkeiten der Körper in Strömungsrichtung bewegt (FV – FH > 0). Das ist das D'ALEMBERTsche Paradoxon.

Abb. 11.2: Das D'ALEMBERTsche Paradoxon

11.3 Laminare und turbulente Strömung - Das REYNOLDS-Experiment

REYNOLDS34 hat 1883 als Erster die laminare und turbulente Strömung sichtbar gemacht und den Übergang zwischen diesen zwei Grundströmungsarten bestimmt. Sein berühmtes Experi-ment ist in Abb. 11.3 dargestellt.

34 REYNOLDS, Osborne (1842–1912): Englischer Physiker. Das Experiment ist beschrieben im Beitrag „An ex-perimental investigation of the circumstances which determines whether the motion of water shall be direct or sinous and of the Law of resistance in parallel channels". Phil.. Trans. Roy. Soc. Part III, p. 935, 1883.

Stromlinien

Druck

v0

v0

v0

FV FH

Anströmgeschw.

Sta

tion

äre

Ans

tröm

ung

Druck

ideale Flüssigkeit

ideale Flüssigkeit

SCHWEBENDER FESTKÖRPER


Abb. 11.3: REYNOLDS-Experiment für laminare und turbulente Strömung

Aus einem Behälter fließt über einen gut ausgerundeten Einlauf die Flüssigkeit durch eine Glas-rohrleitung aus. Die Strömung wird durch Farbstoffinjektion sichtbar gemacht. Die Versuche zeigen folgende Ergebnisse hinsichtlich der Fließarten:

(a) Laminarströmung: Sie tritt bei kleinen Geschwindigkeiten v bzw. Durchflüssen Q ein

(Abb. 11.4). Sie wird charakterisiert durch:

geradlinige Stromfäden: Bewegung auf wohlgeordneten parallelen Bahnen in Strö-mungsrichtung

parabelförmige Verteilung der Geschwindigkeit über dem Rohrquerschnitt

max v = 0,5 v

linearer Zusammenhang zwischen Strömungswiderstand c1 und mittlerer Strö-

mungsgeschwindigkeit l 1v c = k v

Q, v

Glasrohr

Farbinjektion

Wasser

Farbstoff

RWS

a.) laminare Strömung

b.) turbulente Strömung

Farbinjektion

Stromfaden

Farbinjektion


Abb. 11.4: Larninarströmung

(b) Turbulente Strömung: Sie tritt bei großen Geschwindigkeiten v bzw. Durchflüssen Q ein. Sie wird charakterisiert durch folgende Merkmale:

keine eindeutigen Stromfäden: Bewegung auf völlig regellosen Bahnen

Geschwindigkeitsverteilung: gleichmäßiger als bei Laminarströmung

maxv = 0,8 ÷ 0,87 v

quadratischer Zusammenhang zwischen Strömungswiderstand ct und mittlerer Ge-

schwindigkeit 2

t tv c = k v( )

Abb. 11.5: Turbulente Strömung

Der Umschlag der laminaren zur turbulenten Strömung erfolgt plötzlich beim Überschreiten einer bestimmten Strömungsgeschwindigkeit. Die Lichtweite des Rohres sowie die Viskosität der Flüssigkeit sind ebenfalls für den Umschlag laminar-turbulent entscheidend (siehe Ab-schnitt 11.5: kritische REYNOLDS-Zahl).

D

vmaxv

Glasrohr

Stromfaden

Farbstoff

Farbstoff v

maxv


11.4 Viskosität und Reibungsgesetz von NEWTON35

11.4.1 Definition und Fluidreibungsgesetz

Die Viskosität ist die Eigenschaft eines Fluids, beim Verformen eine Spannung aufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt. Sie wird auch als innere Reibung bezeichnet – im Gegensatz zur äußeren Reibung (Wandreibung!).

Zur Erläuterung des Fluidreibungsgesetzes von NEWTON wird die reale Flüssigkeit der Dicke dz zwischen einer festen unbeweglichen Wand und einer beweglichen Platte betrachtet (Abb. 11.6).

Abb. 11.6: Prinzipienskizze zur Erläuterung des Reibungsgesetzes nach NEWTON

Um die Platte mit der Kontaktfläche A mit konstanter Geschwindigkeit vx,2 parallel zur Wand zu bewegen, wird eine Kraft FR benötigt, die:

der Fläche A proportional ist RF A ,

der Geschwindigkeitsdifferenz dvx = vx,2 vx, 1 proportional ist R x(F dv ) ,

dem Abstand dz umgekehrt proportional ist RF l / dz .

35 NEWTON, Isaac (1642–1727): Englischer Physiker, Mathematiker und Astronom.

z

xRWS

dz

Kontaktfläche A

1

Bewegliche Platte

FR

Reale Flüssigkeit

vx,2

vx

vx,1= 0Schubspannung x

x

feste Wand1

2

2


xR

dv F A

dz und mit der Schubspannung R

x

F

A :

xx NEWTONsches

dv Fluid reibu ngsg

de z

zset (11.1)

Gl. (11.1) gilt auch für zwei beliebige Stromschichten mit dem Abstand dz, die mit dem Ge-schwindigkeitsunterschied dvx übereinander gleiten, d.h. sie gilt auch für den Einfluss der Rei-bung im Inneren eines Strömungsfeldes. Dabei ist der Proportionalitätsfaktor η:

2

3

N kgdynamische Viskosität Pas bzw. s bzw.

m ms

(frühere Maßeinheit : Zentipoise :1 cp 10 Pas)

Am häufigsten wird jedoch die kinematische Viskosität verwendet:

2

wW

6 2

m mit: Fluiddichte

s

(frühere Maßeinheit: Zentistokes: 1 c ST = 10 m s)

Die kinematische Viskosität ist von der Temperatur T abhängig. Für Wasser gilt nach POI-SEUILLE36 folgende Formel, wobei ν in [m2/s] und T in [°C] eingesetzt werden:

6

2

1,78 10

1 0,0337 T 0,000221T

(11.2)

Bei den meisten ingenieurpraktischen Berechnungen genügt es, für normale Temperaturberei-che (um 20 °C) mit einer mittleren kinematischen Viskosität von ν = 10-6 m2/s zu rechnen.

Mit steigender Temperatur nimmt die Viskosität bei Flüssigkeiten ab und bei Gasen zu (Tab. 11.1).

36 POISEUILLE, Jean Louis (1799–1869): Französischer Mediziner. Forschung über Blutströmung in den Adern.


Tab. 11.1: Abhängigkeit der kinematischen Viskosität von der Temperatur

Temperatur

[°C]

Kinematische Viskosität

[10-6 m²/s]

Wasser Luft

0 1,79 13

10 1,31 14

20 1,00 15

30 0,80 16

100 0,29 24,5

Dies kann durch das Molekularverhalten der Fluide bei steigender Temperatur erklärt werden:

Bei Flüssigkeiten: Infolge der Ausdehnung der Flüssigkeit nimmt auch der Abstand zwischen den Molekülen zu. Die Anziehungskräfte zwischen diesen – und somit auch die Viskosität – nehmen entsprechend ab.

Bei Gasen: Durch Querdiffusion gelangen die Gasmoleküle in die Nachbarschich-ten. Dort werden sie gebremst bzw. beschleunigt. Dieser Impulsaustausch wirkt sich als Schubspannung aus und ist somit für den Scherwiderstand der Gase ver-antwortlich. Mit steigender Temperatur nimmt die Querdiffusion – und somit auch die Viskosität – zu.

11.4.2 Implikationen und Gültigkeit des NEWTONschen Reibungsansatzes

Aus dem Fluidreibungsgesetz folgen eine Reihe von Implikationen, die wie folgt formuliert werden können:

Weder Schubspannung noch Viskosität sind vom Druck abhängig. Hier liegt der grundsätzliche Unterschied zur Reibung zwischen Festkörpern, bei denen die Rei-bung von der Normalkraft abhängig und der Verformung proportional ist (Propor-tionalitätsfaktor ist der Schubmodul).

Jede beliebige kleine Schubspannung τx induziert eine Strömung, d.h. einen Ge-schwindigkeitsgradienten dvx/dz:

xx

dv (Äquivalenz!)

dz .

Ist dvx/dz = 0, so ist τx = 0, unabhängig davon, wie hoch die Viskosität ist, d.h. bei ruhenden Flüssigkeiten gilt τx = 0.


Bei der Anwendung des Reibungsgesetzes von NEWTON müssen folgende Restriktionen be-rücksichtigt werden:

Gl. (11.1) gilt nur für laminare, jedoch nicht für turbulente Strömung. Bei turbulen-ter Strömung gilt:

xx

dv( )

dz , (11.1)a

wobei ε = Scheinviskosität, d.h. sie ist keine Stoffkonstante wie η, sondern vom Turbulenzgrad abhängig (i.d.R. gilt ). Gl. (11.1) gilt für die meisten Fluide (Flüssigkeiten und Gase). Solche Fluide wer-

den NEWTONsche Fluide genannt und sind Gegenstand der Fluidmechanik. Flu-ide, deren Reibungsverhalten vom NEWTONschen Ansatz abweicht, werden als nicht-NEWTONsche Fluide bezeichnet und sind Gegenstand der Rheologie (Abb. 11.7).

11.5 Umschlag laminar/turbulent – REYNOLDS-Zahl

11.5.1 Umschlag laminar/turbulent

Im Abschnitt 11.3 wurde gezeigt, dass die Viskosität zur Entstehung von zwei Grundströ-mungsarten führt – laminare und turbulente Strömung. Weiterhin betrachten wir den Versuch in Abb. 11.8a, bei dem der Druckabfall ∆h zwischen zwei Messpunkten 1 und 2 für verschie-

dene mittlere Strömungsgeschwindigkeiten v gemessen wird. Das Ergebnis ist in Abb. 11.8b aufgetragen.


Abb. 11.7: Reibungsverhalten NEWTONscher und nicht-NEWTONscher Fluide

Die erhaltene Kurve besteht aus zwei verschiedenen Ästen und einem Übergangsbereich:

bei kleineren Geschwindigkeiten ist ∆h proportional v (laminare Strömung),

bei größeren Geschwindigkeiten ist ∆h nahezu proportional 2

v (turbulente Strö-mung),

im Übergangsbereich, der schwer zu definieren ist, ist sowohl turbulente als auch laminare Strömung möglich.

Um diesen Übergangsbereich zu definieren und somit den Umschlag laminar/turbulent besser zu charakterisieren, wird die sog. REYNOLDS-Zahl benötigt.

plastisches Fluid(f = Fließgrenze )z.B. Schmierfett

newtonsches Fluidz.B. Wasser, Öl, Gase

pseudoplastisches Fluidz.B. Harze, Emulsionen

dilatantes Fluidz.B. Farben

ideales Fluid (x = 0)

Geschwindigkeitsgradient xdv

dz

Sch

ubsp

annu

ng x

f

xx

d v

d z


Abb. 11.8: Umschlag laminare/turbulente Strömung

11.5.2 Herleitung der REYNOLDS-Zahl

REYNOLDS wies 1883 nach, dass die Grenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung vom Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Reibungskräften (FT/FR) abhängt. Dieses Verhältnis (FT/FR) wird durch die REYNOLDS-Zahl beschrieben:

v L

Re

(11.3)

mit: v = mittlere Geschwindigkeit über dem Fließquerschnitt [m/s]

L = kennzeichnende Länge [m]

= kinematische Viskosität [m2/s]

Beweis:

Es wird eine eindimensionale Strömung in x-Richtung mit der mittleren Geschwindigkeit vx betrachtet.

3x xT w

dv dvTrägheitskräfte : F m b = m L

dt dt

2x xR x w w

dv dvReibungskräfte : F A A L

dz dz

wobei: L = Längenmaß, L² = Flächenmaß und L³ = Volumenmaß

1 2v

hDruckabfallU-RohrManometer

Rohrleitung

h

0 v

2h ~ v

h ~ v

laminar

turbulent

Übergangs-bereich

(a) Versuch (b) Ergebnis


3 x

wT

2xRw

dv LF L dzdt

dvF dt Ldz

mit x

dz dz dx dz dx dzv

dt dt dx dx dt dx ergibt sich:

Tx

R

F L dz v

F dx

da dz

dx nur ein Längenverhältnis darstellt, gilt mit

dz L1

dx L bei geometrisch ähnlichen Strö-

mungen:

T x

R

F v LRe

F

(11.3)a

Für eine Druckrohrströmung stellen der lichte Durchmesser D die kennzeichnende Länge und die mittlere Geschwindigkeit v die maßgebende Geschwindigkeit dar, die für die Berechnung der REYNOLDS-Zahl anzusetzen sind:

v D

Re

(11.3)b

Die Größenordnung von Re für Druckrohrströmungen bei Wassertemperaturen um 20 °C liegt bei: 4 8Re 10 10

11.5.3 Bedeutung der REYNOLDS-Zahl

Die REYNOLDS-Zahl entscheidet über:

das Fließverhalten (laminar/turbulent),

das Widerstandsverhalten.

Die REYNOLDS-Zahl ist auch von großer Bedeutung in der Ähnlichkeitsmechanik:

Die REYNOLDS-Zahl Re ermöglicht als Maßstab des Verhältnisses der Trägheits- und Reibungskräfte (FT/FR) den Vergleich zwischen einer Strömung im verkleiner-ten Modell und einer geometrisch ähnlichen Strömung im Naturmaßstab.


11.5.4 Kritische REYNOLDS-Zahl

11.5.4.1 Definition

Experimente mit verschiedenen Fluiden haben gezeigt, dass der Umschlag laminar/turbulent bei der Druckrohrströmung mit:

zunehmender mittlerer Strömungsgeschwindigkeit v,

zunehmender Rohrlichtweite D und

abnehmender Viskosität

eintritt. Da alle Größen v, D und in der REYNOLDS-Zahl enthalten sind (siehe Gl. (11.3b)), bestimmt die Größe der REYNOLDS-Zahl auch den Umschlag laminar/turbulent. Die REYNOLDS-Zahl, bei der dieser Umschlag erfolgt, heißt kritische REYNOLDS-Zahl Re-krit:

kritkrit

v LRe

(11.4)

Bei Re < Rekrit: Stabile Laminarströmung: Wird die Strömung gestört, so klingt diese Stö-rung mit zunehmender Entfernung ab und die Strömung wird wieder la-minar.

Bei Re ≥ Rekrit: Labile Laminarströmung: Kann bis Re 10000 aufrechterhalten werden.

Bei der geringsten Störung schlägt jedoch die Laminarströmung in turbu-lente Strömung um und wird nicht wieder laminar.

11.5.4.2 Entstehung der Turbulenz

Beobachtungen und Geschwindigkeitsmessungen haben gezeigt, dass an einzelnen Punkten ei-ner festen Wandung Instabilitäten der Laminarströmung eintreten, die in Strömungsrichtung wandern. Diese werden als Turbulenzflecken bezeichnet (Abb. 11.9). Diese Turbulenzflecken sind besonders durch Geschwindigkeitsmessungen nahe der Wandung nachweisbar. Dazwi-schen liegt praktisch laminare Strömung vor (Abb. 11.9). Die Turbulenzflecken nehmen in Strömungsrichtung an Umfang zu, sodass sich nach einer bestimmten Strecke die Turbulenz voll ausbildet (Abb. 11.9).

Ein Maß der Turbulenzentwicklung im Übergangsbereich hat ROTTA (1972) entwickelt: Das ist der Intermittenzfaktor γ. Dieser Faktor wird als Verhältnis der Zeiten tti, in denen turbulente Schwankungen registriert werden, zu der Gesamtzeit tG definiert. Bei laminarer Strömung ist daher = 0, bei voll ausgebildeter Turbulenz = 1,0 und im Übergangsbereich = 0 1.

Der Umschlag laminar/turbulent stellt somit ein Stabilitätsproblem dar (siehe auch Ab-schnitt 11.6.2) und ist daher abhängig von:


der Art des Strömungsvorgangs,

der Vorturbulenz und

den örtlichen Störungen.

Deshalb kann die Größe der kritischen REYNOLDS-Zahl lediglich auf experimentellem Weg bestimmt werden. Angaben über kritische REYNOLDS-Zahlen liegen bereits für folgende Strömungsvorgänge vor:

Druckrohrströmungen,

Gerinneströmungen,

Umströmung von Körpern und

Filterströmungen.

Abb. 11.9: Zur Entstehung der Turbulenz

Anmerkung zum Begriff PRANDTLscher "Mischungsweg":

Die Gesamtschubspannung τges setzt sich in der Regel aus einem laminaren Anteil τl (nach Gl ((11.1) zu bestimmen) und aus einem turbulenten Anteil τt zusammen:

ges l t (11.5)

NEWTON REYNOLDS

tti

t

v

t

v

t

v

v = konst.

Geschw.-messungin Wandnähe v v v

laminar:

turbulent:

v konst.

v v v

tt(i+1)

Wand

Messpunkt

Stromlinien

rein laminar( = 0)

1

Turbulenzflecken

laminar-turbulent(0 < < 1)

2

voll ausgebildete Turbulenz

voll ausgebildete Turbulenz( = 1)

3


Für den turbulenten Anteil τt gilt nach REYNOLDS:

t w x zv v (11.6)

x z x zv v v v : Mittlere Absolutwerte der Geschwindigkeitsschwankungen in Strö-

mungsrichtung x und Querrichtung z. Da Gl. (11.5) unpraktisch ist, hat PRANDTL in Anleh-nung an die molekulare Bewegung von Gasen das Konzept des "Mischungsweges" eingeführt. Demnach werden die Turbulenzflecken (Abb. 11.9) von einem Ort bestimmter Geschwindig-keitsschwankungen zu einem neuen Ort mit anderen Geschwindigkeitsschwankungen im Ab-stand Lm transportiert, wobei PRANDTL folgende Annahme trifft:

xx z m

dvv v L

dz (11.7)

Der PRANDTLsche "Mischungsweg" Lm stellt somit den Proportionalitätsfaktor zwischen den mittleren Geschwindigkeitsschwankungen und dem Geschwindigkeitsgradienten dvx/dy dar. Die Bestimmung der Unbekannten Lm in Gl. (11.7) gelang erst VON KARMAN:

mL z (11.8)

Mit κ = 0,4 : KARMAN-Konstante (Neuere Untersuchungen zeigen, dass κ keine Konstante ist und von verschiedenen Faktoren wie z.B. Sedimentkonzentration etc. ab-hängt.)

