1-INTEGRALES TRIPLES.pdf

8/16/2019 1-INTEGRALES TRIPLES.pdf

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INTEGR LES TRIPLES


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q z p ,d yc ,b xa / z , y , x B

q , pd ,cb ,a B

Sea f una función continua de tres variablesen una región sólida acotada B

Supongamos primero que B es una caja rectangular(paralelepípedo rectangular)

R RS : f 3

INTEGRALES TRIPLES:


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Primero dividamos el rectángulo B en n subcajas . Para estodividamos los tres lados en n partes iguales.

El intervalo [a,b] quedará dividido en n subintervalos, conuna ancho igual a

[c,d] quedará dividido en n subintervalos con ancho iguala y el intervalo [p,q] en subintervalos con ancho igual a

x i1i x , x

j1 j y , y y

k k z z ,1 z


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Cada subcaja Bijk tiene un volumen . z y xV

ijk ijk ijk ijk

n

1i

n

1 j

n

1k

ijk ijk ijk

Benestá z , y , xmuestra puntoel donde

V z , y , x f

Si formamos la suma triple de Riemann

Definimos la integral triple como el limite de las sumas triples

riemannianas, para cuando la norma de la partición tiende a cero


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Sea f una función continua de tres variables, definida en una región

sólida acotada B, si

existe, decimos que f es integrable en B. Además la

llamada lain tegral triple

de f en B, está dada entonces por

V z , y , x f limn

1i

n

1 j

n

1k

ijk ijk ijk 0

dV ) z , y , x( f B

A z , y , x f limdV z , y , x f n

1i

n

1 j

n

1k

ijk ijk ijk 0

B


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No toda función de tres variables es integrable en una región sólida B.

“ Si f está acotada en la región sólida B y si es continua ahí, excepto en

un número finito de superficies suaves ( es decir sus discontinuidades

están confinadas en gráficas de funciones continuas como x=α( y,z),

y=β( x,z ), z=γ( x,y) ) entonces f es integrable en B. En particular si f es

continua en todo B, entonces f es integrable ahí”


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Sean f y g funciones integrables región sólida B, y sea c una

constante. Entonces f + g y cf son integrables y

B B B

dV ) z , y , x( g dV ) z , y , x( f ) z , y , x( g ) z , y , x( f

B B

dV ) z , y , x( f cdV ) z , y , x( cf

Donde B es la unión de dos regiones sólidas B1 y B2 sin

solapamiento.

B B B 21

dV ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f


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Teorema de Fubini para las integrales triples”“Si f es continua en una caja rectangular

entonces, si existe cualquier integral iterada es igual a la integral

triple”

q , pd ,cb ,a B

b

a

q

p

d

c

q

p

b

a

d

c

q

p

d

c

b

a B B

dydzdx z y x f

dydxdz z y x f

dxdydz z y x f dxdydz z y x f dV z y x f

),,(

),,(

),,(),,(),,(

Al igual que con las integrales dobles, el método práctico para

evaluar las integrales triples es expresarla como integrales iteradas

Así sucesivamente (en total hay seis ordenaciones)


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Teorema de Fubini para las integrales triples”“Si f es continua en una caja rectangular

entonces, si existe cualquier integral iterada es igual a la integ

triple”

q , pd ,cb ,a B

b

a

q

p

d

c

q

p

b

a

d

c

q

p

d

c

b

a B B

dydzdx z y x f

dydxdz z y x f

dxdydz z y x f dxdydz z y x f dV z y x f

),,(

),,(

),,(),,(),,(

Al igual que con las integrales dobles, el método práctico para

evaluar las integrales triples es expresarla como integrales iteradas

Así sucesivamente (en total hay seis ordenaciones)


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1-Evalúe la integral triple donde B es la caja

rectangular dada por

2-Integrar sobre la caja

Ejercicios

B

2dV xyz

z y xe

3 z 0;2 y1;1 x0 / z , y , x B

1 ,01 ,01 ,0


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Sea S un conjunto cerrado y acotado en el espacio

tridimensional. Sea B cualquier caja que contiene a S

Dada f definida y continua en S, definimos una nueva función F

con dominio B mediante

B y)(x, yS z) y,(x, si0

S enestá ) z , y , x( si ) z , y , x( f ) y , x( F


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Si la integral triple de F existe sobre S, entonces definimos la

integral triple de f sobre S como

Nota: Esta integral existe si f es continua y la frontera de S esrazonablemente suave.

