Kompetenzen „Quadratische Funktionen“ 1 Die unten dargestellten Kompetenzen werden u. a. in einem Leistungsnachweis verlangt. Das Raster dient der Selbsteinschätzung. Schüler/innen können ja nach Bedarf individuell Aufgaben auswählen und üben.

Nr. Kompetenz Ich kann …. - - - 0 + ++

K1

zu einer Funktionsgleichung eine Wer-tetabelle erstellen und den Graph der Funktion zeichnen.

Aufgabe 1, 2, 3 und 4

K2 anhand eines Funktionsgraphen Null-stellen und Scheitelpunkt bestimmen.

Aufgabe 6

K3

an Hand der Lage und Form der Pa-rabel auf geeignete Funktionsglei-chungen schließen.

Aufgabe 4, 5, 6 und 8

K4

die Funktionsgleichung in der Schei-telpunktsform aufstellen, wenn die Koordinaten des Scheitelpunktes ge-geben sind.

Aufgabe 5, 7, 9 und 10

K5

die Funktionsgleichung aus der Schei-telpunktsform in die Normalform um-wandeln.

Aufgabe 6c, 9 und 10

K6 mit Hilfe der Scheitelpunktsform die Nullstellen berechnen.

Aufgabe 11

K7

aus der Normalform die Scheitel-punktsform, den Scheitelpunkt und die Funktionsgleichung bestimmen.

Aufgabe 7

K8

gestauchte und gestreckte Parabeln erkennen und den Stauchungsfaktor ermitteln.

Aufgabe 12 und 13

K9

zu einer Sachsituation eine geeignete quadratische Funktionsgleichung auf-stellen und die oben beschriebenen Verfahren zur Lösung der Sachsituati-on nutzen.

Aufgabe 14, 15 und 16

K10 die Nullstellen einer quadratischen Gleichung rechnerisch bestimmen.

Aufgabe 7

1 Andreas Koepsell, Fachmoderator Mathematik, Nieders achsen

Quadratische Funktionen Kompetenzorientiertes Üben

1. Aufgabe: Kompetenz K1 : Man kann zu einer Funktionsgleichung ... - eine Wertetabelle erstellen und - den Graph der Funktion zeichnen.

Erstelle zu den vier Funktionsgleichungen (Scheitelpunktsform) jeweils eine Wertetabelle und zeichne die Graphen der Funktionen in das Koordinatenkreuz. Wähle x-Werte, die sich im gegebenen Koordinatensystem darstellen lassen. Beachte: 1 mal entsteht keine Parabeln. Hinweis: f(x) = y

a) f(x) = 1,5·x – 2 b) g(x) = –x² – 4 c) h(x) = (x + 3)² – 3 d) t(x) = 2x²

a)

x

f(x)

b)

x

g(x)

c)

x

h(x)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Quadratische Funktionen Kompetenzorientiertes Üben - Aufgabenteil

2. Aufgabe: Kompetenz K1 : Man kann zu einer Funktionsgleichung ... - eine Wertetabelle erstellen und - den Graph der Funktion zeichnen. Kompetenz K3 : Man kann an Hand der Lage und Form der Parabel auf die richtige Funktionsgleichungen schließen.

Die drei Wertetabellentabellen stellen jeweils eine Funktion dar.

a) Zeichne jeweils den Graphen in das Koordinatensystem. b) Ermittle die Funktionsgleichungen für diese Funktionen.

Beschreibe in einem Text, wie du vorgegangen bist.

x –5,0 –4,0 –3,0 –2,0 –1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

f(x) 45,0 32,0 21,0 12,0 5,0 0,0 -3,0 -4,0 -3,0 0,0 5,0

g(x) 3,0 2,0 -1,0 -6,0 -13,0 -22,0 -33,0 -46,0 -61,0 -78,0 -97,0

h(x) 27,0 18,0 11,0 6,0 3,0 2,0 3,0 6,0 11,0 18,0 27,0

Koordinatensystem: Bitte beachte! x-Achse: 1 cm = 1 Einheit ; y-Achse: 0,5 cm = 1 Einheit

Scheitelpunkt Scheitelpunktsform

S1( | ) f(x) =

S2( | ) g(x) =

S3( | ) h(x) =

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

3. Aufgabe: Kompetenz K1 : Man kann zu einer Funktionsgleichung ... - eine Wertetabelle erstellen und - den Graph der Funktion zeichnen.