Aus Gl. (11.8), Gl. (11.7) und Gl. (11.6) folgt:

2

2 2 xt w

dv z

dz

. (11.9)

11.5.4.3 Kritische REYNOLDS-Zahlen bei Druckrohrströmungen

Für gerade Rohrstrecken ohne Störungen gilt:

kritkrit

v DRe 2.320

. (11.10)

Jede Strömung bzw. jedes Hindernis in der Rohrleitung bewirkt ein früheres Eintreten des Um-schlags, d.h. Rekrit wird geringer. Zum Beispiel ist bei einem Rohrkrümmer

kritRe 500 1000 und bei einem Hahn bzw. Drehschieber kritRe 500 800.

11.5.4.4 Kritische REYNOLDS-Zahl bei Gerinneströmungen

Die kennzeichnende Geschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit über dem Fließquer-schnitt A. Als kennzeichnende Länge L wird der hydraulische Radius R angenommen:

A

RU


mit: A = Fließfläche

U = benetzter Umfang

kritkrit

v R Re

(11.11)

Für ein Kreisrohr mit dem lichten Durchmesser D ist 2D

A4

und U D :

A D

RU 4

D = 4 R

eingesetzt in Gleichung (11.10):

kritkrit

v (4R)Re 2.320

(11.12)

Der Vergleich von Gl. (11.12) und Gl. (11.11) führt zu:

krit

2.320Re 580

4 (11.13)

für Gerinneströmungen.

11.5.4.5 Kritische REYNOLDS-Zahl bei Umströmung von Körpern

Die mittlere Umströmungsgeschwindigkeit und die Tiefe tK des umströmten Körpers in Strö-mungsrichtung stellen die kennzeichnenden Größen der REYNOLDS-Zahl dar.

5 5krit Kkrit

v tRe 3 10 5 10

(11.14)

Bei störungsfreier Umströmung sind Rekrit-Werte bis 3∙106 möglich. Bei Umströmungen von Körpern sind die Grenzen des Umschlags nicht eindeutig. In der Regel tritt der Umschlag an der Stelle des Druckminimums ein.

11.5.4.6 Kritische REYNOLDS-Zahl für Filterströmungen

Die kennzeichnende Geschwindigkeit ist die Filtergeschwindigkeit (vgl. Abschnitt 13):

ff

Q Durchflussv = =

A Filterfläche

Die kennzeichnende Länge ist der mittlere Korndurchmesser dK

kritf Kkrit

v dRe 5

(11.15)


11.6 Grenzschicht-Konzept nach PRANDTL37

In Abschnitt 11.2 wurde gezeigt, dass bei idealen Flüssigkeiten:

keine Wandhaftung wie bei realen Flüssigkeiten (Gleitbedingung) und kein Strömungswiderstand

eintritt.

Dieses Ergebnis steht im Widerspruch zu den Beobachtungen (D'ALEMBERTsches Para-doxon). Die restlose Lösung dieses Widerspruchs erfolgte erst 1904 durch die Einführung des Grenzschicht-Konzeptes von PRANDTL. Das Grenzschicht-Konzept stellt somit eine Art Brü-cke zwischen der Theorie der idealen Flüssigkeiten und der Welt der realen Flüssigkeiten dar.

11.6.1.1 Grenzschicht- und Außenströmungsbereich

Das Besondere am Grenzschicht-Konzept besteht darin, dass durch den Reibungseinfluss (Vis-kosität) zwei Strömungsbereiche entstehen (Abb. 11.10):

Grenzschichtströmung,

Außenströmung.

37 PRANDTL, Ludwig (1875–1953): Deutscher Ingenieur. Das revolutionäre Grenzschicht-Konzept trug PRANDTL 1904 auf dem 3. Mathematiker Kongress in Heidelberg vor ("Über Flüssigkeitsbewegungen bei sehr kleiner Reibung", Verhandlungen des III. Intern. Mathematiker Kongresses Heidelberg, 1904 (S. 484–491)).


Abb. 11.10: Grenzschicht- und Außenströmungsbereich

Im Grenzschichtbereich, d.h. in unmittelbarer Wandnähe, wird die Strömung durch folgende Merkmale charakterisiert:

Haftung der Wasserteilchen an der Wandung (vx = 0),

rasches Ansteigen der Geschwindigkeit von vx = 0 an der Wandung auf vx = v0 (v0 = Anströmgeschwindigkeit) im Außenströmungsbereich. Diese hohen Ge-schwindigkeitsgradienten dvx /dz führen entsprechend zu hohen Schubspannungen x,

große Verschiebungen der Stromlinien nach außen.

Es gelten die Gesetze der viskosen Strömungen (NAVIER38, STOKES39, REY-NOLDS).

Im Außenströmungsbereich weist die Strömung annähernd die Merkmale einer idealen Strö-mung auf:

konstante Geschwindigkeitsverteilung (vx = v0 = konst.),

nur sehr leichte Verschiebung der Stromlinien nach außen, d.h. bei den üblichen NEWTONschen Fluiden wie Wasser und Luft ist die Auswirkung der Viskosität fast ausschließlich auf den Grenzschichtbereich begrenzt.

Es gelten die Gesetze der Potentialströmung.

38 NAVIER, Claude-Louis-Marie-Henri (1785–1836): Französischer Ingenieur.

39 STOKES, George Gabriel (1819–1903): Irischer Mathematiker.

Grenzschichtströmung (real)

Außenströmung (ideal)

v0

v0

v(z)

Stromlinien

z

dz

dvx

v = 0

x


11.6.2 Grenzschichtentwicklung

Die Entwicklung der Grenzschicht im Zusammenhang mit der Turbulenzentstehung wird bei-spielhaft an einer längsangeströmten ebenen Platte demonstriert (Abb. 11.1).

Abb. 11.11: Grenzschichtentwicklung an einer längsangeströmten ebenen Platte

Für die Verhältnisse in Abb. 11.11 kann Folgendes festgestellt werden: (i) Gleich bei x = 0 beginnt die Ausbildung einer laminaren Grenzschicht. Dabei wächst

die Grenzgeschwindigkeit von vx = 0 an der Wandung (Haftbedingung) auf nahezu den Wert der Anströmgeschwindigkeit v0 an,

die Grenzschichtdicke L in Strömungsrichtung x an:

1

2

L0

x5

v

(ii) Bei einer kritischen REYNOLDS-Zahl von:

60 kritkrit

v xRe 3 10

tritt an der Stelle xkrit ein Übergangsbereich ein:

Grenzschichtturbulent

x = 0

v0

T

v0

L

UL

v0 v0

Grenzschichtlaminar

x

xkrit

v0

v0

viskose (laminare) Unterschicht

Platte

Übergangsbereich

L

L T

T


6

krit0

3 10x

v

(iii) Nach dem Übergangsbereich tritt:

eine turbulente Oberschicht ein, deren Dicke T in Strömungsrichtung x schneller als im laminaren Bereich anwächst:

0,8

T0

x0,37

v

eine viskose bzw. laminare Unterschicht ein, deren Dicke UL nahezu konstant bleibt und in der ähnliche Strömungsverhältnisse wie in der vorderen laminaren Grenzschicht vorherrschen (d. h. überwiegend viskose Strömung!). Die Dicke der viskosen Unterschicht ist eine Funktion der Viskosität ν und der Schubspannungs-

geschwindigkeit40 * wv / ( = Schubspannung):

UL*

5v

Anmerkung zum Geschwindigkeitsprofil bei turbulenter Strömung

Mit der Schubspannungsgeschwindigkeit t*

w

v

folgt aus Gl. (11.9):

x*

dvv z

dz . (11.16)

Da = konst. und *v über einen vorgegebenen Turbulenzbereich auch konstant bleibt, folgt

aus der Integration von Gl. (11.16):

x

x* v z

1 1 dzdv

v z (11.17)

x0

*

v 1ln z C

v

. (11.17)a

Die Integrationskonstante C0 folgt aus der Randbedingung vx = 0 bei z = z0:

0 0

1C ln z

, (11.18)

40 Näheres über v siehe Abschnitt 14.2.2.


Gl. (11.18) in Gl. (11.17a) eingesetzt, führt zu:

x

* 0

v 1 zln

v z

(11.19)

bzw. mit = 0,4 und log = 2,3 ln zu:

x

* 0

v z5,75 log

v z . (11.20)

Das ist das sogenannte logarithmische Geschwindigkeitsprofil. Zur Bestimmung der Höhen-lage z0 bei vx = 0 müssen die unterschiedlichen Turbulenzbereiche berücksichtigt werden (siehe Abschnitt 14.3.2).

Eine ähnliche Entwicklung der Grenzschicht und der Turbulenz wie bei der Plattenströmung in Abb. 11.11 tritt auch bei einer Rohrströmung ein (Abb. 11.12). Wichtig für die Unterscheidung der verschiedenen turbulenten Strömungsbereiche ist die Dicke der laminaren Unterschicht UL im Vergleich zur Wandrauheit (vgl. Abschnitt 14.3.2).

Abb. 11.12: Grenzschichtentwicklung bei einer Rohrströmung

Zusätzlich ist aus Abb. 11.12 Folgendes ersichtlich: (i) Die turbulente Grenzschicht breitet sich von allen Seiten über den gesamten Rohrquer-

schnitt aus. Nach einer Anlaufstrecke von ca. x 50 D (D = Rohrdurchmesser) ist diese Ausbreitung der Grenzschicht abgeschlossen, d.h. der Endzustand der Geschwindig-keitsverteilung über dem Rohrquerschnitt ist erreicht.

(ii) Unmittelbar an der Rohrwandung bleibt eine dünne laminare Unterschicht vorhanden, die den Strömungswiderstand entscheidend beeinflussen kann.

laminare Grenzschicht

turbulente Grenzschicht

Endzustand derGeschw.-verteilung

Q

v

Anlaufstrecke ( 50D)

Kernströmung

voll ausgebildete turbulente Strömung

laminare Unterschicht

D

UL



1. Reale Fluide unterscheiden sich von idealen Fluiden durch die Viskosität, eine Stoffei-genschaft, die die innere Fluidreibung charakterisiert.

2. Zwischen dynamischer Viskosität [kg/(ms)], kinematischer Viskosität [m2/s] und

Dichte W [kg/m3] eines Fluides besteht der Zusammenhang:

w

3. Die Viskosität steht mit der Aktivität der Gasmoleküle bzw. mit der Kohäsion der Flüs-

sigkeitsmoleküle in Zusammenhang. Deshalb nimmt mit steigender Temperatur die Vis-kosität von Gasen zu, während die Viskosität von Flüssigkeiten abnimmt.

4. Viskosität bewirkt (i) eine Haftung des Fluides an der Wandung (v = 0), (ii) einen Strö-

mungswiderstand und (iii) die Entstehung von zwei Grundströmungsarten: laminare und turbulente Strömung.

5. Das Fluidreibungsgesetz von NEWTON:

xx

dv

dz

bringt die Äquivalenz zwischen Schubspannung x und Geschwindigkeitsgefälle dvx/dz (Strömung) zum Ausdruck, d.h. Schubspannungen treten nur bei relativen Bewegungen der Wasserteilchen auf und sind der Verformungsgeschwindigkeit proportional. Folglich ist bei ruhenden Fluiden x = 0.

6. Das NEWTONsche Fluidreibungsgesetz ist nur für laminare Strömungen gültig. Bei tur-

bulenter Strömung ist eine scheinbare Viskosität anzusetzen, die keine Stoffgröße wie die dynamische Viskosität ist, sondern eine Impulsaustauschgröße, die von der Turbu-lenz abhängt.

7. NEWTONsche Fluide sind Fluide, die durch den Schubspannungsansatz von NEWTON

beschrieben werden. 8. Die REYNOLDS-Zahl

v L

Re

beschreibt das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Reibungskräften.

9. Die REYNOLDS-Zahl stellt ein Maß für die Auswirkung der Viskosität auf die Strömung dar. Sie beschreibt somit die Fließform und den Umschlag laminar/turbulent (kritische


REYNOLDS-Zahl). Sie ist auch eine der wichtigsten Verhältnisgrößen der Ähnlichkeits-mechanik, da sie die maßstabsgetreue Nachbildung von Strömungen unter viskosem Ein-fluss (z.B. Druckrohrströmungen) ermöglicht.

10. Das Grenzschicht-Konzept von PRANDTL bildet die Hauptgrundlage für die Behand-

lung reibungsbehafteter (realer) Strömungen. Demnach wird das Strömungsfeld in zwei Bereiche aufgeteilt:

Außenströmungsbereich: hier wird die Strömung als reibungsfrei (ideal) betrach-tet und als Potentialströmung behandelt.

Grenzschichtbereich: hier wird die Strömung als reibungsbehaftet (real) betrach-tet und mit den Bewegungsgleichungen für die laminaren und turbulenten Strö-mungen (REYNOLDS, NAVIER-STOKES) behandelt.


11.8 Aufgaben

Aufgabe 11.1: "Fahne im Wind"

Warum flattert eine Fahne im Wind, auch wenn diese eine konstante Geschwindigkeit hat? Erläutern Sie das Phänomen! Aufgabe 11.2: "Grenzschichtkonzept"

Wetterstationen messen neben Temperatur und Niederschlag meistens auch die Windgeschwin-digkeit in einer Höhe von 10 m. Geben Sie unter Berücksichtigung des Grenzschichtkonzeptes nach PRANDTL den Grund dafür an, warum die Windgeschwindigkeit nicht in geringerer Höhe gemessen wird. Aufgabe 11.3: "REYNOLDS-Zahl"

Für zwei Rohrleitungen mit den Durchmessern Di und den Geschwindigkeiten vi soll für ver-schiedene Temperaturen Ti festgestellt werden, ob laminare oder turbulente Strömung herrscht. Wie kann dies festgestellt werden? Gegeben:

Wasser: T1 = 10 °C T2 = 30 °C

1) Transportleitung: D1 = 0,4 m v1 = 1,5 m/s

2) Laborleitung: D2 = 0,004 m v2 = 0,5 m/s

Lösung:

Der Strömungszustand kann mit Hilfe der REYNOLDS-Zahl bestimmt werden:

v DRe

mit Re krit = 2.320 für Druckrohrströmungen

Die kinematische Viskosität von Wasser beträgt:

ν (10 °C) = 1,31·10-6 m2/s

ν (30 °C) = 0,80·10-6 m2/s


1 11 6

2 22 6

1 13 6

2 24 6

v D 1,5 0,4Re 458.015 turbulent

(10 C) 1,31 10

v D 0,5 0,004Re 1.527 laminar

(10 C) 1,31 10


(30 C) 0,8 10


(30 C) 0,8 10

Aufgabe 11.4: "Blutkreislauf"

Wie groß sind die REYNOLDS-Zahlen im Blutkreislauf des menschlichen Körpers?

a) In einer Kapillare (d = 8 m; vm = 5 mm/s )

b) In der Aorta (d = 20 mm; vrn = 0,3 m/s)

Gegeben:

Dynamische Viskosität von Blut: = 4·10-3 kg/m (bei normaler Körpertemperatur)

Dichte von Blut: Blut = 1000 kg/m3

Lösung:

Ermittlung der kinematischen Viskosität:

3 26

Blut

4 10 m4 10

1.000 s

Ermittlung der REYNOLDS-Zahl in einer Kapillare:

6

K 6

v D 0,005 8 10Re 0,01

4 10

Ermittlung der REYNOLDS-Zahl in einer Aorta:

A 6

v D 0,3 0,02Re 1.500

4 10

laminare Strömungen!


Aufgabe 11.5: "Logarithmisches Fließgesetz"

Berechnen Sie die Schubspannungsgeschwindigkeit sowie die dazugehörige Schubspannung für eine gemessene Geschwindigkeit von v = 1,0 m/s in z = 1,0 m Höhe über der Sohle bei einer Sandkornrauheit ks = 0,3 mm.

Gegeben: vx = v = 1,0 m/s

z = 1,0 m

s0

k 0,0003z 0,00001 m

30 30

(Annahme: hydraulisch rauer Bereich)

w = 1.000 kg/m3

Lösung:

x

* 0

v z 5,75 log

v z

x

*

v 1,0 5,75 log

v 0,00001

* v 0,0348 m/s

2* * w

w

v v

21,21 N / m

Überprüfung der Annahme:

6

UL S*

1 105 5 0,000144 m = 0,144 mm < k 0,3 mm

v 0,0348

Annahme war zutreffend.

Laminare Strömung im Kreisrohr 206

12 Laminare Strömung im Kreisrohr

12.1 Allgemeines und Annahmen

Beim Durchströmen von geraden Kreisrohren mit REYNOLDS-Zahlen kleiner als 2.320 stellt sich im Rohr laminare Strömung ein. Diese ist technisch weniger bedeutsam als turbulente Rohrströmung, mit Ausnahme:

der Strömung sehr zäher Flüssigkeiten, wie z.B. Öle oder

der Strömung in sehr kleinen Rohrlichtweiten, wie z.B. in den Porenkanälen eines Bodens.

Im Gegensatz zur turbulenten Rohrströmung lassen sich die Rohrströmung, die Geschwindig-keitsverteilung über dem Rohrquerschnitt und die Druckverluste infolge Reibung längs der Rohrachse theoretisch berechnen.

Der Ausgangspunkt für die theoretische Lösung bildet das NEWTONsche Reibungsgesetz (vgl. Abschnitt 11). Dabei werden folgende Annahmen zugrunde gelegt:

stationäre Rohrströmung: sie besteht aus konzentrischen Schichten (Laminae), die die Form von Hohlzylindern mit der Stärke dr und dem Innenradius r haben (Abb. 12.1),

die Laminarströmung ist voll ausgebildet und der Stromquerschnitt ist voll ausge-füllt,

gerades Rohr mit konstantem Lichtdurchmesser, d.h. ohne Störungen und ohne Richtungsänderungen.

