Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Das ganze Leben besteht daraus, dass Dinge voneinander abhängen.

Im mathematischen Sinne bezeichnen wir diese Dinge als „GrößenGrößen“. Es handelt sich also um

messbare Größen. Nicht messbare Dinge gibt es auch. Sie können sogar sehr wichtig sein, aber für

die Mathematik sind sie nicht brauchbar.

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Auch bei den Abhängigkeiten, die für die Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir

verschieden Fälle:

Das Körpergewicht eines Menschen ist messbar, seine Körpergröße ist auch messbar, sein Alter ist

auch messbar. Berechenbar sind diese Größen ...

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

NICHT !

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Auch bei den Abhängigkeiten, die für die Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir

verschieden Fälle:

Wenn man einkauft, muss man für sieben Brötchen mehr bezahlen als für drei.

Berechnen kann man diese Größen ....

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Sehr gut !

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Auch bei den Abhängigkeiten, die für die Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir

verschieden Fälle:

Wenn mehr bei einer Arbeit mit anfassen, dann ist man schneller fertig.

Berechnen kann man diese Größen ....

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Sehr gut !

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Klassisches Beispiel für voneinander abhängige Größen ist das Kaufen von Speiseeis!

Je mehr Kugeln jemand kauft, desto mehr muss er auch

bezahlen.Eine Kugel kostet 80 Cent.

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Die Eisdiele macht daraus ein Preisschild:Preistafel:Preistafel:

1 Kugel = 0,80 €1 Kugel = 0,80 €

2 Kugeln = 1,60 €2 Kugeln = 1,60 €

3 Kugeln = 2,40 €3 Kugeln = 2,40 €

4 Kugeln = 3,20 €4 Kugeln = 3,20 €

jede weitere Kugel jede weitere Kugel kostet 0,80 € kostet 0,80 €

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Schülerinnen und Schüler machen daraus eine Wertetabelle ....

Kugeln 1 2 3 4 5 6

Preis 0,80 € 1,60 € 2,40 € 3,20 € 4,00 € 4,80 €

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

... und einen Graphen (Zeichnung):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Anzahl_der_Kugeln

Preis

in

Euro

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Aus diesem Graphen kann man – genau wie bei der Wertetabelle – alle Eispreise ablesen. Und das geht so:

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Anzahl_der_Kugeln

Preis

in

Euro

Die grünen Pfeile zeigen den Preis für vier Kugeln –

die hellblauen Pfeile zeigen, was sieben Kugeln kosten.

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Wir merken uns:

Es gibt eine Größe, die ich nach Belieben – oder nach vorhandenem Taschengeld – auswählen kann.

Das ist die Anzahl der Eiskugeln.Und es gibt eine Größe, die dann berechnet wird.

Das ist der Preis.

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Unser Eisverkäufer hat eine Idee:

Er bietet jetzt sein Eis auf Wunsch des Kunden mit Sahne an. Wenn man Sahne zu

seinem Eis haben möchte, so kostet das

1,00 Euro extra.

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Die Eisdiele macht ein neues Preisschild:Preistafel:Preistafel:

1 Kugel = 0,80 €1 Kugel = 0,80 €

2 Kugeln = 1,60 €2 Kugeln = 1,60 €

3 Kugeln = 2,40 €3 Kugeln = 2,40 €

4 Kugeln = 3,20 €4 Kugeln = 3,20 €

jede weitere Kugel kostet 0,80 € jede weitere Kugel kostet 0,80 €

Mit Sahne 1,00 Euro mehrMit Sahne 1,00 Euro mehr

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Schülerinnen und Schüler machen daraus eine neue Wertetabelle ....

Kugeln 1 2 3 4 5 6

Preis 1,80 € 2,60 € 3,40 € 4,20 € 5,00 € 5,80 €

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

... und einen neuen Graphen (Zeichnung):

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Anzahl_der_Kugeln

Preis

in

Euro Dieser Graph sieht ganz ähnlich aus. Er

geht allerdings nicht mehr durch den Nullpunkt des Koordinatensystems, sondern schneidet die Preisachse bei EINS.

In normalen deutschen Worten heißt das: Wenn man nur Sahne ohne Eis kaufen will, so kostet das einen Euro.

Ist zwar Unsinn – ist aber möglich!

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Anzahl_der_Kugeln

Preis

in

Euro

4,20 Euro

6,60 Euro

Auch aus diesem Graphen kann man – genau wie ohne Sahne - alle Eispreise ablesen. Wie es geht, wissen wir schon:

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Wir fangen jetzt damit an, aus dem Eisverkauf ein bisschen Mathematik zu machen:

Der Gesamtpreis hängt natürlich von der Anzahl an Kugeln ab. Diese Anzahl kann jeder

Käufer für sich frei wählen!

Anzahl Anzahl Preis PreisDer Mathematiker sagt: x Der Mathematiker sagt: x y y

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Nicht wählen kann der Kunde aber, wie teuer eine Kugel ist und was die Sahne kostet.

