1 Energiebetrachtung HalbleiterphysikProf. Goßner Die Bahnradien der Elektronen sind ein Maß für...

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EnergiebetrachtungEnergiebetrachtung

Halbleiterphysik Prof. Goßner

Die Bahnradien der Elektronen sind ein Maß für deren Energie

Aus den Elektronenbahnen kann damit eine grafische Darstellung der Elektronenenergie abgeleitet werden

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Energie-Term-Schema


in gerade Linien in einem Energiediagramm

Energie Man überträgt die kreisförmigen Elektronenbahnen eines einzelnen Atomes

Radius

Jeder Elektronenbahn entspricht eine einzelne Linie im Energiediagramm (ein einzelner Energieterm)

Man erhält das sog. Energie-Term-Schema

Energie

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Energiebänder-Schema


Die Elektronen vieler Atome (z.B. in einem Kristall) beeinflussen sich gegenseitig

Die einzelnen Energieterme lassen sich nicht mehr unterscheiden

Energie

Die zahllosen einzelnen Energieterme gehen in Energiebänder über

Energien zwischen den Energiebändern sind nicht möglich (verbotene Bänder)

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Energiebänder-Schema


Energie Das Energieband der äußersten

Elektronenschale wird Valenzband genannt

Valenzband Oberhalb des Valenzbandes befindet sich ein Energiebereich, den Elektronen einnehmen, die sich von ihren Atomen getrennt haben (freie Elektronen)

Da freie Elektronen zur Stromleitung beitragen können, spricht man vom Leitungsband

Leitungsband

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Energiebänder-Modell


Reaktionen mit anderen Atomen und elektrische Vorgänge werden nur durch Elektronen im Valenzband und im Leitungsband bestimmt

Üblicherweise werden daher nur diese Energiebänder und das dazwischen liegende verbotene Band dargestellt

Energie

Leitungsband

Valenzband

Verbotenes Band

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Energiebänder-Modell


W

Leitungsband

Valenzband

Verbotenes Band

Die Oberkante des Valenzbandes liegt bei der Energie WV

Die Unterkante des Leitungsbandes liegt bei der Energie WC

WC – WV = W ist die Ausdehnung des verbotenen Bandes (Bandabstand)

Elektronen, die die Energie Wvac

überschreiten, können den Kristall verlassen

WVWVWVWV

WCWCWCWC

W

WvacWvac

WWW

WvacWvac

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Energiebänder-Modell von Metallen


Bei Metallen überlappen sich Valenzband und Leitungsband

W

Leitungsband

Valenzband

Überlappung

Die Unterkante WC des Leitungsbandes liegt tiefer als die Oberkante WV des Valenzbandes WC

WV

Valenzelektronen können damit ins Leitungsband wechseln, ohne Energie aufnehmen zu müssen

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W

W

Leitungsband

Valenzband

Verbotenes Band

WV

WC

Energiebänder-Modell von Halbleitern

Bei Halbleitern existiert ein verbotenes Band zwischen Valenzband und Leitungsband

W

Leitungsband

Valenzband

Verbotenes Band

WV

WC

W Bei Germanium beträgt der

Bandabstand W 0,7 eV

Bei Silizium beträgt der Bandabstand W 1,1 eV


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Energiebänder-Modell von reinen Halbleitern

Bei T = 0 K halten sich alle Valenzelektronen im Valenzband auf

Bei T = 0 K ist der Halbleiter ein Isolator. Das Leitungsband ist leer

W

Leitungsband

Verbotenes Band

WV

WC

W

Valenzband


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Energiebänder-Modell von reinen Halbleitern

W

Leitungsband

Verbotenes Band

WV

WC

W

Valenzband

Bei T > 0 K nehmen die Elektronen Energie auf.

Beträgt die Energieaufnahme bei einem Elektron W, so wird es ins Leitungsband angehoben

W

Im Valenzband bleibt ein nicht besetzter Energieterm zurück, ein Loch

Freie Elektronen und Löcher entstehen beim reinen Halbleiter immer paarweise:

PaarbildungHalbleiterphysik Prof. Goßner

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Energiebänder-Modell von Nichtleitern

W

Leitungsband (immer unbesetzt)

Valenzband (immer voll besetzt)

Verbotenes Band

WV

WC

W

Es ist nicht möglich Valenzelektronen eine Energie von mehr als ca. 2,5 eV zuzuführen

Materialien mit einem Bandabstand von W 2,5 eV sind daher Nichtleiter (Isolatoren)

Beispiel: Diamant W 7 eV


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von der Wahrscheinlichkeit P(W), daß die einzelnen Energieterme mit Ladungsträgern besetzt sind

Energieverteilung der Ladungsträger

Über die Energieverteilung der Ladungsträger können nur Wahrscheinlichkeits-Aussagen getroffen werden

von der dort herrschenden Dichte D(W) der besetzbaren Energieterme (= Zustandsdichte) und

Die Ladungsträgerdichte n(W) auf einem bestimmten Energieniveau hängt ab

Es gilt: n(W) = D(W) · P(W)


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Dichte besetzbarer Energieterme = Zustandsdichte

In der Nähe der Bandkanten gilt für die Zustandsdichte näherungsweise:

Cn WW~)W(D

WW~)W(D Vp

Bei Null beginnend wächst die Zustandsdichte zum Bandinneren hin

W

WV

WC

Dn(W)

Dp(W)


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Besetzungswahrscheinlichkeit

Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Energieterme folgt der Fermi-Dirac-Verteilung

k = 1,38 ·10-23 Ws/K (Boltzmann-Konstante)

T = absolute Temperatur

WF = Fermi-Niveau (Fermi-Energie)

