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BMS Physik Theorie Arbeit, Leistung und Energie

01.08.13, dk 23

1. Energie im Alltag

Unser Alltag ist ohne Energieeinsatz nicht zu bewältigen. Viele Prozesse laufen nur dank Energieeinsatz. Ein Blick auf die Energiebilanz der Schweiz zeigt das folgende Bild:

Endverbrauch Schweiz 2012: 882'280 TJ,

€

1 TJ =1012 J

Die Zahl der ständigen Wohnbevölkerung hat auch zugenommen, aber nicht im selben Ausmass. 2012: 8.04 Mio. Einwohner Energiebedarf pro Person 1950 32 GJ/E. 2012 110 GJ/E. Steigerung: Faktor 3.5 Aufteilung auf die Energieträger 2012 Erdölbrennstoffe 19.3% Treibstoffe 33.9% Elektrizität 24.1% Gas 12.9% Rest 9.8% Der Anteil Treibstoffe (33.9%) ist höher als die Summe Brennstoffe Erdöl plus Gas (32.2%)

massiver Anstieg nach 1950!

Quelle: . www.statistik.admin.ch/

4'717

5'360

6'193 6'335

6'7517'204

8'037

0

1'000

2'000

3'000

4'000

5'000

6'000

7'000

8'000

9'000

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020

Wohnbevölkerung CH in Tausend

Arbeit, Energie und Leistung Theorie BMS Physik

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Umwandlungsverluste

Aus der Natur wird Energie in Form von Rohöl, Erdgas, Wasserkraft, Uran, Sonnenstrahlung, Wind usw. gewonnen. Bevor solche Primärenergie an den Endverbraucher geliefert wird, muss sie in Endenergie umgewandelt werden: in Elektrizität, Treibstoffe, Heizöl oder Fernwärme. Während der Umwandlung wie auch beim Transport zum Endverbraucher entstehen Energieverluste. Der Weg von der Primärenergie zum Endverbrauch ist in der Grafik G 8.1 dargestellt.

Im Jahre 2011 können 75.9% vom Bruttobedarf als Endenergie genutzt werden.

Welt-Energiebedarf

Quelle wikipedia, Juli 2013 Von 1990 bis 2008 stieg der Energiebedarf pro Kopf um 10 %, während die Weltbevölkerung um 27 % wuchs. Der Weltenergiebedarf stieg um 39 %. Die höchsten Zuwächse gab es im Mittleren Osten mit 170 %, in China mit 146 % und in Indien mit 91 %. Die USA, die EU-27-Staaten und China hatten einen Anteil von 50 % am Weltenergiebedarf, bei einem Bevölkerungsanteil von 32 % (2008).

Einheiten

Im ersten Diagramm TJ (Tera Joule), dann GJ (Giga Joule) und am Schluss kWh?? Was gilt nun eigentlich?

Weil Leistung = Energie

Zeit gilt auch Energie = Leistung ⋅ Zeit

Darum ist die bekannte kWh = kW ⋅ h eine Energieeinheit! Im Kapitel Leistung werden die Zusammenhänge gründlich erklärt. Vorerst geben wir uns mit einfachen Umrechnungen zufrieden.

Beispiel EU-27 aus dem Diagramm oben. Die Energiemenge pro Jahr wird als Leistung umgerechnet:

mittlere Leistung = 4 ′0 000 kWh

365 ⋅ 24h≅ 4.6 kW

Mein persönlicher Energiebedarf

Mit folgendem Link berechnen Sie den persönlichen Energiebedarf und den CO2 Ausstoss: www.ecospeed.ch/ Wählen Sie: ECOPrivate, Einsteiger Als Einheit für die Resultatausgabe können Sie wählen zwischen: Leistung (W), Energie (kWh) oder Tonnen CO2 Beachten Sie die Unterscheidung ganzer Haushalt und persönlicher Konsum.

87

40

18 148 6

21

0

20

40

60

80

100

USA EU-27 China LateinA. Afrika Indien Welt

Energiebedarf in 1000 kWh/(Kopf, Jahr)

Umrechnungen

Die Leistung von 4.6 kW wird im Schnitt dauernd – jede Sekunde! – von jedem Einwohner beansprucht!


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2. Arbeit

Im täglichen Leben verbinden wir mit dem Ausdruck „Arbeit “ alle jene körperlichen und geistigen Tätigkeiten, die Ermüdung zur Folge haben. „Wir müssen eine Arbeit schreiben“. Der Alltags-begriff der Arbeit ist für die Physik zu wenig präzise. Wann wird im physikalischen Sinne Arbeit verrichtet? Ein gutes Beispiel ist das Anheben von Lasten. Bei einem Umzug ist es weniger anstrengend, wenn wir die Lasten ins Parterre oder den ersten Stock tragen, ab dem dritten Stock wird es definitiv mühsam. Ausser wir engagieren die Firma mit Möbellift. Auch ist das Tragen einer leichten Kiste weniger ermüdend. Wichtig sind also die benötigte Tragkraft und die Länge des Weges. Für die physikalische Arbeit wird das Produkt aus Kraft mal Weg gebildet:

Arbeit (work): sFW s ⋅=

Fs Kraft in Wegrichtung Einheit N s zurückgelegter Weg Einheit m W Arbeit Work Einheit:

€

1 Nm =1 Joule =1 J

2.1 Die Hubarbeit

Der Weltrekord im Gewichtheben (Stossen) steht bei über 260 kg. Bei einer Körpergrösse von 185 cm entspricht das einer Höhenänderung von ca. 2.0 m. Zuerst muss die Kraft des Athleten bestimmt werden.

minimale Kraft: kN 2.55m/s 9.81kg 260 2 ≈⋅=⋅= gmF Arbeit: kJ 5.1m 2.0kN 2.55 ≈⋅≈⋅= sFW Damit der Versuch zählt, muss der Körper des Athleten in Ruhe sein. Für die Physik ist das Halten in definierter Höhe aber keine Arbeit! Ganz einfach weil der Weg fehlt.

