0 ber die Fortsetzbarkeit eines homogenen und isotropen zufalligen Feldes

Von FRANZ SCHMIDT in Dresden

Meinem verehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. habil. P. H. NULLER, zum 50. Geburtstag gewidmet

(Eingegangen a111 1. 11. 1973)

Einleitung

In einer 1965 erschienenen Arbeit von BLANC-LAPIERRE und FAURE ([I]) wurde der Zusammenhnng zwischen der Spektraldichte eines honiogenen und isotropen zufalligen Feldes auf dem Rn(n > 1) und der Spektraldichte des statioiiarcn stochastischen Prozesses, der sich als Einschrankung dieses Feldes auf die x1 -Achse ergibt, untersucht (zur Spektraltheorie dev zufalligen Felder s. [(;I). Es wurde bemerkl,, daB nicht jeder stationare ProzeB mit reellwertiger Kovarianzfuiiktion durch Einschrankung eines homogenen und isotropen Feldes erhalten - d. h. zu eineni solchen Feld fortgesetzt - werden kann; als Beispiel eines Prozesses, fur den eine solche Fortsetzung nicht moglich ist, wurde der ProzeB 11 mit der Kovarianzfunktjon

angegeben. In der vorliegenden Arbeit wird nun - im Gegensatz zu [l] - auf die Voraus-

setzung der Absolutstetigkeit des SpektralmaDes, d. h. auf die Voraussetmng der Existenz einer Spektraldichte, verzichtet. Ferner wird nicht die Einschrankung des Feldes auf die x,-Achse, sondern allgemeiner die Einschrankung auf den l'eilraum, der von den xl-, . . . ,x,-Achsen ( 1 5 rn < n) aufgespannt wird, betrachtet (wegen der vorausgesetzteii lsotropie stellt die spezielle Wahl dcs. Teilraunis keine Einschrankung der Allgemeinheit dar).

1. Nichtnegativ definite Funktionen und nichtnegative MaBe

1.1. Es sei X eine beliebige Menge. Definition. Die auf X x X definierte komplexwertige Funktion K heiBt,

izicktnegativ definit, falls €iir jede naturliche Zahl N , beliebige komplexe Zahlen aI, . . . , uN und beliebige x l , . . . , xN E X

gilt.

282 Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit

Es bezeichne 0, die Menge aller auf R" definierten stetigen komplexwertigen Funktionen B, fur die die durch

(1.1.2) K ( z , y): =-- B(z - y) (x , y E R") definierte Funktion K nichtnegativ definit ist , und C , die Menge aller auf R, , : == [ O , cm) definierten stetigen reellwertigen Funktionen R, fur die die durch t1.1.3) K(x , y): = R ( ( x - yi) (z, y E R") definierte Funktion K nichtnegativ definit ist. 1)

Ferner bezeichne M" die Menge aller nichtnegativen finiten MaBe auf der a-Algebra Bn allerKoRELschen Teilmengen des R" und Mo+ die Menge aller nicht- negativen finiten MaBe auf Bo+ : = 'XI n R,+ .

(1.1.4) B(x ) = / e2(u,z)p(du) ( x E R")

definiertc Abhildung .&In 3 p -+ B E D, is t bijektiv. Die Punktion B E 11, ist genau dann invariant, bezuglich Drehungen um den

Koordinatenursprung und Spiegelungen am Koordinatenursprung (d. h. in der Form

(1.1.5) B(x ) == R(lxl) ( z E Rn)

mit R E C, darstellbar), wenn das gemaB Satz 1 . I . 1. zu B gehorige Ma13 p invariant bezuglich dieser Transformationen (d. h. in der Form')

Satz 1.1.1. (BOCHNER, [4], Kap. 4 $ 2, Theorem 2). Die durch

Rfi

(1.1.6) p((v:) n A') = ~ ( o , U ) w , ( A ) (U E R,, A E 'H" n Sy)) mit v E M,+ darstellbar) 1st.

Satz 1.1.2. (SCHOENBERC, [4], Kap. 4 $ 2 , Theorem 3) . Die d ~ c h n )

definierte Abbildung M , , 3 Y -f R E C, i s t bijckt ic . Es sei R E C, und B wie in (1.1.5). Dann besteht zwischen den geinaD Satz 1 .1 .1 .

hzw. Satz 1.1.2. zu B bzw. RgehOrigen MaBenp bzw. v der Zusammenhang ( i . l . 6 ) , ferner gilt

(1.14 PU({W = v ( { O ) ) .

