04 Rendering -- Geometrische Transformationen€¦ · 4 Wichtige Unterscheidung Definitionsbereich:...

1

Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

*RHWKH�8QLYHUVLWlW��)UDQNIXUW

*UDSKLVFKH�'DWHQYHUDUEHLWXQJ

��

Graphikbearbeitung und RenderingGeometrische Transformationen

SS 20042Graphische Datenverarbeitung4. Geometrische Transformationen© Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

��

DigitalesBild

Digital-video

Graphik Animation

2


��

1. Identifikation der Grundaufgaben � Primitive� Funktionen� Die Ausgabepipeline

2. Affine Transformationen� Homogene Koordinaten

3. Perspektivische Transformationen


��

4. Zusammenfassung 5. Glossar6. Weitere Informationen7. Ausblick – Nächste Schritte

3


��

DigitalesBild

Digital-video

Graphik Animation

� �� = Erstellen und Verändernvon Geometrie und Merkmalsbeschreibungen = Graphisches Modellieren

� ��

= Transformation einer Geometrie und Merkmalsbeschreibung in ein Digitales Bild


Beschreibt ein Bild (2D) oder eine Szene (3D) durch� Ensemble von geometrischen Objekten

(Punkte, Linien, Flächen, Körper)� Erscheinungsattribute

(Farbe, Struktur, Textur, Parametern von Beleuchtungsmodellen, ... )

� Betrachtungsbedingungen

��

4

Wichtige UnterscheidungDefinitionsbereich: 2D oder 3D

��: ggf Ausschnitt aus Definitionsbereich darstellen: Window-Viewport Transformation

��: Szene wird durch virtuelle Kamera (Viewing Transformationen, perspektivische Transformation) auf 2D abgebildet

��

y z

x

x

y


�� !�� "�� #��

� Instanzieren und Attributieren von Primitiven � Gruppieren (Mengen, Hierarchien)� (Geometrie) transformieren

� Skalieren Rotieren� Translieren (Scheren)

� ��

zum verändern, positionieren und orientierenim Modell- oder Weltkoordinatensystem

5


��!��"�

� Grundlage: 2D Koordinatensystem kontinuierlich � REAL

� Graphische Objekte (Beispiele GKS)� Punkte � (Poly) Marker� Linien(zug) � Polygon

� Fläche � Füllgebiet� Text� (Dig. Bild) � (Fill Array)

(unsystematisch, aber als Füllmuster (Attribut) wichtig)

◊⊕⊗•∗−+ ��


$��%��"�&!��

� Kreise, Ellipsen – Kreisbögen, Ellipsenbögen� Rechtecke, Parallelogramme, ...� Pfeile, Spiralen, ...

� Kurven: Bezier, Splines, algebraische K.wichtige Primitive für Zeichenprogramme (=

Anwendungen) aber lassen sich auf:�� (Richtung, Größe) und �� (Flächen, z.B. Dreiecke) zurückführen:

��

6


"�� (Modelling-Transformation)� Transformieren und Klippen

(Screen Mapping) Weltkoordinaten � GerätekoordinatenAusschnitt der „Welt“ � Teil der Zeichenfläche (Bildschirms), manchmal

auch Window genannt, meist aberWindow � Viewport

x

y

Zeichenfläche


"��

� Rastern (Scan Konvertieren, Rasterisieren)Geometrische Primitive � Menge von Pixeln

7


'��(�� )��

Fachhistorisch taucht der Begriff schon 1968 z.B. bei Appel auf. Zuächst findet man eine starke Anlehnung an die in der Kunst gebräuchlichen Verwendung: �� . Appel 68: „��

PEX Glossary 88:„��


#�&'*��

Szene:� Menge der im Weltkoordinatensystem

positionierten und orientierten Objekte� Menge der positionierten und orientierten

Lichtquellen� Virtuelle Kamera (s)� Hintergrund� Umgebungseffekte (Nebel, Dunst)

8


#�&+�,��

� Punkte (im Raum) und Orientierungen� Linien� Flächen

� (ebene) Dreiecke, Vierecke, Polygone, ...Sonderformen: triangle strips, triangle meshes, ...

