1

Physik IV: QuantenmechanikHistorische Höhepunkte:

1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum)Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung

1905 Einstein Einführung des Lichtquants (Photon), E h Erklärung des Photoeffekts

1907 Einstein Gitterschwingungsquanten (Phononen), Evib h Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper

1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h Erklärung des Wasserstoffspektrums

1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p ħ kVorhersage von Materiewellen

1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik

Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik

Geburt der modernen Quanten(feld)theorie

VL Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie

2

1. Die Plancksche Quantenhypothese

1.1. Wärmestrahlung

Wärmestrahlung Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern

Beispiel: Wärmestrahlung unserer Sonne

Beispiel: Kosmische Infrarot-Hintergrundstrahlung vom Universum Licht von der Materie/Antimaterie-Vernichtung wurde 3…4105 Jahre nach dem Urknall freigesetzt als Kerne und Elektronen neutrale Atome bildeten

Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden

3

1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung

Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen

Typ 1: Diskrete Frequenzspektren (Linienspektren)• bei atomaren molekularen Gasen nicht zu großen Drucks

unabhängige Partikel• T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur

Bohrsches Atommodell

Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren• bei festen flüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks, dichten Plasmen• in charakteristischer Weise T-abhängig

Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma

4

Emissionsvermögen:

Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion

Strahlungsrichtung )

dF

d

td

WddPE

von dF in d emittierte Strahlungsleistung

d,Fd

Beobachtung: E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit abschwarze Oberfläche E großspiegelnde weiße Oberfläche E klein

Definition:

dFd

PdE EEmissionsvermögen:

PE Geometriefaktor E

Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel

TEE

5

Kirchhoffscher Strahlungssatz: TATKTE TATKTE

Integrales Absorptionsvermögen:

TAA d

dA

absorbierte Strahlungsleistung

auftreffende Strahlungsleistung

Gedankenexperiment:

unterschiedl. Oberflächen ①, ② 2

.a.i

1 PP TT

① ②

idealer Spiegel

Vakuum

P1 P2

thermisches Gleichgewicht

2. Hauptsatz (Thermodynamik) 122211 PA1PPA1P

unabhängig von Oberfläche TPTATPTA 1221 Geometriefaktor

, EkP 2geom2 1geom1 EkP

TKTA

TE

TA

TE

2

2

1

1

6

Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektromagnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A 1.

Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissionvermögen für thermische Strahlung.

Kirchhoffscher Strahlungssatz: TATKTE TATKTE

7

Technische Realisierungen von schwarzen Körpern:

a) schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, kaum Reflexion

b) Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden

Schwarzkörperstrahlung Hohlraumstrahlung universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur

Praktische Realisierung:

Heizung

Thermoelement

Wandtemperatur T

V

kleines Loch

E*

Prinzip:

8

1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung

Strahlungsfeld Überlagerung ebener Wellen

Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0

a) Energiedichte eines Strahlungsfeldes

3mJ2

00 wΩdωdEεw

Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00

ωdEεπ4w 200 ωdEεπ4w 200

π4

w

Ωd

wd

π4

w

Ωd

wd

θcos

cosθsinsinθsin

c

ωk

θcosddd

9

Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes

Hzm

Jνν

200π2

ω200ν 3wΩdEεπ2ΩdωdνEεw

42 mJ

λλ

200λ

cπ2ω

cπ2200λ wΩdEεΩdωdλEεw

www νcν

νλc

νcλλ

2

2

λdwνdw w λν

Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00

π4

w

Ωd

wd νν

π4

w

Ωd

wd νν

π4

w

Ωd

wd λλ

π4

w

Ωd

wd λλ

Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0

10

b) Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes

ωdEcε

IωdHEωdSI

200

mW

00 2

n

dFnk

Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0

ωdEεπ4w 200 ωdEεπ4w 200 wcIπ4 wcIπ4

Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00

11

c) Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche

Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig Quellfläche heißt Lambert-strahler. Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler!