1 ) Insbesondere ist also C1 die Menge aller auf R,+ definierten Funktionen R, die sich in der

2) 0,: durch w v ( 8 p ) ) = 1 normiertes LEBESCUE-MaB auf Form R(z) = B(z) (z E Ro+) mit einer reellwertigen Funktion B f D, darstellen lassen.

8" fl Sp', St) : = {Z E Rnl 1x1 = U} ( u E R,: = (0 , w)) , V 2 ) : = {z E R n l 1x1 < u } A': = {z E RI"\{O}I z 121-1 € A } ( A E B" n 89';"') .

(u E R,) ,

3, J , : BEssEL-Funktion der Ordnung v (s. [5], 8.402.).

Schmidt, uber die Fortsetzbarkeit 283

1 2 -

1.2. Es sei nun - I /3 < 00, so daB also ([2], 3.31.1)

(1.2.1) 2s-'I'(p)m9 (= 1 (ex 2 0 ) ( V X ) B - 1

gilt.

Funktionen R, die eine Darstellung der Form Mit C'2s4) bezeichnen wir die Menge aller auf R,, definierten reellwertigen

w

0-

mit v E M,, gestatten. Es gilt dann der

Satz 1.2.1. Die durch (1.2.2) definierte Abbildving M,, 3 v - R E Czs ist

Es sei 0 < a < /3 < 00. Wir setzen bijcbiv.

y ( u , v ; z,/3): = ~ - 1 - - ( 0 < t h < 2' < O0) .

Man verifiziert leicht, daB 5)

(1.2.3)

gilt.

2)

Jy(u, v; a, @) L(du) = 1 (v E R , ) 0

Hilfssatz 1.2. Fur v E N o + taird durch 00

( U u , p ) ( A ) : = v (A n (0)) $- s s y(", V ; tc, j3) 4 d u ) 4 d u ) A 11 +

e i n Map U a , p E MO+ definiert. Rewei s . Aus y (u , v ; a , p ) 2 0 folgt

00

(1.2.4) s y ( u , 2.'; x, p ) v ( d ~ ) 2 0 U f

und - wegen (1.2.3) - 0 0 0 0 00

(1.2.5)

Aus (1.2.4) und (1.2.5) ergibt sich die Aussage des Hilfssatzes.

J J y(u , V ; a , p ) ~ ( d u ) A(du) = J ~ ( d v ) < . 0 U f O C

1

2 - Satz 1.2.2. E's sei -~ < u < p < 00. Dann gil t

(1.2.6) C,, c C,,

4) Auf Grund von Satz 1.1.2. ist diese Bezeichnung mit der in Abschnitt 1.1. eingefiihrten

5, 1: LEBESGUE-Ma0 auf B0+. vertriiglich.

284 Schmidt, Uber die Fortsetzberkeit

und zwar folgt aus (1.2.2) das Bestehen von M

(1.2.7) R(x) = 2 u - T ( a ) - ~ ~ ~ - - -(Uu,,v) (du,) (x E Rot) . . I' J'-'(ux) (ur)"-l 0 -

Beweis. Aus (1.2.1) und (1.2.5) erhalt inan m m

0 u t Folglich ist

o t

m

00 M

0 u t M V

Wegen V

(s. [5], 6.567.1) hat man zunachst m M

o t Auf Grund von

o t

folgt daraus 00

0- m

0 -

Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit 285

Aus (1.2.8) erhalt man leicht die Folgerung 1.2. Die Funktion R E C,, ,

Do

0 -

( i E M o + ) gehort genau dann xu C,,, wenn ein M a , v E Mo+ rnit

(1.2.9) u,,p = d

existiert. 1.3. Wir beirachten nun einige Beispiele.

Beispiel 1 . Es sei v = cS,(v > 0)

(1 .2 .2) erhiilt man

Diese Funktion K gehort zu C,, und damit zu C,, fur jedes u mit 2 -

jedoch nicht zu C,,(y > j3). Das MarJ U,,,v ist A-absolutstetig, und es gilt

Beispiel 2. Es sei v A-absolutstetig, Z v 2 , - 1 dv

-

d l (v) = B(j3, y ) ( 1 4- 1:Fv

Aus (1.2.2) und [ 5 ] , 6.565.4 erhiilt man ca

( X E R o + ) . 1 2

Diese Funktion R gehort zu C,, fur jedes j3 2 - . Das hlaB U , , p iut A-absolut-

stetig, und es gilt

B e i s pie1 3. Es sei v A-absolutstetig,

286 Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit

Aus (1.2.2) und [ 5 ] , 6.631.1 und 9.220.2 erhalt man m

insbesondere also fur y = ,!?

