uber die Darstellung einer Klasse von stationaren stochastischen Prozessen

mit Hilfe von verallgemeinerten zufalligen MaBen

Von FRANZ SCHMIDT in Dresden

(Eingegangen am 2. 11. 1971)

Einleitung

Als Darstellung des stationaren stochastischen Prozesses {z ( t )} , ,B durch gleitende Zittel bezeichnet man bekanntlich jede Darstellung der Form

+ - z ( t ) = J a ( t - s) y (ds ) ( t E R),

- m (0.1)

dabei ist y ein zufalliges Mafi auf dem Ring 3 (R) der LEBEscuE-integrier- baren Teilmengen von R miti)

__ Ey(D’) y (D”) = o(D’ n D”)

und a eine komplexwertige a-mefibare Funktion auf R mit + m

j [ a ( s ) / 2 d s < 00.

--Do

(0.3)

Man uberzeugt sich leicht davon, da13 (0.1) einer Darstellung von {z(t)}t,B in der Form‘)

(0.4) z(t ) = Y a?’ ( t E R ) mit einem isometrjschen Operator Y E [P, D(9, %, P)] aquivalent ist. Ausgehend von dieser Tatsache wurden in [9] einige Resultate, die die Darstellung stationarer stochastischer Prozesse durch gleitende Mittel betreffen3), auf eine Darstellung ubertragen, die als naheliegende Verall- gemeinerung von (0.4) auf die Klasse der BANAcHraumwertigen verallgemei- nerten stationuren stochastischen Prozesse (im Sinne von [8], 1.2.) auf dem Produkt G = Gf x G - einer lokalbikmpakten HAusDoRFFschen ABELschen Gruppe G i und einer beliebigen ABELschen Grappe G- anzusehen ist.

I ) Mit IJ bezeichnen wir das LEBESGUE-M~D auf R. 2) Mit aW(t E R) bezeichnen wir die durch

a(,)(- S) := a(t - S) (S ER) definierte Funktion.

3) Siehe die Einleitung zu [9].

22 Schmidt, Stationare stochastische Prozesse

Nach dem AbschluB des Manuskripts von [9] sind dem Verfasser die Arbeiten [5 ] und [B] von MASANI bekannt geworden. I n diesen Arbeiten werden sogenannte quasi-isometrische MaJe untersucht. Unter einem solchen MaB - genauer: einem (X,X)-quasi-isometrischen MsB uber ( T , 3, u) (x,X: HILBERT-Raume, u: finites positives Ma6 auf dem &Ring 3 von Teilmengen der Menge T ) - versteht MASANI eine Abbildung Y von 3 in den Raum [ X , X ] der beschrankten linearen Operatoren von X in 3t’ mit der Eigenschaft

(0.5) ( VD‘) Y , Y (D”) X > X = 0’ n D”) ( Y , X)X (D’, D” E 3; y , X EX).

I n der vorliegenden Arbeit fuhren wir den etwas allgemeineren Begriff des verallgemeinerten zufalligen MaJes ein und zeigen, daB es mit Hilfe dieser MaBe moglich ist, die in [9] untersuchte Darstellung auf eine Integral- form zu bringen, die sich als direkte Verallgemeinerung von (0.1) auf die genannte Klasse von Prozessen erweist. Perner beweisen wir einige Aus- sagen uber (verallgemeinerte) stationare stochastische Prozesse, die eine solche Integraldarstellung gestatten.

Die Arbeit besteht aus drei Kapiteln. I n Kapitel 1 werden einige Hilfs- mittel aus der Theorie der quadratisch integrierbaren Funktionen mit Werten in einem HILBERT-Raum bereitgestellt. I n Kapitel 2 untersuchen wir Integraldarstellungen von Prozessen der oben beschriebenen Klasse ; in Kapitel 3 wird diese Klasse eingeschrankt durch die Forderung, daI3 Gf eine vollstandig geordnete Gruppe ist, und es werden Darstellungen durch ,,einseitige“ gleitende Mittel betrachtet.

Die in [8] und [9] eingefuhrten Bezeichnungen werden in der vorliegen- den Arbeit - meist ohne Kommentar - verwendet. Insbesondere sehreiben wie 23 (T‘) ( T : topologischer Raum) fur die u-Algebra sller BoRELschen Teilmengen von T , U (G, X) (G : ABELsche Gruppe, X : komplexer HILBERT- Raum) fur die Klasse aller unitaren Darstellungen von G uber X und

(G, 3) (G: ABELsche Gruppe, 3: komplexer BANAcH-Raum) fur die Klasse aller verallgemeinerten stationaren stochastischen Prozesse ([8], 1.2.) auf G uber 3.

1. Quedratisch integrierbare Funktionen rnit Werten ill 0ill0lIl HILBERT-R&Um

1.1. Es seien T ein lokalbikompakter HAusDoRPF-Raum und z ein positives ( R A D O N ~ C ~ C ~ ) MaJ auf T ([I], 3.2.2.). Mit 3 ( T ) ( = 3 ( T , T)) be- zeichnen wir den &Ring aller t-integrierbaren ([I], 4.4.5.) Teilmengen von T .

Schmidt, Stationiire stochastische F’rozesse 23

Der Ring s ( T ) enthalt insbesondere alle bikompakten Teilmengen von T ([I], 4.4.6.). Auf Grund von [I], 4.4.9. hat man also

Hilfssatz 1.1. Das Punktionensystem4) { I , 0 y I D € 3 (T, r ) , y E X } ist in P(X, T ) = P ( X , T , z) ([9], 1.1.) total.

1.2. Es sei G f eine lokalbikompalcte HAvsDoRFFsche ABELsche Gruppe mit dem HAARschen MaJ G . Wir bezeichnen fiir D & G f mit

D + t+ (t+ E G + ) die Menge {q+ + 5’ I q+ ED} und mit - D die Menge {- q+ I q+ E D}. Dann gilt

(1.1) I(€+) - D - - I - ( D + € + ) (6’ E G’, D & G+) - 11.2) I - , , I- ,* - L ( D * ” D , ) P i , 0 2 SG G+) .

Hilfssatz 1.2. Das F u n k t i o n e n s ~ s t e ~ { I - D 0 y I D E 3 (G+, cr), y E X } ist

Beweis. Wegen {D I D E 3 ( G + , G ) } = {- D 1 D E S ( G + , 0)) ergibt sich

1.3. Es sei nun G’ eine wollstandig geordnete (lokalbikompakte HAUS-

Hilfssatz1.3. DasFunktionensysfems) { I - D o p ID E3(G’), D & G + , y EX}

Beweis. Wegen

i n D ( X , G+) = 22(X, G+, b) totul.

die Aussage unmittelbar aus Hilfssatz 1 .I.

DoRFFsche ABELsche) Gruppe.

ist in UZ, ( X , G+) ([9], 1.6.) total.