Die Strahlungsdichte S* ist die pro Raumwinkel und projizierter Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung

td

Wdd

dF

Steradm

WS

θcosFdΩdtd

WdS

2

dF

dFcos

Analog: Spektrale Strahlungsdichten S νdSd

ν

S λdSd

λ

12

td

Wdd

dF

Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes:

Ωd

wdc

ΩdVd

Wdc

θcosFdΩdtd

WdS

dF

c dtθcosFdtdcVd

Analog: Ωd

wdcS ν

ν Ωd

wdcS λ

λ

Isotropes Quellfeld:

π4

w

Ωd

wd λν,λν, cwSπ4 λν,λν,

cwSπ4 λν,λν,

13

Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche:

Ωd 222

r

θcosFd

td

Wd 1

dF1

1

.

dF2

2

r

QuelleDetektor

r

θcosFdFdθcosSΩdFdθcosS

td

Wd

22

21111111

Bestrahlungsstärke (Intensität) am Detektor:

FdθcosStdFd

Wd

1

22

F

1r

θcos11

2

1 FdθcosStdFd

Wd

1

22

F

1r

θcos11

2

1

14

Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche:

φdθcosdθcosSFd

FdθcosSFdtd

Wd

2

2

22

F

11

F

2r

θcos11

1

Lambertstrahler .constS1

dF1

r r ( , )

2

dF2θcosdφdrθcosFd 2

22

φdθcosdSFdtd

Wd

2F

2112

11 Fdθcos1Sπtd

Wd 1m

21

1 Fdθcos1Sπtd

Wd 1m

21

1 π0,2φ

mθ0,θ

Emission in gesamten Halbraum:

( m ) FdSπ

td

Wd 11

Halbraum

1 FdSπtd

Wd 11

Halbraum

1

15

1.1.3. Hohlraumstrahlung

Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V. Die Wände befinden sich im thermischen Gleichgewicht (Temeratur T).

Folgerung 1:

Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle:

td

νWd

td

νWd EA

td

νWd

td

νWd EA

absorbiert emittiertFolgerung 2: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist isotrop.Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht Temperatur T.

Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop:

TdF

Intensität groß Intensität

klein

Drehung

Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

Intensität klein

T T dF

Intensität groß

16

Folgerung 3: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist auch homogen.

Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht Temperatur T.Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität:

TdF

Intensität groß

Intensität klein

Verschiebung

Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

TdF

Intensität groß

Intensität klein

T T

17

Folgerung 4:

Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung

T dF

d

td

Wd A

td

Wd E

νdΩdFdSA ννtdWd A

νdΩdFdE νtdWd E

Thermische Emission und Absorption eines Körpers der Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen Hohlraumstrahlung verknüpft: STK νν

STK νν

ASE ννν

td

dW

td

dW EAKirchhoffsches Strahlungsgesetz

18

Folgerung 5: Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung

Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig (V )

verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel, Kantenlänge a

a

aa

Beachte: Es gibt 2 Polarisationen pro Mode

Physik III Eigenfrequenzen der stehenden Wellen (Moden)

0,0,0\j,m,n,jmnν 30

222a2

cnmj ℕ

Kubischer Hohlraumresonator

19

νν3a

nmj

jdmdnda

1lim2

ννj,m,n

3a

nmj

1a

1lim2νN

# Polarisationen j,m,nr

8

π4

νN 3

cν

3π8 νN 3

cν

3π8

ννn 2

c

π8νdNd

3Spektrale Modendichte

Modendichte N() Zahl der Moden in [ 0 , ] pro Volumen

Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung

a

aa

0,0,0\l,m,n,jmnν 30

222a2

cnmj ℕ

ν

0

2

0j,m,n3a

ca2

rdrΩda

1lim2

3ν

c

a2

3

1

20

1.1.4. Das Plancksche Strahlungsgesetz

ννn 2

c

π83Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung:

Mittlere Energie der Moden: TWν

TkTw 3

2

c

νπ8ν TkTw 3

2

c

νπ8ν TkS 2

2ν

c

ν2π4cw

ν TkS 2

2ν

c

ν2π4cw

ν

Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz

TkdWexpWdWWWρTW0

νTkW

νTk1

0

νννννν

Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung:

TWνnTw νν TWνnTw νν

Experiment nur OK für 0 (z.B. Infrarot, T 5000 K)

Ultraviolett-Katastrophe:

νdTwTwνTw ν2

ν

Klassisches Modell: W folgt Boltzmann-Verteilungsgesetz

νBTkW

Tk1

νν W0undkkmitexpW ν

21

Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen der Wandatome gekoppelt: νhnW ν νhnW ν n ℕ

,,Hilfsgröße” h: Plancksches Wirkungsquantum: sJ10626,6h 34

Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagneti-schen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie W n h entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz im Hohlraum.