1 2

Diese Funktion R gehort zu C,, fur jedes B 2 -. Das MaB U,,,v ist I-absolut-

stetig, und es gilt ([t i] , 3.383.8) m

U 2 a - 1

exp (- z ) (u E R,) . d (U,,,V) (u) = -~~

dI 2"- ir(u)

2. Homogene und isotrope zufiillige Felder

2.1. Es sei (9, \21, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und es bezeichne X(9 ) : = L2(9, \21, P ) den HILBERT-Rmm aller (P-Aquivalenzklassen von) auf (9, a, P ) definierten komplexwertigen ZufallsgroBen mit endlichem absoluten Moment zweiter Ordnung (Skalarprodukt: (6,~): -- E 5 7 : = E ( w ) q ( o ) P ( d w ) (5,qE X(Q)),Xo(Q)

bezeichne den Teilraum aller 6 E X(D) mit (6, 1) = E 6 = 0. Perner sei X eine beliebige Menge.

Unter einem zufalligen FeZd6) (zweiter Ordnung) auf X verstehen wir im folgenden ejne Abbildung 6 : X -, X0(D). Nit FP(X) = P ( X ) werde die Klasse aller zufalligen Felder auf X bezeichnet. Die Kovarianxficnktion K , von 6 E F ( X ) ist durch

Q

(2.1.1) K,(x, y): = (&), a?/)) (x, ?/ E X ) definiert.

-

(>) In i Fall X & R ist defur die Brzeichnung zujalliger (stochastiseher) PYOZPJ gebrauchlich.

Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit 287

Es sei nun 6 E F ( X ) und Y 2 X . Das durch

(2.1.2) 7(Y) : = t ( Y ) (Y E Y ) definierte 7 E F ( Y ) heiBt die Einschrankung von t auf Y , 6 heil3t in diesem Zusammenhang die Fortsetzung von r ] auf X. Offensichtlich ist jedes r ] E F ( Y )

zu einein Feld 6 E F ( X ) fortsetzbar z. B. ((2) = 1"' 0 i" X B Y ) *-I}). Der folgende

Satz charakterisiert alle Fortsetzungen von r ] .

Satz 2.1. E s sei 7 E F( Y ) ( Y s X) und K cine komplexwertige Funktion auf X x X. Genau dann existiert eine Fortsetzung t E F ( X ) von r ] rnit

(

(2.1.3) K,(x, Y) = h'(% Y) (5, y E X ) wenn K nichtnegativ delinit ist und der Beziehung

(2.1.4) K ( x , Y) = K,(x, Y) (2, Y E Y ) genugt.

B e w e i s. Die Notwendigkeit der angegebenen Redingungen ist offensichtlich. Wir beweisen ihre Hinliinglichkeit. Dazu bemerken wir zunachst, da13 es einen Wahrscheinlichkeitsraum (Q', W, P') und ein Feld 5' E F Q . ( X ) mit (2.1.5) R,.(x, y) = K(2, y) (x, ZJ E x) gibt ([4], Kap. 4 9 1, Theorem 1). Es bezeichne ?j' die Einschriinkung von 5' auf Y , so da13 also (2.1.6) K,.(x, y) =- K,.(x, ZJ) (z, Y E Y ) gilt. Aus (2.1.4), (2.1.5) und (2.1.6) folgt (2.1.7) K,.(x, Y) = h',(~, Y) (x, Y E Y ) . Auf Grund von (2.1.7) existiert (genau) eine isometrische Abbildung F' ~ 0 n 7 ) X,>(& X t s ) auf X, mit

Es gilt nun stetsg) V' 7'(Y) = 7(Y) (Y E Y ) *

dim(Xt. OX,.) 5 dim X7(52') 5 dim X(Q) dim 3f,(Q') = dim(X7e,(Q x 52') @X,(Q)) 2; dim(X,(Q x 52') @.X,).

