Astronomie: Entfernungen 1 H.Dirks 07.10.13

1 Entfernungen

Welche Vorstellung hatte bereits Aristarch vonSamos (um 300 v. Chr.) vom Universum?● Erde, Mond und Sonne sind Kugeln.● Der Mond ist viele Erddurchmesser von der Erdeentfernt.● Die Sonne ist um ein Vielfaches weiter von derErde entfernt, als der Mond.● Der Mond wird von der Sonne beleuchtet.● Bei einer Mondfinsternis steht die Erde zwischenSonne und Mond.

Welche Messung machte Aristarch von Samos?Er bestimmte das Verhältnis der Sonnenentfernungzur Mondentfernung.

Aufgabe 1

�

Aristarch bestimmte bei Halbmond den Winkel β zu87° . Welchen Wert berechnete er für das VerhältnisSonnenabstand / Mondabstand? (Tip: der rechteWinkel befindet sich am Mond!) {19}

Wie kam Aristarch darauf, dass die Sonne imMittelpunkt des Kosmos steht?● Sonne und Mond erscheinen von der Erde ausunter dem gleichen Sehwinkel (Sonnenfinsternis!).● Bei einer Mondfinsternis sieht man denErdschatten auf dem Mond. Daraus kann manabschätzen, dass die Erde ca. 4 mal so groß ist, wieder Mond.● Nach dem Ergebnis von Aufgabe 1 ist aber dieSonne 19 mal so groß, wie der Mond.● Daher ist die Sonne der mit Abstand größteHimmelskörper und gehört ins Zentrum desUniversums.

Wann wurde zum ersten Mal der Umfang der Erdebestimmt?Eratosthenes (um 200 v. Chr.) bemerkte, dass amTag der Sommersonnenwende die Sonne genausenkrecht in einen Brunnen in Syene (heute Assuan)schien. Ein senkrechter Stab warf zur gleichen Zeitin Alexandria (heute Kairo, nördlich von Syene)einen Schatten, den man ausmessen konnte. Die

Entfernung zwischen Alexandria und Syene warbekannt. Daraus berechnete Eratosthenes denErdumfang.

Aufgabe 2 Wenn der Schattenstab 1m lang war undeinen Schatten von 12 cm warf und die Entfernungzwischen Alexandria und Syene 750 km betrug, wiegroß war dann der Erdumfang? {39270 km}

Wer bestimmte zuerst die Entfernung des Mondesvon der Erde?Hipparch (ca. 150 v. Chr.) maß die Zeit, die derMond bei einer Mondfinsternis braucht, um durchden Erdschatten zu wandern. Daraus und aus denbekannten Daten des Aristarch konnte er denMondabstand berechnen.

Aufgabe 3

Berechnen Sie den Abstand m Erde – Mond und denAbstand s Erde – Sonne aus folgenden Daten:● Ein Monat dauert 27,3 Tage.● β = 0,25°● Der Mond wandert bei einer Mondfinsternisinnerhalb von 2h30‘ durch den Erdschatten (s. Abb.).● s = 19 m (Aristarch!)● Erdumfang = 39458 kmTips:- Zeigen Sie: µ + σ = α + β ( m und s sind Kathetenvon zwei rechtwinkligen Dreiecken!- Bei kleinen Winkeln ist tan α = α (Bogenmaß) {ca. 400 000 km und 7,6 Millionen km}

Warum geriet das heliozentrische Weltbild derGriechen wieder in Vergessenheit?● Weil Ptolemäus (um 100 n.Chr.) sich in seinemumfassenden Sammelwerk „Megalä Syntaxis“(Große Zusammenfassung) für ein geozentrischesKoordinatensystem entschieden hat.

Welches Weltbild ist richtig, welches falsch?● Physikalisch gesehen ist es egal, welchesKoordinatensystem man benutzt.

β βσ

µ

α

m

s

Astronomie: Entfernungen 2 H.Dirks 07.10.13

● Sogar die Hohlwelttheorie ist nicht zu widerlegen– sie benutzt lediglich ein reichlich exotischesKoordinatensystem.● Es hat sich aber gezeigt, dass die Rechnungen imheliozentrischen Koordinatensystem am einfachstensind.

Welche drei Wissenschaftler schafften den großenDurchbruch für das Verständnis derPlanetenbewegungen?● Johannes Kepler (um 1600) entdeckte, dass diePlaneten auf Ellipsen um die Sonne kreisen.● René Descartes († 1650) erfand das Rechnen mitGleichungen.● Isaac Newton (um 1700) zeigte, dass man dieKeplerschen Gesetze mit dem Gravitationsgesetzerklären kann.

Welches Keplersche Gesetz benötigt man, umastronomische Entfernungen zu bestimmen?