� gekrümmte: Bezier, Spline, ...

� Körper� analytisch: Kugel, Zylinder, Torus, Quader, ... , Quadriken� polygonal: „Boundary Representation“� CSG Objekt: Constructive Solid Geometry� ...


#�� &�-��

� Punkte (im Raum) � Orientierungen� Geraden� Dreiecke (Vierecke)

und deren Sonderformen (strips, meshes, ...)

Alle anderen Modellierungsprimitive lassen sich (relativ leicht) mit wählbarer Approximationsgenauigkeit auf diese Primitive abbilden (zerlegen) ... und zwar mit vergleichsweise geringem Aufwand.

9


#�&� ��

Drei Grundprobleme:1. Welches Objekt beeinflusst welches

Pixel und wie sind die Objekte in Blickrichtung der Kamera relativ zueinander geordnet?

2. Welcher Farbwert ist diesem Pixel aufgrund der Objekteigenschaften, der Kameraposition der Lichtquellen und der Umgebungsverhältnisse zuzuordnen?

3. Wie sind verschiedene Objekteinflüsse zu überlagern und zu mischen

Geometrie-problem

Beleuchtungs-rechnung

Überlagerung


#�&� ��

Geometrie-konvertierung

(lokale)Beleuchtungs-

rechnung

ProjektiveAusgabe


(globale)Beleuchtungs-

rechnung

StrahlverfolgungRaycasting: n =1 Raytracing: n >1


Radiosity

i<n

(globale)Beleuchtungs-

rechnung

10


.��

� Projektive Ausgabe� Raster Scan Verfahren

� Strahlverfolgung� Raycasting, Raytracing


!�� *�� /��*��

(Vorverarbeitung)for every pixel

generate ray�� each solid check affection

�� solid affected�� every polygontransform polygoncompute intersection��

�� sort intersections by depth (z-value)evaluate shading, texturing, illumination(generate secondary ray; trace it)

endfor;

Bildebene

Strahl

11


!�� &!��

��,�� 0�� .��

Traverse SceneFile extract RendPrimfor each RendPrim do

(model transformation +view transformation)

evaluate lighting for each vertexprojection (into a unit cube)clip against unit cubemap to screen coordinatesscan convert RendPrimfor each affected pixel do

interpolate colorresolve visibility (z-Buffer)

endend

Model and ViewTransformation


Projektion

Klipping

Screen Mapping

Rastern(Scan Konvertieren)

Visibilitätsrechnungz-Buffer

Geo

met

risch

e B

erec

hnun

gen:

~ #

Pun

kte

Ras

tern

~#

Pix

elFür jeden Eckpunkt

InterpoliereErgebnisse der


�� .�(&1��

� Szene modellieren: � Objekte, Lichtquellen, Kamera im

Weltkoordinatensystem positionieren und orientieren

� Virtuelle Kamera sieht nur Auschnitte der Welt: � Transformation in ein kanonisches Kamera-

(Viewing-, Eye-) Koordinatensystem:z.B. in Richtung der negativen z-Koordinate

12


.�( 1��

x

z

x

z

Blickrichtung

y y

Sichtpyramide(-nstumpf)view frustrum


-��

� Gouraud Shading:� Farbwert für jeden Eckpunkt

berechnen � Beim Scan-Konvertieren

Farbwerte interpolieren� ERGEBNIS: schattierte

geglättete, matte Oberfläche, keine Glanzlichter

� Phong Shading: � Normalen an jedem Eckpunkt

berechnen� Beim Scan-Konvertieren

Normalen interpolieren� Für jedes Pixel Beleuchtungs-

gleichung berechnen

13


!��,��

Abbildung des Raumes auf die Bildebene:

zwei Grundformen:� Parallelprojektion

� Perspektivische Projektion(Virtuelle Lochkamera)

� Ergebnis: Sichtvolumen (Rehteckoder Pyramide) wird auf normalisierte Gerätekoordinaten(Einheitswürfel) abgebildet

!�"�

��"��

!�"�

#� ��

#� ��∞←

Bild

Projektionsebene


2��

Nur Primitive, die ganz oder teilweise innerhalb der Sichtpyramide liegen, müssen an die nächsten Stufen weitergegeben werden.

