010_Kurs 1 Kapitel 4 - Torsion
-
Upload
ahmedhossam -
Category
Documents
-
view
5.829 -
download
13
Transcript of 010_Kurs 1 Kapitel 4 - Torsion
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 401
4 Torsion
4.1 Einführung
Stäbe können zusätzlich zu den Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und Biegemoment
auch durch ein Torsionsmoment beansprucht werden. Grundlage der Torsionstheorie ist ein
linear-elastisches Materialverhalten, so dass die vorgestellten Methoden und Berechnungs-
verfahren hauptsächlich als Ergänzung zu Kapitel 3, Abschnitt 3.8 „Das Verfahren Elastisch-
Elastisch“ zu sehen sind. Aufgrund ihres Umfangs wird der Torsionstheorie ein eigenes Kapi-
tel gewidmet.
4.2 Grundlagen
4.2.1 Vorbemerkung
Leider werden zum Thema Torsion in der Literatur für ein und dieselbe Größe zahlreiche
verschiedene Symbole und teilweise auch Bezeichnungen verwendet. Die folgende Tabelle
soll die Zuordnung erleichtern, erhebt jedoch keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
Symbol Bezeichnung / Erläuterung alternative
Symbole
alternative Bezeich-
nungen
MT (Einzel-)Torsionsmoment (äußere Belas-
tung) MD
mT (Strecken-)Torsionsmoment (äußere
Belastung) md
Mx Torsionsmoment (Schnittgröße) MT, T
Mx,p primäres Torsionsmoment (Saint Venant) Tv, Mx,1
Mx,s sekundäres Torsionsmoment (Wölbkraft-
torsion) Tw, T , Mx,w,
Mx, , Mx,2
Wölbtorsionsmoment
Drehwinkel um die x-Achse, Verdrehung , xDrillung
‘ Verdrillung ‘, x‘ Verwindung, Drall, bezogene
Änderung des Drehwinkels
p primäre Schubspannung v
Wölbschubspannung s, w sekundäre Schubspannung
Wölbnormalspannung s, 2
sekundäre Normalspannung
Am von der Blechmittellinie umschlossene
Fläche Ak,
Tabelle 4-1: Alternative Bezeichnungen und Symbole diverser Größen
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 402
IT Torsionsflächenmoment 2. Grades ID, JD, K Torsionskonstante (K)
G·IT Torsionssteifigkeit G·ID, G·JD
WT Torsionswiderstandsmoment
I Wölbflächenmoment 2. Grades Iw, CM, A Wölbwiderstand, sektorielles
Trägheitsmoment
E·I Wölbsteifigkeit E·Iw, E·CM,
E·A
M Wölbbimoment
S Wölbflächenmoment 1. Grades A sektorielles statisches Moment
Einheitsverwölbung w,
sektorielle Koordinate
Grundverwölbung
C Wölbfedersteifigkeit c
C Drehfedersteifigkeit
Abklingfaktor
Tabelle 4-1 (Fortsetzung): Alternative Bezeichnungen und Symbole diverser Größen
4.2.2 Wölbfreie Querschnitte
Unter Torsionsbeanspruchung tritt eine Verdrehung des Stabes um seine Längsachse (bzw.
um eine dem Stab aufgezwungene, zur Längsachse parallele Drillachse A) mit dem Verdre-
hungswinkel auf. Wird die Verdrehung d auf die Längeneinheit dx bezogen spricht man
von der Verdrillung d /dx = ‘.
Bild 4-1: Verdrillung ‘ eines Stabelements
Mit der Verdrillung geht bei nicht wölbfreien Querschnitten eine Verwölbung u einher: die
einzelnen Querschnittspunkte („Fasern“) verformen sich in Stablängsrichtung unterschied-
lich stark, wobei der Stabquerschnitt nicht eben bleibt, er verwölbt sich.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 403
Bild 4-2: Verwölbung u infolge Torsionsbeanspruchung Mx
Bei sogenannten wölbfreien Querschnitten treten keine Verwölbungen auf.
Es gibt drei Arten von wölbfreien Querschnitten:
Rotationssymmetrische Querschnitte
Bild 4-3: Vollkreis Bild 4-4: Kreisring
Profile aus zwei sich kreuzenden dünnen Blechstreifen
Der Schubmittelpunkt M liegt im Schnittpunkt der Profilmittellinien.
Bild 4-5: Wölbfreie Querschnitte aus zwei sich kreuzenden Blechen
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 404
Dünnwandige Hohlquerschnitte mit Zusatzanforderung
Für dünnwandige, durch schmale Rechtecke gebildete Hohlprofile werden die Wanddicken
der einzelnen Bleche in den Querschnittsecken als Vektoren angetragen und aus je zwei
Blechdickenvektoren wird ein resultierender Blechdickenvektor gebildet. Wenn sich alle re-
sultierenden Blechdickenvektoren in einem Punkt schneiden dann ist dieser Schnittpunkt der
Schubmittelpunkt M. Ein solcher Querschnitt ist wölbfrei.
Bild 4-6: Wölbfreies Hohlprofil Bild 4-7: Dreieckshohlprofil
Diese Forderung wird von jedem Dreieck mit beliebigen Blechdicken erfüllt.
Alle Dreiecks-Hohlprofile sind wölbfrei.
Ferner erfüllen auch alle polygonal begrenzten Querschnitte mit konstanter Blechdicke diese
Forderung, wenn in sie ein Kreis einbeschrieben werden kann. Der Mittelpunkt dieses Krei-
ses liegt auf den Winkelhalbierenden je zweier benachbarter Bleche und ist zugleich der
Schubmittelpunkt.
Bild 4-8: Dreieckshohlprofil Bild 4-9: Hohlprofil mit t=.const und einbe-
schriebenem Kreis
Alle Polygone mit konstanter Blechdicke t, die einen Kreis umschließen, sind wölbfrei.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 405
Achtung: Die Eigenschaft der Wölbfreiheit geht verloren, wenn es eine Zwangsdrillachse gibt
und sich der Querschnitt nicht um seinen Schubmittelpunkt verdrillen kann.
Alle anderen Querschnitte sind nicht wölbfrei.
Beispiele:
Bild 4-10: Nicht wölbfreie Querschnitte
Als näherungsweise wölbfrei gelten z.B. rechteckige Hohlprofile, deren Seitenlängen a und b
sich nicht zu sehr voneinander unterscheiden.
4.2.3 Die zwei Arten der Torsion
Man unterscheidet zwei Arten von Torsion: St. Venantsche Torsion und Wölbkrafttorsion.
Die St. Venantsche Torsion wird auch zwangsfreie Drillung genannt. Alle Querschnitte des
Stabes können sich ungehindert verwölben. Durch die Querschnittsverwölbung erfahren die
Querschnittsfasern unterschiedliche Dehnungen x. Da sich diese Dehnungen ungehindert
einstellen können, entstehen nur Schubspannungen, aber keine Normalspannungen. Die
Schubspannungen infolge St. Venantscher Torsion werden als „primäre Schubspannungen
p“ bezeichnet.
Die Wölbkrafttorsion wird auch als Zwangs- oder Zwängungsdrillung bezeichnet. Wird die
freie Verwölbung eines nicht wölbfreien Querschnittes behindert (z.B. einbetoniertes Träger-
ende), so entstehen neben primären Schubspannungen p auch „sekundäre Normalspan-
nungen “ und „sekundäre Schubspannungen “.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 406
Für wölbfreie Querschnitte gilt im Allgemeinen die St. Venantsche Torsion. Für nicht wölb-
freie Querschnitte muss in der Regel die Wölbkrafttorsion berücksichtigt werden.
Für wölbarme Querschnitte kann die St. Venantsche Torsion oft als brauchbare Näherung
verwendet werden.
Wenn die Wölbkrafttorsion zu berücksichtigen ist, kann das Torsionsmoment Mx in zwei An-
teile zerlegt werden, welche zu primären und sekundären Spannungen führen:
sxpxx MMM ,,
mit Mx,p: Saint Venantsche Torsion
Mx,s: Wölbkrafttorsion
Es liegt dann gemischte Torsion vor.
Bild 4-11: Gemischte Torsion
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 407
Infolge des Torsionsmomentes Mx verdreht sich der Querschnitt um seine Längsachse. Wä-
ren die Flansche nicht mit dem Steg verbunden, so würden sich die drei Einzelbleche jeweils
um den Winkel verdrehen, wobei die Schwerpunkte der Einzelbleche auf der z-Achse ver-
bleiben würden.
Die Endpunkte des Steges würden sich relativ zu den Flanschmitten um das Maß voben bzw.
vunten verschieben. Die zu diesem Zustand gehörenden primären Schubspannungen p laufen
um jeden Querschnittsteil im gleichen Drehsinn herum. Dieser Zustand entspricht dem Anteil
aus Saint-Venantscher Torsion.
Natürlich tritt in der Realität zwischen den Flanschen und dem Steg keine Klaffung auf, so
dass die Flansche zusätzlich zur Rotation (x) auch eine Translation voben bzw. vunten erfah-
ren, da die Querschnittsform erhalten bleibt (Verträglichkeit der Verformungen der Quer-
schnittsteile). Damit sich diese Verformung der Flansche einstellt, müssen in den Flanschen
zwangsläufig sekundäre Schubspannungen und auch (hier nicht dargestellte) Wölbnor-
malspannungen auftreten. Dieser Zustand entspricht dem Anteil aus Wölbkrafttorsion.
Diese Schubspannungsverteilung führt nur zu Verdrehungen um den jeweiligen Schubmittel-
punkt der Einzelbleche (identisch mit Schwerpunkt der Einzelbleche), nicht aber zu Verfor-
mungen quer zur Stabachse.
Die Theorie zu den beiden Torsionsarten wird in den folgenden Abschnitten ausführlich er-
klärt.
4.3 Die Saint Venantsche Torsion
4.3.1 Voraussetzungen
Es müssen folgende Voraussetzungen eingehalten sein, damit reine St. Venantsche Torsion
vorliegt:
Der Werkstoff verhält sich linear-elastisch (Verfahren Elastisch-Elastisch).
Die auftretenden Formänderungen sind klein im Vergleich zu den Abmessungen des
tordierten Stabes.
Die Querschnittsform bleibt erhalten.
Torsionsmomente greifen nur an den beiden Stabenden an.
Die entstehenden Querschnittsverformungen in Längsrichtung (Verwölbung) werden
nicht behindert .
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 408
Unter diesen Voraussetzungen entstehen nur Schubspannungen p. Sie werden als St. Ve-
nantsche oder primäre Schubspannungen bezeichnet.
Die Forderungen, dass Torsionsmomente nur an den Stabenden angreifen und Verwölbun-
gen nicht behindert werden dürfen, gelten nur für nicht wölbfreie Querschnitte.
Die Erhaltung der Querschnittsform ist von großer Bedeutung. Deshalb werden insbesonde-
re an Krafteinleitungsstellen (Angriffspunkte von Einzellasten, Lager) Rippen, Schotte oder
steife Querverbände angeordnet. Zu beachten ist jedoch, dass Maßnahmen zur Erhaltung
der Querschnittsform abhängig von deren individueller Ausführung dazu führen können, dass
die freie Verwölbung des Querschnittes nicht mehr möglich ist und somit keine reine St. Ve-
nantsche Torsion mehr vorliegt (Beispiel: dicke Stirnplatten oder Rippen).
4.3.2 Differentialgleichung der St. Venantschen Torsion
Anhand eines Kreisquerschnitts wird die Differentialgleichung der St. Venantschen Torsion
hergeleitet.
Der infinitesimal kleine Stababschnitt der Länge dx wird durch das Torsionsmoment Mx,p be-
ansprucht.
Bild 4-12: Stabelement der Länge dx unter Torsionsbeanspruchung
Für die Verformung eines Punktes im Abstand r von der Stabachse gilt
dxxdr )( ,
woraus unmittelbar die Verzerrung folgt.
rdx
xd )(
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 409
Die Schubspannungen p betragen in Abhängigkeit vom Abstand r von der Stabachse
rdx
xdGGp
)(
Anmerkung: Der Schubmodul G beträgt für Baustahl 81.000 N/mm².
Bild 4-13: Schubspannungsverteilung im
Vollkreis
Bild 4-14: Infinitesimales Element dA
Durch Integration der Schubspannungen über die Querschnittsfläche erhält man das Torsi-
onsmoment Mx,p als Resultierende der Schubspannungen.
A A
ppx dArGdx
xddArM 2
,
)(
Ein wichtiger Querschnittswert ist das Torsionsflächenmomentes 2. Grades IT, das mit der
Einheit [cm4] angegeben wird.
Mit drdrdA berechnet man IT für den betrachteten Kreisquerschnitt zu
322
42
0
32
0
2
0
22 ddrrdrdrrdArI
dr
rA
dr
r
T .
In gleicher Weise lässt sich IT eines Kreisringquerschnittes bestimmen.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 410
2
4rIT
1412
])([2
44
44
r
tfürr
r
tr
trrIT
trIT
32
Bild 4-15: Schubspannungsverlauf und IT
(Vollkreis)
Bild 4-16: Schubspannungsverlauf und IT
(Kreisring)
Umstellen der Bestimmungsgleichung für Mx,p und Einsetzen der Beziehung für IT liefert die
Differentialgleichung (DGL) der St. Venantschen Torsion.
T
px
IG
M
dx
xdx
,)()( DGL der St. Venantschen Torsion
Damit vereinfacht sich nach Auflösen und Einsetzten auch die Gleichung zur Berechnung
der Schubspannungen:
rI
Mr
dx
xdGG
T
px
p
,)(
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 411
4.3.3 Vollquerschnitte
4.3.3.1 Allgemeine Vollquerschnitte
Die Schubspannungen infolge St. Venantscher Torsion können für beliebige Vollquerschnitte
mit Hilfe der Prandtlschen Membrananalogie (Analogie zur Poissonschen DGL) exakt be-
stimmt werden.
Bild 4-17: Prandtlsche Membrananalogie (Seifenhautgleichnis)
A
ppx dArxM )(,
Dabei entspricht die Torsionsbeanspruchung dem Druck auf die Membran. Das Torsions-
moment aus St. Venantscher Torsion entspricht dem Zweifachen des Volumens, das von der
Querschnittsoberfläche und der Membranoberfläche begrenzt wird. Die Schubspannungen
verlaufen tangential zur Membran, wobei ihr Betrag der jeweiligen Neigung der Membran
entspricht. Die Membrananalogie lässt sich aus dem Vergleich der Auslenkung der Membran
mit der DGL der Torsion dickwandiger Stäbe herleiten.
Für Vollquerschnitte folgt daraus:
ds
MAI
s
p
px
T
,2
)(40
4
zy
TII
AI Näherung nach St. Venant für Vollquerschnitte
Weitere Ausführungen sind der einschlägigen Literatur zur Technischen Mechanik zu ent-
nehmen (z.B. E. Pestel / J. Wittenburg: Technische Mechanik Band 2, Wissenschaftsverlag
1986, ISBN 3-411-01608-6).
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 412
4.3.3.2 Rechteckquerschnitte
Für einen Rechteckquerschnitt mit den Abmessungen t·h beträgt der Maximalwert der
Schubspannungen
2
,
max,th
M px
p ,
und das Torsionsflächenmoment 2. Grades
3thIT .
und sind Beiwerte, die vom Verhältnis h/t der Querschnittshöhe h zur Querschnittsdicke t
abhängen.
Bild 4-18: Schubspannungsverteilung bei
einem dickwandigen Rechteckquerschnitt
Bild 4-19: Schubspannungsverteilung bei
einem dünnwandigen Rechteckquerschnitt
Während bei dickwandigen Querschnitten die Schubspannungsverteilung über den Quer-
schnitt nicht linear ist, sind die Schubspannungen bei dünnwandigen Querschnitten über die
Blechdicke t linear verteilt.
Tabelle 4-2 ist zu entnehmen, dass für t
h und einen Grenzwert von 1/3 besitzen.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 413
h/t 1,0 2,0 3,0 6,0 10
0,140 0,229 0,236 0,299 0,313 1/3
0,208 0,246 0,267 0,299 0,313 1/3
Tabelle 4-2: Beiwerte und für Rechteckquerschnitte
Für 10t
h ist 313,0 , also schon recht nahe am Grenzwert 1/3, d.h. als Kriterium für
das Vorliegen eines dünnwandigen Querschnitts kann in etwa ein Verhältnis 10t
h gelten.
Mit 3/1 beträgt die maximale primäre Schubspannung p für einen dünnwandigen
Rechteckquerschnitt
tI
M
t
t
th
M
T
pxpx
p
,
2
,
max,
3, mit
3
3
1thIT .
In diesem Zusammenhang sei auf folgendes Paradoxon hingewiesen:
Jene Schubanteile, die parallel zur kleinen Abmessung t verlaufen, erscheinen im Vergleich
zu den Anteilen entlang der großen Abmessung b vernachlässigbar.
Bild 4-20: Paradoxon im Zusammenhang mit der Schubspannungsverteilung bei dünnwandi-
gen Rechteckquerschnitten
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 414
Integriert man die Schubspannungen über die Breite b und die Blechdicke t, so erhält man
als Resultierende ein Kräftepaar, das einem Torsionsmoment Mx*entspricht.
t
I
t
tb
t
tb
ttb
tM T
x max
3
max
2
maxmax2
11
663
2
22
1*
Dieses Torsionsmoment ist nur halb so groß wie das Torsionsmoment Mx,p, das sich nach
der Formel
Tpx It
M max, ergibt.
Dieser Widerspruch kann dadurch erklärt werden, dass an den Blechenden Schubspannun-
gen in Dickenrichtungen wirken, die in obiger Betrachtungsweise nicht berücksichtigt wur-
den. Diese Schubspannungen sind den übrigen Schubspannungen im Blech gleichwertig,
klingen mit zunehmender Entfernung vom Blechrand rasch ab, besitzen aber einen relativ
großen Hebelarm und tragen so zur Aufnahme des Torsionsmomentes bei. Das richtige Tor-
sionsmoment ergibt sich aus der Lösung der sogenannten Spannungsfunktion (hier nicht
behandelt, siehe Fachliteratur).
Für einen dünnwandigen Rechteckquerschnitt beträgt die maximale Schubspannung
tI
M
T
px
p
,
max, .
Zum Vergleich:
Für einen allgemeinen Vollquerschnitt beträgt die maximale Schubspannung
T
px
pW
M ,
max,
WT [cm³] wird Torsionswiderstandsmoment genannt und ist für die gebräuchlichsten Quer-
schnittsformen in den einschlägigen Tabellenwerken (z.B. Schneider Bautabellen) enthalten.
Da Vollquerschnitte für die Metallbaupraxis eher von untergeordneter Bedeutung sind, wird
bezüglich ausführlicherer Hintergrundinformationen auf die Literatur verwiesen.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 415
4.3.4 Dünnwandige offene Querschnitte
Für einen Blechstreifen der Dicke t und der Breite b gilt
tI
M
T
px
p
,
max,
3
3
1tbIT
Die gebräuchlichen Stahlbauprofile sind aus solchen dünnen Blechstreifen zusammenge-
setzt.
Weil die Querschnittsform voraussetzungsgemäß erhalten bleibt, muss die Verdrillung ', die
sich infolge des Torsionsmomentes Mx,p ergibt, für den Gesamtquerschnitt und für jeden
Teilquerschnitt (Einzelblech) gleich groß sein.
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d i...21
Wegen der Gleichgewichtsbedingung Mx = 0 gilt ferner
TiTi
TT
i
ipxpx IGdx
dIG
dx
dIG
dx
dIG
dx
dMM ,2,
21,
1,,, ...
T
i
iT IGdx
dIG
dx
d,
i
ii
i
iTT tbII3
,3
1
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 416
Bild 4-21: Aus dünnen Blechen zusammengesetzter Querschnitt.
Diese Formel gilt für nicht geschlossene Profile, die aus Blechen zusammengeschweißt oder
–geschraubt sind.
Für Walzprofile wird ein Korrekturwert eingeführt, um den Einfluss der beim Walzen ent-
stehenden Rundungen zu erfassen:
i
iiT tbI3
3
1
Profil L T, C, U, Z I
1,0 1,10 bis 1,15 1,3
Tabelle 4-3: Korrekturwerte für verschiedene Walzprofile
Für Lamellenpakete, wie sie insbesondere in den Anfangsjahren des Stahlbaus verwendet
wurden, kann IT wie folgt berechnet werden:
genietet: 33
03
1
3
1iioT tctbI
Bild 4-22: Genietetes Lamellenpaket
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 417
geschweißt: 3
3
1osT tbI
Bild 4-23: Geschweißtes Lamellenpaket
4.3.5 Dünnwandige geschlossene Querschnitte
Einzellige Querschnitte
Bei dünnwandigen offenen Querschnitten stellt sich unter Torsionsbeanspruchung ein über
die Blechdicke linear veränderlicher Schubspannungsverlauf ein. Im Gegensatz dazu besit-
zen die Schubspannungen bei geschlossenen dünnwandigen Querschnitten über die Blech-
dicke einen konstanten Verlauf.
Bild 4-24: Schubspannungsverteilung in einem
offenen Querschnitt
Bild 4-25: Schubspannungsverteilung in
einem geschlossenen Querschnitt
Schneidet man aus einem geschlossenen Querschnitt einen Teil heraus (vgl. Ausschnitt C,
Bilder 4-25 und 4-26), so kann mit Hilfe des Satzes von der Gleichheit einander zugeordne-
ter Schubspannungen gezeigt werden, dass der Schubfluss T über den Querschnittsumfang
konstant ist:
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 418
dxtdxtFx 2211:0
.2211 constTttt ii
Bild 4-26: Ausschnitt C zu Bild 4-25
Das Torsionsmoment Mx,p ist die Resultierende dieses konstanten, umlaufenden Schubflus-
ses T.
Die folgenden Gleichungen beziehen sich auf einen (beliebigen) Drehpunkt A. Der Index A
macht den Bezug zum Drehpunkt A kenntlich.
Es wird eine lokale Koordinate s mit Ursprung im Punkt P0 eingeführt, die der Profilkontur
tangential folgt. Jeder Querschnittspunkt P kann durch diese lokale Koordinate s als P(s)
ausgedrückt werden.
Dann legt man im Punkt P(s) gedanklich eine Tangente an die Querschnittskontur. Zum
Drehpunkt A besitzt diese Tangente den Abstand rt,A.
Bild 4-27: Geschlossener Querschnitt – Koordinate s, Drehpunkt und Normalabstand rt,A
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 419
Die Schubspannungen p werden durch Multiplikation mit der Blechdicke t zum Schubfluss T
zusammengefasst:
.)()()( constTstssT p
Innerhalb eines infinitesimal kleinen Abschnitts der Querschnittskontur mit der Länge ds be-
trägt die resultierende Kraft des Schubflusses T·ds.
Diese Kraft erzeugt mit dem Hebelarm rt,A ein Torsionsmoment bezüglich der Drillachse A:
dsTrdM Atpx ,,
Durch Integration von dMx,p über den gesamten Umfang des geschlossenen Querschnitts
ergibt sich das Torsionsmoment
dsrTdsTrM AtAtpx ,,,
Wegen Integration über den gesamten Umfang wird das Zeichen für das Ringintegral ver-
wendet.
Bild 4-28: Geschlossener Querschnitt – Herleitung der Bredtschen Formeln
Das Produkt rt,A·ds kann man wie folgt deuten:
dsrdA Atm ,2
1 ist die Fläche des Dreiecks mit der Basis ds und der Höhe rt,A.
Das Ringintegral entspricht demnach dem zweifachen Wert der Fläche Am, die von der Mitte-
llinie des Bleches umschlossen wird.
mAt Adsr 2,
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 420
Einsetzen und Umformen liefert die 1. Bredtsche Formel:
mAtpx ATdsrTM 2,,
.2
,const
A
MT
m
px 1. Bredtsche Formel
Die maximale (primäre) Schubspannung tritt an der Stelle mit der geringsten Blechdicke auf.
min
maxt
Tp
Ein Punkt P auf der Mantelfläche des Stabes erfährt infolge einer Verdrehung d die Ver-
schiebung dv tangential zur Querschnittsoberfläche.
Bild 4-29: Tangentiale Verschiebung dv eines Punktes auf der Staboberfläche infolge d
drdrdv AtA ,cos
Bei einem allgemeinen, nicht wölbfreien Querschnitt führt die Schubverzerrung auch zu
Verwölbungen (=Längsverformungen) du (vgl. Element aus der Profilwandung mit den Ab-
messungen dx·ds).
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 421
Bild 4-30: Infinitesimales Element dx·ds aus
der Profilwandung
Bild 4-31: Schubverzerrung am Element
dx·ds
Gds
du
dx
dv
Mit )(
)(st
Ts und drdv At , folgt:
ds
du
dx
dr
stG
TAt ,
)(
Die Verwölbung u (=Verformung in Stablängsrichtung) eines Querschnittspunktes kann nach
Umstellen der Gleichung durch Integration berechnet werden:
dsdx
dr
stG
Tdu At ,
)(
dsdx
dr
stG
Tu
s
At ,)(
Bei Integration über den gesamten Querschnittsumfang ist der Startpunkt PA mit dem End-
punkt PE der Integration identisch, und man erhält als Ergebnis die Differenzverwölbung u
zwischen diesen beiden Punkten:
)()()()(
,, AE
s
At
P
P
At PuPudsdx
dr
stG
Tds
dx
dr
stG
Tu
E
A
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 422
Da es sich um ein geschlossenes Profil handelt, sind Startpunkt PA und Endpunkt PE iden-
tisch, und weil zwischen zwei benachbarten „Fasern“ keine Verformungsdifferenz u auftre-
ten kann gilt:
0)(
,
s
At dsdx
dr
stG
Tu
Weiter folgt daraus
s
At
s
dsdx
drds
stG
T,
)(
T und G sind konstant und können vor das Integral gezogen werden, ebenso d /dx, weil
über s und nicht über x integriert wird.
m
s
At
s
Axdsrdx
d
st
ds
G
T2)(
)(,
Mit Hilfe der 1. Bredtschen Formel
m
px
A
MT
2
,
kann geschrieben werden:
m
sm
PxAx
st
ds
GA
M2)(
)(2
,,
und nach Umformung erhält man die Gleichung
2,4
)()(
m
sPx
AG
st
ds
Mx ,
die analog aufgebaut ist wie die Differentialgleichung der St. Venantschen Torsion:
T
px
IG
Mx
,)(
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 423
Man erkennt, dass
s
mT
st
ds
AI
)(
42
ist. Das ist die 2. Bredtsche Formel.
