Elektrotechnik f¼r Ingenieure 2: Wechselstromtechnik Ortskurven Transformator Mehrphasensysteme....

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure 2

Literatur für das _____________ -... Grundstudium

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1 und 2 von L. Papula

Übungsbuch zur Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler von L. Papula

Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler von L. Papula

Aufgabensammlung Elektrotechnik Band 1 und 2 von M. Vömel und D. Zastrow

Elemente der angewandten Elektronik von E. Böhmer

Arbeitshilfen und Formeln für das technische Studium 4: Elektrotechnik/Elektronik herausgegeben von W. Böge

Elektrotechnik für Ingenieure von W. Weißgerber, 3 Bände

Elektrische Meßtechnik von K. Bergmann

Vieweg Handbuch Elektrotechnik herausgegeben von W. Böge

Experimentalphysik für Ingenieure von HJ. Schulz u. a.

Lehr- und Übungsbuch der Technischen Mechanik von H. H. Gloistehn, 3 Bände

vieweg ________________ _


Elektrotechnik für Ingenieure 2 Wechselstromtechnik Ortskurven Transformator Mehrphasensysteme

Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium

4., verbesserte Auflage

Mit zahlreichen Beispielen, 420 Abbildungen und 68 Übungsaufgaben mit Lösungen

~ vleweg

1. Auflage 1991 2., überarbeitete Auflage 1993 3., korrigierte Auflage 1996 4., verbesserte Auflage 1999

Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweigjWiesbaden, 1999

Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH.

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtIich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfciltigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

http://www.vieweg.de

Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Niedernhausen

Gedruckt auf säurefreiem Papier

ISBN 978-3-528-34617-1 ISBN 978-3-322-96957-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96957-6

v

Vorwort

Das dreibändige Buch "Elektrotechnik für Ingenieure" ist für Studenten des Grundstudiums der Ingenieurwissenschaften, insbesondere der Elektrotechnik, geschrieben. Bei der Darstellung der physikalischen Zusammenhänge, also der Elektrotechnik als Teil der Physik - sind die wesentlichen Erscheinungsformen dargestellt und erklärt und zwar aus der Sicht des die Elektrotechnik anwendenden Ingenieurs. Für ein vertiefendes Studium der Elektrizitätslehre dienen Lehrbücher der theoretischen Elektrotechnik und theoretischen Physik. Die Herleitungen und Übungsbeispiele sind so ausführlich behandelt, daß es keine mathematischen Schwierigkeiten geben dürfte, diese zu verstehen. Teilgebiete aus der Mathematik werden dargestellt, sofern sie in den üblichen Mathematikvorlesungen des Grundstudiums ausgespart bleiben. Die Wechselstromtechnik des Kapitels 4 setzt Kenntnisse über die Gleichstromtechnik und das Elektromagnetische Feld voraus, die im Band 1 behandelt sind. Durch die Abbildung der sinusförmigen Größen in komplexe Zeitfunktionen können die Netzberechnungsverfahren entsprechend angewendet werden, weil Differentialgleichungen durch die Abbildung algebraische Gleichungen werden. Die Zusammenhänge zwischen Sinusgrößen, komplexen Zeitfunktionen, komplexe Amplituden, komplexe Effektivwerte, rotierende Zeiger und ruhende Zeiger werden verdeutlicht. Damit können die verschiedenen Lösungsmethoden der Wechselstromtechnik gegenübergestellt und durch Beispiele erläutert werden. Bei der Behandlung von gemischten Schaltungen wird das Kreisdiagramm mit Zahlenbeispielen vorgestellt, die leicht rechnerisch nachvollzogen werden können. Resonanzerscheinungen in Reihen- und Parallelschwingkreisen und zahlreiche Wechselstromschaltungen werden ausführlich beschrieben. In der Wechselstromtechnik werden fünf verschiedene Leistungen unterschieden, deren Zusammenhänge mathematisch, in Diagrammen und durch Beispiele erläutert werden. Bei den Ortskurven im Kapitel 5 steht die Konstruktion des "Kreises durch den Nullpunkt" im Mittelpunkt. Um den Transformator im Kapitel 6 verstehen zu können, sind die Ausführungen im Band 1 zu studieren. Dort sind die Differentialgleichungen im Zeitbereich entwickelt, die dann hier in den Bildbereich überfUhrt werden. Besonderes Augenmerk gilt den verschiedenen Ersatzschaltbildern von Transformatoren. Im Kapitel 7 werden sowohl symmetrische als auch unsymmetrische Dreiphasensysteme behandelt und durch Rechenbeispiele erläutert. Ergänztwird die Messung der Leistungen des Dreiphasensystems bei symmetrischer und unsymmetrischer Belastung.

Für die mühevolle Durchsicht des Manuskripts und die vielen helfenden Anregungen in Diskussionen bedanke ich mich herzlich bei meinen Kollegen. Ebenso danken möchte ich den Mitarbeitern des Verlags für die gute Zusammenarbeit. Für Anregungen und Hinweise der Benutzer - vor allem aus dem Kreis der Studentenbin ich immer dankbar.


VI

Inhaltsverzeichnis

4 Wechselstromteclmik .. . . .. . .. . .. . ........ ..... ... ..... .. . .. ... .. . .. .. . 1 4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4.1.1 Wechselgrößen .............................................. 1 4.1.2 Sinusförmige Wechselgrößen .. ........ ... ... .. . . .. .. . .. . .. . .. .. 3

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der komplexen Rechnung........................................................ 5 4.2.1 Notwendigkeit der Berechnung im Komplexen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2.2 Die Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen durch komplexe Zeit-

funktionen, Lösung der Gleichung im Komplexen und Rückführung in die gesuchte Zeitfunktion (rechnerisches Verfahren) . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.3 Die Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen durch Zeiger und die Ermittlung der gesuchten Zeitfunktion mit Hilfe des Zeigerbildes (grafisches Verfahren). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13

4.2.4 Das Rechnen mit komplexen Effektivwerten in Schaltungen mit komplexen Operatoren bzw. komplexen Widerständen und komplexen Leitwerten (Symbolische Methode) ... . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

4.2.5 Lösungsmethoden für die Berechnung von Wechselstromnetzen ...... 23 4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte. . .. .. . .. . .. .. . . . . .. 28 4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64 Übungsaufgaben zu den Abschnitten 4.1 bis 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen,

Induktivitäten und Kapazitäten ...................................... 94 4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen - die Reihen-

oder Spannungsresonanz ...................................... 94 4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen - die Parallel-

oder Stromresonanz .......................................... 107 Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121 4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123

4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123

4.6.2 Schaltungen zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms - die Boucherot-Schaltung ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126

4.6.3 Wechselstrom-Meßbrückenschaltungen .......................... 128 Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136 4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138

4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung ........................................... 138

4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung ........................... 161 4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors - Blindleistungskompensation ..... 167 4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung .................................. 174

Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184

Inhaltsverzeichnis VII

5 Ortskurven........................................................... 186 5.1 Begriff der Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 186 5.2 Ortskurve "Gerade" ............................................... 188 5.3 Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 193 5.4 Ortskurve "Kreis in allgemeiner Lage" ................................ 2fJ7 5.5 Ortskurven höherer Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210 Übungsaufgaben zu den Abschnitten 5.1 bis 5.5 ............ . . . . . . . . . . . . . . . .. 215

6 Der Transfonnator ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 218 6.1 Übersicht über Transformatoren ..................................... 218 6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 220 6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230 6.4 Messung der Ersatzschaitbildgrößen des Transformators. . . . . . . . . . . . . . . . .. 237 6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines Transformators . . . .. 242 Übungsaufgaben zu den Abschnitten 6.1 bis 6.5 ............................. 247

7 Mehrphasensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249 7.1 Mehrphasensysteme ............................................... 249 7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme ........................... 256 7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme ......................... 267 7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279 Übungsaufgaben zu den Abschnitten 7.1 bis 7.4 ............................. 283

Anhang Lösungen der Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 284 4 Wechselstromtechnik ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 284 5 Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 330 6 Transformator........................................................ 347 7 Mehrphasensysteme ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 356

Verwendete ud weiterführende Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 369

Sachwortverze~ ................................................... 370

VllI

Inhaltsübersicht

Band 1

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik 2 Gleichstromtechnik 3 Das elektromagnetische Feld Anhang mit Lösungen der Übungsaufgaben

Band 3

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen 9 Fourieranalyse 10 Vierpoltheorie Anhang mit Lösungen der Übungsaufgaben

4 Wechselstromtechnik

4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen

4.1.1 Wechselgrößen

Gleich- und Wechselgräßen

1

Kennzeichnend für die Gleichstromtechnik und das elektrische Strömungsfeld sind zeitlich konstante Größen: Strom, Spannung, Stromdichte und elektrische Feldstärke. Auch das mit dem elektrischen Feld verbundene magnetische Feld mit den entsprechenden magnetischen Größen ist zeitlich konstant. Sind die Größen, die die elektromagnetischen Erscheinungen beschreiben, zeitlich veränderlich, dann handelt es sich um Wechselvorgänge. In der Wechselstromtechnik können sich Ströme, Spannungen, magnetische Flüsse, magnetische Induktionen, Verschiebungsflüsse, elektrische und magnetische Feldstärken, u.a. zeitlich ändern. Ströme und Spannungen werden im Gegensatz zu den Gleichgrößen mit kleinen Buchstaben i und u beschrieben, bei magnetischen Flüssen und magnetischen Induktionen verwendet man Großbuchstaben mit einem t in der Klammer: W (t), B (t). Bei allgemeiner Betrachtungsweise werden zeitlich veränderliche Größen mit v bezeichnet. Sie haben in jedem Zeitpunkt t einen Augenblicks- oder Momentanwert v (t).

Periodische Wechselgrößen

Nimmt eine Wechselgröße in bestimmten aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten wieder denselben Augenblickswert an, dann nennt man sie periodische Wechselgröße. Prinzipiell hat das zeitliche Diagramm einer periodischen Wechselgröße das im Bild 4.1 dargestellte Aussehen.

f v

I-Io~--- T

Dabei bedeuten

------111-0---- T ------I-I

Bild 4.1 Periodische Wechselgröße

T: Periodendauer oder kurz Periode des Wechselvorgangs, d.i. die kürzeste Zeit zwischen zwei Wiederholungen des Vorgangs mit [T] = 1 s

f = 1fT: Frequenz des Wechselvorgangs, d.i. die Anzahl der Wiederholungen pro Zeit, also der Kehrwert der Periodendauer mit [f] = 1 S-l = 1 Hz (Hertz)

to: Nullzeit, d.i. die Zeit vom Nullpunkt des Koordinatensystems zum ersten Nulldurchgang der Wechselgröße

v = Vm: Maximal-oder Größtwert, d.i. der höchste Wert, den die Wechselgröße v (t) annehmen kann.

W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure 2© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1999

2 4 Wechselstromtechnik

Periodische Wechselgrößen genügen also der Bedingung:

v(t) = v(t + k· T) mit k = 0, ± 1, ± 2, ... (4.1)

In der Elektrotechnik wird der Begriff "Wechselgröße" enger gefaßt als in der Physik, indem unter einer Wechselgröße eine physikalische Größe verstanden wird, die periodisch ist und deren arithmetischer Mittelwert Null ist:

T

~ J v(t) . dt = O. (4.2)

o

Eindeutiger jedoch ist es, wenn die Wechselgröße näher bezeichnet wird, z.B. sinusförmige Wechselgröße oder nichtsinusförmige periodische Wechselgröße:

Bild 4.2 Sinusförmige und nichtsinusförmige periodische Wechselgröße

Mittelwerte

Zur Bedeutung des zahlenmäßigen Gesamtverhaltens einer Wechselgröße werden zeitliche Mittelwerte definiert: Arithmetischer Mittelwert während einer Halbperiode und Gleichrichtwert:

TI2 T

Va = ~ J v(t)· dt. (4.3) lVf = ~ J Iv(t)l· dt. (4.4) o o

Ist die Wechselgröße ein Strom, so entspricht der arithmetische Mittelwert der Halbperiode bzw. der Gleichrichtwert einem Gleichstrom, der dieselbe elektrolytische Wirkung hat wie der gleichgerichtete Wechselstrom. Der Gleichrichtwert (elektrolytischer Mittelwert) ist der arithmetische Mittelwert der absoluten, also gleichgerichteten Augenblickswerte der Wechselgröße.

Quadratischer Mittelwert oder Effektivwert:

T

V= ~ J [v (t)]2 . dt . (4.5) o

Der Effektivwert eines Wechselstroms entspricht zahlenmäßig einem Gleichstrom, der dieselbe Wärmeenergie entwickelt und dieselbe Kraftwirkung auf andere stromdurchflossene Leiter zeigt wie der betreffende Wechselstrom.

4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen 3

Für die Beschreibung der Kurvenform periodischer Wechselgrößen werden definiert:

Formfaktor = Effektivwert Gleichrichtwert

4.1.2 Sinusförmige Wechselgrößen

S h ·t lf kt Maximalwert c el e a or = -:c::-c,..,.-----Effektivwert

Wechselgrößen, die sich zeitlich sinusförmig ändern, haben in der Elektrotechnik große Bedeutung. Von den vielfältigen Anwendungsbeispielen sollen zwei herausgegriffen werden: Bei der Übertragung elektrischer Energie werden sinusförmige Ströme und Spannungen einer Frequenz verwendet, so daß der geringste gerätetechnische Aufwand erforderlich wird (siehe Kapitel 7: Mehrphasensysteme). Jede beschränkte nichtsinusförmige periodische Wechselgröße läßt sich in eine bestimmte unendliche Reihe mit sinusförmigen Summengliedern überführen (siehe Kapitel 9: Fourieranalyse).

Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen:

Bei der Behandlung des Induktionsgesetzes wurden bereits sinusförmige Spannungen dargestellt: Durch das Drehen einer rechteckigen Spule mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit in einem homogenen zeitlich konstanten Magnetfeld entsteht in der Spule eine sinusförmige Spannung (Band 1, Abschnitt 3.4.6.1, GI. (3.300»:

u = - w . A . ro . B . sin rot. q

Grundsätzlich wird eine sinusförmige Wechselgröße

v(t) = v· sin(rot + <Pv)

durch drei Größen bestimmt:

durch den Maximalwert oder die Amplitude v, die Kreisfrequenz ro = 21tf = 2n/T

(4.6)

und den Anfangsphasenwinkel <pv, der von dem willkürlichen Beginn der Zeitzählung bei t = 0 abhängt.

Eine sinusförmige Wechselgröße läßt sich sowohl in Abhängigkeit von der Zeit t als auch vom Winkel a = rot darstellen:

Bild 4.3 Sinusförmige Wechselgröße in Abhängigkeit von t und rot


Bei der Darstellung der Sinusgröße in Abhängigkeit von wt lautet die Bedingungsgleichung für die Periodizität entsprechend:

v(wt) = v(wt + k . 2n:) mit k = 0, ± 1, ± 2, ... (4.7)

Mittelwerte sinusförmiger Wechselgrößen

Mit den Definitionsgleichungen für Mittelwerte (GI. (4.3) bis (4.5» lassen sich die Mittelwerte für sinusförmige Wechselgrößen v(t) = v . sin wt errechnen:

TI2 7t '" 7t

Va=~f v(t).dt=1...f v(wt)'d(wt)=~f sinwt·d(wt) T 2n: n:

o 0 0

'" '" V 1t V Va = -[- cos wt] = - [- cosn: + cosO]

n: 0 n:

2", '" Va = - V = 0,637 . v

n: T 21t 1t

-lJ 1J 1J lvi = - Iv(t)l· dt = - Iv(wt)l· d(wt) = 2 · - v (wt) . deM) T 2n: 2n:

lvi = Va

V=

000

T

~ f [v (t)f . dt o

21t

1 f [v (wO]2 . d(wt) 2n:

o

21t

~f sin2wt· d(wt) 2n:

o

mit sin2 wt = ~ (1 - cos 2wt)

1 1 2f1t --"'v . ~(~_ sin2wt )1 21t - . - (1-cos2wt)·d(wt) 2n: 2 2n: · 2 2n: · 2 . 2 0

o '"

(4.8)

(4.9)

V = ~ = 0,707· v (4.10)

Für sinusförmige Wechselgrößen haben Form- f 1

und Scheitelfaktor fOlgen~e Werte: t 0.5 "+ -I----\---L----I--

V

V f2 n: Formfaktor = - = - = --= 1 11

Va 2", 2f2 ' -v n:

'" Scheitelfaktor = ~ = f2 = 1,414. Bild 4.4 Darstellung der Mittelwerte

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der komplexen Rechnung

4.2.1 Notwendigkeit der Berechnung im Komplexen

Problemstellung

5

Wechselstromnetze sind Netzwerke, in denen sinusförmige Quellspannungen oder Quellströme gleicher Frequenz auf ohmsche, induktive und kapazitive Widerstände wirken. Die sinusförmigen Ströme und Spannungen sind Zeitfunktionen, die verschiedene Richtungen annehmen können. Positive Richtungen werden für Ströme und Spannungen für Kapazitäten (Band 1: Abschnitt 3.3.4, GI. (3.97) und (3.98)) und Induktivitäten (Band 1: Abschnitt 3.4.7, GI. (3.327)) festgelegt und durch entsprechende Pfeile gekennzeichnet. Die Beschreibung der Vorgänge in Wechselstromnetzen ergeben Differentialgleichungen für unbekannte Ströme oder Spannungen, die gelöst werden müssen.

Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

u

Bild 4.5 Reihenschaltung eines ohmsehen Widerstandes und einer Induktivität

Nach GI. (3.328) (Band 1) lautet die Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten:

u = UR + uL

u· sin (rot + <Pu) = R· i + L di . dt

Die Berechnung von Strömen ist durch die Lösung der Differentialgleichung mit A

Hilfe des Lösungsansatzes i = i . sin (rot + q» möglich, aber wegen trigonome-trischer Umformungen sehr aufwendig, wie im Abschnitt 4.2.5 an einem Beispiel gezeigt wird. Sind die Quellspannungen und Quellströme sinusförmig, dann sind alle Ströme und Spannungen an den passiven Schaltelementen (ohmscher Widerstand, Kapazität, Induktivität) sinusförmig. Die gleiche Frequenz der Quellspannungen und Quellströme bestimmen auch die gleiche Frequenz sämtlicher Ströme und Spannungen im Netzwerk. Die Zusammenhänge zwischen den Strömen und Spannungen in einem Zeitdiagramm zu entwickeln, ist ebenfalls aufwendig und ungenau, weil die Sinusverläufe punktweise durch Überlagerung der Augenblickswerte ermittelt werden müssen. Bei umfangreicheren Netzen ist die Darstellung der Ströme und Spannungen in einem Diagramm nicht mehr möglich, weil die Sinuskurven nicht mehr auseinandergehalten werden können.

Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

I o 11./2

I I I 11. 3/211. 211.

Bild 4.6 Sinusförmige Verläufe von Strom und Spannungen der Reihenschaltung von R undL

Die sinusförmigen Verläufe im Bild 4.6 werden in folgender Reihenfolge entwickelt: A

1. i = i . sin (rot + <pj) A

2. uR = R . i = R . i . sin (rot + <Pi)

d' A

3. UL=L--.!.= ro · L· i · cos(rot+ <Pi) dt

4. u=uR +UL.

Die rechnerische und grafische Behandlung von Wechselstromnetzen ist im Zeitbereich wohl möglich, aber wegen des großen Aufwandes praktisch nicht durchführbar.

LtJsung des Problems: Prinzip des Berechnungsverjahrens

Werden sämtliche sinusförmigen Ströme und Spannungen eineindeutig (umkehrbar eindeutig) in entsprechende komplexe Zeitfunktionen abgebildet, dann können Wechselstromnetze im komplexen Bereich sowohl einfach berechnet als auch einfach grafisch behandelt werden. Beide Verfahren und die sich daraus ergebende "Symbolische Methode" werden im folgenden ausführlich dargestellt. Die eineindeutige Abbildung ist möglich, weil bei vorgegebener Frequenz f oder Kreisfrequenz ro sowohl die Sinusgröße als auch die komplexe Größe nur noch durch zwei Größen bestimmt sind:

die Sinusgröße durch Amplitude und Anfangsphasenwinkel, die komplexe Größe durch Betrag und Argument (Winkel).

4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen 7

Mathematische Voraussetzungen

Für die rechnerische und grafische Behandlung der abgebildeten Sinusgrößen ist es notwendig, die wichtigsten Zusammenhänge der "komplexen Rechnung" zu kennen, die hier nur zusammengefaßt werden.

Darstellungsform einer komplexen Zahl: Algebraische oder kartesische Form:

~ = x + j y mit x, y als reelle Zahl mit j = V-T als imaginäre Einheit

Trigonometrische oder goniometrische Form: ~ = r . (cos <p + j . sin <p)

mit r = I~I = -Vx2 + i und <p = arctan (y/x)

Exponentialform:

und x = r . cos <p und y = r . sin <P

jy z - - - - - - - Plx,y)

I

I I I

'9 I

x

Bild 4.7 Darstellung der komplexen Zahl

~ = r . e jcp mit e jcp = cos<p + j . sin <P (Eulersche Formel)

konjugiert komplexe Zahl zur komplexen Zahl ~: ~* = x - j y = r . (cos <p - j . sin <p) = r . e-jcp

Komplexe Zahlen werden in der Gaußsehen Zahlenebene durch Punkte P (x, y) oder Zeiger, das sind Pfeile vom Koordinatenursprung zu den Punkten P, dargestellt (Bild 4.7).

Operationen mit komplexen Zahlen !l = Xl + j YI und !2 = X2 + j Y2 :

Addition und Subtraktion:

~l ± ~2 = (xl ± x2) + j . (Yl ± Y2)

Multiplikation: ~l . ~2 = rl . r2 · ej(cp· +1P2) = rl . r2· [COS(<Pl + <P2) + j . sin (<PI + <P2)]

~l . ~2 = (xlx2 - YlY2) + j (xIY2 + X2Yl)

Division:

~l rl . ( ~ \ rl . . - = - el 'PI - 'f'V = - [cos (<PI - <P2) + J . sm (<PI - <P2)] ~2 r2 r2

~l xl + j Yl X2 - j Y2 xlx2 + YIY2 . x2Yl - xIY2 -= .' . = 2 2 +J 2 2 ~2 x2 + J Y2 x2 - J Y2 x2 + Y2 x2 + Y2

Potenzieren:

?"n = rn . e jncp = rn . [cos(n<p) + j . sin (n<p)]

Radizieren: . q>+k · 360°

nl J n nl ( <p + k . 3600 • • <P + k . 3600 ) xk = 'V r . e = 'V r· cos + J . sm n n

mit k = 0, 1, 2, ... , n - 1.

4.2.2 Die Darstelluug sinusförmiger Wechsel größen durch komplexe Zeitfunktionen, Lösung der Gleichung im Komplexen und Rückführung in die gesuchte Zeitfunktion (rechnerisches Verfahren)

Transformation ins Komplexe Jede sinusförmige Wechselgröße v (t) wird in eine entsprechende komplexe Zeitfunktion y(t) eineindeutig abgebildet:

Zeitbereich (Originalbereich)

v(t) = v· sin(rot + <py)

mit v: Amplitude

und <Py: Anfangsphasenwinkel

komplexer Bereich (Bildbereich)

--+ y(t) = v· cos(rot + <p)

+ j . v . sin (rot + <py)

() " j(rot+y) y t = v· e

" i v i rot y(t) = v· e . e

= f2. V· eiv. ei rot

y(t) = y. ei rot = f2. V. ei rot

• " " i<py mlt~=v· e

als komplexe Amplitude (v: Amplitude, <py: Anfangsphasenwinkel)

und V = V· ei y als komplexer Effektivwert (V: Effektivwert,

<py : Anfangsphasenwinkel)

(4.11)

Bei der Abbildung der sinusförmigen Zeitfunktion v (t) in die komplexe Zeitfunktion y(t) wird also die Sinusfunktion mit der imaginären Einheit j multipliziert und die Kosinusfunktion mit dem gleichen Argument dazuaddiert. Wie im folgenden zu sehen ist, bietet diese Abbildung viele Vorteile bei der Behandlung von Wechselstromnetzen. Die sinusförmige Wechselgröße v (t) des Zeitbereiches ist also gleich dem Imaginärteil der komplexen Zeitfunktion y(t).

Selbstverständlich kann auch die Kosinusfunktion v = v . cos (rot + <py) in die komplexe Zeitfunktion y abgebildet werden, indem die imaginäre Sinusfunktion mit gleichem Argument dazuaddiert wird. Da diese Abbildung keine Vorteile gegenüber der hier dargestellten Abbildung bietet und um Verwechslungen zu vermeiden, wird diese Art der Abbildung nicht beschrieben.


Der komplexe Effektivwert V wird in vielen Literaturstellen in Frakturbuchstaben angegeben: ID. Der Vorteil dieser Schreibweise ist, daß im Zeichen selbst sofort erkennbar ist, daß nicht nur der Betrag der komplexen Größe, sondern Betrag (Effektivwert V) und Argument (Anfangsphasenwinkel CJ)v) der komplexen Größe erfaßt sind. Entsprechendes gilt für komplexe Zeitfunktionen 0 (t). Der Nachteil der Frakturbuchstaben besteht im Erlernen neuer Zeichen:

o (t) = y(t) komplexe Zeitfunktion bei allgemeiner Betrachtung

i (t) = !(t) und u (t) = !!(t) komplexe Zeitfunktion von Strom und Spannung

m = V komplexer Effektivwert bei allgemeiner Betrachtung

3 =! und U = U komplexer Effektivwert von Strom und Spannung

Die Schreibweise mit unterstrichenen lateinischen Buchstaben hat sich in der neueren Literatur durchgesetzt, weil sie leichter erlernbar ist. Der Nachteil ist, daß der Strich unter dem Buchstaben häufig vergessen wird, wodurch gravierende Fehler entstehen. In Induktivitäten und Kapazitäten hängen Strom und Spannung differentiell bzw. über Integrale zusammen:

L di . 1 J d d· C du 1 J' d u = dt' 1 = LU' t un 1 = dt' u = Cl' t

d.h. die Zeitfunktion und die komplexen Zeitfunktionen müssen differenziert und integriert werden:

Zeitbereich (Originalbereich) komplexer Bereich (Bildbereich)

dv(t) = d [V. sin(oot + CJ)v)]

dt dt - dy(t) _ d[V· ej(rot + IIIv)] ---cit- dt

d ~~t) = 00' v . cos (oot + CJ)v) dv(t). ~ j(rot + IIIv) ---=J·oo·v·e

dt

d~~t) = j . 00 • y(t) (4.12)

d2v(t) 2 ~ . ) --= - 00 • v . sm (oot + CJ) ~ d~ v

d2d~~t) = _ 002. y(t) (4.13)

J v(t) . dt = - ! v· cos (oot + 'CJ)v) ~ J y(t)· dt = J v· ej(rot+ IIIv) . dt

J y(t).dt=~y(t) (4.14) Joo

Die Differentiation der komplexen Zeitfunktion bedeutet eine Multiplikation mit j 00, die Integration eine Division durch j 00.

Transformation der Differentialgleichung ins Komplexe

Dadurch lassen sich die mit Hilfe des Maschensatzes und der Knotenpunktregel aufgestellten Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen überführen.

Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität Zeitbereich: Differentialgleichung

u· sin(oot+ 'Pu> = R· i(t) + L~ dt

Transformationen:

u(t) = u· sin (oot + 'Pu)

i (t) = i . sin (oot + 'Pi)

di(t) dt

~ j(Olt + 'Pu) ~ .!!(t) = u· e

'(t) '> j(Olt + 'Pi) ~ 1 = I,e

di (t) , , ( ) ~ ---=)00'1 t

dt -

komplexer Bereich: algebraische Gleichung

~ j( Olt + 'Pu) u, e = R'! (t) + jooL '! (t)

LOsung der algebraischen Gleichung

Die algebraischen Gleichungen können nun einfach nach der transformierten gesuchten Größe aufgelöst werden.

zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

~ j(Olt+'P) u, e u =! (t) , (R + j ooL)

~ j(oot + 'Pu> i(t) = ,::.u--,' e=--__

R+jooL

Rücktransformation in den Zeitbereich

Um die Lösung im Zeitbereich, also die gesuchte sinusförmige Zeitfunktion, zu erhalten, muß die Abbildung entsprechend rückgängig gemacht werden, d.h. die Lösung der algebraischen Gleichung muß rücktransformiert werden. Bei der Rücktransformation der komplexen Zeitfunktion y(t) in die Zeitfunktion v(t) muß der Kosinusanteil verschwinden und der Sinusanteil reell werden. Die Rücktransformation bedeutet also das Errechnen des Imaginärteils der komplexen Zeitfunktion:

v(t) <Jm{y(t)} (4.15)

Die Rücktransformation ist allerdings erst dann möglich, wenn die Lösung der algebraischen Gleichung so umgeformt wurde, daß der Imaginärteil abgespalten werden kann. Diese Umformung erfolgt im allgemeinen nach folgenden Schritten:

1. Der komplexe Nenner in algebraischer Form wird in die Exponentialform umgeformt:

x + j y = r . ei<P mit r=~

und <p = arc tan r x

2. Der ei<P-Anteil des Nenners wird mit e- i<p in den Zähler gebracht und mit dem e-Anteil der abgebildeten Sinusgröße im Zähler zusammengefaßt.

3. Der gesamte e-Anteil des Zählers wird nach der Eulerschen Formel

eia = cosa + j. sina

in die trigonometrische Form überführt. 4. Die Rücktransformation der komplexen Zeitfunktion in die gesuchte sinus

förmige Zeitfunktion kann nun vorgenommen werden, indem nur der Imaginärteil berücksichtigt wird.

Anschließend lassen sich mit der Lösung im Zeitbereich die restlichen unbekannten Ströme und Spannungen ermitteln.

zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmsehen Widerstandes und einer Induktivität

'" j(cot+<Pu) Zu 1. i (t) = u . e

- Y R2 + (roL)2 . ei· are tan (coUR)

'" Zu 2. i (t) = u . ei (cot + <Pu - are tan coUR)

- -VR2 +(roL)2

Zu 3. i (t) = U . eos (rot + <Pu - are tan roL) - -VR2 + (roL)2 R

+ j . U . sin ( rot + <Pu - are tan ~ ) -J R2 + (roL)2

Zu 4. i (t) = 3nt{i (t)) = U . sin (rot + <Pu _ are tan roL) - -VR2+(roL)2 R

mit i (t) = i . sin (rot + <Pi)

'" ergeben sich die Stromamplitude 1 u

-VR2 +(roL)2

und der Anfangswinkel des Stroms <Pi = <Pu - are tan roL R

Die beiden Spannungen UR und UL können nun mit dem Strom i (t) berechnet werden:

uR(t)=R-i(t)= R-u -sin(rot+<Ilu-arctan roL) -JR2+(roL)2 R

UL(t) =L di(t) roL -u _ cos(rot+<Ilu-arctan roL) dt -JR2 + (roL)2 R

UL(t) = roL-u -sin(rot+<Ilu-arctanroL+~) -JR2+(roL)2 R 2

Zusammenfassung Prinzipiell erfolgt die Berechnung eines Wechselstrom-Netzwerkes mit Hilfe der komplexen Rechnung nach folgendem Schema:

Zeitbereich ( Originalbereich)


Transformation Differentialgleichnng --------------' .. ~ algebraische Gleichung

I I I

aufwendiger Lösungsweg I +

Lösung der Differentialgleichung

.. Rücktransformation Lösung der algebraischen Gleichung


4.2.3 Die Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen durch Zeiger und die Ermittlung der gesuchten Zeitfunktion mit Hilfe des Zeigerbildes (grafisches Verfahren)

Transformation in Zeiger

13

Die im vorigen Abschnitt rechnerisch behandelte Abbildung der sinusförmigen Wechselgröße in die komplexe Zeitfunktion bedeutet grafisch eine Abbildung der Sinusfunktion in einen um den Koordinatenursprung der Gaußschen Zahlenebene rotierenden Zeiger, der sich im mathematisch positiven Sinn mit der Winkelgeschwindigkeit Ol dreht:

Z ei tber eich (Original bereich J komplexer Bereich (BildbereichJ

y(tJ --------- -----

t= t

Bild 4.8 Transformation einer sinusförmigen Zeitfunktion in einen rotierenden Zeiger

Zeitbereich (Originalbereich)

v(t) = v· sin(Olt + Cj)y)

dargestellt: v (Olt)


() ~ j(rot+ Cjly ) ----+ v t =v · e

~(t) = y. e jrot = f2. V· ejrot

. ,.. ~ j Cjly . mit ~ = v . e als komplexe Amphtude

und V = V . e j Cjly als komplexer

Effektivwert

Die Projektion des rotierenden Zeigers ~(t) auf die imaginäre Achse ist der Augenblickswert v(t) der sinusförmigen Wechselgröße. Zwischen dem rotierenden Zeiger und der Sinusgröße besteht somit eine eineindeutige Beziehung -genauso wie zwischen der komplexen Zeitfunktion und der Sinusfunktion. Die Zeitfunktion v im Zeitbereich ist nicht in Abhängigkeit von t, sondern in Abhängigkeit von Olt dargestellt, damit die zugeordneten Winkel besser ersichtlich sind: der Anfangswinkel Cj)y, der beliebig gewählte "Drehwinkel" rot (von t = 0 bis zur beliebigen Zeit t) und die Gesamtwinkel Olt + Cj)y, und OlT = 21t).

In dieser Weise können beliebig viele sinusförmige Wechselgrößen gleicher Frequenz in der komplexen Ebene durch Zeiger dargestellt werden.

Oberlagerung zweier sinusförmiger Wechselgrößen bzw. zweier Zeiger

Wie bereits eingangs ausgeführt, sind sämtliche in einem Wechselstromnetz vorhandenen Ströme und Spannungen sinusförmig, d.h. auch die Summe zweier sinusförmiger Wechselgrößen mit unterschiedlicher Amplitude und mit unterschiedlichen Anfangsphasenwinkeln muß eine sinusförmige Wechselgröße ergeben, die eine resultierende Amplitude und einen resultierenden Anfangsphasenwinkel besitzt. Dieses Ergebnis muß sich auch im komplexen Bereich bestätigen, indem zwei Zeiger addiert einen resultierenden Zeiger ergeben.

Trigonometrische Addition im Zeitbereich:

vr=v1 + v2

oder

mit vr = vr ' sin(rot + <Pvr)

vl = vl . sin (rot + CPvl) und v2 = v2 . sin (rot + CPv2)

vr = vr ' sin (rot + <Pvr) = vI . sin (rot + <Pvl) + v2 . sin (rot + <Pv2)

mit sin (a. + ß) = sin a. . cos ß + cos a. . sin ß vr = vr . sin rot . COS <Pvr + vr . cos rot . sin<Pvr

vr = vI . sin rot . cos <Pvi + VI . cos rot· sin <Pvi

+ v2 . sin rot . cos <Pv2 + v2 . cos rot· sin <Pv2

V r = vr . COS <Pvr . sin rot + vr . sin <Pvr . cos rot

(4.16)

vr = (vI . COS <Pvl + v2 . cos <Pv2) . sin rot + (VI' sin <Pvi + V2 . sin<Pv2) . cos rot

Damit ergeben sich zwei Gleichungen ~ ~ ~

Vr ' cosCPvr = vI . COSCPvl + V2 ' COSCPv2

Vr ' sin<Pvr = VI . sin <Pvi + V2 . sin <Pv2

mit den zwei Unbekannten vr und <Pvr' die sich durch Quadrieren und Addieren bzw. Dividieren errechnen lassen:

~2 2 ~2· 2 ~2 Vr . COS <Pvr + Vr . sm <Pvr = Vr

= (VI' COS <Pvi + V2 . COS <Pv2)2 + (VI' sin <Pvi + V2 . sin <Pv2)2 ~2 2 ~2 2 2 '" '" = VI . COS <Pvi + v2 . COS <Pv2 + . VI . v2 . COS <Pvi . COS <Pv2 "'2 . 2 "'2· 2 2 '" "'. . + VI . sm <Pvl + v2 . sm <Pv2 + . VI' V2' sm<Pvl . sm<Pv2 ··2 2 1'2 2 1 mIt sm <Pvi + COS <Pvi =, sm <Pv2 + COS <Pv2 =

und cos <Pv2 . COS <Pvi + sin <Pv2 . sin <Pvi = COS (<Pv2 - <Pvl)

ergibt sich schließlich

und damit die Formel für die Amplitude der resultierenden Wechselgröße: ....... _1-2 -2 .............. vr = 'V vI +v2 +2· vI' v2 ' cos<j>y (4.17)

mit </>v = </>v2 - </>vl'

Mit

Vr ' sin </>vr vI . sin </>vl + V2 · sin </>v2 ~ =tan</>vr=~ ~ v r . cos </>vr vI . COS </>vl + v2 ' COS </>v2

läßt sich der Anfangsphasenwinkel der resultierenden Wechselgröße angeben:

VI . sin </>vl + v2 · sin </>v2 </>vr=arctan ~ ~ (4.18)

vI' COS</>vl + v2 ' COS</>v2

Zeitbereich (Original bereich) komplexer Bereich (Bildbereich)

w

Bild 4.9 Überlagerung von zwei Sinusgrößen im Zeitbereich und von zwei abgebildeten Sinusgrößen im komplexen Bereich

Geometrische Addition im komplexen Bereich:

Das Zeigerbild im komplexen Bereich (im Bild 4.9 rechts) wird im Bild 4.10 dreifach"vergrößert, damit die geometrischen Zusammenhänge besser abgelesen werden können. Mit Hilfe des Kosinussatzes

a2=b2+c2-2bc· cosa

Yr

B r

läßt sich im Dreieck O-C-E die Länge des resultierenden Zeigers Yr aus den Längen der gegebenen

Zeiger Yl und ~ errechnen: Bild 4.10 Überlagerung von Zeigern


Mit cos (1800 - a.) = - cos a.

ergibt sich dasselbe Ergebnis wie bei der trigonometrischen Überlagerung im Zeitbereich:

'" ./ ....... 2 ...... 2 ............. Vr = 'V Vl + V2 + 2 . Vl . V2 . COS (CPv2 - CPvl).

Das Argument des resultierenden Zeigers Yr läßt sich aus den folgenden Streckenverhältnissen berechnen:

EB CA + ED vl · sinCPvl +v2· sinCPv2 tan CPvr = = = = ~ ~

OB OA + CD vl · COSCPvl +V2 · COSCPv2

vl . sin CPvl +v2 · sin CPv2 CPvr = arc tan ~ ~

vI . COS CPvl +V2 · COS CPv2

Sowohl die trigonometrische Addition im Zeitbereich als auch die geometrische Addition im komplexen Bereich führen zum selben Ergebnis:

Die Summe von zwei sinusförmigen Wechselgrößen gleicher Frequenz ist eine resultierende sinusförmige Wechselgröße derselben Frequenz.

aberlagerung von n sinusf6rmigen Wechselgr6ßen

Die Überlagerung von mehr als zwei sinusförmigen Wechselgrößen läßt sich auf die Überlagerung von zwei sinusförmigen Wechselgrößen zurückführen und ergibt selbstverständlich eine resultierende sinusförmige Wechselgröße derselben Frequenz, deren Amplitude und Anfangsphasenwinkel nach folgenden Formeln berechnet werden können:

n

vr . sin (rot + CPvr) = L Vi· sin (rot + CPvi) i= 1

n

L Vi· sin CPvi i= 1

und CPvr = arc tan -n-----

z.B. für n = 2: ~

L Vi· COSCPvi i=l

v - .1- "'" " ....... "" ....... - -r - 'V vI· VI + VI· Vz . COS (CPvl - CPv2) + V2· Vl . COS(CPv2 - CPvl) + V2· V2

mit COS (- a.) = COS a. ist cos (CPvl - CPv2) = cos (CPv2 - CPvl)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

z.B. für n = 3: ....... 2 .............. ( ) '" '" ( '" '" vr = vl . vl . COS vl - vl + vl . v2 . COS vl - v2) +vl . v3 . COS (vl - v3)

+ ~ . vl . COS (v2 - vl) + v2 . v2 . COS (v2 - v2) +v2 · v3 . COS (v2 - v3)

+ v3 . VI . COS (v3 - vl) + v3 . v2 . COS (v3 - v2) +v3 . v3 . COS (v3 - v3)

17

Vr = '1/ V; + vi +v; +2vl V2cos (v2 - Vl) + 2vl V3 COS (v3 - vl) + 2v2 V3 COS (v3 - v2)

(4.22)

Vereinfachte Zeigerbilder

In der Praxis werden die abgebildeten Sinusgrößen grundsätzlich zum Zeitpunkt t = 0, also als "ruhende Zeiger" gezeichnet. Weil Effektivwerte in weiteren Berechnungen, z.B. Leistungsberechnungen, benötigt werden, berücksichtigt man in Zeigerbildern nicht die komplexen Amplituden, sondern die komplexen Effektivwerte. Das bedeutet gegenüber den komplexen Amplituden eine'Maßstabsänderung mit ff. Die reellen und imaginären Achsen werden bei vereinfachten Zeigerbildern weggelassen, weil für die Beurteilung der sinusförmigen Wechselgrößen einer Schaltung nur die Effektivwerte und die gegenseitige Phasenverschiebung wichtig sind. Die Anfangsphasenwinkel hängen von der willkürlichen Festlegung des Zeitpunktes t = 0 ab, d.h. auch die Lage des Achsenkreuzes der komplexen Ebene zu den Zeigern bedeutet die Festlegung des gleichen Zeitpunktes t = O. Ein Zeigerbild wird grundsätzlich von innen nach außen entwickelt, so daß immer nur die Zeiger von einem oder zwei Schaltelementen, also von einfachen Zweipolen, gezeichnet werden. Sind ein Strom oder eine Spannung in einem Zweig innerhalb der Schaltung nicht gegeben, sondern die Gesamtspannung oder der Gesamtstrom, dann wird trotzdem von diesen Größen ausgegangen, indem ein Zahlenwert vorgegeben wird; nachträglich läßt sich dieser dann proportional korrigieren. Die weiteren Zeiger ergeben sich dann durch Multiplikation oder Division mit einfachen Operatoren. Resultierende Zeiger lassen dann durch geometrische Addition ermitteln, so daß sich schließlich die Gesamtspannung und der Gesamtstrom der Schaltung ergeben. Im vereinfachten Zeigerbild lassen sich also mit einfachen geometrischen Beziehungen die Effektivwerte und Phasenverschiebungen ermitteln und ablesen, so daß sie bei der Behandlung der verschiedensten Wechselstromschaltungen unverzichtbar sind. Um qualitative und quantitative Zeigerbilder bei vorgegebenen Schaltungen entwickeln zu können, ist es allerdings notwendig, die Operatoren und komplexen Widerstände und komplexen Leitwerte kennenzulernen, die im folgenden behandelt werden. Sollen umgekehrt die Zeitfunktionen aus den vereinfachten Zeigerbildern ermittelt werden, so müssen zunächst die Effektivwertlängen auf Amplitudenlängen übertragen und dann eine Zeitlinie für t = 0 festgelegt werden, die der positiven imaginären Achse entspricht und im mathematisch negativen Sinn mit der Winkelgeschwindigkeit 0) rotiert. Die Projektion der Zeiger auf diese Achse ergibt die jeweiligen Augenblickswerte.

Wie man an praktischen Beispielen sieht, ist es nicht notwendig, die Augenblickswerte auf diese Weise zu bestimmen. Aus dem Zeigerbild können die Effektivwerte der interessierenden Ströme und Spannungen und die Phasenverschiebungen abgelesen werden und die Sinusverläufe in einen Zeitdiagramm dargestellt werden. Nachträglich läßt sich der Zeitpunkt t = 0 durch Eintragen der Ordinate festlegen und die Augenblickswerte für beliebige Zeitpunkte ablesen.

zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität.

u

o I I

3,I2rr 2 rr

.--++-+~-=---Q r liL[ijli . :5''=l

Ijl liR I _ _ __

512rr URI 1 Komplexe Amplituden im komplexen Berei ch Vere infach tes Zeigerbild Ze i tfunkt ionen im Ze i tbere ich

Bild 4.11 Beispiel tur den Übergang von Sinusgrößen zum Zeigerbild

Mit Hilfe des vereinfachten Zeigerbildes kann der Effektivwert I bzw. die Amplitude i des sinusförmigen Stroms berechnet werden: Für das "Spannungsdreieck" gilt

U2 = U~ + ut mit UR = R . I und UL = ooL . I

U 2 = R2 . 12 + 002 . L2 . 12

U2 = (R2 +oo2 . L2) . 12,

woraus sich der Strom errechnen läßt:

Die Phasenverschiebung <p zwischen Strom i und Spannung u kann ebenfalls aus dem "Spannungsdreieck" ermittelt werden:

UL ooL· 1 ooL tan<p=-=--=-

UR R·I R

<p = arc tan ooL . R

Mit der Definition tur die Phasenverschiebung

<P = <Pu - <Pi

bestätigt sich das Ergebnis, das durch die Lösung der algebraischen Gleichung erhalten wurde:

ooL <p;. = %-<p= %-arctan-.

R

Damit sind die beiden Größen i und <Pi des sinusförmigen Stroms i (t) bei vorgegebener Frequenz ermittelt:

i(t)= U . sin(oot+%-arctanOOL). ,.,fR2 + (ooL)2 R


4.2.4 Das Rechnen mit komplexen Effektivwerten in Schaltungen mit komplexen Operatoren bzw. komplexen Widerständen und komplexen Leitwerten (Symbolische Methode)

Komplexe Operatoren Werden die sinusförmigen Wechselgrößen in den drei Arten von Wechselstromwiderständen (ohmsche, induktive und kapazitive Widerstände) in entsprechende komplexe Zeitfunktionen abgebildet, dann entstehen reelle und imaginäre Operatoren, mit deren Hilfe komplexe Zeitfunktionen (rotierende Zeiger), komplexe Amplituden und komplexe Effektivwerte (ruhende Zeiger bei t = 0) ineinander überführt werden können:

ohmseher induktiver kapazitiver Widerstand Widerstand Widerstand

u=R·i u=L di u =.l Ji. dt dt C

u=M di dt

Zeitbereich i=~=G·u i=t Ju. dt i= C du (Originalbereich) R dt

i=l... Ju. dt M

u=R·i !!.=jroL·! i

U=---- - jroC !!.=jroM .!

komplexe i=!!. =G·u

u ! = jroC . .!! i=-=--Zeitfunktionen - R - -jroL

u i=~ - jroM

u=R·i A

~=jroL. i ~ i - - U=-=-- jroC

komplexer ~=jroM ·1 Bereich komplexe

~ ~

A U ~ A U ~

(Bildbereich) Amplituden i===G·u i =-=-- ! =jroC- ~ - R - - jroL /'00

A U i=~ - jroM

U=R·I U = jroL·! I

U=---- - jroC ~=jroM· !

komplexe U U !=jroC· U I===G·U I=-=-Effektivwerte - R - - jroL

U I=-=-- jroM


Von den komplexen Zeitfunktionen kommt man auf komplexe Amplituden, indem beide Seiten der Gleichungen durch eic.ot dividiert werden. Diese Gleichungen durch f2 dividiert, ergeben die Gleichungen für die komplexen Effektivwerte.

Für ohmsche Widerstände sind die Operatoren reell:

Widerstand R Leitwert G

für induktive Widerstände sind die Operatoren positiv und negativ imaginär:

WiderstandjroL bzw. jroM Leitwert-1_=-j_l- bzw _l_=_j_l_ j roL roL . j roM roM

für kapazitive Widerstände sind die Operatoren negativ und positiv imaginär:

W·d d 1 . 1 1 erst an --=-J-j roC roC

Leitwert j roC

Maschensatz und Knotenpunktsatz der Wechselstromtechnik

Mit den Beziehungen zwischen den Strömen und Spannungen im Zeitbereich entstehen Differentialgleichungen aufgrund des Maschensatzes und des Knotenpunktsatzes für zeitlich veränderliche Spannungen und Ströme: Die Summe der Augenblickswerte der Die Summe der Augenblickswerte der Spannungen (Quellspannungen und EMK einer Masche ist gleich der Spannungsabfälle an den Wechsel- Summe der Augenblickswerte der stromwiderständen) in einer Masche Spannungsabfälle an den Wechsel-ist Null. Wird mit Quellspannungen stromwiderständen. Wird mit EMK gerechnet, wird jede Masche nur ein- gerechnet, dann muß jede Masche mal durchlaufen: zweimal durchlaufen werden (für ej

und für Uj): I

L uj(t) = 0 (4.23) j=l

In einem Knotenpunkt eines verzweigten Wechselstromkreises ist die Summe aller vorzeichenbehafteten Augenblickswerte der Ströme gleich Null:

I

L i/t) = 0 (4.25) j = 1

n m

(4.24) j = 1 j = 1

Die Summe der Augenblickswerte der zum Knotenpunkt hinfließende Ströme ist gleich der Summe der Augenblickswerte der vom Knotenpunkt wegfließenden Ströme:

n m

L ij(t) = L ij(t) (4.26) i=l i=l t 1

Werden sämtliche sinusförmigen Spannungen und Ströme auf die beschriebene Weise in komplexe Zeitfunktionen abgebildet, ergeben sich aus den Differentialgleichungen algebraische Gleichungen, das sind die Maschengleichungen und Knotenpunktgleichungen in komplexer Form:

1 1 1 1

L Ui(t)=O~ L !!i(t) =0(4.27) und L ii(t)=O~ L L(t)=O i=l i=l i=l i=l

Ml.t () ~ j(oot + <Pui) !!i t = u i . e

(t) 0'2 u j <Pui j oot !!i = Y L.. i· e . e . t

u.(t) = f2. U.· e Joo -I -I

d . () '" j (oot + <Pü) un 1· t =1··e -I 1

. (t) - 0'2 I j <Pii j oot 1· -YL.· ··e ·e -I 1

i. (t) = f2 . I .. e j oot -1 -1

(4.28)

lauten die Maschen- und Knotenpunktgleichungen in komplexen Effektivwerten: 1

~ U·=O L.-I i = 1

Symbolische Methode

(4.29) 1

~ 1·=0 L. -I i=l

(4.30)

Weil zwischen den komplexen Effektivwerten der Ströme und Spannungen in Wechselstromwiderständen lineare Beziehungen über reelle und imaginäre Operatoren bestehen und weil die Maschen- und Knotenpunktgleichungen in komplexen Effektivwerten gelten, kann ein Wechselstrom-Netzwerk mit den gleichen Verfahren behandelt werden, wie sie für die Berechnung von Gleichstrom-Netzwerken angewendet wurden. Dazu muß das Wechselstrom-Schaltbild entsprechend umgeformt werden:

Alle sinusförmigen Zeitfunktionen werden in entsprechende komplexe Effektivwerte überführt. Ohmsche Widerstände R bleiben im Schaltbild unverändert, da der Operator zwischen den komplexen Effektivwerten von Strom und Spannung Rist. 1nduktivitäten L und Gegeninduktivitäten M werden wie induktive Widerstände mit den imaginären Operatoren j roL und j roM behandelt. Die Operatoren ersetzen im Schaltbild L und M. Kapazitäten C werden als kapazitive Widerstände mit dem Operator l/j roC berücksichtigt, weil der komplexe Effektivwert des Stroms durch Multiplikation mit dem Operator l/j roC in den komplexen Effektivwert der Spannung überführt wird. Anstelle von C wird im Schaltbild l/j roC geschrieben. Nachdem die Operatoren im Schaltbild eingetragen sind, werden die Netzberechnungshilfen (Spannungs-und Stromteilerregel (Bd. 1: GI. (2.34) und (2.35) bzw. (2.58) und (2.59» und die Netzberechnungsverfahren (Bd. 1: Abschnitt 2.3) angewendet, wodurch sich die algebraischen Gleichungen in komplexen Effektivwerten ergeben, die dann gelöst werden.

Die Lösungen in komplexen Effektivwerten müssen in Lösungen in kom

plexen Zeitfunktionen überführt werden, indem sie mit f2. ejoot multipliziert werden. Die Rücktransformation der komplexen Zeitfunktion in die sinusförmige Zeitfunktion ist bereits im Abschnitt 4.2.2 beschrieben worden.

zum Beispiel: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

Schaltung im Zeitbereich Schaltung im Bildbereich

i R L 1 R jwL ~ 0 .. ~ - - - -UR uL lJR !:J.L .. • U .lJ.

Bild 4.12 Beispiel für den Übergang einer Wechselstromschaltung in eine Schaltung mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren

Maschensatz in komplexen Effektivwerten:

U = UR + .!:2.L = R . ! + j roL . !

algebraische Gleichung:

U = (R + j roL) . ! Lösung der algebraischen Gleichung in komplexen Effektivwerten:

U I=-.=.-- R+jroL

Lösung der algebraischen Gleichung in komplexen Zeitfunktionen:

;0.. j(Olt+<i'U) u·e i (t) = u

- R+jroL R+ jroL

Rücktransformation siehe Abschnitt 4.2.2.

0


4.2.5 Lösungsmethoden für die Berechnung von Wechselstromnetzen

abersicht

23

Wie in den vorhergehenden Abschnitten beschrieben, gibt es vier Lösungsverfahren für die Berechnung von Wechselstrom-Netzwerken: Verfahren 1: Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

(im Abschnitt 4.2.1 erwähnt) Verfahren 2: Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe von komplexen Zeit

funktionen (dargestellt im Abschnitt 4.2.2)

Verfahren 3: Lösungsmethode mit Operatoren - Symbolische Methode (dargestellt im Abschnitt 4.2.4)

Verfahren 4: Grafische Lösung mit Hilfe von Zeigerbildern (dargestellt im Abschnitt 4.2.3)

Die folgende Übersicht zeigt, wie die Verfahren ineinandergreifen:

Schaltung mit sinusförmigen Energiequellen

und linearen Schaltelementen

I I 4

3 4 I 1 2

Schaltung mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren

l Differentialgleichung

I im Zeitbereich 3 4

I 2t

4 algebraische algebraische Gleichung in 3 Gleichung in komplexen komplexen

Zeitfunktionen Effektivwerten

2 3 3t I 4

t Lösung der Lösung der

1 algebraischen

~ algebraischen Zeigerbild mit

Gleichung in Gleichung in komplexen komplexen komplexen Effektivwerten

ZcitfunkLionen Effektivwerten

2 3 4


im Zeitbereieh

Im Abschnitt 4.4 werden die vier Verfahren hinsichtlich ihrer praktischen Anwendbarkeit untersucht und Beispiele von Netzwerken durchgerechnet.

Beispiel: Anhand eines Schaltungsbeispiels sollen die vier Berechnungsverfahren für WechselstromNetzwerke erläutert werden, um die Vor- und Nachteile beurteilen und die Zusammenhänge zwischen den Verfahren besser verstehen zu können.

Schaltung mit sinusförmiger Energiequelle

und linearen Schaltelementen

gegeben: Rj, R, C und

uq (t) = uq . sin (rot + <Pu)

gesucht: uc(t), ic(t)

i (tl icltl

R C ! uc(tl

iR (t) und i (t) Bild 4.13 Beispiel eines Wechselstromnetzes

Verfahren 1 und 2

Differentialgleichung im Zeitbereich

Verfahrenl


im Zeitbereich

URj + Uc = uq (Maschensatz für Augenblickswerte)

Rj.i+uc=uq

i = iR + ic (Knotenpunktsatz für Augenblickswerte)

. Uc duc l=-+C--

R dt

Rj .(uc +CdUc)+uc=Uq R dt

Rj duc -uc+Rj .C,--+uc=uq R dt

Die Kondensatorspannung Uc kann nur einen sinusförmigen Verlauf haben, weil die Quellspannung Uq sinusförmig ist. Der Lösungsansatz lautet deshalb

Uc = Uc sin (rot + <Puc>

Nachdem er differenziert ist

duC ,.. ,.. ( 1t ) --= Uc- ro· cos (rot + <Puc> = ro· Uc- sin rot +-+ CJluc ' dt 2

wird er und die Ableitung in die Differentialgleichung eingesetzt:

Rj' C· ro· Uc- sin ( rot+~+ uc )+ (~i + 1)- Uc sin (rot + <Puc> = uq . sin (rot + <Pu)

Uc- [ro Rj C· sin ( rot +~+ <Puc) + (:j + 1)- sin (rot + <PuC>] = Uq . sin (rot + <Pu)

Uc '(vl . sin (rot + <Ilvl) + V2' sin (rot + vV] = Uq . sin (rot + <Pu>

Der Klammerausdruck der linken Seite ist eine Überlagerung von zwei sinusförmigen Wechselgrößen Vl und V2 mit unterschiedlichen Amplituden und unterschiedlichen Anfangsphasenwinkeln, die nach den GI. (4.16), (4.17) und (4.18) zu einer resultierenden sinusförmigen Wechselgröße Vr zusammengefaßt werden:

mit

und

d.h.

uc (vl . sin (rot + CJlvl) + V2 . sin (rot + <PY;U 1 = uc v r . sin (rot + CJlvr)

roRi C . sin (~+ 'Pue) + (:i + 1) . sin 'Pue 'Pvr = arc tan ____ -'-= __ L---'..::.c...--,!-~ __

roRC .cos(~+ 'P )+ (Ri + 1)' cos m 1 2 ue R Tue

mit sin ( 'Pue + ~) = cos 'Pue und cos ( 'Puc + ~) = - sin 'Pue

roRi C . cos 'Pue + (:i + 1) . sin 'Pue CJlvr = arc tan ---------'-,"-"---~---

- roRi C . sin 'Pue + (:i + 1) . cos 'Pue

erweitert

roRiC --+tan'Pue R -':+1 R 'Pvr = arc tan -=-=------

roRiC ---·tann> +1 R. Tue

-.:+ 1 R

mit arc tan ~ = arc tan x + arc tan y -xy+ 1

roRiC roRiC CJlvr = arc tan --+ arc tan (tan 'Pud = arc tan --+ lPue

Ri Ri -+1 -+1 R R

~ Ri roRi ~ [~ ()2 [ Cl] Uc (roRiC)2+ "R+ 1 ·sin rot+'Puc+arctan;+l =uq.sin(rot+'Pu)

uq UC=--r============= (roRiC)2+ (; + 1 r

roRiC und 'Pue = 'Pu - arc tan -

R -.:+ 1 R

26

Verfahren 2

algebraische Gleichung in komplexen Zeitfunktionen

Lösung der algebraischen Gleichung in komplexen Zeitfunktionen


im Zeitbereich

Verfahren 3 und 4

Schaltung mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren

roR·C mit !p = arc tan __ 1 _

Rj

Yq ! URj 1 Rj

!

-+1 R

R


lR le

_1_ !Ue jwC

Bild 4.14 Beispiel für die symbolische Methode


algebraische Gleichung in komplexen Effektivwerten

Lösung der algebraischen Gleichung in komplexen Effektivwerten

Lösung der algebraischen Gleichung in komplexen Zeitfunktionen

Verfahrcn4

Zcigerbild mit komplexen Effektivwerten

Mit der Spannungsteilerregel ist

Uc

R._1_ jroC

R+_1_ jroC

R·_1_ jroC

R

R._1_ jroC

~(R+-. l_)+R'_' 1_ jroC jroC

1

~ jroCRjR+Rj+R (R' ) R1 +1 +jroRjC

Diese Gleichung kann mit f2. ej rot zur algebraischen Gleichung in komplexen Zeitfunktionen erweitert werden, die dann gelöst und auf die beschriebene Weise rücktransformiert werden kann.

Die Umformung und RUcktransformation geschieht auf die beschriebene Weise.

!/~ !C I I

I I / I

/ I / I

/ I

lic

Bild 4.15 Beispiel für die Zeigerdarstellung

Reihenfolge der Darstellung:

Uc

Uc !R==-

R

!c=jroC· Uc

!=!R+!C

.!:!Ri = Ri . !

.!k = Uc + .!:!Ri

Das Zeigerbild stellt den Maschensatz und den Knotenpunktsatz in komplexen Effektivwerten dar, also die algebraischen Gleichungen in komplexen Effektivwerten. Zunächst wird .!Zc mit der Länge Uc angenommen. Dann werden die Längen IR = UdR und

le= roC· Uc errechnet. I kann aus dem Zeigerbild abgelesen oder mit 12 = I~ + I~ errechnet

werden. Mit R j läßt sich URj = ~ . I ermitteln, und Uq ergibt sich durch geometrische

Addition der Zeiger. Der Effektivwert Uq wird dem gegebenen Spannungswert angepaßt, wodurch sich für alle Ströme und Spannungen, auch für Uc, die Werte korrigieren lassen.

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte Bei der Behandlung der Symbolischen Methode im Abschnitt 4.2.4 sind die Begriffe "ohmscher Widerstand", "induktiver Widerstand" und "kapazitiver Widerstand" vorgekommen, ohne daß geklärt wurde, ob es bei Wechselvorgängen Widerstände in der Art von Gleichstromwiderständen gibt. In diesem Abschnitt sollen Strom- und Spannungsverläufe bei ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten untersucht werden und die Frage beantwortet werden, ob der Quotient aus Spannung und Strom einen entsprechenden Widerstand ergibt. Die Untersuchungen werden im Zeitbereich und im komplexen Bereich vorgenommen.

Ohmscher Widerstand im Zeitbereich Fließt ein sinusförmiger Wechselstrom i (t) durch einen ohmschen Widerstand R, dann besteht in jedem Augenblick zwischen dem Augenblickswert des Stroms i (t) und dem Augenblickswert der Spannung u (t) am ohmschen Widerstand Proportionalität:

r-

i(t) = i·sin(cot + <p)

u(t)=R·i(t)

u(t) = R·i· sin (cot + <p)

U (t) = u· sin (cot + <Pu)

d.h. u = R· i bzw. U = R· I

und <Pu = <Pi Bild 4.16 Verläufe von Spannung und Strom des ohmsehen Widerstandes

Der ohmsche Widerstand R ist gleich dem Quotienten aus den Amplituden- und Effektivwerten von Spannung und Strom, und zwischen Strom und Spannung besteht keine Phasenverschiebung, denn Strom und Spannung haben den gleichen Anfangsphasenwinkel:

R=~=~ (4.31) <P=<Pu-<Pi=ü (4.32)

Ohmscher Widerstand im komplexen Bereich Werden die sinusförmigen Zeitfunktionen in komplexe Zeitfunktionen abgebildet, ergeben sich dieselben Zusammenhänge wie im Zeitbereich:

. () -:' i «(0 t + <Pi) () R . (t) R -:' j( (0 t + <Pi) ~ j( rot + <Pu ) !.t=l·e !!t= .! = ·l·e =u·e

d.h. u = R . i bzw. U = R . I und <Pu = <Pi

Der Operator zwischen den komplexen Amplituden und komplexen Effektivwerten von Strom und Spannung ist gleich dem ohmschen Widerstand R, ist also reell. Im Zeigerbild liegen Stromzeiger ! und Spannungszeiger U in gleicher Richtung:

-:' -:' i <jlj I -_ I . ei <jlj !.=l·e Q = u . ej<pu U = U . ej<pu

Q=R·i U=R·!

U=R·I !J.= R·!

! Bild 4.17 Zeigerbild des ohmsehen Widerstandes

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte 29

Induktiver Widerstand im Zeitbereich

Fließt ein sinusförmiger Wechselstrom i (t) durch eine Induktivität, so wird in ihr eine sinusförmige Spannung u (t) induziert:

i (t) = i· sin(rot + <Pi)

u(t) = L . di (t) dt

u(t) = ro L· f. cos(rot + <p)

u (t) = ro L . i. sin ( rot + <Pi + i) u(t) = u· sin(rot + <Pu)

L

d.h. u = ro · L· i bzw. U = roL· I 1t

und <Pu = <Pi + "2 Bild 4.18 Verläufe von Spannung und Strom des induktiven Widerstandes

Der induktive Widerstand XL als Quotient der Amplituden- und Effektivwerte von Spannung und Strom ist gleich dem Produkt roL, also frequenzabhängig, und die Spannung an der Induktivität L eilt dem Strom um 1t/2, also um eine Viertelperiode, voraus:

u U XL = roL=-=

A I (4.33)

Induktiver Widerstand im komplexen Bereich

(4.34)

Für die komplexen Zeitfunktionen ergeben sich dieselben Beziehungen zwischen den Amplituden- und Effektivwerten und Anfangsphasenwinkeln wie für die sinusförmigen Zeitfunktionen:

1(t) = i· ej(rot + 'Pi) g(t) = L . d ~;t) = j roL . f. ej(rot + <Pi) mit j = ei 7t/2

() L -:' j(rot+<pj+7tl2) ~ j(rot+<Pu) gt =ro ·,·e =u·e

d.h. U = roL· i bzw. U = roL· I und '1'1 = '1'1. + ~ 'l'u '1'1 2

Der Operator zwischen den komplexen Amplituden und komplexen Effektivwerten von Strom und Spannung ist jroL, also imaginär.

Im Zeigerbild eilt der Spannungszeiger U dem Stromzeiger ! um 90° voraus:

-:' -:- i 'Pi I = I . ei <Pi ! = ,. e

U = U . ei <Pu U = U . ei <Pu

!i = jroL . I U = jroL . !

!!=jwL'!

U=wL·!

'9 = JlI2 ! !

Bild 4.19

Zeigerbild des induktiven Widerstandes

Kapazitiver Widerstand im Zeitbereich

Der sinusförmige Strom i (t) durch die Zuleitungen zu einem Kondensator mit der Kapazität C ist gleich dem Verschiebungsstrom und hängt von der zeitlichen Änderung der am Kondensator anliegenden Spannung u(t) ab:

u(t) = u· sin(rot + CPu) ' (t)-( dult) I - dt (

i (t) = C . du(t) 0 • Ir------dt U"iti

i (t) = ro . C . U . cos (rot + CPu)

i (t) = ro . C . U . sin (rot + CPu + ~) A

i (t) = i . sin( rot + CPj)

d. h. f = ro . C . u bzw. I = roC . U

und

Verläufe von Spannung und Strom des kapazitiven Widerstandes

Der kapazitive Widerstand - Xc als Quotient der Amplituden- und Effektivwerte von Spannung und Strom ist gleich dem Kehrwert des Produkts roC, also frequenzabhängig, und der Strom durch die Kapazität C eilt der Spannung um n/2, also um eine Viertelperiode, voraus:

1 u U -Xc =-=-=-

roC i I (4.35) (4.36)

Kapazitiver Widerstand im komplexen Bereich

Für die komplexen Zeitfunktionen ergeben sich dieselben Beziehungen zwischen den Amplituden- und Effektivwerten und den Anfangsphasenwinkeln wie für die sinusförmigen Zeitfunktionen:

() ~ j(rot+ <Pu) . (t) C du (t) . C ~ j(rot+ <Pu) 't' j1t/2 u t = u· e 1 = . ---- = Jro . u' e ml J = e - - dt

. ( ) c ~ j(rot + <Pu + 1tI2) ':' j(rot + <Pj) ! t =ro ·u·e =l·e

d.h. i = roC . u bzw. I = roC . U und cP, = cP + ~ 1 U 2

Der Operator zwischen den komplexen Amplituden und komplexen Effektivwerten von Spannung und Strom ist jroC, also imaginär. Im Zeigerbild eilt der Stromzeiger ! dem Spannungszeiger U um 90° voraus.

~ ~ j<p J'm !!,=u.e u U=U . e 'l'U

=i·ej<jli !=I.ej<jlj

= jroC . !i ! = jroC . U

--I ! '9= -nl2

u= ~( I

-...LI !! - jwC-

Bild 4.21 Zeigerbild des kapazitiven Widerstandes

Ohmsches Gesetz der Wechselstromtechnik - der komplexe Widerstand

Wird also an einen ohmschen Widerstand, eine Induktivität oder eine Kapazität eine sinusförmige Spannung angelegt, dann hat der sich ergebende sinusförmige Strom die gleiche Frequenz ro wie die Spannung, eine andere Amplitude fund eine Phasenverschiebung <P gegenüber der Spannung. Der Zusammenhang zwischen der sinusförmigen Spannung und dem sinusförmigen Strom in einem ohmschen, induktiven oder kapazitiven Widerstand wird also durch zwei Größen eindeutig bestimmt:

1. Quotient der Amplituden- oder Effektivwerte von Spannung und Strom, der Scheinwiderstand oder die Impedanz (impedance):

Z=~=U f I

2. Phasenverschiebung zwischen der Spannung und dem Strom:

<P = <Pu - <Pi .

(4.37)

(4.38)

Anzustreben ist, diese beiden Größen in einem Wechselstromwiderstand zusammenzufassen. Der Quotient der Zeitfunktionen

u U 0 sin (rot + <Pu)

f 0 sin (rot + <p)

bedeutet aber keine sinnvolle Definition eines Wechselstromwiderstandes, weil die Zeit t enthalten bleibt, der Wechselstromwiderstand aber nicht zeitabhängig ist. Im komplexen Bereich allerdings ergibt die Division der komplexen Zeitfunktion der Spannung!! durch die komplexe Zeitfunktion des Stroms i eine Größe, die sowohl den Scheinwiderstand Z als auch die Phasenverschiebung u) '" jq>u jrot Z=!! t =uoe =uoe oe - i(t) ':' j(rot+Cjlj) ':' jq>i Jorot

l oe l oe oe

Z=!!(t) =M,. = u - i (t) -:- I - 1.-

(4.39)

Z = ~ ej(<Pu - q>i) = U ej(<Pu - q>i) = Z ° ejq> (4.40) - f I

mit I Z I = Z = * = Y und <p = <Pu - <Pi 1

Die Gleichung U = ~. ! wird "Ohmsches Gesetz in komplexer Form" oder "Ohmsches Gesetz der Wechselstromtechnik" genannt, weil es dem Ohmschen Gesetz der Gleichstromtechnik ähnelt. Während der Gleichstromwiderstand R der tatsächlich wirkende Widerstand im Gleichstromfeld ist, stellt der komplexe Widerstand Z lediglich die Proportionalitätsgröße zwischen den abgebildeten Zeitfunktionen von Spannung und Strom dar, nicht aber den wirksamen Widerstand zwischen den sinusförmigen Zeitfunktionen selbst.

Die Exponentialform des komplexen Widerstandes Z läßt sich nach der Eulerschen Formel in die trigonometrische und algebraische Form überführen:

~=Z.ej<P

~ = Z . cos cp + j . Z . sin cp

~=R+j· X,

(4.41)

(4.42)

wobei der Realteil Wirkwiderstand oder Resistanz (resistance) und der Imaginärteil Blindwiderstand oder Reaktanz (reactance) genannt wird.

