1

Streuung an einem MolekülDer Streufaktor (Formfaktor) ergibt sich aus der Fourier Transformation der

Elektronendichte des streuenden Motivs

Elektronendichte: M j jj

N

r r r

1

Amplitude der gestreuten Welle:

N

jjM

N

jj

VjjjjM

jj

N

j VjjjjjM

V

N

jjM

rqiqfqF

rqiRdRqiRqF

rrR

RdRrqiRqF

rdrqirrqF

1

1

1

1

exp

expexp

exp

exp

rFTqF

2

Das Phasenproblem F q FT r r FT F q 1

Messdaten:

rqFFT

iFF

FFFI

EEEI

1

2*

2*

exp

Zentrales Problem der Strukturanalyse:

Wie findet man die Phase im Strukturfaktor?

3

Information über die Struktur des Werkstoffes

Eine wichtige Konsequenz der Beugungstheorie:

Der entscheidende Faktor bei der Beugung ist die Projektion des Positionsvektors in die Richtung des Beugungsvektors (q.r), weil sie in den Gleichungen für Strukturfaktor und Intensität auftritt. Die Beugung sieht daher nur „in die Richtung des Beugungsvektors“.

22

1

~

exp

exp

qFEqI

rqiqfqF

RdRqiRf

M

N

jjjM

Vjjjjj

4

Ungeordnete StrukturenVerschiebung der Atome aus ihren idealen Positionen

(Gleichgewichtspositionen)

1. Abnahme der Intensität der ordentlichen (Braggschen) Maxima – dieser Effekt vergrößert sich bei höheren Beugungswinkeln

2. Zunahme der diffraktierten Intensität außerhalb der ordentlichen Maxima – Zunahme der Diffusionsstreuung

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

140

qz

Inte

nsi

ty

Statische Verschiebung der Atome

5

Streuung an idealen Kristallen

Idealer Kristall:

Dreidimensional geordnet

Ohne Strukturfehler

Unendlich groß

Kann durch eine dreidimensionale Periodizität der Elementarzelle beschrieben werden

6

Streuung an idealen Kristallen

cnbnanT

Tczbyaxr

321

o

a

b

c

Atomlagen

Strukturfaktor und Intensität

22

1

~

exp

qFEqI

rqiqfqFN

jjj

BeugungsvektorEin Vektor im reziproken Raum:

cwbvauq

sskkq io

2

02

7

Definition der Basisvektoren im reziproken Gitter

V

bc

cba

cba

V

ca

cba

acb

V

ab

cba

ba

V

bac

d

nc

d

nb

d

na

sin

sin

sin

;;001

001

010

010

100

100

0

0

0

1

bcac

cbab

caba

ccbbaa

8

Streuung an idealen Kristallen

N

jjjjj

N

jjjjj

N

jjjjj

N

jjj

wnvnuniwzvyuxiqfqF

wnvnunwzvyuxiqfqF

cnbnanczbyaxcwbvauiqfqF

rqiqfqF

cwbvauq

cnbnanczbyaxr

1321

1321

1321

1

321

2exp2exp

2exp

2exp

exp

2

0

1

bcaccbabcaba

ccbbaa

Für (u, v, w) = (h, k, ℓ): 12exp 321 nknhni F(q) = max

9

Reziprokes Gitter und die Beugungseffekte

clbkahGq

hkl

2

a*, b*, c* … Basisvektoren des reziproken Gitters

h, k und l … ganze Zahlen (Miller Indexen)

000 100 200 300 400

001 101 201 301 401

002 102 202 302 402

003 103 203 303 403

a*

c*

_001

_101

_201

_301

_401

_002

_102

_202

_302

_402

_003

_103

_203

_303

_403

hklGq

2

Braggsche Gleichung:

10

Periodizität im direkten und im reziproken Raum

http://www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/gallery.html

11

Laue-Bedingungen

N

jj

N

jj

cnbnanqirqiqfqF

TrqiqfqF

1321

1

expexp

exp

2

2

21exp 321

cq

kbq

haqcnbnanqi

css

kbssssq

hass

0

002

0

Laue-Bedingungen

cnbnanT321

12

Laue-Bedingungen

Geometrische Darstellung

css

kbss

hass

0

0

0

13

Äquivalenz der Laue-Bedingungen und der Braggschen Gleichung

hkG

ss

0 -20 -10 0 10 20

0

5

10

15

20

25

30

35

40

qx (A^-1)

qz (

A^-

1)

Face centred cubic

css

kbss

hass

0

0

0Laue Bedingungen:

Laue Bedingungen im reziproken Raum:

sin2;1sin2

0

hkhk

hk

dd

Gss

Bragg Gleichung: Interferenzmaximum wird beobachtet, wenn der Beugungsvektor in einem Punkt des reziproken Gitters endet

s0 s

sin sin

2

2

1G

dhk

14

Ewald-Konstruktion

15

Ewald-Konstruktion

s0/

s/

2

s sG

s sG

d

d

hk

hkhk

hk

0

0 2 1

2

sin

sin

Elastische Röntgenstreuung (gleiche Wellenlänge oder gleiche Energie):

Änderung der Länge des Beugungsvektors:

Drehen des reziproken Gitters:

Drehen des Kristalls im Primärstrahl.

ss

0

sin20

ss

16

Streuung an idealen Kristallen

N

jjjjj zkyhxihkfhkF

1

2exp

x, y, z … Bruchkoordinaten (Atompositionen)

h, k, ℓ … Beugungsindexe (Miller Indexe)

2

1

*2

2exp

N

jj zkyhxihkfhkI

hkFhkFhkFhkI

Strukturfaktor:

Intensität: