11.4. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Bei vielen geometrischen, physikalischen und technischen Problemen hat man nicht nur eine Funktion (in einer Variablen) und ihre Ableitung zueinander in Beziehung zu setzen, sondern auch noch höhere Ableitungen ins Spiel zu bringen. Man braucht dann

Differentialgleichungen n-ter Ordnung

Das sind Gleichungen, in denen die n-te Ableitung y[ ]n

und eventuell niedrigere Ableitungen

(vielfach auch die Funktion y selbst) auftreten (Notation: = y[ ]0

y, = y[ ]1

y ,́ = y[ ]2

y´ ́usw.)

Wir betrachten hier nur

lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

(L) + an y[ ]n

a − n 1 y[ ] − n 1

+ ... + + a1 y´ a0 y = b.

Im Falle = b 0 nennt man die Dgl wieder homogen.

Lineare Schwingungen

Mechanische, optische und elektrische Schwingungen werden meist durch lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben:

= + + m y´´ d y´ c y F.

Hier steht m für die Masse, d für eine Dämpfungs- oder Reibungskonstante (bei einer zur Geschwindigkeit proportionalen Dämpfung) und c y für die rücktreibende Kraft bei der Auslenkung y nach dem Hookeschen bzw. Newtonschen Gesetz. (Die Variable ist hier die Zeit, meist mit t statt x bezeichnet, während statt y oft x für die Auslenkung steht.)

Ist = d 0, so haben wir eine ungedämpfte Schwingung.

Im Falle = F 0 wirkt keine äußere Kraft auf das schwingende System, es handelt sich um eine freie Schwingung.

, ,( )sin π x e( )−x

( )sin π x1

2x ( )sin π x

Wird das System hingegen durch eine äußere Kraft beeinflußt, so drückt sich dies durch eine (eventuell zeitabhängige) Erregerkraft ≠ F 0 aus; es entsteht eine erzwungene Schwingung.Man dividiert durch m und setzt

= δd

2 m (Abklingkoeffizient)

= ωc

m (Eigenfrequenz)

= bF

m (Stör- oder Erregerfunktion).

Die lineare Schwingungs-Differentialgleichung

reduziert sich damit auf

= + + y´´ 2 δ y´ ω2 y b .

Beispiel 1: Ungedämpfte freie Schwingung

= + y´´ ω2 y 0 ( = δ 0 , = b 0).

Probe durch Einsetzen bestätigt sofort die allgemeine Lösung

= y + C1 ( )cos ω t C2 ( )sin ω t

oder mittels Superposition (Additionstheorem):

= y C ( )cos − ω t φ , = C ( )cos φ C1, = C ( )sin φ C2 , = C + C1

2C2

2, = φ arctan (C1/C2) .

Alle Lösungen haben demnach die gleiche Frequenz, während Amplitude und Phase variabel sind. Durch Vorgabe von Anfangswerten (Position und Geschwindigkeit), etwa

= ( )y 0 y0 und = ( )y´ 0 v0

ist die Lösungskurve festgelegt. Wir zeichnen einige Lösungen zu

= ω π und = ( )y 0 1:

, ,( )cos π x 2

cos + π x

1

3π 2

cos − π x

1

3π

Der Lösungsraum einer homogenen linearen Dgl n-ter Ordnung

ist ein n-dimensionaler Raum differenzierbarer Funktionen. Summe und skalare Vielfache von Lösungen sind also wieder solche.

Ein Fundamentalsystem einer linearen Dgl n-ter Ordnung ist eine Basis des Lösungsraumes. Jedes Fundamentalsystem besteht aus genau n Funktionen; d.h. n ist die Dimension des Lösungraumes.

Homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind vergleichsweise einfach zu behandeln, da die Koeffizienten aj unabhängig von x sind.

Der Differentialoperator D

ordnet eine Funktion ihre Ableitung zu, also: = ( )D yd y

d x = y ́= y

[ ]1.

Er läßt sich iterieren, um die k-te Ableitung zu erhalten:

= ( )( )Dk y y[ ]k

.

Unsere allgemeine lineare Dgl (L) lautet unter Verwendung des charakteristischen Polynoms

= ( )p x ∑ = k 0

n

ak xk = an xn + ... + + a1 x a0 :

= ( )( )p D y b .