3 Fälle für Primitive (Objekte)� vollständig enthalten � weiterreichen� vollständig außerhalb �erledigt

� teils-teils � Neue Eckpunkte am Rand der Sichtpyramide berechnen

x

z

y

x

z

y

neueEckpunkte

Einheitswürfel = transformierte Sichtpyramide

14


'��

Ähnlich wie im 2D:Normalisierte Gerätekoordinaten (3D REAL) �

2D (x,y) Pixelkoordinaten und z-Wert + (Farbe, Normale, Texturkoordinate, ...) für weitere Berechnungen

Auschnitt der „Welt“ �„Fenster“ (Viewport) der Bildschirmfläche


�� 3.��)��

� Berechnen der Farb- und z-Werte für alle betroffenen Pixel

� z-Wert-Vergleich: nur das zuvorderst liegende Pixel wird angezeigt

15


4�� !��

� ��$� ��: Dreiecke (Vierecke, Polygone), Linien, Vektoren,

Raumpunkte� !��: affine und perspektivische Transformationen,

Beleuchtungsrechnung, Klippen� ��$

� ��$�wie oben in normalisieren Geräte (Pixelkoordinaten) und Pixel (Farbe, z-Werte, Texturkoordinaten, ...)

� !��: Raster Scan, Beleuchtungsrechnung, Texturmapping, ...

%��&'��$�(��'�� '��)��*��+ ��'��'�� '��,�� +� ��,!��-


5��

� Geometrische Transformationen

� Positionieren� Verschieben - Translieren� Drehen – Rotieren� Scheren

von starren Körpern im Raum

16


6��(7� ��0��

.��'��#� ��

Ein n-dimensionaler Euklidischer Raum sei mit �n

bezeichnet. Ein Vektor � in diesem Raum ist ein n-Tupel

1,...,1,0,

.

.

1

1

0

−=∈

=⇔∈

−

��

�

�

�

L

Q

Q ��

Desweiteren gelten die bekannten Regel für die AdditionSkalarmultiplikation, Skalarprodukt, Vektorprodukt, ...


�� /��*� können benutzt werden, um Vektoren zu

manipulieren: Eine Matrix /�wird beschrieben durch p x q Skalare mit

[ ]LMTSSS

T

T

LM

�

��

��

��

!"��

=

=

−≤≤−≤≤

−−−−

−

−

1,11,10,1

1,11110

1,00100

...

...

...

10,10

��/

Es gelten die bekannten Regeln und Zusammen-hänge zurAddition, Skalarmultiplikation,Tansposition,Multiplikation,Inversionzu Determinanten,Eigenwerten, Eigenvektoren und orthogonalen Matrizen.

17


��8&.��

Beschreibt lineare Abbildungen des Vektors v.0/��*��1��*��-2

=

⋅

⋅

=

==

−

−

=−

−

=

−−−−

−

∑

∑

�S

�

T

N

NNS

T

N

NN

�S

�

TSS

�T��

#

#

��

��

�

�

��

��

��

�

��

�

1

0,1

1

0,0

1,11

/�1

Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen


�� Wir betrachten den 3D-Raum (o.b.d.A. rechts-händiges

Koordinatensystem)

Ein Vektor � = (vx, vy, vz) kann interpretiert werden als:� Punkt im Raum oder als� gerichtete Linie (Richtungsvektor)

Eine (3x3)-Matrix beschreibt eine lineare Abbildung: � Skalierung� Rotation� Scherung

aber keine Translation, d.h. keine affinen Abbildungenkeine perspektivische Abbildung

18


→

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

Y

Y

Y

RGHU

Y

Y

Y

Y

Y

Y

9�� 2��

erweitern einen 3D-Vektor um ein weiteres Element:

� Richtungsvektor

� Raumpunkt


9�� 2��

Erweitern von (3x3)-Matrizen zu (4x4)-Matrizen:

beschreiben �� beschreiben ��Abbildungen Abbildungen, also auch

3�� 4[��

\��

]5�

und auch perspektivische (spezielle projektive) Abbildungen

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

1000222121

121110

020100

222121

121110

020100

]

\

[

��

��

��

��

��

��

19


1�� Die Multiplikation der Translations-matrix 3 mit einem Punkt��= (px, py, pz, 1)T ergibt:

�6 = (px+tx, py+ty, pz+tz, 1)T .#�� :

Der Richtungsvektor ��= (vx, vy, vz, 0)T

bleibt durch 3�unverändert.

==

1000

100

010

001

),,()(]

\

[

]\[ �

�

�

�� 33

x

y

x

y

5

2

T(5,2,0)


�� 9��

−

=

−=

−

=

1000

0100

00cossin

00sincos

)(

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

)(

1000

0cossin0

0sincos0

0001

)(

φφφφ

φ

φφ

φφ

φφφφφ

φ

]

\[

�

��

.� ��'��$1. Summe der Elemente der Haupt-

diagonale Ist bei allen �Lgleich

2. Punkte auf der Rotations-Achse bleiben unverändert.

3. Rotationsmatrizen sindorthonormal � �-1 = �T

φcos22 +

20


-��:�� &0��

x

y

−

=

1000

0100

006

cos6

sin

006

sin6

cos

)6

(ππ

ππ

π]

�

)6

(π

]�

x

y


-��:�� !� �� &0��

x

y3(p)

x

y p3(-p)

)4

(π

]�

x

y

x

y

)4

(π

]�

)()4

()( �]

−= 3��37π

21


'�� Man nennt eine Skalierungisotropisch (uniform), wenn

sonst anisotropisch (non-uniform).

==

1000

000

000

000

),,()(]

\

[

]\[ �

�

�

�� 88

x

y

x

y

8(2,0.5,1)

,]\[

�� ==


5��

=

=

�

�

�

�

1000

0100

0010

0001

1000

000

000

000

8

Alternative Matrix für isotropischeSkalierung

Oft nicht effizient, weilHomogenisierung nötig.

=

1000

000

000

000

]

\

[

�

�

�

8

Wenn ein oder drei Skalierungsfaktorennegativ sind, erhält man eine Reflektions- (Spiegel-)Matrix.

Achtung: Dies verändert den Umlaufsinn der Koordinaten bei Polygonen:

Wenn zwei Skalierungsfaktorennegativ sind, entspricht dieseiner Rotation um 1800.

� 4��4�9�5,/��95�:�;�� /��9��8�� 9

22


'��

beeinflußtScherungdiedie,Koordinate:

wirdverändertdie,Koordinate:

)(),(),(),(:

1000

0100

0010

001

)(

1000

0100

0010

001

)(

�� $#��

��

��#��

�

�

�

�

]\][\]\[

[][\

<<<<

<<

=

=

x

y

x

y

<[]

(s) spz

+

]

\

][

�

�

��


0�� '��

Achtung:Manche Autoren (z.B. Foley, van Dam) benutzen

andere Definitionen für Scherungsmatrizen:

)()(

1000

0100

010

001

),(’ ��

�

��\][][\

<<< =

=

23


4�� 0�� 0��

2D 3DLineare Abbildungen ��lassen sich durch eine Matrixmultiplikation

��= �* 9

beschreiben: Skalierung, Rotation, ScherungEine Translation lässt sich durch eine Addition beschreiben:

��= 3+ 9

(��1=��'��'��'�� /��$�� '�� )��$�.��

��>?