Gegeben sind drei Funktionsgleichungen (Normalform):

a) f(x) = 0,5·x² – 3x – 5 b) g(x) = –x² + 2x + 6 c) h(x) = 31 (x – 4)² – 4

Erstelle jeweils eine Wertetabelle für die drei Funktionen und zeichne die Funktionsgraphen in das vorgegebene Koordinatenkreuz. Wähle x-Werte, die sich im gegebenen Koordinaten-system darstellen lassen. a)

x

f(x) = y

b)

x

g(x) = y

c)

x

h(x) = y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

4. Aufgabe: Kompetenz K1 : Man kann zu einer Funktionsgleichung ... - eine Wertetabelle erstellen und - den Graph der Funktion zeichnen.

Vervollständige zu den gegebenen Funktionsgleichungen (Normalform) die Wertetabellen und zeichne die Funktionsgraphen in das Koordinatenkreuz.

a) f(x) = –x² + 4x – 1,5 b) g(x) = x² – 6x + 6

x –2,0 –1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

f(x)

g(x)

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

5. Aufgabe: Kompetenz K4 : Man kann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktsform aufstellen, wenn die Koordinaten des Scheitelpunktes gegeben sind. Kompetenz K5 : Man kann die Funktionsgleichung aus der Scheitelpunktsform in die Normalform umwandeln.

Fülle die Tabelle aus. Alle Funktionsgraphen habe die Form einer Normalparabel.

Scheitelpunkt S Öffnung Funktionsgleichung Scheitelpunktsform

Funktionsgleichung Normalform

S( -3 | 2 ) nach oben

S( 7 |–3 ) nach unten

S( –0,5 | 3,5 ) nach unten

f(x)= ( x – 12)2 – 5

f(x) = – 0,75·(x + 4,5)2 –7

6. Aufgabe: Kompetenz K3 : Man kann an Hand der Lage und Form der Parabel auf die richtige Funktionsgleichungen schließen. Kompetenz K4 : Man kann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktsform aufstellen, wenn die Koordinaten des Scheitelpunktes gegeben sind. Kompetenz K5 : Man kann die Funktionsgleichung aus der Scheitelpunktsform in die Normalform umwandeln.

a) Ermittle aus der Zeichnung alle Scheitelpunkte. b) Stelle für die Funktionsgraphen die Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktsform auf. c) Wandel die Scheitelpunktsform in die Normalform um.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y i(x) k(x)

f(x)

g(x) h(x)

Trage die Lösungen in die folgende Tabelle ein: Scheitelpunkt Scheitelpunktsform Normalform

S1( | ) f(x) =

S2( | ) g(x) =

S3( | ) h(x) =

S4( | ) k(x) =

S5( | ) i(x) =

7. Aufgabe: Kompetenz K7: Man kann aus der Normalform die Scheitelpunktsform, den Scheitelpunkt und die Funktionsgleichung bestimmen. Kompetenz K10: Man kann die Nullstellen einer quadratischen Gleichung rechnerisch bestimmen. Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) = –3x2 –6x + 9.

a) Berechne die Nullstellen (x1 und x2) der quadratischen Gleichung. b) Bestimme aus der Normalform die Scheitelpunktsform. c) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes aus der Scheitelpunktsform. d) Überprüfe, ob der Punkt A( 2 | –15 ) ein Punkt auf dem Funktionsgraphen ist.

Scheitelpunkt Scheitelpunktsform Normalform

S1( | ) f(x) = f(x) = –3x2 –6x + 9

Punkt Scheitelpunktsform f(x)

A( 2 | –15 ) f(x) = f(x) = y =

8. Aufgabe: Kompetenz K3 : Man kann an Hand der Lage und Form der Parabel auf die richtige Funktionsgleichung schließen. Ordne die Funktionsgleichungen den entsprechenden Funktionsgraphen zu.

f1(x) = x² � ___ f2(x) = x² - 4 � ___ f3(x) = x² - 3x � ___

f4(x) = - x² + 3 � ___ f5(x) = 2x² � ___ f6(x) = - 0,2x² � ___

e f

1

1 x

y

1

1 x

y

1

1 x

y

1

1 x

y

1

1 x

y

1

1 x

y

a b

c d

9. Aufgabe: Kompetenz K3 : Man kann an Hand der Lage und Form der Parabel auf die richtige Funktionsgleichung schließen. Kompetenz K4 : Man kann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktsform aufstellen, wenn die Koordinaten des Scheitelpunktes gegeben sind bzw. abgelesen werden können. Kompetenz K5 : Man kann die Funktionsgleichung aus der Scheitelpunktsform in die Normalform umwandeln.