R =9te~} = Z· coscp (4.43) mit Z =-J=R-"'2-+-=-=X"'2 (4.45)

X =~~ = Z . sin cp (4.44) X

und cp = arc tan R (4.46)

Komplexer Widerstand des ohmschen, induktiven und kapazitiven Widerstandes Mit

ergibt sich für den ohmschen Widerstand:

U Z=-=R cp=O I

·0 Z=R·eJ =R

Z=R

für den induktiven Widerstand:

U 7t Z=-=roL Cp=-

I 2

Z = roL . e j1t/2 = jroL

Z=jroL=jXL

für den kapazitiven Widerstand:

Z=U=_1_ cp=_~ I roC 2

Z =_1_ e-j1t/2 = _1_ - roC jroC

Z . 1 ·X - = -J roC = J C

Komplexer Widerstand der Reihenschaltung von Wechselstromwiderstlinden Sind mR ohmsche Widerstände, mL Induktivitäten und mc Kapazitäten in Reihe geschaltet, dann ist der sinusförmige Strom i (t) an jeder Stelle gleich, und die sinusförmige Gesamtspannung u (t) ist in jedem Augenblick gleich der Summe von m sinusförmigen Teilspannungen:

ffi ffiR ffiL ffic

u(t) = L ui(t) = L uRi(t) + L uu(t) + L uCi(t) i=l i=l i=l i=l

mit mR +mL+ffiC=m

Cl C2 CmC ------.... ---111--U-· .. -U-~

lml Ht) R1 R2 RmR ~ ... ~I--".---1 ____ "-- ---uCl UC2 uCmC

• u(t)

Bild 4.22 Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen


Mit

uRi(t) = ~. i(t) uL.(t) = L. di(t) 1 1 dt

ergibt sich für die Gesamtspannung

IDR IDL d . () 1l1c 1 u(t) = L R i · i(t) + L Li _ 1 _t + L - J i(t)· dt.

i=l i=l dt i=l Ci

Damit lassen sich die mR ohmschen Widerstände, mL Induktivitäten und mc Kapazitäten der Reihenschaltung zu Ersatzgrößen Rr, L r und Cr zusammenfassen:

mit

u(t) = Rr· i(t) + L r · d~~t) + ~ J i· dt r

Der Index r bedeutet, daß eine Reihenschaltung vorliegt.

Ht) Rr Lr (r 0 • c:::J • 11 0 Bild 4.23 - - - Ersatzgrößen der Reihen-

uR uL u( schaltung von Wechselstrom-

• widerständen u(t)

Im komplexen Bereich können die komplexen Widerstände der ohmschen Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten zu komplexen Ersatzwiderständen und zu einem komplexen Widerstand der gesamten Reihenschaltung Zr zusammengefaßt werden, wie aus dem Maschensatz für komplexe Zeitfunktionen und komplexe Effektivwerte herzuleiten ist: Nach GI. (4.27) ist

Mit

ID IDR IDL 1l1c

.!!(t) = L .!!i(t) = L .!!Ri(t) + L .!!li(t) + L !!.Ci(t). i=l i=l i=l i=l

.!!li (t) = j coL i . !(t) .!!Ci(t) =~C ·1(t) J co i

ergibt sich IDR IDL IDc

.!!(t) = L R i . !(t) + L j coLi· !(t) + L -. 1_. i(t) i = 1 i = 1 i = 11 coCi


Wird die Reihenschaltung der Wechselstromwiderstände in die Schaltung mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren überführt, ergibt sich die Spannungsgleichung in komplexen Effektivwerten.

1 1 1 I R1 R2 RmR j wL1 j wL2 jwLmL jwC1 jwC2 jW[mC ~ ... -c:::J • 11-----11- ... -11---- - - - - - - - -!JR1 !!R2 !iRmR !.!u !.!L2 !.!LmL !JC1 !iC2 !.!C mC

• !.!

! Rr jwLr jwCr 0 .. C""""l • 11 0 - - -UR !iL !!C

• !!

Bild 4.24 Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen im Bildbereich und ihre Überführung in die Ersatzschaltung

Nach GI. (4.29) ist

Mit

m mR mL lIlc

V= L V i = L V Ri + L V Li + L Va· i=l i=l i=l i=l

V Li = j roLi . ! V Ci =_l_. I -- jroCi -

ergibt sich für den komplexen Effektivwert der Gesamtspannung

V= (~ R i + I jroLi + r -. 1_). 1. i = 1 i = 1 i = 1 J roCi

Damit lassen sich die mR ohmschen Widerstände, mL Induktivitäten und mc Kapazitäten der Reihenschaltung genauso wie im Zeitbereich zu Ersatzgrößen Rr ,

L r und Cr zusammenfassen: mL

jroLr = L j roLi i=l

mL

bzw. L r = L Li i = 1

1 mc 1 -=L-jroCr i=l jroCi

1 lIlc 1 bzw.-= L

Cr i=l Ci

(4.47)

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

Die Spannungsgleichung in komplexen Effektivwerten lautet dann:

V = (R + J' OlL + -. 1 ). I = [R + J' • (OlL __ 1 )]. I - r r J wCr - r r wCr -

V = [Rr + j . (XL + Xd]' 1= [Rr + j . Xr]· 1= Zr' I

mit Zr = ~ + j . Xr = Rr + j (XL + XC) = Rr + j . (WLr - _1_] wCr

1 Xc=--wer

35

(4.48)

(4.49)

Die ohmschen Anteile eines komplexen Widerstandes Zr finden sich also grundsätzlich im Realteil, die induktiven Anteile im positiven Imaginärteil und die kapazitiven Anteile im negativen Imaginärteil.

Der komplexe Effektivwert der Gesamtspannung U teilt sich also in drei Teilspannungen auf:

V = UR + U L + U c = ~. 1+ jwLr . 1+ . ~C .1. J r

wobei die reelle Spannung UR auch "Wirkspannung" U w genannt wird. Die beiden imaginären Spannungen U L und U co die wegen der entgegengesetzten Vorzeichen gegeneinander gerichtet sind, werden zur Spannung U x bzw.

"Blindspannung" U b zusammengefaßt:

(4.50) V=UR+Ux mit UR =Rr · I

Wird in

und U x = V L + V C = j(XL + Xd . 1= j Xr· I

j<p . Z = Z . e r = Z . eJ <P -r r r

Z.r = Zr' COS CPr + j . Zr' sin CPr = Zr' COS cP + j . Zr' sin cP

Zr = V/I berücksichtigt

Z U .U. U .U. -r = T' cos CPr + J . T' sm CPr = T' cos cP + J . T' sm cP

und mit I multipliziert, dann ergibt sich die Spannungsgleichung

z.r· I = U = U . COS CPr + j . U . sin CPr = V . coscp + j . U . sin cP,

(vgl. GI. 4.41)

die dem Zeigerb:'!d im Bild 4.25 mit cPj = 0 entspricht. Mit GI. (4.50) verglichen, ist

VR=U·coscp (4.51) Ux=U·sincp (4.52)

mit U = -vi U~ + T)~ . (4.53)

Der Ersatzwiderstand der Reihen!.cha!tung von Wechselstromwiderständen hängt von der Größe des ohmschen Widerstandes Rr, der Induktivität Lr, der Kapazität Cr und der Kreisfrequenz 00 ab. Fließt durch die Reihenschaltung ein sinusförmiger Strom i, dann ist die Gesamtspannung u bezogen auf den Strom i entweder bis n/2 voreilend, in Phase oder bis -n/2 nacheilend.

Der komplexe Widerstand Zr ist also entweder ein induktiver, ohmscher oder

kapazitiver Widerstand, und die Ersatzschaltung besteht entweder aus der Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes Rr und einer Induktivität Lr, nur aus einem ohmschen Widerstand R r oder aus der Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes Rr und einer Kapazität Cr:

Induktiver komplexer Widerstand: Zr = Rr + jXr mit Xr > 0 1. Die Reihenschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri und

Induktivitäten Li , die zu den Ersatzgrößen Rr und Lr zusammengefaßt werden. 2. Die Reihenschaltung enthält ohmsche Widerstände Ri, Induktivitäten Li, und

Kapazitäten Ci , die zu den Ersatzgrößen Rr, Lr und Cr zusammengefaßt werden. Sie verhält sich wie ein induktiver Wechselstromwiderstand, wenn Xr > 0 ist, d.h. wenn roLr > I/roCr.

Ohmseher komplexer Widerstand: Zr = Rr mit Xr = 0

1. Die Reihenschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri, die zu der Ersatzgröße Rr zusammengefaßt werden.

2. Die Reihenschaltung enthält ohmsche Widerstände Ri, Induktivitäten Li, und Kapazitäten Ci , die zu den Ersatzgrößen Rr, Lr und Cr zusammengefaßt werden. Sie verhält sich wie ein ohmscher Widerstand, wenn Xr = 0 ist, d.h. wenn roLr = l/roCr.

Kapazitiver komplexer Widerstand: ~r = Rr + jXr mit Xr < 0

1. Die Reihenschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri und Kapazitäten Ci , die zu den Ersatzgrößen Rr und er zusammengefaßt werden.

2. Die Reihenschaltung enthält ohmsche Widerstände Ri, Induktivitäten Li , und Kapazitäten Ci , die zu den Ersatzgrößen Rr, Lr und Cr zusammengefaßt werden. Sie verhält sich wie ein kapazitiver Wechselstromwiderstand, wenn Xr < 0 ist, d.h. wenn roLr < lIroCr.

Im Zeigerbild bilden die komplexen Effektivwerte der Spannungen ein "Spannungsdreieck" und die entsprechenden komplexen Widerstände ein "Widerstandsdreieck", wenn der Imaginärteil X r positiv oder negativ ist:

Xr > 0

mit 'llr> 0 und 'P > 0

Xr = 0 mit 'llr= 0 und 'P= 0

Xr < 0 mit 'Pr< 0 und 'P<O

j li=k 1

1 r

j I!'! =!'!R =Rr'l \1 r

Bild 4.25 Zeigerbilder der Ströme und Spannungen und komplexen Widerstände von Wechselstromwiderständen


Spannungsteilerregel

Für zwei in Reihe geschaltete Wechselstromwiderstände gilt die Spannungsteilerregel analog wie in der Gleichstromtechnik nur im komplexen Bereich:

Die komplexen Zeitfunktionen oder die komplexen Effektivwerte der Spannungen über zwei vom gleichen sinusförmigen Strom durchflossenen Widerstände verhalten sich wie die zugehörigen komplexen Widerstände.

Im Zeitbereich kann eine entsprechende Regel nicht gelten, weil Ströme und Spannungen bei Induktivitäten und Kapazitäten differentiell zusammenhängen.

Beispiel 1: Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

Zeitbereich:

u

Lr di dt

R . T di 'l+---r

r dt

komplexer Bereich:

~L UL jroLr ----~ U Rr+jroLr

i(tl Rr Lr i (tl Rr jwLr I Rr jwLr ~ ~~ -U -L di L- rat

--lJR=Rr-l YL=jwLd

--lJR=Rd lJL =jwLd

U

Bild 4.26 Spannungsteilerregel für die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität

Beispiel 2: Für die skizzierte RC·Schaltung ist das Spannungsverhältnis U 2/U 1 in Abhängigkeit von R, C und ro zu ermitteln. Die Hilfsspannung .Qh soll die Lösung erleichtern.

Lösung:

.Q2

.Qh R

R+_1_ jroC

( R+_.1 ). R JroC

l!1

Bild 4.27 RC-Schaltung als Bei· spiel für die Spannungsteilerregel

R+_1_+R jroC

( R+_.1 ). R JroC

( R+_1 ). R jroC +_1_

R +_1_+ R jroC

2R+_1_'

( R +_1_). R + jroC jroC jroC

jroC

1 - ----=--------

38

Beispiel 3: Für die skizzierte Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten soll das Spannungsverhältnis V dV in Abhängigkeit von ro. R. RLr. L r• und Cr (mit RCr = 0) ermittelt werden.

R


_1 jwLr jwCr

Lösung: Bild 4.28 Beispiel für die Spannungsteilerregel

RLr+jroLr +-. _l_ V C = ______ Jro_C_r _

V (RLr+ jroLr) ._. _1_ JroCr

R+-------RLr+jroLr +-. _1_

JroCr

V C = ____ -=1'--___ _

V RLr+jroLr +-. _1_ J roCr

R· +1 (RLr + jroLr). _. _1_

JroCr

VC= ________ 1~ ______ _

V R._1_ R (RLr + j roLr) j <oCr

+ + 1 (RLr+jroLr).-. _1_ (RLr+jroLr).-. _1_

JroCr J <oCr

VC= 1

V jroRCr + R +1 RLr + jroLr

V c V

Vc V

1

1

Der komplexe Leitwert Wird also an einen Wechselstromwiderstand eine sinusförmige Spannung u angelegt, dann fließt ein sinusförmiger Strom i mit der gleichen Frequenz 00. Das

Amplituden- oder Effektivwertverhältnis wird durch den Scheinwiderstand Z = u/1 = UlI und die Differenz der Anfangsphasenwinkel durch die Phasenverschiebung cP = CPu - CPi erfaßt.

Selbstverständlich kann auch die Amplitude oder Effektivwert des Stroms auf die Amplitude oder den Effektivwert der Spannung bezogen werden, d.h. der Kehrwert des Scheinwiderstandes erfaßt das Amplituden- oder Effektivwertverhältnis:

Der Quotient der Amplituden- oder Effektivwerte von Strom und Spannung, der Scheinleitwert oder die Admittanz (admittance) wird mit Y bezeichnet:

i I Y=-=-U U

(4.54)

Beide Größen - der Scheinleitwert und die Phasenverschiebung - sollen in einem Wechselstromleitwert zusammengefaßt werden. Im Zeitbereich ist es nicht möglich, einen sinnvollen Wechselstromleitwert zu definieren, weil im Quotient ilu die Zeit t erhalten bleibt. Im komplexen Bereich allerdings ergibt die Division der komplexen Zeitfunktion des Stroms 1. durch die komplexe Zeitfunktion der Spannung.!! eine Größe, die sowohl den Scheinleitwert Y als auch die Phasenverschiebung cP enthält. Der Betrag des komplexen Leitwerts ist gleich dem Scheinleitwert, das Argument des komplexen Leitwerts ist gleich der negativen Phasenverschiebung. Der komplexe Leitwert ist also der Kehrwert des komplexen Widerstands:

1 . (t) ~ j(rot +<JIj) ~ j<Jlj jrot Y=_=~= l·e = l·e ·e - Z .!!(t) '" j(rot +q>u) '" jq>u J'rot

u·e u·e·e

Y =1..= 1(t) =1= 1 - Z .!!(t) !i u

Y = I. e- j(q>u -<JIj) =l. e- j(q>u -<JIj) - U u Y = y. e-jq> =_1_=1. - Z. ejq> Z

A

mit i I 1 1 IYI=Y=~=u =Z = I~I

(4.55)

(4.56)

(4.57)

Die Gleichung 1= Y . U ist wegen Y = 1I~ nur eine andere Schreibweise des Ohmschen Gesetzes in komplexer Form. Der komplexe Leitwert ist entsprechend der Proportionalitätsfaktor zwischen den abgebildeten Zeitfunktionen von Strom und Spannung, nicht aber zwischen den Zeitfunktionen selbst.


Die Exponentialform des komplexen Leitwerts läßt sich analog in die trigonometrische und algebraische Form umwandeln:

Y=Y·e- jcp

Y = Y . cosep - j . y. sinep

Y = G +j. B,

(4.58)

(4.59)

wobei der Realteil Wirkleitwert oder Konduktanz (conductance) und der Imaginärteil Blindleitwert oder Suszeptanz (susceptance) genannt wird:

G =9\e{Y} = y. cosep

B =:Jm{Y} = - Y . sinep

und B

ep = - arc tan G .

( 4.60)

(4.61)

Komplexer Leitwert des ohmschen, kapazitiven und induktiven Widerstandes

Mit

ergibt sich für den ohmschen Widerstand:

I 1 Y=U=G=R ep=O

für den kapazitiven Widerstand:

I 1t Y = - = wC ep = --

U 2

Y = wC . e- j(-1t/2) = jroC

Y = jwC = j Be

für den induktiven Widerstand:

y=~=_l_ U wL

1t ep=-

2

Y = _1_. e- j1t/2 = _1_ - wL jwL

Y . 1 'B - = - J wL = J L

Komplexer Leitwert der Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen Sind mR Widerstände, me Kapazitäten und mL Induktivitäten parallel geschaltet, dann ist die anliegende sinusförmige Spannung u (t) überall gleich, und der sinusförmige Gesamtstrom i (t) ist in jedem Augenblick gleich der Summe von m sinusförmigen Teilströmen:

m mR me mL

i(t) = L ii(t) = L iRi(t) + L iei(t) + L iLi(t) i=l i=l i=l i=l

mit mR + me + mL = m

i iR1 iR2 iRmR iC1 i(2 iC mC iL1 iL2 iLmL

u

R1 ] R)] ... .. ] =:= :i= . . . ..

Ll 11 L)I . .. . '11

RmR Cl C2 CmC L mL

Bild 4.29 Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen


Mit. _ u(t) lRi(t) -T-

l

ic.(t) = C. du(t) I I dt

ergibt sich für den Gesamtstrom

Damit lassen sich die mR ohmschen Widerstände, mc Kapazitäten und mL Induktivitäten der Parallelschaltung zu Ersatzgrößen Rp , Cp und Lp zusammenfassen:

mit

i(t) = u(t) + C . du(t) +~J u(t)· dt. Rp p dt Lp

mc C = ~ c. pLI

i = 1

Der Index p bedeutet, daß eine Parallelschaltung vorliegt.

iR i C i L

u ] ;;;;= Lp n Bild 4.30

Rp (p Ersatzgrößen der Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen

Im komplexen Bereich können die komplexen Leitwerte der ohmschen Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten zu komplexen Ersatzleitwerten und zu einem komplexen Leitwert der gesamten Parallelschaltung Y p zusammengefaßt

werden, wie aus der Knotenpunktregel für komplexe Zeitfunktionen und komplexe Effektivwerte herzuleiten ist: Nach GI. (4.28) ist

m mR mc mL

i(t) = I L(t) = I !Ri(t) + I !Ci(t) + I !Li(t) i=l i=l i=l i=l

Mit

!Ri (t) = ~. !!(t) I

ergibt sich

!Li(t) =_._1_. !!(t) JcoLi


Wird die Parallelschaltung der Wechselstromwiderstände in die Schaltung mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren überführt, ergibt sich die Stromgleichung in komplexen Effektivwerten.

lC2 lcmC

RmR -'- -'-. . . . .11 == ==

jwC, jwC2

I Jc IL IR

,pr ~== jwLp 11 jwCp

Bild 4.31 Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen im Bildbereich und ihre Überführung in die ErsatzschaItung

Nach GI. 4.30 ist

Mit

m mR mc mL 1= ~ 1·= ~ I R·+ ~ I c ·+ ~ I L·. - ~ -1 ~ - 1 ~ - 1 ~ - 1

i=l i=l i=l i=l

1 1 !Ri=- U !Ci =jroCi · U I u =-- U R j - - jroLi -

ergibt sich für den komplexen Effektivwert des Gesamtstroms

ffiR ffiC mL

! = L ~ U + L j roCi U + L -. 1_ U i = 1 Ri i = 1 i = 1 J roLi

!=(~ ~+}: jroCi + r -. 1_J. U. i = 1 Ri i = 1 i = 1 J roLi

Damit lassen sich die mR ohmschen Widerstände, mc Kapazitäten und mL Induktivitäten der Parallelschaltung genauso wie im Zeitbereich zu Ersatzgrößen Rp, c;, und Lp zusammenfassen:

ffiC

jroCp = L jroCj

i= 1

ffiC

bzw. Cp = L Ci i= 1

(4.62)


Die Stromgleichung in komplexen Effektivwerten lautet dann:

I =(~+jCOC +-. 1 ). U=[~+j. (COC __ 1 )~. U - R p J coL - R p coL -p p p p

I =[ ~p + j. (Be + BJ ~. U = [Gp + j. B~ . U = Yp. U

mit Xp = ~ + j . Bp = -.!.. + j . (Be + BL ) = -.!.. + j . (COCp - _1_) Rp Rp Rp coLp

(4.63)

1 1 und Bp=Be+BL Be=coCp BL =-- Gp=-. roLp Rp

(4.64)

Die ohmsehen Anteile eines komplexen Leitwertes Y p finden sich also grundsätzlich im Realteil, die kapazitiven Anteile im positiven Imaginärteil und die induktiven Anteile im negativen Imaginärteil. Der komplexe Effektivwert des Gesamtstroms I teilt sich also in drei Teilströme auf:

I = IR + Ie + k = R1 U + j coCp . U + ~L . U, p Jco p

wobei der reelle Strom IR auch "Wirkstrom" Iw genannt wird. Die beiden ima

ginären Ströme I c und k, die wegen der entgegengesetzten Vorzeichen gegen

einander gerichtet sind, werden zum Strom I B bzw. "Blindstrom" h zusam

mengefaßt:

I=IR +h (4.65)

mit IR = ~ U = Gp . U und IB = Ie + k = j (Be + BL ) . U = jBp . U

Wird in p

y = Y . ejlpp = Y . e- jlp -p p p

Y p = Yp. coscpp + j . Yp. sincpp = Yp . coscp - j . Yp ·sincp (vgl. GI. 4.58)

Y p = IIU eingesetzt

Y I .1. I .1. = _. coscp + J . _. smcp = - coscp - J . _. smcp -p U PUP U U

und mit U multipliziert, dann ergibt sich die Stromgleichung

Y p. U =! = I· cosCPp + j. I· sincpp = I· coscp + j. I· sin(- cp),

die dem Zeigerbild im Bild 4.32 mit CPu = 0 entspricht. Mit GI. (4.65) verglichen, ist

IR=I· coscp (4.66) und IB=I· sin(-cp)=-I· sincp (4.67)

mit 1= -v' I~ + I~. (4.68)

Der Ersatzleitwert der Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen hängt von der Größe des ohmschen Widerstandes Rp, der Kapazität Cp, der Induktivität Lp und der Kreisfrequenz co ab. Liegt an der Parallelschaltung eine sinusförmige Spannung u, dann ist der Gesamtstrom i bezogen auf die Spannung u entweder bis TCl2 voreilend, in Phase oder bis - TCl2 nacheilend.

Der komplexe Leitwert Y ist also entweder ein kapazitiver, ohmscher oder induktiver Leitwert, und die Ersatzschaltung besteht entweder aus der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes R p und einer Kapazität Cp , nur aus einem ohmschen Widerstand R p oder aus der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes Rp und einer Induktivität Lp:

Kapazitiver komplexer Leitwert: Y p = l/Rp + jB p = Gp + jB p mit Bp > 0

1. Die Parallelschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Ri und Kapazitäten Ci, die zu den Ersatzgrößen R p und Cp zusammengefaßt werden.

2. Die Parallelschaltung enthält ohmsche Widerstände R j, Kapazitäten Cj und Induktivitäten Li, die zu den Ersatzgrößen R p , Cp und L p zusammengefaßt werden. Sie verhält sich wie ein kapazitiver Wechselstromleitwert, wenn B p > 0 ist, d.h. wenn roC p > l/roL p•

Ohmseher komplexer Leitwert: Y p = l/Rp = Gp mit B p = 0

1. Die Parallelschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Rj, die zu der Ersatzgröße Rp zusammengefaßt werden.

2. Die Parallelschaltung enthält ohmsche Widerstände Rj, Kapazitäten Cj und Induktivitäten Lj, die zu den Ersatzgrößen Rp, Cp und Lp zusammengefaßt werden. Sie verhält sich wie ein ohmscher Leitwert, wenn Bp = 0 ist, d.h. wenn roC p = l/roL p.

Induktiver komplexer Leitwert: Y p = l/Rp + jB p= Gp + jB p mit B p < 0

1. Die Parallelschaltung besteht nur aus ohmschen Widerständen Rj und Induktivitäten Lj , die zu den Ersatzgrößen Rp und Lp zusammengefaßt werden.

2. Die Parallelschaltung enthält ohmsche Widerstände Rj, Kapazitäten Cj und Induktivitäten Lj, die zu den Ersatzgrößen R p, Cp und Lp zusammengefaßt werden. Sie verhält sich wie ein induktiver Wechselstromleitwert, wenn Bp < 0 ist, d.h. wenn roC p < l/roL p•

Im Zeigerbild bilden die komplexen Effektivwerte der Ströme ein "Stromdreieck" und die entsprechenden komplexen Leitwerte ein "Leitwertdreieck" , wenn der Imaginärteil B p positiv oder negativ ist:

1.

ls

y I Rp

!R Bp> 0 r j ~Cp =i=

mit 'Pp> 0 und 'P< 0

!R

8 p =O {~ mit 'Pp=O und 'P = 0

1 1s

~ I Rp[

!R Bp<O

jwlp I mit 'Pp<O und 'P > 0

1

Y 1 Rp[

!R

J1 ! Rp

!

~ 1 Rp

2. 1s IR

1 jwC~= i= jWLpl

! =IR=l!/Rp =Gp'll

II r

I =Y 'U - p-

j Sp

Bild 4.32 Zeigerbilder der Spannungen und Ströme und komplexen Leitwerte von Wechselstromleitwerten


Stromteilerregel

Für zwei parallel geschaltete Wechselstromwiderstände gilt die Stromteilerregel analog wie in der Gleichstromtechnik nur im komplexen Bereich:

Die komplexen Zeitfunktionen oder die komplexen Effektivwerte der Ströme durch zwei parallel geschaltete Wechselstromwiderstände, an denen die gleiche sinusförmige Spannung anliegt, verhalten sich wie die zugehörigen komplexen Leitwerte und sind umgekehrt proportional zu den komplexen Widerständen. Die komplexe Zeitfunktion oder der komplexe Effektivwert des Teilstroms verhält sich zur komplexen Zeitfunktion oder zum komplexen Effektivwert des Gesamtstroms wie der komplexe Widerstand, der nicht vom Teilstrom durchflossen ist, zum komplexen Ringwiderstand.

Beispiel 1: Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazität

Zeitbereich: komplexer Bereich:

ie C du

le !e Rp jooCp p dt -=-=

~+Cp du i Rp + l/jooCp llRp + jooCp -Rp dt

iR ie 1 IR le ! IR

u Rp J Cp ;:. !! Rp[ -.L.=1=' !:I. Rp 1

jwC p j w(p

Bild 4.33 Stromteilerregel für die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazität

Beispiel 2: Für die skizzierte Schaltung ist der Strom !L

in Abhängigkeit von Q, 00, RLp, Lp und R zu ermitteln.

Lösung:

!L I RLp + jroLp

U mit 1=---=--

R+ RLp · jroLp

RLp + jroLp

U.RLp I - -_L - R(RLp + jooLp) + RLp · jroLp

!:I.

U

! RL P

!

h jwLp

Bild 4.34 Beispiel für die Stromteilerregel

R

46

Beispiel 3: 1. Für die skizzierte Schaltung ist der

Strom Ic in Abhängigkeit von U. ro. RLr~Lr. RCp und Cp zu ermitteln.

2 Anschließend sollen der Strom !R und die Spannung U C bestimmt werden.

Lösung: Zu 1.


lc I

Bild 4.35 Beispiel für die Stromteilerregel

U mit I = ------'=-----

Rep' U

!c = (Rep + _. _1_) (RLr + ~L) + Rcp _. _1_ JroCp JroCp

U Ic=--------~---------- Rep RLr 1 RLr . j roLr 1

----''----+ ----+ J roLr + +--Rep j roCp Rep j roCp . Rcp j roCp

U

lC=(RLr+_1 '::')+i[roLr--1 (RLr +1)] Rep Cp roCp Rcp

Zu 2.


Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert von gemischten Schaltungen

Gemischte Schaltungen enthalten Reihen- und Parallelschaltungen von Wechselstromwiderständen. Wie beschrieben, werden zunächst für die Reihenschaltungen die komplexen Widerstände und für die Parallelschaltungen die komplexen Leitwerte addiert.

Parallel geschaltete Reihenschaltungen - äquivalente Schaltungen

Sind Reihenschaltungen parallel geschaltet, dann müssen die komplexen Widerstände der Reihenschaltungen in komplexe Leitwerte überführt werden, d.h. die Reihenschaltungen gehen in äquivalente Parallelschaltungen über. Anschließend lassen sich die komplexen Leitwerte addieren. Um die ohmschen Widerstände der Reihen- und Parallelschaltungen mit Induktivitäten und Kapazitäten unterscheiden zu können, werden Doppelindizierungen vorgenommen.

Beispiel: Parallelschaltung von zwei Reihenschaltungen (Parallel-Resonanzkreise )

r-- - -, r --- l r ---- -, I I I I I I

I I I I I I I I I I

RCr I I I I I I I I .. I RCp I I 1

I 1 I I I jw(p I I jW(r I I

I I I

I I I I I I L _ __ ---1 L _ __ ...J L ___ _ ..J

Bild 4.36 Parallelschaltung von zwei Reihenschaltungen

1

R . 1 Cr+J

(OCr 1 Ycp= - ?:Cr R . 1 R . 1 Cr-J- Cr+J-

(OCr (OCr

r--- -., I I I I I I I I I I RLp I I j wLp I I I I

I I L __ __ J

1 . C - + J(O P RCp

und

...

(4.69)


(4.70)

und r."

.rp=.rep+ .rLp = (_1_+_1_J+ j .(rocp--1_J RCp RLp roLp

[

1

[ RCr RLr l. roCr y = + +J. ----

-p 2 1 2 2 2 2 1 RCr+- RLr+ro Lr RCr+-

ro2 C2 ro2 C2 r r

(4.71)

Der komplexe Leitwert einer Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen wird also durch den Kehrwert des komplexen Widerstandes und durch konjugiert komplexes Erweitern ermittelt:

1 1 Rr - jXr Y =-=G +jB = ._---p Z p p R +J"X R -J"X _r r r r r

(4.72)

mit

und


Beispiel: Überführung der Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes Rn einer Induktivität Lr und einer Kapazität Cr in eine äquivalente Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes Rp• einer Induktivität Lp und einer Kapazität Cp:

~~ .. Rr JwLr -. -C-

JW r

Rp

JI

1 jwCD

jwLp ........ Bild 4.37 Überführung einer RLC-Reihenschaltung in eine äquivalente RCL-Parallelschaltung

Da die Schaltelemente der Parallelschaltung Rp• Lp und Cp gesucht sind. muß vom komplexen Leitwert ausgegangen werden:

(4.73)

1

(4.74)

(4.75)


In Reihe geschaltete Parallelschaltungen - liquivalente Schaltungen

Sind Parallelschaltungen in Reihe geschaltet, dann müssen umgekehrt die komplexen Leitwerte der Parallelschaltungen in komplexe Widerstände überführt werden, d.h. die Parallelschaltungen gehen in äquivalente Reihenschaltungen über. Anschließend lassen sich die komplexen Widerstände addieren. Um die ohmschen Widerstände der Parallel- und Reihenschaltungen mit·Induk-. tivitäten und Kapazitäten unterscheiden zu können, werden Doppelindizierungen vorgenommen.

Beispiel: Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen

r------, r------, r-----, r-----, I I I I I I I I I I I I I I I 1 I

RLp I I RCp I IR· L I I R -·-C- I I I L r J W r I I Cr JW r I I I • ~~ I 1 I

jwLp I jwCp I I I I I I I

I I I I I I L _____ ..J L ______ .J L ____ --l

Bild 4.38 Reihenschaltung von zwei Parallelschaltungen

Y 1. 1 Lp=--J-

- RLp ooLp

1 ZLr=--

_1_+ i _1_ 1 RLp ooLp

1 . 1 1 . 1 ---J-- --+J--RLp ooLp RLp ooLp

- !:.Lp

1 1 RLp ooLp

ZLr= + i· RLr+ iooLr - _1_+_1_ _1_+_1_

mit

Rtp 002 r.; Rtp 002 L~ 1

RLp RLr = ---'---

_1_+_1_ R 2 2 2

Lp 00 Lp

und Lr _1_+_1_

Rtp oo2~

I I I I I I L ____ .1

(4.76)

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

~q, = _1_ + j ooCp Rcp

1 . C --)00 P 1 Rq, --=E.-__ 1

ZCr=-- y -q, 1 . C 1 . C -+)00 p --)00 P

Rcp Rq,

1

~r= ~Lr+ ~Cr = (RLr + RCr) + j. ( ooLr - oo~r )

1 1 1

~r= RLp

+ Rcp

+ j. ooLp

_1_+_1_ _ 1_+002c2 _1_+_1 _ 2 002 L2 R2 P R2 002 L2 RLp P Cp Lp P

roCp 1 _1_+002c2

R2 P Cp

51

(4.77)

(4.78)

Der komplexe Widerstand einer Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen wird also durch den Kehrwert des komplexen Leitwerts und durch konjugiert komplexes Erweitern ermittelt:

z = _1_ = R + jX = 1 _r y r r G +J·B

-p p p (4.79)

mit

und


Beispiel: Überführung der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes Rp• einer Kapazität Cp und einer Induktivität Lp in eine äquivalente Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes Rr• einer Induktivität Lr und einer Kapazität Cr:

Rp 1 .. ~~

jwLp Rr jwL r jwC r

Bild 4.39 Überführung einer RCL-Parallelschaltung in eine äquivalente RLC-Reihenschaltung

mit R

R,= ~ +( ro~-mU 1

ro2 L Lr= p

~ + ( roCp - ro~p r

(4.80)

(4.81)

(4.82)

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte S3

Beispiel einer gemischten Schaltung:

13 t· r ~ 1,4

l" , -L

jW(2 jW(2

jWlr j Bild 4.40 Transformation einer gemischten Schaltung in eine Reihenschaltung

Die Berechnung des komplexen Widerstands der im Bild 4.40 dargestellten Schaltung erfordert vier Transformationen einer Reihenschaltung in die äquivalente Parallelschaltung oder umgekehrt, bei der jeweils konjugiert komplex erweitert werden muß. Deshalb ist die Berechnung des komplexen Widerstands sehr aufwendig. Eine einfachere Behandlung gemischter Wechselstromschaltungen ist mit Hilfe des Kreisdiagramms möglich, das im folgenden behandelt werden soll.

Komplexe Widerstände und Leitwerte im Kreisdiagramm

Wegen des stets positiven Realteils werden komplexe Widerstände und komplexe Leitwerte nur in der rechten Hälfte der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Die Widerstände ~ und Leitwerte Y werden auf einen ohmschen Widerstand Ro bzw. Leitwert Go bezogen, so daß dann komplexe Zahlen ~ in der rechten Hälfte der z-Ebene den Widerständen und Leitwerten entsprechen: Mit

bzw.

sind

bzw.

Z=R + jX

Y = G+jB

Z ' ZR .X =-=-=-+j- Ro Ro Ro

Y' = Y =.2.- + j ~ - Go Go Go

komplexe Zahlen ~ = x + jy .

(4.83)

(4.84)

Mit Hilfe der analytischen Funktion

. z-1 ~ = u + JV = f(?;) = =--1

1;+ (4.85)

werden die komplexen Zahlen 1; = x + jy in komplexe Zahlen ~ = u + jv abgebildet. Diese Abbildung bedeutet in den beiden Gaußschen Zahlenebenen die Abbildung von Punktmengen P(x,y) der z-Ebene auf Punktmengen Q(u, v) der w-Ebene. Eine Funktion '!f. = f(?;) heißt analytisch, wenn sie in allen ihren Punkten differenzierbar ist, d.h. wenn die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind:

dU _ dV und dU dV dX-dY dY=-dX;

die Abbildung ist dann maßstabs- und winkeltreu. Deshalb heißt die Abbildung von komplexen Zahlen ~ auf komplexe Zahlen ~ mit analytischen Funktionen ~ = f(?;) konforme Abbildung.

jy z-Ebene

P(x,y)

w-Ebene

Bild 4.41 Abbildung von Punkten der z-Ebene auf Punkte der w-Ebene

x u

Zunächst soll die Frage beantwortet werden, weshalb die Behandlung von Wechseistromschaltungen im abgebildeten Bereich einfacher wird. Wie beschrieben, ist bei gemischten Schaltungen die Kehrwertbildung von komplexen Widerständen und komplexen Leitwerten notwendig. In der z-Ebene, in der die bezogenen komplexen Widerstände und bezogenen komplexen Leitwerte durch Punkte oder Zeiger dargestellt werden, bedeutet die Kehrwertbildung die Inversion von Zeigern:

1 1 _. z. =-=_. e J<P. -1 ~ r

Wenn Real- und Imaginärteil des Kehrwerts gesucht sind, erfordert die Berechnung des Kehrwerts das konjugiert komplexe Erweitern:

1 1 1 x-jy x .-y Z'=-=--=--'--=--+J---1 ~ x + j y x + j y x - j Y x2 + .; x2 + .; .

In der w-Ebene bedeutet die Inversion einer komplexen Zahl Z lediglich eine Negation der abgebildeten komplexen Zahl '!f.:

z-I _z w = f(z) = --- - z+ 1

1 z·=-1 ~

1 1 --1

Zj- z 1-z z-1 w· =f(z.) =--=--- =--- :;:----:;:-w. -1 1 Zj + 1 ! + 1 1 + ~ Z + 1 -

~

(4.86)

Wird also mit dieser Funktion f eine komplexe Zahl Z in eine komplexe Zahl '!i. abgebildet, dann ergibt sich das Bild Wi des in der z-Ebene invertierten Zeigers Zi = 1/1;., indem der Zeiger':!!. einfach um 1800 gedreht wird, ohne daß sich seine Länge ändert. Der Übergang von einem komplexen Widerstand zu einem komplexen Leitwert oder umgekehrt ist deshalb in der w-Ebene viel einfacher möglich als in der z-Ebene. Wie im folgenden beschrieben, werden mit Hilfe dieser analytischen Funktion die Punkte P (x, y) der rechten z-Ebene, die bei komplexen Widerständen und komplexen Leitwerten nur vorkommen, auf Punkte Q(u, v) einer Kreisfläche abgebildet. Dafür werden zunächst die Funktionen u (x, y) und v (x, y) hergeleitet: Mit

z-1 w =--- ist - z+1

. _(x+jy)-1_(x-1)+jy (x+1)-jy u+Jv- - .-'--'--.::....<....

(x+jy)+1 (x+1)+jy (x+1)-jy

. (x2-1+y2)+jy[(x+1)-(x-1)] u + J v = -'---~---''-''-~--::-'---'--''''<''<' (x+1)2+ y2

ergibt sich

und

u= x2+y2_1 (x+1)2+ y2

(4.87)

(4.88)

Mit Hilfe der Quotientenregel der Differentialrechnung läßt sich damit nachweisen, daß die Abbildungsfunktion analytisch und die Abbildung konform ist:

dU _ 2x [(x + 1f + y2] - (2x + 2) (x2 + y2 -1) _ dV _ 2 [(x + 1)2 + y2] - 2y . 2y dX- [(x + 1)2 + y2f -ay- [(x + 1)2 + y2]2

2x3 + 4x2 + 2x + 2xy2 - 2x3 - 2xy2 + 2x - 2x2 - 2y2 + 2 = 2x2 + 4x + 2 + 20 _ 4y2

dU _ 2y [(x + 1)2 + y2] - 2y (x2 + y2 -1) _ dV _ 0 - (2x + 2) ·2y dY - [(x + 1)2 + y2f - - dX - - [(x + 1)2 + y2]2

2yx2 + 4yx + 2y + 2y3 - 2yx2 - 2y3 + 2y = 4xy + 4y

Wird zu einem komplexen Widerstand ein ohmscher Widerstand in Reihe bzw. zu einem komplexen Leitwert ein ohmscher Widerstand parallel geschaltet, dann vergrößert sich der Realteil x des bezogenen komplexen Widerstandes bzw. des bezogenen komplexen Leitwerts. Wird zu einem komplexen Widerstand ein induktiver (kapazitiver) Widerstand in Reihe bzw. zu einem komplexen Leitwert ein kapazitiver (induktiver) Widerstand parallel geschaltet, dann vergrößert (verkleinert) sich der Imaginärteil y des bezogenen komplexen Widerstandes bzw. des bezogenen komplexen Leitwerts.


Deshalb ist es notwendig zu wissen, wie die abgebildeten x- und y-Achse und ihre Parallelen in der w-Ebene aussehen.

Abbildung der positiven x-Achse:

Mit y = ° ist x2 _1 x-I

u= =--(x + 1)2 X + 1 (4.89)

und v = 0.

Abbildung der y-Achse:

Mit x = ° ist y2_1

u=-- und i+ 1

und

u2 + v2 = 1,

(4.90)

d.i. ein Kreis mit dem Radius r = 1 und mit dem natenursprung der w-Ebene, also im Punkt Q4 (0,0).

jy f 1,5 j

P1 Pz

0,5 j

P3 P4 P(D--

0, 5 1,0 1,5_ o 0

x

-0,5 j

-j Ps P6

- 1.5 j

Beispiele: z-Ebene w-Ebene P3 (0, 0) Q3 (-1, 0) P4 (1, 0) Q4 (0, 0) P~ (00,0) Q~ (1,0) (siehe Bild 4.42)

Beispiele: z-Ebene w-Ebene Pl (0, 1) Ql (0, 1) Ps (0,-1) Qs(O,-I) (siehe Bild 4.42)

Mittelpunkt im Koordi-

j v f 1--_

Bild 4.42 Konforme Abbildung der rechten z-Halbebene in die w-Ebene


Abbildung der Parallelen der positiven x-Achse:

y = cy: Um y konstant setzen zu können, muß y in Abhängigkeit von u und v ermittelt werden:

. z-l ~=u+Jv=;+ 1

(u + jv) . ~ + u + jv = ~ - 1

(u + jv) . ~ - ~ = - (u + jv) - 1

z = _ (u + 1) + jv - (u -1) + jv

z = _ (u + 1) + jv . -,--( u_-----'l )'-------'j'---v - (u - 1) + jv (u - 1) - jv

u2 -1 + y2 + jv [Cu -1) - (u + 1)] z = - ------"---"-'-:.------=------''------------''-''-

- (u_1)2 + y2

Mit der quadratischen Ergänzung 1/c; folgt

( ) 2 2 2v 1 1 u - 1 + v - - + - = - und es c c2 c2 Y Y Y

(4.91)

ergibt sich die Gleichung von Kreisen in allgemeiner Lage mit den Radien lIcy

und der Mittelpunktsverschiebung (1, lIey):

(u _1)2 + (v ~ 1/ Cy)2 = l/c; . (4.92)

Der reelle Anteil der Mittelpunktsverschiebung ist für alle Kreise gleich 1, der imaginäre Anteil der Mittelpunktverschiebung ist genauso groß wie der Radius der jeweiligen Kreise Vo = 1/cy. Allen Kreisen ist der Punkt Qoo (1,0) gemeinsam (siehe Bild 4.42)

Beispiele:

Y=Cy Kreisgleichung

±112 (u _1)2 + (v +2)2= 22

±1 (u_1)2+(v+1)2=12

±312 (u _1)2 + (v + 2/3)2 = (2/3)2

Abbildung der Parallelen zur y-Achse: x = Cx: Um x konstant setzen zu können, muß x in Abhängigkeit von u und v ermittelt werden. Das Ergebnis für x ist bei der Abbildung der Parallelen zur positiven x-Achse errechnet:

u2 + v2 _1 x=- =c

(u-l)2 + v2 x

2 2 1 2 2 2 -u -v + =<;·u -<;. u+cx+cx·v

u2 (cx+ 1) - 2u<; + v2 (<; + 1) + Cx -1 = 0

2 Cx __ 2 cx -l u -2u--+v-+--1 =0.

cx +l cx +

Mit der quadratischen Ergänzung [Cx/(cx + 1)]2 ergibt sich ebenfalls die Gleichung von Kreisen, deren Mitttelpunkte auf der reellen Achse um Uo verschoben liegen:

u -2u-+ - +V-=--+ -2 Cx (Cx )2. 2 Cx - 1 ( Cx )2 cx +l cx +l cx+l cx+l

(U_~)2 +v2= - (cx -1)(cx + 1) + ~ -~ + 1 + ~ Cx + 1 (cx + 1)2 (cx + 1)2

( u - Cx c: 1 J + v2 = (cx ~ 1)2 = r~ Die Addition von Uo und ro ergibt 1:

Cx 1 --+--=1 cx+l cx +l

d.h. jeder Kreis geht durch den Punkt Q~ (1,0) (siehe Bild 4.42).

Beispiele:

X= Cx Kreisgleichung

1/2 (u-~Y +y2=(_1 y 1/2+1 1/2+1

(u - 1/3)2 + y2 = (213i

1 (u - 1/2)2 + y2 = (1/2)2

3/2 ( 3/2Yy2( 1 Y u- 3/2+1 + = 3/2+1

(u - 3/5)2 + y2 = (215)2

(4.93)

(4.94)


Um das Arbeiten im Kreisdiagramm zu erleichtern, werden die Koordinatenachsen u und jv weggelassen und an die abgebildeten Achsen die ~-Koordinaten eingetragen, denn aus der w-Ebene sollen der Realteil und der Imaginärteil der ~-Größe abgelesen werden können (siehe Bild 4.43).

x

U

y

U

v

Auf dem reellen u-Achsenabschnitt von u = -1 bis u = + 1, der die Abbildung der positiven x-Achse mit y = 0 ist, werden folgende x-Werte eingetragen:

0 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 2 3 00

P3 P4 Pco

-1 -0,82 -213 -0,54 -1/3 -0,176 0 0,2 2/3 0,5 1 03 04 Oco

Weitere u-Werte lassen sich mit der Formel u = (x -1)/(x + 1) berechnen (s. GI. (4.89».

Auf dem Kreisumfang des Einskreises, der die Abbildung der imaginären y-Achse mit x = 0 ist, werden folgende y-Werte eingetragen:

0 ±0,2 ±0,3 ±0,4 ±0,5 ±0,6 ±0,7 ±0,8 ±0,9 ±1 ±1,2 ±1,5 ±2 ±3 00

P3 P1 Ps

-1 -0,92 -0,83 -0,72 -0,6 -0,47 -0,34 -0,22 -0,10 0 0,18 0,38 0,6 0,8 1 03 01

05

0 ±0,38 ±0,55 ±0,69 ±O,8 ±0,88 ±O,94 ±O,98 ±O,99 ±1 ±O,98 ±O,92 ±O,8 ±O,6 ° Weitere u- und v-Werte lassen sich mit den Formeln

u= y2_1 und v=~ berechnen. (s. GI. (4.90» r+ 1 y2+1

Auf dem u-Abschnitt werden also reelle bezogene Widerstände und Leitwerte 'l-..' = R/Ro bzw. Y' = G/Go durch Punkte eingetragen. Die imaginären bezogenen Widerstände und Leitwerte Z' = jX/Ro bzw. Y' = jB/Go werden auf dem Einskreis berücksichtigt.

60

Bezogene komplexe Widerstände und Leitwerte

Z' = Z = ~ + j ~ und Y' = Y = ~ + j l!.. - Ro Ro Ro - Go Go Go


entsprechen im Kreisdiagramm den Kreuzungspunkten des Realteils und Imaginärteils. Wie in der z-Ebene sind im Kreisdiagram der w-Ebene die komplexen Zahlen '!:!. mit positivem Imaginärteilen oberhalb der reellen Achse und die mit negativem Imaginärteil unterhalb der reellen Achse zu finden. Punkte von komplexen Zahlen, deren Realteil und Imaginärteil größer als 3 sind, können nur noch ungenau im Kreisdiagramm eingezeichnet werden. Deshalb müssen der Bezugswiderstand Ro bzw. der Bezugsleitwert Go so gewählt werden, daß sich die bezogenen komplexen Widerstände und Leitwerte in der Mitte des Kreisdiagramms befinden. Werden mehrere komplexe Widerstände und Leitwerte einer gemischten Schaltung in einem Kreisdiagramm berücksichtigt, dann kann nur ein Bezugswiderstand Ro = lIGo gewählt werden.

Soll aus dem abgelesenen bezogenen Widerstand Z' der zugehörige komplexe Widerstand ~ oder aus dem bezogenen Leitwert Y' der komplexe Leitwert Y ermittelt werden, dann ist der bezogene komplexe Zahlenwert mit Ro oder Go zu multiplizieren:

(4.95)

oder

Y = Go· Y' = Go . GG + j . Go ~ o 0

(4.96)

Bild 4.43 Behandlung einer gemischten Schaltung im Kreisdiagramm


Beispiel: Das im Bild 4.40 gezeichnete Schaltbild soll mit Hilfe des Kreisdiagramms in eine äquivalente Reihenschaltung überfUhrt werden. Gegeben sind: RLr = 20 n

Lr=191~

Lösung: (siehe Bild 4.43)

C1= 31,8 nF C2=12,7nF

R=l00n f=50kHz

1. Ermittlung von ~i und Eintragung in das Kreisdiagramm:

~1 = RLr+ jXL= RLr+jroLr

~1 =2On+ j. 21t· 50 .103s- 1. 191·1O-6H

~1 = 20 n +j 60 n mit Ro = 100 n gewählt, ergibt sich

Z ' RLr .XL 0" . 06 _1= Ro +J Ro = .... +J. ,

der bezogene Widerstand ~i wird in der oberen

Hälfte des Kreisdiagramms eingetragen (Bild 4.43). 2 Ermittlung von .!i durch Inversion:

~1

-jwL r

Bild 4.44 Transformation der Reihenschaltung RLr/Lr in die äquivalente Parallelschaltung

Die Länge von ~i wird wegen Wj = - w über den Punkt 1 hinaus abgetragen und ergibt den

bezogenen Leitwert .!i der äquivalenten Parallelschaltung (Bild 4.44):

.!i =O,5-j ·1,5

Kontrollrechnung: Y' 1 . O,2-jO,6 0,2 _1 O,2+jO,6 O,2-jO,6 O,22+0,~

j 20,6 ~ O,5-j ·1,5. 0,2 +0,

3. Ermittlung von .!Z durch Berücksichtigung der Parallelschaltung von Cl : Die Parallelschaltung des Kondensators Cl bedeutet eine Erhöhung des Imaginärteils des komplexen Leitwerts .!1 und des bezogenen kom-

plexen Leitwerts .!i um

j BC1 j roC1 . --=--=JroC1 Ra

Go Go

= j . 21t . 50· 103 s-l . 31,8 . 10- 9 F· 100 n = j . 1 .!z=.!i +j ·1=O,5+j ·(-1,5+1)= O,5-j·O,5.

-T

Bild 4.45 Transformation der RLC-Parallelschaltung in die äquivalente Reihenschaltung

Im Kreisdiagramm bedeutet die Vergrößerung des Imaginärteils ein Verschieben des Punktes .!i in .!Z auf dem Kreis mit konstantem Realteil 0,5, weil die Abbildung der

Parallelen zur y-Achse auf der u-Achse verschobene Kreise sind. 4. Ermittlung von ~2 durch Inversion:

Da zu der Parallelschaltung der Widerstand R in Reihe geschaltet ist, muß der Widerstand der Parallelschaltung durch Inversion ermittelt werden (Bild 4.45).Das Kreisdiagramm ergibt ~2 = 1 + j . 1.

Kontrollrechnung: Z' 1 . 0,5 + j 0,5 0,5 + j 0,5 = 1 + j . 1 _2 O,5-jO,5 O,5+jO,5 0,52+0,52 0,52+052


5. Ermittlung von ~3 durch Berücksichtigung der Reihenschaltung von R:

Die Reihenschaltung des ohmschen Widerstandes R bedeutet eine Erhöhung des Realteils des komplexen Widerstandes ~2 und des bezogenen komplexen Widerstandes ~2 um R/RO = 100 Q/100 Q = 1,

~3 = ~2 + 1 = (1 + 1) + j. 1 = 2 + j . 1.

Im Kreisdiagramm bedeutet die Vergrößerung des Realteils ein Verschieben des Punktes ~2 in den Punkt ~3 auf dem Kreis mit konstantem Imaginärteil1,0, weil die Abbildung der

Parallelen zur positiven x-Achse Kreise sind, die in u- und v-Richtung verschoben sind. 6. Ermittlung von ~3 durch Inversion:

Bild 4.46 Transformation der RLC-Reihenschaltung in die äquivalente Paral1elschaltung -

T Da zu der Reihenschaltung die Kapazität C2 parallel geschaltet ist, muß der Leitwert der Reihenschaltung durch Inversion ermittelt werden (Bild 4.46). Das Kreisdiagramm ergibt ~3 = O,4-j· 0,2.

Kontrollrechnung:

Y3=_1_. 2-j ·1 =~-j.!.=O,4-j .0,2. - 2+j·1 2-(1 5 5

7. Ermittlung von ~4 durch Berücksichtigung der Parallelschaltung von C2:

Die Parallelschaltung des Kondensators C2 bedeutet eine Erhöhung des Imaginärteils des komplexen Leitwerts ~3 und des bezogenen komplexen Leitwers ~3 um

·B . C J C2=JOO 2=jooC2Ra=j.21t.50.103s-1.12,7.1Q-9F.100Q=j.O,4 Go Go

r.4=~3+j ·O,4=O,4+j· (-0,2+0,4) =O,4+j ·0,2.

Im Kreisdiagramm bedeutet die Vergrößerung des Imaginärteils ein Verschieben des Punktes ~3 in den Punkt ~4 auf dem Kreis mit konstantem Realteil 0,4; die

Parallelschaltung einer Induktivität würde eine Verminderung des Imaginärteils bewirken. 8. Ermittlung von ~4 durch Inversion:

Für die gegebene Schaltung im Bild 4.40 ist die äquivalente Reihenschaltung gesucht. Deshalb ist der komplexe Widerstand durch Inversion zu ermitteln. Das Kreisdiagramm ergibt ~4 = 2- j . 1.

Kontrollrechn ung: Z'= 1 .O,4-jO,2 _4 ~4+j~2 ~4-j~2

9. Berechnung der Ersatzschaltung: Da der Imaginärteil des bezogenen komplexen Widerstandes ~4 negativ ist, besteht die

Ersatzschaltung für die gegebenen Größen aus der Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes Rers und einer Kapazität Cers. Mit dem Bezugswiderstand Ro = 100 Q werden die Ersatzelemente berechnet:

~4 = Ra· ~4= 100 Q. (2- j) = 200 Q -j ·100 Q= Rers -j (l/ooCers)

d.h. Rers = 200 Q und Cers = 1/(00·100 Q) = 31,8 nF.


Duale Schaltungen

Zwischen zwei Wechselstromwiderständen oder zwei Wechselstromschaltungen besteht Dualität, wenn der komplexe Widerstand Zl des einen Wechselstromwiderstandes oder der Wechselstromschaltung proportional dem komplexen Leitwert Y 2 des anderen Wechselstromwiderstandes oder der anderen Wechseistromschaltung ist:

Zl =R5' Y 2 oder (4.97)

Mit 1 Y 2 = - ist Zl' ~2 = R5 . -- ~2

(4.98)

Die Proportionalitätsgröße R5 heißt Dualitätsinvariante und hat die Dimension des

Quadrats eines Widerstandes. Duale Schaltungen haben gleiche Zeigerbilder , wie fOr die bereits behandelten dualen Schaltungen in den Bildern 4.25 und 4.32 zu sehen ist.

Beispiele:

R j

I G

o----e:::J---o o-----e:::::J--R bZII. G

• 1 Il = R r 12 = R1 R = G . L j I jwl bZIi. jwC

~I 0 - 0 0

I,=jwL r2 =~ j wL= jw C r •

C j r L

0 11 0 c - 0 , 1

Z =_1_ j w( bZIi.

jwL , 1 , Y =~-=-

-1 jwC - 2 R. j w( jwl

Bild 4.47 Duale Wechselstromwiderstände

Rr Lr

i~ ~ ~ -1 bZII.

I 1= Rr +jwL r 2.2 1 12=R" (Rr +j wL r l = Gp + jw(p

r •

rj] Rr Lr Cr

o--c:~--_--U-':_-o

0 ikj' ' 1 , c 12 ~ -;;r Z1 = ::T . 1 bZII . R . ... R. Gp+J{wCp- - 1

'12 wLp , 1

Z - .!... ... 1 :1:2 = f.2 = Rr • j{wl r - o1cr I - 1- 1, - Gp + j(wCp _...1....1 r

wLp

_ , Cp

I1 = JwL + G . C Rr lr p + JW P

~ L' -c -L Y _I1_ JW + Gp+ j wCp

~ -r"R';- R;

. 1 11 Y = JWC + ,

G -2 Rr+ JwLr C p mit C=UR! Rr=R;'Gp Lr = R; (p

Bild 4.48 Duale Wechselstromschaltungen


4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

Anwendung der Rechenmethoden für Wechselstromnetze

Nachdem im Abschnitt 4.2 vier Verfahren für die Berechnung von Wechselstromnetzwerken behandelt wurden und im Abschnitt 4.3 die damit zusammenhängenden Begriffe "Wechselstromwiderstände" und "Wechselstromleitwerte" von Netzwerkteilen erklärt wurden, soll nun die Frage beantwortet werden, welches der Verfahren unter welchen Voraussetzungen angewendet wird. Wie in der Übersicht anfangs des Abschnitts 4.2.5 dargestellt und durch ein Beispiel erläutert, stehen die vier Berechnungsverfahren im engen Zusammenhang zueinander. Das Verfahren 1, die Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich, ist wohl prinzipiell einfach, aber rechnerisch zu aufwendig und findet deshalb in der Praxis keine Anwendung. Die Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen, also das Verfahren 2, wird dann bevorzugt, wenn die Differentialgleichung aus anderen Gründen aufgestellt werden muß; z.B. bei der Behandlung von Ausgleichsvorgängen mit Wechselspannungserregung, bei der die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung zum flüchtigen Anteil des Ausgleichsvorgangs führt (siehe Abschnitt 8.2.3). Die meist gewählten Verfahren für die Behandlung von Wechselstromnetzen sind das Verfahren 3 "die Lösungsmethode mit Widerstandsoperatoren" und das Verfahren 4 "die grafische Lösung mit Hilfe von Zeigerbildern". Beide Verfahren gehen von der Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten aus. Die Rechenhilfen (Spannungsteilerregel und Stromteilerregel) und die fünf Netzberechnungsverfahren der Gleichstromtechnik (siehe Band 1, Abschnitt 2.3) führen ohne Differentialgleichungen zu Lösungen im Bildbereich, die dann auf die beschriebene Weise rücktransformiert werden können (siehe Abschnitte 4.2.4 und 4.2.2). Die Zeigerdarstellung ist die grafische Beschreibung des Rechenverfahrens. Im folgenden sollen einige praktische Beispiele von Wechselstromnetzen behandelt werden, die nicht nur die Netzberechnungsverfahren, sondern auch äquivalente Schaltungen, Stern-Dreieck-Transformationen und das Kreisdiagramm betreffen.

Beispiel 1: Ein Zweistrahl-Oszilloskop zeichnet den StromZweipols auf, der im Bild 4.49 dargestellt ist. 1. Zunächst sind die Effektivwerte von Strom und

Spannung, die Frequenz und die Phasenverschiebung aus dem Oszillogramm abzulesen.

2. Dann ist der passive Zweipol durch zwei Ersatzschaltbilder darzustellen, deren Ersatzschaltelemente mit Hilfe der komplexen Rechnung zu ermitteln sind.

3. Schließlich ist das Ergebnis mit Hilfe der Formeln für Widerstandstransformationen zu kontrollieren.

und Spannungsverlauf eines passiven

.....-:; x;;:-... i .....-:; ~

'/ u-" ~\ / '/ '\\ \ l\ VI \

'-....: ~

u: 200Vlcm i: 2A1cm -i1cml-t: 10lls/3cm

Bild 4.49 Oszillogramm zum Beispiel 1

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen 65

Lösung: Zu 1.

Amplitude und Effektivwert hängen über f2 = 1,414 zusammen, d.h. die Effektivwerte betragen mit den gegebenen Maßstäben: U = 200 V und 1= 2 A. Wenn 3 cm der Zeit von 10/1s entsprechen, beträgt die Periodendauer mit 6 cm T = 20 /1s. Die Frequenz errechnet sich aus dem Kehrwert:

f = ur = 1/20 /1s = 50 kHz.

Die Spannung u eilt dem Strom i um einen halben Zentimeter vor. Die Länge von 6 cm entspricht roT = 21t, und 0,5 cm entsprechen 1t/6, d.s. + 30°. Der passive Zweipol wirkt wie ein induktiver Wechselstromwiderstand.

Zu 2. Die Ersatzschaltungen für den passiven Zweipol sind die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes Rr und einer Induktivität Lr und die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes Rp und einer Induktivität Lp. Die Ersatzschaltelemente der Reihenschaltung werden mit Hilfe des komplexen Widerstandes ermittelt: Mit GI. (4.41) und (4.42)

~ = Z . cos <P + j . Z . sin <P = Rr + j roLr

und Z= U I

ergeben sich

Rr = U cos <P = 200 V cos 30° = 86,6 Q I 2A

und aus roLr = U sin <P = 200 V sin 30° = 50 Q I 2A

Lr = 50 Q = 50 VIA = 159!1H. 21tf 21t . 50· 103s-1

Die Ersatzschaltelemente der Parallelschaltung werden entsprechend mit dem komplexen Leitwert ermittelt: Mit GI. (4.58) und (4.59)

YY ·Y· 1.1 = . cos<P-J· . Slfi<p=--J ._-- / Rp roLp

und mit Y = .!.=~ Z U

ergeben sich aus

1 I -=_. cos<p Rp U

U 200 V Rp=I.COS<P 2A·cos30°

und aus

1 I . --=-·Slfi<p roLp U

115,5 Q

L = U P ro.I.sin<p

200 V 637 !1H 21t . 50 . 103s-1 ·2 A . sin 30°

Zu 3. Nach GI. (4.70) lassen sich die Ergebnisse kontrollieren:

~+ro2L; Rp=---

Rr

(86,60)2 + (2n . 50· 1<Ps-l . 159· 10-6H)2 - 115,5 0 86,60

~+ro2L; Lp

ro2 Lr (86,60)2 + (2n . 50 . 1<Ps-l . 159 . 10-6H)2 637 JlH

(2n· 50 . 1<Ps-l )2 . 159 . lO-6H

Beispiel 2: An der gezeichneten Schaltung liegt die sinusförmige Spannung

ul = Ul . sin (rot + <Pul)

an. Die Ausgangsspannung u2 ist zu berechnen, indem die Verfahren 2 und 3 (siehe Abschnitt 4.2.5) angewendet werden. Bild 4.50 Schaltbild zum Beispiel 2

1. Zunächst ist die Differentialgleichung für die Kondensatorspannung uc(t) zu entwickeln.

2. Dann ist die Differentialgleichung in die Bildgleichung (algebraische Gleichung) zu transformieren und diese zu lösen.

3. Anschließend ist die Lösung der Bildgleichung (algebraische Gleichung) mit Hilfe der Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten zu kontrollieren.

4. Die Zeitfunktion uc(t) ist dann durch Rücktransformation der Lösung der Bildgleichung zu ermitteln.

5. Schließlich ist die Ausgangsspannung u2 (t) zu berechnen.

Lösung:

. duC Zu 1. ul = Uc + i . (Rl + R~ mit 1 = C-

dt

duc ul = Uc + (R1 + R2) C -- (Differentialgleichung)

dt

Zu 2. !:!.l =!:!.C + (Rl + R~ C . j ro . !:!.C (Bildgleichung in komplexen Zeitfunktionen)

!:!.l !:!.C (Lösung der Bildgleichung in komplexen Zeitfunktionen)

1 + j ro (Rl + R2) C

Zu 3. Nach der Spannungsteilerregel in komplexen Effektivwerten ist

1 Uc jroC

U 1 Rl + R2+-. _1_ JroC

und

!b U c=------- 1 + j ro (Rl + R~ C

1!e -r~[ R1

l!1 R2 j ll, ~------------~~_o

Bild 4.51 Schaltung im Bildbereich zum Beispiel 2

(Lösung der Bildgleichung in komplexen Effektivwerten)

'" u d t) = U1 . ej [oot + %1 - arc tan 00 (R1 + R2) CJ

- ,..; 1 + 002 (R1 + Rz)2C2

Rücktransformation:

'" u1 Uc (t) = . sin [oot + <Pul - arc tan 00 (R1 + Rz) CJ

,..; 1 + 002 (R1 + Rz)2C2

duc .. duc Zu 5. u2(t)=R2 ·i(t)=R2·C- rrut l(t)=C-

dt dt

00' R2' C· U1 u2(t) = . cos[oot+ <pu1-arctan00 (R1 +Rz)CJ

,..; 1 + 002 (R1 + Rz)2c2

U1 u2(t) = --;::::=======' sin [oot + <Pul - arc tan 00 (R1 + Rz) C + n12]

( 1 + R1J2 + 1 R2 002R~C2

Beispiel 3: 1. Für die gezeichnete Schaltung ist die Differentialgleichung für uc aufzustellen. 2. Die Differentialgleichung ist ins Komplexe abzubilden, und die Bildgleichung ist zu lösen. 3. Die Bildgleichung ist mit Hilfe der Symbolischen Methode zu kontrollieren. 4. Durch Rücktransformation der Bildgleichung ist die Zeitfunktion uc zu ermitteln.

Bild 4.52

Schaltung zum Beispiel 3

u = u· sin(wt+ljlu)

Lösung:

Z1 R 'Tdi u . u= Lr'l+-'-'r-+UC dt

. '" duC Uc rrut 1=lC+1R=Cp-+-

dt Re;,

di d2uc 1 duC und -= c;,--+--

dt d~ Re;, dt


ergibt sich

Zu 3. Nach der Spannungsteilerregel in komplexen Effektivwerten ergibt sich

Uc U

(vgl. Beispiel 3 Stromteilerregel)


Beispiel 4:

Für den gezeichneten symmetrischen Vierpol soll das Übertragungsverhalten für sinusförmige Wechselgrößen beschrieben werden. 1. Zunächst ist das Spannungsübersetzungsverhältnis

69

~ I e

~o------------~--------__ o !:!.2 Bild 4.53 Schaltbild für Beispiel 4 !:!.I

bei Leerlauf am Ausgang in Form eines algebraischen Operators zu ermitteln. 2. Dann ist das Stromübersetzungsverhältnis

!2 !I

bei Kurzschluß am Ausgang zu ermitteln, ebenfalls in Form eines komplexen Operators. 3. Anschließend ist die Kreisfrequenz co zu berechnen, bei der der Betrag von V 2/!:!.1 und der

Betrag von !2/!1 gleich It{Z = O,7a? betragen.

Lösung: Zu 1. Bei Leerlauf am Ausgang ist der Ausgangsstrom i2 Null, so daß Rund C in Reihe liegen. Im Bildbereich ergibt sich aus der Spannungsteilerregel für komplexe Effektivwerte:

1 V 2 jcoC 1

VI R+_1_ l+jeoRC jcoC

~I R R !2=01 \!1 I .. 1_ ~1_· ~ I \!2

Ijwe o 0

Bild 4.54 Leerlauf am Ausgang in der Schaltung des Beispiels 4

70

Zu 2.

Bei Kurzschluß am Ausgang kann im Bildbereich die Stromteilerregel angewendet werden, weil R und C parallel geschaltet sind:

1

!2= j;C 1 !I R+_1_ l+jroRC

jroC


R R lJ.2=O _1_ jw C

Bild 4.55 Kurzschluß am Ausgang in der Schaltung des Beispiels 4

Die Operatoren zwischen den komplexen Effektivwerten der Spannungen und der Ströme sind gleich.

IV211!21 1 Zu 3. VI = !I = ,.,Jl+(roRq2

1

i2

d.h. 1 + (roRC)2 = 2, roRC= 1 und ro=_l_. RC

Beispiel 5: Mit der gezeichneten RC-Schaltung nach Wien lassen sich beliebige Phasenverschiebungen zwischen den sinusförmigen Spannungen U2 und UI erzielen.

Rp ) jW1Cp*!lJ.2 I

Bild 4.56 Schaltung zum Beispiel 5 im Zeitbereich und Bildbereich

1. Mit Hilfe der Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten ist das Spannungsverhältnis V 2/U I in Abhängigkeit von Rr , Rp Cr und Cp in Form eines komplexen Operators in algebraischer Form zu entwickeln.

Das Spannungsverhältnis ist anschließend in Betrag und Phase anzugeben.

2. Bei welcher Kreisfrequenz roo ist der Betrag maximal und welche Phasenverschiebung tritt dann zwischen den beiden Spannungen auf?

3. Auf welchen Wert sinkt bei dieser Frequenz die Amplitude der Ausgangsspannung bezogen auf die Amplitude der Eingangsspannung, wenn die ohmschen Widerstände und die Kapazitäten gleich sind?


Lösung: 1

I

U 21 . U 1 . eJ q>

mit dem Betrag

I~:I= J ( R, C. ([ 1 J' 1+-+- + ooRrCp----Rp Cr ooRpCr

und mit dem Phasenwinkel

Zu 2. Der Betrag ist maximal, wenn der Nenner des Betrags am kleinsten ist. Da im lmaginärteil eine Differenz auftritt, kann dieser Anteil bei einer bestimmten Kreisfrequenz 000 Null werden:

1 OOORrCp 0

OOORpCr

1 000=-,:::====

-v'RrRpCrCp

Die Phasenverschiebung q> ist dann Null, weil der Operator zwischen U 2 und ~l reell ist, wie auch die Formel für q> bestätigt: der Zähler ist Null und der Nenner ist ungleich Null.

Zu 3. Mit Rr = Rp und er = Cr wird bei 00 = WO der Betrag

Die Amplitude bzw. der Effektivwert der Ausgangsspannung U2 (t) beträgt dann nur ein Drittel der Amplitude bzw. des Effektivwertes der Eingangsspannung Ul (t).


Beispiel 6: Für das Beispiel der Netzberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze mit gekoppelten Induktivitäten (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.7.2, Bild 3.204) und einer sinusförmigen Quellspannung Uq (t) soll das geordnete Gleichungssystem mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten aufgestellt werden.

k1 -

Bild 4.57 Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten einer Netzberechnung mit gekoppelten Spulen des Beispiels 6

k2

Lösung: k - 1 = 1 Knotenpunktgleichung:

k1: !l =!2+!3

Masche I:

U q = (R1 + jroL1) . !1-j roM31 . !3+G~c + jroL3)· !3-jroM13·!1 + jroM23 · !2

Masche 11:

o = (R2 + jro~)· !2 + jroM32 . !J-G~c + j roL3)· !3-j roM23· !2+jroM13 ·!1

geordnetes Gleichungssystem:

0= (-1)·!1 +!2

U q = (Rl + jroL1 -jroM13) ·!l + j roM23· !2+ (jroL3 - j roM31 + j~C)-!3 0= jroM13· !l + (R2 + jro~ - j roM23) . !2+ (j roM32 - j roL3 - j ~C)·!3

geordnetes Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:

0 -1 1 1 !l

Qq R1 +jro(L1-M13) j roM23 j [ ro (LJ - M31) - ro~] !2

0 jroM13 R2 + j ro (~ - M23) j [ro (M32 - LJ) + ro~] !3


Beispiel 7: 1. Für die Reihenschaltung einer verlust

behafteten Spule und eines verlustbehafteten Kondensators (Beispiel 3) ist der Strom IR durch den Widerstand Rs, mit

Hilfe der Zweipoltheorie zu ermitteln. Die Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten ist dabei sowohl in die Spannungsquellen-Ersatzschaltung als auch in die Stromquellen-Ersatzschaltung zu überführen. Die Richtigkeit des Ergebnisses ist mit Hilfe des Beispiels 3 zu kontrollieren.