Bergsteiger

Der junge Schweizer Alpinist Dani Arnold hat am 20.04.2011 die Eiger-Nordwand in 2h 28min solo durchstiegen. Und verbesserte damit den alten Rekord von Ueli Steck um 20 Minuten! YouTube: www.youtube.com/watch?v=wi8nQKZkfMQ Daten: Station Eigergletscher 2320 m, Gipfel: 3970 m Höhenunterschied: 1650 m Alpinist mit Minimalausrüstung ca. 80 kg. Der Alpinist muss seine Gewichtskraft überwinden:

Kraft: N 857m/s 9.81kg 80 2 ≈⋅=⋅= gmF

Arbeit: kJ 295'1m 6501N 857 ≈⋅≈∆⋅= hFW

Vergleich mit thermischer Energie:

Welche Menge Wasser könnte damit von 10°C auf 100°C erwärmt werden? K 90K) kJ/(kg .1824kJ 295'1 ⋅⋅=∆⋅⋅=≈ mTcmQ Es können nur knapp 3.5 kg Wasser erwärmt werden!

Arbeit und Wärme werden mit derselben Einheit gemessen.

Die Wärmemenge Q wird wie folgt berechnet:


26

Hinweis: Die mechanische Arbeit ist im Allgemeinen tief im Vergleich zu thermischen Energiemengen. Darum sind Heizprozesse generell energieintensiv. Transporte sind energieintensiv, weil Verbrennungsmotoren Wirkungsgrade von nur 20 – 25% erreichen.

2.2 Richtungen von Kraft und Weg

Der physikalische Arbeitsbegriff deckt sich nicht mit dem Arbeitsbegriff des täglichen Lebens! Wenn wir einen Koffer horizontal verschieben, ist die physikalische Arbeit gleich null (Höhe und Geschwindigkeit bleiben gleich). Wir könnten den Koffer auch auf einen Wagen mit Rollen legen, dann wird klar, dass am Koffer - abgesehen von der Überwindung der geringen Reibung - keine Arbeit verrichtet wird. Das führt uns zur erweiterten Arbeitsdefinition.

Skalarprodukt Arbeit: ( )ϕcos⋅⋅== sFsFWr

or

Kraft F, Vektor Einheit N Weg s, Vektor Einheit m Arbeit W, Skalar Einheit:

€

1 Nm =1 Joule =1 J

Im Beispiel Koffer ist der Winkel 90° zwischen der Tragkraft F und dem Weg s, weil cos(90°) = 0, ist auch die Arbeit null!

Hinweis

Das Produkt ( )ϕcos⋅F ist die Kraftkomponente parallel

zum Wegstück. Die Kraftkomponente senkrecht zum Weg hat keinen Einfluss auf die verrichtete Arbeit.

Anheben bzw. absenken

a) Für das Anheben eines Objektes ist die Arbeit der Kraft F

positiv, weil Verschiebung und Weg gleichgerichtet sind,

d.h. cos(0°) = 1: hgmWa ⋅⋅+=

b) Für das Absenken ändert sich nur die Wegrichtung, die Kräfte bleiben gleich. Die Arbeit der Kraft F ist negativ, weil Verschiebung und Weg entgegen gesetzt sind,

d.h. cos(180°) = -1: hgmWb ⋅⋅−=

Das macht Sinn: Im Fall a) wird ein Objekt nach oben befördert, das System Erde-Objekt hat darum mehr Energie. Im Fall b) wird mit der Haltekraft verhindert, dass das Objekt frei fällt und immer schneller wird. Die Energiemenge des Systems nimmt dabei ab. Auf den Zusammenhang Arbeit, Energie und die Systemgrenzen gehen wir im Kapitel 4 genauer ein.

Abbremsen

Die Kraft hemmt die Bewegung, Bremskraft und Weg sind

entgegen gesetzt. ( ) sFsFW BremsBrems ⋅−=°⋅⋅= 180cos

Kraft F

Gewicht FG

Verschiebung s

Winkel

Kraft F

Verschiebung s

a) anheben

b) absenken

F

FG

h

F

FG

h

Kraft und Weg entgegengesetzt

s F


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3. Leistung

Der Begriff der Leistung ist eng mit jenem der Arbeit bzw. Energie verbunden. Bei jeglicher Tätigkeit ist die Zeit wichtig, in der die erforderte Arbeit verrichtet wird. Im Geschäftsleben ist die Termineinhaltung wichtig und damit ist immer eine Zeitlimite gegeben.

3.1 Definition der Leistung

Leistung = Arbeit

Zeit

t

E

t

WP

∆

∆=

∆=

W Arbeit [ ] JNm ==W

[ ]E∆ Energiedifferenz [ ] JNm ==∆E

[ ]t∆ Zeitdauer [ ] st =∆

P Leistung [ ] Ws

J

s

Nm===P (Watt)

Einheit nach James Watt, 1736 - 1819, brit. Ingenieur Achtung:

W steht einerseits für work aber auch für die Einheit Watt! Das Produkt aus Leistung mal Zeit ist eine Arbeit. tPW ⋅= So wird die vom EW gelieferte Energie in kWh verrechnet: Einheit:

€

1 kWh =1kW⋅ 1h =1000 W⋅ 3600 s = 3.6 MJ Wie kann die 1 TJ in kWh umgerechnet werden?

