1. Aufgabe

Fall Merkmalsträger Merkmal Merkmalsausprägung Skalenniveau

a)

Studierende des 1. Semesters im Studiengang „Betriebswirtschaftslehre“ an der Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, Standort Sankt Augustin

Staatsangehörigkeit Alle möglichen Staatsangehörigkeiten: Deutsch Russisch Polnisch Türkisch ……………..

nominal

b)

Alle wahlberechtigten Bürger der Stadt Bonn

Partei CDU, SPD, FDP, Bündnis 90/Die Grünen, BBB,…………

nominal

c)

Alle deutschen Frauen zwischen 30 und 40

Einkommen Alle möglichen Angaben in Euro

Metrisch – verhältnisskaliert (stetig oder diskret)

d)

Aller Städte ( >= 100.000 Einwohner) in NRW

Außentemperatur am 31. Dezember 2008

Alle möglichen Temperaturangaben in C °

Metrisch – intervallskaliert (stetig)

e)

Ausgewählte Konsumenten

Beurteilung der Qualität einer TV -Show

Von „sehr gut“ bis „sehr schlecht“

ordinal

f)

Alle Bonner Gymnasialschüler

Anzahl Kinobesuche in den Sommerferien 2009

Von 0 bis …… Metrisch - diskret

g)

Alle EU Mitgliedsstaaten Inflationsrate im Juli 2009

Von 0% bis ………… Metrisch - stetig

h)

Bonner Bürger Einstellung zum geplanten Bau des Festspielhauses

Verschiedene Einstellungsabstufungen

ordinal

i)

Eier vom Bonner Wochenmarkt

Güteklasse Die verschiedenen Klassen, A, B und C

ordinal

j)

Bonner Kinder, die zum Schuljahr 2009/10 eingeschult wurden

Körpergröße Alle möglichen Ausprägungen in cm

Metrisch (stetig)

2. Aufgabe

Merkmal Merkmalsausprägung Information

Augenfarbe Grün, blau, braun qualitativ

Bierkonsum 0 – 5 [ Liter ] quantitativ

Bruttogehalt Niedrig, hoch, sehr hoch qualitativ

Konfession evangelisch, katholisch qualitativ

Steuerklasse I -V qualitativ

3. Aufgabe

Merkmal Skalenniveau Vermerk

Geschwindigkeit von Ameisen Metrisch (Verhältnisskaliert) stetig

Alter in ganzen Jahren Metrisch (Verhältniskaliert) diskret

Fernsehkonsum in Std Metrisch (Verhältnisskaliert) diskret

Seitenzahl Buch Metrisch (Verhältnisskaliert) diskret

Steuerklasse nominal

Konfektionsgröße ordinal

Fußballmannschaft nominal

Wertung beim Eiskunstlauf ordinal

Güteklasse von Restaurants ordinal

4. Aufgabe

a)

b)

Arithmetisches Mittel: 333,5

Modus: 270

Median: 297,5

c)

Der Median von 297,5 wird von den Ausreißern nicht beeinflusst. Das arithmetische Mittel von 333,5 ist allerdings höher als 80% der beobachteten Werte (wird maßgeblich durch die Ausreißer verzerrt!)!

xi hi fi Hi Fi

270 2 0,2 2 0,2

280 1 0,1 3 0,3

290 1 0,1 4 0,4

295 1 0,1 5 0,5

300 1 0,1 6 0,6

310 1 0,1 7 0,7

330 1 0,1 8 0,8

480 1 0,1 9 0,9

510 1 0,1 10 1

Summe: 10 1

5. Aufgabe

Der Median liegt bei 61 Punkten: Bei 21 Beobachtungswerten (ungerade) liegt der Median beim (n+1)/2 ten (nach der Größe geordneten) Beobachtungswert: (21 + 1)/2 =11. Beobachtungswert

Arithmetisches Mittel: 59,048

Summenhäufigkeitsfunktion

Die Punktzahl, die 50% aller Teilnehmer erreicht haben ist natürlich der Median: 61 und diese Punktzahl liegt in Klasse 4!

6. Aufgabe

6G 06.1*15,1*92,0**1,1*18,1*16,1X = 1,09124

Intervall Klassenmitte hi Hi fi Fi

0 – 20 9,5 1 1 0,048 0,048

21 - 40 30,5 4 5 0,19 0,238

41 - 60 50,5 5 10 0,238 0,476

61 - 80 70,5 7 17 0,333 0,81

81 - 100 90,5 4 21 0,19 1

21 1

7. Aufgabe

Die durchschnittliche Entwicklungsrate beträgt 11,73%

8. Aufgabe

Durchschnittliche Wachstumsrate Branche:

Wachstumsfaktoren: 1,021; 1,069; 1,0714

√

Durschnittliche W.-rate : 5,35% (mögliche Rundungsdiff. 5,38% genauer!!!)

Durchschnittliche Wachstumsrate Unternehmen:

√

Durchschnittliche W.-rate: 6,11% (6,12% genauer!)

9. Aufgabe

Varianz: 6860,25 [€²]

Stabw.: 82,8266 €

Gemessen am arithmetischen Mittel von 333,50 € ist ein Preis von 320€ eher als unterdurchschnittlich anzusehen. Er liegt, gemessen am Median aber über den ersten 50% der Verteilung und findet sich somit im oberen Preisniveau wieder!

