Δημήτρης Παπάζογλου [email protected] · 2013-03-19 · Δημήτρης...

Οπτική και κύματα

Δημήτρης Παπάζογλου[email protected]

Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας ΥλικώνΠανεπιστήμιο Κρήτης

Ιστορική εισαγωγή

�� Δημήτρης Παπάζογλου 2013 [email protected]

Αρχαιότητα

Ευθύγραμμη διάδοση του φωτός Πυθαγόρας, Δημόκριτος, Εμπεδοκλής, Πλάτων, Αριστοτέλης

Νόμος της ανάκλασης300 π.Χ. Ευκλείδης Κατοπτρικά~ 50 μ.Χ. Ήρων: “Η διαδρομή που ακολουθεί το φώς από το ένα σημείο στο άλλο είναι η μικρότερη.”

Διάθλαση 50 π.Χ. Κλεομήδης,130 μ.Χ. Κλαύδιος Πτολεμαίος(πίνακες διάθλασης)

ογογογγγγγλλλολολολολουυυυυυ 2020202020202013131313131313 dddpdpdpdpdpapapapapapap @@a@a@a@a@a@mamamamamamattttetetetetete iiririririri llalalalalalssssss.uouououououocccccc.grgrgrgrgrgrζζ λλλ 202020131313 ddd @@@ t iii lll

Κάτοπτρα 1900 π.Χ. Αίγυπτος

Συγκλίνοντες φακοί 424 π.Χ. (Αριστοφάνης Νεφέλες)~ 30 μ.Χ. Σένεκας


Μεσαίωνας

1000 μ.Χ. Αλχαζέν(Επίπεδο πρόσπτωσης, σφαιρικά και παραβολικά κάτοπτρα, λεπτομερής περιγραφή του ανθρώπινου οφθαλμού)

~1230 μ.Χ. BaconΔιόρθωση όρασης με φακούςΜπορούμε να κατασκευάσουμε τηλεσκόπιο συνδυάζοντας φακούς!

~ 1500 μ.Χ. Lenardo Da VinciCamera Obscura

ογογογγγγγλλλολολολολουυυυυυ 2020202020202013131313131313 dddpdpdpdpdpapapapapapap @@a@a@a@a@a@mamamamamamattttetetetetete iiririririri llalalalalalssssss.uouououououocccccc.grgrgrgrgrgrζ λλλλ 202020131313 dddd @@@ t iii llll

~ 1250 μ.Χ. Γυαλιά όρασης

~1300 μ.Χ. Κάτοπτρα με επίστρωση

~1500 μ.Χ. Camera Obsura(Η πρώτη φωτογραφική κάμερα!)


17ος -18ος αιώνας

1611 Kepler Dioptrice ολική ανάκλαση1621 Snell Νόμος της διάθλασης1637 Descartes La Dioptrique,

«Το φώς είναι μια διαταραχή που διαδίδεται σε ελαστικό μέσο!»

~ 1657 FermatΑρχή ελαχίστου χρόνου

~1650 Grimaldi & Hooke Περίθλαση,«Το φώς είναι μια ταχύτατη δόνηση του μέσου που διαδίδεται με μεγάλη ταχύτητα»

~1665 Newton Φασματική ανάλυση, Κατοπτρικά τηλεσκόπια, σωματιδιακή φύση του φωτός

~ 1665 Huygens Πόλωση, “το φώς είναι κύμα”

~1676 RomerΜέτρηση της ταχύτητας του φωτός

13 d @ t i l

1608 Lippershey Διοπτρικό Τηλεσκόπιο

1610 Janssen Μικροσκόπιο

1668 Newton Κατοπτρικό τηλεσκόπιο

1758 Dollond Αχρωματικός φακός


19ος αιώνας

1801 Young, αρχή της συμβολής

~1820 Fresnel, κυματική διάδοση (διαμήκη κύματα), περίθλαση, συμβολή

1825 Young , Το φώς είναι εγκάρσιο κύμα

1845 Faraday, Μαγνητο-οπτικό φαινόμενο

~ 1849 Fizeau, επίγεια μέτρηση της ταχύτητας του φωτός

1870 Maxwell, «Το φώς είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα!»

1881,1887 Michelson, Morely«Ο αιθέρας είναι ακίνητος ως προς τη γη»