MWh 278kWh 10278J/kWh 103.6

J 10TJ 1 3

6

12

=⋅≈⋅

=

Bergsteiger

Auf Seite 25 sind die Daten zur Speedbesteigung der Eigernord-wand angegeben. Die Arbeit beträgt 1'295 kJ, zur Berechnung der Leistung benötigen wir die Zeit von 2h 28 min

W146s 60481

J 10295.1 12

≈⋅

⋅=P

Für eine Bergwanderung wird für 400 Höhenmeter eine Stunde

eingerechnet. W87s 6003

9.81m/skg 80m 400 2

≈′

⋅⋅=WandernP

Die Leistung in einem klettertechnisch sehr schwierigen Gelände ist (für mich) unvorstellbar. Physikalisch höhere Leistungen (bis 500 W) werden bei Radrennen erzielt, aber dort können sich die Sportler auf das Fahren konzentrieren.

Elektrisches Licht

Eine Leuchtstoffröhre hat eine elektrische Leistung von 80 W, d.h. jede Sekunde werden 80 J elektrische Energie umgewandelt. Wie viel kostet der Betrieb, wenn die Kilowattstunde 25 Rappen kostet? Dazu müssen wir wissen, wie lange die Leuchte brennt. Wenn die Lampe 300 Tage zu 10 Stunden eingeschaltet ist, dann wird elektrische Energie von

€

80W⋅ 300⋅ 10h = 240 kWh benötigt, der Betrieb kostet ca. 60 Franken. In jedem Schulzimmer sind ca. 12 Leuchtstoffröhren installiert, total ca. 1000 Watt.

Typische Leistungen: Armbanduhr 0.02 mW Herz 1 W Spazieren 20 W Bergsteigen 100 W Beamer 300 W Pferd (1 PS) 735 W Herdplatte 2000 W Auto 60 kW Lastwagen 250 kW Lokomotive 5000 kW Flugzeug 30 MW AKW elektrisch 1000 MW

Sonne total

Umrechnung

Leistung mal Zeit = Energie! 1 PS = 735 W

Merke

Ein Liter Heizöl bzw. Diesel-treibstoff hat einen Heizwert von zehn kWh.

effiziente Leuchten Die Lichtausbeute wird in Lumen / Watt angegeben (lm/W) Halogen Eco 20 Sparlampe 50 – 70 LED 60 – 90 FL-Leuchte 70 - 100


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Elektrische Leistung

elektrische Leistung IUPel ⋅=.

P Leistung [ ] WVA ==P

U Spannung [ ] VoltV ==U

I Stromstärke [ ] AmpèreA ==I

Beispiel Haushalt: Spannung 230 V, Verbraucher sind oft mit 13 A abgesichert, das entspricht einer maximalen Leistung von ca. 3 kW pro Sicherungsstrang. Akku NiMh (Nickel Metallhydrid) Spannung 1.2 V, Kapazität 2’500 mAh Mit diesen Angaben wird der Energieinhalt beziffert. Ansatz: Leistung mal Zeit ist Energieinhalt

( ) ( ) Wh0.3Ah 2.5V 2.1 =⋅=⋅⋅=⋅⋅= tIUtIUW

Mit 333 Ladungen kann eine Energiemenge von einer kWh genutzt werden. Akkus und Batterien sind teure Energieträger!

3.2 Energiehaushalt Mensch

Ein Mensch benötigt ca. 3'000 kcal Nahrung im Tag, das sind 12’600 kJ oder 3.5 kWh. Für den Grundumsatz (auch Abwärme) müssen ca. 80 W eingesetzt werden: kWh 9.1h 42 W80 ≈⋅=G Vor der industriellen Revolution mussten alle Arbeiten mit menschlicher und tierischer Kraft erledigt werden, z.B. der Bau der Pyramiden in Ägypten. Ein Arbeiter kann während 10 h ca. 150 W mechanische Arbeit verrichten. Das ist eine Energiemenge von 1.5 kWh, wofür wir heute nur 40 Rappen bezahlen! Heute sind die Industrienationen stark energieabhängig (süchtig?) bei einem Bedarf von ca. 6'000 W pro Person. Siehe das Diagramm Weltenergiebedarf auf Seite 24. D.h. Tag und Nacht, jede Sekunde müssen 6'000 W Leistung zur Verfügung stehen. Längerfristig muss die Menschheit mit erneuerbaren Energien haushalten, eine anerkannte Schätzung rechnet mit maximal 2'000 W pro Person.

3.3 Die momentane Leistung

Wenn wir die Definition Arbeit pro Zeit umformen, erhalten wir

ein neues Resultat: vFt

sF

t

sF

t

WP ⋅=

∆

∆⋅=

∆

∆⋅=

∆=

Bei einer konstanten Antriebskraft nimmt die Leistung mit der Geschwindigkeit zu!

momentane Leistung: vFP ⋅= Antriebskraft F [ ] N=F Geschwindigkeit v [ ] sv /m=

Leistung P [ ] WNm/s ==P

Ein PW bremst mit einer Kraft 15 kN ab.

maximale Bremskraft: gmBremskraft ⋅≈

Anfangsgeschwindigkeit 120 km/h.

( ) kW 500/m 6.3/201kN 15 =⋅= sP , 250 kW bei 60 km/h!

