TEIL II LEHRERHANDREICHUNG „LAMINARE ......192 Einleitung Relativitätstheorie, mit Körpern...

TEIL II

LEHRERHANDREICHUNG„LAMINARE STRÖMUNGEN, TURBULENZ UND

STRUKTURBILDUNG IN FLÜSSIGKEITEN“

EINE UNTERRICHTSREIHE FÜR DIE GYMNASIALE OBERSTUFE

UND DIE LEHRERAUSBILDUNG

1 EINLEITUNG

Wirbel aller Größenordnungen, in Luft und in Wasser, üben auf den Menschen eine besondere

Faszination aus. Besonders Wirbelstürme - Hurrikans und Tornados - stehen in jüngster Zeit

ganz oben auf der Hitliste, wenn man das Medieninteresse als Indikator nehmen darf. Aber

auch kleinräumigere Strömungen wie Wirbelströmungen in Bächen, in Flüssen, am Meer,

laden durch ihre Vielgestaltigkeit zur genaueren Betrachtung ein.

Obwohl in unserem Alltag immer gegenwärtig, findet sich das Thema „Strömungen“ in kaum

einem Lehrplan oder Schulbuch. Ein Grund mag das hohe mathematische Niveau des Themas

sein, das die Grenzen der Schulmathematik schnell übersteigt. Aber gerade dieser Zwang, auf

eine ausführliche mathematische Bearbeitung verzichten zu müssen, kann auch eine Chance

für den Physikunterricht bedeuten, wenn man sich mehr mit den Konzepten befasst, die hinter

der mathematischen Theorie stecken. So besteht die Möglichkeit, dass auch Schülerinnen und

Schüler mit geringeren mathematischen Fähigkeiten wieder mehr Interesse am

Physikunterricht finden.

In der Wissenschaft erhielt die Strömungsdynamik durch die Wiederentdeckung der nicht-

linearen Dynamik neuen Auftrieb - entdeckt wurde sie schon Anfang dieses Jahrhunderts

durch den französischen Mathematiker Henri Poincaré. Die meisten „Paradebeispiele“ der

nichtlinearen Dynamik stammen aus der Hydrodynamik, wie z.B. die turbulenten Strömungen,

das Wettergeschehen, das Lorenz-, das Bénard- und das Taylorsystem.

Aus diesem Grund nähert sich die vorliegende Unterrichtsreihe der nichtlinearen Dynamik

von der Strömungsphysik her. Dabei gehen traditionelle und hochaktuelle, z.T. noch nicht

vollständig erforschte Gebiete der Hydrodynamik ineinander über.

Die Linearisierung ist in der Physik ein wichtiges und erfolgreiches Hilfsmittel, um Phäno-

mene berechnen und abschätzen zu können. Die Lernenden sollten allerdings auch die

Grenzen der Näherungen kennen lernen und erkennen, dass natürliche Systeme nichtlinear

sind.

Wie kaum ein anderes Thema bietet die Hydrodynamik die Möglichkeit, über Modellbildung

in der Physik und die damit verbundene eingeengte Sichtweise zu diskutieren. Begriffspaare

wie „ideal - real“ oder „linear - nichtlinear“ werden von verschiedenen Seiten beleuchtet.

Die nichtlineare Dynamik ist ein populäres Thema, dem ein großes öffentliches Interesse zu-

teil wird und anhand dessen die Lernenden sehen, dass die Physik kein fertiges Wissenschafts-

gebäude ist, sondern ständig ausgebaut wird. Diese Erkenntnis motiviert viele Lernende. Sie

sehen, dass es in der Gegenwart und sicher auch in der Zukunft noch grundsätzlich Fragen an

die Physik gibt, die es zu klären gilt.

Ein weiterer wichtiger Aspekt spricht für die nichtlineare Dynamik: Sie befasst sich nicht, wie

die Quantenmechanik in der Schule, mit mikroskopisch kleinen Objekten oder, wie die

192 Einleitung

Relativitätstheorie, mit Körpern großer Abmessungen oder großer Entfernungen, sondern mit

Systemen, deren Größe mit den menschlichen Sinnen erfasst werden kann.

Ein besonderer Schwerpunkt dieser Unterrichtsreihe liegt auf der Interdisziplinarität des

Themas: Anwendungen und Beispiele aus der Meteorologie, der Medizin, der Technik und

der Kunst zeigen die Relevanz der Naturwissenschaften für die verschiedensten Bereiche der

Lebenswelt der Schülerinnen, Schüler und Studierenden. Sie können die Fähigkeit erwerben,

das Gelernte auf andere Gebiete anzuwenden, lernen allerdings auch die vorläufigen Grenzen

der Theorie kennen. Die Strömungsdynamik eignet sich wie nur wenige Themen in der Physik

für einen „Blick über den Tellerrand“.

Handhabung der Unterrichtsreihe

Konzipiert wurde diese Unterrichtsreihe für die Jahrgangsstufen 12 oder 13. Die Reihe um-

fasst insgesamt etwa 30 Unterrichtsstunden, was in etwa der Stundenzahl des Leistungskurses

13/2 in Hessen entspricht. Diese 30 Stunden wurden in sechs Blöcke à fünf Unterrichts-

stunden aufgeteilt. Dabei ist der Zeitaufwand für Klassenarbeiten, Tests o.ä. noch nicht

berücksichtigt.

Die Blöcke sind so aufgebaut, dass sie auch einzeln unterrichtet werden können. Nicht alle

Themenblöcke benötigen die mathematischen und physikalischen Vorkenntnisse der Jahr-

gangsstufen 12 oder 13. So ist z.B. der erste, zweite oder vierte Themenblock und Teile des

fünften Themenblocks ohne weiteres auch schon in der 11. Jahrgangsstufe unterrichtbar. Da in

der Unterrichtsreihe Begriffe und Modelle aus der Mechanik wiederholt und in einem

erweiterten Kontext angewendet werden, können einige Teile dieser Reihe dazu dienen, in der

11. Jahrgangsstufe der technischen Gymnasien das Wissen der Schülerinnen und Schüler, die

aus verschiedenen Schultypen stammen, auf einen einheitlichen Stand zu bringen.

Bewährt hat sich diese Unterrichtsreihe auch im Rahmen der Lehrerausbildung. Sowohl Lehr-

amtsstudierende für Gymnasien, als auch für Haupt- und Realschulen können geeignete

Themen für ihren späteren Unterricht auswählen und gemeinsam diskutieren. Die große An-

zahl einfacher Versuche regt die Studierenden an, diese auch in anderem Rahmen, z.B. für

Projektwochen, für Mitmachausstellungen oder zu Tagen der offenen Tür einzusetzen.

Jeder Themenblock beginnt mit einer Tabelle der einzelnen Unterrichtsschritte sowie der ge-

planten Versuche und Demonstrationen. Alle benötigten Materialien sind aufgelistet. Im Text

sind die Versuche, Demonstrationen, Filme usw. kursiv und fett gedruckt. Die Experimente

sind so geplant, dass die Materialien in der Schulsammlung oder im Haushalt vorhanden sein

müssten, einige sind in Heimwerkermärkten oder in Schreibwarenläden preiswert erhältlich.

Welche Versuche als Schüler- und welche als Demonstrationsversuche im Unterricht

eingesetzt werden, hängt von der Ausstattung der Schule ab. Prinzipiell sind fast alle

Versuche als Schülerversuche durchführbar.

1 Einleitung 193

Das Thema „Strömungen“ erzwingt die ausführliche Darstellung der Themenblöcke, da in der

Lehrerausbildung die Hydrodynamik üblicherweise nicht gelehrt wird. Auch in Schulbüchern

und allgemeinen Lehrbüchern der Physik wird dieses Gebiet (noch) rudimentär behandelt, vor

allem ohne Berücksichtigung der neuesten Forschungsergebnisse. Die Fachliteratur zu den

ausgewählten Themen ist sehr weit gestreut und wird mathematisch schnell anspruchsvoll.

Aus diesen Gründen wurde für die Unterrichtsreihe eine Form gewählt, die es den Lehrenden

erlaubt, sich selbst ohne großen Aufwand einzuarbeiten und im Idealfall den Unterricht 1:1 zu

übertragen. Um eine aufwendige Literatursuche zu ersparen, sind in einigen Themenblöcken

längere Originalzitate enthalten. Um den Rahmen nicht vollständig zu sprengen, wurde auf

ausführliche methodische Angaben verzichtet, da diese von den Rahmenbedingungen des

Unterrichts abhängen und so im Ermessen des Lehrenden liegen.

3 DIE THEMENBLÖCKE DER UNTERRICHTSREIHE

3.1 Themenblock „Wirbel“

Schritte Materialien

1. Wirbelstürme

� Wie unterscheidet sich ein Hurrikanvon einem Tornado oder einerZyklone?

� HurrikansNamensgebungAufbauEntstehungStrömungen im HurrikanDas Auge des HurrikanZugbahnenSteigt durch die Klimaänderung dieWirbelsturmhäufigkeit?

� TornadosEntstehungAufbauTornados in Deutschland

Zeitungsausschnitte und Satellitenbilderaus dem Internet. Adresse von meteosat:http://www.uni-karlsruhe.de/~bh28/metbest.html

Demonstrationen zur Corioliskraft:Drehtisch, Kreide, verschiedenfarbigeVektorpfeile aus Pappe, Globus oder auf-blasbare Weltkugel

evtl. Video

2. Wie Wirbel entstehen

� Wie unterscheidet sich eine rotierendeFlüssigkeit von einem rotierendenFestkörper?

� Hohlwirbel

� Die Helmholtzschen Wirbelsätze

Versuch „Wasserwirbel“: 2-Liter-Becherglas, Magnetrührer, Tinte, Pipette,Streichholzköpfe, Kreisel

Alternativversuch „Tornado-Rohr“: 2Plastikcolaflaschen, Verbindungsstück„Tornadorohr“ (Physikboutique, Pf: 1852,85318 Freising) oder Gartenschlauch(Innendurchmesser: 2,5 cm), ¾ “ Dich-tungsring, Konfetti, Streichholzköpfe

Versuch „Ringe in Luft“: Wirbeltrommeloder selbstgebaute Wirbeltrommel ausEspressodose oder Blumentopf, Plastik-tüte, Gummiringe

Rauchmacher: Salzsäure und Ammoniakoder Zigarette

Versuch „Ringe in Wasser“: Schüssel(möglichst weiß oder aus Glas), Pipette,Kalium-Permanganat-Lösung

Versuch „Kaskade“: mind. 50 cm hohesGlas, Tinte, Pipette

Versuch „Helmholtz-Wirbel“: Schüsselwie oben, Tinte, Löffel

198 3 Die Themenblöcke der Unterrichtsreihe

3.1.1 Wirbelstürme

VORBEMERKUNGEN

Schon seit geraumer Zeit haben Wirbelstürme in den Medien Hochkonjunktur, noch nie war

das Thema so aktuell. Der Grund für dieses Interesse ist die erhöhte Häufigkeit und Zerstö-

rungskraft mit der diese Stürme auftreten: So wurden z.B. im Jahr 1995 19 tropische Wirbel-

stürme, davon 11 Hurrikans allein im Atlantik registriert (Mündliche Auskunft von Herrn

Pöttger, Wetteramt Hamburg). Diese Anzahl ist weit überdurchschnittlich und wurde nur im

Jahr 1933 mit 21 Wirbelstürmen übertroffen.

Verschiedene öffentliche und private Fernsehsender strahlten in letzter Zeit Wissenschafts-

sendungen zum Thema „Wirbelstürme“ aus. Ein weiterer Grund für die Popularität des

Themas ist der Spielfilm „Twisters“ von Steven Spielberg, der sich auf spektakuläre Art und

Weise mit Tornados befasst und dadurch ein sehr großes Publikum, vor allem Jugendliche er-

reicht. Zusätzlich sind in verschiedenen populärwissenschaftlichen Zeitschriften Artikel zum

Thema erschienen, die zum Teil sehr aufwendige Schaubilder und herausragende Foto-

graphien zeigen. Diese Artikel sind gut verständlich und eignen sich ausgezeichnet für

Referate und Hausarbeiten (z.B. SNOW 1984; DAVIS-JONES 1996; MILLER 1987; JACOB

1993; NASH 1996).

