Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in ... · Die Composite-Struktur Winkelverbund...

Seminar des Konstruktiven Ingenieurbaus, Fakultät 2 für Architektur, Bauingenieurwesen und StadtplanungBrandenburgische Technische Universität Cottbus

Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-BauweiseDr.-Ing. Christian Mittelstedt, ELAN GmbH, Hamburg

Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in Composite-Bauweise

Dr.-Ing. Christian MittelstedtSenior Engineer Composites, ELAN GmbH

Channel Tower Harburg, Karnapp 25, D-21079 Hamburgchristian.mittelstedt@airbus.com

1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen 4. Randeffekte5. Zusammenfassung / Ausblick

Gliederung

1. Einführung2. Klassische Laminattheorie3. Flanschbeulen dünnwandiger Composite-Träger4. Randeffekte in Laminatplatten5. Zusammenfassung und Ausblick

Gliederung

DefinitionVerbundwerkstoffe / Composites: Kombination aus mindestens zwei

unterschiedlichen Werkstoffen zu einem neuen Werkstoff mit neuen, meist verbesserten / optimierten Eigenschaften.

Faserverbund-Werkstoffe: Werkstoff-Verbund aus Matrix-material (z.B. Kunststoff, Epoxidharz etc.) und Faser-material (Glasfaser, Kohlefaser etc.).

Laminat: Schichtweise Anordnung von Faserverbund-Werkstofflagen.

Fasern

Matrix

Einzelschicht 1Einzelschicht 2

Einzelschicht n

Laminat

Definition

Die Composite-Struktur

Winkelverbund

Mehrachsige Beanspruchung

UnidirektionaleBeanspruchung

Unidirektionaler Verbund

Die Bestandteile

Fasern

Composite

Matrix

FaserhalbzeugeKohlefaserhalbzeuge

Glasfaserhalbzeuge

Aramidfaserhalbzeuge

Quelle: TU Hamburg-Harburg, Institut für Kunststoffe und Faserverbundwerkstoffe, Univ.-Prof. Dr.-Ing. Karl Schulte

Einsatz im FlugzeugbauEinsatz in der AIRBUS A380, bestehend aus etwa 25% Composite-Materialien

Quelle: AIRBUS Deutschland GmbH

Einsatz im FlugzeugbauEinsatz in der AIRBUS A350, erstes AIRBUS-Flugzeug mit Rumpf und Flügelschalen

aus Composite-Werkstoffen

Quelle: AIRBUS Deutschland GmbH

Einsatz im Fahrzeugbau

Quelle: TTT TheTeamTechnology GmbH / Kögel Fahrzeugwerke GmbH

Quellen: Dr.-Ing. h.c. F. Porsche AG, Porsche Öffentlichkeitsarbeit (links), ALSTOM LHB, Salzgitter (rechts)

Einsatz im Bauingenieurwesen

Quelle: Hüttenbrücke, Werthenstein LU (CH), Stresshead

Brückensanierung mit CFK

Tragfähigkeitssteigerung für Fahrzeuge mit ehemals 28 Tonnenauf nunmehr 40 Tonnen Gesamtgewicht.

Quelle: Repower AG, 5M goes Off-Shore

GFK und CFK-Anwendung im Off-Shore Windenergieanlagenbau

Rotorblatt: Länge: 61,5 m, Gewicht: 18 t.Bauweise: GFK/CFK-Schalenbauweise mit Epoxidharz

Quelle: Fiberline Composites, Middelfart, Dänemark

Geh- und Radwegbrücke aus GFK in Lleida / Spanien

Charakteristische Daten: Länge: 38 m, Breite: 3 m, Aufbau aus GFK-Profilen, Auszeichnung mit dem internationalen ”Footbridge Award 2005”

Überführung über die Ortsumgehung B 3a um das hessische Friedberg:

Charakteristische Daten: Länge: 22 m, Aufbau aus GFK-Profilen, Fertigstellung 2008

Fußgänger- und Fahrradbrücke aus GFK-Profilen in Kolding, Dänemark (1997):

Charakteristische Daten: Länge: 40 m, Tragfähigkeit: 500 kg/m2, Fahrzeuge bis 5t, Fertigstellung: 18 Stunden in drei Nächten

