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12 RLC - Netzwerke

12.1 Einführung

Dieser Versuch befasst sich mit den Grundzügen der Wechselstromtechnik. Neben den bekann-ten Vorgängen im statischen Zustand (Gleichstrom) kommen nun dynamische Prozesse zur Wir-kung. Neben dem Ein- und Ausschaltverhalten wird hier das Frequenzverhalten unterschiedli-cher Komponenten und Schaltungen im Zeit- und Frequenzbereich untersucht.

12.1.1 Beschreibung von sinusförmigen Wechselgrößen im Zeitbereich

Sinusförmige Größen, z. B. Ströme und Spannungen lassen sich wie folgt darstellen:

u(t) = u · sin(ωt+ ϕ) . (12.1)

Der Augenblickswert der Zeitfunktion schwankt zwischen u und−u. Die positive extreme Aus-lenkung u heißt Amplitude oder Scheitelwert. Der Parameter ω wird als Kreisfrequenz bezeich-net. Die Frequenz f des Signals ergibt sich zu

f =ω

2π, ω = 2πf . (12.2)

Der Kehrwert aus der Frequenz wird als Periodendauer T bezeichnet

T =1

f=

2π

ω. (12.3)

Die Periodendauer bezeichnet das Zeitintervall T nachdem sich die Zeitfunktion wiederholt.Eine Zeitfunktion s(t) heißt periodisch, wenn ein T existiert für das die Bedingung s(t) =

s(t+ T ) für alle t Gültigkeit hat.

Die Festlegung der Zeitachse mit t = 0 ist für einzelne Signale willkürlich. Treten mehrereharmonische Signale in Beziehung zueinander, so ist die Angabe von Phasenverschiebungen

notwendig. Diese Phasenverschiebung wird über den Nullphasenwinkel ϕ definiert. Bei der re-lativen Phasenlage zweier harmonischer Signale spricht man von Voreilen, wenn der Nullpha-senwinkel ϕ0 positiv ist, andernfalls von Nacheilen.

12.1.2 Lade- und Entladeverhalten von Kondensatoren

Ein Kondensator, der an Gleichspannung betrieben wird, lädt sich einmal auf und entlädt sicherst wieder, wenn sich die von außen anliegende Spannung ändert. Bei Wechselspannung ge-schieht dies periodisch. Da die Spannung alterniert, lädt und entlädt sich der Kondensator per-manent. Der Augenblickswert der Spannung ist daher abhängig von der Änderung des Stromes:

uC =1

C·∫i(t) dt . (12.4)

12.1 Einführung 175

Durch Lösen von Differentialgleichungen erhält man für eine allgemeine Schaltung mit einemVorwiderstand und einen Kondensator für das Ladeverhalten

u(t) = u(1− e−tτ ) (12.5)

und für das Entladeverhaltenu(t) = u · e−

tτ . (12.6)

Bei diesen beiden Funktionen ist zu beachten, dass es sich hierbei um eine konstante Spannunghandelt, die entweder zu- oder abgeschaltet wird. Daher kann man diese Gleichungen nutzen,um die Momentanwerte bei einmaligem Schalten oder bei Anlegen einer Rechteckspannung zuberechnen.

Die Zeitkonstante τ

Für einen Kondensator lässt sich aus dem Produkt des Vorwiderstandes R der Schaltung undder Kapazität des Kondensators C die Zeitkonstante τ bestimmen:

τ = R · C . (12.7)

Allgemein gibt τ die Zeit an, die der Kondensator benötigt, um sich auf den Wert 1 − e−1 ≈63,2 % zu laden, bzw. sich auf e−1 ≈ 36,8 % zu entladen. Nach t = 5τ ist der Kondensator aufden Wert

u(t)

u= 1− e−5 ≈ 99,3 %

geladen. Der Ladevorgang kann als abgeschlossen betrachtet werden.

12.1.3 Beschreibung von sinusförmigen Wechselgrößen imZeigerdiagramm

Eine reelle harmonische Funktion u(t) = u·cos(ωt+ϕ) kann als Realteil einer komplexwertigenExponentialfunktion geschrieben werden. Wegen

e jωt = cosωt+ j sinωt (12.8)

folgtu(t) = u · <e j (ωt+ϕ) = <u · e j (ωt+ϕ) . (12.9)

Formal fasst man den letzten Term in Klammern als komplexe Zeitfunktion auf

u(t) = u · e j (ωt+ϕ) = u · e jϕ · e jωt = u · e jωt . (12.10)

Das Produkt der Amplitude u und des Phasenfaktors e jϕ bezeichnet man als komplexe Ampli-

tude u. Die komplexe Amplitude lässt sich als Zeiger in der komplexen Ebene darstellen.


