1 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS...

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Freie Universität Berlin

Ioannis Kyrykos„Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 2006 1

Seminar über Algorithmen

„Potentialfunktion“

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• Wiederholung Diskretes Load Balancing Nash Equilibria

• Potentialfunktion in Load Balancing• Potentialfunktion in Netzwerken • Ein kleines Beispiel aus der Biologie

Die „Tit for Tat“ Strategie

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Wir betrachten das folgende Problem einer Lastverteilung von:

• n Jobtypen und • auf m maschine • pj ist die gesamte Last des Typs j und Sj {1,...,m} ist die Menge der Maschinen auf denen j verteilt werden darf.

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• die Jobs sind diskret (atomar).

• xij ist der Job vom Typ ,j der auf der Maschine i verteilt wurde

Die mögliche Lösung des Problems wäre die Menge aller xij>=0 für alle i,j

Lösung:

Eine Lösung des Beispiels ist: x11, x12, x23

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• ri(L) ist eine monoton wachsende Funktion, die die Antwortzeit jeder Maschine unter der Last L gibt.

• Nash Gleichgewicht beschreibt einen Zustand eines strategischen Gleichgewichts, von dem ausgehend kein einzelner Spieler für sich einen Vorteil erzielen kann, indem er allein seine Strategie verändert

• Nash Gleichgewicht beim Load Balancing

Für alle xij > 0 und k Sj ri(Li) rk(Lk + xij)Beispiel:Für den Job von Typ 2S2 ={1,2} wobei r2(L2) r1(L1+x12)für ri(Li) = i*Li und alle User haben Größe 1

Jobs/User Maschinen

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• Unser Ziel ist es, eine optimale Lösung (Verteilung) zu finden. Eine Lastverteilung, die dem System eine gesamte minimale Antwortzeit gibt.

•Wir nehmen an, dass alle Jobs atomar und gleich groß sind. Also ist xij eine Ganzzahl, und die Summe pj von allen xij

ist auch eine Ganzzahl.

• Die Potentialfunktion ist:

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• Wenn ein Job j von einer Maschine zu einer anderen geht, dann spiegelt die Änderung der Verarbeitungszeit des j, wider. erreicht dann,einen Minimumwert, wenn alle Jobs minimale Verarbeitungszeit brauchen. Also ist die optimale Lösung alle xij , die minimieren.

Die schattierte

Fläche ist:

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Theorem 1: Wenn eine Jobeinheit xij von einer Maschine i zu einerMaschine k verschoben wird, dann ist die Reduzierung der Antwortzeit für den Job j gleich der Abfall der Funktion.

Beweis: Wenn eine Jobeinheit von der Maschine i auf die Maschine k verschoben wird, ist der Abfall der Antwortzeit des j Jobs :

ri(Li) – rk(Lk +1) Die Funktion wird genau gleich reduziertBeispiel: ri(Li) = Li

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1-2 = 7 - 6 = 1

rj1 – rj2 = 3 –2 = 1

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• Wir nennen Potentialspiel ein Spiel, das eine Potentialfunktionbesitzt, die die Änderungen der Spieler trägt.

• Folgerung: Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert

1. Wenn wir mit einer beliebigen Verteilung der Jobsanfangen, erreichen wir ein Nash Gleichgewicht in endlicher Zeit.

2. Eine Lösung mit Minimum ist ein Nash Gleichgewicht

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Verallgemeinerung:

pj besteht aus sehr kleinen Jobeinheiten

->

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• Jetzt muss bewiesen werden, dass falls die Antwortzeit des Jobs j sich ändert, indem ein sehr kleines Teil von dem j auf ein andere Maschine verschoben wird, ändert sich auch der Wert der Funktion.

• Theorem 2 Wenn ein Job j ein xij >0 hat und k Sj und die Nash Kondition

( ri(Li) > rk(Lk)) noch nicht erfüllt ist, dann wird abfallen, falls eine sehr kleine Einheit von j xij nach xkj geschaltet wird.

Beweis Gleich gilt:

Aber es gilt ri(Li) > rk(Lk) => Also 0,das von xij abgezogen und auf xkj addiert wird und abfällt

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Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert:

1. Eine Lösung mit Minimum -Wert ist ein Nash Gleichgewicht

Beweis:Falls die Lösung mit -Wert kein Nash Gleichgewicht wäre,könnte man (Theorem 2) den -Wert noch mehr reduzieren. Aber -Wert hat schon einen Minimum Wert.