Hinweis Falls Antriebs- bzw. Bremskraft und die Geschwindigkeit bekannt sind, kann direkt die momentane Leistung berechnet werden.

Nahrungsmittel 1 kcal = 4.19 kJ reicht aus, um 1 kg Wasser um 1 K zu erwärmen.

Arbeit in einer Goldmine in Mosambique, Quelle www.zeit.de

Hinweis Bremsleistungen sind viel höher als die verfügbaren Antriebsleistungen.


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Beispiel Auto auf horizontaler Fahrbahn

Ein Auto wiegt 1500 kg und fährt mit konstanten 90 km/h.

• Luftwiderstand FL: 2

2vACF WL ⋅⋅⋅=

ρ

Cw: Luftwiderstandsbeiwert, dimensionslos A: Stirnfläche in m2 ρ: Dichte der Luft, ca. 1.20 kg/m3 bei 20°C

€

FL ≈ 0.30⋅ 2.0m2⋅ 0.60kg/m3⋅ 25m/s( )2

≈ 225N

• Rollwiderstand FR: NRR FfF ⋅=

fR: Rollwiderstandsbeiwert, ca. 0.013

N 911kg 1500013.0 ≈⋅⋅= gFR

• Die Leistung vFP ⋅= ist hier ein Polynom dritten Grades von der Geschwindigkeit v. siehe Diagramm

• PS 14kW 10.4m/s 25N 416 ≈≈⋅=⋅= vFP Bei 120 km/h (33.3 m/s) wächst der Luftwiderstand auf ca. 400 N und die benötigte Leistung steigt auf knapp 20 kW.

• Eine höhere Leistung von z.B. 100 kW (ca. 140 PS und mehr!) wird für die beschleunigte Fahrt benötigt.

Zusammenfassung Arbeit, Energie Mittlere Leistung Work: sFW o= , Skalarprodukt Einheit: 1 Nm=1 Joule 1 Ws =1 Joule 1 kWh= 3.6 MJ

Power: P =∆W

∆t=

∆E

∆t

Einheit: 1 W =1 Joule/s, W735PS 1 ≈

Bsp. Heizöl: 1’000 Liter ≈ 850 kg oder 36.3 GJ (Heizwert Hu = 42.7 MJ/kg)

Bsp. 1'000 Liter Heizöl, mittlere Leistung im Jahr

kW 1.15h 24365

MWh 10.1

Jahr 1

GJ 36.3≈

⋅==P

Ein Kühlschrank benötigt im Jahr 190 kWh und hat einen elektrischen Anschlusswert von 120 W. Wie passt das zusammen?

Die mittlere Leistung beträgt W22h 24365

Wh10190 3

≈⋅

⋅=P

Die momentane Leistung beträgt ca. 120 W. Weil das Gerät automatisch ein- und ausschaltet, kann die mittlere Leistung mit einer Betriebszeit von etwa 18% erreicht werden. Eine PV Anlage mit 1000 Wpeak (Nominalleistung von 1000 W) erzeugt im Schweizer Mittelland jährlich ca. 1000 kWh elektrischen Strom. Falls diese Energiemenge kontinuierlich erzeugt werden könnte,

wäre eine mittlere Leistung von W114h 24365

Wh100001 3

≈⋅

⋅=P

ausreichend.

Ein GTI mit 230 PS (169 kW) Wer braucht so viel Leistung?

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

0 10 20 30 40 50 60

P [kW]

v [m/s]

Leistung in kW

Motorrad Mitsubishi Miev

VW Golf


30

3.4 Der Wirkungsgrad

Heizwert von Brenn- und Treibstoffen

Der Heizwert ist ein Mass für Energiemenge in einem Brennstoff Die nutzbare Energie berechnet sich mit:

umech HmE ⋅⋅= η. η Wirkungsgrad dimensionslos in %

m Stoffmenge [ ] kg=m

Hu Heizwert [ ] MJ/kg=Hu Heizöl oder Dieseltreibstoff: Hu = 42.7 MJ/kg bei einer Dichte von ca. 850 kg/m3. Ein Liter Heizöl ist Energieträger von ca. 36 MJ oder 10 kWh.

Wirkungsgrad

Das primäre Ziel einer Leuchte ist Licht (in Lumen) und nicht die Umsetzung von elektrischer Energie. Die Ausbeute der nutzbaren Energieform wird mit dem Wirkungsgrad beschrieben. Der Wirkungsgrad wird als Nutzen über Aufwand definiert und kann über Leistungen oder Energiemengen ermittelt werden.

Wirkungsgrad: η =Nutzen

Aufwand=

E Output

E Input

η Wirkungsgrad Dimensionslos, in %

Aufwand, z.B. chemische, elektrische Energie Nutzen, z.B. mechanische Energie, Heizwärme im Haus etc.

