TECHNISCHE MECHANIK 7(1986)Heft3

Manuskripteingang: 9. 12. 1985

Zur Genauigkeit des Ubertragungsmatrizenverfahrens

bei der Schalenberedmung

Gunter Georgi

0. Einleitung

Die gegenwärtig zur Verfügung stehenden Rechnerpro-

gramme zur Spannungs- und Verformungsermittlung

von Flächentragwerken basieren entweder auf der Me-

thode der finiten Elemente oder benutzen das Über-

tragungsmatrizenverfahren.

Der Diskussion der Genauigkeit der mit dem Übertra—

gungsmatrizenverfahren gewonnenen Ergebnisse ist die-

ser Beitrag gewidmet.

Die meisten Schalenprobleme lassen sich bei der ana—

lytischen Behandlung durch Differentialgleichungssy-

steme beschreiben. Diese kanonischen Differential-

gleichungssysteme haben die Form:

?’=§1 WE (1)

oder bei zeitabhängigen Problemen:

_'‚_ ' —>

Y I B2371)? (2)

Dabei bedeuten

g) — Unbekanntenvektor

ß — Sy-tc-mmatrix

B — Lastvektor

d( ) .

( : (i $.— m (1) s — Ortskoordinate

t EM in (2)

L ös

< >‘ = Mat t — Zeit

Gleichungssysteme der Formen (1) und (2) liegen u. a.

folgenden Programmen zugrunde: V

NISCHA: Berechnung von Rotationsschalen bei

nichtlinearem Deformationsverhalten

_ ([1]):

ROSCIIA: Statische und dynamische Berechnung be-

liebig belasteter Rotationsschalen nach

verschiedenen linearen Theorien

EPSCHA: Berechnung physikalisch nichtlinearer be-

liebiger Schalen ([3]);

BESCHA: Berechnung harmonischer Schwingungen

beliebiger Schalen ([4]);

SUBSAI.: Berechnung von dickwandigen drehsym-

metrisch belasteten Rotationsschalen mit

elastisch-viskoplastisch-plastischem Mate-

rialverhalten ([5]).

Auf das Ühertragungsmatrizenverfahren, dessen nume-

rische Stabilisierung durch Landgraf [6] und Herrlich [7]

nach der Theorie von Zurmühl [8] erfolgte, soll hier

nicht eingegangen werden. Von Interesse ist vielmehr

die optimale Schrittweite bei der Ortsintegration.

72

l. Berechnungsvorschrift für die Schrittweite bei

der Ortsintegration

Die Schrittweite darf nicht zu klein sein, da Zentralein-

heits- und Transferzeiten sowie der Speicherplatzbedarf

auf der EDVA näherungsweise linear von der Anzahl der

Abschnitte K, in die der Integrationsbereich eingeteilt

wird, abhängen. In [2] sind dazu konkrete Zahlenwerte

gegeben.

Andererseits muß die geometrische Diskretisierung aber

so fein sein, daß eine dem praktischen Problem ange-

paiäte Genauigkeit erzielt wird. Erforderlich ist also

eine Berechnungsvorschrift für die Abschnittslängen

Ask (k = 1, . . ., K), die beiden Forderungen gerecht

wird.

Da dazu in den Anwendungsbeschreibungen zu den

Programmsystemen nach [l] bis [3] und [4] gar keine

oder unbefriedigende Angaben enthalten sind, wurde

auf die Fehlerabschätzung von Übertragungsmatrizen,

die nach den Formeln von Runge-Kutta aufgestth

wurden, zurückgegriffen. Nach Zurmühl [8] berechnet

sich die zulässige Länge des Abschnittes k zu:

K 1)

Ask<Askzu1= Ä- (3)

Die Größe Ä steht für den größten Betrag aller Eigen-

werte der Systemmatrix B:

Ä2max|Ä1(B)l. 1:1,...,L (4)

L = Anzahl der Komponenten von?

K ist ein die Genauigkeit der Ergebnisse beeinflussender

Parameter.

Daraus werden zwei Aufgaben ersichtlich:

l. Festlegung des genauigkeitsbestimmenden Parame-

ters K M

2. Ermittlung des betragsmäßig größten Eigenwertes Ä.

2. Festlegung des genauigkeitsbestimmenden Pa-

rameters K

Zurmühl gibt in [8] problemunabhängig K = 0,1 . . 0,2

an. Herrlich [7] läßt für die elastisch-plastische Berech-

nung von Rotationsschalen K = 0,5 zu. Hennig [9]

sieht in K = l die obere Schranke. Schließlich geben

Bergander/Resche [10] K 2 1,5 . . . 1,7 als ausreichend

für Sehalenberechnungen an. Davon ausgehend, wurden

mit SUBSAL zahlreiche Beispielrechnungen durchge-

führt, die folgendes Ergebnis brachten:

-) Der Index k wird im weiteren Verlauf dieses Abschnittes

und im Abschnitt 3.1. der Übersichtlichkeit wegen weg-

gelassen.

Für K < 0,5 tritt im Rahmen der Ausgabegenauigkeit

keine sichtbare Verbesserung der Ergebnisse auf. Die

mit K —‘ 0,5 ermittelten Werte werden demzufolge als

die ‚.exakten” angesehen Unter Zugrundelegung von

K = 1 ergaben sich die größten Abweichungen zu 1,5 %.

Bei Erhöhung von K auf 1,5 waren Fehler von 5,5 %

zu verzeichnen. Geht man davon aus, daß bei prakti-

schen Problemen Geometrie, Belastung und Material-

kenngrößen von vornherein mehr oder weniger fehlerA

behaftet sind, dann erscheint die Wahl von K = 1,5 für

Anwendungsfälle durchaus sinnvoll. Daher wird im

Programm SUBSAL für den Fall, daß kein anderer Wert

gelesen wird, K = 1,5 gesetzt. Zur Verdeutlichung der

schnellen Zunahme des Fehlers bei einer gröberen Un-

terteilung des Integrationsbereiches wurde die Rech-

nung noch mit K = 1,8 geführt. Hier zeigen sich Fehler

von mehr als 10 %, d. h. eine derartige Unterteilung

liefert unbrauchbare Ergebnisse.

3. Ermittlung des betragsmäßig größten Eigen-

wertes Ä

3.]. Analytische Ermittlung

Für eine drehsymmetrisch belastete Rotationsschale

lassen sich für elastisches Materialverhalten7 kleine Ver-

formungen und unter Voraussetzung der bei dünnen

Schalen getroffenen Vereinfachungen („vereinfachte

Theorie") die Eigenwerte exakt ermitteln.

Die Koordinate s repräsentiert in diesem Fall die Bogen-

koordinate in Meridianriehtung, As steht für die Länge

eines Schalenabschnittes. Die aus der Systemmatrix B

(s. [11] bzw. erhaltene Eigenwertgleichung lautet:

{am 4/2 mm? ~[2(l—V2)cos2up+172(1+V)sin2tp]O

mit

V — Querkontraktionszahl

h — Dicke

r — Breitenkreisradius des Schalenabschnittes

«p V Neigung'der Meridian- (Mittelwerte)

tangenten

Sie hat die Lösungen:

MI, 2 O

1 6 . ..Ä1‚...‚Ä4 i i » \/co,~230+ :(lfllfilnchi'lsmcp

oI'

fl

2

o _ 2 L _ 39 2 .- 2\/1„(1 V ) h2 25 (1 +11) sin rp. (6)

Da die Wurzel im Radikanden der Gleichung (6) für alle

möglichen Geometrien positiv ist, lautet der betrags-

mäßig größte Eigenwert schließlich:

Ä —» rill cos4cp+ 12(1+V)sin2gp[%cos2xp+(l w11) ä: ]: (7)

bzw. für v 2 U3:

2

h; 4 cos4cp+ 10,92sin2¢(0,2857cos2w ). (8)

Für go " 0 (Platte) erhält man:

Ä:p Index p für „Platte” (9)

lr

Die zulässigen Meridianabschnittsléingen sind damit nur

dem Radius proportional.

Analog folgt für «p = (Kreiszylinderschale):

02 lF2 _„2 605286441 _V2)2 COS4¢+ _V2) Äz _ 12 AV? lndex z für .‚Kreiszylin-

2 — /——- derschale”

(1+V)sin2<pcoszsp+ 120—122) fizsnfigp }>\2 =0 (5) ‘h (m)

T 1,0

Af’zuk

3E ' r‘

0,5

o a w

06 ® E =10‘ \ Q) a =100

K ® a -1000

0.“ \ N

0,2 \

CD

@\~

0 15 30 L5 so 90"

v Bild l

Abhängigkeit der zulässigen AbsA-Imiltslzinuen

von der Mn-ridiannvigung

73

ASzul

‚e .

T12

rm (D

0‚6

(D w= 0'

\ ® w‘ 5°

o,o\ X ® v-10'

\ ® qIZO.

® v’90’

bzw. für V = 0,3:

s L82.«Th .

Unter Verwendung von Gleichung (8) wurde im Bild l

die Abhängigkeit

Aszul As

Kl‘ Kr

Äz (11)

zul

(cp;% = konst.)

für einige ausgewählte Verhältnisse von i dargestellt.

Bild 2 enthält die Graphen der Funktion

As Aszul = zulcp: konst.;h£)

kr Kr

für die Winkel ,0 = 0°, 5°, 10°, 20°, 90°.

Beide Bilder zeigen recht anschaulich die starke Ände-

rung der zulässigen Abschnittslängen im Bereich kleiner

Winkel w. Diese Tendenz wird durch große Werte des

Verhältnisses L verstärkt. Bei einem Verhältnis von

i = 100 muß z. B. schon bei cp z 15° mit den Ab—

schnittslängen des Zylinders gearbeitet werden.

Oli- \

am

®

§\E\

0,2 \\\

\s

O o- 10 100 1000

1;; —>

Bild 2

Abhängigkeit der zulässigen Abschnittslängen vom Verhalt-

ma3.2. Numerische Ermittlung

Das Programm SUBSAL enthält ein Segment, das die

numerische Ermittlung der zulässigen Abschnittslän'

gen gestattet. Dazu können die Eigenwerte für die Ab-

schnittsmitten bei einer beliebigen Belastung (damit

auch bei viskoplastischem und plastischem Material-

verhalten und größeren Verformungen) bestimmt

74

werden. Der Eigenwertermittlung liegt ein modifi-

ziertes Jacobi—Verfahren zugrunde. Dieses Verfahren

wurde benutzt, weil hierfiir ein anwendungsfähiges

und effektives Unterprogramm bereits zur Verfügung

stand. im Ausgabeprotokoll erhält man die Abschnitts-

nummer k, die gewählte Schrittweite Ask, die zuläs-

sige Schrittweite Askzul = {—k und das Verhältnis

As

k = 63k. Außerdem werden noch der Mittelwert

Askzul l

ä a s

ö _ k=1 k

smit — K

und der Maximalwert

ösmax = max(ösk)

ausgegeben.

Ist ösmit > l oder ösmax > 1,5, dann wird die Rech-

nung abgebrochen, ist dagegen ösmit < 0,5, erfolgt die

Mitteilung, daß die Rechnung uneffektiv ist.

4. Schlußfolgerungen

Mit Hilfe des Programmes SUBSAL wurde über die

numerische Ermittlung der Eigenwerte die Antwort

auf eine Reihe praktisch interessierender Fragen gege-

ben:

— Die Richtigkeit der analytisch ermittelten Eigenwerte

konnte bestätigt werden. Die Formeln (7) bzw. (8)

sind damit geeignet, die Unterteilung in Meridian-

richtung optimal zu gestalten.

— Die Berücksichtigung des Trapezeffektes, der Quer-

kraftschubverzerrungen und anderer Korrekturglieder

(„genauere Theorie”) bringt bei elastischer Bean-

spruchung eine vernachlässigbar kleine Änderung der

zulässigen Abschnittslängen.

— Bei Belastungserhöhung (Temperatur bleibt konstant)

ändern sich die Askzul unwesentlich, solange der

Werkstoff elastisch bleibt. Bei größeren Verformun-

gen ist die Veränderung von r, h und «p zu beachten.

— Kommt es in einzelnen Bereichen der Meridianab-

schnitte zum Fließen des Materials, dann nehmen

die dazugehörigen zulässigen Meridianabschnittslän- M

gen stark zu. Bis zum Erreichen der Traglast nehmen

die Werte wieder ab, ohne jedoch die ursprüngliche

Größe wieder zu erreichen. Diese Effekte sind bei der

vereinfachten Theorie viel deutlicher ausgeprägt als

bei der genaueren.

— Viskoplastisches Materialverhalten beeinflußt die. zu-

lässigen Abschnittslängen nicht direkt, da die Glieder,

die die viskoplastischen Anteile enthalten, im Last—

vektor des Gleichungssystems stehen. Zu beachten

sind jedoch die Temperaturabhängigkeit der Material-

kenngrößen und die möglicherweise größeren Ver-

formungen.

— Die beiden letzten Aussagen erlauben den Schluß,

daß die unter Voraussetzung elastischen Material-

verhaltens gewonnene Unterteilung auch bei plasti-

schem und viskoplastischem Materialverhalten an-

wendbar ist.

— Setzt man damit die Brauchbarkeit der Anfangsun-

terteilung auch für höhere Belastungen voraus, dann

bietet sich die Möglichkeit, vor dem Start der eigent-

lichen numerischen Rechnung die Unterteilung auto-

matisch vornehmen zu lassen. Diese Maßnahme würde

zu einer Verminderung des Aufwandes bei der Daten-

aufbereitung beim Programmnutzer fiihren. Neu zu

erstellende Programme sollten von dieser Möglichkeit

Gebrauch machen.

Zur Illustration einiger dieser Schlußfolgerungen soll fol-

gendes Beispiel dienen: Die in Bild 3 dargestellte Kreis-

zylinderschale aus elastisch-idealplastischem Material

wird durch eine Ringlast in radialer Richtung he bean-

sprucht. Die Belastung wird vom Wert Null an über die

elastische Grenzlast hecr hinaus bis zur Traglast heTr

gesteigert. Für diesen Belastungsverlauf sind in Bild 4-

die zulässigen Abschnittslängen fiir den letzten Meri-

dianabschnitt (am freien Rand) sowohl nach der ver-

einfachten als auch nach der genaueren Theorie auf-

getragen.

r‘

// L4 _ h

1\ ‘ Elastiutotsmodul E=2 105mm

\ 7.0 Querkontrokflonszohl v-Op

Fließgrenze (SF-2 102nm

o

9

A r \ 4

l l

he SO

Bild 3

Geometrie und Belastung der Kreiszylinderschale

LITERATUR

[l] Röhle, H.; Ulbricht, V.: Berechnung von Rotations-

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

schalen bei nichtlinearem Deformationsverhalten. Diss.

TU Dresden 1976.

Hellmann, V.: Die statische und dynamische Berech-

nung beliebig belasteter Rotationsschalen nach verschie-

denen linearen Theorien. Diss. TU Dresden 1978.

Weber, D.: Berechnung physikalisch nichtlinearer belie-

biger Schalen. Diss. B TU Dresden 1983.

Lenssen, St: Die numerische Berechnung harmonischer

Schwingungen beliebiger Schalen. Diss. TU Dresden 1984.

Georgi, G.: Die Berechnung von dickwandigen dreh-

symmeti-isch belasteten Rotationsschalen mit elastisch-

viskoplastisch-plastischem Materialverhalten, Anwendungs-

beschreibung, TU Dresden 1984.

Landgraf, G.: Berechnung beliebig belasteter Rotations-

schalen mit und ohne Berücksichtigung der Querkraft-

schubverzerrung. Habil.-Schrift TU Dresden 1969.

Herrlich, 0.: Die Berechnung des elastisch-plastischen

Verhaltens von rotationssymmetrisch belasteten Rota-

tionsschalen unter Berücksichtigung endlicher Verfor-

mungen. Habil.-Schrift 1969.

Zurmühl, R.: Praktische Mathematik fiir Ingenieure und

Physiker, 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg]

New York 1965.

Hennig, K.: Numerische Verfahren zur Integration des

linearen Differentialgleichungssystems der Rotations-

schale. Vorträge zum Problemseminar „Flächentrag‘

werke", Heft 1/74.

Bergander, H.; Rasche, G.: Berechnung viskoplastischer

Flächentragwerke im nichtlinearen Bereich. Techn. Me-

chanik 6 (1985) Heft l.

Georgi, G.: Die Berechnung von dickwandigen dreh-

symmetrisch belasteten Rotationsschalen mit elastisch-

viskoplastisch-plastischem Materialverhalten. Diss. B

TU Dresden (eingereicht).

Anschrift des Verfassers:

Dr.-lng. Gunter Georgi

Technische Universität Dresden

Sektion Grundlagen des Maschinenwesens

DDR — 8027 Dresden. Mommsenstr. 13

T °° ' ' +I‘ “~ \\

Aswl v II ‘\“\‘

— genaue come I ~---~‘_\“

50 __ (Kopfindexg) i] “"~

---- vereinfachte ‚I

mm Theorie ,

K ' Iw ( opfmdex v) ‘I /

JV//

z/

20

0 .

100 700 9 am V 1000 1200 _N_ 11.00 1600 vmoo

hear he6r mm eßr heel‘

he

Bild4

Zulässige Abschnittslängcn in Abhängigkeit von der Belastung

75