Post on 06-Apr-2015
€
vx1 >> vx2
€
v = vx1
€
vx1
€
r′ v 1
€
rv 1
€
vy1
€
′ v x1
€
′ v y1
x
y
0
S
€
r′ v 2
€
rv 2
B
A
S*
0* x*
€
r′ v 1
€
vy1
y*
€
rv 1
A
€
r′ v 2
€
rv 2
€
− ′ v x2
€
−vx2
B
€
vx1 << vx2
Relativistische Stösse
Beobachter in O*misst in S*:
€
v *y1 =vy1
γ 1−vx1vc2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
€
v *y2 =vy2
γ 1−vx2vc2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟€
=γvy1
€
=vy2
γ€
=v
€
=0
€
A : vx1 ≈ ′ v x1 ≠ 0 =>
€
B : vx2 ≈ ′ v x2 = 0 => Beobachter in O*misst in S*:
mA=mB
vy2=-vy1
Gaub WS 2014/15
In beiden Intertialsystem muss Impulserhaltung gelten!
€
mAvy1 + mBvy2 = m *A v *y1 +m *B v *y2 = 0
€
=> m(v) = γm0 =m0
1− v2 /c2
Die Masse eines bewegten Teilchens nimmt mit seiner Geschwindigkeit zu
Ruhemasse: mo= m(v=0)
da vA ≈ vx1 = v , v*A≈ 0
und vB ≈ 0, v*B ≈ vx1 = v
€
m(v)vy1 + m0vy2 = 0
€
m0v *y1 +m(v)v *y2 = 0
Mit konstanter Masse nicht erfüllbar!
€
(m(v))2
m20
=vy2
v *y2
v *y1
vy1
= γ 2
Gaub 2WS 2014/15
WS 2014/15 3
Kraft und relativistischer Impuls
€
rF =
dr p
dt
€
=d
dt(m
r v )
€
=d
dt(
m0
r v
1− v2 /c2)
€
=(d
dt
m0
1− v2 /c2)r v + m
r a
€
d /dt = (d /dv)(dv /dt)
€
rF =
m0(v /c2 )a
(1− v2 /c2 )3/2
r v + m
r a
€
rF = γ 3m0a
v2
c2ˆ e v +(1−
v2
c2)ˆ e a
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
Die relativistische Kraft hat eine Kompo-nente in Richtung der Geschwindigkeit !
€
=> r
p = m(v)r v = m0γ
r v
Gaub
Transformation der Kräfte
Übergang von S mit Teilchen v, m = mog nach S* mit v* = 0, m *= mo
Fx = dpx/dt = γ3m0ax
und in S* gilt: a x = γ∗ 3ax
=> Fx = m∗ 0ax = γ∗ 3m0ax ≡ Fx
Fy = dpy/dt = mdvy /dt= γm0 ay => Fy = m∗ 0ay = γ∗ 2m0ay = γFy
€
=>Fx
Fy
= γ 2 ax
ay
Wir wählen v = vx
€
ˆ e v = ˆ e adamit gilt (Lorentz-Transformation)
mit a y = γ∗ 2ay
(vy<<vx)
Gaub 4WS 2014/15
WS 2014/15 5
Relativistische Energie
Man bedenke: Sowohl m als auch v ändern sich bei hohen Geschwindigkeiten!
Einsteins Gedankenexperiment:
LLichtblitz bei t1=0
Aber: Schwerpunkt war immer an der selben Stelle!
=>Rückstossimpuls
p = -E/c
wird nach t2=L/c absorbiert
p = E/c
∆x
€
v =p
M= −
E
Mc
€
=−vt 2 = EL / Mc2
€
=>mL − MΔx = 0
€
=>E = mc2Jede Masse entspricht der Energie
=> Transport der Masse m während Energietransport
€
v << c
Gaub
€
=>E = mc2 =m0c
2
1− v2 /c2
€
m(v) = γm0 =m0
1− v2 /c2
€
=m0c2 +(m − m0 )c2
Gesamtenergie + Bewegungsenergie = Ruheenergie
€
Ekin = (m − m0 )c2 = m0(γ −1)c2
€
γ=(1−v
c
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2
)−1/2
€
≈m0
1
2v2
v <<cTaylor-Entwicklung
€
(1+ x)a = (a
k)
k=0
∞
∑ x k ≈ 1+ ax +a(a −1)
2!x2 +.....
€
≈1+1
2
v
c
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2
+3
8
v
c
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟4
+.....