Motoren

Wärmekraftmaschine (z.B. Dampfmaschine, Verbrennungsmotor) Durch Verbrennung des Brennstoffes (chemische Energie in Wärme) kann mechanische Nutzarbeit W gewonnen werden, der Rest geht als Abwärme „verloren“. Es ist unmöglich Wärme komplett in mechanische Energie um-zuwandeln. Theoretisch kann der maximale thermodynamische

Wirkungsgrad nach Carnot berechnet werden:

Carnot Wirkungsgrad: 1

21

T

TTCarnot

−=< ηη

Die Temperaturen müssen in Kelvin eingesetzt werden! T1 höchste Temperatur, T2 tiefste Temperatur (Abgas)

Beispiel Dieselmotor

Verbrennung max. 2000°C = 2300 K Abgastemperatur 500°C = 800 K

Theoretischer Wirkungsgrad 2300 - 800( ) K

2300 K≈ 65%

Wirkungsgrad Praxis 25 – 33%

Typische Wirkungsgrade: Dampfmaschine 10 % Dampfturbine 40 % Ottomotor max. 25 % Dieselmotor max. 30 % Elektromotor 90 % FL Leuchte 30% Glühlampe 5 - 10% Solarzelle (PV) 12 % Sonnenkollektor 40 % Kaminfeuer 15 % Ofenheizung (Holz) 60% Gas, Ölheizung 90%

Ein Verbrennungsmotor ist auf eine bestimmte Leistung ausgelegt. Läuft er unter hoher Last, erzielt der Motor den besten Wirkungsgrad. In den meisten Fällen benötigt der Fahrer nur einen kleinen Teil der Maximalleistung, z.B. 16 kW von 100 kW. Dann sinkt der Wirkungsgrad. Siehe auch www.ecodrive.ch „clever fahren“

Motor 1.2, Liter 3 Zylinder, 51 kW

Der spezifische Treibstoffbedarf wird in Gramm/kWh Nutzen angegeben. Beispiel 300 g/kWh


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4. Der Energieerhaltungssatz

Eine Erfahrungstatsache Energie lässt sich weder erzeugen noch vernichten. Folglich muss die Energie eines Systems konstant, bleiben. Wir zeigen, wie die Systemgrenzen gewählt werden müssen, damit der Erhaltungssatz angewendet werden kann. Mit der Kenntnis, dass die Summe der Energie erhalten bleibt, können Aufgaben elegant gelöst werden. Dabei kommt die Zeit in der Regel nicht vor und der Verlauf zwischen zwei Zuständen braucht nicht bekannt zu sein. Der Prozess muss nicht im Detail beschrieben werden. Komplizierte Rechnungen der Dynamik können dank Anwendung der Energieerhaltung elegant umgangen werden. Folgerung Perpetuum mobile erster Art Eine Maschine mit einem Wirkungsgrad von über 100 Prozent, die nicht nur die zu ihrem Betrieb notwendige Energie sondern auch zusätzliche Nutzenergie Energie liefert. Eine solche Maschine verletzt den Energieerhaltungssatz und kann nicht existieren!

4.1 Der senkrechte Wurf

Wir werfen einen Ball mit einer Anfangsgeschwindigkeit nach oben. Sobald wir den Ball los lassen, wirkt nur noch die Gravition. Auf dem ersten Wegstück bewirkt die Gewichtskraft eine Abnahme der Geschwindigkeit. Die von der Gewichtskraft bewirkte Arbeit ist beim Aufstieg negativ. Damit wird die kinetische Energie des Balls verringert. Auf dem zweiten Wegstück bewirkt die Gewichtskraft eine Zunahme der Geschwindigkeit. Die von der Gewichtskraft bewirkte Arbeit ist positiv, die kinetische Energie des Balls nimmt zu. Das System besteht aus Ball und Erde. Die Erde ist durch die Gravitation die Ursache für die Gewichtskraft. Je grösser der Abstand Erde - Ball ist, desto grösser ist die Lageenergie des Systems. Und je schneller der Ball ist, desto grösser ist die kinetische Energie dieses Systems. Wir greifen vor und benennen die zwei Energieformen, die beim Wurf ohne Luftwiderstand vorkommen.

Energie der Lage

Wird üblicherweise potentielle Energie genannt. Es leuchtet eine, dass die Masse, die Höhe und die Erdbeschleunigung vorkommen.

potentielle Energie hgmEpot ⋅⋅=

Kinetische Energie

Für die kinetische Energie kommen die Masse und die Geschwindigkeit im Quadrat vor. Damit haben wir bereits die korrekte Einheit. Im nächsten Kapitel zeigen wir, warum der Faktor ½ notwendig ist.

kinetische Energie 2

2v

mEkinetisch ⋅=

Bild: Perpetuum mobile nach M.C. Escher

von der Gravitation verrichtete positive Arbeit

von der Gravitation verrichtete negative Arbeit

Höhe h


32

Anwendung Energieerhaltung

Für einen Wurf ohne Luftwiderstand ist das System Erde – Ball abgeschlossen: Es wirkt keine Kraft von aussen. Und es gibt nur die potentielle und die kinetische Energie. Wir betrachten einen Ball ohne Luftwiderstand, welcher von einer Brücke senkrecht nach oben geworfen wird. Wir nennen die Anfangshöhe h0 und die Anfangsgeschwindigkeit v0. Nun erstellen wir eine Tabelle für die Energierhaltung. Dazu benötigen wir mindestens zwei verschiedene Zustände, zwei Positionen des Balls. In der Tabelle werden alle Energieformen zusammengestellt.

