τεκς α ησςκusers.sch.gr/maggelko/pdf/ataxifinal.pdf · Να γίνει η...

[ ]

. [ ]

′∂ ∫aM

΄

µη ατ καµ γκ α γ ελ

′∫ ∫′

′ ′∫ ∫

τ εα κε να [ηπ] κ ς α ησ ςεπ λ σµµαµ [θη] ατ κω α γ ν[ασ] ουν υ

. [ ]

[ ]΄

aMγµκ α γ ε λ

µη ατ κα′∂ ∫

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2

. [ ]

[ ]΄



3


ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΛΓΕΒΡΑ ...................................................................................................... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Οι φυσικοί αριθµοί. .................................................................................... 5 Α.1.1: Οι φυσικοί αριθµοί - ∆ιάταξη φυσικών - Στρογγυλοποίηση....................................... 5

Α.1.2: Πρόσθεση – Αφαίρεση και Πολλαπλασιασµός φυσικών αριθµών................................ 6

Α.1.3: ∆υνάµεις φυσικών αριθµών. ............................................................................... 7

Α.1.4: Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα. ..................................................................... 9

Α.1.5: Χαρακτήρες διαιρετότητας – Μ.Κ.∆. – Ε.Κ.Π. –

Ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. ..................................................... 11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Τα κλάσµατα .......................................................................................... 15 Α.2.1: Η έννοια του κλάσµατος................................................................................... 15

Α.2.2: Ισοδύναµα κλάσµατα....................................................................................... 16

Α.2.3: Σύγκριση κλασµάτων....................................................................................... 17

Α.2.4 – Α.2.6: Πρόσθεση – Αφαίρεση – Πολλαπλασιασµός - ∆ιαίρεση κλασµάτων. ............. 18

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ∆εκαδικοί αριθµοί. .................................................................................. 24 Α.3.1: ∆εκαδικά κλάσµατα – ∆εκαδικοί αριθµοί – ∆ιάταξη δεκαδικών αριθµών -

Στρογγυλοποίηση. .................................................................................................... 24

Α.3.2: Πράξεις µε δεκαδικούς αριθµούς – ∆υνάµεις µε βάση δεκαδικό αριθµό..................... 25

Α.3.4: Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών. ............................................................ 26

Α.3.5: Μονάδες µέτρησης. ......................................................................................... 26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις και προβλήµατα......................................................................... 32 Α.4.0: Η έννοια της µεταβλητής.................................................................................. 32

Α.4.1: Η έννοια της εξίσωσης. .................................................................................... 32

Α.4.2: Επίλυση προβληµάτων. .................................................................................... 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο Ποσοστά................................................................................................. 36 Α.5.1: Ποσοστά........................................................................................................ 36

Α.5.2: Προβλήµατα µε ποσοστά. ................................................................................. 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο Ανάλογα ποσά. ........................................................................................ 38 Α.6.1: Παράσταση σηµείων στο επίπεδο. ...................................................................... 38

Α.6.2: Λόγος δύο αριθµών - Αναλογία. ........................................................................ 38

Α.6.3: Ανάλογα ποσά – Ιδιότητες ανάλογων ποσών. ...................................................... 39

Α.6.4: Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας. .............................................................. 39

Α.6.5: Προβλήµατα ανάλογων ποσών. ......................................................................... 39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο Θετικοί και αρνητικοί αριθµοί. .................................................................... 41 Α.7.1: Θετικοί και αρνητικοί αριθµοί (Ρητοί αριθµοί) –

Η ευθεία των ρητών – Τετµηµένη σηµείου. ................................................................... 41

Α.7.2: Απόλυτη τιµή ρητού – Αντίθετοι ρητοί – Σύγκριση ρητών. ..................................... 41

Α.7.3: Πρόσθεση ρητών αριθµών. ............................................................................... 43

Α.7.4: Αφαίρεση ρητών αριθµών................................................................................. 43

Α.7.5.: Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών. ................................................................... 44

Α.7.6.: ∆ιαίρεση ρητών αριθµών. ................................................................................ 45 Α.7.8 – 7.9.: ∆υνάµεις ρητών αριθµών µε εκθέτη ακέραιο. ............................................. 45

. [ ]

[ ]΄




4

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ..................................................................................................48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Βασικές γεωµετρικές έννοιες. .....................................................................48 Β.1.1.: Σηµείο – Ευθύγραµµο τµήµα – Ηµιευθεία – Επίπεδο – Ηµιεπίπεδο..........................48

Β.1.2.: Γωνία – Γραµµή – Επίπεδα σχήµατα – Ευθύγραµµα σχήµατα – Ίσα σχήµατα............48

Β.1.3-1.4.: Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράµµων τµηµάτων –

Απόσταση σηµείων – Μέσο ευθύγραµµου τµήµατος &

πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράµµων τµηµάτων. ..........................................................49

Β.1.5-1.6.: Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών – ∆ιχοτόµος γωνίας &

είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες. ..................................................................................49

Β.1.7-1.8.: Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισµα γωνιών & Παραπληρωµατικές και

Συµπληρωµατικές γωνίες – Κατακορυφήν γωνίες. .........................................................50

Β.1.9.: Θέσεις ευθειών στο επίπεδο. .............................................................................53

Β.1.10.: Απόσταση σηµείου από ευθεία – Απόσταση παραλλήλων ευθειών........................53

Β.1.11.: Κύκλος και στοιχεία του κύκλου. .....................................................................54

Β.1.13.: Σχέσεις ευθείας και κύκλου.............................................................................54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Συµµετρία. ..............................................................................................55 Β.2.1 – 2.2.: Συµµετρία ως προς άξονα – Άξονας συµµετρίας. ..........................................55

Β.2.3.: Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος.................................................................56

Β.2.4 – 2.5.: Συµµετρία ως προς σηµείο – Κέντρο συµµετρίας. .........................................56

Β.2.6.: Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από µία άλλη ευθεία. ......................................57

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Τρίγωνα – Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια......................................................59 Β.3.1.: Στοιχεία τριγώνου – Είδη τριγώνου....................................................................59

Β.3.2.: Άθροισµα γωνιών τριγώνου – Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου. ...............................59

Β.3.3 – 3.4.: Παραλληλόγραµµα – Ορθογώνιο – Ρόµβος – Τετράγωνο –

Τραπέζιο – Ισοσκελές τραπέζιο και οι ιδιότητές τους. ......................................................62

. [ ]

[ ]΄



5


ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Οι φυσικοί αριθµοί.

Α.1.1: Οι φυσικοί αριθµοί - ∆ιάταξη φυσικών - Στρογγυλοποίηση

1. Οι φυσικοί αριθµοί είναι: Α. Οι αριθµοί 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Β. Οι αριθµοί 1,3,5,7,... Γ. Οι αριθµοί 1,2,3,4,... ∆. Οι αριθµοί 0,1,2,3,...

2. Οι άρτιοι αριθµοί είναι: Α. Οι µονοί Β. Οι 0,2,4,6,8 Γ. Οι 0,2,4,6,8,... ∆. Οι 1,3,5,...

3. Ο αριθµός 50 005 διαβάζεται: Α. Πέντε χιλιάδες πέντε Β. Πενήντα χιλιάδες κόµµα πέντε Γ. Πενήντα χιλιάδες πέντε ∆. Τίποτα από τα πάρα-πάνω

4. Τις περισσότερες δεκάδες έχει ο αριθµός; Α. 100 Β. 350 Γ. 180 ∆. 200

5. Ο αριθµούς που έχει το µεγαλύτερο ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων είναι ο; Α. 356 125 Β. 72 532 Γ. 9 999 ∆. 80 000

6. Με ποιο τρόπο γράφουµε το 15 στον αρχαίο ελληνικό τρόπο γραφής; Α. ε΄ Β. XV Γ. Αε΄ ∆. ιε΄

7. Ο αριθµός 19 532 στρογγυλοποιούµενος στην πλησιέστερη χιλιάδα γίνεται: Α. 19 000 Β. 19 600 Γ. 20 000 ∆. 19 500

8. Η δοκιµή της αφαιρέσεως γίνεται αν: Α. Στον αφαιρετέο προσθέσουµε την διαφορά Β. Στον µειωτέο προσθέσουµε την διαφορά Γ. Απ' τον αφαιρετέο αφαιρέσουµε την διαφορά ∆. Απ' τον αφαιρετέο αφαιρέσουµε τον µειωτέο

9. Μία οµάδα µπάσκετ έχει 10 παίκτες από τους οποίους ο µικρότερος είναι 20 ετών και ο µεγαλύτερος είναι 28. Να εξεταστεί αν υπάρχουν δύο παίκτες µε την ίδια ηλικία. (Ε.Μ.Ε., Θαλής 1997)

10. Να γράψετε όλους τους διψήφιους αριθµούς που έχουν ένα τουλάχιστον ψηφίο τους το 6.

11. Να γράψετε όλους τους διψήφιους αριθµούς που έχουν άθροισµα ψηφίων 6.

12. α. Να σχηµατίσετε όλους τους τριψήφιους αριθµούς που χρησιµοποιούν από µία φορά τα ψηφία 1,2,3 και να τους διατάξετε κατά αύξουσα σειρά. β. Ποιοι από τους παραπάνω αριθµούς είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί;

. [ ]

[ ]΄




6

Α.1.2: Πρόσθεση – Αφαίρεση και Πολλαπλασιασµός φυσικών αριθµών.

13. Το 50-(65-35) Α. ∆εν δίνει αποτέλεσµα Β. Ισούται µε 30 Γ. Ισούται µε 25 ∆. Ισούται µε 20

14. Αν α=25, β=10, γ=5, τότε το α-(β-γ) ισούται µε: Α. 10 Β. 20 Γ. 5 ∆. 0

15. Το αποτέλεσµα της πράξεως 0.α είναι: Α. 0 Β. 1 Γ. Α ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

16. Το αποτέλεσµα των πράξεων 7-3.2 είναι: Α. 8 Β. 6 Γ. 1 ∆. 5

17. Αν α=14, β=6, γ=3, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: Α=5(α+γ)-2β+7 Β=4(α-β+γ)-2α+βγ Γ=2β-γ+α Στη συνέχεια, να συγκρίνετε τις τιµές που βρήκατε.

18. Αν α=8 και β+γ=10, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης (α+β)+γ.

19. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. 1+2+3+…+97+98+99 β. 1+2+3+…+37+38+39 γ. 1+2+3+…+97+98+99+100 δ. 1+2+3+…+998+999+1000

20. Να βρεθεί η τιµή της παράστασης: Α=(200+196+192+…+8+4)-(198+194+190+…+6+2) (Ε.Μ.Ε., Ευκλείδης 1999)

21. Να γίνουν οι πράξεις: ι. 5.(2+3) ιι. 6.(α+1) ιιι. 2.(χ+ψ-1) ιν. 3.(χ-2+ω).5

22. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις. ι. Α=χ+2χ+6χ+8χ ιι. Β=3χ-χ+7χ+8χ+10χ ιιι. Γ=χ+χ+ψ+χ+ψ+χ ιν. ∆=4χ+5ψ+3χ-ψ ν. Ε=α+α+α+α+α-α νι. Ζ=β+3β-2β+12β

23. ∆ίνεται η παράσταση Α=7(χ+ψ)+3(χ-ψ)-6χ+12. ι. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α.

ιι. Αν χ+ψ=7, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α

. [ ]

[ ]΄



7


24. Αν α+2β=6, να βρεθεί η τιµή των παραστάσεων:

Α=α+2(β+1)+2010 Β=α=3(2β+4)+2α

25. Να µετατρέψετε σε γινόµενο τις παραστάσεις: ι. χ+2χ+6χ-5χ ιι. 10ψ-2ψ+ψ-ψ ιιι. 3χ+2χ+5ψ-χ-ψ ιν. 2 2 212χ 6χ 2ψ− + ν. 5αβ+10αβ-6αβ+αβ νι. 2χ χ+ νιι. 4 3 212χ 6χ 24χ+ +

26. Το 1.x ισούται µε: Α. x Β. 1 Γ. 0 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

27. Το α+α+α+α ισούται: Α. 4 Β. 4α Γ. 4+α ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

28. Αν 3α=20 η τιµή του γινοµένου 3(α+5) ισούται µε: Α. 15 Β. 36 Γ. 35,5 ∆. 35

29. 12x-11x ισούται µε: Α. 1 Β. x Γ. 23x ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

30. αβ+α ισούται µε: Α. α(β+1) Β. α(β+γ) Γ. αβ ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

Α.1.3: ∆υνάµεις φυσικών αριθµών.

31. ∆ίνονται οι αριθµοί στην ανεπτυγµένη τους µορφή: ι. 2 100 3 10 7 1⋅ + ⋅ + ⋅ ιι. 5 1000 2 100 9 10⋅ + ⋅ + ⋅ ιιι. 7 1.000.000 4 10.000 6 10 1 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ Να γραφούν στην δεκαδική τους µορφή.

