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Vektoren im Mathematikunterricht derSekundarstufe II
Fanny Jeschek und Stefan Jedrzejak
24. November 2010
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Gliederung
Einfuhrung
Vektorbegriff
Geraden- und Ebenengleichungen in R3
Computer im Geometrieunterricht
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Analytische Geometrie im Rahmenlehrplan
ebene Flachen und Korper im raumlichen Koordinatensystemund in Schragbilddarstellung auch aus Anwendungskontexten
Abstande von Punkten im Raum
Darstellungen von Geraden, Ebenen, Strecken, ebenen Flachenund Korpern im Raum mithilfe von Koordinaten und Vektoren
Ebenengleichungen (Parameter-, Koordinaten-, undNormalenform)
Addition und Vervielfachung von Vektoren (als vereinfachendeSchreibweise und in anschaulicher Darstellung)
relative Lage von Gerade und Gerade, Gerade und Ebene,Ebene und Ebene
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Leistungskurs - Erweiterung und Vernetzung
lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit, Vektorraum, Basisund Dimension
vektorielle Beschreibung von Kreisen in der Ebene und derenLagebeziehungen zu Geraden
Kugeln im Raum und deren Lagebeziehungen zu Geraden undEbenen
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Voraussetzungen
Geometrische Objekte im 2- und3-Dimensionalen
Zeichnen eines 3-dimensionalenKoordinatensystems und 3-dimensionalerObjekte (Verkurzungsfaktor)
Punkte und Objekte im 3-dimensionalenKoordinatensystem einordnen
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Standardbeispiel
Bestimmen von Koordinaten der ubrigen PunkteFrage nach StreckenlangenFlachen- und Volumenberechnung
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Aspekte des Vektorbegriffs
Was ist ein Vektor?
Wie wurde bei euch in der Schule derVektorbegriff eingefuhrt?
Welche geometrischen und arithmetischenAspekte des Vektorbegriffs fallen euch ein?
Partnerarbeit: Wie wurdet ihr den Vektorbegriffeinfuhren? Warum?
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Was ist ein Vektor?
arithmetisch: n−Tupel
geometrisch: unendlich viele Pfeile
gleiche Richtung, gleiche Lange
ein Pfeil = ein Reprasentant eines n−Tupels
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Pfeilklassen
geometrisch: Parallelverschiebung
Segelboote im Wind: Richtung undzuruckgelegte Strecke gleich
Tapetenmuster, Ornamente
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Schreibweise
Symbolische Darstellung durch Kleinbuchstabenmit Pfeil: ~a,~b,~c , ~u, ~v
Identifikation mit Anfangs- und Endpunkt eines
Reprasentanten:−→AB ,−→PQ
Darstellung als Spaltenvektor:
xyz
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Geometrische Bedeutung
Verschiebung entlang der Achsenxyz
: x , y und z = jeweiliger
Verschiebungsanteil enlang der drei Achsen
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Identifikation eines Vektors−→PQ uber seinen
Anfangspunkt P und seinen Endpunkt Q erlaubteinfaches
”Ablesen“ der
Spaltenvektordarstellung
Berechnen der Koordinatendifferenzen von Qund P
Bsp.: P = (5, 3), Q = (1, 7) ⇒−→PQ =
(−44
)
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Ubungsaufgaben
Darstellung von Kanten geometrischer Objekteals Spaltenvektoren
Berechnen von Spaltenvektoren aus zweiPunkten
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Lange eines Vektors
Zuruckgreifen auf Bekanntes: Satz desPythagoras
Lange eines Vektors
abc
gegeben durch:
√a2 + b2 + c2
Bezeichnung: Betrag, Achtung:Ubergeneralisierung!
