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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Zusammenfassung der Vorlesung’Physik für Ingenieure (Maschinenbau)’
WS 2013/2014
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 1 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Klausurinformationen – Hauptklausur
Datum: 24.03.2014Zeit: 14:00 s.t. - 16:00 Uhr
Räume: A – E→ HZO-30F – I → HZO-40J – N→ HNBO – Z→ HNA
Material: TaschenrechnerStifte (nicht rot, kein Bleistift)Lineal/GeodreieckStudentenausweis
Bonuspunkte:in der Übung für die Klausur
ab 50 % → 1 %...
...ab 90 % → 9 %ab 95 % → 10 %
– keine zusätzliche Anmeldung nötig
– keine Formelsammlung erlaubt
– Zum Bestehen der Klausur reichen 50 % (inkl. Bonus)
Nachschreibeklausur: 22.09.2014Pfingstprüfung: 13.06.2014
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 2 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Übersicht
� Einheiten� Mechanik
� Kinematik� Kreisbewegung� Newton’sche Axiome� Reibung� Gravitation� Arbeit� Leistung/Energie� Impuls/Stöße� Schwingungen
� starre Körper� Drehmoment� Rotationsenergie� Drehimpuls� Zentripetalkraft
� Elastizität
� Hydrostatik/Hydrodynamik� Druck� Schweredruck� Kompressibilität� Auftrieb� Kontinuitätsgleichung� Bernoulli-Gleichung� Viskosität/Hagen-Poiseuille
� Wärmelehre� Temperatur� Zustandsgleichung� thermische Ausdehnung� Wärmekapazität� latente Wärme
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 3 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Einheiten
Jede zusammengesetzte Einheit lässt sich in die 7 SI-Basisgrößen zerlegen.
Größe Einheit Abkürzung
Masse Kilogramm kgLänge Meter m
Zeit Sekunde sStoffmenge Mol molTemperatur Kelvin KStromstärke Ampere ALichtstärke Candela cd
Beispiel: Kraft [F] = [m a] = Newton = N = kg ms2
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 4 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Mechanik
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 5 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Kinematik
– Bewegung einer Punktmasse (= die Masse eines Körper ist in einem Punkt konzentriertund hat keine Ausdehnung)
gleichförmige Bewegung– v(t) = konstant [v] = m/ s
– mittlere Geschwindigkeitv(t) = (x2 − x1)/(t2 − t1) = ∆x/∆t
– momentane Geschwindigkeitv(t) = dx/dt
gleichförmig beschleunigte Bewegung– a(t) = konstant 6= 0 [a] = m/ s2
– v(t) = a · t+ v0
– x(t) = 1/2 · a · t2 + v0 · t+ x0
Beispiel – Freier Fall:
Schiefer Wurf→ x- und y-Komponenten können unabhängig voneinander behandelt werden
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 6 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Winkel
ebener Winkel:
– Gradmaß→ Vollkreis 360°– Bogenmaß→ Vollkreis 2π
Einheit [ϕ] = rad
ϕ = KreisbogenlängeRadius = ∆s
r
Umrechnung:
Vollkreis = 360° = 2π rr = 2π
→ Dreisatz: ϕ° = 360°2π ϕrad
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 7 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Kreisbewegung
s = r ϕ∆s = r∆ϕ
Tangentialgeschwindigkeit
vT =dsdt
= rdϕdt︸︷︷︸ω
→ vT = r · ω [ω] = s−1 = rad/ s
Tangential- (aT) und Winkelbeschleunigung (ω): → aT = r · ω [ω] = s−2 = rad/ s2
Umlaufzeit T: Zeit für eine Umdrehungϕ = 2π
ω · T = 2π T = 2πω
Frequenz f: Anzahl der Umdrehungen pro Zeitf = 1/T [f] = s−1 = Hz
→ ω = 2π f
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 8 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Ursachen der Bewegung / Newton’sche Axiome
– Durch eine Kraft wird eine Änderung der Geschwindigkeit erreicht– Die Kraft ist eine vektorielle Größe
1. Newton’sche Axiom:
’Ohne äußere Einflüsse verbleibt jeder beliebige Körper inRuhe oder in gleichförmiger Bewegung’
~a =d~vdt
= 0
für v = 0 m/s oder v = const.