Einsatz von CFK-Trägern im BauingenieurwesenTrägerartige CFK-Strukturen im Bauingenieurwesen weisen die folgenden primären

Vorteile gegenüber klassischen Stahlträgern auf:

- eine große Gewichtsersparnis,

- eine deutlich bessere Schwingfestigkeit, insbesondere bei Kohlenstofffaser-Kunststoff-Verbunden (CFK),

- eine hervorragende Korrosionsbeständigkeit,

- längere Nutzungsdauer und erheblich reduzierter Wartungsaufwand, insbesondere für Brückenbauwerke äußerst wünschenswert,

- ein Online-Monitoring lässt sich einfach und zuverlässig in Laminateintegrieren.

Einsatz von CFK-Trägern im BauingenieurwesenAus dem primären Vorteil der großen Gewichtsersparnis gegenüber Stahlträgern er-

wachsen sekundäre Vorteile für die FKV-Variante:

- Der Aufwand bei Transport und Montage verringert sich.

- Werden Trägerstrukturen bewegt, so lässt sich mit den leichten FKV-Ausführungen erheblich Antriebsenergie einsparen.

- Resultiert ein Teil der Trägerbelastung aus seinem Eigengewicht, so lässt sich der Gewichtsvorteil der FKV-Lösung entweder in eine – aufgrund niedrigerer Belastung – weitere Gewichtsersparnis ummünzen oder es bietet sich an, die Betriebslasten um den Gewichtsvorteil zu erhöhen.

Nachteile: - Es liegen kaum Erfahrungen, insbesondere keine Langzeiterfahrungen mit

großen, hoch belasteten Biegträgern vor.

- Der Werkstoff ist vergleichsweise teuer.

- Spezielle Fertigungsverfahren für hohe Biegeträger größerer Spannweite wurden bislang nicht entwickelt, viele konstruktive Fragen sind ungeklärt.

Marktentwicklung

10,000

20,000

30,000

40,000

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Industrial useAerospace use

Sporting use

Offshore oil field components

PC chassis

Windmills

Automotive Components

Civil Engineering

Aircraft structural components

CNG tanks

Golf ShaftsTennis Rackets

Airbus A380

Airbus A350

Marine vessels

Market Growth Rate over 10%

Quelle: Toray Industries, Inc.

Gliederung

Zusammensetzen eines LaminatsLaminat = Mehrschichtenverbund

(Material, Dicke, Orientierung, Anzahl: beliebig)

yLaminat-Mittelebene

θ (5)

x2(5) x1

θ (4)x1

θ (3)x2

θ (2)x3(2)

θ (1)

( -1)kz( )kz

( )kInterface ( -1)kInterface ( )kInterface ( +1)k

Schicht ( ) k

Schicht ( -1) k

LaminateinzelschichtLaminat-Einzelschicht: Verbund aus Matrix und Fasern oder Faser-Gewebe.

Achsensystem: x1, x2, x3 : „Materialhauptachsen“, „on-axis-System“x1 verläuft parallel zur Faserrichtung.

x1x2-Ebene

x3 ,u3

x1 ,u1

x2 ,u2

Fasern

Ebener SpannungszustandEbener Spannungszustand bezüglich der Dickenrichtung:

Alle Spannungs-Komponenten σ33, σ13, σ23 in Dickenrichtung x3 sind null.

→ Plausible Annahme nur für dünne Flächentragwerke.

Materialgesetz im ebenen Spannungszustand:

wobei: Qij = sog. „reduzierte Steifigkeiten“

x1x2-Ebene

x1 ,u1

x2 ,u2

Fasern

11 12 22

12 21 12 2111 11 12 11 11

12 22 2222 12 22 22 22

12 21 12 2112 66 12 12

00 0 .