32. Να γράψετε µε σύντοµο τρόπο τα παρακάτω:

α. χ χ χ χ⋅ ⋅ ⋅

β. 20 φορές

1 1 1 ... 1 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

γ. 9 φορές 12 φορές

2 2 2 ... 2 2 3 3 3 ... 3 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

δ. ψ ψ ψ ψ ψ ψ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ε. 5 β β β⋅ ⋅ ⋅ στ. ω ω ω ω 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ζ. 5 χ χ⋅ ⋅ η. ω ω ω ω ω 8⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ θ. 2 ψ ψ 5⋅ ⋅ ⋅

. [ ]

[ ]΄




8

ι. κ κ κ λ λ λ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ κ. λ λ λ µ⋅ ⋅ +

λ. ( ) ( )κ λ κ λ+ ⋅ +

µ. α β α β γ γ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ν. α β α β γ γ+ + + + ⋅ ξ. χ χ χ χ χ χ+ + + ⋅ ⋅

33. Να υπολογίσετε τις δυνάµεις:

( )( )

( )

22

23

3 2

2

3

2

2 2

6 2

⎧⎪⎪⎪⎨⎪ ⋅⎪⎪ −⎩

34. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2Α χ 100 χ 101 χ 102 ... χ 225= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

για χ=15

35. Να γράψετε το αριθµό 6 6 6 6 6 6α 6 6 6 6 6 6= + + + + + ως µία δύναµη. (Ε.Μ.Ε., Ευκλείδης 1992)

36. Να βρείτε τον φυσικό αριθµό χ για τον οποίο ισχύει:

ι. 2χ 16= νι. 2χ 1 24− = ιι. 6χ 64= νιι. χ3 27=

ιιι. ( )3χ 1 27+ = νιιι. χ7 49=

ιν. 32 χ 128⋅ = ιχ. χ2 128= ν. 210 χ 1− = χ. χ10 10.000=

37. Το 25 ισούται µε: Α. 10 Β. 25 Γ. 32 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

38. Το 23 διαβάζεται: Α. ∆εύτερη δύναµη του τρία Β. Τρία στην δευτέρα Γ. Τρία στο τετράγωνο ∆. ∆ύο στον κύβο

39. Το α.α.α γράφεται: Α. 3α Β. α3 Γ. 3α ∆. α+α+α

40. Το 17 ισούται µε: Α. 1 Β. 7 Γ. 17 ∆. 0

41. Το 107 προήλθε από το: Α. 1 000 000 Β. 100.100 000 Γ. 10.7 ∆. Τίποτα από τα πάρα-πάνω

. [ ]

[ ]΄



9


Α.1.4: Ευκλείδεια διαίρεση - ∆ιαιρετότητα.

42. Να γίνει η ευκλείδεια διαίρεση του 1453 µε το 7 και να γραφτεί η ισότητα που προκύπτει.

43. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες προκύπτουν από Ευκλείδεια διαίρεση και αν

ναι από ποιες; ι. 37=5.6+7 ιι. 47=5.8+7 ιιι. 67=7.9+4 ιν. 108=9.11+9

44. Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας αν είναι γνωστό ότι όλοι οι διαιρετέοι ∆ είναι περιττοί.

∆ δ π υ 8 9 5

83 13 2 37

45. Ποιος είναι ο µεγαλύτερος φυσικός αριθµός που αν διαιρεθεί µε το 7 δίνει πηλίκο 100;

46. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού 2010α 5= µε το 5. Ποιο είναι το πηλίκο της διαίρεσης;

47. Να βάλετε παρενθέσεις στη σωστή θέση έτσι ώστε να αληθεύουν οι ισότητες: ι. 14+2.6=96 ιι. 33-5-1=29 ιιι. 3.6-5.2=6 ιν. 27-3:3=8

48. Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω αριθµητικών παραστάσεων: 3 2 415 3 :9 5 3 2− + ⋅ +

4 3 21 5 :25 3 4 15+ + ⋅ −

49. Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων:

( )2 2 4Α 7 5 2= − +

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2Β 3 2 2 5 : 4 3 2 :5 3 11 86= ⋅ − ⋅ − − + ⋅ −

( ) ( )2 24 2 2Γ 2 3 :7 4 2 3 2 :9= − + ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2∆ 3 2 2 3 7 2 10 :9 3 3 5 5 7 2= ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ − + ⋅ −

. [ ]

[ ]΄




10

50. Να υπολογίσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις:

( ) ( ) ( )210 6 12 9 3 2Α 2 :2 3 : 3 3 5 2 3= − ⋅ + ⋅ +

( ) ( ) ( )3 3 2Β 5 2 1 8 3 20 8 5 15= ⋅ − + ⋅ − − ⋅ −

(Ε.Μ.Ε., Θαλής, 2001) 51. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

( )( )

( )

= + ⋅ − ⋅

= + ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − +

= − ⋅ + ⋅ −

3

3

4

Α 42 :6 3 3 5 2

Β 65:13 7 2 3 2 2

Γ 11 5 20,5 4 88 :11

∆ 56 2 2 4 12 18 :6

52. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

⋅ − ⋅ + ⋅ −

− ⋅ + ⋅ ⋅ −

⋅ − ⋅ −

− ⋅ + ⋅ −

2 2 3

2 4

22

2 2 2

α. 3 5 5 3 2 2 8

β. 4 2 5 5 3 7 5

γ. 18 10 :10 2 3 1

δ. 7 3 4 2 8 7

53. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

( ) ( )( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

= + ⋅ − + + − ⋅

= − − ⋅ +

= + − +

= − ⋅ −

= + ⋅ −

= ⋅ − − −

= − +

= + − ⋅

= + ⋅ + −

85 52 3

2

2 2 2

5

2 3

4 2 2

2 4

22 2 2

Α 6 3 4 47 3 2 3 9

Β 2,4 1,2 1,2 0,1 0,06

Γ 3 2 3 2

∆ 6,8 :0,2 2 2 0,3

Ε 2 :8 4 3 18 :9

Ζ 3 2 5 64 : 11 3

Η 2 6 8 :10

Θ 6 8 : 2 2 3

Ι 0,1 0,7 10 2,8 1,2

54. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα:

( )

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

− + ⋅ − +

− + ⋅

5 5 5 5

3 2

α. 1020 42+2040 42-2060 42β. 132 5+132 2-132 6γ. 2 12 2 38 2 24 2 16

. 18 3 2 4 2 :8 18 :3

. 23,28 16,2 :2,25 2,45 1,6

δ

ε

55. Στη διαίρεση 30:3=10 το υπόλοιπο είναι: Α. 10 Β. 30 Γ. 3 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

. [ ]

[ ]΄



11


56. Στην διαίρεση 16:2=8 το 2 είναι:

Α. ∆ιαιρετέος Β. ∆ιαιρέτης Γ. Πηλίκο ∆. Υπόλοιπο

57. Το αποτέλεσµα της πράξεως 0:x όπου x≠0 είναι: Α. x Β.1 Γ. 0 ∆. α

58. Αν ένας φυσικός αριθµός διαιρεθεί µε το 3 αφήνει υπόλοιπο: Α. Μικρότερο του 3 Β. Μεγαλύτερο του 3 Γ. 3 ∆. 0

59. Στην ισότητα 93=6.14+9 που προκύπτει από ευκλείδεια διαίρεση ισχύει: Α. ∆ιαιρετέος = 93, διαιρέτης = 6, πηλίκο = 14, υπόλοιπο = 9 Β. ∆ιαιρετέος = 6, διαιρέτης = 93, πηλίκο = 14, υπόλοιπο = 9 Γ. ∆ιαιρετέος = 93, διαιρέτης = 6, πηλίκο = 9, υπόλοιπο = 14 ∆. ∆ιαιρετέος = 93, διαιρέτης = 14, πηλίκο = 6, υπόλοιπο=9

Α.1.5: Χαρακτήρες διαιρετότητας – Μ.Κ.∆. – Ε.Κ.Π. – Ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων.

60. Το Ε.Κ.Π των αριθµών 4 και 6 είναι ο αριθµός: Α. 24 Β. 2 Γ. 12 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

61. Να αποδείξετε ότι:

ι. Ο αριθµός 2α+12β είναι πολλαπλάσιο του 2 ιι. Ο αριθµός 15χ+30ψ είναι πολλαπλάσιο του 15

62. Να εξηγήσετε γιατί ο αριθµός Μ=13.κ+26 διαιρείται µε το 13 όποια τιµή και αν πάρει ο φυσικός αριθµός κ.

63. Για ποια ψηφία χ και ψ διαιρείται δια του 45 ο αριθµός του οποίου η παράσταση στο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης είναι 6χ12ψ; (Ε.Μ.Ε., Θαλής, 2005)

64. Γράφουµε στη σειρά τους αριθµούς από το 1990 έως και το 1997 και σχηµατίζουµε ένα αριθµό. Να εξετάσετε αν ο αριθµός αυτός είναι πρώτος ή σύνθετος.

65. Να βρεθεί ο Μ.Κ.∆.(30,45)

66. Να απλοποιηθεί το κλάσµα 660720

67. Ένας ανθοπώλης έχει 48 τριαντάφυλλα, 84 γαρύφαλλα και 120 µαργαρίτες. Πόσες το πολύ ανθοδέσµες µπορεί να κάνει που να έχει η καθεµία τον ίδιο αριθµό από αυτά τα λουλούδια. Πόσα από αυτά θα περιέχει η κάθε ανθοδέσµη;

68. Αν διαιρέσουµε έναν αριθµό χ µε το 32 θα πάρουµε υπόλοιπο 16. Ποιος είναι ο Μ.Κ.∆.(χ,32);

69. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π.(12,15,24).

70. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π.(96,144,240).

. [ ]

[ ]΄




12

71. Τρία παιδιά προπονούνται σε ένα κυκλικό στίβο και ξεκινούν συγχρόνως από

το σηµείο Α τρέχοντας οµόρροπα. Ο πρώτος κάνει τον κύκλο σε 45 δευτερόλεπτα, ο δεύτερος σε 75 και ο τρίτος σε 90. Μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα φτάσουν και οι τρεις στο σηµείο Α και πόσες στροφές θα κάνει ο καθένας;

72. Ποιος είναι ο Μ.Κ.∆. και το Ε.Κ.Π. των αριθµών α=24 και β=80;

73. Οι κοινοί διαιρέτες του 6 και του 15 είναι: Α. Ο 3 Β. Οι 1, 3 Γ. Ο 30 ∆. Τίποτα από τα πάρα-πάνω

74. Ο ΜΚ∆ του 2 και του 3 είναι ο: Α. 2 Β. 3 Γ. 1 ∆. ∆εν υπάρχει

75. Αν ο 3 διαιρεί τον φυσικό αριθµό α, τότε θα διαιρεί και τον:

Α. 5α Β. α2

Γ. α-1 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

76. Ο αριθµός 7 999 999 999 999 999 999 992 διαιρείται µε το: Α. 2 και 5 Β. 2, 5 και 9 Γ. 2 και 9 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

77. Ο αριθµός 123 5 διαιρείται µε το 5 όταν το είναι: Α. 5 Β. 0 Γ. 4 ∆. Οτιδήποτε

78. Ένας φυσικός αρθµός διαιρείται µε το 8. Τότε θα διαιρείται σίγουρα και µε το: Α. 24 Β. 16 Γ. 10 ∆. 2

79. Ποιό από τα επόµενα είναι σωστό; Α. Αν ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 3, θα διαιρείται και µε το 9 Β. Αν ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 9, θα διαιρείται και µε το 3 Γ. Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν λήγει σε 9 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

80. Αν α=22.35.52 τότε ο 6α αναλύεται σε γινόµενο πρώτων παραγόντων ως εξής: Α. 22.35.52.6 Β. 22.35.52 Γ. 23.36.52 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

81. (3+5)2 ισούται µε: Α. 34 Β. 64 Γ. 16 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

82. Το 12-3.3 ισούται µε: Α. 27 Β. 9 Γ. 3 ∆. Τίποτα από τα πάρα-πάνω

83. Αν το γ=3, τότε το 1+3γ2 ισούται µε: Α. 36 Β. 28 Γ. 27 ∆. 81

84. Αν x+y=3 ποιο είναι το άθροισµα της παραστάσεως 7+x+1+y; Α. 8 Β. 11 Γ. 7 ∆. 14

85. Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθµοί που όταν διαιρεθούν µε το 4 δίνουν πηλίκο 10.

86. Να συµπληρωθεί ο αριθµός 3_51_ ώστε να διαιρείται µε το 5 και το 9.