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 9 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Ursachen der Bewegung / Newton’sche Axiome
2. Newton’sche Axiom:
’Durch einwirkende Kräfte erfährt ein Körper eineBeschleunigung, die der Kraft proportional ist und deren
Richtung besitzt’
~F = m~a [F] = [m a] = Newton = N =kg m
s2
3. Newton’sche Axiom:
’Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft aus (actio),so übt auch B auf A eine entgegengesetzt gleichgroße
Gegenkraft (reactio) aus.’
~FA→B = −~FA←B
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 10 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Reibung
Reibungsarten– Haftreibung (µH)– Gleitreibung (µG)– Rollreibung (µR)
Die Reibung hängt von der Beschaffenheit der Ober-fläche ab (µ), jedoch nicht von der Größe derAuflagefläche.
Reibungszahl: µ = ReibungskraftNormalkraft = |~FR|
|~FN|
|~FR| = µ |~FN| µH > µG
Schiefe Ebene:
|~FH| = |~FG| sinα|~FN| = |~FG| cosα
|~FH||~FG|
= sinαcosα = tanα = µH
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 11 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Gravitation
Massen ziehen sich gegenseitig an, gemäß:
|~F| = G m1·m2r2
GravitationskonstanteG = 6,67 · 10−11 m3 kg−1 s−2
Beispiel – Die Erde wiegen:(rErde = 6370 km)
F = m g = Gm ·Mr2
→ M =g r2
G
M ≈ 6 · 1024 kg
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 12 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Arbeit
Die Arbeit erhält man aus dem Produkt von Kraft und Weg
~W = ~F ·~s [W] = N · m = Joule = J
betragsmäßig: |~W| = |~F| · |~s| · cos �(~s,~F)
Hubarbeit: W = F · h = m g h
Beschleunigungsarbeit: W = 12 m v
2
In der Mechanik benutzen man diese Größen meist in Form der potentiellen (Epot = mgh) und
der kinetischen Energie(Ekin = 1
2mv2)
.
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 13 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Leistung, Energie
Leistung = Energie pro Zeit
P = ∆W∆t [P] = Watt = W = J
s = kg m2
s3
Energie kann als Vorrat an Arbeitsvermögen gesehen werden. [W]=[E]– leistet man am System Arbeit, so fügt man Energie hinzu– leistet das System Arbeit, so wird Energie abgeführt– die Gesamtenergie im abgeschlossenen System bleibt jedoch konstant.
Energieerhaltung: Ekin + Epot = Eges = konstant
Beispiel – Freier Fall:
(Ekin + Epot)h0 = (Ekin + Epot)h=0
m g h0 = 1/2m v2
→ vmax =√
2 g h0
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 14 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Impuls / Stöße
Impuls = Masse mal Geschwindigkeit
Der Impuls verknüpft die Masse mit derGeschwindigkeit
~p = m~v [p] = kg ms
Kraftstoß:
p =t2∫t1
F dt
~F = d~pdt = m d~v
dt = m ~a
Stoßvorgänge:a) elastischer Stoß
– es gilt Impulserhaltung– es gilt Energieerhaltung– nach dem Stoß gehen beide Stoßpartner ihren eigenen Weg
b) inelastischer Stoß– es gilt Impulserhaltung– die Energie in Bezug auf die Translation muss nicht erhalten bleiben– nach dem Stoß bewegen sich die Stoßpartner gemeinsam weiter
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 15 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Beschreibung von Schwingungen
Eine harmonische Schwingung lässtsich darstellen durch
x(t) = x0 · sin(ωt+ ϕ0)
ungedämpfte Schwingungsgleichung
x(t) + ω2x(t) = 0
Lösung für
– Federpendel: ω =√
Dm
– Fadenpendel: ω =√gl
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 16 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Ausgedehnte starre Körper
homogene Körper– die Masse ist gleichmäßig über das Volumen verteilt
Dichte: ρ = mV [ρ] = kg m−3
inhomogene Körper– die Masse ist ungleichmäßig über das Volumen verteilt– Zerteilung des Körpers in Volumenelemente mit homogener Dichte, die mit der
’Punktmechanik’ beschrieben werden.