10. Aufgabe

Modus: 181 € (der häufigste Wert)

Median: 192 € (bei 8 Beobachtungswerten, liegt der Median, nachdem man die Beobachtungswerte der Größe nach geordnet hat bei

Arithmetisches Mittel: 194 €

Varianz: 1436

Standardabweichung: 37,89

Kosten in€ hi fi Fi

125 1 0,125 0,125

159 1 0,125 0,25

181 2 0,25 0,5

203 1 0,125 0,625

225 1 0,125 0,75

233 1 0,125 0,875

245 1 0,125 1

Die mittleren 40% liegen 20% über und 20% unter dem Median (=50%), d.h. in dem Intervall

30% und 70%.

Die 30% werden bei 181 € erreicht – die 70% bei 225 €

Intervall der mittleren 40% [181; 225]

11. Aufgabe

Person Anteile an der Grundgesamtheit

Kumulierte Anteile an der Grundgesamt-heit Einkommen

Anteile am Gesamtein-kommen

Kumulierte Anteile am Gesamt-einkommen

0 0

A 0,2 0,2 11.000,00 € 0,183 0,183

D 0,2 0,4 11.000,00 € 0,183 0,367

E 0,2 0,6 11.000,00 € 0,183 0,550

B 0,2 0,8 13.000,00 € 0,217 0,767

C 0,2 1 14.000,00 € 0,233 1,000

60.000,00 €

12. Aufgabe

In einer amtlichen Statistik finden Sie folgende Verteilung der Erwerbstätigen in der BRD für April 1990 (in 1.000 Personen):

Nr.

Altersgruppe

von … ..

bis unter…

Selbstständige und

mithelfende

Familienangehörige

abhängig

Beschäftigte

1 15 -25 99 5002

2 25 - 35 531 7009

3 35 - 45 1243 5731

4 45 - 55 937 6051

5 55 - 65 595 2284

6 65 - 75 160 63

7 75 - 95 42 16

1)Was sind die statistischen Einheiten, Grundgesamtheiten und Merkmale?

Statistische Einheit ist bzgl. der 2 dimensionalen HV der einzelne Erwerbstätige in der BRD im April 2009

Grundgesamtheit: Alle Erwerbstätigen im April 2009

Merkmale: 1.) Art der Beschäftigung mit 2 Ausprägungen

2.) Zugehörigkeit Altersklasse mit 7 Ausprägungen

2) Berechnen Sie das Durchschnittsalter der Selbstständigen und Familienangehörigen sowie der abhängig Beschäftigten.

Durchschnittsalter Selbstständige: 45,23

Durchschnittsalter abh. Beschäftigte: 37,16

Nr.

Altersgruppe X

von … ..

bis unter… Klassenmitte xi

Selbstständige und

mithelfende

Familienangehörige

1 15 -25 19,5 99 1.931

2 25 – 35 29,5 531 15.665

3 35 – 45 39,5 1243 49.099

4 45 – 55 49,5 937 46.382

5 55 – 65 59,5 595 35.403

6 65 – 75 69,5 160 11.120

7 75 – 95 84,5 42 3.549

Summen 3.607 163.147

3) Welcher Anteil der Selbstständigen und welcher Anteil der Unselbstständigen ist 55 Jahre und älter?

Nr.

Altersgruppe X

von … ..

bis unter… Klassenmitte xi

Selbstständige und

mithelfende

Familienangehörige

Rel.

Häufigkeiten

Kum. rel.

Häufigkeiten

1 15 -25 19,5 99 0,027 0,027

2 25 - 35 29,5 531 0,147 0,175

3 35 - 45 39,5 1243 0,345 0,519

4 45 - 55 49,5 937 0,260 0,779

5 55 - 65 59,5 595 0,165 0,944

6 65 - 75 69,5 160 0,044 0,988

7 75 - 95 84,5 42 0,012 1,000

Summen 3.607 1,000

Nr.

Altersgruppe X

von … ..

bis unter… Klassenmitte xi

abhängig

Beschäftigte

Rel.

Häufigkeiten

Kum. rel.

Häufigkeiten

1 15 -25 19,5 5002 0,191 0,191

2 25 - 35 29,5 7009 0,268 0,459

3 35 - 45 39,5 5731 0,219 0,678

4 45 - 55 49,5 6051 0,231 0,910

5 55 - 65 59,5 2284 0,087 0,997

6 65 - 75 69,5 63 0,002 0,999

7 75 - 95 84,5 16 0,001 1,000

Summen 26.156 1,000

4) Welcher Anteil der 65jährigen und älteren Erwerbstätigen ist selbstständig?

Anzahl der Erwerbstätigen ab 65 und älter: 223 + 58 = 281

Davon sind selbstständig: 160 + 42 = 202

Anteil: 202/281 = 71,9 %

13. Aufgabe

(a) Merkmalsträger: Anzahl der Vorstellungen

Merkmal: Anzahl der verkauften Karten

(b) Xa = 800 Karten (Klassenmitten ausrechnen; diese mit den absoluten Häufigkeiten

multiplizieren und anschließend durch 500 teilen!)