Daher kann V' zu einem isometrischen Operator V von X,. in X0(Q x Q') er- weitert werden. Durch E(x): = V g ' ( x ) (x E X ) wird dann ein 5 E F Q x Q , ( X ) mit den verlangten Eigenschaften definiert.

2.2. Es sei nun x' = R". Definition. Das Feld 6 E FJR") heifit stetig, falls die Abbildung

R" 3 x -> t(x) E X,,(Q)

7 ) M i t ~ s werdc dcr von den E(z) (x E X) aufgespannte (abgeschlossene) lineare Teilraum von

t i ) J'f?(sZ) u n d z ( l 2 ' ) konnen in natiirlicher JVeise als Teilraunie von gC(52 X D') aufgefaBt 2f?o(f2) bezeichnet.

werden.

288 Schmidt. Uber die Fortsetzbarkeit

im Sinne der Norm in Xe,(Q) stetig ist, d. 11. (141, Kap. 4 9 1, Theorem 2), falls die Kovarianzfunktion K , stetig ist.

Definition. Das Feld 6 E F(Rn) heil3t homogen"), falls fur jedes z E Rn (2.2.1)

gilt.

q x + 2, y + 2) = q z , y) (z, Y E Rn)

Mit H(R") = H , werde die Klasse aller stetigen honiogenen zufalligen Felder auf R" bezeichnet, d. h. die Klasse aller der [ E F(Rn) , dereii Kovarianzfunktion K , die Form

(2.2.2) K,(x, y) 1 B,(x - y) (x, y € Rn) mit B, E D, besitzt. Das gemaB Satz 1 .1 .1 . zu B, gehorige MaB pt E Mn heil3t (nicktzu~ull~ges) SpektralmaJ von 5.

Es sei nun 1 5 m < n. Wir identifizieren R" mit dem Teilraum Y = R" x (O>.-. l von X =- R".

Es bezeichne r] die Einschrankung von l! E H , auf Y , d. h. das durch 10)

(2.2.3) q ( 2 ) : = t ( [ x , 01) (X E R")

definierte Feld r] E H,. Offensichtlich ist jedes r] E H , zu einem Feld 6 E H , fortsetzbar (z. 13. t(x)

= r](Px) (z E X = Rn), P: orthogonale Projektion von X auf Y ) . Der folgende Satz, der eine unmittelbare Folgerung aus Satz 2.1. ist, charakterisiert alle homo- genen Fortsetzungen von 7.

Satz 2.2.1. Es sei r] E H,, und R E D,. Genau dann existiert ein 5 E H , mit den Eigenschaften (2.2.3) und

(2.2.4) B,(z) = B(x) (x€ R") ,

wenn B der Resiehung

(2.2.5) B([x, 01) = B,(x) (xE R")

genugt.

Satz 2.2.2. Es sei r] E H , und p E Mn. Genau dann existiert ein [ E H , mit den Eigenschaften (2.2.3) und

(2.2.6) pu,(d) = p ( A ) (d E 23,) ,

wenn p der Beziehung

(2.2.7) p(A X Rn-n') = p,(d) ( A E %") ,

genugt.

9) Im Fall n = 1 ist dafiir die Bezeichnung stationar gebriuchlich. 10) [z, 01 = (zi, . . . , xm, 0, . . . , 0) ( E R") fur z = (xi, . . . , 2,) E R".

Schmidt, Uber die Fortvetzbarkeit 289

Reweis. Es haben nur die d unmittelbsr aus

bezeichne B die durch (1.1.4) definierte Funktion aus D,. Wir .quivalenz von (2.2.5) und (2.2.7) nachzuweisen. Diese ergibt sich den folgenden Heziehungen (x = (rlr . . . , x,) f Rng)

p(dtL1 * * * CIZI,, x Rn-,) J et(ulzl +. . . +u,ztn) RnL

Z(UlZj+...+U z ) = S e " m p ( d t l , - * du,) =1 B([x , 01)

R, u nd

J ez(ujZl +. . t u z m)p,(duI - * du,) = B,(x) Rpn

und Satz 1.1.1. 2.3. Es sei wieder X = R". Definition. Das Felcl 6 E F(Rn) heifit isotrop, falls fur jede (reelle) ( n x n)-

Matrix 9' mit T*T = I (2.3.1) K,(Tx, Ty) = K,(x, y) (x, Y E Rn) gilt.