. [ ]

[ ]΄



13


87. Ποιοι από τους αριθµούς 124, 687, 123456, 10000005, 55917 διαιρούνται µε

το 2,3,5 και 9;

88. Να συµπληρώσετε τα κενά ώστε, οι αριθµοί να διαιρούνται µε το 2,3,5 και 9 αντίστοιχα:

2_4_, 3_5_71, 1_23_, 56_8_

89. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως στο παράδειγµα

∆ιαιρείται µε το Αριθµός 2 3 5 9

123 ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ 1011 2202 3330 4044 5505 6066 7770 80808 909090

90. Να βρεθεί η τιµή της παράστασης:

( ) ( ) ( )= + − ⋅ + −1083 2 2 3Α 2 1 : 5 11 2 3 2

91. Εξετάστε αν το παρακάτω τετράγωνο είναι µαγικό όταν:

α κ ν

β λ 3

γ 1 µ

Ο α είναι ο µικρότερος άρτιος πρώτος αριθµός. Ο β είναι το τετράγωνο του 3. Ο = ⋅γ 0,07 0,1: 0,001 Ο κ είναι φυσικός αριθµός που όταν διαιρείται µε το 2 δίνει πηλίκο 5 και υπόλοιπο 1

Ο λ είναι λύση της εξίσωσης: 10-χ=4 Ο = − + ⋅4 3 0µ 2 2 2 3 Τον αριθµό ν θα τον βρούµε έτσι ώστε ο αριθµός 211ν να διαιρείται ταυτόχρονα µε το 9 και το 5

92. Ένας βιβλιοπώλης έχει 12 µαρκαδόρους 16 στυλό και 24 µολύβια. Πόσες το πολύ όµοιες κασετίνες µπορεί να φτιάξει; Πόσα στυλό, πόσα µολύβια και πόσους µαρκαδόρους θα έχει η κασετίνα;

. [ ]

[ ]΄




14

93. Ένας γεωργός φύτεψε σήµερα µαϊντανό. Γνωρίζει ότι πρέπει να τον ποτίζει

κάθε 4 ηµέρες, να βγάζει τα χόρτα κάθε 6 ηµέρες και να κόβει από το µαϊντανό κάθε 10 ηµέρες. Να βρείτε σε πόσες ηµέρες το λιγότερο θα κάνει και τις τρεις εργασίες µαζί. Κάθε πόσες ηµέρες ο γεωργός θα κάνει και τις τρεις εργασίες µαζί;

. [ ]

[ ]΄



15


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Τα κλάσµατα

Α.2.1: Η έννοια του κλάσµατος.

1. Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο µε πλευρά 4 cm και να γραµµοσκιάσετε:

ι. Το 18

του τετραγώνου.

ιι. Τα 316


ιιι. Τα 532


2. Ο Πέτρος στα γενέθλιά του έβαλε τα 32 cd’ s από τα 76 που είχε προγραµµατίσει.

ι. Ποιο µέρος των cd’ s χρησιµοποίησε. ιι. Ποιο µέρος των cd’ s δεν χρησιµοποίησε.

3. Ένα ζευγάρι παπούτσια κοστίζει 65€ αλλά στην περίοδο των εκπτώσεων µας κάνουν έκπτωση 13€.

ι. Ποιο µέρος της αρχικής τιµής είναι η έκπτωση;. ιι. Ποιο µέρος της αρχικής τιµής είναι τα χρήµατα που πληρώσαµε;

4. Τα 45

των µαθητών µίας τάξης είναι 20 παιδιά. Πόσοι είναι οι µαθητές της

τάξης;

5. Μία διαφηµιστική εταιρία ξοδεύει κάθε µήνα το 13

των εσόδων της για

γραφική ύλη. Αν το µήνα Μάρτιο πλήρωσε για γραφική ύλη 340€, να βρείτε πόσα ήταν τα έσοδα της εταιρίας αυτό το µήνα.

6. Τα 27

των µαθητών της Γ΄ Λυκείου ενός σχολείου πηγαίνει στην τεχνολογική

κατεύθυνση, τα 58

στη θεωρητική και οι υπόλοιποι στη θετική. Αν στη

θεωρητική πηγαίνουν 35 παιδιά, να βρείτε:

ι. Πόσους µαθητές έχει η Γ΄ Λυκείου αυτού του σχολείου.

ιι. Πόσοι µαθητές πηγαίνουν στη θετική και πόσοι στην τεχνολογική κατεύθυνση.

ιιι. Ποιο µέρος των µαθητών της Γ΄ Λυκείου αποτελούν τα παιδιά της θετικής κατεύθυνσης.

7. Τα 437

των µαθητών ενός σχολείου είναι 20 µαθητές. Τα 1237

είναι:

Α. 60 µαθητές Β. 5 µαθητές Γ. 185 µαθητές ∆. 370 µαθητές

. [ ]

[ ]΄




16

8. Να βρείτε για ποιες τιµές του αριθµού χ ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις:

ι. 5χ

ιι. 3

χ 7−

ιιι. χ 1

2χ 4−−

ιν. ( )5

χ χ 1⋅ −

ν. 3

2χ 8−

Α.2.2: Ισοδύναµα κλάσµατα.

9. Να ελέγξετε αν τα παρακάτω κλάσµατα είναι ισοδύναµα:

ι. 5 8και3 5

ιι. 0 0και3 5

10. Να µετατρέψετε καθένα από τα παρακάτω κλάσµατα µε παρονοµαστή το 100: 5 5 3 3 3 χ, , , , ,2 4 5 20 25 50

11. Να γράψετε ως κλάσµατα µε παρονοµαστή το 5 τους αριθµούς: 1, 2, 3, 5, 20, 50, 70, α.

12. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσµατα: 2 17 15 10 6 27 16 666 2323, , , , , , , ,4 34 75 5 8 45 20 111 4545

13. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσµατα: 12 13 32 144 2 5 7, ,24 13 32 12 4 10 7

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

14. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσµατα: 2 3 2 3 2 5 6 7 3 6 3 2

3 2 3 5 6 4 5 2 2

χ χ ν α β χ ψ ζ χ ψ χ ψ α β, , , , , , ,χ χ α βν α β χ ψ ζ χ ψ χ ψ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

15. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσµατα:

ι. ( )2 2 34 2 3 9 8 3 2

21

− ⋅ + − ⋅ −

ιι. ( )2

3 2

20104 2 2 3 4 2010 4⋅ − − ⋅ + −

. [ ]

[ ]΄



17


16. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσµατα:

ι. χ 3

2χ 6−−

ιι. 5χ 20χ 4−−

ιιι. 6χ 125χ 10

−−

ιν. 2χ χχ 1−−

ν. 2

2α 3.010 32β 2α 1.000 32β2010

+ + − − −

Α.2.3: Σύγκριση κλασµάτων.

17. Να συγκρίνετε τους παρακάτω αριθµούς και να δικαιολογήσετε την απάντησή

σας:

ι. 1...12

ιι. 3 4...4 3

ιιι. 7 7...3 5

ιν. 3 7...5 15

ν. 13 3...4 2

νι. 362...18

18. Να συγκρίνετε τα παρακάτω κλάσµατα µε τη µονάδα: 3 1 2 3 4

2 3 1 2 3

7 25 2 3 2 9 2 2 2 2, , , ,5 26 2 2 3 3 3

⋅ + + + ++ +

19. Να συγκρίνετε τα παρακάτω κλάσµατα µε τη µονάδα (όπου χ φυσικός αριθµός): χ 3 7χ 3 2χ 3χ, , ,χ 7χ 4 5χ 3χ 1+ −

+ +

20. Αν α 1α= . Τότε το 5α

5α ισούται µε:

Α. 5 Β. 1 Γ. α ∆. 5α

21. Αν 123x+103

= 1. Τότε:

Α. x=123 B. x=103 Γ. x=20 ∆. x=1

. [ ]

[ ]΄




18

22. Αν 5α=8β ποια είναι η σωστή ισότητα;

Α. 5 8=α β

Β. α β=5 8

Γ. 5 β=α 8

∆. α 8=β 5

23. Αν 25

< αβ

< 35

τότε το αβ

µπορεί να ισούται µε:

Α. 45

Β. 15

Γ. 55

∆. 12

24. Αν α=58, β=573

, γ=583

, δ=574

τότε:

Α. α<β<γ<δ Β. α<γ<δ<β Γ. δ<β<γ<α ∆. β<α<γ<δ

25. Το 6αα

ισούται µε:

Α. α Β. 1 Γ. 6α ∆. 6

26. Αν αβ

=3 τότε το α+βα

ισούται µε:

Α. 3 Β. 13

Γ. 4 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

Α.2.4 – Α.2.6: Πρόσθεση – Αφαίρεση – Πολλαπλασιασµός - ∆ιαίρεση κλασµάτων.

27. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις:

ι. 1 112 3− νιι.

1 11 22 2⋅

ιι. 582

+ νιιι. 21 147 3

⋅

ιιι. 5 112 4− ιχ.

48 :7

ιν. 5 2 13 9 12+ + χ.

1 1:2 3

ν. 3 210

⋅ χι.

593

3 57

⋅

νι. 1 525 7⋅ χιι.

3 :612

. [ ]

[ ]΄



19


28. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα:

+ +

+ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3 3α.4 5 205 1 5 1β.3 6 12 4

1 2 3γ. 23 3 41 4δ. 2 35 5

29. Να γίνουν οι πράξεις: 2 3 1 1α. 25 5 6 3

2 3 6 13 5β. 27 4 8 4 21 1 1 1γ.6 2 3 41 3 3δ. :5 8 5

1 3 3 3ε. : :5 5 8 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

+

8 6333 57ζ. , η. , θ. , ι.

5 4 2 32 7 5

. [ ]

[ ]΄




20

30. Να γίνουν οι πράξεις:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠=

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎛ ⎞+ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

5 3 15 1Α :6 4 16 2

2 4 1Β :3 3 21 1 1 1 1 1Γ : 4 :2 3 4 5 6 32 1 1 2 1 1 1 3∆ :5 4 2 3 3 5 6 5

5 1 12 18 8 4Ε

7 122 8

3 3 1 2 54 5 2 3 6Ζ1 1 22 6 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠4 35 4

31. Να κάνετε µε τον πιο σύντοµο τρόπο τους πολλαπλασιασµούς:

ι. 2 63 7⋅ ιιι.

133⋅

ιι. 40 101202 32

⋅ ιν. 2 6 103 5 2⋅ ⋅

32. Να κάνετε τις πράξεις: 3 6 2 2 3 184 15 14 8 5 21+ + + + +


ι. 3 3 3 34 4 4 4+ + +

ιι. 3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4+ + + + +

ιιι. 2010 προσθετέοι

1821 1821 1821 1821 1821...2010 2010 2010 2010 2010

+ + + + +

34. Έστω οι αριθµητικές παραστάσεις: 3 4Α 22 5

= + ⋅ και 4 1Β 3 55 10

= ⋅ − ⋅ . Να βρείτε τον αντίστροφο του αριθµού Α+Β

. [ ]

[ ]΄



21


35. ∆ίνονται οι παραστάσεις:

3 4 5 2001 1 1 1 1Α 2 ... , Β 1 ...2 3 4 2000 2 3 4 2000

= + + + + + = + + + + +

Να βρείτε τον αριθµό Α-Β. (Ε.Μ.Ε., Θαλής 2000)

36. Να υπολογίσετε τον αριθµό α β2+ αν είναι:

1 1 1 1 1α 1 ...2 3 4 1998 19992 4 6 3994 3996β 1 ...4 6 8 3996 3998

= + + + + + +

= + + + + + +

37. Αν 3 1α β και γ δ8 4

+ = + = να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων:

5Α α γ β δ6

3Β 2α γ δ 2β12

= + + + +

= + + + +

38. Αν χ 3, ψ 0,ψ

= ≠ να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων:

χ 3ψΚψ

5χ ψΛ5ψ

+=

+=

39. Τρεις φίλοι έχουν πάει µαζί εκδροµή και έχουν ο πρώτος 90€, ο δεύτερος 40€

παραπάνω από τα 23

των χρηµάτων του πρώτου και ο τρίτος διπλάσια από τα

23

των χρηµάτων του πρώτου.

α. Πόσα χρήµατα έχουν ο δεύτερος και ο τρίτος; β. Αν το δωµάτιο που θέλουν να µείνουν στοιχίζει 60€ τη βραδιά πόσες το πολύ διανυκτερεύσεις µπορεί να κάνει ο καθένας;

40. Ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ έχει µήκος 17cm. Να σχεδιάσετε ένα τµήµα:

ι. Γ∆ µε µήκος τα 317

του ΑΒ

ιι. ΕΖ µε µήκος τα 1134

του ΑΒ

. [ ]

[ ]΄




22

41. Να συµπληρώσετε τη στήλη Β µε τους αντίστροφους των αριθµών της στήλης

Α.