BS

dV ) z , y , x( F dV ) z , y , x( f


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Regiones: “ Tipo 1 o z- simples”

Se dice que una región sólida B es de tipo 1 si se halla entre las

gráficas de dos funciones continuas de x e y , es decir

donde D xy es la proyección de S en el plano XY. La frontera

superior del sólido es la superficie de

ecuación en tanto que

la frontera inferior es la sup. deecuación

) y , x( z ) y , x( , D y , x / z , y , xS 21 xy

) y , x( z 2

) y , x( z 1S


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Entonces si S es una región tipo 1

Además, si la proyec. D xy de S sobre el plano XY es una región tipo1

la ecuación anterior se convierte en

xy

2

1 D

) y , x(

) y , x( S

dAdz ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f

) y , x( z ) y , x( ), x( g y ) x( g ,b xa / z , y , xS 2121

b

a

) x( g

) x( g

) y , x(

) y , x( S

2

1

2

1

dydxdz ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f

y=g2(x)y=g1(x)

S


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Ejercicio-Evalúe la integral triple

donde S es el tetraedro

sólido acotado por los cuatro planos

x=0 , y=0 , z=0 y x+y+z = 1

Si la proyec. D xy de S sobre el plano XY es una región tipo2

la ecuación anterior se convierte en

) y , x( z ) y , x( ), y( h x ) y( h ,d xc / z , y , xS 2121

d

c

) y( h

) y( h

) y , x(

) y , x( S

2

1

2

1

dxdydz ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f

S

S

zdV


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Una región sólida S es de tipo 2 si es de la forma

Donde Dyz es el proyección sobre el plano YZ.

La superficie de atrás es , la superficie de enfrente es

así que tenemos

) z , y( x 1

) z , y( x ) z , y( , D y , x / z , y , xS 21 yz

y( x 2

yz

2

1 D

) z , y(

) z , y( S dAdx ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f


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Una región sólida S es de tipo 3 si es de la forma

Donde Dxz es el proyección sobre el plano YZ.

La superficie de la izq. es , la superficie de la derecha es

así que tenemos

) z , x( y 1

) z , x( y ) z , x( , D y , x / z , y , xS 21 xz

) z , x( y 2

xz

2

1 D

) z , x(

) z , x( S dAdy ) z , y , x( f dV ) z , y , x( f


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1-Evalúe la integral Trazar la región deintegración S e interpretar.

2-Calcular

3- Calcular

Ejercicios

1

0

x

0

2

y x 22 dzdydx

2

0

2

x

3

1

2 dzdydx y sen

2

0

x

0

y x

0 x dzdydx ) z 2 y( e


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1- La región del primer octante acotado superiormente por el

cilindro y comprendida entre los planos verticales

x+y=1 e x+y=3.

2- El hemisferio superior dado por

3- La región limitada inferiormente por el paraboloide

y superiormente por la esfera

2 y1 z

22 y x1 z

22 y x z 6 z y x 222


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Para una región sólida simple S se define su volumen como

S S dV dxdydz )S ( V

EJERCICIOS

1-Calcular el volumen de

2- Calcular el volumen del sólido

NOTA:

2 x4 z 0 ,6 y0 ,2 x2 / z , y , xS

0 z ,0 y ,0 x , y x9 z 22

C a

uarcsen

8

a3uau2a5

8

udu )ua(

422222

322


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En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio

tridimensional se representa mediante una tripleta ordenada

donde r y son las coordenadas polares de la proyección de P sobreel plano XY, y z es la distancia desde el plano XY a P.

Las ecuaciones para pasar de coordenadas

cilíndricas a rectangulares son:

Como resultado la función f (x,y,z) se trans-

forma en :

) z , ,r (

z z rsen ycosr x

) z , ,r ( F ) z ,rsen ,cosr ( f ) z , y , x( f


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Para expresar en coordenadas cilíndricas una integral triple, supongamos

que S es una región sólida y f es continua en S.