Zusätzliche Literatur zur Wirbelentstehung und zum Wirbelaufbau: SCHADE 1980; FABER

1995; ACHESON 1990.

LEHR- UND LERNZIELE

Die Schülerinnen, Schüler und Studierenden sollen

� verschiedene Wirbelsturmarten unterscheiden lernen, um Berichte in den Medien einord-

nen zu können.

� angeregt werden, einzeln oder in Gruppen zu recherchieren. Zu diesem Thema existiert

eine Materialfülle, von den Printmedien über das Internet bis zu Fernsehübertragungen.

� die Entstehungsbedingungen und den Aufbau von Wirbelstürmen kennen lernen.

� mögliche Zusammenhänge zwischen Klimaänderungen und dem gehäuften Auftreten von

Wirbelstürmen erkennen.

3.1 Themenblock „Wirbel“ 199

AUSFÜHRUNG

Wie unterscheidet sich ein Hurrikan von einem Tornado oder einer Zyklone?

Hurrikan/ Taifun Tornado Zyklone/ Tiefdruck-

gebiete

Erscheinungsgebiete Hurrikan: Amerika,

Karibik, Golf von Mexiko.

Willy-Willy/ Zyklon:

Australien.

Taifun: Asiatischer Raum

(China, Japan, Philippinen).

In allen Teilen der Erde.

Am häufigsten in den Great

Plains, die von Texas bis

Kanada reichen.

Tief- und Hochdruckgebiete

in mittleren Breiten.

Entstehungsbedingungen Bilden sich über warmen

Ozeanen.

Mindestwassertemperatur:

26°C.

Ab dem 10. Breitengrad.

Bilden sich über Land,

wenn kalte, trockene über

warme, feuchte Luftmassen

strömen, d.h. z.B. in

Gewitterwolken.

Können sich aus Hurrikans

bilden.

Durchmesser ca. 500-1000 km. ca. 50-500 m. mehrere 1000 km.

Lebensdauer mehrere Tage. wenige Stunden. mehrere Tage bis Wochen.

Durchschnittliche Wind-

geschwindigkeit

bis zu 300 km/h. bis zu 500 km/h. ca. 80 km/h.

Tabelle 1.1: Charakteristika von Hurrikan, Tornado und Zyklone

Hurrikans und Taifune

Diese Wirbelstürme besitzen die gleichen Erscheinungsbilder: Es handelt sich um Wirbel mit

großem Querschnitt, deren Durchmesser zwischen 500 km und über 1000 km liegt. Da sie in

verschiedenen Gebieten der Erde auftreten, ist ihre Bezeichnung ortsabhängig: Wirbelstürme,

die sich über dem Atlantik, vor allem über dem Golf von Mexiko und der Karibik bilden,

werden Hurrikans genannt. Taifune entstehen über dem Stillen Ozean, vor allem vor China,

Japan oder den Philippinen. In Australien nennt man die Wirbelstürme „Willy-Willies“ oder

„Zyklone“, während man in anderen Gebieten der Erde Tief- und Hochdruckgebiete als

Zyklone bezeichnet.

Das Wetteramt in Hamburg zählt Winde ab Windstärke 8 (70 km/h) zu den „tropischen Stür-

men“, erst ab Windstärke 12 (ab ca. 120 km/h) werden sie „Hurrikan“ genannt.

Die Bezeichnung „Hurrikan“ stammt von dem indianischen Wort für Sturm „huracan“ ab,

Taifun vom chinesischen Begriff „tai fung“, übersetzt „Wind der schlägt“.


Die Namensgebung für Hurrikans erfolgt nach Alphabet: Hurrikans, die im Laufe eines

Jahres auftreten, erhalten Namen in alphabetischer Reihenfolge. Die Namenslisten werden

schon lange vorher festgelegt. Bis 1970 wurden nur Mädchennamen vergeben, seither werden

männliche und weibliche Namen abgewechselt.

Hurrikans, Taifune und Zyklonen können nur in einem ganz begrenzten geographischen Be-

reich entstehen und zwar ungefähr zwischen dem 10. und dem 15. Grad nördlicher und süd-

licher Breite. Dort sind die Meere warm genug, um die Wirbelstürme mit Energie zu ver-

sorgen. In der direkten Umgebung des Äquators, unterhalb des 5. Breitengrads, können sich

keine Wirbelstürme ausbilden, da in diesem Gebiet die „Corioliskraft“, die die Winde auf eine

Spiralbahn zwingt, zu gering ist.

Wie ist ein Hurrikan aufgebaut?

Das Internet erlaubt es, im Unterricht aktuelle Satellitenauf-

nahmen von Wirbelstürmen einzusetzen. Sie erhalten Auf-

nahmen von Meteosat unter folgender Adresse:

http://www.uni-karlsruhe.de/~bh28/metbest.html.

In den meisten Satellitenaufnahmen werden geographische

Grenzen eingezeichnet, so daß mit ihrer Hilfe die Größe eines

Wirbelsturms abgeschätzt werden kann.

Abbildung 1.1 zeigt den Hurrikan Emily vor der Ostküste der

USA am 31. August 1993. Sowohl das wolkenfreie Auge in

der Sturmmitte, als auch die Drehrichtung des Wirbels ist

deutlich erkennbar. Die eingezeichneten Linien stellen die Grenzen der Bundesstaaten

Virgina, North- und South-Carolina dar, mit deren Hilfe die ungefähre Ausdehnung des

Hurrikans bestimmt werden kann: Sein Durchmesser beträgt ca. 600 km, der des wolkenfreien

Auges ca. 80 km.

Wie entsteht ein Hurrikan oder Taifun?

Voraussetzungen für die Entstehung eines Hurrikans:

1. Die Corioliskraft muss groß genug sein, damit ein Wirbel entsteht.

2. Die Meerestemperatur muss über 26°C liegen.

3. Auf Meereshöhe muss ein Tiefdruckgebiet, eine sog. Konvergenzzone, vorhanden sein.

Bei allen großräumigen Strömungen in der Atmosphäre, wie der Ausbildung von Hoch- und

Tiefdruckgebieten und Wirbelstürmen, aber auch bei Strömungen in Gewässern, spielt die

Corioliskraft eine bedeutende Rolle.

Luftmassen in der Atmosphäre strömen immer von Gebieten hohen Luftdrucks zu Gebieten

niedrigen Drucks. In einem unbeschleunigten Bezugssystem wäre die Bahn der Luftteilchen

Abb 1.1: Hurrikan „Emily“ NOAA-

Satellitenaufnahme 31.8.1993


geradlinig. Die Erde aber ist ein rotierendes, also beschleunigtes Bezugssystem. Sie dreht sich

mit konstanter Geschwindigkeit. Durch die Rotation ändert jedes bewegte Teilchen auf der

Erde ständig die Richtung und erfährt damit eine Beschleunigung. Wo eine Beschleunigung

auftritt, muss eine Kraft wirken.

Demonstration: Drehtisch oder -schemel langsam rotieren lassen und mit einem Stück Kreide

in direkter Linie von außen nach innen oder von innen nach außen zeichnen.

Für Beobachter außerhalb des rotierenden Bezugssystem ist die Bahn der Kreide eine Gerade

zur Schemelmitte oder von der Mitte zum Rand. Die gezeichnete Kreidespur zeigt aber eine

Linie, die von der Geraden abweicht und an der Schemelachse vorbeiführt. Der Schemel dreht

sich unter der Kreide hindurch.

Übertragen auf eine Luftströmung heißt das: Auf der Nordhalbkugel wird sie im Laufe ihrer

Bewegung relativ zur Windrichtung nach rechts abgelenkt. Die Kraft, die die Luftströmung

senkrecht zur Windgeschwindigkeit und senkrecht zur Drehachse beschleunigt, ist die sog.

„Corioliskraft“. Auf der Südhalbkugel wird die Luftströmung dementsprechend nach links

abgelenkt.

a vc � �2� �sin Coriolisbeschleunigung� �

��

a v

a

c

c

�

� �

�

� = Winkelgeschwindigkeit der Erde

�

v = Relativgeschwindigkeit des bewegten Körpers

� = Winkel zwischen � und v = geographische Breite

� am Äquator: � = 0 =>sin � = 0 => Fc = 0

� an den Polen: � = 90° =>sin � = 1 => Fc = maximal

Nordhalbkugel: Ablenkung nach rechts

Südhalbkugel: Ablenkung nach links

Abb 1.2: Zur Corioliskraft

Der Sinusterm beschreibt die Abhängigkeit der Corioliskraft von der geographischen Breite:

Am Äquator verschwindet die Corioliskraft, da die Richtung der Strömungsgeschwindigkeit

und die Drehrichtung der Erde zusammenfallen. An den Polen stehen Geschwindigkeit und

Drehrichtung senkrecht aufeinander, die Corioliskraft wird maximal.

Demonstration:

Anhand eines Globus oder einer aufblasbaren Weltkugel kann die Abhängigkeit der Coriolis-

kraft von der geographischen Breite demonstriert werden. Verschiedene farbige Vektorpfeile

symbolisieren die Vektoren. Die Variation des Winkels zwischen der Relativ- und der


Winkelgeschwindigkeit mit der Änderung des Breitengrads wird bei einem dreidimensionalen

Modell sehr viel deutlicher als an der Tafel. Noch einprägsamer wird die Rechts- und

Linksablenkung demonstriert, wenn man den Globus oder eine beliebige Kugel um ihre Achse

rotieren lässt und, ähnlich wie beim Drehschemel, mit einem Stift geradlinig über die

Oberfläche zeichnet.

Weshalb sind die Luftwirbel auf der Nordhalbkugel linksdrehend, wie die meteosat-Auf-

nahme in Abbildung 1.3 zeigt? Die vom Hoch- zum Tiefdruckgebiet strömende Luft wird

durch die Corioliskraft relativ zur Strömungsrichtung nach rechts abgelenkt. Sie strömt also

zunächst am Zentrum des Tiefdruckgebiets vorbei. Der niedrige Druck im Zentrum sorgt aber

dafür, dass die Luftmassen abgelenkt werden und spiralig ins Tiefdruckgebiet einströmen. Es

entsteht auf der Nordhemisphäre ein linksdrehender, auf der Südhemisphäre dementsprechend

ein rechtsdrehender Wirbel.

Strömungen im Hurrikan

In Abbildung 1.4 symbolisieren die schwarzen Pfeile feuchte und warme Luftmassen, die in

ein Tiefdruckgebiet auf Meereshöhe einströmen.

Da sie wärmer und damit weniger dicht sind als

die Luft in höheren Schichten, steigen sie nach

oben. Dabei strömen die warmen, wasser-

dampfreichen Luftblasen durch kühlere Schichten,

der Wasserdampf kondensiert und es regnet.

Wenn gasförmiges Wasser in die flüssige Phase

übergeht, wird Kondensationswärme frei. Diese

Energie beschleunigt die Luft noch weiter, in

Höhen bis zu 15 km. In diesen großen Höhen

fließt die nun trockene Luft nach außen ab.

Abb. 1.3: Linksdrehender Wirbel auf der Nordhemisphäre

Abb 1.4: Strömungen in einem Hurrikan


Währenddessen strömt immer mehr warme Meeresluft in niedrigen Schichten zum Zentrum

nach und steigt dort spiralig auf. Die „Maschinerie“, die den Wirbelsturm antreibt, ist ange-

worfen. Ihre Energiequelle ist die Wärmeenergie der einströmenden Luft.

Meteorologen haben abgeschätzt, dass die kinetische Energie eines Hurrikans etwa 1010 kWh

beträgt. Im Vergleich liegt die kinetische Energie der Atombombe, die Nagasaki zerstörte, mit

etwa 107 kWh um drei Größenordnungen niedriger (BATTAN 1961).

Das Auge des Hurrikans

Das Zentrum des Hurrikans mit einem

Durchmesser von bis zu 100 km wird

„Auge“ genannt. Das Auge ist ein Tief-

druckgebiet. Der niedrige Druck bewirkt,

dass von großen Höhen trockene Luft ein-

gesogen wird, die bis auf Meereshöhe

absinkt. In Abbildung 1.4 ist diese absin-

kende Luft durch weiße Pfeile dargestellt.