Z

jX

Re

Im

R

I

U I=Z

Abbildung 12.1: Impedanz Z, Strom I und Spannung U im Zeigerdiagramm

12.1.4 Komplexer Widerstands- und Leitwertoperator

Analog zum Gleichstromwiderstand definiert man einen komplexen Widerstand

Z =u

ı=u · e jϕu

ı · e jϕi=u

ı· e j (ϕu−ϕi) . (12.11)

Der Widerstandsoperator ergibt sich zu

Z = Z · e jϕZ bzw. Z = R + jX . (12.12)

Dabei istZ =

√R2 +X2 , ϕZ = arctan

(=Z<Z

)= arctan

(XR

). (12.13)

Für den Leitwertoperator ergibt sich entsprechend

Y = Y · e jϕY bzw. Y = G+ jB (12.14)

mitY =

√G2 +B2 , ϕY = arctan

(=Y <Y

)= arctan

(BG

). (12.15)

12.1.5 Wechselstromwiderstände

An einer Induktivität L ist die induzierte Spannung proportional der Stromänderung di/dt:

u(t) = L · didt. (12.16)

Für einen sinusförmigen Strom ergibt sich hieraus

u(t) = L · ddt

(ı · sinωt) = ı ωL cosωt = ı ωL sin(ωt+

π

2

). (12.17)


Der induktive Blindwiderstand und der sich hieraus ergebende komplexe Widerstandsoperatorsind dann

XL = ωL, Z = jXL = jωL . (12.18)

An einer Kapazität C ergibt sich die Spannung aus dem Integral des in die Kapazität fließendenStromes

u(t) =1

C

∫i(t) dt . (12.19)

Der kapazitive Blindwiderstand und der sich hieraus ergebende komplexe Widerstandsoperatorsind dann

XC = − 1

ωC, Z = jXC = −j

1

ωC. (12.20)

12.1.6 Frequenzabhängiger Spannungsteiler

Betrachtet wird ein komplexer Spannungsteiler als Vierpol.

R

L u (t)2u (t)1

Abbildung 12.2: Frequenzabhängiger Spannungsteiler

Untersucht werden soll das Verhältnis zwischen Ausgangsspannung u2(t) zur Eingangsspan-nung u1(t). Hierzu bestimmt man analog zur Berechnung am Spannungsteiler eines Gleich-stromkreises das Spannungsverhältnis u2/u1:

u2u1

=Z2

Z1 + Z2

=jωL

R + jωL

=(ωL)2

R2 + (ωL)2+ j

ωRL

R2 + (ωL)2.

(12.21)

Es ergibt sich ein komplexes Ergebnis. Dieses lässt sich auch als Betrag und Phase angeben:∣∣∣∣ u2u1∣∣∣∣ =

√((ωL)2

R2 + (ωL)2

)2

+

(ωRL

R2 + (ωL)2

)2

=

√ω4L4 + ω2R2L2

(R2 + (ωL)2)2=

√(ωL)2

(R2 + (ωL)2

)(R2 + (ωL)2)2

=ωL√

R2 + (ωL)2=u2u1,

(12.22)


ϕ = arctan=Z<Z

= arctanωRL

(ωL)2. (12.23)

Wir erhalten also zwei Gleichungen: eine für das Amplitudenverhältnis und eine für die Pha-senverschiebung, jeweils in Abhängigkeit von der Frequenz

u2u1

=ωL√

R2 + (ωL)2und ϕ = arctan

R

ωL. (12.24)

Diese Funktionen lassen sich für konkrete Bauteilwerte wie in Abb. 12.3 zu sehen als Amplitu-dengang und Phasengang oder wie aus Abb. 12.4 ersichtlich als Ortskurve graphisch darstellen.