12.2 Schubspannungsverteilung

Mit dz = dr ergibt sich der NEWTONsche Reibungsansatz zu:

xdv

dr . (12.1)


Abb. 12.1: Schubspannung bei laminarer Rohrströmung

Jede hohlzylindrische Strömungsschicht wird von der langsamer gleitenden Nachbarschicht ge-bremst. Die Bremskraft (bzw. Reibungskraft) auf die Strömungsschicht mit dem Radius r, der Dicke dr und der Länge dx ist:

RdF d 2 r dx (12.2)

mit: dAx = 2 r dx

Die treibende Kraft auf die Strömungsschicht entsteht aus dem Druckunterschied dp zwischen Schnitt 1-1 und Schnitt 2-2, der auf die Radialfläche dAr = (2r dr) wirkt:

PdF dp(2 rdr) (12.3)

Da die Gewichtskräfte in Strömungsrichtung gleich Null sind (horizontales Rohr) und da die Trägheitskräfte ebenfalls gleich Null sind (stationäre Strömung und konstanter Rohrquer-schnitt), ist:

R PdF dF 0

d( 2 r) dx + dp (2 r dr) = 0 : 2

d( r) dx + dp r dr = 0 : dx

d( r) = - dp/dx r dr

Strömungsschicht (laminar)

drdA (2 r dr)

Rr

1

dx

Q, v konst.

r

x

r R

xdA 2 r dx

dr

D


1

2

2


Die Integration über den Rohrquerschnitt ergibt:

r r

0 0

dpdr r dr

dx

Die Strömung ist stationär und der Rohrquerschnitt bleibt über die Strecke dx konstant. Somit ist dp/dx = konst.:

2dp 1r r C

dx 2

Da in Rohrmitte (r = 0) = 0 (aus Symmetriegründen) ist, wird die Integrationskonstante C = 0.

Damit ist:

2dp r

r : rdx 2

dp r

dx 2 . (12.4)

Das Minuszeichen weist darauf hin, dass die Schubspannung dem Druckgradienten dp/dx (d.h. der Bewegung) entgegen gerichtet ist.

Die Schubspannungsverteilung nach Gl. (12.4) ist ein Hohlkegel (Abb. 12.2).

Die maximale Schubspannung tritt an der Wandung, d.h. bei r = R, ein:

max

dp R

dx 2 (12.5)

Abb. 12.2: Schubspannungsverteilung bei laminarer Rohrströmung

max

dp R

dx 2

r

x

Hohlkegel

R

R

= 0


12.3 Geschwindigkeitsverteilung

Aus Gl. (12.1) und Gl. (12.4) folgt mit vx = vx(r):

xdv (r) dp r

dr dx 2

Daraus folgt die Geschwindigkeitsverteilung vx(r) über dem Rohrquerschnitt:

r

x

0

1 dp rv (r) dr

dx 2

2

x 1

1 dp rv (r) C

dx 4

(12.6)

Aufgrund der Haftbedingung an der Rohrwand vx (r = R) = 0 ist die Integrationskonstante Cl:

2

1

1 dp RC

dx 4

. (12.7)

Gl. (12.7) in Gl. (12.6) eingesetzt, führt zu:

2 2

x

1 dp (R r )v (r)

dx 4

. (12.8)

Das heißt, die Geschwindigkeitsverteilung über dem Rohrquerschnitt entspricht einem Rotati-onsparaboloid (Abb. 12.4) mit vx = 0 an der Rohrwand (r = R) und mit der maximalen Ge-schwindigkeit in der Rohrachse (r = 0):

2

x,max

1 dp Rv

dx 4

(12.9)

Für die Herleitung der mittleren Strömungsgeschwindigkeit vm (= Q/AR) wird zunächst der Ge-samtdurchfluss Q über den Rohrquerschnitt AR bestimmt:

Der Teildurchfluss dQ in einer hohlzylindrischen Strömungsschicht ist:


Abb. 12.3: Definitionsskizze

x TdQ v (r) dA (12.10)

Mit der Radialfläche dAr = 2 r dr folgt:

xdQ v (r) 2πr dr

Der Gesamtdurchfluss Q berechnet sich aus der Integration von Gl. (12.10) über den Radius r, wobei vx(r) nach Gl. (12.8) eingesetzt wird:

2 21 dp (R r )

dQ 2 r drdx 4

2 31 dpdQ (R r r ) dr

dx 2

Die Integration über r führt zu:

r R

2 3

0

1 dpQ (R r r ) dr

dx 2

R2 2 4

0

1 dp R r rQ

dx 2 2 4

4 41 dp R R

Qdx 2 2 4


drdA (2 r dr)

Rr


Schließlich folgt das Gesetz von HAGEN41/POISEUILLE42:

4dp R

Qdx 8

. (12.11)

Der Durchfluss Q ist nach Gl. (12.11) direkt proportional dem Druckliniengefälle dp/dx und der vierten Potenz des Rohrradius R, jedoch umgekehrt proportional zur dynamischen Visko-sität . Die mittlere Geschwindigkeit ist:

4

m 2R

dp RQ dx 8

vA R

2

m

1 dp Rv

dx 8

(12.12)

Der Vergleich von Gl. (12.9) und Gl. (12.12) führt zu:

x,maxm

vv

2 (12.13)

Bei laminarer Strömung beträgt die mittlere Geschwindigkeit die Hälfte der maximalen Ge-schwindigkeit. Zusammenfassend lässt sich das Ergebnis für die Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrströmung in Abb. 12.4 darstellen. Die Entfernung rm von der Rohrachse, in der die mittlere

Geschwindigkeit x,maxm

vv

2 vorliegt, folgt, wenn vx,max nach Gl. (12.9) in Gl. (12.8) eingesetzt

wird:

m

Rr 0,707 R

2

Laminare Rohrströmungen dieser Art können nicht als Potentialströmung behandelt werden.

41 HAGEN, Gothilf (1797–1884): Deutscher Wasserbaumeister, Mitglied der Akademie der Wissenschaften

42 POISEUILLE, Jean Louis-Marle (1799–1869): Französischer Mediziner. Forschung über Blutströmung in den Adern. Beide haben das Gesetz der laminaren Strömung unabhängig voneinander entwickelt.


Abb. 12.4: Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrströmung

Anmerkung: Für das allgemeine Widerstandsgesetz für laminare und turbulente Strömung siehe Abschnitt 14.

m

2r R

2

Rr

x

R

x,maxm

VV

2

2

x ,max

1 dp RV

dx 4

xv (r)

xv 0



1. Die radiale Schubspannungsverteilung (r) im Kreisrohr entspricht einem Hohlkegel:

dp r

(r)dx 2

.

2. Die radiale Geschwindigkeitsverteilung vx(r) im Kreisrohr mit dem Lichtradius R ent-

spricht einem quadratischen Rotationsparaboloid:

2 2

x

1 dp R rv (r)

dx 4

mit der Scheitelgeschwindigkeit vx,max in der Rohrachse (r = 0):

2

x,max

1 dp Rv

dx 4

.

3. Die mittlere Geschwindigkeit vm ist halb so groß wie die Scheitelgeschwindigkeit vx,max:

x,maxm

vv

2 .

4. Die dargelegten Gesetzmäßigkeiten (nach POISEUILLE und HAGEN) besagen, dass:

zwischen Strömungsgeschwindigkeit und Druckgefälle ein linearer Zusammen-hang besteht,

die Geschwindigkeit (bzw. der Durchfluss) der Viskosität umgekehrt proportional ist. Sie ist jedoch von der Wandrauheit unabhängig.

Die Gesetzmäßigkeiten gelten auch entsprechend für nichtkreisförmige Rohrquer-schnitte.

5. Laminare Rohrströmungen, wie sie hier beschrieben wurden, können nicht als Potential-

strömungen behandelt werden.

Laminare Strömung im Boden (DARCY) 214

13 Laminare Strömung im Boden (DARCY43)

Die Strömung des Wassers im Boden hat sich zu einem eigenen umfangreichen Wissenszweig der Hydromechanik entwickelt. Deshalb gelten die folgenden Ausführungen lediglich als kurze Einführung in dieses Gebiet. Es soll gezeigt werden, wie aus der laminaren Rohrströmung die Gesetze und Zusammenhänge der Filterströmung abgeleitet werden können. Als Filterströmung wird die Durchströmung von durchlässigem Material mit engen Porenkanälen, wie z.B. Sand, bezeichnet. In diesen engen Durchflussquerschnitten herrscht, mit Ausnahme von groben Kie-sen und Schottern, Laminarströmung vor.

13.1 Herleitung des DARCYschen Filtergesetzes

Ausgangspunkt ist Gl. (12.11) für den Durchfluss im Kreisrohr, wobei = w , c = 1/(8) und A = R2 angesetzt werden:

2

w

1 dpQ c A

dx

. (13.1)

Gl. (13.1) gilt auch für jeden beliebigen nichtkreisförmigen Durchflussquerschnitt A, wobei sich die Konstante c entsprechend aus der Integration über den Fließquerschnitt ergibt.

Für den in Abb. 13.1 dargestellten DARCY-Versuch, bei dem eine Sandprobe mit:

dem Gesamtquerschnitt A = D2/4,

der Länge L,

dem Druckhöhenunterschied h

durchströmt wird, liegt ein konstantes Druckliniengefälle (stationäre Strömung) vor, das gleich-zeitig das Energieliniengefälle darstellt:

h dh

I konst.L dL

Wird der Druck dp durch den Druckhöhenunterschied dh ausgedrückt und dx = dL in Gl. (13.1) eingesetzt: wdp g d h,

43 DARCY, Henry (1803–1858); Französischer Ingenieur. Sein Hauptwerk ist in seinem berühmten Buch: "Les fontaines publiques da la ville da Dijon" (Paris, 1856) dargestellt.


so folgt:

2dh gQ c A

dL

. (13.2)

Abb. 13.1: Der DARCY-Versuch zur Herleitung des Filtergesetzes

Wird Gl. (13.2) für jeden Porenkanal Ai, in dem ein Teildurchfluss dQi vorliegt, angesetzt, so folgt:

2i i i

dh gdQ c A

dL

.

Der Gesamtdurchfluss Q durch alle n-Porenkanäle folgt aus der Summe aller Teildurchflüsse dQj zu:

n

2i i

i 1

dh gQ c A

dL

Da die Fließquerschnitte Ai der einzelnen Porenkanäle schwer zu bestimmen sind, wird eine fiktive Strömungsgeschwindigkeit vf eingeführt, die nicht auf den Fließquerschnitt der Porenka-näle, sondern auf den gesamten Querschnitt A der Bodenprobe bezogen wird. Sie wird als DARCYsche Filter- bzw. Sickergeschwindigkeit bezeichnet:

n2

i ii 1

f

dh gc A

Q dLvA A

n2

i ii 1

f

c Ag dh

vA dL

(13.3)

h

Q konst.

L

v,QBodenprobe Sand

D

Porenkanal-querschnitt Ai

Gesamtquerschnitt Ages = D2/4


mit:

n2

i ii 1

c Adh

Bodenkonstante hydr.GradientA dL

Hier wird:

n2

i ii 1

f

c Ag

kA

n2

i ii 1

f

c Ag

kA

(13.4)

als Durchlässigkeitsbeiwert kf mit der Dimension einer Geschwindigkeit [m/s] bezeichnet. Da kf umgekehrt proportional zur kinematischen Viskosität des Fluides ist, hängt der kf-Wert nicht nur von der Beschaffenheit des Bodenmaterials ab, sondern auch von der Fluidtemperatur im Boden.

Damit ergibt sich aus Gl. (13.3) und Gl. (13.4) mit I = dh/dL das DARCYsche Filtergesetz zu:

f fv k I (13.5)

Die Filtergeschwindigkeit ist dem Druckgefälle direkt proportional. Der Proportionalitätsfaktor wird als Durchlässigkeitsbeiwert bezeichnet und gibt die Filtergeschwindigkeit für das Gefälle I = 1 an.

Einige Richtwerte für den Durchlässigkeitsbeiwert kf sind in Tab. 13.1 angegeben:

Tab. 13.1: Durchlässigkeitsbeiwert für die DARCYsche Filterströmung

Bodenart Durchlässigkeitsbeiwert

kf [m/s]

Ton (fett bis schluffig)

Lehm, sandiger Ton

Sandiger Schluff

Sehr feiner Sand

Fein- bis Mittelsand

Grobsand

Kies

10-10 10-8

10-7 10-6

10-6 10-4

10-4 2·10-4

10-3 3·10-3

5·10-3 10-2

>10-2 m/s


Für Sande und Kiese kann auch folgende Näherungsformel zur Abschätzung des Durchlässig-keitsbeiwertes verwendet werden:

210

f

100 dk cm / s

U

mit: U = d60/d10 = Ungleichförmigkeitszahl

d10, d60 = Korndurchmesser mit 10 % und mit 60 % Siebdurchgang (cm)

Eine genauere Bestimmung von kf erfolgt i.d.R. durch Feldversuche (z.B. Pumpversuche) und Laborversuche an Bodenproben. Zu beachten ist, dass der kf-Wert von zahlreichen Einflussfak-toren wie z.B. Korngröße, Kornform, Lagerungsdichte bzw. Porengehalt bestimmt wird. Bei natürlich gelagerten Böden können außerdem die kf-Werte in horizontaler Richtung 210-mal größer als in vertikaler Richtung sein. Deshalb wird im Allgemeinen kf experimentell bestimmt (Durchlässigkeitsversuche an Bodenproben im Labor, Pumpversuch in der Natur).

Anwendungsbeispiel: Sickerverluste durch einen Damm

Zwei Becken werden durch einen Damm aus Feinsand (kf = 10-4 m/s) von 1.000 m Länge ge-trennt. Die Sohle ist undurchlässig. Der Wasserstand im ersten Becken beträgt 3,0 m und im zweiten Becken 2,0 m. Als mittlere Höhe des Durchflussquerschnittes kann 2,5 m und als mitt-lerer Sickerweg L = 20 m zwischen den halben benetzten Böschungshöhen angesetzt werden (Abb. 13.2). Es sollen die Sickerverluste des höher eingestauten Beckens überschläglich be-rechnet werden.

Abb. 13.2: Sickerverluste durch einen Damm

Hydraulischer Gradient : h 1

I 0,05L 20

3m

h 1m

2m2,5m

fvfv

L = 20m

linearer Verlauf der Sickerlinie (vereinfacht!)


Filtergeschwindigkeit : -4 -6

f fv = k I = 10 0,05 = 5 10 m/s

Durchflussquerschnitt über 1.000 m Dammlänge : A = 2,5∙1.000 = 2.500 m2

Sickerverlust : Q = vf A = 5∙10-6∙2.500 = 0,0125 m3/s

Bestünde der Damm aus Grobsand (kf = 10-2 m/s), so würde der Sickerverlust das Hundertfache betragen (Q = 1,25 m3/s).

Da kf umgekehrt proportional der kinematischen Viskosität ist (vgl. Gl. (13.4)) und da diese mit steigender Temperatur zunimmt (vgl. Tab. 11.1), würde eine Temperaturänderung von 0 °C (v1 = 1,78∙10-6 m2/s) auf 20 °C (v2 = 1,0∙10-6 m2/s) eine Zunahme der Sickerverluste von Q1 auf Q2 um:

62 1

61 2

Q v 1,78 101,78

Q v 1,0 10

bewirken. D.h. es tritt ein Anstieg der Sickerverluste um +78 % auf.

Es muss daher bei der Bestimmung des Durchlässigkeitsbeiwertes kf die Temperatur berück-sichtigt werden. Daher sind im Sommer entsprechend größere Sickerverluste als im Winter zu erwarten.

13.2 Wichtige Anmerkungen

(a) Filtergeschwindigkeit vf und mittlere Porengeschwindigkeit vm

Wie bereits erwähnt, stellt die Filtergeschwindigkeit vf eine ideelle Strömungsgeschwin-digkeit dar, die auf den gesamten Bodenquerschnitt A bezogen ist:

f f

Qv Q v A

A (13.6)

Sie unterscheidet sich von der tatsächlich auftretenden mittleren Geschwindigkeit, die auf

den Fließquerschnitt der Porenkanäle iA bezogen ist:

n

m m ini 1

ii 1

Qv Q v A

A

(13.7)

Aus Gl. (13.6) und Gl. (13.7) folgt die mittlere Geschwindigkeit vm, die wichtig für die Ausbreitung von Schadstoffen und anderen Transportvorgängen im Grundwasser ist:

m fn

ii 1

Av v

A

(13.8)


Da n

ii 1

A A

ist, muss vf < vm sein, d.h. die DARCYsche Filtergeschwindigkeit vf ist

kleiner als die mittlere Geschwindigkeit vm.

(b) Gültigkeit des DARCYschen Filtergesetzes

Das Filtergesetz von DARCY vf = kf I gilt nur für laminare Strömungen und daher für relativ kleine Filtergeschwindigkeiten. Die kritische REYNOLDS-Zahl beträgt:

f kkrit

v dRe 1 5

mit: dk = mittlerer Korndurchmesser des Korngemisches.

Bei Wasser von 10 °C mit ν = 1,31·10-6 m2/s ist die zulässige Geschwindigkeit, bei der merklichen Abweichungen vom DARCYschen Filtergesetz eintreten:

6

f ,zulk k

5 6,55 10v (m s)

d d

(13.9)

Das bedeutet, für dk = 1 mm = 10-3 m ist vf,zul = 6,55·10-3 m/s = 6,5 mm/s, während sich für dk = 1 cm = 10-2 m ein zulässiger Wert von vf,zul = 0,65 mm/s ergibt. Die Ungültigkeit des DARCYschen Filtergesetzes tritt also eher ein, je größer der Korndurchmesser ist. Streng genommen müssen bereits bei REYNOLDS-Zahlen Re > 5 nichtlineare Wider-standsgesetze herangezogen werden. Eines der wichtigsten dieser nichtlinearen Gesetze stellt z.B. die FORCHHEIMER44-Gleichung dar:

2f fI a v b v . (13.10)

mit: a, b = FORCHHEIMER-Konstanten. Sie sind abhängig von der REYNOLDS- Zahl, von der Porosität, der Kornform und der Kornrauheit. Für weitere Ein- zelheiten siehe ENGELUND (1953) und FORCHHEIMER (1930).

Der Polynomansatz in Gl. (13.10) besteht aus dem linearen Term (a vf) und dem nichtli-nearen Term (b vf

2).

44 FORCHHEIMER, Philipp (1852–1933): Deutscher Professor für Hydraulik.


13.3 Behandlung als Potentialströmung

Im Gegensatz zur laminaren Rohrströmung kann die DARCYsche Filterströmung im Boden als Potentialströmung behandelt werden. Dabei wird von den mikroskopisch kleinen Strömungs-umlenkungen in den sehr unregelmäßigen Porenkanälen abgesehen. Als Beispiel einer Grund-wasserströmung kann die Unterströmung einer Talsperre bei homogenem durchlässigem Un-tergrund in Abb. 13.3 betrachtet werden.