2. Bei welcher Kreisfrequenz haben die Spannung u und der Strom iR eine Phasenverschiebung von 90°'?

Lösung: Zu 1. Der Lösungsweg der Zweipoltheorie (Band 1,

Abschnitt 2.3.3) lautet: 1. Aufteilung des Netzwerkes in einen aktiven

und einen passiven Zweipol: der gesuchte Strom !R wird zum Klemmenstrom des

entstehenden Grundstromkreises (siehe Bild 4.59).

2. Berechnung der Ersatzschaltung des aktiven Zweipols:

Grundstromkreis

Bild 4.58 Schaltung im Bildbereich einer Netzberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie des Beispiels 7

.!.! j RLr

jwLr 1 :: I.!.!c

jw (p

~ __________ ~~~ __ -J

aktiver Zweipol I passiver Zweipol I

Bild 4.59 Aufteilung der Schaltung im Bildbereich des Beispiels 7 in einen aktiven und einen passiven Zweipol

mit Ersatzspannungsquelle V qers= V I:

oder mit Ersatzstromquelle !qers = !k: -jwLr

Bild 4.60 Ermittlung von .!:!./

1

VI V

jroCp

RLr+jroLr +-. _1_ JroCp

V VI=--~~~=-------- (1-ro2Lr~) + jroRLrCp

1 Ziers =-------- jroC + 1

P RLr+jroLr

o

~j jwL r

_1_ j w(p

~ ______________ 4-__ ~

Bild 4.61 Ermittlung von !k

3. Berechnung der Ersatzschaltung des passiven Zweipols ~aers:

~aers =Rcp 4. Ermittlung des gesuchten Stroms oder der gesuchten Spannung mit Hilfe der Ersatz

schaltung (Grundstromkreis) Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:

U 1 _qers

_R ~iers +~aers

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:

Z· ·1 1 _lers -q ers

_R ~iers + ~a ers

!R (RLr + jroLr) +RCp (1 _002 Lr Cp) + jroRLr RCp Cp

U

Kontrolle (Beispiel 3):

IR U

Uc=Rcp·!R =~ (R ) ( Lr ) R ~ + 1 -{J)2 Lr Cp + jCiJ RLr Cp +--<;, Rcp RCp

Zu 2. Zwischen der Spannung u und dem Strom iR besteht eine Phasenverschiebung von 90°, wenn der Operator zwischen den entsprechenden komplexen Effektivwerten.!:!. und !R imaginär ist, d.h. wenn der Realteil Null wird. Da der Realteil eine Differenz ist, kann bei einer Kreisfrequenz Ol() die Phasenverschiebung von 90° erreicht werden:

RLr + Rcp (1- ro5 LrCp) = 0

2 RLr + Rep = O>ij Lr CpRCp

_ / RLr+RCp 1 _ rR;; ooo=ry LrCpRcp = ../LrCp 'V 1+~

Beispiel 8: Mit Hilfe der Ersatzschaltung einer Eisenkernspule mit Berücksichtigung der Streuung und Wirbelstromverlusten sollen die Zusammenhänge zwischen den Strömen und Spannungen beschrieben werden.

!!(J -Bild 4.62 Schaltung des Beispiels 8

1. Zunächst ist qualitativ das Zeigerbild für sämtliche Ströme und Spannungen zu entwickeln, wobei die Reihenfolge der Zeigerdarstellung mit entsprechenden Gleichungen anzugeben ist, damit das Zeigerbild nachvollziehbar ist.

2. Dann sind durch ein quantitatives Zeigerbild die Effektivwerte des Gesamtstroms I und der Gesamtspannung U und die Phasenverschiebung <p zwischen i und u mit folgenden Größen zu ermitteln:

Iw = 0,08 A f=500Hz

Rw = 1250Q Lw = 0,278 H

Ry = 2440Q LFe =0,144H

Reu = 156 Q

La = 0,029 H

Empfohlener Maßstab für das Zeigerbild: 100 mA -; 1 cm, 100 V -; 2,5 cm. 3. Schließlich ist aus den ermittelten Ergebnissen der Ersatzzweipol in Reihenschaltung zu

berechnen, der der Gesamtschaltung entspricht.

Lösung:

Zu 1. Qualitatives Zeigerbild:

Bild 4.63 Qualitatives Zeigerbild einer Eisenkernspule mit Streuung und Wirbelstromverlusten


!w

URw=Rw ' !w

ULw=jroLw ' !w

UM;=URw+ULw

UM I y =--- Ry

UM 111-=--- jroLFe

!=!w+!y+!11-

UReu=Reu .!

Uo=jroL o '!

U =UM+ ~Reu+ ~o

Zu 2. Berechnung der Effektivwerte:

Iw = 0,080 A ~ 0,8 cm,

URw = Rw . Iw = 1250 n . 0,080 A = 100 V ~ 2,5 cm,

U Lw = OlLw Iw = 21t· 500 s-l · 0,278 H· 0,08 A = 70 V~ 1,75 cm,

I 2 2 " UM = 'V URw + ULw = 122 V = 3,05 cm,

Iv = UM/Rv = 122 V/2440 n = 0,050 A ~ 0,5 cm,

111 = UM/OlLFe = 122 V/(21t . 500 s-l ·0,144 H) = 0,270 A ~ 2,7 cm,

die grafische Addition von! w,!v und & ergibt I = 0,340 A ~ 3,4 cm,

URCu = RCu ' 1= 156 n· 0,340 A = 53 V~ 1,33 cm,

Ua = OlLa · I = 21t . 500 s-l ·0,029 H· 0,340 A = 31 V~ 0,78 cm,

die grafische Addition von UM, U RCu und ~a ergibt U = 172 V ~ 4,3 cm,

der Winkel q> zwischen I und U beträgt q> = 57,5°.

!:!Lw

" 1w .!:!Rw , Bild 4.64 Quantitatives Zeigerbild einer Eisenspule mit Streuung und Wirbelstromverlusten

Zu 3.

, \

" \ I I' \ -~ - ',\

,\

~

Der Gesamtschaltung kann ein induktiver komplexer Widerstand zugeordnet werden, weil die Spannung u dem Strom i um 57,5° voreilt. Deshalb besteht die Ersatzschaltung als Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität:

U = UR + !:!.X = Rr . ! + j OlLr . !

mit UR = U . cos q> = Rr . I

und R U· cos = OlLr . I

und L U . sin <p 172 V . sin 57,5° r Oll 21t . 500 s-l ·0,34 A

und Lr = 0,136 H

Anmerkung zu 3: Die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Induktivität könnte ebenfalls als Ersatzschaltung angegeben werden, denn die Parallelschaltung ist einer Reihenschaltung äquivalent, wenn der komplexe Widerstand und der komplexe Leitwert beider Schaltungen gleich sind.


Beispiel 9: Jeder ohmsche Widerstand Rr enthält einen störenden Induktivitätsanteil Lr , der durch einen parallel geschalteten Kondensator Cp z.T. kompensiert werden kann. Rp wird dann nahezu frequenzunabhängig, wenn der Blindanteil des komplexen Leitwerts Null wird.

Bild 4.65

Äquivalente Schaltungen des Beispiels 9

1. Zunächst ist die Formel für den Wirkanteil Rp anzugeben, wenn Rr und Lr gegeben sind und 00 variabel ist.

2. Dann ist die Kreisfrequenz CI) zu ermitteln, bei der der Wirkanteil Rp nur um 1 % größer ist als der Nennwiderstand Rr .

3. Ein ohmscher Widerstand Rr = 1 kO enthält einen Induktivitätsanteil Lr = 40 ~H. Zu berechnen ist die Kreisfrequenz 00, bei der ebenfalls eine Widerstandsabweichung von 1 % besteht.

4. Schließlich ist die Kapazität Cp für den ohmschen Widerstand Rr = 1 kO mit Lr = 40 ~H und der berechneten Frequenz CI) zu bestimmen, die den Blindanteil des Leitwerts Null werden läßt.

Lösung: R; +002 .L; Zu 1. Nach GI. (4.70) ist Rp

Zu 2. Rp= Re ·1,01 = Re· [1 +0,01]

Rp =Rr + Cl)2~ L; =Rr . [1 +( OO~r rJ (

OOLr )2 2 L; d.h. Re = 00 ~ = 0,01

Rr Rr und CI) =",,0,01· - = 0,1-

Lr Lr

Zu 3. CI) = 0,1· 10000 = 2,5- 106s-1 40.10-6 VsJA

Zu 4.

Mit j .(OOCp-_1_)=0 ist roCp=_1_, ooLp ooLp

berechnen läßt:

40~ 39,6pF ~ + 0,01 . ~ 1,01 . ~ 1,01· (1 kO)2


Beispiel 10: Mit Hilfe der Illiovici-Wechselstrombrücke, die im Abschnitt 4.6.3 behandelt wird, lassen sich Spulen (verlustbehaftete Induktivitäten) meßtechnisch erfassen. Wird die Wechselstrombrücke in eine Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten transformiert, dann kann die Brücke durch eine Dreieck-Stern-Transformation oder eine Stern-Dreieck-Transformation in eine Brücke mit den komplexen Widerständen ~l' ~z, ~3 und ~4 überführt werden.

•

1 jwC

.. •

~ -Z1

,............

Z3

Bild 4.66 Transformation der Illiovici-Brücke im Beispiel 10

...r--J.

Z2

0 ,............

~4

Für diese Wechselstrombrücke gilt die analoge Abgleichbedingung wie bei der WheatstoneGleichstrombrücke für Gleichstromwiderstände (siehe Band 1, Abschnitt 2.2.7, GI. (2.108) entsprechend für komplexe Widerstände, wie im Abschnitt 4.6.3 erläutert wird:

R1 = R3 ~l =~3 R2 ~ ~2 ~4

(4.99)

1. Zunächst sind in Analogie zur Gleichstromtechnik, die Transformationsgleichungen für die Dreieck-Stern-Umwandlung und die Stern-Dreieck-Umwandlung anzugeben.

2. Dann ist die Illiovici-Brücke in die Brücke mit ~l bis ~4 durch Dreieck-SternTransformation und durch Stern-Dreieck-Transformation zu überführen.

3. Schließlich sind die Gleichungen für den ohmschen Anteil Rrl und den induktiven Anteil Lrl der Spule zu bestimmen.

Lösung: Zu 1. Die Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt für die Gleichstromtechnik (siehe Band 1, Abschnitt 2.2.10) setzt voraus, daß die Spannungen zwischen zwei Eckpunkten der Sternschaltung und der Dreieckschaltung jeweils gleich sein sollen. Der Gleichstromwiderstand zwischen zwei Punkten der Sternschaltung muß dann gleich dem Gleichstromwiderstand zwischen zwei entsprechenden Punkten der Dreieckschaltung sein. Für die Wechselstromtechnik gilt entsprechendes für komplexe Widerstände, also nur für Schaltungen mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten.


Dreieck-Stern-Transformation:

A ~ ______ ~~ ______ ~B A B

Bild 4.67 Transformation einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung

In Analogie zu den Gleichungen (2.147) bis (2.149) ergibt sich für die komplexen Widerstände der Sternschaltung:

~2·~3 Z' _1 ~1+~2+~3

~3·~1 Z' _2 ~1+~2+~3

Zl· Z2 Z3= - -- ~1+~2+~3

Merkregel:

Sternwiderstand = Produkt der beiden Dreieckwiderstände Summe aller Dreieckwiderstände

Stern-Dreieck-Transformation:

•

A B A ~ ______ ~~ ______ ~B

Bild 4.68 Transformation einer Sternschaltung in eine Dreieckschaltung

(4.100)

(4.101)

(4.102)

In Analogie zu den Gleichungen (2.153) bis (2.155) ergibt sich für die komplexen Widerstände der Dreieckschaltung:

ZZ·Z3 Zi·ZZ+ZZ·Z3+Zi·Z3 Z -Z' Z' - - -- - - - - -_1- _2+ _3+---z:-- 71 (4.103)

_1 ~

Zi· Z3 Zi· Zz + Zz . Z3 + Zi . Z3 Z2=Zi+ Z3+- Z-: =- - - Z-: - (4.104)

_2 _2

Zl' . Z2' Zl'· Z2' + Zz . Z3' + Zi . Z3 Z -Z' Z' - - -- - - - - -_3- _1 + _2+---z:-- Z'

_3 _3 (4.105)


Zu 2. Dreieck-Stern-Transformation in der IIIiovici-Brücke:

Rr1 jwLr1

l I

R3 A 1 I I ~fjWC BI I I L __________ ..J

Rr1

.. jwLr1 R2

r-- - - - --- .. I I I I I Z· z' I A -1 -2 B, I L __________ ...J

Bild 4.69 Umwandlung der IlIiovici-Brücke durch Dreieck-Stern-Transformation

1 Rs ·--jwC

1 ~+Rs+-" -

JWC

1 --·R4 jwC

1 ~+Rs+-. -

]wC

R4 ·Rs

ergibt ~3 = R3 + ~i

ergibt ~4 = ~2

~3 liegt im Diagonalzweig der Brücke, der bei Abgleich der Brücke stromlos ist.

Stern-Dreieck-Transformation in der IIIiovici-Brücke:

Rr1 jwLr1 .. -- - - .. r I I

Z" Z" I 'A -2 Z"

-1 B, I -3 I I

L -- - - -- -- - - - -.J

Bild 4.70 Umwandlung der IlIiovici-Brücke durch Stern-Dreieck-Transformation

1 Z' Z' --"RS

Z"=Z' +Z' +_2" _3 =_l_+ R +L:jw=.C.::........_ _1 _2 _3 Z' "C S R

_1 JW 3 ergibt ~4 = R4 " ~i

jwC

1 Z' Z' R3"--

Z"=Z' +Z' +_1" _2 = R +_1_+ jwC _3 _1 _2 Z' 3" C R

_3 JW S

~3 beeinflußt die Brücke nicht, denn ~3 ist parallel zur Brücke geschaltet


Zu 3. Die Abgleichbedingung für die transformierte Brücke wird nach ~l aufgelöst, weil Rr1 und

Lr1 gesucht sind und getrennt im Realteil und lmaginärteil von ~1 zu finden sind:

Zl = R r1 + jwLr1 = Z2 ,~3 - - Z _4


Mit ~ = R3 + ~i und ~4 = ~2

1 RS'--

R3 + __ ~J'_" w.::..C=--_

R4 +RS+-. _l_ ist Rrl + j wLr1 = R2 . _____ JL:w=-C=_

-1_' R4 jooC

1 R4 +RS+-, -JWC

R3(~+Rs+-. _1_)+Rs.-. _1_ Rrl + jwLr1 = R2 . JWC JWC

-1_' R4 jwC

Rr1 + j wLr1 = R2 [(R3 + RS) + j wCR3 (R4 + RS)] R4

d.h. Rr1 = =: (R3 + RS) und Lr1 = CR2 R3 ( 1 + =: J Stern-Dreieck-Transformation:

M 't Z Z" d 1 1 1 1 3= 2 un -=-+-- - Z R Z" _4 4_1

R Z" . R 'L R Z" ( 1 1) 2 Z" R-2 1st rl+JW rl= 2' 2' -+- =- 2+ 2-

- ~ ~1 R4 - ~1

R2 R3+ RS+jwCR3 Rs Rrl + j wLr1 = - (R3 + RS + j wCR3 RS) + R2-------

R4 _1_. RS _1_ + RS + JL:' w=-C:::......_ jwC R3

R2 R3+RS+jwCR3Rs Rr1 +jwLr1 =-(R3 +RS+jwCR3 RS)+R2-------

R4 1 1 RS --+RS+--'-jwC jwC R3

R2 R3 + RS + jwCR3 RS Rrl + jwLr1 =-(R3 + RS+ jwCR3 RS) + jwCR2' R3 .

R4 R3 +RS+JwCR3 RS

Rr1 + jwLrl = R2 (R3 + RS) + jwC (R2 R3RS + R2 R3J RS R4

d.h. Rrl = =: (R3 + RS) und Lr1 = CR2 R3 ( 1 + =: J


Beispiel 11: Bei einer Frequenz f = 200 MHz ist die Ersatzschaltung einer Antenne die Reihenschaltung des ohmschen Widerstandes Rl = 1200 und der Kapazität Cl = 2,21 pF. Der damit gegebene komplexe Widerstand ~1 soll durch Parallelschalten einer Induktivität Lp und Reihenschalten einer Kapazität Cr in einen reellen Widerstand ~3 = R3 = 240 0 transformiert werden. Mit dieser Widerstandstransformation wird die Antenne an den ohmschen Wellenwiderstand der Leitung angepaßt.

fl' f2: f3: 11

jW(r

1~ .. R1 jwL p .. R1 jwLp 1

240Q

jw (1 T jw (1 jW(l

Bild 4.71 Widerstandstransformation einer Antenne im Beispiel 11

1. Mit Hilfe des Kreisdiagramms sind die Induktivität Lp und die Kapazität Cr zu ermitteln, wobei eine Bezugswiderstand RO = lIGO = 6000 zu wählen ist. Das Ergebnis ist anschließend durch die Widerstandsberechnung der Schaltung zu kontrollieren.

2. Auf dieselbe Weise soll nun versucht werden, die Reihenschaltung des ohmschen Widerstandes R1 = 240 0 und der Kapazität Cl = 6,62 pF bei f = 200 MHz in den ohmschen Widerstand ~3 = 360 0 durch Zuschaltung von Lp und Cr zu transformieren. Falls das

nicht möglich ist, soll die Zuschaltung vertauscht werden: zuerst wird eine Induktivität Lr in Reihe und dann eine Kapazität Cp parallel geschaltet. Das Ergebnis ist anschließend durch die Widerstandsberechnung der Schaltung zu kontrollieren.

Lösung:

Zul. Zl=R1-j_l_=1200-j 1 - wC1 21t· 200· 106s-1 . 2,21.10-12 F

~1 = 1200-j· 3600

und mit

RO=6000

ist der im Kreisdiagramm darstellbare bezogene komplexe Widerstand

Z' _~1 _1200 _ .. 3600 _1 - Ra - 600 0 J 600 0

~i = Ri + j . Xi = 0,2 - j . 0,6

und der angestrebte bezogene komplexe Widerstand

Z,_~3 _2400 _3- Ra - 6000

~3 = R3 + j . X3 = 0,4 mit X3 = 0


Der bezogene komplexe Widerstand ~i soll durch Parallelschalten einer Induktivät Lp in den

bezogenen komplexen Widerstand ~2 so transformiert werden, daß der Realteil von ~2 mit

dem reellen bezogenen Widerstand ~3 übereinstimmt.

Wie behandelt, erfordert die Parallelschaltung zunächst eine Inversion von ~i in den

bezogenen komplexen Leitwert

.ri = Gi + j . B{ = 0,5 + j- 1,5

und dann ein Zusammenfassen der Blindleitwerte. Die Parallelschaltung der unbekannten Induktivtät Lp bedeutet, daß der Realteil von .ri konstant bleibt und der bezogene komplexe

Leitwert .r2 auf dem Kreis liegen muß, der durch 0,5 geht.

Werden Punkte dieses Kreises invertiert, dann entsteht ein Kreis, der durch ~i und den Punkt

o verläuft. Werden zu einem komplexen Widerstand Induktivitäten parallel geschaltet, dann wird dieser Kreis im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen; werden Kapazitäten parallel geschaltet, dann wird er im Uhrzeigersinn durchlaufen. Auf diesem Kreis muß der bezogene komplexe Widerstand ~2 liegen, für den der Realteil

noch festgelegt werden kann. Dieser ergibt sich im Schnittpunkt dieses Kreises durch ~i und 0

und dem Kreis mit dem geforderten Realteil von ~3 =R3, im Beispiel durch ~3 = 0,4 festgelegt:

~2 = R2 + j . X2 = 0,4 + j . 0,8

Bild 4.72 Ermittlung von Lp und Cr für die Transformation eines komplexen Widerstandes in einen reellen Widerstand


Der bezogene komplexe Widerstand ~z ist dann in !:z zu invertieren

!:z = 0z + j . Bi = 0,5 - j . 1,0

damit die Induktivität Lp berechnet werden kann:

Bp =Bi -Bi =-1,0-1,5 = -2,5

B' Bp = 00 . Bp = ~ = __ 1_

Ro roLp

1 Ro 6000 Lp =---=---, 6 1 = 191 nH

roB p roBp 2x . 200 . 10 s- ·2,5

Schließlich ist aus ~z und ~3 die in Reihe zu schaltende Kapazität Cr zu berechnen:

X; = X3 - Xz = - 0,8 mit X3 = 0

Xr =Ro·X;= __ l-roCr

Cr = __ l_= 1 6 1 = l,66pF roXr roRo· X; 2x· 200 . 10 s-1. 600 0 . 0,8

Auf die gleiche Weise ließen sich zu einem induktiven komplexen Widerstand ~i eine

Kapazität Cp parallel und eine Induktivität Lr in Reihe schalten, um einen reellen Widerstand zu erhalten.

1 (r=1.66pF Xr =-479.4Q

Kontrollrechnung:

Lp=191nH

Bp=-4.17mS

~1 = R1 + j . Xl = 1200 - j . 3600

Yl=...!...

Bild 4.73 Transformierte Schaltung im Beispiel 11, Teil 1

- z _1

Y 1 1200+j·3600 _1 1200 - j . 360 0 1200 + j . 360 0

!:1 = 0,833 rnS + j . 2,5 rnS

!:2 = !:1 + j . Bp = GI + j . (BI + Bp)

!:2 = 0,833 mS + j . (2,5 - 4,17) mS = 0,833 rnS - j . 1,67 rnS = 02 + j . B2

z =...!... 1 0,833 mS+ j ·1,67 rnS _2 !:2 0,833 mS - j . 1,67 mS 0,833 mS + j . 1,67 rnS

~2 = R2 + j . X2 = 240 0 + j . 479,4 0

~3=~2 + j. Xr = R2 + j. (X2 + Xr) = 240 0+ j. (479,40-479,40)

~3=2400


Zu 2. Zl=R1-j_l_=2400-j 1 - (Oe1 2n · 200 · 106 s-l . 6,62 . 10-12 F

~1 = 240 0 - j . 1200

und mit RO = 600 0 ist der im Kreisdiagramm darstellbare bezogene komplexe Widerstand

Z,_~1_2400 _ .. 1200 _1 - Ra - 600 0 J 6000

~i = Ri + j . Xi = 0,4 - j . 0,2

und der angestrebte bezogene komplexe Widerstand

Z' _~3 _3600 _3- Ra - 6000

~j = Rj + j . Xj = 0,6 mit X3 = 0

Der Kreis durch ~i und 0 und der Kreis mit dem Realfall 0,6 haben keinen Schnittpunkt für

~2 . Mit parallel geschalteter Induktivität und in Reihe geschalteter Kapazität in dieser

Zuschaltung ist der angestrebte Widerstand nicht zu erreichen. Wird aber die Zuschaltung von Blindwiderständen umgekehrt, also zuerst eine Induktivität Lr in Reihe und dann eine Kapazität Cp parallel geschaltet, dann ist die Transformation in den reellen Widerstand möglich, wie im folgenden gezeigt wird.

f.1 : f.2' f. 3:

~ jwL r

R1 .. R1 .. R1 1 360n j w (p

1 1 jW(l T jW(1 T j w [1

Bild 4.74 Geänderte Widerstandstransformation im Beispiel 11, Teil 2

Sollte also eine Widerstandstransformation nicht durchführbar sein, weil sich kein Schnittpunkt der beiden Kreise ergibt, dann muß die Zuschaltung in umgekehrter Reihenfolge geschehen. Welche der beiden in Frage kommenden Schaltungen zum Ergebnis führt, muß ausprobiert werden.


Der bezogene komplexe Widerstand ~i soll durch Reihenschalten einer Induktivität Lr in

den bezogenen komplexen Widerstand ~2 so transformiert werden, daß der Realteil von ~2

mit dem reellen bezogenen Widerstand ~3 übereinstimmt.

Wie behandelt, bedeutet die Reihenschaltung einer Induktivität Lr eine Erhöhung des Blindanteils, d.h. der bezogene komplexe Widerstand ~2 muß auf dem Kreis liegen, der durch 0,4 geht.

Werden die Punkte dieses Kreises invertiert, dann entsteht ein Kreis, der durch.r.i und den

Punkt 0 verläuft. Um den Kreis zeichnen zu können, muß ~i in .r.i invertiert werden:

.r.i=G1+j · Bi=2+j · l

Werden zu einem komplexen Widerstand Induktivitäten in Reihe geschaltet, dann wird dieser Kreis im Uhrzeigersinn durchlaufen; werden Kapazitäten in Reihe geschaltet, dann wird er im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen. Auf diesem Kreis muß der bezogene Leitwert r2 liegen, für den der Realteil noch festgelegt

werden kann. Dieser ergibt sich im Schnittpunkt dieses Kreises durch .r.i und 0 und dem Kreis

mit dem geforderten Realteil von .r.3 = 1/~3 = 1/R3 = G3, im Beispiel durch

.r.3 = 1/~3 = 1/0,6 = 1,67 festgelegt:

.r.2 = O2 + j. B2= 1,67 -j ·1,2

Bild 4.75 Ermittlung von Lr und Cp für die Transformation eines komplexen Widerstandes in einen reellen Widerstand


Der bezogene komplexe Leitwert rz ist dann in ~z zu invertieren

~z = Rz+ j. Xz =0,4+ j. 0,28

damit die Induktivität Lr berechnet werden kann:

X~=Xz- Xi =0,28 +0,2 =0,48

Xr=Ro·X;=roLr

L - Ro· X; 600 n . 0,48 229 nH r - ro 2n. 200 .106s-l

Schließlich ist aus rz und r3 die parallel zu schaltende Kapazität Cp zu berechnen:

Bp=Bi-Bz=1,2 mit Bi=O

B' C - p 1,2 1,59pF

p - roRo 2n· 200 .106s-l . 600 n

87

Auf die gleiche Weise ließen sich zu einem induktiven komplexen Widerstand ~:i eine Kapazität Cr in Reihe und eine Induktivität Lp parallel schalten, um einen reellen Widerstand zu erhalten.

Kontrollrechnung:

Cp= 1,59pF

Bp=2,OmS Bild 4.76 Transformierte Schaltung im Beispiel 11, Teil 2

~l = Rl + j . Xl = 240 n - j . 120 n

~2 = ~l + j . Xr = Rl + j . (Xl + Xr)

~2 = 240 n + j . (- 120 + 288) n

~2 = 240 n + j ·168 n

.r.2 = 1/~2

Y _ 1 240 n - j . 168 n _2 - 240 n + j . 168 n 240 n - j- 168 n r2 = 2,8 mS - j . 2,0 mS = G2 + j . B2

r3 = r2 + j . Bp = G2 + j . (B2 + Bp) = 2,8 mS + j . (- 2,0 + 2,0) mS

r3=2,8mS

und ~3 = lIr3 = 1/2,8 mS = 360 n


Zusammenfassung der Widerstandstransformation:

Mit der Zuschaltung von zwei Blindwiderständen läßt sich jeder komplexe Widerstand Zl in einen anderen komplexen Widerstand ~3 überführen. Bei Anpassungsproblemen ist der gewünschte Widerstand ~3 meist reell. Dabei wird zuerst ein Blindwiderstand parallel und dann ein Blindwiderstand in Reihe geschaltet oder umgekehrt zuerst ein Blindwiderstand in Reihe und dann ein Blindwiderstand parallel geschaltet. Welche der beiden möglichen Schaltungen zum gewünschten komplexen Widerstand Z3 führt, muß im Kreisdiagramm ausprobiert werden.

~lll jXp = Z2 und Z2 + jXr = Z3 oder

1. Berechnung von Zi und Z; mit Ro: R X R X Z' 1. 1 Z' 3 . 3

-1 =R+JR -3=R+JR" o 0 0 0

und Eintragen in das Kreisdiagramm.

2. Transformation von Z i in Zz durch das Parallelschalten eines Blindwiderstandes Xp zu Zl (Kapazität Cp oder Induktivität Lp), wodurch die Forderung nach dem Wirkanteil R3 von Z3 erfüllt wird: Zeichnen des Kreises, der durch Zi und 0 ge1!.t. Ermittlung von ~z im Schnittpunkt

des gezeichneten Kreises und des Kreises mit dem geforderten Wirkwiderstand R3.

3. Transformation von Zz in Z; durch das Reihenschalten eines Blindwiderstandes Xr zu Z2 (Induktivität Lr oder Kapazität Cr), wodurch die Forderung nach dem Blindanteil X3 von Z3 erfüllt wird.

4. Ermittlung von Bp aus Zi und Zz: Inversion von Zi in Y1 und Zz in Y;

Ablesen von Bz und Bi und

Ermitteln von Bp = Go (Bz - Bi) Berechnen von c;, oder Lp: c;, = Bplco oder Lp = - l/coBp

5. Ermittlung von Xr aus Zz und Z;:

Ablesen von X3 und Xz und

Ermitteln von Xr = Ro (X3 - X z) Berechnen von Lr oder er: Lr = Xr/co oder er = - l/coXr

Zl +jXr=~2 und Z2I1jXp=~3 1. Berechnung von Zi und Z; mit Ro:

, R1 .X1 , R3 .X3 Zl =-+J- Z3=-+J-Ro Ro-Ro Ro Eintragen in das Kreisdiagramm und Inversion von Zi in Y1 und Z; in Y;

2. Transformation von Y1 in Y; durch das Reihenschalten eines Blindleitwertes Br zu Y 1 (Induktivität Lr oder Kapazität Cr), wodurch die Forderung nach dem Wirkanteil G3 von Y 3 erfüllt wird: Zeichnen des Kreises, der durch Y'l und 0 geht. Ermittlung von Y; im Schnittpunkt

des gezeichneten Kreises und des Kreises mit dem geforderten Wirkleitwert G3.

3. Transformation von Y; in Y; durch das Parallelschalten eines Blindleitwertes Bp zu Y 2 (Kapazität Cp

oder Induktivität Lp), wodurch die Forderung nach dem Blindanteil B3 von Y 3 erfüllt wird.

4. Ermittlung von Xr aus Zi und ~z:

Inversion von Y; in Zz Ablesen von xz und Xi und

Ermitteln von Xr = Ro (Xz - Xi) Berechnen von Lr oder er: Lr = Xr/co oder er = - l/coXr

5. Ermittlung von Bp aus Y; und Y;:

Ablesen von B3 und Bz und

Ermitteln von Bp und Go (B3 - Bz) Berechnen von c;, oder Lp: c;, = Bplco oder Lp = - l/coBp


Übungsaufgaben zu den Abschnitten 4.1 bis 4.4 4.1 Eine Spule mit einer Windungszahl w = 1000 und einer Querschnittfläche von 100 cm2

befindet sich in einem homogenen Magnetfeld, das sich sinusförmig mit der Frequenz f = 50 Hz verändert. Der Maximalwert der magnetischen Induktion beträgt

B = 5· 10-9 VsJan2.

1. Leiten Sie die Formel für die in der Spule induzierte Spannung her und berechnen Sie die Spannungsamplitude.

2. Auf welchen Wert verändert sich die Spannungsamplitude, wenn die Frequenz von 50 Hz auf 5 kHz vergrößert wird?

4.2 Mit einem Einweg-Gleichrichter wird mit einem Drehspulspannungsmesser eine Spannung von 40 V gemessen. Berechnen Sie die Amplitude der gleichgerichteten Sinusspannung.

4.3 Zwei Spannungsquellen liefern sinusförmige Spannungen mit den Effektivwerten Uql = 100 V und Uq2 = 120 V, die eine Phasenverschiebung von 60° zueinander haben. Die Spannung Uql hat den Anfangsphasenwinkel 0°.

1. Berechnen Sie den Effektivwert und den Anfangsphasenwinkel der resultierenden Spannung, wenn die beiden Spannungsquellen in Reihe geschaltet sind.

2. Auf welchen Wert ändert sich der Spannungseffektivwert, wenn die zweite Spannungsquelle umgedreht wird, also mit der ersten Quelle eine Gegenreihenschaltung darstellt?

3. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit Hilfe von Zeigerbildern.

4.4 Nacheinander werden an verschiedene Spulen, für die die ohmschen Verluste vernachlässigt werden sollen, sinusförmige Wechselspannungen mit dem Effektivwert 1000 V und den Frequenzen f = 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 und 100 Hz angelegt. 1. Berechnen Sie die Induktivitäten der einzelnen Spulen, wenn der Strom durch die

Spulen konstant 2 A gehalten wird. 2. Stellen Sie die Abhängigkeit der Induktivitäten L von den Frequenzen f dar.

4.5 Eine Wechselstromleitung der Länge von 1 km besteht aus zwei parallel liegenden Drähten mit gleichem Durchmesser von 2r = 2 mm und einem Abstand a = 0,1 m. 1. Berechnen Sie die Kapazität der Doppelleitung. 2. Wird an die Leitung eine sinusförmige Spannung U = 1000 V, f = 50 Hz bei offenem

Leitungsende angelegt, dann fließt ein sinusförmiger Strom. Berechnen Sie den kapazitiven Widerstand - Xc und den Effektivwert des Stroms I.

4.6 Ein Zweistrahl-Oszilloskop zeichnet den Strom- und Spannungsverlauf eines passiven Zweipols auf, der im Bild 4.77 dargestellt ist.

Bild 4.77 Übungsaufgabe 4.6

u: 100Vlem i: SA/em t: 10ms/3em

--I1em I--

1. Lesen Sie aus dem Oszillogramm die Effektivwerte von Strom und Spannung, die Frequenz und die Phasenverschiebung ab.

2. Stellen Sie den passiven Zweipol durch Ersatzschaltbilder dar und zwar durch zwei in Reihe und zwei parallel geschaltete Schaltelemente.

3. Berechnen Sie die Ersatzschaltelemente mit Hilfe der komplexen Rechnung. 4. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit Hilfe der Formeln für Widerstandstransformationen.

4.7 An einer verlustbehafteten Kapazität (Reihenschaltung von Rr und Cr) liegt eine sinusförmige Wechselspannung an: u = u· sin (oot + 'Pu) 1. Stellen Sie für diesen Vorgang die Differentialgleichung für uc auf und lösen Sie diese

mit dem Ansatz Uc =uc· sin(oot +'Pud (Verfahren 1). 2. Kontrollieren Sie das Ergebnis durch Transformation der Differentialgleichung und

Rücktransformation (Verfahren 2).

4.8 An der gezeichneten Schaltung liegt eine sinusförmige Wechselspannung an: u = u· sin (cot + <PJ.


1. Stellen Sie die Differentialgleichung für iL auf.

R

Lp

2. Bilden Sie die Differentialgleichung ins Komplexe ab und lösen Sie die Bildgleichung. 3. Kontrollieren Sie die Lösung der Bildgleichung mit Hilfe der Schaltung mit komplexen

Effektivwerten und komplexen Operatoren. 4. Ermitteln Sie die Zeitfunktion iL (t) durch Rücktransformation der Lösung der Bild

gleichung. 5. Berechnen Sie schließlich udt).

4.9 Berechnen Sie den sinusförmig veränderlichen Wechselstrom durch den ohmschen Widerstand Rcp mit Hilfe der Spannungs- und Stromteilerregel und durch Anwendung der Kirchhoffschen Sätze, nachdem Sie die Schaltung mit Zeitfunktionen in die Schaltung mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren transformiert haben. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem 3. Beispiel der Stromteilerregel (Bild 4.35).

Bild 4.79

Übungsaufgabe 4.9

Rcp iR

u; ü . sin(wt+'4'u'

•

•

4.10 1. Für die Schaltung im Bild 4.80 ist der Strom !L in Abhängigkeit von U l' co, RLp, Lp, RCr

und Cr zu ermitteln. 2. Berechnen Sie anschließend den Strom !R und die Spannung ~2.

Bild 4.80 111

Übungsaufgaben 4.10 und 4.11

4.11 1. Für die Schaltung im Bild 4.80 ist das Spannungsverhältnis

U2 ~f=~

_1

in Form eines komplexen Operators in algebraischer Form zu ermitteln, wodurch das Ergebnis der Aufgabe 4.10 kontrolliert wird.

2. Geben Sie den Betrag 1 Yuf 1 an. Bei welcher Kreisfrequenz co ist der Betrag maximal? 3. Ermitteln Sie Yuf und IYuf I, wenn der Kondensator ideal angenommen wird. Bei welcher

Kreisfrequenz co ist dann IYufl maximal und wie lautet dann die Formel für Yuf?


4.12 Durch die gezeichnete Phasendrehbrücke kann die Phasenverschiebung zwischen der anliegenden Spannung

u1 = U1 . sin rot

und der Brückenspannung

u2 = U2· sin(rot + IP)

durch Rl und C geändert werden. 1. Leiten Sie mit Hilfe der komplexen Rechnung die Beziehung für die Phasenverschiebung IP

in Abhängigkeit von R1, C und ro her, indem Sie zunächst das Spannungsverhältnis U 2/U 1 entwickeln und dann IP angeben. Verwenden Sie dabei die Beziehung

ei . 2· arc tan z = 1 + j . z 1-j· z

2. Geben Sie das Amplitudenverhältnis der beiden Spannungen an. 3. Ermitteln Sie die Phasenverschiebung IP, wenn lIroC = Rl ist.Bestätigen Sie das Ergebnis

mit Hilfe eines Zeigerbildes.

!!1 •


4.13 In der im Bild 4.82 dargestellten Schaltung sind die Quellspannungen um 900 phasenverschoben:

Uq1 = uq . sin rot

Uq2 = uq . cos rot

1. Transformieren Sie die Schaltung in den Bildbereich und berechnen Sie mit Hilfe des Überlagerungssatzes in komplexer Form den Strom !c und dann den sinusförmigen Strom ic durch die Kapazität C.

2. Bestätigen Sie das Ergebnis, indem Sie das Maschenstromverfahren anwenden. 3. Wie ist der Strom iC zu berechnen, wenn die Amplitude und die Anfangsphasenwinkel der

Quellspannungen unterschiedlich sind?

( Bild 4.82 Übungsaufgabe 4.13


4.14 1. Mit Hilfe der Zweipoltheorie ist der Strom !3 durch den Diagonalzweig der Brücken

schaltung zu berechnen, die im Bild 4.83 dargestellt ist. 2. Kontrollieren Sie das Ergebnis durch Anwendung der Zweigstromanalyse (Netz

berechnungsverfahren mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze). 3. Geben Sie die Bedingung für die Schaltelemente an, damit der Strom i3 gegenüber der

anliegenden Spannung u um 900 phasenverschoben ist.

jwL

•

14=12 jwL 13

15 =!1 1

jw(


4.15 Entwickeln Sie qualitativ das Zeigerbild der im Bild 4.84 dargestellten Schaltung. Geben Sie die Reihenfolge der gezeichneten Zeiger und die Gleichungen an, aus denen sich die weiteren Zeiger ergeben. Die anliegende Spannung ist

u = u ·sin (rot + (jlu)

iR R - iL ic1 uR ic2

!URL

Uc ! RLr

U Cl C2

lUL Bild 4.84 Lr Übungsaufgabe 4.15

4.16 1. Entwickeln Sie qualitativ das Zeigerbild einer Eisenspule mit Eisenkern, deren Ersatzschaltung mit Bild 4.85 dargestellt ist. Der Strom 111 ist gegeben. Die Ersatzschaltelemente erfassen die Kupferverluste durch Reu, die Eisenverluste durch RFe und die Streuung durch die Streuinduktivität La. Geben Sie die Reihenfolge der gezeichneten Zeiger an.

2. Mit Reu = 120 n, La = 0,5 H, RFe = 708 n und L = 1,5 H ist anschließend ein quantitatives Zeigerbild zu entwickeln, wenn der Strom 111 = 300 mA bei f = 50 Hz beträgt.

Empfohlener Maßstab: 100 V ~ 2,5 cm, 0,1 A ~ 1 cm.

• u



4.17 Reaktanz-Vierpole sind Wechselstromschaltungen, die zwei Eingangsklemmen und zwei Ausgangsklemmen besitzen und nur Reaktanzen (Blindwiderstände) enthalten. Vierpole werden im Abschnitt 10 behandelt. Die beiden im Bild 4.86 gezeichneten Vierpole, die als Symmetrierglieder für Kabelverbindungen verwendet werden können, sollen äquivalent sein. Aus dem gegebenen x-Vierpol (Collins-Filter), der der Dreieckschaltung entspricht, sollen die Bauelemente LI, L2 und C des T-Vierpols, der eine Sternschaltung darstellt, errechnet werden.

" I j:" I

jwL


o o

o o

4.18 Mit der im Bild 4.87 gezeichneten Anderson-Wechselstrombrücke lassen sich genauso wie mit der IlIiovici-Brücke (Bild 4.66) Spulen (verlustbehaftete Induktivitäten) meßtechnisch ermitteln. 1. Wandeln Sie zunächst die Anderson-Brücke in die Brücke mit ~I bis ~4 durch Dreieck

Stern-Transformation und durch Stern-Dreieck-Transformation um. 2. Dann sind die Gleichungen für den ohmschen Anteil Rrl und den induktiven Anteil Lri

der Spule zu bestimmen.

Rr1 j wLr1

f.4

.. .. !!


4.19 Für das Beispiel 11 (Bild 4.71) läßt sich die Widerstandstransformation von ~l = 120 n - j . 360 n in ~3 = 240 n auch durch zwei Induktivitäten Lp und Lr erreichen.

1. Ermitteln Sie mit Hilfe des Kreisdiagramms im Bild 4.72 die Induktivitäten. 2. Bestätigen Sie das Ergebnis durch eine Kontrollrechnung.

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten

Die Ausführungen über Wechselstromwiderstände und deren Reihen-und Parallelschaltungen im Abschnitt 4.3 sollen erweitert werden.

4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen -die Reihen- oder Spannungsresonanz

Berechnung des Stromverlaufs bei gegebener anliegender Sinusspannung

Für das im Bild 4.88 gezeichnete Schaltbild eines Reihenschwingkreises gilt die Differentialgleichung

u = UR + uL + Uc mit u = u . sin (rot + <Pu) !IR ! -

R . L di 1 f' d U= '1+ ._+- l' t r r dt C '

r

die in die algebraische Gleichung abgebildet

!! = !!R + !!L + !!c

R .. L' 1 . U= '1+Jro 1+--'1 - r - r - j roCr -

und gelöst werden kann:

(4.106)

i wL r

(4.107)

1 !u JWrr T -C o

Bild 4.88 Reihenschwingkreis

. u u . e j (rot + Cj>u) 1- --r===========~~----------------- R +j.(roL _--1_)-~~2+(roL __ 1_)2 .ej·arctan(roLr-l/roCr)/Rr

r r roC r r C r ro r

" i =~. e j (rot + Cj>u-<Pr) - Zr

(4.108)

mit

<Pr = arctan und

Die Rücktransformation von i führt zur Lösung im Zeitbereich:

" . u . ( ) 1 = Z· sm rot + <Pu - <Pr r

" [ roL __ 1 1 1 = -r====:==u===::::::;;~ . sin rot + <Pu _ arc tan r R r

roCr

/ R2 + (roL __ 1 )2 ~ r r roCr

(4.109)

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C 95

Aus der Stromgleichung lassen sich die Spannungen berechnen:

R·u UR = R r . i = +-. sin (rot + <Pu - <Pr) (4.110)

r

di roLr·u roLr·u ( 1t) uL=L -=-_. COS(rot+<p -<p)=--' sin rot+<p _rn +- (4.111) r dt Zur Z u 'l'r 2

r r

1 J' d - u ( ) u . ( 1t) Uc = - l' t = . cos rot + <p - <p = . sm rot + <p - <p --Cr roCr . Zr u r roCr . Zr u r 2

(4.112)

Der Strom i kann gegenüber der Spannung u nacheilend, voreilend und mit der Spannung u in Phase sein, wie durch entsprechende Zeigerbilder veranschaulicht werden kann. Aus der Schaltung im Bildbereich, d.i. die Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten (Bild 4.89) lassen sich die algebraischen Gleichungen für die Zeigerbilder ablesen:

U = UR + UL + !lc = UR + Ux

U = Rr . 1+ jroLr . 1+-. _1_ . I JroCr

U = (R + J' roL + _1_) . I - r r j roCr -

1= U = U - R + j . (roL __ 1_) R r + j . (XL + Xc)

r r roC r

<Pr = arctan

1 llR -Rr

! llL jwLr II llx

_1 lu 0

jW(r J -( Bild 4.89 Schaltbild des Reihenschwingkreises im Bildbereich

u Z . ei !Pr

r

96

Ist Xr = XL + Xe > 0, dann ist der komplexe Widerstand Zr induktiv und die induktive Spannung UL ist größer als die kapazitive Spannung Ue.

1!c

1!x=l!L+l!C l!x= jXr·r

)(

::;)

!

Bild 4.90 Zeiger bild des Reihenschwingkreises mit Xr > 0

4 Weehselstromteehnik

Ist Xr = XL + Xe < 0, dann ist der komplexe Widerstand Zr kapazitiv und die kapazitive Spannung Ue ist größer als die induktive Spannung UL.

1!x = 1!L + ~c l!x=jxf'l

)( ::;)

w ::;)

:5' uc= -. _1 - I = -Jo _1_ I - JWC r - wC r -

)(

::;)

Bild 4.91 Zeigerbild des Reihenschwingkreises mit Xr < 0

Für das Spannungsdreieck, das aus den Spannungen UR' Ux und U gebildet wird, gelten folgende Beziehungen:

U2 = U~ + U~ = U~ + (UL - Ue )2 = R; . 12 + ( wLr - W~J2 . 12

U

( 1 ) wL ---r wC

<p = <p - <po = are tan r und <po = <p _ <p r U 1 Rr 1 U r

1

Reihenresonanz, Spannungsresonanz Ist der Blindanteil X r = XL + Xc = 0, dann ist der komplexe Widerstand gleich dem ohmschen Widerstand:

Zr=Zr=Rr

mit X r = XL + Xc = roLr - lC = ° 00 r

Eingangsspannung u und Eingangsstrom i sind dann in Resonanz, d.h. sie haben keine Phasenverschiebung:

ooL __ 1_ Xr r ooCr

<Pr = arc tan - = arc tan = 0. Rr Rr

Die Resonanzbedingung lautet also

1 ooLr =--. ooCr

(4.113)

Sind induktiver Widerstand XL = ooLr und kapazitiver Widerstand - Xc = l/ooCr im Resonanzfall gleich, dann kompensieren sich auch die Blindspannungen, wie aus dem Zeigerbild ersichtlich ist:

I.J =>

U =_ 1 _ I =_j_1_ 1 - C jwCr - w(r -

Bild 4.92 Zeigerbild des Reihenschwingkreises bei Xr = 0

Resonanzjreq uenz

fr = Rr jXr = 0 i----- -

I J X ( =-j-~-(r

Bei entsprechender Wahl von Lr, Cr und 00 kann der Zustand der Resonanz in der Reihenschaltung laut Resonanzbedingung erfüllt werden. Sind Lr und Cr gegeben, dann tritt die Resonanz nur bei einer Resonanzkreisfrequenz 000 auf:

1 000 =-===

-./ Lr Cr (4.114)

Induktiver und kapazitiver Widerstand bei Resonanz

Im Resonanzfall sind also induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand gleich und ergeben bei vorgegebener Induktivität L r und Kapazität Cr:

XL = 0>0' L = ~ = J L; =. rr; r -./LE LrCr ~ ~

r r

Der induktive Widerstand, der bei Resonanz gleich dem kapazitiven Widerstand ist, wird Kennwiderstand des Resonanzkreises genannt und hat die Dimension eines Widerstandes:

rr; XL = - Xc = X kr = ~ c=- mit [Xkr] = 1 n

r (4.115)

Der Zustand der Resonanz bedeutet für einen passiven Zweipol mit Induktivität, Kapazität und kleinem ohmschen Widerstand, daß sich trotz der Blindwiderstände hohe Ströme und an den Blindwiderständen hohe Spannungen einstellen können, die ein Mehrfaches der anliegenden Spannung betragen. Da sich die Spannungen an den Blindwiderständen kompensieren, wird der Strom nur noch durch den ohmschen Widerstand begrenzt, und die anliegende Sinusspannung ist gleich der Spannung am ohmschen Widerstand.

Frequenzabhlingigkeit der Blindwiderstlinde Sind Induktivität Lr und Kapazität Cr eines Resonanzkreises konstant und wird die Kreisfrequenz 0> verändert, dann überwiegt bei niedrigeren Frequenzen als die Resonanzfrequenz 0>0 der kapazitive Widerstand und bei höheren Frequenzen als 0>0 der induktive Widerstand. Für die Darstellung der Frequenzabhängigkeit der Blindwiderstände XL, Xc und X r = XL + Xc wird die Kreisfrequenz 0> auf die Resonanzkreisfrequenz 0>0 bezogen:

0> = X • 0>0 mit 0 ~ x < 00.

In Abhängigkeit von x = 0>/0>0 hat der induktive Widerstand einen linearen und der kapazitive Widerstand einen hyperbolischen Verlauf:

XL = o>Lr = X • 0>0 • L r = X kr . x

1 1 1 X c =---=- =-Xkr ·-O>Cr X • 0>0 • Cr X

Die Frequenzabhängigkeit des Blindwiderstandes Xr läßt sich durch punktweises Überlagern der XL-Kurve mit der Xc-Kurve darstellen.

~~ 1 Xc

w·L = ~ = Xk o r lc; r

indu ktiver Wechselstrom -widerstand

w x= Wo

o ~~----.-------~------.-------.---~~ 2

kapazitiver Wechselstromwiderstand

Bild 4.93 Frequenzabhängigkeit der Blindwiderstände

Analytisch kann Xr in Abhängigkeit von der relativen Verstimmung Vr beschrieben werden:

X =Xk .(~_ roo)=Xk .(i_~) r rrooro rfof

Xr = Xkr . ( X - ~) = Xkr . V r (4.116)

. lro roof fo mIt v =x--=-----=---r xroorofof

Ist ro > roo bzw. f> fo, Ist ro < roo bzw. f < fo dann ist Vr > 0, dann ist Vr < 0,

z.B. ro = 2roo vr = 1~= 1,50 z.B. ro = rorJ2 v r = - 1 ~ = - 1,50

ro = 3roo vr = 2j= 2,67 ro = rorJ3 v = -2'?.= -267 r 3 '

ro = 4roo Vr = 3~= 3,75 ro = rorJ4 vr=-3~=-3,75

ro = 5roo vr = 4~= 4,80 ro = rorJ5 vr = - 4~ = - 4,80

Wird der komplexe Widerstand Zr auf den Widerstand Zr = Rr bei Resonanzfrequenz (0 = (00 bezogen, dann können die Kreisgüte und die normierte Verstimmung des Reihenresonanzkreises definiert werden:

Zr Rr + j . Xr . Xr . Xkr ----=1 +J ·-=1 +J·_·V

Rr Rr Rr Rr r

~r. . R = 1 + J . Qr . Vr = 1 + J . Vr r

(4.117)

rr; mit Q = Xkr = ~ ~ als Kreisgüte, Gütefaktor oder

r Rr Rr Resonanzschärfe des Kreises (4.118)

und V. = Q . v = Q . x - - = Q . - --( 1) ( f fo) als normierte r r r r X r fo f Verstimmung (4.119)

Bandbreite Wird bei einem Resonanzkreis mit gegebenen Rr, Lr und Cr, also bei bekannter Güte Qr, für die anliegende Spannung u = u . sin (2n . f· t + <Pu)

einmal die Frequenz f von fo ausgehend auf fg2 erhöht, so daß der Blindwiderstand Xr genauso groß ist wie der ohmsehe Widerstand Rr und die normierte Verstimmung + 1 ist:

Xr = Rr und Yr2 = + 1

und wird zum anderen die Frequenz f von fo ausgehend auf fgl erniedrigt, so daß der negative Blindwiderstand - Xr genauso groß ist wie der ohmsehe Widerstand Rr und die normierte Verstimmung -1 ist:

- Xr = Rr und Yrl = -1,

dann handelt es sich um die sogenannte 4So-Verstimmung, mit der die Bandbreite definiert wird.

Die Bandbreite eines Reihen-Resonanzkreises ist gleich der Differenz der Grenzfrequenzen fg2 und fgl:

M = fg2 - fgl . (4.120)

Soll die Frequenzabhängigkeit des bezogenen komplexen Widerstandes in der Gaußsehen Zahlenebene durch Zeiger dargestellt werden, dann müßte eine dichte Schar von Zeigern gezeichnet werden, deren Spitzen auf der Parallelen zur imaginären Achse liegen; durch Variation der Kreisfrequenz ändert sich nur der Imaginärteil. Die Spur der Zeigerspitzen heißt Ortskurve, die im KapitelS behandelt wird.


Im Bild 4.94 sind drei spezielle Zeiger für den bezogenen komplexen Widerstand eingezeichnet: für die Resonanzfrequenz fo und für die beiden Grenzfrequenzen fgl und fg2. Der Begriff ,,45°-Verstimmung" ist damit erklärt: die Frequenz f der anliegenden Spannung ist, ausgehend von der Resonanzfrequenz fo, solange erhöht bzw. erniedrigt worden, bis die beiden Zeiger mit der reellen Achse jeweils einen Winkel von 45° bilden. Mit

V r2 = Qr . V g2 = + 1

und Vrl = Qr . V gl = - 1

ergibt sich für die beiden bezogenen komplexen Widerstände

Zr2. . R = 1 + J . Qr . V g2 = 1 + J . 1 r

Zrl. . R = 1 + J . Qr . V gl = 1 - J . 1 r

mit IZrl1 ='Zr21 = ff. R r R r '

d.h. V r2 = - Vrb

1 1 bzw. -=---tJ fgl · fg2

fo f 2 fo fgl oder -=~ und -=-

fgl fo fg2 fo

O-f--+---~.!.!!....----::-

- j

Bild 4.94 Bezogener komplexer Widerstand bei 45°·Verstimmung

(4.121)

(4.122)

(4.123)

Damit lassen sich die relativen Verstimmungen Vrl und Vr2 durch die Kreisgüte Qr angeben:

Die Kreisgüte Qr und die Bandbreite M sind also umgekehrt proportional:

1 fo <00 Q =-=-=- (4.124)

r I vrg I M L1<O

Je größer die Kreisgüte Qr ist, umso kleiner ist die Bandbreite M. Da die Kreisgüte Qr wesentlich die Abhängigkeit des Stroms von der Frequenz beeinflußt, wird bei den Strom-Resonanz kurven der Zusammenhang zwischen der Güte und der Bandbreite deutlich.

Frequenzabhängigkeit des Stroms und der Spannungen

Bei Resonanz ist die anliegende Spannung u gleich dem Spannungsabfall über dem ohmschen Widerstand Rr, und die Effektivwerte sind gleich:

U = UR =Rr · 1.

Außerdem sind bei Resonanz die Effektivwerte der Spannungen über der Induktivität und der Kapazität gleich:

1 U =--·I=X ·1 e <OC kr o r

Damit ist

UL Ue Xkr

U=U=R=Qr r

(4.125)

Für eine beliebige Kreisfrequenz <0 = X • <00 wird der Strom! durch den komplexen Widerstand Zr begrenzt, d.h. der Effektivwert des Stroms I wird durch die Impedanz Zr bestimmt:

I = U = ---r==U=== = --:;====U===::;;::-Zr -J R2 + X2 ~ ( 1 )2 r r R 2 + <oL --

r r <oCr

U

U I=----r=========::;;::-

Rr . ~ 1 + Q; . (x -~ r U (4.126)

Der Strom hat sein Maximum bei Resonanz, also bei x = 1 und beträgt Imax = ~ . r

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

Der Effektivwert der Spannung an der Induktivät beträgt

VL = O)Lr . I = x . 0)0 Lr . I = x . Xkr . I

V _ x·V _ x·V

L - . / 1 ( 1)2 - . / 1 2 ~ Q2 + X - ~ ~ Q2 + V r

r r

und der Effektivwert der Spannung am Kondensator

1 I Xkr · I Vc=-·I= =

O)Cr X . 0)0 Cr X

u _ U

c- ~ 1 ( 1)2 x· Q2+ x-~ r

u

103

(4.127)

(4.128)

Die Maxima der induktiven und der kapazitiven Spannung liegen symmetrisch zu x = 1 und lassen sich durch Differentiation und Nullsetzen der 1. Ableitung errechnen:

V _ V

L-~ 1 ( 1)2 x2 Q; + 1-x2

~=[x'~ +(1-~ n~ d(ff)

dx

__ 2 +2. (1-~)(+~) ,2>Q2 x2 x3

r 0

2 [_1 + (1 _ ~)2l312 rQ2 x2

r

1 2 --2+-=0 Q2 x2

r

1 -r====> 1

~ 1-2~2 r

~ 1- 2~2 < 1 r

(4.129) (4.130)

wobei XL . Xc = 1 ist.

Der Maximalwert der induktiven Spannung ist gleich dem Maximalwert der kapazitiven Spannung, wie durch Einsetzen von XL und Xc nachgewiesen werden kann:

ULmax U Cmax 1 1 ---u = ---u = ----,==1 =_ :1==-=== = , / 1 1 1

2Q2 ~ Q2 - 2Q4 + 4Q4 r 1 r r r

---::--+--Q2 4Q4

r r

1 Qr --= --= ----;==== = ----;===

U U vi ~; (1 - 4~; ) vl 1 - 4 ~; Frequenzabhängigkeit der Phasenverschiebung

roL __ 1_ x' ro L _ 1 r roC 0 r x ' ro C

r 0 r <Pr = arc tan ---- = arc tan ------:=-----

Rr Rr

<Pr = arctan ;: (x -~) = arctan Qr( X -~) Bei x = 1 ist <Pr = 0, bei x = 0 ist <Pr = arc tan (- 00) = -rt/2 und bei x = 00 ist <pr = arc tan (00) = rt/2.

(4.131)

Für eine Güte Qr = 2 haben die Resonanzkurven I(x), Udx), UC<x) und <Pr(x) die im Bild 4.95 gezeichneten Verläufe.

_ U I max - Rr

2U+-----~~~~-----+------~----------~

Xc xL

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3.0 3,5 -x

1 rr

I

'!Ir 2'

I ~ 0

rr , , -2 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 -x

Bild 4.95 Resonanzkurven für Qr = 2 mit linearen Maßstab


Wird für den Bereich 0 ~ x ~ 1 ein linearer Maßstab und für 1 ~ x ~ 00 ein reziproker Maßstab gewählt, dann entstehen symmetrische Resonanzkurven, die im Bild 4.96 für die gleiche Güte Or = 2 dargestellt sind.

2,2

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8 Bild 4.96

0,6

0,4

Symmetrische Resonanzkurven mit Qr=2

0,2

0 0 0,2 0,4

x

Xc 0,6 0,8 0,6 0,4 0,2 0

l X

Mit größer werdendem Gütefaktor Or rücken die Maxima näher aneinander und nehmen höhere Werte an. Mit der Stromkurve in Abhängigkeit von x = 00/000 nach GI. (4.126)

I 1 1 1 (4.132)

wird die Abhängigkeit der Bandbreite M von der Güte Or deutlich: Bei 45°Verstimmung ist Vr = ± 1 und

I 1 U/R r = V2 = 0,707.

Dieser Wert wird mit den meßtechnischen ermittelten Stromkurven zum Schnitt gebracht, wodurch sich jeweils die öx-Werte ablesen lassen:

öoo OOg2 - OOgl OOg2 OOgl öx =-= =---= xg2-xgl

000 000 000 000

mit Öoo = 21t . M.

Die Güte kann dann nach GI. (4.124) berechnet werden:

fo 000 1 Or = M = ö 00 = öx


Beispiel: In einer Versuchsschaltung (Schaltung im Bild 4.97) läßt sich mittels eines RC-Generators die Frequenz f im Bereich von 30 Hz bis 300 kHz einer sinusförmigen Spannung variieren, die einen Reihenschwingkreis mit zwei Festwiderständen (1 kil, 10 kil) , einer Induktivitätsdekade (0,1 H .. . 1 H) und einer Kapazitätsdekade (1 nF ... 111F) einspeist. Für die Strom- und Spannungsmessung wird ein Zweistrahloszilloskop verwendet. Die in der Tabelle angegebenen Werte ergeben die im Bild 4.98 gezeichneten Stromkurven, die mit Hilfe der Versuchsschaltung bestätigt werden können .

u

.. Rr

( l kQ. l0k{l) l r

( O,lH,lHJ

er T (lnF,10nFIJ

o>-------'-_....J_

Bild 4.97 Schaltbild eines Reihenschwingkreises

-1-1 1,0 U/R r

0,9

Rr

kil

10 1 1 1

Lr Cr fo Qr

H nF kHz 1

0,1 1 15,9 1 0,1 10 5,0 3,16 0,1 1 15,9 10 1 1 5,0 31,6

0,8 fr = 0,707

O,7+---~-----r---~~++++-;--------~~---

Qr=3,16

~--- Qr=10

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

o ~iiijiiE~;;;;;;;;;;;;;;;~;:=::;:::::::;:::=-'-h-~-~-r--:::::;:::::;:::::;:==;::::=:;::' Q r = 31,6

Bild 4.98 Stromkurven eines Reihenschwingkreises

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 -x

Die Bandbreite M ist also ein Maß für die Fähigkeit eines Reihenschwingkreises, die Resonanzkurve von den Resonanzkurven anderer Resonanzkreise mit naheliegenden Resonanzfrequenzen zu trennen, d.i. die Selektionseigenschaft eines Kreises.

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen -die Parallel- oder Stromresonanz

Parallelschaltung von idealen Induktivitäten, Kapazitäten und ohmschen Widerständen

107

Da es zu jeder Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen im Bildbereich eine äquivalente Parallelschaltung gibt, können die ohmschen Spulenverluste und die ohmschen Verluste eines Kondensators durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung erfaßt werden. Sind Spule und Kondensator in Reihe geschaltet, wie im vorigen Abschnitt behandelt, dann wird als Ersatzschaltung die Reihenschaltung von idealer Induktivität und ohmschen Widerstand und idealer Kapazität und ohmschen Widerstand verwendet, und die ohmschen Anteile können im Widerstand R r

berücksichtigt werden. Für die Parallelschaltung von Spule und Kondensator muß die Parallelschaltung von idealer Induktivität und ohmschen Widerstand und die Parallelschaltung von idealer Kapazität und ohmschen Widerstand gewählt werden, um die Parallelschaltung von idealen Bauelementen zu erhalten. Die ohmschen Anteile werden im parallelgeschalteten Widerstand Rp zusammengefaßt. Zunächst wird also die Parallelschaltung von idealer Induktivität, idealer Kapazität und idealem ohmschen Widerstand behandelt, die der Reihenschaltung von entsprechenden Schaltelementen äquivalent ist (siehe Bilder 4.37 und 4.39). Dann werden die Ersatzschaltungen einer Spule und eines Kondensators als Reihenschaltungen parallel geschaltet, in äquivalente Parallelschaltungen überführt und wie die Parallelschaltung idealer Bauelemente behandelt. Schließlich wird der Praktische Parallelresonanzkreis behandelt, bei dem die ohmschen Verluste des Kondensators vernachlässigt sind. Für das im Bild 4.99 gezeichnete Schaltbild eines Pa ra llelsch wingkreises gilt die Differentialgleichung

A

i = iR + ie + iL mit i = i . sin ( rot + <Pi) (4.133)

1 =-u+ C ._+- u· dt . 1 du 1 J R p dt L ' p p

(4.134)

die in die algebraische Gleichung abgebildet

. . . . 1 . C 1 1 = In + 1,.. + 1. = _. u + Jro p. u + -. -_. u - -<'- """ -.... Rp - - J roLp -

und gelöst werden kann:

"1'

i R ie iL

Rp Lp ep

Bild 4.99 Parallelschwingkreis

i f· ej(oot + <Pi}

!!= 1 ( 1 )=~ 2 -+j. roC --- _1_+(roc __ 1_) . e j ·arctanRp .(ooS,-l/ooLp) Rp P roLp R2 P roL

p p

(4.135)

Die Rücktransformation von!! führt zur Lösung im Zeitbereich:

U = ~ ~ + (:c __ 1_)' . sin[ 01' + ~i - are lan Rp ( O1Cp - O1~J (4.136)

R 2 p roL p p

Die Spannung u kann gegenüber dem Strom i nacheilend, voreilend und mit dem Strom i in Phase sein, wie durch entsprechende Zeigerbilder veranschaulicht werden kann. Mit der Schaltung im Bildbereich (Bild 4.100) entstehen die Gleichungen für die Zeigerbilder:

I=k +!c+k=IR +!s

1=_1_. U +J·roC . U +_1_. U - Rp - p - j roLp -

I = (_1_ + J. roC + _1_) . U - Rp p jroLp -

I = [~+ j . (roc __ 1 )~. U -R ProL-p p

1= [ G p + j . ( roCp - ro~p)] . U

U= I - G + j . (roc __ 1 )

p p roL p

y = / G2+ (roc __ 1 )2 p '\j P P roL

p

B Bc+BL und <p = arc Y = arc tan ~ = arc tan --=--

p -p G G p p

1 roC --p roL p

<Pp = arc tan ---------=Gp

! !R ![ lL

Rp J 1 jwLp ~ jw[p

Bild 4.100 Schaltbild des Parallelschwingkreises im Bildbereich

Ist Bp = Be + BL > 0, dann ist der komplexe Leitwert Xp kapazitiv und

der kapazitive Strom Ie ist größer als der induktive Strom IL.

u 11---------.,. 1 =2: p· !:!.

1B= lc·lL !B=j Bp' !:!.

f------",,1p

Bild 4.101 Zeigerbild des Parallelschwingkreises mit Bp > 0

CD

Ist Bp = Be + BL < 0, dann ist der komplexe Leitwert Xp induktiv und

der induktive Strom IL ist größer als der kapazitive Strom Ie.

IB=lc·!l 1B= j Bp'!!

U

CD

a-------~ 1 = rp'!J lc

u Il =_l _ U = _j_l_ U - j wlp - wL p -

Bild 4.102 Zeigerbild des Parallelschwingkreises mit Bp < 0

Für das Stromdreieck, das aus den Strömen k ,!n und! gebildet wird, gelten folgende Beziehungen:

12 = I~ + I~ = I~ + (Je - ILf = G~ . U2 + (C:OCp __ 1_)2 . U2 c:oLp

U= I

/ G2 + (c:oc __ 1 )2 'Y p P c:oL p

( c:oc __ 1 ). U (c:oc __ 1 ) 18 Ie - IL p c:oLp p c:oLp

tan<pp=I=-I-= G. U Gp (4.137) R R p

1 c:oC -

p c:oL p

<Pp = <Pi - <Pu = arc tan ---:=,-----'Gp

ParaLLelresonanz, Strom resonanz

Ist der Blindanteil Bp = Be + BL = 0, dann ist der komplexe Leitwert gleich dem ohmschen Leitwert:

1 Y =Y =G =--=-P p PR

p

Eingangsstrom i und Eingangsspannung u sind dann in Resonanz, d.h. sie haben keine Phasenverschiebung:

1 <OC ---B p wL

<Pp = arc tan ~ = arc tan p = O. Gp Gp

Die Resonanzbedingung lautet also

1 <oCp =--.

<oLp (4.138)

Sind kapazitiver Leitwert Be = <oCp und induktiver Leitwert - BL = l/<oLp im Resonanzfall gleich, dann kompensieren sich auch die Blindströme, wie aus dem Zeigerbild ersichtlich ist:

...J - I :_1_ U=_"_1_U -L jwLp- JwLp -

j Bp = 0 I Bild 4.103 Zeigerbild des Parallelschwingkreises bei Bp = 0

Resonanzfrequenz

jBC=jwCp

Yp = Gp=lIRp

j BL= _j _1_ wLp

Bei entsprechender Wahl von Cp, Lp und <0 kann der Zustand der Resonanz in der Parallelschaltung laut Resonanzbedingung erfüllt werden. Sind Cp und Lp gegeben, dann tritt die Resonanz nur bei einer Resonanzkreisfrequenz Wo auf:

1 Wo = ----=c---==

,.j CpLp

Kapazitiver und induktiver Leitwert bei Resonanz

Im Resonanzfall sind also kapazitiver Leitwert und induktiver Leitwert gleich und ergeben bei vorgegebener Kapazität Cp und Induktivität Lp:

Be=Olo·Cp = dc=~ cct =~ CpLp p p p

=-BL=_l_= ~ ~CpLp =. rc; ~.~ ~ ~ V~

Der kapazitive Leitwert, der bei Resonanz gleich dem induktiven Leitwert ist, wird Kennleitwert des Resonanzkreises genannt und hat die Dimension eines Leitwertes:

Be=-BL =Bkp = . rc; V~

mit [Bkp] = 1 0-1 = 1 S (4.139)

Der Zustand der Resonanz im Parallel-Resonanzkreis bedeutet, daß der Gesamtstrom gleich dem Strom durch den ohmschen Widerstand Rp ist; die Blindströme kompensieren sich und können ein Mehrfaches des Gesamtstroms betragen. Bei konstanter Spannung u ist der Strom i bei Resonanz minimal, weil der Leitwert außerhalb der Resonanz größer wird und damit der Strom größer ist. Wird die Einströmung konstant gehalten, entstehen bei Resonanz in Abhängigkeit von der Güte Qp die höchsten Spannungswerte U.

Frequenzabhlingigkeit der Blindleitwerte Sind Kapazität Cp und Induktivität Lp eines Resonanzkreises konstant und wird die Kreisfrequenz ol verändert, dann überwiegt bei niedrigeren Frequenzen als die Resonanzfrequenz olo der induktive Leitwert und bei höheren Frequenzen als olo der kapazitive Leitwert. Für die Darstellung der Frequenzabhängigkeit der Blindleitwerte Be, BL und Bp = Be + BL wird die Kreisfrequenz ol auf die Resonanzkreisfrequenz olo bezogen:

ol = x· Olo mit O~x < 00.