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

[

[

OO

OO

\

\

⋅

=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

[

[

[

OOO

OOO

OOO

\

\

\

+

=

2

1

2

1

2

1

[

[

W

W

\

\

+

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

[

[

[

W

W

W

\

\

\


2� �� Nacheinanderausführung von Transformationen erfolgt

durch Multiplikation (von links)Matrizenmultiplikationen sind ��'��$�

x

y)

6(π

]5

x

y

x

y

x

y

)1,5.0,2(6

)6

(π

]5

x

y

x

y)1,5.0,2(6

( )6)1,5.0,2( π]

56 ⋅

( ) )1,5.0,2(6 65]

⋅π

≠

@//@ ≠

24


.� 7;<1�� =��

VRML 97 hat keine allgemeine (4x4) Matrix Transformation sondern eine Skalierung 8��eine Rotation ��eine Translation 3(t) in fester Folge

)()()( '38��'337 −= ��

1. Translation T zum �� '2. Skalierungsrotation �

V

7, Skalierung 8, Rückrotation �V

3. Rotation �4. Rücktranslation vom �� '5. Translation 3(t)


1�� 2%��

� )��Skalierung und Scherung (formverändernd)� Nur Rotation und Translation (6 Freiheitsgrade)

��

��

�

��

�

�

��

�

�

�� 7

]

\

[

��

��

��

1111

222120

121110

020100

)(

1000

)(

:Beachte

25


1�� =��

� Matrizen können Punkte, Linien, Polygone, ... transformieren

� Vorsicht bei @��A

x

y

x

y

x

y

0,5 entlang der x-Achse

��'� ��'��


Wird eine Matrix /�benutzt um Geometrie zu transformieren, dann müssen zugehörige Flächennormalen mit

transformiert werden.Sonderfälle:

Reine Rotationsmatrizen! Warum?

Translationen verändern Normalen nicht!Transformation starrer KörperUniforme Skalierungen

1�� =��

( )�1−= /@Hier ohne Beweis angegeben, siehe z.B. Turkowski´s Beitrag in *UDSKLFV�*HPV�

$��*ODVVQHU �(GW��

} Anstelle von N kann M benutztwerden. Renormalisieren.

26


!��,��0��

Rückblick:Ausgabepipeline

Alle geometrische Objekte der Szene müssen auf eine 2D Fläche abgebildet werden:

��"��



Projektion

Klipping

Screen Mapping




!��,��

� Parallelprojektion

� Perspektivische Projektion

!�"�

��"��

!�"�

#� ��

#� ��∞←

Bild

Projektionsebene

27


5� �� !��,��

Hauptrisse

isometrisch dimetrisch trimetrisch

Axometrie

rechtwinklig

Kavalier Kabinett

schiefwinklig

parallel(orthographische)

1-Punkt 2-Punkt 3-Punkt

perspektivische

ebene geometrischeProjektionen

Beachte:Für technische Zeichnungen sind längentreue Projektionen, insbe-sondere die Hauptrisse sehr wichtig.Perspektivische Abbildungen sind vonHand sehr aufwendig� vielen orthographischen Projektionen, die räumlichen Eindruck vermitten.

Details siehe z.B. Encarnacao, Straßer, Klein:Graphische Datenverarbeitung


!��,�� 9��

Kennzeichen der Parallelprojektionen:��AAA

Ein einfaches Beispiel: � Der Betrachter schaut (aus dem Unendlichen) in

Richtung der negativen z-Achse, mit y nach oben und x nach rechts (Rechtssystem) (Achtung: in der Literatur zum Teil anders dargestellt)

� Die Projektion erfolgt auf die xy-Ebene, d.h. z=0

28


!��,�� 8*&5�

� Die z-Komponente wird zu Null gesetzt

� Unterdrückt die z-Komponente

� Achtung: positive und negative z-Werte werden aud die xy-Ebene abgebildet

Projektionsebenez0=0

=

1000

0000

0010

0001

0�

z

x

y

#'�� $�Auch Objekte auf der Seite des Augpunktes (auch hinter dem Beobachter) werden auf die Bildebene projiziert.