Abb. 13.3: Unterströmung einer Talsperre

An einem beliebigen Punkt des Sickerströmungsfeldes besitzt die Filtergeschwindigkeit:

f fv k I

ein Potential φ (vgl. Abb. 13.4), das wegen:

dh

I (s = Sickerweg)ds

durch die Druckhöhe h ausgedrückt werden kann (vgl. Abschnitt 6):

f f

dh dv k

ds ds

wp g h

DRUCKSPANNUNG UNTER DER GRÜNDUNG

wp g h

h

ÄQUIPOTENTIALLINIEN= LINIEN GLEICHER DRUCKSPANNUNG

RWS


Abb. 13.4: Sickerströmung als Potentialströmung – Definitionsskizze

Daraus folgt: fk dh d

und schließlich nach Integration:

ff

1k h bzw. h

k .

Die Druckhöhe h ist somit proportional dem Geschwindigkeitspotential φ. Das bedeutet:

Bei DARCYscher Sickerströmung sind die

Linien gleichen Potentials Potentiallinien auch

Linien gleichen Druckes Isobaren .

Dieser wichtige Schluss gilt jedoch nur für den Fall der DARCYschen Sickerströmung und kann nicht für weitere Potentialströmungen verallgemeinert werden.

Am Beispiel der Unterströmung in Abb. 13.3 stellt die Sohle vor der Sperre eine Potentiallinie mit der Druckhöhe h dar. Die Sohle hinter der Sperre ist eine Potentiallinie mit der Druck-höhe 0. Dazwischen verteilt sich der Druck linear auf die einzelnen Potentiallinien entspre-chend ihrer Potentialdifferenz zu den Ausgangspotentialen. Die Druckverteilung unter der Gründungsfuge ergibt sich hier als Dreieck. Sie ist vom kf-Wert des homogenen Untergrundes unabhängig.

Die Gesamtsickerwassermengen können durch numerische Integration über die einzelnen Stromfäden (vgl. Abschnitt 4) ermittelt werden.

dh d

dn

ds

1

2

1 2

vf (s)

w

p(s)

g

EL & DL

I = dh/ds

2fv

02g

sdn

dh

ds

vf (s)


13.4 Hydraulischer Grundbruch

Unter bestimmten Bedingungen können Sickerströmungen ein Ausmaß annehmen, bei dem die Porengeschwindigkeit so groß wird, dass die Strömungskräfte die einzelnen Bodenkörner aus ihrem Verband reißen und in Bewegung versetzen. Diese Bodenauflockerung wird als hydrau-lischer Grundbruch bezeichnet.

Um die kritischen Bedingungen für das Auftreten eines hydraulischen Grundbruches zu bestim-men, wird das Beispiel der Unterströmung einer Spundwand in Abb. 13.5 betrachtet. Der kür-zeste Sickerweg (bzw. die kürzeste Stromlinie) liegt unmittelbar an der Spundwand (L) und kann direkt aus der Geometrie bestimmt werden. Da der Druckhöhenunterschied h bekannt ist, ergibt sich auch hier das größte Druckgefälle.

Am Spundwandfuß, wo die Sickerströmung nahezu senkrecht nach oben gerichtet ist, wird ein Bodenelement mit der Höhe L und der Querschnittsfläche A herausgeschnitten (Abb. 13.5). Auf das Bodenelement wirken folgende Kräfte in vertikaler Richtung:

Gewicht des Bodenelements unter Auftrieb:

dG = (B – w) A L g B = Dichte des Bodenelements (Schüttdichte, keine Dichte der Feststoffparti-

kel) w = Dichte des Wassers

Aufwärtsgerichtete Strömungsdruckkraft:

dFA = p A = (w g h) A

Abb. 13.5: Prinzipienskizze zur Herleitung der Bedingung für den hydraulischen Grundbruch

Fläche A

Fläche A

(B -W )

G

p

p + p

L

OW

UW

h

Lv

Detail

kürzeste Stromlinie (mit der Länge L)


Mit den Gleichgewichtsbedingungen der vertikalen Kräfte:

AdF dG 0

w B wg h A ( )A Lg w: g A

B w

w w

hh L und mit I=

L

folgt das kritische Gefälle, bei dem hydraulischer Grundbruch eintritt:

Bkrit

w

I 1

. (13.11)

Da in der Regel die Schüttdichte natürlicher Böden B = 1,8 2,2 t/m3 und w = 1 t/m3 beträgt, liegen die kritischen Gradienten in der Größenordnung von 1:

krit0,8 I 1,2 (13.12)

Anmerkungen zum hydraulischen Grundbruch

(i) Gl. (13.11) gilt nur für DARCYsche Sickerströmungen. Sickerströmungen in der Nähe vom kritischen Gefälle Ikrit können jedoch merkliche Abweichungen vom linearen Filter-gesetz aufweisen. In diesem Fall muss die vorstehende Betrachtung unter Verwendung nichtlinearer Widerstandsgesetze wiederholt werden.

(ii) Gl. (13.11) gilt für das kritische Gefälle Ikrit einer aufwärtsgerichteten Sickerströmung.

Für den allgemeinen Fall einer beliebig gerichteten Sickerströmung muss die Gleichung der effektiven Spannung im Boden

´ u

mit: = Gesamtspannung

u = Porenwasserdruck

herangezogen werden (siehe Vorlesung "Bodenmechanik").

(iii) Das kritische Gefälle Ikrit nach Gl. (13.11) ist vom Durchlässigkeitsbeiwert kf unabhän-

gig. Beim Hinzuziehen der kritischen Filtergeschwindigkeit

vf,krit = kf Ikrit

tritt der Einfluss der Durchlässigkeit wieder in Erscheinung.



1. Die DARCYsche Filtergeschwindigkeit vf ist eine fiktive Geschwindigkeit, die auf den gesamten Bodenquerschnitt bezogen ist. Sie beschreibt somit nicht die tatsächliche Po-renströmung und ist kleiner als die wirkliche mittlere Geschwindigkeit, die nur auf den Fließquerschnitt der Porenkanäle bezogen wird.

2. Die Filtergeschwindigkeit vf ist dem Druckgefälle I direkt proportional:

vf = kf I (DARCYsches Filtergesetz)

Der Proportionalitätsfaktor kf wird als Durchlässigkeitsbeiwert bezeichnet und hat die Maßeinheit einer Geschwindigkeit.

3. Der Durchlässigkeitsbeiwert kf hängt von der Beschaffenheit des Bodenmaterials ab, ist

aber umgekehrt proportional der kinematischen Viskosität des Porenfluides. Deshalb muss bei der Bestimmung des kf-Wertes auch die Temperatur des Porenfluides berück-sichtigt werden. Filtergeschwindigkeit und Durchfluss nehmen mit steigender Tempera-tur zu.

4. Das Filtergesetz von DARCY gilt nur für laminare Strömungen. Bei kritischen REY-

NOLDS-Zahlen Re > 5 sind nichtlineare Widerstandsgesetze heranzuziehen. 5. Im Gegensatz zu laminaren Rohrströmungen kann die Filterströmung nach DARCY als

Potentialströmung behandelt werden. Dabei stellen die Potentiallinien auch die Linien gleichen Druckes dar.

6. Bei aufwärts gerichteter Filterströmung nach DARCY ist das kritische Gefälle Ikrit, bei

dem hydraulischer Grundbruch eintritt, nur vom Verhältnis der Schüttdichte B des Bo-denmaterials und der Dichte w des Porenfluides abhängig:

Bkrit

w

I 1

Für natürliche Böden gilt näherungsweise Ikrit 1,0.


13.6 Aufgaben

Aufgabe 13.1: "Laminare Rohrströmung"

Laminare Rohrströmung liegt bekanntlich für Re < Rekrit vor. Wie muss der Rohrdurchmesser D geändert werden, damit die zunächst turbulente Rohrströmung bei gleichem Abfluss (Q = konst.) laminar wird? Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 13.2: "Laminare Strömung im Boden"

Ermitteln Sie für das dargestellte System den Durchlässigkeitskoeffizienten kf und den Durch-fluss Q.

Gegeben: 10 % Porenanteil

vm = 0,05 cm/s = Geschwindigkeit in den Poren = mittlere Geschwindigkeit

Lösung:

Die Filtergeschwindigkeit kann wie folgt aus den mittleren Geschwindigkeiten berechnet wer-den:

if m

ges

Av v 0,05 0,1 0,005 cm/s

A

Abb. 13.6: Laminare Strömung im Boden

Durch Umstellung des DARCYschen Filtergesetzes nach dem Durchlässigkeitskoeffizienten kf folgt:

ff f f f

h v Lv k I k k

L h

Bodenprobe A = 1 cm²

ΔL = 0,2 m

0,2 m

0,1 mQ


f

0,005 0,2 k 0,01 cm / s

0,1

Dieser Wert entspricht dem kf-Wert eines sehr feinen Sandes bzw. sandigen Schluffes.

3fDurchfluss : Q = v A 0,005 1 0,005 cm / s

Aufgabe 13.3: "Durchströmung von Böden - Reihenschaltung"

Für das dargestellte System ist der Durchfluss Q zu bestimmen.

Abb. 13.7: Durchströmung von Böden – "Reihenschaltung"

Gegeben:

Gesucht: Q

Lösung:

Es gilt die Kontinuitätsgleichung: Q = Q1 = Q2.

Da A = A1 = A2 ist, folgt: vf = vf,1 = vf,2.

Werden vf,l und vf,2 durch das DARCYsche-Filtergesetz ersetzt, ergibt sich:

A = 0,2 m²2 m

1 mQ

Δ h1

Δh2Δ h

L1 = 0,5 L2 = 1,0

1

25

f ,1

6 f ,2

L 0,5 m

L 1,0 m

k 3 10 m / s

k 3 10 m / s


1 2f ,1 f ,f ,1 f , 2

1 22

h hk k

L Lv v

.

Die Druckhöhe h wird sowohl im Boden 1 (h1) als auch im Boden 2 (h2) abgebaut:

1 2 1 2h h h h h h

1 2

1f ,1 f ,

22

h h

Lk k

L

2 2

1 2f ,1 f ,2k

h h

Lk

h

L

f ,1 f ,22 2

f ,11 1 2

h hk k

hk

L L L

f ,1 f ,22

f ,2

11

2 1

k kh h h

L L Lk

f ,2 f ,1f ,1 2

1 2 1

h h

L

k kk

L L

5f ,1

f ,2

12 6 5

2 1

f ,1

h 13 10

L 0,5h 0,952 m3 10 3 10

1,0

k

L

k

L

k

0,5

1 2h h h 1,0 0,952 0,048 m

f ,51

f ,1 f ,21

1

h 0,048v v 3 10

Lk

0,5

-6f ,1 f ,2v v 2,86 10 m s

6 7 3fQ A v 0, 2 2,86 10 5,71 10 m s


Aufgabe 13.4: "Durchströmung von Böden – "Parallelschaltung"

Ermitteln Sie den Durchfluss im dargestellten System.

Abb. 13.8: Böden in "Parallelschaltung"

Gegeben:

Gesucht: Qges

Lösung:

Die Gesamtdurchflussmenge ergibt sich aus den Teildurchflüssen durch die Böden 1 und 2:

Qges = Q1 + Q2

-5 -5f,l f,l

h 1,0v = k = 3 10 = 2 10 m /s

L 1,5

6 6f ,2 f ,2

h 1,0v k 3 10 2 10 m / s

L 1,5

5 6 31 f ,1 1 Q = v A = 2 10 0,1 = 2 10 m /s

6 7 32 f ,2 2 Q = v A = 2 10 0,1 = 2 10 m /s

6 3ges 1 2 Q = Q Q 2, 2 10 m / s

A2 = 0,1m²

ΔL = 1,5m

2 m

1 m

A1 = 0,1m²

Boden 2

Boden 1

Δh

-5f,1

6f,2

k = 3 10 m /s sandiger Schluff

k = 3 10 m /s Lehm, sandiger Schluff


Aufgabe 13.5: "Kanalhaltung"

Berechnen Sie den Sickerwasserverlust pro Jahr und Kanalkilometer im dargestellten System.

Gegeben: 6fk = 1 10 m / s

Gesucht: Sickerwasserverlust / Jahr / Kanalkilometer

Abb. 13.9: Kanalhaltung

Lösung:

f

hQ A k

L

2A 15 1.000 15.000 m

h 6,0 m L 0,5 m

6 36,0Q 15.000 1 10 0,18 m s

0,5

3JahrQ Q 3.600 24 365 5.676.480 m

b) Auf der Kanaldichtung lagert sich eine Sedimentationsschicht mit der Mächtigkeit

L 0,15 m mit 9fk 1 10 m s ab. Wie verändert sich der Sickerwasserverlust?

Lösung:

Mit der Annahme, dass der Druckunterschied nur in der Sedimentationsschicht abgebaut wird, folgt:

Δh = 6,0 m

15 m

Kanaldichtungmit kf = 10-6 m/s

ΔL = 0,5m


9 4 3

f

h 6Q A k 15.000 10 6 10 m s

L 0,15

Der Sickerwasserverlust hat sich damit um ca. das 300-fache verringert.

-4 3JahrQ = 6 10 365 24 3600 = 18.922 m

Aufgabe 13.6: "Hydraulischer Grundbruch"

Ermitteln Sie, ob es im dargestellten System zum hydraulischen Grundbruch kommt.

Wie groß ist die Sickerwassermenge / lfd. m?

Lösung:

a) Ermittlung der Sickerwasssermenge

-4 -5 3f f

h 5Q = A v = A k = 0,5 1 10 = 2,4 10 m s

L 10,5

krit

h 5I 0,48 I 0,8

L 10,5

Abb. 13.10: Hydraulischer Grundbruch

0,8 Sicherheit: = = 1,67

0,48

8,0 m

1,0 m

0,5 m

3,5 mkf = 110-4 m/s

0,5 m

Δh

Sic

kerw

eg

L =

10,

5 m

undurchlässig


Aufgabe 13.7: "Durchsickerung eines Dammes"

Bei dem abgebildeten Damm mit dem mittleren Sickerweg L 2,0 m und dem Höhenunter-

schied h 0,5m tritt auf der Außenseite eine Sickerwassermenge von Q = 50 l/s auf einer

Länge von 200 m auf.

a) Um welches Material (homogen) muss es sich handeln?

b) Wie ändert sich die Sickerwassermenge, wenn es sich statt des Wassers

6 21 10 m / s um Öl 5 21 10 m / s handelt?

c) Wie ändert sich die Sickerwassermenge, wenn die Temperatur von 20 °C

6 21,0 10 m / s auf l °C 6 21,79 10 m / s sinkt?

Abb. 13.11: Durchsickerung eines Dammes

Lösung:

zu a) Die Filtergeschwindigkeit lässt sich aus Durchfluss Q und mittlerer Querschnittsfläche A bestimmen.

3f

Q 0,05v 1 10 m / s

A 0,25 200

f f f

hv k I k

L

Daraus folgt:

3 3f f

L 2,0 k v 1 10 4 10 m s Grobsand

h 0,5

Δh = 0,5 m

ΔL = 2,0 m

homogener Damm

idealisierte Sickerlinie

mittlerer Sickerweg

A

undurchlässige Sohle


zu b) Aus dem DARCYschen Filtergesetz folgt:

fQ k

da

n

i ii 1

f fges

c Ag 1

k , dh. kA

1

Q

5

Wasser Öl6

WasserÖl

Q 5 10 50

Q 1 10

Wasser Öl

Q 50Q 1 l/s

50 50

zu c) Bei Temperaturänderung folgt aus:

1

Q

6

20 16

1 20

Q 1,79 101,79

Q 1,0 10

201

Q 50Q 27,9 l/s

1,79 1,79

Die Sickerwasserverluste sind im Sommer größer als im Winter!

Turbulente Strömung im Kreisrohr 233

14 Turbulente Strömung im Kreisrohr

14.1 Einleitung

14.1.1 Erweiterte BERNOULLI-Gleichung

Im Gegensatz zur Strömung idealer Flüssigkeiten treten bei Strömungen realer Flüssigkeiten reibungsbedingte Widerstände auf, die einen zusätzlichen Aufwand an mechanischer Energie zu ihrer Überwindung erfordern. Da dieser Energiebetrag in Wärme umgesetzt wird – und daher nicht wieder in mechanische Energie zurückgewandelt werden kann – entspricht er einem tat-sächlichen Verlust an hydraulischer Energie. In Energiehöhe ausgedrückt stellt er somit eine Verlusthöhe bzw. Widerstandshöhe hv dar. Daraus ergibt sich eine wichtige Konsequenz für die BERNOULLI-Gleichung, die bei realen Flüssigkeiten um den Term hv erweitert werden muss. Ein Vergleich der BERNOULLI-Gleichung idealer und realer Flüssigkeiten für zwei in Strömungsrichtung aufeinander folgende Kontrollschnitte 1-1 und 2-2 ist in Abb. 14.1 darge-stellt, wobei hv die Verlusthöhe zwischen beiden Querschnitten darstellt. Damit kann die er-weiterte BERNOULLI-Gleichung wie folgt geschrieben werden:

2

vw

p vz h konst.

g 2g

(14.1)

14.1.2 Zentrales Problem der Berechnung von Druckrohrleitungen

In der Bauingenieurpraxis verlaufen die meisten Strömungsvorgänge in Druckrohrleitungen turbulent. Daher kommt der turbulenten Rohrströmung eine größere Bedeutung als der lamina-ren Strömung zu. Im Gegensatz zur laminaren Strömung ist die theoretische Erfassung der tur-bulenten Strömungsvorgänge mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden, sodass hier beson-ders experimentelle Ergebnisse heranzuziehen sind. Da eine eingehende Darstellung der vor-liegenden Ergebnisse und der Turbulenzfrage im Rahmen dieser Vorlesung zu weit führen würde, sollen im Folgenden nur die wesentlichen Gesetzmäßigkeiten und Ergebnisse dargelegt werden, die zur Lösung ingenieurpraktischer Aufgaben ausreichen.


Abb. 14.1: BERNOULLI-Gleichung (links) und erweiterte BERNOULLI-Gleichung (rechts)

In der Praxis des Bauingenieurs besteht das zentrale Problem vor allem darin, den gesamten Energiehöhenverlust hv zu bestimmen:

v r ih h h (14.2)

mit: hr = Reibungsverluste in geraden Rohrstrecken

hi = lokale Verluste. Sie treten an örtlichen Störstellen wie z.B. Einläufen, Regelorganen, Querschnittserweiterungen und -verengungen, Rohrver- zweigungen, Krümmern und Ausläufen auf (Abb. 14.2).