(c) Einzelne absolute Häufigkeiten aufaddieren: 200+50+50 = 300

(d) (200/2)+50+50 = 300

(e) 400.000 Karten

14. Aufgabe

a) 200,30 cm

b) 203 cm

c) Varianz: 74,21 [cm²] => Stabw: 8,61 cm

d) 8,61 / 200,30 = 0,043 = 4,30%

15. Aufgabe

Zu a) ordinal skaliertes Merkmal: nur Median möglich

Nach der Reihenfolge sortiert (1, 2, 3,4, 4,), der 3. Beobachtungswert: 3

Modus : 4

Zu b) Verhältnisskaliertes Merkmal/metrisch skaliert: Geometrisches Mittel, da

Wachstumsfaktoren:

Durchschnittlicher Wachstumsfaktor 2,49%

Zu c) nominalskaliertes Merkmal: nur Modus: 4 (graublaue Augen)

Zu d) metrische Skalierung: arithmetisches Mittel: (1 +2 +3+ 4 + 4)/5 = 2,8 km

491,2

*3*2*1

x*...*x*xx

5 2

n h

k

h

2

h

1G

4

k21

16. Aufgabe

a)

Merkmal: Anzahl der Taxen in der Stadt

Merkmalsträger: 20 Taxi Unternehmen

Merkmalsausprägungen: jede denkbare Taxi-Anzahl (xi)

Beobachtungswerte: Taxianzahl in dem jeweiligen Unternehmen

b)

xi hi fi Hi Fi

1 8 0,4 8 0,4

2 4 0,2 12 0,6

3 2 0,1 14 0,7

4 2 0,1 16 0,8

5 2 0,1 18 0,9

6 2 0,1 20 1

Summe: 20 1

c)

Arithmetisches Mittel: 2,6

Modus: 1 [Taxi]

Median: 2 [Taxen]

Q1 = 1 [Taxi]

Q3 = 4 [Taxen]

d)

QA = Q3 – Q1 = 3 => 50% der UN haben zwischen 1 und 4 Taxen!

Varianz: 3,04 => Stabw: 1,7436

e)

Anzahl aller Taxen der Stadt (bzw. der 20 Unternehmen): 2,6 (arithmetisches Mittel) * 20 (Unternehmen) = 52 Taxen

Anzahl der Taxen der 5 kleinsten Unternehmen

=> 1+1+1+1+1 = 5 => 5/52 * 100 = 9,6%

-> Die 5 kleinsten Unternehmen, haben 9,6% aller Taxen der Stadt!

Anzahl der Taxen der 5 größten Unternehmen:

=> 6+6+5+5+4=26 => 26/52 * 100= 50%

->Die 5 größten Taxiunternehmen haben 50% aller Taxen der Stadt!

17. Aufgabe

a)

Anzahl

Überstunden

Anzahl

Mitarbeiter fi Hi Fi

0 7 0,23 7 0,23

1 3 0,10 10 0,33

2 4 0,13 14 0,47

3 9 0,30 23 0,77

4 4 0,13 27 0,90

5 2 0,07 29 0,97

8 1 0,03 30 1,00

1

(b) 72 Überstunden! (0*7+1*2+2*4…)

(c) Median: 0,5* (3+3)= 3 Überstunden

50% der MA haben bis zu 3 Überstunden gemacht

Modus: 3 Überstunden

Der am häufigsten beobachtete Wert waren 3 Überstunden

Arithmetisches Mittel: 72/30 = 2,4 Überstunden

Im Durchschnitt hat jeder MA 2,4 Überstunden gemacht.

(d)

Varianz= 3,507 => Stabw. = 1,873 Überstunden

Durchschnittlich weichen die einzelnen Beobachtungswerte um ca. 1,87

(Über-)Stunden vom arithmetischen Mittel ab.

(e) - die 10 Mitarbeiter mit den wenigsten Überstunden?

0*7+3*1 = 3 3/72= 4,16%

- die 10 Mitarbeiter mit den meisten Überstunden?

1*8+2*5+4*4+3*3= 43 43/72= 59,72

(f) 0,3+0,13+0,07 = 50%

18. Aufgabe

a) 8.050.000,00 € - hier die Klassenmitten berechnen xi’ als Stellvertreter b) 35.590,91 € arithmetisches Mittel; Der Modus liegt in Klasse 2 [ 10 bis unter 20 ], der Median

liegt in Klasse 3 [20 bis unter 30].

c) Unter 30.000 € = F(3) = 68% d) In Klasse 5: Hier wird der 50% Anteil am Gesamtwert überschritten

Klasse

Depotwert

(in Tausend €)

Anzahl

Depots hi

Klassen

breite

xi’

Depotwert pro

Klasse (in Tausend

€) Hi fi Fi von bis unter

1 0 10 40 10 5 200 40 0,18 0,18

2 10 20 60 10 15 900 100 0,27 0,45

3 20 30 50 10 25 1250 150 0,23 0,68

4 30 50 30 20 40 1200 180 0,14 0,82

5 50 100 20 50 75 1500 200 0,09 0,91

6 100 200 20 100 150 3000 220 0,09 1,00

220 8050

Klasse Fi

kum

Depotwert

Anteil am

Gesamtwert

1 0,18 200 2,48%

2 0,45 1100 13,66%

3 0,68 2350 29,19%

4 0,82 3550 44,10%

5 0,91 5050 62,73%

6 1,00 8050 100,00%

2

xx'x

u

i

o

ii

2

xx'xu

i

o

ii

Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen

19. Aufgabe

beobachtete absolute Häufigkeiten

Lernfrequenz

Erfolg Regelmäßig nicht regelmäßig

Bestanden 152 8

nicht bestanden 8 32

beobachtete relative Häufigkeiten

Lernfrequenz (Y)

Erfolg (X) regelmäßig nicht regelmäßig Summen

Bestanden 0,76 0,04 0,8 f(x1)

nicht bestanden 0,04 0,16 0,2 f(x2)

Summen 0,8 0,2 1

f(y1) f(y2)

erwartete (theoretische) relative Häufigkeiten (Unabhängigkeit!!!)