Schreibweise:
∣∣∣∣∣∣abc
∣∣∣∣∣∣Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Mogliche Ubungsaufgaben
Bestimmen von Punkt D, wenn A,B und C
gegeben sind und−→AB zum selben Vektor
gehoren soll wie−→CD
gegebener Vektor verschiebt P nach Q, jeweilsP oder Q angegeben, der andere Punktherauszufinden
Ubungen zur Bestimmung von Betragen 2- und3-dimensionaler Vektoren (vorwarts undruckwarts)
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Addition
zunachst arithmetisch, komponentenweiseaddieren
geometrisch:”Anlegen“ eines Vektors an den
anderen
Wahl des Reprasentanten fur ersten Vektor frei,fur zweiten durch den ersten festgelegt
Schulerinnen und Schuler kennenVerschiebungen und Verkettungen vonVerschiebungen bereits aus der Sek I
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Addition
Kommutativgesetz: arithmetisch klar
auch geometrisch anschaulich
”Parallelogrammregel“
Assoziativgesetz der Addition
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Skalarmultiplikation
arithmetisch: komponentenweise
geometrisch anschaulich als Streckung bzw.Stauchung
bereits bekannt aus Sek I
Skalar mit negativem Vorzeichen zeigtOrientierungswechsel an
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Skalarmultiplikation
geometrisch wichtig: Parallelitat von
(ab
)und
s ·(ab
)beide Distributivgesetze
Ubungen: Termvereinfachungen,Gleichungssysteme
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Lineare Abhangigkeit
heutige Schulbucher: Fokus auf Abhangigkeit,unterschieden nach 2- und 3-dimensional(kollinear und komplanar)
Darstellbarkeit von Vektoren durchLinearkombinationen von anderen
Ubungen: Prufen von Vektorpaaren und-drillingen auf Kollinearitat, Komplanaritat
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Einfuhrung der Geradengleichung
Was ist ein Ortsvektor?
Welche Funktion hat er?
Welche Schwierigkeiten konnten auftreten? Wiekann man sie losen?
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Ortsvektor
Vektor = Pfeilklasse, also Ortsvektor unendlichviele Pfeile
fur Positionierung von Geraden und Ebenen wirdein Reprasentant gewahlt
Reprasentant = Pfeil vom Ursprung zum Punktmit Koordinaten des Vektors
Verstandnisproblemen vorbeugen mit Betonungauf arithmetischem Aspekt
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Affiner Raum
Ortsvektor verbindet Pfeilklassen mit Punkten
Affiner Raum: Moglichkeit der Darstellung vonPunkten, Geraden und Ebenen
Skript von Herrn Grassmann, LAAG I – S. 57ff,II – S. 54
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Affiner Raum
Sei A eine Menge, V ein Vektorraum. Das Paar (A,V ) heißtaffiner Raum, wenn eine Operation + : A× V → A gegebenist, die dem Paar (P , v) mit P ∈ A, v ∈ V das Element P + vso zuordnet, dass
1 (P + v) + w = P + (v + w) ∀P ∈ A, v ,w ∈ V gilt und
2 zu beliebigen P ,Q ∈ A ein eindeutig bestimmter Vektor vexistiert, sodass Q = P + v ist. Dieser Vektor heißt
Verbindungsvektor von P und Q und wird mit−→PQ
bezeichnet.
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Einfuhrung der Geradengleichung
Gerade durch Position und Richtung vollstandigbestimmt
Betonung des Gleichungsaspekts
Einsetzen liefert Punkte der Geraden
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Aufgabeninseln
Parameterform Geraden- und Ebenengleichungen
Berechnen von Schnittgebilden durch LGS
Normalenvektoren, Abstandsbestimmungen(Punkt-Gerade, Punkt-Ebene, Gerade-Gerade)
Aufgabenbereiche auf wenige Musteraufgabenzuruckfuhrbar → halb-algorithmischer Charakter
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Einfuhrung der Geradengleichung
Internationaler Vergleich (TIMSS): deutscheSchuler/innen weisen Defizite auf
Forderung: angemessenes Gleichgewichtzwischen Routine und Problemorientiertheit
Losungsstrategien:”Offnen“ von Aufgaben,
”sinnlose“ Zusatzinformationen
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Diskussion
Ist die Einbettung in Vektorraume in der Schulesinnvoll?
Kann man auf Vektoren im Unterricht ganzverzichten und welche anderen Moglichkeitengibt es?
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Diskussion
Ist die Einbettung in Vektorraume in der Schulesinnvoll?
Kann man auf Vektoren im Unterricht ganzverzichten und welche anderen Moglichkeitengibt es?
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Diskussion
Ist die Einbettung in Vektorraume in der Schulesinnvoll?
Kann man auf Vektoren im Unterricht ganzverzichten und welche anderen Moglichkeitengibt es?