Dabei dürfen und wollen wir = an 1 annehmen (eventuell dividieren wir vorher durch ≠ an 0).

Die Lösung der homogenen Dgl n-ter Ordnung

= ( )( )p D y 0

mit konstanten Koeffizienten ergibt sich durch den exponentiellen Lösungsansatz

= y e( )λ x

.

Iteriertes Ableiten liefert

= ( )( )p D y ( )p λ e( )λ x

= 0

und da der Expontialausdruck nie 0 wird, erhält man die

Charakteristische Gleichung

= ( )p λ 0 oder ausgeschrieben an λn + ... + = + a1 λ a0 0 .

Dabei ersetzt man jeweils die k-te Ableitung von y durch die k-te Potenz der Unbekannten λ.

Sind die Lösungen λ1 , ... , λn der charakteristischen Gleichung alle verschieden, so erhält man die

allgemeine komplexe Lösung der homogenen Dgl n-ter Ordnung

= y C1 e( )λ

1x

+ ... + Cn e( )λ

nx

wobei die Koeffizienten Cj und die Nullstellen λj echt komplexe Zahlen sein können.

Beispiel 2: Eine einfache lineare Dgl zweiten Grades

Zur homogenen Dgl

= − y´´ y 0

gehört die charakteristische Gleichung

= − λ2 1 0

mit den Nullstellen 1 und -1. Die allgemeine Lösung lautet daher

= y + C1 ex C2 e( )−x

.

Wir zeichnen die Lösungsfunktionen

ex für = ( )y 0 1 und = ( )y´ 0 1, d.h. = C1 1 und = C2 0

e( )−x

für = ( )y 0 1 und = ( )y´ 0 −1, d.h. = C1 0 und = C2 1

( )cosh x für = ( )y 0 1 und = ( )y´ 0 0, d.h. = C1 1/2 und = C2 1/2

sinh(x) für = ( )y 0 0 und = ( )y´ 0 1, d.h. = C1 1/2 und = C2 −1/2

Ändert man das Vorzeichen in der Dgl = − y´´ y 0, so ergibt sich ein Spezialfall der Dgl aus Beispiel 1:

= + y´´ y 0

mit der charakteristischen Gleichung

= + λ2 1 0

und den Lösungen = λ1 i , = λ2 −i .

Damit lautet die vollständige komplexe Lösung

= y + C1 e( )i x

C2 e( )−i x

= + ( ) + C1 C2 ( )cos x ( ) − C1 C2 i ( )sin x

und nach Umbenennung der Koeffizienten enthält diese die allgemeine reelle Lösung

= y + c1 ( )cos x c2 ( )sin x

in Übereinstimmung mit Beispiel 1.

Faktorisierung der charakteristischen Gleichung

Generell zerfällt jedes Polynom p im Komplexen in Linearfaktoren:

= ( )p x

∏

= j 1

r

( ) − x λj

rj

∏

= j 1

s

( ) − x µj

kj

∏

= j 1

s

( ) − x µj

kj

.

Dabei sind die Zahlen λj die verschiedenen reellen Nullstellen von p (mit Vielfachheit r j),während die Zahlen

= µj + αj i βj und = µj

− αj i βj

die verschiedenen paarweise konjugierten echt komplexen Nullstellen (mit Vielfachheit kj) sind.

Mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre-Laplace

= e( ) + α β i

eα ( ) + ( )cos β i ( )sin β

findet man nun:

Ein reelles Fundamentalsystem der homogenen Dgl

= ( )( )p D y 0

wird gebildet durch die folgenden Funktionen:

xm e( )λ

jx

, = m .. 0 − r j 1, = j .. 1 r

xm e( )α

jx

( )cos βj x , = m .. 0 − kj 1, = j .. 1 s

xm e( )α

jx

( )sin βj x , = m .. 0 − kj 1, = j .. 1 s

Die allgemeine Lösung ist eine beliebige Linearkombination dieser Funktionen.

Merkregel

Für jede k-fache Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms p hat man die k linear unabhängigen Lösungen

xm e( )λ x

, = m .. 0 − k 1

der zugehörigen linearen Dgl = ( )( )p D y 0.