Wir schauen uns das einmal ganz genau an:

Zuerst lassen wir den Preis einer Kugel bei 0,80 € -so wie das in Hameln üblich ist –

und nehmen verschiedene Preise für die Sahne.

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

1 2 3 4 5 6 7 8

-1

1

2

3

4

5

x

y

PREIS

ANZAHL DER

KUGELN

Und jetzt erkläre bitte:

Was unterscheidet diese vier Geraden? Was ist bei den vier Geraden gleich?

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Sie unterscheiden sich nur den Preis der Sahne. Sie verlaufen parallel.

Der SAHNEPREISSAHNEPREIS wird auf der y-Achse angezeigt.

Logisch:Logisch: Wenn man NULL Kugeln kauft, aber Sahne haben möchte, muss man auch nur die Sahne

bezahlen.

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Alle Eisdielen haben vereinbart,

für Sahne grundsätzlich nur einen Euro zu nehmen.

Aber der Kugelpreis ist unterschiedlich:

In Hameln – ECE – nimmt man 0,80 €In Berlin – Zeno am Hbf – nimmt man 1,20 €In Amsterdam – Guiseppe an der Damstrat – nimmt 1,75 €Und in Frankreich ist Eis sowieso idiotisch teuer,

dort nimmt man überall inzwischen 2,50 € pro Kugel.

Da würde ich kein Eis

essen!

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-1 1 2 3 4 5 6 7 8

-1

1

2

3

4

5

x

y

PREIS

ANZAHL DER

KUGELN

Wo ist Hameln?Wo ist Frankreich?

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Auf mathematisch:GESAMTPREIS = EINZELPREIS MAL ANZAHL PLUS SAHNE

oder

y = m y = m ● x + b● x + b

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Gut, jetzt haben wir bereits vieles über lineare Funktionen gelernt.

Wir wissen, dass zu einem Wert „x“ ein Wert „y“ errechnet wird.

x x y y

Wie dort gerechnet wird, bestimmt die Funktionsgleichung

y = m y = m ● x + b● x + b

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Bei der FunktionsgleichungBei der Funktionsgleichung

y = m y = m ● x + b● x + bentscheidenentscheiden

m m undund b b

über den über den Verlauf der GeradenVerlauf der Geraden

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

y = m y = m ● x + b● x + b

„„b“ legt fest, wo die Gerade b“ legt fest, wo die Gerade die y-Achse schneidet:die y-Achse schneidet:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

-1

1

2

3

4

5

x

yDie Gerade schneidet die y-Achse bei dem Wert „+3“.

Also lautet ihre Funktionsgleichung:

y = m y = m ● x + 3● x + 3

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Der Wert für „b“ kann in jeder Zeichnung einfach abgelesen werden:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

y = m x + 7

y = m x + 4

y = m x + 1

y = m x - 2

y = m x - 4

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y = m y = m ● x + b● x + b

„„mm“ legt fest, wie die Gerade “ legt fest, wie die Gerade verläuft. verläuft.

Ob sie Ob sie steil steil oderoder flach flach ist. ist.

Ob sie Ob sie steigtsteigt oder oder fälltfällt..

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y = m y = m ● x + b● x + b

Wir wollen zuerst zeichnenzeichnen, dann genau beobachtenbeobachten und dann unsere

Beobachtungsergebnisse aufschreibenergebnisse aufschreiben.

Es sei b = -2b = -2 und für mm wählen wir die Werte

-0,5 / +0,5 / -2,5 / +2,5-0,5 / +0,5 / -2,5 / +2,5

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Das ergibt dann die Funktionsgleichungen:

y = - 0,5 x - 2y = - 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2

Und dazu machen wir eine kleine Wertetabelle:Und dazu machen wir eine kleine Wertetabelle:

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Wertetabelle:

x 0 -2 2 5

y = - 0,5 x - 2 y = - 0,5 x - 2 -2 -1 -3 -5

y = + 0,5 x - 2 y = + 0,5 x - 2 -2 -3 -1 1

y = - 2,5 x - 2 y = - 2,5 x - 2 -2 3 -7 -15

y = + 2,5 x - 2 y = + 2,5 x - 2 -2 -7 3 11

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

y = - 0,5 x - 2y = - 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

y = - 0,5 x - 2y = - 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2

Ergebnisse :

negatives m positives m

m>|1| steil - fallend steil - steigend

m<|1| flach - fallend flach - steigend

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Wir prüfen gleich am die Geraden von Folie 29 auf ihre Eigenschaften:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

flach – fallendflach – fallend

steil – steigendsteil – steigend

flach – fallendflach – fallend

flach – steigendflach – steigend

steil - fallendsteil - fallend

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: Mathematik

Thema: Lineare Funktionen – Bestimmung der Funktionsgleichung

Gegeben sei der Graph einer Funktion:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Zu dieser Geraden gehört eine Funktion der Form

y = m x + b

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

Hier lesen wir das „b“ Hier lesen wir das „b“ einfach ab!einfach ab!