In der Abbildung sieht man zwei Planeten inEllipsenbahnen um die Sonne kreisen. Die Sonnesteht dabei im Brennpunkt der Ellipsen.Wenn wir die „großen Halbachsen“ der Ellipsenmit 1a und 2a bezeichnen und die zugehörigen

Umlaufszeiten mit 1T und 2T , dann gilt:

22

21

32

31

T

T

a

a = .

Bei den meisten Planeten sind die Ellipsen kaum vonKreisen zu unterscheiden (Erde: Abweichung ca.1%). In diesen Fällen ist a der Bahnradius.

Mit welcher Kraft ziehen sich zwei Massen m1 undm2 im Abstand r gegenseitig an („Gravitations-gesetz“)?

213112

21 1067,6; −−−⋅=⋅= skgmGr

mmGF

Für welche Fälle gilt dieses Gravitationsgesetz?Strenggenommen nur für punktförmige Massen undfür Kugeln, wobei dann r der Abstand der Schwer-punkte ist. Näherungsweise gilt das Gesetz für alle

Körper, deren Abmessungen klein sind im Vergleichzum Abstand ihrer Schwerpunkte.

Aufgabe 4 Berechnen Sie mit Hilfe des Gravita-tionsgesetzes aus der bekannten Anziehungskraft aufeine Masse m die Masse der Erde. (Erdradius =6400 km) {6 · 1024kg}

Wie hängen Winkelgeschwindigkeit ωωωω , Rotations-dauer T, Drehfrequenz f und Bahngeschwindigkeitv bei einer Kreisbahn voneinander ab?v r f T f T= ⋅ = = =ω ω π π, / ; /2 2 1

Welche „Zentripetalbeschleunigung“ und damit„Zentripetalkraft“ braucht man, um einen Körperauf einer Kreisbahn zu halten?

av

rF m a

F mv

r

z z z

z

= = ⋅

=

2

2

und wegen ist

oder F m rz = ω2 .

Aufgabe 5 In welcher Höhe über der Erdoberflächekreisen geostationäre Satelliten? (mE = 6 · 1024kg ;Erdradius = 6370 km) {ca. 36 000 km}

Aufgabe 6 Zeigen Sie: Für die Umlaufszeiten T1

und T2 zweier Planeten in Abständen von r1 und r2

von der Sonne gilt bei Kreisbahnen:

T

T

r

r

1

2

13

23

=

Aufgabe 7 Berechne aus der Entfernung der Erdevon der Sonne (150 000 000 km) und der Dauereines Jahres (365 Tage) mit Hilfe des Gravita-tionsgesetzes die Sonnenmasse! {2 · 1030 kg}

Aufgabe 8 Mit welcher Geschwindigkeit fliegt einSatellit in einer Kreisbahn 600 km über derErdoberfläche ? ( Erdradius = 6370 km,mE = 6 · 1024kg) {7577 m/s}

Aufgabe 9 Der Mond hat nur 1/81 der Erdmasseund 27,3 % des Erddurchmessers. Wie groß ist dieFallbeschleunigung gM auf dem Mond? {1,625 m/s2}

Was versteht man unter „AstronomischerEinheit“?Die Astronomische Einheit AE ist die großeHalbachse der Erdbahn. AE = 149 597 892 km.Wir benutzen für die Übungsaufgaben dengerundeten Wert von 1,5⋅1011 m.

12a

22a

Astronomie: Entfernungen 3 H.Dirks 07.10.13

In welcher Einheit werden wir ab jetzt alle Winkelmessen?Im Bogenmaß: 360° = 2π

In welcher Einheit messen Astronomen Winkel?In Bogensekunden: 1° = 60‘ = 3600“ .

Aufgabe 10 Wie groß ist eine Bogensekunde imBogenmaß? { 1“ = 4,848⋅10-6 rad}

Was ist eine Parallaxe? Wozu wird sie gemessen?

�

● Eine Parallaxe ist der Winkelabstand, unter demzwei Punkte einem Beobachter erscheinen1.● In der Abbildung ist Vα die Parallaxe, unter derdie Erde2 (schwarz) von der Venus (mittlere Kugel)aus erscheint. Vα heißt Venusparallaxe.

● Im Bogenmaß ist aRe /2=α mit =eR Erdradius.

● Aus der Kenntnis der Parallaxe kann man daherden Abstand der Erde von einem anderen Himmels-körper berechnen. Die AE ergibt sich z.B. aus derSonnenparallaxe Sa .

Wie kann man die Entfernung des Marsbestimmen, ohne dort zu sein?