Wir können nämlich einen k-fachen Linearfaktor abspalten:

= ( )p x ( )q x ( ) − x λ k

und mit dem Identitätsoperator = I D0 (wobei I (y) = y ist) erhält die Dgl die Form

( )( )p D y = = ( )( )( )q D ( ) − D λ I k y 0 .

Es genügt also, für = m .. 0 − k 1 die folgende Gleichung zu bestätigen:

= ( )( )( ) − D λ I k xm e( )λ x

0 (!)

Das geschieht wieder einmal per Induktion. Für = k 0 ist nichts zu zeigen, da es kein m < k gibt .

Beim Schritt von k auf k + 1 nehmen wir (!) als richtig an und berechnen damit für 0 < m < k + 1:

= ( )( )( ) − D λ I( ) + k 1

xm e( )λ x

( ) − D λ I k ( )( ) − D λ I xm e( )λ x

=

( ) − D λ I k

−

∂

∂x

( )xm e( )λ x

λ xm e( )λ x

= ( )( )( ) − D λ I k m x( ) − m 1

e( )λ x

und dieser Ausdruck ist nach Induktionsannahme wegen < − m 1 k gleich 0. Für = m 0 ist der vorletzte Ausdruck ebenfalls 0, und der Induktionsbeweis ist komplett.

Beispiel 3: Eine lineare Dgl ist gesucht

und zwar mit den Lösungen

, , , , , ,1 x x2 ex x ex ex ( )sin x ex ( )cos x .

Die charakteristische Gleichung hat die Lösungen

0 (dreifach), 1 (zweifach), + 1 i, − 1 i

und lautet daher

λ3 ( ) − λ 1 2 ( ) − − λ 1 i ( ) − + λ 1 i = ( ) − + λ5 2 λ4 λ3 ( ) − + λ2 2 λ 2 =

= − + − + λ7 4 λ6 7 λ5 6 λ4 2 λ3 0.

Die zugehörige homogene Dgl ist

= − + − + y[ ]7

4 y[ ]6

7 y[ ]5

6 y[ ]4

2 y[ ]3

0.

Besonders wichtig für die Praxis ist

Beispiel 4: Eine gedämpfte freie Schwingung

Sie wird beschrieben durch die homogene Dgl

= + + y´´ 2 δ y´ ω2 y 0 (vgl. Beispiel 1).

Wir setzen

= µ − δ2 ω2

und erhalten die folgenden Lösungen der charakteristischen Gleichung = + + λ2 2 δ λ ω2 0:

(1) = λ1 − + δ µ , = λ2 − − δ µ , falls δ > ω (2) = λ −δ (doppelt) , falls = δ ω

(3) = λ1 − + δ i µ , = λ2 − − δ i µ , falls δ < ω

Es ergeben sich drei grundsätzlich verschiedene Schwingungsvorgänge:

(1) Kriechfall (starke Dämpfung): δ > ω

Die allgemeine Lösung der Dgl lautet in diesem Fall

= y e( )−δ x

( ) + C1 e( )µ x

C2 e( )−µ x

Es gibt maximal einen Ausschlag, die Schwingung kommt schnell zur Ruhe.

Die Anfangsbedingungen = ( )y 0 y0 und = ( )y´ 0 v0 (Startposition und Geschwindigkeit) führen auf

ein lineares Gleichungssystem für C1 und C2 :

= y0 + C1 C2

= v0 − + δ y0 µ ( ) − C1 C2

mit den Lösungen

= C1

+ y0 ( ) + µ δ v0

2 µ , = C2

− y0 ( ) − µ δ v0

2 µ .

Spezialfall:

, , , = δ 2 = ω 3 = µ 1 = y0 1

= yS + 1

2( ) + 3 v0 e

( )−x 1

2( )− − 1 v0 e

( )−3 x

, , , = v0 -2 -1 0 1

(2) Aperiodischer Grenzfall: δ = ω

Die allgemeine Lösung der Dgl lautet in diesem Fall

= y e( )−δ x

( ) + C1 C2 x

Obwohl die Dämpfung hier geringer als im ersten Fall ist, kommt die Schwingung noch schneller zur Ruhe.