S ( G 1 , G + ) = {D I D E 3 ( G + , G), D & GZ} = {- D 1 D E S ( G + ) , D G _ f }

(s. [I], 5.7.2.4.) ist das Funktionensystem

( 1 - D . y I D E S(G’)> D !G G+> y EX) in 2‘2(X, G:, b,) total (8. Hilfssatz 1.1.). Auf Grund von [ I ] , 5.7.1. wird P ( X ) G l , a+) vermoge v - IQ+ v = I - G + v isometrisch auf 2’; (X, G + ) ab-

gebildet. Also ist (s. (1.2)) + -

{ I -Q+ - C D o y I D E $(a+), D G G + , y EX) = { I - D o y I D f S(G+), D G G?, y E X }

in P+(X,G+) total.

4) Mit 1, bezeichnen wir die Indikatorfunktion von D s T, I d 4 = {A :!&,>-

5 ) Mit GT bzw. G : bezeichnen wirdie Halbgruppe { q + E ~ + I T + 5 0 } bzw. {q+ E G + l q + Z 0 } undmitok das durch u auf G+ induzierte ([i], 5.1.1.) MaO.

f

24 Schmidt, Stationiire stochastische Prozesse

1.4. Es sei nun G+ eine diskrete (ABELsche) Gruppe; a bezeichne das durch die Beziehung o({O}) = 1 normierte HAARsche Mu& auf G+ und { u ( - @ x E G + } das durch

(Y EG’) , ( - X ) . - 1/ .- sx,

definierte vollstandige Orthonormalsysteni in Y ? ( G + , a) = li+ ([9], 1.5.). Offensichtlich besteht der &Ring 3 ( G + ) = 3 (G+, a) in diesem Fall genau

aus allen endlichen Teilmengen von G + , und es gilt

2. Darstellung von verallgemeinerten stationaren stoehastischen Prozessen mit Hilfe von verallgemeinerten zufglligen MaBen

2.1. Es bezeichne G das Produkt G’ x G- der lokalbikompakten HAUS- DoRFFschen ABELschen Gruppe G+ mit dem HAARschen Ma&? a und der ABELschen Gruppe G - . Ferner sei X ein komplexer HILBERT-Raum.

Mit G* (G, X) bezeichnen wir die Klasse aller verallgemeinerten zufalligen MaJe auf der Gruppe G uber dem HILBERT-Raum X, d. h. die Klasse aller Familien

P = (f (D, E - ) I D E (G+), 5- E G-)

von Operatoren f (D, E - ) E [X, L2(9, $3, P)] mit der Eigenschaft

(2.1) Y (D’, TI- )* P (D”, e-1 = (T (D’ n D”) Fp(e- - 7-) (7-, e- E G - ; D’, D“ E 3 (a+) ) ,

wobei rp eine auf G- definierte Funktion mit Werten in [XI ist, die d e r Beziehung

(2.2) r p ( o ) = I~ genugt. - rp heifit Kovarianzfunktion von P E G*(G, X).

(2.3)

Aus (2.1) folgt unmittelbar -~ -

E ( Y (D’? q-1 Y ) ( Y (D”, e-) x) = Q (D’ n D”) (Y, W e - - 7-1 X) (y- , e- E G - ; D’, D” E 3 ( G + ) ; y , x EX),

und aus (2.2) und (2.3) ___

(2.4) ( Y (D’, 6-1 y ) ( P (D”, 5-1 x) = a (D’ n D”) ( y , x) ( E - E G- ; D’, D“ E 3 (G+) ; y, x E X).

Schmidt, StationLre stochastische Prozesse 25

Fur das MaB P E G*(G, X) bezeichnen wir mit X p die beziiglich der Normtopologie in L2(Q, 23, P ) abgeschlossene lineare Hulle der Menge

H p := (Y (D, q-) ~ 1 7 - E G-, D E 3 (G+), w EX}. Satz 2.1. Zu j edem Ma&’ Y E G*(G,X) gibt es genau eine unitare Dar-

stellung U p E U (G, Xp), die der Beziehung

(2.5) geniigt.

Der Beweis dieses Satzes verlauft analog zum Beweis der Satze 1.3.1. aus [8] und 2.2. &us [9].

Fur jedes Y E G* (G, X) und jedes 5- E G- ist Y (, , E - ) auf Grund von (2.4) ein (X, L2(&?, ‘$3, P))-p.uasi-isometrisches &fa&’ im Sinne von MASANI ( 6 . die Einleitung zu vorliegender Arbeit) uber (G+, 3 (GL), 0) ; insbesondere stimmt im Falle G- = (0) die Klasse G*(G, X) mit der Klasse aller dieser quasi-isometrischen MaBe uberein.

Auf Grund dieser Tatsache kann man - in Analogie zu der Vorgehens- weise in [4] (Abschnitte 4,5, 6), [5 ] (Abschnitt 3) sowie [6] (Abschnitte 8, 10) - Integrale von Funktionen %us 2’2(X, G+) bezuglich des MaBes P (. , E - } (5- E G-) einfuhren, und zwar setzt man zunachst

(2.6)

und zeigt dann, da13 sich die durch

u p ( E ) Y (D, 0) = P ( D + E + , 5F) ( E E G , .D E 3 (G’))

f R d x , E - ) (LJ- 4 y ) := y (D, E - ) y ( D E 3 (G+), y EX)

Y & - D O y ) := J Y (dx, 6-1 (LJ- 4 y )

G+

G+

(D E 3 (a+), w EX) definierte Abbildung Y,- in eindezltiger Weise linear und stetig zu einer Ab- bildung Y6- ,

Y E - v : = J Y (dz, E - ) v (- 2) (V E P ( X , G+)) G+

(2.7)

von gunz 2‘2(X, G’) in X p fortsetzen laBt.

Hilfssatz 2.1. Fur Y E G* (G, X ) und 5- E G- wird durch (2.7) eine iso- metrische Abbildung YE- des H I m m T - R a u m e s P ( X , G+) in den HILBERT- Ruum X p definiert. - Allgemeiner gesagt, es g i l t

(2.8) E ( J y (ax, 7-1 w(- z))TJ y (dy ,FFFi j ) = J ( W W , Tp(e- - 7 - ) v ( 4 ) o ( d 4

a+ a+

a+ (p-, 7- E G-; V, w E 2’2 (X, G+)) .

Beweis. Auf Grund von (2.3) und (2.6) ist (2.8) fur alle Funktionen der o y (D’, D” E 3 (G+); y , x EX) - und damit Form w = I - = , 0 x, w =

,2 6 Schmidt, Stationare stochastische Prozesse

(s. Hilfssatz 1.2.) fur alle V , w E YZ(X, G+) - richtig. - Setzt man in (2.8) q- = t-, e- = 6- und beachtet (2.2), so schlieBt man darauf, daB die Ab- biIdung Y3- isometrisch ist .