9��

Stimmt die Projektionsrichtung mit einer der Koordinaten-Richtungenüberein, so erhalten wir je nach Wahl der Ebene und des Vorzeichens der Projektionsrichtung einen der sechs Hauptrisseeines Objektes. In Matritzenschreibweise

beispielweise ist die Projektion auf die Ebene $�%�$�

gegeben durch

=

1000

000

0010

0001

00 $]

�

=

1000

0100

000

0001

0

0

�\

�

=

1000

0100

0010

000 0

0

[�

In den meistens Fällen wird man für x0, y0, oder z0 den Wert Nullwählen.

29


��

In der Regel wird bei Implementierungen mit der Projektion auch das Klipping vorbereitet:

Anstelle der Projektion auf eine Ebene und einem Klippen in dieser Ebene

transformiert man in ein kanonisches ViewVolume (Quader) und klippt an dessen Flächen und führt mit dem Screenmapping die „einfache“ Projektion durch. Details betrachten wir später!

Man führt Backface- und Frontface-Klipping ein.


�� 00--�8�� 8

Eine axis alingned bounding box (kurz AABB, oder boundingbox) ist ein zum Koordinatensystem achsparalleler Quader, (ein Quader bei dem die Normalen seiner Flächen parallel zu den Achsen des Koordinatensystems liegen). Ein AABB wird durch zwei Extrempunkte, nämlich �min und �max bestimmt, mit

{ }$� LL

,,,maxmin ∈∀≤ ��z

x

y amax

amin

30


1�� '��

Ein Sichtvolumen wird als 6-Tupel definiert(��&�[near, far, left, right, bottom, top].Dieser achsparallele Sichtquader AABB mit

wird in das kanonische Sichtvolumen transformiert

=

=

�

�

�

�

�

�maxmin ��

=

−−−

=1

1

1

1

1

1maxmin ��


1�� '��

z

x

y

z

x

y

z

x

y

f

r

l

nb

t

345

84�5

=

=

�

�

�

�

�

�maxmin ��

=

−−−

=1

1

1

1

1

1maxmin ��

31


1�� '��

−+−

−

−+−

−

−+−

−

=

=

+−

+−

+−

−

−

−

==

1000

200

02

0

002

10002

100

2010

2001

1000

02

00

002

0

0002

)()(

QI

QI

QI

EW

EW

EW

OU

UO

OU

QI

EW

UO

QI

EW

OU

VR

W763

#'�� $�In der Computergraphik (z.B. OpenGL) wird beim Viewing häufig ein Linkssystem benutzt: dadurch ist z.B. z-Buffering „intuitiver“, weil Objekte größere z-Werte haben, je weiter sie entfernt sind.


4�� Transformationsmatrix in OpenGL benutzt Linkssystem

Andere Implementierungen bilden die z-Werte auf [0,1] ab anstatt auf [-1,1].

22VW2

22SHQ*/

QI

QI

QI

EW

EW

EW

OU

UO

OU

WV

3303

6763

==

−+−

−−

−+−

−

−+−

−

=−=

1000

5,05,000

0010

0001

1000

200

02

0

002

)1,1,1()()(

’

32


!��1�� 4 ��,��

��!��

z x

yq

p

z

x

z = -dz = -d

pz

qx px

−−−

=

−

=

−

==

110100

0100

0010

0001

G

SGS

SGS

GS

S

S

S

S

S

S

G

ZHLO]\

][

]

]

\

[

]

\

[

SS3T

−

=

0100

0100

0010

0001

G

VRPLWS3

tz!Strahlensa ,, GTS

SGTQGHQWVSUHFKH

S

SGT

S

G

S

T]

]

\

\

]

[

[

][

[ −=−=−=⇔−=


�� !��1��

� Wie bei der Parallelprojektion transformieren wir die „Welt“ in das kanonische View Volume

� Das Sichtvolumen ist hier ein ��4view frustum)

z

y

z

x

y

xx

�4�5(r,t,f)

(l,b,n)

��'�$Bei symmetrischen Sichtvolumen:

�B,��B,�

33


��8��1�� '��*��

z

y

z

x

y

x

�4�5(r,t,f)

(l,b,n)

−−−

→

−→

−−

−+−+−

−

−+−

−

=

1

1

1

1

1

,

1

1

1

1

10100

200

02

0

002

Q

E

O

Q

W

U

DOVR

QI

IQ

QI

QI

EW

EW

EW

Q

OU

UO

OU

Q

S3


4��

!�� Gründe wie zuvor angegeben:

0<n‘<f‘ sind Abstände auf der negativen x-Achse

��'7:

near-plane wird auf z=0 abgebildet

Änderungen ergeben sich aus entsprechender Skalierung und Translation (siehe zuvor)

−−

−−

−−+

−

−+

−

=

−−

−−+−−+

−

−+

−

=

0100’’

’’’’

’00

02

0

002

0100’’’’2

’’’’

00

02

0

002

QI

QI

QI

I

EW

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3

34


4�� &!��



Projektion

Klipping

Screen Mapping



Modellingtransformationen

Viewing Transformationen

Homogene Koordinaten

Ein bisschen (mehr) üben!


5�� !��,�� 0��

1. Projektive Abbildungen im �3 werden durchlineare Abbildungen des �4 beschrieben.

2. Geraden werden auf Geraden abgebildet.

3. Die Reihenfolge (und das Doppelverhältnis) von Punkten auf projektiven Geraden bleiben erhalten.

Perspektivische Abbildungen sind spezielleprojektive Abbildungen.

35


!�� 0��

Die durch

festgelegte perspektivische Transformation hat folgendeweitere Eigenschaften:

+

=

=

# $

�

#

$

�

#

$

�

�3

00

1001

0100

0010

0001

’

’

’

’

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5�� >�

Für �� und �� sind die Bildpunkte dieser Abbildung alle von der Form �� W d.h. alle Punkte auf der affinen Geraden x= -x0 werden auf unendlich ferne Punkte abgebildet. Um Unstetigkeiten in der perspektivischen Transformation zu vermeiden, bildet man nur Punkte einer der beiden durch diese Gerade bestimmten Halbebenen ab. Man nennt dann diese Halbebene Sichtfeld und die Gerade x=-x0 Sichtgerade.

36


5�� "�

Aus 1. folgt zunächst, daß der affine Punkt �� W auf den unendlich fernen Punkt �� W�� W, d.h. auf die Richtung der �-Achse abgebildet wird.Nach 2. bleiben die Punkte der affinen �-Achse bei der Transformation fest.

Da bei projektiven Abbildungen Geraden auf Geraden abgebildet werden, folgt daraus, dass eine affine Gerade durch den Augpunkt �� W, welche die affine �-Achse im Punkt �� W schneidet, auf eine affine Gerade parallel zur �-Achse durch den Punkt �� W abgebildet wird.


5�� #�

Der Punkt �� W wird auf den Punkt �� W abgebildet. Daher enthalten die Bildgeraden von Parallelen zur affinen Geraden mit der Richtung �� W

alle den Punkt �� W , d.h. sie schneiden sich in diesem Punkt. Variert man� und �, so sieht man, daß die Gesamtheit der Bildpunkte aller Richtungen �� W auf der Geraden x=x0 liegt. Diese Gerade heißt Fluchtgerade.

37


5�� ?�

Die Schnittpunkte der Bildgeraden von Parallelen zu den Koordinatenachsen werden Hauptfluchtpunkte oder einfach Fluchtpunkte genannt. Nach 4. schneiden sich die Bildgeraden von Parallelen zur �-Achse alle in dem affinen Punkt �� W.Nach 2. bleiben Parallelen zur �-Achse parallel, d.h. sie schneiden sich nur im unendlich fernen Punkt �� W ihrer Richtung. Daher besitzt die perspektivische Abbildung,die durch �S dargestellt wird, nur einen Hauptfluchtpunkt im Affinen. Man nennt diese spezielle Perspektive daher Einpunktperspektive.