In Abhängigkeit von x = Ol1Olo hat der kapazitive Leitwert einen linearen und der induktive Leitwert einen hyperbolischen Verlauf:

Be = olCp = x· Olo · Cp = Bkp · x

111 BL = - OlL = - x . ol . L = - Bkp . i"

pop

Die Frequenzabhängigkeit des Blindleitwertes Bp läßt sich durch punktweises Überlagern der Be-Kurve mit der BL-Kurve darstellen.

kapazit iver Wechselstrom -leitwert

2

BL=- W1lp : - W~lp+ = -Bkp· t Wechselstr omleitw ert

Bild 4.104 Frequenzabhängigkeit der Blindleitwerte

Analytisch kann Bp in Abhängigkeit von der relativen Verstimmung Yp beschrieben werden:

B = Bk . (~_ roo) = Bk . (l_ fo) p p roo ro p fo f

Bp = Bkp . (x -~) = Bkp · Yp

. 1 W Wo f fo mlt Y =x--=---=---

p X Wo ro fo f

Ist ro > roo bzw. f> fo, dann ist Yp > 0,

z.B. W = 2roo Yp = 1~ = 1,50

ro = 3roo Yp = 2} = 2,67

ro = 4wo Yp = 3~ = 3 ,75

ro = 5roo Yp = 4~= 4,80

Ist ro < Wo bzw. f< fo, dann ist Yp < 0,

(4.140)

z.B. w=rorJ2 Yp=-1~=-1,50

ro = w '3 Y = - 2~ = - 2 67 0' p 3 '

ro = ro '4 Y = - 3~ = - 3 75 0' p 4 '

W = ro '5 Y = - 4~ = - 480 0' p 5 '

Wird der komplexe Leitwert Yp auf den Leitwert Yp = Gp = lIRp bei Resonanzfrequenz (0 = (00 bezogen, dann können entsprechend die Kreisgüte und die normierte Verstimmung des Parallelresonanzkreises definiert werden:

Yp Gp + j . Bp . Bp . Bkp ----.!...---::---'-=l+J·-=l+J·-·Y

Gp Gp Gp Gp p

Y -=-P=l+j.Q .y =l+j· V G p p p

p

mit als Kreisgüte, Gütefaktor oder Resonanzschärfe des Kreises

und

Bandbreite

als normierte Verstimmung

(4.141)

(4.142)

(4.143)

Genauso wie beim Reihenschwingkreis wird die Bandbreite durch die 45°_ Verstimmung definiert: Wird bei einem Parallelschwingkreis mit gegebenen Rp , Cp und Lp , also bei bekannter Güte Qp, für die anliegende Spannung u = u . sin (21t . f . t + <Pu)

einmal die Frequenz f von fo ausgehend auf fg2 erhöht, so daß der Blindleitwert Bp genauso groß ist wie der ohmsche Leitwert Gp und die normierte Verstimmung + 1 ist:

Bp = Gp und ~2 = + 1,

und wird zum anderen die Frequenz f von fo ausgehend auf fgl erniedrigt, so daß der negative Blindleitwert - Bp genauso groß ist wie der ohmsche Leitwert Gp und die normierte Verstimmung -1 ist:

- Bp = Gp und Vp1 = - 1,

dann handelt es sich um die sogenannte 45°-Verstimmung, mit der die Bandbreite entsprechend definiert wird.

Die Bandbreite eines Parallel-Resonanzkreises ist gleich der Differenz der Grenzfrequenzen fg2 und fg1 :

M=~-~ ~M~

Die Frequenzabhängigkeit des bezogenen komplexen Leitwerts in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt, ergibt genauso wie beim Reihenschwingkreis eine Ortskurve, die parallel zur imaginären Achse im Abstand 1 vom Nullpunkt verläuft.


Im Bild 4.105 sind drei spezielle Zeiger für den bezogenen komplexen Leitwert eingezeichnet: für die Resonanzfrequenz fo und für die beiden Grenzfrequenzen fg1 und fg2• Der Begriff ,,450 - Verstimmung" wird damit auch hier deutlich: die Frequenz f der anliegenden Spannung ist, ausgehend von der Resonanzfrequenz fo, solange erhöht bzw. erniedrigt worden, bis die beiden Zeiger mit der reellen Achse jeweils einen Winkel von 450 bilden.

Mit

und Vp1 = Op . V gl = - 1

ergibt sich für die beiden bezogenen komplexen 0 *"~I--.o....t*",'----:-Leitwerte

y -=-P2=1+j·O .v 2=1+j.1 G p g

p

d.h. ~2 = - Vpl>

und v g2 = - V gl'

-j

Bild 4.105 Bezogener komplexer Leitwert bei 45°-Verstimmung

(4.145)

Der Zusammenhang zwischen der Güte Op und der Bandbreite M ist der gleiche wie beim Reihenresonanzkreis, denn die Herleitung ist die gleiche wie von der GI. (4.121) bis (4.124):

1 fo 0)0 0=-=-=-p Ivpgl M ~O)' (4.146)

Je größer die Kreisgüte Qp ist, umso kleiner ist die Bandbreite M.

Frequenzabhlingigkeit der Spannung und der Ströme

Wird der Strom I konstant gehalten, dann ändern sich die Spannung U und die Ströme Ie und IL. Die Formeln für den Parallelschwingkreis sind analog zu den Formeln des Reihenschwingkreises:

I I U = = r==:========:= -V G~ + B~ . ( x-i-r -vi G~ + B~p . v~ (4.147)

(4.148)

(4.149)

Die Resonanzkurven für U, Ie und IL des Parallelschwingkreises entsprechen den Resonanzkurven für I, UL und Ue des Reihenschwingkreises (Bilder 4.95, 4.96 und 4.98).

Parallelschaltung verlustbehafteter Blindwiderstlinde

Werden für Spulen und Kondensatoren in Parallelschwingkreisen Reihenschaltungen von idealisierten Bauelementen Lr und RLr bzw. Cr und Rer gewählt, dann kann der Parallelschwingkreis in die äquivalente Parallelschaltung von idealisierten Bauelementen überführt werden, die gerade behandelt wurde.

! !RC !c !RL 1L ! I !C lL -R ! !Cr !lr

Rcp[ LL RLP[] 11 jwCp jwLp

.. !! Rp! ) / = I. jwCp iWlp

!! RCr Rlr .. !!

1 jwlr jwC r

Bild 4.106 Parallelschwingkreis mit parallelgeschalteten Reihenschaltungen

Um die Resonanzbedingung angeben zu können, muß der Leitwertoperator zwischen dem Strom I und der Spannung U reell sein:

! = !er + !r.r = <.Ycp + L.p) . U = Yp . U

mit Yep = Gep + j . Bep = _1_ + j roCp Rep

und L.., = GLp + j . BLp = _1 __ j_l_ RLp roLp


1=[(_1 + _1 ) + j . (rocp __ 1 )11. U Rcp R Lp roLp ~

I=IRc+kL + Ic+k

mit GI. (4.71)

l[ RCr RLr 1 . [ ro~r 1= 1 + 2 2 2 +J. 1 R 2 + __ RLr+ro Lr R 2 +--

o 2C2 0 2C2 ro r ro r

roLr ]~ 2 22 ·U (4.150)

RLr + ro Lr

1= kc + kL + Ic + k = k + 1: + k

mit k = IRC + kL

Die Parallelresonanz oder Strom resonanz ist erfüllt, wenn sich die Blindkomponenten der Zweigleitwerte Xep und Y Lp und die Blindströme Ic und k kompensieren:

Bp = BCp + BLp = 0

oder - BLp = Bcp

(4.151)

Sind RCr, Cr, RLr und Lr gegeben, dann ist der Parallelkreis nur dann in Resonanz, wenn die Kreisfrequenz ro = roo reell ist:

ro~ Lr Cr (R~r + ~) = Rtr + ro~ L; roo Cr

2 L C R 2 Lr R2 2 L2 roo r r Cr+c= Lr+roO r

r

(4.152)

Interpretation der Bedingungsgleichung für die Resonanz-Kreisfrequenz:

1. RLr:F-Rer: Resonanz ist möglich, wenn Rlr > L/Cr und R2r > L/Cr

oder Rtr < L/Cr und R2r < L/Cr·

Ein negativer Wert unter der Wurzel ergibt keine reelle Resonanzkreisfrequenz 000, d.h. eine Resonanz zwischen Strom i und Spannung u ist nur möglich, wenn jeweils beide Bedingungen erfüllt sind.

2. RLr = Rer :F- JL/Cr: Der Parallel-Resonanzkreis befindet sich bei der Resonanzkreisfrequenz 000 in Resonanz, die der Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreises entspricht:

1

wegen ,,; R~r - L/Cr

1.

3. RLr = Rer = JL/Cr = R: Mit dieser Bedingung ergibt die Formel für 000 einen unbestimmten Ausdruck 0/0. Die Resonanzbedingung GI. (4.151)

1 ooLr ooCr

R2 +oo2L2 2 1 Lr r Rer +22" 00 Cr

bzw. oo2LrCrR2 + ~r = R2 + oo2L; r

ist mit R2 = Lr/Cr für alle Frequenzen erfüllt, weil für 00 keine Einschränkung erfolgen muß:

oo2L C . Lr + Lr = R2 + oo2L2 r r C C r·

r r

Diesen Zustand des Parallel-Resonanzkreises nennt man ewige Resonanz, weil für jede Frequenz der Strom i und die Spannung u in Resonanz sind; die Parallelschaltung verhält sich wie der ohmsche Widerstand R:

(R + jooLr) (R - j _1_) R2 + Lr + jR (OOLr - 1C ) Z = ~Lr· ~r = ooCr Cr 00 r

- ~r + ~r 2R + j ( ooLr - oo~J - 2R + j ( ooLr - oo~J L

mit Cr = R2 ist r

2R2 +jR(WLr--1 ) R . [2R+j(WLr--1 )] wer wer _ rr;

Z =---(:-'---1--:)--<-= .( 1) = R = ~ C . (4.154) - 2R + j wLr - - 2R + J wL - - r

wer r wer

Das Zeigerbild für die Ströme und die anliegende Spannung bei ewiger Resonanz ergibt sich mit folgenden Gleichungen:

U I = Ir' + I. == - ~r --.r R

mit !cr = Ycp . U =(Gep + jBep) . U

und kr = L.p . U =(GLp + jBLp)· U

Die Winkelbeziehungen lassen sich mit Hilfe der Umrechnungsformeln für die Transformation der Reihenschaltung in die Parallelschaltung (Gl. (4.69) und (4.70» angeben:

1

1 1

Bep Z~r wer wer tan <Pe = -- = -- = --=-

Gep R er R er R

Z~r wLr

BLp ztr wLr wLr tan <PL = --= --= --=--

GLp R Lr R Lr R

ztr

tan <Pe - tan <PL

!c

1

Bild 4.107 Zeigerbild des Parallelresonanzkreises bei ewiger Resonanz

tan (<p - <P ) - -e L - 1 + tan <Pe . tan <PL - 1

coCr coLr 1--· -

R R

4.5 Die Reihenschaltung und ParaIlelschaltung von R, L und C

7t <Pc - <PL = <Pc + (- <PJ ="2

Beispiel:

119

Mit dem RC-Generator, den Festwiderständen, der Induktivitäs- und der Kapazitätsdekade der Versuchsschaltung des Reihenresonanzkreises (Abschnitt 4.5.1) läßt sich der ParallelResonanzkreis mit RLr = RCr = 1 kn, Lr = 0,1 Hund Crl = 1 nF (fo =15,9 kHz) bzw. Cr2 = 0,1 IJ.F (ewige Resonanz) aufbauen und das Resonanzverhalten untersuchen.

4. RCr = 0: (Spezialfall von 1.) In Praktischen Parallel-Resonanz kreisen ist der Verlustwiderstand des Kondensators Rcr vernachlässisgbar klein gegenüber ,JL/Cr.

Die Formel für die Resonanzkreisfrequenz kann dann umgeschrieben werden in

2 Lr RLr - C r = 1 ~ 1

-JLrCr

(4.155)

Den komplexen Leitwert des Praktischen ParaIlel-Resonanzkreises zu errechnen bedeutet, die Transformation der Reihenschaltung RLr - Lr in die äquivalente ParaIlelschaltung (nach GI. (4.70)) vorzunehmen und den Leitwert des Kondensators zu berücksichtigen:

R ( roL 1 1 ( 1 ) Y Lr . C r . C -=..p = R 2 + ro2 L 2 + J ro r R 2 + ro2 L2 = R + J ro p - roL

Lr r Lr r Lp P (4.156)

.. RLp 1 1 Bild 4.108 jwC r jwLr jwCp jwLp Transformation des Praktischen Parallel

Resonanzkreises


Um die Güte des Praktischen Parallel-Resonanzkreises berechnen zu können, muß ebenfalls die äquivalente Parallelschaltung idealer Bauelemente herangezogen werden: Mit GI. (4.142)

und

Bkp QP=G= RLp · OOoCp

p

mit G = 1.-. = _1_ p Rp R Lp

und Bkp = 000 Cp

R2 +[_1 __ Rtr)L2 R2 2L2 Lr L C L2 r Lr+OOOr rr r Lr Lr

RL = = =--=--p RLr RLr RLr Cr RLr Cp

ergibt sich für die Güte des Praktischen Parallel-Resonanzkreises:

Lr / 1 (RLr)2 Qp = RLrCp . A.../ LrCr - Lr . Cp =

Q = / ~-1 p /\.j RtrCr

(4.157)

Der komplexe Widerstand des Praktischen Parallel-Resonanzkreises kann aus der Formel für zwei parallel geschaltete Widerstände und anschließendem Erweitern bestimmt werden:

RLr + j ooLr (1 - 002 Lr Cr) - j ooRLr Cr

(1 - 002 Lr Cr) + j ooRLr Cr (1 - 002 Lr Cr) - j ooRLr Cr

(4.158)


Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.5 4.20 Behandeln Sie rechnerisch den skizzierten Resonanzkreis, an dem eine sinusförmige

Spannung variabler Frequenz anliegt.

Rr = 20Q

Lr=O,2 H


o

1. Berechnen Sie die Resonanzkreisfrequenz, den Kennwiderstand und die Kreisgme. 2. Errechnen Sie für CJ) = 250, 500, 750, 900, 1000, 1111, 1333, 2000 und 40005-1 die

Resonanzkurve

_1_= f(x) mit x =~ UIR 000

und stellen Sie sie grafisch dar. 3. Ermitteln Sie aus der Resonanzkurve die Bandbreite M und die Grenzfrequenzen fg!

und fg2.

4.21 FtIr die Übertragung eines Signals mit der Bandbreite-Af = 5 kHz und einer Güte Qr = 100 steht eine hochfrequente Trägerschwingung zur Verfügung, die durch einen Schwingkreis erzeugt wird. 1. Bei welcher Frequenz ist die Übertragung des Signals vorgesehen? 2 Ermitteln Sie die Schaltelemente des Schwingkreises in Reihenschaltung, wenn der

Kennwiderstand 500 Cl beträgt.

4.22 Die Ersatzschaltungen einer Spule und eines Kondensators sind Reihenschaltungen mit RCr = 10 Cl, Cr = 21J.F und RLr = 100 Cl, Lr = 0,1 H, die parallel geschaltet sind. 1. Untersuchen Sie, ob eine Resonanz zwischen der anliegenden Spannung u und dem

sinusförmigen Strom i möglich ist. Falls Resonanz erreicht werden kann,berechnen Sie die Resonanzfrequenz fO und die dann wirksame Impedanz Zo des Parallelresonanzkreises.

2 Um wieviel Prozent ändert sich die Resonanzfrequenz, wenn der Verlustwiderstand RCr des Kondensators vernachlässigt wird?

4.23 1. Für den praktischen Parallel-Resonanzkreis mit vorgeschaltetem Widerstand sind die Ströme !Lr und !C in Abhängigkeit von U, R, Lr, RLr' Cr und 00 zu ermitteln.

2 Anschließend ist die Spannung Uc zu bestimmen und das Ergebnis mit dem Beispiel 3 der

Spannungsteilerregel (Abschnitt 4.3, Bild 4.28) zu vergleichen. 3. Bei welcher Kreisfrequenz 00 sind die Spannung uc und u in Phase und bei welcher

Kreisfrequenz ist der Strom ie gegenüber der Spannung u um 900 phasenverschoben?

.!Je Bild 4.110 Übungsaufgabe 4.23

4.24 1. Für den praktischen Parallel-Resonanzkreis mit RLr = 100 n, Lr = 0,1 H und er = 2 IlF sind drei quantitative Zeigerbilder bei CI) = 1000 s-1, CI) = 2000 s-l und CI) = 3000 s-l zu entwickeln, wobei der Strom!Lc jeweils 10 mA betragen soll. Geben Sie für die drei Fälle die Effektivwerte von U und! und die Phasenverschiebung <p an und errechnen Sie jeweils den komplexen Leitwert.

2 Kontrollieren Sie rechnerisch die Ergebnisse für die komplexe Leitwerte.

1 ![

lYR !! Bild 4.111 ! RLr Y[

jW[r jwLr ! YL Übungsaufgabe 4.24

4.25 Für den gleichen Parallel-Resonanzkreis mit RLr = 100 n, Lr = 0,1 Hund Cr = 2 IlF ist die Resonanzkurve zu ermitteln, indem der Resonanzkreis in einen Parallelresonanzkreis mit idealen Bauelementen überführt wird (Bild 4.112). 1. Berechnen Sie zunächst die Resonanzkreisfrequenz und die Ersatzgrößen RLp, Lp und Cp

und die Güte Op. 2 Leiten Sie die Formel für die frequenzabhängige Spannung bezogen auf die Maximal

spannung I/Gp

U -=f(x) I1Gp

mit x =.!!!..(1)0

in Analogie zum Reihen-Resonanzkreis her. 3. Berechnen Sie für CI) = 500 s-l, 1000 s-l, 1500 s-l, 2000 s-l, 2666 s-1, 4000 s-l und 8000 s-l die

Resonanzkurven und stellen Sie sie dar.

1 jw[p jwLp Bild 4.112

Übungsaufgabe 4.25

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik 123

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung

Hummelschaltung

In einer stromdurchflossenen Spule ist die Phasenverschiebung zwischen dem Strom und der anliegenden sinusförmigen Spannung wegen der ohmschen Verluste kleiner als 90°. Wird als Ersatzschaltung der Spule die Reihenschaltung des ohmschen und induktiven Widerstandes gewählt, dann teilt sich die sinusförmige Spannung Ul in die ohmsche Spannung URI und die induktive Spannung ULl auf.

Wird die Schaltung in den Bildbereich transformiert, dann beschreiben die entsprechenden komplexen Effektivwerte im Zeigerbild die Zusammenhänge zwischen Strom und Spannungen (Bild 4.113):

VI = V RI + V u

VI = Rrl ·1l + jroLrl .11

VI = (Rrl + jroLrl ) .11

--•

\1L1

1! R1

Bild 4.113 Schaltung und Zeigerbild einer Spule

Zur Messung der Blindleistung, die im Abschnitt 4.7 behandelt wird, ist es allerdings notwendig, daß zwischen dem Strom und der Spannung eine Phasenverschiebung von exakt 90° besteht. Mit der Hummelschaltung (Bild 4.114) kann diese Bedingung erfüllt werden, wie im folgenden nachgewiesen werden soll.

11 Rr1 jw Lr1 12 Rr 2 jwLr 2 0

];, c:=J

]" c:=J 0

Rp c:=J Bild 4.114

• • Hummelschaltung ~1 \12

!!

An die Spule wird ein bestimmter ohmscher Widerstand Rp parallel und eine Spule mit bekanntem R r 2 und Lr 2 in Reihe geschaltet. Die Phasenverschiebung von 90° soll zwischen der Spannung u und dem Spulenstrom il eingestellt werden können. Für die komplexen Effektivwerte V und 11 ist damit der Operator herzuleiten, mit dem diese ineinander überführt werden können. Anschließend ist dessen Realteil Null zu setzen, denn wenn der Operator imaginär ist, sind auch die Zeitfunktionen um 90° phasenverschoben:


Mit Hilfe der Stromteilerregel ergibt sich

L = Rp mit 12 = U 12 Rp + Rrl + jooLrl - Rp(Rrl + jooLrl ) .

R + R + J' ooL + Rr2 + J ooLr2 p rl rl

U Il=~----------------~~----~=----------------------------

- [ Rrl . Rr2 002 . Lrl Lr2 ) . ( Lr2 . Rrl Lrl Rr2J Rrl + R r2 + - + Joo Lrl + Lr2 + -=--- + ---

Rp Rp Rp Rp Rrl . Rr2 002 . Lrl Lr2

Rrl +Rr2 + =0 R p R p

(4.159)

Rp (Rrl + Rr2 ) + Rrl . Rr2 - 002 ·Lrl . Lr2 = 0

Sind die ohmschen Widerstände und die Induktivitäten der beiden Spulen und die Kreisfrequenz der sinusförmigen Spannung bekannt, dann ergibt sich der parallelgeschaltete Widerstand aus folgender Gleichung:

002 . Lrl . Lr2 - Rrl . Rr2 R=--------

p R rl + Rr2 (4.160)

Beispiel: 1. Für die Hummelschaltung ist der erforderliche Widerstand Rp zu errechnen, der eine

Phasenverschiebung von 90° zwischen dem Strom i1 und der Spannung u ermöglicht, wenn Rrl = 200 Q, Lr1 = 400 mH, Rr2 = 100 Q, Lr2 = 200 mH und die Frequenz der anliegenden Spannung f = 200 Hz betragen.

2. Das Ergebnis soll durch ein quantitatives Zeigerbild kontrolliert werden, indem für den Spulenstrom !1 = 20 mA angenommen wird.

Lösung: Zu 1. 2

R _(21t.200s- l ) ·0,4H·O,2H-200Q·100Q p - 200 Q + 100 Q 1l

Rp = 354,4Q

Zu 2. Reihenfolge der Zeigerdarstellung:

!l 11 =20mA

U RI = Rr1 '!1 UR1 =4 V

Uu =jroLrl '! 1 Uu = 10,05 V U l =U R1 + U u U1 = 10,82 V

U l !P=R Ip =30,53 mA

p 90° !2=!1 +!p 12 = 42 mA

UR2 = Rr2 ·!z UR2 =4,2 V llR1 !1

U 12 = j roLr2 . !z Uu = 10,56 V Bild 4.115 Quantitatives

U 2=.!:!.R2+.!:!.U U2 = 11,4 V Zeiger bild der Hummel·

U=U l +U2 U =20,7 V schaltung

Im quantitativen Zeigerbild der Hummelschaltung im Bild 4.115 schließen der Zeiger des Spulenstroms !l und der Zeiger der Gesamtspannung ~ einen Winkel von 90° ein.


Polekschaltung Wird in der Hummelschaltung der ohmsche Parallel widerstand Rp durch einen Kondensator mit vernachlässigbaren Verlusten ersetzt, dann kann zwischen dem Spulenstrom h und der anliegenden Spannung u ebenso eine Phasenverschiebung von 90° erreicht werden. Die erforderliche Kapazität läßt sich mit folgender Formel berechnen:

Rr 2 jwLr2 R R I Rr1 jwLr1 r1 + r2 -1 c::::J _

ep = 2 (4.161) OO--ll:~:::::~~. c::::J1--I __ f--oo

0) (Lr1 · Rr2 + Lr2 . Rr1 ) 111 1

lp 11 JWCp

.. !!2

• !l.

Bild 4.116 Polekschaltung

Brückenschaltung für eine 90°-Phasenverschiebung

Um eine Phasenverschiebung von exakt 90° zwischen einem sinusförmigen Strom und einer sinusförmigen Spannung zu erhalten, werden zwei gleiche Spulen und zwei gleiche ohmsche Widerstände in einer Brücke mit ohmschem Diagonalzweig zusammengeschaltet, die in Reihe mit einer anderen Spule liegt. Für die Spulen sollen jeweils Reihenschaltungen verwendet werden.

11 Rr1 b.1 jwL r1 k1 .---. --8 [ R3

12 13 .r--1.

R2 ! C.

-...---.

k2 R b.l. L rl J w rl .-~ )-11 I.

Rr I

jwLr -!

•

Bild 4.117 Brückenschaltung für eine 90° -Phasenverschiebung

Zwischen dem Spulenstrom h und der anliegenden Spannung u soll die geforderte Phasenverschiebung bestehen. Deshalb ist der Operator zwischen 1.1 und U zu errechnen und dessen Realteil Null zu setzen. Aus Symmetriegründen der Schaltung können die jeweils gleichen Ströme 1.1 und 1.2 zweimal eingetragen werden, so daß das Gleichungssystem nach dem Kirchhoffschen Netzberechnungsverfahren reduziert werden kann:

Knotenpunktgleichungen:

k1: 1.1 = h + 1.3 oder h = 1.1 - h k2: 1.=1.1 +h

Maschengleichung für die Masche I:

U = R2 . 1.2 + Z1 . 1.1 + ~ .1. U = R2 . 1.2 + Z1 . 1.1 + ~ . (L + h) U = (Z1 + ~ . 1.1 + (R2 + ~ .1.2


Maschengleichung für die Masche 11:

~1 . !1 + R3 . !3 - ~ . !z = 0

~1 . !1 + R3 . (!1 - !z) - R2 . !z = 0

(~1 + R3) . !1 - (R2 + R3) . !z = 0

ZI +R3 h=R + R ·!1

2 3

Die Gleichung für !z in die Maschengleichung für die Masche I eingesetzt, ergibt den Widerstandsoperator zwischen !1 und U:

ZI + ~ [ (R2 + ~ . (ZI + R3)] U = ß 1 + ~ . !1 + (~ + ~ . - !1 = Zl + Z + - . !1

R2 +R3 R2 +R3

und mit ZI = Rr1 + jroLrl und Z = Rr + jroLr ist

[. . (R2 + Rr + jroLr)· (Rrl + jroLrl + R3)]

U = R r1 + J roLrl + Rr + J roLr + . !1 R2 +R3

(4.162)

Zwischen hund u besteht die Phasenverschiebung von 90°, wenn der Realteil des Widerstandsoperators Null ist:

(R2 + Rr) . (Rrl + R3) - ro2 LrLrl Rr1 + Rr + 0 (4.163)

~+R3

4.6.2 Schaltung zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms - die Boucherot-SchaItung

Prinzip

In der im Bild 4.118 gezeichneten Spannungsteilerschaltung kann der Zweigstrom h unabhängig vom Belastungs-Wechselstromwiderstand werden, wenn die beiden Wechselstromwiderstände des Spannungsteilers eine verlustlose Spule und ein verlustloser Kondensator sind, die sich in Resonanz befinden. Da es verlustlose Spulen und Kondensatoren nicht gibt, kann die Boucherot-Schaltung nur angenähert einen von der Belastung unabhängigen Strom garantieren. Bei Anwendung der Schaltung ist deshalb ein Vergleich des erreichbaren und des geforderten Toleranzbereiches notwendig.

n u u

Bild 4.118 Prinzip der Boucherotschaltung L


Nachweis mit Hilfe der Schaltung im Bildbereich

Mit Hilfe der Stromteilerregel läßt sich der Belastungsstrom h durch den

Belastungswiderstand Z3 ermitteln.

h Z2 V = mit 1 - ----'=---

!1 Z2 + Z3 -1 - Z ~2~3 1+

- ~2+Z3

11 f1

Mj f2 ~3

12 13

Bild 4.119 Boucherotschaltung im Bildbereich

~2·V (4.164)

Soll h unabhängig vom komplexen Widerstand ~3 sein, dann muß Z3· ß 1 + ~2) Null sein, d.h. Zl + Z2 = O. Werden die Spule und der Kondensator als Reihen

schaltungen mit Zl = R1 + jX 1 und Z2 = R2 + jX 2 aufgefaßt, dann kann die

Bedingung nur erfüllt werden, wenn die Summe der ohmschen Widerstände Null sind und die Blindwiderstände sich aufheben:

(4.165)

Die Bedingung für die ohmschen Widerstände läßt sich natürlich nicht erfüllen, weil sich vor allem die Spulenverluste nicht vernachlässigen lassen. Der Strom h läßt sich deshalb nur in gewissen Grenzen konstant halten. Für die Boucherot-Schaltung gibt es also zwei Möglichkeiten der Realisierung: entweder ist Zl ein kapazitiver Widerstand und Z2 ein induktiver Widerstand oder

umgekehrt Zl ist ein induktiver Widerstand und ~2 ein kapazitiver Widerstand,

die in Resonanz sind:

ZI + Z2= j~C + jcoL bzw. ZI + Z2 =jcoL+ j~C

ZI + Z2 = j . (- :C + coL ) = 0 ~l + Z2 = j . ( coL - co1c) = 0

mit coL=_I_ . 1 L mlt -=co coC coC

Der Belastungsstrom h ist dann der anliegenden Spannung u um 900 voreilend bzw. um 900 nacheilend, weil der Operator zwischen hund V positiv imaginär

bzw. negativ imaginär ist:

1 _ ~2· Q 3-

- Zl Z2 + Z3(Zl + Z2)

13 = JOcoC 0 V =Jo 0 ~o V - - ../LC-

Z2° V V --=-=-=y oU Z Z Z -1--1-2 -1

1 0 ../LC bzwo 13=--0 V =-J 0--0 V - jcoL - L-

1 =_Jo fC oV -3 ~ L -

128

4.6.3 Wechselstrom-Meßbrückenschaltnngen

Anwendung von Wechselstrom-Meßbracken


Wechselstrom-Meßbrücken werden zur Bestimmung von unbekannten Scheinwiderständen, Induktivitäten und Gegeninduktivitäten, Kapazitäten, Verlustwinkeln von Spulen und Kondensatoren und Spannungs- und Stromfrequenzen verwendet.

Grundsätzlicher Aufbau und Abgleichbedingung Die Wechselstrombrücke, dargestellt im Bildbereich mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren, heißt " abgeglichen" , wenn der Diagonalzweig CD stromlos ist, d.h. wenn iA = 0 bzw. lA = 0 und die Spannung UCD = 0 bzw. llcD = 0 sind.

l.1 (

11

IrA

!2

!.!m

Bild 4.120 l.3 l.4 Grundsätzlicher Aufbau der Wechsel- A B strombrücke im Bildbereich 13 0 14

• !.!

Da die Punkte C und D gleiches Potential haben, sind auch die Spannungen über den Widerständen Z1 und Z3 bzw. Z2 und Z4 gleich:

UBC=UBD !IcA =UDA

Z1 .11 = Z3 . 13 Z2·lz=~·L

Werden beide Gleichungen dividiert

Zl·11 Z3·h Z2 olz = Z4 0 14

und berücksichtigt, daß 11 = lz und b = L, beider Gleichungen:

Z1 ~3 -=-Z2 ~4

dann vereinfacht sich der Quotient

(4.166)

Ist die Wechselstrombrücke abgeglichen, dann stehen die komplexen Widerstände in einem bestimmten Verhältnis zueinander. Sind drei komplexe Widerstände bekannt, dann läßt sich ein vierter unbekannter komplexer Widerstand bestim-men. Die Abgleichbedingung der Wechselstrombrücke erinnert an die Abgleichbedingung der Gleichstrombrücke nach Wheatstone (siehe Band 1, Abschnitt 2.2.7, GI. 2.108):

R1 R3

R2 =R4 •

Werden die komplexen Widerstände in Betrag und Phase dargestellt, dann sind die Quotienten der entsprechenden Scheinwiderstände und die Differenzen der Phasenwinkel gleich:

oder

oder

ZI Z3 - = - und <1'1 - <1'2 = <1'3 - <1'4 • Z2 Z4

(4.167)

Die Wechselstrombrücke muß "nach Betrag und Phase abgeglichen" werden.

Vergleich von Wechselstromwiderständen gleicher Art

Soll ein unbekannter Kondensator mit einem bekannten Normalkondensator oder eine unbekannte Spule mit einer bekannten Normalspule verglichen werden, dann sind diese in der Wechselstrombrücke jeweils nebeneinander anzuordnen. Die beiden restlichen nebeneinander liegenden Wechselstromwiderstände sind ohmsche Widerstände:

Bild 4.121 Vergleich von Wechselstromwiderständen gleicher Art

Die Abgleichbedingung lautet dann allgemein

R1 Z3 --- und <1'3 = <1'4 R2 Z4

mit <1'1 = 0 und <1'2 = 0

RZ

14 ..

(4.168)

Beispiel 1: Vergleich zweier idealer Kondensatoren: "Kapazitäts-Meßbrücke"

Mit

lautet die Abgleichbedingung:

R1 jOlC4 C4 Bild 4.122 Kapazitäts-Meßbrücke

(4.169)

Ist die Kapazität C3 = Cx unbekannt und die ohmschen Widerstände Rl und R2 und die Kapazität <4 sind bekannt, dann wird nach Erreichen des Abgleichs mit einem Strommesser oder einem Oszilloskop Cx berechnet:

R2 C;=~=C4- (4.170)

R1

Beispiel 2: Vergleich zweier verlustbehafteter Kondensatoren: Wird für verlustbehaftete Kondensatoren jeweils die Reihenschaltung als Ersatzschaltung gewählt, dann betragen die komplexen Widerstände der Meßbrücke:

~l =R1 ~2=R2 R1 R2

1 ~3=Rr3+-. -

jroCr3

1 ~4= R r4 +-.-

jroCr4 Die Abgleichbedingung lautet dann

1 Rr3 +-. --R1 jroCr3 (4.171) R2 Rr4 + _. _1_

jroCr4

Rr3 ~ JwCr3

Rr4 _1_ jwCr 4

Bild 4.123 Wechselstrombrücke mit verlustbehafteten Kondensatoren

Ist der verlustbehaftete Kondensator ~3 unbekannt und sind die übrigen Elemente der Brückenschaltung durch den Abgleich ermittelt, dann empfiehlt es sich, die Abgleichbedingung nach Z3 aufzulösen, weil die gesuchten Größen Rr3 und Cr3 im Real- und Imaginärteil getrennt auftreten:

R1 R1 R1 1 1 Z3=-~4=-Rr4+- -. --=Rr3+-.--- R2 R2 R2 j roCr4 j roCr3

R1 R2 d.h.Rr3=Rrx =-Rr4 und Cr3=Crx =-Cr4 (4.172)

R2 R1

Sind die ohmschen Widerstände Rl und R2 gleich, dann ist Rr3 = Rr4 und Cr3 = Cr4·

Beispiel 3: Vergleich zweier Spulen Die Ersatzschaltungen zweier Spulen, deren ohmschen Verluste nicht zu vernachlässigen sind, sollen Reihenschaltungen sein. Die komplexen Widerstände betragen dann:

~l = R1 ~2 = R2 R1 R2

Die Abgleichbedingung lautet dann

Rl Rr3 + j roLr3

R2 Rr4 + j roLr4

oder R1 Rr4 + j ro R1 Lr4 = R2 Rr3 + j roR2 Lr3

Rr3 jwLr3 Rr 4 jwLr4

Bild 4.124 Vergleich zweier Spulen

(4.173)

Durch Vergleich des Realanteils und des Imaginäranteils beider Seiten der Gleichung ergibt sich

R1 Rr4 = R2 Rr3 und R1 Lr4 = R2 Lr3

R1 Rr3 Rl Lr3 oder -=- und ---.

R2 Rr4 R2 Lr4 (4.174)

In der Meßtechnik werden Spulen nicht mit Spulen, sondern mit Kondensatoren verglichen, weil Normalkapazitäten genauer als Normalinduktivitäten herstellbar sind.


Vergleich von Wechselstromwiderständen verschiedener Art Soll eine unbekannte Spule mit einem bekannten Normalkondensator oder ein unbekannter Kondensator mit einer bekannten Normalspule verglichen werden, dann sind diese in der Wechselstrombrücke jeweils gegenüber anzuordnen. Die beiden restlichen gegenüber liegenden Wechselstromwiderstände sind ohmsche Widerstände:

Bild 4.125 Vergleich von Wechselstromwiderständen verschiedener Art

Die Abgleichbedingung lautet dann allgemein

R1 Z3

•

(4.175)

Beispiel: Vergleich eines verlustbehafteten Kondensators mit einer Spule: "Maxwell-WienBrücke" Für den verlustbehafteten Kondensator wird die Parallelschaltung und für die Spule die Reihenschaltung verwendet. Die komplexen Widerstände betragen dann:

Z2 = _--=1'---_ - 1

-+jroCp2 Rp2

~4=~

Rr3 jwLr3

Bild 4.126 Maxwell-Wien-Brücke

(4.176)

Durch Vergleich des Realanteils und des Imaginäranteils beider Seiten der Gleichung ergibt sich:

und (4.177)

Wie erwähnt, werden Spulen mit Kondensatoren verglichen, weil Normalkapazitäten genauer herstellbar sind: die Maxwell-Wien-Brücke ermöglicht die meßtechnische Ermittlung von Spulendaten Rr3 und Lr3 mit Hilfe der restlichen Brückenelemente: Der Abgleich der Brücke erfolgt zunächst mit Gleichstrom, bis die Gleichstrom-Abgleichbedingung erfüllt ist. Für Gleichstrom bedeutet die Induktivität Lr3 kurzgeschlossen und der Kondensator Cp2 eine Unterbrechung.


Der anschließende Wechselstrom-Abgleich bei beliebiger Frequenz wird mit einem Oszilloskop kontrolliert: die Widerstände Rp2 und ~ müssen gleichzeitig variiert werden, damit die Gleichstrom-Abgleichbedingung erfüllt bleibt. Für die veränderliche Kapazität Cp2 stehen Normkondensatoren mit geringen Verlusten zur Verfügung. Schließlich werden die unbekannten Spulen-Ersatzelemente mit den ermittelten Brückenelementen errechnet:

(4.178)

Zahlenbeispiel: Eine Spule mit unbekannten Daten ist mit veränderlichen ohmschen Widerständen Rl, ~, Rp2 und der veränderlichen Kapazität Cp2 zur Maxwell-Wien-Brücke zusammengeschaltet und ergibt bei Abgleich mit Gleich- und Wechselspannung

R1 =144Q R4 =50Q ~2=600Q ~2=5,6J..LF.

Die Spulendaten betragen dann

Rr3 = Rrx = 144Q. 50Q=12Q Lr3 = Lrx = 144Q· 50Q· 5,6·1O- 6 F=40mH 600 Q

Andersonbrücke und Illiovicibrücke

Die Daten von Spulen lassen sich nicht nur mit Hilfe der Maxwell-Wien-Brücke, sondern auch mit der Illiovicibrücke und der Andersonbrücke meßtechnisch erfassen. Wegen der Kapazität C in der Illiovicibrücke und wegen des ohmschen Widerstands ~ in der Andersonbrücke kann die allgemeine Abgleichbedingung für Wechselstrombrücken nicht einfach verwandt werden. Deshalb wurden im Abschnitt 4.4 im Beispiel 10 für die Illiovicibrücke und in der Übungsaufgabe 4.18 für die Andersonbrücke (Lösung im Anhang) Dreieck-SternTransformationen und Stern-Dreieck-Transformationen vorgenommen, damit die allgemeine Abgleichbedingung verwendet werden kann.

Rr1 j wLr1 RZ 11 Rr1 jwLr1 ...

... A H='--C::J----=---ll---+ B

...

Bild 4.127 Illiovicibrücke Bild 4.128 Andersonbrücke

Die Abgleichbedingungen für die beiden Brücken können aber auch mit Hilfe der Stromteilerregel hergeleitet werden, indem von der Gleichheit von Spannungen bei Abgleich ausgegangen wird, genauso wie bei der Herleitung der allgemeinen Abgleichbedingung zu Beginn dieses Abschnitts. Die Herleitung soll hier nur für die Andersonbrücke erfolgen:


Da die Punkte C und D gleiches Potential haben, sind auch die entsprechenden Spannungen gleich:

UCA =UDA

U 1 =U 3

Werden beide Gleichungen dividiert

(Rrl + jroLr1 ) . 11 ~. 13 + Rs · 15

Rz·Iz - 1 -·1 jroC -4

UBC=UBD

U 2 =U 4

1 R2 ·1 2 =--·1 4 - j roC -

(4.179)

und berücksichtigt, daß 11 = 12 und 14 = 15, dann vereinfacht sich der Quotient beider Gleichungen:

R + J'roL I rl rl. R C -3 . R C ----=Jro 3 ·_+Jro 5 .

R2 15

Mit der Stromteilerregel ergibt sich für das Verhältnis der Ströme

15 R4

1= 1 ' -3 R4 + Rs +:---C

Jro

eingesetzt in die obige Gleichung: 1

R + ·roL R4 +Rs +-.-rl J rl . R C J roC . R C ----=Jro 3 . + Jro 5

R2 R4

-+ jro -=jroR3 C· 1 +-+. + jroRsC Rr1 Lr1 (Rs 1) R2 R2 R4 J roR4 C

Rr1 . Lrl . . Rs R3 . - + Jro -=JroR3 C +JroR3 C-+- + JroRsC R2 R 2 R4 R4

Durch Vergleich des Realanteils und des Imaginäranteils Gleichung folgt die Abgleichbedingung der Andersonbrücke:

Rr1 R3

R2 =R4 und

Die Gleichungen für die Spulendaten lauten

R2 R r1 =-. R3 R4

und

beider Seiten der

(4.180)

(4.181)

Für die Illiovicibrücke lassen sich die Gleichungen für die Spulendaten völlig analog herleiten und ergeben:

Rz Rr1 =R(R3 + Rs)

4

und (4.182)

Schering-Meßbrücke

Um Verluste von Hochspannungskabeln in Abhängigkeit von der Spannung erfassen zu können, werden Kabelproben hergestellt (Ersatzschaltung: Reihenschaltung von Rrz und Crz) und in der Schering-Meßbrücke mit einem Normalkondensator (mit Preßgas gefüllter Zylinderkondensator, C4) und mit variierbaren Normwiderständen (Rl und Rp3) und mit variierbaren Normkondensatoren (Cp3) verglichen. Mit

1 Z3=-----:----- 1

-+ jroCp3 Rp3

1 Zz = RrZ +:---C

Jro rZ

Z =_1_ -4 jroC4

•

_1_ jW(p3

Bild 4.129 Schering-Meßbrücke

ergibt sich für den unbekannten Wechselstromwiderstand

1 R1 (1 .) 1 ZZ=Zl·~4·Z=:---C . R+JroCp3 =Rrz+~ -3 Jro 4 p3 J ro rZ

R +_1_=_1_ R 1 +R Cp3 rZ j roCrZ j roC4 Rp3 1 C4

und damit Cp3

RrZ = R1 C 4

und (4.183)

Der Verlustwinkel or ist der Ergänzungswinkel des Phasenverschiebungswinkel <Pr zu 90° und damit ein Maß für die Verluste (Isolationsfähigkeit) von Hochspannungskabeln. In Zeigerbildern läßt sich der Zusammenhang zwischen Verlustwinkel, Verschiebungswinkel und Widerständen ablesen: Für den Tangens des Verlustwinkels ergibt sich

RrZ tanor = -1- = ro· RrZ · CrZ (4.184)

roCrZ

und mit der Abgleichbedingung

tanor = ro . ( R1 ~:). ( C4 ~: ) tanor = ro· Rp3 . Cp3 . (4.185)

Bild 4.130 Zeigerbilder der ScheringMeßbrücke


Die Ersatzschaltung der Kabelprobe kann auch als äquivalente Parallelschaltung angenommen werden. Bei Abgleich der Brücke ist der tan8 p = o>Rp3 Cp3 gleich, wenn die gleiche Kabelprobe untersucht wird.

Frequenz-Meßbrücken

Um Spannungs- oder Stromfrequenzen mittels Meßbrücken ermitteln zu können, muß die Abgleichbedingung frequenzabhängig sein. Sie kann aus der allgemeinen Abgleichbedingung (GI. 4.166) hergeleitet werden. Für die im Bild 4.131 dargestellte Frequenz-Meßbrücke nach Wien betragen die komplexen Widerstände:

Zl =R1 Z2=~

1 ~3 = R r3 + -:----C

J 0> r3

1 Z4 = --------- 1 .

-+ Jo>Cp4 Rp4

Die Abgleichbedingung lautet dann

Zl Z3 -=-

Rr 3

.. _1_ jwCp4

Bild 4.131 Frequenz-Meßbrücke nach Wien

Die Wien-Brücke läßt sich mit

R 1 = 2 . R 2 ' Cr3 = Cp4 = C

1 o>Rr3 Cp4 = R C

0> p4 r3

und R r3 = Rp4 = R

(4.186)

in die Wien-Robinson-Brücke überführen. Dadurch wird die Gleichung für die zu messende Kreisfrequenz 0> einfacher:

1 0> =--. (4.187)

R·C

Der Meßbereich der Frequenz-Meßbrücken umfaßt Frequenzen f von 30 Hz bis 100 kHz.


Übungsaufgaben zum Abschnitt 4.6

4.26 1. Entwickeln Sie für die PolekschaItung (Bild 4.116) den Widerstandsoperator zwischen den komplexen Effektivwerten 11 und U.

2. Bestätigen Sie die Formel für die parallelgeschaltete Kapazität Cp (GI. 4.161), bei der zwischen dem Strom il und der Spannung u eine Phasenverschiebung von 900 besteht.

3. Bei welcher Kreisfrequenz CI) sind der Strom il und die Spannung u in Phase und bei welcher Kreisfrequenz CI) sind sie um 1800 phasenverschoben? Ermitteln Sie für beide Fälle die Ersatzwiderstände der Schaltung.

4:2:1 1. Für die PolekschaItung (Bild 4.116) ist die erforderliche Kapazität Cp zu errechnen, die eine Phasenverschiebung von 900 zwischen dem Strom il und der Spannung u ermöglicht, wenn

4.28

Rrl = 200 n, Lrl = 400 mH, Rr2 = 100 n, Lr2 = 200 mH

und die Frequenz der anliegenden Spannung f = 200 Hz betragen. 2 Das Ergebnis soll durch ein quantitatives Zeigerbild kontrolliert werden, indem für den

Strom !1 = 20 mA angenommen werden. 3. Für die berechnete Parallelkapazität Cp können aber auch Phasenverschiebungen von 00

und 1800 zwischen dem Strom il und der Spannung u bei verschiedenen Kreisfrequenzen CI) auftreten. Ermitteln Sie die Kreisfrequenzen und die Ersatzwiderstände. Kontrollieren Sie das Ergebnis für die Phasenverschiebung von 1800 mit Hilfe eines quantitativen Zeigerbildes, indem Sie wieder von !1 = 20 mA ausgehen.

Mit Hilfe der dargestellten Wechselstrom-Meßbrücke können ohmsehe Widerstände und Induktivitäten von verlustbehafteten Spulen meßtechnisch ermittelt werden. 1. Entwickeln Sie aus der allgemeinen Abgleichbedingung für Wechselstrombrücken die

Formeln für Rr3 und Lr3. Ist der Abgleich frequenzabhängig? 2. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem der MaxwelI-Wien-Brücke. 3. Vereinfachen Sie die Formeln für Rr3 und Lr3 mit CI) • Rr2 . Cr2 = 1.

Ist dann der Abgleich frequenzabhängig?


Rr 3 Lr3

•

Rr2 Cr2

u(tl

4.29 Drei Wechselstrombrücken mit ohmsehen Widerständen und Kapazitäten sollen verglichen werden.

Cpl Cp2 Cpl

Rr l Cr l Rr 2 Cr 2

R3 R4

1. 2. 3.


Leiten Sie die Abgleichbedingungen der drei Brücken her. Sind die Abgleichbedingungen frequenzabhängig oder nicht? Wozu werden die drei Wechselstrombrücken gebraucht?

4.30 Mit Hilfe der llIiovici-BrUcke (siehe Bild 4.127) können verlustbehaftete Spulen meßtechnisch erfaßt werden. 1. Leiten Sie die Abgleichbedingung mit Hilfe der Stromteilerregel her und entwickeln Sie

daraus die Formeln fUr Rrl und Lrl, wenn die restlichen BrUckeneiemente gegeben sind. 2. Ist der Abgleich frequenzabhängig?

4.31 Mit Hilfe der im Bild 4.134 dargestellten WechselstrombrUcke können Gegeninduktivitäten M meßtechnisch ermittelt werden.

L2

M~_""'C::::J-....... --c::::Jf----I

.. u (t )


1. Leiten Sie die Abgleichbedingung fUr die Brücke her. 2. Die Abgleichbedingung bedeutet eine Transformation der Brücke in eine Wechselstrom

brücke mit den vier komplexen Widerständen, die anzugeben sind.

4.32 Das Ersatzschaltbild des unbekannten verlustbehafteten Kondenators in der Schering-MeßbrUcke soll eine Parallelschaltung von Rp2 und Cp2 sein.

u (I)

Bild4.13S Übungsaufgabe 4.32

1. Ermitteln Sie aus der allgemeinen Abgleichbedingung fUr WechselstrombrUcken die Formeln fUr Rp2 und Cp2.

2. Für den Verlustwinkel op = rc/2 - <pp ist dann der tan Op in Abhängigkeit von den bekannten Brückenelementen zu bestimmen. Nehmen Sie das Zeigerbild des verlustbehafteten Kondensators (Parallelschaltung) und das Leitwertdreieck zu Hilfe.

3. Kontrollieren Sie das Ergebnis fUr tanOp, indem Sie die Parallelschaltung in die äquivalente Reihenschaltung umwandeln und die Formel fUr tan or verwenden.

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung

Gleichstromleistung - Wechselstrom leistung

In einem Gleichstromkreis ist die Leistung zeitlich konstant, weil die Spannung und der Strom zeitlich konstant sind:

P =U· I

In Wechselstromkreisen sind die Spannung und der Strom sinusförmig veränderliche Größen, so daß auch das Produkt - die Augenblicksleistung -zeitlich veränderlich sein muß:

p = u· i (4.188)

Um die Wechselstromleistung mit der Gleichstromleistung vergleichen zu können, wird der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung gebildet:

T 2n

p=lf p(t)'dt=~f p(rot)·d(wt) T 0 21t 0

(4.189)

Im folgenden soll beschrieben werden, wie die Wechselstromleistung im ohmschen, induktiven und kapazitiven Widerstand und schließlich im beliebigen Wechselstromwiderstand erfaßt werden kann.

Leistung im ohmsehen Widerstand

Spannung u und Strom i sind im ohmschen Widerstand R in Phase, die Phasenverschiebung <P ist Null:

<P = <Pu - <Pi = 0

Werden die Anfangsphasenwinkel <pu = <Pi = 0 gewählt, dann ergibt sich

mit u = u . sinwt und i = i . sinrot

für die Augenblicksleistung

weil

Mit

~ A

P = u· i = u· i· sin2 wt = u· i (1 - cos2wt) 2

sin2wt = ~ (1 - cos2wt).

~ A

~=U und J....=I f2 f2

ergibt sich für die Augenblicksleistung im ohmschen Widerstand R

p = u . i = U . I . (1 - cos2wt). (4.190)

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis 139

Da die Kosinusfunktion die Werte zwischen -1 und + 1 annehmen kann, schwankt der Augenblickswert der Leistung im ohmschen Widerstand mit der doppelten Kreisfrequenz 200 zwischen den Werten 0 und 2 · U . I (siehe Bild 4.136). Der arithmetische Mittelwert läßt sich durch Integration der Augenblicksleistung über die Periode berechnen:

Mit

27t

P = -21 f p(oot)· d(wt) lt o

27t U· 1 f P = - (1 - cos2oot) . d(wt) 2lt 0

P = U . 1 [r d(oot) - r cos2wt · d(wt)] 2lt 0 0

P = _U_·_I [wtI21t __ si_n2_oo_t 127t] 2lt 0 2 0

P = _U_·_I . 2lt 2lt

P=U· I

U = R · 1 und 1= U R

ist der Mittelwert der Augenblicksleistung auch

U2 P=R·12 =-

R

(4.191)

(4.192)

Der arithmetische Mittelwert P wird Wirkleistung genannt, weil er hinsichtlich der Jouleschen Wärme im Widerstand der gleichen Wirkung entspricht wie die Gleichstromleistung P. Deshalb wird die Wirkleistung mit dem gleichen Buchstaben P gekennzeichnet.

u j -

~ 2 · U· R

p = U· \

o --~------~------~------~

Bild 4.136 Spannung, Strom und Augenblicksleistung im ohmsehen Widerstand

Leistung und magnetische Energie im induktiven Widerstand

Im induktiven Wechselstromwiderstand eilt die Spannung u dem Strom i um n/2 voraus. Wird der Anfangsphasenwinkel des Stroms Null gewählt, dann ergibt sich mit

" i = i . sincot und u = u . sin (rot + n/2)

mit <Pi = 0 . n mIt <Pu = 2"


p = u· i = u· i. sincot . sin(cot + n/2)

mit

sin(cot + n/2) = coscot und sincot· coscot = k sin2cot

~ " u· i . P = -' sm2cot

2

und mit

und

p = U . I· sin2cot, (4.193)

Der Augenblickswert der Leistung im induktiven Wechselstromwiderstand ändert sich sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz 2co zwischen den Werten - U . I und + U . I (siehe Bild 4.137).

Da

U = coL· I

ist

p = coL . 12 . sin2cot, (4.194)

Der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung in der Induktivität L über die Periode ist Null:

21t

P =_1 f p(rot)· d(cot) 2n 0

21t

P = U . I f sin2cot· d(cot) 2n 0

p = U . I [_ cos2cot] 21t = U . I [_ cos4n + l] = U . I [_l + l] 2n 2 0 2n 2 2 2n 2 2

p=o (4.195)

Der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung in einem induktiven Wechselstromwiderstand ohne ohmsche Anteile ist Null. In einer von einem sinusförmigen Strom durchflossenen Induktivität entsteht keine Joulesche Wärme, weil die Energie nur aufgenommen und abgegeben wird, nicht aber in Wärme umgesetzt wird. Die Wirkleistung P ist deshalb Null.


Der Augenblickswert der magnetischen Energie ist dem Quadrat des Stroms i proportional (siehe Band 1: Abschnitt 3.4.8.1, GI. 3.383):

L. i 2 W =-

rn 2

L ~2 . 2 W = - . 1 . sm rot

rn 2

und mit

sin2rot = ~ (1 - cos2rot)

L·? 1 w = -_ . - (1 - cos2rot) rn 2 2

und

bzw.

ergibt sich

L·1 2 wrn =-2- (1- cos2rot). (4.196)

Die magnetische Energie ändert sich mit der doppelten Kreisfrequenz 2ro zwischen den Werten 0 und L· 12 , weil die Kosinusfunktion zwischen - 1 und + 1 pendelt. Bei gleicher Richtung von Strom i und Spannung u wächst die gespeicherte magnetische Energie in der Induktivität, bei entgegengesetzter Richtung von Strom i und Spannung u wird die gespeicherte magnetische Energie kleiner, d.h. sie wird der Wechselstromquelle zurückgeführt (siehe Bild 4.137). Die Leistung p und die magnetische Energie Wrn hängen differentiell voneinander ab:

dWrn L·1 2 d P = dt = -2- dt (1 - cos2rot)

p = roL . 12 . sin2rot (vgI. GI. 4.194)

• U 1 -

o • 0

l

Bild 4.137 Strom, Spannung, Augenblicksleistung und magnetische Energie im induktiven Wechselstromwiderstand ohne ohmschen Anteil


Leistung und elektrische Energie im kapazitiven Widerstand

Im kapazitiven Wechselstromwiderstand eilt der Strom i der Spannung u um nl2 voraus. Wird der Anfangsphasenwinkel der Spannung Null gewählt, dann ergibt sich mit

u = u· sinoot

mit 'Pu = 0

und


A

i = i . sin (Olt + n12)

mit 'Pi = nl2

p = u· i = u· i. sinrot . sin(Olt+ n12)

mit

sin( rot + n12) = COSOlt und sinrot . coswt = ~ sin20lt

~ A

u· i . p = -- S1ll20lt

2

und mit

und

p = U . I . sin20lt. (4.197)

Der Augenblickswert der Leistung im kapazitiven Wechselstromwiderstand ändert sich sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz 200 zwischen den Werten - U . I und + U . I (siehe Bild 4.138).

Da

ist

p = OlC . U2 . sin20lt. (4.198)

Der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung in der Kapazität C über die Periode ist genauso wie in der Induktivität Null:

21t

P = ~ f p(Olt)· d(Olt) 2n 0

21t

P = U . I f sin20lt· d(Olt) 2n 0

p=o (4.199)

Der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung in einem kapazitiven Wechselstromwiderstand ohne ohmsche Anteile ist Null. In einer von einem sinusförmigen Strom durchflossenen Kapazität entsteht keine loulesche Wärme, weil die Energie nur aufgenommen und abgegeben wird, nicht aber in Wärme umgesetzt wird. Die Wirkleistung P ist deshalb Null.


Der Augenblickswert der elektrischen Energie ist dem Quadrat der Spannung u proportional (siehe Band 1: Abschnitt 3.3.5, GI. 3.109):

C. u2 w =-

e 2

C ~2 . 2 W = _. u . sm rot

e 2

und mit

sin2rot = & (1 - cos2rot)

C·ü2 1 w = -- . - (1 - cos2rot) e 2 2

und ~

~=u bzw.

ergibt sich

C·U 2 we =-2- (1- cos2rot). (4.200)

Die elektrische Energie ändert sich mit der doppelten Kreisfrequenz 2ro zwischen den Werten 0 und C . U2 , weil die Kosinusfunktion zwischen - 1 und + 1 pendelt. Bei gleicher Richtung von Strom i und Spannung u wächst die gespeicherte elektrische Energie in der Kapazität, bei entgegengesetzter Richtung von Strom i und Spannung u wird die gespeicherte elektrische Energie kleiner, d.h. sie wird der Wechselstromquelle zurückgeführt (siehe Bild 4.138). Die Leistung p und die elektrische Energie We hängen differentiell voneinander ab:

dWe C· U2 d P = dt = -2- dt (1 - cos2rot)

p = roC· U2 . sin2rot (vgl. GI. 4.198)

u

o i~ c.u 2 (

Bild 4.138 Strom, Spannung, Augenblicksleistung und elektrische Energie im kapazitiven Wechselstromwiderstand ohne ohmschen Anteil

Augenblicksleistung eines beliebigen Wechselstrom widerstandes Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung

Bei einem beliebigen Wechselstromwiderstand besteht zwischen dem Strom i und der Spannung u eine Phasenverschiebung cp mit - n/2 < cp < n/2. Wird der Anfangsphasenwinkel der Spannung Null gewählt, dann ergibt sich mit

u = u· sinrot

mit CPu = 0

und


p = u· i = u· i· sinoot· sin(oot - cp)

i = i . sin (oot - cp)

mit CPi = CPu - cP = - cP

mit sina· sinß = l [cos(a - ß) - cos(a + ß)] 2

und a = oot und ß = oot - cP ~ A

u· i P = 2' [cos(oot - oot + cp) - cos(oot + oot- cp)]

~ A

und mit ;;; = U und ~ = I

P = U . I· coscp - U . I . cos(2oot - cp) (4.201)

Die Wirkleistung P ist gleich dem arithmetischen Mittelwert der Augenblicksleistung:

2n P = 1.- f p(oot)· d(oot)

2n 0

2n 2n p=.lu.r.coscpf d(oot) __ l U·IJ cos(2oot-cp)od(oot)

2n 0 2n 0

P _ U 0 I [ t]2n U 0 I [sin(2oot _ cp)]2n - -- . coscp 0 00 - -- -----'----'--'-2n 0 2n 2 0

p_ U · 1 2 U oI[sin(4n-cp)-Sin(-cp)] -ln coscp· n -ln 2

mit sin(4n - cp) = - sincp und sin(- cp) = - sincp P = U 0 I 0 coscp (4.202)

Die Augenblicksleistung p im beliebigen Wechselstromwiderstand schwankt um den Mittelwert P = U . I . coscp mit der doppelten Kreisfrequenz 200 mit der Amplitude U . I (siehe Bilder 4.139 und 4.140).

4.7 Die Leistung im Wechselstrom kreis 145

Im Bild 4.139 sind in einem Diagramm die Verläufe des Stroms, der Spannung und der Augenblicksleistung für einen verlustbehafteten induktiven Wechselstromwiderstand dargestellt, wobei der Anfangsphasenwinkel der Spannung Null und die Phasenverschiebung cp = n/3 bzw. 60° sind:

U·I

p = U·I · c os 1j1+~-+--+lI-+-+:L--ltt-'-t--+---t-f-tr-

Bild 4.139 Strom, Spannung und Augenblicksleistung im verlustbehafteten induktiven W echselstromwid erstand

Für einen verlustbehafteten kapazitiven Wechselstromwiderstand ist die Phasenverschiebung cp negativ. Im Bild 4.140 sind die Verläufe des Stroms, der Spannung und der Augenblicksleistung für eine Phasenverschiebung cp = - n/3 bzw. - 60° dargestellt. Der Anfangsphasenwinkel der Spannung ist unverändert Null:

U·I

p = U·I . c os lj1 h-++-+-f--thC--.:~--\--+--+-f:.......nf-

1j1<0

Bild 4.140 Strom, Spannung und Augenblicksleistung im verlustbehafteten kapazitiven Wechselstromwiderstand

Die Augenblicksleistung p pendelt also mit der doppelten Kreisfrequenz 2 w mit der Amplitude U . I um den Mittelwert P = U . I . coscp . Bei verlustlosen induktiven und kapazitiven Wechselstromwiderständen pendelt sie mit cp = n/2 bzw. cp = - n/2 und P = 0 um die wt-Achse (siehe Bilder 4.137 und 4.138). Mit steigenden ohmschen Anteilen wird die Wirkleistung P größer, um den die Augenblicksleistung p pendelt (siehe Bilder 4.139 und 4.140). Bei ohmschen Wechselstromwiderständen erreicht die Wirkleistung P mit cp = 0 das Maximum, und die Augenblicksleistung p pendelt auf der wt-Achse um P = U . I (siehe Bild 4.136). Der Maximalwert der Wirkleistung bei cp = 0 und coscp = 1, also bei ohmschen Wechselstromwiderständen, wird Scheinleistung S genannt:

S = U . I (4.203)

Die Abweichung der Wirkleistung P bei beliebigen Wechselstromwiderständen von der Scheinleistung S bei ohmsehen Widerständen wird durch den Leistungsfaktor cosep erfaßt:

P cosep = S (4.204)

Die Augenblicksleistung p kann auch als Überlagerung von zwei sinusförmigen Anteilen aufgefaßt werden, wodurch durch die Einführung einer Blindleistung ein Maß für die gespeicherte Leistung gefunden wird. Dabei wird die GI. (4.201) folgendermaßen umgeschrieben:

p = U . I· cosep - U . I· cos(2wt - ep)

P = P - S . cos(2wt - ep)

mit cos(a - ß) = cosa . cosß + sina . sinß

und a = 2wt und ß = ep ergibt sich

p = P - S . cos2wt . cosep - S . sin2wt . sinep

p = P - S . cosep . cos2wt - S . sinep . sin 2wt

p = P - P . cos2wt - Q . sin 2wt

p = P(1 - cos2wt) - Q . sin2wt

wobei Q = S . sinep

(4.205)

(4.206)

Blindleistung genannt wird. Für induktive Wechselstromwiderstände ist sie wegen der positiven Phasenverschiebung (ep > 0) positiv, für kapazitive Wechselstromwiderstände ist sie wegen der negativen Phasenverschiebung (ep < 0) negativ. Nach GI. (4.205) besteht damit die Augenblicksleistung p aus zwei sinusförmigen Anteilen (Bild 4.141):

P (1- cos2wt) ist die Augenblicksleistung für ohmsehe Widerstände (GI. 4.190) mit P = U . I und cos ep = 1 und entspricht damit bei beliebigen Wechselstromwiderständen der Leistung, die im ohmsehen Anteil in Wärme umgesetzt wird.

- Q . sin 2 wt ist die zwischen Wechselstromquelle und induktiven bzw. kapazitiven Widerstand pendelnde Leistung. Der Mittelwert der zeitlichen Blindleistung - Q. sin 2 wt ist Null. Deshalb ist die Blindleistung Q im Sinne der Wirkleistung P kein Mittelwert, sondern eine angenommene Leistung. Sie belastet die Energiequelle im Mittel nicht, weil keine Energieumformung vor sich geht. Eine strommäßige Belastung von der Wechselstromquelle zum Speicherelement ist allerdings vorhanden, die auf den Leitungen ohmsehe Leistungsverluste mitsichbringt.

Leistungseinheiten Zur Unterscheidung der DIN 40110 festgelegt:

Scheinleistung S Wirkleistung P Blindleistung Q

drei Leistungsarten werden die Einheiten nach

in VA (Voltampere) in W (Watt) in Var (Voltampere reaktiv, d.h. über die Lei

tungen zur Energiequelle "rückwirkend")


oot

Beispiel: Für einen verlustbehafteten induktiven Wechselstromwiderstand soll die Augenblicksleistung p nach GI. (4.205) als Überlagerung des Wirkanteils P(1 - cos200t) und des Blindanteils (- Q . sin 200t) dargestellt werden, wenn die Scheinleistung S = U . I = 2 kV A und die Phasenverschiebung (j) = 1tf3 bzw. 600 betragen.

Lösung: Im Bild 4.139 ist der Verlauf der Augenblicksleistung p eines verlustbehafteten induktiven Wechselstromwiderstands mit S = U . I = 2 kV A und (j) = 1t/3 dargestellt. Nach GI. (4.202) ist die Wirkleistung

P= U· I · coscp=S· cos(j)=2 kVA· cos(1tf3) = 2kVA ·0,5 = 1 kW

und nach GI. (4.206) die Blindleistung

Q= U · I · sin(j)=S · sin(j)=2kVA· sin(1t/3) = 2 kVA .!{3 = 1,73 kVar. 2

Nach GI. (4.205) ergibt sich dann für die Augenblicksleistung p

p = P(I- cos200t) - Q . sin200t = 1 kVA (1 - cos2rot) - 1,73 kVA . sin200t

in Abhängigkeit von rot von 0 bis 1t:

1 0 1t/6 1t/3 1t/2 21t/3 51tf6 1t

P (1- cos 2 oot) kVA 0 0,5 1,5 2,0 1,5 0,5 0

-Q. sin200t

P

2

o

2

3

2

o - 1

-(3 -

\

i3 -

\

- -

\

-I'-

\J

kVA

kVA

V

- - - -

/

1\ V \

- - - I'-'

11\

1\ I \

\1/

0 -1,5

0 -1,0

[\

\.'/

- -~ - -

1/ \

I 1\ 11 \

- - -r-'

V:\

I 1\ I \

\ lJ

-1,5

0

1\

I\.

-- I,.-. 1\

1/

I 11 \ V

- - -r-'

1\

I \ / 11 \

\ lJ

0

2,0

2 ·

\ 1· I' -wt

P

P

o

1,5 1,5

3,0 2,0

P(1-cos2wtl

h- Q

1/

wt - - -

11 \

\ p

rwT-1 I

o -Q·sin 2wt

Q

p = P(l - cos 2wt) -Q. sin 2 wt

o

-JT -JT/2 o nil JT 312n 2n Siln

0

0

Bild 4.141 Zerlegung der Augenblicksleistung in einen Wirk anteil und einen Blindanteil

Sollen für einen beliebigen Wechselstromwiderstand die Wirkleistung P, die Blindleistung Q und die Scheinleistung S berechnet werden, dann ist zunächst zu unterscheiden, welche der äquivalenten Ersatzschaltungen - Reihenschaltung oder Parallelschaltung - fUr den beliebigen Wechselstromwiderstand gewählt ist:

Reihenschaltung

I Rr j xr

~

.. 11

Bild 4.142 ErsatzschaItung eines Wechselstromwiderstandes als Reihenschaltung

Parallelschaltung

! 1B j Bp

11

Bild 4.143 Ersatzschaltung eines Wechselstromwiderstandes als Parallelschaltung

Die Wirkleistung als Maß fUr die im ohmschen Widerstand umgesetzte Leistung ist

bei Reihenschaltung gleich dem Produkt aus dem Strom I und der mit diesem in Phase liegenden Spannungskomponente UR:

P = I . (U . cos <p)

mit U· cos<p = UR

(siehe GI. 4.51)

P = I · UR

(4.207)

bei Parallelschaltung gleich dem Produkt aus der Spannung U und der mit dieser in Phase liegenden Stromkomponente IR:

P = U . (I· cos<p)

mit I· cos<p = IR

(siehe GI. 4.66)

P = U · IR

mit IR = G . U = ~ P R

P

P=U2. G = U2 P R

p (4.208)

Die Wirkleistung ist fUr die Reihen- und Parallelschaltung gleich, wenn die Schaltungen äquivalent sind. Wird in der Formel fUr P der Strom I durch die Spannung U und den Scheinwiderstand Zr ersetzt

I = Q = U bzw. 12 = U2 = U2

Zr "R2+X2 Z2 R 2 +X2 'V r r r r r

dann bestätigt sich die Aussage durch die Transformationsgleichung (vgI. GI. 4 .72)

Rr Rr

Gp = R 2 + X 2 Z2' r r r

Die Blindleistung Q als Maß für die gespeicherte Leistung ist

bei Reihenschaltung gleich dem Produkt aus dem Strom I und der Spannungskomponente Ux , die um nl2 phasenverschoben ist:

bei Parallelschaltung gleich dem Produkt aus der Spannung U und der Stromkomponente -IB, die um nl2 phasenverschoben ist:

Q = I . (U . sin <p )

mit U· sin<p = Ux

(siehe Gi. 4.52)

Q =1· Ux

mit Ux =Xr · I

Q = 12 • X r · (4.209)

Q=U'(I'sin<p) mit I· sin 0 positiv:

(4.211) Q=U2 ._1_ c.oLp

. B 1 mit =---p c.oL

p

( 4.212)

Für einen kapazitiven Wechselstromwiderstand ist die Blindleistung mit <p < 0 negativ:

0 __ -12 ._1- Q 2 (4.213) =-U·c.oC (4.214) c.o~ p

. X 1 mit =---r c.oCr

Die Blindleistung ist für die Reihen- und Parallelschaltung gleich, wenn die Schaltungen äquivalent sind. Wird in der Formel für Q der Strom I durch die Spannung U und den Scheinwiderstand Zr ersetzt

I - Q - U bzw. e = U2 = U2

-Zr - '/R2+X2 Z2 R 2 +X2 'V r r r r r

2 U2 X r 2 Q = I . Xr = 2 2 == - U . Bp,

R r +Xr

dann bestätigt sich die Aussage entsprechend durch die Transformationsgleichung (Gi. 4.72):

Die Scheinleistung S als Maß für die gesamte Leistung, d.h. die im ohmschen Widerstand umgesetzte und die in den induktiven und kapazitiven Widerständen gespeicherte Leistung, ist gleich dem Produkt aus der Spannung U und dem Strom 1:

Bei Reihenschaltung ist

U = Z . 1 = -J R 2 + X 2 . 1 r r r

und damit

S = 12 . Z r

S = U· 1

(4.215)

Bei Parallelschaltung ist

1 = Y . U = -J G2 + B2 . U p p p

und damit

S = U2 .y P

Für einen induktiven Wechselstromwiderstand ist die Scheinleistung

S = 12 . J R 2 + 0)2 L 2 (4.217) S = U2 . / ~ + _I_ r r ~ R 2 0)2L2

P P

und für einen kapazitiven Wechselstromwiderstand

S = 12 . / R; + --i---z (4.219) S = U2 . / ~ 2 + 0)2 C~ ~ 0) ~ ~ p

(4.216)

(4.218)

(4.220)

Die Scheinleistung ist für die Reihen- und Parallelschaltung gleich, wenn die Schaltungen äquivalent sind. Wird in der Formel für S der Strom 1 durch die Spannung U und den Scheinwiderstand Zr ersetzt

1 = Q bzw. 12 = U2

Zr Z;

dann bestätigt sich die Aussage, denn für äquivalente Reihen- und Parallelschaltungen ist der Scheinleitwert Y p der Parallelschaltung gleich dem Kehrwert des Scheinwiderstandes Zr der Reihenschaltung:

1 Yp =-.

Zr

Beispiel: An einen passiven Zweipol wird eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert U = 220 V und der Frequenz f = 50 Hz angelegt, wodurch sich ein sinusförmiger Strom mit einem Effektivwert I = 9,1 A mit einer Phasenverschiebung <p = - 60" einstellt. 1. Die Ersatzschaltbilder mit den Ersatzschaltelementen sind zu ermitteln. 2. Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung fOr die beiden Ersatzschaltbilder sind zu

errechnen. Anmerkung: Die Verläufe von u, i und p sind im Bild 4.140 dargestellt.