1 10 0

Q QE EQ Q

νν ν ν νσ ε ε

νσ ε εν ν ν ν

σ γ γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜− −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

TransformationsregelnIm allgemeinen sind Laminat-Einzelschichten um einen Winkel θ zum globalen Bezugssystem x, y, z gedreht:

yLaminat-Mittelebene

θ (5)

x2(5) x1

θ (4)x1

θ (3)x2

θ (2)x3(2)

θ (1)

( -1)kz ( )kz

( )kInterface ( -1)kInterface ( )kInterface ( +1)k

Schicht ( ) k

Schicht ( -1) k

TransformationsregelnHookesches Gesetz für die Laminat-Einzelschicht, die um einen Winkel θgedreht wurde:

Kopplungseffekt durch die Terme

Eine Normalspannung σxx ruft bei θ ≠ 0°und θ ≠ 0° die Dehnungen εxx undεyy, aber auch die Gleitung γxy hervor:

11 12 1611 11 12 11

22 12 22 22 12 22 26

12 66 12 16 26 66

Q Q QQ QQ Q Q Q Q

Q Q Q Q

σ ε σ εσ ε σ εσ γ σ γ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎟ ⎟= → =⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

16 26, :Q Q

TransformationsregelnTransformationsregeln für die reduzierten Steifigkeiten:

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

4 2 2 411 12 66 2211

2 2 4 411 22 66 1212

4 2 2 411 12 66 2222

3 311 12 66 12 22 6616

311 12 6626

cos 2 2 cos sin sin ,

4 cos sin cos sin ,

sin 2 2 cos sin cos ,

2 cos sin 2 cos sin ,

2 cos sin

Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q

θ θ θ θ

= + + +

= + − + +

= + + +

= − − + − +

= − − +( )( ) ( )

312 22 66

2 2 4 411 22 12 66 6666

2 cos sin ,

2 2 cos sin cos sin .

Q Q Q Q Q Q

θ θ θ θ

= + − − + +

TransformationsregelnTransformationsregeln für die ebenen Ingenieurkonstanten:

4 42 212

11 22 12 11

4 42 212

11 22 12 11

22 2 2 212

11 22 11 12

21 cos sin 1 cos sin ,

21 sin cos 1 cos sin ,

81 4 4 1cos sin cos sin ,

1cos sin

E E E G E

G E E E G

νθ θ θ θ

ν θ θ θ θ

ν θ θν

⎛ ⎞⎟⎜= + + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜= + + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟⎜= + + + −⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ −=

1 22 124 4

11 22 12 11

1 1 cos sin.

2cos sin 1 cos sin

E E G E

νθ θ θ θ

⎛ ⎞⎟⎜ + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜+ + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

TransformationsregelnEinfluss der Winkeländerung auf elastische Eigenschaften:

Annahmen zur Kinematik einer LaminatplatteAnnahmen:

1) Perfekter Verbund zwischen den Laminat-Einzelschichten2) Kinematik einer Kirchhoff-Platte (Ebenbleiben der Querschnitte,

Normalenhypothese, rechnerisches Reduzieren auf die Mittelebene)3) Ebener Spannungszustand

Betrachte deformiertes Plattensegment:

A’B’C’D’

αxzBαx

xwUnverformt

Verformth

Verzerrungsfeld im LaminatIn Vektor-Form:

Verzerrungen der Laminat-Mittelebene.xx

u vy x

εεγ

⎫⎛ ⎞ ⎪∂ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎪⎟∂⎜ ⎪⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎪⎟⎟⎜ ⎜ ⎪⎟⎟⎜ ∂⎜ ⎟ ⎪⎟ ⎪⎜ ⎟⎜⎟= ⎬⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎪⎜ ∂ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎪⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎪⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎪⎟∂ ∂⎜ ⎪⎟⎜ ⎟+ ⎪⎟⎜ ⎪⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎪⎪⎭

A11 A12 A16

Dehnung εxx Dehnung εyy Gleitung γxy

Verzerrungsfeld im LaminatIn Vektor-Form:

Verkrümmungen der Laminat-Mittelebene.