5� &@4(�& � ��

Eine allgemeine perspektivische Transformation ist durch

gegeben. Die Richtungen von Parallelen zu den Koordinatenachsen, d.h. die Punkte�� W�� W, bzw. �� W werden auf die Fluchtpunkte �� W�� W�bzw. �� W abgebildet.

+++

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��

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38


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Bei der praktischen Anwendung von Projektionen liegt der Standort des Betrachters beliebig im Objektraum. Eine allgemeine perspektivische Transformation wird durch die Festlegung eines Augpunktes (��), eines Blickbezugspunktes (��) und der Angabe einer Oben-Richtung (��) festgelegt.

Die virtuelle Kamera werden wir später detaillierter betrachten!


-�� 1��

�� Berechnung des Bildschirmkoordinatensystems mit Ursprung �� und denBasisvektoren �’[, �’\ und �’]: �’] wird durch �� und �� definiert. �’[ steht senkrecht auf den Vektoren �� und �’]. Da die �-Achse des Bildschirm-koordinatensystems in die entgegengesetzte Richtung des ��-Vektorszeigt, bilden die drei Vektoren �[’, ��, und �]' ein linkshändiges,noch nicht notwendig orthogonales, Koordinatensystem.

Der Vektor �� wird daher durch den Vektor �'\ senkrecht zu �'] und �'[ersetzt, so daß �'[,�'\ und �'] ein rechtshändiges orthogonales

Koordinatensystem bilden. Die Vektoren �'[, �'\ und �'] müssen normiert werden! � Translation des Bildschirmkoordinatensystems in den Ursprung. � Rotation des Bildschirmkoordinatensystems auf das Welt- bzw. Referenz-koordinatensystem:

�'[→ ��‘\→ ��‘]→ ��

�� Perspektivische Transformation mit Abstand | �� -��, wobei der Beobachtungspunkt (��) auf der negativen �-Achse liegt.

39


4��

1. Identifikation der Grundaufgaben � Primitive� Funktionen� Die Ausgabepipeline

2. Affine Transformationen� Homogene Koordinaten

3. Perspektivische Transformationen= spezielle projektive Abbildungen


4�� 9�� 8

Teilmatrizen:lineare Transformationen� Skalierung

� Rotation

� Scherung

TranslationenProjektionen: perspektivische Transformationen

1323130

23222120

13121110

03020100

40


��

(Modelling-Transformation)� Transformieren und Klippen

(Screen Mapping) Weltkoordinaten � GerätekoordinatenAusschnitt der „Welt“ � „Fenster“ der ZeichenflächeRastern (Scan Konvertieren, Rasterisieren)Geometrische Primitive � Menge von Pixeln

� Rendering� Skalieren� Rotieren� Translieren� Scheren


��

� 3D-Szene:� Menge der im Weltkoordinatensystem

positionierten und orientierten Objekte� Menge der positionierten und orientierten

Lichtquellen� Virtuelle Kamera (s)� Hintergrund� Umgebungseffekte (Nebel, Dunst)

� axis aligned bounding box

41


��

� Projektive Ausgabe � Raster Scan Verfahren� Strahlverfolgung � Raycasting, Raytracing� Rendering Pipeline� Euklidischer Raum und Lineare Algebra� Matrizen� Affine Abbildungen� Homogene Koordinaten� VRML 97 Transform Node� Transformation von Normalen� Projektive Abbildungen


��

2D-Primitive� Punkte � (Poly) Marker� Linien(zug) � Polygn� Fläche � Füllgebiet� Text� (Dig. Bild) � (Fill Array)

(unsystematisch, aber als Füllmuster (Attribut) wichtig) Kreise, Ellipsen – Kreisbögen, Ellipsenbögen

� Rechtecke, Parallelogramme, ...� Pfeile, Spiralen, ...

� Kurven: Bezier, Splines, algebraische Kurven

42


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� Klipping und� Verdeckungsrechnung

04 Rendering -- Geometrische Transformationen€¦ · 4 Wichtige Unterscheidung Definitionsbereich:...

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