Beispiel: Quadrathohlprofil 200/4
Das Hohlprofil kragt von der Einspannung frei aus und wird am Stabende durch ein Einzel-
torsionsmoment belastet. Das Profil ist wölbfrei, da es eine konstante Wanddicke t besitzt
und weil in das Profil ein Kreis einbeschrieben werden kann.
Bild 4-32: Eingespanntes Quadratrohr unter Torsionsbelastung
Mx,p = MT = 30 kNm
l = 1500 mm
Bild 4-33: Querschnitt und Belastung (Rundungen vernachlässigt)
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 424
Die Ausrundungen der Ecken werden vernachlässigt.
²384)4,00,20( 2 cmAm
²/77,94,03842
10030
2
,cmkN
tA
M
m
px
p
422
3009
)4,00,20(4,0
14
3844
)(
1
4cm
dsst
AI m
T
Verdrehung am freien Ende:
lIG
Mdx
IG
xMx
IG
xMx
T
x
lx
x T
x
T
x
0
)()(
)()(
058,10185,015030098100
10030)1500(
radl
IG
Mmml
T
x
Zum Vergleich wird ein über die Länge geschlitztes Rohr (offener Querschnitt) mit denselben
Abmessungen betrachtet. Es wird angenommen, dass die Verwölbungen nicht behindert
werden.
Bild 4-34: Längs geschlitztes Quadratrohr
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 425
4333
, 673,1)4,02,1924,00,202(3
1
3
1cmtbII
i
ii
i
iTT
2,
max, /7174,0673,1
10030cmkNt
I
M
T
px
p
Verdrehung am freien Ende:
lIG
Mdx
IG
xMx
IG
xMx
T
x
lx
x T
x
T
x
0
)()(
)()(
190321,33150673,18100
10030)1500(
radl
IG
Mmml
T
x
Hinweis: Der Stab würde damit mehr als fünfmal um seine Längsachse verdreht werden. Es handelt sich nur um
ein Demonstrationsbeispiel, da eine so große Verdrehung natürlich nicht mehr von einer Theorie erfasst wird, die
„kleine Verformungen“ voraussetzt.
An diesem einfachen Beispiel wird deutlich, wie stark sich geschlossene und offene Quer-
schnitte im Hinblick auf Torsionssteifigkeit und –widerstand unterscheiden.
Größe geschlossener
Querschnitt
offener
Querschnitt
Verhältnis
geschlossen / offen
IT 3009 cm4 1,673 cm4 1799 ×
p 9,77 kN/cm“ 717 kN/cm² 1 / 73,4 ×
1,058° 1903° 1 / 1799 ×
Tabelle 4-4: Gegenüberstellung der Ergebnisse für ein offenes und ein geschlossenes Profil
Hinweis: Streng genommen müsste zu IT,geschlossen eines jeden geschlossenen Profils ein zusätzlicher Anteil IT,offen
eines offenen Profils mit gleichen Abmessungen hinzuaddiert werden. Da der geschlossene Anteil aber stark
überwiegt, wird dieser Anteil praktisch immer vernachlässigt. Hier z.B. wäre IT,geschlossen streng genommen 3009 +
1,7 = 3011 cm4, was aber praktisch 3009 cm
4 entspricht.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 426
Mehrzellige Querschnitte
Bei mehrzelligen, dünnwandigen Querschnitten ist im Regelfall nicht von vorneherein er-
kennbar, wie sich der Schubfluss auf die einzelnen Zellen des Querschnitts verteilt.
Bild 4-35: Schubflussverlauf in einem mehrzelligen Querschnitt
Gemäß dem Prinzip der Wasserleitung gilt, dass an einem Knotenpunkt der zufließende
Schubfluss so groß ist wie der abfließende.
Für den dargestellten Ausschnitt B gilt beispielsweise
12 TTTSteg
Derselbe Zusammenhang ergibt sich alternativ aus dem Satz von der Gleichheit einander
zugeordneter Schubspannungen, wenn für Ausschnitt B die Gleichgewichtsbedingung
Fx = 0 angetragen wird.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 427
Aufgrund der Voraussetzung, dass die Querschnittsform erhalten bleibt, ist die Verdrillung ‘i
aller einzelnen Zellen gleich groß und auch gleich groß wie die Verdrillung ‘ des Gesamt-
querschnitts.
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d i...21
Die Verdrillung der Einzelzellen beträgt
iT
ixi
IG
M
dx
d
,
,
Unter Anwendung der Bredtschen Formeln kann für die Einzelzellen das Torsionsträgheits-
moment IT,i und der Anteil Mx,i am gesamten Torsionsmoment Mx ermittelt werden.
t
ds
AI
im
iT
2
,
,
4
imix
im
ix
i TAMA
MT 2
2,
,
,
Setzt man diese beiden Beziehungen in die Formel für die Verdrillung ein, so erhält man die
Verdrillung der Einzelzelle i in Abhängigkeit vom Schubfluss Ti.
im
i
im
iim
iT
ixi
AG
st
dsT
AG
st
dsTA
IG
M
dx
d
,
2
,
,
,
,
2
)(
4
)(2
Es ist zu beachten, dass der Schubfluss Ti anders als beim einzelligen Querschnitt nicht
über den gesamten Umfang der Einzelzelle konstant ist.
Der Schubfluss Ti-1 und Ti+1 der Nachbarzellen wirkt in den gemeinsamen Wänden dem
Schubfluss Ti entgegen, so dass Ti in diesen Blechen um den Betrag Ti-1 bzw. Ti+1 verringert
wird (gleicher Drehsinn der einzelnen Momente Mx,i vorausgesetzt).
Unter Beachtung der gegenläufigen Schubflüsse der Nachbarzellen ergibt sich beispielswei-
se für die mittlere Zelle 2 des dargestellten Querschnittes folgende Verdrillung:
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 428
2
312
2,
2
)()()(2
1
Zelle
b
a
d
cm st
dsT
st
dsT
st
dsT
AGdx
d
Für die Zellen 1 und 3 wird auf gleiche Weise vorgegangen.
Entsprechend sortiert erhält man ein lineares Gleichungssystem:
0
0
0
2)()(
0
2)()()(
20)()(
3
2
1
3,
3
2,
2
1,
1
T
T
T
AGst
ds
st
ds
AGst
ds
st
ds
st
ds
AGst
ds
st
ds
m
Zelle
d
c
m
d
cZelle
b
a
m
b
aZelle
Das Gleichungssystem ist nicht lösbar, weil für vier Unbekannte nur drei Gleichungen vor-
handen sind. Die benötigte vierte Gleichung kann aus der Tatsache gewonnen werden, dass
die Summe der Momentenanteile, die von den einzelnen Zellen abgetragen werden, dem
Moment Mx,p entspricht.
i
i
im
i
ipxpx TAMM ,,,, 2
Das vollständige Gleichungssystem lautet:
px
mmm
m
Zelle
d
c
m
d
cZelle
b
a
m
b
aZelle
M
T
T
T
AAA
AGst
ds
st
ds
AGst
ds
st
ds
st
ds
AGst
ds
st
ds
,
3
2
1
3,2,1,
3,
3
2,
2
1,
1
0
0
0
0222
2)()(
0
2)()()(
20)()(
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 429
Beispiel: Zweizelliger Hohlkasten
Für den dargestellten zweizelligen Hohlkasten sollen der Verlauf der primären Schubspan-
nungen p und das Torsionsträgheitsmoment IT ermittelt werden.
Bild 4-36: Zweizelliger Kastenquerschnitt
MT = Mx,p = 1000 kNm
Zelle 1
2
1, 10000100100 cmAm
2
1, 200002 cmAm
kNAG m
8
1, 1062,110000810022
67,3415,1
100
0,1
100
0,2
100
8,0
100
)(1Zelle
st
ds
Zelle 2
2
2, 20000200100 cmAm
2
2, 400002 cmAm
kNAG m
8
2, 1024,320000810022
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 430
67,4160,1
100
5,1
200
2,1
100
0,2
200
)(2Zelle
st
ds
Gemeinsame Zellenwand
1000,1
100
21W and
t
ds
Gleichungssystem
px
mm
m
ZelleW and
m
W andZelle
M
T
T
AA
AGst
ds
st
ds
AGst
ds
st
ds
,
2
1
2,1,
2,
221
1,
211
0
0
022
2)()(
2)()(
100000
0
0
04000020000
1024,367,416100
1062,110067,341
2
1
8
8
T
T
Lösung
cmrad
cmkN
cmkN
T
T
/10187,0
/794,1
/412,1
5
2
1
44
5
,102,660
10187,08100
1001000cm
G
MI
px
T
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 431
Bild 4-37: Schubfluss T Bild 4-38: Schubspannung p
Zur Überprüfung der Plausibilität der Berechnungsergebnisse wird der Querschnitt ohne Be-
rücksichtigung des Bleches zwischen den Zellen berechnet:
4422
, 108,644
0,2
300
5,1
300
2,1
100
8,0
100
)100300(44cm
t
ds
AI m
einzelligT
²/67,13001002
1001000
2
,cmkN
A
MT
m
px
einzellig
Die Berechnung unter Vernachlässigung der Trennwand zwischen den Einzelzellen liefert
eine brauchbare Abschätzung der Größenordnung des Schubflusses und bestätigt die Rich-
tigkeit der exakten Berechnung.
4.3.6 Dünnwandige Querschnitte – gemischt offen und geschlossen
Bestehen Querschnitte sowohl aus offenen als auch aus geschlossenen Teilen, dann sind
zur Bestimmung des Torsionsträgheitsmomentes IT die Anteile der geschlossenen Quer-
schnittteile und die Anteile der offenen Querschnittsteile zu addieren.
Bild 4-39: Gemischt offen-geschlossener Scherschnitt
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 432
ngeschlosseTngeschlossepx IGM ,,,
offenToffenpx IGM ,,,
)( ,,, offenTngeschlosseTpx IIGM
offenTngeschlosseTT III ,,
Klassisches Beispiel ist ein Hohlkastenquerschnitt einer Brücke. Der eigentliche Hohlkasten
ist ein geschlossener Querschnitt, die auskragenden Fahrbahnplatten sind offene Quer-
schnitte.
In vielen Fällen ist der Anteil IT,geschlossen am gesamten Torsionsträgheitsmoment IT sehr viel
größer als der Anteil IT,offen, so dass der Anteil IT,offen oft vernachlässigt werden kann. Je nach
Größe der offenen und geschlossenen Teile ist die Vernachlässigbarkeit von Fall zu Fall zu
überprüfen.
Bild 4-40: Überwiegend geschlossener Querschnitt
Für den Querschnitt aus Bild 4-40 gilt:
thb
hb
t
ds
AI m
ngeschlosseT)(2
44 222
,
33
, )(23
1
3
1tahbtsI iioffenT
tbh, offenTngeschlosseT II ,,
Die offenen Anteile sind vernachlässigbar.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 433
Im Gegensatz dazu sind beim Querschnitt aus Bild 4-41 die offenen und die geschlossenen
Anteile zu berücksichtigen.
Bild 4-41: Überwiegend offener Querschnitt
Im Bereich der Zelle gilt:
tA
Mt
I
M
m
ngeschlossepx
offenT
offenpx
ngeschlossepoffenpp2
,,
,
,,
,,
Formal korrekt müsste auch bei rein geschlossenen Querschnitten, die keine abstehenden
offenen Querschnittsteile besitzen, der Anteil IT,offen der einzelnen Bleche des geschlossenen
Querschnitts berücksichtigt werden (also praktisch der Anteil eines identischen, aber aufge-
schlitzten Querschnitts). Aufgrund des geringen Anteils von IT,offen an IT,gesamt wird IT,offen aller-
dings in der Praxis fast immer vernachlässigt.
4.3.7 Berücksichtigung von Nebenzellen durch eine ideelle Blechdicke
Insbesondere im Brückenbau ist die Anordnung von Hohlsteifen von Bedeutung. Diese Hohl-
steifen bestehen aus Trapezprofilen, die mit dem eigentlichen Blech verschweißt werden und
zusammen mit diesem als sogenannte Orthotrope Platte wirken und auch für die Aussteifung
des Deckbleches sorgen (vgl. Vertiefung Metallbau).
Im Zusammenhang mit einer Torsionsbeanspruchung sind solche Trapezhohlsteifen inso-
fern von Interesse, als sie jeweils eine eigene kleine geschlossene Zelle darstellen.
Die folgenden Betrachtungen beschränken sich auf die im Brückenbau üblichen geschlosse-
nen Querschnitte, bei denen ein konstanter Schubfluss T vorliegt.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 434
Um die üblichen Berechnungsformeln für geschlossene Querschnitte anwenden zu können
empfiehlt sich die Berechnung einer sogenannten ideellen Blechdicke tid, mit deren Hilfe die
Querschnittswerte des Gesamtquerschnitts berechnet werden können.
Die einzelnen Nebenzellen sind im Abstand b0 voneinander angeordnet.
Bild 4-42: Ausschnitt aus einem Kastenquerschnitt mit Nebenzellen
Hinweis: Die Nebenzellen müssen nicht unbedingt immer im gleichen Abstand angeordnet sein. Bei variablem
Abstand ergeben sich abschnittsweise unterschiedliche ideelle Blechdicken tid.
In Bild 4-43 sind die Abmessungen definiert.
Bild 4-43: Maßbezeichnungen im Bereich einer Nebenzelle
0302010 bbbb
1312111 bbbb
Das Deckblech besitzt die einheitliche Dicke t0, die Trapezsteife die einheitliche Dicke t1.
Unter Schubbeanspruchung teilt sich der Schubfluss T im Bereich der Nebenzelle nach dem
Prinzip der Wasserleitung auf die Wandung der Hohlzelle und auf das Deckblech auf:
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 435
Bild 4-44: Schubflussverteilung im Bereich einer Nebenzelle
10 TTT
Noch ist unbekannt, wie groß die Schubflüsse T0 und T1 sind.
Zur Bestimmung von T0 und T1 wird die Hohlzelle mit einem Längsschnitt entlang einer Kan-
te zwischen Trapezsteife und Deckblech gedanklich aufgetrennt:
Bild 4-45: Gedanklicher Trennschnitt durch die Nebenzelle
Der Schubfluss T1 führt im Blech der Hohlzelle zu einer Schubverzerrung 1. Infolge dieser
Verzerrung erfährt die freigeschnittene Kante der Trapezsteife im Vergleich zur nicht freige-
schnittenen Kante eine Relativverschiebung u1:
Bild 4-46: Verwölbung u der aufgeschnittenen Nebenzelle
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 436
1
11
01
1
011
11
tG
bTds
tG
Tdsu
bs
s
bs
s
Analog dazu führt der Schubfluss T0 im Deckblech zu einer Schubverzerrung 0. Infolge die-
ser Verzerrung erfährt das Deckblech an der Stelle der Schnittkante im Vergleich zur nicht
freigeschnittenen Kante der Trapezsteife die Relativverschiebung u0:
Bild 4-47: Verwölbung u des Deckbleches bei aufgeschnittener Nebenzelle
0
020
00
0
000
0202
tG
bTds
tG
Tdsu
bs
s
bs
s
Da es in Wirklichkeit keine Schnittkante gibt und die Nebenzelle geschlossen ist, darf es im
gedachten Schnitt keine Klaffung geben, es muss gelten:
01 uu
0
020
1
11
tG
bT
tG
bT
Auflösen nach T1 ergibt:
10
1021
10
10201 )(
bt
tbTT
bt
tbTT
Nach einigen Rechenschritten erhält man
021
101
1
1
bt
btTT ,
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 437
und in analoger Weise
10
0210
1
1
bt
btTT .
Nun ist die Verteilung des Schubflusses bekannt und man kann die Verwölbung u (d.h.
Längsverschiebung), die der Querschnitt innerhalb der Breite b0 erleidet, berechnen:
Bild 4-48: Tatsächliche Verwölbung u im Bereich der Nebenzelle
Entweder mit der Gleichung
)()( 131211
1
10301
0
bbbGt
Tbb
Gt
Tu
oder mit der Gleichung
02
0
00301
0
)( bGt
Tbb
Gt
Tu .
Beide Gleichungen sind gleichwertig.
Für die Berechnung der Querschnittswerte des Gesamtquerschnittes sollen die tatsächliche
Blechdicke t0 und die Nebenzellen des Querschnitts mit den Nebenzellen durch ein Blech mit
der ideellen Blechdicke tid gleichwertig ersetzt werden. Dieses Blech muss somit dieselbe
Schubsteifigkeit besitzen wie das reale Blech mit den Nebenzellen, d.h. unter demselben
Schubfluss T muss sich in beiden Konstruktionen dieselbe Verzerrung einstellen, was in-
nerhalb der Breite b0 (= Achsabstand der Nebenzellen) auch zur selben Verwölbung u führen
muss.
Die Verwölbung u des ideellen Bleches beträgt:
)( 030201 bbbGt
Tu
id
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 438
Bild 4-49: Verwölbung u eines gleich steifen Bleches mit der Blechdicke tid
Gleichsetzen mit der Verwölbung des realen Bauteils ergibt nach Auflösen die ideelle Blech-
dicke tid:
10
021
020301
0
02
1
00301
0
030201
1
)()(
bt
bt
bbb
Gt
Tb
Gt
Tbb
Gt
Tbbb
Gt
T
id
03
10
021
0201
0302010 )(
b
bt
bt
bb
bbbttid
4.3.8 Berücksichtigung von Verbänden durch eine ideelle Blechdicke
Bei großen Hohlquerschnitten, insbesondere des Brückenbaus, werden Bleche häufig durch
Verbände ersetzt. Die Verbände stellen oftmals eine gewichtsparende und kostengünstige
Alternative zu vollwandigen Blechen dar. Es ist zu beachten, dass die Verbände nur Schub-
beanspruchungen abtragen können, die durch Querkräfte oder Torsion entstehen. Hinsich-
tlich einer Normalkraft- oder Biegebeanspruchung des Gesamtquerschnitts sind die Verbän-
de wirkungslos.
Um nicht für Querschnitte, die mit Verbänden ausgesteift sind, eigene Formeln für die Torsi-
onstheorie herleiten zu müssen, bildet man die Verbände rechnerisch durch eine sogenannte
ideelle Blechdicke tid ab. Damit sind die üblichen Formeln der Torsionstheorie in gewohnter
Weise anwendbar.
Zu beachten ist, dass die ideelle Blechdicke tid nur ein Hilfswert zur Untersuchung des Ge-
samtquerschnitts ist. Sie ist kein real vorhandener Querschnittsteil. Da tid real gar nicht exis-
tiert, darf tid auch niemals in Formeln berücksichtigt werden, in die eine „echte“ Fläche A ein-
zusetzen ist.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 439
Das gilt insbesondere für alle Querschnittswerte, die durch Integration
A
dA...
bestimmt werden, denn dsstdA )( , aber tid ist real nicht vorhanden, weshalb 0dA ist.
Die Berechnung der ideellen Wanddicke erfolgt mit Hilfe des Arbeitssatzes. Die Vorgehens-
weise wird anhand eines Beispiels erläutert.
Beispiel: Verbandsfeld eines K-Verbandes
Der Name K-Verband resultiert aus der Form des Verbandes: Die Diagonalen sind derart angeordnet, dass sie
wie mehrere Buchstaben „K“ hintereinander aussehen.
Bild 4-50: Blech mit ideeller Dicke tid als gleichwertiger Ersatz für einen Verband
Der Verband soll rechnerisch durch ein Blech mit der Dicke tid ersetzt werden, das einer Ver-
formung dieselbe Steifigkeit entgegensetzt wie der Verband.
Es genügt, ein Feld des Verbandes zu betrachten.
Bild 4-51: Bezeichnungen von Verband und ideellem Blech
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 440
Das Verbandsfeld wird an den Berandungen durch den Schubfluss T belastet. Die allgemei-
nen Abmessungen sind Bild 4-51 zu entnehmen. AG, AD und AV bezeichnen die Quer-
schnittsflächen von Gurten, Diagonalen und Pfosten.
Unter der Schubbeanspruchung erleidet der Verband die Verformung w. w wird mit Hilfe des
Arbeitssatzes durch Aufbringen eines virtuellen Schubflusses der Größe 1 berechnet, der zur
Resultierenden 1·h zusammengefasst wird.
Bild 4-52: Verformung w eines Verbandsfeldes
Die Stabkräfte werden jeweils infolge des realen Schubflusses T und des virtuellen Schub-
flusses der Größe 1 berechnet. Der vertikal gerichtete Schubfluss wird zu einer resultieren-
den Kraft T·h bzw. 1·h zusammengefasst, da die Lasteinleitung des vertikalen Schubflusses
punktuell im Schnittpunkt der Diagonalen erfolgt. Die horizontal gerichteten Schubflüsse
werden als Schubfluss T bzw. 1 [kN/cm] belassen, da in den Gurtstäben die Einleitung des
horizontalen Schubflusses kontinuierlich erfolgt. Das geht auch aus dem Verlauf der Gurt-
kräfte hervor, denn aus Gleichgewichtsgründen muss die Gurtkraft einen Vorzeichenwechsel
aufweisen, der sich aufgrund fehlender punktueller Lasteinleitung innerhalb der freien Gurt-
stablänge nur durch eine kontinuierliche Schubflusseinleitung einstellen kann.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 441
Bild 4-53: Realer und virtueller Lastzustand im Verbandsfeld
Bild 4-54: Reale und virtuelle Stabkräfte des Verbandes
Der Arbeitssatz lautet:
VDG AE
hhhT
AE
dddT
AE
bbbT
wh 221
221
2221
2
3
141
VDG AE
hT
AE
dT
AE
bTwh
333
4
12
6
1
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 442
Die Verformung w eines gleich steifen Bleches mit der ideellen Dicke tid unter realer Belas-
tung durch den Schubfluss T ergibt sich direkt aus der Schubverzerrung :
Bild 4-55: Schubverzerrung und Verformung w des ideellen Bleches
bGt
Tbw
id
Unter der Voraussetzung, dass die Verformungen von realem Verband und ideellem Blech
gleich groß sind, kann w in die Arbeitsgleichung eingesetzt und die Gleichung nach tid aufge-
löst werden.
VDG
id
A
h
A
d
A
b
bh
G
Et
4
2
6
333
Für andere Verbandsformen erfolgt die Berechnung analog. Die Formeln für die wichtigsten
Verbandformen sind in Bild 4-56 zusammengestellt, wobei zusätzlich in Obergurtfläche AO
und Untergurtfläche AU unterschieden ist.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 443
UOD
id
AA
b
A
d
bh
G
Et
11
3
33
UOVD
id
AA
b
A
h
A
d
bh
G
Et
11
124
2 333
UOD
id
AA
b
A
d
bh
G
Et
11
122
33
(Kreuzverband, die Diagonalen sind im Schnittpunkt
nicht verbunden)
UOVD
id
AA
b
A
h
A
d
bh
G
Et
11
12
333
Bild 4-56: Zusammenstellung der wichtigsten Verbandsarten und deren ideellen Blechdicken
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 444
4.3.9 Die Gabellagerung
Im Zusammenhang mit Torsionsbeanspruchung ist ein besonderer Lagertyp von Bedeutung:
das Gabellager. Ein Gabellager kann ein Torsionsmoment aufnehmen, ohne dabei die Quer-
schnittsverwölbung zu behindern (Voraussetzung für Saint Venantsche Torsion!).
Für große Hohlkastenquerschnitte des Brückenbaus werden Gabellager in Form von Quer-
schotten angeordnet.
Bild 4-57: Symbol und Wirkungsweise von Gabellagern
Für im Hochbau übliche Doppel-T-Querschnitte kann ein Gabellager z.B. dadurch realisiert
werden, dass in den Querschnitt vertikale Rippen eingeschweißt werden und der untere
Flansch mit der Unterkonstruktion verschraubt wird, wobei der Schraubanschluss in Richtung
der Stabachse keine Kräfte aufnehmen sollte (Langlöcher).
Bild 4-58: Gabellager in Form von eingeschweißten Rippen
Kein Gabellager stellt dagegen die bloße Verschraubung des unteren Flansches dar. Ohne
vertikale Rippen ist nämlich der obere Flansch quer zur Stabachse nicht gehalten.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 445
4.3.10 Schnittgrößenermittlung mit der Querkraftanalogie bei reiner St. Venantscher Torsion
Ein Stab mit zwei Gabellagern ist statisch unbestimmt gelagert. Dies entspricht einer Vier-
punktlagerung. Jedes der beiden Gabellager kann ein Moment abtragen. Zerlegt man die
Auflagermomente jeweils in ein Kräftepaar, dann erhält man vier Auflagerkräfte, die den bei-
den Auflagerkräften entsprechen.
Bild 4-59: Gabellager in je zwei Punktlager aufgelöst
Trotz der statischen Unbestimmtheit gelingt die Schnittgrößenermittlung infolge Torsion ver-
gleichsweise einfach, sofern es sich um einen wölbfreien Querschnitt handelt. Man bedient
sich dabei der sogenannten Querkraftanalogie.
Prinzip:
Die Schnittgröße Mx,p (reine St. Venantsche Torsion) verteilt sich innerhalb eines Stabab-
schnitts, der beidseitig durch ein Gabellager begrenzt ist, genauso wie sich die Querkraft
innerhalb eines Stababschnitts verteilt, der durch zwei gelenkige Lager begrenzt ist. Ist ein
Stabende frei und das andere gabelgelagert, so entspricht der Verlauf des Torsionsmomen-
tes Mx,p dem Verlauf der Querkraft in einem auskragenden Stab.
Achtung!