χ 1χ

1 54 3+ 210

χ , χ 03

≠

2 , χ 4χ 4

≠−

152⋅

1 α β2 2+

42. Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα σε απλά:

Σύνθετα κλάσµατα Απλά κλάσµατα

2515

247

5212

2αβ , α 0, β 06α3

≠ ≠

2ζ , ζ 0ζ2

≠

. [ ]

[ ]΄



23


43. Να κάνετε τις πράξεις:

ι. 2

2

3 1 1 122 2 3 3 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ιι. 20093 5 1 7: 14 4 2 10

+ − +

ιιι. 37 6 1 2: 3

3 21 5 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ιν. 2 1 1 2 1 1 1 3:5 4 2 3 3 5 6 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ν.

5 25 11 4 8: :14 21 15 9

1 12 13 2

⋅+

−

νι.

5 1 12 118 8 4

7 122 8

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

−

νιι. 113

133

++

. [ ]

[ ]΄




24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ∆εκαδικοί αριθµοί.

Α.3.1: ∆εκαδικά κλάσµατα – ∆εκαδικοί αριθµοί – ∆ιάταξη δεκαδικών αριθµών - Στρογγυλοποίηση.

1. Μία βιοτεχνία κουστουµιών χρειάζεται για κάθε κουστούµι 1 µέτρο και 73

εκατοστά ύφασµα για το σακάκι, 1 µέτρο και 3 δέκατα για το παντελόνι. Πόσο ύφασµα χρειάζεται συνολικά για 102 κουστούµια;

2. Μία πενταµελής οικογένεια χρειάζεται ηµερησίως κατά µέσο όρο 1 κιλό και 250 γραµµάρια µήλα, 2 κιλά και 70 γραµµάρια πορτοκάλια. Πόσα κιλά φρούτα χρειάζονται κατά µέσο όρο το µήνα;

3. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά µε το κατάλληλο σύµβολο >,=,< ι. 31,31…313,3 ιι. 12,258…12,259 ιιι. 0,523…0,5230 ιν. 3,0…0,3 ν. 125,23…124,85

νι. 8 9...9 8

νιι. 3270,0325...

10.000

4. Να βρείτε το φυσικό αριθµό χ για τον οποίο ισχύει: 5 χ 9χ 4 χ< =

5. ∆ίνονται οι αριθµοί στην ανεπτυγµένη τους µορφή: 3 100 4 10 2 1 7 0,1 9 0,01 5 0,0012 1000 3 10 7 0,01 4 0,0001⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Να τους γράψετε στη δεκαδική τους µορφή.

6. Να βρείτε το ψηφίο χ που λείπει στον αριθµό 234,6χ834 ώστε στρογγυλοποιώντας στο πλησιέστερο εκατοστό να γίνει 234,64.

7. Ο αριθµός 11,4 προέκυψε από στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο εκατοστό του αριθµού: Α. 11,317 Β. 11,397 Γ. 11,50 ∆. 11,24

8. Ένας αριθµός µεγαλύτερος του 15,3567 είναι ο: Α. 15,3558 Β. 1,53568 Γ. 15 ∆. Κανένας από τους πάρα-πάνω

9. Το µεγαλύτερο δεκαδικό µέρος έχει ο αριθµός: Α. 15,31 Β. 22,0097 Γ. 3,536 ∆. 100,091

. [ ]

[ ]΄



25


Α.3.2: Πράξεις µε δεκαδικούς αριθµούς – ∆υνάµεις µε βάση δεκαδικό αριθµό.

10. Για να προσθέσουµε δύο δεκαδικούς πρέπει να προσέξουµε: Α. Να πολλαπλασιάσουµε µε κατάλληλο αριθµό γιά να φύγουν οιυποδιαστολές Β. Να διώξουµε την υποδιαστολή του δευτέρου Γ. Στην κατακόρυφη τοποθέτηση, οι υποδιαστολές να βρίσκονται στην ίδια στήλη ∆. Ο πρώτος προσθετέος να είναι µεγαλύτερος από τον δεύτερο

11. Το άθροισµα 0,003+7 ισούται µε: Α. 10 Β. 10,000 Γ. 7,003 ∆. Τίποτα από τα πάρα-πάνω

12. Η διαφορά 15-0,01 ισούται µε: Α. 14,01 Β. 14,9 Γ. 14 ∆. Τίποτα από τα πάρα-πάνω

13. Ο πολλαπλασιασµός δεκαδικών γίνεται: Α. Αρκεί να µπει η υποδιαστολή κάτω από την υποδιαστολή Β. Όπως και των φυσικών και το αποτέλεσµα το χωρίζουµε µε υποδιαστολή από τα δεξιά προς τα αριστερά, τόσες θέσεις, όσα δεκαδικά ψηφία έχουν οι παράγοντες. Γ. Αρκεί να µπει πρώτος ο µεγαλύτερος ∆. Τίποτα από τα πάρα-πάνω

14. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: 71+10,5+91,55 80+11,5+92,45 42+33,5+82,55 40-37,6 60-55,4 14,5.17 61,72.53,04 17.44,80 (1,2+2,1).1,1

15. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: α. 10 0,1 0,01 1000β. 150 0,01 10000 4

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

16. Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: 2 3 2 3 4 2 2 2 2 20,1 , 0,1 , 0,2 , 0,2 , 0,2 , 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5

17. Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω αριθµητικών παραστάσεων: ( ) ( )( ) ( )2010

87,17 6,45 :0,15 1,3 5 2,4

10 3,02 :2 3,14 1,5 0,5

− − ⋅ −

− + ⋅ −

18. Το αποτέλεσµα της πράξεως 0,0018.100 είναι: Α. 18 Β. 0,18 Γ. 108 ∆. 1,8

. [ ]

[ ]΄




26

19. Το αποτέλεσµα της πράξεως 18.0,01 είναι:

Α. 0,18 Β. 18 Γ. 1,8 ∆. 1800

20. Η διαίρεση µε διαιρετέο δεκαδικό: Α. ∆εν γίνεται Β. Γίνεται αρκεί να διώξουµε κατάλληλα την υποδιαστολή από τον διαιρετέο Γ. Γίνεται αρκεί να βάλουµε την υποδιαστολή κάτω από την υποδιαστολή ∆. Γίνεται αρκεί ο διαιρέτης να µην είναι 0

Α.3.4: Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών.

21. Να τοποθετήσετε το κατάλληλο σύµβολο της ανισότητας (< ή >) στα παρακάτω κενά.

ι. 4 42,22 10 ...2,222 10⋅ ⋅ ιι. 12 113,08 10 ...3,8 10⋅ ⋅ ιιι. 6 71,001 10 ...1 10⋅ ⋅ ιν. 7 76,31 10 ...6,031 10⋅ ⋅

22. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις:

ι. 123.000.000 2.000.000.000⋅ ιι. 345.000 1.200.000⋅ ιιι. ( )3120.000

23. Η τυποποιηµένη µορφή του 150 000 είναι: Α. 1,5.105 Β. 15.105 Γ. 15.104 ∆. 0,15.106

24. Ο 0,002.106 στην τυποποιηµένη του µορφή γράφεται: Α. 0,002.106 Β. 0,2.104 Γ. 2.103 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

Α.3.5: Μονάδες µέτρησης.

25. Πως θα γράψουµε την απόσταση της Γης από τον ήλιο που είναι 150.000.000km σε cm;

26. Η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου είναι 72km/h. Ποια είναι η ταχύτητά του σε m/sec;

27. Πόσα στρέµµατα είναι το εµβαδόν ενός κτήµατος που οι διαστάσεις του είναι 160m και 200m;

28. Να συµπληρώσετε τις ισότητες: 2 2 2 2

2 2 2

12m 7dm 48cm .......cm0,14Km 1200m ........m

+ + =

− =

29. Όταν λειώνει ο πάγος χάνει τα 0,07 ή 7% του όγκου του. Πόσα λίτρα νερό θα δώσει όταν λειώσει 0,5m3 πάγου;

. [ ]

[ ]΄



27


30. Ο αριθµός a στον άξονα του σχ.1 ισούται µε:

Α. 2,7 Β. 9 Γ. 2,70 ∆. 2.07

31. Στο σχ.2 ισχύει για τους αριθµούς a και b: Α. a>b Β. b<a Γ. b>a ∆. a=b

32. 15,6:1 000 ισούται µε: Α. 1,561 Β. 0,156 Γ. 15600 ∆. 0,0156

33. Το πηλίκο της διαιρέσεως 28:3 µε προσέγγιση εκατοστού ισούται µε: Α. 9,3 Β. 9,33 Γ. 9,333 ∆. Τίποτα από τα προηγούµενα

34. α) Στην παρακάνω εικόνα οι χρωµατιστοί δείκτες µας δείχνουν κάποιους αριθµούς.

Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Χρώµα δείκτη Κόκκινο Μπλε Πράσινο Κίτρινο Αριθµός που αντιστοιχεί

β) Η εικόνα παριστάνει ένα στροφόµετρο , το οποίο δείχνει τις στροφές που κάνει η µηχανή µιας µοτοσικλέτας. Για να υπολογιστούν οι στροφές της µηχανής πρέπει να πολλαπλασιάσουµε τον αριθµό που δείχνει ο δείκτης µε το 100. Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Χρώµα δείκτη Κόκκινο Μπλε Πράσινο Κίτρινο Στροφές µηχανής

γ) Ο οδηγός της µοτοσικλέτας πρέπει να προσέχει ώστε ο δείκτης του στροφόµετρου να µην ξεπεράσει τους αριθµούς που βρίσκονται στην

. [ ]

[ ]΄




28

πορτοκαλί και κόκκινη περιοχή του στροφόµετρου, γιατί υπάρχει κίνδυνος βλάβης της µηχανής. Μέχρι πόσες χιλιάδες στροφές πρέπει να οδηγεί ο µοτοσικλετιστής.

35. Γνωρίζουµε ότι η θερµοκρασία του ανθρώπινου σώµατος βρίσκεται µεταξύ των 35 και 45 βαθµών Κελσίου .

α) Να κάνετε ένα τµήµα ευθείας στα άκρα του οποίου να τοποθετήσετε τους αριθµούς 35 και 45 και ενδιάµεσα όλους τους ακεραίους µεταξύ του 35 και του 45. β) Στο προηγούµενο ευθύγραµµο τµήµα να σηµειώσετε την φυσιολογική θερµοκρασία του ανθρώπινου σώµατος που είναι 36,5 βαθµοί Κελσίου.

36. Σε κατάλληλο άξονα µε αρχή το σηµείο Ο όπου θα αντιστοιχίσετε τον αριθµό 0 να τοποθετήσετε τους διψήφιους αριθµούς που διαιρούνται µε το 5.

37. Σε κατάλληλο άξονα µε αρχή το σηµείο Ο όπου θα αντιστοιχίσετε την χρονιά γέννησή σας να τοποθετήσετε το χρόνο που διανύουµε καθώς και την χρονιά που θα είστε 20 χρονών.

38. Σε κατάλληλο άξονα µε αρχή το σηµείο Ο όπου θα αντιστοιχίσετε τον αριθµό 0 να τοποθετήσετε τα κοινά διψήφια πολλαπλάσια του 9 και του 2.

39. ∆ύο πόλεις Α και Β απέχουν µεταξύ τους 300 χιλιόµετρα. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την πόλη Α µε προορισµό την πόλη Β. Το αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα 90 χιλιοµέτρων την ώρα. Θεωρούµε τον δρόµο που συνδέει τις δύο πόλεις ευθεία.

α) Να κάνετε έναν άξονα ώστε η πόλη Α να είναι η αρχή του. Μονάδα του άξονα να θεωρήσετε τα 30 χιλιόµετρα. Πάνω στον άξονα να τοποθετήσετε την πόλη Β. β) Να σηµειώσετε πάνω στον άξονα τις θέσεις του αυτοκινήτου κάθε µία ώρα. γ) Να υπολογίσετε µε την βοήθεια του άξονα το χρόνο στον οποίο το αυτοκίνητο θα φτάσει στον προορισµό του

40. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά 25 cm. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 0,18 m. Ένα ορθογώνιο έχει µήκος 2 dm και πλάτος 170 mm.

α) Να βρείτε τις περιµέτρους των παραπάνω σχηµάτων. β) Μικρότερη περίµετρο έχει το Α. Τρίγωνο Β. Τετράγωνο Γ. Ορθογώνιο. Επιλέξτε την σωστή απάντηση.

41. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 2,5 dm η µία και 30 cm η άλλη. Να υπολογίσετε σε mm την πλευρά ενός τετραγώνου που έχει περίµετρο ίση µε την περίµετρο του ορθογωνίου.

. [ ]

[ ]΄



29


42. Ένα αεροπλάνο πετάει στον εναέριο χώρο της Ελλάδος σε ύψος 10000 ft. Το

υψηλότερο βουνό της Ελλάδος είναι ο Όλυµπος µε ύψος 2,92 Km. Είναι ασφαλής η πτήση του αεροπλάνου; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας. (∆ίνεται ότι 1 ft = 30,48 cm).