Mit I(R") = I , werde die Klasse aller stetigen homogenen und isotropen zufalligen Felder auf R" bezeichnet, d. h. die Klasse aller 6 E E'(Rn), deren Ko- varianzfunktion K , die Form (2.3.2) niit R,E C , besitzt. 11) Das gemafi Satz 1.1.2. zu RE gehorige MaD v g € Ma+ lieifit (nichtzufalliges) rudiules SpektralmuJ von 6,

Fur 6 E I , gehort das durch (2.2.3) definicrte Feld q offensichtlich zu I,. Aus Satz 2.2.1. folgt uninittelbar, daB zu vorgegebenem q E I,, genau dam

ein 5' E I , mit der Eigenschaft (2.2.3) existiert, wenn R, E C , gilt 12); ist diese Vorauvvetzung erfiillt, so gilt (2.3.3) RF(%) = R,(x) (YE R o + ) . Aus Folgerung 1.2. und dein eben Gesagten ergibt sich die Aussage des folgenden Sat zes.

Satz 2.3. hh sei 7 E I?'. GenazL d a n n existiert ein 6 E I , niif d w Eigensrlmft (2.2.3), wenn i4n MuJ v E Ma+ ?nit

K&, y) = R,(x - y) = R,(lz - yl) (x, y E Rn)

(2.3.4) Lrmlzv = vri 7.T 2

exislierl; ist dus drr Full, so gi l t vt = v. 13)

zufillligen Feldes auf die Untersuchung der Transformationen U,,8(0 < GC < < m) zuruckgefuhrt ( H . Kapitel 3 dieser Arbeit).

Damit ist die Frage nach der Fortsetzbarkeit eines homogenen und isotropen

i f ) Insbesondere ist also I , die Klasse aller Felder aus H , , deren Kovarianzfunktiou reell-

1') Vgl. hierzu Satz 1.2.2. 13) Fur den Fall m = 1 wurde der Zusaninienhang zwischen

wertig ist (vgl. FuUnote *)).

und vrl unter der zusiitzlichen Voraussetzung der I-Absolutstetigkeit yon v, in [i] untersucht. 19 Math. Nachr. Bd. I iT,

290 Schmidt, uber die Fortsetzbarkeit

Be i s p i e l 1 . Das Feld q E I, besitze die Kovarianzfunktion

es sei also (vgl. Bsp. 1 in Abschnitt 1.3.) vI :--I 8, , Y, I-absolutstetig

und

Dieses Feld q ist genau fur alle n 2y zu einem Feld t E I, fortsetzbar

Beispiel 2. Das Feld q E I , besitze die Kovarianzfunktion

es sei also (vgl. Bsp. 2 in Abschnitt 1.3.) v d I-absolutstetig und

Dieses Feld q ist fur alle n zu einem Feld E E I, fortsetzbar. Beispiel 3. Das Feld q E I, besitxe die Kovarianzfunktion

es sei also

q x , Y) = R,(Ix - YI) = exp

(vgl. Bsp. 3 in Abschnitt 1.3.) vg A-absolutstetig und

1 % - yI2) (x, Y E R") ,

Dieses Feld r] ist fur alle n zu einem Feld E I, fortsetzbar.

3. Die Transformationen U m , p (0 < a < p < 00)

3.1. Wie oben bezeichne M,+ die Menge aller nichtnegativen finiten Ma& auf '$3,+ ; entsprechend sei M , die Menge aller nichtnegativen finiten MaBe auf '$3,: = @I n R+.14) Ferner bezeichne M die Menge aller nichtnegativen MaBe v auf @+ niit ~ ( 0 , u) < 00 fur jedes u E R, und M a ( & M ) (a E R+) die

1 4 ) Mitunter werden wir M , mit {v E MO+Iv({O}) = 0) identifizieren.

Schmidt, uber die Fortsetzbarkeit 291

Menge aller nichtnegativen MaBe v auf %+ mit m

J w-uv(dw) < 00 . 0

N o + , N , , N bzw. N,(aE R,) seien die Mengen aller bezuglich des LEBESOUE- MaDes 2 absolutstetigen MaBe &us M o + , M,, M bzw. Ma. Fur v E M , und u E R , setzen wir

1 (3.1.1) (8 ,~ ) ( A ) : == -- v- ' "Y(~v) (d E 8,) .

r(4 _ _ 1 A 2

Hilfssatz 3.1. Die Abbildunq S, : M+ --+ Mu ist bijektiv, far v E Mu gilt (3.1.2) (8,'~) (d) = r(cr) s u-' v ( d ~ ) (d E @+) .