Da die in der Luft enthaltenen Wasser-

tröpfchen beim Absinken in wärmere La-

gen verdunsten, ist das Auge wolkenlos.

Im Auge kann der Druck um bis zu 10%

des Normaldrucks erniedrigt sein. Dieser Wert entspricht in etwa den Schwankungen des

Drucks bei einem Wetterwechsel oder dem Druckunterschied zwischen Meereshöhe und 800

Höhenmeter. Unter der Annahme, dass der Normaldruck dem Druck einer Wassersäule von

10 m Höhe entspricht, hat die Erniedrigung des Drucks im Auge des Hurrikans um 1/10 des

Normaldrucks zur Folge, dass der Wasserspiegel im Auge um 1m steigt. Gemeinsam mit

starken Winden, die außerhalb des Auges wüten, können hohe Wellenberge entstehen. Sie

verursachen vor allem in tiefliegenden Gebieten wie den Anrainerstaaten um den Golf von

Bengalen verheerende Überschwemmungen. So ertranken 1991 während eines Hurrikans in

Bangladesh 138.000 Menschen.

Auf dem Land bietet das Auge eine Ruhepause nach und vor den schweren Stürmen. Ein

Augenzeuge berichtet: „Dann folgten einige Stunden atemloser Windstille. Sie schienen an-

zudeuten, dass der Wirbelsturm vorübergezogen sei. Die Sturmpause dauerte drei Stunden.

Die unnatürliche, nur gelegentlich von Nieselregen gestörte Ruhe barg die Vorahnung einer

drohenden Gefahr in sich. Da noch keine Windänderung eingetreten war, machten sich die

Erfahrenen auf das Schlimmste gefasst.“(BATTAN 1961; TANNEHILL 1954)

Abb 1.5: Niederschlagsverteilung in einem Hurrikan


Zugbahnen

Hurrikans bilden sich in tropischen Gebieten

und ziehen dann in höhere Breiten. Die

genauen Bahnen lassen sich nicht

vorhersagen, aber im statistischen Mittel

bewegen sich die Hurrikans mit den

Hauptwinden, wie den Passaten und dann

den Westwinden in höheren Breiten

(Abbildung 1.6). Feuchtwarme Meeresluft

hält die Hurrikans am Leben. Sobald sie

kältere Regionen erreichen, verwandeln sie

sich in gewöhnliche Tiefdruckgebiete, die

dann in unseren Breitengraden für heftigen

Regen mit starken Winden sorgen. Bei den Herbststürmen im Oktober 1996, die vor allem an

der Küste von Cornwall in Großbritannien, aber auch in Deutschland wüteten, handelte es sich

z.B. um Ausläufer des Hurrikans „Lily“.

Wenn der Hurrikan in niedrigeren Breiten auf Land trifft, kann er verheerende Schäden an-

richten. Allerdings schwächt er sich an Land ab, da er von seiner Energiequelle, der feuchten

Meeresluft, abgeschnitten ist. Auch die erhöhte Reibung an Land sorgt für eine zusätzliche

Abschwächung.

Steigt durch die Klimaänderung die Wirbelsturmhäufigkeit?

In diesem Jahrhundert nahm die globale Durchschnittstemperatur um 0,3° bis 0,7°C zu. Auch

die Meere erwärmten sich in den letzten 40 Jahren um 0,4° bis 0,6°C. So gering diese Werte

scheinen, so verheerend können die Auswirkungen sein, denn der Wasserdampfgehalt über

dem Pazifik stieg durch die globale Erwärmung um 20%, in Äquatornähe sogar um 30%. Das

hat zur Folge, dass sich dadurch die Bereiche, in denen Hurrikans entstehen können, um 15%

vergrößerten.

Modellrechnungen besagen, dass neben der Häufigkeit auch die Stärke der Wirbelstürme mit

der Erwärmung zunehmen kann. Jedes Jahr wächst der Kohlendioxidausstoß um 0,5%. Ver-

schiedene Prognosen besagen, dass bei Verdoppelung des Kohlendioxidausstoßes die Stärke

von Orkanen um das 1,5-fache steigt. So werden für 27°C warmes Wasser Maximal-

geschwindigkeiten von ca. 280 km/h berechnet, für 34°C warmes Wasser allerdings schon

Maximalgeschwindigkeiten von 380 km/h. Die Anzahl der Wirbelstürme würde sich nach

diesen Klimamodellen mehr als verdoppeln (Persönliche Mitteilung Prof. Schönwiese, Uni-

versität Frankfurt/M., JACOB 1993).

Andere Modelle gehen nicht von einer erhöhten Wirbelsturmhäufigkeit aus, da sich neben den

tieferen Schichten der Atmosphäre auch die höheren Schichten erwärmen und es damit zu

keinen relevanten Druckunterschieden kommt.

Abb 1.6: Zugbahnen der Hurrikans von 1887 bis 1923

(LILJEQUIST 1994, 296)


Tornados

Mit 50 - 500 m haben Tornados einen um drei Größenordnungen geringeren Durchmesser als

Hurrikans. Dadurch sind die geschädigten Landstriche räumlich begrenzter als bei Hurrikans

oder Taifunen. Beispielsweise ist es möglich, dass ein Tornado nur die Häuser auf einer

Straßenseite zerstört, während die Häuser der anderen Seite unversehrt bleiben. Allerdings

sind die Windgeschwindigkeiten eines Tornados mit bis zu 500 km/h wesentlich höher als die

eines Hurrikans. Dadurch sind die Schäden in den kleinen betroffenen Gebieten meist

verheerender.

Tornados entstehen auf Land und treten sehr viel häufiger auf als Hurrikans. Allein im Mai

1995 wurden in den USA 484 Tornados gezählt. Dabei wurden 16 Menschen getötet. Der

Sachschaden betrug mehrere Millionen Dollar (SNOW 1995).

Neben den hohen Windgeschwindigkeiten verursacht auch der niedrige Druck im Zentrum des

Tornados die hohen Schäden. Wenn z.B. ein Tornado über Gebäude fegt, fällt der Druck

schlagartig um etwa 10%. Im Gegensatz zum Wirbelsturminneren herrscht in den Gebäuden

ein Überdruck, sie „explodieren“ regelrecht. Von Augenzeugen wurde berichtet, dass

Fensterscheiben durch den Druckunterschied nach außen gebogen und der Vorhang durch den

Unterdruck nach außen gesogen wurde. Nachdem der Tornado vorbeigezogen war, sprang die

Scheibe wieder auf ihren alten Platz zurück und klemmte dabei den Vorhang ein.

Wie entsteht ein Tornado?

Voraussetzungen für die Entstehung eines Tornados:

1. Die Atmosphäre muss instabil geschichtet sein.

2. Es müssen Scherströmungen auftreten.

Tornados entstehen im Gegensatz zu Hurrikans auf dem Festland. Sie können in allen Erd-

teilen auftreten, am häufigsten werden sie aber im sog. „Tornadogürtel“, der von Texas über

Kansas und Illinois nach Kanada reicht, gezählt.

Tornados können, ähnlich wie Hurrikans nur dann entstehen, wenn warme, feuchte Luft in

den unteren Lagen unter kalter, trockenerer Luft geschichtet ist. In den zentralen Regionen der

USA ist diese Voraussetzung besonders häufig erfüllt: Vor allem im Frühjahr treffen hier

polare Luftmassen auf feuchtwarme tropische Luft. Warme Luft steigt auf und bildet riesige

Gewitterwolken. In den Aufwinden dieser Gewitter können Tornados entstehen.

Welche Kräfte die Luftmassen beim Tornado auf eine Sprialbahn lenken, ist immer noch nicht

vollständig geklärt. Viele Quellen behaupten, die Aufwinde würden wie beim Hurrikan durch

die Corioliskraft auf eine Spiralbahn gezwungen. Dagegen spricht jedoch die Beobachtung,

dass etwa jeder zehnte Tornado im Uhrzeigersinn läuft, während sich die anderen wie

Hurrikans zyklonal, d.h. im Gegenuhrzeigersinn drehen. Dies deutet darauf hin, dass die

Rotation eine andere Ursache haben muss.


Neuere Untersuchungen gehen davon aus, dass es zwei Mechanismen gibt, die für die

Rotation der Tornados verantwortlich sind. Beide beruhen auf Scherströmungen der

auftretenden Winde. Auf die Entstehung von Wirbeln durch Scherströmungen wird im

nachfolgenden Unterrichtsteil noch genauer eingegangen.

Scherung durch unterschiedliche vertikale Windgeschwindigkeiten

Der erste Mechanismus ist in Abbildung 1.7 dargestellt, er geht von vertikalen Winden aus,

die mit unterschiedlicher Geschwindigkeit strömen: Am Boden wehen sie schwächer als in

höheren Schichten. Dadurch entsteht ein Wirbelschlauch, der sich um die horizontale Achse

dreht, ähnlich einem Windrad, das oben stärker angeblasen wird als unten. Starke Aufwinde

in der Gewitterzone können dann den Wirbelschlauch in die vertikale aufrichten, es entsteht

eine spiralige Aufwärtsbewegung (SNOW 1995; DAVIES-JONES 1995; NASH 1996).

Scherung durch unterschiedliche Windrichtungen

Strömen Winde verschiedener Richtung aneinander vorbei, entstehen an den Grenzflächen

vertikale Wirbel. Diese Wirbel werden durch die Strömung der Winde, ähnlich wie ein

Kinderkreisel weiter angetrieben. Im Wirbelschlauch halten sich die Druckkraft im Inneren

und die Zentrifugalkraft der rotierenden Luftteilchen gerade die Waage, es herrscht ein sog.

„zyklotrophisches Gleichgewicht“.

Abb 1.8: Entstehung eines Wirbelschlauchs durch verschiedene Windrichtungen

Die Luftteilchen bewegen sich nicht in radialer Richtung, es treten von der Seite weder Luft-

elemente ein noch aus. Lediglich am Boden wird die Luft in den Schlauch gesogen. Hier

herrscht ein so starker Sog, dass durch den Tornado auch schwere Gegenstände, wie Autos,

gehoben werden können.

Abb 1.7.: Entstehung und Aufrichtung eines Wirbelschlauchs


Aufbau eines Tornados

Tornados besitzen eine ähnliche Struktur wie Hurrikans: Ihr wolkenfreies Auge hat natürlich

sehr viel kleinere Abmessungen, dennoch ist es vor allem in größeren Tornados durchaus er-

kennbar. In diesem Auge ist die Windgeschwindigkeit schwach und es können Abwinde in

Richtung Erde strömen. Allerdings gibt es gerade über die Zentren von Tornados kaum Daten,

da die Messgeräte die übermäßige Beanspruchung selten überstehen. Die höchsten

Windgeschwindigkeiten herrschen in einem Ring nahe der Achse.

Tornados in Deutschland

Auch in Deutschland können Tornados auftreten.

So hat z.B. am 10. Juli 1968 im Raum Pforzheim

ein Tornado größere Schäden angerichtet. Auch

dieser Tornado hat sich aus Gewitterwolken ge-

bildet. Die „Meteorologische Rundschau“

berichtet: „Am späten Abend des 10.7.1968, eines

ungewöhnlich schwülen Tages, ist ein schwerer

Tornado über die nördlichen Ausläufer des

Schwarzwaldes hinweg nach Osten gezogen. ...

Dass es sich hierbei um einen Tornado gehandelt

hat, darüber kann kein Zweifel bestehen. Da es

Nacht war, liegen zwar nur wenige visuelle Beobachtungen vor. Der dunkle Wolkentrichter,

dessen unterer Teil hin- und herschwankte, wurde zuverlässig von Süden her aus der

Entfernung von wenigen Kilometern bei fahlem, horizontnahem Mondschein beobachtet. ...

