1. Mathematik Olympiade- Jahresband -Aufgaben und Lsungenhttp://www.olympiade-mathematik.deInhaltsverzeichnisVorwort, Copyright, Hinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Aufgaben 1. Stufe Klasse 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Aufgaben 1. Stufe Klasse 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Aufgaben 1. Stufe Klasse 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Aufgaben 1. Stufe Klasse 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Aufgaben 1. Stufe Klasse 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Aufgaben 1. Stufe Klasse 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Aufgaben 1. Stufe Klasse 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Aufgaben 1. Stufe Klasse 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Aufgaben 2. Stufe Klasse 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Aufgaben 2. Stufe Klasse 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Aufgaben 2. Stufe Klasse 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Aufgaben 2. Stufe Klasse 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Aufgaben 2. Stufe Klasse 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Aufgaben 2. Stufe Klasse 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Aufgaben 2. Stufe Klasse 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Aufgaben 2. Stufe Klasse 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Aufgaben 3. Stufe Klasse 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Aufgaben 3. Stufe Klasse 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Aufgaben 3. Stufe Klasse 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Aufgaben 3. Stufe Klasse 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Aufgaben 3. Stufe Klasse 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Aufgaben 3. Stufe Klasse 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Aufgaben 4. Stufe Klasse 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Aufgaben 4. Stufe Klasse 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Lsungen 1. Stufe Klasse 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Lsungen 1. Stufe Klasse 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Lsungen 1. Stufe Klasse 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Lsungen 1. Stufe Klasse 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Lsungen 1. Stufe Klasse 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Lsungen 1. Stufe Klasse 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Lsungen 1. Stufe Klasse 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Lsungen 1. Stufe Klasse 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Lsungen 2. Stufe Klasse 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Lsungen 2. Stufe Klasse 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Lsungen 2. Stufe Klasse 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Lsungen 2. Stufe Klasse 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Lsungen 2. Stufe Klasse 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Lsungen 2. Stufe Klasse 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Lsungen 2. Stufe Klasse 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Lsungen 2. Stufe Klasse 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Lsungen 3. Stufe Klasse 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Lsungen 3. Stufe Klasse 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Lsungen 3. Stufe Klasse 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Lsungen 3. Stufe Klasse 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Lsungen 3. Stufe Klasse 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Lsungen 3. Stufe Klasse 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Lsungen 4. Stufe Klasse 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Lsungen 4. Stufe Klasse 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Quellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 2http://www.olympiade-mathematik.deGewidmet meinen Kindern Cosima, Elias und AdrianVorwortIm vorliegenden Heftchen benden sich Aufgaben und Lsungen der Mathematikolympiade, die ich vor ei-nigen Jahren zum ben gern selbst besessen htte. Als Schler trumte ich von einer kompletten Sammlungaller Aufgaben und Lsungen, allerdings wurde dieser Traum erst 15 Jahre spter wahr (2003). Zu DDR-Zeiten war es uerst schwer, an diese Dokumente zu gelangen, aber selbst jetzt gibt es nur wenig entlichzugngiges Material aus jener Zeit.Die einst von der Aufgabenkommission erfundenen Texte wurden mir grtenteils von Herrn Umlauft zurVerfgung gestellt, wofr ich ihm sehr danke. Ebenso mchte ich aber auch all die anderen Menschen erwh-nen, die zur Erweiterung meiner Sammlung beigetragen haben: O. Dhring, H. Thielemann, H. Winkelvoss,E. Specht, E. Keller, G. Thiel, B. Mulansky, H. Ocholt sowie M. Worel.Franz S. hat mir sehr geholfen, indem er unzhlige Aufgabentexte als Papiervorlagen eingescannt und durchein Texterkennungsprogramm geschickt hat. Bezglich der Lsungen ist mein Mann Thomas nun in dessenFustapfen getreten.EinherzlicherDankgiltmeinerFamilie, ganzbesondersnatrlichmeinemMann, dermirstetsmitvielVerstndnis fr meine zeitraubenden Interessen zur Seite steht. Auerdem mchte ich meinen Eltern undSchwiegereltern danken, die sich immer wieder gern um die Kinder kmmern und mir damit kleine Freirumeverschaen.CopyrightIm Zeitalter des Internets mchte ich alle Interessenten an meiner Sammlung teilhaben lassen. Daher darfdiesesDokumentnichtkommerziell genutztundunverndertweitergegebenwerden- sowohl indigitaleralsauchinausgedruckterForm. Esbleibtaberbittezubercksichtigen, dadieOriginal-Aufgabentextegeistiges Eigentum ihrer Ernder bleiben. Leider ist im Laufe der Zeit nicht mehr nachvollziehbar, wer diesim konkreten Fall war.Fragen beantworte ich nach Mglichkeit gern. Der mir liebste Weg ist per Email an mawi@online.de. Sollteichnichtsofortantworten, bitteichjedochumNachsichtmiteinervoll berufsttigenMutter, dieunterchronischem Zeitmangel leidet.HinweiseDieNumerierungderAufgabenerfolgtnachdemSchema: jjkksa, wobei jj derAufgabenjahrgang, kkdie Klassenstufe, s die Olympiadestufe unda die Aufgabennummer darstellt. Bei Wahlaufgaben folgt derAufgabennummer noch einA oderB.Die Texte entsprechen den Originaltexten der jeweiligen Olympiaden - es wurden daher weder auf die neuedeutsche Rechtschreibung Rcksicht genommen noch ideologische Phrasen umformuliert.Teilweise habe ich mir erlaubt, Texte den Originalen anzupassen, auch wenn der aufgefhrte Autor (damitist derjenige gemeint, der den Text aufgeschrieben aber nicht zwangslug erfunden hat) eine andere Fassunglieferte. Lsungen habe ich teilweise zur aus meiner Sicht besseren Verstndlichkeit berarbeitet.Dresden, 12. Dezember 2011 Manuela Kugel1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 3http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 5AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 010511:Im Rechenschaftsbericht an den XXII. Parteitag der KPdSU heit es, da an die Bevlkerung der Sowjet-unionimJahre1953insgesamt1 757 000 t,imJahre1960aber4 158 000 tFleischundFleischerzeugnisseverkauft wurden. Wieviel Tonnen Fleisch und Fleischerzeugnisse wurden 1960 mehr verkauft als 1953?Aufgabe 010512:Im Werkunterricht sollen Reagenzglasstnder fr je 5 Reagenzglser hergestellt werden. Das obere Brettchenist160 mmlang.Essoll5Bohrungenvonje18 mmDurchmessererhalten.DerAbstanddererstenbzw.letzten Lochmitte von den Brettchenenden betrgt je 24 mm. Alle Bohrungen sollen untereinander gleichenAbstand haben.a)Wie gro ist der Abstand von Lochmitte zu Lochmitte?b)Wie gro sind die Zwischenrume zwischen den Bohrlochrndern?Aufgabe 010513:Ersetze die fehlenden Ziern! 2 0 8 6 1 2 Wie hast du die fehlenden Ziern gefunden?Aufgabe 010514:Wieviel DreieckesindinderFigurenthalten?SchreibealleDreieckeauf(z. B.ABC)!A BC D EFGHJAufgabe 010515:Die Abbildung zeigt das Netz eines Wrfels.Es gibt noch andere Mglichkeiten, das Netz eines Wrfels zu zeichnen. Ver-suche, 5 andere Wrfelnetze zu nden, und zeichne sie mglichst genau (Kan-tenlngea = 2 cm)!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 4http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 6AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 010611:a)9415 138139,b)3 4512335 2 8682449.Aufgabe 010612:Bei den im Oktober 1961 durchgefhrten sowjetischen Raketenversuchen lagen bei einer Zielentfernung vonetwa12 500 km alle Treer innerhalb eines Kreises, dessen Radius kleiner als1 km war.Wie gro wre der Radius des Treerkreises bei einem Schler, der mit gleicher Tresicherheit auf ein25 mentferntes Ziel einen Schlagball werfen wrde?Aufgabe 010613:Ein Trabantfhrt bei einem Kilometerzhlerstand von17 880 km los. Nach der Rckkehr steht sein Kilo-meterzhler auf18 030 km. Der Benzinverbrauch betrug10,5 Liter.a)Wieviel Kilometer hat der Trabantzurckgelegt?b)Wieviel Liter Treibsto mu der Fahrer tanken, wenn er eine Strecke von350 km fahren will?Aufgabe 010614:KanneineSummevonvierbeliebigen, aberaufeinanderfolgendennatrlichen(positivenganzen)Zahlen(z. B.11,12,13,14 oder27,28,29,30) eine Primzahl sein? Begrnde die Antwort!Aufgabe 010615:Wieviel verschiedene Arten von Personenzug-Fahrkarten II. Klasse braucht man fr eine Strecke mit 15 Sta-tionen, wenn es fr jede mgliche Verbindung eine Fahrkarte geben soll? Wie hast du die Anzahl ermittelt?Aufgabe 010616:Zeichne zwei Nebenwinkel und konstruiere ihre Winkelhalbierenden. Was fr einen Winkel bilden die Win-kelhalbierenden? Begrnde deine Antwort!