ρi =∆mi∆Vi
mGesamt =∑i
ρi∆Vi
Die Summierung aller Effekte auf die einzelnen Massenteile, ergibt den Effekt fürden gesamten starren Körper.
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 17 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Kinematik starrer Körper / Drehmoment
Ein starrer Körper kann mehrere Bewegungsformen – auch gleichzeitig – ausführen– Translation des Schwerpunktes– Rotation um eine oder mehrere Achsen
Drehmoment = Hebelarm⊥ mal Kraft
|~M| = |~r× ~F| = |~r| · |~F| · sin �(~r,~F) [M] = N · m = Joule = J
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 18 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Gleichgewicht
Ein Gleichgewicht ist erreicht, wenn alle angreifende Drehmomente sich zu Nullsummieren
∑i~Mi = 0
siehe Beispiele aus der Vorlesung:– Balken mit Gewichten– Wippschaukel– ...
zweiarmiger Hebel– Drehachse zwischen den Angriffspunkten der Kräfte
einarmiger Hebel– Drehachse außerhalb der Angriffspunkte der Kräfte
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 19 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Rotationsenergie
Die kinetische Energie eines starren Körpers setzt sich zusammen aus seinerTranslationsenergie des Schwerpunktes und aus seiner Rotationsenergie um eineoder mehrere Achsen.
Ekin = Etrans + Erot = 12m v
2 + 12 Θω2
Das Trägheitsmoment Θ =∫r2dm hängt sowohl von der Geometrie des Körpers
ab, als auch von der Lage seiner Drehachse. [Θ] = kg m2
Zylindermantel um eine Hauptachse– Θ = m r2
Vollzylinder um eine Hauptachse– Θ = 1
2m r2
Der Steiner’sche Satz findet Anwendung wenn dieDrehachse parallel verschoben wurde
ΘA2 = ΘA1 +md2
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 20 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Drehimpuls
Drehimpuls: ~j =~r× ~p = Θ~ω [j] = kg m2
s
In einem abgeschlossenen System ist der Drehimpuls erhalten∑~j = const., in
Analogie zur Impulserhaltung der Translation.
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 21 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Zentripetalkraft
Bei einer gleichförmigen rotierenden Bewegung (|~v| = const.) führt die Richtungsänderungdes Geschwindigkeitsvektors zu einer Beschleunigung des Körpers zum Mittelpunkt hin.
Radialbeschleunigung: aR = v2r = ω2 r
Dies ist verbunden mit einer Kraft, die ebenfalls zum Zentrumhin wirkt und den Körper somit auf der Kreisbahn hält.
Zentripetalkraft: FR = m aR = m v2
r = m ω2 r
Für den Körper – im rotierenden System – existiert eine der Zentripetalkraft gleich großeentgegengesetzte Kraft, die Zentrifugalkraft FZ.
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 22 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Zusammenstellung
Translation Rotation VerknüpfungWeg:~r Winkel: ϕ s = rϕGeschwindigkeit: ~v W.-Geschw.: ω = ϕ v = rωBeschleunigung: ~a W.-Beschl.: ω = ϕ a = rωKraft: ~F = m~a Drehmoment: ~M = Θ~ω ~M =~r× ~FImpuls: ~p = m~v Drehimpuls:~j = Θ~ω ~j =~r× ~pEnergie: Ekin = 1
2mv2 Rot.-Energie: Erot = 1
2 Θω2
~F = d~pdt
~M = d~jdt
Wir sehen, wir können die Rotation eines starren Körpers formal genausobehandeln, wie die Translation einer Punktmasse. Aber es muss das
Trägheitsmoment Θ bezüglich der Drehachse bekannt sein.
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 23 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Quiz
Welche Aussage ist zu dem Zeitpunkt richtig, bei dem diemaximale Auslenkung aus derRuhelage einer Schwingung erreicht wird?
� Die Beschleunigung ist null.
� Die Geschwindigkeit hat ein Maximum.
� Die potentielle Energie hat ein Maximum.
Ein Mensch der Massem = 100 kg besteigt einen Hügel der Höhe h = 500 m. Die dabeiverrichtete HubarbeitW ist (≈)
� 5000 N
� 500 N/ m
� 500 kJ
� 50000 J
Ein Sprinter benötigt für die 100- m-Strecke 10 s. Dann beträgt seine mittlereGeschwindigkeit.