Gaub 6WS 2014/15
WS 2014/15 7
€
=>E2 = m2c4 = m02c4 + m2c2v2
€
=m02c4 + p2c2
€
=>E = c m02c2 + p2
E pc
m0c2
€
m2c4 =m2
γ 2c4 + m2c2v2
€
1 =1
γ 2+
v2
c2
€
γ2 =1
1−v2
c2
weil
Gaub
€
v *2 =v2 − v
1−v2vc2
Inelastische Stöße bei relativistischen Energien
S
A
€
rv 2 = −
r v 1
AB
€
rv 1
B
€
rv AB = 0
A
€
rv *A = 0
€
rv *2
BAB
€
rv *AB = −
r v 1
S*
€
v =r v 1
€
=−2v
1+v2
c2
Impulserhaltung in S*:
€
m(v *2 )v *2 = −M *AB v
Energie in S*:
€
m(v *2 )+ mo = M *AB
€
m(v *2 )
m0
= −v
v *2 +v
€
v = −c2
v *2
1+ (1−v *2
2
c2)
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
€
=(1−v *2
2
c2 )−1/2
€
=γ(v *2 )
€
m(v) =m0
1− v2 /c2= γ (v)m0 <=
Gaub WS 2014/15
Relativistischer Energiesatz
€
˜ r = x ˆ e x + yˆ e y + z ˆ e z + ict ˆ e t
€
ˆ e x⊥ e y⊥ e z⊥ e t
im 4d Minkowski-Raum
€
d˜ r 2 = dx2 + dy2 + dz2 − c2dt 2
€
=dt 1− v2 /c2
Totales Differential:
€
=−c2dτ 2
€
dτ = dt 2 −1/c2(dx2 + dy2 + dz2 )weil €
=>d˜ r /dτ =
dx /dτ
dy /dτ
dz /dτ
icdt /dτ
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
€
= r
v + ic ˆ e t1− v2 /c2
€
=> ˜ p = mo
d˜ r
dτ
€
=mo
r v + ic ˆ e t1− v2 /c2
€
=> ˜ F =d˜ p
dτ= mo
d2 ˜ r
dτ 2
€
=γ d
dt(m0
r v )+ ic
d
dt(m0
ˆ e t ) ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
=γ r
F + id
dt(m0c ˆ e t )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
=
x
y
z
ict
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
Minkowski-Impuls Minkowski-Kraft
Eigenzeit
€
dτ = dt /γ
Gaub 9WS 2014/15
€
=>( ˜ F d˜ r
dτ) = mo (
d2 ˜ r
dτ 2)
d˜ r
dτ
€
=mo
2
d
dr(d˜ r
dτ)2
€
weil (d˜ r
dτ)2 = −c2 = const
€
=>( ˜ F d˜ r
dτ) = 0
€
γ2(r F
dr r
dt−
d
dt(mc2 )) = 0
€
=>γ r
F + id
dt(m0cˆ e t )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥γ
r v + ic ˆ e t[ ] =
€
=>d(mc2 ) =r F d
r r = dW
Relativistischer Energiesatz
€
=>Eges = Epot + mc2 =
€
Epot +m0c
2
1− v2 /c2= const
Gaub 10WS 2014/15
WS 2014/15 11
Erhaltungssätze und Symmetrien
In einem abgeschlossenen System (keine WW mit Umgebung) sind zeitlich konstant:
Gesamtenergie (wobei die verschiedenen Energieformen ineinander umgewandelt werden können)
Gesamtimpuls (wobei die einzelnen Teile des Systems miteinander wechselwirken können)
Gesamtdrehimpuls (unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes)
Der tiefer liegende Grund für diese Erhaltungssätze sind Symmetrieeigenschaften von Raum und Zeit
Gaub
WS 2014/15 12
Legrange-Formalismus
€
( L (
r r i ,
r v i ) =
mi
2
r v i
2
i
N
∑ − Epot (r r 1,
r r 2...
r r N ) = Ekin − Epot
Def.: Lagrangefunktion:
€
∂( L
∂r v i
= mi
r v i =
r p i
€
∂( L
∂r r i
= −∂Ep
∂r r i
=r F i
€
=>d
dt(∂
( L
∂r v i
) =∂
( L
∂r r i
Newton
Gaub
Erhaltungssätze und Symmetrien
Isotropie des Raumes bezüglich
€
=>d
dt(∂
( L
∂r v i
)i
N
∑ =d
dt(∂
( L
∂r v i
)i
N
∑ = 0=> Impulserhaltung
=> Drehimpulserhaltung
€
δ rr i =δ
r ϕ ×
r r i
Ort
€
rr +δ
r r
Richtung
€
ϕ +δϕ
€
δ rv i =δ
r ϕ ×
r v i
€
∂( L
∂r r i
= 0i
N
∑ !
€
=> r p i (δ
r ϕ ×
r r i )+
r p i(δ
r ϕ ×
r v i )
i
N
∑
€
=δ rϕ (r r i ×
r p i )+ (r v i ×
r p i )
i
N
∑
€
=> (r r i ×
r p i ) =
r L = const
i
N
∑
€
δ( L =
∂( L
∂r r i
δr r i +
∂( L
∂r v i
δr v i =
i
N
∑ 0i
N
∑ !
€
=δ rϕ d
dt(r r i ×
r p i ) = 0
i
N
∑ !
€
r p i
€
rp i
€
d
dt
( L =
∂( L
∂t+
∂( L
∂r r ii
∑ r r +i
∂( L
∂r v ii
∑ r v i
Isotropie der Zeit:
€
t +δt
€
=>d
dt
r v i (
∂( L
∂r v i
)i
∑ −( L = 0
=> Energieerhaltung
€
Weil (r a ×
r b )
r c =
r a (
r b ×
r c ) = (
r b ×
r c )
r a = −(
r c ×
r b )
r a
€
=d
dt
r v i
∂( L
∂r v ii
∑
€
= r
v id
dt(∂
( L
∂r v i
)i
∑ +(∂
( L
∂r v i
)r v i
€
=>Ekin + Epot = Eges = const
€
∂( L
∂t= 0!
€
=> r
v ir p i
i
∑ −( L =
r v i
r p i
i
∑ −mi
r v i
2
2i
∑ + Epot = const