Lernfrequenz (Y)

Erfolg (X) regelmäßig nicht regelmäßig Summen

Bestanden 0,64 0,16 0,8

nicht bestanden 0,16 0,04 0,2

Summen 0,8 0,2 1

Indifferenztabelle (theor. abs. Häufigkeiten)

Lernfrequenz (Y)

Erfolg (X) regelmäßig nicht regelmäßig Summen

Bestanden 128 32 160

nicht bestanden 32 8 40

Summen 160 40 200

Arbeitstabelle

X² max = 200

X²/X²max = 0,5625

V = 0,75

20. Aufgabe

a) 10,13%

b) 87%

Zeile i Spalte j ho he (ho-he) (ho-he)² X²

1 1 152 128 24 576 4,5

1 2 8 32 -24 576 18

2 1 8 32 -24 576 18

2 2 32 8 24 576 72

Summen: 200 200 0 2304 112,5

21. Aufgabe

Absolute Häufigkeiten

Relative Häufigkeiten

a) Anteil der Frauen unter den Personen, die mit der Euro-Währung zufrieden sind:

45,10% (198/439)

b) % der Männer, die unzufrieden sind mit der Euro-Währung

30,27% (122/403)

unzufrieden neutral zufrieden Summe

männlich 122 40 241 403

weiblich 173 20 198 391

Summe 295 60 439 794

unzufrieden neutral zufrieden Summe

männlich 0,1537 0,0504 0,3035 0,5076

weiblich 0,2179 0,0252 0,2494 0,4924

Summe 0,3715 0,0756 0,5529 1,0000

22. Aufgabe

a)

Beobachtete absolute Häufigkeiten

Beobachtete relative Häufigkeiten

Erwartete relative Häufigkeiten (bei Unabhängigkeit)

Erwartete absolute Häufigkeiten (bei Unabhängigkeit)

Arbeitstabelle

männlich weiblich Summe

Bier 12 32 44

Wein 25 31 56

Summe 37 63 100

männlich weiblich Summe

Bier 0,12 0,32 0,44

Wein 0,25 0,31 0,56

Summe 0,37 0,63 1

männlich weiblich Summe

Bier 0,16 0,28 0,44

Wein 0,21 0,35 0,56

Summe 0,37 0,63 1,00

männlich weiblich Summe

Bier 16 28 44

Wein 21 35 56

Summe 37 63 100

Zeile i Spalte j ho he (ho-he) (ho-he)² X²

1 1 12 16 -4 16 1,00

1 2 32 28 4 16 0,57

2 1 25 21 4 16 0,76

2 2 31 35 -4 16 0,46

100 100 0 64 2,79

b)

Mit Cramer-Kontingenzmaß

V =√

√

= 0,167 => schwacher Zusammenhang der beiden Merkmale

Mit Phi-Koeffizienten

Φ = √

= √

= 0,167 => schwacher Zusammenhang der beiden Merkmale

Mit dem Pearson’schen Kontingenzkoeffizienten

C = √

= √

= 0,1647

Ckorr=

mit cmax= √

= 0,707

Ckorr =

= 0,233 => schwacher Zusammenhang der beiden Merkmale

c)

Es wurden wesentlich mehr Frauen als Männer befragt. Daher könnte man daran zweifeln, ob die Umfrage repräsentativ ist!

23. Aufgabe

a)

Relative Häufigkeiten

b)

Bedingung „Geschlecht“

c)

Bedingung „Alkohol“

Bier (y1) Wein (y2) Tequila (y3)Whiskey

(y4)Wodka (y5) Summe

Weiblich

(x1)0,10 0,25 0,07 0,06 0,09 0,57

Männlich

(x2)0,23 0,09 0,05 0,03 0,03 0,43

Summe 0,33 0,34 0,11 0,10 0,11 1,00

Bier (y1) Wein (y2) Tequila (y3)Whiskey

(y4)Wodka (y5) Summe

Weiblich

(x1)0,18 0,44 0,12 0,11 0,15 1,00

Männlich

(x2)0,53 0,21 0,11 0,08 0,07 1,00

Summe

Bier (y1) Wein (y2) Tequila (y3)Whiskey

(y4)Wodka (y5) Summe

Weiblich

(x1)0,31 0,73 0,60 0,65 0,75

Männlich

(x2)0,69 0,27 0,40 0,35 0,25

Summe 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

d)

Unabhängigkeit.

Bei Unabhängigkeit müssten die Werte folgendermaßen verteilt sein:

Zum Vergleich nochmal die Verteilung der relativen Häufigkeiten:

Daraus folgt, dass die Merkmale nicht unabhängig voneinander sind!!!