Dividamos S por medio de una cuadrícula cilíndrica, donde el elemento de

volumen típico tiene la forma de una “cuña cilíndrica” cuyo volumen es

Y la suma que aproxima la integral tiene la forma

entonces, al tomar el límite cuando l:

K K K k

n

1k

k k k z r r ) z , ,r ( F

K K K k K z r r V


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Sea f una función continua de tres variables, definida en una región sólida

acotada S

cuya proyección D XY en el plano XY puede describirse en coordenadas

polares, es decir D XY es una región plana r-simple o θ -simple, entonces

donde la integral doble se calcula en polares.. Si D XY

es r-simple

la integral triple en coordenadas cilíndricas es

NOTA: Esto es uno de los seis posibles ordenes de integración.

:

xy

2

1 D

) y , x(

) y , x( S

dAdz ) z ,rsen ,cosr ( f dV ) z , y , x( f

) y , x( z ) y , x( , D y , x / z , y , xS 21 xy

)( hr )( h , / ,r D 21 XY

)( 2h

)( h

) y , x(

) y , x( S

1

2

1

rdzdrd ) z ,rsen ,cosr ( f dV ) z , y , x( f


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Para visualizar un orden particular de integración conviene interpretar la

integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada

uno de los cuales añade una dimensión al sólido.

Por ejemplo, si el orden de integración es dr dθ dz

*La primera integración tiene lugar en la

dirección de r, como si un punto barriera

un segmento radial conforme r crece

*Seguidamente, al crecer θ, el segmento recto

Barre un sector

*Finalmente al crecer z, ese sector barre una

cuña sólida


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1-Evalúe la integral en coordenadas cilíndricas. Trazar la región de integración S e

interpretar.

2-Calcular en coordenadas cilíndrícas el volumen de una

esfera de radio a

3 Aplicando coordenadas cilíndricas calcular el volúmen de la

región

Ejercicios

2

2

x4

x4

2

y x

222

2 22 dzdydx ) y x(

0 z 0 y0 x y x9 z 22


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En el sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio

tridimensional se representa mediante una tripleta ordenada

donde , es el mismo ángulo que en lascoordenadas cilíndricas y es el ángulo entre el eje positivo Z y el

segmento de recta OP. Observe que,

Las ecuaciones para pasar de coordenadas

esféricas a rectangulares son:

Como resultado la función f (x,y,z) se trans-

forma en :

) z , ,(

cos z sen sen ycos sen x

) z , ,( F )cos , sen sen ,cos sen( f ) z , y , x( f

P aorigendel distancialaesOP

00


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Para expresar en coordenadas esféricas una integral triple, supongamos que

S es una región sólida y f es continua en S.

Dividamos S por medio de una cuadrícula esférica, mediante las esferas

los semiplanos y los semiconos El elemento de volúmen

típico tiene la forma de una “cuña esférica” con dimensiones , (el

arco de un círculo con radio y un ángulo ) y (el arco de un

círculo de radio y un ángulo ). De modo que su volúmen será.

Y la suma que aproxima la integral será

i2

i K senV

i

2

i

n

1i

iii sen ) , ,( F

i i i

i ii sen

ii sen


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Entonces, al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a

cero, obtenemos la fórmula para la integración triple en coord.

esféricas

Donde S es una cuña esférica dada por

NOTA: La fórmula anterior dice que convertimos una integral triple, de coordenadas

rectangulares a coordenadas esféricas, al escribir

Utilizando los límites de integración adecuados y sustituyendo

se )cos , sen sen ,cos sen( f dV ) z , y , x( f 2

b

aS

2

1

21 , ,ba / ) , ,( S

cos z sen sen ycos sen x

d d d sen con dV 2


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Al igual que en coordenadas cilíndricas la integrales triples en coordenadas

esféricas se calculan mediante integrales iteradas.

Se puede visualizar un orden particular de integración, interpretando la

integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada

uno de los cuales añade una dimensión al sólido.

Por ejemplo, para la integral iterada

d d d sen22

0

4

0

3

0


30/33


31/33


32/33


33/33

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