Unter einem p - ~ ~ ~ e ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ e n % u ~ a l l ~ g e ~ Mu# auf der Gruppe G = G+ xG- wollen wir eine Abbildung

(D , 5 - ) + (YI ( D , 5 7 , . * ., Y p ( a E - ) ) von s ( G + ) xG- in (L'? (SZ, 8, P))a mit der Eigenschaft

(2.9) ___

E y j (D' ,q- ) yk(D'', Q-) = u (D' n D") y$ (q- - e-) ( q - , @ - E G - ; D ' , D ' ' E 9 ( G + ) ; j , k = l , ..., p )

verstehenc); dabei seien y (v ) (j, k = 1, . . ., p ) auf G- definierte komplexwertigeFunktionen mit

(2.10) Man uberzeugt sich leicht devon, daB im Falle eines p-dimensionalen HILBERT-RaumesX (vollstsndiges Orthonormalsystem: {pi, . . ., pp}) die Klasse G*(G,X) vermoge

(2.11)

in eineindeutiger Weise auf die Klasse aller p-dimensionalen zufalligen MaBe auf G ab- gebildet wird; dabei gilt

(2.12)

Jk

y$(O) = Sjk (j, k = 1,. . ., p ) .

y3(D, t-) := ?(D, e-) p3 ( 5 - E G-, D € 3 ( G + ) ; j = 1, . . ., p )

y;.i)(q- - e-1 = (93, Ti.(@- - 7-1 ~ k ) (q-, e- EG-; j , k = 1,. . .,PI.

2.2. Mit % (G, X ) bezeichnen wir die Klasse aller f u n d a m e n t a l e n Prozesse ( [ 9 ] , 2.1.) aus C3 (G-, P ( X , G + ) ) . Fur Y E 93 (G, X ) uiid v E 3 2 (G') setzen wir

Y [ v ] (6-) y := Y (F) ( V O y ) Hilfssatz 2.2.1. Durch die Z u o r d n u n g Y - P,

(6- E G-, y E X I .

(2.13)

wird d i e Klasse D i e inverse Abbi ldung ist durch

I+ ( D , t-) := Y [I-=] (t-) (6- E G - , D E 3 (G')) (G, X ) eineindeutig uuf d ie K l a s s e G* (G, X ) abyebildet. -

(2.14) Y (6-) v = J P (dx, 6-) v(- X) (6- E G - , v E .P((x, Q + ) ) G+

,gegeben ; f erner gilt (2.15) !rF ( F ) = r; (6-) (6- E G-) .

Beweis. Es sei Y ein beliebiger ProzeB &us '8 (G,X) und es werde P durch (2.13) definiert. Dann gilt auf Grund von [9], (2.5)

(D'> q-)* ' (D", c-) = Y [ I _ D , ] ( r - ) * y [ I _ D , ] ( @ - ) = [ I - = , , I -D.]zr ; (@- - v-) = 0 (D' n D")~;(Q- - r-) (q - , e- E G - ; D', D" E S ( G + ) ) .

-

6) Im Spezialfall G' = R, G - = (0) handelt es sich hierbei offensichtlich urn die in [7], Kapitel I, 8 9 auitretenden ,,unkorelierten zufiilligen MaBe".

Schmidt, Stationare stochastische Prozesse 27

Daraus folgt - zusammen mit [9], (2.3) - Y E G* (G, X ) und die Richtig- keit von (2.15). - Aus Y 1 , Y 2 E % (G, X ) und Y , (D , 5 - ) = Y 2 (D, 5 -) (5 - E G-, D E 3 ( G + ) ) schlieBt man auf Y,(F-) ( I - D 0 y ) = Y 2 ( 5 - ) ( I F D o y ) ( E - E G-, D E 3 (a+), y E X ) und daraus - mit Hilfe von Hilfssatz 1.2. - auf Y1 ( 5 - ) = Yz(E-) (5- E G-). - Es sei nun Y ein beliebiges Ma13 aus G*(G,X). Wir setzen (s. (2.7))

(2.16) Y,(E-)v:= Y , - v = J P ( d x , E - ) w ( - x ) Q+

( 5 - E G-, v E la(X, G+)) . AUS (2.2) und (2.8) folgt zuanchst Yo E G (G-, Yz (X, (7.)) und weiter - mit Hilfe von [9] , Hilfssatz 2.1. - Yo E % (G, X) . Aus (2.6), (2.13) und (2.16) ergibt sich

Y o ( a 6-1 Y = J’o[I-,I(5-) y = Yo([-) v-00 Y ) = J Y ( d x , 5- ) (1-D (-- X ) W ) = Y ( D , 5-1 w

G+

(6- E G-, D E 3 (G+), y EX) und damit wegen der bereits bewiesenen Eineindeutigkeit von Y + 7 die Richtigkeit von (2.14).

Aus Hilfssatz 2.2.1. und [9] , Satz 2.1. zieht man die

Folgerung 2.2.1. Die auf G- definierte Funktion r rnit Werten in [XI ist ,genau dann Kovarianzfunktion eines MaJes aus G* (G, X ) , wenn

(2.17) r(0) == Ix gilt und iiberdies f u r jede endliche Indexmenge I’ die Bexiehung

(2.18) C , ( Y m 3 r(5, - 5,) Y,) 2 0 m,nEI

(5; E G-, yn E X [n E 1’1) besteht.

Folgerung 2.2.2. Es sei Y ein ProzeJ aus % (G, X ) und es bezeichne Y dns durch (2.13) definierte Ma&’ aus G* (G, X ) . Dann gilt

(2.19) X7e, = X y (2.20) U y ( 5 ) = U;(E) (5 E a).

Beweis. Die Richtigkeit der Inklusionen X p & Xy bzw. XI- & 3ep ist eine unmittelbare Konsequenz aus (2.13) bzw. (2.14) (8. Hilfssatz 1.2. und Hilfsaatz 2.1.). - Auf Grund von ( l . l ) , (2.5), (2.13) und [ 9 ] , (2.15) gilt weiter

u;(5) w, 0) y = u;(E) Y[I-,I (0) y = Ul(5) Y ( 0 ) ( L o o y ) = Y(E-) (IYdo y ) = Y(5-l (I-(,+,,)O y) = Y[I-(=+E+)] (5 - ) y = Y ( D + &+, 5-1 y = u y ( 5 ) P ( D , 0) ( 5 E G , .D E 3 (a+), E X ) ,

28 Schmidt, Stationare stochastische Prozesse

daraus und aus (2.19) folgt auf Grund der Eindeutigkeitsaussage von Satz 2.1. die Richtigkeit von (2.20).

Folgerung 2.2.3. Die unitare Darstellung U$ E U (G", Xp) ist stetig. Beweis. Die Aussage ergibt sich unmittelbar aus (2.20), Hilfssatz 2.2.1.

Folgerung 2.2.4. Es gilt

und [9], Hilfssatz 2.2.