43. Το λιµάνι της Λήµνου απέχει από το λιµάνι της Θεσσαλονίκης 150 ναυτικά µίλια. Ένα καράβι ξεκινάει από τη Λήµνο µε ταχύτητα 37 Km την ώρα και προορισµό την Θεσσαλονίκη. Να υπολογίσετε µε προσέγγιση δεκάτου πόσες ώρες χρειάζεται το καράβι για να φτάσει στον προορισµό του.

(∆ίνεται ότι 1 ναυτικό µίλι = 1852 m)

. [ ]

[ ]΄




30

44. Το καγκουρό µε 100 µεγάλα άλµατα µπορεί να καλύψει µια απόσταση 0,7 Km.

Αν σε δύο λεπτά το καγκουρό κάνει 40 άλµατα πόση απόσταση µπορεί να καλύψει σε µισή ώρα.

45. Ένα φορτηγό έχει απόβαρο 4,75 t. Μεταφέρει µια δεξαµενή σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, γεµάτη µε νερό .Οι διαστάσεις της δεξαµενής είναι: 4 m , 2 m , 1,5 m.και το βάρος της , (χωρίς το νερό), 250 Kg.

Να υπολογίσετε το µικτό βάρος του φορτηγού αν γνωρίζετε ότι η πυκνότητα του νερού είναι 1 Kg ανά lt.

46. Ένα κουτί έχει 500 όµοια καρφιά και ζυγίζει 3,55 Kg. Το βάρος του κουτιού είναι 50 g. Με τη βοήθεια µιας ζυγαριάς , (ακριβείας), πώς θα πάρουµε 110 καρφιά

47. Σε ένα ιδιωτικό γυµνάσιο τα µαθήµατα ξεκινούν στις 08:15 και τελειώνουν στις 15:25. Ενδιάµεσα υπάρχουν 7 δεκάλεπτα διαλείµµατα. Γίνονται 8 ίσης διάρκειας διδακτικές ώρες.

Να υπολογίσετε την διάρκεια της κάθε διδακτικής ώρας.

48. Ο ήλιος βρίσκεται σε απόσταση 150.000.000 Km από τη γη (:1 Αστρονοµική µονάδα). Ένα σωµατίδιο που εκπέµπεται από τον ήλιο κινείται µε την ταχύτητα του φωτός , που είναι 300.000 Km το δευτερόλεπτο και φτάνει στη γη. Υπολογίστε το χρόνο, σε s και min, που χρειάστηκε το σωµατίδιο για να φτάσει στη γη.

49. Ένα ρολόι δείχνει 11:15 π.µ. Υπολογίστε την ώρα που θα δείχνει το ρολόι µετά από: α) 8 h β) 12 h και 15 min. γ) 18 h και 30 min . δ) 24 h και 50 min.

50. Η Σελήνη χρειάζεται 29,53 ηµέρες για να κάνει µια περιφορά γύρω από τη Γη. α) Να µετατρέψετε τον χρόνο περιφοράς της Σελήνης σε συµµιγή αριθµό (: ηµέρες ,ώρες , λεπτά και δευτερόλεπτα). β) Κάποιος την 1/06/2002 στις 23:00:00 παρατηρεί από κάποιο σηµείο της Γης την Σελήνη. Υπολογίστε πότε την επόµενη φορά, (µόνο νύχτα), που αυτός θα ξαναδεί την ίδια ακριβώς περιοχή της Σελήνης.

51. Η µητέρα του Φίλιππα για να φτιάξει ένα γλυκό πρέπει να ζυγίσει 500 g αλεύρι. ∆ιαθέτει µια απλή ζυγαριά και τα εξής σταθµά: Ένα των 750 g και ένα του 1 kg. Με ποιόν τρόπο θα ζυγίσει το αλεύρι που χρειάζεται; (Μπορεί να κάνει περισσότερες από µια ζυγίσεις).

. [ ]

[ ]΄



31


52. Πυκνότητα ενός υλικού ονοµάζουµε το µέγεθος που µας δείχνει πόση µάζα

από αυτό το υλικό καταλαµβάνει χώρο ίσο µε µια µονάδα όγκου. Στην

συσκευασία ενός υλικού διαβάζουµε ότι η πυκνότητά του είναι 3 g ανά cm3. α) Πόσο χώρο καταλαµβάνουν τα 3 Kg αυτού του υλικού. β) Αν το υλικό αυτό έχει σχήµα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε διαστάσεις 2 cm ,20 cm και 30 cm , πόση θα είναι η µάζα του;

. [ ]

[ ]΄




32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις και προβλήµατα

Α.4.0: Η έννοια της µεταβλητής.

1. Να γράψετε µε τη βοήθεια µίας µεταβλητής τις παρακάτω εκφράσεις:

ι. τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί. ιι. το άθροισµα τριών διαδοχικών φυσικών αριθµών. ιιι. το άθροισµα τριών διαδοχικών φυσικών αριθµών ισούται µε 33. ιν. ένας άρτιος αριθµός. ν. ένας περιττός αριθµός. νι. το άθροισµα τριών διαδοχικών άρτιων αριθµών. νιι. το άθροισµα τριών διαδοχικών περιττών αριθµών.

2. Η έκφραση "το τριπλάσιο ενός αριθµού µειωµένο κατά 1" γράφεται µε την βοήθεια αριθµών και γραµµάτων ως εξής:

Α. 3x-1 Β. 3+x-1 Γ. 1-3x ∆. 3x>1

3. Να διατυπώσετε µε λόγια τις παρακάτω εκφράσεις:

ι. 2χ-7=30 ιι. 2χ>52 ιιι. 2χ-6=χ+4 ιν. x 6 12+ ≤

4. Όταν χρησιµοποιούµε ταξί πληρώνουµε 1 ευρώ για τη σηµαία και 0,10 ευρώ για κάθε χιλιόµετρο. Να συµβολίσετε το ποσό που θα πληρώσουµε αν κάνουµε χ χιλιόµετρα.

5. Μια µηχανή µαζί µε τον οδηγό ζυγίζει 178 κιλά. Να συµβολίσετε µε τη βοήθεια µίας µεταβλητής το βάρος της µηχανής και το βάρος του οδηγού.

Α.4.1: Η έννοια της εξίσωσης.

6. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης Α µε τη λύση της από τη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β ι. χ+α=β Α. χ=α+β ιι. α+χ=β Β. χ=β-α ιιι. χ-α=β Γ. χ=α-β ιν. α-χ=β ∆. χ=αβ ν. αχ β, α 0= ≠ Ε. αχ

β=

νι. χ :α β, α 0= ≠ Ζ. βχα

=

νιι. α:χ=β

. [ ]

[ ]΄



33


7. Να αντιστοιχίσετε κάθε πρόταση της στήλης Α µε την ισοδύναµή της από τη

στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β

Αν η εξίσωση α χ β⋅ = έχει:

Τότε:

Α. α 0≠ 1. είναι αδύνατη. Β. α=β=0 2. είναι ταυτότητα. Γ. α=0 και β 0≠ 3. έχει µοναδική λύση την

βχα

=

∆. α 0 και β 0≠ ≠ 4. έχει λύση την χ=0

8. Η εξίσωση 25x-18=57 έχει σαν λύση τον αριθµό: Α. 1 Β. 2 Γ. 3 ∆. 4

9. Ο αριθµός 5 είναι λύση της εξισώσεως: Α. 2x+3=5 Β. 5x=5 Γ. x+3=7 ∆. 6=x+1

10. ∆ίνεται η εξίσωση: ( )+ = − +2χ 3 3 χ 1 4 . Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς 0, 1, 2, 3 την επαληθεύουν και ποιοι όχι. Ποιοι αριθµοί είναι λύση της εξίσωσης;

11. Να λύσετε τις εξισώσεις:

ι. 32+χ=51 ν. 470-χ=230 ιι. χ+12,5=21,7 νι. 254-χ=23 ιιι. χ-7=13 νιι. χ-23=89 ιν. χ:12=4 νιιι. 24:χ=3

12. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: ι. 8χ-4=7χ+2006 νιι. 2.(ψ+7)+3.(42-3.4).ψ=2.70-14 ιι. 3χ=9-2χ νιιι. 3χ+χ=3χ+2010.(32-23) ιιι. 2χ+3χ=χ+216 ιχ. 2.(χ-1)+7=5 ιν. 2χ+3χ+5χ=5.6+102 χ. 2χ-3+7=2χ+4 ν. 3.(χ-2)=18 χι. 3χ=2χ+χ+2010 νι. 5ω+2.(ω+4)=29


ι. χ 41=

ιι. χ 1 101−

=

ιιι. 4 χ 201+

=

ιν. ( )2 χ 52010

1⋅ +

=

ν. ( ) ( )5 χ 3 2 2χ 630

1⋅ + + ⋅ −

=

. [ ]

[ ]΄




34


ι. χ 13=

ιι. χ 4 139+

=

ιιι. 2χ 6 135−

=

ιν. ( ) 34 χ 5 21

2 :0,1⋅ + −

=

ν. 5χ 12 13χ 20

−=

+

νι. ( )2 χ 4 71

χ 65⋅ + −

=+

νιι. χ 8 05,87−

=

νιιι. ( )3 χ 50

7⋅ −

=

ιχ. ( )2 24 3 χ χ 640

2010

− ⋅ + −=

15. Αν α+8=10 να λυθούν οι εξισώσεις:

ι. 2χ α 015−

=

ιι. χ α 157+

=

ιιι. χ α 34+

=


ι. χ 225 5

= νι. 2 1 7χ

3 6 10⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

ιι. χ 1100 20

= νιι. χ 5 12 4 3= −

ιιι. χ 0,15=

νιιι. χ χ 1 32 3 3 2+ + =

ιν. χ 1 53 2−

= ιχ. χ 4 χ 12 3− −

=

ν. ( )6 χ 2χ 2

5⋅ −

= + χ. 1 χ 3χ

7 2 21− = +

. [ ]

[ ]΄



35


Α.4.2: Επίλυση προβληµάτων.

17. Τρία αδέλφια Α, Β, Γ έχουν συνολικά 100 ευρώ. Αν ο Α έχει 15 ευρώ

περισσότερα από τον Β και ο Γ 8 ευρώ λιγότερα από τον Α, να βρείτε πόσα χρήµατα έχει ο καθένας.

18. Προσδιορίστε αν υπάρχουν, δύο, τρεις ή τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί µε άθροισµα 30.

19. Ένας πατέρας έχει σήµερα τετραπλάσια ηλικία από το γιο του. Σε τέσσερα χρόνια θα έχει τριπλάσια ηλικία από τον γιο του. Ποια ηλικία έχει ο πατέρας και ποια ο γιος σήµερα;

20. Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε µε το 18

για να βρούµε

άθροισµα 1112

.

21. Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε από το 318

για να βρούµε

διαφορά 19

.

22. α. Να συγκρίνετε τα κλάσµατα: 2008 2010και2009 2009

.

β. Ποιο κλάσµα πρέπει να προσθέσουµε στο πρώτο κλάσµα για να βρούµε τη µονάδα; γ. Ποιο κλάσµα πρέπει να αφαιρέσουµε στο δεύτερο κλάσµα για να βρούµε τη µονάδα;

. [ ]

[ ]΄




36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο Ποσοστά.

Α.5.1: Ποσοστά. 1. Να γραφτούν µε µορφή ποσοστών τα παρακάτω κλάσµατα:

1 3 7 4 12 72 2,38, , , , , ,4 5 10 25 50 900 32.000

2. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά:

ι. 25%= 1

...

ιι. ...50%2

=

ιιι. ...75%4

=

ιν. 3...%2

=

3. Να υπολογιστεί το 3,6% του αριθµού:

4,230,1Α

1 7 0,31250,3 3

+=⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ε.Μ.Ε., Θαλής 2005)

Α.5.2: Προβλήµατα µε ποσοστά. 4. Σε µια έρευνα που έγινε στην Ευρώπη για τα παιδιά βρέθηκε ότι το 40% είναι

παχύσαρκα. Από αυτά το 23% είχαν προβλήµατα µε υψηλή χοληστερίνη. Ποιο είναι το ποσοστό των παιδιών µε υψηλή χοληστερίνη;

5. Σε ένα Γυµνάσιο στις γραπτές εξετάσεις του Ιουνίου 20,24,18 µαθητές από τα τµήµατα α1,α2,α3 µε 25,30 και 24 µαθητές αντίστοιχα πέρασαν τη βάση στα Μαθηµατικά. Να υπολογίσετε το ποσοστό των µαθητών σε κάθε τµήµα και το ποσοστό των παιδιών της Α΄ Γυµνασίου που πέρασε τη βάση στο µάθηµα των Μαθηµατικών.

6. Από 120 υποψηφίους που προσήλθαν σε ένα διαγωνισµό οι 84 απέτυχαν. Να βρείτε το ποσοστό των επιτυχόντων.