Eine Durchlaufwirkung für St. Venantsche Torsion gibt es nicht. Äußere Torsionsmomente
MT (Einzeltorsionsmomente) bzw. mT (Streckentorsionsmomente) können nicht über ein Ga-
bellager hinaus in einem benachbarten Stababschnitt eine Torsionsschnittgröße Mx,p erzeu-
gen (100%-ige Verdrehsteifigkeit des Gabellagers vorausgesetzt). Die Zustandslinie des
Torsionsmomentes endet am Gabellager.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 446
Beispiel: Einfeldträger mit Auskragung
Analogie: qmT
FMT
zpx VM
,
Reales System: Analogiebetrachtung:
Bild 4-60: Reales System und Ersatzsystem für die Querkraftanalogie
Stab 1:
0)(, AM px
1, )( lmBM Tlinkspx
Stab 1:
0)(AVz
1)( lqBV linksz
Stab 2:
23
2)( 2
,
lmMBM TTrechtspx
23
1)( 2
,
lmMCM TTpx
Stab 2:
23
2)( 2lqFBV rechtsz
23
1)( 2lqFCVz
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 447
Verlauf des Torsionsmomentes Mx,p:
Verlauf der Querkraft Vz:
Bild 4-61: Schnittgrößenverläufe von realem System und Ersatzsystem
Nochmals zur Erinnerung: die hier gezeigte Querkraftanalogie gilt nur für Stäbe mit
wölbfreiem Querschnitt (reine St. Venansche Torsion)!
Für den anderen Grenzfall „Reine Wölbkrafttorsion“ gibt es ebenfalls eine Querkraftanalogie,
die in Abschnitt 4.4.7 dargestellt wird.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 448
4.4 Die Wölbkrafttorsion
4.4.1 Einführung
Wird ein Stab infolge einer Torsionsbeanspruchung um seine Stabachse verdrillt, so gehen
mit der Verdrillung ‘ auch Verwölbungen u des Querschnitts einher, sofern es sich nicht um
einen wölbfreien Querschnitt handelt oder die Voraussetzungen für reine Saint-Venantsche
Torsion erfüllt sind. Als Verwölbung bezeichnet man in diesem Zusammenhang die Ver-
schiebung u eines Querschnittspunktes (einer Querschnitts-„Faser“) in Stablängsrichtung.
Da die einzelnen „Fasern“ unterschiedliche Verformungen u erfahren verwölbt eine ehemals
ebene Schnittfläche wie am Beispiel eines Doppel-T-Trägers dargestellt.
Bild 4-62: Verwölbung u infolge Torsionsbeanspruchung Mx
Das Ebenbleiben des Querschnitts, wie es nach der Bernoulli-Hypothese im Rahmen der
Biegetheorie postuliert wird, ist nicht mehr gegeben, wobei davon nur der Gesamtquerschnitt
betroffen ist und die einzelnen Querschnittsteile (Flansche, Stege, einzelne Bleche) weiterhin
eben bleiben.
Bevor die theoretischen Hintergründe zur Wölbkrafttorsion in allgemeiner Form hergeleitet
werden, soll das Wesen der Wölbkrafttorsion anhand eines Rohrquerschnitts verdeutlicht
werden.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 449
Beispiel: Rohrquerschnitt
Ein Stab mit Rohrquerschnitt ist an einem Ende eingespannt und am anderen Ende durch
ein Torsionsmoment MT belastet.
Wie in Abschnitt 4.2.2 dargestellt sind Stäbe mit geschlossenem, rotationssymmetrischem
Querschnitt wölbfrei. Unter Torsionsbeanspruchung stellen sich keine Verwölbungen ein, der
Querschnitt bleibt eben und die Abtragung des Torsionsmomentes MT erfolgt ausschließlich
durch Saint-Venantsche Torsion (primäre Torsion Mx,p).
Bild 4-63: Kreisringquerschnitt (wölbfrei) unter Torsionsbeanspruchung
Wenn das Rohr über die gesamte Stablänge geschlitzt wird, so dass ein offener Querschnitt
entsteht, dann ist der Querschnitt nicht mehr wölbfrei. Unter Torsionsbeanspruchung verfor-
men sich die Fasern des Stabes in Längsrichtung (vgl. z.B. Punkt A beim Übergang nach A‘)
und der Querschnitt verwölbt sich, was anhand eines gerollten Blattes Papier oder einer ge-
schlitzten Papprolle leicht nachvollzogen werden kann.
Bild 4-64: Längs geschlitzter, nicht wölbfreier Kreisringquerschnitt unter Torsionsbeanspru-
chung
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 450
Es ist offensichtlich, dass durch die Einspannung am linken Stabende eine Behinderung der
Verwölbungen entsteht, die zu Normalspannungen im Stab führt ( = E· ).
Das Torsionsmoment MT wird anteilig durch Saint-Venantsche Torsion (Mx,p) und Wölbkraft-
torsion (Mx,s) abgetragen, wobei die Anteile der beiden Torsionsarten am gesamten Torsi-
onsmoment Mx = Mx,p + Mx,s vom Abklingfaktor und der Stablänge l abhängen. ist ein
Querschnittswert, der im Abschnitt 4.4.6.2 ausführlich erläutert wird.
4.4.2 Allgemeine Anmerkungen
Im weiteren Verlauf des Kapitels wird das notwendige Hintergrundwissen vermittelt, das
überwiegend stark von der Technischen Mechanik und der Mathematik geprägt ist. Für ein
gutes Verständnis sind solide Kenntnisse in Technischer Mechanik und Mathematik deshalb
von Vorteil. Die Wölbkrafttorsion erweckt möglicherweise den Eindruck, besonders schwierig
oder theoretisch zu sein. Das liegt vor allem daran, dass die Wirkungsweise nicht so einfach
auf den ersten Blick ersichtlich ist wie das z.B. bei der Biegetheorie der Fall ist.
Die allgemeine Darstellung der Theorie mit vielen Formeln bringt andererseits aber den Vor-
teil mit sich, dass sich viele Berechnungen sehr gut systematisieren lassen, z.B. mit Hilfe
einer Tabellenkalkulation.
Zur besseren Verdeutlichung wurden in die einzelnen Abschnitte viele Bilder aufgenommen,
verhältnismäßig umfangreiche Beschreibungen vorgenommen und wo möglich konkrete
Zahlenbeispiele angeführt. Im Nachgang an den theoretischen Teil folgt ein Abschnitt „Wölb-
krafttorsion anschaulich“, der anhand eines Doppel-T-Profils die Wirkungsweise der Wölb-
krafttorsion auf einfache Weise verdeutlicht.
Leider besteht in der Literatur große Uneinigkeit bezüglich der Benennung und formelmäßi-
gen Bezeichnung der einzelnen Größen und Rechenwerte (Schnittgrößen, Querschnitts-
werte, etc.). Das geht sogar soweit, dass ein und dieselbe Größe teilweise mit negativem
und teilweise mit positivem Vorzeichen definiert ist. Aus diesem Grund ist es besonders
wichtig, die theoretischen Grundlagen zu kennen und zu verstehen, denn weder die eine
noch die andere Darstellung ist richtig oder falsch, man versteht die Ausführungen in der
Literatur aber wesentlich einfacher, wenn man die theoretischen Hintergründe kennt.
In diesem Skript wird eine möglichst einheitliche Darstellung angestrebt. Wo es in der Litera-
tur große Diskrepanzen gibt, wird darauf hingewiesen.
Die folgenden Ausführungen beschränken sich auf die im Stahlbau üblichen dünnwandigen
Querschnitte. Für Vollquerschnitte sind die Zusammenhänge komplizierter.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 451
4.4.3 Die Einheitsverwölbung
Unter Torsionsbeanspruchung erfährt ein nicht wölbfreier Querschnitt nicht nur eine Verdre-
hung um die Stablängsachse ( ), sondern auch eine Verwölbung seiner Querschnittsfläche.
Bei der Verwölbung handelt es sich um Verschiebungen der einzelnen Querschnittspunkte in
Stablängsrichtung u, es kommt in den einzelnen Querschnittsfasern also zu unterschiedlich
großen Dehnungen x.
Im Folgenden werden die Zusammenhänge dargestellt, die der Berechnung der Verwölbung
zugrunde liegen.
4.4.3.1 Dünnwandige offene Querschnitte
Es wird ein Stab mit dünnwandigem und offenem, aber ansonsten beliebigem Querschnitt
betrachtet. Der frei verdrehbare Stab wird um die (gedachte) Drillachse durch den Punkt A
verdrillt. Diese Drillachse verläuft parallel zur Längsachse (Schwerachse S), der Punkt A
besitzt im Koordinatensystem des Querschnitts die Koordinaten yA und zA.
Bild 4-65: Festlegung der lokalen Koordinate s
Das Koordinatensystem des Stabes ist ein Rechtssystem. Bei positiver Verdrehung um die
x-Achse bewegt sich z.B. ein Punkt im ersten Quadranten des Systems von der y-Achse weg
und zur z-Achse hin („Rechte Hand-Regel“: Daumen in Richtung der positiven x-Achse, posi-
tive Verdrehung in Richtung der gekrümmten Finger). Dabei spielt es keine Rolle, ob man
das positive oder das negative Schnittufer betrachtet.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 452
Bild 4-66: Rechte-Hand-Regel Bild 4-67: Rechte Hand-Regel
Ferner wird eine lokale Koordinate s eingeführt, die entlang der Querschnittskontur verläuft.
Der Ursprung von s liegt auf der Kontur im Punkt P0 mit den Koordinaten y0 und z0.
Die Lage eines Punktes P auf der Querschnittskontur kann durch die lokale Koordinate s
angegeben werden: P(s).
Schließlich wird im Punkt P(s) noch eine Tangente an die Querschnittskontur gelegt.
Bild 4-68: Tangente an den Querschnitt im Punkt P(s)
Nun wird der Querschnitt um einen Winkel um die Drillachse A verdreht.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 453
Bild 4-69: Verdrehung des Querschnitts um den Winkel
Bezeichnet man den Radiusvektor zwischen der Drillachse A und dem Punkt P mit rA, dann
beträgt die Verschiebung A des Punktes P
AA r .
Die Verschiebungskomponente vA in Richtung der lokalen Koordinate s, d.h. entlang der
Kontur bzw. entlang der Tangente im Punkt P beträgt
AtA rv , ,
wobei rt,A der Normalabstand zwischen dem Punkt A und der Tangente ist.
Aus der durch ihre Mittelfläche idealisierten Profilwandung wird jetzt gedanklich ein infinite-
simal kleines Element mit den Abmessungen dx in Stablängsrichtung und ds in Richtung der
lokalen Koordinate s herausgeschnitten.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 454
Bild 4-70: Betrachtung eines infinitesimal kleinen Elementes dx·ds
Da hinsichtlich der möglichen Verschiebungen keine Einschränkungen gemacht wurden,
kann sich das Element wie in Bild 4-71 dargestellt verschieben und verzerren.
Die Schubverzerrung setzt sich aus den Verschiebungsänderungen du/ds und dv/dx zu-
sammen.
vudx
dv
ds
du
(Ableitungen nach ds werden mit einem Punkt, Ableitungen nach dx mit einem Strich gekennzeichnet).
Bild 4-71: Schubverzerrung des Elementes dx·ds
Berücksichtigt man nun die Tatsache, dass es sich um einen offenen und dünnwandigen
Querschnitt handelt, so kann man feststellen, dass aufgrund der nach der St. Venantschen
Torsionstheorie über die Wanddicke linear verteilten Schubspannungen in der Mittelfläche
der Wandung die Schubspannung gleich null ist.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 455
Bild 4-72: Über den Querschnitt linear verteilte Torsionsschubspannung
Aus dem Elastizitätsgesetz
G
folgt weiter, dass in der Mittelfläche auch die Schubverzerrung gleich null sein muss.
0!
vudx
dv
ds
du
vu
Graphisch dargestellt entspricht dieser Zusammenhang für das Element dx∙ds einer verzer-
rungsfreien Verformung, bei der die rechteckige Form des Elements erhalten bleibt.
Bild 4-73: Verzerrungsfreie Verformung des Elementes dx·ds in der Blechmittelfläche
Für die Verformungen, die aus einer Verdrehung des Querschnitts um die Achse A resultie-
ren, gilt diese Beziehung analog. Um kenntlich zu machen, dass sich der Stab um die Achse
A dreht, wird die Gleichung um den Index A ergänzt.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 456
AA vu
vA wurde bereits mit Bezug auf die Verdrillung des Stabes zu AtA rv , angeschrieben.
Für Stäbe mit über die Länge unveränderlichem Querschnitt ist auch rt,A konstant, so dass
AtA rv , gilt.
Damit ist
AtAA rvu , .
Da in der Regel jeder Querschnittspunkt eine andere Verformung uA aufweist, verwölbt sich
der Querschnitt gegenüber seiner Ausgangslage. Deshalb wird die Verformung uA in Längs-
richtung in diesem Zusammenhang Verwölbung genannt.
Die Verwölbung uA ist wie folgt definiert:
AAu
A heißt Einheitsverwölbung und entspricht der Verwölbung uA, die der Querschnitt unter der
Verdrillung ‘ = -1 [rad/m] erfährt.
A kann durch Integration entlang der lokalen Koordinate s, beginnend im Ursprung P0 von s,
berechnet werden.
AtAA ru ,
0, A
s
AtA dsr
Hinweis: In der Literatur wird die Einheitsverwölbung teilweise wie beschrieben definiert, teilweise aber auch als
jene Verwölbung, die sich bei Verdrillung um ‘ = +1 [rad/m] ergibt. In letzterem Fall ist das Minuszeichen in A
enthalten und es gilt uA = A∙ ‘.
Die Einheitsverwölbung wird auch Wölbordinate oder sektorielle normierte Koordinate genannt.
A0 hat die Bedeutung einer Integrationskonstante und entspricht in mechanischer Hinsicht
der Einheitsverwölbung im Ursprung der lokalen Koordinate s.
Das Integral selbst heißt Grundverwölbung und wird mit A bezeichnet.
0AAA
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 457
Man beginnt mit der Integration über die lokale Koordinate s im Ursprung P0, wo die Grund-
verwölbung 0A ist.
Je nach Querschnittsform ändert sich rt,A entlang der Koordinate s kontinuierlich oder bleibt
für gerade Querschnittsbereiche abschnittsweise konstant.
Es ist zu beachten, dass rt,A ein Vorzeichen besitzt!
Das Vorzeichen von rt,A (und damit auch das Vorzeichen der Änderung dsrd AtA , ) ergibt
sich wie folgt:
rt,A und Ad sind positiv (d.h. A wird mit zunehmendem s größer) wenn die positive
s-Richtung mit der Verschiebung vA des Punktes P(s) entlang der Tangente an die
Querschnittskontur übereinstimmt, die sich bei positiver Verdrillung ‘ des Quer-
schnitts ergibt (der Vektor rA besitzt denselben Drehsinn wie + wenn seine Spitze
die Querschnittskontur in +s-Richtung „abfährt“).
rt,A und Ad sind negativ (d.h. A wird mit zunehmendem s kleiner, wenn die positive
s-Richtung entgegengesetzt zur Verschiebung vA des Punktes P(s) entlang der Tan-
gente an die Querschnittskontur verläuft, die sich bei positiver Verdrillung ‘ des
Querschnitts ergibt (der Vektor rA besitzt einen zu + entgegengesetzten Drehsinn
wenn seine Spitze die Querschnittskontur in +s-Richtung „abfährt“).
Bild 4-74: Positiver Normalabstand rt,A Bild 4-75: Negativer Normalabstand rt,A
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 458
Bild 4-76: Verlauf der Grundverwölbung A über den Querschnitt
Erläuterung des A - Verlaufs:
Bild 4-77: A -Verlauf im Bereich positiver s-
Koordinaten
Die Grundverwölbung A ist am Integrati-
onsanfang P0 gleich null. Beim „Abfahren“
der Querschnittskontur entlang der lokalen
Koordinate s besitzt der Radiusvektor rA
denselben Drehsinn wie eine positive Ver-
drehung + , A wird kontinuierlich größer.
Die Tangente an die Querschnittskontur im
Punkt P1 verläuft durch den Drehpunkt A,
der Normalabstand rt,A zwischen Tangente
und Drehpunkt A ist für P1 gleich null. Beim
weiteren Abfahren der Kontur entlang s
wechselt der Drehsinn von rA das Vorzei-
chen. Die Grundverwölbung A nimmt ab
dem Punkt P1, wo sie ein (relatives) Maxi-
mum erreicht hat, wieder ab.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 459
Im Bereich negativer s-Koordinaten ist die Vorgehensweise formal vollkommen identisch,
erscheint aber wegen des negativen Vorzeichens etwas komplizierter:
Bild 4-78: A -Verlauf im Bereich negativer s-
Koordinaten
Zwischen den Punkten P3 und P0 besitzt die
positive s-Richtung bezüglich A denselben
Drehsinn wie eine positive Verdrehung + .
A wird deshalb mit größer werdendem s
(von P3 nach P0) ebenfalls größer. Allerdings
ist A in P3 noch unbekannt, so dass die
Richtung der Berechnung besser umgekehrt
wird (vom Punkt P0 mit bekanntem A in
Richtung P3). Obige Aussage kann dann
derart formuliert werden, dass A mit kleiner
(d.h. negativer) werdendem s ebenfalls klei-
ner wird. Weil in P0 0A ist, muss A
zwischen P0 und P3 negativ sein.
Die Tangente an die Querschnittskontur im Punkt P3 verläuft durch den Drehpunkt A, der
Normalabstand rt,A zwischen Tangente und Drehpunkt A ist für P3 gleich null und A besitzt
dort ein (relatives) Minimum.
Beim weiteren Abfahren der Kontur entlang -s in Richtung P4 wechselt der Drehsinn von rA
wieder das Vorzeichen. Die Grundverwölbung A nimmt ab dem Punkt P3, wo sie das Mini-
mum erreicht hat, in Richtung des Punktes P4 wieder zu.
Eine alternative Vorgehensweise besteht darin, sich den Ursprung P0 der Koordinate s wie
eine Quelle vorzustellen: s „fließt“ vom Ursprung P0 weg wie Wasser von einer Quelle und
verteilt sich im gesamten Querschnitt, immer in Richtung der freien Ränder der Kontur (falls
die Querschnittsform Verzweigungen aufweist, verzweigt sich dort auch s unter Beibehaltung
der ursprünglichen Fließrichtung).
Bei dieser Betrachtungsweise gibt es keine positive oder negative s-Richtung, es ist nur die
„Fließrichtung“ von Bedeutung.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 460
Bild 4-79: Vorzeichenfreie Definition der lokalen Koordinate s – Deutung als „Quelle“
Das Vorzeichen der Änderung dsrd AtA , ergibt sich dann wie folgt:
rt,A und Ad sind positiv (d.h. A nimmt in Richtung von s zu), wenn die Richtung
von s („Fließrichtung des Wassers“) mit der Richtung der Verschiebung vA des Punk-
tes P(s) entlang der Tangente an die Querschnittskontur übereinstimmt, die sich bei
positiver Verdrillung ‘ des Querschnitts ergibt.
rt,A und Ad sind negativ (d.h. A nimmt in Richtung von s ab), wenn die s-Richtung
entgegengesetzt zur Verschiebung vA des Punktes P(s) entlang der Tangente an die
Querschnittskontur verläuft, die sich bei positiver Verdrillung ‘ des Querschnitts er-
gibt.
Bild 4-80: Positiver Normalabstand rt,A Bild 4-81: Negativer Normalabstand rt,A
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 461
Bild 4-82: Negativer Normalabstand rt,A Bild 4-83: Positiver Normalabstand rt,A
Die Grundverwölbung A hat die Bedeutung eines Querschnittswertes, wobei es sich dabei
aber nicht um einen einzigen Zahlenwert handelt (wie z.B. im Fall des Flächenträgheitsmo-
mentes Iy). Es handelt sich vielmehr um eine über den Querschnitt veränderliche Größe, die
in jedem Querschnittspunkt einen anderen Wert und unterschiedliche Vorzeichen annehmen
kann (vergleichbar etwa mit dem statischen Moment Sy, das über den Querschnitt auch ei-
nen veränderlichen Verlauf besitzt).
Verlauf, Vorzeichen und Betrag hängen dabei sowohl von der gewählten Drillachse ab als
auch vom Ursprung und der Orientierung der lokalen Koordinate s.
Graphisch kann man die Grundverwölbung A als die doppelte Fläche A* deuten, die vom
Radiusstrahl rA (nicht rt,A !) bei der Integration von P0 entlang s nach P(s) überstrichen wird.
Ein infinitesimale Fläche dA* entspricht der Fläche eines Dreiecks mit der Basis ds und der
Höhe rt,A.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 462
Bild 4-84: Vom Radiusvektor rA überstrichene Fläche A*
Um die Einheitsverwölbung A bestimmen zu können, muss schließlich noch die Größe der
Integrationskonstante A0 bekannt sein.
A0 kann aus der Tatsache gewonnen werden, dass die Verwölbung des Querschnitts im
Mittel gleich null sein muss. Wäre die mittlere Verwölbung nicht null, so wäre das gleichbe-
deutend mit einer Längsverschiebung u des Querschnitts und damit gleichbedeutend mit
einer Dehnung x des Stabes. Da aber bei alleiniger Torsionsbeanspruchung MT im Stab
keine Normalkraft N als resultierende Schnittgröße der Normalspannungen x auftritt, müs-
sen die Normalspannungen x im Mittel null sein, und aufgrund des Elastizitätsgesetzes x =
E∙ x sind auch die Längsdehnungen im Mittel null und damit auch die mittlere Verwölbung.
Wenn die Verwölbung im Mittel null ist, dann heben sich positive und negative Wölbanteile
gegenseitig auf, das Integral der Verwölbung über die gesamte Querschnittsfläche muss
deshalb null sein:
A
A dA 0
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 463
Ersetzt man A durch 0AA, so ergibt sich
A A
AA
A
AA
A
AA AdAdAdAdA 0)( 000
und damit
A
AA dAA
10 .
Die Überführung der Grundverwölbung A in die Einheitsverwölbung A durch Addition von
0Awird 1. Normierung genannt.
Das folgende Bild gibt qualitativ den Verlauf der Einheitsverwölbung A wieder. Man kann
erkennen, dass die Flächen mit positivem und negativem Vorzeichen nach Durchführung der
Normierung gleich groß sind, d.h. die Verwölbung ist wie postuliert im Mittel gleich null.
Bild 4-85: Qualitativer Verlauf der Einheitsverwölbung
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 464
Wenn bei symmetrischen Querschnitten der Drehpunkt auf der Symmetrieachse liegt ist es
zweckmäßig, den Ursprung P0 der lokalen Koordinate s (= Anfangspunkt der Integration) in
den Schnittpunkt der Symmetrieachse mit der Profilmittellinie zu legen, denn damit sind die
Verwölbungen im Mittel null, und man spart sich den Rechenschritt der 1. Normierung, weil
die Grundverwölbung A der Einheitsverwölbung A entspricht. Es ist zu beachten, dass
der Punkt P0 im Allgemeinen weder mit dem Schwerpunkt S noch mit dem Schubmittelpunkt
M identisch ist.
Beispiel: Sigmaprofil
Diese allgemeinen Herleitungen werden anhand eines konkreten Beispiels verdeutlicht.
Für das dargestellte Sigma-Profil soll die Einheitsverwölbung mit Bezug auf die beliebig ge-
wählte Drillachse A bestimmt werden. A ist weder der Schwerpunkt noch der Schubmittel-
punkt. Der Querschnitt ist durch seine Mittelfläche idealisiert.
Querschnittsfläche:
204,820,0)0,50,36,35,60,2(2 cmA
Schwerpunktlage:
cmys 55,22/04,8
65,20,52,02
65,20,32,0
2
5,62,05,60,22,0
2
Bild 4-86: Sigmaprofil (Abmessungen)
Zuerst werden die relevanten Querschnittspunkte nummeriert und es wird die lokale Koordi-
nate s eingeführt. Der Ursprung von s liegt im Punkt 0.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 465
Punkt yi [mm] zi [mm]
0 -39,5 -80,0
1 -39,5 -100,0
2 25,5 -100,0
3 25,5 -64,0
4 -1,0 -50,0
5 -1,0 0
6 -1,0 50,0
7 25,5 64,0
8 25,5 100,0
9 -39,5 100,0
10 -39,5 80,0
Tabelle 4-5: Koordinaten
Hinweis: Der Schwerpunkt liegt nicht auf dem Steg,
sondern 1,0 mm daneben auf der linken Seite. Die
Lage ist im gewählten Maßstab nur nicht genau er-
kennbar.
Bild 4-87: Querschnittspunkte und lokale Koordinate s
Dann werden für die einzelnen Querschnittsabschnitte die Normalabstände rt,A zwischen
dem Punkt A und der jeweiligen Tangente an den Abschnitt bestimmt.
Bild 4-88: rt,A (Abschnitt 0-1)
mm
r At
5,89
505,2565
,
Bild 4-89: rt,A (Abschnitt 1-2)
mm
r At
150
0,50100
,
Bild 4-90: rt,A (Abschnitt 2-3)
mm
r At
5,24
)5,2550(
,
(negativ, weil rA beim Abfahren der Kontur einen anderen Dreh-
sinn hat als + )
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 466
Bild 4-91: Berechnung von rt,A im Abschnitt (3-4)
Hinweis: rA (4) und rt,A (3 4) sind nicht identisch, sondern liegen nur sehr dicht beisammen.
Der Normalabstand rt,A zwischen Punkt A und dem Querschnittsbereich 3-4 ist nicht direkt
ersichtlich und muss berechnet werden. Empfehlenswert ist die Anwendung der Vektorrech-
nung („Abstand eines Punktes von einer Geraden“).
Der Abstand eines Punktes Q mit dem Ortsvektor Qr
von einer Geraden g mit der Gleichung
arr P
lautet:
||
|)(|
a
rrad
PQ
Bild 4-92: Abstand Punkt – Gerade (allgemein)
Im vorliegenden Fall entspricht der Querschnittspunkt 3 dem Punkt P, der Drehpunkt A dem
Punkt Q und die Differenz der Ortsvektoren der Querschnittspunkte 3 und 4 dem Vektor a
.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 467
Hinweis: Es liegt ein zweidimensionales Problem vor. Um die üblichen Formeln der Vektorrechnung direkt an-
wenden zu können wird bei den Vektoren jeweils eine dritte Komponente ergänzt (gleich null).