Bier (y1) Wein (y2) Tequila (y3)Whiskey

(y4)Wodka (y5) Summe

Weiblich

(x1)0,19 0,20 0,07 0,06 0,07 0,57

Männlich

(x2)0,14 0,15 0,05 0,04 0,05 0,43

Summe 0,33 0,34 0,11 0,10 0,11 1,00

Bier (y1) Wein (y2) Tequila (y3)Whiskey

(y4)Wodka (y5) Summe

Weiblich

(x1)0,10 0,25 0,07 0,06 0,09 0,57

Männlich

(x2)0,23 0,09 0,05 0,03 0,03 0,43

Summe 0,33 0,34 0,11 0,10 0,11 1,00

24. Aufgabe

a)

rs= 0,783 [Rechnung:(1 -

)]=> Starker positiver Zusammenhang

der beiden Merkmale.

Das Sprichwort trifft auf Basis der oben aufgeführten Untersuchung zu!

(b)

Es fällt auf, dass Paar #4 die größte Differenz aufweist! Es handelt sich bei

diesem Paar um einen Ausreißer!

Durch Weglassen des Paares #4 ergibt sich folgendes Bild:

Ehepaar Nr. 1 2 3 5 6 7 8 9 10

Konfektionsgröße Frau xi 46 52 32 42 36 48 38 44 34

Konfektionsgröße Mann yi 56 58 44 54 46 60 50 52 48

Rang xi 3 1 9 5 7 2 6 4 8

Rang yi 3 2 9 4 8 1 6 5 7

di 0 -1 0 1 -1 1 0 -1 1

di2 0 1 0 1 1 1 0 1 1 6

n = 9!!! Und es entsteht eine neue Rangfolge

D.h. der Zusammenhang der beiden Merkmale ohne den Ausreißer (Paar

Nummer 4) ist deutlich höher als vorher. Dies schlägt sich in einem höheren

Wert des Rangkorrelationskoeffizienten wieder!

25. Aufgabe

̅̅̅̅

̅̅̅̅

sx² = 44,790 => sx = 6,693

sy² = 99.982,001 => sy = 316,199

Cxy = 478,012,

rxy = 0,226 => d.h. positiver linearer Zusammenhang der beiden Merkmale.

Regressionsgrade:

f(x) = a+b*x

b = rxy *

0,226 * (316,199/6,693) = 10,677

a = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 530,27 – 10,677*6,68 = 458,948

f(x) = 458,948+10,677*x

R² = (rxy²) = (0,226²) = 0,051 => d.h. 5% der Varitation von y durch x warden durch die Regressionsgerade erklärt!

26. Aufgabe

a)

Verteilung der absoluten Häufigkeiten:

Verteilung der relativen Häufigkeiten:

b)

1. keinen: 20%

einen: 60%

zwei: 20%

2. 25 % (0,05 / 0,2)

3. 35% (1*1 + 3*2 PKW = 7 PKW => 7/20 = 0,35)

4. 31,25% (5/16 = 0,3125)

5. 65% (13/20)

c) Arithmetisches Mittel von X = 2 Personen

0 1 2 Summe

1 2 6 0 8

2 1 4 1 6

3 0 1 3 4

4 1 1 0 2

Summe 4 12 4 20An

zah

l Per

son

en (

X)

Anzahl PKW (Y)

0 1 2 Summe

1 0,1 0,3 0 0,4

2 0,05 0,2 0,05 0,3

3 0 0,05 0,15 0,2

4 0,05 0,05 0 0,1

Summe 0,2 0,6 0,2 1

Anzahl PKW (Y)

An

zah

l Per

son

en (

X)

Arithmetisches Mittel von Y = 1 PKW

Varianz von X = 1 [Person²] => Stabw. = 1

Varianz von Y = 0,4 [PKW²] => Stabw. = 0,632

d)

Kovarianz

Tabelle zur Hilfe:

HH x y x*y

1 1 0 0

2 1 0 0

3 1 1 1

4 1 1 1

5 1 1 1

6 1 1 1

7 1 1 1

8 1 1 1

9 2 0 0

10 2 1 2

11 2 1 2

12 2 1 2

13 2 1 2

14 2 2 4

15 3 1 3

16 3 2 6

17 3 2 6

18 3 2 6

19 4 0 0

20 4 1 4

Summe 40 20 43

/20 /20

Xa= 2 Ya = 1

s²x= 100/20 – (2²) = 1 => √

s²y= 28/20 – (1²) = 0,4 => √

Antwort:

Schwache positive Korrelation der beiden Merkmale X und Y!!!

HH x y x*y x² y²

1 1 0 0 1 0

2 1 0 0 1 0

3 1 1 1 1 1

4 1 1 1 1 1

5 1 1 1 1 1

6 1 1 1 1 1

7 1 1 1 1 1

8 1 1 1 1 1

9 2 0 0 4 0

10 2 1 2 4 1

11 2 1 2 4 1

12 2 1 2 4 1

13 2 1 2 4 1

14 2 2 4 4 4

15 3 1 3 9 1

16 3 2 6 9 4

17 3 2 6 9 4

18 3 2 6 9 4

19 4 0 0 16 0

20 4 1 4 16 1

Summe 40 20 43 100 28

27. Aufgabe

a) Absolute Häufigkeitsverteilung

relative Häufigkeitsverteilung

b)

Durchschnittsalter ermitteln => zunächst Klassenmitten berechnen:

15 – 35 Jahre = 25 ( (15+35)/2)

35 – 45 Jahre = 40 ((35+45)/2)

45 – 75 Jahre = 60 ((45+75)/2)

Durchschnittsalter: 25*80+40*110+60*60 = 10000/250 = 40 Jahre

Varianz von X = 168 [Jahre²]

c)

Arithmetisches Mittel von Y: 1,20

Varianz: 0,96 [PCs²]

d)

yi 0 1 2 3 4 Summe

xi

15-35 Jahre 10 30 25 13 2 80

35-45 Jahre 30 50 20 7 3 110

45-75 Jahre 25 20 15 0 0 60

Summe 65 100 60 20 5 250

yi 0 1 2 3 4 Summe

xi

15-35 Jahre 0,04 0,12 0,1 0,052 0,008 0,32

35-45 Jahre 0,12 0,2 0,08 0,028 0,012 0,44

45-75 Jahre 0,1 0,08 0,06 0 0 0,24

Summe 0,26 0,4 0,24 0,08 0,02 1

a) 300 PCs (100*1+2*60+3*20+4*5)

b) 16,67% (20*1+15*2 = 50/300 = 0,1667

c) 0,8333 PCs (20*1+15*2 = 50/60 = 0,8333)

d) 41,67% (25/60 = 0,4167)

e) 14% (35/250 = 0,14)

28. Aufgabe

Arbeitstabelle:

positiver, mäßig starker Zusammenhang zwischen den Platzierungen des 1. und 2. Wettbewerbs

Person A B C D E F G H

Wettbewerb 1 (X) 4 8 1 7 6 2 5 3

Wettberwerb 2 (Y) 6 4 3 7 5 1 8 2

i X Y d d²

1 4 6 -2 4

2 8 4 4 16

3 1 3 -2 4

4 7 7 0 0

5 6 5 1 1

6 2 1 1 1

7 5 8 -3 9

8 3 2 1 1

Summe 36 36 0 36

1- ((6*36)/8*(8²-1)) = 0,5714

29. Aufgabe

a) Merkmalsträger: Die neun bewerteten Fakultäten bzw. Universitäten!

b) Anwendung des Rangkorrelationskoeffizienten für den Fall von Bindungen!

Universität Studentenurteil (X) Rang X Professorenurteil (Y) Rang Y X*Y X² Y²

Köln 3 3,5 2,3 4 14 12,25 16

Frankfurt 3,1 6 2,4 5 30 36 25

Münster 3,2 8 2,1 2,5 20 64 6,25

Hamburg 3 3,5 3,1 9 31,5 12,25 81

Mannheim 3,1 6 1,6 1 6 36 1

Sankt Augustin 2,9 2 2,8 8 16 4 64

München 2,6 1 2,6 7 7 1 49

Göttingen 3,1 6 2,1 2,5 15 36 6,25

Erlangen 3,3 9 2,5 6 54 81 36

Summe 45 45 193,5 282,5 284,5

Arithm. Mittel X 5 Arithm. Mittel Y 5

Kovarianz -3,5

Stabw. X 6,38889 Wurzel => 2,528

Stabw. Y 6,61111 Wurzel => 2,571

Korrelationskoeffizient -0,5385

30. Aufgabe

Wie gut schätzt die Regressionsgerade die Veränderung der Punktzahl in der Klausur bei

einer Veränderung der Anzahl vorbereiteter Hausübungen?

R² = 0,513 => 51,30 % der Regression von Y durch X werden durch die Regressionsgrade erklärt.

31. Aufgabe

32. Aufgabe

Betrieb Umsatz (X) Aufwand (Y) xi2 yi

2 xi*yi

A 78 27 6084 729 2106

B 85 28 7225 784 2380

C 105 31 11025 961 3255

D 116 32 13456 1024 3712

E 91 28 8281 784 2548

F 74 25 5476 625 1850

G 63 22 3969 484 1386

H 75 26 5625 676 1950

I 85 30 7225 900 2550

J 98 31 9604 961 3038

K 105 32 11025 1024 3360

L 57 24 3249 576 1368

Summe 1.032 336 92.244 9.528 29.503

Xa = 1.032/12 = 86 Ya= 336/12 = 28

59,5028*86503.29*12

1YXyx)yy(*)xx(

n

1C AAj

n

1j

jj

n

1j

jXY n

1

059,17291s

29186244.92*12

1)X(xs

x

2n

1i

22

i

2

x

n

1

162,310s

1028528.9*12

1)y(ys

y

2n

1i

22

i

2

y

n

1

938,0162,3*059,17

59,50

*

Cr

YX

XYXY

174,0059,17

162,3*938,0

s

s*rb

x

y

xy

036,1386*174,028 a

216,2570*174,0036,13)70(y

x*174,0036,13y

bxaŷ

^

ii

^

ii

869,0938,0)r(R 22xy2

33. Aufgabe

1. Zunächst werden die Ränge über jeden Gutachter erstellt

Kandidat

i

Bewertung

A Rang A

Bewertung

B Rang B

1 82 11 42 10

2 98 7 46 9

3 87 8 39 11

4 40 12 37 12

5 116 3 65 5

6 113 4 88 2

7 111 5 86 3

8 83 10 56 7

9 85 9 62 6

10 126 1 92 1

11 106 6 54 8

12 117 2 81 4

2. Da es keine Bindungen gibt, kann mit der vereinfachten Formel des

Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman berechnet werden:

)1n(*n

d*6

1)1n(*n*)1n(

d*6

1r2

n

1i

2n

1i

2

s

Hierzu müssen zunächst die Rangdifferenzen berechnet werden!