20ος αιώνας

1900 Poincare, «Δεν υπάρχει αιθέρας!»1900 Planck, αρχή της κβαντομηχανικής1905 Einstein, “Το φώς διαδίδεται στο κενό με σταθερή

ταχύτητα ανεξάρτητη από την κίνηση της πηγής”Το φώς έχει σωματιδιακή υφή

1913 Bohr, κβαντομηχανική περιγραφή του ατόμου του υδρογόνου

1948 Gabor, Ολογραφία1950 Oπτική Fourier, οπτική & θεωρία

τηλεπικοινωνιών 1958 Townes, Laser

(1917 Einstein Θεωρητική πρόβλεψη)

1966 Kao, Οπτικές ίνες

1966 Ashkin, Φωτοδιαθλαστικά υλικά1969 Boyle, Smith, CCD κάμερα1987 Yablonovitch, Sajeev, Φωτονικά υλικά1999 Pedry, Μετα-υλικά

(1967 Veselago Θεωρητική πρόβλεψη)

Πηγές: wikipedia, http://www.warnlaser.com

�� Δημήτρης Παπάζογλου 2013 [email protected] �� ΔηΔΔηΔηΔηΔηημήμήμήμήμήμήμμήτρτρτττ ηςη Παπάζζογογλου 2020131313 dpdpdppapapa a@a@[email protected]

Κύματα


Εξίσωση κύματος

22

2 2

1 0t�

� ��

�διαταραχή ταχύτητα διάδοσης

το άθροισμα των λύσεων είναι λύση

� Γραμμική

( , )t� r


Γραμμικότητα και αρχή της επαλληλίας

22 1

1 2 2

22 2 2

2 22 22 2

1 11

22

2 2

1 0

1 0 1( ) ( ) 0

1 0

N N

i ii i

NN

t

tt

t

�

��

�

��

��

��

� � � ��

� �

Ν κύματα

Η επαλληλία τους είναι κύμα


2 2

2 2 2

1 0z t�

� � � ��

� �

Εξίσωση κύματος σε μία διάσταση


Χαρακτηριστικά κυμάτων

� Μήκος κύματος (περιοδικότητα στον χώρο) � Περίοδος (περιοδικότητα στον χρόνο)� Πλάτος� Ταχύτητα� Φάση


ΕγκάρσιαΔιαμήκη

Διάδοση ΔιαταραχήΔιάδοση Διαταραχή

Είδη κυμάτων

Τυπικό παράδειγμα οι ταλαντώσεις μιας χορδής

( , )tA rδιάνυσμα

Τυπικό παράδειγμα τα ηχητικά κύματα

( , )t� rαριθμητικόμέγεθος


Η διαταραχή �(r, t) είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου

Αρμονικά κύματα

( , ) ( )cos[ ( ) ]t a g t�� r r rπλάτος >0

φάση

( )g t const�� r ( ) const� r

Ισοφασική επιφάνεια Επιφάνεια σταθερού πλάτους


Η ταχύτητα φάσης �p αναφέρεται στην ταχύτητα διάδοσης των ισοφασικών επιφανειών

Ταχύτητα φάσης

( , ) ( ) ( , ) 0

( ) 0ˆ( ( ) )

ˆ ˆ( )

t g t const d t

g d dt drg dr dtd dr dt g

� � �

� ��

� �

� � � � � � � ��

r r r

r rr q

r q r q

( )ˆ ˆ ˆ( ) ( )( )gisosurface g gg

��

�rq q r q rr

( )p g��

� r


Αρμονικά επίπεδα κύματα

Η διαταραχή �(r, t) είναι αρμονική συνάρτηση στον χρόνοαλλά και στον χώρο. Το πλάτος είναι σταθερό.

( , ) cos[ ]ot t�� r k rκυματοδιάνυσμα

ισοφασικήεπιφάνεια

const� k r

2k ��

�k

μήκος κύματος(wavelength)

κυματάριθμος(wavenumber)


Ταχύτητα φάσης επίπεδου αρμονικού κύματος

2( ) ( ) 2 /p g k� � � ��

� �� r k r

ˆ ˆ ˆ( ) ( )x y z x y zk x k y k z k k k� � � � � � � k r x y z k

p k��

συχνότητα

*


Μιγαδική περιγραφή αρμονικού κύματος

( )

( )

. .

*

( , ) ( ) cos[ ( ) ]

Re{ ( ) } Re{ ( ) }

1 1[ ( ) ( ) ] ( ) . .2 2

A

ig i t i t

c c

i t i t i t

t a g t

a e e A e

A e A e A e c c

� �

� � �

�

� �

� � �

� �

� �

r

r

r r r

r r

r r r

( )

( )

A

ig i t( )( )( ) t

. .

*

c c.

******

μιγαδικό πλάτος

Μπορούμε να παραλείπουμε το Re{..} μόνο σε γραμμικούς υπολογισμούς!

*

*


Μιγαδική περιγραφή και κυματική εξίσωση

22 2 2

2 2 2

1 10 ( ) ( ) ( )i t i te A e At

� ��

� ��

�r r

Εξίσωση Helmholtz

Αν το κύμα είναι επίπεδο και αρμονικό:

2 2( ) ( ) 0A k A� � r r

22

2( ) ( ) 0A A��

� � r r

Πηγές, Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής

ακτινοβολίας


Πηγές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας

Επιταχυνόμενα φορτία

Μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά ρεύματα

Κλασική προσέγγιση

Ενεργειακές μεταπτώσεις

Κβαντομηχανική

Δεν υπάρχει κατώτατο όριο στην συχνότητα


Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας


�� Δημήτρης Παπάζογλου 2013 [email protected] �� Δημήτρης Παπάζογλου 2013 [email protected]

�� Δημήτρης Παπάζογλου 2013 [email protected] �� Δημήτρης Παπάζογλου 2013 [email protected]

Ηλεκτρομαγνητισμός


Εξίσωση Η/Μ κύματος

,

0,

t

t

� ��

��

� � ��

BD E

DB H j

isotropic( )o r o

o r o

� � � ��

� �

D E P D E EB H M B H H

Εξισώσεις Maxwell

Εξισώσεις Υλικού


Εξίσωση Η/Μ κύματος (Ολοκληρωτική μορφή)

0 0

( )

( )

V V s

V s

S S L S

S S S L S

dv dv ds q

dv ds

ds ds d dst t

ds ds ds d I dst t

��

� � �

� ��

� �

� ��

� �

��

��

��

��

D D n

B B n

BE n n E l B n

DH n j n n H l D n

ss

s

L SLL

LLL


Εξίσωση Η/Μ κύματος

2

2

22 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0, 0

( ) 0

t t t

t t t

��

�

� ��

� � � ��

� � ��

� � �

BE B E E HB H D E

E E E j 0 E

EE D E

Εξίσωση κύματος

Εξαγωγή της κυματικής εξίσωσης για ισότροπο υλικό

2

1 1 1 1

r r o o r r

c��

ταχύτητα διάδοσης

ταχύτητα διάδοσης στο κενό


Διατήρηση Ενέργειας –Διάνυσμα Poynting

( )

( )

( ) 0

( ) ( ) 0

( ) (

V V V

S

tt t

t

t t

dv dv dvt t

dS

��

� ��

� �

� ��

� �

� � �

��

��

E HBH E H D BE H H E j E E HDE H j E E a b b a a b

D BE H j E E H

D BE H E H j E

E H n E

( )��(

S

) 0V V

dv dvt t

� �� D BH j E


Διατήρηση Ενέργειας –Διάνυσμα Poynting

( ) ( ) 0S V V

dS dv dvt t

� ��

� �� D BE H n E H j E

S

Ροή Η/Μ ακτινοβολίας

�S E HΔιάνυσμα Poynting

Πυκνότητα ηλεκτρικής, Μαγνητικής ενέργειας

Απώλειες


Αρμονικά επίπεδα κύματα

( )i toe

�� k rA AΕπίπεδο αρμονικό κύμα

ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ( )

i t io

i t io x y z

e ex y z

e i k k k ei

�

�

� �

� �

� � ��

� � �

� �

��

k r

k r

A A x y z

A x y zA k A

22

2, , ,i i it t

� ��

� �A AA k A A k A A A

( )

( ) ( )

[ ]i to

i t i to o

i t io

ee e

e e i

�

� �

�

� �

� � � �

� �

��

��

� ��

k r

k r k r

k r

A AA AA k A

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x y z x y zk k k x y z k x k y k z� � � � � � � �k r x y z x y z


( ) ( ) ( ) ( ), , ,i t i t i t i to o o oe e e e� � � �� k r k r k r k rD D E E B B H H