0
64
5,25
Pr
0
50
50
Qr
0
114
5,24
00
)64(50
5,2550
PQ rr
0
14
5,26
0
)64(50
5,251
a
3364
0
0
0
114
5,24
0
14
5,26
)( PQ rra
mma
rrad
PQ2,112
971,29
3364
0
14
5,26
3364
0
0
||
|)(|
Da der Drehsinn des Radiusvektors rA beim Abfahren der Kontur in Richtung s einer positi-
ven Verdrehung entgegen gerichtet ist, besitzt rt,A ein negatives Vorzeichen.
mmr At 2,112)43(,
Die Berechnung der Normalanstände erfolgt für die übrigen Abschnitte analog und wird an
dieser Stelle nicht vorgeführt. Die folgende Tabelle enthält alle Normalabstände rt,A.
Abschnitt rt,A [mm] Abschnitt rt,A [mm]
0 1 89,5 5 6 -51
1 2 150 6 7 -23,8
2 3 -24,5 7 8 -24,5
3 4 -112,2 8 9 50
4 5 -51 9 10 89,5
Tabelle 4-6: Normalabstände rt,A
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 468
Mit diesen Normalabständen ist es möglich, die Grundverwölbung A in den einzelnen
Querschnittspunkten zu berechnen.
Man beginnt im Punkt 0 (Ursprung von s). Dort ist 0A .
Von einem Punkt (i-1) zum nächsten (i) entlang der Koordinate s fortschreitend kommt die
Grundverwölbung
i
i
s
s
AtiiA dsr
1
,1,,
hinzu, wobei im vorliegenden Beispiel wegen der abschnittsweise geraden Querschnittsbe-
randung der Normalabstand für die einzelnen Querschnittsabschnitte konstant ist und vor
das Integral gezogen werden kann:
srdsrdsr At
s
s
At
s
s
AtiiA
i
i
i
i
,,,1,,
11
rt,A ist mit Vorzeichen einzusetzen, die Abstände s entlang der Querschnittsmittellinie sind
positiv.
Dadurch ergibt sich für A das korrekte Vorzeichen:
Radiusstrahls rA dreht beim „Abfahren“ von s in positive -Richtung
rt,A positiv A positiv
Radiusstrahls rA dreht beim „Abfahren“ von s in negative -Richtung
rt,A negativ A negativ
Beim Abfahren der Strecke zwischen den Punkten 0 und 1 dreht der Radiusstrahl rA in die-
selbe Richtung wie eine positive Verdrehung , rt,A ist positiv (vgl. Bild 4-88).
Punkt 0: 0)0(A
Punkt 1: ²9,1700,295,80)0()1( , cmsr AtAA
Auch zwischen den Punkten 1 und 2 dreht der Radiusstrahl rA in dieselbe Richtung wie eine
positive Verdrehung , rt,A ist auch hier positiv (vgl. Bild 4-89).
Punkt 2: ²4,1155,60,159,17)1()2( , cmsr AtAA
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 469
Beim „Abfahren“ der Strecke zwischen Punkt 2 und 3 wechselt nun der Drehsinn des Ra-
diusstrahls, so dass rt,A für diesen Abschnitt negativ ist (vgl. Bild 4-90).
Punkt 3: ²6,1066,3)45,2(4,115)2()3( , cmsr AtAA
In analoger Weise wird der noch verbleibende Querschnitt mit dem Radiusstrahl rA Punkt für
Punkt „abgefahren“ und man erhält für den Querschnitt die Grundverwölbung A .
Eine systematisierte tabellarische Berechnung, wie im Folgenden dargestellt, hat sich be-
währt.
Punkt i )1(iA + rt,A · s = )(iA
[-] [cm²] [cm] [cm] [cm²]
0 = 0
1 0 + 8,95 · 2,0 = 17,9
2 17,9 + 15,0 · 6,5 = 115,4
3 115,4 + (-2,45) · 3,6 = 106,6
4 106,6 + (-11,22) · 3,0 = 72,9
5 72,9 + (-5,1) · 5,0 = 47,4
6 47,4 + (-5,1) · 5,0 = 21,9
7 21,9 + (-2,38) · 3,0 = 14,8
8 14,8 + (-2,45) · 3,6 = 5,96
9 5,96 + 5,0 · 6,5 = 38,5
10 38,5 + 8,95 · 2,0 = 56,4
Tabelle 4-7: Berechnung der Grundverwölbung A
Die Grundverwölbung A ist nun bekannt und kann graphisch angetragen werden. Es sei
nochmals darauf hingewiesen, dass diese Grundverwölbung zur Drillachse A gehört. Für
eine andere Drillachse ergibt sich ein anderer Verlauf der Grundverwölbung über den Quer-
schnitt.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 470
Bild 4-93: Verlauf der Grundverwölbung A
Betrachtet man den Verlauf der Grundverwölbung, so ist festzustellen, dass alle Werte posi-
tiv sind, die Grundverwölbung ist im Mittel also nicht null. Da bei alleiniger Torsionsbeans-
pruchung der Mittelwert der Verwölbung null sein muss, kann es sich bei der Grundverwöl-
bung A nur um ein Zwischenergebnis handeln, aus dem nach Durchführung der 1. Normie-
rung die Einheitsverwölbung A gewonnen wird, die im Gegensatz zur Grundverwölbung A
im Mittel null ist.
Die 1. Normierung erfolgt durch Addition des Korrekturwertes A0 zur Grundverwölbung A .
Mathematisch gesehen entspricht A0 der Integrationskonstanten, die aus folgender Bedin-
gung gewonnen wird:
A
AA dAA
10
Beim betrachteten Beispiel liegt eine konstante Wanddicke t vor, es gilt:
A
AA dstA
10
Das Integral
A
A ds entspricht der Fläche unter dem A -Verlauf.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 471
³8,1925
00,22
4,565,385,6
2
5,3896,56,3
2
96,58,140,3
2
8,149,21
0,102
9,219,720,3
2
9,726,1066,3
2
6,1064,1155,6
2
9,174,1150,2
2
9,17
cm
dsA
A
²9,478,19252,004,8
110 cmdst
AA
AA
Durch Addition von 1. Normierung 0A und Grundverwölbung A erhält man die Einheits-
verwölbung A . Am übersichtlichsten erfolgt auch diese Berechnung in Tabellenform.
Punkt A + 0A
= A [-] [cm²] [cm] [cm²]
0 0 + -47,9 = -47,9
1 17,9 + -47,9 = -30,0
2 115,4 + -47,9 = 67,5
3 106,6 + -47,9 = 58,7
4 72,9 + -47,9 = 25,0
5 47,4 + -47,9 = -0,5
6 21,9 + -47,9 = -26,0
7 14,8 + -47,9 = -33,1
8 5,96 + -47,9 = -41,9
9 38,5 + -47,9 = -9,4
10 56,4 + -47,9 = 8,5
Tabelle 4-8: Berechnung der Einheitsverwölbung A
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 472
Bild 4-94: Verlauf der Einheitsverwölbung A
Das Beispiel wird später fortgesetzt.
4.4.3.2 Bezug der Einheitsverwölbung auf eine andere Drillachse
Wie erläutert werden Verwölbungen stets mit Bezug auf eine definierte Drillachse berechnet.
Im vorhergehenden Abschnitt war dies die Achse durch den (willkürlich gewählten) Punkt A.
Mit Bezug auf eine andere Drillachse ergeben sich andere Verwölbungen.
Im Folgenden wird dargestellt, wie die Einheitsverwölbung A für die Drillachse A in die Ein-
heitsverwölbung B für die Drillachse B überführt werden kann. A ist bekannt, das y-z-
Koordinatensystem verläuft durch den Schwerpunkt des Querschnitts und die lokale Koordi-
nate s ist genauso definiert wie bei der Ermittlung von A.
Im Punkt P(s) wird eine Tangente an die Querschnittskontur gelegt, welche die y-Achse un-
ter dem Winkel schneidet. Die Drehpunkte A und B besitzen im Schwerachsensystem die
Koordinaten yA und zA bzw. yB und zB.
Die geometrischen Zusammenhänge ergeben sich aus Bild 4-96.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 473
Bild 4-95: Verschiedene Drillachsen A und B Bild 4-96: Geometrische Verhältnisse
Die Einheitsverwölbung B mit Bezug auf die Drillachse B setzt sich aus der Grundverwöl-
bung B und der 1. Normierung 0B zusammen.
0BBB
Zur Berechnung von B wird der Normalabstand rt,B zur Tangente durch den Punkt P(s)
benötigt.
rt,B kann gemäß Bild 4-96 in Abhängigkeit von rt,A und den Koordinaten der Drehpunkte aus-
gedrückt werden:
cos)(sin)(sin]cot)()[( ,,, ABABAtABBAAtBt zzyyrzzyyrr
Die Winkel lassen sich durch die lokale Koordinate s und die Schwerpunktkoordinaten y und
z ausdrücken:
ds
dycos ;
ds
dzsin
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 474
Damit ist
ds
dyzz
ds
dzyyrr ABABAtBt )()(,,
und
0000
000
0,
0,0,0
)()()()(
)()()()(
)()(
])()([
000
00
ABABABA
BABABA
B
s
s
AB
s
s
AB
s
s
At
B
s
s
ABABAtB
s
s
BtBBB
yyzzzzyy
yyzzzzyy
dyzzdzyydsr
dsds
dyzz
ds
dzyyrdsr
y und z sind die Koordinaten des Querschnittspunktes, für den die Verwölbung bestimmt
werden soll. y0 und z0 sind die Koordinaten des Punktes P0 (Ursprung der lokalen Koordinate
s). Nach Ausklammern und Zusammenfassen aller konstanten (nicht von y und z abhängi-
gen) Terme wird die Gleichung umgestellt:
0000 )()()()( ABABABABABAB yzzzyyyzzzyy
Der Unterschied zwischen den Verwölbungen B und A äußert sich offensichtlich durch eine
Schrägstellung der Querschnittsebene, was durch die von y und z linear abhängigen Glieder
yzzzyy ABAB )()(
zum Ausdruck kommt. Der konstante Anteil
0000 )()( ABABAB yzzzyy
scheint auf den ersten Blick einer Längsverschiebung der Querschnittsebene zu entspre-
chen. Durch die folgenden Überlegungen kann aber gezeigt werden, dass dieser Anteil
gleich null ist. Nach Integration über die Querschnittsfläche A stellt sich die Formel für die
Einheitsverwölbung B folgendermaßen dar:
dAyzzzyydAyzzdAzyydA
dA
ABABABABABA
B
])()[(])[(])[( 0000
Der letzte Term ist das Integral über eine Summe konstanter Werte, die zur Konstanten C*
zusammengefasst werden. C* kann vor das Integral geschrieben werden.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 475
Die Differenzen (yB-yA) und (zB-zA) sind ebenfalls konstant und können auch vor das jeweilige
Integral geschrieben werden.
dACdAyzzdAzyydAdA ABABAB *)()(
Laut Definition muss die mittlere Verwölbung bei alleiniger Torsionsbeanspruchung gleich
null sein, die Integrale über A und B sind somit gleich null. Weil sich alle Koordinatenanga-
ben auf das y-z-Koordinatensystem beziehen, das seinen Ursprung im Schwerpunkt des
Querschnitts hat, sind auch die statischen Momente gleich null.
0dAzdAy
Es verbleibt
0* dAC , und weil 0AdA ist, ist damit bewiesen, dass
0*C ist.
Die Formel zur Umrechnung der Einheitsverwölbung A mit Bezug auf die Drillachse A in die
Einheitsverwölbung B mit Bezug auf die Drillachse B lautet:
yzzzyy ABABAB )()(
Fortsetzung des Berechnungsbeispiels
Aus der Einheitsverwölbung A mit Bezug auf die Drillachse A soll die Einheitsverwölbung B
mit Bezug auf eine neue Drillachse B berechnet werden.
Bild 4-97: Lage der neuen Drillachse B
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 476
yzzzyy ABABAB )()(
cmz
cmy
cmz
cmy
B
B
A
A
00,0
50,2
00,5
00,5
yzyz AAB 0,55,2)0,50()00,550,2(
Die Einheitsverwölbung B wird für die einzelnen Querschnittspunkte am besten tabellarisch
berechnet.
Punkt y z A B [-] [cm] [cm] [cm²] [cm²]
0 -3,95 -8,0 -47,9 -48,15
1 -3,95 -10,0 -30,0 -35,25
2 2,55 -10,0 67,5 29,75
3 2,55 -6,4 58,7 29,95
4 -0,1 -5,0 25,0 13,0
5 -0,1 0 -0,5 0
6 -0,1 5,0 -26,0 -13,0
7 2,55 6,4 -33,1 -29,85
8 2,55 10,0 -41,9 -29,65
9 -3,95 10,0 -9,4 35,35
10 -3,95 8,0 8,5 48,25
Tabelle 4-9: Umrechnung der Einheitsverwölbung A in B
Hinweis: Die Symmetrieeigenschaften des Querschnitts wurden bei der Wahl des Ursprungs von s nicht ausge-
nutzt, da an diesem Beispiel die prinzipielle Vorgehensweise gezeigt werden sollte. Zweckmäßig würde man zur
Bestimmung der Einheitsverwölbung bezüglich der Drillachse B natürlich die Symmetrieeigenschaften ausnutzen,
den Ursprung in den Schnittpunkt der y-Achse mit der Querschnittsmittelfläche legen und die Einheitsverwölbung
direkt berechnen. Ferner ist zu beachten, dass der Verlauf der Einheitsverwölbung bei Bezug auf die Drillachse B
bezüglich der y-Achse antimetrisch sein muss. Die Tabellenwerte sind nicht exakt antimetrisch, da sich Run-
dungsfehler über mehrere Rechenschritte hinweg fortpflanzen.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 477
Bild 4-98: Verlauf der Einheitsverwölbung B mit Bezug auf die Drillachse B
4.4.3.3 Dünnwandige geschlossene Querschnitte
Einzellige Querschnitte
Die Formeln zur Berechnung der Verwölbungen konnten für offene dünnwandige Querschnit-
te vergleichsweise einfach hergeleitet werden, weil die Schubspannungen und Verzerrungen
in der Wandungsmittellinie unter Torsionsbeanspruchung null sind, weshalb ein direkter Zu-
sammenhang zwischen Verwölbung und Verdrillung besteht.
Bei geschlossenen dünnwandigen Querschnitten kann die Schubspannung p infolge St.
Venantscher Torsion als über die Wanddicke konstant verlaufend betrachtet werden. Die
Schubspannungen p führen zu entsprechenden Verzerrungen (auch in der Mitte der Wan-
dung). Weil dadurch der rechte Winkel zwischen den Kanten eines infinitesimal kleinen Ele-
mentes dx·ds nicht erhalten bleibt, ist der Zusammenhang zwischen Verwölbung und Verdril-
lung nicht von Anfang an bekannt, so dass die Einheitsverwölbung in mehreren Schritten
berechnet werden muss.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 478
Bild 4-99: Über die Wanddicke konstante
Schubspannung
Bild 4-100: Schubverzerrung des Elementes
dx·ds in der Wandungsmittelfläche
Zuerst trennt man den geschlossenen Querschnitt gedanklich auf, so dass ein offener Quer-
schnitt vorliegt.
Bild 4-101: (Gedanklich) längs aufgeschnittener Hohlquerschnitt
Dann schreibt man für diesen offenen Querschnitt die Gleichung für die Schubverzerrung an:
vudx
dv
ds
du
Mit Bezug auf eine beliebige Drillachse A kann die Verformung v tangential zur Querschnitts-
kontur und in Richtung der lokalen Koordinate s wie bereits bekannt in Abhängigkeit des
Normalabstandes rt,A zwischen Drillachse A und der Tangente an die Querschnittskontur
ausgedrückt werden:
AtA rvv ,
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 479
Die Schubverzerrung lautet damit und mit u = uA
dx
dr
ds
du
dx
dv
ds
duAt
AAA,
Da es sich nur gedanklich um einen offenen Querschnitt handelt, sind die Verzerrungen in
der Wandungsmitte des in Wirklichkeit geschlossenen Querschnitts ungleich null.
Bild 4-102: Schubverzerrung des Elementes dx·ds in der Wandungsmittelfläche
Der Schubfluss T ist entlang der lokalen Koordinate s konstant und in jedem Querschnitts-
punkt gleich groß und kann durch die Verzerrung ausgedrückt werden.
Tconstdx
dr
ds
dustGstsGstssT At
A .)()()()()()( ,
Durch Umstellen, Auflösen und Integrieren kann die Verwölbung uA(s) in Abhängigkeit vom
Schubfluss T ausgedrückt werden.
dsdx
dr
stG
Tdu AtA ,
)(
0,)(
)( A
s
At
s
A udsrdx
d
st
ds
G
Tsu
uA0 ist die Integrationskonstante.
Aus Gründen der Kontinuität bzw. Verträglichkeit muss die Verwölbung stetig über den rea-
len, geschlossenen Querschnitt verlaufen, uA(s) darf sich zwischen zwei benachbarten Quer-
schnittspunkten nicht sprunghaft ändern. Die beiden Schnittkanten des gedanklich aufge-
trennten Querschnitts dürfen keine Relativverwölbung uA aufweisen.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 480
Bild 4-103: Relativverwölbung uA der beiden Schnittkanten
Da nur die Differenzverwölbung uA zwischen den beiden Schnittkanten und nicht die abso-
lute Verwölbung uA von Interesse ist, muss lediglich von einer Schnittkante zur anderen ent-
lang der lokalen Koordinate s integriert werden, die Bestimmung der Integrationskonstante
uA0 entfällt. Für diese Berechnung wird der Ursprung der lokalen Koordinate s zweckmäßig in
der Schnittstelle angenommen.
Bild 4-104: Integration über den gesamten Umfang
Da über den gesamten Querschnittsumfang integriert wird, wird die Formel mit dem Zeichen
für das Ringintegral dargestellt.
s
At
s
A dsrdx
d
st
ds
G
Tu 0
)(
!
,
Wie bekannt entspricht die Grundverwölbung
s
s
AtA dsr
0
,
der doppelten vom Radiusstrahl rA überstrichenen Fläche A*. Wird wie hier die Integration als
Ringintegral über den gesamten Querschnittsumfang durchgeführt, dann entspricht das In-
tegral der doppelten Fläche Am, die von der Blechmittellinie umschlossen wird.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 481
s
mAt Adsr 2,
Bild 4-105: Vom Radiusvektor rA überstrichene Fläche dAm
Nach Einsetzen dieser Beziehung in die Formel für u kann nach T aufgelöst werden.
s
m
st
ds
GA
dx
dT
)(
2
Diese Beziehung kann man nun wiederum in die Gleichung zur Berechnung der (absoluten)
Verwölbung (an beliebiger Stelle s) einsetzten, und man erhält
0,0,)(
)(
2
)()( A
s
At
s
s
mA
s
At
s
A udsrdx
d
st
ds
st
dsG
GA
dx
dudsr
dx
d
st
ds
G
Tsu .
Zu beachten ist der Unterschied zwischen „normalem“ Integral und Ringintegral, es darf also
nicht einfach gekürzt werden.
Zur Vereinfachung wird der erste Term in Zähler und Nenner mit 2·Am erweitert und der
Schubmodul G gekürzt:
0,
2
)(2
)(
4)( A
s
At
s
s
m
mA udsr
dx
d
st
ds
Ast
ds
A
dx
dsu
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 482
Der Ausdruck
T
s
m I
st
ds
A
)(
42
entspricht dem Torsionsträgheitsmoment IT des geschlossenen Querschnitts (2. Bredtsche
Formel, vgl. Abschnitt zur St. Venantschen Torsion).
Damit vereinfacht sich die Gleichung zur Berechnung von uA(s) entsprechend:
dxd
u
st
ds
A
Idsr
dx
dsu A
sm
T
s
AtA/)(2
)( 0,
Da die Integration über ds erfolgt und nicht über d bzw. dx, kann auch der Ausdruck
dxd
uA
/
0
als Integrationskonstante betrachtet werden, die mit A0 bezeichnet wird.
Analog der Vorgehensweise bei den offenen Querschnitten entspricht der Ausdruck in den
eckigen Klammern der Einheitsverwölbung A, also jener Verwölbung uA, die der Querschnitt
unter der Verdrillung ‘ = -1 [rad/m] erfährt.
Die Einheitsverwölbung A setzt sich auch für geschlossene Querschnitte aus der Grund-
verwölbung A und der 1. Normierung A0 zusammen.
0,0)(2
A
sm
T
s
AtAAAst
ds
A
Idsr
Wie man sieht besteht die Grundverwölbung A aus zwei Anteilen.
Der erste Anteil ist identisch mit der Grundverwölbung eines offenen Querschnitts mit glei-
chen Abmessungen.
dsrs
AtoffenA ,,
Der zweite Anteil kann als eine Art Korrekturwert interpretiert werden, der der Tatsache
Rechnung trägt, dass der Querschnitt geschlossen ist und es deshalb zwischen zwei be-
nachbarten Querschnittspunkten keinen Verwölbungssprung geben kann.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 483
ssm
TngeschlosseA
st
ds
st
ds
A
I
)()(2,
wird Torsionsfunktion genannt:
s
m
m
T
st
ds
A
A
I
)(
2
2
Die Grundverwölbung des geschlossenen Querschnitts kann in Kurzform wie folgt geschrie-
ben werden
ngeschlosseAoffenAA ,, ,
die Einheitsverwölbung ist dann
0,, AngeschlosseAoffenAA .
Da auch für geschlossene Querschnitte unter alleiniger Torsionsbeanspruchung die Verwöl-
bungen im Mittel null sein müssen (ohne Normalkraft N treten keine Verlängerung des Sta-
bes auf), wird die 1. Normierung A0 mit der bereits bekannten Formel bestimmt:
A
AA dAA
10
Achtung Vorzeichen!
Den Vorzeichen der einzelnen Anteile ist besondere Beachtung zu schenken:
Das Vorzeichen von offenA, ergibt sich aus dem Drehsinn des Radiusvektors rA beim „Abfah-
ren“ der Querschnittskontur entlang s (völlig analog einem real offenen Querschnitt).
Bei der Berechnung von ngeschlosseA, ist zu beachten, dass in der Formel für die Torsionsfunk-
tion die von der Blechmittellinie umfasste Fläche Am enthalten ist.
Am selbst ist jedoch nur eine Hilfsgröße, um das Ringintegral in einem „handlichen“ Formel-
zeichen ausdrücken zu können:
s
Atm dsrA ,2
1
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 484
Weil der Normalabstand rt,A zwischen Drehpunkt A und der Tangente an den jeweiligen
Punkt P(s) der Querschnittskontur abhängig vom Drehsinn des Radiusvektors rA mit einem
Vorzeichen behaftet ist, muss auch Am ein Vorzeichen haben.
Die Integrale s
st
ds
)(und
sst
ds
)( sind dagegen stets positiv.
Um die Problematik des Vorzeichens von Am zu umgehen wählt man zweckmäßig die lokale
Koordinate gleich so, dass rA überwiegend denselben Drehsinn besitzt wie eine positive Ver-
drehung + .
Bei Bezug auf eine Drillachse, die innerhalb der Querschnittskontur liegt, kann s problemlos
und zweifelsfrei festgelegt werden.
Liegt die Drillachse außerhalb der Querschnittskontur, so ist s zweckmäßig so zu definieren,
dass die Radiusvektoren rA bei positivem Drehsinn größere Flächen überstreichen als bei
negativem Drehsinn. Die in Bild 4-106 gezeigte Fläche Am kann beispielweise aus drei Teil-
flächen gebildet werden (jeweils mit Vorzeichen!). Die beiden hellblauen Teilflächen resultie-
ren aus Radiusvektoren rA mit positivem Drehsinn und sind positiv. Sie überwiegen die hell-
rote, negative Teilfläche, die aus Radiusvektoren mit negativem Drehsinn resultiert. Am ist
deshalb positiv.
Bild 4-106: Am setzt sich aus positiven und negativen Anteilen zusammen
Beispiel: Einzelliger Hohlquerschnitt mit verschiedenen Blechdicken
Für den in Bild 4-107 dargestellten Querschnitt soll die Einheitsverwölbung A bezüglich der
Drillachse A ermittelt werden. A liegt auf dem Mittelpunkt des halbkreisförmigen Quer-
schnittsteils. Es ist zu beachten, dass der Querschnitt zwei unterschiedliche Blechdicken
besitzt.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 485
Bild 4-107: Geschlossener Querschnitt mit unterschiedlichen Blechdicken
Zuerst trennt man den Querschnitt gedanklich auf, nummeriert die Querschnittspunkte und
definiert die lokale Koordinate s.
Bild 4-108: Aufgetrennter Querschnitt mit Querschnittspunkten und der Koordinate s
Dann wird die Torsionsfunktion bestimmt.
s
m
st
ds
A
)(
2
Die vom Radiusstrahl rA bei einer vollständigen Umfahrung der Querschnittskontur überstri-
chene Fläche Am entspricht der von der Kontur eingeschlossenen Fläche.
s wurde so definiert, dass rA denselben Drehsinn besitzt wie + . Deshalb ist Am positiv.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 486
22 1,5570,200,102
10,150,200,10
2
1cmAm
Da die Blechdicke abschnittsweise konstant ist kann das Ringintegral auch als Summe aus-
gedrückt werden:
3,1008,0
0,10
8,0
0,152
2,1
20,102
)( i i
i
st
s
st
ds
²10,113,100
1,5572
)(
2cm
st
ds
A
s
m
Nun kann für jeden Punkt die Grundverwölbung A bestimmt werden. Wegen der abschnitt-
weise konstanten Blechdicken gilt wiederum
i i
i
i
iiAt
ss
AtAt
ssr
st
dsdsr ,,,
)(.
Der Radiusstrahl rA dreht stets in dieselbe Richtung wie eine positive Verdrehung + , rt,A ist
deshalb für jeden Abschnitt positiv.
Punkt 0: 0)0(A
Punkt 1:
Bild 4-109: rt,A im Abschnitt 0 1
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 487
2
, 1,1192,1
20,1010,1120,102
2
)0,100,15(0)0()1( cm
t
ssr AtAA
Punkt 2:
Bild 4-110: rt,A im Abschnitt 1 2
²94,608,0
0,1510,110,100,151,119)1()2( , cm
t
ssr AtAA
Punkt 3:
Bild 4-111: rt,A im Abschnitt 2 3
²00,08,0
0,10210,110,10
20,1064,60)2()3( , cm
t
ssr AtAA
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 488
Für die übrigen Abschnitte erfolgt die Berechnung analog, in Tabelle 4-10 sind die Berech-
nungsschritte zusammengestellt.
