1 Schüler unterschiedlich, Mathematik einheitlich? Fortschritte und weitere Entwicklungsfelder nach...

1

Schüler unterschiedlich, Mathematik einheitlich?

Fortschritte und weitere Entwicklungsfelder nach gut zehn

Jahren SINUS

Nürnberg 30.06.2009 Thomas Royar 2

Leserbrief Badische Zeitung 2005

Bruchrechnen erweist sich in derPraxis als sinnlos

„Schüler wissen wohl, wie man Brüche multipliziert, sie können mit diesem Wissen aber nichts, ganz und gar nichts anfangen.“


Rückblick

TIMSS 1996: Bei Aufgaben in Einzel-, Partner- oder

Gruppenarbeitsphasen 89 % Üben von Routineprozeduren 6 % Anwendung mathematischer Konzepte 5 % Problemlöse- und Denkaufgaben

Kein Platz für individuelle Zugänge


Offene Baustellen nach Heymann 1996

Schüler kommunizieren vorwiegend mit dem Lehrer bzw. über den Lehrer miteinander

Das vorherrschende Interaktionsmuster lässt sich als Dreischritt „Lehrerimpuls – Schülerantwort(en) – Lehrerkommentar“ beschreiben


Das Beherrschen eines mathematischen Gebiets wird über das Einfordern konkreter Lösungen zu vorgegebenen Aufgaben kontrolliert

Fehler werden sofort korrigiert Es gibt nur richtige und falsche Antworten Fehler werden als Indikatoren für Misserfolg

gedeutet


Schülergedanken, die aus Sicht des Lehrers vom offiziellen Thema wegführen, werden nicht weitergeführt

Es gibt immer nur einen zugelassenen Lösungsweg

Mathematiklernen wird von den Schülern als das Nachvollziehen vom Lehrer vorgegebener Wege erlebt


Im wesentlichen werden nur die Ergebnisse des Denkens mitgeteilt und für die anderen Unterrichtsteilnehmer „veröffentlicht“

Die im Unterricht gestellten mathematischen Aufgaben und Probleme sind eindeutig und nur auf eine Weise lösbar


Fragen nach Sinn und Bedeutung der Mathematik sind nicht Gegenstand des Mathematikunterrichts

Jedes mathematische Teilgebiet steht im wesentlichen isoliert für sich

Der Unterschied zwischen mathematischen Konventionen und Notwendigkeiten wird nicht thematisiert


Verantwortlich für das Lernen der Schüler ist der Lehrer

Der Mitschüler wird im wesentlichen als Konkurrent betrachtet

Die allermeisten Baustellen sind in der Zwischenzeit deutlich und auf vielfache Art bearbeitet worden


Vielleicht noch zu wenig: Das vorherrschende Interaktionsmuster lässt

sich als Dreischritt „Lehrerimpuls – Schülerantwort(en) – Lehrerkommentar“ beschreiben




Das vorherrschende Interaktionsmuster lässt sich als Dreischritt „Lehrerimpuls – Schülerantwort(en) – Lehrerkommentar“ beschreiben

Schüleraktivierung auch durch komplexere Probleme


Wie sieht die fehlende Figur aus?


Zwischen Parallelen sind gleichseitige Dreiecke gezeichnet.Wie groß ist jeweils der grau gefärbte Anteil am ganzen Dreieck?


Das Märchen vom Teufel und dem armen Manne

Der Teufel sagte zu einem armen Manne: „Wenn du über diese Brücke gehst, will ich dein Geld verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du zurückkommst, 8 Taler für mich ins Wasser werfen.“ Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte, hatte er keinen blanken Heller mehr.


Diese Aufgabe eignet sich gut zum produktiven Üben

Variation der Aufgabenstellung: Was wäre, wenn... Wie viele Taler müsste der Mann am Anfang

haben, dass er der „Gewinner“ ist? Schreibe die Geschichte mit einem anderen

Ende! Diskutiert den letzten Satz! Könnte er nach

dem dritten Brückengang auch Schulden haben?


Mögliches Vorgehen im Unterricht

Einstimmung, Gewöhnung Wie bist du vorgegangen? Was hat dir geholfen die Aufgabe zu lösen?

