1. UbungsblattAufgaben mit Losungen

Aufgabe 1: Berechnen Sie folgende Summen:

(a)

9∑m=5

(m2 −m), (b)

7∑n=4

(n

n− 2

), (c)

27∑n=4

4

(1

2

)n.

Losung 1: (a) Wir trennen die Summe auf und setzen die Zahlen ein:

9∑m=5

(m2 −m) =

9∑m=5

m2 −9∑

m=5

m

= (25 + 36 + 49 + 64 + 81)− (5 + 6 + 7 + 8 + 9)

= 255− 35 = 220.

(b) Zuerst setzen wir die Definition des Binomialkoeffizienten ein. Dann kurzen wir den Bruch und setzen schließlich dieWerte ein:

7∑n=4

(n

n− 2

)=

7∑n=4

n!

(n− 2)! (n− (n− 2))!=

7∑n=4

n(n− 1)

2!

=1

2

7∑n=4

(n2 − n) = 12 (16− 4 + 25− 5 + 36− 6 + 49− 7) =

104

2= 52

(c) Wir ziehen die 4 aus der Summe und verschieben den Index (n′ = n − 4). Danach Spalten wir das Produkt ( 12 )n

′+4

auf und ziehen den Faktor ( 12 )4 nach außen. Dann verwenden wir die geometrische Summenformel. Zum Schluss bringen

wir den Ausdruck auf eine Nenner.

27∑n=4

4

(1

2

)n= 4

23∑n′=0

(1

2

)n′+4

= 4

23∑n=0

(1

2

)n(1

2

)4

=4

16

1−(12

)241− 1

2

=2

4

(1−

(1

2

)24)=

224 − 1

225

Aufgabe 2: (a) Verschieben Sie die Indizes so, dass der folgende Ausdruck mit einem Summenzeichen geschrieben werdenkann.

23∑ν=2

(ν − 1)2 +

19∑µ=−2

2(µ+ 3) +

31∑k=10

1

Berechnen Sie dann die Summe. Hierbei durfen Sie Beispiel 1.9 aus der Vorlesung verwenden.(b) Zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten Indextransformation, dass fur a, b ∈ R und n ∈ N gilt

(a− b)n∑ν=0

aνbn−ν = an+1 − bn+1.

Losung 2: (a) Wir wenden die Indextransformationen n = ν − 1 bzw. n = µ + 3 und n = k − 9 an. Dann konnen wirden Ausdruck als eine Summe schreiben.

23∑ν=2

(ν − 1)2 +

19∑µ=−2

2(µ+ 3) +

31∑k=10

1 =

22∑n=1

n2 +

22∑n=1

2n+

22∑n=1

1 =

22∑n=1

(n2 + 2n+ 1).

Wir erkennen die erste binomische Formel. Durch eine weitere Indexverschiebung und elementaren Rechenoperationenerhalten wir

22∑n=1

(n2 + 2n+ 1) =

22∑n=1

(n+ 1)2 =

23∑n=2

n2 =

(23∑n=1

n2

)− 1

Bsp 1.9︷︸︸︷=

1

6· 23 · 24 · 47− 1 = 4323

(b) Wir multiplizieren aus. Den letzten Summanden der ersten Summe und den ersten Summanden der zweiten Summeschreiben wir explizit auf:

(a− b)n∑ν=0

aνbn−ν =

n∑ν=0

aν+1bn−ν −n∑ν=0

aνbn−ν+1 = an+1 +

n−1∑ν=0

aν+1bn−ν −n∑ν=1

aνbn−ν+1 − bn+1

Nun verschieben wir den Index der zweiten Summe ν′ = ν − 1 bzw. ν = ν′ + 1:

n∑ν=1

aνbn−ν+1 =

n−1∑ν′=0

aν′+1bn−ν

′

Setzen wir dies oben ein, so sehen wir, dass sich die Summen aufheben. Wir erhalten die Behauptung: (a−b)∑nν=0 a

νbn−ν =an+1 − bn+1

Aufgabe 3: Berechnen Sie

(a)

1∑k=0

4∑l=2

1

(k + l)2, (b)

4∑ν=1

ν∑k=1

ν(ν − k)

Losung 3: (a)