TkWW

exp1

1)W(P

F


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Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K

0e1

1

TkWW

exp1

1)W(P

F


Für W > WF

P(W>WF) = 0


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1e1

1

TkWW

exp1

1)W(P

F


Für W < WF

P(W<WF) = 1


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0 10,5

WF

W

P(W)


Bei T = 0 K ergibt die Fermi-Dirac-Verteilung eine Sprungfunktion

Bei T = 0 K sind alle Energieniveaus oberhalb von WF unbesetzt [P(W) = 0]

Bei T = 0 K sind alle Energieniveaus unterhalb von WF besetzt [P(W) = 1]


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0 10,5

WF

W

P(W)

300 K

500 K

Besetzungswahrscheinlichkeit bei T > 0 K

Bei T > 0 K ergibt die Fermi-Dirac-Verteilung einen stetigen Übergang von P(W) = 0 zu P(W) = 1

Bei W = WF beträgt die Besetzungswahrscheinlichkeit:

2

1

e1

1

TkWW

exp1

1)W(P

0FF

P(WF) = 0,5

WF

0,5

WF

0,5

WF

0,5

WF

0,5Halbleiterphysik Prof. Goßner

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Lage des Fermi-Niveaus bei reiner Eigenleitung

Beim reinen (nicht dotierten) Halbleiter liegt das Fermi-Niveau in der Mitte des verbotenen Bandes

W

Leitungsband

WV

WC

Valenzband

WFWFWFWF


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Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung

Alle besetzbaren Energieterme unterhalb des Fermi-Niveaus (also im Valenzband) sind vollständig mit Elektronen besetzt. Es gibt keine Löcher

Alle besetzbaren Energieterme oberhalb des Fermi-Niveaus (also im Leitungsband) sind unbesetzt. Es gibt keine freien Elektronen.

T = 0K


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Durch Energiezufuhr werden Elektronen aus dem Valenzband ins Leitungsband angehoben (Paarbildung)

Einzelne Elektronen fallen unter Energieabgabe vom Leitungsband ins Valenzband zurück (Rekombination)

T > 0K

Freie Elektronen im Leitungsband Gleich viele Löcher im Valenzband

Freie Elektronen und Löcher löschen sich gegenseitig aus

Temperaturabhängiges Gleichgewicht zwischen Paarbildung und Rekombination (Intrinsic-Konzentration)


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Für die Energieverteilung der freien Elektronen im Leitungsband gilt:

)W(D)W(P)W(n n

Für die Energieverteilung der Löcher im Valenzband gilt:

)W(D)}W(P1{)W(p p

(n(W) bzw. p(W) = Ladungsträgerdichte pro Intervall dW)


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Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung= n(W) P(W)Dn(W)Energieverteilung freier Elektronen


Das Integral von n(W) über das gesamte Leitungsband ergibt die Intrinsicdichte ni

Energieverteilung der LöcherDp(W) {1-P(W)} = p(W)

Das Integral von p(W) über das gesamte Valenzband ergibt ebenfalls die Intrinsicdichte ni

W

WV

WC

WF

Dn(W)

Dp(W)

W

0 10,5

P(W)

W

n(W)

p(W)

Fläche = ni

Fläche = ni


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Energiebändermodell bei Störstellenleitung

Durch Dotieren des Halbleiters treten besetzbare Energieterme im verbotenen Band auf


sog. StörtermeStörterme

Die Störterme beeinflussen die Lage des Fermi-Niveaus

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Energiebändermodell bei n-leitendem Halbleiter

n-leitende Element-Halbleiter sind mit 5-wertigen Fremdatomen dotiert

W

Leitungsband

WV

WC

Valenzband

WF


Dadurch verschiebt sich das Fermi-Niveau in Richtung Leitbandkante

Das jeweils fünfte Valenzelektron besitzt eine Energie im verbotenen Band nahe der Leitbandkante (Störterme)

Störterme

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Ladungsträgerverteilung bei n-LeitungUnterhalb der Leitbandkante treten Störterme aufDas Ferminiveau verschiebt sich in Richtung Leitungsband= n(W) P(W)Dn(W)

Energieverteilung freier ElektronenDas Integral von n(W) über das gesamte Leitungsband ergibt die Majoritätsträgerdichte


Das Integral von p(W) über das gesamte Valenzband ergibt die Minoritätsträgerdichte

Ladungsträgerverteilung bei n-Leitung

WF


W

WV

WCDn(W)

Dp(W)

0

W

10,5

P(W)

W

n(W)

p(W)

Minoritätsträger

Majoritätsträger

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Ladungsträgerverteilung bei p-LeitungOberhalb der Valenzbandkante treten Störterme aufDas Ferminiveau verschiebt sich in Richtung Valenzband= n(W) P(W)Dn(W)

Energieverteilung freier ElektronenDas Integral von n(W) über das gesamte Leitungsband ergibt die Minoritätsträgerdichte


Das Integral von p(W) über das gesamte Valenzband ergibt die Majoritätsträgerdichte

Ladungsträgerverteilung bei p-Leitung

WF


W

WV

WCDn(W)

Dp(W)

0

W

10,5

P(W)

W

n(W)

p(W)

Minoritätsträger

Majoritätsträger

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Ladungsträgerverteilung innerhalb der Bänder


W

n(W)

p(W)

Die beweglichen Ladungsträger halten sich vorzugsweise in Bandkantennähe auf

Freie Elektronen im Leitungsband nahe WC

Löcher im Valenzband nahe WV

EigenleitungW

n(W)

p(W)

n-LeitungW

n(W)

p(W)

p-Leitung

WC

WV

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