Die Kenntnis von hv ermöglicht die Bestimmung der Nettohöhe HN (Abb. 14.2):

N vH H h ,

die der Förderhöhe entspricht, die zusätzlich erforderlich ist, um die Reduzierung der Fallhöhe H auf HN zu kompensieren (z. B. Pumpenleistung!) bzw. um jede gewünschte Rohrleistung zu gewährleisten.

Für die Berechnung der Reibungsverlusthöhe hr dient das allgemeine Widerstandsgesetz und für die Bestimmung der lokalen Verluste stehen meist empirische Ansätze zur Verfügung (Aus-nahme: siehe BORDAscher Stoßverlust in Abschnitt 14.4).

Q, v

Energielinie (EL)

L


21v

2g

22v

2g

2

w

p

g1

w

p

g

z1 z2

Q, v

Drucklinie (DL)

L

21v

2g22v

2g

2

w

p

g1

w

p

g

z1 z2

hv

1

2 21 1 2 2

1 2 vw w

v p v pz z h

2g g 2g g

2 21 1 2 2

1 2w w

v p v pz z

2g g 2g g

12 2


Abb. 14.2: Energiehöhenverlust bei Druckrohrströmung

14.2 Allgemeines Widerstandsgesetz der stationären Druckrohrströmung

14.2.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes

Für die Herleitung des Widerstandsgesetzes, das die Berechnung der Reibungsverlusthöhe hr ermöglicht, wird ein gerader zylindrischer Rohrabschnitt (Stromröhre!) mit dem konstanten lichten Durchmesser D und der Länge L betrachtet (Abb. 14.3).

ζB

ζS

ζK

ζA

ζE

ζV

RWS

RWS

EL (ohne Verluste)

ζK

HN

H = Fallhöhehv = ges. EnergieverlusthöhehN = Nettohöhei = lokale Widerstandsbeiwerte

Hhv

ζS


Abb. 14.3: Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes

Im Rohr herrscht stationärer Abfluss (Q = konst) bei gefülltem, konstantem Rohrquerschnitt vor, d.h. auf der Strecke L ist:

2v

v konst. bzw. konst.2g

Damit ist das Energieliniengefälle gleich dem Gefälle der Drucklinie (IE = ID), d.h. mit IE = hr/L und

wD

p / ( g)I

L

r wr

w

h p / ( g) ph

L L g

w rp = g h (14.3)

Umfangreiche Experimente haben gezeigt, dass der Widerstand bzw. die Reibungskraft FW ent-lang der Strecke L proportional

der benetzten Fläche der Rohrwand D L:

WF D L ,

dem Staudruck 2w v 2 :

2wW / 2F v

ist.

L

Q, v = konst.

w

p

g

rh

τ0

D

τ0

IE

ID

innere Rohroberfläche

AL = ( D)L

1 2


Damit ist die Reibungskraft:

2W wF ( D L)( v 2) (14.4)

Der Proportionalitätsfaktor ψ ist ein experimentell zu bestimmender Widerstands- bzw. Rei-bungsbeiwert, der von der Beschaffenheit der Rohrwand (relative Rauheit!) und der REY-NOLDS-Zahl abhängt.

Zur Überwindung des Widerstandes Fw ist eine Druckkraft Fp erforderlich, die sich nach Abb. 14.3 und Gl. (14.3) wie folgt ergibt:

2 2

P w r

D DF p ρ g h

4 4

(14.5)

Aus der Gleichgewichtsbedingung Fw = Fp folgt:

2 2

w w r

v Dψ π D L ρ ρ g h

2 4

2

r

L v h 4

D 2g und mit dem Rohrreibungsbeiwert λ = 4ψ:

2

r

L v h

D 2g (14.6)

Das ist das allgemeine Widerstandsgesetz von DARCY-WEISBACH45, das sowohl für lami-nare als auch für turbulente stationäre Druckrohrströmungen gilt.

Der Unterschied zwischen laminarer und turbulenter Strömung wird durch den λ-Wert berück-sichtigt.

Der Widerstandsbeiwert λ, wie auch ψ, ist ein Maß für die Wandreibung (ausgedrückt durch die relative Rauheit k/D) und für die innere viskose Reibung (ausgedrückt durch die REY-NOLDS-Zahl Re = v D/ν).

Das Energielinien- bzw. Druckliniengefälle ist dann:

2

rE D

h 1 vI I

L D 2g (14.6)a

45 WEISBACH, Julius (1806–1871): Deutscher Lehrer und Wissenschaftler, bekannt durch sein dreibändiges Hauptwerk: "Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenmechanik".


14.2.2 Wichtige Anmerkungen

(1) Energieverluste bei laminarer und turbulenter Strömung:

Laminare Strömung: Hier entstehen ausschließlich Reibungsverluste (Viskosität!) im Sinne des HAGEN-POISEUILLEschen Gesetzes (vgl. Abschnitt 13). Dies gilt sowohl im Grenzschichtbereich als auch in anderen Strömungsbereichen.

Turbulente Strömung: Hier entstehen die meisten Verluste durch Verwirbelungen, die auf einer zusätzlichen "scheinbaren" Viskosität beruhen (vgl. Gl. (11.1a)). Da-bei wird die eigentliche Hauptströmung von Querströmungen überlagert, wodurch die Flüssigkeitsteilchen höherer Geschwindigkeit dauernd auf solche mit geringer Geschwindigkeit stoßen und so an kinetischer Energie einbüßen (Stoßverluste der nahezu unelastischen Flüssigkeit!). Diese Verluste und die Reibungsverluste in der laminaren Grenzschicht machen den gesamten Energieverlust bei turbulenter Strö-mung aus.

(2) Wandschubspannung 0:

Um eine Beziehung zwischen Wandschubspannung 0 und Rohrreibungsbeiwert λ herzu-stellen, wird ψ = λ/4 in Gl. (14.4) eingesetzt:

L0

2

W w

Reibungsfläche AWandschubspannung (benetzte Rohrwand)

vF (π D L)

4 2

.

Damit ist die Wandschubspannung 0:

2

0 w

v

4 2

(14.7)

Die Wandschubspannung ist proportional dem Staudruck w v2/2, und der Proportionali-tätsfaktor entspricht einem Viertel des Rohrreibungsbeiwertes λ.

(3) Schubspannungsgeschwindigkeit v*

Es ist oft üblich, die Schubspannung in der Dimension einer Geschwindigkeit wie folgt zu formulieren:

0*

w

v

(14.8)

Die Schubspannungsgeschwindigkeit ist mit 0 aus Gl. (14.7):

*v v8

(14.9)


und drückt damit den Anteil aus, der von der mittleren Geschwindigkeit v für die Über-windung der Reibung (Strömungswiderstand) aufzubringen ist (i.d.R. 3 bis 5 % von v).

14.3 Widerstandsbeiwert λ

Das Hauptproblem bei der Druckrohrberechnung besteht in der Bestimmung des Widerstands-beiwertes λ. Dabei werden ausschließlich Erfahrungswerte verwendet, die durch zahlreiche Ex-perimente gewonnen und in möglichst zweckmäßige Formeln gefasst wurden. Wie bereits er-wähnt, stellt λ keine Konstante dar, die allein von der relativen Rauheit k/D der Rohrwandung bestimmt wird; λ hängt auch in hohem Maße von der REYNOLDS-Zahl und somit von der Strömungsform – laminar/turbulent – ab.

14.3.1 Widerstandsbeiwert bei laminarer Strömung

Aus dem Gesetz von HAGEN-POISEUILLE (vgl. Gl. (12.1) und Gl.(12.2) aus Abschnitt 12) folgt für die mittlere Geschwindigkeit:

2 2

w

1 dp R 1 dp Dv

dx 8 dx 32

Mit dx = L und dp = ρw g hr (vgl. Gl. (14.3)) folgt:

2

w r

w

1 g h Dv

L 32

r 2

32 Lh v

g D

. (14.10)

Gl. (14.10) bringt den linearen Zusammenhang zwischen der Reibungsverlusthöhe hr und der mittleren Geschwindigkeit v bei laminarer Strömung zum Ausdruck. Die rechte Seite von Gl. (14.10) mit 2v/2v multipliziert ergibt:

2

r

64 L vh

(v D/ ) D 2g

und mit Re = v D/ν:

2

r

64 L vh

Re D 2g . (14.11)

Der Vergleich mit Gl. (14.6) ergibt für laminare Strömungen den Widerstandsbeiwert

64

Re . (14.12)


Das heißt, für laminare Strömungen ist λ von der relativen Rauheit k/D unabhängig. Dies ist durch das Verhalten der laminaren Grenzschicht (vgl. Abschnitt 11) begründet, da bei laminarer Strömung die Grenzschicht dick genug ist (vgl. Abb. 11.1), um alle Rauheitselemente einzuhül-len. Damit verhält sich das Rohr wie ein hydraulisch glattes Rohr (vgl. auch Abb. 14.4a).

14.3.2 Widerstandsbeiwert bei turbulenter Strömung

14.3.2.1 Bereiche der turbulenten Strömung

Mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit bzw. REYNOLDS-Zahl (d.h. mit abnehmender Dicke der laminaren Unterschicht) werden für den Widerstandsbeiwert bei turbulenter Strö-mung drei Bereiche unterschieden:

a) hydraulisch glatter Bereich: λ = λ (Re)

k

(Re 65)D

b) Übergangsbereich: λ = λ (k/D, Re)

k

(65 Re 1300)D

c) hydraulisch rauer Bereich: λ = λ (k/D)

k

(Re 1300)D


Abb. 14.4: Einfluss der laminaren Unterschicht und der Wandreibung auf das Widerstandsverhalten


Die Erklärung für die Entstehung dieser drei Bereiche liefert die Dicke der laminaren Unter-schicht δUL im Vergleich zu der Rauheitserhebung k in Abb. 14.4:

UL 5 5v

v8

(a) Bei kleiner Geschwindigkeit ist die Dicke der laminaren Unterschicht δUL >> k, d.h. alle Rauheitselemente sind in der laminaren Unterschicht eingehüllt und die Wandrauheit wird gar nicht aktiviert. Es herrscht der hydraulisch glatte Bereich mit λ = λ(Re) vor.

(b) Bei größer werdender Geschwindigkeit wird die laminare Unterschicht dünner: δUL k. Nur Einzelspitzen treten heraus, sodass sowohl k als auch v das Widerstandsverhalten beeinflussen. Dies ist der Übergangsbereich mit λ = λ (k/D, Re).

(c) Bei weiterer Zunahme der Geschwindigkeit wird die Dicke der laminaren Unterschicht vernachlässigbar klein: δUL << k. Es treten praktisch alle Spitzen heraus, d.h. die Wand-rauheit wird voll aktiviert; das Widerstandsverhalten wird praktisch nur von k be-stimmt. Es liegt der hydraulisch raue Bereich mit λ = λ (k/D) vor.

Bei turbulenter Strömung kann der Widerstandsbeiwert λ nur auf experimentellem Weg für jeden der o.g. drei Bereiche bestimmt werden. Hierfür liegen empirische Ansätze und Dia-gramme vor, von denen die wichtigsten nachfolgend dargestellt werden.

Anmerkung zur Bestimmung des Geschwindigkeitsprofils

Zur Bestimmung des Geschwindigkeitsprofils auf der Grundlage von Gl. (11.20) kann die Größe z0 nur experimentell für jeden Bereich der turbulenten Strömung festgestellt werden. Hierfür liegen verschiedene empirische Ansätze im Schrifttum vor. Zum Beispiel ist im turbulent rauen Bereich mit z0 = ks/30 (ks = Sandkornrauheit) zu rechnen:

x

s

v 30z5,75 log

v k

(14.13)

14.3.2.2 Empirische Formel für den Widerstandsbeiwert λ

(a) Für den hydraulisch glatten Bereich (λ = λ (Re))

Formel von BLASIUS: Gültigkeitsbereich Rekrit = 2320 ≤ Re ≤105

4

0,316

Re (14.14)

Formel von NIKURADSE: Gültigkeitsbereich 105 ≤ Re ≤ 108

0,227

0, 2210,0032

Re (14.15)


Statt der Formel von BLASIUS und NIKURADSE für unterschiedliche Re-Bereiche kann auch die allgemeine Formel von PRANDTL/VON KARMAN verwendet werden:

2

1 Re 0,3092,0 lg bzw.

2,51 (lg Re 0,845)

(14.16)

(b) Für den Übergangsbereich (λ = λ (k/D, Re))

In der Regel liegt λ zwischen 0,02 und 0,04. λ kann auch mit der Interpolationsformel von COLEBROOK/WHITE berechnet werden:

1 2,51 k D

2,0 lg3,71Re

(14.17)

(c) Für den hydraulisch rauen Bereich (λ = λ (k/D))

Der Term mit Re in Gl. (14.17) entfällt und es folgt die Formel von KARMAN/NI-KURADSE:

2

1 3.71 12,0 lg

k D 3,712 lg

k D

(14.18)

Anmerkung:

Gl. (14.18) besagt, dass λ unabhängig von Re und daher auch unabhängig von der Geschwin-digkeit v ist. Damit folgt aus dem allgemeinen Widerstandsgesetz (vgl. Gl. (14.16)), dass das quadratische Widerstandsgesetz 2

rh v

streng genommen nur im hydraulisch rauen Bereich Gültigkeit hat.

14.3.2.3 Empirische Diagramme für den Widerstandsbeiwert λ

Zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes λ liegen drei Arten von empirischen Diagrammen vor, die jeweils nach MOODY, NIKURADSE und MOCK benannt wurden.

(a) Grundsätzlicher Unterschied zwischen MOODY und NIKURADSE-Diagramm:

Das MOODY-Diagramm (Abb. 14.5) gilt für technisch raue Rohre. Die technischen Rau-heiten k sind wegen der Mannigfaltigkeit der geometrischen Formen und Abmessungen nur statistisch bestimmbar (Abb. 14.6a). Deshalb hat NIKURADSE eine äquivalente Er-satzgröße eingeführt: die Sandkornrauheit ks (Abb. 14.6b).


Ein Rohr mit technischer Rauheit k hat den gleichen Widerstandsbeiwert λ wie ein Rohr mit der Sandkornrauheit ks, wenn es bei gleichen Abmessungen und Abfluss die gleiche Reibungsverlusthöhe hr aufweist. In der Regel gilt für technisch hergestellte Rohre:

ks = (1 bis 1,6) k.

Der grundsätzliche Unterschied zwischen dem MOODY- und dem NIKURADSE-Dia-gramm liegt vor allem im Übergangsbereich:

MOODY-Diagramm: Wegen der Unregelmäßigkeit ihrer Höhen ragen die Rauheit-selemente nicht gleichzeitig, sondern nach und nach aus der laminaren Unterschicht heraus. Dadurch entsteht ein Übergangsbereich, wo λ monoton mit Re abnimmt, um anschließend im rauen Bereich einem Grenzwert asymptotisch zuzustreben.

NIKURADSE-Diagramm: Da ein Einkornsand mit Korndurchmesser ks = konst. verwendet wird, gibt die laminare Unterschicht alle Rauheitselemente gleichzeitig frei und der Übergangsbereich entfällt (Abb. 14.7).

(b) MOCK-Nomogramme (Leiternomogramme)

Die MOCK-Diagramme (Abb. 14.8) sind nicht so übersichtlich wie das MOODY-Dia-gramm, aber sie sind genauer und bequemer in der Handhabung. Mit bekannter REYNOLDS-Zahl und relativer Rauheit k/D kann der zugehörige -Wert aus den Diagrammen bestimmt werden. Einige Richtwerte für die Rauheiten k sind in Tab. 14.1 gegeben. Für bestimmte Rohrfabrikate liegen fertige Tafelwerte vor. Falls Un-sicherheiten in der Wahl von k bestehen, empfiehlt es sich, den Einfluss dieser Unsicher-heiten auf die λ-Werte festzustellen (Sensitivitätsanalyse).


Abb. 14.5: Das MOODY-Diagramm für technisch raue Rohre


Abb. 14.6: Technische Rauheit und Sandkornrauheit

Tab. 14.1: Richtwerte für die technische Rauheit k

Material k (mm)

glatter Beton ≈ 2

Stahlrohre (genietet) ≈ 1

Gusseisen ≈ 0,3

Stahl ≈ 0,1

Plexiglas ≈ 0,003

k

Technische Rauheit (nur statistisch bestimmbar)

ks

Einkornsand

a.) b.)


Abb. 14.7: Das NIKURADSE-Diagramm für Rohre mit künstlicher Sandkornrauheit


Abb. 14.8: MOCK-Nomogramme zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes λ


14.4 Lokale Verluste

14.4.1 Entstehung

Die lokalen Verluste bzw. Widerstände treten an Unstetigkeitsstellen wie Querschnitts- und Richtungsänderungen auf. Sie werden durch Formstücke, Regelungsorgane sowie andere Ein-bauten verursacht. Diese Widerstände entstehen hauptsächlich durch die Ablösung der Strö-mung von der Rohrwand und der Bildung von Toträumen (unbeteiligt am Fließgeschehen!), in denen sich Wirbel bilden (Abb. 14.9). Dadurch wird der Hauptstrom eingeengt und beschleu-nigt. Er stößt dann hinter der Störstelle auf eine Wassermasse mit kleinerer Geschwindigkeit. Deshalb sind die lokalen Verluste dem Wesen nach Stoßverluste (z.B. BORDA-Verlust!).

Da bei Störstellen turbulente Strömung und meist hydraulisch raues Verhalten vorliegt, sind die lokalen Verluste von der REYNOLDS-Zahl unabhängig. Deshalb nehmen sie mit dem Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit zu.

Um möglichst vorteilhaft rechnen zu können, werden die einzelnen Verlusthöhen hi proportio-nal der Geschwindigkeitshöhe v2/2g gesetzt:

2

i i

vh

2g (14.19)

mit: i = Widerstandsbeiwert an der Störstelle i

v = Strömungsgeschwindigkeit unmittelbar hinter der Störstelle (Einbau). Bei Rohrerweiterungen muss ausnahmsweise die Geschwindigkeit unmittelbar vor der Störstelle angesetzt werden.

Abb. 14.9: Entstehung der lokalen Verluste

Ablösung

De

Q, vD2D1 ve

Q, v

Totraum

Wirbel


Obwohl in vielen Fällen die Rohrreibungsverluste hr die lokalen Verluste hi überwiegen, kön-nen sie in einigen besonderen Fällen (kurze Rohrstrecken!) von Bedeutung sein. Deshalb wer-den im Folgenden einige Berechnungsansätze für lokale Verluste angegeben.