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Die Funktionsgleichung lautet also:

y = m x - 3

Wie groß ist „m“?

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Zur Berechnung

vvon

"m"

suche

ich

Punkte, die

genau

auf

f Kreuzungslinien

des Koordinatensystems

faf llen.

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Hier sind

solche

Punkte:

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

Der Weg

zwischen

zwei

solcher

Punkte:

3 nach

rechts:

+3

2 nach

oben:

+2

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Berechnung

m3

2

33

2 xy

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Woher weiß ich, welche Punkte ich nehmen soll?

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Es ist egal!

Alle Punkte sind geeignet um

die Größe m zu berechnen.

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m

3

2

9

6

also:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

xy

9 nach

rechts:

+9

6 nach

oben: +6+

33

2 xy

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Es funktioniert sogar rückwärts

WAS FÜR DIE DEUTSCHE SPRACHE NICHT GILT:

sträwkcür ragos treinoitknuf sE

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-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Der Weg

zwischen

zwei

Punkten rückwärts:

12 nach

links:

-12

8 nach

unten: -8

m

3

2

12

8

33

2 xy

ALSO:

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Dieses Verfahren funktioniert natürlich auch dann, wenn die Gerade nicht durch Punkte mit glatten Werten

verläuft.

In diesem Fall muss gemessen werden!

Wir führen das ganz genau vor.

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Diese Gerade ist ziemlich schwer zu bearbeiten.

Wir markieren die Punkte, an denen die beiden Achsen geschnitten werden.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

Gemessen: 3,7

cm

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Gemessen: 6,3

cm

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

6,3 cm

nach

rechts: +

6,3

3,7 cm

nach

unten: - 3,7

7,3mxy

... Und das „m“?

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

6,3 cm

nach

rechts: +

6,3

3,7 cm

nach

unten: - 3,7

6,03,6

7,3

3,6

7,3

m

7,36,0 xy

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Die folgenden Folien enthalten Standardaufgaben, die

jede/r beherrschen sollte und die auch bei

Klassenarbeiten gebräuchlich sind.

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1. Zeichne den Graphen der Funktion

y = - 0,75 x + 3

Zu dieser Aufgabe gibt es zwei Lösungswege auf den folgenden Folien

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1. Zeichne den Graphen der Funktion

y = - 0,75 x + 3

Lösungsweg a)Der Graph verläuft durch den Punkt P1 (0/3).Ein weiterer Punkt wird benötigt. Ich wähle

x = 4Und berechne y:Y = -0,75●4 + 3 = 0(bitte mit TR nachrechnen.)Der zweite Punkt ist also P2 (4/0).Punkte eintragen, Gerade zeichnen, fertig -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

x

y

P1 (0

| 3)

P2 (4

| 0)

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1. Zeichne den Graphen der Funktion

y = - 0,75 x + 3Lösungsweg b)Der Graph verläuft auch durch den Punkt P1 (0/3).

Dann brauche ich ein Steigungsdreieck für die Steigung m = - 0,75.

Dieses Verfahren ist nur brauchbar, wenn du sofort weißt, dass zu 0,75 der Bruch ¾ gehört. Also 4 nach rechts (+4) und 3 nach unten (-3). Gerade zeichnen, fertig!

-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

P1 (0

| 3)

+4

-3

Natürlich ist die Lösung bei beiden

Lösungswegen die Gleiche.

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2. Vorhanden ist der Graph einer Funktion.

Stelle die Funktionsgleichung auf.

Zu dieser Aufgabe gibt es nur einen Lösungsweg auf der folgenden Folie

-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

b ablesen (grüner Pfeil): b = -2

Geeigneten Punkt suchen, Dreieck zeichnen, Werte einfach abzählen und aus den Werten die Steigung m berechnen:

Also: y = 1,4 x - 2

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

+5(einfach

zählen)

+7(aucheinfaf ch

zählen)

4,15

21

5

7m

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3. Gegeben sind die Punkte A ( -2 / 4 ) und B ( 4 / -5 ).

Zeichne die Gerade durch A und B.Gib die Funktionsgleichung an.

Zu dieser Aufgabe gibt es einen Lösungsweg auf den folgenden Folien

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

A

B

Trage die Punkte in ein Koordinaten-system ein.

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

Zeichne eine Gerade durch die Punkte A und B.

Nicht etwa von A nach B – das Nicht etwa von A nach B – das wäre eine Strecke und damit wäre eine Strecke und damit

falsch!falsch!

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

A

B

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

A

B

b bestimmen: b = 1

Dreieck zeichnen; Werte auszählen:

+4 in x-Richtung

-6 in y-Richtung

M berechnen:

Also: y = - 1,5 x + 1

5,12

3

4

6

4

6

m