Postulat: ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik

Boltzmannsches Verteilungsgesetz Tkνh

TkW

νν nexpexpWp ν

Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n:

0j

βνhj

βνhn

ν

e

enp

Tk

1β

Tk

1β mit

22

0j

βνhj

βνhn

ν

e

enp

Tk

1β

Tk

1β νhnTWν

Also:

0j

βνhj

0n

βνhn

ν0n

νν

e

eνhnTWnpTW

2βνh

βνh

βνh0n

βνhn

0n

βνhn

e1

eνh

e1

1

βe

βeνhn

geometrische Reihe

βνhe1

1

1e

νh

e1

eνhTW

βνhβνh

βνh

ν

23

1e

νhTW

Tkνhν

1e

νhTW

Tkνhν

ννn 2

c

π8νdNd

3 ννn 2

c

π8νdNd

3 TWνnTw νν TWνnTw νν

Plancksches Strahlungsgesetz

1e

1

c

νhπ8Tw

Tkνh3

3

ν

1e

1

c

νhπ8Tw

Tkνh3

3

ν

1e

1

c

νh2w

π4

cS

Tkνh2

3

νν

1e

1

c

νh2w

π4

cS

Tkνh2

3

νν

1e

1

c

νh2S

c

νS

Tkνh3

5

ν

2

λ

1e

1

c

νh2S

c

νS

Tkνh3

5

ν

2

λ

Tkνh1e Tk

νh

Infrarot-Grenze: h ≪ k T (klassischer Grenzfall ,,h 0”)

TkνTw 2

c

π8ν 3 TkνTw 2

c

π8ν 3

Rayleigh-Jeans-Gesetz

Ultraviolett-Grenze: h ≫ k T Tkνh

Tkνh

e1e eνTw Tkνh

3

3

c

hπ8ν

eνTw Tk

νh

3

3

c

hπ8ν

Wiensches Strahlungsgesetz

Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums

24

1

10

100

0,1

0,01

1000

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

Tkchλ

34

5

ch

Tk2λS

Rayleigh-Jeans

Planck

Wien

25

MaxSlnMaxS λλ

0

5

10

15

20

25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tkchλ

34

5

ch

Tk2λS

1e

1

c

νh2S

Tkνh3

5

λ

1e

1

c

νh2S

Tkνh3

5

λ

Position des Maximums:

Tkνhx Abkürzung:

1elnxln5.constSln xλ

9651,4xe15xSln0 xλdxd

1ee

x5

λλdd

x

x

!

KTGHz1039651,4ν hTk

max KTGHz1039651,4ν hTk

max 2014,0λ KT

mm898,2Tkch

max 2014,0λ KT

mm898,2Tkch

max

.constKmm898,2λT max Wiensches Verschiebungsgesetz

26

x0

0.4

0.8

1.2

1.6

0 2 4 6 8 10

32

3

ch

Tkπ8νw

Gesamte Energiedichte:

1e

1

c

νhπ8Tw

Tkνh3

3

ν

1e

1

c

νhπ8Tw

Tkνh3

3

ν

xdxνdw hTk

1e133

hTk

c

hπ8ν x3

4

ch15

π8

01e

xch

Tkπ8 Tkxdw 33

5

x

3

3

4

4

ch15

π2π4

c TkwS 23

4

4151 π

Leistungsabgabe von Lambertstrahler (Fläche F) in Halbraum: S F

428

ch15

kπ24td

Wd KmW1067,5σ,TFσ 23

45 Stefan-Boltzmann-Gesetz

Stefan-Boltzmann-Konstante

Tkνhx Abkürzung:

27

Quantenmechanik

1e

1

c

νh2S

Tkνh3

5

λ

1e

1

c

νh2S

Tkνh3

5

λ

Anmerkungen:

• Experimentelle Messung des Hohlraumspektrums– Bestätigung der Planckschen Theorie– Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an

gemessene Spektren

• Vorgriff: De Broglies Geniestreich Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln (Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben?