Abbildung 12.3: Amplituden- und Phasengang

Abbildung 12.4: Ortskurve


12.1.7 Resonanzkreise (Schwingkreise)

Schaltungen mit einer Kombination von Widerständen R, Kondensatoren C oder Induktivitä-ten (Spulen) L werden auch als RLC-Glieder bezeichnet (z. B. RL-, RC- oder LC-Glied).Einen Sonderfall stellen die Schaltungen dar, in denen alle drei Bauteile (R, L und C) Verwen-dung finden. Je nach Anordnung unterscheidet man Reihen- oder Parallelresonanzkreise – auchReihen-/Serien- oder Parallelschwingkreise genannt. Bei Resonanz sind UC und UL bzw. ICund IL gleich groß. Allgemein berechnet man die Frequenz mit dem Ansatz:

=Z = 0 . (12.25)

Bei einer Kapazität C eilt die Phase des Stroms gegenüber der Phase der anliegenden Spannungum 90 voraus. Bei einer Induktivität L läuft die Stromphase gegenüber der Spannungsphaseum 90 nach. Betrachtet man Schwingkreise im Frequenzbereich, wird der Amplitudengang imVerhältnis von Aus- und Eingangsleistung (P2 und P1) in dB aufgetragen. Eine dabei wichtigeFrequenz ist die sogenannte Grenzfrequenz. Dabei handelt es sich um einen Wert von −3 dB,welcher einer Leistungsübertragung von 50 % entspricht. Bei einem Wert von 0 dB wird diegesamte Leistung übertragen. Die Grenzfrequenz kann ebenfalls mit Hilfe der GesamtimpedanzZ berechnet werden. Hierbei gilt für einfache Schaltungen:

<Z = =Z . (12.26)

12.2 Vorbereitung 180

12.2 Vorbereitung

12.2.1 Allgemein

Bereiten Sie sich mit Hilfe der Einleitung, den Vorlesungsunterlagen und mit weiteren Quel-len (Bibliothek, Internet) ausführlich vor. Sollten Fragen offen bleiben, wenden Sie sich bitterechtzeitig an einen Betreuer oder Herrn Schneider, R. −1325, WA 73.

12.2.2 Fragen zur Vorbereitung

Beantworten Sie bitte zur Vorbereitung dieses Versuches schriftlich folgende Fragen:

1. Skizzieren Sie den Verlauf einer Ladekurve eines Kondensators. Es handelt sich umein RC-Glied, wie es in Abb. 12.8 gezeigt wird. Nehmen Sie U = 5 V, R = 10 kΩ,C = 100 nF an. Tragen Sie die Strom- und Spannungskurve ein. Erstellen Sie hierzu eineWertetabelle für u(t) und i(t) mit den Werten τ bis 5τ . Wie viel Prozent der Gesamtspan-nung bzw. des Gesamtstroms machen die einzelnen Werte aus?

2. Was versteht man unter einem Hochpass und einem Tiefpass? Geben Sie eine kurze Er-klärung an und skizzieren Sie geeignete Schaltungen.

3. Berechnen Sie die Grenzfrequenz der in Abb. 12.9 gezeigten Schaltung.

Hinweis: Bestimmen Sie die Gesamtimpedanz der Schaltung und gebrauchen Sie den inder Vorbereitung genannten Ansatz.

4. Welchen Einfluss haben die Bauteile auf die Schaltung?

5. Was versteht man unter einem Bandpass und einer Bandsperre. Geben Sie eine kurzeErklärung an und skizzieren Sie geeignete Schaltungen.

6. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz der in Abb. 12.11 gezeigten Schaltung.

Hinweis: Bestimmen Sie die Gesamtimpedanz der Schaltung und gebrauchen Sie den inder Vorbereitung genannten Ansatz.

7. Welchen Einfluss haben die Bauteile des Serienresonanzkreises auf die Schaltung?

12.3 Versuchsdurchführung 181

12.3 Versuchsdurchführung

Verwenden Sie folgende Module:

• mainboard,

• analog & digital data unit,

• function generator,

• component board.

Beachten Sie die Fragen für die Ausarbeitung. Sie dienen als Leitfaden für das Protokoll. Alledie von Ihnen bearbeiteten Ergebnisse sollen strukturiert in das Protokoll eingegliedert werden.Als Hauptleitfrage dient Ihnen: Wie sind die graphischen Ergebnisse zu deuten? (Vergleich zuähnlichen Ergebnissen, Erklärung, . . . )

12.3.1 Widerstand R an Wechselspannung (Zeit- und Zeigerdiagramm)

12.3.1.1 Aufbau

Bauen Sie die Schaltung in Abbildung 12.5 auf dem Komponentenmodul auf. Stellen Sie amFunktionsgenerator die angegebenen Parameter ein und verbinden Sie die Schaltung mit denOszilloskopeingängen des Datenmoduls.