(2.21) Up(E) J i.'(dx, O ) V ( - X ) G+

= j" Y ( d x , E-) v ( E + - X) ( E E G, w E Y ' ( X , G + ) ) . G+

Beweis. Auf Grund von (2.14), (2.20), Hilfssatz 2.2.1. sowie [9], (2.15) ist

u, (8 J y (dx, 0) (v (- 4 y ) = u; ( 5 ) y (0) (v 0 Y )

= Y(&-)(v"+'o y> = I' Y ( d x , 5 - ) (v(E+ - x) y ) a+

G+

( E E G, v E Y2(G+), y EX), folglich gilt (2.21) fur alle Funktionen v der Form v = w 0 y (v E P ( G + ) , y EX) und somit (8. Hilfssatz2.1., [9], Folgerung 1.1.) fur allev E P(X, G + ) .

Es sei nun G- eine topologische (AmLsche) Gruppe.

Definition. Das MaB Y E G* (G, X ) heil3t stetig, falls die Abbildung E - -+ P ( D , 6-) ( E - E G-) fur jedes D E 3 (G') stetig im Sinne der starken Operatorentopologie ist.

das dureh (2.13) definierte &fa&' a m G* (G, X ) . Dann sind die folgenden Aussagen untereinander ciquivalent :

Hilfssatz 2.2.2. Es sei Y ein ProzeJ aus 8 (G, X ) und es bezeichne

a) 7 (E G* ( G , X ) ) ist stetig. b) U s (E U (G-, Xp)) ist stetig. c ) U p ( E U (G,X, ) ) ist stetig. d) Y ( € % (G,X)) ist stetig.

Beweis. Es gelte a). Durch wortliche obertragung des ersten Teils des Beweises von [8], Satz 1.5.1. laBt sich dann die Gultigkeit von b) zeigen. - Unter Beachtung der Aussage von Folgerung 2.2.3. sieht man leicht, daB mit Us auch Up stetig ist. - Aue der Richtigkeit von c ) ergibt sich un- mittelbar (8. (2.20) und [9], Folgerung 2.4.) die von d). - Aus der Gultigkeit von d) schliel3t man mit Hilfe von [9], Hilfssatz 2.4.1. auf die von a) (s. (2. i 3)).

Es sei nun G- eine lokalbikornpakte HATJsDoRFFsche (ABELsche) Gruppe.

Schmidt, Stationke stochastische Prozesse 29

Auf Grund von Hilfssatz 2.2.1., Hilfssatz 2.2.2. und [9], (2.28) gestattet Tp unter Voraussetzung der Stetigkeit von P ( E Ei* (G, X ) ) eine Spektral- darstellung der Form

(2.22) rp(5-) = J { F , E - } p p ( d k ) (5- E G-) ; 0-

dabei ist das SpektralmaS Fp von ?? durch

~~

(2.23) Fp(A-) = Pi,(&) (A - E 8 (CS-)) definiert ( Y bezeichnet den durch (2.14) gegebenen ProzeD aus 8 (G, X ) ) , und das Integral auf der rechten Seite von (2.22) konvergiert im Sinne der gleichmaJ3igen Operatorentopologie.

Aus (2.23), Hilfssatz 2.2.1. und [9], Satz 2.5.1. zieht man die

Folgerung 2.2.5. Das auf '23 (G-) definierte MaJ F mit Werten in [XI ist genau damn SpektralmaJ eines MaJes aus G* (G, X ) , wenn die Beziehungen

(2.24) a(&) = 1~ und

12.25) ( y , F ( k ) y ) 2 0 ( A - E 8 (G-), y E X ) bestehen.

2.3. Es sei 3 ein (komplexer) BANACH-Raum. Aus Hilfssatz 2.2.1., Folgerung 2.2.2. und [9], Satz 2.3.1. folgt der

Satz 2.3.1. Es seien P ein MaJ aus C5* (G, X ) und A ein Operator aus (3, f2 ( X , G+)]. Dann wird durch

ein ProzeJ X E G (G, 3) definiert. Es bestehen die Beziehungen

(2.27) X, S Z p

(2.28) U,(5) = Up(5) (X, (t E GI.

Bemerkung 2.3. Aus Hilfssatz 2.2.1. folgt, daJ3 der ProzeJ3 X E C5 (G, 3) genau dann in der Form (2.26) darstellbar ist, wenn

(2.29) X ( 5 ) = Y (E-)A"') (6 E G)

gilt; Y bezeichnet dabei den durch (2.14) definierten ProzeS aus % (G, X ) . Damit sind wir berechtigt, (2.26) als DarsteEZung des Prozesses X E Ei ( G , 3 ) durch gleitende Mittel zu bezeichnen.

(Basis: {el, . . ., e d ) die Klasse C3 (G, 3) vermoge

(2.30) z i ( [ ) : = X ( [ ) e i ( [ E G , i = 1, ..., n)

Man iiberzeugt sich leicht davon, daO im Falle eines n-dimensionalen BANACH-Raumes 3

30 Schmidt, Stationare stochastische Prozesse

in eineindeutiger Weise auf die Klasse aller n-dimensionalen stationlren stochastischen Prozesse ([7], Kapitel 1, 3 I ) auf G abgebildet wird; dabei gilt

(2.31) Y$)(E - 7) = Ezj(E) z k o = (ei, r,(~ - 6) e k )

( 5 , ~ E G ; j, k = 1, . . . , n). Die Darstellbarkeit des Prozesses X E (G, 3) in der Form (2.26) mit einem MaL

E E B*(G, X) ( d i m X = p ) ist dann lquivalent mit der Darstellbarkeit des durch (2.30) definierten n-dimensionalen stationlren stochastischen Prozesses in der Form

P (2.32) zi([) = 2 J aij(t+ - 2) yj(dz, 6-) ( E EG, i = 1,. . ., n)

j = 1 a+

(2.33) aij(z) := ((Aei) (21, ~ j ) (2 EG+)

mit dem durch (2.11) definierten p-dimensionalen zufalligen Ma13 und den durch

n

i= l gegebenen Funktionen aij E 22 (Gt) (i = 1, . . ., n;j = 1, . . ., p ) ; fur f = 2 q e i E 3 ist

namlich n p

G+ a+ i= i j = i J P (dz, 6-) (Af) (t+ - 2) = J 7 (dz, it-) (2 ai z uij ( E + - 2) Vj)

n v

Aus der voranstehenden Beziehung erkennt man auch, daB im hier vorliegenden Spezialfrtll der in (2.26) auftretende Integrand (Af) ( E + - 2) in der Form A (E+ - z)f ge- schrieben werden kann, dabei ist A (5' - z) (z, E+ E G + ) der durch

definierte Operator aua [3, XI. Speziell erhiilt man &us (2.32) fur G+ = R, G- = (0 )

P +-

j = l - -w (2.35) zi ( 5 ) = j" ~i i ( t+ - V ) yj ( d ~ ) (t ER, i = 1,. . ., n) [7], Krtpitel 1, (9.17)) und fur G+ = G- = R, n = p = 1

+ m

(2.36) ~ ( 5 ) J a ( E + - v) y ( d ~ , E - ) (6 E R x R). -00

Hilfssatz 2.3. Der zu dern durch (2.26) definierten ProzeJ X E 6 (G, 3)

Beweis. Die Aussage des Hilfssatzes ergibt sich unmittelbar aus Be-

Folgerung 2.3.1. Es bezeichne X den durch (2.26) definierten. ProzeJ aus

gehorige Randprozefl X + E (3 (G+, 3) ist stetig.

merkung 2.3. und [9], Hilfssatz 2.3.