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 5http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 7AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 010711:a)_56_2, b)_34_2, c)_23_5, d)_45_4.Ordne die Ergebnisse der Gre nach!Aufgabe 010712:Beim freiwilligen Kartoeleinsatz trugen drei Gruppen von Schlern einer 7. Klasse einen kleinen Wettbe-werb aus. Sie sammelten gemeinsam insgesamt52 dt Kartoeln. Dabei sammelte die zweite Gruppe112malsoviel wie die erste, die dritte3 dt Kartoeln mehr als die erste.Wieviel Dezitonnen Kartoeln sammelte jede Gruppe?Aufgabe 010713:Im Unterrichtstag in der sozialistischen Produktion sgt ein Schler ein Stck Vierkantstahl ab, das475 pschwer ist. Am nchsten Tag wird ein Stck Vierkantstahl, dessen Abmessungen viermal so gro sind wiebei dem abgesgten Stck und das aus gleichem Material besteht, bearbeitet.Wie schwer ist das Stck? Begrnde die Antwort!Aufgabe 010714:Im vorigen Schuljahr meldete die Berliner Zeitung folgende Ergebnisse des Berliner Schlerfuballturniersnach dem 2. Spieltag:Ergebnisse:12. Oberschule Treptow Max-Kreuziger-Oberschule 1: 04. Oberschule Kpenick 8. Oberschule Lichtenberg 2: 0Tabellenstand:Platz Mannschaft Punkte Tore1. 4. Oberschule Kpenick 2: 2 2: 12. 12. Oberschule Treptow 2: 2 2: 23. Max-Kreuziger-Oberschule 2: 2 1: 14. 8. Oberschule Lichtenberg 2: 2 2: 3Welche Ergebnisse gab es am ersten Spieltag?1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 6http://www.olympiade-mathematik.deAnmerkung: FrjedenSieggibtes 2:0Punkte, frjedesunentschiedeneSpiel 1:1Punkte, frjedeNiederlage0: 2 Punkte.Aufgabe 010715:Kann man ein Parallelogramm eindeutig konstruieren, wenn gegeben sind:a) zwei benachbarte Seiten,b) eine Seite und zwei anliegende Winkel,c) beide Diagonalen,d) eine Diagonale und die von den Diagonalen eingeschlossenen Winkel,e) eineDiagonaleunddiezweiWinkel,indiederentsprechendeWinkeldesParallelogrammsvonderDiagonalen geteilt wird?Durch wieviel Stcke wird ein Parallelogramm eindeutig bestimmt? Nenne 3 Beispiele!Aufgabe 010716:Konstruiere ein beliebiges Quadrat! Konstruiere danna) ein Quadrat mit der doppelten Flche,b) ein Quadrat mit der halben Flchedes Ausgangsquadrates! Begrnde die Konstruktion!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 7http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 8AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 010811:Berechne:_123cd +254dg 212d_ : 5d _72mn 114ng +34n_ :_38n_.Aufgabe 010812:IndiesemJahrwerdeninderUdSSR8,3MilliardenMeterStoegewebt. Jemandbehauptet, damandamit die ganze Bahnlnge des Mondes um die Erde auslegen knnte. Hat er recht? (Die Mondbahn seials Kreisbahn angenommen. Der mittlere Abstand des Mondes von der Erde betrgt384 000 km.)Aufgabe 010813:Wenn die Summe von 4 beliebigen natrlichen (positiven ganzen) Zahlen eine ungerade Zahl ist, so ist ihrProdukt eine gerade Zahl.Probiere es! Beweise die Behauptung!Aufgabe 010814:Setze in ein magisches Quadratmit 9 Feldern die Zahlen von 3 bis 11 so ein, da die Summe jeder Reihe,jeder Spalte und jeder Diagonalen 21 betrgt! Beginne mit dem Mittelfeld!Begrnde deine Anordnung der Zahlen!Aufgabe 010815:Bei einem mehradrigen Kabel werden Adern gleichen Durchmessers um eine Mittelader vom gleichen Durch-messer so angeordnet, da sie einander berhren.a)Wieviel Adern braucht man?b)Beweise diese Behauptung!Aufgabe 010816:Es ist ein Kreis zu konstruieren, der eine gegebene Gerade g in dem gegebenen Punkt B berhrt und durcheinen gegebenen PunktA geht, der nicht aufg liegt.Begrnde die Konstruktion!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 8http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 9AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 010911:Berechnen Sie:_910m43211360m2+ 514m412_ :_112m2+ 123m6_.Aufgabe 010912:Inder Ballistikverwendet manhugdenBegrimittlerePrzision pm. Nimmt manpmals Radiuseines Kreises, dann liegen in diesem Kreis etwa 20 Prozent aller Treer. Smtliche Treer erfat man miteinem Kreis, der einen etwa 412mal so groen Radius hat. Westliche Militrexperten rechnen z. Zt. mit einermittleren Przision (bei Raketen) vonpm =0,5 Prozent der Schuweite. Spter wollen sie Werte vonpm =0,1 Prozent und in ferner Zukunft sogarpm =0,05 Prozent erreichen.a) Wie gro wre bei diesen Werten der Radius des 20 Prozent-Kreises bzw. der des alle Treer enthal-tenden Kreises, wenn die Schuweite12 500 km betrgt?b) Welche mittlere Przisionpm wurde von der Sowjetunion erreicht, wenn man bercksichtigt, da derRadius des alle Treer enthaltenden Kreises bei den im Oktober 1961 durchgefhrten Versuchen kleinerals1 km war?Aufgabe 010913:Um beim Zerspanen von Metallen die Schneidfhigkeit der Werkzeuge zu erhalten, wird vielfach mit einerEmulsion aus gefettetem Minerall (Dichte0,98 g/cm3) und mglichst weichem Wasser (Dichte1,0 g/cm3)gekhlt. Die Mischung mu fr Schneidwerkzeuge hherer Festigkeit die Dichte0,996 g/cm3, bei Schleifar-beiten die Dichte0,992 g/cm3haben. Wieviel Liter gefettetes Minerall und wieviel Liter weiches Wasserbraucht man fr jeweils 10 Liter Emulsion?Aufgabe 010914:Jeder Buchstabe entspricht einer der Ziern von 0 bis 9, gleiche Buchstaben bedeuten gleiche, verschiedeneBuchstaben verschiedene Ziern.OTTO MAIS OTTO MAIS OTTO-ROSE -SALZ -SALZ -ROSE -MAIS4709 2963 3497 4175 5341. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 9http://www.olympiade-mathematik.deAufgabe 010915:Bei welchen Dreiecken liegen die Mitten der drei Hhen auf einer Geraden?Die Behauptung ist zu beweisen!Aufgabe 010916:Schlagen Sie einen Kreis mit dem Radius r = 3 cm! Konstruieren Sie in diesen Kreis ein beliebiges Parallelo-gramm so, da dessen Eckpunkte auf der Kreisperipherie liegen! Halbieren Sie die Seiten des Parallelogrammsund verbinden Sie die Halbierungspunkte fortlaufend!Wie gro ist der Umfang der so entstehenden Figur? Die Behauptung ist zu beweisen!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 10http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 10AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 011011:Von einem gleichschenkligen Dreieck sind gegeben:AB= c = 87,51 m, CAB= = 93,42.Berechnen Sie die restlichen Winkel und Seiten!Aufgabe 011012:In der UdSSR wird heute in 37 Minuten genausoviel Gas erzeugt wie im zaristischen Ruland whrend desgesamten Jahres 1913.Berechnen Sie die Steigerung in Prozent!Aufgabe 011013:Ein Zug fhrt mit geringer Geschwindigkeit ber eine 171 m lange Brcke in 27 s (gerechnet vom Auahrender Lokomotiveauf dieBrckebis zumVerschwindendes letztenWagens vonder Brcke). AneinemFugnger, der dem Zug mit einer Geschwindigkeit von1msentgegengeht, fhrt der Zug in9 s vorber.a) Welche Geschwindigkeit hat der Zug (inkmh)?b) Wie lang ist der Zug?Aufgabe 011014:Aus einem wrfelfrmigen Stck Material (Kantenlnge a) wird die grte Kugel herausgedreht. Was wiegtmehr, die Kugel oder der Abfallspan? Die Antwort ist zu begrnden!Aufgabe 011015:Es ista) aufeinergegebenenGeradeneinPunktzukonstruieren,dervonzweigegebenenundnichtaufderGeraden liegenden PunktenA undB gleich weit entfernt ist;b) auf einem gegebenen Kreis ein Punkt zu konstruieren, der von zwei gegebenen und nicht auf dem Kreisliegenden PunktenA undB gleich weit entfernt ist.Ist dieser Punkt stets vorhanden? Gibt es nur einen solchen Punkt?Aufgabe 011016:Eine sechsstellige Zahl beginnt an der hchsten Stelle mit der Zier 1. Streicht man diese Zier und hngtsie hinten an die Zahl an, so erhlt man das Dreifache der ursprnglichen Zahl.1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 11http://www.olympiade-mathematik.dea) Wie heien die beiden Zahlen?b) Kann man mit der Ausgangszahl weitere hnliche Aufgaben bilden? (Beispiele)c) Aus welcher Aufgabe ist die Ziernfolge der Ausgangszahl bekannt?1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 12http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 11AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 011111:Es ist zu beweisen, da bei beliebigemn (n eine natrliche Zahl) die Zahl62n1 durch 7 teilbar ist.Aufgabe 011112:Ein Dampfer fhrt auf einem Flu von A nach B 3 Stunden und bei gleicher Maschinenleistung von B nachA412Stunden.Wie lange braucht ein nur von der Strmung getriebenes Fahrzeug fr den Weg vonA nachB?Aufgabe 011113:Kann man einen Wrfel durch eine Ebene so teilen, da der erhaltene Schnitt eina) gleichseitiges Dreieck,b) Quadrat,c) regelmiges Fnfeck,d) regelmiges Sechseckist? Die Behauptungen sind zu beweisen!Aufgabe 011114:Es seien ein Dreieck P1P2P3 und ein beliebiger Punkt Pim Innern des Dreiecks gegeben. Die Schnittpunkteder GeradenP1P,P2Pbzw.P3Pmit den gegenberliegenden Seiten seienQ1,Q2,Q3.Es ist zu beweisen, da unter den VerhltnissenP1PPQ1,P2PPQ2,P3PPQ3wenigstens eines nicht grer als 2 und wenigstens eines nicht kleiner als 2 ist.Aufgabe 011115:Setzt man einen Wrfel aus 8 gleichen Wrfeln zusammen, wobei in jeder Dimension 2 Wrfel nebenein-anderliegen, und streicht ihn mit Farbe an, dann besteht der Wrfel aus 8 Wrfeln, bei denen je 3 Flchenangestrichensind. Nunsoll einWrfel aus gleichenWrfelnsozusammengesetzt werden, dainjederDimension 3 Wrfel nebeneinanderliegen. Der zusammengesetzte Wrfel werde wieder angestrichen.1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 13http://www.olympiade-mathematik.dea) Wieviel derkleinenWrfel habenkeineangestricheneFlche, wieviel habeneine, wieviel zwei undwieviel drei angestrichene Flchen?b) Was erhlt man, wenn in jeder Dimension 4 Wrfel nebeneinanderliegen?c) VersuchenSie,eineFormelfrninjederDimensionnebeneinanderliegenderWrfelzunden,undbeweisen Sie diese Formel!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 14http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 12 - 13AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 011311:Ist die Summe2139+ 3921durch 45 teilbar? Die Antwort ist zu begrnden!Aufgabe 011312:Bei der Planung unserer sozialistischen Volkswirtschaft werden in zunehmendem Mae mathematische Me-thodenangewandt. Das gilt ganzbesonders fr das Transportwesen, bei demes darauf ankommt, mitmglichstgeringenKosteneineoptimaleLeistungzuerreichen.MannenntdieangewandteMethode,dieerstmalig 1939 von Prof. L. W. Kantorowitsch in Leningrad vorgeschlagen wurde, die Methode der linearenProgrammierung. Das folgende Beispiel, das sehr stark vereinfacht wurde, da in Wirklichkeit die Verhlt-nisse viel komplizierter sind, zeigt das Prinzip der Methode:Zwei Ziegeleien produzieren 10 Millionen bzw. 15 Millionen Ziegel. Sie sollen zwei Baustellen versorgen, dieeinen Bedarf von 18 Millionen bzw. 7 Millionen Ziegel haben. Die Entfernungen betragen:1. Ziegelei zur 1. Baustelle25 km,1. Ziegelei zur 2. Baustelle24 km,2. Ziegelei zur 1. Baustelle26 km,2. Ziegelei zur 2. Baustelle20 km.ZuwelchenBaustellenmssendievonder1. bzw. 2. Ziegelei produziertenZiegel transportiertwerden,damit die Gesamttransportkosten mglichst gering sind? Dabei wird angenommen, da die Transportkostender Entfernung proportional sind.Aufgabe 011313:Wieviel verschiedene dreistellige Zahlen lassen sich mit den Zierna) 1 und 2, b) 1, 2 und 3, c) 1, 2, 3 und 4bilden, wobei die Ziern auch mehrfach benutzt werden drfen?Versuchen Sie, eine Gesetzmigkeit zu nden!d) Welche Lsung erhlt man fr vierstellige Zahlen?e) Was lt sich fr vierstellige Zahlen vermuten, wenn man n Ziern zur Verfgung hat? Versuchen Sie,diese Vermutung zu beweisen!