Es besteht somit ein starker positiver Zusammenhang zwischen den beiden Einstufungen

der Abteilungsleiter A und B.

Den gleichen Wert hätte man erhalten, wenn man den Bravais-Pearson

Korrelationskoeffizient auf die Ränge A und B angewendet hätte.

Ist aber aufwendiger und nur im Fall von „Bindungen“ anzuwenden.

Kandidat

i Rang A Rang B

Differenz der

Rangplätze( d):

Rang A - Rang B d2

1 11 10 1 1

2 7 9 -2 4

3 8 11 -3 9

4 12 12 0 0

5 3 5 -2 4

6 4 2 2 4

7 5 3 2 4

8 10 7 3 9

9 9 6 3 9

10 1 1 0 0

11 6 8 -2 4

12 2 4 -2 4

Summe 78 78 0 52

8182,01818,011716

3121

143*12

3121

)112(*12

52*61

)1n(*n

d*6

1r22

n

1i

2

s

34. Aufgabe

(a)

X= Fläche der Wohnung in m²

Y= Mietpreis in €

sx= 8,944

sy= 76,345

Berechnung von rxy:

7,904= rxy *76,345/8,944

7,904= rxy * 8,536

rxy= 0,926

R² = (0,926²) = 0,857

85,7 % der Variation von Y (der Kaltmiete) werden durch die Regressionsfunktion

bzw. durch die Variation von X (der Fläche der Wohnung) erklärt.

(b)

Mit circa 466,61€ ( y= 166,26+7,904*38 => 466,61)

35. Aufgabe

relative Häufigkeiten

positiv unentschieden negativ Summe

weiblich 0,17 0,082 0,148 0,4

männlich 0,3 0,104 0,196 0,6

Summe 0,47 0,186 0,344 1

Wie müssten die relativen Häufigkeiten aussehen, wenn es keinen Zusammenhang

zwischen der Entscheidung der Pausenregelung und dem Geschlecht gibt:

Unabhängigkeitstabelle

Positiv unentschieden negativ Summe

weiblich 0,47*200 = 94 0,186*200 = 37,2 0,344*200 = 68,8 200

männlich 141 55,8 103,2 300

Summe 235 93 172 500

ij hij (o) hij ( e ) hij (o) - hij (e ) (hij (o) - hij (e ))2

(hij (o) - hij (e ))2/ hij ( e )

11 85 94 -9 81 0,862

12 41 37 4 16 0,432

13 74 69 5 25 0,362

21 150 141 9 81 0,574

22 52 56 -4 16 0,286

23 98 103 -5 25 0,243

Summe Chi-Quadrat =2,759

0741,00055,0500759,2

759,22

2

nC

36. Aufgabe

Zunächst muss die Rangfolge bzgl. beider Ausprägungen bestimmt werden:

Nr Preis € Rang (P) Qualitätsurteil Rang (Q)

1 15 8 ++ 1

2 30 5 - 10

3 10 12 + 5

4 22 7 ++ 2

5 44 3 ++ 3

6 13 10 + 6

7 15 9 0 8

8 23 6 + 7

9 30 4 0 9

10 45 2 ++ 4

11 12 11 - 11

12 46 1 -- 12

105,0707,0

0741,0

max

2

2

max

C

n

C

CCkorr

707,0)r,kmin(

1)r,kmin(Cmax

2

1

Hier ist jetzt zu beachten, dass sowohl bzgl. des Preises als auch des Qualitätsurteils die

Produkte teilweise gleiche Ränge erhalten: Es muss der durchschnittliche Rang

berechnet werden.

Bzgl. des Preises haben Produkt Nr. 1 und 7 den gleichen Preis von 15 €, d.h. sie

belegen Rang 8 und 9: Ø Rang: (8 + 9)/2 =8,5

Produkt 2 und 9 kosten jeweils 30 €, d.h. sie belegen Rang 4 und 5: Ø Rang: (4 + 5)/2

=4,5

Bzgl. des Qualitätsurteils sind

4 Produkte mit ++ bewertet: (Rang1,2,3 und 4):Ø Rang: (1 +2+ 3+4)/4 = 2,5

3 Produkte mit + bewertet (Rang 5,6 und 7): Ø Rang: (5 +6+ 7)/3 = 6

2 Produkte mit 0 bewertet (Rang 8 und 9): Ø Rang: (8+9)/2 = 8,5

2 Produkte mit - bewertet (Rang 10 und 11): Ø Rang: (10+11)/2 = 10,5

Nr Preis € Rang (P) Qualitätsurteil Rang (Q)

1 15 8,5 ++ 2,5

2 30 4,5 - 10,5

3 10 12 + 6

4 22 7 ++ 2,5

5 44 3 ++ 2,5

6 13 10 + 6

7 15 8,5 0 8,5

8 23 6 + 6

9 30 4,5 0 8,5

10 45 2 ++ 2,5

11 12 11 - 10,5

12 46 1 -- 12

Es muss aufgrund der vielen Bindungen der Rangkorrelationskoeffizient nach Bravais-

Pearson berechnet werden, aber anstatt der Werte werden die Ränge betrachtet:

Es folgen zwei Lösungsmöglichkeiten

I. Lösungsweg aus dem Skript von Frau Jacobsen:

n

1j

n

1j

2

j

2

j

n

1j

jj

XY

y)yn

1)x)x

n

1

y)y)x)xn

1

r

)rg(rg(rg(rg(

)rg(rg(rg(rg(

Rang (P) (X) Rang (Q) (Y)

1.) rg(x) -

rg(Xa)

2.) rg(y) -

rg(Ya) 1.)*2.)