Da es Nacht war, sind glücklicherweise nur drei

Menschenleben zu beklagen. Bei Tage hätte es nach

amtlichen Schätzungen mehrere hundert Opfer

gegeben; denn Scherben und Splitter flogen wie

Geschosse durch die Luft. In einem Schulhaus

stürzte eine Decke ein. Industriebauten wurden

völlig ausgeblasen. Autos wirbelten durch die Luft;

eine Betonmischmaschine wurde 80 m weit ge-

tragen. ... Im Stadtkreis Pforzheim wurden

insgesamt 1750 Häuser beschädigt, davon 550

schwer, 600 mittelmäßig, 600 leicht. 6 Häuser

wurden total zerstört.“ (NESTLE 1969).

Die Zugstraße des Tornados (Abbildung 1.9) hatte eine Länge von 27 km, die

Zerstörungsschneise war zwischen 200 m und 600 m breit. Wie bei den meisten Tornados

Abb. 1.9: Zugstraße des Tornados (NESTLE 1969)

Abb 1.10: Druckkurve (NESTLE 1969)


wurde auch in Pforzheim beobachtet, dass völlig zerstörte Gebiete und völlig unversehrte sehr

dicht beieinander lagen.

Das Barometer eines Studiendirektors aus Pforzheim, das zufällig in der Randzone der

Tornadozugstraße stand, zeichnete die Druckerniedrigung beim Vorbeizug des Tornados auf

(Abbildung 1.10). Weitere, allerdings schwächere Tornados traten z.B. 1973 in Kiel und 1978

in Recklinghausen und Schwäbisch Gmünd auf.

3.1.2 Wie Wirbel entstehen

VORBEMERKUNGEN

Wirbel in Wasser oder Luft sind besonders schöne und ansprechende Erscheinungen in der

Natur. Deshalb steht in diesem Unterrichtsteil zunächst die phänomenologischen Betrachtung

von Wirbelströmungen im Vordergrund. Es werden Wirbel erzeugt und deren Struktur unter-

sucht. Die Experimente sind so konzipiert, dass sie mit einfachsten Mitteln auskommen. Auf

die qualitative Beschreibung von Wirbelströmungen folgt die quantitative mit Hilfe der

Helmholtzschen Wirbelsätze.

LEHR- UND LERNZIELE


� die Schönheit von Wirbeln in der Luft und im Wasser aufs neue kennen lernen. Beim Ex-

perimentieren sollen sie den Aufbau und die Entstehung der Wirbel möglichst präzise be-

obachten und in eigenen Worten beschreiben können.

� angeregt werden, in ihrer täglichen Umgebung auf Wirbelströmungen zu achten und eigene

Experimente zuhause durchzuführen.

� die Helmholtzschen Wirbelsätze als qualitative und quantitative Beschreibung von Wirbeln

kennen lernen und ihre eigenen Beobachtungen mit dieser Beschreibung in Einklang brin-

gen.

AUSFÜHRUNG

Wie unterscheidet sich eine rotierende Flüssigkeit von einem rotierenden Festkörper?

Demonstration „Kreisel“: Der Kreisel rotiert als Ganzes, d.h. alle Teile haben einen festen

Abstand zueinander, seine Form bleibt während der Bewegung erhalten.


Demonstration „Wasserwirbel“: Das

Becherglas wird mit Wasser gefüllt.

Wird das Wasser durch Rühren von

Hand in Rotation versetzt, bringt die

Reibung die Bewegung schnell zum

Erliegen. Deshalb wird ein

Magnetrührer eingesetzt, zunächst mit

kleinen Drehzahlen, so dass sich die

Wasseroberfläche nur in der Mitte

leicht nach unten wölbt. Nach kurzer

Wartezeit wird ein Tropfen Tinte

eingeträufelt, der den Wasserwirbel

allmählich anfärbt und so die Struktur

des Wirbels sichtbar macht.

Die Färbung des Wirbels verläuft so

gemächlich, dass mit dem bloßen

Auge feinste Strukturen erkennbar

sind: Zuerst sieht man, dass sich die

nach unten absinkende Tinte spiralig

in fein ziselierten Schichten verteilt,

die aneinander vorbeigleiten. Im

Zentrum bildet sich rasch eine schlauchförmige Zone mit kleinem Durchmesser aus, die sich

schneller dreht als die äußeren Flüssigkeitsschichten. Um diesen Wirbelkern verteilt sich die

Tinte weiter in kreisförmigen Bahnen. Nach einiger Zeit färbt sie auch die äußeren Bereiche

des Wirbels an. Bei genauem Hinsehen erkennt man, dass sich die Flüssigkeit umso

langsamer dreht, je weiter sie vom Zentrum entfernt ist.

Streichholzköpfe als Schwimmer erleichtern die Beobachtung. Die zweifarbigen Köpfe

können auch als Richtungsanzeiger dienen: Werden sie mit etwas Geschick so in die

Flüssigkeit gesetzt, dass der Kopf in

Strömungsrichtung zeigt, behalten sie ihre

Richtung bei, solange sie sich außerhalb des

Wirbelkerns bewegen (Abbildung 1.12). Dieses

Gebiet außerhalb des Kerns nennt man

„drehungsfreies Wirbelfeld“. Sobald der

Richtungsanzeiger den Kern erreicht hat, „klebt“

ein Ende an der Wirbelachse, während das andere Ende um die Achse rotiert. Beim

Wirbelkern handelt es sich um ein drehendes Wirbelfeld.

Abb 1.11: Wasserwirbel

Abb 1.12: Streichholzschwimmer im drehungs-

freien Wirbelfeld und im Wirbelkern


Der schematische Aufbau eines Wirbels ist in Abbildung 1.13 dargestellt: Von der Wirbel-

achse bis zum Radius a des Wirbelkerns steigt die Geschwindigkeit v an, außerhalb des Kerns

nimmt sie wieder ab.

Rotierender Festkörper Rotierende Flüssigkeit

Behält als starrer Körper seine Form bei. Ändert ihr Aussehen, ihre Gestalt, da Fluidteilchen

gegeneinander verschoben werden können.

Alle Elemente rotieren mit der gleichen

Winkelgeschwindigkeit �.

Im Wirbelkern rotieren alle Elemente mit der gleichen

Winkelgeschwindigkeit � (wie ein Festkörper).

Fluidelemente des Kerns vermischen sich nicht mit der

umgebenden Flüssigkeit.

Der Wirbelkern ist ein drehendes Wirbelfeld.

Außerhalb des Kerns nimmt � ab, am Gefäßrand wird

� = 0.

Dieses Gebiet ist ein drehungsfreies Wirbelfeld.

� �

v

r= konstant: Bahngeschwindigkeit v nimmt mit dem

Abstand vom Zentrum zu.

Bahngeschwindigkeit v nimmt außerhalb des Wirbelkerns

mit dem Abstand vom Zentrum ab.

Tabelle 1.2: Vergleich eines rotierenden Festkörpers mit einer rotierenden Flüssigkeit

Hohlwirbel

Wirbeltrichter wie Badewannenwirbel sind wohl die bekannteste Wirbelform im Alltag. Bei

diesem Wirbel ist der Strömung in konzentrischen Kreisen um die Wirbelachse eine radiale

Abb 1.13: Querschnitt durch einen Wirbel


Bewegung zur Achse hin überlagert. Um einen Hohlwirbel zu erzeugen, muss lediglich die

Drehzahl des Magnetrührers erhöht werden. Im Zentrum des Wasserwirbels bildet sich eine

Luftsäule aus, die am Umlauf unbeteiligt ist. Die Flüssigkeit dreht sich wie ein Rohr um eine

Achse, dabei zeigt der Wassertrichter eine gleichmäßige spiralige Struktur.

Alternativversuch „Tornado-Rohr“:

Hohlwirbel können auch mit Hilfe eines „Tornado-Rohrs“ erzeugt

werden. Dazu werden zwei möglichst große Getränkeflaschen mit

Hilfe eines Verbindungsstücks miteinander verbunden, das entweder

käuflich erworben oder selbst gebastelt werden kann (siehe Mate-

rialliste).

Das Verbindungsstück selbst zu basteln ist einfach: Zunächst muss

der Durchmesser des Flaschenhalses zusätzlich verengt werden, das

geschieht durch einen Dichtungsring, den man zwischen die Fla-

schen legt. Bei Bedarf, wenn der Wasserwirbel sich immer wieder

abschnürt, muss die Öffnung des Rings noch etwas aufgestemmt

werden. Die Verbindung der Flaschen erfolgt durch ein etwa 4 cm langes Schlauchstück, das

man über die Flaschenhälse zieht. Vorher muss eine Flasche mit Wasser gefüllt werden.

Um einen Wirbel zu erzeugen, werden die Flaschen so gedreht, dass die gefüllte auf dem

Kopf steht und sich in die andere entleert. Um den „Tornado“ zu simulieren, muss das Wasser

durch kreisförmige Bewegung der Flaschen in Rotation versetzt werden. Es entsteht ein

Hohlwirbel. Konfetti oder andere Schwebkörper, die ins Wasser gestreut werden, dienen der

Markierung von Flüssigkeitselementen. Mit ihrer Hilfe kann beobachtet werden, dass die

Bahngeschwindigkeit zum Zentrum hin rasch zunimmt und die Körper im Zentrum um ihre

eigene Achse rotieren.

Die Helmholtzschen Wirbelsätze

1858 veröffentlichte Hermann Helmholtz die nach ihm benannten Wirbelsätze, die

Entstehung und Verhalten von Wirbeln beschreiben. Wir beginnen mit dem anschaulichsten

Teil dieser „Helmholtzschen Wirbelsätze“, der sinngemäß besagt:

Ein Wirbel hat nie ein freies Ende innerhalb der Flüssigkeit, sondern nur an Grenz-flächen.

Wirbel enden entweder an der Oberfläche der Flüssigkeit oder an der Gefäßwand, wie z.B. die

Wasserwirbel in unseren Versuchen oder auch die Badewannenwirbel. Bei Tornados oder

Hurrikans dient als „freie Oberfläche“ eine stabile Luftschicht, die oberhalb der labilen

Schicht in über 15 km Höhe liegt. Innerhalb der Flüssigkeit schließt sich der Wirbel zu einem

Ring zusammen, wie z.B. die Wirbelringe in der Luft, die man durch Rauchpartikel sichtbar

machen kann:

Abb 1.14: Tornado-Rohr


Versuch „Wirbelringe in Luft“:

Um solche Wirbelringe in der Luft selbst zu erzeugen,

benötigt man mindestens einen Raucher, der bereit ist,

seine Zigarettenpause vorzuverlegen und mit seinem

Rauch die Luftringe anzufärben. Gesünder, aber auch

aufwendiger färbt man die Ringe mit einem

„Rauchmacher“ an, der aus zwei Glaszylindern besteht,

die durch Glasröhren so miteinander verbunden sind,

dass Luft zuerst in den ersten Zylinder geblasen wird,

dann von diesem über den zweiten in den Raum. Wird nun der erste Behälter mit verdünnter

Salzsäure, der zweite mit Ammoniak gefüllt, so dass die Salzsäure über den Ammoniak

geblasen wird, erhält man einen zähen Rauch, mit dessen Hilfe Luftwirbel sehr gut sichtbar

gemacht werden können.

Eine „Wirbeltrommel“ ist schnell selbst gebaut: In den Boden einer Kaffeedose oder einer

Waschmitteltrommel wird ein rundes Loch geschnitten, bei einem Blumentopf ist das Loch

am Boden schon da. Als „Trommelfell“ dient bei der Kaffeedose der Plastikdeckel; Wasch-

mitteltrommel oder Blumentopf werden mit einer Plastiktüte bespannt.

Um die Rauchringe zu erzeugen, bläst man Rauch durch das Loch in den Behälter und klopft

sacht mit der Hand auf die

Membran. Es entstehen Rauchringe,

die gemächlich durch den Raum

schweben. Deutlich erkennbar ist die

Struktur der Wirbel, es handelt sich

um filigrane Gebilde, die aus vielen

konzentrischen, um eine

kreisförmige Achse rotierenden

Schichten bestehen.