14.4.2 Berechnungsansätze

14.4.2.1 Einlaufverluste

Einige Beispiele sind in Abb. 14.10 dargestellt. In der Regel gilt: Je besser die Einlaufkante den Strombahnen angepasst ist, desto geringer sind die Einlaufverluste.

14.4.2.2 Auslaufverluste

Am Auslauf (Tauchstrahl) wird die kinetische Energiehöhe va2/2g infolge Wirbel und Walzen-

bildung umgewandelt. Entsprechende Beispiele sind in Abb. 14.11 angegeben. Ausnahmsweise werden bei Diffusoren die Widerstandsbeiwerte a auf die Geschwindigkeit vor dem Diffusor bezogen.

14.4.2.3 Verluste bei Querschnittserweiterungen

Hier erfolgt die Umwandlung der kinetischen Energie in Druck- und Lageenergie. Auch hier werden die Widerstandsbeiwerte E ausnahmsweise auf die Geschwindigkeit vor der Erweite-rung bezogen. Beispiele sind in Abb. 14.12 dargestellt.

14.4.2.4 Verluste bei Querschnittsverengungen

Beispiele sind in Abb. 14.13 angegeben. Hier erfolgt eine Umwandlung der Druckenergie in kinetische Energie.

14.4.2.5 Umlenkverluste

Die Strömungsvorgänge im Krümmer sind komplizierter als bei anderen lokalen Strömungen. Zusätzlich zum Reibungsverlust entstehen die lokalen Verluste im Krümmer infolge der Bil-dung von (vgl. Abb. 14.14):

Totraum und Querwirbel auf der Krümmeraußenseite,

Totraum auf der Krümmerinnenseite


Abb. 14.10: Einlaufverluste

v

TROMPETEN-EINLAUFe = 0,04 0,1

Einlaufkante A

Totraum

SCHARFKANTIGER EINLAUF e = 0,5GEFRÄSTE KANTE e = 0,25ABGERUNDETE KANTE e = 0,15 0,2

v

a) b)

e = f ()

SCHIEFWINKLIGER EINLAUFe = 0,5 + 0,3 cos + 0,2 cos2

vD

b

s

e

s bf ( , )

D D

BORDA-MÜNDUNGe = 0,5 1,0

c) d)


Abb. 14.11: Auslaufverluste

Abb. 14.12: Lokale Verluste bei Querschnittserweiterung

D0

v0v0 va < v0

Da

ENDDIFFUSOR0

aa

Df ( , , Re)

D

D0

v0 vaDStr

Wasserstrahl

ZYLINDRISCHER AUSLAUF2

0a

Str

D1

D

D0

v0Da

va > v0

4

0a

a

D

D

DÜSENAUSLAUF

Unstetige Erweiterung Stetige Erweiterung

D1 D2

v1 v2

Totraum Lab

D1

v1 v2

D2

BORDA - VERLUST22

14D

2

D3,2 tan tan 1

2 2 D

DIFFUSOR

22

1B

2

D1

D

A B

Lab 10 (D2 – D1)


Abb. 14.13: Verluste bei Querschnittsverengung

Abb. 14.14: Umlenkverluste

D2D1v2

Totraum

Dev1

A Unstetige Verengung

v1 v2

D1 D2

B Stetige Verengung

Nach WEISBACH:2

V

2

e

2

4

2

1

11 mit

DKontraktionsfaktor

D

D0,63 0,37

D

KONFUSOR

D

D

D

0,09 für 15

0,04 für 15 40

0,06 für 40 60

D

Totraum

Totraum

v

v

rK

Schnitt A-A

Totraum

Querwirbel

62

3

4

5

1


Der Gesamtwiderstand im Krümmer (k) besteht aus dem Umlenkwiderstand (u) und dem Rei-bungswiderstand (r):

k u r

wobei:

kr

r0,0175

D

und bei = 90°:

u k 0,21 r D für glatte Krümmer mit = 90°,

u k 0,42 r D für raue Krümmer mit = 90°.

14.5 Druckströmung in Rohren mit nichtkreisförmigem Querschnitt

Um das Widerstandsgesetz:

2

r

L vh

D 2g

auch für Rohre mit nichtkreisförmigem Querschnitt anwenden zu können, muss anstelle des Rohrdurchmessers D ein hydraulisch äquivalenter Rohrdurchmesser Däq eingesetzt werden:

äq

AD 4 4R

U

mit: R = A/U hydraulischer Radius,

A = Rohrquerschnitt,

U = benetzter Rohrumfang.

Zum Beispiel hat ein Rohr mit einem Rechteckquerschnitt und den Innenabmessungen a b

einen äquivalenten Rohrdurchmesser Däq:

äq

A a b a bD 4 4 2

U 2(a b) a b

Das heißt, Däq muss entsprechend auch zur Bestimmung der REYNOLDS-Zahl und der relati-ven Rauheit verwendet werden:

äq

äq

v D kRe und

D


Damit können die Berechnungsansätze für kreisförmige Rohre sowie die MOODY-Diagramme und MOCK-Nomogramme zur Bestimmung der λ-Werte auch für jeden beliebigen nichtkreis-förmigen Rohrquerschnitt verwendet werden. Die Zulässigkeit dieses Vorgehens wurde bereits durch umfangreiche experimentelle Untersuchungen belegt.

14.6 Praktische Hinweise zur Bemessung und Optimierung von Rohrlei-tungen

Mit:

2

Q Qv

A (D / 4)

folgt aus Gl. ((14.6)):

2

r 2 5

16L Qh

2g D

. (14.20)

Da die Betriebskosten KBe mit der Verlusthöhe hr proportional ansteigen, gilt für eine vorgege-bene Rohrlänge L:

2

Be 1 5

QK C

D (14.21)

mit: C1 = Konstante. Für eine vorgegebene Rohrlänge L steigen die Baukosten KBa proportional mit dem Durchmes-ser D und der Wandstärke s an:

BaK D s . (14.22)

Nach der Kesselformel ist:

w p

zul

g H Ds

2

(14.23)

mit: Hp = Betriebsdruckhöhe,

zul = zul. Spannung des Rohrmaterials. Aus Gl. (14.22) und Gl. (14.23) folgt für die Baukosten:

2BA 2 pK C H D (14.24)


Nach Gl. (14.21) verringern sich die Betriebskosten mit der 5. Potenz des Rohrdurchmessers und nach Gl. (14.24) steigen die Baukosten mit dem Quadrat des Rohrdurchmessers an. Diese gegenläufige Tendenz erfordert eine Optimierung des Rohrdurchmessers. Der optimale Durch-messer ergibt sich als Minimum der Summe aus Bau- und Betriebskosten (Abb. 14.15).

Abb. 14.15: Optimierung des Rohrdurchmessers D

Kos

ten

K

Gesamtkosten K

Baukosten KBa

KBa D2Betriebskosten KBe

KBe ≈ D-5

Rohrdurchmesser D

min K

K = KBa + KBe

Dopt



1. Das zentrale Problem der Druckrohrberechnung ist die Bestimmung des gesamten Ener-gieverlustes hv, der sich aus den Reibungsverlusten hr und den lokalen Verlusten hi zu-sammensetzt:

v r ih h h

2. Die Berücksichtigung der Verlusthöhe hv in der BERNOULLI-Gleichung führt zu der

erweiterten BERNOULLI-Gleichung:

2

vW

p vz h konst.

g 2 g

3. Die Reibungsverluste hr werden unter Verwendung des allgemeinen Widerstandsgesetzes

für laminare und turbulente Strömungen bestimmt:

2

r

L vh

D 2g ,

wobei der Widerstandsbeiwert λ ein Maß für die Wandreibung (k/D) und die viskose Reibung (Re) darstellt (λ = λ (k/D, Re)).

4. Der Widerstandsbeiwert λ lässt sich nur bei laminarer Strömung theoretisch erfassen:

64

Re

5. Bei turbulenter Strömung liegen empirische Ansätze und Diagramme für die Bestimmung der λ-Werte vor. Dabei werden drei Bereiche unterschieden, die sich durch die Dicke der laminaren Unterschicht im Vergleich zu den Rauheitserhebungen k erklären lassen:

hydraulisch glattes Verhalten : λ = λ (Re) Übergangsbereich : λ = λ (k/D, Re) hydraulisch raues Verhalten : λ = λ (k/D)

6. Streng genommen gilt das quadratische Widerstandsgesetz

2rh v

nur im hydraulisch rauen Bereich.

7. Die Leiternomogramme (MOCK) sind genauer und bequemer als andere Diagramme für die Bestimmung der Widerstandsbeiwerte λ. Das MOODY-Diagramm ist jedoch über-sichtlicher.


8. Die lokalen Verluste sind ihrem Wesen nach Stoßverluste. Sie werden durch Unstetigkei-

ten in der Rohrleitung verursacht und lassen sich durch folgende Widerstandsgleichung berechnen:

2

i i

vh

2g ,

wobei i.d.R. der Widerstandsbeiwert i empirisch zu bestimmen (Ausnahme: BORDA-Verlust) und für v die Geschwindigkeit unmittelbar hinter der Störstelle anzusetzen (Aus-nahme: Querschnittserweiterungen) ist.

9. Das allgemeine Widerstandsgesetz sowie die entsprechenden Ansätze und Diagramme

zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes λ können auch für nichtkreisförmige Druck-rohre verwendet werden. Dabei muss anstelle des Rohrdurchmessers D der hydraulisch äquivalente Durchmesser Däq = 4R (R = hydraulischer Radius) in die entsprechende REY-NOLDS-Zahl (Re = v Däq/ν) und in die relative Rauheit (k/Däq) eingesetzt werden, um den Widerstandsbeiwert λ zu bestimmen.

10. Bau- und Betriebskosten von Druckrohrleitungen haben eine gegenläufige Tendenz hin-

sichtlich ihrer Abhängigkeit vom Rohrdurchmesser. Der optimale Durchmesser stellt das Minimum der Summe aus Bau- und Betriebskosten dar.


14.8 Aufgaben

Aufgabe 14.1: "Energiegleichung mit Energieverlust"

Aus einem stehenden Gewässer werden zur Deckung des Wasserbedarfs einer Stadt Q = 0,1 m3/s abgepumpt. Bestimmen Sie die Leistung der Pumpe, die Wasser vom See zur Trinkwasseraufbereitungsanlage fördern soll. Ermitteln Sie in diesem Zusammenhang auch die maximale Höhenlage der Pumpe.

Abb. 14.16: Darstellung des Systems

Gegeben: K = 0,3

e = 0,5

k = 0,1 mm

ν = 10-6 m2/s

Lösung:

a) Berechnung der Geschwindigkeiten in den Rohrleitungen:

Rohr 1: 2

11 1 1

DQ A v v

4

1 2 21

Q 4 0,1 4v 3,18 m / s

D 0,2

Rohr 2: 2 2 22

Q 4 0,1 4v 5,66m / s

D 0,15

Bezugshorizontstehendes Gewässer

z = 0v0 = 0

Pumpe 2,0 m

1,0 m

Rohr 1

D2 = 0,15 mD3 = 0,15 m

D4 = 0,15 m

Rohr 2

L1 = 10 m

L2 = 50 m

15 m Rohr 3

L4 = 10 mRohr 4

0 0

Q = 0,1 m3/s

L3 = 3,0 m

D1 = 0,2 m

4

4


Da der Querschnitt der Rohre 3 und 4 dem Querschnitt des Rohres 2 entspricht, folgt:

2 3 4v v v 5,66 m s

b) Aufstellen der BERNOULLI-Gleichung für die Schnitte 0-0 und 4-4:

2 20 0 4 4

0 man 4 i rw w

v p v pz h z h h

2g g 2g g

Daraus folgt die manometrische Druckhöhe:

2

man i r

5,66h 0 15,0 h h

2 9,81

Ermittlung der lokalen Verluste ih :

2 2 2 21 2 3 4

i e K K K

v v v vh

2g 2g 2g 2g

da v2 = v3 = v4 2 2

1 4i e K

v vh 3

2g 2g

2 2

i

3,18 5,66h 0,5 3 0,3

2 9,81 2 9,81

ih 1,73 mWS

Ermittlung der Reibungsverluste rh :

2 21 1 2 3 4 4

r 1 41 4

L v L L L vh

D 2g D 2g

Bestimmung der λ-Werte:

λ1 = f (k/D1, Re1)

4

1

k 0,15 10

D 200 , 1 1

1 6

v D 3,18 0,20Re 636.000

1 10

Moody-Diagramm λ1 = 0,017

λ4 = f (k/D4, Re4)

44

0,1k / D 6, 7 10

150 , 4 4

4 6

v D 5,66 0,15Re 849.000

1 10

Moody-Diagramm λ4 = 0,018


2 2

r

13,0 3,18 63,0 5,66h 0,017 0,018

0,2 2 9,81 0,15 2 9,81

r h 0,57 12,34 12,91 mWS

Ermittlung der manometrischen Druckhöhe:

2

man

5,66 h 15,0 1,73 12,91 31,27 mWS

2 9,81

c) Ermittlung der maximalen Höhenlage der Pumpe:

hD,min = -7 mWS (Grenzwert für das Abreißen der Strömung)

Aufstellen der BERNOULLI- Gleichung:

22p p0 0

0 p i rw w

v pv pz z h h

2g g 2g g

mit: zp = Höhe der Pumpe

vp = Geschwindigkeit in der Rohrleitung direkt unterhalb der Pumpe

pp = Druck in der Rohrleitung

mit: 20v

02g

; 0

w

p0

g

; z0 = 0;

2 2pv 3,18

0,515 mWS2g 2 9,81

;

pD,min

w

ph 7,0 mWS

g

; zp = ?

Einzelverluste bis zur Pumpe:

2 21

i

v 3,18h 0,5 0,26 mWS

2g 2 9,81


Reibungsverluste bis zur Pumpe:

2

r p

(1,0 z) 3,18h 0,017 0,044 0,044 z

0,2 2 9,81

2

p p

3,18 0 ( 7,0) z 0,26 0,044 0,044 z

2 9,81

p z 5,92m

Aufgabe 14.2: "Ermittlung einer Pumpleistung"

Gegeben ist eine Pumpe, die die Wassermenge Q fördert. Die Austrittsgeschwindigkeit im Querschnitt A beträgt vA = 6,37 m/s. Die Energieverluste zwischen A und B sind vernachläs-sigbar. Wie hoch ist die Leistung der Pumpe?

Abb. 14.17: Pumpsystem

Gegeben: pA = 0,17 bar = 17 kN/m2

pB = -0,03 bar = -3 kN/m2

η = 0,9 (Wirkungsgrad der Pumpe) Lösung:

Ermittlung der kennzeichnenden Größen für die Schnitte A und B:

Av 6,37 m/s

Es gilt die Kontinuitätsgleichung: 2 2B A

B B A A B A

D Dv A v A v v

4 4

A

vA = 6,37 m/s

D = 0,2 m

D = 0,5 m

vB

B

Pumpe

1,2 m

z = 0 Bezugshorizont


2 2A

B A 2 2B

D 0,2 v v 6,37 1,02 m/s

D 0,5

Ermittlung des Durchflusses Q:

23

A A

0,2 Q v A 6,37 0,20 m s

4

Anwendung der BERNOULLI-Gleichung zur Ermittlung der manometrischen Druckhöhe hman:

2 2B B A A

B man AW W

v p v pz h z

2g g 2g g

2 2

man

1,02 3 6,37 170 h 1,2

2 9,81 1,0 9,81 2 9,81 1,0 9,81

manh 5,25 mWS

Die Pumpleistung kann anhand folgender Gleichung ermittelt werden:

w man

1P g Q h

Nettoleistung:

N w man P g Q h 1,0 9,81 0,2 5,25 10,3 kW

Bruttoleistung:

NP 10,3P 11,445 kW

0,9


Aufgabe 14.3: "Pumpenkennlinie und Rohrleitungskennlinie"

In einem Bewässerungssystem soll Wasser aus einem See (stehendes Gewässer) in die Bewäs-serungsgräben gepumpt werden. Für die bereits bekannte Pumpenkennlinie sind die Rohrlei-tungslinie sowie der Arbeitspunkt zu bestimmen.

Abb. 14.18: Bewässerungssystem

Gegeben: Länge der Rohrleitung: L = 50 m

Innendurchmesser: D = 0,2 m

Rauheit: k = 0,5 mm

Krümmungsverlustbeiwert: ξk = 0,5

Kinematische Viskosität: ν = 1∙10-6 m2/s

Pumpenkennlinie:

Q [l/s] 0 50 100 150 200

hman [m] 15,0 14,5 13,5 12,0 10,0

Lösung:

Arbeitspunkt: Q ≈ 0,14 m3/s

hman = 12,5 m

(v0 = 0)

z = 0

z2 = 5m

D = 0,2 m

K

K

70 mNN

75 mNN

Pumpe

0 0

2

2


Aufgabe 14.4: "Entwässerungsleitung"

Die Entwässerungsleitung einer Braunkohletagebaugrube hat eine Länge von 1.800 m bei ei-nem Durchmesser von 300 mm (neue, verzinkte Stahlrohrleitung, nahtlos). Dabei wird das Wasser um 40 m angehoben. Die Fördermenge betrug bei Inbetriebnahme der Grubenentwäs-serung rd. 120 l/s. Während des Betriebes der Grubenentwässerung werden ganz erhebliche Verkrustungen an der Rohrinnenwandung erwartet.

Um wieviel Prozent müsste die Pumpenleistung gesteigert werden, um die erhöhten Reibungs-verluste (Verkrustungen) aufzufangen?

Gegeben: g = 9,81 m/s2

w = 1,0 t/m3

ν = 1,0∙10-6 m2/s

Anmerkung: Die Fördermenge soll also konstant gehalten werden! Örtliche Verluste bleiben unberücksichtigt.

Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne 266

15 Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne

15.1 Grundlegende Unterschiede zwischen Strömung im Druckrohr und im Freispiegelgerinne

Gerinne sind einseitig offene Strömungskanäle. Dabei werden unterschieden:

künstliche Gerinne mit meist regelmäßigem konstantem Querschnitt,

natürliche Gerinne mit oft unregelmäßigem veränderlichem Querschnitt.