Alle gezeigten Funktionsgraphen haben die Form einer Normalparabel. a ) Stelle die Funktionsgleichungen zunächst in der Scheitelpunktsform auf. b ) Verwandle die Scheitelpunktsform anschließend in die Normalform.

Trage die Lösungen in die folgende Tabelle ein:

Scheitelpunkt Scheitelpunktsform Normalform

S1( | ) f(x) =

S2( | ) g(x) =

S3( | ) h(x) =

S4( | ) i(x) =

S5( | ) k(x) =

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

f(x)

g(x)

h(x)

k(x)

i(x)

10. Aufgabe: Kompetenz K4 : Man kann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktsform aufstellen, wenn die Koordinaten des Scheitelpunktes gegeben sind. Kompetenz K5 : Man kann die Funktionsgleichung aus der Scheitelpunktsform in die Normalform umwandeln u.u. Kompetenz K7: Man kann aus der Normalform die Scheitelpunktsform, den Scheitelpunkt und die Funktionsgleichung bestimmen.

a) Fülle die Tabelle aus. Alle Funktionsgraphen haben die Form der Normalparabel. b) Skizziere die Funktionsgraphen in dem gegebenen Koordinatenkreuz und beschrifte

sie eindeutig.

Scheitelpunkt Öffnung Scheitelpunktsform Normalform

S1( –3,5 | 3 ) nach unten f(x)=

S2( 5 | –2,5 ) nach oben g(x)=

h(x)= –(x + 1,5)2 – 6

i(x)= (x + 6)2 – 4,5

k(x)= x² –4x – 5

m(x)= x² + 3

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

11. Aufgabe: Kompetenz K6 : Man kann mit Hilfe der Scheitelpunktsform die Nullstellen berechnen.

a) Gegeben sind die folgenden Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktsform. Berechne für jede Funktion die Nullstellen. (Hilfe: Fast alle Nullstellen haben ganzzahlige Koordinaten.)

f(x) = (x – 5,5)² – 2,25 g(x) = –(x – 0,5)² + 2,25 h(x) = –(x + 2)² + 4 i(x) = 0,5(x + 0,25)² – 3,78125

b) Bestimme die Scheitelpunkte der Parabeln. Zeichne die Parabeln in das gegebene Koordinatenkreuz mit Hilfe der Scheitelpunkte und Nullstellen ein.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

12. Aufgabe: Kompetenz K6 : Man kann gestauchte und gestreckte Parabeln erkennen und den Stauchungsfaktor ermitteln.

Bestimme die Funktionsgleichungen der vier Parabeln.

Hilfe: Suche auf jedem Funktionsgraphen den Scheitelpunkt und mindestens einen weiteren Punkt mit ganzzahligen Koordinaten. Beschrifte diese Punkte in der Koordinatenschreib-weise. Benutze diese Punkte, um die Funktionsgleichungen 2)( xaxf ⋅= aufzustellen.

1 2 3 4

x

-1-2-3-4

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

y

k(x)

h(x)

g(x)f(x)

Scheitelpunkt weiterer Punkt Scheitelpunktsform

S1( | ) A1( | ) f(x) =

S2( | ) A2( | ) g(x) =

S3( | ) A3( | ) h(x) =

S5( | ) A5( | ) k(x) =

13. Aufgabe: Kompetenz K6 : Man kann gestauchte und gestreckte Parabeln erkennen und den Stauchungsfaktor ermitteln.

Bestimme die Funktionsgleichungen der fünf Parabeln.

Hilfe: Suche auf jedem Funktionsgraphen den Scheitelpunkt und mindestens einen weiteren Punkt mit ganzzahligen Koordinaten. Beschrifte diese Punkte in der Koordinatenschreib-weise. Benutze diese Punkte, um die Funktionsgleichungen aufzustellen. Trage die Lösungen in die folgende Tabelle ein: Scheitelpunkt weiterer Punkt Scheitelpunktsform

S1( | ) A1( | ) f(x) =

S2( | ) A2( | ) g(x) =

S3( | ) A3( | ) h(x) =

S4( | ) A4( | ) i(x) =

S5( | ) A5( | ) k(x) =

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

f(x)

g(x)

h (x)

k(x)

i(x)

14. Aufgabe: Kompetenz K9 : Man kann zu einer Sachsituation eine geeignete quadratische Funktionsgleichung aufstellen und die oben beschriebenen Verfahren zur Lösung der Sachsituation nutzen.

Die Fehmarnsundbrücke – der größte Kleiderbügel der Welt.

Bildquelle: Harry Bauer / Albert-Schweitzer-GemS.