Lösung: Zu 1. Die Ersatzschaltungen sind wegen cp < 0 die Reihenschaltung von Rr und Cr und die

Parallelschaltung von Rp und Cp:

1 . Zr=Rr-j-=Zc· eJIp - coCr

Z U .U . r=- coscp+ J-smcp

- I I

Rr = U coscp = 220 V . cos(- 60°) I 9,1 A

Rr =12,10

I Cr co· U· sincp

C 9,1A r

2x· 50 s-l ·220 V . sin(- 60°) Cr = 1521J.F'

:rp=~ +jcoCp=Yp.e- jcp

p

Y 1 . I . P =- cosCP-J - smcp

- U U

R =_U_= 220 V PI· coscp 9,1 A . cos(- 60°)

Rp =48,40

C I. p =-_. smcp coU

Cp 9,1 A· sin(-600)

2x·50s-1·220V Cp = 1141J.F'

Zu 2. P= U· I· cosCP= 220 V ·9,1 A· cos(-600) = 1 kW

P = 12 . R r P = U2 Rp

P = (9,1 A)2 . 12,1 0 = 1 kW P (220 V)2 1 kW 48,40

Q = U· I· sincp = 220 V· 9,1 A· sin(- 60°) = -1,73 kVar

Q = 12 . Xc = 12 . ( __ 1_) Q=_ U2 . Bp =- U2 . coCp coCr

Q = (9,1 A)2. (_ 1 ) 2x . 50 s-l . 152 ~F

Q = - (220 V)2. 2x . 50 s- 1 . 1141J.F'

Q = - 1,73 kVar Q = - 1,73 kVar

S = U· I = 220 V ·9,1 A = 2 kVA

S=12. / R2+_1 _ 'V c co2C2

r

mit_1_= 1 co2 C; (2x 50 s:::-l . 152 ~F)2

_1_=438502 co2 C2 '

r

S = (9,1 A)2 . V (12,1 0)2 + 438,5 0 2

S=2kVA

S=U2 . /_I_+ co2C2 'V R2 P

P

mit co2C; = (2x· 50 s-l. 1141J.F')2

S = (220 V)2. A / 1 + 1,283 . 10- 3 S2 ·V (48,40)2

S =2kVA

Leistungsdreieck, Phasenverschiebung, Verlustfaktor

Sind zwei der drei Leistungen - Wirkleistung P, Blindleistung Q und Scheinleistung S - bekannt, dann läßt sich mit

p2 + Q2 = S2 (4.221)

die dritte Leistung berechnen. Der Zusammenhang zwischen den drei Leistungen wird mit P = S . cos q> und Q = S . sin q> nachgewiesen:

S2 . cos2q> + S2 . sin2q> = S2. (cos2q> + sin2q» = S2

mit cos2q> + sin2 q> = 1.

Zwischen der Phasenverschiebung q>, der Wirkleistung P und der Blindleistung Q besteht der Zusammenhang

tanq> = ~ (4.222)

weil tan tn = S . sinq> . 'Y S . cosq>

j Q

p

jQ d

Bild 4.144 Leistungsdreieck

Die Zusammenhänge zwischen den drei Leistungen und der Phasenverschiebung lassen sich im Leistungsdreieck veranschaulichen (Bild 4.144), das mit der Definition der komplexen Leistung in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt wird (siehe GI. (4.239) bis (4.241».

Für Spulen und Kondensatoren ist der Phasenverschiebungswinkel q> wegen der ohmschen Verluste P kleiner als ein rechter Winkel:

1q>1<1t/2.

Je kleiner die Verluste sind, umso größer ist der Phasenverschiebungswinkel q> und der tan q>, der Gütefaktor (auch Güte der Spule bzw. Güte des Kondensators) genannt wird:

g = tanq> =' Q I (4.223) p.

Entsprechend ist der Ergänzungswinkel des Phasenverschiebungswinkels q> zu 90° bzw. - 90° ein Maß für die Verluste einer Spule bzw. eines Kondensators. Je größer die Verluste Psind, umso größer ist der Verlust winkel ö:

ö=1t/2-1q>1. (4.224)

Der Verlustfaktor

d = tanö =~ IQI

ist also der Kehrwert des Gütefaktors:

d=!. g

(4.225)

(4.226)


Ist die Ersatzschaltung der Spule oder des Kondensators die

Reihenschaltung,

Ist die Ersatzschaltung der Spule oder des Kondensators die

Parallelschaltung, dann ergibt sich mit den GI. (4.207) und GI. (4.209) für den Gütefaktor:

dann ergibt sich mit den GI. (4.208) und GI. (4.210) für den Gütefaktor:

g = tanep = lQl = 12'1 Xr 1

P 12 . R g = tanep =' Q 1= U2 '1 Bp 1

P U2 .G

g = tanep =' Xr 1 Rr

und für den Verlustfaktor: Rr

d = tano = 1 Xr 1

r

(4.227)

(4.229)

g = tanep =' Bp 1 Gp

und für den Verlustfaktor: Gp

d=tano =--IBpl Für Spulen lauten die Gleichungen für den Güte- und Verlustfaktor:

bei Reihenschaltung: bei Parallelschaltung:

p

(4.228)

(4.230)

roLr R Lp gL = tanepL = - (4.231) gL = tanepL = - (4.232)

RLr roLp

RLr roLp dL = tanoL = - (4.233) dL = tanoL = - (4.234)

roLr R Lp

Bei Spulen ohne Eisenkern bestehen die Verluste P nur aus den Wicklungs- oder Kupferverlusten, während bei Spulen mit Eisenkernen noch Wirbelstrom- und Hystereseverluste hinzukommen. In der Ersatzschaltung von Spulen mit Eisenkern können die Wicklungsverluste durch Rcu und die Kern- oder Eisenverluste durch R Kr erfaßt werden, wobei RKr aus Rw (Wirbelstromverluste ) und Rh (Hystereseverluste ) besteht.

RLr = Rcu (für Spule ohne Kern)

RLr = Rcu + RKr = Rcu + Rw + Rh (für Spule mit Kern)

Bei Spulen mit Eisenkern kann für bestimmte Frequenzen die Reihenschaltung von Lr und RKr in eine äquivalente Parallelschaltung mit Lp und RKp überführt werden, wobei der Parallelwiderstand RKp auch Eisenverlustwiderstand R v

genannt wird. Für Kondensatoren lauten die Gleichungen für den Güte- und Verlustfaktor

bei Reihenschaltung: bei Parallelschaltung:

1 gc = tanepc = --=-=c

roRCrCr (4.235)

(4.237)

(4.236)

(4.238)

Der Verlustfaktor für Kondensatoren ist frequenzabhängig und liegt in der Größenordnung von 10- 1 (Keramik) bis 10- 4 (Kunststoffen). Außerdem hängt er von der Größe der Spannung und von der Temperatur ab.

Komplexe Leistung

Da in der Wechselstromtechnik mit komplexen Zeitfunktionen und komplexen Effektivwerten gerechnet wird, ist die Frage naheliegend, ob eine komplexe Leistung sinnvoll definiert werden kann. Eine Definition einer komplexen Leistung darf nicht im Widerspruch zu den bisherigen Leistungsdefinitionen im Zeitbereich stehen. Wie im Zeitbereich für die Augenblicksleistung p = u . i möchte man entsprechend eine komplexe Augenblicksleistung E als Produkt der komplexen Zeitfunktionen von Spannung und Strom definieren:

• ~ j(rot + <Pu) -:' j(rot + <Pi) ~ -:' j2rot j(~ + <Pi) .!!·.!.=u·e ·l·e =U·l·e·e

Genauso wie bei der Augenblicksleistung kommt wohl die doppelte Kreisfrequenz 2m vor, aber die Summe der Anfangsphasenwinkelließe sich nicht für die komplexe Leistung verwenden, weil sowohl in der Wirkleistung als auch in der Blindleistung mit der Differenz der Anfangsphasenwinkel gerechnet werden muß. Um die Differenz der Anfangsphasenwinkel in der komplexen Leistung zu erhalten, kann die komplexe Zeitfunktion des Stroms konjugiert komplex verwendet werden:

.* ~ j(rot + <Pu) -:' - j(rot + <Pi) 2 U I j (<Pu - <Pi) .!!.! =u·e ·l·e = .. ·e

Wird also das Produkt aus dem komplexen Effektivwert der Spannung U und dem konjugiert komplexen Effektivwert des Stroms 1* gebildet, dann wird in der komplexen Leistung .s. die Differenz der Anfangsphasenwinkel - die Phasenverschiebung <P - berücksichtigt, und Wirk- und Blindleistung können gleichzeitig erfaßt werden:

mit U = U . e j <Pu und 1* = I . e - j<Pi

.s. = U . I . ej( <Pu - <Pi) = S . ej<p

mit S = U . I und <P = <Pu - <Pi

.s. = S . cos<p + j . S . sin<p = P + j . Q

mit P = S . cos<p und Q = S . sin<p .

(4.239)

(4.240)

Der Realteil der komplexen Leistung .s. ist damit gleich der Wirkleistung P und der Imaginärteil ist gleich der Blindleistung Q:

P=9le{.s.J und Q=3m{.s.J

Die Scheinleistung S ist gleich dem Betrag der komplexen Leistung .s.:

S = I~I =,Jp2 + Q2 (4.241)


Mit der Formel für die komplexe Leistung

s.= V ·1* ist es möglich, durch nur eine Berechnung die drei Leistungen zu ermitteln, wenn die Spannung V und der Strom I bekannt sind. Ist der Strom I oder die Spannung V gegeben, dann können die Leistungen mit dem komplexen Widerstand Z. oder dem komplexen Leitwert Y der Schaltung berechnet werden: Mit

ist

V = Z . I V* = Z* . 1* und - - -, - - -,

bzw. V·V·

S ==-=-- Z*

1* = V* - Z·

und mit

ist

und

* j'Pi -j'Pi 2 !·!=I·e ·I·e =1

* jcpu -J.'" 2 V·V =V·e ·V·e TU=V

e S =Z· 12 =_ - - Y

S = V 2 =y*. V 2 - Z* -

Weitere Beispiele:

Beispiel 1: Zwei Spulen (ErsatzschaUung: Reihenschaltung)

mit Rr1 = 10 n, Lr1 = 50 mH und Rr2 = 15 n,

(4.242)

(4.243)

Lr2 =65mH

sind in Reihe geschaltet und werden von einem sinusförmigen Wechselstrom mit dem Effektivwert I = 5 A und der Frequenz f = 50 Hz durchflossen. 1. Zu berechnen sind die Wirkleistungen, Blindleistungen und Scheinleistungen der beiden

Spulen und der Reihenschaltung. 2. Das Ergebnis für die Einzelspulen ist mit dem für die Reihenschaltung zu überprüfen. 3. Schließlich sind die Leistungsfaktoren der Spulen und der Reihenschaltung zu berechnen.

Lösung: Zu 1. Die komplexe Leistung wird für Reihenschaltungen nach GI. (4.242) berechnet:

Für Spule 1:

~l = ~1·12 ~1 = Rrl + j roLrl = 10 n + j . 2n . 50 s- 1 . 50 mH

~1 = (10 + j . 15,7) n ~1 = (10 + j . 15,7) n . (5 A)2

156

~1 = (250 + j . 392) VA mit P1 = 250 Wund 0 1 = 392 Var

Sl = ,J Pi + Or = V25()2 + 3922 VA = 465 VA

Für Spule 2:

~2= Z2· 12

Z2 = Rr2 + jro42 = 15 n + j . 27t ·50 s-l ·65 mH

~2 = (15 + j . 20,4) n

~2 = (15 + j ·20,4) n . (5 Al ~2 = (375 + j . 511) VA mit P2 = 375 Wund 02 = 511 Var

S2 = ,J P~ + O~ = Y 3752 + 5112 VA = 633 VA

Für die Reihenschaltung beider Spulen:

S = Z·12

~ = ~1 + ~2 = (Rr1 + Rd + j ro (Lr1 + Ld

~ = (10 + 15) n + j . 27t . 50 s-l (50 + 65) mH

~ = (25 + j . 36,1) n ~ = (25 + j . 36,1) n . (5 A)2

~ = (625 + j . 903) VA mit P = 625 Wund 0 = 903 Var

S= ~=V6252+9032 VA= 1098 VA


Zu 2. Kontrolle: Die Gesamtleistung ist gleich der Summe der Einzelleistungen.

P=P1 +P2 0=01 +02 aber S=I..s.l +..s.21

625 W = (250 + 375) W 903 Var = (392 + 511) Var S =,..; (Pt + pd + (Ot + od Zu 3. Die Leistungsfaktoren werden nach GI. (4.204) errechnet:

P1 250VA cos'P1 =-=---=0,54

Sl 465 VA

cosCf>2 = P2 = 375 VA = 0,59 S2 633 VA

coscp =~ - 625 VA = 0,57 S 1098 VA

Beispiel 2: Zwei Kondensatoren sind in Reihe geschaltet und von einem sinusförmigen Strom mit 1 = 0,5 A, f = 50 Hz durchflossen. Der eine Kondensator hat ·eine Kapazität Crl = 10 I1F und eine Verlustleistung Pl = 1 W, der andere eine Kapazität Cr2 = 511F und eine Verlustleistung P2=0,5W. 1. Die Verlustfaktoren dCl und dC2 der beiden Kondensatoren sind zu berechnen. 2. Dann soll die Formel für den Verlustfaktor dc der Reihenschaltung in Abhängigkeit von

den beiden Kapazitäten und den Verlustfaktoren entwickelt und der Verlustfaktor mit den angegebenen Zahlenwerten berechnet werden.

3. Schließlich soll das Ergebnis für dc über die Leistungen kontrolliert werden.

Lösung: Zu 1. Nach GI. (4.225) und GI. (4.213) sind

P1 1 VA -3 dC1 = tanllCl =--=--= 126·10

1011 80VA '

mit 01 = - 12 . _1_ = _ (0,5 A)2. ___ :-1 __ --:-_ wCr1 27t . 50 s-l . 10 . 10- 6 F

- 80Var


und p

dC2 = tanBC2 =_2_= 0,5 VA =3,14.10- 3

1021 159 VA

mit 02 =_12. _1_=_(0,5 A)2. 1 -159 Var roCr2 21t· 50 s-l. 5 . 10-6 F

Zu 2. Nach GI. (4.237) ist

dc=ro·RCr·Cr

und

da = ro . RCrl . Crl und dC2 = ro . RCr2 . Cr2

Mit

Rcr = RCrl + RCr2

ergibt sich

dc dC1 dC2 --=--+--roCr roCr1 roCr2

dc = roCr ( dC1 + dC2 ) roCr1 roCr2

Cr1 + Cr2

dc = 12,6.10-3 .5.10- 6 F + 3,14 .10- 3 .10.10- 6 F

(10 + 5) . 10- 6 F 6,3.10- 3

Zu 3. d =tanB =~= Pl+P2 (1 +0,5) VA 6,3,10- 3

C C I 0 I 1 01 + 021 (80 + 159) VA

Beispiel 3: Eine verlustbehaftete Spule (RLr = 20 n, Lr = 0,1 H) und ein verlustbehafteter Kondensator (RCr = 4 n, Cr = 200 JlF) bilden einen Reihenschwingkreis, der an einer sinusförmigen Spannung mit U = 110 V und f = 50 Hz angeschlossen ist. 1. Zu berechnen sind die Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung des Reihen

schwingkreises. 2. Das Ergebnis soll mit Hilfe des Stroms! kontrolliert werden. 3. Bei welcher Kreisfrequenz ro besteht Resonanz und wie groß sind dann die induktive und

kapazitive Blindleistung?

Lösung: Zu 1. Nach GI. (4.243) ist

U2 S=- Z*

und mit

~ =~L +~C = (RLr +RCr) + { roLr - ro~r J

~* = (RLr +RCr) - j(roLr __ 1_J roCr


ist

u2 (RLr + Rer) + i (roLr --ro~-r) S= ·--------~----__ 7

- (RLr+Rer)-i(roLr-_1_) (RLr +Rer)+i(roLr--1-) roCr roCr

(Ru + Rer) + i (roLr __ 1_) roCr 2

~= 2 ( 1 )2· U =P+j·Q (RLr + Rcr) + roLr--

roCr

und

P = (RLr + Ro )2 + (roLr ___ 1_)2 roCr

P= (20 + 4) o· (110 V)2

(20 + 4)202 + (21t . 50 s-l. 0,1 H _ 1 )2 21t· 50 s-1 . 200 . 10- 6 F

P=356W

und 1 roLr--

Q= roCr . u2

(RLr + Rer)2 + (roLr __ 1_)2 roCr

( 21t.50S- 1.0,1H 1 ).(110V)2 Q = 21t· 50s- I . 200 .10- 6 F

(20+4)2fi2.+(21t.50S- 1 .O,1H- 1 )2 21t· 50 s-l. 200 .10- 6 F

Q = 230Var

S = Yp2+ Q2 = Y3562 + 23()2 VA = 423,5 VA

Zu 2. 1 = U = 110 V . e- j32,9° = 3,85 A. e- j32,9° - Z 28,60

mit U = 110 V . eiO"

und ~ = (24 + j . 15,5) 0 = 28,60. ej32,9°

~ = U . t = 110 V . 3,85 A· ej32,9" = 423,5 V . A ej32,9°

~ = 423,5 VA ·cos32,9° + j ·423,5 VA . sin32,9° = 356 W + j . 230 Var

Zu 3. Nach GI. (4.114) besteht Resonanz für den Reihenschwingkreis bei

roo=_1_= 1 = 224s-\ wobei 1 = U 1l0V =458A YLrCr YO,1H· 2oo~F RLr+Rcr 240 '

Mit GI. (4.211) beträgt die induktive Blindleistung bei Resonanz

QL = 12 . rooLr = (4,58 A)2. 224 s-l. 0,1 H = 470 Var

und mit GI. (4.213) beträgt die kapazitive Blindleistung bei Resonanz

Qe =_12._1_=_(4,58A)2. 1 =-470Var rooCr 224s- 1 ·2oo·1O- 6 F


Beispiel 4: In der im Bild 4.145 gezeichneten Schaltung sind die Wirk- und Blindleistung über die komplexe Leistung zu berechnen. Gegeben sind der Strom 1= 400 mA (Frequenz f = 100 Hz), Lr = 20 mH, RLr = 30 Q und R = 100 Q. 1. Zu berechnen sind die Leistungen, nachdem die Reihen

schaltung in eine äquivalente Parallelschaltung transformiert wurde.

2. Das Ergebnis ist mit dem komplexen Leitwert der Schaltung zu kontrollieren.

Lösung: Zu 1.

! jwL r

R

Nach GI. (4.70) sind

jwL p R

1 RLr 30 Q = 28,36 mS RLp Rtr + uiL; (30 Q)2 + (21t· 100 s-l . 0,02 H)2

159

R

Bild 4.145 Beispiel 4 der Leistungsberechnung

Bild 4.146 Beispiel 4 der Leistungsberechnung -SChaltungstransformation

die Parallelschaltung der beiden ohmschen Widerstände ergibt dann

1.+_1_=_1_+ 28,36 mS = 10 mS + 28,36 mS = 38,36 mS, R RLp 100Q

und

1

Nach GI. (4.242) ist

S =Z. 12= 12 Y

21t· 100 s-l. 0,02 H 11,88 mS (30 Q)2 + (21t . 100 s-l . 0,02 H)2

___ -=-1 ____ = 134 mH 21t· 100 s-l. 11,88 mS

mit Y = (.!.+_1_)_i_1_= 38,36mS-i . 11,88mS - R RLp roLp

S = (0,4 Af . (38,36 + i . 11,88) mS - (38,36 - j ·11,88) mS (38,36 + j ·11,88) mS

S = (0,4 A)2. (38,36 + i . 11,88) mS 3,81 W + i . 1,18 Var - (38,36 mS)2 + (11,88 mS)2

~ = P + i . Q d.h. P = 3,81 Wund Q = 1,18 Var

160


12 S=-

Y

mit Y = G + ---=---

und

- _1_ + j roLr _1_ + j roLr GLr GLr

(G + GLr) + j ro . G . GLr . Lr y

~._1_


mit G· GLr R RLr 10 mS . 33,3 mS 7,69 mS G+GLr ~+_1_ 10mS+33,3mS

R RLr

und ro = 2lt . f = 2lt . 100 s- 1 = 628,3 s-l

ergibt sich für die Wirkleistung

p=(0,4A)2 . 1 + 628,32 s-2. 33,3 mS·7,69mS· 0,022 H2 =381 W 43,3 mS 1 + (628,3 s-l. 7,69 mS· 0,02 H)2 '

und für die Blindleistung

Q = (0,4 A)2 . 628,3 s-l ·0,02 H . (33,3 mS - 7,69 mS) 1,18 Var 43,3 mS 1 + (628,3 s-l ·7,69 mS . 0,02 H)2


4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung

Messung der Scheinleistung

Die Scheinleistung S = U . I wird durch eine Strom-Spannungs-Messung in Effektivwerten ermittelt. Dabei wird wie bei der Widerstandsmessung und Leistungsmessung mit Gleichstrom (siehe Band 1, Abschnitt 2.2.7, Bilder 2.40 und 2.41 und Abschnitt 2.4.3.2, Bilder 2.119 bis 2.122) eine stromrichtige und eine spannungsrichtige Messung unterschieden:

A !mess

RA !

RV V I j ~

Bild 4.147 Spannungsrichtige Messung der Scheinleistung

A

RA 1

~mess RV V I l ~ Bild 4.148 Stromrichtige Messung der Scheinleistung

Die Meßinstrumente sind Drehspulinstrumente, die Brücken-Gleichrichterschaltungen enthalten, so daß Gleichrichtwerte gemessen und Effektivwerte angezeigt werden. Aus den Effektivwerten von Spannung und Strom wird die Scheinleistung durch Multiplikation errechnet.

Messung der Wirk- und Blindleistung mit elektrodynamischem Leistungsmesser

Auch bei der Messung der Wirk- und Blindleistung mit einem elektrodynamischen Leistungs-Meßgerät kann spannungsrichtig und stromrichtig gemessen werden. Bei der Wirkleistungsmessung ist im Spannungspfad ein ohmscher Widerstand R und bei der Blindleistungsmessung die Hummel- oder Polekschaltung (siehe Abschnitt 4.6.1) zu verwenden (Bilder 4.149, 4.150 und 4.152, 4.153):

RV Imess

! 1 = !

l~ Bild 4.149 Spannungsrichtige Meßschaltung mit einem elektrodynamischen Meßwerk tor die Wirkleistungsmessung

RV

\'! mess

Bild 4.150 Stromrichtige Meßschaltung mit einem elektrodynamischen Meßwerk tor die Wirkleistungsmessung

l~

Ströme, Spannungen und Leistungen können mit Hilfe von Drehspulinstrumenten gemessen werden. Der Wirkungsmechanismus der Drehspulinstrumente beruht auf der Kraftwirkung, die sich bei bewegten Ladungen (elektrischer Strom) im magnetischen Feld einstellt (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.8.2).


Bei der Messung von Gleichströmen oder gleichgerichteten Wechselströmen wird das Magnetfeld durch einen Dauermagneten erzeugt, in dem sich die stromdurchflossene drehbare Spule bewegt. Das elektrodynamische Meßwerk, das für die Leistungsmessung angewendet wird, ist ebenfalls ein Drehspulmeßwerk, aber mit elektromagnetischer Erregung: das magnetische Feld wird nicht durch einen Dauermagneten, sondern durch einen Strom hervorgerufen.

Prinzipiell werden zwei Bauarten unterschieden: das eisengeschlossene Meßwerk (siehe Band 1, Bild 2.118) und das eisenlose Meßwerk. Beim Meßwerk mit Eisenkreis entsteht durch ein rundes Eisenstück ein radial-homogenes Feld im Luftspalt (siehe Band 1, Bild 3.244), wobei die Luftspaltinduktion BL nahezu konstant ist. Meßwerke ohne Eisenkreis können mit "kurzer" Feldspule und mit "langer" Feldspule ausgeführt sein. Bei der kurzen Feldspule mit wenig Windungen und dickem Draht kann auch ein angenähert radial-homogenes magnetisches Feld erreicht werden.

18888881

" kurze" Feldspul e

Bild 4.151 Elektrodynamische Leistungsmesser mit eisengeschlossenen und eisenlosen Meßwerken mit kurzer und langer Feldspule

Die Luftspaltinduktion BL wird durch den Strom h in der feststehenden Feldspule mit der Windungszahl W1 verursacht. Die Feldspule wird in den Strompfad des Leistungsmessers geschaltet, so daß der Meßstrom i der Erregerstrom ist. In der eisen losen Anordnung ist bei Vernachlässigung des magnetischen Widerstandes des Eisens und in der eisen losen Anordnung nach dem Durchflutungssatz

. BL 01 = H L . lL bzw. 11 ' W 1 = _ . lL

110 Die Luftspaltinduktion BL ist proportional dem Meßstrom i1:

i1 · w1 BL = 110 . -1 - .

L

Die drehbare Spule mit der Windungszahl W2, die sich in dem radial-homogenen magnetischen Feld bewegen kann, erfährt ein Drehmoment M, wenn durch sie der Strom h fließt, der durch die Meßspannung u entsteht. Das Drehmoment Mist


proportional der Luftspaltinduktion BL, der Spulenfläche A = a . b, der Win

dungszahl der Spule W2 und dem Strom i2, wobei sin a = 1 ist, denn die Vektoren v und BL stehen senkrecht aufeinander (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.8.2):

M = BL . A . i 2 · w2 (4.244)

i1 · w1 . . . M = 110· -- . A . 12. W2 = K . 11 . 12

IL (4.245)

Nur bei einer eisenlosen Anordnung mit "langer" Feldspule geht der Neigungswinkel a der drehbaren Spule zur Feldrichtung ein (siehe Band 1, Abschnitt 3.4.8.2, Bild 3.233, Beispiel 2):

i1 · w1 . . M = 110·--· A .12 . w2 sma

IL (4.246)

Sind in der Meßanordnung mit radial-homogenem Feld die Ströme i1 und i2 sinusförmig, dann ist ein Mittelwert des Drehmoments wirksam:

Mit

ist

A A

i 1 = i1· sinrot und i2 = i2· sin(rot + q:»

.. T 11 ·1

2f M = K· ----;Y-. sinrot· sin(rot + q:» . dt o

und mit sina· sinß = ~ [cos(a - ß) - cos(a + ß)]

11 . 12 -:- -:- [T T 1 M = K . 2. T I cos(rot - rot - q:» . dt - I cos(2rot + q:» . dt

mit und

M=K.l1·12[COS(_q:».tIT _Sin(2rot+q:»I T] T 0 2ro 0

M = K . 11 . 12 . cosq:> (4.247)

Der Strom durch die bewegliche Spule 11 ist gleich dem Meßstrom 1 und der Strom durch die Feldspule h wird durch die ohmschen Widerstände der Feldspule Ry und den in Reihe geschalteten Widerstand R (siehe Bilder 4.149, 4.150) begrenzt: Mit

11 = 1 und I __ U_ 2-R +R

y

K * M = . U . I . cosq:> = K . P Ry+R

(4.248)

Der Mittelwert M des Drehmomentes ist also der Wirkleistung P proportional.


Bei der Messung der Blindleistung Q mit Hilfe von dynamometrischen Meßwerken ist die Drehung der Stromphase im Spannungspfad um genau 90° erforderlich. Deshalb wird in den Spannungspfad die Hummel- oder Polekschaltung (Bilder 4.114 und 4.116) eingefügt.

I

Rp

l

Bild 4.152 Blindleistungsmessung mit der Hummelschaltung

.!:!

! 1

jwCp

l

Bild 4.153 Blindleistungsmessung mit der Polekschaltung

Messung der Wirk- und Blindleistung mit der Drei-Voltmeter-Methode

!J.

Die in einem beliebigen Wechselstromwiderstand auftretende Wirkleistung und Blindleistung können mit Hilfe von drei Spannungsmessern ermittelt werden. Dem beliebigen Wechselstromwiderstand, der im Bild 4.154 dem komplexen Widerstand Z entspricht, wird ein ohmscher Vorwiderstand Rv in Reihe geschaltet, so daß die drei Spannungsmesser die Gesamtspannung VI und die Teilspannungen V2 und V3 anzeigen. Die Innenwiderstände der Spannungsmesser müssen so hochohmig sein, daß die durch sie fließenden Ströme vernachlässigbar klein gegenüber den Strömen durch die Widerstände sind. Unter dieser Voraussetzung sind die Ströme durch den Vorwiderstand Rv und dem beliebigen Widerstand ~ gleich und die Spannungen teilen sich wie bei in Reihe geschalteten Widerständen auf, wie im Zeigerbild veranschaulicht werden kann (Bild 4.155).

,..------{ v )-----,

-!.!2

! Bild 4.154 Drei-Voltmeter -Methode

Die Wirkleistung

P = I . U3· cos<p = I - UR3

und die Blindleistung

Q = I- U3· sin<p = I · UX3

werden durch die Spannungen U 1 , U2 und U3 gemessen und anschließend errechnet. Gleichzeitig kann auch der Leistungsfaktor cos<p bestimmt werden.

Bild 4.155 Zeigerbild fUr die Drei-Voltmeter-Methode

!!2 !!R3 1

Für das Dreieck mit den Seiten U1, U2 und U3 im Zeigerbild gilt der Kosinussatz:

Ui = U~ + U~ - 2 - U2 - U3 - cos(180° - <p)

mit cos(180° - <p) = - cosq>

Ui = U~ + Ui + 2 - U2 - U3 - cosq> (4.249)

Wird als Ersatzschaltung des komplexen Widerstandes ~ die Reihenschaltung angenommen, d.h. Z = R r + j . X r , dann teilt sich die Spannung U3 in eine Wirkspannung UR3 und eine Blindspannung UX3 auf. Die Wirkspannung ist nach GI. (4.52) und mit GI. (4.249)

Ui - (U~ + U~) UR3 =U3- COSq>= 2-U '

2

so daß sich für die Wirkleistung Pergibt:

ui- (U~ + U~) P = I - U R3 = I . -----=---=---

2 - U2

mit

(4.250)

(4.251)

(4.252)

Die Gleichung (4.249) kann auch nach dem Leistungsfaktor aufgelöst werden:

ui - (U~ + U~) cos q> = --::---::-:--=-::---

2 - U2-U3 (4.253)

Für die Blindleistung Q muß die Blindspannung UX3 errechnet werden:

Mit

und mit GI. (4.250)

U X3 = U3 - ------2 (Ui - (Ui + Uj»)2

2· U2

und mit

Q = I· UX3 =-' U3 - -----U2 2 (Ui - (U~ + Uj»)2 R y 2· U2

(4.254)

Messung der Wirk- und Blindleistung mit der Drei-Amperemeter-Methode

Die in einem beliebigen Wechselstromwiderstand auftretende Wirkleistung und Blindleistung können aber auch mit Hilfe von drei Strommessern ermittelt werden. Dem beliebigen Wechselstromwiderstand, der im Bild 4.156 dem komplexen Widerstand ~ entspricht, wird ein ohmscher Widerstand Rp parallel geschaltet, so daß die drei Strommesser den Gesamtstrom 11 und die Teilströme Iz und 13 anzeigen. Die Innenwiderstände der Strommesser müssen so niederohmig sein, daß die an ihnen abfallenden Spannungen vernachlässigbar klein gegenüber den Spannungen an den Widerständen sind. Unter dieser Voraussetzung sind die Spannungen an dem Parallel widerstand Rp und an dem beliebigen Widerstand ~ gleich und die Ströme teilen sich wie bei parallel geschalteten Widerständen auf.

t--------( V t-----.....

.. JJ.

Bild 4.156

Drei-Amperemeter-Methode

Die Herleitung der Formeln für die Wirkleistung P, der Blindleistung Q und den Leistungsfaktor cos<p in Abhängigkeit von den drei Strömen ist analog wie bei der Drei-Voltmeter-Methode. Dabei muß für die Ersatzschaltung des beliebigen Widerstandes ~ die Parallelschaltung angenommen werden. Die Formeln lauten:

12 _ (12 + 12) P = R . 1 2 3 (4.255)

p 2

li - (I~ + Ij) cos<p =

2.12. 13 (4.256)

(4.257)

4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors - Blindleistungskompensation

Notwendigkeit der Verbesserung des Leistungsfaktors

167

In Wechselspannungsnetzen wird elektrische Energie von Wechselspannungsquellen über Zuleitungen an beliebige Wechselstromwiderstände übertragen. In den Widerständen werden Wirkleistungen P = U . I . cos<p umgesetzt. Wird in einem Wechselstromwiderstand eine bestimmte Wirkleistung bei vorgegebener Spannung U benötigt, dann ist der Strom I umso größer, je kleiner der Leistungsfaktor cos<p ist:

I=~._l_ U cos<p

Der größere Strom bei kleinerem Leistungsfaktor bedeutet in den Zuleitungen eine Zunahme der Verlustleistung P v, die vor allem vom Querschnitt Ader Leitungen abhängig ist:

P = 12 . R = 12 . ~ (4.258) v L 1(. A

wobei RL der ohmsche Widerstand der Doppelleitung ist: 2· I R L =--

1(·A

Mit obiger Stromgleichung ergibt sich für die Verlustleistung

p2 2· I 1 P =_. __ ._-y U2 1(. A cos2

wird deutlich, warum der Leistungsfaktor verbessert werden muß:

(4.259)

(4.260)

Bei der Übertragung einer Wirkleistung P bei gegebener Spannung U und bei einer festgelegten zulässigen Verlustleistung Py der Leitung beeinflußt der Leistungsfaktor cos q> den Leitungsquerschnitt A quadratisch.

Boispiel: Weicht der Leistungsfaktor vom angestrebten Wert 1 auf 0,707 ab, dann ist der doppelte Querschnitt der Leitungen notwendig, um eine konstante Verlustleistung beizubehalten:

K A 2 2 ~ = cos <pz = cos <P1 = _1_ = .l..- = 2. Al _K_ cos2<pz 0,7072 0,5

COS2 <1'1

Da eine Leistungsübertragung bei einem niedrigeren Leistungsfaktor unwirtschaftlich ist, darf ein Mindestleistungsfaktor von 0,8 ... 0,9 nicht unterschritten werden. Der Leistungsfaktor cos q> kann erhöht werden, wenn die Blindleistung Q möglichst klein ist:

P P cos<p = - = --;::===

S .jp2 + Q2 (4.261)

Blindleistungskompensation

In den meisten Anwendungsfällen ist der Verbraucherwiderstand induktiv, z.B . durch Asynchronmotoren, Spulen und Transformatoren . Deshalb muß zum induktiven Wechselstromwiderstand ein Kondensator zugeschaltet werden, wenn die Blindleistung kompensiert werden soll. Prinzipiell kann zum passiven Zweipol ein Kondensator Cr in Reihe oder ein Kondensator Cp parallel geschaltet werden. Bei der Reihen-Kompensation wird ein Kondensator Cr in Reihe zum induktiven Zweipol geschaltet. Um die Ergebnisse des Reihenschwingkreises (Abschnitt 4.5.1) verwenden zu können, ist als Ersatzschaltung tor den induktiven Zweipol die R/LReihenschaltung zu verwenden.

o • _1_1

r--- - -, I

!~R : ! ~L :

I

~Kr

I jW(r I

Rr [) I .lJ. I

I jwL r I I I L _ _ _ _ _ J

Bild 4.157 Reihen-Kompensation

Durch die stromdurchflossene Kapazität Cr entsteht eine Spannung U c, die die Spannung U L teilweise oder ganz kompensiert. Nach der Kompensation stellt sich eine verminderte Spannung U Kr und eine verminderte Phasenverschiebung <!>K ein, wie im Zeigerbild deutlich wird.

~=='=,,;,,!,,~~==-t-- !Kr:! ~(1

Bild 4.159 Zeigerbild der teilweisen Reihen-Kompensation

Die Parallel-Kompensation bedeutet die Zuschaltung eines Kondensators Cp parallel zum induktiven Zweipol. Entsprechend lassen sich die Ergebnisse des Parallelschwingkreises (Abschnitt 4.5.2) übernehmen, wenn für den induktiven Zweipol als Ersatzschaltung die R/L-Parallelschaltung berücksichtigt wird.

! r--- -- -,

!( I I

=;:: !J. I

1 I jW(p I

I I

!R

[ Rp I

I lL I

I

jw L I PI

I I

L _____ J

Bild 4.158 Parallel-Kompensation

Infolge der anliegenden Spannung U fließt durch die parallelgeschaltete Kapazität Cp ein Strom !C> der den Strom !L teilweise oder ganz kompensiert. Nach der Kompensation stellt sich ein verminderter Strom I K

und eine verminderte Phasenv~r~ schiebung <!>K ein, wie im Zeigerbild veranschaulicht wird (siehe auch Abschnitt 7.2, Beispiel 3).

!(

Bild 4.160 Zeigerbild der teilweisen Parallel-Kompensation

Anzustreben ist eine Kompensation, bei der sich die Blindspannungen U L

und U c aufheben und die Phasenverschiebung <PK zwischen U Kr und !Kr =! Null ist.

ldKr=ldR "O:;"....I..""""";....;,,;--.;;,;.,;., .. ~~- lK r = 1 '9K=O

ldc

Bild 4.161 Zeigerbild der vollständigen Reihen.Kompensation

Der für die vollständige Kompensation notwendige Kondensator mit der Kapazität Cr läßt sich dann berechnen, weil die Summe der kapazitiven und induktiven Blindleistungen Null sein muß:

mit

und

ist

Da

ist

mit

QC+QL=O

-QC=QL

QL = p. tan<p

u~· roCr = p. tan<p

C = p. tan<p r U 2 ro· c

C = P r ro . U2 . tan<p

Kr

(4.262)

(4.264)

169

Die Kompensation, bei der sich die Blindströme !L und I c aufheben und die Phasenverschiebung <PK zwischen h p und U Kp = U Null ist, soll erreicht werden.

Bild 4.162 Zeigerbild der vollständigen Parallel-Kompensation

Der für die vollständige Kompensation notwendige Kondensator mit der Kapazität Cp kann berechnet werden, weil die Summe der kapazitiven und induktiven Blindleistungen Null sein muß:

mit

und

ist

oder

mit

QC+QL =0

-QC=QL

QL = p. tan<p

U2 . roCp = P . tan<p

C = p. tan<p Pro. U 2

C = p. tan<p Pro. U 2

Kp

(4.263)

(4.265)


Durch die Zuschaltung von Cr in Reihe zu Rr und Lr wird wohl die induktive Blindleistung QL kompensiert, aber auch die Spannung U auf

Durch die Zuschaltung von Cp parallel zu Rp und Lp wird wohl die induktive Blindleistung QL kompensiert, aber auch der Strom I auf

UKr = UR = U . coscp IKp = IR = U/Rp

vermindert. verringert.

Bei der Blindleistungskompensation mit Parallelkondensator ist die anliegende Netzspannung U vor und nach der Kompensation gleich, denn die Schaltelemente sind parallel geschaltet. Die Wirkleistung und die zu kompensierende Blindleistung bleiben somit unverändert. Wird aber bei der Reihenkompensation die Netzspannung U, die vor der Kompensation am induktiven Verbraucher gelegen hat, an den Reihenschwingkreis angelegt, wie es in der Praxis üblich ist, dann fällt diese Spannung U wegen Resonanz nur am ohmschen Widerstand ab. Die Spannung UKr = UR wird auf den Spannungswert U erhöht, wodurch sich der Strom von IKr = UR/R r auf IK' = U/R

r r vergrößert. Damit erhöht sich auch die Wirkleistung auf

"2 U2 P =IK . R =-r r Rr

und die zu kompensierende Blindleistung auf '2

"2 U L Q = IKr . roL =r roLr

(4.266)

(4.267)

Aus dem Zeigerbild ist ersichtlich, daß für die Spannungen UKr und U der Zusammenhang

U 1 U Kr = U . cosep bzw. --=--UKr coscp

besteht. Die Wirkleistung erhöht sich also mit dem Quadrat der Spannung:

U2

(4.268)

bzw.

uir ' , 2 P = -2 . P = P . CoS cp.

U Die Formel für die notwendige Netzspannung U

Kapazität lautet dann in Abhängigkeit von der

P' Cr = 2

ro· U . tancp mit (4.269)

und bei Berücksichtigung der ursprünglichen Wirkleistung P P P

Cr = 2 2 = 2. (4.270) ro· U . tancp . cos cp ro· U . smcp . coscp

Die Kapazität ändert ihren Wert gegenüber dem ursprünglichen Wert nicht, weil die Wirkleistung und die Spannung gleichzeitig geändert wurden.

Ein Vergleich der Kapazitätswerte Cr und Cp bei gleicher Gesamtspannung

U~ = U und UKp = U ist damit möglich:

p. tan<p Cl). U2 . sin<p . cos<p sin<p . ----::--'----'- = -- . sm<p . cos <p

Cl). U2 P cos<p

(4.271)

Liegen an den beiden Kompensationsschaltungen - der Reihenschwingkreis und der Parallelschwingkreis - die gleiche Spannung U, dann ist die Reihenkapazität Cr größer als die Parallelkapazität Cp, wobei die Wirkleistung des Reihenschwingkreises größer ist als die Wirkleistung des Parallelschwingkreises. Die erhöhte Spannung an der Reihenkapazität U~ ist allerdings kleiner als die

Spannung an der Parallelkapazität U, wenn der tan<p < 1 ist:

U~ = U . tan<p . (4.272)

Allerdings ist zu beachten, daß bei der Reihenkompensation die an dem induktiven Verbraucher anliegende Spannung durch die Kompensation vergrößert wird.

Beispiel: Für einen zu kompensierenden induktiven Wechselstromwiderstand sind gegeben: U = 220 V bei f = 50 Hz, P = 1 kW und cosep= 0,8. 1. Zu ermitteln sind die Elemente der Ersatzschaltungen, die Wirkleistung, die Blindleistung,

die Scheinleistung, sämtliche Ströme und Spannungen und das Zeigerbild. 2. Dann sollen die Kompensationskapazitäten Cr und Cp berechnet werden, wenn die an der

Gesamtschaltung anliegende Spannung 220 V beträgt. Die Zusammenhänge sollen anhand von quantitativen Zeigerbildern erläutert werden.

Lösung: Zu 1. Die Ersatzschaltungen sind die Reihenschaltung von R r und L r und die Parallel

schaltung von Rp und Lp, die äquivalent sind.

Reihenschaltung:

Mit

U2 P=~= 1 kW

Rr

und UR = U . cosep = 220 V . 0,8 = 176 V

ergibt sich 2

_ UR _ (176 V)2 Rr -p- 1000 VA

31 Q

und mit

wLr tanep =-

Rr

ist

Rr · tanep Lr =---

w 31 Q. 0,75 74 mH

21t·50s- 1

Parallelschaltung:

Mit

U2 P=-=lkW

Rp

ergibt sich

R = U 2 = (220 V)2 = 48 4 Q p P lOOOVA '

und mit

1 wL R

tanep = -p- = -pI wLp

Rp

ist

R L = p 48,4 Q 205 mH

p Cl). tanep 21t· 50 s-l ·0,75


Die induktive Blindleistung ist für die Reihen- und Parallelschaltung gleich:

Q = p. tanq> = 1000 VA . 0,75 =750 Var,

ebenso ist die Scheinleistung gleich

S = -.; p2 + Q2 = -.; (1000 V A)2 + (750 VA)2 = 1250 VA

Für das Zeigerbild der Reihen-schaltung betragen

UR = 176 V

UL = U . sinq> = 220 V . 0,6 = 132 V

Für das Zeigerbild der Parallelschaltung betragen

U 220V IR =-=--=4,55A Rp 48,4il

IL = IR . tanq> = 4,55 A· 0,75 = 3,41 A

und I =~= 1250 VA 568A ,

5,68A r- - - - --1

I I I

I UR 1 I Rr= I I 176 V 3Hl

!! 220V I

: 1~2Lv 1 Lr = 71. mH

I I L ______ ~

Bild 4.163 Reihen-Ersatzschaltung des induktiven Wechselstromwiderstandes

11 \!L 220 V 13 2 V

Ij) !!R ! 176V

5,68A Bild 4,165 Zeigerbild des ReihenErsatzschaltbildes

Zu 2. Reihen-Kompensation:

1Jc. 132 V (165VI

U 220 V

- r - - - 5.6BA -l ?-1l I !Kr=! (

\!Kr 176 V

(220 VI

Cr= 13 711F

!! 220 V

(275 VI

I UR 1 ] I 176 V I (220VI

I UL!I I 132 V I (1 65VI

7,1 AI I Rr= I

31 Q I I

Lr = I 74mH

L ______ -1

Bild 4,167 Reihenkompensation

S,66A r- - - - - - - ---,

!L I 3,41 A I

! I IR I

t..S5A

!1 Lp = I I

220V I Rp= [) 11 I 46,4Q 205 mH I

I I

I I I

L _ __ _____ J

Bild 4.164 Parallel-Ersatzschaltung des induktiven Wechselstromwiderstandes

h 3,41 A

Bild 4.166 Zeigerbild des ParallelErsatzschaltbildes

Parallel-Kompensation

4.55A 3,t.1A rS,68A- - - - - --,

!Kp !!Kp= J.! 220 V

Cp=

49.311F

!C I I I !R I 4.SSA

r= I Rp= [ I 48.4 f1

I I

I

I h I

3,41A I

Lp= 205mH

I L ________ ...J

Bild 4.168 Parallelkompensation


Berechnung der Reihenkapazität: Nach GI. (4.262) oder GI. (4.264) ist

P 2 ro· UKr . tancp

mit

Uc= UL= 132 V

Cr 1000 VA · 0,75 = 137 IJ.F' 27t . 50 s-l . (132 V)2

oder

Cr = 1000 VA 1371J.F' 21t. 50 s-l. (176 V)2. 0,75

mit

UKr = UR = U· coscp=220V · 0,8 = 176 V

l! l!c l!L 220V 132 V

l!Kr = l!R IK r= ! 176 V 5.68A

l!( 132 V

Bild 4.169 Zeigerbild für die Reihen·Kompensation

u' U· -C - L 165 V

IP l!Kr =!!. 6=~==~2~20~V======~~----I Kr

7.1A

~ ["SV

Bild 4.171 Zeigerbild für die Reihenkompensation bei 220 V

Berechnung der Parallelkapazität: Nach GI. (4.263) ist

C _po tancp p - ro . U2

Cp 1000 VA · 0,75 = 49,311F 27t· 50s- 1 . (220 V)2

!( 3.41A

~T========-~----l!Kp=l!

h 3.41A

Bild 4.170 Zeigerbild für die Parallel-Kompensation

220 V

Liegt die Spannung U = 220 V an dem Reihenschwingkreis in Resonanz, dann ist die Wirkleistung auf P' erhöht. Die Reihenkapazität Cr kann dann nach der GI. (4.269) berechnet werden:

P' Cr = _---=.----ro· U2 . tancp

C 1,56 · 103 VA r 27t . 50 s-l . (220 V)2. 0,75

mit

P' = U2 (220 V)2 1,56 kW Rr 31 n

oder p,=_P_=I000W =1,56kW cos2 cp (0,8)2

173

174

Dabei betragen der vergrößerte Strom

I V 220V IKr=-=--=7,lA

Rr 310

und die erhöhte Blindleistung

oder

mit

Q' = pi . tan q> = 1,56 kW . 0,75 = 1,17 kVar

V ,2 Q' = I'ir· coLr =---..!:= 1,17 kVar

coLr

vI. = coLr· IKr = 165 V und vI. = Uc = V . tanq> =165 V


Mit GI. (4.271) wird das Ergebnis für die Kompensationskondensatoren kontrolliert:

Cp = 49,31JF = 0,36 = sin2q>. Cr 1371JF

4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung

Wirkungsgrad

Die elektrische Energieübertragung von einer Quelle zu einem Verbraucher ist mit Verlusten verbunden. Im Gleichstromkreis wird die genutzte Energie bzw. Nutzleistung (umgewandelte, d.h. abgegebene Energie) ins Verhältnis gesetzt zur aufgewendeten Gesamtenergie bzw. aufgewendeten oder zugeführten Gesamtleistung und Wirkungsgrad Tl genannt (siehe Band 1, Abschnitt 2.4.4). Im Wechselstromkreis wird analog das Verhältnis der genutzten Wirkenergie bzw. genutzten Wirkleistung zur aufgewendeten Wirkenergie bzw. aufgewendeten oder zugeführten Wirkleistung mit Wirkungsgrad TI bezeichnet. Die in Blindwiderständen vorkommenden Blindleistungen können weder genutzt werden, noch führen sie direkt zu Verlusten. Sie ergeben aber Wirkleistungsverluste in den Zuleitungen, die durch die Blindleistungskompensation vermieden werden (Abschnitt 4.7.3). Die Gleichung für den Wirkungsgrad ist formal identisch mit der Wirkungsgrad-Gleichung im Gleichstromkreis (vgI. Bd. 1, GI. 2.206):

PN PN Tl = -= (4.273)

Pges PN + Py

mit PN: genutzte Wirkleistung

P ges: zugeführte gesamte Wirkleistung

Py: Wirkleistungsverluste


Wirkungsgrad im Grundstromkreis Wie behandelt, kann jedes Wechselstromnetz in einen Grundstromkreis überführt werden, so daß die Ermittlung des Wirkungsgrades eines Grundstromkreises von Bedeutung ist. Die Energiequelle - als Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle betrachtet - liefert die gesamte Wirkleistung (erzeugte Wirkleistung PE), im Außenwiderstand kann die Wirkleistung (äußere Wirkleistung Pa) genutzt werden und im Innenwiderstand muß eine Verlust-Wirkleistung (innere Wirkleistung Pi) in Kauf genommen werden.

Der Wechselstrom-Grundstromkreis kann entweder mit Ersatzspannungsquelle oder mit Ersatzstromquelle dargestellt werden. Bei Anwendung der Symbolischen Methode werden alle sinusförmigen Ströme und Spannungen komplexe Effektivwerte, und der Innenwiderstand der Spannungsquelle und der Außenwiderstand des Verbrauchers sind komplex:

Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle: Die in der Spannungsquelle aufgewendete Wirkleistung ist

PE = Pi + Pa = 12 . (Ri + Ra)

und die im Verbraucher genutzte Wirkleistung

Pa = 12 . Ra'

Yq 1 !

!! fQ u· f _I

Bild 4.172 Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle für sinusförmige Größen im Bildbereich

Damit ergibt sich für den Wirkungsgrad des Grundstromkreises mit Ersatzspannungsquelle für sinusförmige Wechselgrößen dieselbe Formel wie im Gleichstromkreis (vgl. Band 1, GI. (2.207»:

Pa Pa 1 1 11 =-=---=--=----

PE Pa+Pi Pi 12 .Ri

1 11=-Ri

1+-Ra

1+ p 1+--a 12 . R a

(4.274)

Der Wirkungsgrad ist maximal, wenn Ri/Ra gegen Null geht, d.h. wenn Ri gegen Null geht, denn Ra gegen Unendlich bedeutet Leerlauf; fließt kein Strom, kann eine Energieumwandlung nicht erfolgen. Um den Wirkungsgrad der Umwandlung von der in der Spannungsquelle erzeugten elektrischen Wirkenergie in äußere Wirkenergie im Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle am größten zu bekommen, muß der Innenwiderstand der Spannungsquelle minimal sein. Bei der starkstromtechnischen Energieübertragung wird aus Gründen der Wirtschaftlichkeit ein hoher Wirkungsgrad angestrebt.

176

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:

Die in der Stromquelle aufgewendete Wirkleistung ist

pE=p·+p =U -+-2 (1 1) 1 a Rj Ra

und die im Verbraucher genutzte Wirkleistung


!q I· !

-I

z· -I II ~Q

Bild 4.173 Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle für sinusförmige Größen im Bildbereich

Damit ergibt sich für den Wirkungsgrad für den Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle für sinusförmige Wechselgrößen dieselbe Formel wie im Gleichstromkreis (vgI. Band 1, GI. 2.208):

Pa Pa 1 1 TI =-=--=--=--=---

PE Pa + Pj Pj U2/R

1 T1=--

Ra 1+-

Rj

1+- 1+---' Pa U2/Ra

(4.275)

Der Wirkungsgrad ist maximal, wenn Ra/Rj gegen Null geht, d.h. wenn Rj gegen Unendlich oder der Innenleitwert Gj gegen Null strebt. Die Abhängigkeit des Wirkungsgrades TI von Ra/R j ist also durch unterschiedliche Formeln und Verläufe beschrieben. Die im Band 1 im Bild 2.125 dargestellten Verläufe haben also auch für die Wechselstromtechnik Gültigkeit.

Anpassung

In der Nachrichtentechnik soll der Verbraucher die maximale Wirkleistung aus dem Generatorzweipol aufnehmen. Dieser Fall wird genauso wie in der Gleichstromtechnik (siehe Band 1, Abschnitt 2.4.5) Anpassung genannt, denn der Widerstand des passiven Zweipols wird an den Widerstand des aktiven Zweipols angepaßt. Die Berechnungen für die Widerstandsanpassung lassen sich auf den Grundstromkreis beschränken, weil jedes Wechselstrom-Netzwerk in einen Grundstromkreis mit aktiven und passiven Zweipol überführt werden kann. Die Grundstromkreise mit Ersatzspannungsquelle und mit Ersatzstromquelle werden im Bildbereich mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren behandelt. Der komplexe Widerstand bzw. komplexe Leitwert des aktiven und passiven Zweipols sind dann

Zj = R j + jX j = Zj· eilpj Za = Ra + jXa = Za· i Pa


Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle: Die vom passiven Zweipol (Verbraucher) aufgenommene Wirkleistung Pa soll maximal sein:

P =I2 ·R a a

mit 1= !l.q - Zi + Za

Uq und I=-r======~======~ .J (Ri + Ra)2 + (Xi + Xa)2

U2 ·R P = q a f(R X)

a (Ri + Ra)2 + (Xi + Xa)2 a' a (4.276)

Die Wirkleistung Pa ist eine Funktion der beiden Variablen Ra und Xa. Werden die ersten partiellen Ableitungen Null gesetzt, dann kann die Wirkleistung maximal sein (notwendige Bedingung):

apa 2 Ra· 2(Xi + Xa) -=-U· =0 aXa q [(Ri + Ra)2 + (Xi + Xa)2] 2

d.h. Xi + Xa = 0

oder Xa = - Xi .

ap a 2 (Ri + Ra)2 + (Xi + x a)2 - 2(Ri + Ra) . Ra -=U· =0 aRa q [(Ri + Ra)2 + (Xi + Xa)2] 2

d.h. R; + 2RiRa + R~ + (Xi + Xa)2 - 2RiRa - 2R~ = 0

oder R~ = R; + (~ + Xa)2

(4.277)

(4.278)

Wird das erste Ergebnis (GI. 4.277) im zweiten Ergebnis (GI. 4.278) berücksichtigt, dann ist

d.i. dieselbe Anpassungsbedingung wie für den Gleichstromkreis. Die hinreichende Bedingung für ein Maximum

a2 Pa ~Pa a2 Pa --. -- > =-=--::-=-aR~ ax~ aRa· aXa

mit

(4.279)

soll nicht überprüft werden. Wie die folgende Interpretation der Lösungen zeigt, existiert ein Maximum für die Wirkleistung.


Die beiden Anpassungsbedingungen lassen sich zusammenfassen:

Z =Z~ -a -1 (4.280)

Die Anpassung im Wechselstromkreis wird wegen dieser Bedingung auch komplexe Anpassung genannt:

Der komplexe Widerstand des passiven Zweipols muß gleich dem konjugiert komplexen Widerstand des aktiven Zweipols sein.

Bei Anpassung beträgt dann die im passiven Zweipol (Verbraucher) genutzte Wirkleistung:

U~.Ri P =--'----::-

amax (2. R)2

und die im aktiven Zweipol (Generator) erzeugte Leistung

PE = Pa + Pi = 12 . (Ra + R i)

U2 PE = q 2· (Ra + R)

(Ra + Ri)

(4.281)

(4.282)

Nur die Hälfte der vom aktiven Zweipol (Generator) abgegebenen Wirkleistung wird bei Anpassung im passiven Zweipol (Verbraucher) genutzt. Der Wirkungsgrad Tl beträgt also nur 50 %. In der Nachrichtentechnik wird also ein schlechter Wirkungsgrad in Kauf genommen, um eine maximale Verbraucherleistung zur Verfügung zu haben.

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle: Die vom passiven Zweipol (Verbraucher) aufgenommene Wirkleistung Pa soll maximal sein:

U2 2 P =-=U ·G a Ra a

!q mit U = ----=-

- Yi+Y a

(4.283)


Die partiellen Ableitungen

dPa dPa und

dBa dGa

lassen sich analog berechnen, Null setzen und ergeben: Die Wirkleistung Pa ist maximal, wenn sich die Blindanteile der beiden komplexen Leitwerte kompensieren

Ba = -Bi

und wenn die Realanteile der komplexen Leitwerte gleich sind:

Ga=Gi·

Die beiden Anpassungsbedingungen lassen sich wieder zusammenfassen:

y =Y~ -a -1

(4.284)

(4.285)

(4.286)

Die komplexe Anpassung bedeutet, daß der komplexe Leitwert des passiven Zweipols gleich dem konjugiert komplexen Leitwert des aktiven Zweipols ist. Bei Anpassung beträgt dann die im passiven Zweipol (Verbraucher) genutzte Wirkleistung:

P = I~. Gi I~ . Gi I~ amax (2.Gi 4.Gi2 =4.Gi '

I q die mit I· R. = - = U

q 1 G. q 1

(4.287)

genauso groß ist wie die genutzte Wirkleistung im Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle, wenn die aktiven und passiven Zweipole äquivalent sind. Damit ist auch die im aktiven Zweipol (Generator) erzeugte Wirkleistung PE gleich:

PE = Pa + Pi = U2 . (Ga + G)

12 PE = q . (G + G.)

(Ga + Gi)2 a 1

(4.288)

Auch für den Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle bestätigt sich, daß bei Anpassung nur die Hälfte der vom aktiven Zweipol (Generator) abgegebenen Wirkleistung im passiven Zweipol (Verbraucher) genutzt wird. Der Wirkungsgrad " beträgt nur 50 %. Bei der Überführung eines Wechselstromnetzwerkes in einen der beiden Grundstromkreise werden nach der Zweipoltheorie die Ersatzelemente U qers' !qers, Z iers' Z aers ermittelt. Die Anpassungsbedingungen lauten dann

• • Zaers = Ziers bzw. Y aers = Y iers (4.289)


Darstellung der Wirkleistungsfunktion: Da die Wirkleistung Pa und die maximale Wirkleistung Pamax für den Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle und für den Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle gleich sind, genügt es, wenn die Funktion Pa = f (Ra, Xa) interpretiert wird, denn die Funktion Pa = f (Ga, Ba) ergibt die gleichen Ergebnisse.

Eine Funktion z = f (x, y) mit zwei unabhängigen Variablen stellt im kartesischen Koordinatensystem eine Fläche im Raum dar. Die Variablen x, y und z sind reelle Zahlen, also bezogene Größen:

Mit den GI. (4.276) und (4.281) ist

U~. Ra

(Ri + Ra)2 + (Xi + Xa)2 4 · Ri ·Ra = = ---------

Pamax U~ (Ri + R)2 + (Xi + Xa)2

4R i

Ra 4·-

Ri =---~----~

Pamax (l+~~r+(Xi;iXar 4·x

z=--~-"'O'

(1 + x)2 + y2

mit Pa Ra

z=-- x=- und Pamax ' Ri

(4.290)

(4.291)

Die Fläche im Raum, die diese Funktion z = f (x, y) darstellt, ähnelt einem Berg mit einem abgeplatteten Gipfel über dem Punkt (1,0), einem steil abfallenden Hang zur y-Achse zu und einem flachen Hang in Richtung x-Achse (siehe Bild 4.174).

Bild 4.174 Räumliche Darstellung der Wirkleislungsfunktion


Die räumliche Darstellung gibt nur ein verzerrtes Bild und läßt keine quantitativen Aussagen zu. Deshalb werden Schnittflächen mit z = Zo, x = Xo und y = yo festgelegt und die dort sich befindlichen Schnittkurven untersucht.

Wird z nacheinander gleich einer konstanten Zahl zwischen 0 und 1 gesetzt, dann entstehen Kurven, in deren Punkten die Wirkleistung konstant ist. Diese Kurven heißen Höhenlinien, weil sie im räumlichen Bild der Funktion Punkte gleicher Höhe enthalten. Für z = Pa/Pamax = konstant sind die Höhenlinien Kreise mit unterschiedlichem Radius und auf der x-Achse verschobenen Mittelpunkten:

(1 + X)2 + y2 = 4x z

2 4x 2 Y + 1 + 2x - - + x = 0 z

r + x2 - 2x . (~- 1) + (~- 1 J = (~- 1 r -1

r + lX - (; - 1 J = ~ -; + 1 - 1

y2 + (x - xM)2 = ~ . 2 1 mIt xM =--

z

und r = 2 . V ~ G--1) .

(4.292)

Pa Für z = --= 1 ... 0,5 ergeben sich dann folgende kreisförmige Höhenlinien

Pamax (siehe Bild 4.175):

z 1 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

XM 1 1,11 1,22 1,5 1,86 2,33 3,0

r 0 0,47 0,70 1,12 1,56 2,11 2,82

Parallel zu der z, y-Ebene und der z, x-Ebene sind die Ebenen für die Anpassungsbedingung Ra = Ri und Xa = - Xi interessant. Die Gleichungen der Schnittkurven (siehe Bild 4.175) ergeben sich nach GI. (4.291)

4 z = f(l, y) =--4+y2

(4.293)

y 0 ±0,25 ±0,5 ±0,75 ±1,0 ±1,5 ±2,0

z 1 0,985 0,941 0,877 0,8 0,64 0,5

182

und mit

Xj+Xa y =Yo= = 0:

R 4 · x

z=f(x,O) =-~ (1 + x)2 I

x ° 0,25 0,5 0,75 1,0

z ° 0,64 0,89 0,98 1,0

Xi' Xa 1 y= - -Ri

" ~a?Ia:-;;: " ><

" N

E

Wie in den Bildern 4.174 und 4.175 zu ersehen , ist der Maxima-Gipfel der Funktion z = f (x , y) nicht spitz, sondern abgeplattet. Deshalb darf die Widerstandsanpassung relativ ungenau sein, ohne daß eine große Abweichung vom Maximalwe r t h ingenommen werden muß, wie folgendes Beispiel zeigt.

N

ci

1,5

1,0

0,5

- 0,5

-1,0

- 1,5

-2, 0

1,0

0,9

0,8

0,7

1,25

0,99

0:>

I I

~~I "I ><


1,5

0,96

(4.294)

2,0 3,0

0,89 0,75

z = fix, 0 I

mit y = Xi +Xa = 0 Rj

0,2 tf-----,J-_f_---- - - -OO(

Bild 4.115 Schnittkurven der Wirkleistungs{unktion

N I

I O~-_r--+_f_-~--,_--

o 0,5 1,5


Beispiel: In einem Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle sind gegeben:

Uq =20V

~a = Ra + j . Xa = 1O!2+ j . 10 0

~ i = Ri + j . Xi = 100- j . 100

183

Mit GI. (4.280) ist die Anpassungsbedingung erfüllt, so daß die Wirkleistung am passiven Zweipol maximal ist:

2

Pamax=~= (20V)2 =lOW. 4·Ri 4·100

Weicht der ohmsche Anteil des Außenwiderstandes Ra um -10 % vom ursprünglichen Wert von 10 0 ab, dann beträgt die Abweichung der Wirkleistung vom Maximalwert nur 0,28 %, wie folgende Rechnung zeigt:

Ra 90 x= Ri = 10 0 =0,9 Y= 0 Z=~= 4·0,9 =09972

(1 + x)2 (1 + 0,9)2 '

Die Wirkleistung beträgt dann Pa = Z· Pamax = 0,9972·10 W = 9,972 W.

Bei einer Abweichung von + 10 % ist mit x = 11/10 = 1,1 die Wirkleistung gleich 9,977 W. Weicht der Blindanteil des Außenwiderstandes Xa um - 10 % vom ursprünglichen Wert von 10 0 ab, dann beträgt die Abweichung der Wirkleistung vom Maximalwert nur 0,25 %, wie berechnet werden kann:

x=l Z=_4_= 4 =0,9975 4+y2 4+ (-0,1)2

Die Wirkleistung betragt dann Pa = Z· Pamax = 0,9975·10 W = 9,975 W.

Bei einer Abweichung von + 10 % ist mit y = (-10 + 11)/10 = + 0,1 die Wirkleistung gleich.

Weichen ohmscher Anteil und Blindanteil jeweils um - 10 % von den gleichen ursprünglichen Werten ab, dann beträgt die Abweichung der Leistung 0,55 %:

x=0,9 y=-O,l 4·x Z=---=-----=-

(1 + x)2 + y2 4 . 0,9 = 0,9945

(1 + 0,9)2 + (- 0,1)2

Die Wirkleistung beträgt dann Pa = Z· Pamax = 0,9945·10 W = 9,945 W. Bei einer Abweichung um jeweils + 10 % ist die Wirkleistung gleich 9,945 W.

Diese Ergebnisse können im Schnittlinienbild der Funktion z = fex, y) kontrolliert werden (siehe Bild 4.175).

Übungsaufgaben zum Absdmitt 4.7

4.33 Für einen verlustbehafteten kapazitiven Wechselstromwiderstand soll die Augenblicksleistung p nach GI. (4.205) als Überlagerung des Wirkanteils P (1 - cos2rot) und des Blindanteils - Q . sin2rot dargestellt werden, wenn die Scheinleistung S = U . I = 2 kV A und die Phasenverschiebung <p = - rr/3 bzw. - 600 betragen.

4.34 An einen passiven Zweipol wird eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert U = 220 V und der Frequenz f = 50 Hz angelegt, wodurch sich ein sinusförmiger Strom mit dem Effektivwert I = 9,1 A mit einer Phasenverschiebung <p = 6QO einstellt. 1. Ermitteln Sie die Ersatzschaltbilder mit den Ersatzelementen. 2 Errechnen Sie die Wirkleistung, die Blindleistung und die Scheinleistung für die beiden

Ersatzschaltbilder .

4.35 Durch eine Magnetspule fließt bei einer Spannung U = 110 V mit der Frequenz f = 50 Hz ein Strom von 5;2 A bei einem Leistungsfaktor cos <p = 0;25. 1. Berechnen Sie die Scheinleistung, die Wirkleistung und die Blindleistung. 2 Für die Parallelschaltung (Ersatzschaltung) ermitteln Sie dann die Wirkkomponente und

die Blindkomponente des Stroms. 3. Berechnen Sie schließlich für die Reihenschaltung (Ersatzschaltung) den Scheinwider

stand, den ohmschen Widerstand, den induktiven Widerstand und die Induktivität.

4.36 Zwei Kondensatoren sind parallel geschaltet und liegen an einer Spannung von 220 V, 50 Hz. Der eine Kondensator hat eine Kapazität Cp1 = 121JF und eine Verlustieistung P1 = 1,2 W, der andere eine Kapazität Cp2 = 41JF und eine Verlustleistung P2 = 0,8 W. 1. Berechnen Sie die Verlustfaktoren dC1 und dC2 der beiden Kondensatoren. 2 Entwickeln Sie die Formel für den Verlustfaktor dcder Parallelschaltung in Abhängigkeit

von den beiden Kapazitäten Cp1 und Cp2 und berechnen Sie den Verlustfaktor mit den angegebenen Zahlenwerten.

3. Kontrollieren Sie das Ergebnis für dc über die Leistungen.

4.37 Für den Praktischen Parallel-Resonanzkreis (Bild 4.108) sind die Leistungen zu berechnen, wenn die anliegende Spannung gegeben ist. 1. Entwickeln Sie die Formeln für die Wirk- und Blindleistung über die komplexe Leistung. 2 Kontrollieren Sie die Formeln mit Hilfe der Transformationsgieichungen. 3. Berechnen Sie die Wirk- und Blindleistung mit

Rrz=l00n Lr=O,IH U =20Vmitro= l000s-1 .

4.38 In der dargestellten Schaltung sind die Spannung u, die Kapazität Cp und die ohmschen Widerstände RCp und R gegeben:

U=220V, f=50Hz R=20n

Rep = 100 n c;, = 60 IJF.

u


1. Berechnen Sie die Wirk- und Blindleistung, nachdem Sie die Parallelschaltung in die äquivalente Reihenschaltung transformiert haben.

2. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit dem komplexen Widerstand der Schaltung.

4.39 Für die Drei-Amperemeter-Methode sind das Zeigerbild und die Formeln für die Wirkleistung P, den Leistungsfaktor cos<p und die Blindleistung Q zu entwickeln.


4.40 Mit Hilfe der Drei-Voltmeter-Methode lassen sich nicht nur die Wirk- und Blindleistung eines WechseItromwiderstandes bestimmen, sondern auch die Ersatzelemente einer verlustbehafteten Spule Rr und Lr. Bei einem Vorwiderstand Rv = 200 n wurden bei f = 50 Hz fol-gende Effektivwerte gemessen:

Ut = 220 V U2 = 90 V U3 = 160 V ~ R 3 1!L3 --

1. Zeichnen Sie ein quantitatives Zeigerbild für sämt· liehe Spannungen und den Strom und lesen Sie UR3 und UL3ab. -JJ 2

• ..

\1.1 2. Berechnen Sie aus den Ergebnissen des Zeigerbildes R r und Lr .

