Planares 3 SAT ist NP-vollständig Seminar über Algorithmen SS 07 Jale Hayta.

Planares 3 SAT ist NP-vollständig

Seminar über Algorithmen SS 07 Jale Hayta

Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig 2

Gliederung

Beweisidee 3SAT Graph von 3SAT 3SAT G(B)G(B‘) Planares 3SAT Beweis und Beispiel Quellen


Beweisidee

3SAT liegt in NP und ist bekanntermassen NP-vollständig.

Hier konkret: 3SAT ≤P P3SAT

Das heißt: NP-Schwerheit muss bewiesen werden.


3SAT

Gegeben sind m Klauseln mit n Variablen in konjunktiver Normalform und jede Klausel enthält höchstens 3 Literale

Gegeben sind Boolesche Variablen x1,…,xn . Zu jeder Variablen gibt es 2 mögliche Literale

x und ¬x Alle Klauseln müssen mind. ein wahres Literal

haben, damit die Formel erfüllt ist. 3-SAT ist NP-vollständig.


Graph von 3SAT1

Definition: Sei B eine 3SAT Formel. Dann gilt G(B) = (N,A)

N=cj|1 ≤ j ≤ m vi|1 ≤ i ≤ n. A= A1A2,wobei gilt: A1 = ci,vj |vj ci oder vj ci

A2 = vj,vj+1 |1≤ j<n vn,v1


Graph von 3SAT2

Gegeben ist eine 3SAT Formel B, zu der es einen Graphen G(B) gibt. Dieser muss nicht unbedingt planar sein (kann aber).

a b c d

Bsp: B=(a+¬b+c)(c+d)


3SAT G(B)G(B‘) Planares 3SAT

Das Ziel ist ein G(B) in polynomieller Zeit umzuwandeln in G(B‘) planar, sodass B‘ P3SAT* Formel.

Es muss gelten: B ist erfüllbar B‘ ist erfüllbar.

* P3SAT – Planares 3SAT


Beweis und Beispiel1



ci

cj

a b

Hier ein kleiner Auszug aus der Grafik zuvor. Das Problem hier ist die Kreuzung der Leitungen.



Hier Negationen nicht erkennbar,daher ist eine Spezifikation nötig!



Eine Kreuzung wird durch ein Gadget ersetzt. Hilfsvariablen { ,,, ,} und {a1,a2,b1,b2}

werden eingeführt. Annahme laut Graphen:

X ist erfüllbar [a a1], [b b1]


Spezifikation zu G(X)

Der Graph G(B) wird durch einen SubgraphenG(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist:(a2+b2+) (a2+) (b2+) ,i.e. a2b2 ;(a2+b1+)(a2+)(b1+), i.e. a2b1 ;(a1+b1+)(a1+)(b1+), i.e. a1b1 ;(a1+b2+)(a1+)(b2+), i.e. a1b2 ;(+++); (+) (+) (+) (+); (a2+a) (a+a2)(b2+b) (b+b2), i.e. a a2, b

b2;


Gadget


Gadget2


Gadget3


Spezifikation von G(X)2

Der Graph G(B) wird durch einen SubgraphenG(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist:(a2+b2+) (a2+) (b2+) ,i.e. a2b2 ;(a2+b1+)(a2+)(b1+), i.e. a2b1 ;(a1+b1+)(a1+)(b1+), i.e. a1b1 ;(a1+b2+)(a1+)(b2+), i.e. a1b2 ;(+++); (++)(++ )(+) (+) (+) (+); (a2+a) (a+a2)(b2+b) (b+b2), i.e. a a2, b

b2;


Gadget4


„”: Gesucht: Wie sind (,,,) in X belegbar?X ist erfüllbar X eine der erfüllbaren Belegungen annimmt.

„“: Gesucht: Belegungen für a und b.a und b müssen Belegungen haben, sodass Xerfüllbar wird.

Beweis


Kreuzungsproblem gelöst

C i C i

Beides richtig da offensichtlich gelten muss: a1a

a a 1


A= A1A2


Beispiel3

Jede Kreuzung wird durch ein Gadget ersetzt.

Die Formel ändert sich, aber durch die Modifikation ändert sich nicht die Erfüllbarkeit. □


Bibliographie

D. Lichtenstein; Planar formulae and their uses. SIAM Journal on Computing 11 (1982), 329-343;

D. E. Knuth and A. Raghunathan: The problem of compatible representatives. SIAM Journal on Discrete Mathematics 5 (1992), 422-427.


Danke!

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