1

Streuungsmaß 3: absolute Abweichung vom Mittelwert

N

iiXN 1

1 Abstand zum Mittelwert

positiver Betrag des Abstands

Summe über alle Merkmalegleichmäßige Aufteilung der Summe auf alle Merkmalsträger

2

durchschnittliche absolute Abweichung :

• Formel für Listen Formel für Gruppen und Klassen

N

iiXN

1

1 i

N

ii nx

N*

1

1

3

durchschnittliche absolute Abweichung :

• Formel für Gruppen und Klassen

i

N

ii nx

N*

1

1

i

N

ii fx *

1

bei Gruppen bezeichnet xi das Merkmal,

bei Klassen ist xi die Klassenmitte

4

durchschnittliche absolute Abweichung(Beispiel)(1)

Merkmal Häufigkeit gewogenx n x*n1 4 4

11 3 3321 2 4231 1 31

Summen 10 110

Mittelwert 11

zuerst den Mittelwert bilden

5

durchschnittliche absolute Abweichung(Beispiel)(2)

Dann für alle xi den Abstand zum Mittelwert ausrechnen, absolute Beträge ermitteln und die Häufigkeit berücksichtigen(wiegen)

Merkmal Häufigkeit gewogen x-mittel absoluter Betragx n x*n x- |x-1 4 4 -10 10

11 3 33 0 021 2 42 10 1031 1 31 20 20

N=10, Mittelwert =11

6

durchschnittliche absolute Abweichung(Beispiel)(3)

Von allen gewogenen absoluten Abständen den Durchschnitt bilden

Merkmal Häufigkeit gewogen x-mittel absoluter Betragx n x*n x- |x-1 4 4 -10 10

11 3 33 0 021 2 42 10 1031 1 31 20 20

Summe =80

=80/10=8

7

Streuungsmaß 4 und 5

• Das 4. Streuungsmaß ist die Varianz ², die mit Quadraten der Abstände zum Mittelwert gebildet wird.

• Das 5. Streuungsmaß ist die Standardabweichung . Man erhält sie, wenn man aus der Varianz die Wurzel zieht.

8

Quadrate in Formeln

• Warum ist es günstig Quadrate zu benutzen?

– Quadrate sind immer positiv

– Quadrate betonen große Werte . Kleine Werte werden untergewichtet.

– Beispiel:

• 1+1+1+1+1 = 4+1

• Summe der Quadrate im ersten Fall = 1+1+1+1+1 = 5• Summer der Quadrate im zweiten Fall = 16+1 = 17

• Also lässt sich an der Summe der Quadrate ablesen, dass es einen Extremwert (nämlich 4) gegeben hat.

9

Varianz und Standardabweichung :und

• Formel für Listen Formel für Gruppen und Klassen

²)(²

N

iiXN

1

1 i

N

ii nx

N*)²(²

1

1

²μ)(XN

1N

1ii

i

N

1ii *²μ)(X

N

1n

10

Varianz und Standardabweichung :und

• Formel für Listen

²)(²

N

iiXN

1

1

²μ)(XN

1N

1ii

²μ²)XN

1(

N

1ii

11

Varianz :

• Formel für Gruppen und Klassen: Es gibt 3 Varianten, die man alle benutzen darf

i

N

ii fx *)²(²

1

i

N

ii nx

N*)²(²

1

1

²)²(²

i

N

ii nx

1

bei Gruppen bezeichnet xi das Merkmal,

bei Klassen ist xi die Klassenmitte

12

Standardabweichung :

• Formel für Gruppen und Klassen

i

N

ii nx

N*)²(²

1

1

i

N

1ii *²μ)(X

N

1n

i

N

1ii *²μ)(X f

i

N

ii fx *)²(²

1

13

Varianz und Standardabweichung(Beispiel für Variante 1)(1)

Merkmal Häufigkeit gewogenx n x*n1 4 4

11 3 3321 2 4231 1 31

Summen 10 110

Mittelwert 11

zuerst den Mittelwert bilden

14

Varianz und Standardabweichung (Beispiel für Variante 1)( 2)