3. Kontrollieren Sie die Ergebnisse rechnerisch, indem Sie zunächst den Leistungsfaktor ermitteln.


4.41 Für einen Einphasenmotor für U = 220 V, f = 50 Hz mit der Wirkleistung von 5 kW und einem Leistungsfaktor coslj> = 0,85 soll mit einem parallel geschalteten Kondensator der Leistungsfaktor auf 1 angehoben werden. 1. Berechnen Sie die Blindleistung und die notwendige Kapazität. 2. Berechnen Sie die Stromaufnahme vor und nach der Kompensation. 3. Kontrollieren Sie das Ergebnis durch ein Zeigerbild. 4. Wie groß wäre die notwendige Kapazität eines Kondensators bei welcher Spannung, wenn

bei 220 V Netzspannung eine Reihenkompensation vorgenommen werden würde? Kontrollieren Sie das Ergebnis mit dem Kapazitätsverhältnis.

4.42 Ein Transformator ist bei U = 220 V, f = 50 Hz maximal mit 200 kVA belastbar und durch einen angeschlossenen Motor mit Pt = 150 kW, coslj>l = 0,6 überlastet. Dennoch soll noch ein zweiter Motor mit P2 = 40 kW, coslj>2 = 0,8 an den Transformator angeschlossen werden. 1. Weisen Sie nach, daß der Transformator durch den ersten Motor überlastet ist. 2. Untersuchen Sie, ob beide Motoren angeschlossen werden können, wenn eine Blind

leistungskompensation erfolgt. Berechnen Sie die Blindleistungen und die notwendigen Kapazitäten für die Parallel- und Reihenkompensation.

4.43 Der aktive Zweipol in der gezeichneten Schaltung soll an den passiven Zweipol, dessen Bauelemente gegeben sind, angepaßt werden.

1. Entwickeln Sie aus der Anpaßbedingung die Formeln für Rj und Li, indem Sie den komplexen Widerstand des passiven Zweipols ermitteln.

2. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die Parallelschaltung des Kondensators in die äquivalente Reihenschaltung überführen.

4.44 1. Für die gezeichnete Schaltung ist der Außenwiderstand ?:a gesucht, der an den aktiven Zweipol angepaßt werden kann.

2. Entwickeln Sie die Formel für die maximale Leistung, die der passive Zweipol aus dem aktiven Zweipol aufnimmt.

3. Berechnen Sie ?:a und Pamax CUr

Uq = 9 V bei f = 3000 Hz

Rj =4il

RLr = 6 n Lr = 424 j.IH

Rcp = 500 n Cp = 10,6 ~F


RLr j wLr

1 jw(p


JJ I n

186

5 Ortskurven

5.1 Begriff der Ortskurve

Zeigerbild und Ortskurve

Durch ein Zeigerbild wird ein bestimmter Betriebszustand eines Wechselstromnetzes bei konstanten Parametern (Amplituden und Frequenz der einspeisenden sinusförmigen Quellspannungen und Quellströme, Netzparameter R, L, Mund C) durch komplexe Effektivwerte von Strömen und Spannungen beschrieben. Komplexe Widerstände und komplexe Leitwerte von Wechselstromschaltungen lassen sich ebenfalls durch Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene darstellen, wenn die Frequenz und die Netzparameter konstant sind. Mit variablen Parametern ändern sich die Zeigerbilder mit komplexen Effektivwerten und entsprechend die Zeigerbilder für komplexe Widerstände und komplexe Leitwerte. Wird nur die Änderung einer bestimmten Größe des Wechselstromnetzes infolge der Änderung eines Parameters untersucht, dann entsteht für diese Größe eine Menge von Zeigern. Die Zeigerspitzen werden verbunden, die Kurve der Zeigerspitzen wird Ortskurve genannt. Jede Ortskurve wird mit reellen Parametern p versehen. Im Ortskurvenpunkt für p = 1 endet der Zeiger, der dem Ausgangszustand der untersuchten Größe entspricht. Zu den Ortskurvenpunkten für p '# 1 gehören die Zeiger, die den geänderten Anteil der untersuchten Größe bezogen auf den Ausgangszustand berücksichtigen. Durch Ortskurven lassen sich also verschiedene Betriebszustände eines Wechselstromnetzes, d.h. bei geänderten Parametern, in einem Bild erfassen.

Beispiele: 1. Ortskurve des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung eines variablen ohmschen

Widerstandes Rr = P . Rrü mit dem Parameter 0 :s; p < 00 und einer konstanten Induktivität Lr bei konstanter Kreisfrequenz 00:

Die Ortskurvengleichung lautet

~= joo Lr + p . Rrü

Bild 5.1 Ortskurve des komplexen Widerstandes der RJL-Reihenschaltung bei variablem ohmschen Widerstand

5.1 Begriff der Orts kurve

2. Ortskurve des bezogenen komplexen Wider-standes des Reihenschwingkreises mit

~r 0

-=1 +J oQrovr Rr

und des bezogenen komplexen Leitwerts des Parallelschwingkreises mit

~ - = 1 + j 0 Qp 0 vp Gp

bei veränderlicher Frequenz f.

Bei der Behandlung der Bandbreite bei 45°-Verstimmung wurden jeweils drei Ortskurvenpunkte berechnet (siehe Abschnitt 4.5, Bilder 4.94 und 4.105).

o

- j

187

Ortskurve tür fr/R r

fo und Xp/G p

Bild 5.2 Ortskurve des bezogenen komplexen Widerstandes und des bezogenen Leitwerts eines Schwingkreises

Die zu untersuchende Größe, für die die Ortskurve entwickelt werden soll, kann der komplexe Effektivwert eines Stroms oder einer Spannung, ein komplexer Widerstand oder ein komplexer Leitwert, ein Spannungsverhältnis oder ein Stromverhältnis, ein Frequenzgang u.ä. sein.

Allgemeine Ortskurvengleichung Die allgemeine Form der Ortskurvengleichung lautet

o = A + P . B + p2. C + p3 0 D + ... , - A' + P . B' + p2. C' + p3. D' + .. .

(5.1)

wobei p ein reeller Parameter und A, A', B, !!.', C, C', D, D', ... komplexe Größen sind.

(Anmerkung: Die mit einem Strich versehenen komplexen Größen sollen selbstverständlich keine differenzierten Größen sein. Um Mißverständnisse zu vermeiden, werden bei den folgenden Ortskurvengleichungen keine Striche mehr verwendet)

Beispiel: FOr das angegebene Beispiel 1 ist

o =~=jroLr+P 0 RrO

mit A = j ro Lr !! = RrO C = D = 0 •• = 0

A'= 1 und B' = C' = D' = .. . = 0

Ermittlung der Ortskurve

Jeder Punkt der Ortskurve könnte für ein gewähltes p errechnet und in der Gaußschen Zahlenebene eingetragen werden. Die Punkte verbunden ergeben die Ortskurve. Bei Ortskurven höherer Ordnung bleibt auch nichts anderes übrig, als die Ortskurve auf diese Weise zu ermitteln, weil sie nicht konstruiert werden kann. Sind die Ortskurven einfach wie Geraden, Kreise und Parabeln oder handelt es sich um überlagerte einfache Ortskurven, dann sollten die Ortskurven nach Konstruktionsanleitungen konstruiert werden. Beispielsweise wäre die punkt-

188 5 Orts kurven

weise Ermittlung eines Kreises als Ortskurve zu aufwendig und ungenau. Einfacher und genauer läßt sich ein Kreis durch Bestimmung der Mittelpunktslage und des Radius zeichnen. Bei der Überlagerung von einfachen Ortskurven werden zunächst die einfachen Ortskurven konstruiert und anschließend die Zeiger für gleiche Parameter p überlagert. Bei der Ermittlung einer Ortskurve sollte nach folgenden Schritten vorgegangen werden:

1. Ermittlung der Gleichung für die Größe, für die die Ortskurve ermittelt werden soll.

2. Einführung des Parameters p in den variablen Teil der Größe, wodurch sich die Ortskurvengleichung ergibt.

3. Konstruktion der Ortskurve, falls es sich um eine einfache Ortskurve oder um überlagerte einfache Ortskurven handelt.

Gerade: G = A + P . B

Kreis durch den Nullpunkt: K = l = 1 - G A+p'~

Kreis in allgemeiner Lage:

Parabel:

zirkulare Kubik:

(d.i. die Überlagerung eines Kreises mit einer Geraden)

oder

Berechnung der einzelnen Ortskurvenpunkte bei Variation des reellen Parameters p. Hierbei genügen meist einige Ortskurvenpunkte für ganze p, um den Verlauf der Ortskurve zu erkennen. Zwischenwerte der Ortskurve für gebrochene p-Werte lassen sich nachträglich errechnen und in das Ortskurvenbild eintragen.

5.2 Ortskurve "Gerade"

Gleichung in allgemeiner Form und Darstellung

G = A + P . ~ (5.2)

mit - 00 < p < 00

speziell:

G = A + (p -~)- B (5.3)

mit 0< p < 00.

Die Ortskurve geht durch die Spitze des Zeigers A mit p = 0 (speziell: p = 1) und verläuft parallel zum Zeiger B.

Bild 5.3 Ortskurve "Gerade" Q = ~ + p . ~

5.2 Ortskurve "Gerade" 189

Konstruktionsanleitung

Zuerst werden die Zeiger A und !! gezeichnet, dann wird parallel zum Zeiger !! eine Gerade gezeichnet und schließlich werden mit der Länge des Zeigers!! die Parameter p = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... eingetragen. Kann der Parameter p nur Null und positive Zahlen annehmen, dann besteht die Ortskurve aus einer entsprechenden Teilgeraden. Bevor die Ortskurve gezeichnet wird, sollte überprüft werden, ob der Parameter auch negativ werden kann.

Beispiel 1: Ortskurve des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung zweier Spulen. bei der die eine Spule veränderlich ist:

Rr1 = 5000 Lr1 = 1 mH

Rr2 = 200 ... 2000 0 LrF2 ... 20mH beif=50kHz

~ = Rr1 + jco Lr1 + Rr2 + jcoLr2 mit Rr2 = p. RrO RrO = 200 0

Lr2 = p . LIO LIO = 2 mH

p=1...l0

~ = Rrl + j co Lrl + P . (RIO + j co LrO )

wobei A = Rr1 + j co Lr1 und !! = RIO + j co Lro

~ = 500 n + j . 27t· 50·103 s-l . 1 . 10- 3 H +

+ p . (200 0 + j . 27t . 50 . 103 s-l . 2 . 10- 3 H)

~ = (500 + j . 314) 0 + P . (200 + j . 628) 0

mit p= 1 ..... 10

Beispiel 2: Ortskurve der Spannung Ober der Reihenschaltung eines konstanten ohmsehen Widerstandes und einer variablen Kapazität bei konstantem Strom:

~ = (Rr + j . Xr) .! = ( Re - j . co ~r J'! Die Spannung nimmt mit größer werdender Kapazität ab bzw. mit größer werdendem Blindanteil des komplexen Widerstandes zu:

U = R.I-j. 1 .1 - r - co . p.CrO

mit Cr=P'~

Um auf die allgemeine Form der Geradengleichung zu kommen. muß ein Parameter p* eingeführt werden. der reziprok zu p ist:

U = R . I+p* · j. XIO·I = R ·1 +p*. (_-.l..:.L) - r_ - r_ co.CrO

1 X-I mit p* = - und Xr = p* . IO = p* . ---p co· Cro

Rr1 Lr l

j ·6000

j.5000

j 4000

j· 3000

j.2000

j ,1000

o

p = 10

Ortskurve f ür ~

3000n

Bild 5.4 Schaltbild und Ortskurve der Reihenschaltung einer konstanten und einer veränderlichen Spule

11 (0 , I

=-J ---wCro

p·=O 1

!! R=Rd P =(0

p"=1 p = 1

p~=2 p = 1/2

Orts kurve für !!

p"=J p=1/3

Bild 5.5 Ortskurve der Spannung am Kondensator bei variabler Kapazität

190 5 Ortskurven

Die Ortskurve für die Spannung am Kondensator beginnt auf der reellen Achse bei der ohmschen Spannung UR = Rr . I und verläuft parallel zur negativen imaginären Achse. Als Parameter können sOwohl p äls auch p* verwendet werden, die nur positive Zahlen annehmen, weil negative Kapazitäten ausgeschlossen sind.

Die Ortskurve für die Spannung an der Reihenschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer variablen Induktivität beginnt auf der reelen Achse bei U rund verläuft parallel zur positiven imaginären Achse.

Entsprechendes gilt für die Ströme durch die Blindwiderstände von Parallelschaltungen von Rp und variablen Lv bzw. Cp, wenn die anliegende Spannung konstant ist.

Beispiel 3: Ortskurven des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung eines variablen ohmschen Widerstandes, einer konstanten Induktivität, einer konstanten Kapazität bei konstanter Frequenz und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung eines variablen ohmschen Widerstandes, einer konstanten Induktivität, einer konstanten Kapazität bei konstanter Frequenz:

Reihenschaltung

~~ Rr=p·R ro jwLr jW(r

o ~ p< 00

Ortskurven für brmi t X r ~ 0 :

p=O p=1 P = 2 Xr > 0

jX r

p=O p= l p=2 0 r Xr = 0

jX r

p= 2 Xr < 0

Parallelschaltung:

:'!:.p = ~ +j. Bp P

:'!:.p=_l_+ j . (roCp __ 1_) p. RpO wLp

L O::p<oo

jwLp

Ortskur'len f ür ypmit 8p~ 0 :

Bild 5.6 Ortskurven von Schwingkreisen mit variablem ohmschen Widerstand

5.2 Ortskurve "Gerade" 191

Beispiel 4: Ortskurven des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer variablen Induktivität oder einer variablen Kapazität bei konstanter Frequenz:

Reihenschaltung

~ r = Rr + j . Xr = Rr + P . j , XrQ

mit Xr = P . XrQ und 0 ~ p < 00

Xr=p · (wLro»O

p>o

i'-__ R.:...r ----o.....,.p_=_O_ r

Xr =p( __ l- )<0 w(ro

p = 0 r

p>O

Parallelschaltung:

1:. p == Gp + j. Bp = Gp + p . j . BpO

mit Bp = P . BpO und 0 ~ P < 00

p> 0

p=o r

1 Bp= P·( - -L-) < 0 W po

Q Gp P=O r

p>O

Bild 5.7 Ortskurven des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung von ohmschen Widerständen und veränderlichen Blindwiderständen

Beispiel 5: Ortskurven des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer konstanten Induktivität oder Kapazität bei variabler Frequenz ro = p . roo mit 0 ~ P < 00:

Reihenschaltung:

~ r = Rr + j · Xr

~ r = Rr + j ro ~ Z r == Rr _ j ,_1_ - roCr

~r = Rr + jproo Lr Zr = Rr - j __ l_ proO Cr

X = __ '_ <0 r p woC r

<>-----C:J--1~ Rr ---

j P Wo ( r

R r p = 00

~r

Parallelschaltung:

1:.p = Gp + j . Bp

1:.p = Gp + j · roCp 1:.p = Gp _j. _ l -roLp

1:.p = Gp + jprooCp 1:.p = Gp _j __ l _ proO Lp

B = __ '_ <0

6 Gp P = 0 r

Gp P=OO

p- o

+ Bild 5.8 Ortskurven des komplexen Widerstands der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung von ohmschen Widerständen und konstanten Induktivitäten oder Kapazitäten bei veränderlicher Frequenz

192 5 Ortskurven

Beispiel 6: Ortskurven des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung und des komplexen Leitwerts der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes, einer konstanten Induktivität und einer konstanten Kapazität bei variabler Frequenz 00 = p . WO mit 0 < P < 00: Die Kreisfrequenz 00 muß auf die Resonanzkreisfrequenz Wo des Reihen- bzw. Parallelschwingkreises bezogen werden, damit der variable Imaginärteil Null werden kann.

Reihenschaltung

~r=Rr+i · Xr

~r=Rr+i ' ( WLr--1-) wCr

~r=Rr+i'(P OOoLr--1-) pwO Cr

mit 000= __ 1_ ,JLrCr

~r = Rr + i · Xkr' ( p-;)

mit dem Kennwiderstand

Xkr=OOoLr =_1_= rc; wOCr ~ ~

(vgl. Abschnitt 4.5.1, GI. 4.115)

Parallelschaltung:

rp=Gp+i ' Bp

r p = Gp +i' (WCp __ 1_) wLp

rp=Gp+i . (pwo Cp--_1-J pwO Lp

mit Wo= 1 ,JCpLp

rp=Gp+i ' Bkp ·( p-;)

mit dem Kennleitwert:

B -(,\nC _ 1 -~P kp--u p---- -woLp Lp

(vgl. Abschnitt 4.5.2, GI. 4.139)

Der Parameter p entspricht also dem Parameter x in den Gleichungen 4.116 und 4.140:

Xr = Xkr ,(p-;) =Xkr · vr Bp = Bkp ' (p-;) = Bkp ' vp

Bei Resonanzkreisfrequenz Wo ist der komplexe Widerstand ~r gleich dem ohmschen Widerstand Rr und der komplexe Leitwert r p gleich dem ohmschen Leitwert Gp. Bei höheren Frequenzen 00 als wO sind die Imaginärteile positiv, bei niedrigeren Frequenzen 00 als Wo sind die Imaginärteile negativ:

P>1 Rp o--c=J I~

Rr jwLr _. _1_ f.r 1 jW(r jw(p

Rr p=1 jWlp W = P ' Wo

oder p=~ Wo W = p . Wo

oder p=~ p< 1 Wo p<1

Bild 5.9 Ortskurven des komplexen Widerstandes des Reihenschschwingkreises und des komplexen Leitwerts des Parallelschschwingkreises bei veränderlicher Frequenz

5.3 Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt" 193

5.3 Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt"

Gerade und Kreis durch den Nullpunkt

Die Ortskurve des veränderlichen komplexen Widerstandes ~f einer Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen und des veränderlichen komplexen Leitwerts Y p einer Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen sind Geraden mit der Ortskurvengleichung

G = A + P . B bzw. G = A + (p - ~)- J!

Der veränderliche komplexe Leitwert Y f der Reihenschaltung und der veränderliche komplexe Widerstand Z p der Parallelschaltung bedeutet mit

Y =_1 und Z =_1_ -f Z -p Y

-f -p

eine Inversion der Geraden, der sogenannten Nennergeraden (Q steht im Nenner):

K =!. = 1 mit _ 00 < p < 00 (5.4) - G A+p·B

und speziell

K=!.= 1 - G (1) - A + P-p . B mit 0< p < 00. (5.5)

Die ürtskurve, die durch die Kehrwertbildung (Inversion) der Geradenzeiger entsteht, ist ein Kreis durch den Nullpunkt, wie im folgenden nachgewiesen werden soll.

Nachweis Jar die Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt"

Die Ortskurvengleichung

1 K = ...,-----=-- A+p·B

besteht aus den Zeigern A = A· ein, J! = B . eiß und K = K· eil<:. K ist der Kreiszeiger, der im Koordinatenursprung beginnt und mit dem variablen Parameter p in den entsprechenden Kreispunkten endet. Werden Zähler und Nenner durch A dividiert, dann ergibt sich

1 Ko

=---1+p· ~

194 5 Ortskurven

Ko ist der Kreiszeiger für p = 0, wie aus der Kreisgleichung zu ersehen ist. Er liegt auf dem Strahl vom Koordinatenursprung mit dem Winkel - a und hat den Betrag 1/A. Wird der Nenner 1 + p~ auf die linke Seite gebracht, dann ergibt sich eine Gleichung von drei Zeigern:

oder

K + p~' K = Ko

K +D = K o

mit

und

wobei

bzw.

D = P . C. . K = D . ei 0 = D . ei (0 + 21t)

Pe = D = D . ei (0 -lC) - K K

pc. = pe . ei 'Y = pe . ei (ß - a)

Y=Ö-K

X + Y= Ö = Ö + 21t

p=o Bild 5.10 Kreis durch den Nullpunkt: Ortskurvengleichung und Darstellung

Die drei Zeiger K , D und Ko bilden ein geschlossenes Dreieck. Wird der Parameter p variiert, dann ändern sich die beiden Zeiger Kund D , der Zeiger K 0

bleibt unverändert. Der Winkel Y, der zwischen den Zeigern D und K liegt, bleibt bei Variation des Parameters p ebenfalls unverändert, weil er durch ß und a feststeht. Sind von einem Dreieck eine Seite Ko = 1/ A und der gegenüberliegende Winkel 1t - Y bei Variation der beiden übrigen Seiten Kund D konstant, dann liegt das Dreieck in einem Kreis, denn über einer Sehne Ko eines Kreises bleibt der gegenüberliegende Peripheriewinkel 1t - Y konstant.


Herleitung der Konstruktionsvorschrift

Ein Kreis, der durch den Koordinatenursprung verläuft, ist allein durch die Lage des Mittelpunktes M bestimmt, denn der Radius ist dann durch die Strecke MO festgelegt. Aus den gegebenen Zeigern A und !! der Ortskurvengleichung muß also die Lage des Kreismittelpunktes eindeutig ermittelt werden können: Der Mittelpunkt M ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf dem Kreiszeiger Ko = lIA und des Lotes auf der Kreistangenten im Koordinatenursprung, die mit der Richtung des konjugiert komplexen Zeigers !!* und des negativen konjugiert komplexen Zeigers -!!* übereinstimmt.

p=o Bild 5.11 Herleitung der Konstruktionsvorschrift der Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt"

Aus dem Zeiger A läßt sich der konjugiert komplexe Zeiger A * durch Spiegelung an der reellen Achse ermitteln. Damit liegt die Gerade fest, auf der der Kreiszeiger Ko liegt, denn die Zeiger A* und Ko = VA haben die gleiche Richtung. Auf dieser Geraden wird im Abstand O,5/A = lI2A die Senkrechte, die Mittelsenkrechte auf K 0 ' gezeichnet.

Aus dem Zeiger !! kann ebenfalls durch Spiegelung an der reellen Achse der konjugiert komplexe Zeiger !!* bestimmt werden. Dieser liegt auf der Tangente, auf der im Koordinatenursprung die Senkrechte zu bilden ist. Daß die Zeiger !!* bzw. - B* auf der Kreistangenten im Koordinatenursprung liegen, muß noch nachgewiesen werden: Bei einem Kreis ist der Peripheriewinkel 1t - Y gleich dem Sehnen-TangentenWinkel, der zwischen der Sehne Ko und der Tangente liegt. Zwischen der Tangente und der reellen Achse tritt damit der Winkel (1t - y) - a auf, der gleich dem Argument des negativen konjugiert komplexen Zeigers - B* ist:

(1t - y) - a = 1t - (y + a)

mit y=ß-a bzw. ß=y+a

(1t-y)-a=1t-ß

-B*=-B·e-i!3=B·ej(7t-!3) mit e i7t =_l.

196 5 Ortskurven

Die konjugiert komplexen Zeiger A * und !!*, die das Zeichnen des Kreises ermöglichen, bilden die gespiegelte Nennergerade

G*=A*+p·B* (5.6)

Diese verläuft parallel zum Zeiger !!*, so daß auch auf der gespiegelten Nennergeraden die Senkrechte gezeichnet werden kann, um den Mittelpunkt zu erhalten.

Die gespiegelte Nennergerade muß gezeichnet werden, weil mit ihrer Hilfe die Parameter p auf dem Kreis gefunden und eingetragen werden können. Für einen bestimmten Parameter p haben der Zeiger an den Kreis K und der Zeiger an die gespiegelte Nennergerade G* die gleiche Richtung, wie folgende Gleichung zeigt:

K = K· ejK=~=_l_=~. ejK=_l_. G*. - G G e- jK G2 G2 -

(5.7)

Die beiden Zeiger Kund G* für einen gleichen Parameter p unterscheiden sich nur durch ihren Betrag, also durch ihre Länge. Punkte des Kreises K und der konjugiert komplexen Nennergeraden G* mit gleichen p-Werten liegen deshalb jeweils auf einer Geraden, die durch den Koordinatenursprung geht. Die p-Werte auf dem Kreis werden also mit Hilfe eines Lineals ermittelt, das an den Koordinatenursprung 0 und an die Punkte der Geraden G* angelegt wird. Die Parameterwerte der Geraden G* werden dann jeweils auf den Kreis übertragen.

Bild S.U Ermittlung der Parameterwerte auf der Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt" mit Hilfe der konjugiert komplexen Nennergeraden

Die Geraden durch den Koordinatenursprung 0 zur Bestimmung der p-Werte des Kreises sind im Bild 5.12 nur zum besseren Verständnis der Zusammenhänge eingetragen. Sie werden selbstverständlich bei den Ortskurvenkonstruktionen weggelassen, damit das Ortskurvenbild übersichtlich bleibt. Die auf den Kreis zu übertragenden p-Werte werden auf dem Kreis nur markiert.


Konstruktionsvorschrift für die Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt"

Bei Konstruktion der Ortskurve eines Kreises, der durch den Koordinatenursprung verläuft, sollte nach Erkennen der Ortskurvengleichung

K = 1 1 bzw. K = 1 = l - A + P'!i G - (1) G A+p-p'!i -

nach folgenden Schritten vorgegangen werden (siehe Bild 5.13):

Nachdem auf der reellen und imaginären Achse gleiche Maßstäbe gewählt sind, kann mit der Konstruktion begonnen werden.

1. Zeichnen der Nennergeraden G = A + P . .a. 2. Spiegelung der Nennergeraden an der reellen Achse ergibt G* = A* + P . B*. 3. Zeichnen der Senkrechten auf der gespiegelten Nennergeraden G*, die durch

den Nullpunkt verläuft. 4. Berechnen von 1/2 A, Festlegen des Maßstabs für 1/2 A und Zeichnen der Senk

rechten auf A* im Abstand 1/2 A. (Die Festlegung der Länge von 1/2 A bestimmt die Größe des Kreises) .

5. Schnittpunkt der beiden Senkrechten ergibt den Mittelpunkt M des Kreises. Zeichnen des Kreises mit dem Radius MO.

6. Bezifferung des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G*.

Bild 5.13 Konstruktion der Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt"

198 5 Ortskurven

Beispiel 1: Ortskurve des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung zweier Spulen, bei der die eine Spule veränderlich ist:

Rr1 = 23 n Rr2 = 0 ... 36 n

Xrl = Ion mit RrO= 12n

XrO=22n d.h. p=0 .. . 3

Die Gleichung der Nennergeraden lautet:

~ = Rr1 + j . Xr1 + P . (RrO + j . XrO) = (23 + j . 10) n + p . (12 + j . 22) n

Die Inversion der Nennergerade ergibt die Kreisgleichung:

y=.!..= 1 1 - ~ Rr1 + j . Xr1 + P . (RrO + j . XrO) (23 + j . 10) n + p . (12 + j . 22) n

eon ltO mS

Bon ltOmS

Dabei ist

Bild 5.14

A = (23 + j . 10) n,

A = ,J 232 + 102 n = 25 n und 1I2A=20mS~2cm.

Schaltung und Ortskurven der Reihenschaltung einer konstanten und einer veränderlichen Spule

Sowohl die Ortskurve des komplexen Widerstands als auch die des komplexen Leitwerts ist nur für positive Parameter sinnvoll. Die Ortskurvenpunkte des komplexen Leitwerts lassen sich rechnerisch kontrollieren:

p = 0: ~O = (23 + j . 10) n

~O 1 (23 - j- 10) n

(23 + j . 10) n (23 - j . 10) n (23 - j . 10) n = (36,6 - j . 15,9) mS

629n2


p = 1: ~l = (23 + j . 10) 0 + 1 . (12 + j . 22) 0 = (35 + j . 32) 0

.rl 1 (35 - ( 32) 0 (35 - j . 32) 0 (15,6 _ j . 14,2) mS (35 + j . 32) 0 (35 - j . 32) 0 224902

P = 2: ~2 = (23 + j . 10) 0 + 2 . (12 + j . 22) 0 = (47 + j . 54) 0

Y2= 1 (47-(54)0 (47 - j·54)0 (9,2-j . 10,5)mS - (47 +j' 54) 0 (47 -j. 54)0 512502

P = 3: ~ = (23 + j . 10) 0 + 3 . (12 + j . 22) 0 = (59 + j · 76) 0

Y 1 (59 - j . 76) 0 (59 - j . 76) 0 = (6,4 _ j . 8,2) mS _3 (59 + j ·76) 0 (59 - j . 76) 0 9257 0 2

Beispiel 2: Ortskurve des Stroms durch die Reihenschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer variablen Kapazität bei konstanter Spannung:

oder

I U - Rr+j · Xr

U I=--==---- 1

Rr-j ·-roCr

U 1=---==---- 1

Rr-j ·_-ropCrO

1

1= ___ ----=:..1---- R ~_j . p .. __ 1_ U roCrOU

mit Cr = p . CrO = 1.- . CrO p*

Dabei sind

und

A = Rr, B=_j._1_ - U - roCrOU

1 U ---2A 2Rr

1

~ •

p" 1/3

p,,1/2

p" 1/2

p ,,0 O~====~~~~~ A M

~ 2~ "t · ~ 1 p"

p" 1/ 2

p" 113

Bild S.lS Ortskurve des Stroms durch den Kondensator bei variabler Kapazität

Bei p = 0 ist der kapazitive Widerstand unendlich groß, so daß der Strom Null ist. Wird die Kapazität sehr groß, dann ist der kapazitive Widerstand vernachlässigbar klein; bei p = 00 ist der Strom nur noch durch den ohmschen Widerstand Rr begrenzt. (vgl. mit Beispiel 2 der Ortskurve "Gerade")

200 5 Ortskurven

Beispiel 3: Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung eines variablen ohmschen Widerstandes, einer konstanten Induktivität, einer konstanten Kapazität bei konstanter Frequenz und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung eines variablen ohmschen Widerstandes, einer konstanten Induktivität, einer konstanten Kapazität bei konstanter Frequenz: (vgl. mit Beispiel 3 der Ortskurve "Gerade")

Reihenschaltung

y r = 1 - ~r Rr+j . Xr

mit A = j . Xr und _1_ = _1_ - 2A 2Xr

~~ Rr= p· Rro jwLr j wer

Ortskurv en für r rm it Xr~ 0:

1 Xr

1

Xr

P =112 -I'-1IE--~";""-:""'--r~X r = 0

Parallelschaltung:

Z = _1_= 1 -p Y 1 .

- p - +J· Bp Rp

mit A := j . Bp und _1_ := _1_ - 2A 2Bp

j wLp

Ortsku rv en für Zp mit Bp~ 0 :

p = CD

1 Bp

1 Bp

p= CD

Bp<O

1-_-+-l~P_=_l+-_....;...:r:!p:...-für B p< 0 1/2

p=1/2

p =112

F-_ -+--c1---_1+/2 __ ..,;Y:.!p:......für B p > 0

Bild 5.16 Ortskurven von Schwingkreisen mit variablem ohmschen Widerstand

Beispiel 4: Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer variablen Induktivität oder einer variablen Kapazität bei konstanter Frequenz: (vgl. mit Beispiel 4 der Ortskurve "Gerade")

Reihenschaltung

~r = 1 _ _ 1 ~ r ~ + J -Xr Rr + p - j X rO

mit Xr = P -XrO und O:s; p < 00

und A = Rr und _1_=_ - 2A 2Rr

Xr = p-(w Lrol > 0 Xr =p( __ l _ l < 0 w(ro

~r Z''' -r

p>O P>O

1 P>O

2R r

1

P>O 2R r

p>O P>O

Z~ _r .?:r

Parallelschaltung:

mit Bp = p - BpO und O:s; p < 00

1 1 Rp A=Gp und - =--=_ - 2A 2Gp 2

und

8p =P-(wC po l>O 1 Bp=p(---l< O wLpo

rp y. -p

p>O p> 0

Rp p> 0

T p=O

Rp T

p>O P>O

y" - p rp

Bild 5.17 Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung von ohmschen Widerständen und veränderlichen Blindwiderständen

202

1

5 Ortskurven

Beispiel 5: Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes und einer konstanten Induktivität oder Kapazität bei variabler Frequenz ro = p . roo mit O:!> P < 00;

(vgl. mit BeispielS der Ortskurve "Gerade")

Reihenschaltung _ 1 _ 1 .rr--- . ~r Rr+J.Xr

mit A = Rr und _1_ =_ 2A 2Rr

Xr= __ 1_< 0 P woCr

z'r z" _r

+ p-o

Parallelschaltung:

1 1 ~p=-= . .rp Gp + J ' Bp

z = _---=-1 __ -p . 1

~p

Gp - J-roLp

1

G . 1 p - J prooLp

mit ~ = Gp und _1_=_1_= ~ 2A 2Gp 2

rp

i p- oo

x~ i p-o

iRr

p_oo

+

1 2Rr

p- o

+ ~r

p=oo

Rp T

p-oo p-o

+ + y" -p r.p

Bild 5.18 Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung von ohmschen Widerständen und konstanten Induktivitäten oder Kapazitäten bei veränderlicher Frequenz

Beispiel 6: Ortskurven des komplexen Leitwerts der Reihenschaltung und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung eines konstanten ohmschen Widerstandes, einer konstanten Induktivität und einer konstanten Kapazität bei variabler Frequenz ro = p . CJl() mit 0< P < 00: (vgl. mit Beispiel 6 der Ortskurve "Gerade") Die Kreisfrequenz ro muß auf die Resonanzkreisfrequenz roo des Reihen- bzw. Parallelschwingkreises bezogen werden, damit der variable Imaginärteil Null werden kann.

Reihenschaltung Parallelschaltung:

Y r = ...!... 1 Z = _1_= 1 - ~r Rr+j · Xr - p r p Gp +j ·Bp

1 1 Yr = ~p - Rr + j . (ro Lr--1-)

roCr

1 Y r =----....::...------,-- Rr+j . (prooLr- - 1-)

proOCr

1 mit roo =---JLrCr

1 Y r =---....::...---- Rr + j . Xkr . (p -~ ) mit dem Kennwiderstand

1 1ir Xkr=roOLr=--= -roo Cr Cr

(vgl. Abschnitt 4.5.1, GI. (4.115»

w =p ·Wo

~f-;-o Rr jwLr jW(r

~ ; ~r p < 1 p> 1

p =O~ __ ~_~_~p_=l_ ) = 00 r----:,---l

P> l

p > 1 P< 1

mit dem Kennleitwert

1 1tp Bkp = rooCp =--= -rooLp Lp

(vgI. Abschnitt 4.5.2, GI. (4.139»

0 t?5d - jW1( p

0

j wLp w = P ·Wo

y' -p :rp p< 1 p> 1

p = 1

p > 1 p< 1

Bild 5.19 Ortskurven des komplexen Leitwerts des Reihenschschwingkreises und des komplexen Widerstandes des Parallelschschwingkreises bei variabler Frequenz

204 5 Ortskurven

Der Parameter p entspricht also dem Parameter x in den Gleichungen 4.116 und 4.140:

Xr = Xkr'(P-~)= Xkr ,vr Bp = Bkp ' (p-~)= Bkp ' vp

Bei Resonanzkreisfrequenz roo ist der komplexe Leitwert I.r = lI~r = lIRr und der komplexe Widerstand ~ p = 1I~ = lIGp = Rp'

Für die Konstruktion der Kreise sind jeweils die Abschnitte 1I2A zu ermitteln:

1 1 A=Rr und -=-- 2A 2Rr

Beispiel 7:

1 1 Rp A=Gp und -=--=-- 2A 2Gp 2

Ortskurve des SpannungsverhäItnisses V 2/V 1 in Abhängigkeit von der Frequenz CUr die gezeichnete RC-Schaltung: - -

1

1 . C V 2

--+Jro p Rcp

VI 1 +R 1 . C --+Jro p

Rep Bild 5.20 RC-Schaltung des Beispiels 7

V2 1 --VI I+R(R~ +jrocp)

.!:!.2 1 -VI 1+~ +jroRCp

Rep

Wird die Bezugsfrequenz roo = lIRCp gewählt und das Verhältnis der Widerstände r = RlRcp variiert, dann lautet die Gleichung für die Ortskurve:

V 2 1

VI (1+r)+jp

mit A = 1 +r

und _1_= __ 1_ 2A 2(1 + r)

Die Ortskurven sind Halbkreise, deren Mittelpunkt auf der reellen Achse verschoben sind. Im Bild 5.21 sind die beiden Ortskurven

CUr und

dargestellt.

r=1 r=O

d.h. R=Rep d.h. Rcp -t 00

j "2

1/2

' G= , ,1+ j,p ,(r=O)

, G = : 2 ~ j.p :( r =1 )

2 p= 0 p=O O+---~~--~~-------+~~

G"= G"= 1-j.p 2 - j .p

-j p= 1 p=1

Bild 5.21 Ortskurve einer RC-Schaltung im Beispiel 7

Beispiel 8: Ortskurve des Spannungsverhältnisses .!:!.2/U 1 in Abhängigkeit von der Frequenz für die gezeichnete RC-Schaltung nach Wien: (vgl. mit Beispiel 5 des Abschnitts 4.4) Gegeben sind:

Rr =5kn

Rp = 10kn

~t----t----,

~1 I R, -jW-\-r 1

1 . C -+)00 P

1 jwCp

Rp Bild 5.22 RC-Schaltung des Beispiels 8 1 1 _----'0 __ + Rr + __

1 . C jooCr -+)00 p Rp

1 1

1+( Rr + joo1c r )( ~p +jOOcp)

1 mit 00 = p . CJJo

Die Ortskurvengleichung ist vom gleichen Typ wie die Gleichungen für den Reihen- und Parallelschwingkreis (siehe Beispiel 6). Die Bezugsfrequenz 000 wird errechnet, indem der Imaginärteil der Nennergeraden mit p = 1 Null gesetzt wird:

1

oder

Mit

000 Rr<;' = 100 . 103 s-1 . 5 . 103 n . 1 . ur 9 F = 0,5

und

1 1 ~ 000 Rp Cr 100 . 103 s-1 . 10· 103 n . 2 . 10- 9 F

lautet dann die Ortskurvengleichung mit Zahlenwerten

U 2 1 1

U 1 (1+}+})+j(p.0~-~) 2+j.0~(p-~)

206

Für den Mittelpunkt des Kreises ist ~ = A = 2 und 1/2A = 1/4.

p = 1/3

(U1\'t 1 ~2) =2- j O,S(p-p}

p=ll2 p=2

j 2" 112

111

5 Ortskurven

I

t

I I

p=1/2+p=2

P=O~ __ ~r=~~ ____ -+ ______ ~~ ___ P~=~l+P~=_l ____ ~ ________ +-_ p= CD 2

p= 2 p= 1/2

- j

p=3 p= 1/3

Bild 5.23 Orts kurve der RC-Schaltung nach Wien

3

I t I

I I I

+ I

Die konstruierten Ortskurvenpunkte können rechnerisch kontrolliert werden, z.B. für p = 1/2:

1 1 2 + j- 0,75 044 + j .016

( 1 ) 2 - j . 0,75 2 + j . 0,75' , 2+j·0,5 2-2

Sind wie im BeispielS (3. Teil) des Abschnitts 4.4 die ohmschen Widerstände und die Kapazitäten gleich (Rr = Rp, Cr = Cp), dann stellt ~2/ U 1 ein Kreis mit dem Durchmesser 1/A = 1/3 dar, der im Bild 5.23 gestrichelt eingetragen ist. Bei ro = roD ist der Betrag IU2/U 11=113. Da die Kreise sehr klein sind und sich deshalb die Zahlenwerte nur ungenau ablesen lassen, sollten die Kreise vergrößert werden, indem für lI2A eine größere Länge gewählt wird. Dieser Maßstab gilt dann nur für die Kreise.

5.4 Ortskurve "Kreis in allgemeiner Lage" 207

5.4 Ortskurve "Kreis in allgemeiner Lage"

Ortskurvengleichung und Herleitung der Konstruktionsvorschrift

Die Konstruktion der Ortskurve eines Kreises, der nicht durch den Koordinatenursprung verläuft und der Ortskurvengleichung

K = A + P . B = L + 1 (5.8) - C+p·D - E+p'E

genügt, wird mit Hilfe der Konstruktion der Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt" (siehe Abschnitt 5.3) vorgenommen. Zunächst wird die Ortskurvengleichung durch Division in eine Gleichung l/(g + pE) überführt, wobei noch ein Verschiebezeiger ~ entsteht:

K = (pB + A) : (pD + 9 = B + (A - Jl c) . 1 - - - D - D - C + pD

-(PJl+~~) Rest: A - B C - D-

K=L+ N =L+ 1 =L+ 1 C + pD - C + pD E + pE

N N - -

(5.9)

Um die Konstruktionsvorschrift für die Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt" anwenden zu können, muß zunächst der Zeiger

N = A - B . C = N . e jv (5.10) - - D

errechnet werden, der die Ortskurvengleichung l/(E + pE) mitbestimmt. Dann kann die Ortskurve "Kreis durch den Nullpunkt" mit der Parametrierung konstruiert werden. Schließlich müßte nach obiger Gleichung jeder Zeiger an den Kreis mit ~ addiert werden, d.h. der Kreis müßte insgesamt verschoben werden. Praktischer ist es, wenn der Kreis durch den Nullpunkt unverändert bleibt und der Koordinatenursprung um - ~ verschoben wird.

Konstruktionsvorschrift für die Ortskurve "Kreis in allgemeiner Lage"

Nach Erkennen der Ortskurvengleichung

K=A+p.B L+ 1 - C+p·D - E+p'E

sollte bei der Konstruktion der Ortskurve nach folgenden Schritten vorgegangen werden:

1. Errechnen des Zeigers N =A _ B C = N . ejv - - D

2. Errechnen und Zeichnen der Nennergeraden G = C + P . D = E + P . F - N N - -- -

3. Spiegelung der Nennergeraden an der reellen Achse ergibt G* = g* + p' E*

208 5 Ortskurven

4. Zeichnen der Senkrechten auf der gespiegelten Nennergeraden G*, die durch den Nullpunkt verläuft.

5. Berechnen von 1I2E = N/2C, Festlegen des Maßstabs für 1I2E und Zeichnen der Senkrechten auf E* im Abstand 1I2E. (Die Festlegung der Länge von 1I2E bestimmt die Größe des Kreises.)

6. Schnittpunkt der beiden Senkrechten ergibt den Mittelpunkt M des Kreises. Zeichnen des Kreises mit dem Radius MO.

7. Bezifferung des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G*.

8. Errechnen des Zeigers - ~ = - ~ und Verschieben des Koordinatenursprungs um-b -

Beispiell: Ortskurve des komplexen Widerstandes der Reihenschaltung einer verlustbehafteten Spule (Ersatzschaltung Parallelschaltung) und eines ohmschen Widerstandes bei variabler Frequenz

Z=R+---_1_+_1_ RLp jwLp

mit w=p · Wo

Z = R + __ ---'1=--__

R

jwLp 1 . __ =-1 __

--J RLp P . roo . Lp

Beispiel 5.24 RL-Schaltung des Beispiels 1

Z=R+ 1 _1 __ j . p*_I_

RLp roo· Lp

1 L+ mit p* = l/p - g+p*.~

Der Vergleich mit der allgemeinen Form der Ortskurvengleichung ergibt:

~ = R, E = llRLp und ~= -j/wo Lp '

so daß das Errechnen des Zeigers ~ entfallen kann.

Zu den einzelnen Schritten der Konstruktion:

Zu 1. entfällt

Zu 2. G=_I __ j . p*_I_ - RLp wo'Lp

Zu 3. G*=_I_+ j . p*_I_ - RLp wo · Lp

Zu 4. siehe Bild 5.25

1 1 R Lp Zu 5. 2E = 2 . I/RLp 2

Zu 6. und 7. siehe Bild 5.25

Zu 8. -L=-R

p.: 4

P':3 p' : 2

p·=o

Bild 5.25 Ortskurve der RL-Schaltung des Beispiels 1

5.4 Ortskurve "Kreis in allgemeiner Lage" 209

Beispiel 2: Ortskurve des Spannungsverhältnisses ~2/~1 in Abhängigkeit von der Frequenz für die gezeichnete symmetrische X-Schaltung (Allpaßglied)

Mit

U1=UC+UR

U 2 =UC-UR

ergibt sich

U 2 ~C-~R

U 1 UC+~R

(_1 -R).I jooC -

(~+R).I \jooC -

U 2 =I-jooRC I-j·pOOORC

U 1 l+jooRC l+j·pOOORC

U 2 =.!..=..EJ.= ~ + p!! U 1 1 + p. j ~ + pD

mit 00 = P . Wo und Wo = _1_ R·C

Die Ortskurve wird nach folgenden Schritten konstruiert:

Zu 1. N = A-!!~ - - D

N = l-=i.:..!. = 2 j

C D Zu 2. G ==+p==E+pF

- N N - -

1 . G =_+pL - 2 2

1 . Zu3. G*= __ pL

- 2 2

Zu 4. siehe Bild 5.27

Zu5. ~=.l...=1 2C 2E

Zu 6. und 7. siehe Bild 5.27 B .

Zu8 -L=-==-:.l=1 . - D j

YR I R-0

~~c::J~:;r lJ1

1 1 - jwC

!

R oder

Bild 5.26 Symmetrische X-Schaltung des Beispiels 2

j 2"

- J

p=3

p=2

P =1

p=oo p=o

-j P =1

0

Bild 5.27 Ortskurve der symmetrischen X-Schaltung des Beispiels 2

Zwei Ortskurvenpunkte können einfach kontrolliert werden:

Y2

Für p = 0 (00 = 0) haben die beiden Kondensatoren einen unendlichen Widerstand, so daß die Eingangsspannung gleich der Ausgangsspannung ist, d.h. ~2/U 1 = 1.

Für p = 00 (00 = 00) sind die beiden Kondensatoren kurzgeschlossen. Dadurch entsteht ein Umpoler, d.h. die Ausgangsspannung ist umgekehrt gerichtet wie die Eingangsspannung: ~2/~1 =-1.

210

5.5 Ortskurven höherer Ordnung

Ortskurve "Parabel" Die Ortskurvengleichung für die Parabel lautet

~ = A + P . B + p2 . ~.

5 Ortskurven

(5.11)

Sie kann entweder aus der Geraden A + P . !! und dem Anteil p2 . ~ oder aus der Geraden A + p2 . ~ und dem Anteil p . !! durch Überlagerung der Zeiger zusammengesetzt werden, wie im Bild 5.28 erläutert ist.

Bild 5.28 Konstruktion der Ortskurve "Parabel"

Beispiel: Ortskurve des Spannungsverhältnis U dU des an einer Spannungsquelle angeschlossenen Reihenschwingkreises bei variabler Frequenz

Mit

ist

Rr+jroLr+-. _l_ U )roCr

Uc 1 jroCr

U = jro Cr Rr -ro2LrCr + 1 U c

U = 1+p.j . ....!..._p2 U c Or

Durch Vergleich mit der allgemeinen Ortskurvengleichung ergibt sich:

A =1, B =-1. und C=-l. - - Or -

l~q Rr

\!. j wL r

1 ! ~( jW(r

Bild 5.29 Schaltung für das Beispiel einer Parabel-Ortskurve

(vgl. GI. 4.118)

p:2

- 3 - 2

Bild 5.30 Beispiel einer Parabel-Ortskurve

5.5 Ortskurve höherer Ordnung 211

Wird die Güte des Resonanzkreises wie im Beispiel des Abschnitts 4.5.1 (siehe Bild 4.95) Or = 2 gewählt, dann lautet die Ortskurvengleichung

U . -=-= 1 + pl.._p2= I_ p2 + j .E., U e 2 2

deren Ortskurve im Bild 5.30 dargestellt ist. Bei Resonanz des Reihenschwingkreises ist 00 = 000, also p = 1, und das Spannungsverhältnis ist imaginär:

Ue -=Or U

(vgl. GI. (4.125»

Wie im Abschnitt 5.5.1 zu sehen ist, wird in den Resonanzkurven das Spannungsverhältnis U dU dargestellt. Die zugehörige Ortskurvengleichung

U e 1 1

U 1 +p .~_p2 1 +p .i_ p2 Or 2

gehört nicht zu den "einfachen" Ortskurven und müßte Punkt für Punkt ermittelt werden, indem verschiedene poWerte in die Ortskurvengleichung eingesetzt, die komplexe Größe jeweils berechnet und in die Gaußsche Zahlenebene gezeichnet werden.

Wie im Bild 5.31 gezeigt, kann die Ortskurve aber auch durch Inversion der Parabel ermittelt werden, indem die Zeiger für bestimmte Parameter invertiert werden. Dabei werden die Längen der Parabelzeiger abgegriffen und der Kehrwert der Beträge jeweils auf dem Strahl mit umgekehrten Winkel angetragen.

p=2

-3

Bild 5.31 Inversion der Parabel

Die dadurch entstehende Ortskurve enthält nicht nur die Beträge des Spannungsverhältnisses wie die Resonanzkurven im Bild 4.95, sondern auch die Phasenlage der beiden Spannungszeiger zueinander. Um die Beträge der Ortskurve mit den Resonanzkurven im Bild 4.95 vergleichen zu können, muß die Identität p = x beachtet werden. Mit der GI. (4.130) läßt sich auch der Parameterwert errechnen, bei der die Kondensatorspannung ihr Maximum hat:

p=x=xc = ~ 1 __ 1_ =VI-1I8 =0,935 202

r

Der Ortskurvenpunkt kann dann mit der Ortskurvengleichung berechnet werden:

U e 1

U I_ p2+j . p12

U e = 1 .750 0,533 - j . 1,996 = 2,066 . e- J U 1 - 0,9352 + j . 0,468

212 5 Ortskurven

Ortskurve "Zirkulare Kubik" Die allgemeine Ortskurvengleichung der zirkularen Kubik

O=A+p.B+p2. C - D+p·E (5.12)

kann durch Division in die Summe einer Geradengleichung und einer Kreisgleichung überführt werden:

B_~D

(p2C+PB+A):(PE+m=p~+ - gE +[A_~(B_C:)]'Q+lpg

_(p2 C + p C:)

O=R+p'S+ E =R+p.S+ __ l __ - - - D+ . E - - D E

- P - =+p.= F F

(5.13)

- -

Wird also die Ortskurvengleichung in der allgemeinen Form (GI. (5.12» erkannt, dann muß diese zuerst in die Summenform der beiden Ortskurvengleichungen (GI. (5.13» überführt werden, ehe die Konstruktion erfolgen kann. Dann werden der Kreis durch den Nullpunkt nach der Anleitung im Abschnitt 5.3 und die Gerade (siehe Abschnitt 5.2) getrennt konstruiert. Anschließend werden für gleiche Parameterwerte die jeweiligen bei den Zeiger durch Addition der Realteile und Imaginärteile überlagert.

Beispiel: Ortskurven für den komplexen Leitwert und den komplexen Widerstand des praktischen Paral1el-Resonanzkreises in Abhängigkeit von der Frequenz (Schaltbild siehe Bild 5.32 oder 4.1(8).

mit 00 =p. Wo

RLr + jwLr

1 + P . j Wo RLr Cr - p2 005 Lr Cr

RLr + P . j Wo Lr

Die rechte Seite obiger Gleichung entspricht der al1gemeinen Form der Ortskurvengleichung der zirkularen Kubik (GI. (5.12». Die Division kann entfal1en, weil die Summe der Geradengleichung und einer Kreisgleichung sofort aus der Schaltung (Bild 5.32) abgelesen werden kann (linke Seite obiger Gleichung).

Als Bezugsfrequenz roo sollte die Resonanzfrequenz gewählt werden, die nach der GI. (4.155) berechnet werden kann:

/ 1 (RLr )2 AI 1 (l00n)2 =2000s-1 CJ)o=~ Lrer - L; =V 0,05H . 2,5.10- 6 F 0,05H

Die Ortskurvengleichung in Zahlenwerten lautet dann

Y = p . j · 2 · 103 s-l . 2,5 . 10- 6 As + 1 - V 100 n + p . j ·2 · 103 s- l · 0,05 VslA

Y=p.j.5mS+ 1 - 100 n + p . j . 100 n

Die Gerade ist identisch mit der positiven imaginären Achse, und der Kreis durch den Nullpunkt hat den Mittelpunkt bei lI2A = 1/200 n = 5 mS. Die Ortskurve für den komplexen Leitwert ergibt sich durch Überlagerung der Zeiger mit jeweils gleichem Parameterwert (siehe Bild 5.32).

Aus der Ortskurve für den komplexen Leitwert Y = Y . e- jlp lassen sich Betrag und Argument für die p-Werte ablesen und die entsprech-;nden komplexen Widerstände ~ = Z· e jlp

berechnen und in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnen:

P

Y -<p

Z=11Y <p

j 100Q j 5mS

1

mS Grad

n Grad

1,2

0,8

0,6 · 5 S pj' m

0,4

0,2

o o p=CXl

-j 100Q - j 5mS

° 10 0

100 0

0,6 0,8 1,0 1,2

7,5 6,1 5,0 4,2 -11 -8 0 + 15

133 164 200 238 +11 +8 0 -15

RLr=100Q

l r =O,OSH L ~ -Cr = 2 , 5~F 1-L..----tll-I _ --J

p =1 ,2

1,5 2,0 00

4,1 6,4 00

+42 +71 +90

244 156 0 -42 -71 -90

Bild 5.32 Ortskurven des komplexen Leitwerts und komplexen Widerstands des praktischen Parallel-Resonanzkreises

214

P

5 Ortskurven

Die Ortskurve für den frequenzabhängigen komplexen Widerstand Z kann natürlich nicht genau sein, weil sie über abgelesene Y-Werte ermittelt wurde. Deshalb soll die "nicht einfache" Ortskurve punktweise mit der Ortskurvengleichung errechnet werden. Nach GI. 4.158 lautet die Formel für den komplexen Widerstand des praktischen Parallel-Resonanzkreises mitro=p' CIl():

und mit Zahlenwerten

Z= 100Q+p·j100Q - (1- p2 . 0,5) + p . j 0,5

Für P = 0,6 ergibt sich beispielsweise

Z 100Q+j60Q 116,6Q.ej31° 133,6Q.ePO,9° _0,6 0,82 + j 0,3 0,873 . e j 20,1°

Die auf diese Weise berechneten Widerstandswerte sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

1 0 0,6 0,8 1,0 1,2 1,5 2,0

Z Q 100 133,6 162,3 200 235,9 237,1 158,1

<p Grad 0 10,9 8,2 0 -14,8 -43,2 -71,6


Übungsaurgaben zu den Abscbnitten S.l bis S.S

5.1 Für die Reihenschaltung eines ohmsehen Widerstands Rr = 200 Cl und einer variablen Induktivität Lr = 100 '" 300 mH sind 1. die Ortskurve für die Spannung bei konstantem Strom! = 10 mA bei f = 200 Hz und 2. die Ortskurve für den Strom bei konstanter Spannung U = 10 V bei f = 200 Hz zu ermitteln. 3. Kontrollieren Sie rechnerisch die Ortskurvenpunkte des Stroms für die Induktivitäten

Lr = 100,200 und 300 mH.

5.2 Mit Hilfe von Ortskurven soll die Frequenzabhängigkeit der komplexen Widerstände und Leitwerte der Reihenschaltung und Parallelschaltung eines ohmsehen Widerstandes und einer Kapazität untersucht werden. 1. Entwickeln Sie die Ortskurven des komplexen Widerstandes und komplexen Leitwerts

der Reihenschaltung von Rr = 17,3 Cl und Cr = 3181J.F. 2. Ermitteln Sie anschließend die Ortskurven des komplexen Leitwerts und des komplexen

Widerstands der Parallelschaltung von Rp = 23,1 Cl und Cp = 79,61J.F. Die Bezugsfrequenz fo soll so gewählt werden, daß für p = 1 die Reihenschaltung und die Parallelschaltung äquivalent sind. Es ist also zu untersuchen, ob die Bedingungsgleichung für Äquivalenz bei einer bestimmten Frequenz erfüllbar ist. 3. Kontrollieren Sie anhand der Ortskurve, ob die Scheinwiderstände und Scheinleitwerte

für p = 1 gleich sind.

5.3 1. Für den Reihen- und Parallelschwingkreis sollen die Ortskurven für den komplexen Widerstand und den komplexen Leitwert bei Variation der Frequenz ermittelt werden. Die ohmsehen Widerstände, die Induktivitäten und Kapazitäten der Reihen- und Parallelschaltung sollen gleich sein:

Rr = Rp = 200 Cl Lr = Lp = 0,04 H Ce = Cp = 1 IlF

2. Lesen Sie aus der Ortskurve für den komplexen Leitwert des Reihenschwingkreises die Strom-Resonanzkurve ab.

5.4 Für die Reihen- und Parallelschaltungen von Induktivität lohmscher Widerstand und Kapazitätlohmscher Widerstand sind die Ortskurven für die Verhältnisse der Teilspannungen zur Gesamtspannung bzw. Teilströme zum Gesamtstrom in Abhängigkeit von der Frequenz zu entwickeln, wobei die Bezugsfrequenz jeweils festgelegt ist:

roo= Rr/Lr, Rp/Lp,l/RpCp,lIRrCr·

5.5 An den Eingang des gezeichneten Vierpols wird eine sinusförmige Spannung mit veränderlicher Frequenz angelegt.

j RLr jwL r j !!.1 R!!.2

~-----------+---o


1. Stellen Sie die Gleichung für das Spannungsverhältnis U 2/!:!.1 in Abhängigkeit von RLr, Lr, Rund 00 auf.

2. Konstruieren Sie die Ortskurve des Spannungsverhältnis in Abhängigkeit von 00 = p . WO,

nachdem Sie die Gleichung mit R = RLr und Wo = R/Lr vereinfacht haben. Geben Sie mindestens fünf Ortskurvenpunkte mit den entsprechenden poWerten an.

3. Ergänzen Sie die Ortskurve durch entsprechende Ortskurven für RLr/R=O, 1/2 und 2.

4. Ermitteln Sie aus der Ortskurvenschar für p = 1 die Funktion

und stellen Sie sie dar.

216 5 Ortskurven

5.6 Die Ortskurve des Spannungsverhältnis QR /Q des Reihenschwingkreises bei variabler Frequenz co = p . coo ist zu ermitteln. Deuten Sie die Ortskurvenpunkte für

p = 0, 1 und 00 •


5.7 Für die gezeichnete Schaltung ist die Ortskurve für U 2/U 1 in Abhängigkeit von der Frequenz zu konstruieren. 1. Leiten Sie zunächst die Ortskurvengleichung allgemein und dann mit den Zahlenwerten

her. 2. Konstruieren Sie die Ortskurve mit den Ortskurvenpunkten p = 0,1/3,112, 1,2,3 und 00.

3. Erklären Sie den Ortskurvenpunkt für p = 1.

'!"" ...---""L

R1 =500fl ::c u..

~b c:

~ =, 11

Co Co -' w

~ [ Co

IX

u2 [] Bild 5.35 Übungsaufgabe 5.7

5.8 1. Entwickeln Sie die Ortskurve für den komplexen Leitwert r der skizzierten Schaltung im Frequenzbereich

co = 100 s-1 ... 1000 s-1

in Schritten von 100 s- 1.

RLr jwLr

°Tc::::J~-----...oo 50 fI 0,1 H

R r=:-J 100l"1


2. Kontrollen Sie rechnerisch die Ortskurvenpunkte für co = 0, co = 500 s- 1 und co = 00.

3. Ermitteln Sie aus der Ortskurve den Graphen der Funktion Y = f (co) und stellen Sie ihn dar. Tragen Sie den Wert ein, den die Kurve für hohe Kreisfrequenzen anstrebt (Asymptote).


5.9 1. Für einen Reihenschwingkreis mit der Güte Qr = 2, angeschlossen an eine Wechsel-spannungsquelle, ist die Ortskurve des Spannungsverhältnisses ~/U L in Abhängigkeit von der Frequenz zu entwickeln.

CD! Uq Rr [

\! j wL r ! VL Bild 5.37 ) Z· Übungsaufgabe 5.9 -I

j wer : ;:

2. Anschließend ist durch Inversion der Zeiger die Ortskurve des Spannungsverhältnisses U LI.!:!. zu ermitteln. Die Ortskurvenpunkte für p = 0,112,213,1,2 und 00 sind rechnerisch zu

kontrollieren. 3. Schließlich sind die Beträge ULIV für die unter 2. angegebenen Parameterwerte mit Hilfe

der Formeln des Abschnitts 4.5.1 zu kontrollieren. Das Maximum des Spannungsverhältnisses ist zu berechnen. Die Ergebnisse sind mit der Resonanzkurve (Bild 4.95) zu vergleichen.

5.10 1. Konstruieren Sie die Ortskurve des komplexen Leitwerts der skizzierten Schaltung in einem Frequenzbereich ro = 10000 . .. 100000 s-l im Abstand von 10000 s-l, indem Sie einfache Ortskurven überlagern.

RC 100~1I


2. Lesen Sie aus der Ortskurve die Frequenz ro ab, bei der der komplexe Leitwert reell ist. Weisen Sie die abgelesene Frequenz und den reellen Leitwert rechnerisch nach.

5.11 1. Bei welchen Kreisfrequenzen ro ist der komplexe Widerstand der Schaltung reell?

1kll 120mH

RCp 1, 25 k 11 Bild 5.39

Übungsaufgabe 5.11

2. Entwickeln Sie die Ortskurve des komplexen Widerstandes durch Überlagerung einfacher Ortskurven, indem Sie eine der Kreisfrequenzen unter 1. als Bezugsfrequenz wählen. Die Ortskurve ist für p = 0, 112, 1, 1,5 und 2 zu konstruieren.

3. Kontrollieren Sie rechnerisch die Ortskurvenpunkte für p = 0 und p = 1.

218

6 Der Transformator

6.1 Übersicht über Transformatoren

Umspanner, Obertrager und Hochfrequenz-Transformatoren

Werden Stromkreise magnetisch gekoppelt, dann wird diese Anordnung "Transformator" genannt. Die Ausführungen von Transformatoren sind sehr vielfältig, weil die Anforderungen an Transformatoren sehr unterschiedlich sind. Grundsätzlich werden je nach Verwendungszweck unterschieden:

1. Transformatoren der Starkstrom- oder Energietechnik - die "Umspanner" 2. Niederfrequenz-Transformatoren (NF-Transformatoren) - die "Übertrager"

der Fernmelde- und Verstärkertechnik 3. Hochfrequenz-Transformatoren (HF-Transformatoren) für Anpassungszwecke. Transformatoren der Starkstromtechnik dienen der Transformation (Umwandlung) von Wechselspannungen, um elektrische Energie über Strecken wirtschaftlich übertragen zu können. Bei hohen Spannungen sind die Verluste auf den Leitungen geringer als bei niedrigen Spannungen (siehe Formel für die Verlustleistung Pv , GI. (4.259». Die für Leistungstransformatoren verwendeten Bauformen sind im Bild 6.1 dargestellt. Für Einphasensysteme werden Kerntransformatoren (a) und Manteltransformatoren (b) hergestellt. In Dreiphasensystemen (Abschnitt 7) werden Dreiphasen-Leistungstransformatoren als Dreischenkelanordnungen (c), Fünfschenkelanordnungen (d) , Dreimanteltransformatoren (e) und als Tempeltyp (f) ausgeführt oder es werden drei Einphasentransformatoren (g) verwandt. Im Bild 6.1 bedeutet ,,1" der Platz für die Primärwicklung und ,,2" der Platz für die Sekundärwicklung.

~~j~~ ~

d

c::::::iI c:3l ~ 1 2 1 2 1 2 CSI C] C3I

e

Bild 6.1 Bauformen von Transformatoren der Starkstromtechnik

Für Prüfzwecke gibt es in der Hochspannungstechnik Einphasentransformatoren und für die Einspeisung von Hochspannungskaskaden für die Erzeugung von Stoßspannungswellen spezielle Transformatoren. Der Kern dieser Transformatoren besteht aus dünnen Blechen, die durch Papier, Lack oder Öl voneinander isoliert sind.


6.1 Übersicht über Transformatoren 219

NF-Transformatoren sind Übertrager der Fernmelde- und Verstärkertechnik für einen breiten Frequenzbereich. Sie dienen neben der Übersetzung von Spannungen und Strömen der Anpassung von Widerständen, der galvanischen Trennung von Stromkreisen und zur Phasenumkehr. Die Kerne bestehen aus dünnen Eisenblechen hoher Permeabilität oder aus Eisenpulverkernen. Außerdem können Netz-Kleintransformatoren zur Versorgung von Geräten und Gerätegruppen dieser Gruppe zugeordnet werden, die aus genormten Kernen und Spulenkörpern bestehen. HF-Transformatoren haben die Aufgabe, unterschiedliche Widerstände reflexionsfrei aneinander anzupassen. Übliche Transformationsarten (siehe Bild 6.2) sind der Wicklungstransformator mit getrennten Wicklungen (a) oder in Sparschaltung (b), der durch Resonanztransformatoren als 7t-Glied (c) oder als TGlied (d) ersetzt werden kann:

a b

Bild 6.2 Hochfrequenz-Transformationsarten

Tl' I J 1" I

d

o

o

Die Wicklungstransformatoren besitzen Kerne aus Spezialeisenpulver oder werden ohne Kerne betrieben. Sie werden bei Frequenzen bis etwa 100 MHz verwendet. Weitere Transformationsarten sind die 1J4-Leitung, die inhomogene Leitung und die auf einem Ferritkern aufgewickelte Doppelleitung. In den folgenden Ausführungen wird nur der Einphasen-Wicklungstransformator mit zwei Wicklungen und in Sparschaltung und mit einem magnetischen Kreis mit konstanter Gegeninduktivität M behandelt. Dabei wird auf die grundsätzliche Behandlung des Transformators im Band 1, Abschnitte 3.4.7.2 und 3.4.7.3 Bezug genommen. Der Einphasen-Transformator stellt das Bindeglied zwischen zwei Spannungsebenen eines Einphasensystems dar. Er besteht aus einem magnetischen Kreis mit geblechtem Kern, Ferritkern oder Luft, durch den zwei Spulen magnetisch gekoppelt sind. An die Primärspule 1 wird eine Spannung angelegt, wodurch sich in der Sekundärspule aufgrund der Kopplung eine Spannung anderer Größe ergibt. Die Energieflußrichtung geht also von der Primärspule zur Sekundärspule. Bei allen Arten von Wicklungstransformatoren der Starkstromtechnik, der NFund HF-Technik gelten die grundsätzlichen Gesetzmäßigkeiten, die sich aus dem Durchflutungssatz, dem Induktionsgesetz und den Kirchhoffschen Sätzen (siehe Band 1) ergeben.

220 6 Der Transformator

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild Bei der Behandlung der Gegeninduktion im Band 1, Abschnitt 3.4.7.2 ist auch der Transformator mit zwei Wicklungen für zeitlich veränderliche Ströme und Spannungen beschrieben worden. In den meisten Anwendungsfällen sind die Ströme und Spannungen im Transformator sinusförmig, so daß die allgemeinen Ausführungen im Band 1 auf sinusförmige Vorgänge übertragen werden müssen. Die folgenden Herleitungen setzen die Kenntnis der Gegeninduktionsvorgänge im Transformator voraus. Die Vorteile der Berechnung sinusförmiger Vorgänge im Komplexen (Abschnitt 4.2) werden selbstverständlich auch bei der Behandlung des Transformators genutzt. Aus den GI. (3.353) bis (3.356) entstehen dann algebraische Gleichungen, die "Transformatorengleichungen" , die in der Gaußschen Zahlenebene Zeigerbildern entsprechen.

Transformator mit gleichsinnigem Wickelsinn und Belastung mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand, speziell bei induktiver Belastung

oder

i, . ~ t) ~ 's u, 1 UL' t UM' t I

'P'2

i, iZ . ~ [0." ipii o ~ u2 UL2 tUM21 2

i, i 2 • ~91,s;-

l t~ "u,!, ~ H ~ I'

\/, \/2 21 ~ I J i,

lJip~ • i2 i2

~'2 - ~2'

Bild 6.3 Transformator mit gleichsinnigem Wickelsinn (vgl. Bild 3.205)

Die Maschengleichungen für den Primärkreis und Sekundärkreis und die Gleichung für die Belastung des Transformators (siehe GI. (3.353) und (3.354», hier für induktive Belastung,

di2 u2 =R . i2 + L dt

gehen dann in die folgenden algebraischen Gleichungen mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren über, die dem Ersatzschaltbild (siehe Bild 6.4) entsprechen:

U 1 = U Rl + U L1 - U Ml

U 2 =- U R2 - U u + U M2

U 2 = (R + j roL) . 12 = ~ . 12

(6.1)

(6.2)

(6.3)

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild 221

oder

und

und

U 1 =R1 · 11 + jooL1 · 11 -jOOM · !z

U 2 =-R2· !z -jOOL2 ·!z + jooM · 11

U 2 = (R + j ooL) . !z = Z .!z mit M12 = M21 = M

wegen 1..1. konstant

Z = R + j ooL = Z . e j<p

mit Z = VR2 + (ooL)2

<p = arc tan (roLIR).

~R' -"j '" _,:, jiwl ;

!,

jwH

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Bild 6.4 Ersatzschaltbild des Transformators mit gleichsinnigem Wickelsinn und Belastung mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand (vgl. Bild 3.206)

Das Zeigerbild des Transformators wird grundsätzlich beim passiven Zweipol der Belastung begonnen, weil sämtliche Ströme und Spannungen von den Größen der Belastung abhängen. Dann werden die Spannungen des Sekundärkreises und schließlich der Strom und die Spannungen des Primärkreises berechnet und gezeichnet.

Im gezeichneten Beispiel (Bild 6.5) ist d~r Belastungswiderstand Z. induktiv: Reihenfolge der Darstellung:

passiver Zweipol:

!z (ist gegeben oder wird gewählt)

U = Z . I = Z . ej<p . I -2 - -2 -2

Maschengleichung des Sekundär kreises:

U R2 =R2 · !z

U L2 =jooLz·!z

U M2 =jooM· 11

U M2 = U 2 + R2· !z + jooLz · !z

Primärstrom: UM2

11 =-.- jooM

Maschengleichung des Primärkreises:

- U M1 = - j ooM . 12

U R1 = R1 · 11 U Ll = jooL1 . 11

U 1 =-jooM · !z + R1 · 11 + jooL1· 11

Bild 6.5 Zeigerbild des Transformators mit gleichsinnigem Wickelsinn und induktiver Belastung

Ist der Belastungswiderstand Z. kapazitiv, dann eilt der Strom !z der Spannung U 2

voraus, bei einer ohmschen Belastung sind sie in Phase. Besteht die Belastung aus ohmschen, induktiven und kapazitiven Anteilen, hängt die Art der Belastung von der Frequenz ab.