Punkt
i )1(iA + rt,A · s - · s / t = )(iA
[-] [cm²] [cm] [cm] [cm²] [cm] [cm] [cm²]
0 0
1 0 + 17,68 · 14,14 - 11,10 · 14,14 / 1,2 = 119,1
2 119,1 + 10,0 · 15,0 - 11,10 · 15,0 / 0,8 = 60,94
3 60,94 + 10,0 · 15,71 - 11,10 · 15,71 / 0,8 = 0,00
4 0,00 + 10,0 · 15,71 - 11,10 · 15,71 / 0,8 = -60,64
5 -60,64 + 10,0 · 15,0 - 11,10 · 15,0 / 0,8 = -119,14
6 -119,14 + 17,68 · 14,14 - 11,10 · 14,14 / 1,2 = 0,00
Tabelle 4-10: Berechnung der Grundverwölbung A
Da sowohl der Ursprung von s als auch der Drehpunkt auf der Symmetrieachse liegen ist die
Verwölbung im Mittel gleich null. Eine Normierung ist nicht erforderlich, die Grundverwölbung
A und die Einheitsverwölbung A sind identisch.
Bild 4-112: Verlauf der Einheitsverwölbung A
Der Bezug auf eine andere Drillachse kann analog der Vorgehensweise für offene Quer-
schnitte hergestellt werden.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 489
Mehrzellige Querschnitte
Die Berechnung der Einheitsverwölbung von mehrzelligen Querschnitten wird im Rahmen
des Umdrucks nicht behandelt. Die Vorgehensweise ergibt sich in Erweiterung der Ausfüh-
rungen für den einzelligen Querschnitt. Für die einzelnen Zelle wird die Einheitsverwölbung
zuerst getrennt berechnet, anschließend wird die Berechnung unter Berücksichtigung der
Verträglichkeitsbedingung angepasst: an den Verzweigungspunkten darf die Wölbordinate
keinen Sprung aufweisen. Bezüglich weiterer Ausführungen wird auf die Fachliteratur ver-
wiesen.
4.4.4 Wölbspannungen
4.4.4.1 Einführung
Im Abschnitt „Einheitsverwölbung“ wurde verdeutlicht, dass Torsionsbeanspruchung nicht
nur zu einer Verdrillung des Stabes führt, sondern dass die einzelnen Querschnitts-“Fasern“
in Stablängsrichtung unterschiedlich stark gedehnt bzw. gestaucht werden. Dadurch bleibt
der Querschnitt nicht eben, er verwölbt sich.
Bei der Herleitung der Formeln für die Einheitsverwölbung wurde vorausgesetzt, dass sich
die Verwölbungen zwängungsfrei einstellen können. In der Realität werden die Verwölbun-
gen in den meisten Fällen aber mehr oder weniger stark behindert, sei es durch konstruktive
Rand- oder Übergangsbedingungen (z.B. Stirnplatten, Einspannung des Trägerendes, etc.)
oder durch sprunghafte Änderung des Torsionsmomentes (z.B. angreifendes Einzelmoment,
Gabellager, etc.).
Die Behinderung der Verwölbungen führt zu Zwängungsspannungen, die Wölbspannungen
genannt werden. Man nennt diese Spannungen auch Sekundärspannungen, da sie im Zu-
sammenhang mit der Wölbkrafttorsion auftreten, die auch als Sekundärtorsion bezeichnet
wird.
Normalspannungen und Schubspannungen , die aus der Behinderung der freien Verwöl-
bung resultieren, werden mit dem Index gekennzeichnet.
Wölbnormalspannung
Wölbschubspannung
Man findet in der Literatur aber gleichbedeutend die Kennzeichnung mit den Indices 2 oder s
(für „sekundär“), also 2 und 2 bzw. s bzw. s.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 490
4.4.4.2 Dünnwandige offene Querschnitte
Die Zusammenhänge werden für den Fall eines offenen Querschnitts aufgezeigt (Dünnwan-
digkeit wird weiterhin vorausgesetzt). In einem späteren Abschnitt wird kurz auf die Beson-
derheiten bei dünnwandigen geschlossenen Querschnitten eingegangen.
Grundlage der Theorie ist ein linear-elastisches Materialverhalten. Innerhalb des linear-
elastischen Bereiches gilt das Hookesche Gesetz:
E
Die Dehnung ist bekanntlich als Längenänderung l mit Bezug auf die Ausgangslänge l
definiert. Bei Betrachtung eines infinitesimal kleinen Elementes der Länge dx entspricht die
Längenänderung l der Änderung der Verwölbung du innerhalb der Länge dx.
udx
du
Mit Hilfe der Einheitsverwölbung kann für jeden Punkt des Querschnitts die Verwölbung,
d.h. die Verschiebung in Stablängsrichtung berechnet werden.
Zur Wiederholung: Die Einheitsverwölbung ist kein einzelner, über den gesamten Quer-
schnitt konstanter Querschnittswert. Vielmehr ist über den Querschnitt veränderlich, so
dass für die einzelnen Querschnittspunkte („Fasern“) unterschiedliche Werte annimmt (
wird deshalb auch „Wölbordinate“ genannt). Zur Lagebestimmung eines Querschnittspunktes
P(s) wurde die lokale Koordinate s eingeführt. Da auch von s abhängig ist, kann man
exakter auch (s) schreiben. Schließlich sei daran erinnert, dass (s) stets mit Bezug auf
eine definierte Drillachse berechnet wird. Für eine beliebige Drillachse A wird die Einheits-
verwölbung korrekt und eindeutig mit A(s) bezeichnet.
Gemäß Definition ist die Einheitsverwölbung A(s) jene Verwölbung, die ein Punkt P(s) des
Querschnitts infolge einer Verdrillung ‘ = -1 [rad / m] um die Drillachse A erfährt.
Die tatsächliche Verwölbung uA(s) infolge einer beliebigen Verdrillung ‘(x) entspricht dem-
nach dem negativen Wert des Produktes aus Verdrillung ‘ und Einheitsverwölbung A(s).
Da ‘ im Normalfall entlang der Stablänge veränderlich ist, ist auch die Verwölbung uA(s) des
Querschnittspunktes P(s) in Stablängsrichtung veränderlich.
)()(),( xsxsu AA
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 491
Die Dehnung A(s,x) ergibt sich zu
)()(),( xsuxs AAA ,
und man kann unter Berücksichtigung des Elastizitätsgesetzes die Wölbnormalspannung
,A(s,x) berechnen.
)()(),(),(, xsExsExs AAA
ist von x abhängig und ändert sich von Schnitt zu Schnitt. Dass diese Änderung mit
Längsschubspannungen einhergehen muss wird deutlich, wenn man an einem infinitesi-
mal kleinen Element der dünnwandigen Mantelfläche mit den Abmessungen dx·ds die aus
den Spannungen resultierenden Kräfte anträgt und die Gleichgewichtsbedingung formuliert.
Hinweis: Der Index A zur Kennzeichnung der Drillachse wird an dieser Stelle aus Gründen der Übersichtlichkeit
nicht mit notiert.
Bild 4-113: Element dx·ds Bild 4-114: Gleichgewicht am Element dx·ds
Fx = 0:
0))((]))(()([)()()( dxstdxdsststdsstdsstdx
0))(()( dxdsstdsstdx
0))(()( stst
Hinweis: Im Allgemeinen ist t(s) nicht konstant über den Querschnitt. Deshalb kann t(s) nicht ausgeklammert und
gekürzt werden.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 492
))(( st ist die Ableitung des Schubflusses in Richtung der lokalen Koordinate s, also tan-
gential zur Kontur des Querschnitts. Durch Integration über s erhält man den Schubfluss
T (s,x):
0
000
)()()()())((),( TdsstsxEdsstdsstxsT
sss
T 0 hat die Bedeutung einer Integrationskonstante.
Sofern die lokale Koordinate s ihren Ursprung an einem Profilrand hat (es handelt sich um
ein offenes Profil), ist wegen des Satzes von der Zuordnung der SchubspannungenT 0 = 0.
Dann gilt
s
dsstsxExsT0
)()()(),(
und
)(
),(),(
st
xsTxs
Wölbnormalspannungen und Wölbschubspannungen sind aufgrund der vorausgesetz-
ten Dünnwandigkeit über die Wandstärke konstant verteilt.
Anmerkung: Bei der Herleitung der Formeln für die Einheitsverwölbung wurde vorausgesetzt, dass in der Profil-
mittellinie die Torsionsschubspannungen gleich null sind. Streng genommen stellen die Wölbschubspannungen
einen Widerspruch zu dieser Annahme dar. Allerdings sind die zu den Wölbschubspannungen gehörenden
Gleitungen normalerweise so klein, dass sie im Rahmen der Theorie vernachlässigt werden und die Voraus-
setzung = 0 in Mitte der Blechdicke als Grundlage der Berechnung der Einheitsverwölbung unverändert bei-
behalten wird.
Bezüglich der gewählten Drillachse A erzeugen die Schubspannungen das sekundäre
Torsionsmoment Mx,2 bzw. Mx,s.
Das sekundäre Torsionsmoment wirkt neben dem primären Torsionsmoment Mx,p und bildet
zusammen mit diesem das (gesamte) resultierende Torsionsmoment Mx.
sxpxx MMM ,,
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 493
Zur Erinnerung: Das primäre Torsionsmoment Mx,p resultiert aus Schubspannungen p, die
über die Blechdicke des offenen dünnwandigen Querschnitts linear verteilt sind (in Blechmit-
te: p = 0) und wird nach der St. Venantschen Torsionstheorie berechnet.
)(, xIGM Tpx
Bild 4-115: Primäres Torsionsmoment Mx,p infolge primärer Schubspannungen p
Die Wölbschubspannungen wirken tangential zur Querschnittskontur, wobei die Tangente
an den jeweiligen Querschnittspunkt P(s) zur Drillachse A den Normalabstand rt,A besitzt. Mit
diesem Hebelarm erzeugen die Schubspannungen das sekundäre Torsionsmoment Mx,s,
das durch Integration entlang der lokalen Koordinate s über den gesamten Querschnitt be-
rechnet wird.
s
Atsx dssrstxsM0
,, )()(),(
Bild 4-116: Sekundäres Torsionsmoment Mx,s infolge der Wölbschubspannungen
Die Berechnung erfolgt durch partielle Integration.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 494
Allgemeine Formel: dxxgxfxgxfdxxgxf )()()()()()(
Im vorliegenden Fall entspricht
sx ˆ ,
)(),(ˆ)( stxsxf ,
)(ˆ)( , srxg At ,
))(),((ˆ)( stxsxf und
dssrxgs
At )(ˆ)( , .
Man erhält
dsdssrstxsdsrstxsMs s
At
s
Atsx ])())(),([()(),( ,,,
Da alle Integrationen über die gesamte Querschnittskontur erfolgen (von freiem Rand zu
freiem Rand) ist )(),( stxs der Schubfluss am Ende des Integrationsweges, also am frei-
en Rand. Weil an freien Rändern stets T = 0 gilt, entfällt der erste Teil der Formel vollständig,
es verbleibt
dsdssrstxsMs s
Atsx ])())(),([( ,,
Setzt man nun die bekannten Beziehungen
s
AtA dssr )(,
und
0))(),(()(),( stxsstxs
ein, so erhält man als Zwischenergebnis
dsstxsMs
Asx ])(),([, ,
und mit
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 495
)()(),(, xsExs AA
folgt
dsstsxEMs
AAsx )()()(,
Weiter gilt:
dAdsst )(
und
dAA
AAAAA
10
Nach Einsetzen in die Gleichung zur Bestimmung des sekundären Torsionsmomentes folgt:
A A A
AAA
A
A
A
AA
s
AAsx
dAdAA
dAxE
dAdAA
xEdsstsxEM
1)(
1)()()()(
2
,
Was die Verschachtelung der beiden Integrale betrifft, ist zu bedenken, dass die Grundver-
wölbung A eine (zwar über den Querschnitt veränderliche) Querschnittsgröße ist. Bei Integ-
ration über die gesamte Querschnittsfläche (mit festen Integrationsgrenzen) erhält man einen
konstanten Wert, der aus dem Integral herausgezogen werden kann:
A A
A
A
AA
A A A
AAA dAdAA
dAdAdAA
dA11 22
Das sekundäre Torsionsmoment lautet
A A
A
A
AAsx dAdAA
dAxEM1
)(2
,
Zur vereinfachten Darstellung wird eine neue Querschnittsgröße definiert.
Der Ausdruck in Klammern wird als Wölbwiderstand CA bezeichnet. Der Index A macht den
Bezug auf die Drillachse A kenntlich.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 496
A A
AAA dAA
dAC
2
2 1
In der Literatur werden auch die Bezeichnungen „Wölbflächenmoment 2. Grades“ und „sek-
torielles Trägheitsmoment“ verwendet, alternative Formelzeichen sind I , Iw und A , wobei
sich I , Iw bzw. A ohne weiteren Index auf die Achse durch den Schubmittelpunkt beziehen.
Man sollte deshalb den Bezug auf eine beliebige Drillachse A durch einen weiteren Index
kenntlich machen, also z.B. I ,A.
Bei Bezug auf die Drillachse durch den Schubmittelpunkt wird meist kein Index ergänzt, al-
lerdings schreibt man praktisch nicht C, sondern CM.
Fortan werden auch in diesem Skript die Bezeichnungen I und CM als gleichwertige Alterna-
tiven verwendet. I bietet sich besonders dann an, wenn man Analogiebetrachtungen be-
treibt und einen Vergleich mit den Querschnittsgrößen Iy oder Iz anstrebt (vgl. Abschnitt
4.4.4.3).
Unter Verwendung des Zusammenhangs zwischen Grundverwölbung A und Einheitsver-
wölbung A kann der Wölbwiderstand CA einfacher ausgedrückt werden:
A
AA dAC2
Beweis:
Nach Einsetzen von 0AAA in die Gleichung für CA und unter Berücksichtigung der
Tatsache, dass 0A eine Konstante ist, die aus dem jeweiligen Integral herausgezogen wer-
den kann, ergibt sich nach mehreren Rechenschritten:
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 497
2
2
2
00
2
2
00
2
2
2
00
2
2
00
2
2
00
2
2
00
2
2
0
2
0
1
21
2
112
12
21
2
)(1
)(
A
A
A
A
A
A
AA
A
AA
A
AA
A
A
A
A
AA
AA
A
A
A
A
A
AA
A
A
A A A
AAA
A
A
A
A
A
AA
A
A
A A
AAAAA
dAA
dA
AdAdAA
AdAdA
dAA
dAdAA
dAA
dAdAdA
dAdAdAdAA
dAdAdA
dAA
dAC
Weil bei Beanspruchung allein durch Torsion die Verwölbung A im Mittel gleich null sein
muss, ist 0A
A dA , und es verbleibt
A
AA dAC2
q.e.d.
Das sekundäre Torsionsmoment Mx,s kann jetzt in übersichtlicher Form notiert werden:
Asx CEM ,
4.4.4.3 Analogie Biegetheorie - Wölbkrafttorsion
Im Rahmen der Theorie zur Wölbkrafttorsion wird eine neue Schnittgröße eingeführt – das
Wölbbimoment M .
Das Wölbbimoment M hat den Charakter einer Spannungsresultierenden.
In etwa so, wie es sich bei einem Biegemoment, z.B. My bei Biegung um die y-Achse, um
eine Resultierende der Spannungen unter Berücksichtigung der Verteilung über den Quer-
schnitt handelt, ist das Wölbbimoment M die Resultierende der Wölbnormalspannungen
unter Berücksichtigung der zum betrachteten Querschnittspunkt gehörenden Verwölbung .
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 498
Für ein Biegemoment My gilt:
A
y dAzM und zI
M
y
y
In Analogie zu dieser vertrauten Schreibweise gilt für das Wölbbimoment M :
A
AAA dAsxsxM )(),()( ,,
Mit )()(),(, xsExs AA folgt:
A
A
A
A
AAA CxEdAsxEdAsxsxM )()()()(),()(2
,,
Damit gilt für die Wölbnormalspannungen :
)()(
),(,
, sC
xMxs A
A
A
A
Noch deutlicher wird die Analogie der Gleichungen, wenn statt CA das alternative Formelzei-
chen I ,A verwendet wird:
)()(
),(,
,
, sI
xMxs A
A
A
A
Dabei ist stets der Bezug auf eine bestimmte Drillachse zu beachten (hier: Index A).
Das Wölbbimoment M besitzt die Einheit [kNm²] oder [kNcm²]. Leider entzieht sich M im
Fall eines allgemeinen Querschnitts der konkreten Vorstellbarkeit. Im konkreten Fall eines
Doppel-T-Profils kann man sich dagegen die Wirkungsweise von M gut verdeutlichen (vgl.
Abschnitt 4.4.10 „Wölbkrafttorsion anschaulich“), es wird in diesem Zusammenhang auch
das „Moment der Momente“ genannt.
Bei Betrachtung der Formel für das sekundäre Torsionsmoment Mx,s kann festgestellt wer-
den, dass das sekundäre Torsionsmoment Mx,s die Ableitung des Wölbbimomentes M ist,
ebenso wie bei der Balkenbiegung die Querkraft die Ableitung des Biegemomentes ist.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 499
)()()(, xMxCExM Asx
Analogie Biegetheorie: )()( xMxV yz
Der aus dem sekundären Torsionsmoment Mx,s resultierende Schubfluss T beträgt
s
dsstsxExsT0
)()()(),(
Das Integral erhält die Bezeichnung S ,A und wird sektorielles statisches Moment oder Wölb-
flächenmoment 1. Grades genannt. In der Literatur wird teilweise das Formelzeichen A ver-
wendet.
s
A dsstssS0
, )()()(
S ,A(s) ist eine über den Querschnitt veränderliche Querschnittsgröße mit der Einheit [cm4].
Aus )()()(, xMxCExM Asx folgt:
A
sx
C
xMxE
)()(
,
Setzt man diese Beziehung und S ,A in die Gleichung für die sekundären Schubspannungen
ein, so wird unmittelbar die Analogie zur Theorie der Balkenbiegung deutlich:
)(
)()(
)(
)()(
)(
),(),(
,
,,,,
stI
sSxM
stC
sSxM
st
xsTxs
A
Asx
A
Asx
Analogie Biegetheorie: tI
SV
y
yz
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 500
Wölbkrafttorsion Entsprechung in der Biegetheorie
Größe Bezeichnung Einheit Größe Bezeichnung Einheit
M Wölbbimoment kNcm² -My bzw. -
Mz Biegemoment kNcm
Mx,s sekundäres Torsions-
moment kNcm Vz bzw. Vy Querkraft kN
CA =I ,A Wölbwiderstand cm6 Iy bzw. Iz
Flächenträg-
heitsmoment
2. Ordnung
cm4
S ,A sektorielles statisches
Moment cm
4 Sy bzw. Sz
statisches Mo-
ment cm
3
A Wölbordinate cm² z bzw. y Koordinate cm
Wölbnormalspannung kN/cm² Normalspannung kN/cm²
Wölbschubspannung kN/cm² Schubspannung kN/cm²
Tabelle 4-11: Entsprechungen bei Wölbkrafttorsion und Biegetheorie
4.4.5 Die Differentialgleichung der gemischten Torsion
Das (gesamte / resultierende) Torsionsmoment im Stab setzt sich aus den beiden Anteilen
„Primäre Torsion“ Mx,p (Saint Venant) und „sekundäre Torsion“ Mx,s (Wölbkrafttorsion) zu-
sammen. Die Addition der beiden Anteile liefert das Elastizitätsgesetz der gemischten Torsi-
on:
Hinweis: In der Literatur wird meistens der Begriff der Wölbkrafttorsion auch dann verwendet, wenn es sich nicht
ausschließlich um Wölbkrafttorsion handelt. In diesem Umdruck wird der Begriff „gemischte Torsion“ eingeführt,
der den Sachverhalt, dass zwei Arten am Abtrag eines Torsionsmomentes beteiligt sein können, treffender be-
schreibt.
ATsxpxx CEIGMMM ,,
Es wird ein infinitesimal kleines Stabelement mit der Länge dx betrachtet. Auf den Stab soll
ein über die Stablänge stetig veränderliches Streckentorsionsmoment mT (Einheit: kNm/m)
einwirken.
Bild 4-117: Gleichgewicht am Stabelement der Länge dx
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 501
Die Gleichgewichtsbedingung am Element der Länge dx lautet:
0)( xxxT MdxMMdxm
Tx mM
Einmaliges Ableiten des Elastizitätsgesetzes der gemischten Torsion und Einsetzen der
Gleichgewichtsbedingung ergibt die Differentialgleichung der gemischten Torsion:
TTA mIGCE DGL der gemischten Torsion
(Hinweis: diese DGL wird in der Literatur häufig als DGL der Wölbkrafttorsion bezeichnet, auch wenn sie Anteile
aus St. Venantscher Torsion enthält).
4.4.6 Lösung der Differentialgleichung der gemischten Torsion
4.4.6.1 Vorbemerkung
Vorsorglich sei noch einmal erwähnt, dass sich alle Berechnungen auf eine definierte Drill-
achse beziehen, um die sich der Querschnitt unter Torsion verdrillt. Bisher und im Folgenden
ist das die willkürlich gewählte Achse durch den Punkt A.
Wie im Abschnitt 4.4.8 noch beschrieben werden wird, gibt es eine natürliche Drillruheachse,
die der Stab, wenn er sich frei verdrillen kann, von sich aus wählt. Kann sich der Stab nicht
frei verdrillen, weil ihm durch entsprechende Randbedingungen (Lagerungen, Festhaltungen,
etc.) eine andere als die natürliche Drillachse aufgezwungen wird, spricht man von einer ge-
bundenen Drillachse bzw. von einer Zwangsdrillachse.
Auf die Herleitung der Berechnungsformeln hat dieser Umstand keinen Einfluss. Es ist aber
zu bedenken, dass die Berechnungsergebnisse für unterschiedliche Drillachsen im Allge-
meinen gänzlich verschieden sind. Deshalb sollte aus Gründen der Eindeutigkeit die der
Berechnung zugrunde liegende Drillachse bei den jeweiligen Formelzeichen stets in Form
eines Index angegeben werden.
Einschränkung:
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 502
Die folgenden Ausführungen und Herleitungen gelten für Stäbe mit über die Stablänge unve-
ränderlichem Querschnitt und konstanten Materialeigenschaften. Für andere Fälle sind die
Zusammenhänge komplizierter und die Formeln umfangreicher.
4.4.6.2 Der Abklingfaktor
Die Differentialgleichung (DGL) der gemischten Torsion ist eine gewöhnliche DGL vierter
Ordnung.
Der homogene Teil der DGL lautet:
0TA IGCE
Nach Division durch E·CA erhält man
02
A
T
CE
IG
mit
A
T
CE
IG
heißt Abklingfaktor und hat die Einheit [1/cm]. ist für die gängigen Walzprofile in Tabel-
lenwerken enthalten, wobei zu beachten ist, dass die Werte für eine Drillachse gelten, die
gleich der Schubmittelpunktsachse ist.
dient nicht nur der einfacheren Schreibweise der DGL, sondern ist in Verbindung mit der
Stablänge l außerdem ein Maß dafür, welche Art der Torsion bei einem Querschnitt über-
wiegt.
Grenzfälle:
l : Es liegt reine St. Venantsche Torsion vor ( )0ACE
0l : Es liegt reine Wölbkrfattorsion vor ( )0TIG
In der Praxis wird sich ein Stab selten exakt einem der Grenzfälle zuordnen lassen.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 503
Auch die Art der Belastung hat einen Einfluss auf die Art der Torsion. In Bild 4-118 ist die
Größe des tatsächlichen Wölbbimomentes M ( )im Verhältnis zum Wölbbimoment bei reiner
Wölbkrafttorsion M ( =0) in Abhängigkeit vom Produkt ·l (im Bild genannt) und in Abhän-
gigkeit von der Belastungsart (Einzeltorsionsmoment, Streckentorsionsmoment, Wölbbimo-
mente an den Stabenden) angetragen.
Bild 4-118: Abgrenzung zwischen St. Venantscher Torsion und Wölbkrafttorsion
Quelle: Kohlbrunner/Basler, Torsion, Springer-Verlag 1966
Als brauchbare Werte für die Praxis können folgende Grenzen des Produktes ·l dienen:
·l < 0,5 reine Wölbkrafttorsion
≤ ·l ≤ 10 gemischte Torsion
·l > 10 reine St. Venantsche Torsion
Beispiel: Torsionsstab mit Profil HEA 400 oder Profil RHP 200x120x6,3
Es wird ein Torsionsstab mit einer Länge von 10,0 m betrachtet. Als Querschnitt stehen ein
Walzprofil HEA 400 und ein Rechteckhohlprofil 200 x 120 x 6,3 zur Auswahl.
Als Drillachse wird die Achse durch den Schubmittelpunkt gewählt, die für diese Profile iden-
tisch mit der Schwerachse ist.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 504
Variante HEA 400:
Der Querschnitt wird durch seine Profilmittellinie idealisiert.
Bild 4-119: Abmessungen HEA 400 Bild 4-120: Mittellinienmodell mit Festlegung
der Koordinate s
Für den Steg ist rt,M = 0, für die Flansche jeweils +/- 18,55 cm
Bild 4-121: Verlauf von rt,M Bild 4-122: Verlauf der Einheitsverwölbung M
An den Flanschecken beträgt M jeweils ²3,2780,1555,18 cmM
Hinweis: wegen der Symmetrie gilt: MM keine Normierung erforderlich.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 505
Der Wölbwiderstand CM ergibt sich durch Integration:
A
MM dAC2
Bei numerischer Integration (mit Integraltafeln) beträgt der Integrationsfaktor für die Überla-
gerung des dreieckigen M-Verlaufs mit sich selbst 1/3, wobei dsstdA )( ist.
6134.943.20,159,13,2783,2783
14 cmCM
Für dieses Standard-Walzprofil könnte der Wert auch aus einem Tabellenwerk entnommen
werden, z.B. aus den Schneider-Bautabellen. Hierzu ist die Kenntnis der alternativen Be-
zeichnung des Wölbwiderstandes notwendig:
CM wird in der Literatur auch mit I bezeichnet. Zu beachten ist die Bezugsachse. Das Bei-
spiel wird mit Bezug auf die Schubmittelpunktsachse berechnet, der Tabellenwert bezieht
sich ebenfalls darauf, kann also verwendet werden.
Tabellenwert: 63102942 cmI
Dieser Wert entspricht der Handrechnung.
Hinweise:
Querschnittswerte in Tabellenwerken werden häufig mit „genaueren“ Methoden ermittelt, etwa mit FEM. Deshalb
ergeben sich teilweise geringfügige Unterschiede.
In diesem Zusammenhang sei noch auf eine etwas unglückliche Formulierung in den Schneider Bautabellen
hingewiesen: Als Einheit ist in der Tabelle cm6·10
-3 angegeben. Das bedeutet, dass die tabellierten Werte mit
1000 zu multiplizieren sind, um sie in der Einheit cm6 zu erhalten.
Für das Torsionsflächenmoment 2. Grades (St. Venantscher Torsionswiderstand) wird der
Tabellenwert verwendet.
4189 cmIT
Der Abklingfaktor kann nun berechnet werden.
100498,0000.942.221000
1898100cm
CE
IG
M
T
Auch ist in den Bautabellen tabelliert und könnte direkt abgelesen werden.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 506
Für eine Stablänge von 10,0 m ergibt sich
98,4100000498,0l .
Der Wert ist größer als 0,5 und kleiner als 10, es handelt sich um ein Problem der gemisch-
ten Torsion, bei dem sich sowohl Anteile aus St. Venantscher Torsion als auch Anteile aus
Wölbkrafttorsion an der Abtragung von Torsionsmomenten beteiligen.
Variante RHP 200 x 120 x 6,3:
Der Querschnitt wird näherungsweise unter Vernachlässigung der Kantenausrundungen als
scharfkantig berandet betrachtet.
Bild 4-123: Abmessungen Bild 4-124: Idealisierung durch Mittellinie
Der Verlauf der Einheitsverwölbung M wird tabellarisch berechnet.
²24,22037,1137,19)63,00,12()63,00,20()()( cmthtbAm
²514,4
63,0
37,11
63,0
37,192
24,2202
)(
2cm
st
ds
A
s
m
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 507
Punkt
i )1(iM
+ rt,M · s - · s / t = )(iM
[-] [cm²] [cm] [cm] [cm²] [cm] [cm] [cm²]
0 0
1 0 + 5,685 · 9,685 - 4,514 · 9,685 / 0,63 = -14,33
2 -14,33 + 9,685 · 11,37 - 4,514 · 11,37 / 0,63 = 14,33
3 14,33 + 5,685 · 19,37 - 4,514 · 19,37 / 0,63 = -14,33
4 -14,33 + 9,685 · 11,37 - 4,514 · 11,37 / 0,63 = 14,33
5 14,33 + 5,685 · 9,685 - 4,514 · 9,685 / 0,63 = 0,00
Tabelle 4-12: Berechnung der Grundverwölbung M
Bild 4-125: Verlauf der Einheitsverwölbung M
Der Wölbwiderstand CM ergibt sich durch Integration:
A
MM dAC2
Bei numerischer Integration (mit Integraltafeln) beträgt der Integrationsfaktor für die Überla-
gerung des dreieckigen M-Verlaufs mit sich selbst 1/3, wobei dsstdA )( ist.
62651685,563,033,1433,143
14685,963,033,1433,14
3
14 cmCM
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 508
Torsionsflächenmoment 2. Grades (St. Venantscher Torsionswiderstand):
422
1988
63,0
37,112
63,0
37,192
)37,1137,19(4
)(
4cm
st
ds
AI m
T
(Der Anteil IT,offen = 5,1 cm4 kann vernachlässigt werden).
Der Abklingfaktor beträgt
1538,0265121000
19888100cm
CE
IG
A
T
Für eine Stablänge von 10,0 m ergibt sich
105381000538,0l .
Der Wert ist viel größer als 10, es handelt sich eindeutig um ein Problem der St. Venant-
schen Torsion, der Anteil des sekundären Torsionsmomentes infolge Wölbkrafttorsion am
gesamten Torsionsmoment ist vernachlässigbar.
Aus diesem Grund sind in den meisten Tabellenwerken für Hohlprofile auch keine Werte für
CM bzw. I aufgeführt, sie werden in der Praxis fast nie benötigt.
4.4.6.3 Lösungsansatz
Die Lösung der Differentialgleichung der gemischten Torsion kann in einen homogenen An-
teil und in einen partikulären Anteil aufgespalten werden.
parthom
Unter Verwendung des Abklingfaktors setzt sich der homogene Anteil der Differentialglei-
chung der gemischten Torsion aus vier linear unabhängigen Teillösungen zusammen:
432
2
2
1hom coshsinh CxCx
Cx
C
Die partikuläre Lösung ist vom Lastbild der äußeren Belastung abhängig.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 509
Die folgenden Ausführungen gelten für ein in Stablängsrichtung x linear veränderliches Stre-
ckentorsionsmoment mT.
l
xmmm TTT 1,0,
Bild 4-126: Dem Lösungsansatz zugrunde liegendes Lastbild
Damit können die relevanten Fälle eines konstanten (mT,1 = 0) und eines linear veränderli-
chen (mT,1 ≠ 0) Streckentorsionsmomentes behandelt werden. Im Fall einer Belastung durch
Einzeltorsionsmomente MT ist auch mT,0 = 0. Die Lösung der DGL ergibt sich dann aus den
Rand- und Übergangsbedingungen.
Für in höherer Ordnung veränderliche Streckentorsionsmomente oder solche, deren Verlauf
z.B. auf einer Sinus- oder Cosinus-Funktion basiert, ist eine andere Lösung zu bestimmen
(hier nicht vorgeführt).
Für die partikuläre Lösung wird ein Polynomansatz gewählt:
DxCxBxApart
23
CxBxApart 23 2
BxApart 26
Apart 6
0part
Einsetzen der 2. und 4. Ableitung sowie der Funktion für das Streckentorsionsmoment in die
DGL der gemischten Torsion ergibt:
TTA mIGCE
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 510
l
xmmBxAIG TTT 1,0,)26(
Die Lösung erfolgt mittels Koeffizientenvergleich.
l
xmxAIG TT 1,6
lIG
mA
T
T
6
1,
0,2 TT mBIG T
T
IG
mB
2
0,
Auf die Bestimmung der Koeffizienten C und D kann verzichtet werden, denn innerhalb der
Summe aus partikulärer und homogener Lösung kann C in C3 und D in C4 eingebaut werden.
Damit lautet der allgemeine Lösungsansatz:
2
1,0,432
2
2
1
20,31,
432
2
2
1
3
1
2
1coshsinh
26coshsinh
xl
xmm
IGCxCx
Cx
C
xIG
mx
lIG
mCxCx
Cx
C
TT
T
T
T
T
T
Für die eigentliche Differentialgleichung werden auch die Ableitungen dieses Lösungsansat-
zes benötigt.
2
1,0,432
2
2
1
3
1
2
1coshsinh x
l
xmm
IGCxCx
Cx
CTT
T
xl
xmm
IGCx
Cx
CTT
T
1,0,321 2
2
1sinhcosh
l
xmm
IGxCxC TT
T
1,0,21
1coshsinh
lIG
mxCxC
T
T 1,
21 sinhcosh
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 511
Die Bestimmung der Koeffizienten C1 bis C4 erfolgt mit Hilfe der Rand- und Übergangsbedin-
gungen des Systems.
4.4.6.4 Randbedingungen
Gabellager
Ein Gabellager verhindert die Verdrehung des Stabes:
0
Die Verwölbungen u sind ungehindert möglich. Ohne Behinderung der Verwölbungen u ent-
stehen keine Wölbnormalspannungen :
0, AA E 0
Da ohne Wölbnormalspannungen auch kein Wölbbimoment M auftritt, kann diese Rand-
bedingung alternativ auch aus der Gleichung für M abgeleitet werden:
0ACEM 0
Bild 4-127: Gabellager
Die weiteren Randbedingungen eines Gabellagers 0u , 0v und 0w werden zur Lö-
sung der DGL nicht benötigt.
Allgemeine Hinweise zu Gabellagern siehe Abschnitt 4.3.9.
Einspannung
Wie ein Gabellager verhindert auch eine Einspannung die Verdrehung des Stabes:
0
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 512
Im Gegensatz zu einem Gabellager werden die Verwölbungen u des Querschnitts vollstän-
dig behindert.
0AAu 0
Bild 4-128: Einspannung
Die weiteren Randbedingungen einer Einspannung 0wv und 0zy werden zur
Lösung der DGL nicht benötigt.
Freies Stabende (ohne Wölbbehinderung)
An einem freien Stabende sind Verwölbungen u ungehindert möglich. Ohne Behinderung der
Verwölbungen u entstehen keine Wölbnormalspannungen :
0, AA E 0
Da ohne Wölbnormalspannungen auch kein Wölbbimoment M auftritt, kann diese Rand-
bedingung alternativ auch aus der Gleichung für M abgeleitet werden:
0ACEM 0
Die Gleichgewichtsbedingung am freien Ende lautet: Mx = MT, wobei MT ein evtl. angreifen-
des äußeres Torsionsmoment ist.
TAT MCEIG
Bild 4-129: Freies Stabende
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 513
Freies Stabende (mit vollständiger Wölbbehinderung)
Eventuell ist für die Praxis noch der Sonderfall von Bedeutung, dass die Verwölbungen am
freien Stabende behindert sind, z.B. durch eine sehr dicke Stirnplatte
Dann gilt
0AAu 0
und
Tx MM TAT MCEIG ''''
Die Gleichgewichtsbedingung am freien Ende lautet: Mx = MT, wobei MT ein evtl. angreifen-
des äußeres Torsionsmoment ist.
TAT MCEIG
Bild 4-130: Freies Stabende mit vollständiger Wölbbehinderung
Stabende mit Dreh- und/oder Wölbfeder
Bei den bisher beschriebenen Randbedingungen handelt es sich um Grenzfälle, bei denen
Verdrehungen bzw. Verwölbungen u entweder gar nicht oder vollständig behindert wer-
den. Außer diesen Grenzfällen ist es möglich, dass das Stabende an eine Dreh- und/oder
Wölbfeder angeschlossen ist. Unter der Voraussetzung einer linearelastischen Federkennli-
nie ergeben sich folgende Randbedingungen, wobei zu unterscheiden ist, ob diese Federn
am Anfang oder am Ende des betrachteten Stababschnittes angreifen.
Drehfeder:
Einheit: kNcm / rad
Stabanfang (x = 0): )0()0( CM x CCEIG AT
Stabende (x = l): )()( lClM x CCEIG AT
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 514
Bild 4-131: Stabende mit Drehfeder
Wölbfeder:
Einheit: kNcm³ / rad
Stabanfang (x = 0): )0()0( CM CCE A
Stabanfang (x = l): )()( lClM CCE A
Bild 4-132: Stabende mit Wölbfeder
4.4.6.5 Übergangsbedingungen
Übergangsbedingungen sind für alle Stellen des Stabes zu formulieren, an denen eine Zu-
standsgröße eine sprunghafte Änderung erfährt. Übergangsbedingungen gibt es bei
Auflagern,
an Einleitungsstellen äußerer Einzeltorsionsmomente,
an Angriffspunkten von Dreh- oder Wölbfedern,
an Stellen mit sprunghafter Querschnittsänderung.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 515
Der letztgenannte Fall stellt unter der der Voraussetzung, dass zwischen den beiden ver-
schiedenen Querschnitten eine Stirnplatte eingeschweißt ist, eine Wölbfeder dar (an dieser
Stelle nicht weiter behandelt).
Geht man davon aus, dass es keine sprunghafte Änderung des Querschnitts gibt, dann kön-
nen folgende Übergangsbedingungen formuliert werden:
1.) Der Verlauf der Verdrehung ist stetig (kein Sprung):
rechtslinks
2.) Der Verlauf der Verwölbung u ist stetig (kein Sprung):
rechtslinks uu
rechtslinks
3.) Der Verlauf der Wölbnormalspannungen bzw. des Wölbbimomentes M ist stetig (kein
Sprung):
rechtslinks ,, bzw. rechtslinks MM ,, rechtslinks
4.) Die Gleichgewichtsbedingung muss erfüllt sein: Mx = 0
Bild 4-133: Gleichgewicht als Übergangsbedingung
0,, Trechtsxlinksx MMM
0)()( TrechtsATlinksAT MCEIGCEIG
Unter Berücksichtigung der Bedingung 2.) rechtslinks vereinfacht sich die Bedingung 4.) zu
0)( TrechtslinksA MCE .
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 516
Beispiel: U-Profil U200 mit Linienlast in Stegblechebene
Vorbemerkung: Es soll die Lösung der DGL demonstriert werden ohne Nachweis der Trag-
fähigkeit. Deshalb werden Einwirkung und Schnittgrößen ohne Index „Ed“ dargestellt. Die
Biegebeanspruchung ist hier nicht Gegenstand der Berechnungen.
Bild 4-134: Abmessungen U 200 Bild 4-135: System und Belastung
Bezüglich der Drillruheachse, die durch den Schubmittelpunkt M verläuft, entsteht durch die
Belastung in Stegblechebene ein Streckentorsionsmoment mT.
mmey 55,232/5,81,204,39
mkNmmconstm TT /118,00,502355,0. 0,
01,Tm
Weil sich der Querschnitt bei freier Drillung um die Schubmittelpunktsachse verdreht, können
für die Querschnittswerte die tabellierten Werte verwendet werden.
49,11 cmIT
69070 cmICM
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 517
Abklingfaktor:
10225,0907021000
9,118100cm
CE
IG
A
T
Für die Stablänge von 3,0 m ergibt sich 75,63000225,0l (gemischte Torsion).
Die Lösung der DGL erfolgt unter Verwendung der Randbedingungen, die an den Stellen der
Auflager x = 0 und x = l = 3,0 m bekannt sind.
Zur Erinnerung:
10cosh
00sinh
Alle Einheiten werden konsequent in [kN] und [cm] eingesetzt.
Auflager links: Einspannung
0)0(x
03
1
2
1coshsinh 2
1,0,432
2
2
1 xl
xmm
IGCxCx
Cx
CTT
T
000
03
1
2
10)0(cosh)0(sinh 2
0,432
2
2
1
lm
IGCC
CCT
T
042
2 CC
0)0(x
022
1sinhcosh 1,0,3
21 xl
xmm
IGCx
Cx
CTT
T
000
022
10sinh0cosh 0,3
21
lm
IGC
CCT
T
031 C
C
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 518
Auflager rechts: Gabellager
0)( lx
03
1
2
1coshsinh 2
1,0,432
2
2
1 xl
xmm
IGCxCx
Cx
CTT
T
003
1
2
1)(cosh)(sinh 2
0,432
2
2
1 ll
lm
IGClCl
Cl
CT
T
02
1)(cosh)(sinh 2
0,432
2
2
1 lmIG
ClClC
lC
T
T
0)( lx
01
coshsinh 1,0,21l
xmm
IGxCxC TT
T
001
coshsinh 0,21l
lm
IGlClC T
T
01
coshsinh 0,21 T
T
mIG
lClC
Damit stehen vier Gleichungen zur Bestimmung von vier Unbekannten zur Verfügung, die
zusammen ein lineares Gleichungssystem bilden.
T
T
T
T
IG
m
IG
lm
C
C
C
C
ll
lll
0,
2
0,
4
3
2
1
22
2
2
0
0
00)(cosh)(sinh
1)(cosh)(sinh
0101
101
0
Eine allgemeine, analytische Lösung gestaltet sich schwierig, so dass vorzugsweise die
konkreten Zahlenwerte eingesetzt werden und die Lösung direkt bestimmt wird. das kann
z.B. mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms erfolgen.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 519
Bild 4-136: Ausschnitt aus MS Excel-Arbeitsblatt
Lösung:
00914912,0
000205691,0
1063004,4
1062719,4
4
3
6
2
6
1
C
C
C
C
Diese Koeffizienten können nun in die Lösung der DGL bzw. deren Ableitungen eingesetzt
werden, und man erhält mit den entsprechenden Formeln Mx,p, Mx,s, Mx und M . Auch dieser
Berechnungsschritt kann vorteilhaft mit einer Tabellenkalkulation durchgeführt werden. Bei-
spielhaft wurden diese Schnittgrößen für Schnitte im Abstand von 15 cm berechnet, jeweils
in [kNcm] bzw. [kNcm²].
Profil: U200
System: 1 Feld, l= 3 m
Randbedingungen
links: rechts:
Querschnittswerte:
I = 9070 cm6
IT = 11,9 cm4
Belastung:
mT,links = 0,11775 kNm/m
mt,rechts = 0,11775 kNm/m
= 0,022495865 cm-1
Lösung des Gleichungssystems mit 4 Unbekannten
C1 C2 C3 C4
1. 0 0 1976,034858 0 1
2. 0 44,45261363 0 1 0
3. 0,054971989 842777,6968 842780,0133 300 1
4. 1,2216E-06 426,4994077 426,5005801 0 0
-4,62719E-06 4,63004E-06 0,000205691 -0,00914912
Einspannung Gabellager
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 520
Tabelle 4-13: Berechnungsergebnisse
Diskussion der Ergebnisse
Nun sollen die Ergebnisse hinsichtlich ihrer Plausibilität diskutiert werden. Diese Interpretati-
on ist gleichsam eine Kontrolle der Berechnung, z.B. ob alle Randbedingungen mit den Vor-
gaben übereinstimmen.
Zur leichteren Interpretierbarkeit werden die Tabellenwerte in Diagrammform dargestellt. Die
horizontale Achse entspricht der Trägerlängsrichtung, links befindet sich die Einspannung
und rechts das Gabellager.
x ' '' ''' Mx,p Mx,s Mx M
[m] [rad] [rad/cm] [rad/cm²] [rad/cm³] [kNcm] [kNcm] [kNcm] [kNcm²]
0,00 0,00000000 0,00000000 0,00000341 -0,00000010 0,00 19,83 19,83 -649,21
0,15 0,00032952 0,00004063 0,00000208 -0,00000007 3,92 14,14 18,06 -396,82
0,30 0,00113489 0,00006439 0,00000114 -0,00000005 6,21 10,09 16,29 -216,79
0,45 0,00220140 0,00007613 0,00000046 -0,00000004 7,34 7,19 14,53 -88,43
0,60 0,00337598 0,00007929 -0,00000002 -0,00000003 7,64 5,12 12,76 3,02
0,75 0,00454957 0,00007634 -0,00000036 -0,00000002 7,36 3,64 11,00 68,08
0,90 0,00564460 0,00006906 -0,00000060 -0,00000001 6,66 2,57 9,23 114,21
1,05 0,00660604 0,00005871 -0,00000077 -0,00000001 5,66 1,80 7,46 146,73
1,20 0,00739512 0,00004621 -0,00000089 -0,00000001 4,45 1,24 5,70 169,36
1,35 0,00798486 0,00003222 -0,00000097 0,00000000 3,11 0,82 3,93 184,72
1,50 0,00835692 0,00001726 -0,00000102 0,00000000 1,66 0,50 2,16 194,56
1,65 0,00849959 0,00000169 -0,00000105 0,00000000 0,16 0,23 0,40 200,02
1,80 0,00840633 -0,00001415 -0,00000106 0,00000000 -1,36 0,00 -1,37 201,73
1,95 0,00807512 -0,00002999 -0,00000105 0,00000000 -2,89 -0,24 -3,13 199,88
2,10 0,00750817 -0,00004553 -0,00000102 0,00000000 -4,39 -0,51 -4,90 194,26
2,25 0,00671216 -0,00006047 -0,00000097 0,00000000 -5,83 -0,84 -6,67 184,23
2,40 0,00569907 -0,00007441 -0,00000089 0,00000001 -7,17 -1,26 -8,43 168,63
2,55 0,00448750 -0,00008684 -0,00000076 0,00000001 -8,37 -1,83 -10,20 145,66
2,70 0,00310485 -0,00009709 -0,00000059 0,00000001 -9,36 -2,61 -11,97 112,69
2,85 0,00159043 -0,00010422 -0,00000035 0,00000002 -10,05 -3,69 -13,73 65,93
3,00 0,00000000 -0,00010697 0,00000000 0,00000003 -10,31 -5,19 -15,50 0,00
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 521
Bild 4-137: Verdrehung
Verdrehung
An der Einspannstelle (x = 0) und am
Gabellager (x = 3,0 m) ist die Verdre-
hung = 0.
Man erkennt, dass im Bereich der Ein-
spannung die Verdrehung weniger stark
zunimmt als im Bereich des Gabella-
gers. Das liegt an der Wölbbehinde-
rung, denn dadurch wird der Quer-
schnitt hinsichtlich Torsion lokal steifer.
Man kann sich das auch als eine Art
ideelle Torsionssteifigkeit G·IT* vorstel-
len.
Bild 4-138: Verdrillung '
Verdrillung ‘
An der Einspannstelle (x = 0) ist ‘ = 0.
Das stimmt mit der Randbedingung
einer Einspannung (u = ‘ = 0) überein.
Am Gabellager (x = 3,0 m) ist eine
Verwölbung u und damit auch eine
Verdrillung ‘ ungehindert möglich.
Weil ‘ die Ableitung von ist, wird
damit auch klar, dass im Bereich des
Gabellagers zur Stabmitte hin stärker
zunimmt als im Bereich der Einspan-
nung. Das primäre Torsionsmoment
Mx,p ist direkt proportional zu ‘. An der
Einspannstelle ist ‘ = 0, weshalb dort
die Abtragung von Mx zu 100 % durch
Wölbkrafttorsion erfolgt.
Bild 4-139: 2. Ableitung der Verdrehung
2. Ableitung ‘‘ der Verdrehung
Der Verlauf des Wölbbimomentes M ist
direkt proportional zu ‘‘. M ist die
Resultierende der Wölbnormalspan-
nungen . Diese sind dort gleich null,
wo die Verwölbung u nicht behindert
wird. Das ist am Gabellager der Fall. An
der Einspannstelle wird die Verwölbung
vollständig behindert, weshalb dort die
Spannungen und damit ‘‘ am größ-
ten sind.
-0,0010
0,0000
0,0010
0,0020
0,0030
0,0040
0,0050
0,0060
0,0070
0,0080
0,0090
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
Schnitt x [m]
[rad]
-0,00015
-0,00010
-0,00005
0,00000
0,00005
0,00010
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
Schnitt x [m]
' [rad/cm]
-0,000002
-0,000001
0,000000
0,000001
0,000002
0,000003
0,000004
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
Schnitt x [m]
'' [rad/cm²]
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 522
Bild 4-140: 3. Ableitung der Verdrehung
3. Ableitung ‘‘‘ der Verdrehung
Der Verlauf des sekundären Torsions-
momentes Mx,s ist direkt proportional zu
‘‘‘. Man erkennt, dass an der Ein-
spannstelle ‘‘‘ dem Betrag nach maxi-
mal ist. Wie bereits aus der Kurve für ‘
abgeleitet, erfolgt dort die Abtragung
des Torsionsmomentes zu 100 % durch
Wölbkrafttorsion.
Bild 4-141: Torsionsmoment Mx (insgesamt)
Torsionsmoment Mx (insgesamt)
An der Einspannstelle beträgt Mx =
19,83 kNcm und am Gabellager Mx = -
15,50 kNcm. Das sind auch die Aufla-
gerreaktionen des Systems, die mit der
Belastung im Gleichgewicht stehen
müssen.
Belastung: 0,11775 · 300 = 35,33 kNcm
Reaktion: 19,83 + 15,50 = 35,55 kNcm
OK
Bemerkenswert ist, dass Mx an den
beiden Trägerenden unterschiedlich
groß ist: bei reiner St. Venantscher
Torsion wäre Mx an beiden Trägeren-
den gleich groß. Die Auswirkung der
Wölbbehinderung an der Einspannstelle
kann man sich als Zunahme einer
(ideellen) Torsionssteifigkeit G·IT* vor-
stellen, und diese größere Steifigkeit
zieht einen größeren Anteil von Mx auf
sich als das Gabellager ohne Wölbbe-
hinderung.
-0,00000012
-0,00000010
-0,00000008
-0,00000006
-0,00000004
-0,00000002
0,00000000
0,00000002
0,00000004
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
Schnitt x [m]
''' [rad/cm³]
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
Schnitt x [m]
Mx [kNcm]
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 523
Bild 4-142: Primäres Torsionsmoment Mx,p
Bild 4-143: Sekundäres Torsionsmoment Mx,s
Primäres Torsionsmoment Mx,p (st.
Venant) und sekundäres Torsionsmo-
ment Mx,s (Wölbkrafttorsion):
Die Summe dieser beiden Kurven ent-
spricht dem gesamten Torsionsmoment
Mx, weshalb die Kurven im Zusammen-
hang betrachtet werden sollten.
An der Einspannstelle (x = 0) erfolgt die
Abtragung von Mx zu 100 % durch
Wölbkrafttorsion. Mx,p ist dort null. Mit
zunehmender Entfernung von der Ein-
spannstelle nimmt Mx,p rasch zu und
Mx,s entsprechend ab (Abklingfaktor !).
Im Mittelbereich des Stabes verläuft die
Kurve Mx,s relativ flach, es überwiegt
dort Mx,p. Zum Gabellager hin nimmt
Mx,s wieder zu (dem Betrag nach). Zwar
wird am Gabellager die Verwölbung
nicht direkt behindert, das Gabellager
entspricht dem Wesen nach aber der
Einleitung eines Einzeltorsionsmomen-
tes MT, und solche Diskontinuitäten
erzeugen im Allgemeinen sekundäre
Torsionsmomente Mx,s.
Bild 4-144: Wölbbimoment M
Wölbbimoment M
Der Verlauf von M ist affin zum Verlauf
von ‘‘. An der Einspannstelle ist die
Verwölbung vollkommen behindert, dort
entstehen infolge von lokalem Zwang
große Wölbnormalspannungen , und
M als deren Resultierende ist entspre-
chend groß. Am Gabellager wird die
Verwölbung nicht behindert, dort sind
die Spannungen und das Wölbbi-
moment M null.