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 15http://www.olympiade-mathematik.deAufgabe 011314:Esist einDreieckABCausAC=b, AB=cund BMA=zukonstruieren,wobei MdieMitte derStreckeBCist. Es sei< 90.Man beweise, da die Aufgabe dann und nur dann lsbar ist, wennbtan2 c c. Geben Sie die Bedingungen frb an, bei denen die Aufgabe lsbar ist!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 24http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade2. Stufe (Kreisolympiade)Klasse 12 - 13AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 011321:IminternationalenPostverkehrsindfrBriefsendungenundPckcheninrechteckigerForm(FormeinesQuaders) die folgenden Hchst- und Mindestmae vorgeschrieben:Hchstmae: Lnge, Breite und Hhe zusammen 90 cm, grte Lnge jedoch nichtmehr als60 cm;Mindestmae: Lnge10 cm, Breite7 cm.a) Welches Hchstvolumen kann eine Sendung haben? Wie gro sind in diesem Falle Lnge, Breite undHhe? (Begrndung!)b) Welches Mindestvolumen kann eine Sendung haben? Wie gro sind in diesem Falle die Kanten? (Be-grndung!)Aufgabe 011322:Wenn die drei natrlichen Zahlenx,y undz der Bedingungx2+y2= z2gengen, ist ihr Produktxyzstets durch 60 teilbar.Beweisen Sie diese Behauptung!Aufgabe 011323:Fnf Gefe enthalten je 100 Kugeln. Dabei enthalten einige Gefe nur Kugeln von10 g Masse, whrenddie anderen Gefe nur Kugeln von11 g Masse enthalten.Wie kann man durch eine einzige Wgung mit Waagschalen und geeigneten Wgestcken feststellen, welcheGefeKugelnvon10 gundwelcheGefeKugelnvon11 genthalten?(Dabei drfenausdenGefenKugeln herausgenommen werden.)Aufgabe 011324:Gegeben sind drei parallele Geradeng1,g2 undg3, die untereinander ungleiche Abstnde haben.Konstruieren Sie ein gleichseitiges Dreieck, dessen PunkteA,B,Cauf den Geraden liegen! Begrnden Siedie Konstruktion!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 25http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade3. Stufe (Bezirksolympiade)Klasse 7AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 010731:EinguterMelkerkannineinerStundehchstens8Khemelken. DurchdenEinsatzeinersowjetischenMelkmaschine kann er in 8 Stunden 96 Khe melken. Die 150 Milchkhe, die das VEG Biesdorf im Jahre1958 besa, konnten mit Hilfe eines Melkstandes bereits in 3 Stunden gemolken werden.Um wieviel Prozent wchst die Arbeitsproduktivitta)beim Einsatz der sowjetischen Melkmaschine,b)beim Einsatz eines Melkstandes?Anmerkung:Unter der Arbeitsproduktivitt verstehen wir in diesem Falle den Quotienten aus der Anzahlder Khe und der zu ihrem Melken bentigten Zeit.Aufgabe 010732:Im Sommer 1961 stellte der Dresdener Meister des Sports Gerhard Wissmann einen neuen Segelug-Rekordim Dreieck-Streckenug auf. Er legte die Strecke Zossen - Storkow - Golen - Zossen in 1 h 1 min 30 s zurck.Auf einer Karte im Mastab1 : 750 000 stellen wir die folgenden Strecken fest:ZossenStorkow 4, 5 cm,StorkowGolen 5, 2 cm,GolenZossen 3, 9 cm.Zu der errechneten Entfernung mssen wir noch4 km fr Umwege bei der Kursnderung hinzuzhlen.a) Welche Durchschnittsgeschwindigkeit erreichte Gerhard Wissmann?b) Um wieviel Prozent war seine Geschwindigkeit hher als die des westdeutschen Rekordinhabers Ernst-Gnter Haase, der eine Strecke von100 km in1 h12 min zurcklegte?Aufgabe 010733:In einer Ebene sind drei einander in einem PunkteSschneidende Geradeng1, g2undg3sowie aufg1derPunkt A gegeben. Konstruiere ein Dreieck, das A als Eckpunkt und den Schnittpunkt S als Umkreismittel-punkt hat und bei demB aufg2 undC aufg3 oder umgekehrt liegen! Wieviel verschiedene Dreiecke lassensich so konstruieren?Aufgabe 010734:Es ist zu beweisen, da die von der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks auf dessen Grundseite gefllteHhe gleichzeitig Winkel- und Seitenhalbierende ist.Aufgabe 010735:Rolf behauptet, er kenne eine Rechenaufgabe, in der nur die Zahl 7 verwendet wird und deren Ergebnis dieJahreszahl 1962 ist.1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 26http://www.olympiade-mathematik.dea) Versuche, eine derartige Rechenaufgabe aufzustellen!b) LtsichaucheineRechenaufgabeaufstellen, indernurdieZahl 1962verwendetwirdundderenErgebnis 7 lautet? Wenn ja, gib diese Rechenaufgabe an!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 27http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade3. Stufe (Bezirksolympiade)Klasse 8AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 010831:IneinemKreiswurdeineinemQuartal derPlanfrdieProduktionvonMauersteinen(Plan: 1 350 000Stck) insgesamt mit 100,1 Prozent erfllt. Eine berprfung der Betriebe zeigte, da dabei zwei Betriebe,die laut Plan 150 000 bzw. 290 000 Stck Mauersteine zu produzieren hatten, den Plan nur mit 80,0 Prozentbzw.86,2 Prozent erfllt hatten.a) WievielMauersteinehttenindiesemKreisproduziertwerdenknnen,wenndiesebeidenBetriebeihren Plan mit 100 Prozent erfllt htten?b) Wieviel Prozent htte in diesem Falle die Planerfllung fr den Kreis betragen?Aufgabe 010832:Peter hat fr seine Modelleisenbahn ein Schienenovalaufeinem Brett aufgebaut (siehe dazu die Skizze; die Kreisb-gen sind Halbkreise).Hans, denereingeladenhat, fragtpltzlich: Wasmeinstdu, fhrt der Zugsoschnell wieinWirklichkeit? Peterantwortet: Bestimmt nicht, stell dir doch einmal einen rich-tigenZug danebenvor! Unser Zugschatdoch hchstenseinen Kilometer in der Stunde!700800R400Ja, sagt Peter, das schon, aber 1 kmbedeutet jafr dieAnlageetwas ganzanderes. Manmteesumrechnen.Sie berlegen und ermitteln dann folgende Werte:Zeit fr eine Umkreisung: 11 sSpurweite der Modellbahn: 18,5 mmSpurweite in Wirklichkeit: 1 435 mma) Wie gro ist die Geschwindigkeit des Zuges tatschlich?b) Wie gro wre die Geschwindigkeit vom Standpunkt der Modelleisenbahn?Aufgabe 010833:Zu beweisen ist folgender Satz:Die Summe zweier beliebiger aufeinanderfolgender gerader Zahlen ist nicht durch 4 teilbar!Welcher Rest bleibt bei Division durch 4 ?1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 28http://www.olympiade-mathematik.deAufgabe 010834:Wer hat den Ring?Ruth, Fritz, Ewald, Brigitte und Erika spielen ein Pfnderspiel. Ruth verlt das Zimmer; inzwischen ver-steckt eines der anderen Kinder einen Ring bei sich. Ruth kehrt zurck und soll feststellen, wer den Ringhat. Nun macht jedes Kind drei Aussagen. Von diesen Aussagen sind zwei richtig und eine falsch. Ruth sollauf Grund dieser Aussagen, ohne zu raten, nden, wer den Ring hat.Ewald: 1. Ich habe den Ring nicht.2. Fritz hat den Ring.3. Ich habe dieses Spiel schon oft gespielt.Fritz: 1. Ich habe den Ring nicht.2. Ewald irrt sich, wenn er meint, da ich den Ring habe.3. Erika hat den Ring.Jetzt unterbricht Ruth und sagt: Ich mu nachdenken, vielleicht nde ich jetzt schon, wer den Ring hat.Und nach wenigen Minuten sagt Ruth, wer den Ring hat. Wie konnte sie das feststellen?Aufgabe 010835:Gegeben sind die PunktePundQ mit einem Abstand von5 cm.Konstruiere zwei Parallelen, von denen eine durchP, die andere durchQ geht und die voneinander einenAbstanda = 3 cm haben!Begrnde die Konstruktion! Wieviel verschiedene Mglichkeiten gibt es dabei in der Ebene?1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 29http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade3. Stufe (Bezirksolympiade)Klasse 9AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 010931:Indenersten212JahrendesSiebenjahrplanserzeugtendieStahlwerkerderSowjetunioninsgesamt113Prozent der gesamten italienischen Stahlproduktion des Jahres 1959 ber den Plan hinaus. Jhrlich wurdendabei im Durchschnitt nur310 000 t Stahl weniger zustzlich produziert als in einem halben Jahr (1959) inItalien.Wieviel Tonnen Stahl produzierten die Stahlwerker der Sowjetunion zustzlich? Wieviel Tonnen Stahl wurde1959 in Italien produziert?Aufgabe 010932:Kurt fhrt mit der Straenbahn eine lange gerade Strae entlang. Pltzlich sieht er seinen Freund auf glei-cher Hhe in entgegengesetzter Richtung auf dieser Strae gehen. Nach einer Minute hlt die Straenbahn.Kurt steigt aus und luft doppelt so schnell wie sein Freund, jedoch nur mit einem Viertel der Durchschnitts-geschwindigkeit der Straenbahn hinter seinem Freund her.Nach wieviel Minuten holt er ihn ein? Wie haben Sie das Ergebnis ermittelt?Aufgabe 010933:EsistderBruchzunden,dergleich0,4istunddessenZhlerundNenneralsSummeeinezweistelligeQuadratzahl ergeben!Wie haben Sie die Lsung gefunden?Aufgabe 010934:Gegeben seien ein Winkel mit dem ScheitelpunktSsowie ein zwischen den Schenkeln dieses Winkels, abernicht auf der Winkelhalbierenden liegender PunktP.Konstruieren Sie eine durchPverlaufende Gerade, die die Schenkel des Winkels in den PunktenA undBso schneidet, daPA = PB wird! Die Konstruktion ist zu begrnden!Aufgabe 010935:IneinemAbteil des Pannonia-Expresitzensechs Fahrgste, dieinBerlin, Rostock, Schwerin, Erfurt,Cottbus und Suhl ihren Wohnsitz haben. Die Anfangsbuchstaben ihrer Namen sind A, B, C, D, E, und F (dieReihenfolge der Namen entspricht nicht der Reihenfolge der Wohnsitze). Aus Gesprchsfetzen entnehmenwir folgende Tatsachen:(1) Zwei Fahrgste, und zwarA und der Berliner, sind Ingenieure.(2) Zwei Fahrgste, und zwarE und der Rostocker, sind Dreher.1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 30http://www.olympiade-mathematik.de(3) Zwei Fahrgste, und zwarCund der Schweriner, sind Kranfhrer.(4) B undFsind aktive Sportler, der Schweriner treibt nicht Sport.(5) Der Fahrgast aus Cottbus ist lter alsA, der Fahrgast aus Suhl ist jnger alsC.(6) Zwei Fahrgste, und zwar B und der Berliner, wollen in Prag aussteigen. Zwei Fahrgste, und zwar Cund der Cottbusser, wollen bis Budapest fahren.Welches sind die Namen, Berufe und Wohnsitze der einzelnen Fahrgste?1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 31http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade3. Stufe (Bezirksolympiade)Klasse 10AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 011031:AufdemXXII.ParteitagderKPdSUwurdeberdieLeistungenderBestarbeiterinderLandwirtschaftberichtet, die groe Erfolge bei der Steigerung der Ertrge fr Getreide und Hlsenfrchte erreicht haben.In einem Kolchos des Gebietes Winniza wurden 1961 auf einer Flche von708 ha31 dt je ha Erbsen geern-tet. Ferner erzielte der Kolchos den hohen Ernteertrag von60 dt je ha an Krnermais. Von der gesamtenGetreideanbauche (einschlielich Erbsen) waren 21 Prozent mit Erbsen und 30 Prozent mit Krnermaisbestellt. Der durchschnittliche Ernteertrag fr die Gesamtche betrug38 dt je ha.Wie gro war der Ernteertrag je ha fr die brigen Getreidekulturen?Aufgabe 011032:In demVEB Schwermaschinenbau Karl Lieb-knecht in Magdeburg werden groe ZellstokocherausStahl hergestellt. EinsolcherApparatist8 mlang und hat in seinem mittleren Teil einen Durch-messer von 5 m (s. Abbildung) und ein Leergewichtvon30 Mp.a) Wie gro sind seine Oberche und seineWandstrke? 3000 50002500(Wichte des Stahls7,85 p/cm3)b) Wie gro ist sein Fassungsvermgen?Aufgabe 011033:In einem konvexen Zwlfeck sind 3 Innenwinkel rechte Winkel.Wieviel der brigen 9 Innenwinkel knnen spitze Winkel sein? Die Behauptung ist zu beweisen!Aufgabe 011034:Eine Armbanduhr besitzt auer dem im Unterteil des Ziernblattes angebrachten Sekundenzeiger noch eineStoppuhreinrichtungmiteinemSekundenzeiger,dessenAchsedurchdieMittedesZiernblattesverluft.Wenn beide Zeiger in Gang sind, laufen sie mit gleicher Geschwindigkeit um. Da die Stoppuhr willkrlichinGanggesetztwerdenkann,werdendiebeidenSekundenzeigerinderRegelnichtzurgleichenZeitdiegleiche Sekunde anzeigen. Wir denken uns nun beide Zeiger in beiden Richtungen beliebig verlngert.a) Welches ist der geometrische Ort fr alle Schnittpunkte der beiden umlaufenden Sekundenzeiger bzw.ihrer Verlngerungen?1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 32http://www.olympiade-mathematik.deb) KonstruierenSiedieseKurvefrdenfolgendenFall: DrehpunktabstandderZeiger a=5 cm(ausGrnden der besseren Konstruierbarkeit absichtlich so gro gewhlt)!Beim Ingangsetzen der Stoppuhr zeigt der kleine Sekundenzeiger auf die 10 des Sekundenziernblattes.Aufgabe 011035:Mit welcher Zier endet die Summe116+ 126+ 136+ 146+ 156+ 166? Begrnden Sie Ihre Aussage!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 33http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade3. Stufe (Bezirksolympiade)Klasse 11AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 011131:Ein Kraftwagen, der mit einer Geschwindigkeit von90 km/h fhrt, wird gebremst und kommt nach70 mzum Stehen.IstdieinderStraenverkehrsordnungvorgeschriebeneBremsverzgerungvonmindestens4,0 m/s2einge-halten worden oder nicht? Begrnden Sie Ihre Feststellung!Aufgabe 011132:Gibt es eine ganze Zahl n>0, die mit 6 multipliziert ein Produkt ergibt, das die gleichen Ziern wie dieursprngliche Zahl, aber in umgekehrter Reihenfolge enthlt? Die Behauptung ist zu begrnden!Aufgabe 011133:IneinemBetriebwerdenVentilatorenhergestellt. DieKostenfrMaterial, LohnundEnergiebetrugenbisher 19,20 M je Ventilator. Eine sozialistische Arbeitsgemeinschaft von Arbeitern und Ingenieuren machtden Vorschlag, durch Umbau der vorhandenen Maschinen und durch Anschaung einer neuen Maschine dieArbeitszeit und die Materialkosten wesentlich zu senken, so da die oben genannten Kosten je Stck nurnoch 13,15 M je Ventilator betragen. Fr den Umbau und die Anschaung der neuen Maschine mssen aberinsgesamt13 500,- M aufgewandt werden.Wieviel Ventilatorenmtenmindestensjhrlichhergestelltwerden, damitdasneueVerfahrenrentabelwird? Dabei soll ein Drittel der Kosten fr die neuen Einrichtungen jhrlich abgeschrieben werden, d. h. umdiesen Betrag mssen sich die Gesamtkosten verringern.Aufgabe 011134:AABBCCDEFEs ist der folgende Satz zu beweisen:Teilt man die Seiten eines Dreiecks ABC im Verhltnis 1 : 2 und verbin-det man die EckpunkteA, Bbzw. Cmit den TeilpunktenA, Bbzw.C, sobildendieVerbindungsgeradeneinDreieckDEF, dessenFl-cheninhalt gleich einem Siebentel des Flcheninhalts des ursprnglichenDreiecks ist (vgl. die Abbildung).Aufgabe 011135:Bemerkung:011135 = 011334Gegeben sei eine StreckeAB= a = 6 cm.Msei der Mittelpunkt der Strecke. Schlagen Sie mitAMumMdenHalbkreisberAB!HalbierenSieAMundMBundschlagenSieberbeidenStreckenmitAM2diebeiden Halbkreise, die innerhalb des groen Halbkreises liegen!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 34http://www.olympiade-mathematik.deEsistderMittelpunktdesKreiseszukonstruieren, derdengroenHalbkreisvoninnenunddiebeidenkleinen Halbkreise von auen berhrt! Die Konstruktion ist zu begrnden!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 35http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade3. Stufe (Bezirksolympiade)Klasse 12 - 13AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 011331:Zwei Ziegeleien produzieren 6 Millionen bzw. 12 Millionen Ziegel. Sie sollen vier Baustellen versorgen, dieeinen Bedarf von 5,2; 3,0; 5,7 bzw. 4,1 Millionen Ziegel haben. Die Entfernungen (in km) zwischen den zweiZiegeleien und den vier Baustellen sind aus der folgenden Tabelle ersichtlich:Baustelle 1 2 3 4Ziegelei 1 28 30 37 21Ziegelei 2 26 36 18 20Wieviel Ziegel mssenvonder1. bzw. 2. Ziegelei zudeneinzelnenBaustellentransportiertwerden, da-mit die Gesamttransportkosten mglichst gering sind? Es wird angenommen, da die Transportkosten derEntfernung proportional sind. Die Baustelle 3 soll dabei nur von der Ziegelei 2 beliefert werden.Aufgabe 011332:Aus Aluminiumblech von 2 mm Strke sollen 10 000 Werkstcke nach der beigefgten Zeichnung 1 gestanztwerden. (Smtliche Innenwinkel sind gleich gro,a = 34 mm,b = 8 mm.)Zeichnung 1s1s1sbaabb1Zeichnung 2s2ss22a) Wie lang und wie breit mu der Blechstreifen sein, aus dem gestanzt wird? Dabei ist zu beachten, dadieStegbreite(AbstandderTeilevoneinanderbzw. vomRand)s1=2 mmbetragenmu. WievielQuadratmeter Blech werden verbraucht? Wieviel Quadratmeter betrgt der Abfall?b) Es wird der Verbesserungsvorschlag gemacht, nach Zeichnung 2 zu stanzen, um Material zu sparen.WielangundwiebreitmununmehrderBlechstreifengenommenwerden?Wieviel QuadratmeterBlech wird verbraucht? Wieviel Quadratmeter betrgt der Abfall? Wieviel Prozent betrgt die Mate-rialersparnis gegenber dem unter a) angegebenen Verfahren? (Stegbreite hiers2= 3 mm.)1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 36http://www.olympiade-mathematik.deAufgabe 011333:Einem Wrfel von der Kantenlngea werden ein Tetraeder und ein Oktaeder einbeschrieben.a) Wie verhalten sich die Volumina der 3 Krper zueinander?b) Dem Tetraeder wird noch eine Kugel einbeschrieben. Begrnden Sie, da diese Kugel gleichzeitig dasOktaeder berhrt, und drcken Sie das Volumen dieser Kugel als Funktion vona aus!Aufgabe 011334:Bemerkung 011334 = 011135Gegeben sei eine StreckeAB= a = 6 cm.Msei der Mittelpunkt der Strecke. Schlagen Sie mitAMumMdenHalbkreisberAB!HalbierenSieAMundMBundschlagenSieberbeidenStreckenmitAM2diebeiden Halbkreise, die innerhalb des groen Halbkreises liegen!EsistderMittelpunktdesKreiseszukonstruieren, derdengroenHalbkreisvoninnenunddiebeidenkleinen Halbkreise von auen berhrt! Die Konstruktion ist zu begrnden!Aufgabe 011335:Es ist zu beweisen, dax +y a2, wennx2+y2= a2unda 0 ist!1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 37http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade4. Stufe (DDR-Olympiade)Klasse 10AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 011041:Wie auf dem XXII. Parteitag der KPdSU mitgeteilt wurde, wird in der Sowjetunion von 1960 bis 1980 dieProduktion von Produktionsmitteln (d.s. Rohstoe, Maschinen, Ausrstungen fr Industrie, Landwirtschaftund Verkehr usw.) auf das 6,8fache steigen. Aber auch die Produktion von Gebrauchsgtern (Gter, die frdenBedarfderBevlkerungbestimmtsind)sollstarkanwachsen,siesollaufdasFnffachesteigen.Diegesamte Industrieproduktion steigt auf das 6,2fache.a) Wieviel Prozent der gesamten Industrieproduktion betrug der Anteil der Produktion von Produkti-onsmitteln im Jahr 1960?b) Wieviel Prozent wrde er im Jahre 1980 betragen?Aufgabe 011042:Auf einemFlumitkonstanterStrmungsgeschwindigkeit vfhrteinMotorbootmitkonstanterEigen-geschwindigkeitcstromabnacheinemZiel,dasvomStartdieEntfernungshat,undwiederzurck.Einanderes Motorboot fhrt mit der gleichen Eigengeschwindigkeit zu einem ebenfalls in der Entfernung s, abergenau senkrecht zur Strmungsrichtung liegenden Ziel und wieder zurck.a) Wieviel reine Fahrzeit bentigen die beiden Boote?b) Welches Ergebnis erhlt man frs = 250 m,v= 150 m/min undc = 250 m/min?Aufgabe 011043:Es seis =3_20 + 142 +3_20 142.Berechnen Sie s2und s3und versuchen Sie, einen rationalen Wert fr s zu nden! (Die Wurzelwerte drfennicht durch Nherungswerte ersetzt werden.)Aufgabe 011044:Folgender Satz ist zu beweisen:Wenndie vonAauf BCgefllte Hhe eines Dreiecks mittlere Proportionale zwischendenStrecken ist, in die sieBCteilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig.Aufgabe 011045:Gegeben sei ein Winkel = 40.Konstruieren Sie den Mittelpunkt des Kreises mit dem Radius r = 5 cm, wobei dieser Kreis aus den Schenkelndes Winkels die Streckena = 9 cm undb = 8 cm ausschneiden soll! Die Konstruktion ist zu begrnden!Drfen bei gegebenem und Radiusr die Lngen vona undb beliebig gewhlt werden? (Begrndung!)1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 38http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade4. Stufe (DDR-Olympiade)Klasse 12 - 13AufgabenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Aufgabe 011241:Bei 27 000 Dngungsversuchen mit Phosphordngemitteln stellte man die folgenden mittleren Ernteertrgefr Kartoeln fest:Dngergabe bezogen auf P2O5 (dt/ha) Ernteertrag (dt/ha)0,0 2370,3 2510,9 269Die zwischen der Dngergabex (in dt/ha) und dem Ernteertragy(in dt/ha) bestehende Beziehung kanndurch die folgende Relation angenhert wiedergegeben werden:y= a b10kxwobeia,b undk Konstanten sind.a) Berechnen Sie mit Hilfe der oben angegebenen Werte diese Konstanten!b) Berechnen Sie den Ernteertrag fr eine Dngergabe von0,6 dt/ha und1,2 dt/ha!c) Stellen Sie die prozentuale Abweichung der errechneten Werte von den im Versuch ermittelten Werten261 dt/ha bzw.275 dt/ha fest!Aufgabe 011242:Es seienu,v undw beliebig gewhlte positive Zahlen, kleiner als 1.Man soll zeigen, da unter den Zahlenu(1 v),v(1 w),w(1 u) stets mindestens ein Wert nicht grerals14vorkommt.Aufgabe 011243:1000 m600 m1420300300300500MiteinerRollenscheresollenausBlechenvon 1 420 mmBreite rechteckige Bleche,und zwar mit einer Breite von 500 mm undeinerGesamtlngevon1 000 msowiemiteiner Breite von 300 mm und einer Gesamt-lnge von 1 800 m geschnitten werden. Bis-her wurde nach der beigefgten Zeichnunggeschnitten, inder diegraueFlchedenAbfall darstellt, der ziemlich gro ist.Eine sozialistische Brigade macht den Vorschlag, so zu schneiden, da der Abfall erheblich geringer wird.1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 39http://www.olympiade-mathematik.dea) Wieviel Prozent betrgt der Abfall, wenn wie bisher geschnitten wird?b) Wie mu die Brigade schneiden, damit der Abfall mglichst gering wird, und welche Gesamtlnge derAusgangsbleche ist in diesem Fall erforderlich?c) Wieviel Prozent betrgt jetzt der Abfall?Aufgabe 011244:Gegeben sei ein konvexes ebenes Viereck.Esistzubeweisen, dafrdenQuotientenqausdemgrtenunddemkleinstenallerAbstndezweierbeliebiger Eckpunkte voneinander stets gilt:q 2.Aufgabe 011245:Gegeben sind eine Ebene Pund zwei feste Punkte A und B, die nicht in dieser Ebene liegen. Man bezeichnetmitA undB zwei Punkte der EbenePund mitMundNdie Mittelpunkte der StreckenAA,BB.a) Bestimmen Sie den geometrischen Ort des Mittelpunktes der StreckeMN, wenn sich die PunkteAundB willkrlich in der EbenePbewegen!b) In der Ebene P wird ein Kreis O betrachtet. Bestimmen Sie den geometrischen Ort L des Mittelpunktesder StreckeMN, wenn die PunkteA undB sich auf dem KreiseO oder in dessen Innern benden!c) WirdAfestauf demKreise OoderindessenInnernangenommenundBbeweglichimInnernoder uern vonO, so soll der geometrische Ort des PunktesBbestimmt werden, so da der obenbestimmte OrtL derselbe bleibt.Anmerkung: Bei b) und c) sollen folgende Flle betrachtet werden:1. A undB sind verschieden,2. A undB fallen zusammen.1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 40http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 5LsungenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Lsung 010511:Der Mehrverkauf an Fleisch im Jahre 1960 im Vergleich zu 1953 ist die Dierenz der Gesamtverkufe in denbeiden Jahren, also4 158 000 t 1 757 000 t = 2 401 000 t.Aufgeschrieben und gelst von Korinna GrabskiLsung 010512:laRaMaBdWir bezeichnen die gegebenen Mae wie folgt:l =160 mm Lnge des Brettchens,d = 18 mm Durchmesser einer Bohrung,aR= 24 mm Abstand zwischen Bohrung und Rand.Die gesuchten Gren sind:aM Abstand zwischen zwei Lochmitten,aB Abstand zwischen zwei Bohrungen.Daraus folgt:a) aM=14(l 2aR) =14(160 mm224 mm18 mm) = 28 mm.Der Abstand von Lochmitte zu Lochmitte betrgt28 mm.b) aB= aM12d 12d = aMd = 28 mm18 mm = 10 mm.Der Zwischenraum zwischen zwei Bohrungen betrgt10 mm.Aufgeschrieben und gelst von Korinna GrabskiLsung 010513:Die Lsung lautet:2 5 43 25 0 87 6 28 1 2 8Es handelt sich um eine schriftliche Multiplikation. Als Erstes schaut man sich die Addition an. Damit kannFolgendes schnell eindeutig bestimmt werden: 25 0 8 6 2 1 2 81. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 41http://www.olympiade-mathematik.deJetztistvondererstenMultiplikationeinFaktorunddasProduktvollstndiggegeben,womitmandenanderen Faktor leicht durch Division bestimmen kann. Man erhlt:2 5 4 25 0 8 6 2 1 2 8Jetzt betrachtet man die zweite Multiplikation. Damit wir in der letzten Stelle 2 erhalten, muss 4 entwedermit 3 oder 8 multipliziert werden. Nimmt man die vorletzte Stelle in die Berechnungen mit auf, sieht man,dass nur noch 3 in Frage kommt. Man erhlt:2 5 43 25 0 8 6 2 1 2 8DamitistdieMultiplikationvollstndigbestimmt, undmankanndienochfehlendenZahlenunittelbarberechnen.Aufgeschrieben und gelst von Korinna GrabskiLsung 010514:DieFigurbestehtausinsgesamt8Teilchen, wovonfolgendesechsDreieckesind: AGD, AFG, GFH,EHJ, EJCundJBC.UmweitereDreieckezunden,untersuchenwir,obDreieckeauszwei,drei,vierusw.benachbartenTeilchengebildetwerden.AuszweiTeilchensindfolgendesechsDreieckezusam-mengesetzt: AFD, AFH, FED, EFB, EHC und EBC; aus drei Teilchen zwei Dreiecke: ABJ und DGCund schlielich aus vier Teilchen ebenfalls zwei Dreiecke:ABCundDAC. Aus mehr als vier Teilchenzusammengesetzt nden wir kein weiteres Dreieck. Somit sind in der Figur insgesamt6 + 6 + 2 + 2=16Dreiecke enthalten.A BC D EFGHJAufgeschrieben und gelst von Eckard SpechtLsung 010515:Die fnf anderen Wrfelnetze sind z. B. folgende:Aufgeschrieben und gelst von Eckard Specht1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 42http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 6LsungenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Lsung 010611:a) 9415 138139=915+415138139=13915138139=13815=915+315= 915,b) 3 4512335 2 8682449= 3 451 +2357 2 868 2477= 3 451 2 868 +237245577= 58341245.Aufgeschrieben und gelst von Carsten BalleierLsung 010612:Die Tresicherheit ist hier das Verhltnis zwischen dem Radius des Treerkreises und der Entfernung desZieles. DieseistinbeidenFllengleich, sodassesgengt, dasunbekannteVerhltnisals x: 25 mdar-zustellenundmit dembekanntenVerhltnis 1 km: 12 500 kmgleichzusetzen. Ausenfhrt auf: x=25 m 1 km/12 500 km = 0,002 m = 2 mm. Man beachte, dass sich die Einheit km krzt.Aufgeschrieben und gelst von Carsten BalleierLsung 010613:a) Die zurckgelegte Strecke ist die Dierenz der Zhlerstnde, also18 030 km17 880 km= 150 km.b) Der Benzinverbrauchfr verschiedene Streckensteht indemselbenVerhltnis wie die Lnge derStrecken. Daherx : 10,5 l = 350 km : 150 km, alsox = 24,5 l.Aufgeschrieben und gelst von Carsten BalleierLsung 010614:UnterdenvierZahlenbendensichstetszwei geradeundzwei ungerade. DieSummezweierungeraderZahlen ist gerade, bei der Addition gerader Zahlen bleibt diese Eigenschaft unberhrt. Da die Primzahlen,dieausreichendgrosindumSummevonviernatrlichenZahlenzusein, stetsungeradesind, kanndieSumme vier aufeinander folgender natrlicher Zahlen keine Primzahl sein.Aufgeschrieben und gelst von Carsten Balleier1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 43http://www.olympiade-mathematik.deLsung 010615:Von jeder Station aus kann man 14 andere Stationen erreichen. Also braucht man 1514 = 210 Fahrkarten.Dabei wurde angenommen, da die beiden entgegengesetzten Fahrtrichtungen zwischen zwei Orten ver-schiedene Verbindungen sind.Aufgeschrieben und gelst von Carsten BalleierLsung 010616:/2/2Die Nebenwinkel seien und . Fr sie gilt also += 180. Die Winkel zwischen den Winkelhalbierendenund einem gemeinsamen Schenkel sind also/2 bzw./2. Der Winkel zwischen den Halbierenden betrgtalso:/2 +/2 = ( +)/2 = 90, d. h. die beiden bilden einen rechten Winkel.Aufgeschrieben und gelst von Carsten Balleier1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 44http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 7LsungenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Lsung 010711:Die Ergebnisse sind in absteigender Reihenfolge:a)2536, b)916, d)256625, c) 32243.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (14)Lsung 010712:Zusammensammeltendiedrei Gruppenalso1 mal + 112 mal + 1 mal soviel wiedieerstealleinplus3 dtzustzlich. 312mal derErtragdererstenistalsogleich(52 3) dt =49 dt. Dasbedeutet, dassdieersteGruppe14 dt Kartoeln aufgesammelt hat, fr die zweite folgt daraus21 dt und fr die dritte17 dt.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (14)Lsung 010713:Das Volumen steigt proportional mit jeder Abmessung; da es drei mgliche Abmessungen gibt, hat das neueStckein444=64malsogroesVolumen.DasGewichtverhltsich(beigleichemMaterial)wiedasVolumen, daher ist das neue Gewicht30 400 p.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (14)Lsung 010714:Da die 12. Oberschule und die 4. Oberschule am 2. Spieltag gewonnen und damit2 : 0 Punkte bekommenhaben, mssen die Max-Kreuziger-OS und die 8. Oberschule gem der Tabelle am 1. Spieltag je 2: 0 Punktegeholt, d.h. gewonnen haben. Diese beiden haben also nicht gegeneinander gespielt. Die Max-Kreuziger-OSmussalso die 4. OberschuleKpenick mit1 : 0 geschlagenhabenbeim gegebenen Torverhltnis, whrenddie 8. Oberschule Lichtenberg die 12. Oberschule Treptow mit2: 1 besiegt hat.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (14)Lsung 010715:a) Nein,damanz.B.sowohleinRechteckdarauskonstruierenkannwieaucheinParallelogrammmitbeliebigem Winkel zwischen den gegebenen Seiten.b) Nein, da die Lnge der anderen Seite noch frei whlbar ist.c) Nein, da der Winkel zwischen den beiden Diagonalen noch frei whlbar ist.1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 45http://www.olympiade-mathematik.ded) Nein, da die Lnge der zweiten Diagonale noch frei whlbar ist.e) Ja. Konstruktion: Lnge der Diagonalen auf einer Geraden abtragen, an beiden Endpunkten die ge-gebenen Winkel antragen (Wechselwinkel). Die Seiten des Parallelogramms liegen auf den so entstan-denen Schenkeln.Ein Parallelogramm wird durch drei Stcke eindeutig bestimmt, wenn diese nicht durch Beziehungen wiez.B. dem Stufen- oder Wechselwinkelsatz in Verbindung stehen. Man kann sich ein Parallelogramm als zweianeinandergelegtekongruenteDreieckevorstellen. JedeAngabevonStcken, dieeinDreieckeindeutigfestlegt, erzeugt damit auch ein Parallelogramm.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (14)Lsung 010716:FrdasneueQuadratina)nehmemandieDiagonaledeserstenalsKantenlnge(imBilddashellereQuadrat), in b) nehme man die Hlfte der Diagonale (das dunklere Quadrat).Beweis zu a): Wenn man das neue Quadrat direkt an die Diagonale des alten konstruiert, sieht man, dassdie berdeckte Hlfte des alten Quadrates genau einem Viertel des neuen entspricht. Bei b) tauschen dasalte und das neue Quadrat die Rollen.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (14)1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 46http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 8LsungenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Lsung 010811:_123cd +254dg 212d_ : 5d _72mn 114ng +34n_ :_38n_=15_123c +254g 212__83_ _72m114g +34_=_553c +2554g 552_+_8732m8534g +8334_=_13c + 114g 12_+_913m313g + 2_=13c + 913m2112g + 112.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (15)Lsung 010812:Die Lnge der Mondbahn ist der Umfang eines Kreises mit dem Radius384 000 km, d.h.2384 000 km 2 413 000 000 m, also weniger als ein Drittel der Stobahn.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (15)Lsung 010813:Es gilt zum Beispiel2 + 3 + 5 + 7 = 17 und2357 = 210.Zum Beweis: Damit die Summe von vier natrlichen Zahlen ungerade ist, muss wenigstens ein Summandgeradesein(dieSummevonvierungeradenZahlenistnmlichgerade). WenneinSummandgeradeist,wird das Produkt der Summanden auch gerade sein.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (15)Lsung 010814:6 11 47893 105Eine Lsung ist abgebildet, andere sind mglich.ImMittelfeldmuss 7stehen, dadieseZahl mit allenanderenaddiert wirdund sonst die 11 oder 3 nicht verwendet werden knnen (die Zwischensumme11 + 7 = 18 ist bereits zu gro bzw.3 + 4 = 7 ist zu klein).Die Zahlen 11 und 3 drfen nur zweimal in einer Summe auftreten, da auer10 + 8 + 3 = 11 + 7 + 3 = 11 + 6 + 4 = 21 keine Kombinationen mglich sind.Sie knnen daher nicht an den Ecken stehen.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (15)1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 47http://www.olympiade-mathematik.deLsung 010815:Man denke sich einen durch die Adern senkrecht zur Aderachse gelegten ebenenSchnitt. DannlautetdieFrage: Wieviel KreisegleichenDurchmesserslassensichumeinengleichgroenInnenkreisanordnen, sodasssieeinanderberh-ren?DaderAbstandjedesKreismittelpunktesvondenMittelpunktenderNach-barkreise stets2r betrgt, entstehen aus den Verbindungslinien der Kreismit-telpunkte6gleichseitigeDreiecke,dieeinregelmigesSechseckbilden.Manbraucht also einschlielich der Mittelader 7 Adern.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (15)Lsung 010816:ABMgDamitderKreisdieGeradegberhrt, mussderMittelpunkt MdesKreises auf der Senkrechten zug inB liegen.Damit Mvon den Punkten A und B den gleichen Abstand hat, muss erferner auf der Mittelsenkrechten zur StreckeAB liegen.JedeBedingungfhrtalsoaufeineGerade; derSchnittpunktderbei-den existiert wegenA ,gund ist somit der Mittelpunkt des gesuchtenKreises.Aufgeschrieben von Carsten Balleier Quelle: (15)1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 48http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 9LsungenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Lsung 010911:Mit Polynomdivision erhalten wir:_910m43211360m2+ 514m412_:_112m2+ 123m6_ =35m223m+34._910m4+m3335m2_m3+172m2+ 514m412_m3119m2+ 4m_118m2+ 114m412_118m2+ 114m412_0Aufgeschrieben und gelst von Christiane CzechLsung 010912:a) Der Wertpm gibt den Prozentwert des Verhltnisses des Radiusr20 des20 %-Kreises zur Schuweitean. Da fr den Radius r100 des Kreises, in dem alle Treer landen, r100= 412r20 gilt, haben die Kreisefr die angegebenenpm die folgenden Radien:pm0,5 % 0,1 % 0,05 %r2062,5 km 12,5 km 6,25 kmr100281,25 km 56,25 km 28,125 kmb) Ist r100< 1 km, so ist r20=29r100 180 kann kein Basiswinkel sein.Fr die Gre der beiden Basiswinkel ABC= und ACB= gilt dann= =12(180) = 43, 29.Da AC= b wie AB ein Schenkel ist, gilt b = c = 87, 51 m. Zeichnet man die aufBC= a stehende Hhe AD ein, so erhlt man im entstehenden rechtwinklichenDreieckABD die Gleichungcos =a2cund damita = 2ccos = 127, 40 m.Aufgeschrieben und gelst von Christiane CzechLsung 011012:Fr die Menge des heute in 37 min produzierten Gases brauchte man 1913 genau 365 24 60 = 525 600 min.Die Gasproduktion steigerte sich also um das525 60037fache, also um_525 600371_ 100 % = 1 420 441 %.Aufgeschrieben und gelst von Christiane CzechLsung 011013:Der Zugfhrt mit der Geschwindigkeit vin9 s andemFugnger vorbei, der ihmindieser Zeit 9 mentgegenkommt. Der Zug fhrt also eine Strecke vons 9 m, wobeis die Lnge des Zuges ist. Damit istv=s 9 m9 s.Da der Zug in27 s eine Strecke von171 m +s zurcklegt, ist aber auchv= (mze171m+s27 s.NachGleichsetzender beidenGleichungenundUmstellenerhaltenwir s =99 munddurchEinsetzenv= 10ms= (3,610)kmh= 36kmh.Aufgeschrieben und gelst von Christiane CzechLsung 011014:Die Kugel hat den Durchmessera und damit ein Volumen von6a3. Der Wrfel hat ein Volumen vona3,der Abfallspan also ein Volumen von _1 6_a3. Das Volumen der Kugel ist somit etwas grer als das des1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 52http://www.olympiade-mathematik.deVerschnitts, denn es gilt:> 3 =3> 1 =6> 1 6.Aufgeschrieben und gelst von Christiane CzechLsung 011015:a)A BPgb)A BPPka) (Bild a) Der gesuchte Punkt P ist der Schnittpunkt der gegebenen Geraden g mit der MittelsenkrechtenvonAB. Wenn diese parallel zug verluft, gibt es keine Lsung.b) (Bild b) Wie oben. Wenn die Mittelsenkrechte mit dem gegebenen Kreisk keinen Punkt gemeinsamhat, gibt es keine Lsung. Ist sie Tangente, erhlt man eine, ist sie Sekante, zwei LsungenPundP.Aufgeschrieben und gelst von Steen WeberLsung 011016:a) Teilt man diese sechsstellige Zahl x in ihre 1. Zier 1 und die restliche 5-stellige Zahl a, so lt sichdies wie folgt ausdrcken:x = 100 000 +a.GleichzeitiggiltfrdiezweitesechsstelligeZahl y, dasieausxdurchStreichender1. ZierundAnfgen dieser Zier am Ende der Zahl entsteht, also:y= 10a + 1.Ferner wird gesagt, da gelte:y= 3x und somit10a + 1 = 3(100 000 +a). Nach Umformen erhltman7 a = 3100 000 1, was ergibt:a = 42 857.Frx undy ergibt sich damit:x = 142 857,y= 428 571.b) Es gelten folgende Aussagen:Streicht man einer sechsstelligen Zahl ihre ersten beiden Ziern 14 und hngt sie an die verbleibendevierstellige Zahl, so entsteht eine doppelt so groe wie die ursprngliche Zahl.Streicht man einer sechsstelligen Zahl ihre letzten beiden Ziern 57 und stellt sie der verbleibendenvierstelligen Zahl voran, so entsteht eine viermal so groe Zahl wie die ursprngliche Zahl.Streicht man einer sechsstelligen Zahl ihre letzte Zier 7 und stellt sie der verbleibenden fnfstelligenZahl voran, so entsteht eine fnfmal so groe Zahl wie die ursprngliche Zahl.Streicht man einer sechsstelligen Zahl ihre ersten drei Ziern 142 und hngt sie an die verbleibendedreistellige Zahl, so entsteht eine sechsmal so groe wie die ursprngliche Zahl.c) Die Aufgabe kann aus der Antwort zu Teil a) entnommen werden:x = 100 000 +a = 100 000 +3100 000 17sowie y= 10a + 1 = 10 3100 000 17+ 1.Aufgeschrieben und gelst von Manuela Kugel1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 53http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 11LsungenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Lsung 011111:Es ist zu zeigen, dass 7 Teiler von62n1 fr alle natrlichen Zahlenn ist.Die Behauptung knnen wir auch schreiben als7z= 62n1, wobeiz eine natrliche Zahl ist. Wir fhrenden Beweis durch vollstndige Induktion:Als Induktionsanfang nden wir die Behauptung frn = 0 durch6201 = 1 1 = 0 = 70 besttigt.Zum Induktionsschritt setzen wir voraus, dass es zu jedemn = k einzk N gibt, fr welches die Gleichung7zk= 62k1 gilt.DieInduktionsbehauptunglautetdann,dassesfrn=k + 1aucheinzk+1 Ngibt,dasdieGleichung7zk+1= 62(k+1)1 erfllt.Den Induktionsbeweis fhren wir nun mit folgender Gleichungskette:62(k+1)1 = 62k+21 = 3662k1 = 3662k36 + 35 = 36(62k1) + 35= 367zk + 75 = 7(36zk + 5) = 7zk+1.Aufgeschrieben und gelst von Korinna GrabskiLsung 011112:InbeidenFahrtrichtungenauf demFlussknnenwirdasWeg-Zeit-GesetzdergleichfrmigenBewegungs=vt annehmen. Fr die Fahrt in Strmungsrichtung gilt damitv=vD + vS, fr die Fahrt entgegen derStrmung gilt v= vDvS, wobei vD die Eigengeschwindigkeit des Dampfers und vS die Strmungsgeschwin-digkeit des Flusses ist. Es ist alsos = (vD +vS)(3 h) = (vDvS)(4,5 h) = vD=(4,5 h + 3 h)(4,5 h 3 h) vS= 5vS,und damits = (vD + vS)(3 h) = 6vS (3 h). Fr ein Boot, das nur mit der Strmung treibt, gilts = vSt;mit obiger Gleichung alsos = 6vS (3 h) = vSt.Daraus folgt die Fahrzeit fr ein nur von der Strmung getriebenes Fahrzeug vont = 18 h.Aufgeschrieben und gelst von Korinna Grabski1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 54http://www.olympiade-mathematik.deLsung 011113:Die mglichen Schnitte sind in den folgenden Bildern dargestellt:a) b) d)a) Ja.JederSchnitt,derentlangdreierzusammentreenderKantengleicheStreckenabschneidet,er-zeugt ein gleichseitiges Dreieck als Schnittche. Dies ist leicht einzusehen, da alle durch den Schnittentstehenden rechtwinkligen Dreiecke auf den Wrfeloberchen kongruent sind (SWS), mithin auchdie Hypotenusen.b) Ja. Jeder Schnitt parallel zu einer Wrfelche ergibt ein Quadrat, welches der Wrfelche kongruentist.c) Nein. Wre eine Schnittche eines Wrfels bei einem ebenen Schnitt ein regulres Fnfeck, so wrdenjezwei verschiedeneKantendesFnfeckszuzwei verschiedenenSeitenchendesWrfelsgehren(dennansonstenlgedasganzeFnfeckauf einerSeitenche, wasnichtgeht). Zwei verschiedenedieser fnf Seitenchen drften aber nicht parallel sein, weil sich (die Verlngerungen von) je zweiverschiedenen Fnfeckskanten in einem Punkt schneiden. Da es aber im Wrfel nur sechs Seitenchengibt, von denen je zwei gegenberliegende parallel sind, ndet man keine fnf paarweise nichtparallelenSeitenchen. Es