Zwischen einer Strömung im Freispiegelgerinne und einer Druckrohrströmung bestehen einige grundlegende Unterschiede hinsichtlich folgender Aspekte, die auch in Abb. 15.1 dargestellt sind:

Fließquerschnitt A und benetzter Umfang U Bei Druckrohrströmungen ist die Flüssigkeit allseitig von der festen Rohrwandung umgeben. Der benetzte Umfang entspricht dem Rohrumfang, d.h. der Fließquer-schnitt A bleibt konstant. Bei Freispiegelgerinnen besteht eine freie Oberfläche, die nur dem Atmosphärendruck ausgesetzt ist. Durch die freie Oberfläche ergibt sich ein zusätzlicher Freiheitsgrad: die variable Spiegelhöhe h, d.h. A = f(h) = f(Q). Deshalb ist die Berechnung von Strömungen im Freispiegelgerinne komplexer als bei Druckrohrströmungen. Dies erklärt auch, warum bei Freispiegelströmungen mehr auf empirische Lösungen verwiesen wird.

Treibende Kräfte Bei Druckrohrströmungen sind es vorwiegend die Druckkräfte und bei Gerinneströ-mungen vor allem die Schwerkräfte, die die treibenden Kräfte darstellen.

Geschwindigkeitsverteilung Bei Druckrohrströmungen ist die Geschwindigkeitsverteilung rotationssymmet-risch, bei Gerinneströmungen ist sie asymmetrisch.


Abb. 15.1: Strömung im Druckrohr und im Freispiegelgerinne

Hau

ptpr

oble

mde

rB

erec

hnun

g

v max

* F

lüss

igke

it a

llsei

tig

voll

von

fest

er R

ohrw

and

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um

gebe

nA

= R

ohrq

uers

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kon

st.

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g)U

= R

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Was

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r F

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pieg

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U

U

Ges

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usth

öhe:

h v=

h r

+

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Q

, Dop

timal

Was

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pieg

ella

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timal

Ges

chw

indi

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eilu

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tisc

heR

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ahl

Tre

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Flie

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A

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rU

mfa

ng U

∆p

p =

pat

m.

I So

G

G s

in

DL

v

Dru

ckkr

äfte

v max

Ah

Isot

ache

n

Ah

= v

aria

bel

A=

var

iabe

lA

= f

(h)

= f

(Q)

U=

f(h

) =

F(Q

)S

chw

erkr

äfte

Isot

ache

n

sym

met

risc

h

Re k

rit=

232

0

asym

met

risc

h

Re k

rit=

=

580

2320 4


Es bestehen auch weitere Unterschiede wie z.B. hinsichtlich der kritischen REYNOLDS-Zahl:

Rekrit = 2320 bei Druckrohrströmungen,

Rekrit = 580 bei Freispiegelgerinnen.

15.2 Strömungsfälle - Gleichförmiger und ungleichförmiger Abfluss

Gleichförmige Strömung liegt vor, wenn Wassertiefe, Strömungsgeschwindigkeit und weitere Einflussgrößen, wie Sohlgefälle und Fließquerschnitt, entlang des Gerinnes konstant bleiben. Die Strömung ist ungleichförmig, wenn diese Strömungsgrößen von einem Gerinnequerschnitt zum anderen variieren.

Gleichförmige Strömung darf nicht mit stationärer Strömung und ungleichförmige Strömung nicht mit instationärer Strömung verwechselt werden. Die grundsätzlichen Unterschiede sind in Abb. 15.2 dargestellt.

Welcher Strömungsfall vorliegt, hängt von den beteiligten Trägheitskräften, d.h. von der Be-schleunigung der Strömung, ab. Deshalb stellt die in Abb. 15.2 angegebene Beschleunigungs-gleichung die Grundlage für die Charakterisierung der Strömungsfälle dar.

Während für die Unterscheidung stationär/instationär die lokale Beschleunigung V/t maßge-bend ist, entscheidet die konvektive Beschleunigung v V/S bei der Unterscheidung zwischen gleichförmiger und ungleichförmiger Strömung.

Da hier keine instationären Strömungen behandelt werden, wird im Folgenden näher auf die gleichförmige/ungleichförmige Strömung bei stationärem Abfluss eingegangen. Dabei werden folgende Fälle unterschieden, die in Abb. 15.3 dargestellt sind:


Abb. 15.2: Strömungsfälle bei stationärem und instationärem Abfluss


Abb. 15.3: Strömungsfälle bei stationärem Abfluss

Gleichförmige Strömung (Abb. 15.3a) Die konvektive Beschleunigung v V/x ist Null, d.h. die Geschwindigkeit v(x) ist konstant in Fließrichtung x. Das hat zur Folge, dass der Fließquerschnitt bzw. die Wassertiefe h in Fließrichtung konstant bleibt. Das Energiegefälle IE ist gleich dem Wasserspiegelgefälle IW und gleich dem Sohlgefälle ISO. Dieser Strömungsfall wird als Normalabfluss bezeichnet.

Bei der ungleichförmigen Strömung sind 2 Fälle möglich:

- Verzögerter Abfluss (Abb. 15.3b): Die konvektive Beschleunigung v v/x ist kleiner als Null. Die Geschwindigkeit v(x) wird daher in Fließrichtung x klei-ner. Aus Kontinuitätsgründen wird die Wassertiefe h in Fließrichtung x grö-ßer. Es entsteht eine Staukurve. In diesem Fall sind Energiegefälle IE und Sohlgefälle ISO größer als das Wasserspiegelgefälle IW.

- Beschleunigter Abfluss (Abb. 15.3c): Die konvektive Beschleunigung v v/s ist größer als Null und die Geschwindigkeit v(x) wird somit in Fließrichtung größer. Dadurch werden der Fließquerschnitt A bzw. die Wassertiefe h in Fließrichtung kleiner. Es entsteht eine Senkungskurve. Energiegefälle IE und Sohlgefälle ISO sind beide kleiner als das Wasserspiegelgefälle IW.

Verzögerter Abfluss – und somit eine Staukurve! – entsteht immer dann, wenn durch Einbauten bzw. Störungen (Wehre, Brückenpfeiler, Querschittseinengungen durch Buhnen, etc.) ein ört-licher Energieverlust eintritt. Die Staukurven können beachtliche Längen im Oberwasser auf-weisen.

h

v (x)x

IE

a

ISO

vv 0

x

Gleichförmiger AbflussISO = IW = IE

IW

IW

IE

ISO

v (x)

b Verzögerter Abfluss (Staukurve)ISO > IW und IE > IW

vv 0

x

vv 0

x

v (x)

IWIE

ISO

c Beschleunigter Abfluss (Senkungskurve)ISO < IW und IE < IW


Beschleunigter Abfluss – und somit eine Senkungskurve! – tritt dagegen in unmittelbarer Nähe von Wehren oder Abstürzen auf. Die Senkungskurven sind in der Länge beschränkt und oft mit einem Fließwechsel verbunden.

Zur Berechnung der Stau- und Senkungskurven werden in der Praxis oft iterative Näherungs-verfahren herangezogen. Dabei muss bei schießendem Abfluss (wo keine Störung stromauf gelangen kann) immer stromab gerechnet werden. Bei strömendem Abfluss muss dagegen im-mer stromauf gerechnet werden, sonst konvergiert die Lösung nicht (vgl. Abschnitt 9).

15.3 Widerstandsgesetz und empirische Fließformeln für den gleichförmi-gen stationären Abfluss

15.3.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes

(a) Annahmen und Ausgangsbedingungen

Es wird eine stationäre und gleichförmige Strömung (Normalabfluss) angenom-men: Fließgeschwindigkeit v(x, t) = konst.

Fließquerschnitt A(x, t) = konst.

Das Sohlgefälle ISO muss so klein sein, dass ISO sin tan gilt. Diese Annahme ist berechtigt, da das Sohlgefälle natürlicher Gerinne meistens sehr klein ist (z.B. Elbe/Weser im Unterlauf: ISO = 10-4 bis 10-3).

Es wird ein Kontrollvolumen mit der Länge L, dem Fließquerschnitt A, der Was-sertiefe h und dem Sohlgefälle ISO betrachtet (Abb. 15.4). Der benetzte Umfang ist U und aufgrund des Normalabflusses gilt: ISO = IE = IW.


Abb. 15.4: Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes

(b) Herleitung

Es wird die Gleichgewichtsbedingung der Kräfte in Fließrichtung x betrachtet:

xiF 0

1 2

1 1 2 2 0

S S

I F G sin I F U L 0

1

2 2w w

S

1Q v g h cos G sin

2

2

2 2w w 0

S

1Q v g h cos U L 0

2

Da S1 = S2 0G sin U L (15.1)

G RGewichtskraft F Reibungskraft F

Reibungskraft FR: Mit 0 = (/4) w v2/2 (siehe Abschnitt 14) folgt:

I1

G = mg

F1

F2ISO

I2

EL

DL

IE

IW

L

s

h cos

hr

v2/2g

EL

DL

U

benetzter Umfang

1

1

2

2

A


2

R w

vF U L

4 2

(15.2)

Gewichtskraft FG: Mit G = m g = w V G = w A L g

und hr/L = sin (Da ISO = tan = IE = hr/L = sin ) wird:

rG w

hF A Lg

L

R w rF A g h (15.3)

Gl (15.2) und Gl. (15.3) in Gl (15.1) eingesetzt ergibt:

2

w r w

vg A h U L

4 2

2

r

vg A h U L

4 2

2

r

L vh

4 A U 2g

Mit A/U = R (hydraulischer Radius) folgt:

2

r

L vh

4 R 2g (15.4)

Daraus wird das gleiche Widerstandsgesetz wie für Druckrohrströmungen bei nicht kreis-förmigen Querschnitten gebildet:

2

räq

L vh

D 2g ,

mit Däq = 4R jedoch mit dem Unterschied, dass der Freispiegel nicht im Umfang U be-rücksichtigt wird.

15.3.2 Empirische Fließformeln

(a) Fließformel von CHEZY46

Die Grundlage für die Entwicklung der meisten empirischen Fließformeln für Freispie-gelgerinne bildet die Fließformel von CHEZY, die wie folgt abgeleitet werden kann:

46 CHEZY, Antoine (1718–1798): Französischer Ingenieur.


Aus dem Widerstandsgesetz: 2

r

L vh

4R 2g folgt:

2 r8g hv R

L

Und mit:

rhI

L (I = Sohlgefälle, das gleich dem Wasserspiegelgefälle ist)

8g

C

wird:

v C R I (15.5)

Oder mit v = Q/A:

Q CA R I (15.5)a

In der CHEZY-Formel Gl. (15.5) bzw. (15.5)a ist der Geschwindigkeitsbeiwert C dimen-sionsbehaftet [m1/2/s] und vom Reibungsbeiwert (vgl. Abschnitt 14), der Querschnitts-form und der Rauheitsstruktur abhängig:

C = C (, Querschnittsform, Rauheitsstruktur) und

= (Re, k/R).

Der grundsätzliche Unterschied zwischen dem Widerstandsbeiwert bei Druckrohrströ-mungen und dem Beiwert C bei Strömungen im Freispiegelgerinne wird durch den nach-stehenden Versuch von BAZIN47 verdeutlicht:

(b) Versuch von BAZIN

Es wird vergleichsweise ein stationäres gleichförmiges Fließen in einem vollgefüllten Kreisrohr mit dem Durchmesser D und in einem Halbrohr (Freispiegelgerinne) mit der Wassertiefe h = D/2 betrachtet (Abb. 15.5). Beide haben das gleiche Sohlgefälle ISO.

47 BAZIN, Henry Emile (1829–1917): Französischer Ingenieur.


Da in beiden Fällen gleiches Sohlgefälle und stationärer Abfluss vorhanden sind, sollte aus Kontinuitätsgründen der Durchfluss Qb im Halbrohr halb so groß wie der Durch-fluss Qa im vollgefüllten Rohr sein:

a ,vollb,halb

QQ

2

Genauere Messungen zeigen jedoch, dass:

a ,vollb,halb

QQ

2

Abb. 15.5: Versuch von BAZIN – Prinzipdarstellung

Die Erklärung hierfür liefert der Vergleich der Isotachen (= Linien gleicher Geschwin-digkeit) für beide Fälle (Abb. 15.6):

Bei vollgefülltem Rohr herrscht volle Symmetrie (Rotationssymmetrie) hinsichtlich der Geschwindigkeitsverteilung mit vmax in der Rohrachse.

Beim Halbrohr mit Freispiegel ist keine volle Symmetrie gegeben und vmax liegt etwas unter der freien Oberfläche. Dies ist dadurch zu erklären, dass die freie Was-seroberfläche im Gegensatz zu einer festen Wandung einen turbulenten Austausch mit der Atmosphärenluft zulässt. Dadurch entstehen Störungen des Wasserspiegels

a) vollgefülltes Rohr mit Durchmesser D

D

b) Halbrohr mit Freispiegelgerinne und Wassertiefe D/2

b

U

D/2


(Wirbel, Wellen), die der Hauptströmung Energie entziehen und somit zur Abfluss-minderung führen. Dieser Effekt ist umso ausgeprägter, je größer das Verhältnis der Wasserspiegelbreite b zum benetzten Umfang U ist (Abb. 15.5). Das bedeutet, dass die Strömung im Freispiegelgerinne umso stärker von der Strömung in einem vollgefüllten Rohr abweicht, je flacher das Gerinne ist. Deshalb ist bei Gerinneströ-mungen die Form des Fließquerschnittes auch für den Widerstandsbeiwert C von Bedeutung.

Abb. 15.6: Isotachen bei Voll- und Halbrohr

(c) GMS-Formel (GAUCKLER/MANNING/STRICKLER)

Die meisten Fließformeln sind auf der Grundlage der CHEZY-Formel entstanden und unterscheiden sich daher im Wesentlichen durch den Ausdruck für den Beiwert C in Gl. (15.5) bzw. (15.5)a. Die im deutschen Sprachraum und international gebräuchlichste Abflussformel ist die GAUCKLER/MANNING/STRICKLER-Formel, kurz GMS-For-mel oder auch MANNING/STRICKLER-Formel genannt:

2/3 1/ 2stQ A k R I (15.6)

a) vollgefülltes Rohr

vmax

D

Isotachen

b) Halbrohr mit Freispiegel

vmax

D/2

Isotachen


Mit dem STRICKLER- Beiwert:

st 1/6 1/6

8gC

kR R

st 1/3

8gk

R

(15.7)

Der Beiwert kst ist dimensionsbehaftet [ml/3/s] und darf auch nicht mit der Rauheitserhe-bung k, die beim allgemeinen Widerstandsgesetz zur Bestimmung des Widerstandsbei-wertes herangezogen wird, verwechselt werden. Im Gegenteil, der Strömungswider-stand nimmt bei zunehmenden kst-Werten nach der GMS-Formel ab (vgl. Gl. (15.7)). Ei-nige Richtwerte für den STRICKLER-Beiwert kst sind in Tab. 15.1 angegeben.

Tab. 15.1: STRICKLER-Beiwert kst in der GMS-Formel48

Material und Art der

Oberfläche

kst

[m1/3/s]

Glattes Stahlrohr 100 120

Glatter Beton 75 95

Glatte Holzrinne 85 90

Asphaltauskleidung 70 75

Bruchstein Mauerwerk 45 50

Regelmäßiges Kiesbett aus gröberem Material 35 40

Natürliche Flüsse mit mäßigem Geschiebebetrieb 30 35

Gebirgsflüsse 20

Der reziproke Wert n = 1/kst wird als MANNING-Beiwert bezeichnet und hat die Di-mension [s/m1/3].

15.3.3 Einschränkungen bei der Anwendung der Fließformeln

Die empirischen Fließformeln, von denen die GMS-Formel hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit hier stellvertretend diskutiert wird, sind nur eine grobe Näherung der Wirklichkeit. Die wich-tigsten Einschränkungen können wie folgt zusammengefasst werden:

48 Für weitere kst-Werte siehe z.B. PRESS/SCHRÖDER (1966).


Da der kst-Beiwert dimensionsbehaftet ist, müssten eigentlich die kst-Werte nur für

die Gerinnegrößen gelten, für die sie bestimmt wurden.

Die Querschnittsform wird in den Formeln nicht explizit berücksichtigt. Streng ge-nommen müssten diese Formeln nur für Querschnittsformen gelten, für die die ent-sprechenden kst-Werte bestimmt worden sind.

Da nirgends in den Formeln bzw. entsprechenden Beiwerten die Viskosität explizit berücksichtigt wird, gelten sie nur für große REYNOLDS-Zahlen, also nur für tur-bulente Strömungen im hydraulisch rauen Bereich.

Außerdem sind folgende weitere Einflussfaktoren unberücksichtigt geblieben:

- unterschiedliche Rauheiten und zusammengesetzte Querschnitte,

- Geschiebetrieb und veränderliche Sohlform (Rippel, wandernde Bänke),

- Störungen und Strömungsinstabilitäten, die zur Wellenbildung führen,

- Luftaufnahme durch die freie Wasseroberfläche bei hohen Strömungs-geschwindigkeiten.

Weitere Details hinsichtlich dieser Einflussfaktoren können z.B. bei NAUDASCHER (1992) entnommen werden.

Zum Schluss ist zu unterstreichen, dass die Fließformeln für den stationär gleichförmigen Ab-fluss gelten. Werden sie näherungsweise zur Berechnung eines leicht ungleichförmigen Ab-flusses verwendet, so ist für I das Energiegefälle IE anstatt des Sohlgefälles ISO anzusetzen.

15.3.4 Grundaufgaben der Gerinnehydraulik

Die meisten Bemessungsaufgaben in der Praxis der Gerinnehydraulik können im Wesentlichen auf die drei folgenden Grundaufgaben zurückgeführt werden:

1. Grundaufgabe

Gegeben: h, I A, U und R = A/U

Gesucht: v, Q

Lösung: 2 /3 1/ 2stv k R I und Q = v A

Solche Aufgaben treten z.B. bei der Nachrechnung der Leistungsfähigkeit eines Quer-schnitts für die gefahrlose Abführung eines Hochwasserabflusses Qmax auf.


2. Grundaufgabe

Gegeben: h, Q A, U und R = A/U

Gesucht: I

Lösung: v = Q/A und 2

2 4/3st

vI

k R

Solche Aufgaben kommen z.B. bei der Planung von Bewässerungskanälen vor.

3. Grundaufgabe

Gegeben: Q, I und A

Gesucht: h

Lösung: Q = v A = 2/3 1/ 2stA k R I

1/ 2 2/3stQ k I A R

konst. f(h)

Daraus ist dann h zu ermitteln. Ist eine geschlossene Lösung nicht möglich, muss die Bestimmung von h iterativ bzw. graphisch erfolgen. Solche Aufgaben kommen z.B. bei der Ermittlung des Wasserstandes bei gegebenem Abfluss vor.