Transformator mit gegensinnigem Wickelsinn und Belastung mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand, speziell bei induktiver Belastung

oder ~12 ~21

;, •

~ [0 ~ 'S UI 1 uul UM,l ' 4>'2

;1 i 2 r )." ~2'

o 1U2 Ul2l UM21 2 ~

i, ;2 • \~IS~ •

) .l, .:, ~ I t I I ", + ~ "'2 :r UIL2~2 0

~ I' /~~ i, i2 i 2 •

; i! - i! 12 2'

Bild 6.6 Transformator mit gegensinnigem Wickelsinn (vgl. Bild 3.207)

Die Maschengleichungen fOr den Primärkreis und Sekundärkreis und die Gleichung fOr die Belastung des Transformators (siehe GI. (3.355) und (3.356» , hier ebenfalls fOr induktive Belastung, sind die gleichen wie bei gleichsinnigem Wickelsinn, wenn die Sekundärspule gegensinnig zur Primärspule gewickelt wird. Die Richtungen sämtlicher Spannungen und des Stroms im Sekundärkreis ändern sich im Vergleich zur gleichsinnigen Wicklungsanordnung. Deshalb sind auch die algebraischen Gleichungen mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren gleich:

oder

und

und

U 1 = U R1 + U L1 - U MI

U 2 =- U R2 - U 12 + U M2

U 2 = (R + j roL) .1z = z. . !2

U 1 = R1 . !1 + j roLl ' !1 - j roM . 1z U 2 = - R2 '1z - j roL2 ' 1z + j roM . 11

U 2 = (R + j roL) . 1z = Z. . 1z mit M12 = M21 = M

wegen J.I. konstant

z. = R + j roL = Z . e jcp

mit Z = -VR2 + (roL)2

<p = arc tan ( roLlR) .

1, !1Rl - jwM

',) " I . ,........

!!U-l.IMI jwl,

11

!!R2 12 -

l" jwL 2 • !!L2 -1412

h

(6.7)

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)

',1 ~ Bild 6.7 Ersatzschaltbild des Transformators mit gegensinnigern Wickelsinn und Belastung mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand (vgl. Bild 3.208)

Sie entsprechen dem Ersatzschaltbild fOr den belasteten Transformator mit gegensinnigem Wickelsinn, der durch die beiden Punkte gekennzeichnet ist (siehe Bild 6.7).

Um im Zeigerbild des Transformators mit gegensinnigem Wickelsinn den Unterschied zum Zeigerbild des Transformators mit gleichsinnigem Wickelsinn zu verdeutlichen, werden im Ersatzschaltbild der Sekundärstrom 12 und die Sekundärspannung U 2 mit umgekehrten Vorzeichen in die gleiche Richtung gelegt wie im Ersatzschaltbild mit gleichsinnigem Wickelsinn. Diese Änderung im Ersatzschaltbild (siehe Bild 6.8) bedeutet in den Spannungsgleichungen negative Sekundärgrößen:

U 1 = R1 . 11 + j roLl ' 11 + j roM . (- h) (- U 2) =-R2 · (-h) -jroL2 · (- h)- jroM · !1

(- U 2) = (R + jroL) . (-!0 = ~ . (- !2)

1, jwM (-12)

Y'j

R, " <-MI<]

R2

jwL, jwL2

1, (- 12)

~

Bild 6.8

(6.13)

(6.14)

(6.15)

Ersatzschaltbild des Trans-formators mit gegensinnigem Wickelsinn und umgedrehten Sekundärgrößen

Das Zeigerbild wird wieder beim passiven Zweipol der Belastung begonnen und hat im gezeichneten Beispiel (Bild 6.9) einen induktiven Belastungswiderstand ~:


passiver Zweipol:

(- !2) (ist gegeben oder wird gewählt)

(- U2) = Z· (-12) = Z· e jcp • (- 12)

Maschengleichung des Sekundär kreises:

- U R2 = R2 . (- h) - U L2 = j ro ~ . (- 12)

- U M2 =-jroM · 11

- U M2 = (- U 2) + R2 · (-h) + jroL2 · (-h)

Primärstrom:

-UM2 1=--1 _ jroM

Maschengleichung des Primärkreises:

- U MI = j roM . (- h) U R1 = R1 . 11

U u =jroL1 · 11

U 1 = jroM . (- h) + R1 . 11 + jroLl . 11

H2)

Bild 6.9 Zeigerbild des Transformators mit gegensinnigem Wickelsinn und induktiver Belastung

Im Vergleich zum Zeigerbild des Transformators mit gleichsinnigem Wickelsinn ist das Polygon der Maschengleichung des Sekundär kreises um 1800 gedreht.


Leerlauf eines Transformators

Bei Leerlauf am Ausgang eines Transformators ist der Ausgangsstrom h gleich Null. Damit vereinfachen sich die Spannungsgleichungen des Transformators für gleichsinnigen und gegensinnigen Wickelsinn (GI. (6.4) bis (6.6) bzw. (6.10) bis (6.12»:

Mit 12 = 0 ist

U 1 = R 1 . 11 + j roLl' 11 = (R1 + j roLl) . 11

U 2 =jroM'!1

1,

u'j R, - R2 I = Cl !:!2 !:!, , j wL1 jwL 2

JwL1

Bild 6.10

(6.16)

(6.17)

Ersatzschaltbild eines Trans-forrnators bei Leerlauf am Ausgang

Entsprechend vereinfacht sich das Zeigerbild, das in Anlehnung an die Bilder 6.5 und 6.9 im Bild 6.11 gezeichnet ist. Aus dem "Spannungsdreieck" läßt sich dann das "Widerstandsdreieck" herleiten, das im Bild 6.11 neben das Zeigerbild gesetzt wurde.

Bild 6.11 Zeigerbild und Widerstandsdreieck des Transformators bei Leerlauf am Ausgang

Damit kann auch der Eingangwiderstand bei Leerlauf als Quotient der Eingangsspannung zum Eingangsstrom angegeben werden (Index "in" von input = Eingang):

v (Z. h -0 = Z. 1= -1 = R1 + jroL1 -In -2 - -In !1 (6.18)

Die Ersatzschaltung eines Transformators bei Leerlauf ist also die Reihenschaltung des ohmschen Widerstands und der Induktivität der Primärspule. Aus den Spannungsgleichungen läßt sich dann das Obersetzungsverhiiltnis der Spannungen als komplexer Operator angeben:

V 1 R l + jroL1 =-:----

V 2 jroM

V l = L1 _ j . R1 = ~ (L1)2 + (Rl )2 . e i ' arctan(-Rl /roL1) V 2 M roM M roM

(6.19)

6.2 Transformatorgleichungen und Zeigerbild

Der Betrag des Übersetzungsverhältnisses wird mit übezeichnet:

wobei

RI tane=--

ro~

225

(6.20)

(6.21)

Fehlwinkel genannt wird. Er kann aus dem Widerstandsdreieck im Bild 6.11 abgelesen werden.

Werden die primären ohmschen Verluste RI vernachlässigt, dann ist das Übersetzungsverhältnis reell:

VI LI -=-V 2 M (6.22)

Wird zusätzlich angenommen, daß der Transformator keine Streuung besitzt, also der Kopplungsfaktor k = 1 beträgt, dann ist mit GI. (3.370) (Band 1, Abschnitt 3.4.7.3)

M =.J~ ·Lz das Übersetzungsverhältnis beiden Spulen:

VI ~ . rr; V 2 = .JLI . L2 = ~ L;"

gleich dem Verhältnis der Windungszahlen der

(6.23)

und mit GI. (3.309) (Band 1, Abschnitt 3.4.7.1)

ist VI wl -=-, V 2 w2

d.h. (6.24)

Ein Transformator, für den die Effektivwerte der Spannungen (VI Speisespannung, V2 geforderte Spannung) vorgegeben sind, kann also nur sehr ungenau mit Hilfe der GI. (6.24) dimensioniert werden, weil sich die Spannungen nur dann wie die Windungszahlen verhalten, wenn der Transformator bei Leerlauf betrieben wird, wenn die ohmschen Verluste der Primärspule vernachlässigt werden und wenn der Transformator mit k = 1 fest gekoppelt ist.


Spannungsverhältnis und Eingangswiderstand des Transformators

Das Spannungsverhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung hängt nicht nur von den Ersatzschaltbildgrößen R1, L 1, M, R2 und L2 ab, sondern auch von der Art und Größe der Belastung, wie durch Zeigerbilder und Berechnungen deutlich wird. Entsprechendes gilt selbstverständlich für den Primärstrom bei gegebener Primärspannung, also für den Eingangswiderstand des belasteten Transformators.

Beispiel 1: Für einen Transformator mit zwei gleichsinnig gewickelten Wicklungen, der mit einem ohmschen Widerstand R belastet ist, soll die Formel für das Spannungsverhältnis U 2/U 1 hergeleitet werden.

Lösung: Aus GI. (6.6) ergibt sich mit ~ = R

U2 U2 12=-=-- Z R

eingesetzt in GI. (6.5)

U 2 = - (R2 + j roL2) . V 2 + j roM . 11 ' - R-

nach !1 aufgelöst

1 ( R2 +jroL2) 11=--, 1+ ,V 2 - jroM R-

und mit !2 = .!blR in GI. (6.4) eingesetzt

R1 + j roLl ( R2 + j roL2 ) . V 2 V1= ·1+ ,V 2-JroM·-- jroM R - R

ergibt sich für das Spannungsverhältnis

V 2 1 V 1 R1 + j roLl (1 + R2 + j roL2 ) _ j roM

jroM R R

V2 1

V1 R1 +j roL1 (R1 + j roLl) (R2 + j roL2) jroM + jroM jroM· R R

V 1 (R' L1 +R1'~ +R2 · Lt) +j .(ro2 Lt ~-R1' R-R1 · R2 _ro2 M2)

M·R roM·R

V 2 _ 1

!:!.1 -( (R+R2)· L1 +R1 · ~)+j .(ro2 (L1 ~-M2)_(R+R2)' R1)

M·R roM·R (6.25)


Beispiel 2: Für einen Transformator mit zwei Wicklungen mit gleichsinnigem Wickelsinn soll rechnerisch untersucht werden, bei welchem der folgenden Belastungsfälle 1. ohmsche Belastung ~ = R = 200 0, 2. Kurzschluß am Ausgang ~ = R = 0 oder 3. Leerlauf am Ausgang Z = R = 00

der Primärstrom 11 bei gegebener Eingangsspannung U1 = 100 V, 00 = 10000 s-1 am größten ist. Gegeben sind die Ersatzschaltbildgrößen des Transformators:

R1 =60, L1 =20mH, M=15mH, R2=100 und ~=45mH.

Lösung: Zu 1: Der Primärstrom ist gleich dem Quotient von Eingangsspannung und Eingangswiderstand ~in' der mit den GI. (6.4) bis (6.6) berechnet werden kann:

U1 !1==-·

~in

mit GI. (6.4), dividiert durch!1:

Z Ul R . L . M !2 in ==-= 1+)00 1-)00 '-- !1 !1

mit GI. (6.5) und (6.6) und ~ = R

U2 =-(R2 +joo~· !2+ jooM'!1 =R'!2

ist

!2 jooM

!1 R+ R2 +jooL2 und . oo2 M2 (R+R2)-jooL2

Zin=R1 +)ooL1 +--=---- (R + R2) + j ooL2 (R + R2) - j ooL2

und mit Zahlenwerten ist

002 M2 = 100002 s- 2. (15 mH)2 = 22,5 . 103 Q2 (R + RV2 + (oo~2 = (200 0 + 100)2 + (10000 s-1 ·45 mH)2 = 246,6· 103 0 2

1 - 100 V

_1 -[60 + 22,5·103 0 2 . 2100] + j .10000 s-1 [20 mH _ 22,5·103 0 2 . 45 mH] 246,6 . 103 0 2 246,6 . 103 Q2

1 100 V _1 25,160 + j . 158,90

und mit z;'n = V (25,16 of + (158,90)2 = 160,920 ist

11 =~ l00V 062A Zin 160,920 '

(6.26)

Zu 2. Mit ~ ~ R = 0 vereinfacht sich obige Gleichung für !I:

U I U I I lk =-=--= -

- ~ink [ ülM2 R2 ] [ oiM2 Lz ] RI + + j ro LI - ---=----,-R~+(roLV2 R~+(OOLV2

(6.27)

und mit R~ + (roLV2 = (10 n)2 + (10000 s-I . 45 mH)2 = 202,6 . 103 n 2

1 _ 100 V

_Ik - [6 n + 22,5 . 103 r;i2 . 10 n] + j . 10000 s-I [20 mH _ 22,5 . 103 n 2 . 45 mH] 202,6 . 103 n2 202,6 . 103 n2

1 - 100 V _Ik - 7,11 n +i . 150,02 n

und mit Zink =..; (7 ,11 n)2 + (150,02 n)2 = 150,19 n ist

1 = U I l00V 0,67 A Zink 150,19 n

Zu 3. Mit ~ = R = 00 ergibt sich nach GI. (6.18)

UI UI 111 =-=--= -- ~inl RI + jroL1

(6.28)

!11 6 n + j . 10000 s- 1 . 20 mH 6 n + j . 200 n

100 V 100 V

und mit Zinl =..; (6 n)2 + (200 n)2 = 200,1 n ist

U 1 l00V 111 =-=--=0,50A

Zinl 200,1 n

Bei sekundärem Kurzschluß ist der Primärstrom am größten.

Spartrans!ormator Ein Spartransformator besteht aus einer Spule mit einem Abgriff; die zweite Spule wird also eingespart. Zwei Schaltungen mit jeweils gleichsinnigem Wickelsinn werden unterschieden, die auf die gleiche Weise beschrieben werden können wie ein Transformator mit zwei Wicklungen (siehe Band 1: Abschnitt 3.4.7.2). Die anliegende Spannung U1 verursacht einen Strom h, der mit einem magnetischen Fluß <D12 verbunden ist. Dadurch wird in der Spule neben der Selbstinduktionsspannung auch eine Gegeninduktionsspannung verursacht, die durch den belastenden Wechselstromwiderstand einen Strom iz bewirkt. Mit diesem Strom ist ein entgegengesetzt gerichteter magnetischer Fluß <D21 verbunden, der wiederum neben einer Selbstinduktionsspannung eine Gegeninduktionsspannung verursacht.


Die Spannungsgleichungen für beide Schaltungen lassen sich nach der Regel für zwei Spulen, die mit zwei Punkten und einem Doppelpfeil gekennzeichnet sind, aufstellen (siehe Band 1: Abschnitt 3.4.7.2, Bild 3.197 und zugehöriger Text). Angewendet werden die Spartransformator-Schaltungen bei Anpassung von Resonanzkreisen an Transistoren, Röhren und Antennen und zur Symmetrierung von unsymmetrischen Leitungen.

SpartransJormator mit anliegender Spannung an der Gesamtspule

!1 I R1

i1

j .

i2

u21 .

\,1 1

o • .

JwL1 b

jwM ( I R2 ( 0

1 112

jwL 2

i 1 i1- i2 ! 1 11- 12 12 I

Bild 6.12 Spartransformator mit anliegender Spannung an der Gesamtspule und Belastung der Teilspule mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand, dazu Ersatzschaltung des belasteten Spartransformators im Bildbereich

Die Spannungsgleichungen für das Ersatzschaltbild im Bild 6.12 lauten:

U 1 = (R1 + jroL1) .11 + jroM . (!1 - lz) + U 2

U 2 = (R2 + jroL2 ) · (!l-lz) + jroM '!1

und zusammengefaßt zu den drei Transformatorgleichungen:

U 1 = [R1 + R2 + jro(L1 + L2 + 2M)] .. h - [R2 + jro(L2 + M)] . !2

U 2 = U 2 = Z· 12

SpartransJormator mit anliegender Spannung an der Teilspule

/ 'P12 ip 21

/ Rd) .

jWL 2 1 ! 1

) jWM R, jw L,

i 2 0

( u2 i ,

u, ~ 0

t i1

i2 i ,- i2 1, !,-12

12

112

h

(6.29)

(6.30)

(6.31)

Bild 6.13 Spartransformator mit anliegender Spannung an der Teilspule und Belastung der Gesamtspule mit einem beliebigen Wechselstromwiderstand, dazu Ersatzschaltbild des belasteten Spartransformators im Bildbereich


Aus dem Ersatzschaltbild im Bild 6.13 lassen sich die Spannungsgleichungen ablesen:

U 2 = - (R2 + j ro~) . h + j roM . (11 - h) + u 1

U 1 = (R1 + jroL1)· (11-h) - jroM· h

und zusammengefaßt in den drei Transformatorgleichungen:

U 1 = (R1 + jroL1)· 11 - [R1 + jro(L1 +M)]· h

U 2 = [R1 + jro(L1 + M)] ·11 - [R1 + R2 + jro(L1 + ~ + 2M)] .12

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung

(6.32)

(6.33)

(6.34)

Für eine einfachere rechnerische Handhabung gekoppelter Kreise können Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung aus den drei Spannungsgleichungen (GI. 6.4 bis 6.6 bzw. 6.10 bis 6.12) entwickelt werden. Die Ersatzschaltungen sind im allgemeinen nicht mehr physikalisch anschaulich oder technisch realisierbar; sie genügen formal den umgewandelten Spannungsgleichungen und sind im allgemeinen nicht dazu geeignet, die Wirkungsweise der Kopplung, d.h. des Transformators, zu erklären.

Ersatzschaltbild mit LI - Mund L 2 - M:

Aus den Spannungsgleichungen des belasteten Transformators mit gleichsinnigem oder gegensinnigem Wickelsinn mit konstanter Permeabilität (M12 = M21 = M)

U 1 = R1 ·11 + jroL1 ·11 - jroM . h (6.35)

U 2=-R2 ·h-jroL2· h +jroM· 11

U 2 =Z .12

entstehen durch Erweitern mit ± j roM . L und ± j roM . 12

U 1 = R1 · 11 + jro(L1-M)· 11 + jroM· (I1-h)

U 2 = - R2 . h - j ro (L2 - M) . h + j roM . (l1 - h) U 2 =Z .12

(6.36)

(6.37)

(6.38)

(6.39)

(6.40)

Diese Gleichungen entsprechen dem Ersatzschaltbild mit den Induktivitäten LI - Mund L2 - M im Bild 6.14 und können als Zeigerbilder dargestellt werden, wobei der Zeiger j roM . (11 -10 für beide Polygone gleich ist.

11 R1 jw(L1-MI j w(L2- MI R2 12

y,! Bild 6.14

j wM !y, ~ Ersatzschaltbild mit den Induktivitäten M, L1-M und

1, 1d2 !Z L2-M

6.3 Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung 231

Ersatzschaltbild mit LI - M' und Lz - M' bzw. mit Streuinduktivitäten

Die Längsinduktivitäten LI - M und ~ - M der Ersatzschaltung im Bild 6.14

können durch Streuinduktivitäten Lls und L2s ersetzt werden, indem Größen der Sekundärseite und die Gegeninduktivität mit dem Übersetzungsverhältnis reduziert werden, das in vielen Fällen ü = Wl/W2 (s. GI. (6.24» gewählt wird:

Zunächst werden die Spannungsgleichungen (GI. 6.35 bis 6.37) mit 0 verändert:

VI = R1 'I1 +jroL1 · 11 -jro(O'M)'(~) (6.41)

(0· V 2) = - (02 . R2) . (~) - jro(ü2 . L2) . (~) + jro(O . M)· 11 (6.42)

(0· V 2) = (02 . Z) . (~) (6.43)

oder Obersichtlich geschrieben:

V 1 = R1 ·l1 +jroL1 ·I1 -jroM'·I;

V; = - Rz' I; - jroL;· I; + jroM' . 11

V; = z'· I;. Die reduzierten Größen sind also:

U'2= o· V 2

, 1 12 =-.1 2 - 0-

M'=O·M

R' .. 2 R 2 = u· 2

L' .. 2 L 2 = U . 2

(6.44)

(6.45)

(6.46)

Die Spannungsgleichungen werden entsprechend mit ± j roM' . 11 und ± j ro M' . 12 erweitert:

U 1 = R1 · 11 + jro(Ll - M') '11 + jroM' . (11 - 12) u; = - Rz' I; - jro(L'2 - M')· 1; + jroM'· Cl1 - 12) u; = Z'· I;.

(6.47)

(6.48)

(6.49)

Das Ersatzschaltbild im Bild 6.15, das den Spannungsgleichungen mit reduzierten Größen entspricht, hat gleiches Aussehen wie das Ersatzschaltbild ohne Reduzierung; es geht mit ü = 1 in das Ersatzschaitbild im Bild 6.14 über:

11 R1 jwIL1-M') jwIL2-M'J Ri J' -2

Bild 6.15

Y, j jwM' ju. r Ersatzschaltbild mit den -2 Induktivitäten M', LI-M'

!1 !1-1'2 I' undLZ-M' -2


Mit dem Ersatzschaltbild mit reduzierten Größen lassen sich nur dann die Längsinduktivitäten durch Streuinduktivitäten ersetzen, die im Band 1, Abschnitt 3.4.7.3 definiert wurden (vgI. GI. (3.366) und (3.367) mit M12 = M21 = Mund GI. (3.373) und (3.374», wenn ü = Wl!W2 festgelegt wird:

w1 , L1s LI =M·-+L1 =M +L1 =-w2 S S 0'1

oder

und

oder

L; = L;-M' = 0'2' L;,

wobei 0'1 und 0'2 die Streufaktoren sind. Mit den reduzierten Größen

w1 M'=ü·M=-·M

w2

R; = ü2. R2 = [::J. R2

L;=Ü2.L2=(::J ·L2

L; = ü2. L2s = [::J. L2s

~'=Ü2'Z=[::J'~ lauten dann die Spannungsgleichungen mit GI. (6.47) bis (6.49)

VI = R1· 11 + jcoL 1s ' 11 + jcoM'· (!t -1;) V'=-R'·I'-j·coL' ·I'+j·coM'·(I -1'\ -2 2 -2 2s -2 -1 -21

V;=~'· 1; wobei der Strom 1~ = !1 -!; Magnetisierungsstrom genannt wird:

VI = R1· 11 + jcoL1s '!1 + jcoM'· !~

v, R' I' . L ' I' . M' I' -2 = - 2 . -2 - j co 2s' -2 + j co . -11

V; =~'. 1;

(6.50)

(6.51)

(6.52)

(6.53)

(6.54)

(6.55)

(6.56)

(6.57)

Diese Spannungsgleichungen entsprechen dem Ersatzschaltbild im Bild 6.16:

1, R, jwlls jwl'2s R' 2 12 .....---. - - ~

jwo,l, jwo2l'2

!J.l n jwM' U' [ Jr Bild 6.16 -2

Ersatzschaltbild mit 1, !, -!i =!~ I' -2 Streuinduktivitäten

Grafisch bedeuten die Spannungsgleichungen Zeigerbilder, die für einen induktiven und einen kapazitiven Belastungswiderstand folgendes Aussehen haben:

Reihenfolge der Darstellung beider Zeigerbilder:

!;

U' = Z'· I' -2 - -2

mit Z' = Z' . e jcp

( 0 bzw. <p < 0)

R' . I' 2 -2

J'roL' . I' 2s -2

J• roM , . I' = U' + R' . I' + J' roL ' . I' -Il -2 2 -2 2s -2

J" roM , " I' I' = -Il -Il jroM'

Bild 6.17 Zeigerbild des Transformators mit Streuinduktivitäten und induktiver Belastung

j' -2

Bild 6.18 Zeiger bild des Transformators mit Streuinduktivitäten und kapazitiver Belastung


Ersatzschaltbilder mit anderen Reduktionen ü

Die Spannungsgleichungen mit M', LI - M' und L; - M' (GI. 6.44 bis 6.46) sind nur durch Erweitern mit ü entstanden, ohne daß ü einer besonderen Bedingung unterliegt (siehe GI. 6.41 bis 6.43). Die Zahl ü kann also beliebig gewählt werden, so daß sich beliebige Ersatzschaltbilder entwickeln lassen.

Beispiel: Ersatzschaltbild ohne Längsinduktivitlit L2 - M':

Mit

L 2-M' = ü2. Lz-ü· M =0

ist

ü=M . (6.58) L2

Damit ergibt sich für die beiden restlichen Induktivitliten des Ersatzschaltbildes:

und

wobei

und

M2 k2.LI · Lz M'=ü·M

Lz Lz M' = k2 . LI = (1 - a) . LI

M2 k2 . LI ·Lz LI-M'=LI-ü' M=LI--=LI

Lz Lz LI - M' = LI . (1- k2) = a · LI

(GI. (3.369), Band 1)

(GI. (3377), Band 1).

Das ErsatzschaItbild hat dann folgendes Aussehen:

\!1 lil.12 [ ~H )2 L2 - · Z L2 -

L2 11 '12

(6.59)

(6.60)

Bild 6.19 ErsatzschaItbild des Transformators mit nur einer Längsinduktivitlit


Beispiel: Von einem Transformator sind folgende Größen bekannt: w1=5000 w2=500 R1=500n R2=15n L1=5H L2=0,lH k=0,6

Mit Hilfe des Ersatzschaltbildes mit bezogenen Größen und einem Zeigerbild sollen die Eingangsspannung und der Eingangsstrom ermittelt werden, wenn der Transformator sekundärseitig mit der verlustbehafteten Kapazität (Ersatzschaltung: Reihenschaltung) Cr = 100 ~F, Rr = 20 n belastet wird und wenn die sekundäre Spannung V2 = 1 kV, f = 50 Hz betragen soll. 1. Zunächst soll das Ersatzschaltbild des belasteten Transformators gezeichnet und die

Ersatzbildgrößen berechnet werden. 2. Dann ist das Zeigerbild quantitativ zu entwickeln, wobei die einzelnen Schritte und die

Berechnungen anzugeben sind. 3. Aus den abgelesenen Größen Eingangsspannung V1, Eingangsstrom 11 und die Phasen-

verschiebung !P1 zwischen V 1 und !1 ist der Ersatzzweipol in Reihenschaltung zu ermitteln.

Lösung: Zu 1: Ersatzschaltbild siehe Bild 6.20 (nach Bild 6.16).

11 R1 j wlls j wL'2s R'2 12

lu ~11 jwM' -2 1 • r

11 -1-12=111 I' -2

Bild 6.20 Ersatzschaltbild des Transformators mit Streuinduktivitäten für das Beispiel

Ersatzbildgrößen:

Mit

sind

R1 =500n

M' = ü . M = 10 . 0,424 H = 4,24 H

mit M = k . ,J L1 Lz

M = 0,6 .,..;s:o:l H = 0,424 H

L1s =L1-M'=5H-4,24H=0,76H

Lis =LZ-M' = 02 . Lz-M'

Lis = 100·0,1 H-4,24 H = 5,76 H

RZ =ü2 . R2 = 100 ·15 n= 1500n

v'2=ü· V 2= 10·1 kV=lOkV

R'r = ü2 . Rr = 100 . 20 n = 2000 n

C'r= Crlü2 = 100 ~/100 = 1 ~

R' r

1 j wC;


Zu 2. Zeigerbild siehe Bild 6.21.

V'2 = lOkV

V' I'=~= lOkV =266A 2 Z' 3760Q ,

mit Z ' = / R', 2+ (_1_,)2 = . / (2000 n)2 + ( )2 = 3760 n 'V olC r ~ 21t . 50 s- 1 . 1 ).l.F

und q> = - arctan _1_ = - arctan = - 57,80

ol R' C' 21t . 50 s- 1 . 2000 Q . 1 JlF r r

R2· 12 = 15OOQ· 2,66 A = 3,99 kV

OlL2s · 12=27t· 50s- I . 5,76H· 2,66A =4,81 kV

abgelesen: OlM'· I~ = 10,2 kV

wM' · I' I' Jl

Jl OlM' 1O,2kV 7,66A

27t . 50 s- 1 . 4,24 H

abgelesen: 11 = 7,2 A

OlL1s ' 11 =27t · SOs-I . 0,76H· 7,2A = 1,72kV

R1 . 11 = SOO Q . 7,2 A = 3,6 kV

abgelesen: VI = 13 kV und lPl = 570

Zu 3: ~r= Rr +jwLr = Zr· COSIPl +j . Zr· sinlPl

Bild 6.21 Zeigerbild für das Transformator-Beispiel

VI 13kV mit Rr = Zr · COSIPl =_ . COSIPl =-_. cosS7° = 983 Q

11 7,2A

V und wLr = Zr . sinlPl =_1 . sinlPl

11

Lr=~. sinlPl 13 kV 4,82H 00.11 21t·SOs- 1 · 7,2A

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators 237

6.4 Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators Für einen Transformator mit gleichsinnigem und gegensinnigem Wickelsinn werden die Größen Rl, R2, Ll, L2 und M12 = M21 = M des Ersatzschaltbildes (Bild 6.22) durch Gleichstrom- und Wechselstrommessungen ermittelt.

Bild 6.22 Größen des Ersatzschaltbildes eines Transformators

Messung der ohmsehen Spulenwiderstände R1 und R2 mittels Gleichspannung: Der ohmsche Widerstand R1 der Primärspule wird bestimmt, indem bei sekundärem Leerlauf eine Gleichspannung Vl an die Primärspule angelegt und der Gleichstrom 11 durch die Primärspule gemessen wird (Bild 6.23). Der ohmsche Widerstand kann dann aus

errechnet werden.

Bild 6.23 Messung des ohmschen Widerstandes der Primärspule

(6.61)

Der ohmsche Widerstand R2 der Sekundärspule wird ermittelt, indem die Primärspule offen bleibt und an die Sekundärspule eine Gleichspannung V2 angelegt wird. Mit dem gemessenen Gleichstrom 12 (Bild 6.24) kann der ohmsche Widerstand nach

berechnet werden.

Bild 6.24 Messung des ohmschen Widerstandes der Sekundärspule

(6.62)

Für die Ermittlung der Gleichstromwiderstände ist es gleichgültig, ob die beiden Spulen gleichsinnig oder gegensinnig gewickelt sind.

Messung des primären Leerlaufwiderstandes Z1/ (Leerlauf-Eingangs widerstand

~inl) und des sekundären Leerlaufwiderstandes Z21 (Leerlauf-Ausgangswiderstand

~ut I) und damit der ohmschen Widerstände R1 und R2 und der Selbstinduktivitäten LI und L2 mittels Wechselspannung:

Bei sekundärem Leerlauf wird an die Primärspule eine sinusförmige Wechselspannung u1 = u1 · sin(rot + <Pul) angelegt, und der sinusförmige Strom

i1 = f1 · sin(rot + <Pil) und die Phasenverschiebung <PI = <Pul - <Pil werden gemessen.

Bild 6.25 Leerlauf-Eingangswiderstand für die Ermittlung von Rl und LI

Im Bildbereich (Bild 6.25) kann der primäre Leerlaufwiderstand oder Leerlauf-Eingangswiderstand als Quotient der beiden komplexen Zeitfunktionen Spannung !h und Strom h bzw. als Quotient der beiden komplexen Effektivwerte V 1 und 11 gebildet werden:

!h VI VI . Zl/=Z. 1=-=-=-· e JfPI - -In i I I

-1 -1 1

Zu = Zinl = R1 + jroLl

VI d.h. R1 = I· COS<Pl

1

VI LI = _. sin<Pl

roll

(6.63)

Bei primärem Leerlauf wird an die Sekundärspule eine sinusförmige Wechselspannung u2 = Üz· sin( rot + <Pu2) angelegt, und der sinusförmige Strom i2 = f2· sin(rot + <PiZ) und die Phasenverschiebung <P2 = <Pu2 - <PiZ werden gemessen.