Postulat: ωE ωE kp

kp

• Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?)

– Energie:

– Impuls: π2

h π2h ωνhE γ

|k||k|νhE|p| π2h

λh

c1

c1

γ

0m,cv γγ

28

1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern

1.2.1. Klassische Theorie

Erinnerung:Innere Energie eines Mols (NA Teilchen) einer Substanz: U

Molare spezifische Wärme C const.VT

UV

C const.VT

UV

Avogadrokonstante

1-atomige Gase f 3 (Translation: 3, Rotation: 0)

2-atomige Gase f 5 (Translation: 3, Rotation: 2)

mehratomige Gase f 6 (Translation: 3, Rotation: 3)

Festkörper f 6 (Ekin: 3, Epot: 3)

(Schwingungen der Gitteratome)

RC 23

V RC 2

5V

R3CV

R3CV

Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren Energie U.

kNR AGaskonstante

# Freiheitsgrade

RCTRU 2f

V2f

29

Experimenteller Befund:

0 1000 T [K]

3R

CVklassische Theorie

PbC

Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne Photonen

Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze Phononen

Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei• kleinen Temperaturen• Festkörpergitter aus leichteren Atomen• stark gebundenen Festkörpergittern

hohe SchwingungsfrequenzenDéjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ??

30

1.2.2. Das Einstein-ModellPostulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ):

• Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren (Eigenkreis-frequenz ) ist stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants .

• Bei Festkörpern ergibt sich aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie heißt Phonon. Ein Schwingungs-Zustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen:

ω

ωnE vib ωnE vib

Vorgriff: Quantenmechanisch korrekt für harmonische Oszillatoren:

macht hier keinen Unterschied (Glück gehabt)

ωnE 21

n ωnE 21

n

31

ωNA23

quantenmechanische Grundzustandsenergie

ω21

Mittlere Schwingungsenergie: Wie bei Hohlraumstrahlung TWν

1e

ω

1e

νhE

TEθ

Tkνhvib

k

ωE ωθ

Einstein-Temperatur

NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung

1e

θR3

1e

θkN3

1e

ωN3EN3U

TθE

TθE

ATθAvibA EEE

2

2

Tθ

V

V

1e

eR3

T

UC

TEθ

TEθ

E

Klassischer Grenzfall: T ≫ E

0 R3CV 0eR3C Tθ2

Tθ

VEE Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E

Experiment 0TC 3V

32

1.2.3. Das Debye-ModellEinstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt 1 FrequenzDebye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt Frequenz-Spektrum

2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung:

a a

a2vT

minmaxTνa2λ T

maxν

1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung:

a2vL

minmaxLνa2λ L

maxν

Effektive Grenzfreq.

Modellparametergν

1.1.3. Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: ν 2

c

π43

(c Phasengeschwindigkeit) νπ4νπ4νn 33L

3T v

32

v1

v22 νπ4νπ4νn 33

L3T v

32

v1

v22

a ≫ Atomabstand (wie bei Hohlraumstrahl.) 0νν Lmin

Tmin 0νν L

minTmin

Kontinuumsgrenzfall

a

aa

V

33

3g3

1v

π12 νV 3

Debye-Grenzfrequenz:

Debye-Temperatur:

31

A31

A

VN2

gVN

π43

g π6vωvν

gkh

gkD νωθ

νννn 0 νννn 0 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3v

32 νπ4νn 3v32

Planck Debye Einstein

0g

Normierung von n() im Debye-Modell:

A

ν

0

N3νdνnVg

# Schwingungsmoden

34

1e

νhTW

Tkνhν

1e

νhTW

Tkνhν

v

νπ12νn

3

2

v

νπ12νn

3

2

νdTWνnVU gν

0

ν νdTWνnVU gν

0

ν

g

Tkνh

3

3g

A

g

Tkνh

3

3

ν

01exp

ννπ4

N3

ν

01exp

νv

hπ12 νdhπ12 νdVU

31

A

VN

π43

g vν

xdT UTθ

01e

x4

θ

R9D

x

3

3D

xdT UTθ

01e

x4

θ

R9D

x

3

3D

kNRθ

A

k

νh

Dg

Spezifische Wärme:

D

2

Tθ

2T

θTθ3

3D

D

Tθ

3

3D

θ

01exp

expθ

θ

R9θ

01exp

θθ

R9xTθ

V

V θd θdTT

UC

)(

)(

)(

xd1e

ex

θ

TR9C

Tθ

02x

x43

DV

D

xd

1e

ex

θ

TR9C

Tθ

02x

x43

DV

D

Tkνh xSubst.

Tk

νh

x

3

3g

A

g

01e

x4

hTk

ν

Nh9 xd

35

xd1e

ex

θ

TR9C

Tθ

02x

x43

DV

D

xd

1e

ex

θ

TR9C

Tθ

02x

x43

DV

D

Klassischer Grenzfall: T ≫ D

0

3R

T

θ

3

1

θ

TR9xdx

θ

TR9xd

1x1

1x

θ

TR9C

3

D

3

D

Tθ

0

2

3

D

Tθ

02

43

DV

DD

Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D

Tθ

TRπ

5

12xd

1e

ex

θ

TR9C 3

3

D

4

02x

x43

DV

4154 π

Erweiterungen:

• Mehrere Grenzfrequenzen (z.B. für anisotrope Kristalle)

• Beachte Phonon-Dispersion in spektraler Dichte kωω

36

Rätsel: Freies Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei.

Klassische Erwartung: TkC 23

ElektronenV

Quantenmechanik: Elektronen besitzen den Spin ( Drall) 21

Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden.

Theorie des Fermigases (VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik) Die Dichte n() der Energiezustände wächst mit ½ an.

n()

F

T 0 K

voll besetzt

Fermi-Kante

Fermi-Energie

angeregtn()

F

kTkTnicht

anregbar

T 0

F ≫ kBZimmertemperatur nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante

37

1.3. PhotonenNewton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes nicht erfolgreichHuygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie erfolgreich

Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” (Licht-Korpuskel) schlagen Elektronen aus Elektrode 1.3.1. Der Photoeffekt

Experiment von Hallwachs (1887):

UV-LichtMetallplatte

Elektrometer

Plattenladung

negativ

positiv

neutral

Beobachtung

Entladung

keine Entladung

positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential”

38

Die Photozelle (Lenard, 1902)

Iph

Photo-strom

U

R

Strahlungsdichte S*

Photokathode

ElektronenVakuumröhre

Iph

UU0

Sättigung

Kompensations-Spannung

39

Befunde:

a) S* ↗ Iph↗

Wellenbild Korpuskelbild

✔ ✔ b) Sättigungsstrom unabhängig von U

sobald Raumladungseffekte klein✔ ✔

c) eU0 max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen abhängig von , nicht aber von S* ↯ ✔

Iph

UU0

Iph

U

S*

40

Wellenbild Korpuskelbild d) Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g

ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab.↯ ✔

Iph

Mat

eria

l 1M

ater

ial

2

g1 g2

S*

↯ ✔

Iph

UU0

Iph

U

S*

41

e) Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab.

e U0

g0

hαtan hαtan

Austrittsarbeit

Iph

UU0

Iph

U

S*

Wellenbild Korpuskelbild

↯ ✔

↯ ✔

42

f) Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung

Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode

Hohe Bestrahlungsintensität

Elektronendichte

Zeitverzögerung (Wellenbild)

Ws103eV2 192cmmW1I

215 cm10n sm100t

Iph

UU0

Iph

U

S*

Wellenbild Korpuskelbild

↯ ✔

43

Hypothese (Einstein, 1905; Nobelpreis 1912): Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.