Eine Berechnungshilfe bei der Lösung solcher Bemessungsaufgaben stellt das Nomogramm nach der GMS-Formel dar (Abb. 15.8).

15.4 Hydraulischer Radius und hydraulisch günstige Querschnitte – Sonderfälle –

Es wird bereits aus dem Widerstandsgesetz (Gl. (15.4)) und den weiteren Fließformeln (CHEZY- und GMS-Formel) deutlich, wie bedeutend der Einfluss des hydraulischen Radius R für den Abfluss bzw. die Energieverluste ist. Deshalb ist eine nähere Betrachtung von R und des entsprechenden Gerinnequerschnitts erforderlich.

15.4.1 Hydraulischer Radius

(a) Einfluss der Wassertiefe

Der hydraulische Radius R eines Rechteckgerinnes mit der Spiegelbreite B (= konstant) und der Wassertiefe h (= variabel) ist:


B h

R(h)B 2h

(15.8)

0

a 0 R(h) 0B

Abb. 15.7: Nomogram nach der GMS-Formel


Das Umschreiben von Gl. (15.8) in folgende Form:

B

R(h) führt für h zu:B

2h

B

R2

Für Fließquerschnitte mit relativ großer Wassertiefe kann der hydraulische Radius R gleich

der Hälfte der Speigelbreite B angenommen werden (Abb. 15.8).

Abb. 15.8: Einfluss der Wassertiefe auf den hydraulischen Radius

(b) Einfluss der Spiegelbreite

Mit h = konst. und B = variabel folgt aus Gl. (15.8):

B h

R(B)B 2h

(15.8)a

0

B 0 R 02h

A

h (variabel)

0 B/2 R

h

B (konst.)


Das Umschreiben von Gl. (15.8a) in folgende Form:

h

R(B) führt für B zu:2h

1B

R h

Für Fließquerschnitte mit relativ großer Spiegelbreite B kann der hydraulische Radius gleich

der Wassertiefe h gesetzt werden (Abb. 15.9).

Abb. 15.9: Einfluss der Spiegelbreite auf den hydraulischen Radius

15.4.2 Gerinne mit gegliedertem Querschnitt

Die Strömungsgeschwindigkeit v in den Abflussformeln bezieht sich auf die mittlere Ge-schwindigkeit über den gesamten Fließquerschnitt. Bei gegliedertem Querschnitt ist die An-nahme einer gleich großen mittleren Geschwindigkeit über den gesamten Fließquerschnitt je-doch nicht vertretbar.

Die Lösung besteht darin, die Berechnung des Durchflusses gesondert für jeden Teilquerschnitt durchzuführen (Abb. 15.10):

0 h R

B

A

B (variabel)

h (konst.)


Abb. 15.10: Zerlegung eines gegliederten Querschnittes mit "Vorländern"

Die Höhe der Schnittflächen wird im benetzten Umfang nur beim tiefsten Teilquerschnitt (Strombett), jedoch nicht bei den flacheren Teilquerschnitten ("Vorländern") berücksichtigt. Das Sohlgefälle I ist für alle Teilquerschnitte gleich.

Die hydraulischen Radien für die drei Teilabschnitte in Abb. 15.10 sind:

31 21 2 3

1 2 3

AA AR = , R = und R =

U U U

und die entsprechenden Teilabflüsse nach der GMS-Formel sind:

2/3 1/21 st,1 1 1Q = k A R I

2/3 1/22 st,2 2 2Q = k A R I

2/3 1/23 st,3 3 3Q = k A R I

Der Gesamtdurchfluss Q ergibt sich durch Aufsummieren der Teilabflüsse:

1 2 3Q Q Q Q

In Abb. 15.10 wurde angenommen, dass die zwei Trennflächen für die beiden Vorländer schubspannungsfrei sind. In Wirklichkeit trifft diese Annahme nicht zu, da der starke Ge-schwindigkeitsunterschied zwischen "Vorländern" und Strombett zu großen Schubspannungen und daher zu Wirbeln an den Trennflächen führen kann. Die Annahme, dass die Schnittfläche

(HW)

VorlandVorland

(HW)

A

Strombett (MW)

h1 h3h2

A1A2

A3

U1

U2

U3

Trennflächen


zwischen Vorland und Strombett nicht in die Berechnung des benetzten Umfanges für die Vor-länder eingeht (Abb. 15.10), ergibt also zu große Durchflüsse Q1 und Q3 auf den Vorländern im Vergleich zu den tatsächlichen. Außerdem muss an dieser Stelle auf die mögliche Erosions-gefährdung infolge Wirbelbildung in diesen kritischen Bereichen hingewiesen werden.

15.4.3 Gerinne mit inhomogener Rauheit

Unterschiede in der Rauheit des benetzten Umfanges U kommen in der Praxis häufig vor (be-sonders bei naturnah ausgebauten Flussläufen). Zum Beispiel können die Sohle aus alluvialem Material und die Böschung aus einer Steinschüttung bzw. Rasen bestehen.

Wird ein "kompakter" trapezförmiger Fließquerschnitt wie z.B. in Abb. 15.11 betrachtet, so kann ein äquivalenter Abflussbeiwert für die entsprechende Fließformel bestimmt werden. Da-bei wird am Beispiel der GMS-Formel wie folgt verfahren:

Abb. 15.11: Kompakter Gerinnequerschnitt mit inhomogener Rauheit

Annahmen und Bezeichnungen:

(i) Mittlere Geschwindigkeit v = Q/A liegt in allen fiktiven Teilquerschnitten Ai vor: v = vi; Sohlgefälle: I = Ii

(ii) Der benetzte Umfang U besteht nur aus den Linien Li, die Wandschubspanungen

aufweisen: iU L

(iii) Hydraulischer Radius der fiktiven Teilquerschnitte: Ri = Ai/Li Hydraulischer Radius des Gesamtquerschnittes: R = A/U

mit: iA A

A1 A3

A2

L3

L1

L2

kst2

kst1

kst3

Isotachen


(iv) kst,i stellt den Abflussbeiwert nach der GMS-Formel für den jeweiligen fiktiven

Teilquerschnitt Ai und kst den äquivalenten Abflussbeiwert für den gesamten Fließquerschnitt A dar.

Bestimmung des äquivalenten Abflussbeiwertes kst

Die GMS-Formel für den gesamten Fließquerschnitt A ist:

2/3 1/2st

Av k R I mit: R =

U

und für die fiktiven Teilquerschnitte Ai:

2/3 1/2 ii st,i i

i

Av k R I mit: R =

L

Da v = vi:

2/32/3

ist st,i

i

A Ak k

U L

3/2

st ii

st ,i

k LA A

k U

3/ 2st i

i 3/2st,i

k LA A

U k

Da iA A folgt für den äquivalenten Abflussbeiwert kst:

2/3

st n3/ 2

i st ,ii 1

Uk

L / (k )

(15.9)

oder z.B. für die drei Rauheiten in Abb. 15.11:

2/3

st 2/33/2 3/2 3/21 st,1 2 st,2 3 st,3

Uk

L / (k ) L / (k ) L / (k )

Auf ähnliche Weise können auch äquivalente Abflussbeiwerte für andere Fließformeln be-stimmt werden. Für Gerinne mit gegliedertem Querschnitt und Vegetation sei auf das weiter-führende Schrifttum hingewiesen (z.B. NAUDASCHER, 1992).


15.4.4 Hydraulisch günstige Querschnitte

Besteht die Möglichkeit für eine freie Auswahl der Form des Fließquerschnittes bei vorgege-benem Durchfluss Q, so ist es naheliegend, dass sie so festgelegt werden muss, dass möglichst ein hydraulisch günstiger und wirtschaftlich optimaler Querschnitt entsteht.

Wird für diese Optimierungsaufgabe die GMS-Formel zugrunde gelegt, so folgt bei vorgege-benem kst-Wert, Sohlgefälle I und konstant gehaltenem Fließquerschnitt A:

1/2 2/3st

konstant

Q = k A I R = konst.

Da R = A/U und A = konst., ergibt sich der maximale Durchfluss Qmax, wenn der benetzte Umfang U minimal wird.

Abb. 15.12: Definitionsskizze eines hydraulisch günstigen Rechteckprofils

Beispiele: Rechteckgerinne, Trapezgerinne (s. Abb. 15.12 und Abb. 15.13)

U = B + 2 h und mit

A A

B = U = + 2 hh h

U wird minimal, wenn:

2

dU A2 0

dh h

2

B h2 0

h

B

2h (15.10)

h h

hA

B = 2hU

B = 2h


Auf ähnliche Weise resultiert für ein Trapezprofil mit Sohlbreite Bs und Böschungsneigung 1:m:

2SB2 1 m m

h (15.11)

Abb. 15.13: Definitionsskizze eines hydraulisch günstigen Trapezprofils

Gl. (15.10) und Gl. (15.11) zeigen, dass es sich um Querschnitte handelt, deren Seiten von einem eingeschriebenen Halbkreis tangential berührt werden.

Der hydraulisch günstigste Querschnitt kommt einem

Halbkreis möglichst nahe.

h

hh

B

h

UBS



1. Grundlegende Unterschiede zwischen einer Strömung im Druckrohr und einer Strömung im Freispiegelgerinne bestehen hinsichtlich des Fließquerschnittes, des benetzten Umfan-ges, der treibenden Kräfte und der Geschwindigkeitsverteilung.

Außerdem ist:

krit

krit

Re 580 bei Freispiegelgerinnen

Re 2.320 bei Druckrohrströmungen

2. Je nach Größe der konvektiven Beschleunigung v v/ x verläuft die Strömung entweder

gleichförmig oder ungleichförmig:

v v/ x 0 : gleichförmig konst. Wassertiefe

v v/ x 0 : ungleichförmig, verzögert Staulinie

v v/ x 0 : ungleichfönnig, beschleunigt Senkungslinie

3. Das Widerstandsgesetz für stationäre Gerinneströmungen:

2

r

L v Ah mit R = (hydr. Radius)

4R 2g U

gilt für gleichförmigen Abfluss (Normalabfluss) und relativ kleines Sohlgefälle I. Es kann jedoch auch für leicht ungleichförmige Strömungen verwendet werden. Dabei ist jedoch statt des Sohlgefälles das Energiegefälle anzusetzen.

4. Das Widerstandsgesetz und die daraus abgeleitete Formel von CHEZY:

Q A C R I

bilden die Grundlage für die meisten empirischen Fließformeln für Freispiegelgerinne. Für den dimensionsbehafteten Beiwert C [m1/2/s] gilt:

C = C (λ, Querschnittsform, Rauheitsstruktur)

5. Die GMS-Formel (GAUCKLER/MANNING/STRICKLER) stellt die gebräuchlichste empirische Formel für Freispiegelgerinne (Normalabfluss) dar:

2/3 1/2stQ = A k R I

Für den dimensionsbehafteten STRICKLER-Abflussbeiwert kst [m1/3/s] gilt:

st 1/6 1/3

C 8gk

R R


6. Bei der Anwendung der empirischen Fließformeln sind außer den Einschränkungen des

Widerstandsgesetzes auch noch die spezifischen Einschränkungen, die mit der Definition des Abflussbeiwertes zusammenhängen, zu beachten.

7. Bei Gerinnen mit relativ großer Wassertiefe h im Vergleich zur Spiegelbreite B kann der

hydraulische Radius R wie folgt angesetzt werden:

h groß R =B/2

und bei flachen Gerinnen mit relativ großer Spiegelbreite B:

B groß R = h

8. Bei der Berechnung von Strömungen in Freispiegelgerinnen mit gegliedertem Quer-

schnitt ist eine Zerlegung in Teilquerschnitte mit nahezu konstanten Wassertiefen erfor-derlich. Die Trennflächen sind dabei schubspannungsfrei anzusetzen. Der Gesamtabfluss berechnet sich dann als Summe der Teilabflüsse.

9. Bei Gerinnen mit inhomogener Rauheit muss vorher ein äquivalenter Abflussbeiwert be-

stimmt werden. 10. Hydraulisch günstige Querschnitte kommen einer Halbkreisform sehr nahe.


15.6 Aufgaben

Aufgabe 15.1: "MANNING-STRICKLER-Gleichung"

Geben Sie die MANNING-STRICKLER-Gleichung für gegliederte Querschnitte mit Einheiten an! Aufgabe 15.2: "Sohlgefälle"

Was für eine Art Abfluss muss herrschen, damit ISO = IE (Sohlgefälle = Energieliniengefälle) gesetzt werden kann? Aufgabe 15.3: "Rauigkeit"

Was beschreibt die absolute Rauheit k im Gegensatz zu dem Rauigkeitsbeiwert kst in der MAN-NING-STRICKLER Gleichung und welche Einheit besitzen die beiden Werte? Aufgabe 15.4: "Rauigkeitsbeiwerte"

Ordnen Sie die folgenden Werkstoffe größenmäßig nach ihrem kst- und k-Wert ein:

Grobkies, Stahl: Rohre sehr glatt, neu, Beton: mit Holzschalung.

Aufgabe 15.5: "Turbulente Strömung im Freispiegelgerinne 1"

Für einen trapezförmigen Erdkanal, dessen Wandung aus mittlerem Kies besteht und der ein Sohlgefälle von I = 0,9 ‰ hat, ist der stationär gleichförmige Abfluss Q in Abhängigkeit von der Wassertiefe zu ermitteln.

Gegeben: kst = 40 m1/3/s

Sohlbreite B = 5 m

m = 3


Abb. 15.14: Kanalquerschnitt

Lösung:

Fließquerschnitt:

2 2 2A B h m h B h 3h 5h 3h

Benetzter Umfang:

2 2U B 2 h (3h)

U B 2 h 10 B 6,32 h 5 6,32 h

Hydraulischer Radius:

2A 5h 3h

RU 5 6,32h

Es kann die MANNING/STRICKLER-Formel angewandt werden:

1/2 2/3stQ = k I R A

2/321/ 2 25h 3h

Q = 40 0,0009 (5h 3h )5 6,32h

2 5/3

2/3

(5h 3h )Q 1,2

(5h 6,32h)

332h = 1 m 1,2 7,62m s

5,04

3172,7h = 2 m 1,2 30,6m s

6,78

h 1

m

B = 5,0 m

1

m


3507,5

h = 3 m 1,2 73,28m s8,31


Für ein Gerinne mit einem dreieckigen, symmetrischen Querschnitt und einem vorgegebenen Durchfluss Q = 10 m3/s soll das Gefälle I ermittelt werden:

Gegeben: = 90°

h = 2 m

Q = 10 m3/s

Beton: kst = 80 m1/3/s

Gesucht: Gefälle I

Lösung:

Bestimmung des hydraulischen Radius:

2 2 2 2A h ;U 2 h h 2 2h

2

2

A Fließfläche hR

U benetzter Umfang 2 2h

Abb. 15.15: Gerinnequerschnitt

2h h 2 1R 0,707m

2h 2 2 2 2 2 2

h = 2,0 m

hh


Die Ermittlung des hydraulischen Gefälles folgt durch Umstellen der MANNING-STRICK-LER-Gleichung:

1/ 2 2/3stv k I R

2

2/3st

v I

k R

wobei: 2

Q 10 10v 2,5 m s

A h 4

2

2/3

2,5 I 0,0015 1,5 ‰

80 0,707


Für einen Kanal (Trapezquerschnitt) mit der Sohlbreite b, einer Böschungsneigung von 1:m, einem mittleren Abfluss Q, einem Strickler-Beiwert kst und einem Sohlgefälle I soll die Was-sertiefe h bei stationär gleichförmiger Bewegung berechnet werden.

Abb. 15.16: Trapezquerschnitt

Gegeben: B = 10 m

Böschungsneigung 1:2

Q = 22 m3/s

kst = 50 m1/3/s

I = 0,1 ‰

Gesucht: Wassertiefe h

h = ?1m

1m

10,0 m


Lösung:

Bestimmung des hydraulischen Radius R:

Fließfläche: 2

2m hA B h 2 10h 2h

2

Benetzter Umfang: 2 2U B 2 h (m h) 10 2 5 h

Hydraulischer Radius: 2A 10h 2h

RU 10,0 2 5 h

Die Lösung erfolgt iterativ aus der MANNING-STRICKLER Gleichung:

1/ 2 2/3stQ A v A k I R

2/32

2 1/2st

10h 2hQ (10h 2h )k I

10,0 2 5 h

1. Wahl: h = 2,0 m Q1 = 18,16 m3/s

2. Wahl: h = 2,5 m Q2 = 27,44 m3/s

3. Wahl: h = 2,22 m Q3 = 22,00 m3/s

3

3 vorhQ Q 22, 0 m s/


Aufgabe 15.8: "Gerinne mit gegliedertem Querschnitt"

In einem gegliederten Flussquerschnitt soll der Abfluss Q bei den folgenden Verhältnissen be-stimmt werden:

Abb. 15.17: Gegliederter Querschnitt

Gegeben: I = 0,3 ‰

kst,2 = 37 m1/3/s

kst,1 = kst,3 = 26 m1/3/s

h1 = h3 = 1,0 m

h2 = 4,0 m

B2 = 100 m

B1 = B3 = 60,0 m

Lösung:

Ermittlung des hydraulischen Radius: Für die Vorländer gilt:

h << B R1 = h1; R3 = h3

Für das Mittelwasser gilt:

2 2

2 2

A B h 100 4,0R 3,70 m

U B 2h 100 2 4,0

Die Abflussmenge Qges setzt sich aus den Teilabflüssen Q1, Q2 und Q3 zusammen:

ges 1 2 3Q Q Q Q

h1 = 1,0 m h3 = 1,0 m

h2 = 4,0 m

B1 = 60,0 m B2 = 100,0 m B3 = 60,0 m


Jeder Teilabfluss kann getrennt nach MANNING-STRICKLER ermittelt werden:

1/2 2/3 2/3 31 3 st,1 1 1Q Q k I R A 26 0,0003 1,0 60 27 m s

1/2 2/3 2/3 32 st,2 2 2Q k I R A 37 0,0003 3,7 400 613,2 m s

3ges 1 2 3 Q Q Q Q 613,2 2 27 667 m s

Weiterführendes Schrifttum 297

16 Weiterführendes Schrifttum

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Vorlesungsskript Hydromechanik

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