G (G, X ) (Y E G* ( G , X), A E [3, 2'2 (X, G')]) . Dann gilt

Schmidt, Stationare stochastische Prozesse 32

und (2.38) ( f , li;s (C-) ( A + 19) = J ((Af ( E + ) , r, (5-1 (Ag) ( t+ ) ) 6 (at+)

A+

(6- E G-, A + E 23 (e+); f , g f 3).

Bemerkung 2.3. und [9], (2.23) bzw. (2.24). Beweis. (2.37) bzw. (2.38) sind unmittelbare Konsequenzen aus (2.15),

Die Aussage der Folgerung 2.3.1. ist auf folgende Weise umkehrbar:

Satz 2.3.2. Jeder Prozej’ X E 6 (G, 3), dessen Kovariunzfunktion r, bzw. dessen purtielles nichtzufalliges SpektrulmaJ .F$-) (5- E G - ) die Form

(2.39) ( f , Tz(4 9) = J ((W) ( 4 7 T(t-1 ( 4 7 ) (x + 5 + ) ) b ( d 4 G -

( 5 E G;f , g E 3) bzw.

(2.40) ( f , F:$-) ( A + ) 9) = j- ((Bf 1 ( E + h T(5-1 (As) ([+I) 8 (dE+I

( A + E 23(Q+);f7 9 E 3) A+

(r: uuf G - definierte Funlction mit Werten in [XI und der Eigenschuft (2.18), B E [3, Yz(X , G + ) ] bzw. B € [3,YZ((x, (?+)I) besitzt, gestuttet eine Darstellung durch gleitende Mittel (2.26) mit

Y E G* (G, X’) und A E [3, Yz(X’, G + ) ] (X’ = r(0) X) . Beweis. Aus (2.18) folgt, dal3 die quadratische Form

(a1, a21 - I El l 2 (I4 T(0) Y ) + I a2 l 2 (x, r(0) x ) + a1 6 2 (w, r(- t-) x ) + @I a2 (x, r(E-) y ) (5-E G - ; Y , x f X)

positiv semidefinit ist. Bekannte Kriterien zeigen nun, dal3 T den Be- ziehungen

(2.41) (Y , r(0) Y ) 2 0 (Y EX)

genugt. Aus (2.43) ergibt sich

(2.44) I l r ( E - 1 PIl4 5 (Y , P(0) Y ) (W-I y, r(o)w-) Y ) (6- EG-; y EX). Es bezeichne nun P den Operator der orthogonalen Projektion von X auf den abgeschlossenen linearen Teilraum X‘ : = T(0) X von X und

r, := T(0) IX’ die EinschrLnkung von I‘(0) auf X‘. Wegen (2.44) gilt

(2.45) I‘(6-I P = r(E-) (5- E G - ) .

32 Schmidt, Stationare stochastische Prozesse

Aus (2.42) und (2.45) erhalt man leicht

(2.46) P r ( t - ) P = r(E-) (5- E G - 1 .

(2.47) r ,P = p r o p = ~ ( 0 ) .

Die Beziehungen (2.45) und (2.46) implizieren die Gultigkeit von

Auf Grund von (2.41) und (2.42) ist r(0) - und damit auch ro - ein positiver selbstadjungierter Operator. Folglich existieren die (positiven selbstadjungierten) Operatoren F(0)X E [XI und FOX E [X’], und mit Hilfe von (2.47) schlieBt man auf

(2.48)

(2.49) ro X‘ r,yx = r(o)Xx CX’ - = r0x

rz P = p r , p = I ~ ( O ) X .

T z bildet X’ eineindeutig auf den wegen

in X‘ dichten linearen Teilraum rd/. X’ ab. Fur E - E G - wird auf r(y X’ x I‘,y X‘ durch

cr;;’. x‘, rz w’) - (x’, TC-) y’) (v’, x‘ EX’) ein bilineares Funktional definiert. Dieses Funktional 1aBt sich durch Stetigkeit auf x I‘z X‘ = X’ xX‘ fortsetzen, auf Grund von (2.43) und (2.47) gilt namlich

. -~

l ( x ’ 3 T(5-1 w’) I* 5 (w’, To w’) (x’, To x’) = I l q w’Il2 llrzx’ll* (y ’ , x’ EX’) *

Es gibt also genau eine auf 0- definierte Funktion r‘ mit Werten in [X’], so daB

(rcy, r‘ (E-)r;i” w’) = (y, rg-) w’) (t- E G - ; y‘, x y E X I , d. h.

(2.50) pr;l/lpr‘(E-)r;iIP = P r ( l - ) P (5- E a-)

(2.51) q o p r ‘ ( i - ) r ( o ) X = ~ ( 5 - 1 (5- E G-).

Aus (2.18) und (2.51) folgt, daB die Beziehung

(2.52) C ( y i , F(5; - E ; ) y i ) 2 0

fur jede endliche Indexmenge I’ und fur beliebige y: E r(O)’/.X [n E 1’1 - wegen (2.49) also fur beliebige y i E 3%“ [n E 1’1 - besteht. Ferner gilt auf Grund von (2.48) und (2.51)

gilt. Aus (2.46), (2.48) und (2.50) erhalt man

(El E G- [n E 1’1) m,nEI’

(2.53) r ( o ) ~ p r ‘ ( o ) Pr(o)X = r(o) = r ( o ) w r ( o ) x .

Schmidt, Stationiire stochastische Prozesse 33

Aus (2.49) und (2.53) ergibt sich Pr‘(0) P = P, also

(2.54) r‘(0) = < ~ f . Aus (2.52) und (2.54) schlieBt man (s. Folgerung 2.2.1.) auf die Existenz eines MaBes Y’ E G* (G, X‘) mit

(2.55) rp,(E-) = I”(t-) (5 - E G-).

Wir definieren den Operator A E [3, Yz (,X’, G + ) ] durch A := [ r ( O ) X ] ” B , d. h.

(4 (4 = r(o)% (Bf) (.) (f E 3, x E G+) und den ProzeB X’ E G (G, 3) durch

(2.56)

(8. Satz 2.3.1.). Auf Grund von (2.37), (2.39), (2.51) und (2.55) gilt dann

x’(E)f:= J Y’(dx, 5 - ) (Af) (5’ - X) ( 5 E G , f E 3 ) G+

(2.57) (f, r,, ( E ) 9 ) = (f, T X ( 0 9 ) (5 E G, f E 31,

weiter hat man (s. Satz 2.3.1.)

(2.58) Xr 5 X p , ( s Lz(Q’, B’, P’) =: X ( Q ’ ) ) . ’1 Aus (2.57) folgt die Existenz genau einer isometrischen Abbildung V’ vonZ,. auf X , (E L2 (Q, ‘23, P ) =: X (Q) ) mit der Eigenschaft

(2.59) V’X’ ( q ) g = X ( q ) 9

x (QXQ’) := D ( Q X Q ’ , BXX’, PXP’)

(17 E G, 9 E 3) .

Wir fassen nun X (Q) und X (52’) als Teilraume von

auf und bezeichnen mit X o (Q’) den abgeschlossenen linearen Teilraum aller ZufallsgroBen aus X (Q’) (E X (Q x 52’)) mit verschwindendem Er- wartungswer t .

(2.60)

gilt. Es sei nun X ein abgeschlossener linearer Teilraum von X (Q x Q’) 0 XdY mit 7 )

Man uberzeugt sich leichC davon, da13

dim (Xp,@ X r ) 5 dim (X ( Q x Q ’ ) @ X,)

d i m X = dim ( X p . 0 XdY.) und V” eine isometrische Abbildung von Xp.0 X r auf X . Dann ist V = V‘ @ V” eifie isometrische Abbildung von X p auf X, @ X . Durch

(2.61) P (D, 5 - ) := VU’(D, 5 - ) (6- E G-, D E 3 (G+))

7) Die Existenz eines solchen Teilraumes ist durch (2.60) gesichert. 3 Math. Nachr. 1973, Bd. 58, H. 1-6

34 Schmidt, Stationare stochastische Prozesse

wird ein Ma13 Y E G* (G, X”) mit X’p = Z X @ X und

definiert. Auf Grund von (2 .56 ) , (2.59) und (2.61) hat man I’p (6-) = l‘p, (E-) (5- E G-)

x-(t)f = V X ’ ( 6 ) f = v j” m x , 6-) ( A f ) (6+ - x)

also lL13t sich X unter der Voraussetzung (2.39) tdsachlich in der Porm (2 .26) darstellen. - Aus (2.40) folgt (8 . den Beweis von [9], Satz 3.2.3.), da13 r, in der Form (2.39) darstellbar ist. Nach den1 bereits Bewiesenen lafit sich X also auch unter der Voraussetzung (2.40) in der Form (2.26) dar- stellen.

Es sei nun G- eine topolagische (AlmLsche) Gruppe.

Folgerung 2.3.2. Mit dem HoJ J7 E G*(G, X ) is t (iuch der durch (2.26)

Beweis. Die Aussage ergibt sich unmittelbar aus Hilfssatz 2 . 2 . 2 . , Be-

def inierte ProzeJ3 X E G (G, 3) stetig.

merliung 2.3. und 191, Hilfssatz 2.4.3.4

Das p-dimensionale zufallige Ma13 y heil3e stetig, falls fur jedes D E 3 (G+) die Ab- bildungen i- -+ y? (D, E - ) von G - in L? (Q, % , P ) (j = 1, . . . , p ) siimtlich stetig sind. Offen- sichtlich ist E E* (G,x) ( d i n l x = p ) genau dann stetig, wenn das durch (2.11) de: finierte p-dimensionale zufallige Ma13 y stetig ist.

Es sei nun G- eine lokalbikompwkte HAUsDoRFFsche (ABELsche) Gruppe.

Folgerung 2.3.3. Es bezeichne X d e n durch (2.26) def inierten ProzeJ uus G (G, 3) ( P E G* (G, X ) , stetig, A E [3, P ( X , G+)]). Dann gilt (2.62)

U?%d ( 2 . 6 3 )

Cf, F$+:+)(d-) g ) = j- (Vf) (4, Fp(Lf-1 ( A d (x + 5 + ) ) fJ (W a+

( F E G+, A - E 23 (G-); f , g E 3)

c f , F,(d’XLf-)g) = J ((Af) ( E ’ ) , Fp(d-) (&) ( E + ) ) a(&’) A+

( A * E 8 (G*), f , g E 3) . utm

Beweis. (2.62) hzw. (2.63) sind unniittelbare Konsequenzen BUS ( 2 . 2 3 ) ,

Die Aussage der Folgerung 2.3.3. ist auf folgende Weise umkehrbar:

Satz 2.3.3. Jeder s fet ige ProxeJ X E G (G, 3), dessen partielles n ich t - xufllliges Spektl-almc$ FY) ( E + E G+) bzw. dessen n ich txu fu l l i ges SpektralmaJ F, die F o r m

(2.64)

Bemerkung 2.3. und [9], (2.34) bzw. (2.35).

(f, P$+)(A-) g ) = j” ( ( B f ) (21, FV-1 (Bg) (x + 5 ’ ) ) ~ ( d x )

( P E G + , A - E %(G-); f , g E 9) G+

Schmidt, Stationlre stochastische Prozesse 35

bzw . (2.65) (f, F, (A+xd- ) 9) = j - ((&I ( E + L PP-1 (B9) ( i t ) ) 8(dE+)

A+

(A+ E %(G*); f, g E 3)

(F: u u f % (G-) definiertes M a , mit Werten in [XI u n d der Eigenschaf t (2.25), B E [3, P ( X , G-)] bxw. H E [3, 3 2 ( X , G + ) ] ) besitzt, gestattet eine Dar- stellung durch gleitende Mi t te l (2.26) rnit

-- - - ___ Y E G* (G, X) und A E [S, Y2(X,' a+)] (X' = P (G-) X) .

Beweis. Aus (2.25) folgt, dalj die durch

(2.66) r( [-) := J CE- , [ 'yF(dt-) (5 - E G-)

definierte Funktion r der Beziehuiig (2.18) genugt. (Davon uberzeugt man sich, indem man jede der Funktionen (6; , .} durch eine auf G- gleichmaljig konvergente Folge ,,einfacher" Funktionen approximiert.) Perner hat man mit

(2.'67) F,(d- ) = [F(A- ) ] - (d- E 93 (G-)) auf Grund von [9] (1.9)

d'- - Y

(w x, F"(A-1 ( V O w ) ) z = [w, v12 (%> PP-) w ) (A- E 93 (Q-) ; V, w E Yz(G+) ; x, y E X)

und somit wegen (2.66)

(w O %,j {6-, [-I Po(@-) (v O y)) .

= [w, V l 2 J { E - > l - } (x, F(dE-1 w ) = [w, v12 (x, F(5-) w ) G -

6- ( E - E G - ; v, w E P ( C + ) ; w, x EX),

woraus sich mit Hilfe von Hilfssatz 1.1.2. aus [9]

[ ( E , k } J ' o ( d t - ) = [r(i?)]- ( E E G - ) , 8'9% 1

also _ _ _ _

(2.68) J { f - , E - } B*F,(d[-) B('+) = B* [I'([-)]- B'") (6 E G ) 6-

ergibt. Auf Grund von (2.67) und [9] (1.8) kann man (2.64) in der Form

(2.69) C f , y$+)(d-) 9) = (Bf , [p(d-)]-B'")g)z 4 = ( f , B * F , ( d - ) B"+)g) ( ~ + E G + , d - E B ( G - ) ; f , g E 3 )

3.