gibt also keinen solchen ebenen Schnitt.d) Ja. Der Schnitt trit - wie im Bild gezeigt - die Wrfelkanten in deren Mittelpunkten. Alle Seiten dessechseckigen Schnitts haben oensichtlich die Lnge22a, wenna die Lnge einer Kante bezeichnet.Der angegebene Schnitt ist auch tatschlich eben, da alle Abstnde der Eckpunkte des Sechsecks vomoberenrechtenvorderen (oder unterenlinkenhinteren) Eckpunkt des Wrfels untereinander gleich,nmlich52a sind.Aufgeschrieben und gelst von Eckard SpechtLsung 011114:Beweis:NennenwirdieTeilchen,indiedasDreieckP1P2P3durchPzerlegtwird, A1, A2, . . . , A6,diegesamte Flche seiA. Dann gilt, da sich die Flcheninhalte von Dreiecken mit gleicher Hhe wie die zuge-hrigen Grundseiten verhalten:x =P1PPQ1=A1 +A2A3=A5 +A6A4=AA3A4A3 +A4,y=P2PPQ2=A3 +A4A5=A1 +A2A6=AA5A6A5 +A6,z=P3PPQ3=A5 +A6A1=A3 +A4A2=AA1A2A1 +A2.PP1P2P3Q1Q2Q3A1A2A3A4A5A6Betrachten wir nun die TeildreieckeP1P2P, P2P3P, P3P1P, deren FlcheninhalteA1 + A2, A3 + A4bzw.A5+A6 betragen und deren Summe A ist, so ist nach den obigen Gleichungen oensichtlich, dass wenigstenseines der VerhltnisseA1 +A2A=11 +z,A3 +A4A=11 +x,A5 +A6A=11 +y(1)1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 55http://www.olympiade-mathematik.de(deren Summe 1 ergibt) nicht grer und eines nicht kleiner als13 ist. Dabei ist der Fall, dass alle Verhltnissegleich13 sind, eingeschlossen. Diese Aussage ist nach elementarer Umformung der Gleichungen (1) quivalentdamit,dasswenigstenseinederGrenx, y, znichtgrerals2undwenigstenseinenichtkleinerals2ist.Aufgeschrieben und gelst von Eckard SpechtLsung 011115:a) (Bild a) Fr einen Wrfel mit den Abmaen3 3 3 haben8 kleine Eckwrfel (E) drei bemalte Flchen,12 kleine Kantenwrfel (K) zwei bemalte Flchen,6 kleine Flchenwrfel (F) eine bemalte Flche und1 kleiner Innenwrfel keine bemalte Flche.b) (Bild b) Fr einen Wrfel mit den Abmaen4 4 4 haben8 kleine Eckwrfel drei bemalte Flchen,12(4 2) = 24 kleine Kantenwrfel zwei bemalte Flchen,6(4 2)2= 24 kleine Flchenwrfel eine bemalte Flche und(4 2)3= 8 kleine Innenwrfel keine bemalte Flche.a)EKEKFKEKEb)c) Fr einen Wrfel mit den Abmaenn n n haben8 kleine Eckwrfel drei bemalte Flchen,12(n 2) kleine Kantenwrfel zwei bemalte Flchen,6(n 2)2kleine Flchenwrfel eine bemalte Flche und(n 2)3kleine Innenwrfel keine bemalte Flche.Beweis: Kleine Wrfel mit drei bemalten Flchen liegen genau an den Ecken des groen Wrfels. DaeinWrfelimmer8Eckenhat,gibtesfrjedeGredesWrfelsimmer8kleineWrfelmitdreibemalten Flchen.Kleine Wrfel mit zwei bemalten Flchen liegen genau auf den Kanten des groen Wrfels, aber nichtauf den Ecken. Eine Kante eines(nn n)-Wrfels istn kleine Wrfel lang. Dazu gehren auch diezweiEckwrfel.DamiterhltmanfrjedeKantedesWrfelsn 2kleineWrfelmit2bemaltenFlchen. Da ein Wrfel immer 12 Kanten hat, gibt es fr einen(nn n)-Wrfel immer12(n 2)kleine Wrfel mit zwei bemalten Flchen.Kleine Wrfel mit einer bemalten Flche liegen auf den Seiten des groen Wrfels, aber nicht auf denKanten.EineSeiteeines(nn n)-Wrfelsistn2kleineWrfelgro.Dazugehrenauchdievier1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 56http://www.olympiade-mathematik.deKanten. In jeder Dimension mssen also 2 Wrfel abgezogen werden. Damit erhlt man fr jede Seitedes Wrfels (n2)2kleine Wrfel mit einer bemalten Flche. Da ein Wrfel immer 6 Seiten hat, gibtes fr einen(nn n)-Wrfel immer6(n 2)2kleine Wrfel mit einer bemalten Flche.Kleine Wrfel mit keiner bemalten Flche liegen im Inneren des Wrfels. Der (nnn)-Wrfel bestehtaus n3kleinen Wrfeln. Dazu gehren auch die sechs Seiten. In jeder Dimension mssen also 2 Wrfelabgezogen werden. Damit erhlt man fr das Innere des Wrfels(n 2)3kleine Wrfel. Damit gibtes fr einen(nn n)-Wrfel immer(n 2)3kleine Wrfel mit keiner bemalten Flche.Zur Probe werden alle ermittelten Anzahlen addiert:8 + 12(n 2) + 6(n 2)2+ (n 2)3= n3,in bereinstimmung damit, dass der Wrfel mit den Abmaen nnn aus genau n3kleinen Wrfelnbesteht.Aufgeschrieben und gelst von Korinna Grabski1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 57http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade1. Stufe (Schulolympiade)Klasse 12 - 13LsungenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Lsung 011211:Da fr 45 die Primzahlzerlegung45 = 32 5 gilt, ist zu zeigen, dass die Summe2139+ 3921durch32und5teilbar ist.DieletzteZiervon21nistfrjedesnatrlichengleich1,unddieletzteZiervon392n+1istfrjedesnatrlichen gleich 9. Daher ist die letzte Zier der Summe gleich 0 und die Summe damit durch 5 teilbar.Wegen21 = 37 und39 = 313 ist sowohl2139als auch3921durch32teilbar und damit auch die Summe.Also ist2139+ 3921durch 45 teilbar. Bemerkung: Wegen21 1 (mod 20),39 1 (mod 20) ist2139+ 3921 139+ (1)21 0 (mod 20), undwegen2139+ 3921= 321(739 318+ 1321) ist2139+ 3921sogar durch321 20 teilbar.Aufgeschrieben von Burkhard Thiele Quelle: (2)Lsung 011312:Z1Z2B1B225 km26 km (18 ) 24 km (10 )20 km ( 3). x.x.x.xDie von der i. Ziegelei Zizur j. Baustelle Bj(i, j = 1, 2)zutransportierendenMengenanZiegelnseienzij, insbesonde-resei z11=x(alleMengenangabeninMillionenStck). DanngiltgemAufgabenstellung: z12=10 x, z21=18 xundz22=x 3.Dabeimssenallezij 0sein;dieseBedingungenfhren auf die Ungleichungen3 x 10. (1)NunstellenwirdieKostenfunktionauf, diedieSummeallerProdukteausAnzahl zutransportierenderZiegel mal jeweilige Entfernung ist:f(x) = 25 km x + 24 km (10 x) + 26 km (18 x) + 20 km (x 3)= 5 km x + 648 kmMin.Dies ist eine lineare Funktion mit negativem Anstieg, die ihren Minimalwert wegen (1) folglich an der rechtenIntervallgrenzex = 10 annimmt. Daraus ergibt sich:z11= 10,z12= 0,z21= 8 undz22= 7.Aufgeschrieben und gelst von Eckard SpechtLsung 011313:Wir haben es hier mit Variationen mit Wiederholung zu tun, denn wir wollen k, nicht notwendig verschiedeneElemente aus der Menge der erstenn natrlichen Zahlen auswhlen und in einer Reihe aufschreiben (also1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 58http://www.olympiade-mathematik.demitBeachtungderReihenfolge). Dabei habenwirfrjededer kStelleninderReihenMglichkeiten,demnach ist die gesuchte AnzahlV (n, k) gegeben durchV (n, k) =nnn n. . = nk.k-malSomit lassen sicha) V (2, 3) = 23= 8, b) V (3, 3) = 33= 27, c) V (4, 3) = 43= 64 verschiedene dreistellige Zahlen bilden.d) Fr vierstellige Zahlen nden wir analog24= 16,34= 81 bzw.44= 256 verschiedene Lsungen.e) Haben wir dagegenn Ziern zur Verfgung, so lassen sich- n Zahlen mit vier gleichen Ziernaaaa angeben,- 4n(n1) Zahlen mit drei gleichen Ziern aaab angeben (n Mglichkeiten, die Zier a auszuwhlen,n 1 Mglichkeiten die Zierb auszuwhlen und 4 Pltze, an denenb stehen kann),- 3n(n 1) Zahlender Formaabbangeben(nMglichkeiten, dieZier aauszuwhlen, n 1Mglichkeiten die Zierb auszuwhlen und 3 Mglichkeiten fr die Platzwahl der beiden Paareaa bzw.bb),- 6n(n1)(n2) Zahlen der Form aabc angeben (n Mglichkeiten, die Zier a auszuwhlen, n1Mglichkeiten die Zier b auszuwhlen, n2 Mglichkeiten die Zier c auszuwhlen und _42_ = 6Mglichkeiten fr die Platzwahl der Ziernb undc bzw. der Zierna unda),- schlielichn(n 1)(n 2)(n 3) Zahlenabcd mit vier verschiedenen Ziern angeben.Die Gesamtzahl ist alson + 4n(n 1) + 3n(n 1) + 6n(n 1)(n 2) +n(n 1)(n 2)(n 3) = n4.Aufgeschrieben und gelst von Eckard SpechtLsung 011314:I. Konstruktion:(Bild a) Das HilfsdreieckAMB kann aus den gegebenen Stcken konstruiert werden, denn PunktMliegt auf dem Kreisk1, der ber der SehneAB=c derjenige geometrische Ort aller Punkte ist, frdie BMA = gilt.Sei fernerLMNdas Seitenmittendreieck von ABC. Dann istALMNnach den Strahlenstzen einParallelogramm und somitAL=MN=b2, d. h., ein zweiter geometrischer Ort frMist der Kreisk2 mit dem Radiusb2umN.a)A BCL MNPk1k2b)A BCLMNk1k21. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 59http://www.olympiade-mathematik.deII. Beweis:Wegenc2, alsoc BMA) auch die grere Seite gegenberliegt.Die Aufgabe ist also nur lsbar, wenn beide Kreise Punkte gemeinsam haben. Gewhnlich sind dieszwei Lsungen, die auch zu zwei nichtkongruenten Dreiecken ABC fhren. Berhren sich beide Kreisevon innen, gibt es nur eine Lsung (Bild b).Hier wirdvom RadiusMNhalbiert und wegenMN |ACsowieMN ABisttan =c/2b/2=cbund mithinc = b tan2. In allen anderen Fllen kann man inNeine Senkrechte aufAB errichten, diek1inPschneidet. Dann gilt nach dem Peripheriewinkelsatz= BMA = BPA undMN=b2 93 024 gilt 7 < n < 20.Da5keinTeilervon93 024ist, darf nbei Divisiondurch5nurdenRest1lassen. Eskommtalsonur1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 69http://www.olympiade-mathematik.den= 11, 16 in Frage. Wegen93 024=25 32 1719 mssen 17 und 19 unter den Zahlenn,n + 1,n + 2undn + 3 vorkommen. Damit istn = 16.Probe:16171819 = 93 024. Aufgeschrieben und gelst von Christiane CzechLsung 010925:Das Dreieck aus den Seitena1 +a2,b1 +b2,c1 +c2 ist zu den beiden ursprnglichen Dreiecken hnlich.a) GeometrischerBeweis: In Bild a) sind beide DreieckeA1B1C1undA2B2C2zu sehen, die, wenn siehnlichzueinanderseinsollen, untereinanderjeweilsgleicheInnenwinkel habenmssen. InBildb)werdensieals AFEund FBDsoaneinandergesetzt, dass A, FundBauf einerGeradenzuliegen kommen. Werden nun die StreckenDFentlangFEundEFentlangFD parallel verschoben,so ist das entstehende ViereckEFDCoenbar ein Parallelogramm, die PunkteA,E,Cbzw.B,D,Cliegen wegen gleicher Innenwinkel der DreieckeAFEundFBDjeweils auf einer Geraden und esgilt:ACB= ECD = AEF= FDB.DamithatdasDreieckABCdiegefordertenSeitenlngena1+ a2, b1+ b2, c1+ c2unddieselbenInnenwinkel wie die gegebenen Dreiecke. a)A1B1C1A2B2C2a1b1c1a2b2c2b)A FEBDCa1 b1c1a2a1b2b2c2b) Arithmetischer Beweis: Nach Voraussetzung sind beide Dreiecke hnlich, also gilt:a2a1=b2b1=c2c1.Nach Addition von 1 folgt daraus1 +a2a1= 1 +b2b1= 1 +c2c1=a1 +a2a1=b1 +b2b1=c1 +c2c1.Die letzte Gleichung besagt, dass auch das aus den Summen der Seitenlngen gebildete Dreieck diesenhnlich ist. Aufgeschrieben und gelst von Carsten Balleier1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 70http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade2. Stufe (Kreisolympiade)Klasse 10LsungenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Lsung 