Für Standardfälle hält die Literatur aufbereitete Lösungen bereit.
-12,0
-10,0
-8,0
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
Schnitt x [m]
Mx,p [kNcm]
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
Schnitt x [m]
Mx,s [kNcm]
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
Schnitt x [m]
M [kNcm²]
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 524
So sind z.B. in den Schneider Bautabellen Lösungen für folgende Situationen zu finden:
Kragträger mit Wölbbehinderung an der Einspannstelle und Einzeltorsionsmoment
am Trägerende,
Einfeldträger mit Gabellagern und Einzeltorsionsmoment in Feldmitte,
Einfeldträger mit Gabellagern und konstantem Streckentorsionsmoment.
4.4.7 Schnittgrößenermittlung mit der Querkraftanalogie beim Vorliegen reiner Wölbkrafttorsion
Wenn es sich bei einem torsionsbeanspruchten Stab um ein Problem der reinen Wölbkraft-
torsion handelt, bzw. wenn man aufgrund des Produktes l aus Abklingfaktor und Stab-
länge in guter Näherung von reiner Wölbkrafttorsion ausgehen kann (vgl. Abschnitt 4.4.6.2),
dann vereinfacht sich die DGL der gemischten Torsion zur DGL der reinen Wölbkrafttorsion.
Gemischte Torsion: reine WKT:
IEIGMMM Tsxpxx ,, IEMM sxx ,
Betrachtet man die DGL der reinen Wölbkrafttorsion, so fällt rein äußerlich eine starke Ähn-
lichkeit zur DGL der Biegelinie auf, die man für eine Analogiebetrachtung nutzen kann.
Wölbkrafttorsion Biegetheorie
)()( xIExM
)()( xwIExM yy
)()(, xIEMxM sx )()()( xwIExMxV yyz
)()()( , xIExMxm sxT )()()( xwIExVxq yz
Das Aussehen der jeweiligen DGL ist identisch, die jeweiligen Entsprechungen sind Tabelle
4-14 zu entnehmen.
(reine) Wölbkrafttorsion Entsprechung in der Biegetheorie
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 525
Größe Bezeichnung Einheit Größe Bezeichnung Einheit
Verdrehung rad w Durchbiegung mm
M Wölbbimoment kNm² My bzw. Mz Biegemoment kNm
Mx,s sekundäres Torsions-
moment kNm Vz bzw. Vy Querkraft kN
mT Streckentorsionsmoment kNm/m q Streckenlast kN/m
Tabelle 4-14: Querkraftanalogie bei reiner Wölbkrafttorsion, entsprechende Größen
Hinweis: Es sind die für die Größen üblichen Einheiten angegeben, bei der Berechnung sind die Einheiten wie
immer aufeinander abzustimmen (z.B. einheitlich [cm]).
Bezüglich der Lagerungsbedingungen gelten folgende Entsprechungen:
Ein Gabellager bei der WKT entspricht einem gelenkigen Auflager bei der Biegetheo-
rie.
Am gabelgelagerten Stabende sind die Verdrehung und deren 2. Ableitung null.
Analog sind am gelenkig gelagerten Stabende die Durchbiegung w und deren 2. Ab-
leitung null. Bei mehrfeldrigen Stäben kann sich am Gabellager eine Art Durchlauf-
wirkung einstellen: das Nachbarfeld erzeugt eine Wölbbehinderung, so dass M und
damit ‘‘ im Allgemeinen nicht null sind, genau so, wie bei der Biegetheorie über ei-
nem Innenauflager, auf dem der Stab zwar gelenkig aufliegt, aber selbst biegesteif
durchläuft, ein Stützmoment entsteht, so dass My und w‘‘ nicht null sind.
Eine Einspannung bei der Wölbkrafttorsion entspricht auch einer Einspannung bei der
Biegetheorie.
An der Einspannstelle ist keine Verdrehung möglich, und infolge der Behinderung
der Verwölbungen u ist auch die Verdrillung ‘ wegen u gleich null. Ent-
sprechend sind beim Biegebalken an einer Einspannstelle die Durchbiegung 0w
und der Winkel 0w , weil der Stab in der Einspannstelle lotrecht zur Einspann-
ebene eingespannt ist und aus der Einspannstelle ohne Winkel herausragt.
Die Lösung der Aufgabe besteht also in der Zuordnung der entsprechenden Größen und der
Berechnung der Schnittgrößen für einen Biegebalken (z.B. mit Hilfe von Tabellen).
Unter der Annahme reiner Wölbkrafttorsion kann die Berechnung mit Hilfe der Querkraftana-
logie und unter Verwendung tabellierter Lösungen oder unter Verwendung handelsüblicher
Stabwerksprogramme erfolgen, auch wenn diese eigentlich keine Aufgaben zur Wölbkraft-
torsion lösen können.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 526
Wichtig: Im Gegensatz zur Querkraftanalogie bei reiner St. Venantscher Torsion gibt es im
Rahmen der Querkraftanalogie bei reiner Wölbkrafttorsion eine Durchlaufwirkung. Die Tor-
sionsschnittgrößen Mx,s und M enden nicht an einem Gabellager. Diese Schnittgrößen stel-
len sich nicht nur in dem belasteten Trägerfeld ein, sondern sie entstehen auch in den übri-
gen, unbelasteten Feldern des Stabzuges. Es können also durchaus auch unbelastete Be-
reiche eines Stabzuges Torsionsschnittgrößen aufweisen.
Bild 4-145 zeigt exemplarisch ein reales System und Bild 4-146 das entsprechende Analo-
gie-System. Im Rahmen der Übung zur Wölbkrafttorsion wird dieses Beispiel vollständig ge-
zeigt.
Bild 4-145: Durch Streckentorsionsmoment belasteter, gabelgelagerter Stab
Bild 4-146 System bei Verwendung der Querkraftanalogie für reine Wölbkrafttorsion
Einander entsprechende Größen: qmT ˆ
zsx VM ˆ,
yMM
Nochmals zur Erinnerung: Die Querkraftanalogie gilt nur bei Vorhandensein bzw. un-
ter der Annahme reiner Wölbkrafttorsion.
Für den allgemeinen Fall der gemischten Torsion steht mit der sogenannten Zugstabanalo-
gie ebenfalls ein auf Analogiebetrachtungen basierendes Berechnungsverfahren zur Verfü-
gung, das aus Zeitgründen nicht behandelt werden kann (vgl. Hinweise in Abschnitt 4.6.1).
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 527
4.4.8 Natürliche Drillachse und Bestimmung des Schubmittelpunktes mit der Wölbmethode
Im Zuge der Herleitung der Einheitsverwölbung A (mit Bezug auf die willkürlich gewählte
Drillachse A) wurde postuliert, dass die Verwölbungen u des gesamten Querschnitts im Mit-
tel null sein müssen, wenn als Schnittgröße nur ein Torsionsmoment Mx und keine Normal-
kraft N vorhanden ist. Aus dieser Forderung konnte durch den Berechnungsschritt der 1.
Normierung aus der Grundverwölbung A die Einheitsverwölbung A gewonnen werden.
Bei Behinderung der Verwölbung entstehen Wölbnormalspannungen ,A, deren Resultie-
rende das Wölbbimoment M ist. Aus der Tatsache, dass ,A bzw. M auf Grundlage der
Einheitsverwölbung A berechnet werden (vgl. Formeln), kann man schließen, dass aus den
Spannungen ,A keine Normalkraft resultiert:
0)()( ,,
A
A
A
AA dAxEdAN , weil 0A
A dA ist.
Allerdings können aus den Wölbnormalspannungen ,A durchaus Biegemomente My ( ,A)
und Mz ( ,A) entstehen.
Üblicherweise werden Biegemomente auf die Schwerachsen des Querschnitts bezogen, und
man kann die aus den Wölbnormalspannungen ,A resultierenden Biegemomente in ge-
wohnter Weise notieren:
dAzMA
AAy ,, )(
dAyMA
AAz ,, )(
Bild 147: Wölbnormalspannungen am Element dA
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 528
Mit dieser Biegebeanspruchung gehen eine Verkrümmung des Stabes und Auflagerreaktio-
nen einher, die man bei alleiniger Beanspruchung durch ein Torsionsmoment Mx nicht sofort
vermuten würde.
Dieses Verhalten des Stabes unter Torsionsbeanspruchung ist in der willkürlichen Wahl ei-
ner beliebigen Drillachse A begründet, denn im Regelfall ist diese Achse A nicht jene Drill-
achse, um die sich der Stab von sich aus verdrehen würde. Vielmehr handelt es sich bei der
Drillachse A um eine Zwangsdrillachse, die dem Stab aufgezwungen wird, und deshalb han-
delt es sich bei My ( ,A) und Mz ( ,A) streng genommen um Zwangsschnittgrößen.
Zwingt man dem Stab keine definierte Drillachse auf, so wird sich der Stab nach dem Prinzip
des Energieminimums um jene Achse verdrillen, für welche einer Verdrillung der geringste
Widerstand entgegengesetzt wird.
Diese Achse heißt Drillruheachse oder natürliche Drillachse.
Die Drillruheachse verläuft durch den Schubmittelpunkt M (Schubmittelpunktsachse).
Auf den Beweis, dass die Drillruheachse der Schubmittelpunktsachse entspricht, wird an
dieser Stelle verzichtet (siehe Literatur).
Wichtig:
Wie erläutert ist stets der Bezug zur vorgegebenen Drillachse von Bedeutung, so dass in der
Regel die Formelzeichen durch einen Index, z.B. A, ergänzt werden, der den Bezug zur
Drillachse herstellt. Im Fall der Drillung um die Drillruheachse lautet der Index M. Es ist aber
üblich, im Fall der freien Drillung um die Schubmittelpunktsachse auf die Kennzeichnung der
Drillachse zu verzichten.
Grundsatz: Wenn kein Index angegeben ist, so bezieht sich die betreffende Größe in der
Regel auf Schubmittelpunktsachse (vgl. z.B. Schneider Bautabellen: Wölbwiderstand I , Ein-
heitsverwölbung , etc.)
Zur Erinnerung sei an dieser Stelle auch darauf hingewiesen, dass sich Schnittgrößen, wenn
keine weiteren Angaben gemacht sind, auf zweierlei Bezugsachsen beziehen:
Normalkräfte N und Biegemomente My und Mz beziehen sich auf die Stabachse, also
die Achse durch den Schwerpunkt S.
Querkräfte Vz und Vy, Torsionsmomente Mx sowie Wölbbimomente M beziehen sich
auf die natürliche Drillruheachse, also die Achse durch den Schubmittelpunkt M.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 529
Wesentliche Eigenschaften der natürlichen Drillachse:
Für die Verdrillung um die Drillruheachse muss im Vergleich zu einer Verdrillung um
jede andere beliebige Achse die geringste Energie aufgewendet werden (Prinzip des
Energieminimums).
Demnach setzt der Stab einer Verdrillung um die Drillruheachse im Vergleich zu jeder
anderen Drillachse den geringsten Widerstand entgegen. Der Wölbwiderstand CM
bzw. I (M kennzeichnet den Bezug auf die Schubmitelpunktsachse) ist der kleins-
tmögliche Wölbwiderstand.
Wölbfreie Querschnitte besitzen diese Eigenschaft nur, wenn die Verdrillung um die
natürliche Drillachse erfolgt.
Bei Verdrillung um die natürliche Drillachse resultiert aus den Wölbnormalspannun-
gen nur das Wölbbimoment M , jedoch treten keine Biegemomente My und Mz auf,
denn diese wären aufgrund der Gleichgewichtsbedingung infolge nicht vorhandener
äußerer Gegenkräfte nicht möglich.
Aus der Tatsache, dass der Wölbwiderstand CM (I ) bei Verdrillung um die Drillruhe-
achse minimal ist, folgt unmittelbar, dass auch das sekundäre Torsionsmoment Mx,s
und das Wölbbimoment M bei Verdrillung um die Drillruheachse minimal sind: Mx,s
und M sind direkt proportional zu CM bzw. I .
Mit Hilfe dieser Eigenschaften kann die Lage der Drillruheachse bestimmt werden.
Da die Drillruheachse gleichzeitig die Schubmittelpunktsachse ist, stellt die im Folgenden
beschriebene Vorgehensweise auch eine alternative Methode zur Bestimmung des Schub-
mittelpunktes eines Querschnitts dar. Man nennt dieses Vorgehen Schubmittelpunktsbe-
stimmung mit der Wölbmethode.
Eine Möglichkeit der Berechnung besteht darin, das Minimum des Wölbwiderstandes zu be-
stimmen: CM bzw. I ableiten und gleich null setzen (hier nicht vorgeführt, siehe Literatur).
Die hier gezeigte Methode nutzt die Eigenschaft aus, dass bei Verdrillung um die natürliche
Drillachse (freie Drillung) keine Biegemomente My und Mz entstehen.
Das verwendete Bezugssystem ist das Koordinatensystem, das durch den Schwerpunkt des
Querschnitts verläuft. In diesem Koordinatensystem besitzt der noch unbekannte Schubmit-
telpunkt M die Koordinaten yM und zM. Ferner sei die auf eine beliebige Drillachse A bezoge-
ne Einheitsverwölbung A bekannt.
Im Abschnitt 4.4.3.2 wurde gezeigt, wie man aus einer bekannten Einheitsverwölbung A
(mit Bezug auf Achse A) eine Einheitsverwölbung B (mit Bezug auf Achse B) berechnet:
yzzzyy ABABAB )()(
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 530
Für M gilt entsprechend:
yzzzyy AMAMAM )()(
Die Wölbnormalspannungen ,M infolge einer Verdrillung um die Schubmittelpunktsachse M
betragen:
)()(),(, xsExs MM
Bedingung: aus diesen Spannungen resultieren keine Biegemomente.
0)()(),(,
A
M
A
My dAzsxEdAzxsM
0)()(),(,
A
M
A
Mz dAysxEdAyxsM
In die Bedingung My = 0 wird die Gleichung zur Bestimmung von M aus A eingesetzt:
0)()()(
))()()(()(
2
A
AM
A
AM
A
A
A
AMAMA
A
M
dAzyzzdAzyydAzs
dAzyzzzyysdAzs
Mit y
A
IdAz 2 und yz
A
IdAzy erhält man
0)()()( yzAMyAM
A
A IzzIyydAzs
Aus der Bedingung Mz = 0 folgt mit z
A
IdAy2 in analoger Weise:
0)()()(
))()()(()(
2
A
AM
A
AM
A
A
A
AMAMA
A
M
dAyzzdAyzyydAys
dAyyzzzyysdAys
0)()()( yzAMzAM
A
A IyyIzzdAys
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 531
Die noch verbliebenen Integrale stellen jeweils eine neue Querschnittsgröße dar:
A
AAy dAzsR )(,
A
AAz dAysR )(,
Ry,A und Rz,A werden als Wölbmomente bezeichnet (nicht zu verwechseln mit dem Wölbbi-
moment M !) Der Index A trägt dem Bezug zur Drillachse A Rechnung, die Einheit ist [cm5].
Die Lage des Schubmittelpunktes M ergibt sich damit aus den beiden Gleichungen
0)()(, yzAMyAMAy IzzIyyR und
0)()(, yzAMzAMAz IyyIzzR .
Diese beiden Gleichungen bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem mit folgender
Lösung:
A
yzzy
AzyzzAy
M yIII
RIIRy
2
,,
A
yzzy
AzyyzAy
M zIII
RIIRz
2
,,
Falls es sich bei y und z um die Hauptachsen des Querschnitts handelt vereinfacht sich die
Lösung wegen Iyz = 0 entsprechend:
A
y
Ay
M yI
Ry
,
A
z
Az
M zI
Rz
,
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 532
Beispiel: Profil UPE 300
Für ein Profil UPE 300 (parallele Flansche) soll die Lage des Schubmittelpunktes bestimmt
werden.
Nach Idealisierung des Querschnitts durch seine Blechmittellinien werden signifikante Quer-
schnittspunkte nummeriert und die lokale Koordinate s definiert. Dabei wird gezielt die Sym-
metrie des Querschnitts ausgenutzt, indem der Ursprung (Punkt 0) von s auf dem Schnitt-
punkt des Stegbleches mit der Symmetrieachse platziert wird. Als Drillachse wird die x-
Achse (durch S) gewählt ( A wird zu S, yA zu yS und zA zu zS, wobei yS = zS = 0).
Bild 4-148: Abmessungen Bild 4-149: Mittellinienmodell Bild 4-150: Definition s, +
und rt,S
Die benötigten Querschnittswerte werden aus einem Tabellenwerk entnommen:
47823 cmI y
47,537 cmI z
cmey 887,2 (Abstand Schwerpunkt zur Stegaußenkante)
Der Normalabstand rt,S beträgt für den Abschnitt 24,12 mm und für den Abschnitt
142,5 mm.
Da der Ursprung der lokalen Koordinate s auf der Symmetrieachse liegt ist keine Normierung
erforderlich, Einheitsverwölbung S und Grundverwölbung S sind identisch.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 533
Punkt 0: 0)0(S
Punkt 1: 2
, 37,3425,14412,20)10()10()0()1( cmsr StSS
Punkt 2: 2
, 1,170525,925,1437,34)21()21()1()2( cmsr StSS
Wegen der Symmetrie des Querschnitts und der Wahl des Ursprungs von s gilt:
Punkt 3: 237,34)1()3( cmSS
Punkt 4: 21,170)2()4( cmSS
Da im Zuge der weiteren Berechnung die Integrale
A
S dAzs)( und
A
S dAys)( berech-
net werden müssen, werden noch die Verläufe der z- und der y-Koordinate benötigt (siehe
Bilder 4-152 und 4-153).
Bild 4-151: S-Verlauf Bild 4-152: z-Verlauf Bild 4-153: y-Verlauf
Nun können Ry,S und Rz,s berechnet werden. Die Integration wird zweckmäßig numerisch,
d.h. mit Hilfe von Integraltafeln durchgeführt (siehe z.B. Schneider Bautabellen): z.B. Überla-
gerung zweier dreieckiger Verläufe Integrationsfaktor 1/3.
5
,
46050525,95,125,142
1,17037,34225,1495,025,1437,34
3
12
)()()(
cm
dsstzsdAzsRs
S
A
SSy
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 534
Die Integration
A
SSz dAysR )(, kann man sich ersparen: der s-Verlauf ist antimetrisch
und der y-Verlauf symmetrisch zur y-Achse. Die Flächen unter der s·y-Kurve sind für positi-
ve und negative y-Werte jeweils gleich groß, besitzen aber verschiedene Vorzeichen, wes-
halb der Wert des Integrals null ist.
0)(,
A
SSz dAysR
y- und z- Achse sind Hauptachsen, deshalb können die vereinfachten Formeln benutzt wer-
den:
cmI
Ry
y
Sy
M 886,57823
46050,
0,
z
Sz
MI
Rz
Der Schubmittelpunkt liegt im Abstand yM = 5,886 cm links vom Schwerpunkt auf der y-
Achse.
Tabellenwert zum Vergleich: yM = 5,877 cm.
Es liegt eine sehr gute Übereinstimmung vor.
Hinweis: Querschnittswerte werden in Tabellenwerken häufig mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode berechnet
und nicht nach dem Mittelllinienmodell. Deshalb ergeben sich teilweise geringfügige Abweichungen im Vergleich
zur Handrechnung.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 535
4.4.9 Dünnwandige geschlossene Querschnitte
Im Vergleich zu dünnwandigen offenen Querschnitten sind die Verwölbungen, die dünnwan-
dige geschlossene Querschnitte unter Torsion erleiden, relativ gering. Aus einer geringen
Einheitsverwölbung M resultiert ein geringer Wölbwiderstand CM (I ), der wiederum zu ei-
nem vergleichsweise kleinen sekundären Torsionsmoment Mx,s führt (vgl. entsprechende
Gleichungen). Im Gegensatz ist die Torsionssteifigkeit IT (St.Venant) üblicherweise groß, was
zu einem relativ großen primären Torsionsmoment Mx,p führt.
Deshalb ist der Anteil des Torsionsmomentes Mx, der durch Wölbschubspannungen abge-
tragen wird, vernachlässigbar klein (das gilt für den Fall, dass der Stab um seine Schubmit-
telpunktsachse tordiert wird).
Wölbnormalspannungen treten an der Stelle der Wölbbehinderung lokal stark begrenzt
auf und klingen rasch ab (üblicherweise sehr großer Abklingfaktor ).
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die Wölbkrafttorsion bei dünnwandigen ge-
schlossenen Querschnitten eine untergeordnete Rolle spielt und deshalb in der Regel ver-
nachlässigbar ist.
Es ist aber auf jeden Fall vorteilhaft, über Kenntnisse zur Berechnung der Einheitsverwöl-
bung und der Wölbnormalspannungen zu verfügen, eröffnen einem diese Kenntnisse doch
die Möglichkeit, den Schubmittelpunkt eines Querschnittes nach der Wölbmethode zu be-
rechnen.
Wölbnormalspannungen können in analoger Weise wie für offene dünnwandige Quer-
schnitte berechnet werden. Für Wölbschubspannungen gilt das nicht, denn wegen des
geschlossenen Querschnitts handelt es sich um ein statisch unbestimmtes Problem (kein
definierter Anfangswert für die Integration; bei offenen Profilen wird ausgenutzt, dass die
Schubspannung an den Rändern null sein muss). Eine statisch unbestimmte Berechnung,
beruhend auf der Voraussetzung, dass es an einem gedanklichen Längsschnitt keine Rela-
tivverwölbungen geben darf, wäre zwar denkbar. Es wäre aber inkonsequent, die relevanten
Querschnittswerte , I etc. zu verwenden, denn schließlich wurden die Wölbschubspannun-
gen, die ja eigentlich berechnet werden sollen, bei der Herleitung von , I etc. aufgrund ih-
rer geringen Größe ja gerade vernachlässigt.
Für derartige Fragestellungen bieten sich Näherungslösungen an, auf die an dieser Stelle
nicht eingegangen wird, da die Problematik für die Belange des Stahlbaus ohnehin von un-
tergeordneter Bedeutung ist.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 536
4.4.10 Wölbkrafttorsion anschaulich
Nach Darstellung der Theorie der Wölbkrafttorsion in allgemeiner Form wird zum Abschluss
noch gezeigt, wie man sich die Wirkungsweise der Wölbkrafttorsion anschaulich vorstellen
kann. Das gelingt anhand eines Kragträgers mit Doppel-T-Querschnitt.
Bild 4-154: Eingespannter Kragträger mit Einzeltorsionsmoment
Der eingespannte Kragträger wird am freien Stabende durch ein Einzeltorsionsmoment MT
belastet. Der Querschnitt kann sich um seine natürliche Drillachse durch den Schubmittel-
punkt M verdrillen. Vereinfachend wird die Annahme getroffen, dass das Torsionsmoment MT
ausschließlich durch Wölbkrafttorsion Mx,s abgetragen wird (Mx,p = 0).
Das Torsionsmoment MT kann wie jedes Moment als Kräftepaar dargestellt werden. Die
Kräfte VFl greifen in Höhe der Flanschmittellinien an und besitzen den Hebelarm h – tFl.
Bild 4-155: Zerlegung des Torsionsmomentes in ein Kräftepaar
Fl
sx
lF
TFl
th
M
th
MV
, (Annahme reiner Wölbkrafttorsion, Mx,p = 0)
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 537
Diese Kräfte erzeugen in den Flanschen Biegemomente Mz,Fl.
Bild 4-156: In den beiden Flanschen gegenläufige Flanschbiegung
An der Einspannstelle beträgt das Biegemoment in den Flanschen jeweils
lth
MlVM
Fl
sx
FlFlz
,
,
Die Flanschmomente führen in Flanschebene zu Verformungen v quer zur Stabachse. Weil
diese Verformungen in beiden Flanschen entgegengesetzt verlaufen, bleibt der Querschnitt
nicht mehr eben, er verwölbt sich.
Zwischen den Flanschmomenten Mz,Fl und den Verformungen v in Flanschebene besteht der
aus der technischen Biegelehre bekannte Zusammenhang (Differentialgleichung der Biegeli-
nie):
FlzFlz IExvM ,, )(
mit 12
3
,
btI Fl
Flz Flächenträgheitsmoment 2. Grades eines Flansches.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 538
Die Biegeverformung v in Flanschebene (y-Richtung) kann unter Annahme kleiner Verfor-
mungen durch die Verdrehung des Stabes um seine x-Achse ausgedrückt werden:
2
Flthv
Bild 4-157: Horizontalverformung v der beiden Flansche
Damit können auch die Flanschschnittgrößen in Abhängigkeit von der Stabverdrehung aus-
gedrückt werden.
FlzFl
FlzFlz IEth
xIExvxM ,,,2
)()()( (Flanschbiegemoment)
FlzFl
FlzFly IEth
xxMxV ,,,2
)()()( (Flanschquerkraft)
Das sekundäre Torsionsmoment infolge Wölbkrafttorsion beträgt
FlzFl
FlFlysx IEth
xthxVxM ,
2
,,2
)()()()()( .
Die querschnittsabhängigen Größen werden zum Querschnittswert I bzw. CM zusammenge-
fasst:
122
)(
2
)( 32
,
2
FlFlFlz
Fl tbthI
thI
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 539
Diese Formel für das Wölbflächenmoment 2. Grades I gilt für Doppel-T-Querschnitte und
stellt insofern eine Vereinfachung dar, weil die Walzausrundungen nicht berücksichtigt sind.
Zum Vergleich: Für das Profil HEA 400 aus Abschnitt 4.4.6.2 ist
6
3232
076.942.212
9,10,30
2
1,37
122
)(cm
tbthI FlFl .
Tabellenwert: 63102942 cmI bzw.
6600.893.2 cmI , je nach Tabelle und der zu
Grunde liegenden Berechnungsmethode.
Mit dem Wölbflächenmoment 2. Grades I erhält man die Differentialgleichung der (reinen)
Wölbkrafttorsion:
IExxM sx )()(,
Als weitere Schnittgröße tritt im Rahmen der Wölbkrafttorsion das Wölbbimoment M (Einheit
[kNm²] oder [kNcm²] ) auf. Am Beispiel des Doppel-T-Profils kann man sich M als das
„Moment der Momente“ in den Flanschen vorstellen, d.h. als das Produkt aus Flanschmo-
ment und Flanschabstand:
)(, FlFlz thMM
Bild 4-158: Wölbbimoment M als Paar zweier Biegemomente dargestellt
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 540
Unter Verwendung der Formeln für Mz,Fl und I kann M wie folgt geschrieben werden:
)(2
)( , FlFlzFl thIE
thxM
IExM )(
(Man beachte die Analogie zur Differentialgleichung der Biegelinie: yy IExwM )( )
Das Wölbbimoment M ist die Resultierende der Wölbnormalspannungen .