� 1 km/ s
� 1 m/ min
� 1/10 m/ s
� 36 km/ h
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 24 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Elastizität
Eine Zug– bzw. Schubspannung σ an einem Festkörper bewirkt eineLängenänderung
Spannung σ = FA [σ] = Pascal = Pa
rel. Längenänderung ε = ∆ll
– elastischer Bereich (I)
Hook’sches Gesetz: σ = E εProportionalität ist der
Elastizitätsmodul E
– plastischer Bereich (II)– Einschnürung und Bruch (III)
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 25 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Elastizität
Wenn ein Körper in einer Dimension gedehnt oder gestaucht wird, so führt dies auchzu Änderungen in den anderen Dimensionen.
Querkontraktionszahl: µ = −∆d/d∆l/l
Scherung
Scherspannung: τ = Fs/AScherung: γ = ∆x/l = tanα
Schubmodul: G = τγ
= Fs/Atanα
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 26 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Hydrostatik und Hydrodynamik
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 27 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
ideale/reale Flüssigkeit
Eine ideale Flüssigkeit ...– ist inkompressibel– hat keine innere Reibung (Viskosität)– ist homogen (sie hat überall die gleiche Dichte)– fließt immer laminar
Eine reale Flüssigkeit muss diese Eigenschaften nicht haben; kann turbulentfließen.
Laminar: Turbulent:
Strömungslinien können bei turbulenter Strömung abreißen und Wirbel bilden
Abschätzung der Strömungsart durch die Reynoldszahl Re = ρ r vη
laminar . 1000 . turbulent
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 28 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Druck / Kompressibilität
Der hydrostatische Druck verteilt sich gleichmäßig und ist in der gesamtenFlüssigkeit gleich groß.
Druck: p = KraftFläche = F
A [p] = Pascal = Pa
Eine allseitige Druckausübung auf einen Körper für zu einer Kompressiondesselben.
Kompressionsmodul: K = − ∆p∆V/V [K] = Pa
Anwendung: z.B. hydraulischer Lift→ F1A1
= F2A2
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 29 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
kommunizierende Rohre / Schweredruck
Gleich hoher Flüssigkeitsstand in offenen Rohren, unabhängig von der Form derGefäße.
Der Schweredruck in einer Flüssigkeit nimmtlinear mit der Tiefe zu.∗
Gesamtdruck: p = p0 + ρ g h
Hydrostatischer Druck + Schweredruck
* für eine Flüssigkeit mit konstanter Dichte ρ
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 30 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Auftrieb
Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit, undhängt im wesentlichen von dem Volumen ab, welches der Körper verdrängt.
Auftriebskraft: FA = ρflüssig g V = mflüssig g
Ob ein Körper schwimmt/steigt, schwebt oder sinkt hängt nun von derGewichtskraft des Körpers ab. Dies kann man reduzieren auf den Vergleich derbeiden Dichten zueinander.
F >FA G
F =FA G
F <FA G
F =FA G
r rK fl.< r r
K fl.£ r r
K fl.>r r
K fl.=
Schwimmt der Körper auf, so gilt FG = FA; somit verdrängt der Körper genau dasgleiche Gewicht an Flüssigkeit wie er selber wiegt!
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 31 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Grundgleichungen der Hydrodynamik
Der Volumenstrom ist die Menge (Volumen) an Flüssigkeit, die pro Zeit durch einebestimmte Fläche fließt.
Volumenstrom: V = ∆V∆t = A ∆x
∆t = A · υ [V] = m3
s
Aus der Massen- und Energieerhaltung folgen wichtige Beziehungen für die Dynamik eineridealen Flüssigkeit
MassenerhaltungKontinuitätsgleichung→ A υ = konstant
Energieerhaltung
Bernoulli-Gleichung→ p|statisch + 12ρυ
2|stau = pges = konstant
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 32 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Flüssigkeit mit Viskosität
Viskosität η beschreibt– innere Reibung von Flüssigkeiten und Gasen– Reibung von festen Körpern in Flüssigkeiten
[η] = Pa · s = Poise
Reibungskraft eines Objekts, welches durcheine Flüssigkeit gezogen wird: FR = η · A · dv
dx
Strömungsprofil in einem Rohr
Volumenstrom durch eine Rohr der Länge L und dem Radius R
Gesetzt von Hagen-Poiseuille V = π(p1−p2)8 η L · R4
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 33 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Quiz
Zwei gleich große Bechergläser sind bis zum Rand mit Wasser gefüllt,wobei in dem einen Glas ein Stück Holz schwimmt. Vergleichen Sie dasGewicht der gefüllten Gläser.
� Das ohne Holz ist schwerer.
� Beide sind gleich schwer.
� Das mit Holz ist schwerer.
Ein Taucher taucht in 9 m Wassertiefe unter einen Felsvorsprung, so dass nur noch 3 mWasser über ihm sind. Wie ändert sich der Schweredruck?
� Der Druck wird größer, denn über dem Taucher liegen jetztdie 3 m Wasser und der Felsen.
� Der Druck bleibt gleich.
� Der Druck wird kleiner, denn über dem Taucher liegenjetzt nur noch 3 m Wasser.
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 34 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Wärmelehre
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 35 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Temperatur
Die Temperatur ist eine makroskopische Eigenschaft eines Systems und ein Maß fürdie mittlere kinetische Energie der enthaltenen Teilchen.
Ekin = m2 v
2 = 32kBT kB Boltzmannkonstante
Gemessen wird die Temperatur über reproduzierbare physikalische Effekte(Gas–/Flüssigkeitsthermometer, Bimetalle, elektrischer Widerstand, ...)
Angabe der Temperatur:– Celsius Skala ( °C) 0 °C = Gefrierpunkt und 100 °C = Siedepunkt von Wasser
– Kelvin Skala ( K) absoluter Nullpunkt bei 0 K; es gilt TK = T °C + 273,15– ...
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 36 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Zustandsgleichung für ideale Gase
Modellvorstellung ideales Gas– Gasteilchen werden als Massepunkte behandelt– einatomig (Bsp. Edelgase)– Wechselwirkungen der Gasteilchen laufen über ideal elastische Stoßvorgänge
ab
Zustandsgleichung pV = NkBT = n R T
NkB = n NAkB = n R
1 mol = 1 · NA = 6,022 · 1023 Teilchen
N: TeilchenanzahlNA : AvogadrokonstanteR: allgemeine Gaskonstanten: Anzahl der Mole
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 37 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
thermische Ausdehnung
Erwärmt man einen Körper so dehnt er sich gleichmäßig in alle Richtungen aus, dabei ist dieGrößenzunahme proportional zur ursprünglichen Größe
relative Längenänderung: ∆LL = α ∆T
oder L′ = L(1 + α ∆T) α: linearer Ausdehnungskoeffizient
für das Volumen gilt:
relative Volumenänderung: ∆VV = β ∆T
oder V′ = V(1 + β ∆T) β: Volumenausdehnungskoeffizient
Einheit: [α] = [β] = K−1
Insbesondere gilt für einen isotropen Festkörper β = 3α
Flüssigkeiten und Gase besitzen aufgrund ihrer Formeigenschaften nur einenVolumenausdehnungskoeffizienten.
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 38 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Wärmekapazität / latente Wärme
Das Zu- oder Abführen einer bestimmte Wärmemenge ∆Q resultiert in einer Änderung derTemperatur des Stoffes. (Die Einheit der Wärmemenge ist die der Energie [∆Q] = Joule)
∆Q = m cp ∆T Einheit: [cp] = J · kg−1 · K−1
Bei einem Phasenübergang – z.B. fest zu flüssig – geht die zugeführte (abgeführte) Wärmenicht in die Erhöhung (Erniedrigung) der Temperatur über. Die Energie dient dazu die Kräftezwischen den Molekülen zu überwinden.
Phasenübergänge:
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 39 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Quiz
Die Temperaturdifferenz zweier Körper beträgt in der Celsiusskala 253 °C. In der Kelvinskalabeträgt diese Temperaturdifferenz
� -20 K
� 20 K
� 273 K
� 253 K
� 526 K
(Ruhr-Universität Bochum) 05. Februar 2014 40 / 40