1 Kapitel 3.5Der 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 3.5 Der 1....

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Kapitel 3.5 Der 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

3.5 Der 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse

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3.5 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse

Pro

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• Stationärer Fließprozess: Jeder Prozess an offenen, ruhenden Systemen mit raumfesten Grenzen (Kontrollräume), bei denen die Gesamtmasse und die Gesamtenergie des Systems zeitlich konstant bleibt (stationär).

abzu mm

QP

mm

ab

zuKontrollraum

ES=const.

mS=const.Pro Zeiteinheit eintretende Masseist gleich der pro Zeiteinheit aus-tretenden Masse:

Erinnern Sie sich?

• so ist sichergestellt, dass der Massenstrom mit dem spezifischen Volumen vi durch den Querschnitt Ai transportiert wird

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Zusammenfassung:

• die Strömungsgeschwindigkeiten ci in den Ein- und Austrittsquerschnitten Ai berechnet sich zu:

i

iii A

vmc

im

• Der innere Zustand des Systems spielt keine Rolle, es interessieren nur die Größen auf der Berandung

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Pro

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Zusammenfassung:

• Der Massenstrom ist die pro Zeiteinheit strömende Masse und ist in jedem Querschnitt (senkrecht zur Strömungsrichtung) konstant

m

• Der Volumenstrom ist das pro Zeiteinheit strömende Volumen und ist in jedem Querschnitt konstant

V

d

dV

d

V)d(

d

dmm

d

dVV cAV

Vm

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Pro

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Zusammenfassung:

• Kontigleichung (stationär): Summe aller eintretenden gleich Summe aller austretenden Massenströme

Austrittjj

Eintrittii mm

z.B. nur ein Ein- (1) und Austritt (2): 222111 AcAcm

2

2

1

12211 v

V

v

VVVm

bzw.:

aus der Gasgleichung für ein Massenelement Δm mit dem Volumen ΔV

p·ΔV=Δm·R·T bezogen aufs Zeitintervall :

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Pro

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Zusammenfassung:

TRmVp

• Die Ideale Gasgleichung für offene Systeme

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Δm2

Δm1

• Für Kontrollräume, gibt es eine spezielle Formulierung des 1. Hauptsatzes

• Erhält man durch geschickte Anwendung des 1. Hauptsatzes für geschlossene Systeme (s. unten)

• Bei diesen Systemen kann Arbeit nur als Wellenarbeit oder elektrische Arbeit über die Grenzen gehen.

• Diese für die technische Anwendungen wichtigen Arbeiten werden als technische Arbeit Wt bezeichnet.

ΔWt

Pro

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• Die Arbeiten in den Ein- und Austrittsquerschnitten der Massenströme sind nicht unmittelbar technisch nutzbar und zählen somit nicht zu Wt

• Zusätzlich kann Wärme Q über die Systemgrenzen gehen; auch hier zählen die Ein- und Austrittsquerschnitte nicht mit

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Δm2

Δm1

ΔQ

ΔWt

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Herleitung des 1. Hauptsatzes für stationäre Fließprozesse

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Δm2

Δm1

ΔQ

ΔWt

• Aus dem offenen System wird ein geschlossenes, indem man die ein- und ausströmenden Massenelemente Δm1 und Δm2 mit in die Systemhülle hinein nimmt (Wegen der Stationariät gilt dann: Δm1=Δm2 bzw. )21 mm

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c2Δm2

z2

Δm1

c1c1

Δm1


ΔQ

ΔWt

ES = konstant

z1

1

2

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• So erhält man ein System (grüner Bereich) mit zeitlich konstanter Energie ES äußerer Wärmezufuhr ΔQ und äußerer technischer Arbeit ΔWt zuzüglich der ein- und ausströmenden Massenelemente.

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Δm1 ES= konstant

• Energiebilanz für das System während des Zeitintervalls Δ lautet:

Δm2

ES= konstant

ΔQ ΔW

121

1 2

2S2 emEE 1S1 emEE

em-emE 12 WQ

z1

z2

c2

c1

(1. Hauptsatz für geschlossene Systeme)

Pro

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-

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Arbeittechnische

t

arbeitenVerschiebe

Vab

Vzu WWWW

2. und der technischen Arbeit (Wellenarbeit und elektrische Arbeit) ΔWt

• Die gesamte äußere Arbeit ΔW setzten sich zusammen aus:

1. den Volumenänderungsarbeiten in den Ein- und Ausströmquerschnitten (auch Verschiebarbeiten genannt) ΔWzu

V und ΔWabV

zgumem 2c2

• Die Energie Δm∙e der strömenden Massen setzt sich zusammen aus der inneren, kinetischen und potentiellen Energie der strömenden Massen

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Zur Bestimmung der Verschiebearbeiten

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1

1

V

1111p1111V

1 rAprFrGrGW

1p1111V

1 rFrGrGW 1

1111

V1 rGrGW

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Δm1

A1

p1

G1 Fp1

r1 Δr1

11V

1 rGW

111V

1 vpmW

• Volumenänderungsarbeit (Verschiebearbeit) am Eingang:

11V

1 VpW

1

11 v

Vm :mit

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quasistatische ZÄ

1p1 FG

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• ebenso Volumenänderungsarbeit am Ausgang:

Δm2

A2

p2

Fp2 G2

r2 Δr2

2

22

22V2

V

2222p2222V2

v

Vm :mit

VpW

rAprFrGrGW

2

2

222V2 vpmW

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quasistatische ZÄ

2p2 FG

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• Zusammengefasst erhält man für die gesamte äußere Arbeit:

t

W

2

W

1 WvpmvpmWVab

Vzu

• Die technische Arbeit ist die Energie, die als Arbeit über die Grenze eines offenen Systems mit Ausnahme der Ein- und Austrittsquerschnitte geht

tW

(Wellenarbeit an offenen Systemen kann positiv oder negativ sein!)

Pro

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nke

• Technische Arbeit ist also Wellenarbeit und/oder elektrische Arbeit:

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QWvpmvpmzg2

cumzg

2

cum

W

t

W

22

W

11

e

1

2

1

e

2

2

2

V2

V1

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• Somit lautet die Energiebilanz für das System:

Δm1

Δm2

ΔQΔWt

ΔES=0

QWzg2

cvpuzg

2

cvpum t

1

2

2

2

mit Δm2 = Δm1 = Δm und Umgruppierung:

Pro

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. C

h.

Fra

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• Die innere Energie der strömenden Massen wird mit der Volumenänderungs- energie (p∙v) (Verschiebearbeit) im Ein- und Austritt zur sog. spezifischen Enthalpie h zusammengefasst:

vpuh

• Multipliziert mit dem Massenstrom erhält man den Enthalpiestrom:

hmH

• Die Enthalpie bei offenen Systemen entspricht der inneren Energie bei ge- schlossenen Systemen

Pro

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Fra

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• Können die kinetische und potentielle Energien der ein- und ausströmenden Massen vernachlässigt werden, was meist der Fall ist, so entspricht die Enthalpiedifferenz (hzu – hab) der aus der Strömung gewinnbaren Arbeit

kg

Jh

Ws

JH

m

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• Energiebilanz für das System:

QW

zg2

chzg

2

ch

m t

1

2

2

2

• wird nun auf das Zeitintervall Δ bezogen :

QWzg2

cv)p(uzg

2

cv)p(um t

1

2

h2

2

h

Pro

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. C

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Fra

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1212

212

mP

t

Q

zzgc-c2

1hh

mWQ

1212

2

21


121

22121212 zzgc-c

2

1hhmPQ 2

• In dieser Form werden wir den 1. Hauptsatz i.d.R. auf offene Systeme anwenden

1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse (für einen Stoffstrom)

• der Grenzübergang Δ → 0 liefert:

Pro

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22


1212

21212t12 zzgc-c2

1hhwq 2

1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse(für einem Stoffstrom in spezifischen Größen)

„Die Summe aus ausgetauschter, spezifischer Wärme und ausgetauschter, spezifischer, technischer Arbeit ist gleich der Summe der Änderungen der Enthalpie, der kinetischen und der potentiellen Energie des strömenden Mediums.“

• Durch Division mit dem Massenstrom erhält man:m

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1212t12 hhwq

1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse in spezifischen Größen(für einem Stoffstrom)

• Meist können potentielle und kinetische Energien der strömenden Massen vernachlässigt werden:

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121212 HHPQ

1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse (für einen Stoffstrom)

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• Den 1. Hauptsatz kann man auf mehrere ein- und austretende Stoffströme erweitern:

QP

mm

ab

zu

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QP

mm

ab

zu

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m

1jj

jjzu

n

1ii

iiab zg

2

chmzg

2

chmPQ

ji

22

• Als Nebenbedingung für einen stationären Fließprozess muss die Kontigleichung gelten:

1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse(für mehrere Stoffströme)

„Die Summe aus dem gesamten Wärmestrom und der gesamten Leistung, die über die Grenze des offenen Systems gehen, ist gleich der Summe über alle n einströmenden Massenströme abzüglich der Summe über alle m ausströmenden Massenströme mit ihren spezifischen Enthalpien, kinetischen und potentiellen Energien.“

m

1jab

n

1izu ji

mm

Pro

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• Können wieder potentielle und kinetische Energien der strömenden Massen vernachlässigt werden:

Pro

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m

1jzu

n

1iab ji

HHPQ

1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse(für mehrere Stoffströme)

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1212

2

1revt zzgcc

2

1dpvw

12 22

1. Hauptsatz für reversible stationäre Fließprozesse(für einen Stoffstrom)

Dem Fluid muss technische Arbeit zugeführt werden, wenn sich sein Druck oder seine kinetische oder potentielle Energie erhöhen soll

Ein Fluid kann nur dann technische Arbeit liefern , wenn

• Der 1. Hauptsatz für einen verlustfreien (reversiblen) Fließprozess

Pro

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0wrevt12

sein Druck (oder seine kinetische oder potentielle Energie) abnimmt

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