1 Flächenanlegungen Einfache Flächenanlegung, gr. parabolé: eine gegebene Fläche F an eine...
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„Flächenanlegungen“
• Einfache Flächenanlegung, gr. parabolé: eine gegebene Fläche F an eine gegebene Strecke a anlegen (d.h. ein Rechteck mit Seite a und Fläche F bestimmen).
• Flächenanlegung mit Defekt, gr. elleipsis: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat fehlt.
• Flächenanlegung mit Überschuß, gr. hyperbolé: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat überschießt.
• Diese Aufgaben werden im Buch VI der „Elemente“ behandelt.
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Flächenanlegungen algebraisch
• Einfache Flächenanlegung: löse die GleichungF = ax
• Flächenanlegung mit Defekt: löse die Gleichungen
x + y = a, F = xyalso letztlich die Gleichung x(a - x) = F.• Flächenanlegung mit Überschuß: löse die
Gleichungen x - y = a, F = xy
also letztlich die Gleichung y(y + a) = F.
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5.6.3 Kegelschnitte bei Apollonios und Archimedes
• Als „Kegelschnitte“ bezeichnet man Kurven, die zu folgenden drei Familien von Kurven gehören:– Ellipsen (insbesondere Kreise)– Parabeln– Hyperbeln
• Der Name „Kegelschnitt“ rührt daher, dass man die Kurven erhalten kann, wenn man eine Ebene in einem bestimmten Winkel mit einem Kegel schneidet.
• Dies war die übliche Zugangsweise in der Antike. Nachdem bereits Euklid ein Werk über Kegelschnitte verfaßt hat, sind die Hauptautoren Apollonios von Perge (262?-190?) und Archimedes (287?-212).
• Die Namen „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ rühren daher, dass es einen Zusammenhang zu Flächenanlegungen gibt, der im Folgenden klar wird
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Kreis und Ellipse
• Der Kreis als einfachste der geschlossenen Kurven war allen frühen Hochkulturen bekannt
• Modern ausgedrückt: die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Mittelpunkt gleich einem vorgegebenen Wert (dem Radius) ist
• Die Ellipse ist eine Verallgemeinerung des Kreises: Gegeben sind zwei Punkte (die sogenannten Brennpunkte) A und B; für alle Punkte auf dem Ellipsenbogen ist die Summe der Abstände zu A und B konstant
• Den Kreis erhält man, wenn A und B zusammenfallen• Keplers Gesetze der Planetenbewegung: die Planeten bewegen
sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht
• Auch eine Ellipse kann man mit einem Seil konstruieren (Abbildung aus E.W.v.Tschirnhaus, Medicina mentis, 1686/87)
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Cartesische Gleichung der Ellipse
• „Große Achse“ AB = 2a,
„kleine Achse“ CD = 2b.• Koordinatenachsen =
Achsen der Ellipse:
x2/a2 + y2/b2 = 1• Spezialfall Kreis:
x2/r2 + y2/r2 = 1 bzw.
x2 + y2 = r2
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Die Hyperbel
• Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände von zwei gegebenen (Brenn-) Punkten konstant ist
• Auch hier spricht man von Achsen a, b
• Cartesische Gleichung:
x2/a2 - y2/b2 = 1
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Spezialfall: die gleichseitige Hyperbel
• Gilt a = b („gleichseitige Hyperbel“), so stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander
• Man kann also die Asymptoten statt der Achsen als Koordinatensystem wählen
• Man erhält dann die Gleichung
xy = a2/2• Kommt in der Schulmathematik
vor (antiproportionale Zuordnung)• Die Fläche des Rechtecks aus x-
und y-Koordinate der Punkte der Hyperbel ist konstant
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Die Parabel
• Die Parabel ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (Brennpunkt) und von einer festen Geraden (Leitlinie) gleich weit entfernt sind.
• Achsen: Tangente an Scheitelpunkt und Senkrechte durch Brennpunkt
• p: Entfernung Brennpunkt-Leitlinie
• Gleichung:
y2 = 2px
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Einteilungen geometrischer Kurven
• Heute bezeichnet man Kegelschnitte auch als Kurven zweiten Grades, weil die zugehörigen algebraischen Gleichungen zweiten Grades sind (höchster Exponent 2)
• Diese Einteilung wurde erst mit der Einführung der Koordinaten möglich
• Griechen unterschieden ebene, körperliche und linienhafte Örter– Ebene Örter: Gerade und Kreis– Körperliche Örter: erfordern räumliche Konstruktionen (wie z.B.
Kegelschnitte)– Linienhafte Örter erfordern spezielle Kurvenkonstruktionen, z.B.
mechanische wie die Quadratrix
• Dies ist eine grobe Einteilung nach der Schwierigkeit der Konstruktion
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Definitionen des Kegels
• Euklid: „Ein Kegel ist der Körper, der umschlossen wird, wenn ein rechtwinkliges Dreieck, während eine der Katheten fest bleibt, durch Herumführen wieder in dieselbe Lage zurückgebracht wird, von der es ausging“.
• Apollonios: „Wenn ein Punkt mit einem Punkte der Peripherie eines Kreises […] geradlinig verbunden wird, die Verbindungslinie […] unter Beibehaltung jenes ursprünglichen Punktes längs der Kreisperipherie bewegt wird, bis sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt, so nenne ich die durch die Gerade beschriebene Fläche […] eine Kegelfläche“.
• Euklid definiert einen Körper, während Apollonios eine (Mantel-)Fläche definiert.
• Apollonios' Definition läßt auch schiefe Kreiskegel zu.
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Die Kegelschnitte als senkrechte Schnitte eines Kegels mit einer Ebene
Ellipse: spitzwinkliger Kegel
Parabel: rechtwinkliger Kegel
Hyperbel: stumpfwinkliger Kegel
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Kegelschnitte eines beliebigen Kegels unter verschiedenen Winkeln
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Und die Flächenanlegung?
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Exkurs zu cartesischen Koordinaten
• Die heute in der Schulmathematik verwendeten rechtwinkligen Koordinatensysteme (Stichwort: x-Achse, y-Achse usw.) bezeichnet man als „cartesisch“
• Erfunden wurden diese Koordinaten von René Descartes (1596-1650, lat. „Cartesius“, daher der Name)