3.) (rg(x) -

rg(Xa)) 2

4.) (rg(y) -

rg(Ya))2

1 8,5 2,5 2,00 -4,00 -8,00 4,00 16,00

2 4,5 10,5 -2,00 4,00 -8,00 4,00 16,00

3 12 6 5,50 -0,50 -2,75 30,25 0,25

4 7 2,5 0,50 -4,00 -2,00 0,25 16,00

5 3 2,5 -3,50 -4,00 14,00 12,25 16,00

6 10 6 3,50 -0,50 -1,75 12,25 0,25

7 8,5 8,5 2,00 2,00 4,00 4,00 4,00

8 6 6 -0,50 -0,50 0,25 0,25 0,25

9 4,5 8,5 -2,00 2,00 -4,00 4,00 4,00

10 2 2,5 -4,50 -4,00 18,00 20,25 16,00

11 11 10,5 4,50 4,00 18,00 20,25 16,00

12 1 12 -5,50 5,50 -30,25 30,25 30,25

Summen 78 78 0 0 -2,5 142 135

Zähler von rs: 2083,0)5,2(*12

1y)y)x)x

n

1 n

1j

jj

)rg(rg(rg(rg(

Nenner von rs :

53798,11125,133135*12

1*142*

12

1y)y

n

1)x)x

n

1 n

1j

n

1j

2

j

2

j

)rg(rg(rg(rg(

Es besteht kein linearer Zusammenhang und die Aussage trifft nicht zu!!!

II. Lösungsweg den wir im Tutorium besprochen haben:

Rang (X) Rang (Y) X*Y X² Y²

1 8,5 2,5 21,25 72,25 6,25

2 4,5 10,5 47,25 20,25 110,25

3 12 6 72 144 36

4 7 2,5 17,5 49 6,25

5 3 2,5 7,5 9 6,25

6 10 6 60 100 36

7 8,5 8,5 72,25 72,25 72,25

8 6 6 36 36 36

9 4,5 8,5 38,25 20,25 72,25

10 2 2,5 5 4 6,25

11 11 10,5 115,5 121 110,25

12 1 12 12 1 144

Summen 78 78 504,5 649 642

Xa = 78/12 = 6,5

Ya = 78/12 = 6,5

Cxy = ((504,5/12))-(6,5*6,5) = -0,2083

sx = (649/12)-(6,5²) = 11,8333333 => Wurzel 3,440

sy = (642/12)-(6,5²) = 11,25 => Wurzel 3,354

r = -0,2083/(3,440*3,354) = -0,018

018,053798,11

2083,0rs

5,3)2,45,33,33(4

1YA

37. Aufgabe

Zunächst wird die abhängige Variable Ct mit y bezeichnet, die unabhängige Variable Yt mit x.

Die Koeffizienten a und b werden wie folgt berechnet:

Hilfstabelle aufstellen, um sx und sy zu berechnen sowie den Korrelationskoeffizient bzw. die

Covarianz:

Jahr Ct =Yj Yt = Xj

2000 3 3,5 -0,5 -1 0,5

2001 3,3 4 -0,2 -0,5 0,1

2002 3,5 4,5 0 0 0

2003 4,2 6 0,7 1,5 1,05

14 18 Summe = 1,65

Jahr Ct =Yj Yt = Xj xj - X (xj - X) 2

2000 3 3,5 -1 1

2001 3,3 4 -0,5 0,25

2002 3,5 4,5 0 0

2003 4,2 6 1,5 2,25

Summe = 3,5

AAj

n

1j

jj

n

1j

jXY YXyx)yy(*)xx(n

1C

n

1

ax*b y

AYy AXx )Yy(*)Xx( AA

5,4)65,445,3(4

1XA

4125,065,1*)yy(*)xx(n

1C j

n

1j

jXY 4

1

x

y

xy

xyx

yxy

x2

xy

s

s*r

s*s*s

s*C

s

Cb

s

s*|

y

y

Die Varianz von x sx2:

Oder zunächst den Korrelationskoeffizienten berechnen

Ct = a + b*Yt

Ct (yt) = 1,378 + 0,471*Yt

C (7) = 1,378 + 0,471*7 = 4,678 Billionen

Gütemaß

x

y

xys

s*rb

998,04415,0*9354,0

4125,0

*

)yy(*)xx(n

1

*

Cr

YX

j

n

1j

j

YX

XYXY

875,05,3*4

1)xx(

n

1 2A

n

1j

j

2

x

9354,0875,02

xx

471,0s

Cb

x2

xy

0,875

0,4125

4415,01955,02

yy

471,09354,0

4415,0*998,0

s

s*rb

x

y

xy

378,14,4*471,05,3x*b y a

997,0)998.0()r(R 22xy2