IN A

+IN A

Ri

10k

uR

ui

uAC

5V

120Hz

IN B1

IN B2

+IN B2

+IN B1

R

20k

i

Abbildung 12.5: Widerstand im Wechselstromkreis

12.3.1.2 Aufgaben

Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Oszilloskop aus.

Stellen Sie die beiden Messungen UB1 = f(UA) und UB2 = f(UA) gemeinsam dar (Zeit- undZeigerdiagramm). Wählen Sie hierzu die Phasor-Darstellung und nutzen Sie die Sequence-

Option. Wählen Sie zudem einen geeigneten Reference-Phasor aus. Drucken Sie das Ergebnisaus.


12.3.2 Spule L und Kapazität C an Wechselspannung (Zeit- undZeigerdiagramm)

12.3.2.1 Aufbau und Aufgaben

Bauen Sie die Schaltungen 12.6a, 12.6b, 12.7a und 12.7b nacheinander auf und wiederholenSie die Aufgaben der Messung am Widerstand. Bitte führen Sie die Messungen mit folgendenWiderständen durch:

• Schaltung 12.6b: R ∈ 200 Ω, 1 kΩ, 5 kΩ

• Schaltung 12.7b: R ∈ 1 kΩ, 5 kΩ, 200 kΩ

Drucken Sie die Ergebnisse separat aus. Hierbei müssen Sie auch erneut UB1 über dem Vorwi-derstand messen.

IN A

+IN A

R 2k

uL

uR

uAC

5V

120Hz

IN B1

IN B2

+IN B2

+IN B1

i

L

1H

IN A

+IN A

R 2k

uL

uR

uAC

5V

120Hz

IN B1

IN B2

+IN B2

+IN B1

iL

1H

RS

Abbildung 12.6: a) L (ideal), b) L (real)

IN A

+IN A

R 10k

uC

uR

uAC

5V

120Hz

C

100nF

IN B1

IN B2

+IN B2

+IN B1

i

IN A

+IN A

R 10k

uC

uR

uAC

5V

120Hz

RP

C100nF

IN B1

IN B2

+IN B2

+IN B1

i

Abbildung 12.7: a) C (ideal), b) C (real)

12.3.2.2 Fragen

• Welchen Reference-Phasor haben Sie gewählt und warum?

• Welche Änderungen treten für die Schaltung mit den unterschiedlichen Widerständenauf?


12.3.3 Untersuchung von RC-Gliedern: Integrier-/Differenzierglied

12.3.3.1 Aufbau

Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für ein Integrierglied (Abb. 12.8a) und ein Differen-zierglied (Abb. 12.8b) auf.

IN INA B

+IN +INA B

AC

5V

300Hz

10k

R

Cu1

u2

IN INA B

+IN +INA B

AC

5V

300Hz

C

R

10ku

1u

2

Abbildung 12.8: a) RC (Integrierglied), b) CR (Differenzierglied)

12.3.3.2 Aufgaben


Stellen Sie jeweils die Messungen UB = f(UA) mit unterschiedlichen Werten für

C ∈ 4 nF, 40 nF, 240 nF

gemeinsam dar. Wählen Sie hierzu die YT-Darstellung und nutzen Sie die Sequence-Option.Drucken Sie das Ergebnis aus.

12.3.3.3 Fragen

• Ermitteln Sie die Zeitkonstante τ für die Kapazität von 40 nF grafisch. Prüfen Sie ihrErgebnis. Was muss hierbei beachtet werden?

12.3.4 Untersuchung von RC-Gliedern (Zeitbereich): Tief-/Hochpass

12.3.4.1 Aufbau

Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für einen Tiefpass (Abb. 12.9a) und einen Hochpass(Abb. 12.9b) auf.

12.3.4.2 Aufgaben


Stellen Sie die Messung UB = f(UA) für beide Schaltungen gemeinsam dar. Wählen Sie hierzudie Phasor-Darstellung und nutzen Sie die Sequence-Option. Wählen Sie zudem einen geeig-neten Reference-Phasor aus. Drucken Sie das Ergebnis aus.