Alternativversuch „Wirbelringe in Wasser“:

Dieser Versuch ist noch weniger aufwendig und gesünder als das Luftwirbelexperiment. In

eine (möglichst weiße oder Glas-) Schüssel wird Wasser gefüllt. Dann zieht man eine Pipette

oder Injektionsspritze ohne Nadel mit Kalium-Permanganat-Lösung auf. Diese Pipette legt

man ins Wasser und drückt, sobald sich das Wasser beruhigt hat, kurz auf den Ballon oder den

Kolben. Es entstehen kleine Wirbelringe, deren Struktur, Wirbelkern und umgebende kreis-

förmige Schichten sehr gut sichtbar sind.

Weil es so schön ist, noch ein Experiment ...

Abb 1.15: Bauprinzip Rauchmacher

Abb 1.16: Bildfolge: Entstehung eines Wirbelrings (VAN DYKE

1982,66)


Versuch „Kaskade“:

Ein hoher Glasbehälter wird eine mindestens eine halbe Stunde vor der Ver-

suchsdurchführung mit Wasser gefüllt, damit es zur Ruhe kommen kann. In

das Wasser träufelt man mit einer Pipette ein Tropfen Tinte. Am Anfang

bleibt der Tropfen zusammen, er fällt fast wie ein Festkörper. Dann bildet

sich ein Wirbelring aus, der langsam wächst. Nach einiger Zeit wird der

Ring instabil, einzelne Segmente lösen sich wie Arme aus dem Ring und

bilden neue Wirbel, die dann wieder in viele kleine Wirbel zerfallen. Nach

und nach entsteht also eine ganze Wirbelkaskade. D'Arcy Thompson, ein

Gestaltforscher, der Anfang dieses Jahrhunderts versuchte, die Formen von

Lebewesen durch physikalische Analogien, z.B. durch Strömungsformen zu

erklären, beschreibt die Bewegung wie folgt: "Aus dem sinkenden Tropfen

entsteht ein vollständiger Wirbelring, er dehnt sich aus und zieht sich zu-

sammen, er wallt umher, und die absinkenden Schlingen verwandeln sich

wieder in neue Wirbel ..." Diese Wirbelkaskaden vergleicht D'Arcy

Thompson mit Quallen und Medusen, deren Gestalt und Form er durch

solche Wirbelexperimente zu erklären versucht.

Bei allen diesen Versuchen ist die Ursache der Wirbelentstehung immer die

unterschiedliche Strömungsgeschwindigkeit zwischen benachbarten Flüs-

sigkeitsteilchen. Erzeugt wird dieser Geschwindigkeitsunterschied durch den

fallenden Tropfen in ruhender Flüssigkeit oder durch die Haftung an einem

umströmten Körper.

Der äußere Teil der Strömung bleibt zurück, weil die Fluidelemente am Hindernis haften,

während der innere Teil ungehindert weiterströmt. Durch die Reibung der äußeren Elemente

des strömenden Fluids an der Umgebungsflüssigkeit bildet sich zunächst ein Farbpilz, dessen

Ränder sich durch die in der Mitte rasch nachströmende Farbe immer stärker einrollen, der

Wirbel bildet sich aus. Kurze Zeit haftet er noch am Hindernis, dann löst er sich und wandert

mit der Strömung.

Diese Versuche zeigen deutlich: Ohne Reibung in der Flüssigkeit und ohne die Haftung zwi-

schen Flüssigkeit und Hindernis könnten keine Wirbel entstehen, aber auch keine Wirbel

vernichtet werden. Genau das ist die Aussage des ersten Helmholtzschen Wirbelsatzes:

Ohne Reibung können Wirbel weder erzeugt noch vernichtet werden.

Auch den zweiten Helmholtzschen Wirbelsatz können wir unmittelbar mit unseren Ver-

suchen bestätigen. Er lautet:

Die Wirbellinien werden immer aus den gleichen Flüssigkeitselementen gebildet.

Bis sich die Wirbel durch Diffusion und durch Störungen auflösen, wandert der Wirbel „als

Ganzes“ durch die umgebende Flüssigkeit. Es tritt weder Flüssigkeit ein noch aus.

Abb 1.17: Fallen-

der Tropfen

(THOMPSON

1983)


Für den dritten Helmholtzschen Wirbelsatz muss etwas weiter ausgeholt und eine neue

physikalische Größe eingeführt werden: Die „Zirkulation“. Sie ist ein Maß für die Stärke des

Wirbels.

Die Einführung der Zirkulation erfolgt ganz analog zu den Wirbelfeldern um stromdurch-

flossene Leiter. Auch hier entstehen magnetische Feldlinien um den Leiter, die weder Anfang

noch Ende besitzen. Der in Abbildung 1.13 schematisierte Wirbel beschreibt so auch die

Feldlinien um einen Leiter: Der Radius des Wirbelkerns entspräche dem des Leiters, die

Feldstärke H wäre das Analogon zur Bahngeschwindigkeit auf den Stromlinien. Völlig analog

zum Wasserwirbel nimmt auch die Feldstärke H im Inneren des Leiters zu, während sie

außerhalb des Leiters wieder abnimmt.

Zur Berechnung der Zirkulation wird in das

Geschwindigkeitsfeld der Wirbelströmung oder einer

beliebigen anderen Strömung eine geschlossene Kurve

gelegt, die eine beliebige Form haben kann. Diese Kurve

wird in infinitesimal kleine Teilstücke zerlegt

(Abbildung 1.18). Jedes dieser Teilstücke symbolisiert

ein Flüssigkeitselement, das sich mit einer bestimmten

Geschwindigkeit v bewegt. Für die Zirkulation wird nun

die Geschwindigkeit in jedem Teilstück mit der Länge

des Stücks multipliziert und über alle Teilstücke der

Kurve summiert. D.h. man berechnet das Wegintegral

über die geschlossene Kurve C:

Zirkulation � � ��

v r dsc

( )

Berechnung der Zirkulation eines idealisierten Wirbels

Annahmen:

� Die Flüssigkeitsteilchen bewegen sich auf konzentrischen Kreisen.

� Die Bahngeschwindigkeit auf jedem Kreis sei konstant, aber sie variiere von Kreis zu

Kreis.

� Einfachste Wegstrecke: Eine der Kreisbahnen um den Kern.

1. Im Wirbel ist in jedem Teilstück �

v parallel zu d�

s . Aus dem Skalarprodukt wird� � � �

vds v ds vds� �cos�

�� cc

ds)r(vsd)r(v��

2. Auf jedem Kreis ist v(r) konstant. v(r) kann vor das Integral gezogen werden.

� � �v r dsc

( )

Abb 1.18: Kurve im Geschwindigkeitsfeld


3. Das Linienintegral ist gleich dem Kreisumfang.

r2)r(vrd)r(v

2

0

��

Mit v = �r und der Kreisfläche A = �r2, gilt:

� � �v r r r A( ) ( )2 2� �

Zirkulation eines Wirbels

Über die Zirkulation eines Wirbels besagt das 3. Helmholtzsche Gesetz:

Die Zirkulation für einen beliebigen Weg, der den Wirbelkern einmal umläuft, ist

konstant.

� � �2A =konstant

Dieser Satz findet bei den Wirbelstürmen eine direkte Anwendung: Verjüngt sich die Quer-

schnittsfläche eines Wirbels, muss sich nach dem 3. Helmholtzschen Satz die Winkel-

geschwindigkeit erhöhen, damit die Zirkulation erhalten bleibt. Besonders bei Tornados ist

eine Verringerung des Querschnitts und die damit verbundene Erhöhung der Geschwindigkeit

gefürchtet, da diese Stürme dadurch besonders zerstörerisch werden.

Mit Hilfe des 3. Helmholtzschen Wirbelsatzes kann nun auch die in Abbildung 1.13 dar-

gestellte Bahngeschwindigkeit im Wirbel erklärt werden:

� Für r < a: � = konstant, mit v = � r gilt: v � r.

� Für r > a: � = konstant, vr

��

2��

1

r.

Das heißt im Wirbelkern, der wie ein Festkörper rotiert, nimmt die Bahngeschwindigkeit

proportional mit dem Radius zu, sie wird am Rand des Kerns maximal und nimmt dann

außerhalb mit 1/r ab. Ein Wirbel mit dieser Geschwindigkeitsverteilung wird „Rankinewirbel“

genannt.

Wie bereits gesagt: Die magnetische Feldstärke im Wirbelfeld eines stromdurchflossenen

Leiters nimmt analog zur Bahngeschwindigkeit beim Wasserwirbel im Inneren des Leiters zu:

H�r. Außerhalb des Leiters nimmt sie umgekehrt proportional zu r ab: H�1/r.

In der Originalveröffentlichung seiner Wirbeltheorie formuliert Helmholtz die Wirbelsätze

wie folgt:

„Wirbellinien nenne ich Linien, welche durch die Flüssigkeitsmasse so gezogen sind, daß ihre

Richtung überall mit der Richtung der augenblicklichen Rotationsaxe der in ihnen liegenden

Wassertheilchen zusammentrifft.

Wirbelfäden nenne ich Theile der Wassermasse, welche man dadurch aus ihr herausschnei-

det, dass man durch alle Punkte des Umfangs eines unendlich kleinen Flächenelements die

entsprechenden Wirbellinien construirt.


Die Untersuchung ergiebt nun, dass, wenn für alle Kräfte, welche auf die Flüssigkeit wirken,

ein Kräftepotential existirt,

1. kein Wassertheilchen in Rotation kommt, welches nicht von Anfang an in Rotation

begriffen ist;

2. die Wassertheilchen, welche zu irgendeiner Zeit derselben Wirbellinien angehören, auch

indem sie sich fortbewegen, immer zu derselben Wirbellinie gehören bleiben;

3. dass das Produkt aus dem Querschnitte und der Rotationsgeschwindigkeit eines unendlich

dünnen Wirbelfadens längs der ganzen Länge des Fadens constant ist und auch bei der

Fortbewegung des Fadens denselben Werth behält. Die Wirbelfäden müssen deshalb in-

nerhalb der Flüssigkeit in sich selbst zurücklaufen, oder können nur an ihren Grenzen

endigen.“ (HELMHOLTZ 1858, 4-5)

Versuch „Helmholtz-Wirbel“:

Ganz am Ende seiner Abhandlung beschreibt Helmholtz auch ein

Experiment: „Ich bemerke noch, dass man diese Bewegung der

kreisförmigen Wirbelringe in der Natur leicht studiren kann, indem

man eine halbe eingetauchte Kreisscheibe, oder die ungefähr

halbkreisförmige Spitze eines Löffels schnell eine kurze Strecke

längs der Oberfläche der Flüssigkeit hinführt, und dann schnell

herauszieht. Es bleiben dann halbe Wirbelringe in der Flüssigkeit

zurück, deren Axe in der freien Oberfläche liegt. Die freie Ober-

fläche bildet also eine durch die Axe gelegte Begrenzungsebene der

Wassermasse, wodurch an den Bewegungen nichts wesentliches

geändert wird.“ (HELMHOLTZ 1858, 37)

Die Struktur der Wirbelringe ist noch besser zu sehen, wenn die

Löffelspitze zuvor mit Tinte benetzt wird.

Vergleich der Zirkulation eines Badewannenwirbels mit der eines Hurrikans

a. Zirkulation des Wasserwirbels oder eines Wirbels im Waschbecken

Abstand vom Wirbelzentrum: r � 10 cm

Zeit für einen Umlauf: T�5s => v = 2�r

T

s

m108

T

)r2(

T

r2r2r2)r(v

22

2�

��

��

��

b. Zirkulation eines Wirbelsturms

v = 220 km/h � 60 m/s bei r �70 km, d.h. am Rande des Auges

� � � � � � � �v r r mm

s

m

s( ) ,2 2 7 10 60 2 6 104 7

2

� � . Die Stärke des Sturms beträgt also das

ungefähr 109-fache der Stärke des Badewannenwirbels.