7. Για ένα κράµα από χαλκό και νικέλιο χρησιµοποιήθηκαν 27kg χαλκός και 9 kg νικέλιο. Να υπολογίσετε το ποσοστό του χαλκού και το ποσοστό του νικελίου µέσα σε αυτό το κράµα.

8. Το πλήθος των ανδρών που εργάζονται σε µία τράπεζα προς το πλήθος των

γυναικών που εργάζονται στην ίδια τράπεζα είναι 35

. Να βρείτε το ποσοστό

των ανδρών που εργάζονται στην τράπεζα.

. [ ]

[ ]΄



37


9. Το 40% µίας ποσότητας σιταριού ζυγίζει 60 kg. Το 70% της ίδιας ποσότητας

σιταριού πόσο ζυγίζει;

10. Ένα δοχείο περιέχει 20.000ml όταν είναι κατά 40% γεµάτο. Πόσα λίτρα περιέχει το δοχείο όταν είναι πλήρες;

11. Για την ανάδειξη του προέδρου και ταµία του 15µελούς συµβουλίου του Γυµνασίου ενός σχολείου ο Μάνος πήρε το 60% των ψήφων και η Αλεξάνδρα τις υπόλοιπες. Αν ο Μάνος εξελέγη µε διαφορά 24 ψήφων, τότε πόσο ήταν το πλήθος των ατόµων που ψήφισαν;

12. Ποιος είναι ο αριθµός του οποίου το 40% είναι το 200;

13. Αγοράσαµε φάρµακα αξίας 150 ευρώ. Το 80% της αξίας θα µας καλύψει το ∆ηµόσιο Ταµείο Υγείας. Πόσα λεφτά θα πληρώσουµε εµείς;

14. Ένα κατάστηµα ηλεκτρικών ειδών έχει 5 ψυγεία τα οποία κοστίζουν 10.000 ευρώ. Από αυτά τα δύο τα πούλησε µε κέρδος 25% το καθένα. Τα άλλα δύο µε κέρδος 30% το καθένα και το τελευταίο µε 15%. α. Πόσα χρήµατα εισέπραξε ο καταστηµατάρχης;

β. Αν το 14

των χρηµάτων που εισέπραξε το έδωσε στην εφορία, πόσα

χρήµατα του έµειναν;

15. Μία εταιρία κατέθεσε στις 16 ∆εκεµβρίου 12.000 ευρώ σε µία τράπεζα µε επιτόκιο 5%. Να βρείτε το ποσό που θα υπάρχει στην τράπεζα ένα χρόνο µετά από την ηµέρα κατάθεσης.

16. Ένα πολυκατάστηµα έχει προσφορά ένα dvd – player και στοιχίζει 35 ευρώ χωρίς το Φ.Π.Α. Να βρείτε πόσο θα το αγοράσουµε αν το Φ.Π.Α. είναι 19%.

17. Ένα λουρί µηχανής, όταν ήταν καινούριο, είχε µήκος 180cm. Μάκρυνε ύστερα από χρήση κατά 5%. Κατά πόσα εκατοστά µάκρυνε;

18. Το εισιτήριο απλής διαδροµής στις αστικές συγκοινωνίες της Αθήνας έχει 0,75 ευρώ. Αν υποτεθεί ότι αυξάνει και κοστίζει 0,90 ευρώ, να υπολογίσετε το ποσοστό αύξησης.

19. Για είδη αξίας 212 ευρώ πληρώσαµε µε το Φ.Π.Α. 220,48 ευρώ. Να βρείτε το συντελεστή Φ.Π.Α. των προϊόντων.

20. Αν ψήσουµε 2,5Kg ωµό κρέας, θα µείνει 1,9 Kg ψηµένο κρέας. Να βρείτε πόσο τοις εκατό απώλεια έχουµε.

21. Ένα ποδήλατο πουλιόταν 550 ευρώ. Την 1/1/2008 αυξήθηκε η τιµή του κατά 12% και στις 29/3/2008 ελαττώθηκε κατά 12%. α. Να βρείτε την τελική τιµή του ποδηλάτου στις 29/3/2008. Στη συνέχεια βρείτε το συνολικό ποσοστό κέρδους ή ζηµίας. β. Πόση θα ήταν η τελική τιµή του ποδηλάτου αν αρχικά ελαττωνόταν η τιµή του κατά 12% και µετά ακολουθούσε αύξηση κατά 12%;

. [ ]

[ ]΄




38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο Ανάλογα ποσά.

Α.6.1: Παράσταση σηµείων στο επίπεδο.

1. Οι συντεταγµένες τριών κορυφών του παρακάτω ορθογωνίου ΑΒΓ∆ είναι Α(3,7), Β(3,0), ∆(12,7). Να βρείτε ποιες είναι οι συντεταγµένες της κορυφής Γ.

2. Στο σύστηµα των καρτεσιανών συντεταγµένων, να τοποθετήσετε τα σηµεία

Ο(0,0), Α(1,1), Β(2,2), Γ(3,3), ∆(4,4). Αφού ενώσετε τα σηµεία αυτά, τι παρατηρείτε;

3. Στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, να τοποθετήσετε τα σηµεία Κ(1,2), Λ(2,7), Μ(5,9), Ν(4,4). Τι είδους τετράπλευρο σχηµατίζεται; Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των διαγωνίων ΚΛΜΝ;

4. α. Στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, να τοποθετήσετε τα σηµεία Α(2,3) και Β(4,1). Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ; β. Να επαναλάβετε το ίδιο για δύο δικά σας σηµεία.

Α.6.2: Λόγος δύο αριθµών - Αναλογία. 5. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Κλίµακα του χάρτη Πραγµατική απόσταση Απόσταση στο χάρτη

1:200.000 ……….km 75cm 1:500.000 23,5km ….cm ……………… 1,125km 4,5cm

6. Οι πραγµατικές διαστάσεις ενός µηχανήµατος είναι 28m µήκος και 20m πλάτος. Αν στο σχέδιο το πλάτος του µηχανήµατος είναι 5cm, να βρεθεί η κλίµακα του σχεδίου και το µήκος του µηχανήµατος στο σχέδιο.

. [ ]

[ ]΄



39


7. Η κλίµακα ενός χάρτη είναι 1:300.000. Να βρεθεί η πραγµατική απόσταση

δύο πόλεων αν η απόσταση τους στο χάρτη είναι 23cm. Α.6.3: Ανάλογα ποσά – Ιδιότητες ανάλογων ποσών.

8. Να εξετάσετε αν τα ποσά χ,ψ στους παρακάτω πίνακες εκφράζουν ανάλογα

ποσά και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

χ 4 12 14,8 28 21,9 ψ 5 15 18,5 35 27,4

χ 2 8 0,8 2,4 20 ψ 5 20 2 0,6 50

9. Να υπολογίσετε την τιµή του χ ώστε τα ποσά του παρακάτω πίνακα να είναι ανάλογα.

Α 9 Χ Β 5 65

Α.6.4: Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας. 10. α. Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες ώστε να γίνουν πίνακες

αναλόγων ποσών.

Α … 3 51 … 1,5 Β 4,2 21 … 42 …

Γ … 0,5 165 … 3,4 ∆ 30 … … 12 10,2

Β. Να γράψετε την κατάλληλη σχέση αναλογίας (συνάρτηση) που προκύπτει από κάθε πίνακα και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων.

11. α. Αν από 10kg αλεύρι φτιάχνουµε 15 kg ψωµί, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

χ kg αλεύρι 10 15 20 25 30 ψ kg ψωµί 15

β. Να γράψετε τα kg του ψωµιού ως συνάρτηση των kg αλευριού που χρησιµοποιούµε. γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που βρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων.

Α.6.5: Προβλήµατα ανάλογων ποσών.

12. Από 12 κιλά σταφύλια παίρνουµε 8 λίτρα κρασί. Από 9 κιλά σταφύλια πόσα λίτρα κρασί παίρνουµε;

. [ ]

[ ]΄




40

13. Για να βάψουµε έναν τοίχο επιφάνειας 12m2 χρειαζόµαστε 3kg µπογιά. Αν

2kg µπογιά κοστίζουν 7 ευρώ, να βρεθεί πόσο θα πληρώσουµε για να βάψουµε ένα δωµάτιο µε συνολική επιφάνεια 100 m2.

14. Τα 4750 κιλά βωξίτη δίνουν 320 κιλά αλουµίνιο. Πόσα κιλά αλουµίνιο παίρνουµε από 1,9 τόνους βωξίτη;

15. Ένας αµπελουργός από 75 κιλά σταφύλια βγάζει 52,5 κιλά µούστο. Πόσα κιλά σταφύλια χρειάζονται για να γεµίσει 8 βαρέλια που το καθένα χωράει 250 κιλά µούστο;

16. Η τιµή αγοράς ενός ποδηλάτου είναι 105 ευρώ. Να βρεθεί πόσο θα αγοράσουµε το ποδήλατο αν ο πωλητής µας κάνει έκπτωση 15%.

17. Τρεις έµποροι ιδρύουν µία επιχείρηση και συµµετέχουν µε κεφάλαια 20.000 ευρώ, 50.000 ευρώ και 70.000 ευρώ. Τα κέρδη της επιχείρησης µοιράζονται ανάλογα µε τα κεφάλαια. Να βρείτε τι ποσό αντιστοιχεί στον καθένα από κέρδη 280.000 ευρώ.

18. Αν χ ψ4 7= και χ+ψ=121, να υπολογίσετε τα χ και ψ.

19. Αν χ ψ ω3 10 2= = και 2χ+ψ+7ω=90, να υπολογίσετε τα χ και ψ και ω.

. [ ]

[ ]΄



41


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο Θετικοί και αρνητικοί αριθµοί.

Α.7.1: Θετικοί και αρνητικοί αριθµοί (Ρητοί αριθµοί) – Η ευθεία των ρητών – Τετµηµένη σηµείου.

1. Από τους παρακάτω αριθµούς να κυκλώσετε τους φυσικούς:

-12, 2007, -3, 10 10 11, ,5 5 2

− −

2. Από τους παρακάτω αριθµούς να κυκλώσετε τους ακέραιους:

+3,7, -2000, 25 9, , 0, 1,343 3

− +

3. Από τους παρακάτω αριθµούς να κυκλώσετε τους αρνητικούς ακέραιους:

23, -20,7, +28, 12 9 26, ,4 3 9

− + −

4. Να τοποθετήσετε σε έναν άξονα τους ρητούς: -32, 5, -31, 12, 77, -65 Α.7.2: Απόλυτη τιµή ρητού – Αντίθετοι ρητοί – Σύγκριση ρητών.

5. Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα όλους τους αριθµούς που έχουν απόλυτη τιµή: α. 5, β. 3,7, γ. 0

6. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Αριθµός χ

Αντίθετος του αριθµού

-χ

Απόλυτη τιµή του αριθµού

χ 0,1

-4 0 1

20062007

−

7. Να βρείτε, αν υπάρχουν, όλους τους ακέραιους αριθµούς που έχουν απόλυτη τιµή:

ι. µικρότερη του 6 ιι. µικρότερη ή ίση του 4 ιιι. µικρότερη του 1 ιν. µικρότερη του -5

. [ ]

[ ]΄




42

8. Να βρείτε, αν υπάρχουν, όλες τις ακέραιες τιµές του α οι οποίες επαληθεύουν

τις σχέσεις:

ι. α 4< ιι. α 7≤ ιιι. α 0< ιν. α 10< −

9. Να βρείτε, τις ακέραιες τιµές του α οι οποίες επαληθεύουν τις σχέσεις:

ι. α 3> ιι. α 7≥ ιιι. α 4,5> ιν. α 2007> −

10. Μεταξύ των παρακάτω αριθµών να βάλετε το κατάλληλο σύµβολο ανισότητας:

ι. -7…-9 ιι. -3,1…-3,01 ιιι. 0…-30 ιν. 0…30 ν. 2 2...

5 7− −

νι. 3 1...17 17

− −

νιι. 3 4...4 5

− −

11. Να συγκρίνετε τους αριθµούς α και –α µε α 0≠ αν:

ι. α είναι θετικός αριθµός. ιι. α είναι αρνητικός αριθµός. ιιι. -α είναι θετικός αριθµός. ιν. -α είναι αρνητικός αριθµός.

. [ ]

[ ]΄



43


Α.7.3: Πρόσθεση ρητών αριθµών.


ι. ( ) ( )7 4+ + + νιιι. ( ) ( )2 2− + + ιι. ( ) ( )7 4− + − ιχ. ( )5 2,5

2⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

ιιι. ( ) ( )7 4+ + − χ. ( )7 0− + ιν. ( ) ( )7 4− + + χι. 20

3⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

ν. ( ) ( )3,7 7,2+ + − χιι. ( )0 6,8+ − νι. ( ) ( )20 12,4+ + − χιιι. ( ) ( )12 23,45− + − νιι. 3 1

5 30⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

χιν. ( ) 115

7⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Α.7.4: Αφαίρεση ρητών αριθµών.

