ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ∆ΥΝΑΜΙΚΟ(ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

Υπενθύμιση/Εισαγωγή:

Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία θέση σε μία άλλη είναι συνάρτηση μόνον τηςενός σώματος από μία θέση σε μία άλλη είναι συνάρτηση μόνον της αρχικής και της τελικής θέσης του σώματος (και ανεξάρτητη της διαδρομής που ακολουθήσαμε).

Υπάρχει, δηλαδή, μία αριθμητική συνάρτηση της θέσης και μόνο του σώματος, η ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U(r), τέτοια ώστε

P

00[ ( ) ( )]

P

PW F dr U r U r

Κάθε κατανομή φορτίου μπορεί να αναλυθεί σε απειροστά φορτία dqκαι άρα μας ενδιαφέρει να δούμε τι συμβαίνει κατά την κίνηση ενόςκαι άρα μας ενδιαφέρει να δούμε τι συμβαίνει κατά την κίνηση ενός φορτίου q΄ μέσα στο πεδίο ενός σημειακού φορτίου q.Επίσης, για το ηλεκτρικό πεδίο ισχύει ότι F=q΄· E .

Έργο και δυναμική ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου

Το παραγόμενο έργο κατά την κίνηση ενός φορτίου q΄ κάτω από τη δράση του ηλεκτρικού πεδίου ενός φορτίου q:

1 1ˆP Pq q q qW r dr dr

0 02 20 04 4P PW r dr dr

πε πεr r

ΠΡΟΣΟΧΗ: «Επιβιώνει» πάντα μόνον η ακτινική συνιστώσα

( ) [ ( ) ( )]q q q q U U

ΠΡΟΣΟΧΗ: «Επιβιώνει» πάντα μόνον η ακτινική συνιστώσα.

∆ιατηρητικό0

0 0 0( ) [ ( ) ( )]4 4q q q q U r U rπε r πε r

∆ιατηρητικόπεδίο

ΠΡΟΣΟΧΗ: Συνάρτηση μόνον της αρχικής και τελικής απόστασης από το φορτίο q.

Η ∆υναμική Ενέργεια προσδιορίζεται ως προς σημείο αναφοράς

Η διαφορά δυναμικής ενέργειας από ένα σημείο του χώρου σε ένα άλλο, είναι το έργο που παράγεται από (ή αποθηκεύεται στο)

δί ά ί ό ώ ό έ ίπεδίο κατά τη μετακίνηση ενός σώματος από το ένα σημείο στο άλλο.Αφού σημασία έχει η διαφορά δυναμικής ενέργειας, για να τη μετράμε επιλέγουμε αυθαίρετα ένα «βολικό» σημείο αναφοράς. Έτσι για την προηγούμενη περίπτωση επιλέγουμε U(r)=0 για rκαι έχουμε:χ μ

0

1( )4

q qU rπε r

0

Επέκταση: ∆υναμική ενέργεια λόγω συστήματος φορτίων

(αλγεβρικό άθροισμα!! )( )4

NiqqU r

πε r

104 i iπε r

Ορισμός του Ηλεκτροστατικού ∆υναμικού:Όπως στο θέμα της ηλεκτροστατικής δύναμης (δύναμη Coulomb), αποδώσαμε μία ιδιότητα στο χώρο, την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε, ώστε να αποδεσμευθούμε από το δοκιμαστικό φορτίο q΄, έτσι και μ μ μ φ ρ qεδώ ορίζουμε το ηλεκτροστατικό δυναμικό σε ένα σημείο του χώρου V(P) ώστε:

0 00[ ( ) ( )]

P P

P PW q E dr q E dr U r U r

0( )( )[ ] [ ( ) ( )]P U rU rE dr V r V r

00[ ] [ ( ) ( )]P E dr V r V rq q

= “δυναμικό" “μεταβολή δυναμικού"

0 0[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]W U r U r q V r V r

= δυναμικό , μεταβολή δυναμικού ή «πτώση δυναμικού».

Τι εκφράζει το δυναμικό;Ενέργεια ανά μονάδα φορτίου:

Μονάδες: [V] [U/q] Ne ton m/Cb Jo le Cb 1 V ( olt)[V] = [U/q] = Newton·m/Cb = Joule Cb-1 = V (volt) δηλ.

“Ένα volt είναι το έργο που απαιτείται ανά μονάδα φορτίου ότανΈνα volt είναι το έργο που απαιτείται ανά μονάδα φορτίου, όταν μετακινούμε το φορτίο κατά 1 m εντός πεδίου εντάσεως 1 Netwon/Cb".

1 Cb Volt=1 Newton m

Άλλη μονάδα ενέργειας (για μικρές τιμές της):

1 Cb Volt=1 Newton m

Άλλη μονάδα ενέργειας (για μικρές τιμές της): Ηλεκτρονιοβόλτ (eV).Η ενέργεια για τη μετακίνηση ενός ηλεκτρονίου σε διαφορά δυναμικού 1 Volt.1 Volt.

1eV=1.6x10-19 Joule

Μετατροπή: μονάδες ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει του VoltΜετατροπή: μονάδες ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει του Volt

[E] = Newton/Cb = Newton·m /(Cb·m) = Volt/m

Έχοντας την έννοια του δυναμικού:(a) ∆υναμικό στο σημείο P στο πεδίο ενός σημειακού φορτίου q.

0

1( )4

qV rπε r

όπου θεωρήσαμε ότι για r V(r)=0

04πε r

(β) ∆υναμικό συστήματος φορτίων

1( )N

iqV r 10

( )4 i iπε r

Ε λλ λί δ ώ ( λ β ό άθ )Επαλληλία δυναμικών (αλγεβρικό άθροισμα)

όπου θεωρήσαμε και πάλι ότι για r V(r)=0

Ενέργεια ∆ιάταξης Φορτίωνργ ξης ρ Πόση ενέργεια χρειάζεται για να βάλουμε τα 2 φορτία στις θέσεις τους;φορτία στις θέσεις τους;

Το έργο που καταβάλουμε για να φέρουμε έναφορτίο από το άπειρο σε δεδομένη απόστασηφορτίο από το άπειρο σε δεδομένη απόστασηαπό το άλλο φορτίο.Για την τοποθέτηση του πρώτου φορτίου δεν απαιτείται καταβολή έργου.

11 q

απαιτείται καταβολή έργου.

1) Πρώτο φορτίο ελεύθερο 110

14

qVπε r

2) ∆εύτερο φορτίο είναι στο πεδίο του πρώτου:

1 21 q qU W VΕάν τα φορτία είναι ομόσημα τότε η δυναμικήενέργεια είναι θετική συνεπώς το έργο του1 2

12 2 10 124q qU W q V

πε r ενέργεια είναι θετική, συνεπώς το έργο του πεδίου είναι αρνητικό, δηλαδή καταβάλουμε

ενέργεια η οποία «αποθηκεύεται» στο πεδίο.

Ενέργεια ∆ιάταξης Φορτίωνργ ξης ρ Πόση ενέργεια χρειάζεται για να βάλουμε τα 3 φορτία στις θέσεις τους;φορτία στις θέσεις τους;

1) Γνωρίζουμε για τα 2 πρώτα

2) Φέρνουμε και το τρίτο:

3 1 23 3 1 2( ) 4

q q qW q V Vπε r r

0 13 234πε r r

Ολική ενέργεια διατάξεως:

1 2 1 3 2 31 q q q q q qU W W U U U

Ολική ενέργεια διατάξεως:

1 2 1 3 2 32 3 12 13 23

0 12 13 234q q q q q qU W W U U U

πε r r r

Ενέργεια ∆ιάταξης Φορτίωνργ ξης ρ Γενίκευση: ∆υναμική ενέργεια U που αποθηκεύεται σε κατανομή N σημειακών φορτίωνσε κατανομή N σημειακών φορτίων

0

14

i j

ij

q qU

πε r

12 13 14 1 23 24 2( ... ) ( ... ) ...N NU U U U U U U U για όλα τα ζεύγη i j (φυσικά για ij) 0 ijγια όλα τα ζεύγη i,j (φυσικά για ij)

( ) ( ) ( )U U U U U U U U U U U

Ίδιο με:

1 1N Nq Όπου V του δυναμικό στη θέση

21 31 32 41 42 43 51 52 53 54( ) ( ) ( ) ...U U U U U U U U U U U

1 10

1 14 2

N Nj

i i ii j i iij

qU q qV

πε r

Όπου Vi του δυναμικό στη θέσητου φορτίου qi εξαιτίας όλων τωνάλλων φορτίων.Και για συνεχή κατανομήΚαι για συνεχή κατανομή.

1 1 ( ) ( )N

U qV ρ r V r dτ στοιχειώδης

ό1

( ) ( )2 2i ii

U qV ρ r V r dτ

όγκος dq

Παραγωγή του E από το Vρ γ γήE r

B

V d ∆E r

A

V d Α Β

∆r

( ), ( ), A x,y,z B x +∆x,y,z

ˆr x x

( , , )

( )

ˆE E ( )x x y z

xx y z

V dr x x E x

Ex= Ρυθμός μεταβολής του V

( , , )x y z

V VE E Ex Ρυθμός μεταβολής του V με y και z σταθερά

x xE Ex x

Παραγωγή του E από το Vαραγωγή ου α ό οΕάν επαναλάβουμε το ίδιο και για τις άλλες συντεταγμένες:ς γμ ς

, , ,x y zV V VE E Ex y z

ˆ ˆ ˆE x+ y+ zV V V V

x y z

E V Ισοδύναμο με το συσχετισμό της δύναμης με την

ˆ ˆ ˆx+ y+ z

E V F U

δυναμική ενέργεια που γνωρίζαμε από τη Μηχανική:

Τελεστής gradient:

x+ y+ zx y z

1 1ˆ ˆˆ

F U

1 1ˆ ˆˆV V V

sinrr r r

1 1ˆVsin

V V Vr Er r r

Παραγωγή του E από το Vαραγωγή ου α ό οΌταν έχουμε συντηρητικό πεδίο τότε το δυναμικό αποτελεί έναν εύκολο τρόπο να περιγράψουμε τοαποτελεί έναν εύκολο τρόπο να περιγράψουμε το πεδίο δυνάμεων.

Α ί ίζ άθ ί ώΑντί να αντιστοιχίζουμε σε κάθε σημείο του χώρου τρεις τιμές Εx, Ey, Ez(Οι οποίες προέκυψαν «δύσκολα» από διανυσματική επαλληλία των επιμέρους εντάσεων λόγω μίας κατανομής φορτίων)των επιμέρους εντάσεων λόγω μίας κατανομής φορτίων).

Αντιστοιχίζω σε κάθε σημείο του χώρου μία και μόνον τιμή δυναμικού V. (Που προκύπτει απλούστερα από την αλγεβρική επαλληλία των

E V επιμέρους δυναμικών λόγω μίας κατανομής φορτίων).

Και έχω μία σχέση για να υπολογίζω την ένταση του πεδίου από τη συνάρτηση δυναμικούπεδίου από τη συνάρτηση δυναμικού

ΓενικάΓνωρίζω ένταση κατανομής φορτίων υπολογίζω δυναμικό:

00[ ( ) ( )]

P

PE dr V r V r

Γνωρίζω δυναμικό κατανομής φορτίων υπολογίζω ένταση:

E V

Γνωρίζω κατανομή φορτίων υπολογίζω ενέργεια κατανομής ή δυναμικό και μετά ενέργεια κατανομής:

∆ιακριτή κατανομή Συνεχής κατανομή

1 1N Nji i iq

U q qV 1 ( ) ( )U ρ r V r dτ

∆ιακριτή κατανομή Συνεχής κατανομή

1 104 2i i i

i j i iijU q qV

πε r ( ) ( )

2U ρ r V r dτ

Υπολογίζοντας το δυναμικό από την έντασηΥπολογίζοντας το δυναμικό από την ένταση

(1) Αγώγιμη φορτισμένη σφαίρα ακτίνας R, φορτίου Q(i) Γ R E( ) kQ/ 2 ( δί ύ ί Q)(i) Για r > R, E(r) = kQ/r2 (= πεδίο σημειακού φορτίου Q)

00[ ( ) ( )]

P

PE dr V r V r Θεωρώ V()=0

0

21 1 1( ) ( )

4 4 4P

P

Q Q QV r V E dr dr

(ii) Για r = R

20 0 0

( ) ( )4 4 4P rπε πε r πε rr

(ii) Για r = R

(iii) Για r < R E(r) = 0 (iii) Για r < R, E(r) = 0

V(r)=σταθερό

(3) Γ ή ή ί ή λ 0Υπολογίζοντας το δυναμικό από την ένταση

(3) Γραμμική κατανομή απείρου μήκους, λ > 0.

∆ΥΣΚΟΛΙΑ:

Οπότε, εάν V(∞) = 0, τότε V(r) = ∞. Συνεπώς για να έχει φυσικό νόημα ηΣυνεπώς, για να έχει φυσικό νόημα η κατανομή δυναμικού θεωρήσαμε το δυναμικό μηδέν στο σημείο b.

Υπολογίζοντας το δυναμικό από την ένταση

(2) Αντίθετα φορτισμένα πλακίδια, +σ στο y = d, -σ στο y = 0 (V(0) = 0)

y

ˆ ˆσE E y y

χ

0ε

Υπάρχει μόνον συνιστώσα κατά yκαι είναι σταθερή σε μέτρο

0[ ( ) ( )]P

PE dr V r V r

και είναι σταθερή σε μέτρο

00[ ( ) ( )]P

Δ ( ) (0) y σ σV V V d E

ΔV

00 0

Δ ( ) (0)V V y V dy y E yε ε

Δ0 VV V(d) V( ) Ed Ed

Υπολογίζοντας την ένταση από το δυναμικό

(1) Φορτισμένος δακτύλιος, ακτίνας a, γραμμική πυκνότητα λ = Q/(2πa).Εύρεση δυναμικού σε απόσταση x από το κέντρο του δακτυλίου.

Εφαρμογή της αρχής της υπέρθεσης

a

∆ηλ. δυναμικό σημειακού φορτίου

Γνωρίζω το V=V(x) άρα μπορώ να υπολογίσωρ ζ ( ) ρ μ ρ γτην ένταση του πεδίου στην κατεύθυνση αυτή.Εύρεση της έντασης:

1( ) QV x 2 2

0

( )4 ax

2 2 3 / 2

( ) 1 ( )4 ( a )

V x xQ E xx x

04 ( a )x x

Υπολογισμός έντασης πεδίου από δυναμικό

(1) ∆υναμικό κατά μήκος άξονα διπόλου (Pe=q·2d)

2 2 21 1 2( ) ( )

4EPq q dV x

d d

Γνωρίζω το V=V(x) άρα μπορώ να υπολογίσω

2 2 20 0 0

( ) ( )4 4 ( ) 4xπε x d x d πε x d πε x

Γνωρίζω το V V(x) άρα μπορώ να υπολογίσωτην ένταση του πεδίου στην κατεύθυνση αυτή.Εύρεση της έντασης:

2 2 20

2( ) 1( )4 ( )

eP xV xE xx πε x d

=

04 ( )x πε x d

Υπολογισμός έντασης πεδίου από δυναμικό

(1) ∆υναμικό διπόλου (pΕ=q·2d)

1yΕ2

Ε1

Ε 2 10 1 2 0 1 2

1 ( )4 4

r rq q qVπε r r πε r r

Συνεπώςr r1

r2

2

21 2 1 22 : 2 sin ,για r d r r d φ r r r

dd x+qq

φ1φ2 φ2 2

0 0

cos2 cos4 4

EP φq d φVπε r πε r

Γνωρίζω το V=V(r φ) άρα μπορώ να υπολογίσω την ένταση του

-qPE

0 0

2 cosP φV

Γνωρίζω το V=V(r,φ) άρα μπορώ να υπολογίσω την ένταση του πεδίου (τις συνιστώσες Er, Eφ). Εύρεση της έντασης:

sin1 P φV3

0

2 cos4E

rP φVE

r πε r

= 30

sin14E

φP φVE

r φ πε r

=

Υπολογισμός ΕνέργειαςΥπολογισμός Ενέργειας ομογενώς φορτισμένης σφαίρας R, φορτίου Q Είχαμε βρει με τη βοήθεια του νόμου του Gauss ότι:

Q

30

( ) ,4QE r r r RR

Βρίσκω το δυναμικό από:

30

( ) ( )4

R

r

QV r V R r drπε R

0 0[ ( ) ( )]P

PE dr V r V r

Όμως V(R) ίδιο με αυτό σημειακού φορτίου Q1 Q

2 2

3( ) ( ) ( )2 24Q R rV r V Rπε R

και ρ(r)=σταθερό=Q/[(4/3)πR3]:

0

1( )4

QV Rπε R

0 2 24πε R

ρ( ) ρ [( ) ]

2

2

31 1 5( ) ( ) ( ) 4

R QQU ρ r V r dτ V r πr dr Κάντε τις πράξεις!!

3 00( ) ( ) ( ) 442 2 4

3

U ρ r V r dτ V r πr drπε RπR

πράξεις!!

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίουΙσχύουν όσα γνωρίζουμε από τη Μηχανική, συνυπολογίζοντας στιςδυνάμεις και τις ηλεκτρικές.

η η φ ρ μ μ

Έτσι υπολογίζουμε τα μεγέθη της κίνησης από:

2

2d rm Fdt

για σταθερή μάζα m.

Καθώς το ηλεκτρικό πεδίο είναι συντηρητικό (και εάν δεν υπάρχει άλλο μη συντηρητικό πεδίο) ισχύει και η αρχή διατήρηση της ενέργειας:συντηρητικό πεδίο) ισχύει και η αρχή διατήρηση της ενέργειας:

Εολική = Εκινητική + Εδυναμική = σταθερή

Στη δυναμική ενέργεια συνυπολογίζεται και αυτή του ηλεκτρικού πεδίουU=q·V.

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίουΗλεκτρόνιο κινούμενο με ταχύτητα v0 εισέρχεται σε χώρο σταθερού πεδίουE που είναι κάθετο προς την ταχύτητα του.

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου

ˆ καιeE eEa y a t t 0 0 και x y y ya y a t tm m

2 21 eEt t t t 2 20 0 0 0 0 και = 2x y yx x t y y t a t t

m

eE

0

xt

2

20

= eEy xm

Παραβολική τροχιά