1∑k=0

4∑l=2

1

(k + l)2=

1∑k=0

(1

(k + 2)2+

1

(k + 3)2+

1

(k + 4)2

)=

1

22+

1

32+

1

42+

1

32+

1

42+

1

52=

1

4+

2

9+

2

16+

1

25=

1147

1800

(b) Wir ziehen den Faktor ν aus der inneren Summe. Dann transformieren wir den Index durch l = ν−k (bzw. k = ν− l).Als letzten Schritt verwenden wir die Summenformel aus der Vorlesung und setzen die Zahlen ein:

4∑ν=1

ν∑k=1

ν(ν − k) =

4∑ν=1

ν

ν∑k=1

(ν − k) =

4∑ν=1

ν

=ν(ν−1)

2︷︸︸︷ν−1∑l=0

l =

4∑ν=1

νν(ν − 1)

2=

1

2

4∑ν=1

ν2(ν − 1)

=1

2(0 + 4 + 18 + 48) = 35.

Aufgabe 4:(a) Berechnen Sie die Summe

5∑n=3

(n3

)n!.

(b) Beweisen Sie die folgende Rechenregel fur den Binomialkoeffizienten. Fur n ≥ m ≥ r ≥ 0 gilt(n

m

)·(m

r

)=

(n

r

)·(n− rm− r

).

Losung 4:

(a)5∑

n=3

(n3

)n!

=

5∑n=3

n!

3!(n− 3)!n!=

5∑n=3

1

3!(n− 3)!=

1

3!0!+

1

3!1!+

1

3!2!=

1

6+

1

6+

1

12=

5

12

(b) Wir setzen die Definition des Binomialkoeffizienten ein. Dann konnen wir m! kurzen.(n

m

)·(m

r

)=

n!

m!(n−m)!· m!

r!(m− r)!=

n!

r!(n−m)!(m− r)!

Dann schrieben wir kunstlich n−m = n− r + r −m = (n− r)− (m− r) und erhalten wieder die gewunschte Form:

n!

r!(n−m)!(m− r)!=

n!

r!(n− r)!· (n− r)!

((n− r)− (m− r))!(m− r)!=

(n

r

)·(n− rm− r

).

Aufgabe 5: Bestimmen Sie alle Losungen der folgenden linearen Gleichungssysteme:

(a)−3x1 +x2 +x3 = 3−2x1 −2x2 +x3 = 1−2x1 −x2 +x3 = 2

(b)x1 +2x2 +4x3 = 3

4x1 +7x2 +x3 = 2−2x1 −3x2 +7x3 = 4

Losung 5: Bemerkung: Mit (α), (β) und (γ) bezeichnen wir hier Pivotelement-Zeilen der Koeffizientenmatrix. (a)

−3 1 1 3 (α)−2 −2 1 1 −1 · (α)−2 −1 1 2 −1 · (α)

→−3 1 1 3

1 −3 0 −2 −1 · (β)

1 −2 0 −1 (β)

→−3 1 1 3

0 −1 0 −11 −2 0 −1

Wir lesen aus der 2. Zeile ab x2 = 1. Aus der letzten Zeile erhalten wir weiter x1 − 2x2 = −1, setzen fur x2 = 1 ein underhalten x1 = 1. Aus der ersten Zeile erhalten wir −3x1 + x2 + x3 = 3, setzen fur x2 = 1, x1 = 1 ein und erhalten x3 = 5.Damit haben wir eine eindeutige Losung (x1, x2, x3) = (1, 1, 5).(b)

1 2 4 3 (α)4 7 1 2 −4 · (α)−2 −3 7 4 +2 · (α)

→1 2 4 30 −1 −15 −10 +1 · (β)

0 1 15 10 (β)

→1 2 4 30 0 0 00 1 15 10

Wir erkennen, dass x3 eine freie Variable ist. Die Losung ist in Abhangigkeit dieser Variable anzugeben. Die dritte Zeileliefert x2 = 10 − 15x3. Das setzen wir in die erste Zeile ein und erhalten x1 + 20 − 30x3 + 4x3 = 3 oder aquivalentx1 = −17 + 26x3. Die Losungsmenge ist{

(−17 + 26x3, 10− 15x3, x3)> : x3 ∈ R}