Die Anfangsbedingungen = ( )y 0 y0 und = ( )y´ 0 v0 erzwingen

= C1 y0 , = C2 + v0 δ y0 .Wieder der Spezialfall:

, , , = δ 2 = ω 3 = µ 1 = y0 1

= yS e( )−2 x

( ) + 1 ( ) + 2 v0 x

, , , = v0 -2 -1 0 1

(3) Schwingfall (schwache Dämpfung): δ < ω

Die allgemeine Lösung der Dgl lautet in diesem Fall

= y e( )−δ x

( ) + C1 ( )cos µ x C2 ( )sin µ x

oder mittels Superposition

= y C e( )−δ x

( )cos − µ x φ

Das System schwingt mit der verkleinerten Eigenfrequenz = µ − ω2 δ2 und der Phasenverschiebung φ. Die Amplitude geht exponentiell gegen 0.

Die Anfangsbedingungen = ( )y 0 y0 und = ( )y´ 0 v0 führen auf ein Gleichungssystem für C und φ:

= y0 C ( )cos φ

= v0 C ( )− + δ ( )cos φ µ ( )sin φ

mit den Lösungen

= Cy0

( )cos φ = y0 + 1 τ2 , = φ ( )arctanτ , wobei = τ +

δµ

v0

y0 µ .

, , = δ 0.1 = µ 1 = y0 1

= yS + 1 ( ) + 0.1 v0

2e

( )−0.1x( )cos − x ( )arctan + 0.1 v0

, , = v0 0 1 2

Die Lösung der inhomogenen linearen Dgl n-ter Ordnung

= ( )( )p D y b

mit konstanten Koeffizienten, aber möglicherweise variabler Störfunktion b setzt sich additiv zusammen aus einer speziellen Lösung yS und der Gesamtheit aller Lösungen yH der homogenen

Dgl = ( )( )p D y 0:

= y + yS yH .

Aber wie findet man eine spezielle Lösung?

Analog zum Fall von Dgl erster Ordnung funktioniert auch hier die

Variation der Konstanten Diese Methode wird allerdings oft mühselig. Wir erklären sie für den Fall = n 2.

Hat man ein Fundamentalsystem ,y1 y2 der homogenen Dgl

= + + y´´ a1 y´ a0 y 0gefunden, so ersetzt man in der allgemeinen Lösung

= y + C1 y1 C2 y2

die Konstanten Cj durch Funktionen und differenziert die Lösungen ,y1 y2.Man löst das lineare Gleichungssystem

+ C´1 y1 C´2 y2 = 0 (1)

+ C´1 y´1 C´2 y´2 = b (2)

nach den Ableitungen ,C´1 C´2 auf und integriert diese, um ,C1 C2 zu gewinnen. Dann ist

= yS + C1 y1 C2 y2

eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl = + + y´´ a1 y´ a0 y b.

Denn mit der Produktregel folgt = y´S + C1 y´1 C2 y´2 nach (1), = y´´S + + C1 y´´1 C2 y´´2 b nach (2)und daraus + + y´´S a1 y´S a0 yS = + + C1 ( ) + + y´´1 a1 y´1 a0 y1 C2 ( ) + + y´´2 a1 y´2 a0 y2 b = b.

Beispiel 5: Eine lineare Dgl mit exponentiell wachsender Störfunktion

= − + y´´ 6 y´ 9 y x( )−2

e( )3 x

.

Die homogene Dgl hat die charakteristische Gleichung

= − + λ2 6 λ 9 0

mit der doppelten Nullstelle = λ 3.

Damit hat die homogene Dgl

= − + y´´ 6 y´ 9 y 0 die allgemeine Lösung = y ( ) + C1 C2 x e( )3 x

.

Variation der Konstanten:

+ C´1 e( )3 x

C´2 x e( )3 x

= 0

+ C´1 3 e( )3 x

C´2 ( ) + e( )3 x

3 x e( )3 x

= x( )−2

e( )3 x

bzw. nach Division durch ≠ e( )3 x

0:

= + C´1 C´2 x 0

= + C´1 3 C´2 ( ) + 1 3x x( )−2

Die erste Gleichung in die zweite eingesetzt ergibt

= C´2 x( )−2

, also = C2 −x( )−1

und dies wieder in die erste Gleichung eingesetzt liefert

= C´1 −x( )−1

, also = C1 − ( )ln x .