Abb 1.19: Wirbelring, zur

Hälfte eingefärbt (VAN

DYKE 1982, 44)

3.2 Themenblock „Ideale und reale Flüssigkeiten undStrömungen“

Schritte Materialien

1. Ideale Flüssigkeiten und Strömungen.Beispiel: Das hydrodynamische Para-doxon.

� Vorversuche

� Modellbildung: Kontinuum und idealeStrömungen

� Die Kontinuitätsgleichung

� Druckänderungen längs der Stromlinie.Zwei alternative Herleitungen desBernoullischen Gesetzes

� Druckänderung senkrecht zur Strom-linie

� „Fast unzählige“ Anwendungen

Vorversuche: Papierstreifen, Pappe,Strohhalme

Versuch Zerstäuber: Strohhalme

Versuche „... im Spiel“: Löffel, Münze,Glas, Trichter, Tischtennisball

Versuch „Schiffe“: Spielzeugschiffe,Schüssel, Wasseranschluss mit Schlauch,Faden

Demonstration „Heul-Rohr“: Heulrohrim Spielwarenhandel erhältlich

2. Reale Flüssigkeiten und Strömungen

� Die ViskositätAbhängigkeit von der TemperaturMessung der Viskosität

� Die Haftbedingung

� Newtonsche und nichtnewtonscheFluide

Demonstration „Zähigkeit“: Wasser,Glyzerin, Honig, Motorenöl usw.

Versuch „Kugelfallviskosimeter“: Stand-zylinder, 2 mm Stahlkugel, zu unter-suchende Flüssigkeiten

Demonstration „Nichtnewtonsche

Fluide“ hüpfender Kitt ( z.B. Physik-boutique, Stark Verlag, Pf: 1852, 85318Freising), Slime (Spielwarenläden)

3.2.1 Ideale Flüssigkeiten und Strömungen am Beispiel des hydro-dynamischen Paradoxons

VORBEMERKUNGEN

Dieser Themenblock beginnt mit zwei sehr einfachen, verblüffenden Freihandversuchen,

deren Erklärungen auf einigen einfachen, aber grundlegenden Gesetzen der Hydrodynamik

beruhen. Einer der Vorversuche ist das sog. „hydrodynamische Paradoxon“. Paradoxa nehmen

im Physikunterricht, wie auch in der Physikgeschichte, eine wichtige Rolle ein: Sie regen die

Lernenden an, einer den eigenen Erwartungen widersprechenden Beobachtung auf den Grund

zu gehen. Leider existieren in der Physik nur wenige so leicht zugängliche Paradoxa wie das

hydrodynamische, mit seiner relativ einfachen Erklärung und vor allem seiner Vielzahl von

Anwendungen im täglichen Leben.


Die Gesetzmäßigkeiten dieses Themenblocks basieren ihrerseits auf allgemeinen Überlegun-

gen zur Modellbildung in der Strömungsphysik, der Einführung des Kontinuumbegriffs und

des physikalischen Modells einer idealen Strömung.

Nach der Herleitung der Kontinuitätsgleichung werden zwei alternative Herleitungen der

Bernoulligleichung vorgestellt. Diese Gleichung erlaubt Aussagen über den Druckverlauf

längs einer Stromlinie. Die erste Herleitung über die Energieerhaltung ist in den meisten

Lehrbüchern vertreten und wird deshalb zuerst vorgestellt. Sie hat den Vorteil, dass sie auf

grundlegenden und in der Schule bekannten physikalischen Gesetzmäßigkeiten beruht und

mathematisch einfach herzuleiten ist. Ihr Nachteil: Sie verstellt den Blick für den Wirkungs-

mechanismus, der für die Beschleunigung der Flüssigkeitselemente verantwortlich ist. Dies

kann die zweite Herleitung über die Eulerschen Gleichungen leisten, die die Gesetze der

Newtonschen Dynamik für Fluide formulieren. Sie besitzt auch den Vorteil, daß sie den Weg

für die Untersuchung der Druckänderungen senkrecht zur Stromlinie ebnet, die bei ge-

krümmten Stromröhren auftreten.

Diese grundlegenden Gesetzmäßigkeiten erlauben die Erklärung vieler Strömungsphänomene

aus dem Alltag, die im weiteren Verlauf vorgestellt werden. Dieser Themenblock lebt von den

verschiedenen einfachen Versuchen, die mit einem Minimum an Aufwand nachgemacht wer-

den können und den zahlreichen Beispielen aus dem Alltag. Erfahrungsgemäß fallen den

Lernenden selbst eigene Beispiele ein.

Weitere Experimente und Beispiele, vor allem in Hinblick auf den aerodynamischen Auftrieb,

wurde von WELTNER mehrfach veröffentlicht (z.B. WELTNER 1997, WELTNER 1990).

LEHR-UND LERNZIELE


� die Möglichkeit der Beschreibung von Flüssigkeiten und Gasen im Rahmen einer gemein-

samen Theorie kennen lernen.

� die ideale Strömung als vereinfachtes Modell erkennen und sich anhand dieses Beispiels

die Bedeutung des Modellbegriffs in der Physik vergegenwärtigen.

� die Anwendbarkeit der bekannten Energie- und Impulserhaltungssätze aus der Mechanik

auf Strömungsphänomene erkennen.

� die resultierenden Gleichungen auf einfache Versuche anwenden können.

� eigene Anwendungsbeispiele aus dem Alltag finden können.

3.2 Themenblock „Ideale und reale Flüssigkeiten und Strömungen“ 219

AUSFÜHRUNG

Vorversuche:

1. Ein Streifen Papier wird so vor den Mund gehalten, daß er sich vor dem Mund wölbt und

dann lose nach unten hängt. Nun wird kräftig über das Papier geblasen.

Überraschenderweise wird der Papierstreifen nach oben gesogen.

Abb. 2.1: Vorversuch (KORNECK et al. 1995)

2. Aus nicht zu dünner Pappe oder Bierdeckeln werden zwei gleiche Kreise mit je ca. 10 cm

Durchmesser ausgeschnitten. Eine Scheibe wird in der Mitte mit einem Loch versehen,

dessen Durchmesser so groß sein sollte, dass ein dicker Trinkhalm hindurchpasst. Der

Halm wird an einem Ende in das Loch eingeklebt. Nun werden die beiden Scheiben

übereinander auf die flache Hand gelegt und fest durch den Halm geblasen. Während des

Blasens kann jetzt die untere Scheibe losgelassen werden, ohne dass sie fällt. D.h. die

untere Scheibe wird nicht, wie vielleicht erwartet, weggeblasen, sondern angesogen. Es

muss also neben dem durch das Ausströmen auf die Fläche ausgeübten Druck, dem sog.

Staudruck noch eine zweite, entgegengesetzt gerichtete Kraft geben, die hier überwiegt.

Diesen Effekt nennt man das „hydrodynamische Paradoxon“. Genaugenommen müsste

man hier, da es sich bei dem strömenden Medium um Luft handelt, vom „aerodynamischen

Paradoxon“ sprechen. Das Experiment gelingt genauso mit Wasser und danach wurde das

Experiment auch benannt. Welche Gesetzmäßigkeit steckt hinter diesen Phänomenen?

BEGRIFFLICHER UND THEORETISCHER HINTERGRUND

Was ist ein Modell in der Physik?

Um ein physikalisches Phänomen zu erklären, muss man sich immer zuerst überlegen, welche

physikalischen Größen und Stoffeigenschaften für die Erklärung notwendig sind und welche

begründet ignoriert werden können. Das heißt, man muss sich ein Modell bilden.

Ohne Modelle wäre die Physik nicht so erfolgreich. Allerdings muss man sich immer im kla-

ren sein, dass ein Modell die Realität nur in beschränktem Maß beschreibt. Deshalb können

sich Modelle auch als ungeeignet erweisen und müssen verworfen oder modifiziert werden.


Das bedeutet, dass die Grenzen des gewählten Modells immer im Auge behalten werden müs-

sen.

Für die Erklärung der Vorversuche wird die strömende Luft idealisiert:

Annahmen:

1. Das beobachtete Medium ist ein Kontinuum.

2. Die Strömung ist „ideal“.

Was ist ein Kontinuum?

Jedes Gas und jede Flüssigkeit besteht aus sehr vielen Teilchen, nämlich aus ca.

6,022 � 1023 Teilchen pro Mol. Da wir aber die Flüssigkeit oder das Gas makroskopisch be-

trachten, d.h. in einem Maßstab, der sehr viel größer ist als die Abmessungen einzelner Mole-

küle, erscheinen sie zusammenhängend. Deshalb wählt man ein physikalisches Modell, in

dem nicht das Verhalten der einzelnen Moleküle eine Rolle spielt, sondern lediglich das

statistische Durchschnittsverhalten innerhalb eines gewählten Flüssigkeitselements. In einem

solchen Modell ist der Stoff ein „Kontinuum“.

Ideale Strömungen

Hier handelt es sich, wie der Name schon sagt, um eine Idealisierung, die physikalisch nicht

zu realisieren ist. Trotzdem ist das Modell der idealen Fluide für viele Fälle angebracht, wie

z.B. bei der Betrachtung der Phänomene, die anfangs vorgestellt wurden.

Eigenschaften idealer Fluide:

� Reibungsfreiheit, d.h. zwischen zwei parallel zueinander bewegten Flüssigkeitsschichten

treten keine Kräfte auf. Daher können nach den Helmholtzschen Wirbelsätzen (1. Themen-

block) Wirbel weder entstehen noch vernichtet werden.

� Inkompressibilität, d.h. die Dichte ist unabhängig vom Druck.

Diese Annahme gilt für alle Flüssigkeiten und auch für Gase, solange deren Strömungsge-

schwindigkeit 1/3 der Schallgeschwindigkeit nicht überschreitet.

Auch die Temperatur und damit die Dichte kann in der gesamten idealen Strömung als

gleichbleibend vorausgesetzt werden.

DRUCKÄNDERUNGEN UND BESCHLEUNIGUNGEN - DREI ELEMENTARE GLEICHUNGEN DERHYDRODYNAMIK

1. Die Kontinuitätsgleichung

Zur Herleitung der Kontinuitätsgleichung betrachtet man eine Flüssigkeit, die durch ein Rohr

strömt. Der Rohrquerschnitt verengt sich im Verlauf des Rohres.


Folgende Annahmen sollen für die Flüssigkeit und die Strömung gelten:

� Die Flüssigkeit strömt reibungsfrei und füllt das Rohr ganz aus.

� Die Strömung ändert sich nicht mit der Zeit. D.h. die Strömungsbewegung ist stationär.

� Während des Strömungsprozesses fließt Materie weder zu noch ab.

Die Flüssigkeit im Rohr legt, je nach Querschnitt, in der Zeit t verschieden lange Wege zu-

rück:

s1 = v

1t s

2 = v

2t

Das Volumen, das durch die Querschnitte strömt, erhält man mit: V = As

V1 = A

1s

1V

2 = A

2s

2

Wegen der Inkompressibilität muss in einer bestimmten Zeit das gleiche Volumen durch den

großen und den kleinen Querschnitt fließen:

V1 = V2

A1v

1t = A

2v

2t

v

v

A

A1

2 1

2�

Dies ist die Kontinuitätsgleichung. Sie ist mit m=�V und �=konstant eine besondere Form

des Prinzips der Massenerhaltung.

Aus der Kontinuitätsgleichung folgt also: Für diese Geometrie verhalten sich die Strömungs-

geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu den Querschnittsflächen.

Anwendungsbeispiele:

1. Autoverkehr: Unter der Annahme, dass auch der Autostrom inkompressibel sei, d.h. der

Abstand zwischen den Autos immer gleich bleibt, muss bei einer Fahrbahnverengung von

zwei auf eine Spur die Fahrgeschwindigkeit verdoppelt werden, damit die gleiche Auto-

menge passieren kann. In der Praxis aber wird die Geschwindigkeit aus vielen guten Grün-

den verlangsamt.

Abb. 2.2: Zur Kontinuitätsgleichung


2. Blutkreislauf: Durch eine Arterie mit 0,6 cm Durchmesser fließt Blut mit der Strömungs-

geschwindigkeit von 10 cm /s. Wegen einer Arterienverkalkung ist der Radius der Blut-

bahn an einer Stelle auf 0,4 cm verringert.