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2. Es existiert ein Nash Gleichgewicht. Beweis: Die Funktion ist stetig, und die Menge der möglichen Lösungen ist begrenzt. D.h die Potentialfunktion erreicht einen Minimumwert => existiert ein Nash Gleichgewicht

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3. Wir können in Polynomialzeit ein Nash Gleichgewicht findenBeweis:Wir können eine konvexe Funktion über eine konvexe Mengein Polynomialzeit minimieren.

• Für alle i, und ist eine streng

monoton wachsende Funktion. Eine differenzierbare Funktionist auf einem Intervall (streng) konvex dann und nur dann wenn

ihre Ableitung auf dem Intervall monoton wachsend ist. Also , als Summe von konvexen Funktionen, ist auch konvex.

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• Die Menge aller möglichen Lasten L = {L1,...,Lm} ist auch konvex, weil wenn L1 und L2 mögliche Lasten sind, dann soll *L1 + (1-)*L2 für alle 0 1 auch eine mögliche Last sein. Aber *x1 + (1- )*x2 erfüllt die folgende Gleichung:

Also *x1 + (1- )*x2 ist eine gültige Lösung -> *L1 + (1-)*L2

ist auch eine gültige Lösung. Also L ist konvex

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Wiederholung: Das Braess Paradox

Ohne UV Verbindung Verzögerung 1,5

Mit der blauen VerbindungVerzögerung 2.

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Ein Netzwerkfluss kann als ein gerichteter Graph dargestellt werden, wie im Beispiel des Braess Paradox.

• Definition eines egoistischen Netzwerkflusses. • Gerichteter Graph G = (V,E)• k Typen von User• User i hat Ausgangspunkt si und Ziel ti in V• Jeder User ist sehr klein• dem(i) ist das Volumen der User von Typ i • Jede Kante hat eine Latenz le(x), die eine Funktion ist des Flusses x (Anzahl der User) auf der Kante e• Wir nehmen an, dass le(x) eine stetig monoton wachsende Funktion ist

• Note: i j si sj oder ti tj

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Für einem gültigen Flussim Netz muss gelten:

Der gesamte Fluss auf einer Kante ist:

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Die Verzögerung auf der Kante spiegelt dengesamten Fluss der Userauf der Kante wieder:

Nash Gleichgewicht: Ein Fluss ist Nash Gleichgewicht, wenn die folgende Aussage gilt:

Typ i, alle Wege P vom si -> ti mit fp 0 erfüllt ( Wege Q vom si -> ti, lP(f) lQ(f))

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Theorem 3. Eine Lösung ist ein Nash Gleichgewicht dann und nur dann wennder Fluss die Potentialfunktion minimiert:

Beispiel für le(x) = x

= 2 + 2 +2 +2 +2 = 10

SV Sti Vti titj

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Das Gefangenendilemma...

...und die Strategie der Fische

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Strategien:• Kooperieren • Verrat• Wie du mir so ich dir (Tit for Tat)

Erster Zug selbständig, und bei allen folgenden Zügen machtman das, was der Mitspieler beim letzen Zug gemacht hat.

Wo finden wir diese Strategie wieder??

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Tit for Tat bei StichlingenVerhalten von Stichlingen in Anwesenheit anderer größererFische, die entweder Räuber oder Friedfische sind.•Gewinn eine Annäherung: Informationsgewinn; je näher desto mehr Informationen•Verlust einer Annäherung: Wenn Räuber dann je näher, desto größer die Gefahr, gefressen zu werden

Annäherung erfolgt schrittweise und abwechselnd. Das erinnert an Tit for Tat . Prinzipiell kooperativ, aber es gilt ilt auch das „Wie du mir, so ich dir“ Verhalten.

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Experimentelle Prüfung

Ergebnis: Stärkere Annäherung bei Vorspiegelung von Kooperation

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Quellen:

http://www1.uni-hamburg.de/IWI/FolienThema10.dochttp://www.uni-muenster.de/Biologie/Main/aktuell/LubjSkript%209.pdfhttp://www.muslim-markt.de/wissenschaft/gefangenendilemma.htmhttp://www.cs.cornell.edu/courses/cs684/2005fa/http://de.wikipedia.org/wiki/Gefangenendilemmahttp://www.dbg.rt.bw.schule.de/lehrer/ritters/info/gedil/gedil.htm

Quellen:

http://www1.uni-hamburg.de/IWI/FolienThema10.dochttp://www.uni-muenster.de/Biologie/Main/aktuell/LubjSkript%209.pdfhttp://www.muslim-markt.de/wissenschaft/gefangenendilemma.htmhttp://www.cs.cornell.edu/courses/cs684/2005fa/http://de.wikipedia.org/wiki/Gefangenendilemmahttp://www.dbg.rt.bw.schule.de/lehrer/ritters/info/gedil/gedil.htm

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