Οι εξισώσεις Maxwell απλοποιούνται:

, 0,0,0,

i i iti i i

t

� ��

� ��

BD E k D k E BD k B k H DB H j

Θεωρώντας ότι το Η/Μ κύμα μας είναι επίπεδο και αρμονικό

00

,,

��

� ��

k D k Dk B k Bk E B k B E Bk H D k D H D

Σε ισότροπα υλικά

// , //D E B Hοπότε ισχύει ότι

� ��

k D k Ek B k H


, , ,� � � �k D k B E B H D

// , //D E B H

ΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ

//B H

k

DE

B

HS

k

DE

B

H

S

//D E

k

E

BH

S

D

Ηλεκτρικά ανισότροποΜαγνητικά ισότροπο

Ηλεκτρικά ισότροποΜαγνητικά ανισότροπο

k

DE

B HS

Ηλεκτρικά ανισότροποΜαγνητικά ανισότροπο


Διάνυσμα Poynting σε ισότροπα υλικά (αρμονικά πεδία)

22

2 2

2

1

11

n

r ocn

� ��

��

�

��

��

S E H S E HS E

k E B E B B S E Ek

H B

// , //� �

! � �"

k D k ED E B H

k B k H

Σε ισότροπα υλικά

( )i toe

�� k rA AΕπίπεδα αρμονικά κύματα

2on c�S E


S

E

SE

HE

HS


Η ταλάντωση του Η/Μ πεδίου στο οπτικό κύμα είναι κατά πολύ ταχύτερη από τον χρόνο απόκρισης του ανιχνευτή μας!

z = const

1 περίοδος ~ 2 fs

Πόσο γρήγορα ταλαντώνεται το πεδίο ;


Η περίοδος ταλάντωσης του διανύσματος Poynting είναι < 2 fsστην περιοχή του ορατού.

Κανένας ανιχνευτής δεν είναι τόσο γρήγορος.

Πώς ανιχνεύουμε την Η/Μ ακτινοβολία;

Στην πραγματικότητα μετράμε την μέση τιμή της ενέργειας που μεταφέρεται από το οπτικό κύμα σε πολλές περιόδους

ταλάντευσης


Ένταση ακτινοβολίας

Η μέση τιμή του μέτρου του διανύσματος Poynting ως προς τον χρόνο ονομάζεται ένταση ακτινοβολίας

2ot t

I n c�� S E

Για αρμονικά κύματα:

2 2 2 22

( , ) ( ) cos( )1 1cos ( ) [1 cos(2 )]2 2

o

o o ott t

t t

t t

�

� �

�

E r E r

E E E E

212 o oI n c� E

(W/m2)


Ένταση ακτινοβολίας

212 o oI n c� E


Δείκτης διάθλασης

Ο δείκτης διάθλασης συνδέεται με την ταχύτητα διάδοσης μιας ισοφασικής

επιφάνειας ενός Η/Μ κύματος

( 1)r r r rcn � � � ��

� # �

δείκτης διάθλασης

Εξαρτάται από την συχνότητα


Διασπορά

Η ταχύτητα της Η/Μ ακτινοβολίας σε ένα διηλεκτρικό μέσο εξαρτάται από την συχνότητα

Πηγή: wikipedia


Οπτικές ιδιότητες


Διασπορά- Κλασική προσέγγιση

o Το διηλεκτρικό δεν είναι συνεχές αλλά αποτελείται από μεγάλο αριθμό ατόμων που μπορούν να πολωθούν.

o Το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο Ε(t) του η/μ κύματος "οδηγεί" τα άτομα σε εξαναγκασμένη ταλάντωση

o Κάθε ταλαντωτής έχει μια φυσική συχνότητα συντονισμού ω0

o� �D E P

o e� $P E

Διηλεκτρική επιδεκτικότηταΜπορεί να είναι και τανυστής

(ανισότροπα υλικά)


Διασπορά- Κλασική προσέγγιση

μετατόπιση

Ισότροπο υλικό

2

2i t

e e od xm k x q E edt

� � �Το μοντέλο είναι μαθηματικά ισοδύναμο με εξαναγκασμένο ταλαντωτή

Δύναμη επαναφοράς*

Αρμονικό πεδίο

* 2

2 22

( )

o o

o

e i t i te o o o e o

i to

d xm k xm x e k x e k mdt

x t x e

� �

�

� ��

� � � � � �


22

2

2 2

2 2

( )

1

i te e o e o

i to

i t i t i te o e o o e o

eo o

e o

d xm m x q E edt

x t x e

m x e m x e q E e

qx Em

�

�

� � �

�

� �

� �

�

�

� � �

� � � �

� �

� � �

�

2

2 2

2

2 2

1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11

i tee o

e o

o o r

er

o e o

NqP t Nq x t P t E em

D t E t P t E t

Nqm

�

� ��

��

� � ��

� � �

��

Απ

λοπ

οιημ

ένο

μον

τέλο

: Απ

ουσί

α α

πωλε

ιών


22

2

2 2

2 2

( )

1

i te e o e e o

i to

i t i t i t i te o e o o e o e o

eo o

e o

d x dxm m x m q E edt dt

x t x e

m x e m x e im x e q E e

qx Em i

�

�

� � � �

� %

� � % �

� � %�

�

�

� � � �

� � � � �

� �

� � � �

� �

2

2 2

2

2 2

1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11

i tee o

e o

o o r

er

o e o

NqP t Nq x t P t E em i

D t E t P t E t

Nqm i

�

� � %��

�� %�

� � ��

� � �

��

Δια

σπορ

ά π

αρο

υσία

απω

λειώ

ν


Η διηλεκτρική σταθερά μπορεί να έχει φανταστικό μέρος

2

2 2

11 er

o e o

Nq im i

� � �� %�

& && � ��

2 22( )

2rn

n in

� '� '

� '& �

� ! && "

Επομένως και ο δείκτης διάθλασης όταν έχουμε απορρόφηση είναι μιγαδικός

2 2 2 21 1( ) , ( )2 2

n � � � ' � � �& && & & && & � � � �


n

'

E P


Ομαλή διασπορά στην περιοχή του ορατού


( )

ˆ( )

ˆ ˆ( )

( , )ˆ ( , )

( , )

o

o o

i to

i nk to o

k i nk to

t en k t e

n n i

t e e

�

�

' �

'

� �

� �

� � � �

��

� � �

k r

n r

n r n r

E r Ek n E r E

E r E

ˆ̂oooo

Φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης και απορρόφηση

( )

2

ˆ ˆ ( , )

( ) (0)

o o

o

k z i nk z to

k z

z t e e

I z I e

' �

'

� �

�

n z E E

142 ( )oo

a k cm�''�

� ( ) (0) a zI z I e�Συντελεστής απορρόφησης


Βάθος διείσδυσης d:το βάθος στο οποίο λόγω της απορρόφησης η ένταση ακτινοβολίας έχειπέσει στο 1/e (~37%) της αρχικής της τιμής

14od

a��'

�

4 1

6 1

(@550 ) 5 10 ~ 20(@550 ) 1.5 10 ~ 6.6

water nm a cm d mAl nm a cm d nm

� �

�

�

�

44444

6666

�� Δημήτρης Παπάζογλου 2013 [email protected] Πηγή: http://pveducation.org

Διάδοση


Κυματική διάδοση

Κλασική προσέγγιση

Εξισώσεις Maxwell

Εξισώσεις υλικού

Οριακές συνθήκες

Δύσκολη η εφαρμογή της σε όλα τα προβλήματα αφού απαιτείται η λύση της κυματικής εξίσωσης !Εφαρμόζεται με επιτυχία σε αριθμητικές λύσεις

Εναλλακτικές προσεγγίσεις

Οπτικές ακτίνες

Αρχή του Huygens

Αρχή του Huygens-Fresnel

Προσέγγιση Kirchhoff


Οπτικές ακτίνες

Οπτική ακτίνα: Καμπύλη που αντιστοιχεί στην διεύθυνση διάδοσης της ενέργειας

� οι οπτικές ακτίνες είναι κάθετες στα μέτωπα κύματος

� οι οπτικές ακτίνες είναι παράλληλες με το κυματοδιάνυσμα k

Ισότροπο μέσο

Πολύ απλή περιγραφή Αγνοεί την κυματική φύση του φωτός


Πως διαδίδονται οι οπτικές ακτίνες ;

Ήρων ο Αλεξανδρινός (~ 50 μ.χ.)«Η διαδρομή που ακολουθεί το φώς από το ένα σημείο στο άλλο είναι η μικρότερη»

Συντομότερηδιαδρομή(Fermat)

Ερμηνεύει την ανάκλαση αποτυγχάνει στην διάθλαση

Fermat (1657 μ.χ.)«Η διαδρομή που ακολουθεί μια δέσμη φωτός ανάμεσα σε δύο σημεία είναι αυτή που διασχίζεται στον ελάχιστο χρόνο !»

Μικρότερη διαδρομή

(Ήρων)

geometricalpath

opticalpath

1dlt n dlc�

� �opticalO’

ray

l

Μικρότερη διαδρομή

(Ήρων)


Κυματική διάδοση: Αρχή του Huygens (1665 μ.χ.)

Κάθε σημείο ενός πρωτεύοντος μετώπου κύματος αποτελεί πηγή σφαιρικών δευτερευόντων κυμάτων, έτσι ώστε σε μιάμεταγενέστερη χρονική στιγμή το κύριο μέτωπο κύματος να είναι η περιβάλλουσα αυτών των κυμάτων.Επίσης τα δευτερεύοντα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα και συχνότητα που είναι ίσες με τις αντίστοιχες του πρωτεύοντος κύματος σε κάθε σημείο στο χώρο. (Huygens 1665)

Ερμηνεύει την ανάκλαση & την διάθλασηΑποτυγχάνει να ερμηνεύσει την περίθλαση!

Πηγή: wikipedia

Αποτυγχάνει να ερμηνεύσει τη

uoc.grΠ


Κυματική διάδοση: Αρχή του Huygens-Fresnel (1820 μ.χ.)

… το πλάτος του κύματος σε κάθε σημείο μια μεταγενέστερη χρονική στιγμή προκύπτει από την υπέρθεση όλων των δευτερευόντων κυμάτων λαμβάνοντας υπόψη τα πλάτη τους και τις σχετικές τους φάσεις.

Ερμηνεύει την ανάκλαση & την διάθλαση και την περίθλαση!

Αρχή της επαλληλίας !

Πηγή: wikipedia

Πλάτος > λ Πλάτος = λ


Γεωμετρική οπτική και εξισώσεις Maxwell

Είναι η γεωμετρική οπτική μια καλή προσέγγιση των εξισώσεων Maxwell;

( ) ( )( ) , ( )o oik iki t i te e e e� �� r rE e r H h rL L

Για να απαντήσουμε στο ερώτημα θα πρέπει να εφαρμόσουμε μια διαδικασία απλοποίησης των εξισώσεων Maxwell.

( )rL Συνάρτηση γεωμετρικού οπτικού δρόμου (Real number)

( ), ( )e r h r Διανυσματικά πλάτη (complex number)

0,� j 0Επίσης θεωρούμε ότι δεν έχουμε ελεύθερα φορτία και ρεύματα


( )( )

( )

( )

( )

0, ( ) 0 00, ( ) 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) 0

1( ) ( ) ( ) ln( ) ( )

( ) ( )

o

o

ik i to

ik i to

o

ik e eik e e

ik

�

�

� � � ��

� � ��

�

�

�

� � ��

��

� � � ��

�

r

r

D D E E E EB B H H H H

e r e r r e rh r h r r h r

e r r e r e r

h r r

L

L

LL

L

L ( )1 ( ) ln( ) ( )oik

� � � ��h r h r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )]

o o o

o o o

ik ik iki t i t i t

ik ik iki t i t i to o

e e e e e ee e e ik e ik e e

� � �

� � �

� � �

� � �

� � � � � ��

� � � ��

r r r

r r r

E e r e r e re r e r r e r e r r

L L L

L L LL L

*

*

1 ln( )� ��

+

+

(M1)

(M2)


( )( )

( ) ( )

( ) ( )

, [ ( ) ] ( )[ ( ) ] ( ),

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

o o

o o

ik iki t i t

ik iki t i t

o

o

e e i e ete e i e e

t

ik iik i

c

� �

� �

� ��

��

�

� �

� �

� ��

��

� � �

r r

r r

BE B H e r h rD h r e rH D E

e r r e r h rh r r h r e r

r e r

L L

L L

LL

L 1( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( )

o

o

ik

cik

�

� ��

� � � � ��

h r e r

r h r e r h rL

(M3)

(M4)


Γεωμετρική προσέγγιση:10 0o oo

kk

� * + *,+ *

( )

( )0

1( ) ( ) ( ) ln( ) ( )

( ) ( ) 01( ) ( ) ( ) ln( ) ( )( ) ( ) 0

1 ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

1( ) ( ) ( ) ( )

o

o

o

k

o

o

ik

ikcc

ik c

cik

�

�

��

�

*

��

� ��

� � � � ��

e r r e r e r

e r rh r r h r h r

h r rr e r h rr e r h r e rr h r e r

r h r e r h r

L

LLL

LLL

L

*

Επιπλέον συνθήκη τα �, � και το πεδίο e(r), h(r) δεν μεταβάλλονται απότομα σε διαστάσεις λο

*

( ) [ ( ) ( ) ( )] 0 ( ) ( ) 0( ) [ ( ) ( ) ( )] 0 ( ) ( ) 0

��

� � � � � ��

r r e r h r h r rr r h r e r e r r

L L LL L L

Οι (α),(β) προκύπτουν από τις (γ),(δ)

(α)

(β)

(γ)

(δ)


2

2 2

0 (a)

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) 01( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) [ ( ) ( )] ( ) 0

( ) [ ( ) ( )] ( )[ ( )] ( ) 0

( ) ( ) ( )[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

n

c

c

cc

c

nx y z

�

%�

��

��

� � � ��

� � � � �

� � ��

� � ��

� � �

r h r e r

h r r e r

r r e r e r

r e r r e r r e r

r r rr r

L

L

L L

L L L

L L LL

0 (a)

Εξίσωση εικόνας


( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )* *

2 ( ) 2 ( )2 * * 2 *

( )( )

1 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]4

1 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

o

o

o o o o

o o

ik i t

ik i t

ik ik ik iki t i t i t i t

ik iki t i t

e ee e

e e e e e e e e

e e e e

�

�

� � � �

� �

�

�

� ��

��

� � ��

� � �

� � � � � �

r

r

r r r r

r r

S E HE e rH h r

S e r e r h r h r

S e r h r e r h r e r h r e

L

L

L L L L

L L *( ) ( )]� r h r

Διάνυσμα Poynting και γεωμετρική προσέγγιση

* * *1 1[ ( ) ( ) ( ) ( )] Re[ ( ) ( )]4 2t

� � � �S e r h r e r h r e r h r


- .*

*

0* *

2

1 Re[ ( ) ( )]1 12 Re ( ) [ ( ) ( )]

1 2( ) ( ) ( )

1 1 Re ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]2

1 1 ( ) ( )2 1 1 ( )

( ) ( ) 2ˆ( ) ( )

t

t

t

t

t

cc

c

cn

cn

��

�

��

� � ��

�� ! � �" �

� � ��

S e r h rS e r r e r

h r r e r

S r e r e r e r e r r

S r e rS r

r rnr r

LL

L L

L

L LL

00

2 21ˆ ˆ( ) ( )2�� e r n e r n

ˆetw�S n

Η μέση τιμή του διανύσματος Poynting είναι κάθετη στην επιφάνεια LL = const


Ροή η/μ ακτινοβολίας

Οι οπτικές ακτίνες είναι καμπύλες κάθετες στις γεωμετρικές κυματικές επιφάνειες !

ˆetw�S n

( )ˆ ( ) ( )( )

d dnds ds

� �

�r r rn r r

rL LL

rray

O

O’

s

Εξίσωση ακτίνας

Γεωμετρικές κυματικές επιφάνειες

( )ˆ( )

��

�rnr

LL


2

1 ( )( )

2

( )

2

( ) ( ) [ ( ) ] [ ( )] [ ( )]

1 1[ ( ) ] ( ) [ ( )] {[ ( )] }( ) 2 ( )

1[ ( ) ] ( )2 ( )

n

n

d d d d dn nds ds ds ds ds

d dnds ds n n

d dn nds ds n

�

� � � �

� ��

�

rr

r

r r rr r r r r

rr r r rr r

rr rr

L

L

L L L

L L2 ( )

2

Εξίσωση ακτίνας

[ ( ) ] ( )d dn nds ds

�rr r

Δημήτρης Παπάζογλου [email protected] · 2013-03-19 · Δημήτρης...

Documents

Transcript of Δημήτρης Παπάζογλου [email protected] · 2013-03-19 · Δημήτρης...