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Nutzen der Vektorrechnung
Vektoren oft einfacher zu handhaben
Weniger umstandliches Losen von Aufgabenmoglich
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Praxisnutzen
Statik, Mechanik
Physik – den Schulerinnen und Schulern bereitsbekannt: Geschwindigkeit, Kraft
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Praxisnutzen
Statik, Mechanik
Physik – den Schulerinnen und Schulern bereitsbekannt:
Geschwindigkeit, Kraft
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Praxisnutzen
Statik, Mechanik
Physik – den Schulerinnen und Schulern bereitsbekannt: Geschwindigkeit, Kraft
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Praxisnutzen
Computergraphik: Pixelgraphik vs.Vektorgraphik (glatter, sauberer → qualitativhochwertiger)
Computerspiele: Projektion vonComputer-3-D-Graphik auf 2-D-Bildschirmberuht auf Vektorgeometrie
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Pixelgrafik: Paint, Adobe Photoshop, Corel Draw
Vektorgrafik: Adobe Illustrator
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
CAS, DGS, POV-Ray
TI Voyage 200
GeoGebra
POV-Ray
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
GeoGebra
machtiges Werkzeug fur denGeometrieunterricht in 2D
Bedienbarkeit durch Schuler
Visualisierung geometrischer Sachverhalte in 2Dund 3D
3D eingeschrankt
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Einfuhrung der Ebenengleichung
Aufgabe: Bildet Gruppen und uberlegt, wie ihr dieEbenengleichung in der Schule einfuhren wurdet.Geht dabei auf die folgenden Aspekte ein:
Richtungsvektoren
Stutzvektor
Parameter
kollineare Richtungsvektoren
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
TI Voyage 200
Computeralgebrasystem von Texas InstrumentsGraphen zeichnenGleichungen losenIntegralrechnung und DifferentialrechnungDGS integriert
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Aufgabe
Bestimmen Sie den Abstand zwischen der Geraden g und demPunkt P!
g : ~x =
201
+ r ·
−411
P =
056
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Bestimmen Sie den Abstand von g und P!
g : ~x =
201
+ r ·
−411
P =
056
Partnerarbeit: Versucht die Aufgabe auf mehrere Arten zu losen.Tragt dazu die Losungsidee auf eine Folie auf.Hinweis: Eine geometrische Losung ist nicht notwendig.
Losungsplan(Analytische Geometrie):
Lotfußpunktverfahren
Losungsplan(Analysis):
Abstandsfunktion bestimmen und Minimum berechnen
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Bestimmen Sie den Abstand von g und P!
g : ~x =
201
+ r ·
−411
P =
056
Partnerarbeit: Versucht die Aufgabe auf mehrere Arten zu losen.Tragt dazu die Losungsidee auf eine Folie auf.Hinweis: Eine geometrische Losung ist nicht notwendig.
Losungsplan(Analytische Geometrie):
Lotfußpunktverfahren
Losungsplan(Analysis):
Abstandsfunktion bestimmen und Minimum berechnen
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Bestimmen Sie den Abstand von g und P!
g : ~x =
201
+ r ·
−411
P =
056
Partnerarbeit: Versucht die Aufgabe auf mehrere Arten zu losen.Tragt dazu die Losungsidee auf eine Folie auf.Hinweis: Eine geometrische Losung ist nicht notwendig.
Losungsplan(Analytische Geometrie):
Lotfußpunktverfahren
Losungsplan(Analysis):
Abstandsfunktion bestimmen und Minimum berechnen
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Losung mit analytischer Geometrie
Wir legen zunachst eine Ebene durch P, die senkrecht auf g steht.Als Stutzvektor nehmen wir ~OP, als Normalenvektor denRichtungsvektor der Geraden g .Dann berechnen wir den Schnittpunkt F dieser Ebene mit g .
Der gesuchte Abstand d wird dann mit d =∣∣∣ ~FP∣∣∣ bestimmt.
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Losung mit Analysis
Wir bestimmen die Funktion, die den Abstand von P und g inAbhangigkeit von r beschreibt und bestimmen das Minimum.
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
POV-Ray
vielseitiges Werkzeug in 3D
Bedienbarkeit durch Lehrer
Visualisierung komplizierter geometrischer Sachverhalte
Videoerstellung
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II
Geschlechterspezifische Differenzierung
Muss man bei der Frage, inwieweitComputereinsatz im Geometrieunterrichtsinnvoll ist, zwischen Mannern und Frauenunterscheiden?
Umfrage: Wie gut ist das raumlicheVorstellungsvermogen dieses Kurses?
Vektoren im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II