Bild 4-159: Wölbnormalspannungen
Da der Stab weder durch eine Normalkraft N noch durch Biegemomente My bzw. Mz beans-
prucht wird, müssen in jedem Schnitt die drei Gleichgewichtsbedingungen
A
dAxN 0)(
0)(A
y dAzxM
0)(A
z dAyxM
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 541
erfüllt sein. Das bedeutet, dass das Integral der Wölbnormalspannungen über die Quer-
schnittsfläche A in jedem Querschnitt gleich null sein muss.
Die Wölbnormalspannungen bilden einen im inneren Gleichgewicht befindlichen Span-
nungszustand.
Die Wölbnormalspannungen werden mit der folgenden Formel berechnet.
),( zyI
M
(Man beachte die Analogie zur Biegetheorie: zI
M
y
y)
(y,z) ist die auf den Schubmittelpunkt bezogene, normierte Einheitsverwölbung und be-
schreibt den Verwölbungszustand für eine Verdrillung ‘(x) = -1,0 [rad/m].
Die Herleitung einer Formel zur Berechnung von für allgemeine Querschnitte erfolgte aus-
führlich im Abschnitt 4.4.3. Für den vorliegenden Sonderfall des Doppel-T-Querschnitts kann
(y,z) wie folgt berechnet werden (Walzrundungen vernachlässigt):
zyzy ),(
Hinweis: der Bezug auf eine lokale Koordinate s ist hier indirekt in y und z enthalten und nicht gesondert angetra-
gen, rt,M ist für den Steg null und für die Flansche jeweils die positive bzw. negative z-Koordinate der Flanschmit-
tellinie. s ist die y-Koordinate des betrachteten Flanschpunktes.
Bild 4-160: Abmessungen Doppel-T-Profil Bild 4-161:Einheitsverwölbung
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 542
Punkt y z ),( zy Punkt y z ),( zy
1 2
b
2
Flth
4
)( Flthb
4
2
b
2
Flth
4
)( Flthb
2 0 2
Flth
0 5 0
2
Flth
0
3 2
b
2
Flth
4
)( Flthb
6
2
b
2
Flth
4
)( Flthb
Tabelle 4-15: Berechnung der Einheitsverwölbung
Mit 122
)( 32
FlFl tbthI und )(, FlFlz thMM lassen sich die Wölbnormalspannungen
berechnen.
Punkt ),( zy Punkt ),( zy
1 4
)( Flthb
Fl
Flz
tb
M2
,6
4 4
)( Flthb
Fl
Flz
tb
M2
,6
2 0 0 5 0 0
3 4
)( Flthb
Fl
Flz
tb
M2
,6
6 4
)( Flthb
Fl
Flz
tb
M2
,6
Tabelle 4-16: Berechnung der Wölbnormalspannungen
Zum Vergleich werden die Spannungen in den Flanschen mit Hilfe der Flanschmomente Mz,Fl
berechnet. Die Flansche werden dabei als Rechteckquerschnitte betrachtet.
Fl
Flz
Flz
Flz
tb
M
W
M2
,
,
,
max,
6
Diese Betrachtungsweise führt zum gleichen Ergebnis.
Infolge der Flanschquerkräfte Vy,Fl entstehen in den Flanschen Schubspannungen. Es han-
delt sich um sekundäre Schubspannungen s (Wölbschubspannungen ), die allein aus
Wölbkrafttorsion resultieren.
Die sekundären Schubspannungen s werden mit der folgenden Formel berechnet.
tI
SM sx
s
,)(
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 543
Dem Vorzeichen wird im Rahmen dieses erläuternden Beispiels keine Beachtung geschenkt,
auf die Wirkungsrichtung der Schubspannungen kann anhand der Verformungsfigur der
Flansche direkt geschlossen werden.
(Man beachte die Analogie zur Biegetheorie: tI
SV
y
yz)
Wie im Abschnitt 4.4.4.3 erläutert ist S das Wölbflächenmoment 1. Grades und entspricht
dem Integral der Einheitsverwölbung über die Querschnittsfläche, d.h. dem Flächeninhalt
unter der -Kurve.
dAzySA
),(
Bild 4-162: Einheitsverwölbung Bild 4-163:Wölbflächenmoment 1. Grades S
16
)(
24
)(
2
1max
2
FlFlFl
Fl thtbt
bthbS
Damit kann die größte sekundäre Schubspannung s bestimmt werden:
Fl
Fly
FlFlFl
FlFllFFlysx
stb
V
ttbth
thtbthV
tI
SM ,
32
2
,,5,1
)(16
122)()()(
Hätte man jeden Flansch separat als Rechteckquerschnitt betrachtet, der durch die Flansch-
querkraft Vy,Fl beansprucht wird, so hätte man für s dasselbe Ergebnis erhalten.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 544
Fazit:
Der Doppel-T-Querschnitt eignet sich gut, um die prinzipielle Wirkungsweise der Wölbkraft-
torsion zu verstehen. Da die Abtragung des Torsionsmomentes über die beiden rechteckigen
Flansche erfolgt, können die Ergebnisse mithilfe der Biegelehre, die auf die Einzelflansche
angewendet wird, nachvollzogen werden.
4.5 Bemessung torsionsbeanspruchter Bauteile nach EC 3
Grundsätzlich ist festzustellen, dass infolge einer Torsionsbeanspruchung im Querschnitt
Schubspannungen entstehen. Im Fall der Wölbkrafttorsion treten auch Normalspannungen
auf. Deshalb ist stets eine elastische Bemessung mit Hilfe des Fließkriteriums bzw. unter
Berechnung einer Vergleichsspannung möglich.
Geregelt ist die Torsionsbeanspruchung in EN 1993-1-1, Abschnitt 6.2.7.
Als Formelzeichen für Torsionsmomente wird „T“ verwendet, was den Nachteil hat, dass es
leicht zu Verwechslungen mit dem Schubfluss kommt.
Um dieser Verwechslungsgefahr zu begegnen spricht aus technischer Sicht nichts dagegen,
alternativ die aus der Technischen Mechanik bzw. die aus der Torsionstheorie vertrauten
Bezeichnungen zu verwenden
Größe Bezeichnung „allgemein“ Bezeichnung „EC 3“
Torsionsmoment Mx T
Primäres Torsionsmoment (St.
Venant) Mx,p Tt
Sekundäres Torsionsmoment
(Wölbkrafttorsion) Mx,s Tw
Wölbbimoment M B
Tabelle 4-17: Bezeichnungen nach EC 3
Nachweisformat:
0,1Rd
Ed
T
T
mit: EdwEdtEd TTT ,,
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 545
Die Bemessungswerte Tt,Ed und Tw,Ed können mit den entsprechenden Querschnittswerten,
den Zwängungsbedingungen an den Auflagern und der Lastverteilung längs des Bauteils mit
einer elastischen Berechnung ermittelt werden (also so wie in den vorangegangenen Ab-
schnitten des Umdrucks beschrieben).
Beim elastischen Nachweis darf das Fließkriterium verwendet werden, wobei alle Span-
nungsanteile infolge St. Venantscher Torsion und Wölbkrafttorsion zu berücksichtigen sind.
Bei gleichzeitiger Beanspruchung durch Biegung und Torsion brauchen bei der Ermittlung
der plastischen Biegemomentenbeanspruchbarkeit eines Querschnitts als Torsionsschnitt-
größen BEd (d.h. M ) nur jene berücksichtigt zu werden, die sich aus der elastischen Berech-
nung ergeben.
Bei geschlossenen Hohlprofilen darf vereinfachend angenommen werden, dass der Einfluss
aus der Wölbkrafttorsion vernachlässigt werden kann. Umgekehrt darf bei offenen Quer-
schnitten wie etwa bei Doppel-T-Profilen der Einfluss der St. Venantschen Torsion vernach-
lässigt werden.
Der Bemessungswert der Torsionsbeanspruchbarkeit TRd eines geschlossenen Hohlprofils
kann aus den Bemessungswerten der Schubtragfähigkeiten der einzelnen Teilstücke des
Querschnitts nach EN 1993-1-5 zusammengesetzt werden. Sofern maßgebend ist ggf. der
Einfluss des Schubbeulens zu beachten.
Bei kombinierter Beanspruchung aus Querkraft und Torsion ist in der Regel die plastische
Querkrafttragfähigkeit Vpl,Rd auf den Wert Vpl,T,Rd abzumindern.
Der Nachweis lautet in diesem Fall:
0,1,, RdTpl
Ed
V
V
Vpl,T,Rd kann wie folgt ermittelt werden:
Doppel-T-Querschnitte
Rdpl
M
y
Edt
RdTpl Vf
V ,
0
,
,,
325,1
1
U-Querschnitte
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 546
Rdpl
M
y
Edw
M
y
Edt
RdTpl Vff
V ,
0
,
0
,
,,
3325,1
1
Hohlprofile
Rdpl
M
y
Edt
RdTpl Vf
V ,
0
,
,,
3
1
Beispiel: Beidseitig eingespannter Einfeldträger HEA 200
Ein 6,0 m langer Einfeldträger HEA 200, Stahlgüte S235, ist an beiden Trägerenden biege-
und wölbsteif eingespannt. Die Linienlast qEd greift mit 20 mm Exzentrizität zur Stegebene
an. Der Stab kann sich frei verdrillen, Drillachse ist demnach die Schubmittelpunktsachse.
mkNqEd /0,25
mkNmm EdT /50,002,00,25,
Bild 4-164: System und Belastung Bild 4-165: Querschnitt
Gemäß EN 1993-1-1, 6.2.7 (7) darf bei diesem dünnwandigen offenen Profil der Einfluss der
St- Venantschen Torsion vernachlässigt werden.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 547
Unter dieser Annahme reduziert sich die DGL der gemischten Torsion auf die DGL der rei-
nen Wölbkrafttorsion.
TmIE
mit mT = const.
Diese DGL kann direkt durch Integration gelöst werden:
IE
mT
1CxIE
mT
21
2
2CxCx
IE
mT
32
2
1
3
2
1
6CxCxCx
IE
mT
43
2
2
3
1
4
2
1
6
1
24CxCxCxCx
IE
mT
Die Koeffizienten C1 bis C4 ergeben sich aus den Randbedingungen (einzelne Rechenschrit-
te werden hier nicht vorgeführt):
x = 0:
Einspannung: = 0; ‘ = 0
C3 = C4 = 0
x = 6,00 m:
Einspannung: = 0; ‘ = 0
C1 = -6,61376·10-8, C2 = -6,61376·10-6 (nach Lösung eines linearen Gleichungssystems)
Unter Verwendung einer Tabellenkalkulation können die Werte für und die entsprechenden
Ableitungen sowie die Schnittgrößen an diskreten Stellen berechnet werden.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 548
Tabelle 4-18: Berechnungsergebnisse
Zur Information werden die Schnittgrößen, die unter Vernachlässigung der St. Venantschen
Torsion berechnet worden sind, in Diagrammform mit den exakten Werten verglichen.
Rote Linie: exakt (gemischte Torsion)
Blaue Linie: Näherung (nur Wölbkrafttorsion).
Bild 4-166: Primäres Torsionsmoment Mx,p
x ' '' ''' Mx,p Mx,s Mx M
[m] [rad] [rad/cm] [rad/cm²] [rad/cm³] [kNcm] [kNcm] [kNcm] [kNcm²]
0,00 0,00000000 0,00000000 0,00000661 -0,00000007 0,00 150,00 150,00 -15000,00
0,30 0,00268601 0,00016964 0,00000473 -0,00000006 0,00 135,00 135,00 -10725,00
0,60 0,00964286 0,00028571 0,00000304 -0,00000005 0,00 120,00 120,00 -6900,00
0,90 0,01935268 0,00035417 0,00000155 -0,00000005 0,00 105,00 105,00 -3525,00
1,20 0,03047619 0,00038095 0,00000026 -0,00000004 0,00 90,00 90,00 -600,00
1,50 0,04185268 0,00037202 -0,00000083 -0,00000003 0,00 75,00 75,00 1875,00
1,80 0,05250000 0,00033333 -0,00000172 -0,00000003 0,00 60,00 60,00 3900,00
2,10 0,06161458 0,00027083 -0,00000241 -0,00000002 0,00 45,00 45,00 5475,00
2,40 0,06857143 0,00019048 -0,00000291 -0,00000001 0,00 30,00 30,00 6600,00
2,70 0,07292411 0,00009821 -0,00000321 -0,00000001 0,00 15,00 15,00 7275,00
3,00 0,07440476 0,00000000 -0,00000331 0,00000000 0,00 0,00 0,00 7500,00
3,30 0,07292411 -0,00009821 -0,00000321 0,00000001 0,00 -15,00 -15,00 7275,00
3,60 0,06857143 -0,00019048 -0,00000291 0,00000001 0,00 -30,00 -30,00 6600,00
3,90 0,06161458 -0,00027083 -0,00000241 0,00000002 0,00 -45,00 -45,00 5475,00
4,20 0,05250000 -0,00033333 -0,00000172 0,00000003 0,00 -60,00 -60,00 3900,00
4,50 0,04185268 -0,00037202 -0,00000083 0,00000003 0,00 -75,00 -75,00 1875,00
4,80 0,03047619 -0,00038095 0,00000026 0,00000004 0,00 -90,00 -90,00 -600,00
5,10 0,01935268 -0,00035417 0,00000155 0,00000005 0,00 -105,00 -105,00 -3525,00
5,40 0,00964286 -0,00028571 0,00000304 0,00000005 0,00 -120,00 -120,00 -6900,00
5,70 0,00268601 -0,00016964 0,00000473 0,00000006 0,00 -135,00 -135,00 -10725,00
6,00 0,00000000 0,00000000 0,00000661 0,00000007 0,00 -150,00 -150,00 -15000,00
-50,0
-40,0
-30,0
-20,0
-10,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00
Schnitt x [m]
Mx,p [kNcm]
exakt
Näherung
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 549
Bild 4-167: Sekundäres Torsionsmoment Mx,s
Bild 4-168: Wölbbimoment M
Wie man erkennt erfolgt die Lastabtragung an den Einspannstellen nur durch Wölbkrafttorsi-
on. Die Näherung nach EC 3 entspricht an dieser maßgebenden Stelle dem exakten Wert.
Ansonsten verläuft das sekundäre Torsionsmoment Mx,s linear. Das muss so sein, denn ohne
St. Venantsche Torsion kann nur das sekundäre Torsionsmoment Mx,s dem äußeren Stre-
ckentorsionsmoment mT das Gleichgewicht an einem infinitesimal kleinen Element halten. mT
ist konstant und deshalb ist Mx,s linear veränderlich.
Das Wölbbimoment M wird mit der Näherung auf der sicheren Seite liegend überschätzt.
Die Bemessung erfolgt mit den Näherungswerten, wie gemäß EC3 erlaubt. Maßgebend für
die Bemessung sind die Einspannstellen.
-200,0
-150,0
-100,0
-50,0
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00
Schnitt x [m]
Mx,s [kNcm]
exakt
Näherung
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00
Schnitt x [m]
M [kNcm²]
exakt
Näherung
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 550
Biegung:
kNmlq
M EdEdy 0,75
12
0,60,25
12
22
, ²/3,19389
7500,
, cmkNW
M
y
Edy
Edx
Querkraft:
kNlq
V EdEdz 0,75
2
0,60,25
2, ²/79,6
05,11
0,75,cmkN
A
V
w
Edz
Ed
mit ²05,1165,0)0,120,19( cmthA www
Wölbkrafttorsion:
215000 kNcmM ²/5,120,90108000
15000,
, cmkNI
M Ed
Ed
Hinweis: maßgebend ist der Größtwert an den Flanschecken. Die Einheitsverwölbung und damit die Wölbnor-
malspannung besitzt an gegenüberliegenden Flanschecken ein unterschiedliches Vorzeichen. Für die Bemes-
sung ist nur der Betrag interessant, da auch die Biegenormalspannung an den beiden Flanschen ein unterschied-
liches Vorzeichen besitzt. An einer Stelle treffen also stets die größten Spannungen aufeinander, so dass hier nur
der Betrag interessiert. Die Werte I und wurden einem Tabellenwerk entnommen.
kNcmM sx 0,150, tI
SM sx,)(
S ist in den meisten Tabellenwerken nicht enthalten und muss berechnet werden:
Es ist nur der maximale Wert in der Mitte der Flansche von Interesse.
Bild 4-169: Einheitsverwölbung Bild 4-170: Wölbflächenmoment 1. Grades S
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 551
4
max, 4500,100,10,902
1cmdstdAS
sA
²/625,00,1108000
4500,150)(
,
, cmkNtI
SM sx
Ed
Hinweis: Man sieht, dass die Wölbschubspannungen wirklich sehr klein sind, wie im Zuge der Herleitung der
Berechnungsformeln vorausgesetzt.
Spannungsnachweis:
²/8,315,123,19,,.,, cmkNEdEdxgesEdx
Man erkennt sofort, dass der Nachweis für ein Profil in der Stahlgüte S235 nach dem Verfah-
ren Elastisch - Elastisch nicht erbracht werden kann (fyd =23,5 kN/cm²). Die Anwendung des
Fließkriteriums erübrigt sich damit.
Lösung: Nachweis nach dem Verfahren Elastisch – Plastisch.
Gemäß EN 1993-1-1, 6.2.7 (6) ist bei der Ermittlung der Biegebeanspruchbarkeit unter Be-
rücksichtigung der Torsion nur jene Torsionsschnittgröße BEd (d.h. M ,Ed) zu berücksichtigen,
die sich nach elastischer Berechnung ergibt.
2
, 15000 kNcmMB EdEd
Das Wölbbimoment ist im Fall eines Doppel-T-Profils das „Moment der Momente“ und lässt
sich durch Division durch den Flanschabstand h‘ in zwei gegenläufige Flanschmomente Mz,Fl
zerlegen.
kNcmh
MM
Ed
EdFlz 8330,18
15000
'
,
,,
Die Flanschmomente werden von Spannungsblöcken an den Randbereichen des jeweiligen
Flansches abgetragen (vgl. Kapitel Elastisch – Plastisch: größter innerer Hebelarm für Mz-
Momente).
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 552
Bild 4-171: Teilflächen des Querschnitts zur Abtragung des Wölbbimomentes M
kNcmaafabatM ydfEdFlz 8335,23)0,20(0,1)(!
,,
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:
cmcma 97,1/0,180,12
5,350,140,200,20 2
Die zweite Lösung ist die richtige.
Kontrolle:
kNcmfabatM ydfEdFlz 8338355,23)97,10,20(97,10,1)(,,
Zur Aufnahme des Biegemomentes My,Ed steht nun nicht mehr die gesamte Flanschbreite zur
Verfügung, sondern nur noch
cmb 06,1697,120,20' .
Damit beträgt das reduzierte plastische Moment
kNmfhtaSM ydfyRdyM 4,84100/5,23)0,180,197,122152()'22(,,
Nachweis Biegung:
0,189,04,84
0,75
,,
,
RdyM
Edy
M
M
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 553
Nachweis Querkraft:
²05,180,1)8,1265,0(0,10,2028,53)2(2 cmtrttbAA fwfv
kNfA
Vydv
Rdzpl 2453
5,2305,18
3,,
5,0
0,131,0245
0,75
,,
,
Rdzpl
Edz
V
V
keine Interaktion gemäß EN 1993-1-1, 6.2.8 (2) erforderlich.
Nachweis der Interaktion Biegung - „Wölbquerkraft“ in den Flanschen
Schließlich ist noch der Einfluss der Wölbschubspannungen in den Flanschen auf die
Tragfähigkeit zu berücksichtigen.
Resultierende „Wölbquerkraft“ in jedem Flansch:
kNttbV EdfEdFly 33,8625,00,10,203
2
3
2,,,
kNf
tbVyd
fRdFlypl 2713
5,230,10,20
3,,,
5,0
0,103,0271
33,8
,,,
,,
RdFlypl
EdFly
V
V
keine Interaktion gemäß EN 1993-1-1, 6.2.8 (2) erforderlich.
Damit ist der Nachweis der Tragfähigkeit nach dem Verfahren Elastisch – Plastisch erbracht.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 554
4.6 Ergänzende Hinweise und Informationen
In den vorangegangenen Abschnitten wurde versucht, einen möglichst umfassenden Ein-
druck von der Torsionstheorie zu vermitteln. Der Themenkomplex ist aber derart umfang-
reich, dass noch vieles zu sagen wäre, auf das aus Zeitgründen im Rahmen des Grundkur-
ses Metallbau nicht eingegangen werden kann.
Für weiterführende Informationen wird auf die Fachliteratur verwiesen, wobei die Lektüre
stets mit Bedacht erfolgen sollte, da wie erwähnt viele anders lautende Bezeichnungen für
ein und dieselbe Größe verwendet werden und sogar viele Größen mit unterschiedlichen
Vorzeichen verwendet werden. Hier kommt es weniger auf die strikte Verwendung der einen
oder der anderen Formelzeichen an, als vielmehr auf ein ganzheitliches Verständnis der
Theorie. Welche Bezeichnungen letztendlich verwendet werden spielt dabei eine unter-
geordnete Rolle.
Hilfreiche Literatur:
Petersen: Stahlbau, Verlag Vieweg & Sohn, 1990
Francke, Friemann: Schub und Torsion in geraden Stäben, Verlag Vieweg & Sohn,
2005
Roik, Carl, Lindner: Biegetorsionsprobleme gerader dünnwandiger Stäbe, Verlag
Ernst & Sohn,1972
Kohlbrunner, Basler: Torsion, Springer-Verlag, 1966
Zeitschrift „Stahlbau“, Verlag Ernst und Sohn; diverse Artikel in regelmäßigen Ab-
ständen
Skripte anderer Hochschulen
Abschließend wird noch kurz auf drei interessante und wichtige Themen eingegangen, die im
Rahmen der Vorlesung aus Zeitgründen nicht behandelt werden können.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 555
4.6.1 Lösung von Aufgaben zur Wölbkrafttorsion mit Hilfe der Zugstab-analogie
Ähnlich wie die Verteilung der primären Torsionsmomente eines Stabes mit wölbfreiem
Querschnitt mit Hilfe der Querkraftanalogie bestimmt werden kann, besteht hinsichtlich der
Form des Aussehens der DGL der gemischten Torsion eine Ähnlichkeit mit der DGL eines
Biegeträgers, der gleichzeitig durch eine Zugkraft beansprucht wird (kurz: Zugstabanalogie).
DGL der gemischten Torsion:
TT mIGIE
DGL des biegebeanspruchten Zugstabes:
zy qwNwIE
Während die Wölbkrafttorsion in nur wenigen Stabwerksprogrammen implementiert ist, sind
selbst relativ preiswerte Stabwerksprogramme in der Lage, einen durch Biegung und Zug-
kraft beanspruchten Balken nach Theorie II. Ordnung zu berechnen.
Unter Ausnutzung der Analogie der Differentialgleichungen beider Probleme kann man ele-
gant Aufgaben zur Wölbkrafttorsion mit Programmen lösen, die dafür eigentlich gar nicht
programmiert worden sind.
Eine Beschreibung der Vorgehensweise ist z.B. in der Fachzeitschrift „Stahlbau“, Jahrgang
2002, Heft 5, S. 367 ff. zu finden.
Ohne weitere Erläuterung werden ergänzend die betreffenden Seiten aus de ehemaligen
Stahlbauskript von Professor Albrecht an dieser Stelle zur Verfügung gestellt. Man beachte
ggf. die Unterschiede bei den Formelzeichen im Vergleich zum aktuellen Umdruck.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 556
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 557
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 558
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 559
4.6.2 Profilverformung und Schottbemessung
Viele Berechnungsmodelle und Theorien beruhen auf der Forderung, dass die Querschnitts-
form erhalten bleibt. Diesem Gesichtspunkt ist in der Praxis besondere Beachtung zu schen-
ken. Durch die regelmäßige Anordnung von Querverbänden und Schotten in nicht zu gro-
ßen Abständen kann sichergestellt werden, dass die Form des Querschnitts erhalten bleibt.
Diese Thematik ist wichtig und wird Gegenstand der Vertiefungsvorlesung sein. Im Grund-
kurs Metallbau kann sie aus Zeitgründen nicht ausführlich behandelt werden. Da sie dem
Wesen nach zum Themengebiet der Torsion gehört, werden die betreffenden Seiten aus
dem ehemaligen Stahlbauskript von Professor Albrecht als ergänzende Information zum
Selbststudium an dieser Stelle abgedruckt. Man beachte ggf. die Unterschiede bei den For-
melzeichen im Vergleich zum aktuellen Umdruck.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 560
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 561
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 562
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 563
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 564
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 565
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 566
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 567
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 568
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 569
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 570
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 571
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 572
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 573
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 574
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 575
4.6.3 Zwangsdrillachse und Einfluss der sekundären Schubverformung
Wie erläutert ist jeder Stab bestrebt, sich nach dem Prinzip des Energieminimums um die
Achse durch den Schubmittelpunkt zu verdrillen. Das ist nur möglich, wenn angrenzende
Konstruktionen diesem Bestreben nicht entgegenstehen. Andernfalls gibt es eine sogenann-
te Zwangsdrillachse, um die sich der Stab verdreht. Diesbezüglich werden die betreffenden
Seiten aus dem ehemaligen Stahlbauskript von Professor Albrecht abgedruckt. Man beachte
ggf. die Unterschiede bei den Formelzeichen im Vergleich zum aktuellen Umdruck. Details
und Erläuterungen sind der Fachliteratur zu entnehmen. Desweiteren sind noch Seiten ab-
gedruckt, die Ausführungen zum Einfluss sekundärer Schubverformungen enthalten.
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 576
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 577
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 578
Lehrstuhl für Metallbau Metallbau
Vorlesungsskript Grundkurs
M. Mensinger / K. Schwindl – Stand: 07/2008 579