Bild darf für schulische Zwecke kopiert werden.

Die Fehmarnsundbrücke verbindet die Insel Fehmarn mit dem deutschen Festland.

Technische Angaben: - Brückenlänge insgesamt: 963,4 m - Scheitelhöhe des Bogens über dem Meeresspiegel: 68 m - Durchfahrtshöhe für Schiffe: 23 m - Spannweite des Bogens: 248 m - Höhe des Bogens über der Fahrbahn: 45 m

Der Brückenbogen hat die Form einer Parabel.

a) Skizziere den Parabelbogen der Brücke in einem geeigneten Koordinatenkreuz. Wähle die x-Achse in der Höhe der Fahrbahn.

b) Bestimme eine Funktionsgleichung, die den Brückenbogen beschreibt. Dokumentiere dein Vorgehen.

c) Wenn man den Parabelbogen verlängern würde, würde er schließlich die Wasser-oberfläche erreichen. Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Para-belbögen mit der Wasseroberfläche. Dokumentiere dein Vorgehen.

15. Aufgabe: Kompetenz K9 : Man kann zu einer Sachsituation eine geeignete quadratische Funktionsgleichung aufstellen und die oben beschriebenen Verfahren zur Lösung der Sachsituation nutzen.

Bürohaus „Berliner Bogen“

In Hamburg steht in der Nähe der S-Bahn-Station „Berliner Tor“ ein neues Bürohaus. Es hat wegen seiner Form und Lage den Namen „Berliner Bogen“. Das Bürohaus besteht haupt-sächlich aus Glas und Stahl.

Daten des Bürohauses: Länge = 140 m und Breite = 7 2 m

Beschreibung Der Berliner Bogen in Hammerbrook wurde von Hadi Teherani entworfen.

Datum 9. Mai 2006

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Urheber Staro1

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a) Die Vorderseite des Bürohauses hat die Form einer Parabel. Zeichne in die Schnitt-

zeichnung ein Koordinatenkreuz ein. Die x-Achse verläuft in der Parkebene, die y-Achse geht durch den Scheitelpunkt der Parabel. Zeichne die Nullstellen mit Koordi-naten ein.

3. Stockwerk

Parkebene

b) Welche der folgenden Funktionsgleichungen könnte die Gebäudeform richtig beschreiben? Begründe deine Entscheidung und beschreibe auch, warum zwei Funktionsgleichungen nicht infrage kommen.

304

1)(30

4

1)(30

4

1)( 2

32

22

1 −−=+−=+= xxfxxfxxf

c) Das Gebäude ist von der Parkebene aus gemessen 36 m hoch. Bestimme die Funk-

tionsgleichung, die den Gebäudebogen exakt beschreibt. Zeichne die Parabel in das gegebene Koordinatenkreuz ein. Hilfe: Bestimme aus den gegebenen Daten die Nullstellen.

5 10 15 20 25 30 35

Breite in m

-5-10-15-20-25-30-35

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

Höhe in m

d) Die Zwischendecke des 3. Stockwerks befindet sich in einer Höhe von 12,7 m. Bestimme die Breite der Zwischendecke.

16. Aufgabe: Kompetenz K9 : Man kann zu einer Sachsituation eine geeignete quadratische Funktionsgleichung aufstellen und die oben beschriebenen Verfahren zur Lösung der Sachsituation nutzen.

Bob Baemon

Bob Beamon sprang bei seinem Weltrekordsprung bei den Olympischen Spielen 1968 in Mexiko City (Höhenlage!) 8,90 m weit. Sein Körperschwerpunkt legte dabei in etwa die Bahn einer Parabel zurück, die angenähert durch die Gleichung y = - 0,0571 x2 + 0,3838 x + 1,14 beschrieben wird. y gibt dabei die jeweilige Höhe des Kör-perschwerpunkts über der Sprunggrube und x die horizontale Entfernung von der Ausgangs-lage beim Absprung an.

a) Erstelle eine Wertetabelle für die Flugparabel und zeichne die Flugkurve.

(xmin = 0, xmax = 8,10 m, Schrittweite h = 0,5 m) Benutze das Koordinatensystem auf der nächsten Seite.

b) Hätte Bob Beamon bei seinem Weltrekord einen PKW übersprungen? Bestimme die

Koordinaten des Scheitelpunkts der Flugparabel und ermittle die Sprunghöhe des Schwerpunkts.

c) Was weißt du über den von Bob Beamon aufgestellten Weltrekord?

Diagramm „Bob Beamon“:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sprungweite (m)

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

Sprunghöhe (m)