Wie groß ist dann die Strömungsgeschwindigkeit in der Verengung?

v vA

A

cm

s

cm

cm

cm

s2 11

2

2

210

0 3

0 222 5� � � �

�

�

( , )

( , ),

d.h., wenn sich der Durchmesser um 1/3 verringert, würde die Strömungsgeschwindigkeit

um mehr als das Doppelte ansteigen, wenn man für den Blutkreislauf eine ideale Strömung

annimmt.

2. Druckänderungen längs einer Stromlinie - Zwei alternative Herleitungen desStrömungsgesetzes von Bernoulli

a. Herleitung über den Energiesatz

Nach der Kontinuitätsgleichung ist die Strömungsgeschwindigkeit im engeren Querschnitt A2

höher als im weiteren Querschnitt A1

vA

Av v A2

1

21 1 1� � � v wenn A2 2,

Die Flüssigkeit wird an der Verengung beschleunigt.

Mit Hilfe des Prinzips der Energieerhaltung ist der Druckunterschied zwischen dem engen

und dem weiten Rohrabschnitt berechenbar: Wird das Flüssigkeitsvolumen, wie in Abbildung

2.2 dargestellt, von A1 bis A1’ verschoben, muss Arbeit W1 gegen den Druck p1 an der Stelle

A1’ geleistet werden.

W F s p A s p V1 1 1 1 1 1 1� � �

Im engeren Rohrabschnitt ist die Arbeit durch Verschieben dementsprechend W2.

W F s p A s p V2 2 2 2 2 2 2� � �

Diese Energieterme werden Druckenergie genannt.

Die Differenz zwischen den Druckenergien W1 und W2 an den verschiedenen Stellen der

Röhre wird verwendet, um die Flüssigkeit an der Engstelle zu beschleunigen.

W W W p p V� � � �1 2 1 2( ) .

An dem verschobenen Volumen wird Arbeit verrichtet, die kinetische Energie nimmt zu:

� �W W W V v vkin kin� � � �2 11

222

12

� .

Unter der Annahme, dass die Strömung keinen Höhenunterschied überwinden muss, bleibt die

potentielle Energie der Strömung gleich. Auch die innere Energie bleibt längs der Strömung

unverändert, wenn sich die Temperatur der Flüssigkeit nicht ändert, d.h. weder geheizt noch

gekühlt wird.


Durch Gleichsetzen der Druck- und der Bewegungsenergie und Kürzen des Volumens V

erhält man das Strömungsgesetz von Bernoulli (1738):

p v p v1 12

2 22

� � �1

2

1

2� �

Eges1

= Eges2

Dabei ist p der „statische Druck“, der nach allen Seiten gleichmäßig wirkt und 1

2�v2 der

„dynamische Druck“ oder auch „Staudruck“, der nur in Strömungsrichtung wirkt.

Nach dem Gesetz von Bernoulli ist also längs einer Stromlinie die Summe aus dem statischen

Druck und dem dynamischen Druck überall gleich:

konstantv2

1p 2 ��

Je größer die Strömungsgeschwindigkeit, desto kleiner ist der statische Druck an dieser Stelle.

An Engstellen ist somit der statische Druck geringer als an weiten Stellen (HEYWANG et.al.

1978; BOHL 1991, 81).

b. Herleitung über die Eulerschen Gleichungen

Welche Kräfte bestimmen die Bewegung eines Flüssigkeitselements?

� Äußere Kräfte Fä

� Reibungskräfte Fr

� Druckkräfte Fp

� Trägheitskräfte Ft

Wie bereits erwähnt, untersuchen wir das einfachste physikalische Modell einer Strömung:

Eine stationäre Strömung ohne Reibung und äußere Kräfte (z.B. die Schwerkraft). Deshalb

beschränkt sich die Kräftebilanz auf die Trägheitskraft und die Druckkraft:

Ft=Fp

Mit dem Ortsvektor r des Fluidelements ist dessen Trägheitskraft gleich

Ft=dm dv

dt=dm��r .

Die Beschleunigung ��r des Fluidteilchens wird nun in

eine Komponente längs und eine Komponente quer der

Stromlinie zerlegt (Abbildung 2.3).

Zunächst wird nur die Komponente ��s der Beschleu-

nigung längs der Stromlinie betrachtet:

Damit das Flüssigkeitsteilchen beschleunigt wird,

muss der Druck auf einer Seite höher sein als auf der

anderen. Unter der Annahme, dass der Druck in s-

Abb. 2.3: Komponenten der Beschleunigung

längs und quer zur Stromlinie


Richtung abnimmt, ergibt sich folgende Bilanz:

dm ��s = -A(p+dp) +Ap

Mit ��s =dv

dt ergibt sich

dm dv

dt= -Adp.

Dabei ist dp die Druckänderung in s-Richtung.

Mit dm =�A ds und durch Umformen der Gleichung kann diese integriert werden:

�dv

dtds = - dp

� dvds

dtdp� ��

Es ergibt sich das Strömungsgesetz von Bernoulli:

�

2 22

12

1 2( )v v p p� � �

Oder in der bekannten Formulierung:

p v p v1 12

2 22

� � �1

2

1

2� �

konstantv2

1p 2 ��

3. Druckänderungen senkrecht zur Stromlinie

Wie bereits erwähnt, gilt das Strömungsgesetz von Bernoulli nur für Druckänderungen längs

der Stromlinie. Ist aber die Bahn des Flüssigkeitsteilchens - wie in Abbildung 2.3 - gekrümmt,

muss auf der Teilchenoberseite ein höherer Druck herrschen als auf seiner Unterseite, damit es

der gekrümmten Bahn folgt. Unter den gleichen Voraussetzungen wie in 2.b gilt für die

Kräftebilanz in z-Richtung:

dm ��z = A(p+dp) -Ap.

Allgemein wird ein Teilchen, das sich auf einer Bahn mit dem Krümmungsradius R bewegt,

radial nach innen beschleunigt:

��zv

R�

2

Mit dm =�A dz

dmv

R

2

= A(p+dp) -Ap

�A dz v

R

2

=Adp

�v

R

dp

dz

2

�


Aus dieser Gleichung ist erkennbar, dass gekrümmte Stromröhren Druckänderungen

senkrecht zu den Stromlinien aufweisen. Je höher die Strömungsgeschwindigkeit und je

kleiner die Krümmung der Stromröhre, desto größer ist die Druckänderung. In einer

gekrümmten Stromröhre herrscht außen ein höherer Druck als innen. Bei geraden Stromlinien,

d.h. für R� � ist die Druckverteilung über den Querschnitt der Strömung gleich (dp

dz� 0)

(WELTNER 1997; BOHL 1991, 90). Diese Komponente der Teilchenbeschleunigung tritt nur

dann auf, wenn Hindernisse in der Strömung gekrümmte Stromlinien erzwingen. Dadurch

entstehen Druckänderungen senkrecht zur Bahn und, je nach Form der Umströmung, Unter-

und Überdruckgebiete.

Im folgenden werden, wie beispielsweise im zweiten Vorversuch, Strömungen vorgestellt, die

Engstellen passieren müssen. Dabei bleiben die Stromlinien aber im wesentlichen geradlinig.

Hier können die Druckdifferenzen in der Strömung durch das Gesetz von Bernoulli erklärt

werden. Sobald aber gekrümmte Stromlinien auftreten, muß die Druckänderung senkrecht zu

den Stromlinien zur Erklärung herangezogen werden. Der erste Vorversuch ist ein Beispiel für

dieses Erklärungsmuster:

Die Erklärung des ersten Vorversuchs

Jetzt kann man das Anheben des Papierstreifens im ersten Vorversuch erklären: Vor dem

Mund wölbt sich das Papier zu einem „Buckel“. Bläst man dieses Hindernis an, folgt die

Strömung unter bestimmten Bedingungen der Form des Hindernisses, ohne sich zu verwir-

beln. Es entstehen gekrümmte Stromlinien (vergleiche Abbildung 2.3) und damit Druck-

änderungen senkrecht dazu. In großer Entfernung oberhalb, sowie unterhalb des Papiers

herrscht Normaldruck, während aufgrund der umgelenkten Strömung der Druck von außen

nach innen abnimmt und deshalb über dem Papier Unterdruck herrscht. Das Papier wird nach

oben, zu diesem Gebiet geringeren Drucks hinbewegt. Der Papierstreifen erfährt einen dyna-

mischen Auftrieb.

Die Erklärung des zweiten Vorversuchs

Wird durch den Trinkhalm geblasen, strömt die Luft durch den

Halm, wird durch die untere Scheibe umgelenkt und strömt

sternförmig nach außen.

Den Zwischenraum zwischen den Scheiben kann man sich aus

Zylindermänteln aufgebaut vorstellen, mit nach außen immer

größer werdenden Radien. Sie werden von der Strömung durch-

flossen. Wegen der Kontinuitätsgleichung muss die Strömungs-

geschwindigkeit nach außen hin abnehmen.

Dementsprechend nimmt der Druck zwischen den Scheiben gemäß dem Gesetz von Bernoulli

nach außen hin zu. Am äußersten Zylindermantel entspricht er dem Atmosphärendruck.

Abb. 2.4: Zwischen parallel

zueinander stehenden

Scheiben wird Luft geblasen


Das Unterdruckgebiet sorgt dafür, dass die untere Scheibe nicht weggeblasen wird. Der Unter-

druck kompensiert nicht nur die Gewichtskraft der Scheibe, sondern auch den im Querschnitt

des Halms herrschenden Überdruck, der durch das direkte Anblasen der Scheibe entsteht

(NEUNASS 1967, 75).

FAST UNZÄHLIGE ANWENDUNGEN ...

... in der Technik

Wasserstrahlpumpe: Abbildung 2.5 zeigt das vereinfachte Prinzip

einer Wasserstrahlpumpe, die in der Technik häufig eingesetzt wird,

z.B. in Vergasern von Ottomotoren. Man benötigt ein Rohr, das sich

in seinem mittleren Teilstück verengt. An der verengten Stelle wird

ein Steigrohr angebracht, das senkrecht in einem Flüssigkeitsbehälter

hängt, aus dem die Flüssigkeit nach oben gepumpt werden soll.

Strömt nun Flüssigkeit durch das waagrechte Rohr, muss nach der

Kontinuitätsgleichung die Strömungsgeschwindigkeit in der Ver-

engung zunehmen. Dementsprechend sinkt der Druck in der Flüs-

sigkeit von p1 auf p2 an der Engstelle.

Durch eine geeignete Wahl von Strömungsgeschwindigkeit und

Rohrdurchmesser kann ein Druck p2 an der Engstelle erreicht werden,

der geringer ist als der Außendruck p0. Dieser Unterdruck bewirkt,

dass die Flüssigkeit im Steigrohr nach oben gepumpt wird.

Zerstäuber: Der Zerstäuber ist nach einem ähnlichen Prinzip aufgebaut

wie die Strahlpumpe, allerdings ragt hier das Steigrohr als Hindernis in

eine freie Strömung. Mit einem einfachen Versuch kann man das

Prinzip des Zerstäubers demonstrieren (Abbildung 2.6):

Versuch „Zerstäuber“:

Ein Trinkhalm wird in zwei Teile geschnitten, die senkrecht zueinander gehalten werden. Ein

Teil des Halms dient als Steigröhrchen, der zweite Teils als Zerstäuber. Mit ihm wird

senkrecht über die Öffnung des im Wasser stehenden Halms geblasen. Das Anblasrohr wird

dabei so gehalten, dass sich die obere Kante des Steigrohrs in der Mitte des anströmenden

Luftstrahls befindet. Auf diese Weise muss die Strömung um das Steigrohr als Hindernis

ausweichen. Es entstehen gekrümmte Stromlinien und dadurch ein Unterdruck über der

Steigrohröffnung. Die Flüssigkeit steigt aus dem Behälter nach oben und wird zerstäubt.

Schornstein: Bei Schornsteinen wird der durch gekrümmte Stromlinien entstehende Unter-

druck ebenfalls ausgenutzt: Der Kamin ragt als Hindernis in die Luftströmung und zwingt

diese auf gekrümmte Bahnen. Dadurch entsteht über seiner Öffnung ein Unterdruckgebiet, das

dafür sorgt, dass der Rauch besser abzieht.