4 - 2

Reweis. Fur jede auf R , definierte 93,-meBbare nichtnegative Funktion f gilt

1 (3.1.3) I f ( u ) (X,v) (du) = __ /.f(~-~) v-'"v(dv) ( A E %+) .

T(C-4 1

A 2 - _. A

Aus (3.1.3) erhalt man speziell fur A = R+, f(u) = u-' w m

also X,M+

Auf Grund von

a,. Sei Y E J!I,. Wir setzen v ( - ' ) ( A ) : = r ( a ) J u-' v(du) ( A E @+I. A - 2

m

d-')(R+) = T ( u ) J ~ - ' v ( d u ) < 00 0

ist v(-,) E M , . Fur jede auf R , definierte B+-mel3bare nichtnegative Funktion f gilt

1

Aus (3.1.4) erhalt man speziell furffv) = v-', 1 ((sad-,)) (A-2) =)

( A E % + I 1

J v - 2 a d-")(dw) =; J v (du) (= v(A-2) ) r(a) A 4 - 2

also S,Y(-') = v; S, ist also surjektiv. Aus (3.1.3) erhalt man speziell furf(u) = u-(I

1 1 u-"(s,v) (du) = - v ( n - 2 ) ( A E %+) , s r(4

A

19'

292 Schmidt, tfber die Fortsetzbarkeit

d. h.

(3.1.5) v ( ~ ) = qCr) J u-~(x ,v ) ( d ~ ) ( A E %J , 4 - 2

8, ist also injektiv. Aus (3.1.5) ergibt sich die Richtigkeit von (3.1.2). Folgerung 3.1. Die Abbildung X, : N , + N , i s t bijpktiv; f i i r v 'E N , bzw.

v E 2vR gilt 1 2 a - 3 d v 1

(Asp) (v) =: v 2- - (v- 5) (1 , E R,) d

di, ZIT(& dl. (3.1.6)

bzw. d

(u-9) (2CE R,) . d di, d A

(3.1.7) - (s;lV) (u) = 2r(4 I ? - ~

3.2. Fiir v E M und y E RL gilt

0 folglich wird durch

ein Ma13 Tyv E N definiert 1s); ferner setxen wir TOY: = v ( Y E M ) .

Hilfssatz 3.2.1. E's gilt

Reweis. Falls entweder B = 0 oder y = 0, ist die Kichtigkeit von (3 .2 .2) (3.2.2) T,T, = Tfl+r (BY y E Ro+) *

evident. Sei B, y E R,, v E M . Dann ist

W 7,-

d dil 15) Falls v E N , so ist - ( Tyv) nichts anderes als das Integral der (i. a. gebrochenen) Ordnung y

W

dv ( 0 ) A(dv) (w E It,) . d 1 '

Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit 293

w - w

o u W-

Folgerung 3.2.1. Die Abbi ldmg Ty(y E R,) ist injektiv. Beweis. Auf Grund von

W - d ( T ~ v ) (w) = .f v(dv) = ~ ( 0 , W ) ( W E 8,)

d A 0

folgt> aus Ti v1 = T,v2 sofort v1 = v,, d. h., T I ist injektiv. Unter Benutzung von (3.2.2) schlieBt man nun leicht auf die Richtigkeit der zu beweisenden Aussage.

Es bezeichne nun P, die Menge aller auf R , definierten (reellwertigen) nicht- ahnehmenden linksseitig stetigen Funktionen f mit f(O +) = 0 und Q0 die Menge aller auf R, definierten nichtnegativen B+-mel3baren Funktionen f mit

{f(v) i ( d v ) < 00 (u E R,) . 0

Ferner sei

( k = 2, 3 , . . .)

(k = 1 , 2 , . . . ) . Of€ensichtlich ist

7

Qo Pi 2 QI 2 P , 2 - * * .

Ferner verifjziert man leicht, daB (u I

(3.2.3) Pk = f l f ( ~ ) = - - ~ - - J (W - v)~- ’ g(v) A(dv) (WE R,) mit gE Pi r(ic - 1) ( k = 2, 3, . . .)