Energieform Anfang h0 Höhe h

Potentielle Energie 0hgm ⋅⋅ hgm ⋅⋅

Kinetische Energie 202

vm

2

2v

m

Summe 200 2

vm

hgm +⋅⋅ 2

2v

mhgm +⋅⋅

Die Summe der Energie bleibt erhalten, darum müssen die beiden

Summen gleich sein. 2200 22

vm

hgmvm

hgm +⋅⋅=+⋅⋅

Masse m kürzen, mal 2 rechnen und nach v2 umstellen. 200

2 22 vhghgv +⋅⋅−⋅⋅= zusammenfassen

( ) 200

2 2 vhhgv +−⋅⋅=

Das Vorzeichen von v kann nicht bestimmt werden. Es resultiert ein Zusammenhang zwischen v und h. Falls h grösser als h0 ist, wird der erste Summand negativ. Die Höhe h ist durch das Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit begrenzt. Für v gleich null, kann die Steighöhe hmax berechnet werden. (siehe rechts)

Bemerkungen

• Die Masse m kürzt sich heraus. • Über die Zeit wird nichts ausgesagt. • Es werden genau zwei Zustände der ganzen Bewegung

verglichen. Was dazwischen passiert ist nicht von Interesse. • Die Geschwindigkeit kann für eine beliebige Höhe h ermittelt

werden. • Weil die Geschwindigkeit im Quadrat vorkommt, ist das

Resultat ist für positive und negative Anfangsgeschwindig-keiten v0 identisch.

• Weil eine Wurzel immer positiv ist, erhalten wir kein Vorzeichen für die Geschwindigkeit.

• Die Steighöhe kann einfach ermittelt werden. Am höchsten Punkt gilt v = 0

Steighöhe Am höchsten Punkt der Flugbahn gilt: v = 0. Somit kann der Ausdruck

nach hmax aufgelöst werden.

System

Erde

Ball

h0

v0

Bezugshöhe 0

Höhe h

Brücke

Ohne Luftwiderstand kann die Masse m gekürzt werden.


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5. Energie und ihre Formen

5.1 Arbeit und Energie

Wird an einem System von aussen mechanische Arbeit verrichtet, so steigt die Energie des Systems an. Man sagt zur Arbeit auch "Energietransfer". Umgekehrt kann die Energie eines Systems abnehmen, wenn Kraft und Weg entgegengesetzt gerichtet sind. Verrichtet ein System Arbeit (nach aussen), so nimmt die Energie des Systems ab. Energie E ist Arbeitsvermögen. Zugeführte Arbeit W vergrössert die Energie. Arbeit und Energie werden mit derselben Einheit Joule oder Nm gemessen. Energie ist gespeicherte Arbeitsfähigkeit. Energie kann in verschiedenen Formen auftreten. Für die meisten reibungsfreien Berechnungen sind zwei Formen ausreichend!

5.2 Potentielle Energie

Um einen Körper senkrecht anzuheben, ist die Hubarbeit

hFW G ⋅= notwendig. Diese Arbeit ist als Lageenergie

gespeichert:

potentielle Energie (Lageenergie) hgmE pot ⋅⋅=

Auf einem höheren Niveau ist die Lageenergie grösser. D.h. der Körper kann (potentiell) mehr Schaden anrichten.

Die potentielle Energie ist von der Höhe h abhängig. Die Wahl der Bezugshöhe ist frei, darf aber innerhalb einer Aufgabenstellung nicht verändert werden. Es können auch negative Werte für h vorkommen. Wir zeigen noch, dass es keine Rolle spielt, auf welche Weise ein Objekt nach oben kommt. Nur die Höhendifferenz ist wichtig. Auf einer schiefen Ebene mit Winkel α ziehen wir ein Objekt der Masse m reibungsfrei von A nach B nach oben, Weglänge d. Für die Winkel gilt: 90°+α = ϕ

Wir berechnen die Arbeit der Gewichtskraft

( ) ( ) dgmdgmWG ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅= αϕ sincos

Aus der Trigonometrie haben wir eingesetzt:

cos 90°+α( ) = −sin α( )

Das Ergebnis scheint auf den ersten Blick nutzlos.

Wir haben Glück und sehen dass ( ) hd =⋅ αsin

Also ist die Arbeit der Gewichtskraft hgmWG ⋅⋅−=

Die Arbeit ist unabhängig von der Weglänge d, nur die Höhe h zählt! Die Normalkraft verrichtet keine Arbeit, weil sie senkrecht zur Verschiebung steht. Falls das Objekt nicht beschleunigt wird, ist die Arbeit der Zugkraft entgegengesetzt gleich gross zu WG.

hgmWZugkraft ⋅⋅+= vergrössert die potentielle Energie.

Unabhängig vom Weg können wir die potentielle Energie als

hgmEpott ⋅⋅= berechnen.

Anfangs-energie

Energiezu-

nahme ∆∆∆∆E Arbeit W

h < 0, Epot < 0 negative Werte

h = 0 Bezugshöhe

h > 0, Epot > 0

Die potentielle und die kinetische Energie kommen immer wieder vor. Diese beiden Energieformen müssen Sie auswendig kennen!

Berechnung der Zugkraft: Siehe Kapitel Dynamik


34

5.3 Kinetische Energie

Mit der Beschleunigungsarbeit wird die Trägheit überwunden. Herleitung für die Beschleunigung von null auf v,

Arbeit ( ) samW ⋅⋅= Beschleunigung t

va =

Strecke 2

tvtvs

⋅=⋅=

v ist die Endgeschwindigkeit, v die mittlere Geschwindigkeit

Arbeit 2

2

1

2vm

tv

t

vmsamW ⋅=

⋅⋅⋅=⋅⋅=

Die Beschleunigungsarbeit ist als Bewegungsenergie gespeichert:

kinetische Energie (Bewegungsenergie) 2

2v

mEkinetisch ⋅=

[ ] Nmms

mkg

s

mkg22

2

=⋅⋅=⋅

=kinetischE

Hinweis: Die Art und die Grösse der Beschleunigung spielen keine Rolle, die Zeit kommt nicht mehr vor!