Somit ist eine spezielle Lösung

= yS −( ) + ( )ln x 1 e( )3 x

und die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl lautet

= y ( ) + − c1 c2 x ( )ln x e( )3 x

.

Für die speziellen Anfangswerte

= ( )y 1 0 und = ( )y´ 1 0

muss gelten

= + c1 c2 0 und = + − 3 c1 4 c2 1 0, also = c1 −1 und = c2 1

und die spezielle Lösung mit diesen Anfangswerten ist

= yS ( )− + − 1 x ( )ln x e( )3 x

.

Spezieller Ansatz bei inhomogenen Dgl

Falls die rechte Seite b der inhomogenen Dgl von der Form

( )q x e( )α x

( )sin β x oder ( )q x e( )α x

( )cos β x

mit einem Polynom q ist, kommt man durch den folgenden Ansatz meist schneller zum Ziel:

= ys xk ( ) + ( )q1 x e( )α x

( )sin β x ( )q2 x e( )α x

( )cos β x .

Dabei sucht man Polynome q1 und q2, deren Grad höchstens so groß wie der von q ist. Die Zahl k ist die Vielfachheit der Nullstelle + α i β

des charakteristischen Polynoms p zur gegebenen Dgl = ( )( )p D y b .

Im "Normalfall" ist + α i β gar keine Nullstelle von p, d.h. k ist 0 und man kann den Faktor xk weglassen.

Resonanz

tritt im Fall einer Nullstelle, also bei k > 0 ein. Dies passiert insbesondere im Falle von Schwingungen, wenn die Störfunktion die gleiche Amplitude und Frequenz wie eine der Schwingungen des ungestörten Systems (homogener Fall) hat.

Superposition

Ist die rechte Seite der Dgl eine Summe von Funktionen der obigen Art, löst man die Dgl für jeden einzelnen Summanden und addiert die Lösungen.

Beispiel 6: Noch einmal exponentielle Störfunktionen

Wir verändern die rechte Seite der Dgl aus Beispiel 5:

= − + y´´ 6 y´ 9 y ex .

Unser Rezept "Lösung vom Typ der rechten Seite" bringt den Ansatz

= y C ex

denn = α 1 ist keine Nullstelle von = ( )p λ ( ) − λ 3 2, und der Imaginärteil β ist 0. Es folgt

= − + y´´ 6 y´ 9 y C ( ) − + 1 6 9 ex = ex , also = C1

4 .

Somit ist = yS

ex

4 eine spezielle Lösung von = − + y´´ 6 y´ 9 y ex .

Anders sieht die Sache im Resonanzfall aus:

= − + y´´ 6 y´ 9 y e( )3 x

.

Hier würde der Ansatz

= y C e( )3 x

zu keiner Lösung führen (probieren Sie es aus)!

Wegen der doppelten Nullstelle 3 machen wir den Ansatz

= y C x2 e( )3 x

und bekommen mit der Produktregel

= y´ C ( ) + 2 x 3 x2 e( )3 x

= y´´ C ( ) + + 2 12x 9 x2 e( )3 x

= − + y´´ 6 y´ 9 y´´ C ( ) + + − − + 2 12x 9 x2 12x 18x2 9 x2 e( )3 x

= 2C e( )3 x

= e( )3 x

d.h. = C1

2 und damit die spezielle Lösung

= yx2 e

( )3 x

2 der Dgl = − + y´´ 6 y´ 9 y ex .

Beispiel 7: Schwingungen mit sinusförmiger Erregerfunktion

Solche Situationen treten sowohl in mechanischen als auch in elektrischen Schwingkreisen auf. Unsere Dgl lautet

= + + y´´ 2 δ y´ ω2 y ( )sin β x .

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung war im Fall < δ ω :

= yH e( )−δ x

( ) + C1 ( )cos µ x C2 ( )sin µ x .