κκκ

⎫⎛ ⎞ ⎪∂ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎪⎟∂⎜ ⎪⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎪⎟⎟⎜ ⎜ ⎪⎟⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ⎪⎟ ⎪⎟⎜ ⎜⎟=− ⎟ ⎬⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎪∂ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎪⎟⎜ ⎜⎟ ⎪⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟∂ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎟⎜ ⎪⎟⎜ ⎪∂ ∂⎝ ⎠ ⎪⎭

Krümmung κxx Krümmung κyy Drillung κxy

Lagenweise SpannungenAufteilen in Membran- und Biegeanteil:

0 011 12 16

0 012 22 26

0 016 26 66

.xx xx xx

yy yy yy

xy xy xyk kk

Q Q Q z

σ ε κσ ε κσ γ κ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = +⎜⎜ ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

Konstitutives Laminat-GesetzKonstitutives Laminat-Gesetz:

wobei:

011 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦

γκκκ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2 221,1

2 3 321,1

, "Dehnsteifigkeiten"

1 , "Koppelsteifigkeiten"2

1 . "Plattensteifigkeiten"3

ij k kh ij ij kk

A Q dz Q z z

B Q zdz Q z z

D Q z dz Q z z

=−=−

= = −

∑∫

Konstitutives Laminat-GesetzKonstitutives Laminat-Gesetz:

Sprachgebrauch:

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

ABD-Mat

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦

rix,Laminat-Steifigkeitsmatrix

εεγκκκ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Scheiben-Quadrant Koppel-Quadrant.

Koppel-Quadrant Platten-QuadrantA BNB DM

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥=⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜= =⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Vergleich Laminat – isotrope PlatteLaminat:

Isotrope Platte:

011 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦

γκκκ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

011 12

012 22

3 3 01 111 1212 12

3 3 01 112 2212 12

3 016612

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

N Q h Q hN Q h Q hN Q hM Q h Q hM Q h Q hM Q h

εεγκκκ

⎛⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

⎞⎟⎟⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠

KopplungseffekteKonstitutives Laminat-Gesetz:

Kopplungseffekte: Eine beliebige Schnittgröße ruft alle Verzerrungen und Verkrümmungen hervor (!)

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

ABD-Mat

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦

rix,Laminat-Steifigkeitsmatrix

εεγκκκ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Kopplungseffekte1. Gleichung ausschreiben:

Die Normalkraft Nxx ruft alle Verzerrungen und Verkrümmungen hervor:

0 0 0 0 0 011 12 16 11 12 16 .xx xx yy xy xx yy xyN A A A B B Bε ε γ κ κ κ= + + + + +

A11 A12 A16

B11 B12 B16

Dehnung εxx Dehnung εyy Gleitung γxy

Krümmung κxx Krümmung κyy Drillung κxy

SchubkopplungSchubkopplung infolge A16, A26:

011 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦

γκκκ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Dehnungs-Torsions-KopplungDehnungs-Torsions-Kopplung infolge B16, B26:

011 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦

γκκκ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Biege-Dehnungs-KopplungBiege-Dehnungs-Kopplung infolge B11, B22, B12:

011 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦

γκκκ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Biege-Torsions-KopplungBiege-Dehnungs-Kopplung infolge D16, D26:

011 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦

γκκκ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Symmetrische LaminateViele Kopplungseffekte sind durch symmetrische Laminataufbauten vermeidbar:

Entkopplung von Scheiben- undPlattenverhalten bei symmetrischen Lagenaufbauten.

011 12 16

012 22 26

016 26 66

011 12 16

012 22 26

016 26 66

0 0 00 0 00 0 0

N A A AN A A AN A A AM D D DM D D DM D D D

εεγκκκ

⎛⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎟⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜ ⎠

Symmetrische LaminateAber: Viele Kopplungseffekte sind durch symmetrische Laminataufbauten nicht

vermeidbar:

Schubkopplung und Biege-Torsions-Kopplung sind auch insymmetrischen Laminaten möglich!

011 12 16

012 22 26

016 26 66

011 12 16

012 22 26

016 26 66

0 0 00 0 00 0 0

N A A AN A A AN A A AM D D DM D D DM D D D

εεγκκκ

⎛⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎢ ⎥=⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎟⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜ ⎠

Gliederung

Behandlung lokaler Beulprobleme dünnwandiger TrägerSeparate Betrachtung von Trägersteg und Trägerflanschen:

Flanschbeulen eines anisotropen Composite-TrägersErsatzmodell:

GrundlegendesBeulbedingung:

Potentialformulierung im gebeulten Zustand:

Beuldifferentialgleichung für symmetrische Laminate:

Problem: Praktisch brauchbare geschlossen-analytische Lösungen sind nur in wenigen Sonderfällen möglich.

