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Lineare Funktionenmit der Gleichung y = mx

• Wenn sich eine Schildkröte mit einer gleich bleibenden Geschwindigkeit von 1,5 m/min fortbewegt, so besteht zwischen zurückgelegtem Weg und verflossener Zeit ein spezieller funktionaler Zusammenhang:

• Es handelt sich um einen direkte Proportionalität mit dem Proportionalitätsfaktor 1,5 m/min.

t

in min

s

in m

0 0

1 1,5

2 3,0

3 4,5

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Jeder direkt proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung y = f(x) = mx beschrieben werden.

Solche Funktionen haben folgende Eigenschaften:

• Der Definitions- und der Wertebereich ist R.

• Der Graph von y = f(x) = mx ist stets eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.

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Die Zahl m heißt dabei der Anstieg der Funktion f.

Anschaulich betrachtet, kann man sagen:

• Wenn x um 1 ver-größert wird, so ver-ändert sich y um m.

• Wir sagen: „1 nach

rechts und m nach oben.“

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Der Anstieg m

• Ist dabei m > 0, so wachsen die Funk-tionswerte an, d.h. die Gerade steigt.

• Ist dagegen m < 0, so fallen die Funktionswerte, d.h. die Gerade fällt.

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Um den Graphen einer linearen Funktion mit y = mx zu zeichnen, werden nur zwei Punkte benötigt.

• Als ein Punkt kann z.B. immer der Koordinaten-ursprung gewählt werden.

• Einen zweiten Punkt erhält man, indem man den Anstieg m benutzt.(Oder man berechnet die Koordinaten dieses Punktes mithilfe der Funktions-gleichung.)

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m ist ein Bruch

xy2

5 xy

4

3

7

m < 0 der Graph fällt

xy 2 xy2

1

8

Steigungs-dreieck

Steigungsdreiecke kann man • in beliebiger Größe und an

beliebiger Stelle zeichnen• sowie entlang des Graphen

verschieben.

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Durch die Gleichung y = f(x) = mx wird eine ganze Schar von Funktionen beschrieben, die

sich nur im Anstieg m unterscheiden.

• Diese Schar von Funktionen verläuft

• durch den

Koordinatenursprung• für m > 0 wachsen

(oder steigen) • und für m < 0 fallen

die Geraden.

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Sonderfall einer linearen Funktion

y = n

• Eine Funktion der Form y = n, (d.h. y = mx + n mit m = 0), heißt konstante Funktion.

• Der Graph einer

konstanten Funktion mit y = n ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand n.

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Für Funktionen mit der Gleichung y = f (x) = mx + n gilt:

• Die Graphen bestehen aus Punkten, die auf einer Geraden liegen.

• n heißt absolutes Glied und gibt an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet.

• Bei gleichem Anstieg m und unterschiedlichem n sind die Graphen zu-einander parallele Geraden.

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Zeichnen der Graphen von Funktionen z. B. y = 0,5 x + 1

• Die einfache Möglich-keit, den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, ist das Ver-wenden von Werten aus einer Werte-tabelle.

• Dabei sollte man günstige, d.h. leicht errechenbare Werte nutzen.

y=0,5x+1 -1 0 1 2 3

x 0,5 1 1,5 2 2,5

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Zeichnen der Graphen

von Funktionenz. B. y = 0,5 x + 1

Man kann auch ein Steigungsdreieck und den Schnittpunkt mit der y-Achse (0; n) nutzen:

1. n = 1 auf der y-Achse markieren.

2. m = 0,5 bedeutet für das Steigungsdreieck:

„1 nach rechts und 0,5 nach oben.“

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Der Graph der Funktion

1. n = 1 Der Punkt (0; -1) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.

2. m = - 3/2 Von diesem Punkt aus wird das Steigungsdreieck (um 2 Einheiten nach rechts und um 3 Einheiten nach unten) angetragen.

12

3 xy

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Nullstellen von Funktionen

• Unter der Nullstelle einer Funktion versteht man die Schnittstelle mit der x-Achse (Abzissenachse).

• Also liegt die Nullstelle hier bei xn = 0,5.

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Rechnerische Nullstellenermittlung

• Um die Nullstelle einer linearen Funktion zu ermitteln, wird in die Funktionsgleichung für y = 0 eingesetzt

• und die entstehende Bestimmungsgleichung nach x aufgelöst.

3

2

12

3

12

30

0

12

3

x

x

x

y

xy

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Fortsetzung: Nullstellen

• Funktionsgraphen können keinen, einen oder mehrere Schnitt- bzw. Berührungs-punkt(e) mit der x-Achse haben.

• Die zugehörigen Funk-tionen haben dann keine, eine oder mehrere Null-stelle(n).

xn1= -2 und xn2= 3

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Eine Funktion kann

keine, eine oder mehrere

Nullstellen haben.

xn = / xn = 0 xn1 = -1 und xn2 = 1