(1) Normalfall ohne Resonanz: ≠ i β − + δ i µ und ≠ i β − − δ i µ , d. h.

≠ δ 0 oder = δ 0, ≠ β2 µ2 = ω2 (*)

Wir probieren

= y + A1 ( )cos β x A2 ( )sin β x .

Zweimaliges Differenzieren führt zu

+ + y´´ 2 δ y´ ω2 y =

− − A1 β2 ( )cos β x A2 β2 ( )sin β x

− + A1 2 δ β ( )sin β x A2 2 δ β ( )cos β x

+ + A1 ω2 ( )cos β x A2 ω2 ( )sin β x

und da dies gleich ( )sin β x werden soll, lösen wir das Gleichungssystem

= + A1 ( ) − ω2 β2 A2 2 δ β 0

= − + A1 2 δ β A2 ( ) − ω2 β2 1

mit dem etwas komplizierten Lösungspaar

= A1 −2 δ β

γ und = A2

− ω2 β2

γ , γ = ≠ + ( ) − ω2 β2

24 δ2 β2 0 wegen (*).

das sich aber im Falle ungedämpfter Schwingung, d.h. = δ 0, deutlich vereinfacht zu

= A1 0 , = A2

1

− ω2 β2 .

Wir erhalten dann die spezielle Lösung

= yS

( )sin β x

− ω2 β2 .

Die erzwungene Schwingung hat also die gleiche Frequenz wie die Erregerschwingung; die Amplitude wird jedoch verändert (im Falle gedämpfter Schwingung auch die Phase).

(2) Resonanzfall:

= δ 0 und = β2 µ2 = ω2 (**)

Hier machen wir den Ansatz

= y x ( ) + A1 ( )cos β x A2 ( )sin β x .

Zweimaliges Differenzieren führt zu

( )sin β x = + y´´ ω2 y =

− − A1 β2 x ( )cos β x A2 β2 x ( )sin β x

− + 2 A1 β ( )sin β x 2 A2 β ( )cos β x

+ + A1 ω2 x ( )cos β x A2 ω2 x ( )sin β x =

− + 2 A1 β ( )sin β x 2 A2 β ( )cos β x wegen (**).

Die einzige Möglichkeit hierfür ist

= A1 −1

2 β und = A2 0 , also = yS

x ( )sin β x

2 β .

Die Schwingung "schaukelt sich auf".

Zum Abschluß nun noch wenigstens ein Fall höherer Ordnung. Beispiel 8: Eine lineare Dgl dritter Ordnung

Zur homogenen Dgl

= − + − y´´´ y´´ y´ y 0

gehört die charakteristische Gleichung

= − + − λ3 λ2 λ 1 0

mit den drei verschiedenen Lösungen

, , = λ 1 i −i .

Die allgemeine komplexe Lösung der Dgl lautet demnach

= y + + C1 ex C2 e( )i x

C3 e( )−i x

.

Daraus bekommt man alle reellen Lösungen

= y + + C1 ex c2 ( )cos x c3 ( )sin x

als Linearkombinationen des Fundamentalsystems , ,ex ( )sin x ( )cos x .

Die inhomogene Dgl

= − + − y´´´ y´´ y´ y x2

löst man wegen fehlender Resonanz (0 ist keine Nullstelle) mit dem Ansatz

= y + + A x2 B x C = y´ + 2 A x B = y´´ 2 A = y´´´ 0

= − + + − − − 2 A 2 A x B A x2 B x C x2

mit der Lösung

= A −1 , = B −2 , also = yS − − x2 2 x .

Hingegen liegt einfache Resonanz vor im Falle

= − + − y´´´ y´´ y´ y ( )sin x .

Der Ansatz = y + A x ( )sin x B x ( )cos x

führt auf

( )sin x = − + − y´´´ y´´ y´ y = − − − + 2 A ( )sin x 2 B ( )cos x 2 A ( )cos x 2 B ( )sin x

und damit

= + A B 0 , = − + 2 A 2 B 1 , d. h. = A −1

4 , = B

1

4 ,

und eine spezielle Lösung der Dgl = − + − y´´´ y´´ y´ y ( )sin x ist daher = yS

x

4 ( − ( )cos x ( )sin x ) .