0.δΠ=

.i f aΠ=Π +Π +Π

4 4 4 43 3 3 3

11 22 16 264 4 3 31 2 1 2 1 2

4 203 3

12 66 112 2 21 2 1

2 2 0.

u u u uD D D Dx x x x x x

u uD D Nx x x

∂ ∂ ∂ ∂+ + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂

Das Ritz-VerfahrenKlassischer Ritz-Ansatz für die Beulform:

Beulbedingung:

Gegenwärtiger Ansatz:

Reduzierte Beulbedingung:

Resultierendes Eigenwertproblem:

( ) ( ) ( )3 1 2 1 1 2 21 1, .m M n N

mn m nm nu x x W w x w x= =

= ==∑ ∑

∂Π =∂

( ) ( ) ( )3 1 2 2 2 1 11, .m M

m mmu x x w x W w x=

== ∑

∂Π =∂

011 0.K S N F+ − =

Randbedingungen und AnsatzRandbedingungen an belasteten Rändern:

Randbedingungen am elastisch eingespannten Rand:

Randbedingungen am freien Rand:

Gegenwärtiger Ansatz für die Beulform:

Freie Konstanten bestimmbar aus den Randbedingungen.

( ) ( )3 1 2 3 1 20, 0, , 0.u x x u x a x= = = =

( ) ( )2

33 1 2 22 1 2 0

, 0 0, , 0 | .xuu x x M x x kx =

∂= = = =−∂

( ) ( )22 1 2 2 1 2, 0, , 0.M x x b V x x b= = = =

( )2 3 4

2 2 2 2 13 1 2 1 2 3 1

, sin .m Mmm

x x x x m xu x x Wb b b b a

πψ ψ ψ =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟⎜= + + +⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟⎜⎝ ⎠∑

Analytische Lösung für D16 = D26 = 0Gegenwärtiger Ansatz:

Wahl der Ansatzfunktionen:

Beullast:

Resultierende Integrale der Ansatzfunktionen:

( ) ( ) ( )3 1 2 1 1 2 2, .u x x Ww x w x=

( )2 3 4

1 2 2 2 23 1 2 1 2 3, sin .m x x x x xu x x W

a b b b bπ ψ ψ ψ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜= + + +⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟⎜⎝ ⎠

( )011 11 22 00 22 00 22 12 02 02 66 11 11 00

1 2 4 2N D R S D R S D R S D R S R FR S

= + + + +

1 1 2 21 20 0

1 1 2 2

, .i j i ja b

ij iji j i j

w w w wR dx S dxx x x x

∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫

ValidierungFEM-Netze für anisotrope Composite-Träger:

I- und C-Träger aus Winkel-Verbund-Laminaten [+ θ /- θ /+ θ /- θ]S.

ValidierungGegenüberstellung der Ergebnisse:

Exzellente Übereinstimmung, aber:- Finite-Elemente-Ergebnisse in mehreren Stunden,- Gegenwärtige Ergebnisse in wenigen Sekunden!

Einfluss der RandeinspannungSignifikanter Einfluss der elastischenRandeinspannungen:

BeulmodenAllgemein unsymmetrische Beulmoden, hervorgerufen durch Biege-Torsions-Kopplung:

Gliederung

Randeffekte in Composite-LaminatenBegründung durch unterschiedliches Querdehnungsverhalten der Schichten und

einfachem Gleichgewicht:

Schädigungs-Potential durch Delaminationen am freien Rand.

9090 σ 22

ε 11ε 11

ε 11ε11

ε 11 σ 22σ 33 σ 33σ 23

Interlaminare Spannungen als Folge des Randeffektes

ε 11 x2

σ 23 σ 33

1 1x2d

Kompliziertes und praktisch relevantes Problem, das mit potentiell singulären interlaminaren Randspannungen einhergeht.

Verwandte Probleme

Gerader LaminatrandGekrümmter Lochrand

Freie Laminatecke

EinkerbungFasern

Gerader Laminatrand

Experimentelle Befunde

Laminat-Zugprobe zur Abschätzung von Festigkeiten und Steifigkeiten, rasches Auftreten von Delaminationen am Rand.