Dann für alle xi den Abstand zum Mittelwert ausrechnen, Quadrate ermitteln und die Häufigkeit berücksichtigen(wiegen)

N=10, Mittelwert =11

Merkmal Häufigkeitgewogen x-mittel Quadrat gewogenx n x*n x- (x-² (x-²*n1 4 4 -10 100 400

11 3 33 0 0 021 2 42 10 100 20031 1 31 20 400 400

Summen 10 110 1000

15

Varianz und Standardabweichung (Beispiel für Variante 1)( 3)

Von allen gewogenen quadrierten Abständen den Durchschnitt bilden

²=1000/10=100

= 100 =10

Merkmal Häufigkeit gewogen x-mittel quadrat gewogenx n x*n x- (x-² (x-²*n1 4 4 -10 100 400

11 3 33 0 0 021 2 42 10 100 20031 1 31 20 400 400

Summen 10 110 1000

16

Varianz und Standardabweichung(Beispiel für Variante 2)(1)

Merkmal Häufigkeit gewogen

x f x*n1 0,4 0,4

11 0,3 3,321 0,2 4,231 0,1 3,1

Summen 1 11

Mittelwert 11

zuerst den Mittelwert bilden

17

Varianz und Standardabweichung (Beispiel für Variante 2)( 2)

Dann für alle xi den Abstand zum Mittelwert ausrechnen, Quadrate ermitteln und die Häufigkeit berücksichtigen(wiegen)

N=10, Mittelwert =11

Merkmal Häufigkeit gewogen x-mittel quadrat gewogen

x f x*n x- (x-² (x-²*f1 0,4 0,4 -10 100 40

11 0,3 3,3 0 0 021 0,2 4,2 10 100 2031 0,1 3,1 20 400 40

18

Varianz und Standardabweichung (Beispiel für Variante 2)( 3)

Dann für alle xi den Abstand zum Mittelwert ausrechnen, Quadrate ermitteln und die Häufigkeit berücksichtigen(wiegen)

N=10, Mittelwert =11

Merkmal Häufigkeit gewogen x-mittel quadrat gewogen

x f x*n x- (x-² (x-²*f1 0,4 0,4 -10 100 40

11 0,3 3,3 0 0 021 0,2 4,2 10 100 2031 0,1 3,1 20 400 40

Summen 1 11 100

²=100

= 100 =10

19

Standard-Abweichung vom Mittelwert

• Name Standardabweichung,

• Formeln:

• Interpretation:

• Die Standardabweichung gibt ungefähr (!!) den durchschnittlichen Abstand der Merkmalswerte zum Mittelwert an

• Bei einer Normalverteilung kann man mit der Varianz beschreiben, wieviele Werte in einem bestimmten Abstand zum Mittelwert liegen.

im Abstand liegen ca 70% der Messwerte

im Abstand 2* liegen ca 90% der Messwerte

im Abstand 3* liegen ca 99 % der Messwerte

2

1

2

1

2 11

N

ii

N

ii X

NX

N

20

Variationskoeffizient

Z

MQAVV oder

Auch die Streuung ist manchmal nicht aussgekräftig genug.

Es kommt nämlich darauf an, ob die Streuung im Vergleich zum Mittelwert groß ist, oder ob sie im Vergleich nicht ins Gewicht fällt.

Der Variationskoeffizient normiert (relativiert) die Standardabweichung).

Er gibt an, wie groß die Standardabweichung im Vergleich zum Mittelwert ist.

Der Variationskoeffizient hat keine Maßeinheit. Er wird meistens in Prozent angegeben.

21

Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient wird zu mehreren Zwecken gebraucht

1. um zu beurteilen,

ob der Mittelwert ein geeigneter Repräsentant für alle Daten ist

wenn dann ist der Mittelwert typisch für alle Daten.

2. um zwei Teilgruppen der Untersuchung zu vergleichen.

z.B. Vergleich zwischen Männern und Frauen,

z.B. Vergleich zwischen Ausländern und Deutschen

3. um Daten mit verschiedener Maßeinheit zu vergleichen.

z.B. Daten in kg mit Daten in englischen Pfund

50,