Bewusstmachung einzelner Strategien an typischen Beispielen

(selbstständiges) Bearbeiten von Analogieaufgaben

Kontexterweiterung, Transfer Wahl der Strategie, Begründen der Wahl

Eigene Problemlöseverhalten reflektieren (aufschreiben)


Zum Problemlösen gehört auch

Fragen stellen und formulieren üben Selbstbeobachtung beim Problemlösen Selbsteinschätzung: Was kann ich gut? Was

kann ich weniger gut? Verschiedene Lösungswege kennen lernen,

um die eigenen Vorlieben und Talente zu entwickeln oder zu lernen, in verschiedene Richtungen zu denken


Prinzipien und Strategien

Analogieprinzip Zerlegungsprinzip Rückführungsprinzip Reduktionsprinzip

Vorwärtsarbeiten Rückwärtsarbeiten


Algorithmen und Heurismen

Prozedurales Wissen Konzeptuelles Wissen (nach Hiebert)

„Zuerst müssen die Techniken beherrscht werden!“

Müssen sie das wirklich immer?


Probleme können zu Begriffen führen

Wie viel zusammen? Summe

Wie groß der Unterschied? Differenz

Wie gerecht verteilt? Quotient

Welcher Preis ist angemessen? Zuordnung


Beispiel aus der Geometrie

Die Karte zeigt ein Stück Land. Es gibt fünf Brunnen in diesem Gebiet. Stelle dir vor, du stehst bei X mit einer Herde von Schafen, die Durst haben. Zu welchem Brunnen gehst du?

Die Wahl war natürlich nicht schwierig. Du gehst zum nächstgelegenen Brunnen. Entwickle nun eine Einteilung des Landes in fünf Gebiete, so dass zu jedem Ort in einem Gebiet der Brunnen in diesem Gebiet der nächstgelegene ist.


Bedenken und Erfahrungen Haben die Schüler die Ausdauer, um an den

Problemen „dranzubleiben“? Meistens ja

Können die Schüler die Ergebnisse adäquat darstellen? Meistens ja

Werden Ergebnisse kritisch reflektiert und systematisch validiert? Meistens nein


Wann ist eine Lösung eine sinnvolle Lösung?

Die Antwort erscheint einfach:Wenn sie „passt“.

Aber das heißt oft nicht oder nicht nur, dass sie „objektiv richtig“ ist.

Daher ist es wichtig, grundsätzlich mehrere Alternativen zu prüfen und gegeneinander abzuwägen

Die Lehrkraft kann auch ganz bewusst suboptimale Lösungen anbieten


Fehlerhafte Flächen bei drei „Brunnen“


Was „passt“ ist kontextabhängig

Steckdosenaufgabe



Diagnostisches Unterrichten


Selbstdiagnose

Standortbestimmungen – Leistungsfeststellung als Grundlage individueller Förderung (3. – 7. Klasse)Stephan Hußmann und Christoph Selter


Wann ist eine Aufgabe eine „gute“ Diagnoseaufgabe?

auf Kompetenzaspekte konzentrieren Bearbeitung auf verschiedenen Niveaus

(z.B. durch offene Aufgaben) zur Produktion (d. h. zur Erklärung, Beschreibung

des Lösungsweges usw.) auffordern Eine Aufgabe wird dann zu einer brauchbaren

diagnostischen Aufgabe, wenn sie Denkwege sichtbar machen kann

Sie sollte valide und niveaudifferenzierend seinBüchter/Leuders


Konzeptuelle Analyse (1) Diagnose in Mathematik benötigt als Grundlage

detailliertes und gründliches Wissen über kognitive Prozesse beim Erwerb von mathematischem Verständnis. Dieses Wissen sollte die wichtigsten Konzepte und Fertigkeiten der mathematischen Inhaltsbereiche umfassen und etwas über die Prozesse sagen, durch die dessen Verständnis in diesem Bereich wächst.

Man kann dabei von einer konzeptuellen Analyse sprechen. Sie geht davon aus, dass das Verhalten eines Kindes – gemessen an seinem Verständnis – stets vernünftig und begründet ist.


Konzeptuelle Analyse (2) Dem mathematischen Verständnis eines Erwachsenen

ist es aber oft unverständlich. Um das kindliche Vorgehen zu verstehen, muss der Erwachsene sein eigenes mathematisches Verständnis beiseite stellen und sich darum bemühen zu verstehen, wie die Dinge aus der Sicht des Kindes wohl aussehen, wenn es so vorgeht, wie es vorgeht.

Sie unterscheidet sich von einer logischen Aufgaben-Analyse, die das Verständnis des Erwachsenen voraussetzt und nicht berücksichtigt, dass das in der Entwicklung befindliche Kind vieles von seinem Wissen nicht zum Gegenstand seiner Betrachtung machen kann. (Gerster)


Niveaustufen

Kennen Können Verstehen

Innerhalb JEDER Niveaustufe

Kein Verständnis ohne Kenntnis, keine Kenntnis ohne Verständnis


Beispiel: Brüche addieren

Niveaustufe 1:Einfache Brüche addieren können

Niveaustufe 2:Auch schwierigere Brüche addieren können

Niveaustufe 3:Beliebige Brüche addieren können


So?

1. Berechne:

2. Berechne:

3. Berechne:8

3

5

1

11

3

23

7

8

1

4

1


Oder besser so?

a) Freunde haben 2 Pizzas bestellt. Sie teilen eine Pizza in vier gleiche Stücke, die andere in acht gleiche Stücke. Zeichne eine Skizze!

b) Gib als Bruch an: Wie groß ist jeweils ein Pizzateil?

c) Schreibe eine Rechenaufgabe mit Brüchen und löse:

(1) Zwei Stücke der einen Pizza zusammen(2) Zwei Stücke der anderen Pizza zusammen(3) Ein Stück der einen und eins der anderen Pizza


(Fortsetzung)

d) Schreibe eine Rechnung und löse:(1) Ein Stück einer Pizza und zwei Stücke der anderen

Pizza zusammen*(2) Von jeder Pizza zwei Stücke zusammen

e) Löse die Aufgaben aus c) und d), wenn eine Pizza in fünf Teile und die andere in sechs Teile geteilt wird.

f) Probiere weitere „Teilungen“ aus und schreibe Rechnungen dazu auf.


Niveaustufen

Stufe 1:a), b), c) und d) mit einer Lösung

Stufe 2:d) mit Variationen und e)

Stufe 3:f)


Bedingungen

Diagnose ist vorläufig und unsicher braucht fachdidaktische Theoriekenntnis benötigt die Bereitschaft von Lehrerseite, sich

auf offene Situationen einzulassen


Didaktische Kompetenz

Diagnostische Kompetenz

Welche Voraus-setzungen

sind notwendig? sind vorhanden?

Welche Konzepte

sind hilfreich? sind ausgebildet?

Kompetenzen der Schüler

erfassen

+ Sachkompetenz + Führungskompetenz (Weinert)



Permanente Weiterentwicklung der Unterrichtskultur

Individualisierung und Differenzierung als Grundprinzip, nicht als „Extra“


Episode aus „Kinder und Mathematik“

Jimmy, die gute Lehrerin und die falschen Lösungen


Beispiele für individuelle Lösungen

Sabine macht mit ihren Freundinnen eine Schneeballschlacht. Sie hat schon viele Schneebälle für ihre Mannschaft vorbereitet. Die Hälfte davon gibt sie Mira, weil die besonders gut trifft. Zwei Drittel vom Rest gibt sie Lea, auch die trifft ziemlich gut. 6 Stück behält sie selbst.


Schülerlösung 1


Schülerlösung 2


Schülerlösung 3


Schülerlösung 4

Antwort: Sie hat 11 Schneebälle vorbereitet.

Rechnung:

Frage: Wie viele Schneebälle hat Susi vorbereitet?


Individuelle Begriffsbildung Peter Bardy: Eine Aufgabe – viele Lösungen.

Grundschule 3/2002

Ein Seeschiff ging auf große Fahrt. Als es 180 Seemeilen von der Küste entfernt war, flog ihm ein Wasserflugzeug nach. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs war zehnmal so groß wie die des Schiffes.In welcher Entfernung von der Küste holte das Flugzeug das Schiff ein?


Eine Aufgabe…

Regina Bruder in mathematik lehren, Heft 115


…mehrere Lösungen


Aber bitte nicht…

Kartoffeln


Individualisierte Kartoffelaufgabe 2009

Ermittle Deinen individuellen Kalorienbedarf und erstelle einen individuellen Ernährungsplan mit deiner individuell bevorzugten Kartoffelsorte. Ermittle mit einer individuellen Methode den individuellen Einkaufspreis und setze ihn in Bezug zu deinen individuellen Vermögensverhältnissen.

1 Schüler unterschiedlich, Mathematik einheitlich? Fortschritte und weitere Entwicklungsfelder nach...

Documents

Transcript of 1 Schüler unterschiedlich, Mathematik einheitlich? Fortschritte und weitere Entwicklungsfelder nach...