13. Να υπολογίσετε τις διαφορές:

ι. (-13)-(-4) νιιι. 0-(-19) ιι. (+13)-(-4) ιχ. (+12)-0 ιιι. (-13)-(+4) χ. 0-(-12,8) ιν. (+13)-(+4) χι. (+1,1)-(-1,1) ν. (-2)-(-13,4) χιι. (+1,1)-(+1,1) νι. 11 3

20 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

χιιι. ( )1 0,125

8⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

νιι. ( ) 323,410

⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠

χιν. ( ) 14

3⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

14. Να κάνετε τι πράξεις: ι. -2+7 ιι. 7-2 ιιι. -2-7 ιν. 2+7 ν. 53

4− −

νι. 102

−

νιι. 1 72 21

− +

νιιι. -11-7,4

. [ ]

[ ]΄




44

15. Να κάνετε τι πράξεις:

ι. -3+2-9+6-5-2+9 ιι. 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10 ιιι. 1,1-3,5+2,2+7-1,1-1,2 ιν. 2 3 7 1 9

5 5 10 5 10− + − −

ν. 2 1 3 7 5 23 2 4 12 6 3

− + − − + +

νι. 1 1 3 2 7 3 9 410 5 10 5 10 5 10 5

− + − + − + −

νιι. 0,9-1+0,1-1+0,8-1+0,2-1+0,7-1+0,3-1

16. Να κάνετε τι πράξεις:

ι. -84+75-36 ιι. -40-22+(-54)-69 ιιι. 12,7-3,4+(-2,1)-(-0,7)+5

17. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

ι. Α=(5+7-12)-3+8-6-1 ιι. Β=-(3-7+5-12)+(4-7+6) ιιι. 7 3 5 3 11Γ 1 1

15 5 3 5 15⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ιν. ( )∆ 0,6 2 0,6 4 0,8⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦

ν. ( ) ( )Ε 2,5 2,7 3 5,2 3,2 2,1⎡ ⎤= − + − − − − −⎣ ⎦

18. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

ι. ( ) ( ) ( )Α α γ β γ α β= − − − − − ιι. ( ) ( ) ( )Β 8 α β γ α β γ β β 3= − − + + − − − − − + ιιι. ( ) ( ) ( )γ 5 1 α β γ α β γ= − − + − − + −

19. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: Κ=1-2+3-4+5-6+7-8+9 Λ=1-2+3-4+…-36+37-38+39 Μ=1-2+3-4+…-96+97-98+99

Α.7.5.: Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών.

20. Να υπολογίσετε τα γινόµενα:

ι. ( ) ( )2 36− ⋅ − ιν. 12 1 5 139139 3 4 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ιι. ( ) ( ) ( ) ( )4 3 1 7− ⋅ − ⋅ − ⋅ + ν. ( ) ( )0,001 100 10− ⋅ − ⋅ ιιι. ( ) ( )1 1− ⋅ + νι. ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 4 5 ... 2007⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ −

. [ ]

[ ]΄



45


21. Αν α=-3 να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων:

( ) ( ) ( ) ( )Α α α 4 α 4 α 3 α 3= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ +

( ) ( ) ( )Β α α 5 α 7 α 8= ⋅ + ⋅ − ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )Γ 3α 2 5α 3 4 α α 6= + ⋅ − ⋅ − ⋅ +

Α.7.6.: ∆ιαίρεση ρητών αριθµών.

22. Να υπολογίσετε τα πηλίκα:

ι. 1 3:2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

ιι. ( ) ( )7 : 1− − ιιι. ( )7 : 7− ιν. ( )0 : 5−

Α.7.8 – 7.9.: ∆υνάµεις ρητών αριθµών µε εκθέτη ακέραιο.


ι. ( )23− ιι. ( )33− ιιι. ( )26− − ιν. ( )26 6− + − ν. ( ) ( )3 34 3− − − νι. ( ) ( )3 2

4 5− − − νιι. ( )2011

1 2− + νιιι. 21 1

3 6⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. [ ]

[ ]΄




46


ι. 02010 ιχ. ( )04− ιι. 23− χ. ( ) 25 −

− ιιι. 32− χι. ( ) 3

2−

− ιν. 15− χιι. ( ) 1

7−

− ν. 210− χιιι. 27

5

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

νι. 223

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

χιν. 1

23

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

νιι. 315

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

χν. 4

12

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

νιιι. 11911

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

χνι. 20101−

25. Να γράψετε ως µια δύναµη τις παρακάτω παραστάσεις και µετά να τις υπολογίσετε:

ι. 3 22 2⋅ ιι. 23 3 3⋅ ⋅ ιιι. 2 42 2− ⋅ ιν. 99 97 22 2 2− −⋅ ⋅ ν. ( ) ( ) ( )3 2

2 2 2− ⋅ − ⋅ − νι. ( ) ( )4 63 3−

− ⋅ − νιι. ( ) ( ) ( )2 3 842 2 2 2

− − −− ⋅ − ⋅ ⋅ −


ι. 10

8

77

ν. ( )

( )

5

7

3

3

−

−

ιι. 4

3

55

νι. 2

3

22−

ιιι. 3 4

8

2 22⋅

νιι. 2

3

22

−

−

ιν. ( )( )

2010

2008

7

7

−

−

νιιι. 2 4

3 1

2 22 2

−

−

⋅⋅

. [ ]

[ ]΄



47


27. Να υπολογίσετε τις παρακάτω δυνάµεις χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των

δυνάµεων:

ι. 6 62 5⋅ ν. ( ) ( )5 52 5− ⋅ − ιι. 12 120,25 4⋅ νι. ( )22 χ⋅ ιιι. 3 31,5 2⋅ νιι. ( )24 χ ψ⋅ ⋅ ιν. 4 41,5 2− −⋅ νιιι. ( )33 χ− ⋅

28. Να γράψετε ως µια δύναµη τις παρακάτω παραστάσεις και µετά να τις υπολογίσετε: ι. 4

4

2412

ν. 32

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ιι. 22416

νι. 41

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

ιιι. 31227

νιι. 5χ

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ιν. ( )66

147

−

νιιι. 4χ7

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠


ι. ( )232 ιν. ( ) 142−

ιι. ( )322− ν. ( ) 213−−

ιιι. ( )75

1⎡ ⎤−⎣ ⎦

νι. ( ) 223

−

30. Να κάνετε τις πράξεις χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάµεων:

ι. 2 3 42 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ νι. ( )23

3 2

30189 15

−−

ιι. ( ) ( ) ( )2 432 2 2 2− ⋅ − ⋅ ⋅ − νιι. ( )23

2⎡ ⎤−⎣ ⎦

ιιι. ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 5 7

2 4

2 2 2

2 2−

− ⋅ − ⋅ −

− ⋅ −

νιιι. ( )32

2−

⎡ ⎤−⎣ ⎦

ιν. ( ) ( )( )

3 5 7

42

2 2 2

2 2

−

−

− ⋅ − ⋅

⋅ −

ιχ. 122 2

3

−−⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

ν.

( )

10

3

16 512 24

−⋅ ⋅

−

χ. 0352008 6

3⎛ ⎞⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠

. [ ]

[ ]΄




48

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Βασικές γεωµετρικές έννοιες.

Β.1.1.: Σηµείο – Ευθύγραµµο τµήµα –

Ηµιευθεία – Επίπεδο – Ηµιεπίπεδο. 1. Στο παρακάτω τρίγωνο να γράψετε όλα τα ευθύγραµµα τµήµατα που

υπάρχουν και τα τρίγωνα που δηµιουργούνται.

2. Στο παρακάτω σχήµα ποιες ηµιευθείες ορίζονται: ι. Με αρχή το Α ιι. Με αρχή το Β.

3. Πόσες ευθείες ορίζουν τρία διαφορετικά σηµεία; (δύο περιπτώσεις)

Β.1.2.: Γωνία – Γραµµή – Επίπεδα σχήµατα –

Ευθύγραµµα σχήµατα – Ίσα σχήµατα.

4. Να βρείτε και να ονοµάσετε πέντε γωνίες στο παρακάτω σχήµα.

. [ ]

[ ]΄



49


5. Να εξετάσετε αν είναι κυρτό ή µη κυρτό πολύγωνο το παρακάτω πολύγωνο το

οποίο ονοµάζεται «Η χιονονιφάδα του Koch»

Β.1.3-1.4.: Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράµµων τµηµάτων – Απόσταση σηµείων – Μέσο ευθύγραµµου τµήµατος & πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράµµων τµηµάτων.

6. Πάνω στην ηµιευθεία Οχ παίρνουµε τα τµήµατα ΟΑ=6cm και ΟΒ=2,4dm. Να

υπολογίσετε: ι. το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ. ιι. Το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΟΜ, όπου Μ το µέσο του ΑΒ.

7. Σε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ=14cm να βρείτε ένα σηµείο Κ τέτοιο ώστε ΑΚ 3ΚΒ 4

=

Β.1.5-1.6.: Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών –

∆ιχοτόµος γωνίας & είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες.

8. Στο παρακάτω σχήµα να βρείτε τις οξείες, τις ορθές και τις αµβλείες γωνίες

που υπάρχουν.

. [ ]

[ ]΄




50

Β.1.7-1.8.: Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισµα γωνιών &

Παραπληρωµατικές και Συµπληρωµατικές γωνίες – Κατακορυφήν γωνίες.

9. Να γράψετε τρία ζεύγη εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών που υπάρχουν στο παρακάτω σχήµα:

10. Στο παρακάτω σχήµα:

α. Οι γωνίες ˆ ˆAOB και ΓΟ∆ είναι εφεξής;

β. Οι γωνίες ˆ ˆΑΟΓ και ΑΟΒ είναι διαδοχικές;

. [ ]

[ ]΄



51


11. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα (αν υπάρχουν οι ζητούµενες

γωνίες):

Γωνία ω

Συµπληρωµατική της γωνίας ω

ˆ090 -ω

Παραπληρωµατική της γωνίας ω

ˆ0180 -ω 015

20ο 300 450 600 720 900

1 ορθής3

5 ορθής4

12. Να βρεθεί µία γωνία που το διπλάσιό της ισούται µε την συµπληρωµατική της.

13. Να υπολογίσετε δύο γωνίες αν γνωρίζουµε ότι είναι παραπληρωµατικές και ότι: ι. η µία είναι 140 παραπάνω από την άλλη. ιι. η µία είναι οκταπλάσια της άλλης.

14. Να υπολογιστεί µια γωνία ω αν είναι ίση µε τα 23

της παραπληρωµατικής της.

15. Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση η συµπληρωµατική µίας γωνίας να είναι ίση µε την παραπληρωµατική της.

16. Να υπολογίσετε την γωνία ω του παρακάτω σχήµατος:

. [ ]

[ ]΄




52

17. Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆκ και λ του παρακάτω σχήµατος :

18. Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνίες στα παρακάτω σχήµατα:

. [ ]

[ ]΄



53


19. Ένα ρολόι δείχνει εννέα η ώρα ακριβώς. Τι γωνία σχηµατίζουν οι δείκτες του

ρολογιού; Μετά από πόσες ώρες οι δείκτες του ρολογιού θα σχηµατίζουν ίση γωνία;

20. Να υπολογίσετε τη γωνία ω στο παρακάτω σχήµα:

Β.1.9.: Θέσεις ευθειών στο επίπεδο.

21. Να σχεδιάσετε τρεις ευθείες οι οποίες να τέµνονται ανά δύο, χωρίς να διέρχονται όλες από το ίδιο σηµείο και να βρείτε: ι. πόσα είναι τα σηµεία τοµής των ευθειών ιι. Πόσες ηµιευθείες και πόσα ευθύγραµµα τµήµατα ορίζονται;

Β.1.10.: Απόσταση σηµείου από ευθεία –

Απόσταση παραλλήλων ευθειών.

22. Στο παρακάτω τρίγωνο, να βρεθεί η απόσταση ΜΛ. Στη συνέχεια, ποιο σηµείο της ΜΛ απέχει τη µικρότερη απόσταση από την κορυφή Κ;

23. Να σχεδιάσετε µια ευθεία (ε) και να πάρετε τα σηµεία Α και Β εκατέρωθεν αυτής που να απέχουν από την ευθεία 3cm. Στη συνέχεια, να ενώσετε τα σηµεία Α και Β και να ονοµάσετε Ο το σηµείο τοµής του ευθύγραµµου τµήµατος µε την ευθεία (ε). να συγκρίνετε τα τµήµατα ΑΟ και ΒΟ.

24. Να γράψετε δυο ηµιευθείες Οχ και Οψ οι οποίες δεν περιέχονται στην ίδια ευθεία. Να βρείτε ένα σηµείο Α της Οψ το οποίο να απέχει από την Οχ απόσταση 3cm.

25. Να γράψετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ=3cm. Στη συνέχεια, να βρείτε ένα σηµείο Α έτσι ώστε στο τρίγωνο ΑΒΓ που δηµιουργείται το ύψος από την κορυφή Α να είναι 2,5cm.

