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Beweis : Da M Zusammenhaigend und fstekg ist,

ist arch FCM) ER

zusammenhoingend ,also ein lutwvall

. Damit ist CE FCM )

.

a

Def . : Die Zusammeuhaugskompoueute klx ) von XEM ist die

Uereinigungalter zusammeuhoiugndv Teilmengeu von M,

die x enthalten .

Ben.

: Es list sick zeigen .

dass

° jede Zusammeuhaugskompoueute zusammeuhinugend & abgeschlossen ist.

o die -"

- u zweier Punhte eutwedv gleich oder

disjunkt Sind.

lnsbesondve Kann M als disjuukte Uveiuigwuy seiner

Zusamnenhangshompoheuten betrachtetwwdeu.

Bsp . : ° Die orthogonal Grappe Oh )÷fAeR" ' "

/ A ''A=1 } istnicht zusammenhoiugend .

Beweis : det : R" "

→ R ist stetig ( da Polynom ) .

were Oh ) -n -

, mipte anch

det ( On ) ER dies sein.

Es gilt jedoch wegeu 1=det( At A) = detlat )det( A) :detl AT

,

dass AEOCN ) ⇒ det ( A) et±1 }. Wegeu 1. ( ""g) e OH ist detain )=f±1 } .

Old hat zwei Zusammenhangskompouenteu .Die eine ewthilt Rotakouen ( detlAI=1 )

,

die andere Rotation unit Spiegelung ( detla ) : - ^ ) .

° Die eigeuttiche Loreutzgruppe 5013,7 ) : 't AER" "

1 Agttg ^ detlr ) : 1 } unit

g: :(

' '

i

,

,

) ist Weder kompakt noch zusammeuhoingend .

Beweis : Aus tgtt

=g folgt too = 1+ u§,

( to )'

' - 1.

Da A ' → too skkgist and es in 5013,4 Element unit too ? 7 und unit too ± - 7 gibt ,

ist Sohn ) wicht Zusammeuhingnd .

( Es gibt zwei Zus. kompohlnteu SO ( 3. n ) : 506,7 )tu SON

,

^ ). )

Da so ( 3,

1

)+,

Lorentz - Boosts"

do FormA = ( yrPY

,

,

) unit

p.

. Ee [ 0,7 ) andy : ( 1- f)

. "

2 euthinlt,

+

und damit unbeschroinktist,

sind SO ( 3,7 ) und Sol 3.

' ) nicht

koupakt . A

I.

Normivte Vektorraume and linear Abbildungen

Def . : Seien ( X, 11.11×1 und ( Y,

II. lly )

normivtek. Vehtorraume ( k.ctR.ci } )

° BC X. Y ) : :{ A :X → Y linear / Fce IR : the X : HAXH ,±c Hxllx }defrniut die they dlr beschroiukten linemen Abbildungeu ( "

Opvatoren"

).

° For eine linear Abbildnng A :X . > Y definiuen wir die

11 AxllyOperator norm HAH := sup - E to ,• ]XEXHO}

11 ×H×

Ben . : ° BC X. y ) ist selbst ein K . Vektorraum anf dem die

Operator norm

,wie do Name suggviet ,

eine Norm ist.

° Per Definition ist HAH de klinsk konstante CER for due

HAXH ± ( 11×11 fur ake XEX gilt .

Man zeigt leicht HABH ± HAHHBH .

Satz : Sci A :X . > y eiue linear Abbildny zw.normivten

Vektorraumen

und ×eX .

Dann sind Equivalent :

( i ) A ist Lipchitz - stetig .

( i :) A ist stetig bei ×.

( iii ) A ist beschroinkt.

Bewn 's : ( : ) ⇒ ( ii ) ✓

( ii ) ⇒ C iii ) Stetigkeit be : x inpliziut tyeX :

7. S > 0 : Hy - × 11 eS ⇒ 11 Ax - Ay HE 1

Dies trifft insbesondee fir y :'-(S,,±z,,

+ × ) zu, wobei z c- Xlto } bel

.

,

da Hy - ×H= 118¥,11 = s

.

D.h.

1 >. H A × - AYH . - 811AZH 1112-11

,so dass HAZH . tg112-11

.

( iii ) ⇒ ( i ) HAY - Axli ' 11 A lyix ) H I HAH Hy . ×H.

a

Satz : Se ; X ein endlich dimensional 1k - Uektorraum and H . 11

,11.11

'

ein

Paar von Norman daranf . Dann gilt : 7 c. c

'

e ( o, a ) :

the X : a 11×11'

e 11×11 ± c'

11×11'

.

Ben. :

Die Normen heifers dann Equivalent .

Benes 's : ° X Kann church die Wahl einw Basis mit dem"

idenlifizivt warden.

° Da die Aqnivallnz von Norman transits 'v ist, genigt es dies fin

11×111 = 11×11

.

:= [ §,

Kit ]"

zu zeigeu .

° 11×11 = 11 E. × ;e ;11 e §

,

lxil He ;h ; 11×11. ( ¥ 11 eili )

"

p T -

A. 1h . ONB s . Ungl . Cauchy - Schwarz = :c'

° f

:X to 11×11 ist Lipchitz - stetigbzgl .

Hill. ,

da

/ 11×11 - HyH| ; Hx . YH ± c'

11×-7112.

s - Uugl .

• 5"

:='

jxek"

I 11×112=1 } ist koupaht in ( k"

ill ' K,) .

Dawit existent min f ( 5"

) = :c E ( °, • ) und es gilt tx.to :

4¥,,H ' . c,

da ¥ ,e 5

"

fur xto .

Denman ist 11×11 ? cllxkz TXEX I

korollw : Die Eignschafhn kouvvgeuz , Abgeschlosseuheit,

Offenhit ,

kompahthut , Stekgkeit und Zusammenhany ,

hiuyn in endlich . dim.

,wormivhu Vehtorroiumen miht von

der Wahl du Norm ab.

Erinnvung : o × : AV 's M ist eine Cauchy - Folge in metrrschen Raum ( M.

d),

wenn

HE > 0

FNENVHk ,L > N : d( xu .

a) e E

° Ein metrischv Raum heipt vollstandg ,wenn jedl Cauchy -

Folye

kouvugivt• Ein uollstandigv normiwtv Vektorraum Lift Bauaihraum

.

d dLemma : For xeN→ K

,Metric } gilt unit 11×11

. it maxtlxil ]

; ...

:

l : ) ( xn ) ist Cauchy bzgl . Hilla ist Equivalent zu

( ii ) ( xu );

- " -

in K fir alle i=7, ... ,d .

Beweis : ( i ) ⇒ L ii ) folyt aus 1 xn,

:

-

Xu,

:| ± H×n - ×mHa

L ii ) ⇒ l : ) folyt unit du Wahl N : : Max t N; } ;D

, ,a

Salz : }edv endlich . dim.

normivte lkvehtorraum ist vollstindrg .

( also ein'

Bauachraum' )Bewu

's : ( xn ) ist Cauchy - Folge btyl . Hill

⇒ ( xu ) -h

- Hilla

⇒ ( xu ):

-

' - in 1k for allei

⇒ ( xn ); kouvvgivt -

--

,da lkuollstindgist

⇒ ( ×.) -

" - bzgl . Hilla

⇒ ( xn ) -

' - bzgl .

Hill. D