011021:Die produzierte Energiemenge E (in Mrd. kWh) lt sich, wenn eine gleichmige Steigerung vorausgesetztwird, mit linearen Funktionen beschreiben,diejenige der Sowjetunion istESU= 900 + 180x,die der USAEUSA= 1 475 + 75,5x,wobeix die Anzahl der Jahre nach 1970 ist. Die Energieproduktion beider Lnder ist gleich, wennESU= EUSA, also900 + 180x = 1 475 + 75,5xoder nach Umstellenx 5,5 gilt. Dies wird somit im Jahre 1976 der Fall sein.Aufgeschrieben und gelst von Christiane CzechLsung 011022:a) Bei Einstellung1wirdmansoeinspannen, daainHub-richtung liegt. Man bentigt fr eine Flche601,5= 40 Hbe,also4046=2023 min reine Arbeitszeit.Bei Einstellung2 spannt man so ein, dassb in Hubrichtungliegt. Man bentigt dann1201,5= 80 Hbe, also eine Arbeits-zeit von80108=2027 min.Damit ist Einstellung2 rationeller.abcb) Bei Einstellung1whltmandieEinspannungwieoben; manbraucht34Hbe, also1723 min. BeiEinstellung 2 whlt man ebenfalls die Einstellung wie oben und braucht 100 Hbe, also eine Arbeitszeitvon2527 min. Hier ist damit Einstellung 1 rationeller.Aufgeschrieben und gelst von Christiane CzechLsung 011023:Nein, es ist nicht mglich, ein beliebiges ungleichseitiges Dreieck in zwei kongruente Dreiecke zu zerlegen.1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 71http://www.olympiade-mathematik.dea)A BCD Eb)A BCDEBeweis:Zunchst ist festzustellen, dass der Schnitt durch das Dreieck ABC durch einen der Eckpunkte gehen muss,da ansonsten ein Viereck entsteht.Angenommen, ABCsei spitzwinklig(Bilda). DannerzeugtjedergeradlinigeSchnittdurcheinenEck-punkt,hierC,andergegenberliegendenSeiteABzweiWinkel,vondenenentwederbeiderechtwinklig(CDA = CDB= 90) oder einer spitz- und der andere stumpfwinklig (CEA < CEB) sind.Im ersten Fall knnen die DreieckeCDA undCDBnicht kongruent sein, da ihre Hypotenusen nach Vor-aussetzung ungleich lang sind; im zweiten Fall entsteht nur ein stumpfer Winkel, der keinen Partner imanderen Teildreieck hat.IstdaszuteilendeDreieckABCdagegenstumpfwinklig(Bildb),soerzeugteinSchnittdurcheinenderEckpunkte, an denen spitze Innenwinkel vorliegen, hierAD, auf der gegenberliegenden Seite zwar einenstumpfen Winkel, der aber stets grer als der stumpfe Innenwinkel in ABC ist. Bei einem Schnitt durchden Eckpunkt mit dem stumpfen Innenwinkel, hierCE, gilt bezglich der rechten Winkel dasselbe wie imerstenFall.SelbstwenndabeieinstumpferInnenwinkelzustandekommt,hier AEC,kanndiesernichtgleichdemverbleibendenWinkel ECBsein, weil dazuzwei SeitendesDreiecksparallel seinmssten(AB | BC), was nicht geht.Es ist somit nicht mglich, ein beliebiges Dreieck in zwei kongruente Dreiecke zu zerlegen. Aufgeschrieben und gelst von Eckard SpechtLsung 011024:A BCDEOmKonstruktion:(Bild) O. B. d. A. sei AB die krzeste der Seiten des Dreiecks ABC. Wir whlenauf der Mittelsenkrechten m der Seite AB einen Punkt O derart, dass ein KreismitMittelpunkt OdurchdieEckpunkteAundBgehtundweiterhinnochdiebeidenanderenSeitenindenPunktenDbzw. Eschneidet.DasDreieckDEC ist dann dem ursprnglichen Dreieck hnlich. Die krzeste Seite als SehnedesKreisesauszuwhlen, garantiertdabei, dassdieSchnittpunkteDundEtatschlich existieren.Beweis:ABDEist ein Sehnenviereck, in dem sich gegenberliegende Winkel stets zu einem Gestreckten ergnzen.Also gilt:CAB= 180BDE= CDE,CBA = 180AED = CED.Das abgeschnittene Dreieck DEC hat somit dieselben Innenwinkel wie das ursprngliche Dreieck ABC undist diesem daher hnlich. Auerdem liegen sich gleiche Winkel stets gegenber, so dass fr alle nichtgleich-schenkligen, also beliebigen DreieckeAB ED gilt. Aufgeschrieben und gelst von Eckard Specht1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 72http://www.olympiade-mathematik.deLsung 011025:a) Die Anzahl der Ziern ist gleich der kleinsten ganzen Zahl, die grer ist alslog10 9(99)= 99 log10 9.Wegen99= 387 420 489 undlog10 9 0,954 243 hat9(99)somit rund369 700 000 Stellen.b) So ein Streifen mte ungefhr369 700 0002 mm = 739 400 000 mm = 739,4 kmlang sein.c) Da99eine ungerade Zahl ist, endet die Zahl wegen9(99) (1)(99) 1 9 mod 10auf die Zier 9.Aufgeschrieben und gelst von Christiane Czech1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 73http://www.olympiade-mathematik.deOJM1. Mathematik-Olympiade2. Stufe (Kreisolympiade)Klasse 11LsungenHinweis: DerLsungswegmitBegrndungenundNebenrechnungensoll deutlicherkennbarinlogischundgrammatikalischeinwandfreienStzendargestelltwerden.ZurLsungsgewinnungherangezogeneAussagensind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge-meinschaften bekannt ist, gengt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzufhren.Lsung 011121:Es gibt noch andere Zahlentripel, die die Bedingungena2+b2= c2undc = b + 1 erfllen:a2+b2= (b + 1)2= b2+ 2b + 1,= a2= 2b + 1, (1)= b =a212. (2)Aus(1)lsstsichleichterkennen,dassa2unddamitaeineungeradeZahlseinmuss.EinTripel (a, b, c)mit den geforderten Eigenschaften kann somit schnell gefunden werden, indem mana eine ungerade Zahlzuweist und b mittels (2) berechnet. c ist dann um 1 grer als b. Es lsst sich also fr jede beliebige ungeradenatrliche Zahla ein derartiges Tripel bestimmen.Aufgeschrieben und gelst von Korinna GrabskiLsung 011122:a) Die Bedingungen fr das Hchstma lauten: l + 2d 100 cm undl 80 cm. Damit erhlt man frdas Volumen eines Zylinders:V=4d2l 4d2(100 cm2d) =4100 cm d22d3.Die notwendige Bedingung fr ein Maximum istV(d) = 0, alsoV(d) =2100 cm d 32d2= 0,somit d1= 0 und d2=1003cm. Die erste Lsung entfllt, da das Volumen dann null wre. Die zur zwei-ten Lsung gehrige maximale Lnge istl =1003cm, das entsprechende VolumenV= 29 089 cm3. Esbleibt zu zeigen, dass die gefundene Lsung tatschlich ein Maximum ist, wofr V(d) < 0 hinreichendist:V(d) =2100 cm3d = 50 cm < 0.Es handelt sich also wirklich um ein Maximum. Das Hchstvolumen der Sendung betrgt29 089 cm3.In diesem Fall betragen Durchmesser und Lnge1003cm.1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 74http://www.olympiade-mathematik.deb) Die Bedingungen fr das Mindestma schlieen einen Durchmesser von0 cm nicht aus, was auf einentheoretischenMindestwertdesVolumensvon0 cm3fhrt. NachdererstenBedingungbetrgtdieLnge dann mindestens17 cm.Aufgeschrieben und gelst von Korinna GrabskiLsung 011123:BezeichnenwirdieAnzahldergekauftenTieremita1, a2, a3, a4(frHerrnMeier,Krause,SchulzeundFranke) bzw. mitb1,b2,b3,b4(fr die Frauen in dieser Reihenfolge), wobeiai, bi N ist. Dann gibt jederder Mnnera2iund jede der Frauenb2iDM aus und es gilt:a2i b2i= (ai +bi)(aibi) = 96 = 25 3 = 482, 323, 244, 166, 128.Damit kommen folgende Paare(ai, bi) in Betracht:(25, 23), (14, 10), (11, 5), (10, 2).DieAussageMeierkauftsovieleTierewieseineSchwgerzusammen kannalsonurbedeuten,dassdieMeiers das Paar(25, 23) sind und die Mnner der Paare(14, 10) und(11, 5) seine Schwger.Die Zahl 10 taucht zweimal auf, also ist das Paar(10, 2) den Krauses zuzuordnen und die Frau des Paars(14, 10) ist seine Schwgerin.Aus Schulzes kaufen zusammen doppelt so viel wie Krauses folgt, dass das Paar (14, 10) die Schulzes sind,und schlielich(11, 5) die Frankes. Herr Meier ist also sowohl mit Herrn Schulze als auch mit Herrn Frankeverschwgert.Das bedeutet im ersten Fall, dass entweder Frau Meier eine geborene Schulze oder Frau Schulze eine geboreneMeier ist. Letzteres ist aber ausgeschlossen, da Frau Schulze eine geborene Lehmann ist, daher: Frau Meierist eine geborene Schulze. Frau Franke ist eine geborene Meier. Frau Krause ist eine geborene Schulze.Aufgeschrieben und gelst von Eckard SpechtLsung 011124:I. Analyse:BetrachtenwirdasDreieckAMC, soistMBwegenAB=BCeine der Seitenhalbierenden. Es gilt also, ein Dreieck aus zwei Sei-ten und der eingeschlossenen Seitenhalbierenden zu konstruieren.Dazuergnzenwir AMCzueinemParallelogrammAMCN, inwelchem sich die DiagonalenACundMNbekanntermaen stetshalbieren. DasTeildreieckAMNkannsomitausdengegebenenStcken hergestellt werden.A B CMNaabbccII. Konstruktionsbeschreibung:Wir konstruieren das DreieckAMNaus den Seitenlngena,c und2b nach Kongruenzsatz SSS. DerMittelpunkt der StreckeMNist dannB undAB verdoppelt liefert PunktC.III. Beweis:Nach obiger Konstruktion istAMNein Dreieck, in demAM=a,AN=c undMB=BN=b giltsowieABeine Seitenhalbierende ist. DaCdurch Verdopplung vonABentsteht, gilt die KongruenzABN = CBM (SWS), d. h. AN= MC= c. Die Punkte A, B und C haben damit die gefordertenAbstnde vonM. IV. Konstruktion:1. Olympiade - Jahresband - Saison 1961/1962 75http://www.olympiade-mathematik.deDas DreieckAMNexistiert genau dann, wenn die Dreiecksungleichungen erfllt sind:a +c > 2b undc + 2b > a. Das fhrt auf die gesuchten Bedingungen fr die Lngeb:12(a c) < b 164. (1)Andererseits ist jedoch u(1u) =14_u 12_214; analoge Ungleichungen gelten fr v und w. Multipliziertman diese drei Ungleichungen, zeigt sich, dass (1) nicht gilt. Somit war die obige Annahme falsch, und dieBehauptung ist bewiesen. Aufgeschrieben und gelst von Eckard SpechtLsung 011243:a) Der bisherige Abfall besteht aus zwei rechtecki-gen Flchen, wobei die grere1000 m600 m = 400 m lang und1,42 m0,5 m = 0,92 mbreit istund somit eine Flche von368 m2hat.Die kleinere Flche ist600 m lang und0,02 mbreit, entsprechend12 m2.ll l 1000 m 2 1000 m1420300300300500Der Abfall betrgt also insgesamt 380 m2, gemessen an der Gesamtche von 1420 m2sind das 26,8 %.b) DadieGesamtbreitevorgegebenist, kannzurOptimierungnurdieGesamtlngel variiertwerden.Dazu werden die Bleche mit einer Breite von500 mm wie im Bild gezeigt auf zwei Bahnen aufgeteilt,wobei das krzere Stck eine Lnge von 1 000 ml hat (eine Aufteilung auf drei Bahnen kommt wegen3500 mm>1 420 mm nicht in Betracht). Gleichzeitig wird der verbleibende Platz fr zwei Bahnender schmaleren Bleche genutzt, die dann jeweils eine Lnge von2l 1 000 m haben.Aus der gegebenen Gesamtlnge der schmaleren Bleche folgt nun2 (2l 1 000 m) +l = 5l 2 000 m = 1 800 mund darausl = 760 m.c) Der Abfall betrgt jetzt 240 m0,1 m = 24 m2plus 760 m0,02 m = 15,2 m2, also insgesamt 39,2 m2.Das sind nur noch2,8 % der Gesamtche.Aufgeschrieben und gelst von Eckard Specht1.