Quelle: DLR – Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt, Braunschweig

Probleme bei der numerischen Umsetzung

Analyse mittels FEM erfordert einen extrem hohen Berechnungsaufwand → Notwendigkeit effizienter geschlossen-analytischer Berechnungsverfahren.

x1x3-Ebene

Freier RandDetail

Detail der Randvernetzung∆l1

d ( )k

d ( -1)k

12153 89

168 15

11181213

Einteilung des Laminats in mathematische SchichtenRandeffekte in einer symmetrischen Laminatplatte unter thermomechanischer

Beanspruchung, Einteilung der Schichten in nL mathematische Schichten:

VDetail

Detail Schicht ( )kInterface ( +1)kInterface ( )k

PhysikalischeSchichten

MathematischeSchichten x3( )kx3( -1)k

d ( )k

∆Tε 11M

ε 11M0

Lagenweiser Verschiebungsansatz

Lagenweiser Verschiebungsterm nach Klassischer Laminattheorie

Lagenweise Randstörungsterme mit linearer Interpolation in Dickenrichtung zwischen unbekannten Verschiebungsfunktionen in den Interfaces (k) and (k+1):

Lagenweises Verschiebungsfeld in mathematischer Schicht (k):

( ) 0( ) 1( ) , ( 1,2,3).k k ki i iu U U i= + =

Lagenweiser Randstörungsterm mit linearer Interpolation in Dickenrichtung

( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( 1) ( )2 1 3 2 2 3 .k k k k k

i i iU U x x U x xψ ψ+= +

Lineares Interpolationspolynom, ausgehend vom oberen Interface

Lineares Interpolationspolynom, ausgehend vom unteren Interface

Interface ( +1)k

Interface ( )kV ( )k

V ( )k( )k

ψ 1( )kψ 2( )k

U 1( )k

U 1( +1)k

U 2( )k

U 2( +1)k

ψ 2( )k

Verschiebungsfunktion im unteren Interface

Verschiebungsfunktion im oberen Interface

Euler-Lagrange-GleichungenErmittlung der unbekannten Verschiebungsfunktionen aus dem Prinzip vom

Minimum des elastischen Potentials:

Euler-Lagrange-Gleichungen für das gegebene Laminatproblem:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )12 1 1

!( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

d Min.

r n r nr T r r r T rr r rtr rV V

r n r T r rr r rt tr V

C V T V

T C T V

ε ε σ α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Π= − ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ ∆ ∆ =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑∫∫∫ ∫∫∫∑ ∫∫∫

( ) ( )21 1,2

( ) ( )22 2,2

( ) ( )23 3,2

F d FdxU U

⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠

Beschreibendes DifferentialgleichungssystemVerschiebungs-Differentialgleichungen für das gesamte Laminat:

Zusammengefasste Schreibweise:

2 21 2 3

1 21 2 3 4 52 222 2

2 21 2 3

1 26 7 8 9 102 222 2

21 2 3

311 12 13 14 22 2 2

U U UK U K K U K Kxx x

U U UK K K U Kx x x

∂ ∂ ∂+ + + + =∂∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂

1 2 31 2 3222

0, with , , .TU UK K K U U U U Uxx

∂ ∂+ + = =∂∂

Verschiebungslösung und Randbedingungen

Randbedingungen am freien Rand werden im integralen Mittel erfüllt:

Verschiebungsansatz in exponentieller Form:

Resultierendes quadratisches Eigenwertproblem:

Gesamtlösung aus der Summation aller Eigenwerte und Eigenvektoren:

2 .xU Aeλ=

( )21 2 3 0.K K K Aλ λ+ + =

( ) 23 1

r n xrrr

U b A eλ= +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )3 1 3

3 2 3 1

1 12 2 2 3 2 2 1 30 0 0.k k

x xk k k ki ix x

x dx x dxσ ψ σ ψ−

− −

− −= + = =∫ ∫

Vergleich mit den Ergebnissen anderer AutorenVergleich mit klassischen Referenzergebnissen, interlaminare Spannungen in

physikalischen Interfaces, Laminate unter Zugbeanspruchung:

Hervorragende Übereinstimmung bei vernachlässigbarem Rechenaufwand (< 1s).

Pipes RB and Pagano NJ (1970), Journal of Composite Materials 4:538-48 (Finite-Differenzen-Methode)Pipes RB (1972), Dissertation Thesis, University of Texas, Arlington (Finite-Differenzen-Methode)Pagano NJ (1974), Journal of Composite Materials 8:65-81 (Platten-Theorie vom Mindlin-Typ)Kassapoglou C and Lagace PA (1986), Journal of Applied Mechanics 53:744-50 (Lagenweiser Spannungsansatz)

Vergleich mit FEM-Berechnungen nach Reddy (2004)Interlaminare Spannungen nach der Verschiebungsmethode an freien Rändern

typischer Flugzeugbau-Laminate:

Die Übereinstimmung ist exzellent mit geringem Berechnungsaufwand:

- Reddys FEM-Berechnungen benötigen mindestens einige Minuten,- die gegenwärtige Methode benötigt wenige Sekunden bei gleicher Genauigkeit.

Reddy JN (2004), Mechanics of laminated composite plates and shells, 2nd edition, Boca Raton (FL): CRC Press

Maßnahmen zur Minimierung von Randeffekten1) Vermeiden allzu großer Steifigkeitsunterschiede / Unterschiede in den

Faserrichtungen benachbarter Schichten.

2) Möglichst dünne Schichten.

3) Zusammenfügen mehrerer unmittelbar benachbarter Schichten zu einer „dicken“ Einzelschicht vermeiden.

4) Gutes „Durchmischen“ der Schichten bei nicht allzu großen Sprüngen in der Faserorientierung.

5) Durch Positionswechsel von Schichten negative Schälspannungen erzwingen.

6) Ggf. Zusatzmaßnahmen treffen, wie z.B. Vernähungen, Randeinfassungen, ...

Gliederung

Zusammenfassung / Take-Home-MessagesKomplexität der Berechnung von Composite-Bauteilen:

Anisotropie, geschichteter Charakter, Kopplungseffekte, Randeffekte erschweren die Analyse von Composite-Bauteilen im Vergleich zu isotropen Tragwerken.

Über die vorgestellten Analysezugänge:

1. Effizienz und Einfachheit

Die entwickelten Methoden sind einfach einsetzbar, leicht verständlich und arbeiten hocheffizient.

2. Genauigkeit

Die Genauigkeit ist exzellent und mit FEM-Berechnungen vergleichbar.

3. Berechnungsaufwand

Der Berechnungsaufwand ist äußerst gering.

4. Brauchbarkeit

Die Methoden sind besonders geeignet für das Vordesign, für Optimierungen und für Parameterstudien.

Ausblick / To-Do-List1. Postbuckling / Geometrisch nichtlineare Analyse

Entwicklung analytischer und semi-analytischer Verfahren zur Abschätzung des überkritischen Verhaltens ausgesteifter Composite-Strukturen.

2. Einsatz innovativer numerischer Verfahren I

Einsatz neuartiger Randdiskretisierungs-Verfahren („Rand-Finite-Elemente-Methode“) zur Analyse singulärer Spannungs-Konzentrations-Probleme.

3. Einsatz innovativer numerischer Verfahren II

Einsatz neuartiger Partikel-Methoden („Peridynamics“) zur Analyse des Impact- und Schädigungs-Verhaltens geschichteter Strukturen.

4. Spannungs-Konzentrations-Probleme: Geschlossen-analytische Verfahren

Entwicklung neuer geschlossen-analytischer Verfahren zur Analyse von Spannungs-Konzentrations-Problemen in Composite-Laminaten (Löcher, Kerben, Risse).

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

christian.mittelstedt@airbus.com

Fragen? Anregungen?