. [ ]

[ ]΄




54

Β.1.11.: Κύκλος και στοιχεία του κύκλου.

26. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο που να έχει πλευρές ΑΒ=3cm, ΒΓ=2,7cm,

ΓΑ=1,5cm.

27. Να χαράξετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΕΖ=8cm. Να χρωµατίσετε το τµήµα του επιπέδου που ανήκουν τα σηµεία που απέχουν από το Ζ λιγότερο από 6cm και από το Ε περισσότερο από 3cm.

28. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (Ο,4cm) και να φέρετε δύο διαµέτρους ΑΒ και Γ∆ έτσι ώστε AB Γ∆⊥ . Στη συνέχεια, να γράψετε τους κύκλους µε διαµέτρους ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, Ο∆ αντίστοιχα και να χρωµατίσετε τα κοινά µέρη των κύκλων ανά δύο.

29. Πάνω σε µία ευθεία (ε) πάρτε δύο σηµεία Ο και Κ. Γράψτε έναν κύκλο µε κέντρο το Κ και ακτίνα µικρότερη από το ευθύγραµµο τµήµα ΚΟ. Στη συνέχεια, µε κέντρο το Ο να χαράξετε µε το διαβήτη έναν κύκλο έτσι ώστε: ι. να έχει δύο κοινά σηµεία µε τον κύκλο κέντρου Κ. ιι. Να µην έχει κανένα κοινό σηµείο µε τον κύκλο κέντρου Κ (δύο περιπτώσεις). ιιι. να εφάπτεται εσωτερικά µε τον κύκλο κέντρου Κ. ιν. να εφάπτεται εξωτερικά µε τον κύκλο κέντρου Κ.

Β.1.13.: Σχέσεις ευθείας και κύκλου.

30. Να σχεδιάσετε δύο παράλληλες ευθείες (ε1) και (ε2) που να απέχουν µεταξύ τους 4 cm. Να πάρετε ένα τυχαίο σηµείο Μ της (ε1). Υπάρχουν σηµεία της (ε2) που να απέχουν από το Μ απόσταση: α. 2,7cm β. 5,5cm;

31. Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ=7 cm και να πάρετε το µέσο του Μ. Στη συνέχεια, να φέρετε δύο κάθετες ευθείες (ε1) και (ε2) στα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος. Τέλος, να γράψετε τους κύκλους (Μ, 3cm), (Μ,3,5cm) και (Μ,4,2cm). Να βρείτε και να δικαιολογήσετε τις θέσεις των ευθειών αυτών ως προς τον καθένα από τους τρεις αυτούς κύκλους.

. [ ]

[ ]΄



55


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Συµµετρία.

Β.2.1 – 2.2.: Συµµετρία ως προς άξονα – Άξονας συµµετρίας.

1. α. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )0ˆΑΒΓ Α 90∆

= . Να βρεθεί το συµµετρικό του

τριγώνου ως προς την ευθεία της πλευράς ΑΒ.

β. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ∆

του προηγούµενου ερωτήµατος είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, τι είδους τρίγωνο θα είναι το συµµετρικό του ως προς την ευθεία της πλευράς ΑΒ;

2. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ∆

µε ΑΒ=ΑΓ. Αν Μ το µέσο της ΑΒ και Ν το

µέσο της ΑΓ, να βρεθεί το συµµετρικό τρίγωνο Α Β Γ′ ′ ′ του ΑΒΓ∆

ως προς την ευθεία ΜΝ.

α. Τι είδους τρίγωνο είναι το Α Β Γ′ ′ ′; β. Το σηµείο Α ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα Β Γ′ ′ ;

3. ∆ύο κύκλοι (Ο,R) και (Κ,ρ) µε R>ρ τέµνονται στα σηµεία Α και Β. α. Ποιος είναι ο άξονας συµµετρίας του σχήµατος; β. Πότε είναι και η ευθεία ΑΒ άξονας συµµετρίας του σχήµατος;

. [ ]

[ ]΄




56

Β.2.3.: Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος.

4. Να σχεδιάσετε έναν κύκλο (Ο,ρ) και να χαράξετε µια χορδή ΑΒ. Στη συνέχεια, να φέρετε τη µεσοκάθετο αυτής της χορδής. ι. τι παρατηρείται; ιι. Αφού πάρετε ένα τυχαίο σηµείο Μ της µεσοκαθέτου να συγκρίνετε τα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ.

5. Τρεις ίσοι κύκλοι µε ακτίνα ρ και κέντρα Α, Β, Γ εφάπτονται εξωτερικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα:

ι. Το σηµείο Γ βρίσκεται πάνω στη µεσοκάθετο (µ) του ΑΒ; ιι. Η µεσοκάθετος (µ) είναι κοινή εφαπτοµένη στους κύκλους µε κέντρα τα Α και Β;

Β.2.4 – 2.5.: Συµµετρία ως προς σηµείο – Κέντρο συµµετρίας.

6. Να βρείτε το συµµετρικό ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ∆

ως προς το µέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ. ι. Τι είδους τετράπλευρο σχηµατίζεται; ιι. Να συγκρίνετε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΜ µε την υποτείνουσα ΒΓ.

. [ ]

[ ]΄



57


Β.2.6.: Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από µία άλλη ευθεία.

7. α. Πως ονοµάζονται οι γωνίες ˆα και β του παρακάτω σχήµατος; Τι σχέση έχουν µεταξύ τους; β. Πως ονοµάζονται οι γωνίες ˆγ και δ του παρακάτω σχήµατος; Τι σχέση έχουν µεταξύ τους;

8. Στο παρακάτω σχήµα να υπολογίσετε τη γωνία ˆΒΑΓ .

9. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται (ε1)//(ε2). Να υπολογίσετε την γωνία ω

. [ ]

[ ]΄




58

10. Στο παρακάτω σχήµα είναι x x / /y y′ ′ και ΑΓ διχοτόµος της γωνίας ˆBAx . Να

υπολογίσετε την γωνία µ .

11. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται ότι ( ) ( )1 2ε / / ε . Να υπολογίσετε τη γωνία α.

12. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται ότι ( ) ( )1 2ε / / ε . Να αποδείξετε ότι ( ) ( )2 3ε / / ε .

. [ ]

[ ]΄



59


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Τρίγωνα – Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια.

Β.3.1.: Στοιχεία τριγώνου – Είδη τριγώνου.

1. Να εξετάσουµε αν µπορούµε να κατασκευάσουµε τρίγωνο το οποίο να έχει

πλευρές: ι. 5cm, 3cm, 7cm. ιι. 3cm, 1cm, 0,5cm. ιιι. 32,4cm, 2,7dm, 13cm.

2. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ∆

µε πλευρές α,β,γ φέρνουµε τη διάµεσό του ΑΜ. Να δικαιολογήσετε ότι: 2ΑΜ<α+β+γ.

Β.3.2.: Άθροισµα γωνιών τριγώνου – Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου.

3. Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνίες στο παρακάτω σχήµα: ∆ίνεται ότι ΑΒ=ΑΓ.

. [ ]

[ ]΄




60

4. Αν ΑΒ=ΑΓ και Γχ διχοτόµος της ˆΑΓy , να υπολογίσετε τη γωνία φ .

5. Να εξηγήσετε γιατί αν ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει µία γωνία 60ο είναι ισόπλευρο.

6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ∆

έχουµε φέρει το ύψος Β∆ και την ευθεία (ε) κάθετη στη Β∆ στο σηµείο Β. ι. Να βρείτε τηβ σχετική θέση των ευθειών ΑΓ και (ε) και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ιι. Αν 0ˆΒΑ∆ 56= και 0ˆ∆ΒΓ 42= να υπολογίσετε τις γωνίες ˆω και φ .

7. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ∆

(ΑΒ=ΑΓ) µε ˆ ˆ ˆΒ Γ 2Α= = φέραµε τη διχοτόµο Β∆ της γωνίας Β . Να δικαιολογήσετε γιατί είναι ΒΓ=Β∆=∆Α.

. [ ]

[ ]΄



61


8. Σε αµβλυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ∆

µε ΑΒ=ΑΓ κατασκευάζουµε

ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓ ∆∆

όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Αν η Α∆ είναι διχοτόµος της ˆΒΑΓ , να αποδείξετε ότι η ΓΒ είναι διχοτόµος της ˆΑΓ∆.

9. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται ότι x x / /y y′ ′ , Γ∆ η διχοτόµος της γωνίας ˆΑΓy

και το τρίγωνο ΑΒΓ∆

είναι ισοσκελές µε ΑΒ=ΑΓ. Να υπολογίσετε τις γωνίες

του τριγώνου ΑΒΓ∆

.

10. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται x x / /y y′ ′ και 0 0 0ˆ ˆ ˆΑ 63 , ΒΖχ 160 , ΕΓy 142 .= = = Να υπολογίσετε τη γωνία ω.

. [ ]

[ ]΄




62

11. Στο παρακάτω σχήµα δίνονται:

ι. (ε1)//(ε2),

ιι. ΑΒΓ∆

τρίγωνο ισοσκελές µε ΑΒ=ΑΓ και 0ˆΒΑΓ 80 ,=

ιιι. Β∆ διχοτόµος της γωνίας ˆΑΒΓ , ιν. ΓΖ ΑΓ⊥ . Να βρείτε τις γωνίες ˆˆ ˆˆ ˆφ Γ∆Ε, θ ΑΕ∆ και ω.= = Να εξηγήσετε γιατί οι ευθείες ΒΕ και ΓΖ δεν είναι παράλληλες. (Ε.Μ.Ε., Θαλής, 2001)

Β.3.3 – 3.4.: Παραλληλόγραµµα – Ορθογώνιο – Ρόµβος –

Τετράγωνο – Τραπέζιο – Ισοσκελές τραπέζιο και οι ιδιότητές τους.

12. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ∆

είναι ισόπλευρο µε πλευρά 6cm και το τετράπλευρο ΒΓ∆Ε είναι παραλληλόγραµµο όπου η ΒΕ είναι προέκταση της ΑΒ

και ίση µε τα 54

αυτής. Να υπολογιστούν οι πλευρές και οι γωνίες του ΒΓ∆Ε.

. [ ]

[ ]΄



63


13. Έστω ΑΒΓ∆ τετράγωνο µε περίµετρο 20cm και κέντρο Κ. Να υπολογιστούν:

ι. οι πλευρές του τετραγώνου, ιι. και η γωνία ˆΚΑ∆ .

14. Το παρακάτω παραλληλόγραµµο έχει περίµετρο 84cm. Να υπολογιστούν τα α, β.

15. Να υπολογιστούν τα α, β στο διπλανό ρόµβο.

16. Έστω τα σηµεία Α(3,2) και Β(4,2) σε ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων. Να βρεθούν τα σηµεία Γ και ∆ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ να είναι: ι. τυχαίο παραλληλόγραµµο, ιι. ορθογώνιο, ιιι. Τετράγωνο.

. [ ]

[ ]΄




64

17. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παρακάτω παραλληλογράµµου.

18. Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆω και φ του παραλληλογράµµου ∆ΕΖΗ.

19. Το παρακάτω τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο. Να υπολογίσετε τα x,y.

20. Να δικαιολογήσετε ότι τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα.

. [ ]

[ ]΄



65


21. Στο τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) δίνεται ότι ˆ ˆ ˆ∆ΑΒ ΑΒΓ ω= = και ότι τρίγωνα

ΑΒΓ και ΑΓ ∆∆ ∆

είναι ισοσκελή µε ΑΒ=ΑΓ και Α∆=Γ∆ αντίστοιχα.

ι. Να αποδείξετε ότι η ΑΓ διχοτοµεί την γωνία ˆ∆ΑΒ . ιι. Να υπολογίσετε την γωνία ω . (Ε.Μ.Ε., Θαλής, 2003)

22. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ∆

παίρνουµε τα µέσα Μ, Ν, Κ των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. ι. Να βρείτε τα συµµετρικά των σηµείων Α, Β, Γ, Μ, Ν, Κ ως προς την ευθεία ΒΝ. ιι. Να αποδείξετε ότι: ΜΚ//ΑΓ. ιιι. Τι είδους τετράπλευρα είναι τα ΜΝΓΒ, ΚΝΑΒ και ΜΚΓΑ;

23. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ∆

και ∆, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. ι. Να βρείτε το συµµετρικό σηµείο Θ του σηµείου ∆ ως προς το Ζ. ιι. Τι είδους τετράπλευρο είναι το ΑΓ∆Θ; ιιι. Να δείξετε ότι: ΑΘ=Γ∆.

τεκς α ησςκusers.sch.gr/maggelko/pdf/ataxifinal.pdf · Να γίνει η...

Documents

Transcript of τεκς α ησςκusers.sch.gr/maggelko/pdf/ataxifinal.pdf · Να γίνει η...