I l W (3.2.4) Qk = { f,f(w) = __ J (w - v)’-l g(v) l ( d v ) (w f R,) mit g E &O

r ( k ) 0 ( k = 1, 2 , . . .)

gilt.

Satz 3.2.1. Die Atbizdungen M 3 v + v(0, .) E PI undiG) N 3 v - (:[ E & sind bijektiv.

16) bezeichne die Menge eller (A-)Aquivalenzklassen von Funktionen eu8 &o; fur g E Qo sei 9 : = ( h E & , ~ ~ ( h * g ) = O } ( E Q o ) .

294 Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit

Mit Hilfe von (31, Kap. I, Theorem 10.4. beweist man leicht den folgenden

Hilfssatz 3.2.2. P , besteht genau aus allen auf R , nach unten konvexen Funktionen f mil f (u) = o(u) (u $0), P,(k >, 3) genau aus allen auf R+(k - 2)-mal stetig differenzierbaren Funktionen f mi t

j ( o +) = j y o +) = . . = p - 3 ) ( 0 +) = 0, j ( k - 2 ) E p 2 .

Fur f E P,(k 2) setzen wir fk- i ) (v) : = g(v ) (v E R,) niit g aus (3.2.3); in jedem Stetigkeitspunkt v von g (und damit 1 - f. ii.) gilt dann

Ferner hat man den

Hilfssatz 3.2.3. Q1 besteht genau aus allen auf R, nichtabnehmenden (auf jedem endlichen Intervall) absolutstetigen Punktionen f mi t f(O +) = 0, Q k ( k 2 2 ) qennau aus a l k n auf R+(k - 1)-mal stetig differenzierbaren Funktionen f mit

f(0 +) = f ( O +) = * * = f'""-2'(0 +) = 0, f'"Q E &, . Fur f E Qk\Pk+, ( k 2 1) bezeichne f@) irgendeinen ItepriLsentanten von fj

mit g &us (3.2.4) ; in jedem LEBEsGuEschen Punkt v von f(') (und damit 1 - f. u.)

gilt dann f(,)(v) =: - f ( v ) . dk a$

Sei y E R, , die naturliche Zahl k genuge der Ungleichung k - 1 < y 5 k,

Satz 3.2.2. Es gilt

und es sei S: = k - y .

(3.2.5) T,,M =

d d;l

(3.2.6) T f l == {V E N 1 -~ E Q,] .

Beweis. Es ist (8. (3.2.3) und Satz 3.2.1.) 1 to- 1 (w - v),-' v'(dv) (w E R+) mit v' E M

dv d1 dv 1

f v E N 1 - (zu) = v'(0, to) (w E R , ) mit v' E M

1 w

y E N 1 -~ (w) = -__-- (w -- v) ' -~Y' (0, v) 1(dv ) (w E R,) mit v' E M d 1 q k - 1) 0

(k = 2, 3, . . .)

Schmidt, ffber die Fortsetzbarkeit 295

und (s. (3.2.4) und Satz 3.2.1.) W

1 dv' /(w - v),-'

d31 (v) I(dv) (w E R,) mit v' E N

0

= ~ , E N ~ ~ E Q , } dv ( k = w , . . . )

Damit sind die Reziehungen (3.2.5) und (3.2.6) fur alle ganzzahligen Werte V O ~

y(> 0) bewiesen. Es sei nun y E It,.. Unter Benutzung von Hilfssatz 3.2.1. und Folgerung 3.2.1. ist dann

d ail

T,M = {v E N 1 T,v E T,(TyM) = T,M} = {v E N I - (T,v) E P,)

T,N = (v E N 1 T8v E T,(T,N) = TkN} =

Satz 3.2.3. Fur v E T,M bzu?. Y E T,N @I7)

( k - 3 ) (3.2.7) (T;'Y) (0, .) = [,d, (T6v)] bzw.

(3.2.8) ( d d31 ( T ; q == ([ dA 5 (T'v)li")-.

Beweis. Es sei Y E TkM fur ein k = 1, 2, . . . Wir setzen v'(0, .) =

Dann ist W -

v'(0, w) = - (w) ( k = 1)

- - 1 , W (3

folglich gilt Tkv' = v. Damit ist (2.3.7) fur alle ganzzahligen Werte von y(> 0) bewiesen. Wegen T,T, = Tk, also T i = T i IT,, folgt daraus die Gultigkeit von (3.2.7) fur alle y E R,. Aus (3.2.7) schliel3t man leicht auf die Gultigkeit von (3.2.8).