IN INA B

+IN +INA B

AC5V

5k

R

C

100nFu

1u

2

IN INA B

+IN +INA B

AC5V

100nF

C

R

5ku

1u

2

Abbildung 12.9: a) RC (Tiefpass), b) CR (Hochpass)

12.3.4.3 Fragen

• Geben Sie den Rechenweg zur Berechnung der Grenzfrequenz an!

12.3.5 Untersuchung von RC-Gliedern (Frequenzbereich):Tief-/Hochpass

12.3.5.1 Aufbau

Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für einen Tiefpass (Abb. 12.10a) und einen Hoch-pass (Abb. 12.10b) auf. Verwenden Sie statt des Funktionsgenerators den analog Ausgang desDatenmoduls.

IN INA B

+IN +INA B

5k

R

C

100nFu

1u

2

GND

OUT

IN INA B

+IN +INA B

100nF

C

R

5ku

1u

2

GND

OUT

Abbildung 12.10: a) RC (Tiefpass), b) CR (Hochpass)

12.3.5.2 Aufgaben

Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Frequency Characteristics aus.

Stellen Sie die Messung UB = f(UA) für beide Schaltungen gemeinsam dar. Wählen Sie hierzudie Darstellung Nyquist und nutzen Sie die Sequence-Option. Drucken Sie das Ergebnis für denAmplitudengang und für den Phasengang aus.

12.3.5.3 Fragen

• Vergleichen Sie das Ergebnis mit den Resultaten des vorherigen Versuchs. Was fällt Ihnendabei auf?


12.3.6 RLC Serienresonanzkreis

12.3.6.1 Aufbau

Bauen Sie die Schaltung aus Abbildung 12.11 auf.

C

100nF

L

1H

R

2kIN B1

IN B2

IN B3IN A

+IN B2

+IN B3

+IN B1+IN A

uR

uLu

uC

AC1,2V

i

Abbildung 12.11: RLC Serienresonanzkreis

12.3.6.2 Aufgaben


Lassen Sie Sich die Messungen UB1−3 = f(UA) anzeigen. Wählen Sie hierzu die DarstellungPhasor und nutzen Sie die Sequence-Option. Wählen Sie zudem einen geeigneten Reference-

Phasor aus. Drucken Sie das Ergebnis aus.

12.3.6.3 Fragen

• Geben Sie den Rechenweg zur Berechnung der Resonanzfrequenz an!

• Wie viel Prozent der Eingangsspannung der Schaltung fällt über dem Widerstand ab?Erklären Sie das Ergebnis!


12.3.7 Bandpass und Bandsperre

12.3.7.1 Aufbau

Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für einen Bandbass (Abb. 12.12a) und eine Bandsper-re (Abb. 12.12b) auf. Verwenden Sie statt des Funktionsgenerators den Analog-Ausgang desDatenmoduls.

IN INA B

+IN +INA B

3 F,31H

CL

Ru1

u2

GND

OUT

IN INA B

+IN +INA BR

C

3 F,3

L

1H

u2

u1

GND

OUT

Abbildung 12.12: a) LCR (Bandpass), b) RLC (Bandsperre)

12.3.7.2 Aufgaben

Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Frequency Characteristics aus.

Stellen Sie jeweils die Messungen UB = f(UA) mit unterschiedlichen Werten für

R ∈ 100 Ω, 200 Ω, 500 Ω

gemeinsam dar. Wählen Sie hierzu die Darstellung Freq. ch. und nutzen Sie die Sequence-

Option. Lassen Sie sich je Aufbau einmal die Amplituden und die Phasengänge anzeigen. Dru-cken Sie die Ergebnisse aus.

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Literatur

[1] CLAUSERT, H. ; WIESEMANN, G. : Grundgebiete der Elektrotechnik 1. 8. Auflage. Mün-chen, Wien : Oldenbourg, 2003

[2] SCHRÜFER, E. : Elektrische Messtechnik – Messung elektrischer und nichtelektrischer

Größen. 9., aktualisierte Auflage. München : Hanser Verlag, 2007

[3] STÖCKER, H. (Hrsg.): Taschenbuch der Physik. 3. Auflage. Thun, Frankfurt am Main :Verlag Harri Deutsch, 1998

[4] TIETZE, U. ; SCHENK, C. : Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Auflage. Berlin : Springer,2002

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