€

rc =

r ′ c +

r u

°

€

S€

E

€

E

€

ru

€

ru

€

rc

€

rc

€

Licht

von einem

Stern

3.4 Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Galilei- Transformation:

€

rv =

r ′ v +

r u

€

z′

€

z

€

r′ v €

y

€

A

€

′ x = x +ut€

′ y

€

rv

Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Bezugssystemen Konstant, unabhängig von deren Relativ-geschwindigkeit zur Lichtquelle

E1 WS14/15

E1 WS14/15

Ergebnis: Gleichzeitige Detektion beider -g Quanten, obwohl sich deren Quelle mit

nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegt!

E1 WS14/15

Zum Problem der Gleichzeitigkeit bei endlicher Lichtgeschwindigkeit

E1 WS14/15

3.5 Lorentz-Transformation

€

y€

S

€

z

€

€

xO

Blitz in O = O‘ bei t = t‘ = 0

E1 WS14/15

3.5 Lorentz-Transformation

Blitz in O = O‘ bei t = t‘ = 0

€

y€

S

€

z

€

€

xO

€

y€

S

€

z

€

xO‘

‘

‘

‘

‘

€

rr t( ) =

r c ⋅ t

€

r′ r ′ t ( ) =r ′ c ⋅ ′ t

€

v = vx

A€

x 2 + y 2 + z2 = c 2 ⋅ t 2

€

′ x 2 + ′ y 2 + ′ z 2 = c 2 ⋅ ′ t 2

€

′ t = a t − bx( )€

′ y = y

€

′ z = z

Ergebnis vieler Experimente: c = c‘

€

′ x = k x − v ⋅ t( )Linearer Ansatz:

E1 WS14/15

€

=>k2 x2 − 2vxt + v2t 2( ) + y2 + z2

€

=c 2a2 t 2 − 2bxt + b2x 2( )

€

k 2 − b2a2c 2( )x 2 − 2 k 2v − ba2c 2

( )xt + y 2 + z2

€

= a2 − k 2v 2 c 2( )c

2t 2

€

k 2 − b2a2c 2 =1

k 2v − ba2c 2 = 0

a2 − k 2v 2 c 2 =1

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪⇒

€

a = k =1

1− v 2 c 2

€

b = v c 2

€

′ x =x − vt

1− v 2 c 2

€

y = ′ y

€

z = ′ z

€

′ t =t − vx c 2

1− v 2 c 2

Muss zu jedem Zeitpunkt identische sein mit => Koeffizientenvergleich

E1 WS14/15

€

mit γ = 1− v2 c2( )

−1 2

€

y = ′ y

€

′ y = y

€

z = ′ z

€

′ z = z

€

′ x = γ x − vt( )

€

x = γ ′ x + v ′ t ( )

€

′ t = γ t − vx c 2( )

€

t = γ ′ t + v ′ x c2( )

€

r′ u =d ′ x

d ′ t ,d ′ y

d ′ t ,d ′ z

d ′ t

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

€

r′ u x =d ′ x

d ′ t =

d ′ x

dt⋅

dt

d ′ t

€

=γ dx

dt− v

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟γ 1+

v ′ u xc 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Lorentz-Transformation

€

ru =

dx

dt,dy

dt,dz

dt

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Geschwindigkeit des Körpers A in S und S‘

Invariant für

€

s2 = ct( )2

− x2 = c ′ t ( )2

− ′ x 2

E1 WS14/15

€

′ u y =uy

γ 1−uxv

c 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

uy =′ u y

γ 1+v ′ u xc 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

′ u z =uz

γ 1−vux

c2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

€

uz =′ u z

γ 1+v ′ u xc 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

dito

€

ux =′ u x + v

1+′ u xv

c2

€

′ u x =ux − v

1−uxvc2

Lorentz-Transformation der Geschwindigkeitenfür v II x

E1 WS14/15

3.6 Spezielle Relativitätstheorie

Einsteins Postulate: (1905, Annalen der Physik)

Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt für alle physikalischen Gesetze

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in allen Inetrtialsystemen den gleichen Wert c, unabhängig von der Bewegung des Beobachters

PoincareLorentz

E1 WS14/15

€

t

€

t1

€

x

€

B

€

A

€

C

€

Δx ⋅Δx

Zum Problem der Gleichzeitigkeit

€

A1

€

C1

€

α1

€

tanα 1 =1 c

Ruhendes System

O

Wenn alle Inertialsysteme äquivalent sind müssen im bewegten System A‘ und C‘ den Blitz gleichzeitig sehen!

=> geneigte x‘, t‘ Achsen

Für jeden Beobachter ist die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an verschiedenen Raumpunkten abhängig vom verwendeten Bezugssystem

€

t

€

t1

€

A1′

€

x€

C1′

€

B

€

A

€

C

€

β′

€

t2

€

t′ = const

€

tanβ ′ =1 v

ABC ruhen in S‘, bewegen sich also in S!