5.4 Elastische Energie

Zum Spannen einer Feder muss Spannarbeit verrichtet werden und die wird als elastische Energie gespeichert. Die Federkraft ist nicht konstant sondern nimmt kontinuierlich zu. Die Berechnung der Arbeit erfolgt im Kraft – Weg – Diagramm, wo eine Dreiecksfläche berechnet werden muss.

Arbeit: ( ) 2

222s

DssDsFW ⋅=

⋅⋅=

⋅=

Die Spannarbeit einer Feder ist als elastische Energie gespeichert:

Elastische Energie 2

2s

DEelastisch ⋅=

s Federverlängerung [ ] m=s

D Federkonstante [ ] N/m=D

Gemeinsamkeiten mit der kinetischen Energie

• Die Zeit kommt nicht vor. • Es ist egal, auf welche Art der Endzustand erreicht wird.

Darum wird die Berechnung wesentlich einfacher. • Die Spannarbeit wird als Fläche unter der Kurve berechnet,

auch dann, wenn das Kraftgesetz nicht linear ist!

Kraft

Verlängerung

Beispiel PW 1500 kg: Beschleunigung von 0 – 50 km/h: 145 kJ 0 – 100 km/h: 579 kJ vier Mal so viel Energie! Folgerung: 50 – 100 km/h: 434 kJ Berechnung:

Kann nicht mit

berechnet werden! Der Bremsweg wächst mit der kinetischen Energie, d.h. mit der Geschwindigkeit im Quadrat

Spannarbeit als Fläche im F-s-Diagramm

Federkraft F

Federgesetz nach Hooke

Federkonstante


01.08.13, dk 35

5.5 Zusammenfassung

Arbeit und Energie

Prozess: Arbeit Zustand: gespeicherte Energie

Hubarbeit hFW G ⋅=

vertikal oder auf einer schiefen Ebene.

Potentielle Energie E pot = m⋅ g⋅ h

Es geht ohne Hangabtriebskraft!

Beschleunigungsarbeit samW ⋅⋅=

mit amFres ⋅= Kinetische Energie: 2

2v

mEkin ⋅=

Gilt auch, wenn a nicht konstant ist.

Spannarbeit einer Feder W = F ⋅ ∆s mittlere Kraft, siehe auch Federgesetz

Elastische Energie: 2.

2s

DEelast ⋅=

Analogie Geld

Der Prozess beschreibt detailliert alle Bewegungen wie Einnahmen und Ausgaben.

Es ist einfacher, nur den Kontostand (= Energieinhalt) zu protokollieren.

Arbeit, Energie und Leistung

Ein Zweipersonenhaushalt bezieht 1‘800 kWh elektrische Energie im Jahr. Gesucht ist die mittlere Leistung.

Jede Sekunde beträgt die mittlere Leistung

W205h24365

Wh108.1 6

≈⋅

⋅=P

Wir streben die 2000 Watt Gesellschaft an. Dann können wir die Energiemenge in einem Jahr berechnen:

Kosten (25 Rp./kWh): 4’380.--/Jahr

6 Systeme mit Reibung

Reibungsfreie Systeme heissen auch konservative Systeme. In diesen bleibt die mechanische Energie erhalten, die verschiedenen mechanischen Energieformen können restlos und verlustfrei ineinander umgewandelt werden. In der Praxis ist immer Reibung vorhanden. Dann scheint Energie verloren zu gehen. Ein Körper wird z.B. durch die Reibung bis zum Stillstand abgebremst, die kinetische Energie geht also "verloren". Aber die Reibungsarbeit zeigt sich als Wärme oder Schwingungsenergie (Lärm). Wir müssen die Systemgrenzen erweitern und die thermische Energie ebenfalls berücksichtigen.

kWh 52071h 24365kW 2 ′≈⋅⋅=⋅= tPE

Energieverbrauch? Nach dem Energiesatz kann keine Energie "verbraucht" werden. Wenn dennoch immer wieder von "Energieverbrauch" die Rede ist, so meint man damit, dass Energie in wertvoller Form (z.B. chemische Energie des Erdöls) in eine weniger wertvolle Energieform (Abwärme) umgewandelt wird. Und dass die Vorräte an fossilen Energien endlich sind. Einmal umgewandelt wachsen sie nicht mehr nach!

Arbeit, Skalarprodukt

Energie (Speicher) potentielle, kinetische, elastische Energie

Energietransfer durch Arbeit

Leistung

momentan

Arbeit durch Zeit

Energiedifferenz durch Zeit

Leistung mal Zeit

Erwärmung


36

Tabelle

Energieform Anfang Ende

Potentielle Energie 0hgm ⋅⋅ 1hgm ⋅⋅

Kinetische Energie 202/1 vm ⋅⋅ 2

22/1 vm ⋅⋅

Thermische Energie Antriebsenergie „Wärme“ sFW R ⋅=

Summe Total Anfang = Total Ende

Die Tabelle wird um die Zeile thermische Energie bzw. Antrieb

und Verluste erweitert. FR ist eine Reibungskraft, ein Fahrwiderstand (vgl. Auto S. 29).

Aufgabe 1

Ein Auto (1500 kg) bremst auf 45 m von 120 auf 60 km/h ab. Wie gross ist die Bremskraft? Lösungsansatz mit einer Tabelle Energieform Anfang Ende

Kinetische Energie

Thermische Energie 0 sFW R ⋅=

Summe Total Anfang = Total Ende Für eine horizontale Strecke dürfen wir die potentielle Energie weglassen. Für die thermische Energie muss die Reibungskraft unbedingt mit der Länge der Strecke multipliziert werden! Wir setzen ein

( ) ( )22 6.3/1207506.3/6075045 ⋅=⋅+⋅ kgkgmFR

und berechnen: kN9.13≈RF Das entspricht einer Reibungszahl von 0.94. Eine Bremsung bei optimalen Strassenverhältnissen!