�● Man betrachtet den Mars von zwei verschiedenenStandorten aus. Je nach Standort steht er an einemanderen Punkt des Sternenhimmels.● Weil die Sterne milliardenfach weiter von derErde entfernt sind, als der Mars, kann man denWinkel αM (die „Marsparallaxe“) auch von der Erdeaus messen (blaue Striche).● Aus der Entfernung der Standorte und derParallaxe ergibt sich die gesuchte Entfernung.

1 in der Optik nennt man α Sehwinkel.2 eigentlich: der Erdradius.

Warum ist es so schwer, die Sonnenparallaxe zubestimmen?Weil sie kleiner ist als 0,005 Grad! Sie wurde daherbei einem Venusdurchgang auf dem Umweg überdie deutlich größere Venusparallaxe bestimmt.

Was ist ein Venusdurchgang?Bei einem Venusdurchgang steht die Venuszwischen Sonne und Erde. Man sieht die Venus alsdunklen Punkt vor der Sonnenscheibe und kann sichbei der Bestimmung der Venusparallaxe amSonnenrand orientieren.

Welche Messwerte benötigt man zur Bestimmungder AE?Edmond Halley (um 1700) zeigte, dass man zurBestimmung der AE folgende Daten benutzen kann:● Erdradius,● Umlaufszeiten von Erde und Venus um die Sonne,● Venusparallaxe.

Aufgabe 10 Bestimmen Sie die AE aus folgendenDaten:

�

● =α−α=∆ 21a 2,23⋅10-4 rad

● Erddurchmesser ∅ = 12740 km● 25,365=ET Tage

● 7,224=VT Tage

Anleitung:● ba / ergibt sich aus den Umlaufszeiten zu0,38247 ( Keplersches Gesetz!)● AE ba +=● Aus der Abbildung liest man ab:

sV α+α=α+α 12 , also ist SV α−α=α∆ .

● =αV ∅ a/ ; =αS ∅ / AE.

{1,49⋅108 km}

a b2α

1α

Vα

Sα

Sα

Vα

AE

a

αM

Astronomie: Entfernungen 4 H.Dirks 07.10.13

Aufgabe 11 Schon vor der Messung der Venus-parallaxe gelang es Astronomen3, die Marsparallaxezu bestimmen. Als Sonne, Erde und Mars einmal aufeiner Linie lagen („Opposition4“), erhielten sie

=αM 25,5“ als scheinbare Winkelverschiebung desMarses relativ zum Fixsternhimmel.

�

Daten: Marsjahr = 1,881 Erdenjahre, Entfernung derbeiden Beobachter („Basislinie5“) 12740 km.Welchen Wert erhielten siea) für die Entfernung zwischen Mars und Erde? {1,03⋅108 km}b) für die AE? {1,97⋅108 km}

Wer hat als erster die Entfernung eines Sternesgemessen?Friedrich Wilhelm Bessel bestimmte 1838 dieEntfernung des Sternes 61 Cygni aus dessenParallaxe von 0,586“. Als Basislinie diente dabeiallerdings nicht der Erddurchmesser, sondern derErdbahndurchmesser (2 AE).

Was ist ein Lichtjahr? Was ist ein Parsec?● Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht ineinem Jahr zurücklegt. 1 Lj = 9,46⋅1015 m.● Ein Stern, dessen Parallaxe 1“ beträgt ist einParsec („Parallaxensekunde“) entfernt. Basislinie istdabei rein rechnerisch die AE.

Aufgabe 11 Zeigen Sie: 1 pc = 3⋅1016 m = 3,26 Lj.

Aufgabe 12 Zeigen Sie: wenn man denParallaxenwinkel π in “ angibt, erhält manrechnerisch die Entfernung d in Parsec aus der

Zahlenwertgleichung π

= 1d .

Aufgabe 13 Wieviele Lichtjahre ist der nächsteStern (α Centauri, π = 0,762“) von uns entfernt?

{1,3 pc oder 4,3 Lj}

3 Flamsteed in London, Cassini in Paris und Richer inCayenne (1672)4 dann ist außerdem die Entfernung zwischen Mars undErde am kleinsten5 natürlich sind das vereinfachende Annahmen; keinAstronom stellt am Nord- oder Südpol ein Fernrohr auf!

Welche beiden Ereignisse haben die Bestimmungder Parallaxen gewaltig erleichtert?a) Die Photographie:durch lange Belichtungszeiten konnte man auchschwach leuchtende Sterne aufnehmen und durchVergleich zweier Aufnahmen Parallaxen sehr genaubestimmen.b) Die Hipparcos – Mission: dieser Satellit hat mitseiner Spezialoptik bis 1993 die Parallaxen von über100 000 Sternen mit einer Genauigkeit von ca.0,002“ bestimmt.Die Reichweite der Parallaxenmethode beträgt zurZeit einige hundert Lichtjahre.

Mα