O‘ bewege sich mit v=vx

S

€

t

€

tA

€

x€

E

€

xA

€

′ t

€

′ x

€

′ t A

€

′ x A

€

α

€

α

€

tanα = v

E1 WS14/15

€

t

€

x

€

A2

€

′ x

€

β

€

A1

€

x1

€

x2

€

t2

€

t1

Zur Transformation der Geschwindigkeiten

Punkt A bewege sich mit u bzgl O und u‘ bezgl. O‘

Der Beobachter in O misst

€

ux =x2 − x1

t2 − t1

€

′ u x =′ x 2 − ′ x 1′ t 2 − ′ t 1

≠ ux

Der Beobachter in O‘ misst

€

′ t

€

x1′

€

t2′

€

t1′

€

x2′

=> Lorentztransformation der Geschwindigkeiten

E1 WS14/15

€

ct

€

x

€

€

A

€

B

€

α

€

tanα = c /v

€

Weltlinie

€

45°€

Lichtblitz

€

ct

€

x

€

′ β

€

′ x

Minkowski-Diagramme(Raum-Zeit-Koordinaten)

(4er-Koordinaten)

€

Gleichzeitigkeit

€

α€

tanα = c /v

€

c ′ t (Weltline vonO' )

v=vx

€

tan ′ β = v /c weil für die x‘ Achse gilt t‘=0 => LT: t=vx/c2

€

′ β

€

′ γ

=> ‘ = - ‘ g a b = arctan (c/v) – arctan (v/c)

€

c ′ ′ t

€

′ ′ x

€

′ ′ β €

′ ′ β v=-vx

Weiters Intertialsystem S‘, das sich mit v=vx relativ zu S bewegt

E1 WS14/15

€

s2 = ct( )2

− x2 = c ′ t ( )2

− ′ x 2

Minkowski-Diagramme(Raum-Zeit-Koordinaten)

(4er-Koordinaten)

€

ct

€

x

€

€

A

€

B

€

α

€

tanα = c /v

€

Weltlinie

€

45°€

Lichtblitz

€

GleichzeitigkeitNicht nur die Lagen, auch die Skalen der Achsen sind in S und S‘ verschieden!

Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen gleich =>

s2 invariant bei der Transformation zwischen Intertialsystemen

OBdA wählen wir s2=-1

t=0 => OA = 1

aber auch t‘=0 => OB = 1

€

€

c ′ t

€

′ x

A

A‘ B‘

B

€

ct

€

x€

x2 − ct( )2

=1

O

=> Skalen verschieden!

http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/

€

P2

€

P1

€

t1Gleichzeitigkeit

€

c ′ t

€

′ x

€

x2′

€

x1′

€

ct

€

x

€

x1

€

x2

€

L

€

x1′ = γ x1 − vt1( )

€

x2′ = γ x2 − vt2( )

€

⇒ x2′ − x1

′ = γ x2 − x1( )

€

für t1 = t2

€

⇒ L′ = γ ⋅L

€

⇒ L < ′ L

€

weil γ >1

Zur Lorentz-Kontraktion der Längen

€

′ L = P1′P2

′ = x2′ − x1

′

€

L = P1P2 = x2 − x1

Längenmessung durch gleichzeitiges festlegen der beiden Koordinaten!

Lorentz-Transformation:

Die Länge eines bewegten Maßstabs erscheint dem ruhenden Beobachter verkürzt

€

L′

€

t1′

€

Weltlinien

€

P2′

€

=P1′

€

v ⋅ t

€

N

€

C€

B

€

AB + BC = 2 ⋅ L2 + vΔ ′ t

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2 ⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

1 2

€

=c ⋅Δ ′ t

€

⇒ Δ ′ t =2L

c 2 − v 2( )

1 2

€

=>Δ ′ t =Δt

1− v2 c2( )

1 2

€

=γ⋅Δt

Einsteins Gedankenexperiment zur Lichtuhr

Zeitnormal in S: ∆to=2L/c

Uhr wird jetzt mit v bewegt

Für den Beobachter in S durchläuft das Licht den Weg ABC

mit AN = NC = v ∆t/2

€

Δt = 2L caber im ruhenden System:

€

L

€

A

€

Spiegel

€

Detektor€

Blitz −

lampe

Bewegte Uhren laufen langsamer!

E1 WS14/15

€

=> N (h2 ) = a ⋅N(h1) ⋅e−Δt ′ τ

€

mit Δt = (h1 − h2) v€

μ− τ⏐ → ⏐ e− + ν μ + ν e

Zum Myon-Zerfall

Lebensdauer ruhender Myonen t ≈ 5 10-6 s

Während der Flugzeit dt = dh/v zerfällt bei einer mittleren Lebensdauer ‘ t der Bruchteil

dN/N = -dt/ ‘ =t > N(t) = N0 e-t/ ‘ t

a<1 berücksichtigt den Verlust durch Streuung an Luftmolekülen

Ausgiebige Messungen ergaben ‘ t ≈ 45 10-6s

mit ‘ t = gt => g = 9 => v = 0.994 c

€

h2

€

D 2

€

D1

€

h1

€

μ−

€

Δh = h1 − h2

Berg

E1 WS14/15

€

ct

€

x

€

t2 = T

€

x = xu − v t − T 2( )

€

P2

€

Weltlinie

von A

€

Weltlinie

von B

€

t1 = T 2

€

xu€

P1

€

x = vt

€

=c ⋅T

€

ds0

P1

∫ = c 2 − v 2 dt0

T 2

∫

€

=c ⋅T2γ

€

=c ′ T

2

€

P1P 2 : dx = −v ⋅dt

€

dsP1

P2

∫ = c 2 − v 2 dtT 2

T

∫

€

=c ⋅T2γ

€

=c ′ T

2

€

′ T = T γ

€

< T

Zwillingsparadoxon

€

ds2 = c2dt 2 − dx2

€

=c 2d ′ t 2 − d ′ x 2Invariantes Wegelement:

€

ds0

P2

∫ = c dt0

T

∫Reisezeit B:

€

0P1 : dx = v ⋅dtReisezeit A:

E1 WS14/15

€

ct

€

x

€

C

€

Vergangenheit

€

x = ct

€

−ct€

−x

€

x = −ct

€

Zukunft

€

anderswo

€

anderswo

€

A

€

B

E=mc2 folgt aus der allgemeinen Relativitätstheorie => Später

Raumzeitereignise und Kausalität

Lichtgeschwindigkeit obere Grenze für Signalübertragung!

=> Wirkung nur innerhalb des Lichtkegels! A kann mit B aber nicht mit C kausal verknüpft sein

Im 4-dimensionalen Minkowsky-Raum stellt der Lichtkegel eine 3d-Hyperfläche dar

E1 WS14/15

€

ct

€

Weltlinie

von A

€

x

€

t t2 = Δt2

€

von B ausgesandte

Signale

€

x1, t1( )

€

x2, t2( )

€

t t1 = Δt1 €

2. Lichtpuls

€

1. Lichtpuls

€

x = vt

€

⇒ c ⋅ t =c

vx

€

x1 = c t1 − t0( )

€

=x0 + v ⋅ t1

€

x2 = c t2 − t0 − τ( )

€

=x0 + vt2

Zum Dopplereffekt

E1 WS14/15

€

t2 − t1 =c ⋅τc − v

€

x2 − x1 =v ⋅c ⋅τc − v

€

′ τ =t2′ − t1′

€

=γ⋅ t2 − t1( ) −v

c 2x2 − x1( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

=γ⋅1+ β( ) ⋅τ mit β = v c

€

γ= 1+ β 2( )

−1 2

€

′ τ =τ 1+ β

1− β

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1 2

€

⇒ ′ f =1′ τ = f0

1− β

1+ β

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1 2

€

ct

€

x

€

C

€

Vergangenheit

€

x = ct

€

−ct€

−x

€

x = −ct

€

Zukunft

€

anderswo

€

anderswo

€

A

€

B

E1 WS14/15

€

ct

€

x

€

′ β

€

′ x

€

α€

tanα = c /v

€

c ′ t

v=vx

€

tan ′ β = v /c weil für die x‘ Achse gilt t‘=0 => LT: t=vx/c2

€

′ β

€

′ γ

=> ‘ = - ‘ g a b = arctan (c/v) – arctan (v/c)

€

′ ′ x

€

′ L = P1′P2

′ = x2′ − x1

′

€

L = P1P2 = x2 − x1

E1 WS14/15

€

t1

€

Δt

€

Lichtsignale

€

ct

€

x

€

′ x

€

c ′ t

€

A€

t2

€

Δt€

B€

x = c t − Δt( )

′ x = c ′ t − Δ ′ t ( )

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

€

x = ct

′ x = c ′ t

⎧ ⎨ ⎩

€

Weltlinie

für x0

€

x0

€

t1′ = γ t1 − v ⋅x0 c2

( )

€

t2′ = γ t2 − v ⋅x0 c2

( )

€

⇒ Δt′ = t2′ − t1′

€

=γ⋅Δt

Zur Zeitdilatation

Uhr ruht im System S in O und schickt im Zeitabstand ∆t zwei Lichtpulse

€

t2′

€

t1′

€

B′

€

Weltlinie

für ′ x 0

€

= ′ A

Lorentz-Transformation liefert die Zeitpunkte t‘1 und t‘2, zu denen ein bewegter Beobachter in x‘0 die Lichtpulse misst

Bewegte Uhren laufen langsamer

E1 WS14/15