Abb. 2.5: Vereinfachtes

Prinzip einer Strahl-

pumpe

Abb. 2.6: Zerstäuber aus

Strohhalmen


Natürlich ist der eben beschriebene Mechanismus nicht allein für das Abziehen des Rauchs

zuständig. Vielmehr wird der Haupteffekt beim Schornstein durch den Temperaturunterschied

zwischen dem Rauch und der Umgebungsluft erzielt. Auch kann bei den eben beschriebenen

Phänomenen nicht davon ausgegangen werden, dass die Strömung tatsächlich reibungsfrei

und laminar ist: In einer realen Strömung können Wirbel oder gar Turbulenz entstehen. In

erster Näherung ist diese einfache Erklärung gültig.

... in der Biologie

Turmspinnen: Einige Tierarten

nutzen durch Strömungen verän-

derte Druckverhältnisse aus. Ein

Beispiel ist die mit der Tarantel

verwandte Turmspinne. Sie lebt in

Gebieten mit wüstenähnlichem

Klima in röhrenförmigen Höhlen.

Diese Höhlen sind etwa 30 cm

tief, vertikal in Sand oder lockeres

Erdreich gegraben. Den Ausgang

der Röhre bildet ein Krater, der etwa einen Zentimeter hoch über dem Erdboden aufragt.

Dieser „Turm“ besteht aus Sand, Erde, Pflanzenresten und Spinnfäden. Die linke Zeichnung

in Abbildung 2.7 zeigt einen solchen Turm. Streicht Wind an dem Kraterausgang vorbei, wird

die Strömung auf gekrümmte Bahnen gezwungen und es entsteht am Kraterausgang ein

Unterdruck. Aus der Röhre wird Luft herausgesogen. Zum Ausgleich tritt nun Luft durch die

poröse Erde in die Höhle. Dieses Prinzip hat neben der Sauerstoffversorgung einen weiteren

wichtigen Vorteil: Da die Spinne in sehr heißen Gebieten lebt, würde ihre Höhle den Tag über

austrocknen. Dies wird durch den ständigen Zufuhr an, durch den Erdboden gekühlter,

feuchter Luft verhindert.

Präriehund: Eine andere Tierart, die Druckunterschiede ausnutzt, ist der Präriehund, der in

Nordamerika beheimatet ist. Präriehunde leben in etwa 15 m langen, tunnelförmigen Erd-

höhlen mit zwei unterschiedlich geformten Ausgängen (siehe rechte Zeichnung in

Abbildung 2.7). Ein Ausgang ist von einem hohen, konisch zulaufenden Ringwall umgeben,

der andere Ausgang ist niedriger und flach. Die Form der unterirdischen Gänge ist ungünstig

für eine Sauerstoffversorgung durch Wärmekonvektion. Der Sauerstoffvorrat, der durch Kon-

vektion in die Höhle gelangt, reicht nicht einmal aus, um den Bedarf eines Tieres zu decken.

Da aber mehrere Präriehunde gemeinsam in einer Höhle leben, muss die Sauerstoffversorgung

durch ein anderes Prinzip gewährleistet sein. Dies geschieht, ähnlich wie bei der Turmspinne,

durch Druckunterschiede an den beiden Ausgängen: Streicht Wind über die Ausgänge der

Höhle, muss er den erhöhten Ausgang als Hindernis umströmen. Es entstehen gekrümmte

Abb. 2.7: Bauten von Turmspinne und Präriehund (VOGEL 1979)


Stromlinien und damit am erhöhten Ausgang ein Unterdruckgebiet. Der Druck am höher-

liegenden Ausgang ist niedriger als der Druck am flachen Höhlenausgang. Es entsteht eine

Strömung vom Gebiet des höheren Drucks zum Gebiet niedrigeren Drucks, der Bau wird be-

lüftet. Es reicht eine sehr geringe Windgeschwindigkeit aus, um die Luft im Bau innerhalb

weniger Minuten auszutauschen. Die Belüftung ist unabhängig von der Windrichtung, die

Luft strömt im Bau immer von der Stelle des höheren zur Stelle des niedrigeren Druckes.

Wird die Strömung durch Rauch sichtbar gemacht, sieht man, dass dieser immer aus dem

höheren der beiden Ausgänge steigt.

... im Spiel

Versuch „Münze ins Glas blasen“:

Eine möglichst leichte, großflächige Münze wird auf eine Tischplatte in der Nähe der Tisch-

kante gelegt. Diese Münze soll nun durch Blasen in ein gekipptes Glas gehoben werden. Wird

stark genug horizontal über die Münze geblasen, muss die Strömung um das Hindernis

ausweichen und es entsteht durch die gekrümmten Stromlinien ein Unterdruckgebiet über der

Münze. Ist die Münze einmal ein kleines Stück hochgehoben, kann die Luft auch unter die

Münze strömen. Mit etwas Glück und einem langen Atem kann sie nun in das Glas

„geblasen“ werden.

Versuch „Tischtennisball im Trichter“:

Ein Tischtennisball kann in einem auf dem Kopf stehenden Trichter gehalten werden, wenn

stark in die enge Öffnung des Trichters geblasen wird. Der Ball dient als Hindernis im Luft-

strom, der durch die Verengung zwischen Ball und Trichterwand hindurchströmt. Durch das

Ausweichen der Strömung entstehen gekrümmte Stromlinien und damit ein Unterdruck, der

den Ball im Trichter hält.

Versuch: „Löffel im Wasserstrahl“:

Ein Kaffeelöffel wird, nach unten hängend, locker in die Hand genommen. Nähert man den

Löffel vorsichtig der Oberfläche des fließenden Wasserstrahls, kann man beobachten, dass die

Löffelfläche in den Wasserstrahl gezogen und im Strahl gehalten wird.

... unterwegs

Schirm: Wenn man mit einem Regenschirm bei stürmischem Wetter spazieren geht, kann es

passieren, dass der Schirm umgestülpt wird. Der Wind streicht mit einer hohen Geschwindig-

keit über den Schirm, der als Hindernis wirkt und die Stromlinien umlenkt. Es entsteht ein

Unterdruck, der den Schirm umstülpt.

Schiffe und Züge: Wird ein Schiff auf See mit Treibstoff versorgt oder müssen Postsäcke aus-

getauscht werden, ist es notwendig, dass zwei Schiffe eine Zeitlang parallel nebeneinander


herfahren. Dabei muss ein bestimmter Mindestabstand eingehalten werden, da man sonst

selbst mit starken Manövrierbewegungen Schwierigkeiten hat, die Schiffe wieder zu trennen.

Zur Erklärung kann das Bernoullische Gesetz herangezogen werden: Das anströmende Wasser

strömt durch die Engstelle zwischen den beiden Schiffen. Dadurch erhöht sich die Strö-

mungsgeschwindigkeit und dementsprechend verringert sich der Druck in der Verengung.

Den gleichen Effekt müssen die Planer der ICE-Strecken beachten: Zwei mit hoher Ge-

schwindigkeit parallel nebeneinander vorbeifahrende Züge ziehen sich wegen des entstehen-

den Unterdruckes im Zwischenraum zwischen den Zügen an. Deshalb muss ein Mindest-

abstand zwischen den Gleisen eingehalten werden.

Auch in der Binnenschifffahrt kann man Phänomene beobachten, die auf das Gesetz von

Bernoulli zurückzuführen sind: In einem Kanal, dessen Wassertiefe den Tiefgang der Schiffe

nur knapp übersteigt, kann es passieren, dass bei schneller Fahrt das Schiff an den Grund des

Kanals gesogen wird. Dies ist die Hauptursache für die baulichen Schäden an Kanälen.

Versuch „Schiffe“:

Schüssel mit Wasser füllen, zwei Spielzeugschiffe draufsetzen, mit Fäden stabilisieren.

Zwischen den Schiffen mit einem Schlauch Wasser durchspritzen => Schiffe bewegen sich

aufeinander zu.

... in der Akustik

„Heulrohr“: Beim Heulrohr handelt sich um

ein quergeriffeltes Kunststoffrohr von ca.

einem Meter Länge, das im Spielzeughandel

erhältlich ist. Dieses Rohr wird an einem

Ende festgehalten und in der Luft

kreisförmig geschwungen. Durch das

Herumschleudern wird die Luft im Rohr,

ähnlich einem herumgeschleuderten Stein,

nach außen gezogen. Es entsteht eine

Strömung im Rohr. Dabei gibt es einen

sehr lauten Heulton von sich.

Wie entsteht dieser Heulton?

Die Luft muss an den Rillen im Rohrinneren vorbeiströmen, dabei entstehen Druckschwan-

kungen, die eine Schallwelle erzeugen.

Durch den Luftstrom wird ein verrauschtes Frequenzspektrum angeregt. Wenn dieses breite

Spektrum auf der Grundfrequenz des Rohres oder der Frequenz eines Obertons liegt, erhält

man einen klaren Heulton (EHRLICH 1985).

Abb. 2.8: Heulrohr. Eigenfrequenzen des Heulrohrs und

darüberliegendes, verrauschtes Spektrum des Luft-

stroms


3.2.2 Reale, reibungsbehaftete Strömungen - Viskosität und Haft-bedingung

VORBEMERKUNGEN

Dieser zweite Unterrichtsteil zeigt die Grenzen des Modells der idealen Flüssigkeit auf. In der

Natur sind Strömungen immer reibungsbehaftet. Deshalb wird in diesem Unterrichtsteil die

Viskosität als strömungsbeeinflussender Faktor eingeführt, auch im Hinblick auf den dritten,

vierten und sechsten Themenblock dieser Unterrichtsreihe. Des weiteren wird die Abhängig-

keit der Viskosität von verschiedenen Parametern wie Temperatur oder Scherspannung the-

matisiert. Die Erkenntnis, dass die Viskosität nicht als Konstante betrachtet werden kann,

führt zum Begriff der „nichtnewtonschen Flüssigkeiten“. Aus dieser großen Stoffklasse

wurden speziell schubverdickende und -verdünnende Fluide ausgewählt.

LEHR- UND LERNZIELE


� die Grenzen des Modells einer idealen Flüssigkeit erkennen.

� die Viskosität als physikalische Größe und als wichtigen strömungsbeeinflussenden Faktor

kennen lernen.

� erkennen, dass die Viskosität keine Konstante ist und dass sich manche Substanzen unter

verschiedenen Voraussetzungen einmal wie ein Festkörper, dann wieder wie eine Flüssig-

keit verhalten.

� Schubverdickende von schubverdünnenden Flüssigkeiten unterscheiden können.

AUSFÜHRUNG

Demonstration: Verschiedene Flüssigkeiten werden auf ihre Zähigkeit hin betrachtet.

Beim Vergleich verschiedener Flüssigkeiten wie Wasser, Glyzerin, Honig, Motorenöl usw.

stechen sofort gravierende Unterschiede ins Auge. Schon beim Umschütten der Flüssigkeiten

von einem Gefäß in ein anderes zeigt sich, dass die Flüssigkeiten unterschiedlich zäh sind.

Um das Verhalten dieser Flüssigkeiten realistischer zu beschreiben, muss ihre Zähigkeit be-

rücksichtigt werden. Für die Definition der Zähigkeit stellt man sich die Flüssigkeit aus

Schichten aufgebaut vor, ähnlich wie aufeinandergestapelte Spielkarten. Diese Flüssigkeits-

schichten der Dicke �z befinden sich nun zwischen zwei Platten gleicher Fläche (Abbildung

2.9). Die untere Platte bleibt in Ruhe, während die obere Platte verschoben wird.

Bei einer idealen Flüssigkeit würde die Platte über die Flüssigkeitsschicht gleiten, ohne dass

diese sich bewegt. Bei realen Flüssigkeiten aber wird der Bewegung der Platte eine Rei-

bungskraft entgegengesetzt: Jede Schicht der Flüssigkeit reibt an ihren Nachbarschichten. Auf

diese Weise werden auch von der Platte weiter entfernte Schichten bewegt. Diesen Prozess

nennt man „Scherung“.

3.2 Themenblock „I

TEIL II LEHRERHANDREICHUNG „LAMINARE ......192 Einleitung Relativitätstheorie, mit Körpern...

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