Literaturhinweise

1. Mittelstedt C / Becker W (2006)Fast and reliable analysis of free-edge stress fields in a thermally loaded composite strip by a layerwise laminate theoryInternational Journal for Numerical Methods in Engineering 67:747-770

2. Mittelstedt C / Becker W (2007)The Pipes-Pagano problem revisited: Elastic fields in boundary layers of plane laminated specimens under combined thermomechanical loadComposite Structures 80:373-395

3. Mittelstedt C / Becker W (2007)Free-edge effects in composite laminatesApplied Mechanics Reviews 60:217-245

4. Mittelstedt C / Beerhorst M / Becker W (2009)Ein Beitrag zur Analyse des Flansch-Beulproblems dünnwandiger anisotroper Composite-TrägerBauingenieur 84:35-45

5. Mittelstedt C (2007)Stability behaviour of arbitrarily laminated composite plates with free and elastically restrained unloaded edgesInternational Journal of Mechanical Sciences 49:819-833

Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in ... · Die Composite-Struktur Winkelverbund...

Documents

Transcript of Über einige Aspekte der Berechnung von Bauteilen in ... · Die Composite-Struktur Winkelverbund...

Untersuchung der Beanspruchung von Herzchirurgen …

Vom Sinn und Unsinn der Messung psychischer Belastung und Beanspruchung

Schule leiten Balance zwischen Anspruch und Beanspruchung Ansätze zur Förderung der Arbeitqualität und Gesundheit.

Modulhandbuch zur Prüfungsordnung 2019 für den Studiengang ... · Baustoffen/Bauprodukten aus der Sicht des Umweltschutzes im Bereich von trinkwasserberührten Bauteilen und Bauteilen

Liste von den eingeschlossenen Bauteilen in TraceParts DVD ... · Page 3 / 630 Hersteller Norm Titel Liste von den eingeschlossenen Bauteilen in TraceParts DVD 2010 (2.6.1) Kategorie

Brandschutznachweise von Bauteilen - Heißbemessung

SANFT ZU ZARTEN BAUTEILEN - plastverarbeiter.de · 44 Plastverarbeiter · August 2007 SANFT ZU ZARTEN BAUTEILEN ULTRASCHALLSCHWEISSEN IN DER MIKROTECHNIK Im Zuge der zunehmenden Miniaturisierung

Abreißfestigkeit von Bauteilen Triviale Standardprüfung ...€¦ · Abreißfestigkeit von Bauteilen | Fachwissen | Anwendung 194 Foto: MPVA Neuwied GmbH 06 %342)#( 7%), 7)2!,,%

Belastung und Beanspruchung von Fluglotsen Validierung und ...

Bemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton ... und Kon… · Bemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton Formelsammlung JanHöﬀgen 3.März2014 DieseZusammenfassungwurdeaufderBasisdesMaster-Moduls

Modulhandbuch - OTH Regensburg · 2020. 10. 16. · Werkstoffgerechte Gestaltung von Bauteilen • Festigkeitsgerechte Gestaltung von Bauteilen und Baugruppen • Fertigungsgerechte

Verstärkung von Bauteilen mit geklebten CFK-Lamellen

Flexible Arbeitszeiten Analyse von Belastung und Beanspruchung an Telearbeitsplätzen Referenten: Danny Grimm und Antje Ziehm.

Vorlesung Schadensanalyse Bewertung von Rissen in Bauteilen

DIN 4102 -Brandverhalten von Baustoffen und Bauteilen · DIN 4102 -Brandverhalten von Baustoffen und Bauteilen Vorbemerkung: Bauordnungen, Rechtsverordnungen und bauaufsichtliche

Bemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton ... un… · Bemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton Formelsammlung JanHöﬀgen 3.März2014 DieseZusammenfassungwurdeaufderBasisdesMaster-Moduls

Leichtbau von Bauteilen mit bionischen Methoden - modisem.de file©inpro, Germany Vertraulich – ausschließlich für persönlichen internen Gebrauch 1 Leichtbau von Bauteilen mit

Präsentation Kommunalagentur NRW, 18.03 · Sachverständige für die Landwirtschaft Entschädigungsregelungen für Beanspruchung landwirtschaftlicher Flächen – Überblick und

Ermüdungsfestigkeit von Bauteilen unter dem Einfluss der ...

BA Architektur 01.10.2011 - uibk.ac.at · Einführung in die planmäßige Darstellung von Bauteilen im Hochbau, Verständnis für die Beanspruchung von Bauwerken und Bauteilen sowie