Aufgabe 2

Am Anfang einer Gefällstrecke von 400 m Länge und einer Steigung von 5% rollt ein Radfahrer ohne Antrieb aus der Ruhestellung abwärts. Fahrer und Rad wiegen 90 kg, der Fahrwiderstand beträgt 20 N. Wie weit rollt das Rad auf der waagrechten Strecke? Für die Berechnung der potentiellen Energie ist nur die Höhe h

massgebend.

Berechnung von h: ( )αsin⋅= lh

Winkel alpha ( ) °≈= 86.205.0tanaα

Höhe h ( ) m 19.97576.2sinm 400 ≈°⋅=h

potentielle Energie Start kJ 17.6≈⋅⋅= hgmEpot

Die Reibung bewirkt eine Erwärmung der Umgebung. Mechanische Energie wird in Umgebungswärme umgewandelt. Das Rad steht still. Für die Berechnung der Reibungsarbeit muss die gesamte Strecke – Gefälle l und Waagrechte x – berücksichtigt werden.

202/1 vm ⋅⋅ 2

22/1 vm ⋅⋅

Hinweis

Die Aufgabe kann ohne

Zwischenschritt gelöst werden. Es ist nicht notwendig, die Geschwindigkeit am Anfang des horizontalen Streckenabschnittes zu berechnen.

Antriebsenergie z.B. Treibstoff, Batterie etc. Die mechanische Antriebs-energie ist um den Wirkungs-grad verringert.

Der Fahrwiderstand wird für beide Strecken konstant mit 20 N gerechnet. Bei kleinen Steigungen sind die Normal- und die Gewichtskraft fast

gleich:

Bremsen mit Haftreibung Die Bremskraft ist direkt proportional zur Normalkraft FN

Reibungszahl, dimensionslos

Gefälle: Länge l 400m Steigung 5%


01.08.13, dk 37

Energie Start oben „Mitte“ Ende Epot hgm ⋅⋅ 0 0

Ekinetisch 0 215.0 vm ⋅⋅ 0

Therm. E. 0 400m20N1 ⋅=W )(2 xlFW W +⋅=

Summe =kJ64.17 Summe

)( xlFW +⋅=

Die Summe der ersten Spalte kann direkt berechnet werden. Nach dem Aufstellen der Energieerhaltung wird nach der unbekannten Grösse aufgelöst.

Aufgabe 3

Ein Auto von 1300kg fährt in 44 Minuten auf die Grimsel-passhöhe (Höhendifferenz 1560 m). Streckenlänge 32 km, Fahrwiderstand 250 N. Start aus dem Stillstand, Überquerung der Passhöhe mit 60 km/h. Wie gross ist die mittlere Antriebsleistung? Welche Benzinmenge wird bei einem Wirkungsgrad von 24% benötigt? Energie Start unten Passhöhe Anteil Epot 0 m⋅ g⋅ 1'560 m 70.9% Ekinetisch 0 2

15.0 vm ⋅⋅ 0.64%

Ethermisch Antriebsenergie

HumEmech ⋅⋅=η Reibungsarbeit W = 250 N ⋅ 32km

28.5%

Summe Antriebsenergie E = 28.1 MJ 100%

Hinweis: m/s 616.km/h 601 ==v ,

Die mittlere Geschwindigkeit (ca. 44 km/h) wird nicht benötigt! Die Bewegung ist nicht gleichmässig beschleunigt!

Die mittlere Leistung wird immer mit einer Energiebilanz berechnet. vFP ⋅= gilt nur für Momentanleistungen!

Mechanische Leistung: kW 10.6s 6044

MJ 28.1≈

⋅=mechanischP

Der Motor muss ca. 10% mehr leisten, weil Getriebe und Antriebsstrang einen Teil der Motorleistung „absorbieren“. Benötigt wird trotzdem nur ein kleiner Anteil der gesamten Motorisierung! Die Benzinmenge wird mit dem Heizwert Hu und dem Wirkungsgrad η berechnet:

HumEmech ⋅⋅=≈ ηMJ 28.1

Für Benzin schlagen wir im Tabellenwerk nach: Hu = 42 MJ/kg, Dichte ρ = 744 kg/m3 Nach m aufgelöst: m = 2.79 kg entspricht 3.74 Liter Benzin Kontrolle 3.74 Liter auf 32 km ergeben ca. 12 Liter Benzin auf 100 km. Wegen dem Höhenunterschied von 1560 m sind das wesentlich mehr als 5 bis 8 Liter auf 100 km nach Datenblatt.

Lösung

Die mechanische Energie wird durch Reibung komplett in thermische Energie umgewandelt: Lösung: x = 482 m

vMitte = 14.6 m/s, ca. 53 km/h

Hinweis: Das „Klettern“ benötigt mehr als 70% der gesamten Energiemenge. Für die Beschleunigung werden im Minimum 0.64% berechnet, in der Praxis ist der Anteil höher, weil nach jeder Kurve wieder beschleunigt wird.

Wirkungsrade

Sind verschiedene Elemente mit Wirkungsverlusten beteiligt, so müssen die Wirkungsgrade multipliziert werden:

Beispiel

Motor

Getriebe

Gesamtwirkungsgrad

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