36 Schmidt, Stationiire stochastische Prozesse

schreiben. Aus (2.68), (2.69), [8] (2.14) und [9] (1.8) folgt

(fl Fx(t) g> = j- { t - 7 (-1 tf, a+) (dt-1 9) 0-

(6 E G ; f, g E 3), d. h., r, ist in der Form (2.39) darstellbar. Auf Grund von Satz 2.3.2. laBt sich X unter der Voraussetzung (2.64) tatsachlich in der Form (2.26) darstellen. - Aus (2.65) folgt (s. den Beweis von [9], Satz 3.3.2.), daB F F ) (6’ E G’) in der Form (2.64) darstellbar ist. Nach dem bereits Be- wiesenen laBt sich X also auch unter der Voraussetzung (2.65) in der Form (2.26) darstellen.

Wir zeigen jetzt, da13 das (eindimensionale) stetige homogene zufiillige Feld 5 genau dann in-der Form (2.36) mit einem stetigen zufiilligen MaB y darstellbar ist, wenn

(2.70) z(6) = J” J” e-iE-Au(E+ - v ) z ( d A , d v ) (6 E R x R )

(vgl. [2], (93)) gilt; dabei bezeichne z ein zufillliges Ma13 auf 6 ( R x R) = %3 ( R ) x 3 ( R ) , das der Beziehung

+w+-

-00 -m

__ (2.71T E z ( C ‘ ) z ( C ” ) = fJ” d F ( 1 ) d v (G’,C’ E & ( X X R ) )

C’nC”

mit einer monoton nichtabnehmenden Funktion F mit der Eigenschaft +-

(2.72) J- clF(a) = i --m

geniigt. Einerseits folgt niimlich aus (2.36) unter Beachtung von (2.12), (2.31), (2.33) und (2.37)

+- Y ( W ) = (1, Tx(- E ) 1) = J” ( ( A 1) (v). TF(- 6-1 ( A I ) (v - E+)) dv

-00

+ m

= S a(v ) ~ ( 8 - [+) dv Y ( V ) (t-) ([ E R x R) . -03

Nun gestattet y ( v ) auf Grundivon (2.12) und (2.22) eine Darstellung der Form

(2.73) y (v ) ( [ - ) = J e - i t - 2 d F ( 1 ) [([-;EX)

mit einer monoton nichtabnehmenden Funktion F , dieIauf Grund von (2.24) der Be- ziehung (2.72) genugt. Mltn hat also

+- -- 1

+ - + - _- y(”)([) = J” J e- i t -Au(E+ - v) a ( - v) dF(A) dv (6 R x R ) .

Folglich (s. [3], Satz 10) l&Wt sich z in der Form (2.70) darstellen, dabei ist z ein zufiilliges MaB auf Q ( R x R) mit der Eigenschaft (2.71) und (2.72). - Andererseits wird fur jedes zu-

-m--

Schmidt, Stationke stochastische Prozesse 37

fallige MaO z mit den Eigenschaften (2.71) und (2.72) durch +-+-

(2.74) y (D, E - ) := J J e-if-aIB(v) z(dA, dv) (6- ER, D E 3 (R)) ---- ein stetiges zufiilliges MaB y definiert; es gilt nainlich

_ _ ~ +-+oo

E y (D’, q-) y (D”, e-) = J J e 2 - Z @ - ) A Io.,-,o.*(v) @ ( I ) dv -m-m

-03

(q-, e- ER; D’, D” E 3 (R)) und

+ - y(Y)(O) = J- @(A) = 1.

-m

Aus (2.70) und (2.74) folgt nun +=- so) = J a( t+ - v) y(dv, t-) (6 FRx R).

-m

2.4. Es sei nun G+ eine diskrete (ABELsche) Gruppe und G- eine beliebige (ABELsche) Gruppe. - Mit G‘(G,X) bezeichnen wir die Klasse aller Pro- zesse p € (5 (G, X), deren Kovarianzfunktion l‘, die Form

(2.75: ( E E G) 1 r,(t) = dot+ r y - (4-1 besitzt, wobei r,- - die Kovarianzfunktion von P- E G(G- ,X) - der Beziehung

(2.76) ry- (0) = I~ genugt (s. [9],‘2.6.).

Hilfssatz 2.4. Durch d ie Zuordnung P + p,

( D = Itif,. . ., 6;) E s(G+), 6- E G-) wird die Klasse (5‘ (G, X ) eineindeutig a u f d ie Klasse G* (G, X ) abgebildet. D i e inverse Abbi ldung ist durch

gegeben; ferner gilt

(2.79) Tp(6-) = Fp(E-) (6- E G - ) . Beweis. Aus (1.3), Hilfssatz 2.2.1. und [9], Hilfssatz 2.6. folgt, da13

durch (2.77) eine eineindeutige Abbildung von G‘(G, X ) auf G* (G, X ) gegeben ist. Die Richtigkeit von (2.78) bzw. (2.79) ist eine unmittelbare Konsequenz aus (2.14) und [9], (2.39) bzw. (2.15) und [9], (2.40).

38 . Schmidt, Stationiire stochastische Prozesse

Aus Folgerung 2.2.2. und [9], Folgerung 2.6.1. zieht man die

Folgerung 2.4.1. Es sei Y in ProzeJ aus G’(G,X) und es bezeichne f das durch (2.77) definierte MaJ aus G*(G,X). Dann gilt

(2.80) X p =X,

(2.81) d,U,(5) = U,( t ) ( 5 E G ) .

daB der Proze13 X E G (G, 7) genau dann in der Form ‘OBemerkung 2.4. Aus Bemerkung 2.3. und [9], Bemerkung in 2.6. folgt,

(2.82) X ( 6 ) = c p ((x, 5-1) Ae+-x ( E E G) X W +

(mit Y E G’(G,X) , A , = {A,[ y E G+} E lit ( 3 , X ) ) darstellbar ist, wenn er eine Darstellung der Forin (2.26) besitzt; dabei bezeichnen f das durch (2.77) definierte MaB aus G*(G,X) un$ A den durch

definierten Operator aus [S, Y’J(X, G’)] . Es sei nun G- eine topologische (ABELsche) Gruppe.

TAUS Hilfssatz 2.2.2. und [9], Folgerung 2.6.4. zieht man die

Folgerung 2.4.2. Der ProzeJ Y E G’(G,X) erweist sich genau dann als

Es sei nun G- eine lokulbikompalcte HAusnoRFFsche (AuELsche) Gruppe.