νhEγ

Vakuum-Potential

E

0

Fermi-Kante

Leitungselektronen

EF

kinE νhE kin Einstein-Gleichung

Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge: h

ν g

hν g

chλ g

ch

λ g

44

Iph

UU0

Iph

U

S*

Messung von U0 als Funktion von h, νhEUe kin0 νhEUe kin0

e U0

g0

ν hg ν hg

Austrittsarbeit

hαtan hαtan

λ ]eV[nm1240ch

g λ ]eV[nm1240ch

g

Oberfläche eV g nm

Au 5,3 234 UV

Nb 4,3 288 UV

Cs 2,14 579 Visible

Ta / Cs 1,3 954 Near IR

Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden Quanteneffizienz typisch 25

45

Anwendung: Photomultiplier

Experiment: Korpuskelnatur des Lichts

Punktquelle (Spalt)

PM 0PM 1

PM 1

PM 2

PM 2

Hohe Intensität kontinuierlicher Photostrom in allen PMs

Kleine Intensität statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs

46

Moderner Detektor für Korpuskelstrahlung ( Teilchen):

LEP-Speicherring, CERN, Genf (1989-2000)

e e

GeV10050E GeV10050E

47

e e Ionisationsspur des positiven Myons

Ionisationsspur des positiven Myons

Ionisationsspur des negativen Myons

Ionisationsspur des negativen Myons

Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom

Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom

Absorptionssignal eines weniger harten Photons,

abgestrahlt vom

Absorptionssignal eines weniger harten Photons,

abgestrahlt vom

48

1.3.2. Der Comptoneffekt (Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927)

Blende

Photon-Detektor

Bragg-Kristall

(Monochromator)

Röntgen-Quelle

Blende Blende

Target-Material (Substanz mit schwach gebundenen

Elektronen in Atomhüllen)

0λ Ungestreute Strahlung

drehbarer Monochromator- /

Detektor-Arm

αλλ SS

Messprogramm: Für jeden fest eingestell-ten Streuwinkel drehe

Monochromator- / Detektor-Arm (), bis das Detektor-Signal

maximal ist.

49

Klassische Theorie:

E

0quasi-freies

Elektron in Atom

Schwingung des Elektrons Hertzscher Dipol

ebene Welle

S

Streuwellenlänge: S 0

Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, je härter (je kleiner ) die einfallende Strahlung ist.

50

Sk

pcE

kp

ωE

SS

SS

SS

pcE

kp

ωE

SS

SS

SS

Sωcπ2

Sλ

e

e

E

p

Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild:

schwach gebunden: EB ≪ E

quasi-frei, in Ruhe

0k

0ωcπ2

0λ

e

me

pcE

kp

ωE

γγ

0γ

γ

pcE

kp

ωE

γγ

0γ

γ

Physik 3 sinλ2λλ 2φ2

C0S sinλ2λλ 2φ2

C0S

m102,426λ 12cm

hC e

m102,426λ 12cm

hC e

Compton-Wellenlänge des Elektrons

51

λ,sinλ2λλΔλ cmh

C2φ2

C0S e λ,sinλ2λλΔλ cm

hC2

φ2C0S e

Bemerkungen:

a) Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫ me.

b) Compton-Formel experimentell bestätigt noch eine unabhängige Messung von h.

c) nur groß falls 0 ≲ OC

X- und -Strahlung:

2φ2

λλ

λΔλ sin2

0

C

0

keV511cmωE0

C

0

C

0 λλ2

eλλ

λch

0γ

d) Ein Photon mit 0 C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S . Hier:

CSC21802

C λ3λλ2sinλ2Δλ

52

e) Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen / Positronen (z. B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen) an weichen Photonen (z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7K-Hintergrundstrahlung).

AGN Cas ASchwarzes Loch mit Akkretionsscheibe

relativistischerJet

Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e.

λ,sinλ2λλΔλ cmh

C2φ2

C0S e λ,sinλ2λλΔλ cm

hC2

φ2C0S e

53

1.3.3. Der Mößbauer-Effekt (Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961)

Atomhülle/-kerne quantisierte Energieniveaus (Linienspektren)Beispiel: Fixiertes Atom

01 EEEΔνh

E

E0

E1 Lebensdauer T1

E1 e

Emission

EΔνh

E

E0

E1 Lebensdauer T1

E1

e

Resonanzabsorption

, 2 , E1 h Natürliche Linienbreite

T

1ω

1

T

1ω

1

ωe

EδT 11 EδT 11 ωI

T

1ω

1

T

1ω

1

ωa

ωI

54

Beispiel: Atomhülle Emission / Absorption im sichtbaren Bereich

eV1E γ Ο eV1E γ Ο 10ν

νΔ 10 10

ν

νΔ 10

Na-D-Linie:

Hz105ν

nm589λ14

8

ννΔ

7

102

Hz101νΔ

Beispiel: Atomkern Emission / Absorption im X / -Bereich

eVM1eVk10E γ ΟΟ eVM1eVk10E γ ΟΟ

57Fe-Linie:

13ννΔ 103

eVk14,4γFeFe

νFeCo5726Abregung

5726

e5726Einfang-K

5727

55

vM

eω

aω aω

Rückstoßeffekt bei freien Atomen: E

E0

E1

e

k,ωAbsorption:

MvM

kMkMk cv

21

cv

21

cω

cω

a

22a vMk

vMωω

a

221

a

M2

kωω

2a

a

M2

kωω

2

a

M2

kωω

2

a

E

E0

E1

e

k,ωEmission:

M

vMkk

vMωω

e

221

e

M2

kωω

2

e

56

M2

kωω

2

a

M2

kωω

2

a

M2

kωω

2

e

M2

kωω

2

e

2

22

ea cM

ω

M

kωωωΔ

cM

ω

ω

ωΔ

2

cM

ω

ω

ωΔ

2

Rückstoßeffekt:

Atomhülle: Na-D-Linie

ωe

ωI

a

.natωωΔ810

ωωΔ 10210

Emission / Reabsorption möglich

Co5727Atomkern:

.natωωΔ137

ωωΔ 103107,2

Reabsorption nicht möglich

ωe a

ωI

57

Rückstoßfreie Emission / Absorption (Mößbauer-Effekt):

Atom im Kristallgitter M MKristall 0ω

ωΔ

a) keine Phonon-Anregung (überwiegt bei T ≪ D)

b) Phonon-Anregung EG ea ωω

Gea EΔωω Messvorrichtung:

v ≲ O (1

ms) Emitter e

Absorber a

Detektor

ecv ν1ν

Dopplereffekt

Zählrate

v

e

ea

ννν

R cv

Anwendungen: • Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters• Kernstruktur (Quadrupolmoment)• Gitterdynamik (Phonon-Anregung)• Gravitationsrotverschiebung

58

1.3.4. Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 )

• 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung (X, ) hat Teilchencharakter• Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter?• Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man

Beugungsgitter her?• Max von Laue Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung!

Vakuumröhree

Röntgen-Strahlen

Kristall

Fotoplatte

Beugungsbild

v. Laue, Friedrich, Knipping (1912)

Resultat: a) Welle / Teilchen Dualität der e.m. Strahlung

b) Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur

59

Netzebenenschar

d

Glanzwinkel

Gitterpunkte punktförmige Streuer

konstruktive Interferenz einer Netzebene

d

Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: Bragg-Bedingungλmθsind2

,2,1m

, Messung von d

d , fest Monochromator für

Beispiel: Monochromatische Röntgenbeugung (Bragg-Reflexion)

keine Bragg-Reflexe; Medium wird optisch homogen. maxd2λ

Typischer Wert: dmax 51010 m Vergleich: vis 5107 m

60

ωE γ ωE γ kp γ

kp γ

Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter (Kristall-beugung...) als auch Teilchencharakter (Comptoneffekt,...). Das gilt auch generell für elektromagnetische Strahlung.

|p| λh

λπ2

γ |p| λ

hλπ2

γ

Kernreaktor

Neutronen-Absorber

Moderator Neutronen-Abbremsung

(Thermalisierung)

Kollimator

thermische Neutronen

Kristall

Detektor

T 300 K En 25 meV

ckeV7Em2p nnn m108,1 10

phn

Knüller: Laue-Reflexe wie bei Röntgenstrahlung mit 1,81010

m

Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter!

61

... und Elektronen ? Dito !

Hypothese: Alle ,,Teilchen” (Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ...) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeld-wellen” (elektromagnetisch, Gravitation, …) haben Teilchencharakter.

Quantentheorie Teilchen sind WellenQuantenfeldtheorie Kraftfeldwellen sind Teilchen