1 Pyramide im Würfel Grafischer Beweis für die Formel des Volumens einer Pyramide.
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Pyramide im Würfel
Grafischer Beweis für die Formel des Volumens einer Pyramide
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Pyramide im Würfel
Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.
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Pyramide im Würfel
Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.
Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.
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Pyramide im Würfel
Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.
Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.
Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ….
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Pyramide im Würfel
Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.
Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.
Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird seitlich zur 1. Pyramide geschoben, bis ….
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Pyramide im Würfel
Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten „a“.
Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also „a * a“ und der Höhe „a“ ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.
Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird seitlich zur 1. Pyramide geschoben, bis diese innerhalb der Würfelkontur Platz hat.
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Pyramide im Würfel
Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, …
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Pyramide im Würfel
Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese …..
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Pyramide im Würfel
Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat.
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Pyramide im Würfel
Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat.
Wenn alle drei Pyramiden in dem Würfel mit dem Volumen a * a * a Platz haben, hat jede Pyramide 1/3 Volumen des Würfels. Für beide geometrischen Körper gilt:Grundfläche A = a * a und die Höhe h = a.
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Pyramide im Würfel
Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe „a“ wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge-fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat.
Somit ist die Formel des Volumens der Pyramide mit
bewiesen.
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Pyramide im Würfel
Beim Würfel war die Be-weisführung sehr klar und einfach.
Wie sieht es nun beim Quader und bei unregel-mäßigen Pyramiden aus?
Jede Pyramide hat eine andere Grundfläche und Höhe.
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Pyramide im Würfel
Der Quader hat drei Seitenkanten:a = 6cmb = 9cmc = 3cm
Vquad= a * b * c = 6 * 9 * 3 = = 162 cm³
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Pyramide im Würfel
Die 1. Pyramide hat mit dem Quader die selbe Grundfläche.
Grundfläche A = a * b und die Höhe h = c
Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³
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Pyramide im Würfel
Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³
Bei der 2. Pyramide ist die Grundfläche die linke Seitenfläche des Quaders.
Grundfläche A = a * c und die Höhe h = b
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Pyramide im Würfel
Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³Pyramide 3: V = b * c * a / 3 = 9 * 3 * 6 / 3 = 54 cm³
Bei der 3. Pyramide ist die Grundfläche die vordere Seitenfläche des Quaders.
Grundfläche A = b * c und die Höhe h = a
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Pyramide im Würfel
Alle drei Pyramiden sind im Quader eingefügt.
Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³Pyramide 3: V = b * c * a / 3 = 9 * 3 * 6 / 3 = 54 cm³
Quader : Vquad = 162 cm³ Pyramide: Vquad / 3 = 162 / 3 = 54 cm³
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