Folgerung 2.4.3. Es sei Y ein stetiger ProzeJ uus G‘(G,X) und es be-

stetig, wenn das durch (2.77) definierte NuJ E G*(G,X) stetig ist.

zeichne y das durch (2.77) definierte MuJ aus G*(G,X). Dunn gilt

(2.83) .FF-(d-) = F g ( B - ) (d- E @(G-)). Beweis. (2.23) und [9], (2.53).

3. D.arstellung von verallgemeinerten stationaren stochastischen Prozessen mit Hilfe von verallgemeinerten zufiilligen MaBen

im Falle einer geordneten Gruppe G+

3.1. Es seien nun G f eine vollstandig geordnete (lokalbikompakte HAUS- DoRFFsChe ABELsche) Gruppe und G- eine beliebige (ABELsche) Gruppe. Fur das Ma13 y E G * ( G , X ) bezeichnen wir mit Xp(0) die bezuglich der Normtopologie in D(Q, ‘$3, P) abgeschlossene lineare Hulle der Menge

H Y ( O ) : = { Y ( D , T - ) V ~ ? ? - E G - , D E 3 ( Q + ) , D S G + , VEX}.’ . Aus (2.6)) Hilfssatz 1.3. und Hilfssatz 2.2. erhalt man den

Schmidt, Stationke stochastische Prozesse 39

Hilfssatz 3.1.1. Fur Y E G*(G,X) und E - E G- wird durcA Y,-u := j" Y ( d X , E - ) v ( - X) ( fJ E -q (X, G+))

G+ eine isometrische Abbildung Y,- des HILBEnT-Raumes Y: ( X , G') in den

Folgerung 3.1.1. Es sei Y ein ProzeJ a u s %(G,X) und es bezeichne P HILBERT-Raum x~(0) definiert.

das durch (2.13) definierte MuJ aus G*(G,X) . D a n n gilt (3.1) X,(O) = X y ( 0 ) *

Z y ( 0 ) G XP(0)

B e w e i s. Die Richtigkeit der Inklusionen X p (0 ) Xy (0 ) bzw.

ist eine unmittelbare Konsequenz aus (2.13) bzw. (2.14) (s. Hilfssatz 1.3. und Hilfssatz 3.1.1.).

Bemerkiing 3.1.1. Aus Benierkung 2.3. folgt, da8 der ProzeB X E G(G, 3)

genau dann in der Form

(3.2) X ( t ) f = J f ( d X , E - ) ( A f ) (t+ - X) (t- E G + , f E S) C+

(mit A E [3, P ( X , G+)]) darstellbar ist, wenn (3.3) X ( 6 ) = Y ( l - ) A('+) (6 E G) gilt; Y bezeichnet dabei den durch (2.14) definierten ProzeB aus W(G,X). Damit sind wir berechtigt, (3.2) (im Palle A E [3, Y;(X,G+)]) als Dur- stellung des Prozesses X E G(G, 3) durch einseitige gleitende Mittel zu be- zeichnen.

Aus Folgerung 3.1.1., Bemerkung 3.1.1. und [9], Hilfssatz 3.1.2. folgt der

Hilfssatz 3.1.2. Es seien Y ein MaJ aus G*(G,X) u n d A e in Operator u u s [3,Y: ( X , G+)] und es bezeichne X den durch (3.2) definierten ProzeJ am G (Q, 3). Dann gilt (3.4) x7e, (0) s X F (0).

Es sei nun G' ARCHIMEDEssch geordnet. Aus Bemerkung 3.1.1. und [9], Satz 3.2.1. folgt der

Satz 3.1.1. Jeder in der Form (3.2) m i t A E [S, 2': ( X , a')] darstellbare ProzeJ X E G(G, 3) ist regular.

Folgerung 3.1.2. Jeder in der Form (2.32) mit aij E 2% ( G + ) ( i = 1 , . . ., n ; j = I,. . ., p ) darstellbare n-dimensionale stationare stochastische ProzeJ auf G ist regular.

Folgerung 3.1.3. ([7], Kapitel 3, 3). Jeder in der Form (2.35) mit a(j E 5jz+ (G+) ( i = 1, . . ., n ; j = 1, . . . , p ) darstellbare n-dimensionale stationare stochaetische ProzeJ auf R ist regular.

40 Schmidt, StationLe stochastische Prozesse

Folgerung 3.1.4. ([2], Theorem 3.4.). Jedes in der Form (2.70) rnit a E i!?+ ( G + ) darstell-

Satz 3.1.2. Die Kovarianzfunktion P, des Proxesses X E G (G, 3) gestatte

bare homogene zufiillige Feld auf R x R ist regular.

eine Darstellung der Form

cf, T X ( 8 9) = J ((m (4, T(E-1 (Bg) (x + 6')) b ( d 4 a+

(3.5)

( E E G ; f , g E 3 ) , dabei sei P eine auf C - definierte Punktion mit Werten in [ X I , die der Be- ziehung (2.18) genugt, B sei ein Operator aus [3,2': ( X , G+)]. Dann ist X regulur.

Beweis. Auf Grund von Satz 2.3.2. gestattet X eine Darstellung durch gleitende Mittel (2.26) - d. h. (3.2) - mit

1

A = [P(O)'] -B E [3,2': (X', a+)] (vgl. den Beweis von Satz 2.3.2.). Aus Satz 3.1.1. folgt die Regularittit von X.

Bemerkung 3.1.2. Satz 3.1.2. ist eine Verscharfung von [9], Satz 3.2.2. , und zwar wurde in dem genannten Satz zusatzlich gefordert, da13 I'(0) (dort : r'(0)) invertjerbar ist. In der gleichen Weise kann man auch in [9], Satz 3.2.3. auf die Voraussetzung der Invertierbarkeit von I" (0) und in [9], Satz 3.3.1. und Satz 3.3.2. auf die Voraussetzung der Invertierbarkeit von F'(&) verzichten.

3.2. Es sei nun G' eine vollstandig geordnete diskrete (ABELsche) Gruppe und G- eine beliebige (ABELsche) Gruppe.

Aus Folgerung 3.1.1. und [9], Folgerung 3.4. zieht man die

Folgerung 3.2. Es sei H ein ProzeJ aus G ' (G,X) und es bexeichne P das durch (2.32) definierte MaJ aus G*(G,X). Dann gilt

(3.6) ;re,(O) = ;reF(0).

Bemerkung 3.2. Aus Bemerkung 3.1.1. und [9], Bemerkung in 3.4. folgt, da13 der ProzeS X E G (G, 5) genau dann in der Form

(3 .7) X ( 5 ) = 2 i.' ((x, E - ) ) At+-, ( E E G)

(mit Y E G'(G,X), A , = {A,\ y € G+} E Zi+ ( 3 , X ) ) darstellbar ist, wenn er eine Darstellung der Form (3.2) besitzt; dabei bezeichnet Y das durch (2.77) definierte Ma13 aus G* (G, X) und A den durch

5- c+Ea:

definierten Operator aus [3, YZ(X, Q')].

Schmidt, StationLe stochastische Prozesse 41

Literatur

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