296 Schmidt, nber die Fortsetzbarkeit

Hilfssatz 3.2.4. Biii. u, y E R, gi l t 00 00

(3.2.9) r(u + y ) J w-('+y)(T,v) (dqu) = r(u) J w - ~ I J ( ~ v ) 0 0

und damit T,M, = M u + , n T,M, T,N, = M a t , n T,N. Beweis. Es ist

00

r(cc + y ) J W-('+~'(T,V) (dw) 0

Folgerung 3.2.2. Fur M , y E R, gilt

d dA

d

(3.2.10) T,M, = Y E AT,+, ~ -- (T6v) E Pk { (3.2.11) T,N, = ( v E Na+, (T6v) E (2,).

Beweis. Es ist d

T,M, = ni,+, r\ T g f = &Iuty n (Y E N l d A (W E pk}

3.3. Wegen der fur Y E M,+ geltenden Heziehung

(U,,,Y) (101) = V ( { O ) )

geniigt es, in1 weiteren nur die Einschrankllng von U , , , auf M , zu betrachten, es ist dann offensichtlich

U,,,M+ s N + '

Hilfssatz 3.3.1. Es sei 0 < u < < 00. Dunn ist

(3.3.1) Ua, , = 8,' T,-,S,. Beweis. Auf Grund von Hilfssatz 3.1. , Folgerung 3.1. und Folgerung 3.2.2.

N , =- SBN, , ist

T,-,S,M+ = T , - , M ,

Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit 297

also ist der Ausdruck auf der rechten Seitc von (3.3.1) sinnvoll. Jlit Hilfe von (3.1.3) erhalt, man fur v E M ,

d 1 I-

(T,-"Snv) (w) = J (W - u)~-" - ' (S ,V) ( d u ) dA r(B - a ) 0

('W E R,) . Daraus iblgt unter Reiiutzung von (3.1.7)

( T, - " S U V ) (10- 2 ) d d dA dA

(S,lT,-uSKv) (w) = 2r(B)

00

d dA

= /y(w, v ; 01, p ) v(dv) = -(U#,,v) (w) (w E R,) . W f

Damit ist (3.3.1) bewiesen.

Folgerung 3.3. U,, , ist iwjejektiv.

Hilfssatz 3.3.2. Es sei 0 < u < B < 00, y = - a , k und 6 wir in Satx 3.2.2. D a n n gilt

mit

(21: E R,) .

298 Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit

Beweis. Es ist (s. Hilfssatz 3.1., Folgerung 3.1., Folgerung 3.2.2. und Hilfs- Aatz 3.3.1.)

U,,,M+ = S,iT,-aS,M,. = {V E M , I S,V E T,-,S,M+ = T,-.M,}

Die Richtigkeit von (3.3.4) ergibt sich sofort aus (3.1.6) und (3.2.1).

Satz 3.3. Fur v E U,,,.K bzw. v E U,,,N, gil t

(3.3.6) -- d (U,;V) ( u ) = 2r(~) da-3 [; (T,#pv)](k)(v-2) (0 < 2, < 00, 3,- f. U.) d l

(3.3.7)

(7u E R,) . B e w e i s. Aus (3.1.2), (3.2.7) und (3.3.1) erlialt man rnittels partieller Integration

t8 - 2

(u,,,~) (u, 711 = (fJ,'T,-,Xpv) (u , 271 = r ( a ) ~ U - ~ ( T ~ - ' ~ S ~ V ) (dw) s ,-3

Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit 2 99

damit ist, (3.3.5) bewiesen. - Unter der Voraussetzung v E U,,,N, erhalt man &us (3.1.7), (3.2.8) und (3.3.1)

dainit ist (3.3.6) bewiesen. - Die Richtigkeit von (3.3.7) ergibt sich sofort aus (3.3.4).

3.4. Es sei - wie in Abschnitt 2.3. - E I , und q(E I,) die Einschrankung von t auf Y = €2, x {OF-,. Aus Satz 2.3. und Satz 3.3. erhalt man damn leicht die folgenden Reziehungen zwischen v, und vV :

( k = 1 , 2 , . . .) I. Fall: n - m = 2k - 1

300 Schmidt, Uber die Fortsetzbarkeit

Literatur

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