. 12

~~~l ~~~ Bild 6.26 Leerlauf-Ausgangswiderstand für die Ermittlung von R2 und L2

Im Bildbereich (Bild 6.26) kann der sekundäre Leerlaufwiderstand oder Leerlauf-Ausgangswiderstand als Quotient der beiden komplexen Zeitfunktionen Spannung !!2 und Strom iz bzw. als Quotient der beiden komplexen Effektivwerte V 2 und 12 gebildet werden:

!!2 V 2 V 2 . Z21=Z 1=-=-=-· e JCjlz - -out i I I

-2 -2 2

Z21 = Zoutl = R2 + jroL2

V 2 d.h. R2 = I· COS <P2

2

V2 . L2 =_. sm<P2

roI2

(6.64)

Die Gleichstrommessung für die ohmschen Widerstände R1 und R2 wird also durch die Wechselstrommessung bestätigt. Ob die beiden Spulen gleichsinnig oder gegensinnig gewickelt sind, spielt für die Ermittlung des Leerlauf-Eingangswiderstandes und Leerlauf-Ausgangswiderstandes keine Rolle.

Messung der Gegeninduktivitiit M bei konstanter Permeabilitiit ~ mittels Wechselspannung: Die Gegeninduktivität M kann auf verschiedene Weise meßtechnisch ermittelt werden: 1. Messung der sekundären Leerlaufspannung und des Primärstroms

Bei sekundärem Leerlauf wird an die !1 jwM !2=0

u1 = u1 . sm(rot + <Pul) angelegt, u· . !.!21 PrimJrsp~le eine Wechselspannung GR1. ----EJR2 j und der sinusförmige Primärstrom -1 JwLl JwL2

i1 = f1 . sin(rot + <Pi1) und die sinusförmige sekundäre Leerlaufspannung Bild 6.27 Messung der Gegeninduktivität bei ~I = u2( sin(rot + <Pu2) werden gemessen. sekundärem Leerlauf des Transformators

Im Bildbereich (Bild 6.27) ergibt sich mit der Spannungsgleichung für den Sekundärkreis nach GI. (6.5) bzw. (6.11) für ausgangsseitigem Leerlauf mit 12 =0:

U 21 = jroM . !1' (6.65)

Damit ergibt sich für die Gegeninduktivität

. U 21 U 21 j( <Pu2 - <Pi1 - 7tI2) . ( 7tl2) M = - J . --= -- . e mit - j = eJ -ro . !1 ro . 11

(6.66)

2. Ermittlung der Gegeninduktivität M durch Messung des Widerstandes der Reihenschaltung und Gegenreihenschaltung der beiden Spulen des Transformators Bei der Behandlung der Zusammenschaltung gekoppelter Spulen im Abschnitt 3.4.7.2 (siehe Band 1, Bilder 3.199 und 3.200) wurden die Reihenschaltung und die Gegen-Reihenschaltung bei gleichsinnigem Wickelsinn beider Spulen unterschieden. Wird an die Reihenschaltung der beiden Spulen mit gleich-sinnigem Wickelsinn eine sinusförmige Sp~nnung u = u· sin(rot + <Pu) angelegt, dann stellt sich ein sinusförmiger Strom i = i· sin(rot + <Pi) ein.

! ! !

R2 Bild 6.28

j wL2 R

! !! Reihenschaltung der beiden Spulen

jwLrl des Transformators

Im Bildbereich (Bild 6.28) läßt sich der komplexe Reihenwiderstand aus den komplexen Effektivwerten von Spannung U und Strom ! angeben und durch einen Ersatzzweipol mit Rund j roLr1 darstellen:

U U j(<flu-<Pj) . R' Z r1 = ! = I' e = R + J . Xrl = + J roLrl

Zrl = R1 + R2 + jro(L1 + Lz + 2M) (6.67)

(vgI. GI. 3.347, Band 1)

Wird an die Gegen-Reihenschaltung der bei den Spulen mit gleichsinnigem Wickelsinn eine sinusförmige Spannupg u = u . sin(wt + <Pu) angelegt, dann stellt sich ein sinusförmiger Strom i = i . sin(wt + <p) ein, der sich vom Strom der Reihenschaltung unterscheidet.

R

! jwLr2

Bild 6.29 Gegenreihenschaltung der beiden Spulen des Transformators

Im Bildbereich (Bild 6.29) läßt sich entsprechend ein komplexer Widerstand aus den komplexen Effektivwerten von Spannung U und Strom! angeben und durch einen Ersatzzweipol mit Rund j wLr2 darstellen:

Z U U j(<Ilu-<Pi) R . X R' L -r2 = I = I . e = + J' r2 = + J W r2

Zr2 = Rl + R2 + jw(Ll + L2 - 2M) (6.68)

(vgI. GI. 3.348, Band 1)

Wird von den ermittelten komplexen Widerständen die Differenz Zrl - Zr2 gebildet, dann heben sich die ohmschen Anteile Rl + R2 und induktiven Anteile j W(Ll + L2) auf, und die Gegeninduktivität läßt sich nach

. 1 M = __ J_ (Zrl - Zr2) = _. (Xrl - Xr2) (6.69)

4w 4w

berechnen. Bei einem Tranformator mit gegensinnigem Wickelsinn der Spulen handelt es sich um die Reihenschaltung, wenn der Strom jeweils in die mit einem Punkt gekennzeichneten Klemmen fließt; beide unteren Klemmen müssen dann wie im Bild 6.29 zusammengeschlossen werden. Die Gegen-Reihenschaltung entsteht, wenn die beiden Spulen mit gegensinnigem Wickelsinn wie im Bild 6.28 in Reihe geschaltet sind; der Strom fließt einmal in die gekennzeichnete Klemme und dann in die nicht gekennzeichnete Klemme. Die Formeln für die komplexen Widerstände Zrl und ~r2 sind die gleichen wie für einen Transformator mit gleichsinnigem Wickelsinn.

3. Ermittlung der Gegeninduktivität mit Hilfe einer Wechselstrom-Brückenschaltung In der Übungsaufgabe 4.31 im Abschnitt 4.6 ist eine Wechselstrombrücke dargestellt (Bild 4.134), die die meßtechnische Ermittlung der Gegeninduktivität ermöglicht.


Beispiel: Um für einen Übertrager die Ersatzschaltbildgrößen ermitteln zu können, wurde nacheinander die sinusförmige Spannung u mit U = 200 V und f = 100 kHz an den Transformator angelegt, und zwar an die Primärspule bei sekundärem Leerlauf (Ergebnis: 111 = 314 mA,lPJ.l = 85,5°), an die Reihenschaltung beider Spulen (Ergebnis: I r1 = 14,6 mA, !Pr1 = 87,7°) und an die Gegen-Reihenschaltung beider Spulen (Ergebnis: I r2 = 32,3 mA, !Pr2 = 84,9°).

1. Zunächst sind die komplexen Widerstände ~ll'~r1 und ~r2 in algebraischer Form zu berechnen.

2. Dann sind aus den komplexen Widerständen die Ersatzschaltbildgrößen zu bestimmen.

Lösung: U

Zu 1. Zll= - !1l

200 V . ei . 85,5° = 50 ,2+ j . 635 0 314.10- 3 A

Zr1 = U = 200 V . ei . 87,7° = 550 0 + j . 13688 0 - !r1 14,6.10- 3 A

Zr2=.Q= 200 V .ei·84,9"=5500+j.61670 - !r2 32,3 .l(J 3 A

Zu 2.

Aus ~1I = R1 + j . Xli = R1 + jooL1 (nach GI. 6.63) ergeben sich

R1 =500 und

L1 = Xli = 635 0 00 2lt· 100 . 103 s-1

1 roH,

aus ~r1 =R+j ·Xr1 =R1 +R2 +joo(L1 +Lz+2M)

ergibt sich

mit

ist

aus

R2 =R-R1 =5500-500=5000,

X r1 -Xr2 M=---

400

M= 136880-61670 3 roH, 4· 2lt· 100·103 s-1

X r1 = oo(L1 + Lz + 2M)

ergibt sich

Xr1 Lz=--Lt-2M

00

Lz 136880 1mH-2·3mH=14,8roH 2lt· 100· 103s- 1

oder aus

~r2 = R +j. Xr2 = R1 + R2 +joo (L1 + Lz-2M)

ergibt sich

Xr2 Lz=--Lt +2M

00

Lz = 61670 1 roH + 2·3 roH = 14,8 roH 2lt . 100 . 103 s-1

(nach GI. (6.67))

(nach GI. (6.69))

(nach GI. (6.68))


6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines Transformators

Orts kurve des Spannungsverhältnisses eines Transformators

Vnter den Voraussetzungen, daß der sekundäre Verlustwiderstand R2 vernachlässigt wird und der Belastungswiderstand Zein ohmscher Widerstand ist,

kann das Spannungsverhältnis des Transformators als "einfache Ortskurve" im Sinne des Abschnitts 5.1 dargestellt werden. Für die Ermittlung der Ortskurve eignet sich das Ersatzschaltbild des Transformators mit dem Reduktionsfaktor ü = M/L2, also mit nur einer Längsinduktivität (siehe Bild 6.19 im Abschnitt 6.3), das mit obigen Voraussetzungen R2 = 0 und ~ = R im Bild 6.30 gezeichnet ist.

11 R1 j WCJLl !ll M -2 - -

jw(1-k2)Ll Bild 6.30

Ijwk2Ll u'

%YR Vereinfachtes Ersatz-

.\!1 -2 schaltbild des Trans-I j w(l-CJ) Ll li U formators mit einer L2 L2-2

11 - M 12 Längsinduktivität

Die Herleitung der Ortskurvengleichung für Vz/V I und die Konstruktion der Ortskurve erfolgt analog wie im Beispiel 8 im Abschnitt 5.3, denn anstelle von Kapazitäten (siehe Bild 5.22) sind im Ersatzschaltbild Induktivitäten zu berück-sichtigen: 1

1 1 -+

V' R' . k2L -2 J 00 I =

VI 1 + RI + joocrLI 1 1

-+ R' . k2L J 00 I

V' -2 1 =

VI 1 + (RI + joocrLI) (-.!,+. 12 ) R Jook LI

V' -2 1 =

VI [ R, 01,) . [01, R') 1+-+-- + 00---R' k2LI J R' ook2LI

V' 1 -2 mit 00 = p . 000 (6.70) -VI [ RI cr LI) . [ cr LI RI ) 1+-+-- + 00 ---

R' k2L J P 0 R' k2L I pooo I

Die Ortskurve VZ/V I ist ein Kreis durch den Nullpunkt mit dem Mittelpunkt auf der reellen Achse.

6.5 Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines Transformators 243

Die Bezugsfrequenz 0)0 wird errechnet, geraden mit p = 1 Null gesetzt wird:

indem der Imaginärteil der Nenner-

aLl R1 0)0 R' = k 2 L =QT

0)0 I

/ R'·R1 1.~ O)o=~ aLI.k2L1 =LI · 'V ~

bzw. fo=--·

und mit

1 ~'.R1 21t· L1 a . k 2

R' = ü2 . R = (~J . R

ist M2 . R·RI

Li· Li· a· k2

und mit

~=k2 LI·~

aus

(6.71)

(6.72)

(6.73)

Bei der Konstruktion des "Kreises durch den Nullpunkt" wird mit der Darstellung der Nennergeraden

UI = (1 + RI + a L1 1 + j . Q . (p - !) = A + j . B . (p _!), U; R' k2L1 T P P

die eine Parallele zur imaginären Achse ist, begonnen. Der Ortskurvenpunkt mit p = 1 liegt auf der reellen Achse, die Parameterwerte für p > 1 liegen oberhalb und die für p < 1 unterhalb der reellen Achse. Um die Bandbreite df = fg2 - fgl des Spannungsverhältnisses (siehe Abschnitt 4.5.1,

GI. (4.120» bei 45°-Verstimmung bestimmen zu können, werden die Zeiger bei + 45° und bei - 45° an die Gerade gezeichnet. Der positive Imaginärteil und der negative Imaginärteil sind dann jeweils gleich dem Realteil der beiden Zeiger:

( 1) R1 aLl (1) R1 aLl QT P-p =1+ R'+k2L bzw. -QT p--p =1+ R'+k2L

I 1

Damit lassen sich der p-Wert für die obere Grenzfrequenz fg2 , der p-Wert für die untere Grenzfrequenz fgl und die Bandbreite M errechnen.


Bei praktischen Berechnungen können für tiefe und hohe Frequenzen bestimmte Anteile in

vernachlässigt und damit für die Grenzfrequenzen Formeln angegeben werden: Bei tiefen Frequenzen werden die Streuglieder (OO"L1/R' und O"L1/k2L1 vernachlässigt, so daß sich für die untere Grenzfrequenz errechnen läßt:

Aus R1 R1

-----:2-- = 1 +-, (Og1 . k . L1 R

ergibt sich

bzw.

mit

bzw.

1 R1 (0 --_._-

g1 - k2. L R 1 1 +_1

R' 1 1

(Og1 = k2. L . 1 1 1 -+

R 1 R'

f _ 1 . __ 1_ g1 - 21tk2L 1 1

1 -+R 1 R'

1 1 f - -. --,----g1-21t k 2·L L

1 2 --+R1 R

(6.74)

1 1

(6.75)


Bei hohen Freqnenzen kann zunächst RI /(rok2 LI ) vernachlässigt werden: Aus

ergibt sich

ro = l. [R' + RI + R' . a] g2 a LI LI k 2 . LI '

dann kann R' . al (k2. LI) entfallen:

bzw.

R' + RI ro ----=-

g2 - a· LI

1 R' + RI f --'---g2 - 21t a· LI

und mit

R'=Ü2'R=(~J'R und

1 [M 2 'R RI ] rog2 = a' LI' q + LI

ro = l. (k 2 . R + RI ) g2 a Lz LI

bzw.

1 (k 2 'R RI ) f g2 = 21t . a' ~ + LI

(6.76)

(6.77)

Bei Übertragern mit geringer Streuung, genannt "fest gekoppelte Transformatoren", kann die obere Grenzfrequenz einige Hundert mal so groß sein wie die untere Grenzfrequenz. Um den Durchlaßbereich beurteilen zu können, wird das Verhältnis der oberen zur unteren Grenzfrequenz berechnet:

ro gl a (6.78)

Der Mittelpunkt des Kreises durch den Nullpunkt für U2/U 1 liegt auf der reellen Achse im Abstand 1I2A:

1 1 1

p>l

P=l fo

p< 1

Bild 6.31 Ortskurven der frequenz. abhängigen Spannungsverhältnisse von Transformatoren (Übertragern) zur Ermittlung der Bandbreite

1 §r-~------~r-------~--

fgZ

f -

Bild 6.32 Betrag des frequenzabhängigen Spannungsverhältnisses eines Transformators (Übertragers)

Aus der Ortskurve können dann die Beträge I U2/U d in Abhängigkeit von den Parametern p, also von der Frequenz Cl) bzw. f, abgelesen und in einer Durchlaßkurve dargestellt werden (Bild 6.32).


Übungsaufgaben zu den Abschnitten 6.1 bis 6.5:

6.1 1. Ermitteln Sie mittels quantitativem Zeigerbild die Effektivwerte der Eingangsspannung VI

2. 3.

4.

6.2 1.

2. 3.

und des Eingangsstroms 11 für einen Transformator mit Rl =60 Lt=20mH R2=100 M=15mH k=O,5 bei gegebener Ausgangsspannung .!:!.2 = 40 V, co = 10000 s-1 und ohmscher Belastung R =2000. Bestätigen Sie die Ergebnisse rechnerisch. Auf welchen Wert verändert sich die Ausgangsspannung V2, wenn die Eingangsspannung VI = 220 V beträgt? Auf welchen Wert vermindert sich die Spannnug VI bei geforderter Ausgangsspannung V 2 = 40 V, wenn die Streuung des Transformators vernachlässigt werden kann ("feste Kopplung")?

Entwickeln Sie aus den Transformatorgleichungen eines verlustlosen Vmkehrübertragers (gegensinnige Wicklungsanordnung) die Formel für den Kurzschluß-Eingangswiderstand in Abhängigkeit von co, (J und LI. Bestätigen Sie das Ergebnis mit Hilfe eines Ersatzschaltbildes mit galvanischer Kopplung. Berechnen Sie die Ersatzinduktivität Lers des Übertragers, wenn LI = 20 mH, L2 = 45 mH und M = 15 mH betragen.

6.3 Für Widerstandstransformationen eignet sich der gezeichnete Spartransformator mit kapazitiver Belastung, bei dem die Verluste vernachlässigt sind.

111

0

I}WM jw L2

11

I j w L1 0 1 I

12 I

,) 112

-:= 1 jW(r


1. Geben Sie die drei Spannungsgleichungen für den belasteten Spartransformator an. 2. Ermitteln Sie aus den Gleichungen den Eingangswiderstand Zin in Abhängigkeit von LI,

L2, M, co, Rr und c;.. -3. Wie groß ist der Eingangswiderstand Zin ' wenn die Ersatzinduktivität L = LI + L2 + 2 M

mit der Kapazität Cr in Resonanz ist? -4. Sind LI = 200 mH L2 = 200 mH k = 0,6 Rr = 25 0 Cr = 62,5 nF und L und Cr in

Resonanz, dann ist der Eingangswiderstand induktiv. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz co und den induktiven Eingangswiderstand.

6.4 Die Ersatzschaltbildgrößen eines Transformators betragen Rl = 60 0 R2 = 100 0 LI = 20 mH L2 = 45 mH und k = 0,5. Bei einer Kreisfrequenz co = 10000 s-1 soll der Transformator mit einer Spule belastet werden, deren Ersatzschaltung einer Reihenschaltung von Rr = 50 0 und Lr = 8,67 mH entspricht, wobei die Spannung an der Spule V 2 = 40 V betragen soll. Mit Hilfe des Ersatzschaltbildes mit Streuinduktivitäten sollen das Zeigerbild und damit die Eingangsgrößen VI und 11 ermittelt werden. 1. Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild mit Streuinduktivitäten für den speziellen Belastungsfall

und ermitteln Sie die Ersatzschaltbildgrößen mit ü = 1,2. 2. Entwickeln Sie das Zeigerbild mit den gegebenen und berechneten Größen, wobei Sie die

Reihenfolge der Darstellung angeben. Wie groß sind 11 und VI? 3. Wie ändern sich 11,12 und V2, wenn die Eingangsspannung VI = 500 V beträgt?


6.5 Für einen Transformator mit Eisenverlusten soll das Zeigerbild entwickelt werden. Die Eisenverluste werden durch den ohmschen Widerstand Re erfaßt.

jwM' u' -2

!' -2

Die Belastung des Transformators ist induktiv: Rr = 20 Q und Lr = 95,5 mH. Gegeben sind: U2 = 600 V, f = 50 Hz wl = 2500

W2 = 500 Rl =400n R2 = 40Q

Bild 6.34 j w Lr Übungsaufgabe 6.5

Lls = 0,8 H L2s = 0,12 H

M= 1,2H Re =5kQ

1. Berechnen Sie die Ersatzschaltbildgrößen mit [j = Wl/w2.

2. Entwickeln Sie das quantitative Zeigerbild und geben Sie VI, 11 und CJll an.

6.6 1. Bei einer Kreisfrequenz co = 10000 s-1 wurden an einem Übertrager folgende Wechsel-stromwiderstände gemessen: ~1l = 6 Q + j ·80 Q ~rI = 42 Q + j ·830 Q ~r2 = 42 Q + j . 230 Q

Ermitteln Sie die Ersatzschaltbildgrößen des Transformators. 2. Geben Sie das Ersatzschaltbild mit nur einer Längsinduktivität (ü = M/L2) an und errech-

nen Sie mit den unter 1. ermittelten Werten die Ersatzschaltbildgrößen. Die Belastung beträgt R = 180 Q.

3. Entwickeln Sie für das Ersatzschaltbild ein quantitatives Zeigerbild, wenn der sekundäre Strom !2 = 0,1 A beträgt. Lesen Sie aus dem Zeigerbild VI und CJll ab.

4. Berechnen Sie den Eingangswiderstand des Übertragers aus den Ergebnissen des Zeigerbildes. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit der Ersatzschaltung.

6.7 Für einen Übertrager mit RI = 50 Q, LI = 0,8 mH, L2 = 16 mH, k = 0,995, R2 = 0 (vernachlässigt) und einer ohmschen Belastung R = 1 kQ soll das Spannungsverhältnis U2.1 U 1 in Ab-hängigkeit von der Frequenz berechnet werden. - -1. Ermitteln Sie für die Ersatzschaltung mit nur einer Längsinduktivität die Ersatz

schaltbildgrößen. 2. Für das Spannungsverhältnis U2.1 V 1 ist die Ortskurvengleichung zu berechnen und die

Ortskurve zu zeichnen. 3. Tragen Sie in die Ortskurve für U 1 IUz den 45°-Zeiger und den - 45°-Zeiger ein und lesen

Sie die beiden p-Werte für die Grenzfrequenzen ab. Weisen Sie die p-Werte rechnerisch nach. Geben Sie die obere und die untere Grenzfrequenz und die Bandbreite an.

4. Kontrollieren Sie mit Hilfe der Näherungsformeln die Ergebnisse für die Grenzfrequenzen.

5. Um wieviel mal höher liegt die obere Grenzfrequenz gegenüber der unteren Grenzfrequenz?

6. Berechnen Sie die Funktionswerte der Funktion I!:!.z I !:!.11 =f(p) und stellen Sie die Funktion in Abhängigkeit von der Frequenz f dar. Kontrollieren Sie die p-Werte mit Hilfe der Ortskurve.

7 Mehrphasensysteme

7.1 Mehrphasensysteme

Einphasensystem

249

Durch Rotieren einer Spule in einem homogenen Magnetfeld wird in der Spule eine Wechselspannung induziert, so daß sich beim Anschließen eines Verbrauchers an die Spulenklemmen ein Wechselstrom einstellen kann (siehe Abschnitt 3.4.6.1, Beispiel 2 im Band 1). Einphasensysteme sind Wechselstromsysterne mit je einer Strombahn für Hin- und Rückleitung, in und entlang denen die elektrischen und magnetischen Größen verlaufen (siehe DIN 40 108). Sie wurden in den Abschnitten 4, 5 und 6 behandelt.

Mehrphasensysteme

Werden mehrere selbständige gleichgestaltete Spulen (Anzahl m) um den gleichen Winkel (l = 21C/m versetzt angeordnet im homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld mit der Winkelgeschwindigkeit 0) gedreht, dann werden in jeder Wicklung sinusförmige Wechselspannungen Uql, Uq2, Uq3, ... , Uqm mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude induziert, die um den Phasenwinkel (l = 21C/m zueinander phasenverschoben sind (vgl. Bild 3.154, Band 1). Im Bild 7.1 sind drei Spulen gezeichnet, die um den Winkel (l = 21C/3 versetzt angeordnet sind. Die in den drei Spulen induzierten Spannungen sind dann um (l = 21C/3 phasenverschoben, wie im Zeitbereich und im Zeigerbild ersichtlich ist.

Bild 7.1 Spannungen von drei in einem Magnetfeld drehenden selbständigen Spulen


250 7 Mehrphasensysteme

Praktisch angewendete Wechselstromgeneratoren besitzen keine drehenden Spulen, sondern längs der Peripherie des Stators mehrere selbständige Wicklungen mit einem drehenden Rotor, der als Dauermagnet oder mit einer Erregerwicklung ausgeführt ist. Im Bild 7.2 sind drei Spulen an der Peripherie angeordnet, die sich relativ zu dem sich drehenden Rotor "bewegen". Diese Relativbewegung führt zu den gleichen induzierten Quellspannungen wie im Bild 7.1.

Uq1

Stönder -wicklungen (vgl. mit Bilder 7_8 und 7. 111

Bild 7.2 Dreiphasengenerator

Werden die Generatorspulen durch Wechselstromwiderstände belastet, dann liegen aufgrund der Wechselstrominnenwiderstände an den Spulen nur die sinusförmigen Klemmenspannungen U1, U2, U3, ... , um an.

Die in Mehrphasengeneratoren induzierten, um den Winkel a versetzten sinusförmigen Quellspannungen und die Klemmenspannungen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude können im Zeitbereich und durch Zeiger im Bildbereich dargestellt werden.

Symmetrisches Strom- und Spannungssystem

Die komplexen Effektivwerte der abgebildeten sinusförmigen Spannungen an den Spulen eines Mehrphasengenerators U l' U 2' ... , Umbilden einen symmetrischen

Stern, weil die Zeiger benachbarter Spannungen durch Drehung um den Winkel a = 21t/m ineinander überführt werden können:

u1 = u" sinrot

~ = u" sin(rot - a)

~ = u" sin(rot - 2a)

u4 =u· sin(rot-3a)

um = U " sin [rot - (m - 1) . a]

U1

U2=U1"e-ja

U = U . e-j2a -3 -1

~=U1·e-j3a

U = U "e-j(m-l)a -m -1

7.1 Mehrphasensysteme 251

Auch die abgebildeten komplexen Effektivwerte der Ströme 11, h, ... ,Im' die sich durch Anschluß gleicher Wechselstromwiderstände Z = R + j . X = Z· ej<p an die Spulenklemmen ergeben, bilden einen symmetrischen Stern, weil sie ebenfalls gleiche Effektivwerte und den gleichen Phasenwinkel ahaben:

VI VI . 1=-= =I·e-J -

V V· e-j2a 1=-3=-1 =I.e-j(2a+q» -3 ~ z . ejq> -

V V ·e-j3a I = -4 = -1 = I. e-j(3a+<p) -4 Z Z. ejq> -

V V· e-j(m-l)a I =-m=-1 =I.e-j[(m-l)a+q>] -m Z Z. ej<p

Bild 7.3 Zeigerbild für das symmetrische Strom- und Spannungssystem eines Sechsphasensystems (m= 6)

Sind die Wechselstromwiderstände bzw. komplexen Widerstände für alle Phasen gleich, dann wird das Mehrphasensystem symmetrisch genannt. Für gleiche induktive Wechselstromwiderstände in den einzelnen Stromkreisen ergibt sich dann das im Bild 7.3 dargestellte Zeigerbild für das symmetrische Strom- und Spannungssystem, hier für ein Sechsphasensystem mit m = 6.

Operator des m-Phasensystems

Mit dem Drehzeiger

a = e-ja = e-j27t/m - , (7.1)

dem Operator des m-Phasensystems, lassen sich benachbarte Spannungszeiger und Stromzeiger entsprechend der Numerierung ineinander überführen. Für ein Dreiphasensystem ist der Operator

~ = e-j27t13 = e-j .1200

~ = cos 1200 - j . sin 1200 = - 1/2 - j . 1/2 . '13.

Mehrphasensysteme oder m-Phasensysteme

Mehrphasensysteme sind also die Mehrphasengeneratoren, die belastenden Widerstände und die sie verbindenden Leitungen, also die Gesamtheit der Stromkreise. Hinsichtlich der Anzahl der Phasen (Stränge) werden Mehrphasensysteme in Zweiphasensysteme, Dreiphasensysteme und Sechsphasensysteme unterschieden.

Ein Mehrphasensystem ist also ein Wechselstromsystem mit mehr als zwei Strombahnen, in und entlang denen die elektrischen und magnetischen Größen mit gleicher Frequenz, mit gleichen oder angenähert gleichen Amplituden, in vorgegebener Phasenfolge mit gleichen oder angenähert gleichen Phasenverschiebungswinkeln verlaufen (siehe DIN 40 108).

Balancierte Mehrphasensysteme

Ist die Augenblicksleistung p eines Mehrphasensystems zeitlich konstant, obwohl die Leistungen der einzelnen Phasen veränderlich sind, dann wird das Mehrphasensystem abgeglichen oder balanciert genannt. Ein m-Phasensystem kann für m ~ 3 balanciert sein, wenn die Belastung symmetrisch ist. Die Augenblicksleistung ist dann gleich der Wirkleistung:

p = m . U . I . cos <p = P.

Nichtverkettete Mehrphasensysteme

Werden die Enden der einzelnen Phasenwicklungen des Generator getrennt herausgeführt und mittels selbständiger Leitungen an die einzelnen Verbraucher angeschlossen, dann ist das Mehrphasensystem nicht verkettet.

Verkettete Mehrphasensysteme

Bei verketteten Mehrphasensystemen sind die Phasenwicklungen des Generators miteinander verbunden und zwar in Sternschaltung oder in Ringschaltung (Polygonschaltung). Die Wechselstromwiderstände (Verbraucher) können ebenfalls in Sternschaltung und in Ringschaltung (Polygonschaltung) geschaltet sein. Nach DIN 40108 ist der Begriff "Phase" durch den Begriff "Strang" ersetzt worden und bedeutet die Strombahn, in der der Strom einer Phase fließt. Um eine Sternschaltung eines Mehrphasensystems handelt es sich, wenn sämtliche Stränge (Phasenwicklungen) an einem ihrer Enden in einem Sternpunkt N zusammengeschlossen sind. Die an den Spulenklemmen anliegenden Spannungen Ul, U2, ... , Um heißen Strangspannungen USt, die im einzelnen mit UIN, U2N, ... , UmN bezeichnet werden. Eine Ring- oder Polygonschaltung eines Mehrphasensystems liegt vor, wenn sämtliche Stränge (Phasenwicklungen) hintereinander geschaltet einen geschlossenen Ring ergeben. Die an den Generatorspulen anliegenden Spannungen UI, U2, ... , Um sind dann gleich den Außenleiterspannungen ULt, die im einzelnen mit U12, U23, U34, ... , Um-I, m, um, 1 bezeichnet werden. Für ein Dreiphasensystem heißt die Ring- oder Polygonschaltung Dreieckschaltung. Die Verbindungsleiter der Außenpunkte des Generators und der Außenpunkte des Verbrauchers heißen Außenleiter, die mit LI, L2, ... ,Lm bezeichnet werden. Zwischen einem Mehrphasengenerator in Sternschaltung und einem Mehrphasenverbraucher in Sternschaltung heißt der Verbindungsleiter zwischen den Sternpunkten Sternpunktleiter oder Neutralleiter, der mit dem Buchstaben N gekennzeichnet wird.


Spannungen und StrtJme des Mehrphasensystems

Strangspannungen (ehemals Phasenspannungen) USt bzw. U St sind die Spannungen an den Klemmen der Phasenwicklungen,

Strangströme (ehemals Phasenströme) iSt bzw. Ist sind die Ströme, die durch die Phasenwicklungen fließen.

Außenleiterspannungen (ehemals Leiterspannungen) uLt bzw U Lt sind die Spannungen, die zwischen zwei Außenleiter des verketteten Mehrphasensystems bestehen und

Außenleiterströme (ehemals Leiterströme) iLl bzw'!Ll sind die Ströme, die durch die Außenleiter fließen.

Verkettete Mehrphasensysteme ersparen vor allem Leitermaterial hinsichtlich der Rückleiter. Bei symmetrischen Stern-Stern-Schaltungen (Generator und Verbraucher in Sternschaltung) kann der Sternpunktleiter (Neutralleiter) sogar ganz entfallen, weil der Strom durch den Sternpunktleiter Null ist.

StrtJme und Spannungen der Stern-Stern-Schaltung

Bei einer Stern-Stern-Schaltung (Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Sternschaltung) sind die Außenleiterströme gleich den Strangströmen:

(7.2)

d.h. durch die Phasenwicklungen und die komplexen Widerstände treten die Ströme 11, h, ... ,Im auf.

Der Strom durch den Sternpunktleiter IN ist gleich der Summe der Ströme:

m

IN = L t = 11 +h ... + Im' i=l

(7.3)

Die Außenleiterspannungen zwischen zwei Außenleiter hingegen sind jeweils gleich der Differenz der Strangspannungen:

V·. =V·N - V'N -1) -1 -)'

d.h. V 12 = U 1N - V 2N' V 23 = V 2N - V 3N' ...

... , V m - 1,m = U m - 1,N- V mN, V m1 = UmN - V 1N•

Sie lassen sich durch Dreieckbeziehungen berechnen:

Aus

ULl .(l.1t 2 Sln-=Sln-=--

2 m USt

ergibt sich

V Ll =2. USt' sin~. m

(7.5)

(7.4)

Bild 7.4 Zusammenhang zwischen Außenleiter und Strangspannung


Beispiel: 6-Phasensystem in Stern-Stern-Schaltung

L4 2

!s s Ll 11 L-~--~~-----------------r--~

Bild 7.5 6-Phasensystem in Stern-Stern-Schaltung

Durch die sechs Phasenwicklungen des Generators und durch die komplexen Widerstände ~1' ~z, ... , ~6 sind die Ströme jeweils gleich: !1'!Z, .. · '!6'

Die Außenleiterspannungen U 12' U 23,'" '.!:!.S6' .!:!.61 sind gleich der Differenz der Strang

spannungen U 1N' U 2N,'" , U 6N:

U 12 = U 1N- U 2N, U 23 = U 2N- U 3N,'" '.!:!.S6= .!:!.SN- U6N, U61 = U6N- U 1N'

Die Effektivwerte der Außenleiterspannungen des 6-Phasensystems sind genauso groß wie die Effektivwerte der Strangspannungen:

ULt = 2 . US1 . sin ~ = 2 . US1 . 0,5 = US1 z.B. U12 = U1N' 6

Ströme und Spannungen der Polygon-Polygon-Schaltung

Bei einer Polygon-Polygon-Schaltung (Generator in PolyglJnschaltung und Verbraucher in Polygonschaltung) sind die Außenleiterspannungen gleich den Strangspannungen:

(7.6)

d.h. die an den Phasenwicklungen und an den komplexen Widerständen anliegenden Spannungen sind jeweils gleich:

U 12' U 23 ' .. ·' U m- 1,m' U m,l·

Die Außenleiterströme verzweigen sich jeweils in Strangströme, sind also gleich der Differenz von Strangströmen:

I,=I 'k- I .. -I -I -)1' (7.7)


Durch Addition des Gleichungssystems ergibt sich, daß die Summe der Außenleiterströme Null ist:

m

(7.8)

Aus dem Effektivwert der Strangströme läßt sich der Effektivwert der Außenleiterströme berechnen: Aus

I Lt

• Cl . 1t 2 sm - = sm - = -

2 mISt

ergibt sich

ILt = 2 . ISt· sin ~. m

(7.9)

Beispiel: 6-Phasensystem in Polygon-Polygon-Schaltung

L2 12

L4 -JJ23

4

69----i ___ - 4 !S

Bild 7.6 Zusammenhang zwischen Außenleiterstrom und Strangstrom

p-:-C::J--:;-~ 3 i23 _ f 23

JJ23 134 .?:34

JJ3~

JJ S6 -6 9----i==J--"':-:'.qS

4

L6 !6 L1 !1 ~~--~~------------------+---~ .?:S6

Bild 7.7 6-Phasensystem in Polygon-Polygon-Schaltung

An den sechs komplexen Verbraucherwiderständen liegen die gleichen Spannungen an wie an den Phasenwicklungen des Generators: Q12' U 23.·· ·. U 56. U 61·

Die Außenleiterströme !1.!Z, ... . !6 sind gleich der Differenz der Strangströme !12. !23. ··· . !56. !6f

Die Effektivwerte der Außenleiterströme des 6-Phasensystems sind genauso groß wie die Effektivwerte der Strangströme:

ILt = 2 . ISt · sin ~ = 2 . ISt· 0.5 = ISt z.B. 12 = 123 . 6

Wirkleistung des symmetrischen m-Phasensystems

Die Wirkleistung des m-Phasensystems ist gleich der Summe der einzelnen Phasen-Wirkleistungen. Für ein symmetrisches m-Phasensystem ist die Wirkleistung jeder Phase gleich, so daß die gesamte Wirkleistung des m-Phasensystems gleich dem rn-fachen einer Phasen-Wirkleistung ist:

P = m· USt · ISt· cos<p. (7.10)

Für die Sternschaltung und die Polygonschaltung ist die Wirkleistung gleich: m P =--_. UL ·IL . cos<p

1t t t 2· sin-

m

denn es gilt für die Sternschaltung: und für die Polygonschaltung: ULt

ISt = ILt USt = ---2· sin~

m

I Lt USt = ULt ISt = ---

2· sin~ m

Beispiel: Wirkleistung des symmetrischen 6-Phasensystems 6 P = --_. ULt . ILt 0 cos<p = 6 0 ULt 0 ILt 0 cos <po

2 0 sin~ 6

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme

Dreiphasensysteme

(7.11)

In der Energieversorgung werden am häufigsten Dreiphasensysteme verwendet, weil bei geringstem Leitungsaufwand ein balanciertes Mehrphasensystem verwirklicht werden kann. Verkettete Dreiphasensysteme in Stern- und Dreieckschaltung heißen auch Drehstromsysteme, weil mit dem Mehrphasensystem ein räumlich rotierendes Magnetfeld - das Drehfeld - verbunden ist. Die Außenleiter werden mit LI, L2, L3 und der Sternpunktleiter oder Neutralleiter mit N (ehemals Mp oder 0) bezeichnet. Nach DIN 40108 sind die Bezeichnungen 1,2,3 und R, S, T (für Betriebsmittel U, V, W) auch zulässig. Oft werden auch die Farben gelb, grün und violett für die Kennzeichnung der Phasen verwendet. Entsprechend werden die Effektivwerte der Strangspannungen USt der Sternschaltung (Sternspannungen) mit UlN, U2N, U3N

sonst Ul, U2, U3 (wenn Verwechslungen ausgeschlossen sind) (für Erweiterungen URN, USN, UTN bzw. UR, Us, UT)

Strangströme Ist der Dreieckschaltung (Dreieckströme) mit 112, 123, 131 (für Erweiterungen auch IRS, IST, IrR) für Generatoren, Motoren, Transformatoren luv, Ivw, Iwu

Außenleiterspannungen ULt (Dreieckspannungen) mit U12, U23, U31 (für Erweiterungen auch URS, UST, UTR)

Außenleiterströme ILt (Sternströme) mit 11, h, 13 (für Erweiterungen auch IR, Is, Ir) für Generatoren, Motoren, Transformatoren Iu, Iv, Iw

und der Sternpunktleiterstrom IN benannt.

7.2 Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme 257

Sternschaltung

Werden die Enden der drei Generatorspulen mit den Bezeichnungen V2, V2, W2 (ehemals X, Y, Z) auf dem Klemmbrett des Generators zum Sternpunkt N zusammengeschlossen, dann handelt es sich um die Sternschaltung des Generators. Der Verbraucher ist ebenfalls in Sternschaltung zusammengeschaltet und über die Außenleiter Ll, L2, L3 an die Klemmen V1, V1, W1 (ehemals V, V, W) des Generators angeschlossen. Die beiden Sternpunkte N und N' sind über dem Sternpunktleiter (Neutralleiter) miteinander verbunden:

Ll L2 L3

Ul Vl Wl .--,

W2 ,U2 V2

\123

L2 12

13

Bild 7.8 Stern-Stern-Schaltung eines Dreiphasensystems mit Klemmbrett des Dreiphasengenerators

Da der Dreiphasengenerator drei gleiche, um den Winkel a = 2n/3 versetzte Wicklungen besitzt, sind auch die sinusförmigen Strangspannungen bei gleichem Effektivwert VSt um a = 2n/3 ~ 120° phasenverschoben:

ulN = fI· VSt . sinrot

u2N = fI· VSt . sin (rot - 2n/3)

U3N = fI· VSt · sin (rot - 4n/3)

Im komplexen Bereich werden die komplexen Effektivwerte der benachbarten Strangspannungen mit dem Drehzeiger für ein Dreiphasensystem a = e - j 27t13 = e - j , 1200 ineinander überführt. Dabei wird der komplexe Effektivwert Ü IN reell angenommen, also im Zeigerbild auf die positive reelle Achse gelegt:

VlN = VSt · e j ,00 = VSt

V 2N = VSt ' ~ = VSt · e- j · 27t13 = VSt ' e- j .1200 = VSt ' (-1/2 - j . 1/2· fl)

V 3N = VSt ' ~2 = VSt . e- j ·41[13 = VSt ' e j . 1200 = VSt ' (-1/2 + j. 1/2· fl)

j lJ3N

Bild 7.9 Zeigerbild der Strangspannungen


Die Außenleiterströme !Lt sind gleich den Strangströmen Ist (vgI. GI. (7.2»:

!Lt = Ist mit ILt = ISt

das sind !1' hund b·

(7.12)

Die Außenleiterspannungen ULt sind um das ff-fache (ff = 1,73) größer als die Strangspannungen Ust (nach GI. (7.5)):

ULt = 2 . USt . sin ~ = ff· USt

das sind U12, U23 und U31.

(7.13)

Eine oft gebräuchliche Schreibweise für die Gleichung zwischen Außenleiterspannung und Strangspannung ist mit ULt = U und USt = UA (Sternspannung)

U = ff· UA • (7.14)

Die Summe der Leiterströme ist gleich dem Strom im Sternpunktleiter, wie sich nach dem Kirchhoffschen Satz für komplexe Effektivwerte im Sternpunkt N ergibt:

(7.15)

Sind die Strangwiderstände Z1' Z2' ~3 des Verbrauchers gleich groß, dann sind

die Effektivwerte der Außenleiterströme gleich

ILt = 11 = 12 = 13 = I (7.16)

und der Strom im Sternpunktleiter !N ist Null:

IN = 11 + 12 + b = o. (7.17)

Genauso wie das System der Leiterströme ist dann das System der Außenleiterspannungen über den Strangwiderständen symmetrisch, wie im Zeitdiagramm und durch ein Zeigerbild dargestellt werden kann (Bild 7.10). Die Außenleiterspannungen sind ff-mal so groß wie die Strangspannungen und gegen diese um 1t/6 ~ 300 phasenverschoben.

wt

0: ~~ 4'iI 0: -r- 0: ---

o 3J13 2n

oder

!d12 =!d1N -!J2N

!J23 = !d2 N -!J3 N

!J.31 =!d3N-!J1N

\123

Bild 7.10 Zeitdiagramm und Zeigerbild der Außenleiterspannungen und Strangspannungen in einem symmetrischen Dreiphasensystem


Wird für ein Drehstromsystem eine Spannung angegeben, so handelt es sich stets um die Außenleiterspannung VLl = V. Eine 110 kV-Leitung bedeutet zum Beispiel, daß der Effektivwert der Spannung zwischen zwei Außenleitern 110 kV beträgt. Nur in Ausnahmefällen wird zusätzlich zur Außenleiterspannung auch noch die Strangspannung genannt, zum Beispiel 220/380 V-Netz. Bei einem in Stern geschalteten Drehstromgenerator können also zwei Dreiphasensysteme abgegriffen werden:

das symmetrische System der Außenleiterspannungen und das symmetrische System der Strangspannungen.

Dreieckschaltung

Werden die Generatorspulen in einen Ring geschaltet und zwar die Spulenanfänge mit den Spulenenden VI - W2, VI - V2, Wl - V2 (ehemals V - Z, V - X, W - Y) verbunden, dann handelt es sich um die Dreieckschaltung des Generators. Der Verbraucher ist ebenfalls in Dreieckschaltung geschaltet und über die Außenleiter Ll, L2, L3 an die Klemmen VI, VI, Wl (ehemals V, V, W) des Generators angeschlossen:

11 L2 L3 L2

VI

! !in

UI VI Wl

W2 U2 V2

3 L3 LI

Bild 7.11 Dreieck-Dreieck-Schaltung eines Dreiphasensystems mit Klemmbrett des Dreiphasengenerators

Da der Dreiphasengenerator drei gleiche, um den Winkel a = 2rc/3 versetzte Wicklungen besitzt, sind auch die drei Außenleiterspannungen bei gleichem Effektivwert VLl um a = 2rc/3 ; 1200 phasenverschoben, wie durch ein Zeigerbild erläutert werden kann (Bild 7.12) . Genauso wie die benachbarten Zeiger der Strangspannungen bei der Sternschaltung können ber:tachbarte Zeiger der Außenleiterspannungen mit Hilfe des Drehzeigers ~ = e-J 21t/3 ineinander überführt werden.

oder

Bild 7.12 Zeigerbild der Außenleiterspannungen


Die Außenleiterspannungen U Lt sind gleich den Strangspannungen U St (vgI. GI. (7.6»:

U Lt = U St mit ULt = USt

das sind U 12' U 23 und U 31'

(7.18)

In der Praxis wird die Außenleiterspannung auch Dreieckspannung U t. genannt:

(7.19)

Die Außenleiterströme ILt sind um das ß-fache (ß = 1,73) größer als die Strangströme ISt (nach GI. (7.9»:

ILt = 2 . ISt' sin ~ = f3. ISt (7.20)

das sind 11, 12 und 13,

Eine oft gebräuchliche Schreibweise für die Gleichung zwischen Außenleiterstrom und Strangstrom ist mit ILt = I und Ist = It.

1= f3 . It.. (7.21)

Sind die Strangwiderstände ~12' ~23 und Z31 des Verbrauchers gleich groß, dann bilden die Außenleiterströme und die Strangströme ebenfalls symmetrische Systeme und die Effektivwerte der Außenleiterströme sind gleich:

ILt = 11 = 12 = 13 = I. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz für komplexe Effektivwerte der Ströme ergibt sich für die Knotenpunkte 1,2 und 3:

(7.22)

Diese Gleichungen im Zeitbereich und im Zeigerbild dargestellt bestätigen, daß die Außenleiterströme in einem symmetrischen Drehstromsystem in Dreieckschaltung um den Faktor f3 größer sind als die Strangströme und daß diese Außenleiterströme um den Winkel rc/6 ~ 30° gegen die entsprechenden Strangströme phasenverschoben sind (siehe Bild 7.13).

Cl --'"- a.-...- a -..4-- Cl ~

o 2n ~ 4n 2n 3 3

oder

11 = 11r131 12= 123 -!12

b= 131-l23

ilil23 12 13

131

!12 !1

Bild 7.13 Zeitdiagramm und Zeigerbild der Außenleiterströme und Strangströme in einem symmetrischen Dreiphasensystem

Bei einer Dreieckschaltung kann nur ein Dreiphasensystem der Spannungen - das der Außenleiterspannungen - abgegriffen werden.


Mehrphasengeneratoren werden meist in Sternschaltung verwendet, weil bei den Polygonschaltungen - speziell Dreieckschaltung - höherfrequente Schwingungen auftreten, die nicht erwünscht sind.

Wirkleistung, Blindleistung und Schein leistung der symmetrischen Dreiphasensysteme

Ist das symmetrische Dreiphasensystem des Generators in Stern- oder Dreieckschaltung an einen symmetrischen Verbraucher mit gleichen Strangwiderständen in Stern-bzw. Dreieckschaltung angeschlossen, dann sind die Wirkleistung P, die Blindleistung Q und die Scheinleistung S jeweils gleich dem Dreifachen der entsprechenden Phasenleistung. Sie sind für die Sternschaltung und die Dreieckschaltung jeweils gleich:

P = 3 . U St . ISt . cos q> = f3 . U Lt . I Lt . COS q>

Q = 3· U St ' ISt' sinq> = f3. ULt · ILt · sinq>

S = 3 . USt . ISt = f3 . U Lt . ILt

denn es gilt für die Sternschaltung: und für die Dreieckschaltung:

U Lt ISt = ILt USt = f3

I Lt USt = U Lt ISt = f3

Beispiel 1:

(7.23)

(7.24)

(7.25)

Die drei Wicklungen eines Drehstromgenerators sind einmal in Sternschaltung und zum anderen in Dreieckschaltung zusammengeschaltet und symmetrisch belastet. An den Klemmen der Phasenwicklungen liegt jeweils eine Spannung von 220 V, und durch die Wicklungen fließt jeweils ein Strom von 9 A mit einer Phasenverschiebung q> == 20° gegenüber der Spannung. 1. Anzugeben bzw. zu berechnen sind die Strangspannung und die Außenleiterspannung,

der Strangstrom und der Außenleiterstrom und die am Verbraucher abgegebene Wirkleistung des Drehstromsystems in Sternschaltung.

2. Anzugeben bzw. zu berechnen sind die Strangspannung und die Außenleiterspannung, der Strangstrom und der Außenleiterstrom und die am Verbraucher abgegebene Wirkleistung des Drehstromsystems in Dreieckschaltung.

3. Die Spannungen, Ströme und Wirkleistungen der beiden Schaltungen sollen verglichen werden.

Lösung: Zu 1. Sternschaltung (siehe Bild 7.8): Strangspannungen U1N, U2N, U3N

USt =220V

Strangströme 11,12,13

ISt = 9 A

Wirkleistung (nach GI. (7.23»:

Außenleiterspannungen U12, U23, U31

ULt=Y3' Ust (nach GI. (7.13»

ULt =Y3·220V==381 V

Außenleiterströme 11,12,13

ILt = ISt == 9 A (nach GI. (7.12»

P == 3 . Ust . ISt' cos q> == 3 . 220 V . 9 A . cos 20° == 5582 W oder

P == Y3 . ULt . ILt . cos q> == Y3 . 381 V . 9 A . cos 20° = 5581 W

Zu 2. Dreieckschaltung (siehe Bild 7.11): Strangspannungen U12, U23, U31 Außenleiterspannungen U12, U23, U31

Ust = 220 V

Strangströme 112, 123, 131

ISt = 9 A

Wirkleistung (nach GI. (7.23)):

ULt = USt = 220 V

Außenleiterströme 11,12,13

ILt = {3. ISt

ILt = {3. 9 A = 15,6 A

P = 3 . U St . ISt' cos <p = 3 . 220 V . 9 A . cos 200 = 5582 W oder

P= {3. ULt · ILt · cos <p= {3. 220 V· 15.6 A· cos20° = 5586 W

(nach GI. (7.18))

(nach GI. (7.20))

Zu 3. Bei der Sternschaltung ist die Spannung zwischen den Außenleitern hoch und der Strom in den Außenleitern niedrig, bei der Dreieckschaltung ist die Spannung zwischen den Außenleitern niedrig und der Strom in den Außenleitern hoch. Die Wirkleistung der Sternschaltung unterscheidet sich nicht von der Wirkleistung der Dreieckschaltung.

Beispiel 2: Auf dem Leistungsschild eines alten Drehstrommotors ist zu lesen:

12PS 220Vö cos <p= 0,89

Tl =86,7 % 30A 2870 U/min

1. Die Angaben auf dem Leistungsschild sind zu erläutern. Dabei ist anzugeben, an welchem Dreiphasensystem in Sternschaltung und an welchem Dreiphasensystem in Dreieckschaltung der Motor betrieben werden kann.

2. Zu berechnen sind die Außenleiterströme bei Nennbetrieb für die Sternschaltung und für die Dreieckschaltung.

3. Mit welchem Dreiphasensystem ist für den Motor eine Stern-Dreieck-Schaltung möglich? 4. Zu berechnen sind das Nennmoment und die Blind- und Schein leistung, die das Drei

phasensystem dem Motor zuführt.

Lösung: Zu 1. Auf dem Leistungsschild von Motoren werden Daten bei Nennbetrieb angegeben. Nennbetrieb bedeutet Betrieb des Motors bei Vollast. 12 PS Die angegebene Leistung ist die an der Welle maximal mögliche Wirkleistung,

die für eine Antriebsmaschine zur Verfügung steht. Die Nennleistung wird in kW angegeben, PS-Angaben sind nicht mehr zulässig. Für alte Motoren muß also die Umrechnung 1 PS = 735,5 W bekannt sein. Die abgegebene Wirkleistung beträgt für den speziellen Fall:

Pmech = 12 PS = 12 . 735,5 W = 8,826 kW.

Tl = 86,7 % Der Wirkungsgrad Tl besagt, daß die vom Dreiphasennetz gelieferte Wirkleistung P el auf Grund der Leistungsverluste im Motor höher ist als die maximal mögliche Wirkleistung Pmech:

Pel = Pmech/Tl = 8,826 kW/O,867 = 10,18 kW


220 VL1 Der Motor wird ordnungsgemäß betrieben, wenn an jeder Wicklung (Strang) die Wicklungsnennspannung anliegt. Da die drei Motorwicklungen in Sternschaltung und in Dreieckschaltung geschaltet werden können, müssen die Spannungsangaben auf dem Leistungsschild besonders beachtet werden, weil höhere Spannungen zu einer Überlastung der Wicklungen führen. Bei doppelter Spannungsangabe ist der kleinere Wert die Wicklungsnennspannung,

z.B. 380/220 V Wicklungsnennspannung: 220 V.

Bei einfacher Spannungsangabe (wie hier im Beispiel) ist die Nennspannung pro Strang angegeben, d.i. die Spannung, die jeweils an die Wicklungen des Motors angelegt werden darf,

z.B. 220 V L1 Wicklungsnennspannung: 220 V.

In Sternschaltung des Motors ist also die Strangspannung USt = 220 V; der Motor kann an ein 380/220 V-Drehstromnetz angeschlossen werden (siehe Bild 7.14, links). Werden die Wicklungen des Motors in Dreieckschaltung geschaltet, dann darf der Motor nur an ein 220/127 V-Drehstromsystem angeschlossen werden, weil die Strangspannung (Wicklungsnennspannung) gleich der Außenleiterspannung ULt = 220 V ist (siehe Bild 7.14, rechts).

USt =220V

Bild 7.14 Motor in Stern- und Dreieckschaltung

cos cp = 0,89 Der Leistungsfaktor cos cp gibt die Abweichung der Wirkleistung von der Scheinleistung an:

cos cp = P el/S

30 A Die Stromangabe ist der in den Zuleitungen zum Motor fließende Nennstrom, also der Außenleiterstrom bei Dreieckschaltung des Motors, der aus der angegebenen Nennleistung errechnet werden kann.

Sind zwei Ströme genannt, z.B. 30/17 A, dann sind die Angaben die Außenleiterströme bei Dreieck- und bei Sternschaltung.

2870 U/min Die Drehzahl in Umdrehungen pro Minute ergibt mit der zur Verfügung stehenden Wirkleistung bei Nennbetrieb das Nennmoment des Motors:

M = Pmech/ro.


Zu 2. Aus Pe! = f3 . ULt . ILt . cos qI = 10,18 kW ergibt sich

Pe! ILt = -=:-----

f3 . ULt . cos qI

Sternschaltung: ULt = 380 V Dreieckschaltung: ULt = 220 V

I - 10,18 kW 17 4A Lt- f3.380V.O,89 '

I - 10,18 kW 30A Lt- f3. 220 V . 0$9

Zu 3. Beim Einschalten von Drehstrommotoren treten Anlaufströme auf, die das sechs- bis achtfache des Nennstroms betragen können und zu Spannungsschwankungen im Netz führen. Die Anlaufzeit kann bei größeren Motoren so hohe Werte erreichen, daß die Wicklungen durch den nur relativ langsam abklingenden Anlaufstrom gefährdet sind. Der Anlaufstrom wird jedoch vermindert, wenn jeder Motorwicklung während des Anlaufvorgangs eine verminderte Spannung zugeführt wird. Ein Drehstrommotor sollte deshalb in der Anlaufphase in Sternschaltung betrieben werden, weil dann an den Wicklungen jeweils eine um f3 verminderte Spannung anliegt, wenn die Motorwicklungen nach dem Hochlauf in Dreieckschaltung geschaltet sind. Im Dauerbetrieb liegen die Wicklungen an der höheren Spannung. Während der Anlaufphase in Sternschaltung vermindern sich der Anlaufstrom und damit das Anlaufmoment. In diesem Beispiel darf an den Motorwicklungen höchstens die Wicklungsnennspannung von 220 V anliegen. Deshalb ist die Stern-Dreieck-Einschaltung für diesen Motor nur mit einem 220/127 V-Drehstromsystem möglich. Die Stern-Dreieck-Schalter sind Walzenschalter, für die die Kontaktbelegung und die Anschlüsse an das Drehstromsystem und an den Motor im Bild 7.15 gezeichnet sind. Die Klemmenbezeichnungen sind vorgeschrieben und stimmen mit den Bezeichnungen in den Bildern 7.8 und 7.11 überein.

6. - .- - liiI • )...

Ul L1 W2 Vl L2 U2 Wl L3 V2 AUS

1 I L1

L2 L3

zum Molor

I I r----

Generalor I I Ul U2 I Vl V2 I IWl W2

220/127 V ~ ~

Bild 7.15 Kontaktbelegung eines Stern-Dreieck-Schalters

Zu 4. Das Nennmoment ergibt sich aus der an der Antriebswelle des Motors abgegebenen Leistung Pmech und den Umdrehungen pro Minute:

Pmech M=--

M = 8,826 kW 29,4 Nm 21t· 2870· (1/60 s)

(7.26)

Die Blind- und Scheinleistung werden aus der elektrischen Wirkleistung Pe! mit dem Leistungsfaktor cos <p = 0,89 berechnet:

Q = Pe! . tan <p = 10,18 kV A . tan 27,1270 = 5,22 kVar

S Pe!

cos<p

Beispiel 3:

10,18kVA 0,89

ll,44kVA

Ein Drehstrommotor mit einer Nennleistung von 8 kW, einem Wirkungsgrad 1\ = 85 % und einem Leistungsfaktor cos <p = 0,9 wird an einem 380/220 V-Drehstromnetz in Sternschaltung betrieben. Der Leistungsfaktor soll durch Kondensatoren in Sternschaltung erhöht werden, d.h. es handelt sich um eine Blindleistungskompensation mit Parallelkapazitäten. 1. Zu berechnen sind die vom Netz gelieferte Wirkleistung und der Effektivwert der Außen

leiterströme. 2 Die notwendigen Kapazitäten in Sternschaltung, die also parallel zu den Motorwicklungen

geschaltet werden und damit den Leistungsfaktor auf 1 erhöhen, sollen berechnet werden. 3. In vielen Fällen ist die Kompensation nur teilweise erwünscht, weil Schaltvorgänge mit

induktiven Wechselstromwiderständen leichter beherrschbar sind als mit kapazitiven Wechselstromwiderständen. Bei vollständiger Kompensation wirkt der Motor mit dem Kompensationskapazitäten wie ein ohmscher Verbraucher, der mit den im Netz verteilten Kapazitäten eine kapazitive Belastung bedeutet. Der Leistungsfaktor des Motors soll durch Parallelkompensation von 0,9 auf 0,97 erhöht werden. Die Parallelkapazitäten in Sternschaltung sollen ermittelt werden.

Lösung:

Zu 1. Pe! = Pmech = 8 kW = 9,41 kW 1\ 0,85

ILt Pe! 9,41 kW 15,9 A f3 . ULt . cos <p f3 . 380 V . 0,9

Zu 2. Bei Parallelkompensation müssen die induktiven komplexen Widerstände der drei Motorspulen durch äquivalente Parallelschaltungen mit Rp und j coLp erfaßt werden. Da der Motor ein symmetrischer Verbraucher ist, braucht die Kompensation nur einphasig betrachtet zu werden. Die einphasige Parallelkompensation ist im Abschnitt 4.7.3 behandelt worden. Im Bild 4.158 ist das einphasige Schaltbild gezeichnet und in den Bildern 4.160 und 4.162 sind die Zeigerbilder für die teilweise und vollständige Kompensation dargestellt. Für die vollständige Parallelkompensation, also für die Anhebung des Leistungsfaktors auf 1, können die drei gleichen Kapazitäten nach der GI. (4.265)berechnet werden:

C =p·tan<p p co. U2

Die in die Formel für Cp eingehende Wirkleistung P ist ein Drittel der Wirkleistung Pe!, denn


im symmetrischen Dreiphasensystem ist die Gesamtleistung gleich dem Dreifachen der Phasenleistung:

P = Pel 9,41 kW 3,14 kW. 3 3

Die Parallelschaltungen liegen an der Strangspannung U = USt = 220 V, d.h. mit cos Ip = 0,9 ist

C 3,14 kW . tan 25,84° 100 IJ.F' p 2x· 50 S-l . (220 V)2

Zu 3. Um die Kapazitäten der teilweisen Kompensation angeben zu können, ist der kapazitive Blindstrom Ie mittels trigonometrischer Zusammenhänge im Zeigerbild (siehe Bild 4.160) zu berechnen. An den Kapazitäten liegt jeweils die Strangspannung U = USt = 220 V an:

Aus

U=_I_. Ie (1)Cp

ergibt sich

Ic Cp = (1)·U'

gegeben sind cos Ipk = 0,97 und !pk = 14,07°, aus dem Zeigerbild läßt sich ablesen:

IL -Ie tan~=--

IR

wodurch sich für Ie ergibt:

Ie=IL -IR ·tan~,

einges~tzt in die Formel für Cp ergibt sich

ist

. le 1 Cp = CI) • U = CI) • U (IL - IR . tan~,

mit IR = I . cos Ip = ILt . cos Ip und IL = I . sin Ip = ILt . sin Ip

ILt Cp =-_. (sinlp-COSIp· tan~ (1)·U

und mit Zahlenwerten

Cp 15,9 A . (sin 25,84° - 0,9· tan 14,07°) = 48,41J.F' 2x . 50 S-l . 220 V

Mit dieser Formel läßt sich das Ergebnis der vollständigen Kompensation bestätigen:

Cp = 15,9 A . (sin 25,84° - 0,9 . tan 0°) = 100 IJ.F' 2x . 50 S-l . 220 V

(7.27)

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme 267

7.3 Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme

Obersicht aber Dreiphasensysteme

Nach DIN 40 108 werden Dreiphasen-Stromsysteme unterschieden in

Drehstrom-Dreileitersysteme (mit drei Außenleitern),

Drehstrom-Vierleitersysteme (mit drei Außenleitern und einem Sternpunktleiter, der auch Nulleiter sein kann) und

Drehstrom-Fünfleitersysteme (mit drei Außenleitern, einem Sternpunktleiter und einem Schutzleiter).

Schutzleiter ist ein Leiter, der bei Schutzmaßnahmen gegen gefährliche Berührungsspannungen verwendet wird, und ein Nulleiter ist ein unmittelbar geerdeter Leiter, der die Funktionen des Schutzleiters übernehmen kann. Das Fünfleitersystem unterscheidet sich also elektrotechnisch nicht vom Dreileiter- und Vierleitersystem, weil es nur zusätzliche Schutzaufgaben übernimmt.

Bei der Behandlung unsymmetrischer Dreiphasensysteme sind das Vierleiternetz mit dem Generator in Sternschaltung und dem Verbraucher in Sternschaltung und das Dreileiternetz mit dem Generator in Stern- oder Dreieckschaltung und dem Verbraucher in Stern- oder Dreieckschaltung zu unterscheiden.

Sind Generator und Verbraucher in Sternschaltung geschaltet, kann der Sternpunktleiter vorhanden sein oder nicht. Diese Stern-Stern-Dreiphasensysteme können also als Vierleiternetz oder als Dreileiternetz ausgeführt sein. Sind der Generator oder der Verbraucher in Dreieckschaltung geschaltet, dann ist nur ein Dreileiternetz möglich, weil der Sternpunkt entweder im Generator oder im Verbraucher nicht vorhanden ist. Für Meßzwecke ist es allerdings notwendig, mit Hilfe zusätzlicher symmetrischer Verbraucher einen künstlichen Sternpunkt zu schaffen.

Unsymmetrische Dreiphasensysteme enthalten einen Generator mit symmetrischem Spannungssystem und einen Verbraucher mit verschiedenen Wechselstromwiderständen. Dadurch sind die Systeme der Außenleiterspannungen und Außenleiterströme unsymmetrisch.


Vierleiternetz mit Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Sternschaltung

1 U1 !i1N - U2

L1 L3

L2

!N

13

!iN -~ N

Bild 7.16 Vierleiternetz mit Generator in Stern und Verbraucher in Stern

Nach dem Kirchhoffschen Satz für komplexe Effektivwerte ist die Summe der Außenleiterströme gleich dem Sternpunktleiterstrom:

!1 +h+!3=!N (7.28)

Die Strangspannungen über den Generatorwicklungen unterscheiden sich von den Strangspannungen über den Verbraucherwiderständen durch die Spannung U N des Sternpunktleiters zwischen den beiden Sternpunkten N und N':

oder

U 1N =UiN+ U N

U2N=UZN+UN

U 3N = U;N+ U N

U;N=U lN - U N

U2N = U 2N - U N

U;N=U3N - U N

(7.29)

(7.30)

(7.31)

Bild 7.17 Zeigerbild der Strangspannungen im Vierleitersystem

Diese Spannungsgleichungen lassen sich durch das Zeigerbild im Bild 7.17 darstellen_


Die Außenleiterströme, die bei der Sternschaltung gleich den Strangströmen sind, können mit Hilfe der Spannung UN berechnet werden:

U' U U I =-IN =-IN _ -N (7.32) -1 ZI ZI ~1

U2N U2N UN 12=--=---- (7.33) - Z2 Z2 ~2

U' U U 13 = -3N = -3N _ -N (7.34) - Z3 Z3 Z3

und U I _-N

(7.35) -N-Z--N

eingesetzt in die Knotenpunktgleichung (GI. (7.28» ergibt die Formel für die Spannung über dem Widerstand des Sternpunktleiters UN:

( U1N _ UN)+(U2N_ UN)+(U3N _ UN)= UN ZI ZI ~2 Z2 Z3 Z3 ZN

U1N + U2N + U3N = UN·(_l_+~+~+~) ZI Z2 Z3 - ZN ~1 ~2 Z3

U1N U2N U3N --+--+--Zl Z2 Z3

UN = 1 1 1 1 -+-+-+ZN Zl Z2 Z3

Bei der Berechnung des Vierleiternetzes wird folgendermaßen vorgegangen: gegeben: Strangspannungen des Generators U1N' U2N, U3N komplexe Verbraucherwiderstände Zl' ~2' Z3 komplexer Widerstand des Sternpunktleiters ZN

gesucht: Außenleiterströme h h!3 und Sternpunktleiterstrom !N

Rechenschritte: 1. Berechnung der Spannung UN über dem Sternpunktleiter nach GI. (7.36).

(7.36)

2. Ermittlung der Strangspannungen U1N, U2N' U3N über den Verbraucherwiderständen Zl' Z2' Z3 nach den GIn. (7.29) bis (7.31).

3. Ermittlung der Außenleiterströme L,h!3 nach den GIn. (7.32) bis (7.34) und des Sternpunktleiterstroms !N nach der GI. (7.35) oder (7.28).

4. Kontrolle der Rechenergebnisse mittels Zeigerbild.


Beispiel 1: Die Widerstände

~1 =R1 =200n,

~2 = lIjroC2 mit Cz = 15,9j.lF und

~3 = j roL3 mit ~ = 318,5 mH

sind in Sternschaltung an ein 380/220 V-Drehstromnetz mit einem Sternpunktleiter mit ~ =RN = 100n angeschlossen. Die Spannungen über den Widerständen und die Ströme durch die Widerstände ~1>~'~3 und~ sind zu errechnen. Mit Hilfe eines Zeigerbildes sind die Ergebnisse zu kontrollieren.

Lösung: Zunächst wird mit GI. (7.36) die Spannung über dem Sternpunktleiter berechnet: Mit

~1 =R1 =200n

Z2=_1_= 1 _j .200n - j roC2 j. 2n . 50 s-l . 15,9j.lF

~3 = j roL:3 = j . 2n . 50 s-1 ·318.5 mH = j . 100 n

~=RN=100n

.1.-= I1 = 5 mS ~1

.1.-= rz = j. 5 mS ~2

.1.-=}3 =-j ·lOmS ~3

_1_=YN= 10mS ~N

und nach Abschnit 7.2 (Sternschaltung)

ist

U IN = 220 V . ei . 0° = 220 V

U ZN = 220 V· ~ =220 V· e-i ·120° = 220 V· (-0,5 -j. 0,866) = (-110-j ·190.5) V

U 3N = 220 V . ~2 = 220 V . ei . 120° = 220 V . (- 0,5 + j . 0,866) = (- 110 + j . 190.5) V

.QIN U 2N U 3N --+--+--~1 ~2 ~3

_1_ + .1.- + .1.-+ .1.~ ~1 ~2 ~3

U = 5 mS . 220 V + j . 5 mS . (- 110 - j . 190,5) V-i· 10 mS . (- 110 + j . 190,5) V ~ 10 mS + 5 mS + j . 5 mS - j . 10 mS

U 1100 - j- 550 + 952,5 + j . 1100 + 1905 V 3957,5 + j . 550 . 15 + j . 5 V ~ 15-j·5 15-j·5 15+j·5

!!N = (226,45 + j . 112,15) V = 252,7 V . ei . 26,35°.


Dann werden die Spannungen über den Widerständen nach GI. (7.29) bis (7.31) berechnet:

!:!iN = U 1N - !:!N = 220 V - (226,45 + j . 112,15) V

UiN = (-6,45 - j ·112,15) V = 112,3 V· e- i· 93,3°

U2N= U 2N-!:!N= (-110-j ·190,5) V -(226,45 + j ·112,15) V

U 2N = (- 336,45 - j . 302,65) V = 452,5 V . ei . mo

U 3N = U 3N - !:!N = (-110 + j . 190,5) V - (226,45 + j . 112,15) V

U 3N = (- 336,45 + j . 78,35) V = 345,5 V . ei . 167°

Damit lassen sich die Ströme nach Gin. (7.32) bis (7.35) berechnen:

und

U' . 93,3° I =_1N 112,3V·e-J • 0,56A.e-i·93,3° _1 Z 2000 _1

oder!l (- 6,45 ~ ~2,15) V (_ 0,03 - j . 0,56) A

U' . mo !2 = _2N = 452,5 V . eJ . = 2,26 A . ei· 312° = 2,26 A . e- i· 48"

~2 200 0 . e-i- 90°

oder I = (- 336,45 - j . 302,65) V (1,51 - J .. 1 68) A _2 . 2000 '

U' 13=_3N - Z _3

oder !3

- J.

345,5 V . ei . 167° = 3 45 A . ei . 77° 100 0 . e i . 90" '

(- 336,45 + j . 78,35) V (0,78 + j .3,36) A j ·1000

!N =!:!N = 252,7 V . ei . 26,35° = 2,53 A . ei · 26,35° ~ 1000

oder I (226,45 + j . 112,15) V (2,26 + j . 1,12) A ~ 1000

Schließlich lassen sich die Ergebnisse mit Hilfe eines Zeigerbildes kontrollieren (siehe Bild 7.18).

Bild 7.18

Zeigerbild eines Vierleiternetzes (Beispiel 1)


Beispiel 2: Der gleiche Verbraucher in Sternschaltung wie im Beispiel 1 wird an ein gleiches 380/220 VDrehstromnetz angeschlossen, bei dem aber der Widerstand des Sternpunktleiters vernachlässigt wird.

Lösung: Mit

~=O

ist auch die Spannung zwischen den beiden Sternpunkten N und N' gleich Null:

!:!N=O.

Damit sind die Strangspannungen des Generators und die Strangspannungen des Verbrauchers gleich:

U 1N =U1N=220V

U 2N = U 2N= 220 V· e-i ·120° = (-110-j ·190,5) V

U 3N = !:!.3N = 220 V· ei ·120° = (-110+ j ·190,5) V

Die Ströme betragen dann:

11 = 220 V = 1,1 A - 200.Cl

!2 220 V . e- i ·120° 1,1 A. e+ 30° 200.Cl. e-i· 90°

oder 1 (-110 - j . 190,5) V (095 - . ·0,55) A _2 -j.200.Cl ' J

. 120° 13 =220V.eJ · 2,2A·ei ·3O" - 100 .Cl . ei . 9()0

oder 1 (-110 + j . 190,5) V (1,91 + J .. 1,1) A _3 j .100.Cl

und mit GI. (7.28) ist

!N =!1 +!2 + !3 = [(1,1 + 0,95 + 1,91) + j . (- 0,55 + 1,1)] A

!N = (3,96 + j ·0,55) A = 4,04 A· ei· 7,9"

Im Bild 7.19 ist das Zeigerbild dargestellt, das die berechneten Ergebnisse bestätigt.

IN u-u' ~ -2N--2N ~h

-1 12 -3

Bild 7.19 Zeigerbild eines Vierleiternetzes (Beispiel 2)


Dreileiternetz mit Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Sternschaltung

1 Ul ~U2 W2

Ll 11

L2

1

L3

Bild 7.20 Dreileiternetz mit Generator in Stern und Verbraucher in Stern

Die Formeln für die Berechnung der Spannungen und Ströme des Dreileiternetzes mit Generator und Verbraucher in Sternschaltung können aus den entsprechenden Formeln des Vierleiternetzes hergeleitet werden, weil dieses Dreileiternetz ein Spezialfall des Vierleiternetzes mit ~ = 00 und k = 0 ist. Deshalb sind die Rechenschritte die gleichen wie beim Vierleiternetz:

1. Berechnung der Spannung 1& zwischen den Sternpunkten N und N' nach der

Gleichung (7.36) mit 1/~ = 0

1&=

U1N U 2N U3N --+-+--Z.1 Z.2 Z.3 111 -+-+-Zl Z.2 Z3

(7.37)

2. Ermittlung der Strangspannungen U;N' U;N und U;N über den Verbraucher

widerständen Z.1' Z2 und Z3 nach den GI. (7.29) bis (7.31).

3. Ermittlung der Außenleiterströme h.b und.b nach den GI. (7.32) bis (7.34) und Kontrolle der Außenleiterströme mit

11 +.b +h=O.

4. Kontrolle der Rechenergebnisse mittels Zeigerbild.


Beispiel: Der gleiche Verbraucher in Sternschaltung wie im Beispiel 1 und 2 des Vierleiternetzes wird an ein 380/220 V-Drehstromnetz angeschlossen, das aber keine Verbindung zwischen den Sternpunkten N und N' besitzt und damit ein Dreileiternetz ist. Da der Mittelpunktleiter fehlt, ist auch der Mittelpunktleiterstrom !N = O.

Die Spannungen über den Widerständen und die Ströme durch die Widerstände ~1' ~2 und ~3 sind zu errechnen und die Ergebnisse mittels eines Zeigerbildes zu kontrollieren.

Lösung: Mit

~=oo ist 1/~=~=0

und

Der Zähler ist genauso groß wie der Zähler für ~ im Beispiel 1, nur der Nenner unterscheidet sich:

U = 3957,5mS·V+j·550mS·V 3957,5+j.550.5+j.5 V _N 5 mS +j . 5 mS - j . 10 mS 5 - j . 5 5 + j . 5

~ = (340,75 + j . 450,75) V = 565,06 V . ei . 52,9"

Dann werden die Spannungen über den Widerständen nach GI. (7.29) bis (7.31) berechnet:

U iN = .!:!.lN -~ = 220 V - (340,75 + j . 450,75) V

UiN = (-120,75-j· 450,75) V =466,6 V· ei· 255°

U 2N =.!:!.2N -~ = (-110 - j . 190,5) V - (340,75 + j . 450,75) V

U2N = (-450,75-j· 641,25) V =783,8 V· ei· 235°

U3N = .!:!.3N-~= (-110-j ·190,5) V - (340,75 + j. 450,75) V

U 3N = (- 450,75 - j . 260,25) V = 520,5 V . ei . 210°

Damit lassen sich die Ströme nach GI. (7.32) bis (7.35) berechnen:

I _ U iN _ 466,6 V . ei . 255° _l-Z - 2000

_1

!1 = 2,33 A . ei . 255°

oder I (-120,75 - j . 450,75) V (_ 0,60 - j ·2,25) A _1 200 0

I U2N 7838V·ei · 235° 2= ~~'--------

- ~2 2000·e- i ·9(j0

!2 = 3,92 A . ei . 325°


oder I (- 450,75 - j. 641,25) V = (3,20 -J' . 2,25) A _2 -j.200o.

U 3N 520,5V . ei . 2100

13=--- ~3 100 0. . e i . 900

!3 = 5,2 A . ei . 1200

oder 1 (- 450,75 - j- 260,25) V (- 2,60 + j . 4,5) A _3 j . 1000.

Die Summe aller Ströme ist Null:

!1 +!2+!3=0.

275

Schließlich lassen sich die Ergebnisse mit Hilfe eines Zeigerbildes kontrollieren (siehe Bild 7.21).

Bild 7.21 Zeigerbild eines Stern-Stern-Dreileiternetzes


Dreileiternetz mit Generator in Dreieckschaltung und Verbraucher in Sternschaltung

L1

L2

Vl

1 !:!.23

V2

L3

-f.l N'

Bild 7.22 Dreileiternetz mit Generator in Dreieck und Verbraucher in Stern

Nach dem Kirchhoffschen Satz für die komplexen Effektivwerte der Ströme ist im Sternpunkt N' die Summe der Außenleiterströme Null:

11 +h+13 =0 (7.38)

und in Strangspannungen über den Widerständen ausgedrückt

V' V' V' -IN + -2N + -3N = O. (7.39) Zl b:2 Z3

Die Außenleiterspannungen sind gleich der jeweiligen Differenz der Strangspannungen

V 12 = V'lN - V ZN (7.40)

V 23 = V ZN - V3N (7.41)

V 31 = V3N - V'lN (7.42)

Gegeben sind die Außenleiterspannungen, berechnet werden sollen die Strangspannungen über den bekannten Widerständen. Vm die Formeln für die Strangspannungen entwickeln zu können, werden in der Stromgleichung GI. (7.39)) jeweil zwei Strangspannungen mit Hilfe der Spannungsgleichungen (Gl.(7.40) bis (7.42» ersetzt. Die Gleichung für die Strangspannungen V~N ergibt sich aus GI. (7.40) und (7.42):

V ZN = V'lN- V 12

V3N = V'lN + V3l

eingesetzt in die Gleichung (7.39) und nach V~N aufgelöst

V~N V~N - V 12 V~N + V 31 0 --+ + = Zl Z2 Z3


V1N . (1..- + 1..- + 1..-) _ (V 12 _ V 31) = 0 Zl Z2 Z3 Z2 Z.3

V 12 V 31 ----~2 ~3 111 -+-+-Zl Z2 Z3

277

(7.43)

Die Gleichung für die Strangspannung V 2N entsteht, wenn die GI. (7.40) und (7.41) in GI. (7.39) berücksichtigt werden:

U23 U 12 ---Z Z V' _ -3 -1

-2N - 1 1 1 (7.44) -+-+-Zl Z2 ~3

Entsprechend läßt sich die Gleichung für V 3N entwickeln, wenn die GI. (7.41) und (7.42) in die GI. (7.39) eingesetzt werden:

V 31 V 23 ---Z Z V' _ -1 -2

-3N - 1 1 1 (7.45) -+-+-Zl Z2 ~3

Das Zeigerbild der Spannungen bei unsymmetrischer Belastung zeigt, daß der "Mittelpunkt" des gleichseitigen Dreiecks im Vergleich zur symmetrischen Belastung verschoben ist (Bild 7.23).

oder

!:112 = \!;N -!!. 2N

!:123= !:12N -!:13N

!:131 = !:13N -!:1;N

~U12

\!;N U2N !:123

li.31 !:13N

Bild 7.23 Zeigerbild des Dreileitersystems Dreieck/Stern

Mit den berechneten Strangspannungen können dann die Außenleiterströme ermittelt werden:

V'lN 11=-- Z

-1

u-I _-2N -2-Z-

-2

uI _-3N -3- Z

-3 (7.46)

Da in einem Dreileiternetz mit Generator in Sternschaltung und Verbraucher in Sternschaltung die Außenleiterspannungen bekannt sind, können die Formeln (7.43) bis (7.46) auch für die Berechnung dieses Dreileitersystems verwendet werden.


Dreileiternetz mit Generator in Stern- oder Dreieckschaltung und Verbraucher in Dreieckschaltung

1U1 ~U2 W2

L3

L2

Bild 7.24 Dreileiternetz mit Generator in Stern und Verbraucher in Dreieck

L 2 ! 2

L3

Bild 7.25 Dreileiternetz mit Generator in Dreieck und Verbraucher in Dreieck

Von dem Generator in Sternschaltung oder in Dreieckschaltung sind die Außen-leiterspannungen bekannt, so daß sich die Dreieckschaltung errechnen lassen:

Strangströme des Verbrauchers in

U 12 U 23 112 =- 123 =-

Z12 Z23

U 31 b1=-

Z31 (7.47)

Die Außenleiterströme ergeben sich dann nach der Knotenpunktregel in komplexen Effektivwerten:

11 + b1 = 112 oder 11 =L2-b1 (7.48)

h+ 112 = 123 12 =h3 -112 (7.49)

h +123 =h1 b = 131 - 123 (7.50)

Indem obige Gleichungen (GI. (7.47» in die Gleichungen (7.48) bis (7.50) eingesetzt werden, entstehen die Formeln für die Außenleiterströme:

U 12 U 31 U 23 U 12 U 31 U 23 11 =--- (7.51) h=--- (7.52) b=--- (7.53)

Z12 Z31 Z23 ~12 Z31 ~23

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems


Leistungen des symmetrischen Dreiphasensystems

279

Die gesamte Leistung eines Dreiphasensystems ist gleich der Summe der Leistungen der drei Einphasen-Wechselstromsysteme, die zu dem Dreiphasensystem zusammengeschaltet sind. Die Scheinleistung je Strang ist gleich dem Produkt der Strangspannung und des Strangstroms. Bei Belastung des Generators mit einem symmetrischen Verbraucher ist deshalb die Scheinleistung

S = 3· USt · 1St' (7.54)

die Wirkleistung

P = 3 . U St . ISt . cos q>

und die Blindleistung

Q = 3· USt · ISt· sinq>.

(7.55)

(7.56)

Diese Formeln gelten sowohl für die Sternschaltung als auch für die Dreieckschaltung. Allerdings läßt sich bei einer Dreieckschaltung wegen Fehlens des Sternpunktes die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt nicht messen. Deshalb werden die Leistungen für die Außenleiterspannungen und Außenleiterströme angegeben, weil diese für die Dreieck- und Sternschaltung gemessen werden können: Mit GI. (7.12) und (7.13) für die Sternschaltung

I Lt = ISt und ULt = fJ· USt

oder GI. (7.18) und (7.20) für die Dreieckschaltung

ULt = USt und ILt = (3. ISt

lauten dann die Formeln für die Scheinleistung:

ULt ILt S = 3· fJ . ILt = 3 . ULt . (3

S = (3. ULt . ILt ,

die Wirkleistung:

P = fJ· ULt · ILt · cosq>

und die Blindleistung:

Q = fJ· ULt · ILt · sinq> .

(7.57)

(7.58)

(7.59)

Wie bei der Behandlung des m-Phasensystems und der symmetrischen Dreiphasensysteme (siehe GI. (7.23) bis (7.25)) bereits ausgeführt, sind die Leistungen für die Sternschaltung und die Dreieckschaltung gleich, wenn die Außenleiterströme und die Außenleiterspannungen gleich sind.


Messung der Leistungen im Dreiphasensystem

Bei symmetrischen Dreiphasensystemen, d.h. bei Dreiphasensystemen mit symmetrischen Verbrauchern, braucht nur eine Phasenleistung gemessen und diese mit 3 multipliziert zu werden, weil die Gesamtleistung gleich dem Dreifachen einer Phasenleistung ist (siehe Bild 7.26).

L2

L1

L3

L2

Ll

L3 13

Bild 7.26 Messung der Phasenleistung bei symmetrischer Belastung

Falls der Sternpunkt nicht zugänglich ist oder in der Dreieckschaltung nicht zugeschaltet werden darf, wird ein künstlicher Sternpunkt mit drei gleichen Widerständen nachgebildet (siehe Bild 7.27).

L2

11 symmetrischer

L3 Verbraucher

Bild 7.27 Messung der Leistung mit künstlichem Sternpunkt

7.4 Messung der Leistungen des Dreiphasensystems 281

Bei unsymmetrischer Belastung kann die Gesamtleistung mit drei Leistungsmessern gemessen werden. Die Phasenleistungen ergeben sich durch die Außenleiterströme und die Strangspannungen, d.h. aus den Spannungen zwischen den Außenleitern und dem Sternpunkt bzw. dem künstlichen Sternpunkt.

Anstelle von drei Leistungsmessern werden in der Aronschaltung nur zwei Leistungsmessern benötigt. Der Nachweis, daß mit nur zwei Leistungsmessern die Wirkleistung des unsymmetrischen Dreiphasensystems gemessen werden kann, wird über die komplexe Leistung ~ = U .!* geführt (siehe Abschnitt 4.7.1, GI. (4.239».

Sternschaltung mit Aronschaltung:

L2 12 2

lliN L1 - 1123

L3

J "

N'

lln

3

Bild 7.28 Aronschaltung in der unsymmetrischen Sternschaltung

Werden die Wirkleistungsmesser in die Außenleiter L1 und L2 geschaltet, dann werden sie von den Außenleiterströmen 11 und 12 durchflossen. An die Spannungspfade der beiden Leistungsmesser werden dann die Außenleiterspannungen U 13 und U 23 angelegt. Die komplexe Leistung des Dreiphasensystems ist dann

~ = U1N . !t + UZN . H + U3N . !j

mit H = - ur + H) ~ = U;N . H + UZN . H - U3N · (It + !V ~=(UIN-U3N) ' H+(UZN -U3N). H mit UiN-U3N=U13 und U;N-U3N=U23

~ = U 13 · !{ + U 23 · H' = ~1 + ~2 (7.60)

Die beiden Wirkleistungsmesser zeigen dann die Wirkleistungen P1 und P2 an, deren Summe der Wirkleistung des Dreiphasensystems entspricht.


Dreieckschaltung mit Aronschaltung:

L2 12 2

L1

l3

11 f23 ~23 I ~1l 123

13 3

Bild 7.29 Aronschaltung in der unsymmetrischen Dreieckschaltung

Dreieckschaltung mit Aronschaltung:

Werden die Wirkleistungsmesser genauso wie in der Sternschaltung in die Außenleiter L1 und L2 geschaltet, so werden sie von den Strömen 11 und b durchflossen. An die Spannungspfade müssen dann die Außenleiterspannungen U 13 und U 23 angelegt werden. Für die komplexe Leistung des Dreiphasensystems ergibt sich dann:

S. = U 12 . H2 + U 23 . H3 + u 31 . BI

mit It = H2 + li und !31 = H2 - !{

~ = U 12 . H2 + U 23 . (H2 + li) + u 31 . at2 - It)

S. = U23 · U - U31 . !i" + (1[12 + U23 + U31)· H2

mit -U31 =U 13 und U12 +U23 +U31 =0

S. = U 13' !i" + U 23 . U = S.1 + S.2 (7.61)

Die beiden Wirkleistungsmesser zeigen dann die Wirkleistungen PI und P2 an, deren Summe gleich der Wirkleistung des Dreiphasensystems ist.

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 7.1 bis 7.4 7.1 Ein ohmscher Verbraucher, der aus drei gleichen ohmschen Widerständen R besteht, kann in

Sternschaltung und in Dreieckschaltung geschaltet werden. 1. Leiten Sie die Formel für die Wirkleistung P für die Stern- und Dreieckschaltung her, wenn

die Außenleiterspannungen gegeben sind. 2. An ein 380/220 V-Drehstromnetz (f = SO Hz) kann ein Heizofen mit 3 mal 40 n in Stern

schaltung und in Dreieckschaltung angeschlossen werden, für die Sie die Außenleiterströme und die Wirkleistungen berechnen sollen.


7.2 Folgende Daten enthält das Leistungsschild eines Drehstrommotors:

1,2 kW 2201380 V cos cp = 0,81 4,8/2,8 A 1510 U/min

1. Geben Sie an, welches Drehstromnetz für den Betrieb dieses Motors notwendig ist. 2 Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Motors.

283

3. Die Blindleistung und die Scheinleistung, die die Drehstromnetze dem Motor liefern, sind anschließend zu berechnen.

Die Blindleistung soll durch jeweils drei Kompensationskondensatoren vollständig kompensiert werden und zwar 4. die Sternschaltung des Motors mit der Sternschaltung von Kondensatoren, 5. die Dreieckschaltung des Motors mit der Sternschaltung von Kondensatoren, 6. die Sternschaltung des Motors mit der Dreieckschaltung von Kondensatoren, 7. die Dreieckschaltung des Motors mit der Dreieckschaltung der Kondensatoren.

Zeichnen Sie die vier Motorschaltungen mit den Kondensatoren, berechnen Sie jeweils sämtliche Ströme und die notwendigen Kapazitäten, kontrollieren Sie die Ergebnisse für die Kapazitäten mit entwickelten Formeln und die Ergebnisse für die Ströme und Zeigerbildern. 8. Kontrollieren Sie die Ergebnisse für die Kapazitäten mit den Umrechnungsformeln für

Dreieck- und Sternwiderstände. Vergleichen Sie die Kapazitäten der vier Schaltungen, wobei Sie die Spannungen für die Kondensatoren berücksichtigen.

7.3 Ein unsymmetrischer Verbraucher mit den Widerständen Rl = 100 n, R2 = 71 n und R3 = 220 n ist in Sternschaltung an ein 380/220 V-Drehstromnetz angeschlossen. Ermitteln Sie die Spannungen über den Widerständen, die Außenleiterströme und die Spannung und den Strom im Sternpunktleiter, wenn 1. der Sternpunktleiter einen Widerstand von RN = 50 n hat, 2 die beiden Sternpunkte N und N' kurzgeschlossen sind und 3. wenn der Sternpunktleiter fehlt. Kontrollieren Sie die Ergebnisse rechnerisch und mit Hilfe von Zeigerbildern.

7.4 An ein 380/220 V-Vierleiternetz ist ein symmetrischer Verbraucher mit gleichen ohmschen Widerständen von 1 kn in Sternschaltung angeschlossen. Der Sternpunktleiterwiderstand beträgt 100 n. 1. Berechnen Sie die Spannungen an den Widerständen und die Außenleiterströme. 2. Auf welche Werte verändern sich die Spannungen an den Widerständen und die

Außenleiterströme, wenn der Widerstand ~2 durch einen verlustlosen Kondensator mit der Kapazität C2 = 3,18 IlF ersetzt wird und die anderen Widerstände unverändert 1 kn betragen.

Bestätigen Sie die Ergebnisse durch Zeigerbilder.

7.5 Der gleiche Verbraucher wie in der Aufgabe 7.4 Teil 2 mit ~1 = ~3 = 1 kn und ~2 = 1/jroC2 mit Cz = 3,18 1lF in Sternschaltung soll an ein 380/220 V-Dreileiternetz angeschlossen werden. 1. Berechnen Sie die Strangspannungen an den Verbraucherwiderständen über die Span

nung am Sternpunktleiter. 2 Berechnen Sie dann die Strangspannungen an den Verbraucherwiderständen mittels

Außenleiterspannungen. 3. Ermitteln Sie schließlich die Außenleiterströme.

7.6 An einem 380/220 V-Dreileiternetz ist ein Verbraucher in Dreieckschaltung mit ~12 = R12 = 40 n, ~23 = R23 = 100 n, und ~1 = R31 = 80 n angeschlossen.

1. Berechnen Sie die Strangströme !12;!23 und !31.

2 Berechnen Sie dann die Außenleiterströme. 3. Bestätigen Sie die Ergebnisse durch ein Zeigerbild.

284

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben


4.1 bis 4.4 Wechselgrößen, Berechnung von sinusförmigen Wechsel größen mit Hilfe der komplexen Rechnung, Wechselstromwiderstände und Wechselstrom· leitwerte, praktische Berechnung von Wechselstromnetzen Zu 1. Nach Abschnitt 3.4.6.2 (Band 1) Gi. (3.303) ist

u =w. dcll q dt

~

Mit Cl>=B·A und B=B·sinwt

ist

U = w· A· dB = w· A . d(B . sinwt) = w . Cl). A . B. coswt q dt dt

mit Uq = w . w . A . B

Uq = 1000· 21t· 50 s-1 100 cm2 . 5·10- 9 Ys/cm2

Uq = 157 mY

Zu 2. uq = 1000· 21t· 5 ·103 s-l. 100cm2 . 5.10- 9 Ys/cm 2

Uq = 15,7 Y

4.2 Nach Gi. (4.8) und (4.9) ist

Ya = I vi = l ~ arithmetischer Mittelwert der Zweiweggleichrichtung 1t

* 1 2 A ~ Y = - . - v = - arithmetischer Mittelwert der Einweggleichrichtung

a 2 1t 1t

~ = 1t. y* = 1t . 40 Y = 126 Y a

4.3

Zu 1. uql = Uql . sin(rot + <Pul) = fi· Uq1 . sinrot

Uq2 = Uq2 . sin(rot + <Pu2) = fi· Uq2 . sin (rot + 60°)

ist

U qr und Uqr =-=

fi (u qlJ2 (uq2J2 uql uq2 - + - +2·_·_· cos<p fi fi fi fi

Uqr =J U~l + U~2+2. Uql · Uq2' cos<p

Uqr = -J (100 V)2 + (120 V)2 + 2 . 100 V . 120 V . cos60°

Uqr = 191 V

Nach GI. (4.18) ist

und

A A

VI' sin<Pvl + V2 . sin<Pv2 <Pvr = arctan A A

VI . cos<Pv1 + v2 . cos<Pv2

Uql . sin<Pu1 + Uq2' sin<Pu2 <Pr = arctan ~ ~

Uq1 . COS <Pul + Uq2 . COS<Pu2

Uql . sin<Pu1 + Uq2 . sin<Pu2 <Pr = are tan --'-------'----

Uql . cos<Pu1 + Uq2 . COS<Pu2

<Pr = arctan 100 V . sinO° + 120 V· sin60° = 330 100 V . cosO° + 120 V . cos60°

Zu 2. uq1 = Uql . sin(rot + <Pul) = Uql . sinrot

U~2 = Uq2 . sin (rot + <P:2) = Uq2 . sin (rot + 60° + 180°)

* / 2 2 U qr = AI U ql + U q2 + 2 . U q1 . U q2 . COS (<p + 180°)

U~r = -J (100 V)2 + (120 V)2 + 2· 100 V . 120 V . cos(60° + 180°)

mit cos(60° + 180°) = - cos60°

U~r = -J (100 V)2 + (120 vl- 2· 100 V . 120 V . cos60°

U~r = 111 V

• Uq1 . sin<Pu1 + Uq2 · sin<p:Z <Pr = are tan •

Uql . cos<Pu1 + Uq2 . cos<Pu2

mit <P:2 = <Pu2 + 180° = 60° + 180°

285

286

Zu3.

4.4


und sin <P:Z = sin (60° + 180°) = - sin 60°

cos <P:2 = cos (WO + 180°) = - cos 60°

* t 100 V . sinO° -120 V . sin60° 690 <P = arc an =-r 100 V . cosO° -120 V . cos60°

Bild A-61 Übungsaufgabe 4.3

Zu 1. Aus GI. (4.33)

U = XL = roL = 21t . f· L I

ergibt sich die Induktivität

Zu 2.

4.5

L= U ._1_=_U_ . .! I 27t· f 2A · 21t f

o 0 20 40 60 80 Hz f_


f L

Hz H

20 3,98 30 2,65 40 1,99 50 1,59 60 1,33 70 1,14 80 0,99 90 0,88

100 0,80

Zu 1. Siehe Abschnitt 3.3.3 Beispiel 2 im Band 1: Kapazität einer Doppelleitung nach GI. (3 .89)

C = 7t. Eo ' h . __ 1_ = 1t . 8,8542 .1O-12~ . 103m 1 6,05 nF In a - R Vm In 100-1

R 1

Zu 2. - Xc = 1 - = = 526 kil roC 21t·f·C 21t.50s-1.6,05.1O- 9 As/V

1= roC- U = 21t· f· C· U = 21t· 50s- 1 .6,05.10- 9 As/V . 1000 V = 1,9 mA

4 Wechselstromtechnik 287

4.6

Zu 1. U = 100 V 1= 5A lOms ~3 cm, d.h. f = 50 Hz und cp= -30°

Der Wechselstromwiderstand des passiven Zweipols ist also kapazitiv, weil der Strom i der Spannung u vor eilt.

Zu 2. u=u·sincot

abgebildet in

u =u· eiOlt = 12· U . eiOlt

und A

i = i . sin (cot + 30°)

abgebildet in Bild A-63 Übungsaufgabe 4.6

i = i . ei (Oll + 30°) = 12. I . ei (Oll + 30°)

Zu 3. Reihenschaltung:

Z=~= u· eiOlt

- ~ i. eiOlt . ei30°

Z= U . cos300-j. U . sin300= Rr + j. Xc = Rr-j ._1_ - I I co Cr

Z = 100 V f3 _ j . 100 V 1. = 17,3 Q - j . 10 Q - 5A 2 5A 2

1 1 Rr =17,3Q Cr=---= =318~ co . 10 Q 27t . 50 s- 1 . 10 Q

Parallelschaltung:

i i. eirot . ej300 I '300 y=== =-·eJ

!!. U. ejOlI U

Y I 300·1 '300 G'S l· C =_·cos +J·_·sm = p+J' p=-+Jco P - U U Rp

y=~ f3 + j-~1.=0,0433S+j-0,025S - 100V 2 100 V 2

R = 23,1 Q r_ = 0,025 S = 0,025 S = 79,6 ~ p "co 2n· 50s- 1

Zu 4. Nach GI. (4.69) lassen sich die Ergebnisse kontrollieren:

1

(17,3 Q)2 + 1 (2n· 50 s-1)2. (318.10- 6 F)2

-------'-----'----"--------"-- = 23,1 Q 17,3 Q

1

(2n· 50 s-1)2. 318 . 10- 6 F = 79,6 JlF

(17,3Q)2+ 1 (2n· 50 s-1)2. (318.10- 6 F)2

288 Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben

4.7

. duc Zul. u=uR+uC=Rr·i+uc, l=Cr

dt

duC u = Rr Cr --- + U C (Differentialgleichung)

dt

Lösung nach Verfahren 1 (Abschnitt 4.2.5):

Ansatz: uC= U c· sin(wt + <l'uc) ,

duc ~ differenziert: --- = w . u C . cos (rot + <l'uc)

dt

in Dgl. eingesetzt:


u· sin (wt + <l'u) = wRrCr · Uc· cos(wt+ <l'uc)+Uc sin(wt + <l'uc)

mit cosa = sin (a + n/2)

u· sin (wt + <l'u) = Uc· [wRr Cr · sin(wt + n/2 + <l'uc) + sin(wt + <l'uc)]

~

mit wRr Cr . sin(rot + n/2 + <l'uc) + sin(wt + <l'uc) = V r· sin(wt + <l'vr)

nach. GI. (4.17)

Vr=~-(-W-R-r-C-r')2'+--1-+-2-.-w-R-r-C-r-·-1-.-c-o-s(-n-I-2-+-<I'-u-c---<I'-oc-)

Vr =../(wRr Cr)2+ 1 mit cosn/2=O

nach. GI. (4.18)

wRrCr · sin(n/2+ <l'uc) + sin<l'uc <I'v r = arc tan --~~---------=--------=::..

w Rr Cr . COS (n 12 + <l'uc) + cos<l'uc

w Rr Cr . cos <l'uc + sin <l'uc <l'vr = arc tan ---------. --------

- w Rr Cr . Sill <l'uc + cos <Puc

w Rr Cr + tan <l'uc <I'v r = arc tan = arc tan w Rr Cr + <l'uc

- wRr Cr · tan<l'uc + 1

d.h. u· sin (rot + <l'u) = U c ~ (w Rr Cr)2 + 1 . sin (rot + arctan wRrCr + <l'uc)

uc= u <l'uc=<I'u-arctanwRrCr

~ (WRr Cr)2 +1

duc Zu 2. u = Rr Cr --- + Uc (Differentialgleichung)

dt

abgebildet in

~ = jw Rr Cr · ~c + ~c (algebraische Gleichung)

gelöst und umgeformt:

u

-v (wRr Cr)2+ 1 .ejarctanwRrCr

~ j (wt + <Pu - arctan wRr Cr) Uc = .::.u_· .::.e_-,======-__ - -V (w Rr cr)2 + 1

rück transformiert:

uc= u . sin(wt+ <pu-arctanwRrCr)

-V (wRr Cr)2+1

4.8 Zu 1. u = R· i + UL

diL UL=~dt

U=Lp(~+l)diL+R'iL RLp dt

Zu 2. !!. = j wLp (~+ 1) . iL + R . iL RLp

!!.=[jWLp(R~p +l)+RJ'iL

. u lL

- R+jWLp(~+l) RLp

Zu 3. Stromteilerregel mit Bild A-65:

!L R Lp U

-1- RLp + jwLp , R+ RLp ' jwLp

RLp + jwLp

1


289

mit f2. ejOll erweitert:

Zu 4.

4.9

~ j(rot+u) u·e

!L=------------~~----------~--------roLp

R2 + ro2 L2 ---+ 1 e R ~ (R J2 jarctan--(R/RLp + 1)

p RLp

Lösung mit Hilfe der Spannungsteilerregel

Uc IR =-=---- Rcp

1

__ l_+ jroCp Rcp

1

jw Lr

!l

_1_ jwllL. !(

~( :Qc U 1 --------+ RLr + j roLr

__ l_+ jroCp Rcp

Bild A-66 Übungsaufgabe 4.9 Schaltung im Bildbereich

Lösung mit Hilfe der StromteilerregeI:

1

!.R I

U I=----~=-----

1 Rcp +-. ---

jroCp

1 Rc .----p jroC

RLr + j roLr + p 1 Rcp +-. ---

jroCp

..


U IR=--------~-----=~-------------- (RLr+ RCp - w2LrRep Cp) + jro (Lr+ RLrRep Cp)

Lösung mit Hilfe der Kirchhoffsehen Sätze:

1 !=!R+!C U=(RLr+jroLr)"! +Rep"!R UC=jrocp !c=RCp"!R

U = (RLr + jroLr) "! +Rep"!R = (RLr + jroLr)(!R +!c> + RCp"!R

U = (RLr + RCp + jroLr)"!R + (RLr+ jroLr)!c

mit !c=jroCpRep"!R

U = [RLr+ RCp + jroLr+ (RLr + jroLr) " jroCpRCp j"!R

U IR=--------~----~~-------------- (RLr + RCp - ro2LrRCp Cp) + jro(Lr + RLrRepCp}

Rücktransformation:

4.10

291


.!.R Zu 2. ~1 1=------------------

I

4.11 1

1 RLp ' jooLp RCr + --+ --...!....-----.!....

j ooCr RLp + j ooLp

_1_+ __ 1 __ U 2 RLp jooLp

Zu 1. V uf = - = ----------'-------'------- U 1 1 _1 ----==----+ RCr + __ _ 1_+_1_ jooCr

R Lp jooLp

~uf= 1+(_1_+~) (Rc + __ 1_) R Lp j ooLp r j ooCr

1

y" = ['+ :: -w2~pC}! k:c, + :~' 1 Zu 2. I~ufl 1

/ (Rcr 1 J2 1 (1 RCr J2 ~ 1 + RLp - (02 LpCr + (02 RLp Cr + Lp

I~ufl ist maximal, wenn der Nenner am kleinsten ist. Da der Realteil aus einer Differenz besteht, kann dieser bei einer Kreisfrequenz (0 Null werden:

RCr 1 1 RCr 1+-- =0 1+--RLp (02 LpCr (02 LpCr R Lp

(0= 1

Zu 3. Ein idealer Kondensator bedeutet bei Reihenschaltung von RCr und Cr, daß RCr = 0, d.h.

I~ufl bei max

4.12

Zu 1. .!:!.2 = U Rl -.!:!.R

<p = 2 . arctan _1_ <oR1C

U 2 U2 1 Zu 2. -=:;:;:-=-

U 1 ul 2

Zu 3. tan~=_l_ 2 <oR1 C

. 1 R mit -= 1 <oC

ist tan~ = 1 2

und ~ = 45° 2

und <p = 90°

.!:!.R=~=.!. .!:!.l 2R 2

<0= 1

,J LpCr

!:!.,


293


4.13 Zu 1. Die transformierte Schaltung im Bildbereich mit komplexen Effektivwerten und komplexen Operatoren ist im Bild A-68 dargestellt.


le

_1_ jw(

Zuerst wird der Zweigstrom !C~ql berechnet, der von U ql verursacht wird (Bild A-69) :

!C~ql R2

!C~ql

R2+-1-jwC

U q1

R2 ._. _I_

R +jwL+ jWC 1 1

R2+-jwC

R2 · U q1

( 1 ) R2 R2+-. - (R1+jwL)+-.-jWC jWC


Dann wird der Zweigstrom !C~q2 berechnet, der von.!:!.q2 hervorgerufen wird (Bild A-70):

!C~q2= R1+jwL

Rl +jwL+-. _1_ jWC

U q2 !~q2=--------~----

(Rl +jwL) ._. I_ R + jWC

2 1 R1 +jwL+-.

jWC

(R1 + jwL) . U q2

( R1 +jwL+-. _1_) R2+ (R1 +jwL)-. _1_ jWC jWC

jwL


jw(


Die Überlagerung beider Teilströme ergibt den gesamten Zweigstrom

R2 . U ql + (R1 + j OlL) . U q2 Ic=IcU +Icu - - _ql - _q2 (RIR2+~)+j.(OlLR2- R~+CR2)

295

Für die RUcktransformation ist die komplexe Zeitfunktion nötig, die durch Erweitern mit V2. e jOlt entsteht:

Mit

und

U - "u . ej( rot + 1t12) _q2 - q

ist

R1 mit CPz = arctan --

R2 - OlL

wegen uql = Uq . sinrot

" wegen uq2 = uq . cosrot

uq2 = uq . sin(Olt + 1t/2)


Zu 2. Maschenstromverfahren: Nach den im Bild A-71 festgelegten Maschenumläufen (begonnen wird mit dem Zweigstrom .!.c= .!.I) werden folgende Maschengleichungen aufgestellt:

Masche I:

.!:!.q2 =.!.I· (R2+ j~C)-.!.II· R2

jwL Masche 11: 8' 8

4.14

.!:!.ql - U q2 =- .!.I . R2 + .!.n· (R1 + R2 + jroL)

!,!q2 1 2.


.!:!.q2 (R1 + R2 + jroL) =.!.I· (R2 + j~C) (R1 + R2 +jroL) -.!.w R2 · (R1 + R2 + jroL)

2 (Uql-Uq2)·R2 =-.!.I·R2 +.!.W R2·(R1 +R2 +jroL)

1 _.!:!.q2· (R1 + R2 + jroL) + (.!:!.ql - .!:!.q2)· R2

_1- (R2 +_. _1_) (R1 + R2 +jroL) - R~ .1roC

R2 · U ql + (R1 + jroL) . .!:!.q2

!c

1.

1 jwC

Zu 1. Da der Strom .!.3 gesucht ist, wird der Widerstand ~3 zum Außenwiderstand ~aers' Die

Auf trennung der Schaltung in aktiven und passiven Zweipol ist im Bild A-72 zu sehen.

~aers

• y Bild A-72 Übungsaufgabe 4.14


Bestimmung von !:!.q ers =!:!./ (Bild A-73):

!:!./ = U 1- U 2 1

U - jroC . U _1-

_1_+ jroL jroC

U 2= jroL . U - _1_+ jroL

jroC

1,

12 ..

11, !.!2 - -!!.!I

jwL

J:12 -jwL

U

1 . L Bild A-73 Übungsaufgabe 4.14 :--c-Jro

!:!./= Jro . Q -1-+ iroL jroC

Ermittlung von Ziers (Bild -74):

1 . L --' Jro ~iers = 2· .... i _ro_C __

_ 1_+ jroL jroC

Außen widerstand:

~a ers = ~3 = R3 + j . X3

jwL

jwL

Berechnung des Stroms .!.3 im Grundstromkreis: Bild A-74 Übungsaufgabe 4.14

1 . L ---Jro jroC . U

U -l-+iroL 13 = _qers =.Lj.=ro-=C ___ _

- ~iers + ~aers 2 . j roL

_~J,-' ro_C,--+ Z3 _1_+ jroL -jroC

.!.3 = (1 + ro2LC) . U (1 + ro2LC) . U

2· jroL+ (R3 + jX3) (l-ro2LC) R3 (l-ro2LC) + j (ro2L+Xr ro2LCX3 )

U .!.3= 2

1- ro2 LC . ro2L +X3 -ro LCX3 R3 +J.-------

1 + ro2LC 1 + ro2LC

Zu 2. Netzberechnung nach den Kirchhoffschen Sätzen (Bild A-75): k - 1 = 1 (Knotenpunktgleichung)

.!.2 =.!.3 +.!.1

Masche I:

. lC .!.1-jroL·.!.2-~3 · .!.3=O Jro

Bild A-75 Übungsaufgabe 4.14 .. jwL n.O

jwL

297

12

1,

12


Masche 11:

_u+_1_ 11+jroL · 12=0 - jroC - -

.Q =jroL · .!.2 + . lC .!.l Jro

.Q = j roL . (.!.3 + .!.1) + j ~C .!.1 = j roL . .!.3 + (j roL + j ~C )- .!.1

. 1C .!.1-jroL·.!r~3 ·.!.3=. 1C .!.1-jroL·(!3+.!.1)-~3 ·.!.3=0 Jro Jro

GI.). j roL + ~3 --- J roL . 1 1 = (j roL + Z3) .1 3 1 1 . 1 3 . roC - - - - 1 . -

---JroL jroC l. (j roL + . ~C) (j roL + ~3)]

u= JroL+ J . 13 - 1 ----jroL jroC

U 13=--------------~~-------------

- jroL~+C -jroL )+( jroL+~)(jroL+ ~3) 1 . L ---Jro

jroC

U !3=------~------~7--------------

j roL (1 + ro2 LC) + (1 - ro2 LC) (j roL + R3 + j X3)

1 + ro2 LC

Zu 3. Wenn der Strom im Diagonalzweig i3 gegenüber der Spannung u um 90° phasenverschoben sein soll, dann muß der Operator zwischen den komplexen Effektivwerten 13 und U imaginär sein, d.h. der Realteil des Operators muß Null sein: - -

R3 1- ro2 LC =0 d.h. 1- ro2 LC = 0 und roL=_I_. 1 + ro2 LC roC

Der induktive Widerstand XL = roL muß gleich dem kapazitiven Widerstand - Xc = l/roC sein. Sind L und C gegeben, dann wird die Bedingung bei einer Kreisfrequenz ro = 1/ 1LC erreicht.

4.15 I IR R

-1(1 lJR

1 Me 1 jW(1

Bild A·76 Übungsaufgabe 4.15

1(2 R _ 1_ Lr jwC 2

jwL r



Reihenfolge der Darstellung (qualitatives Zeigerbild A-77) .

.!.L .!.C2=jroC2 · Uc U=~C+~R

4.16

URL=RL' .!.L

UL=jroL· .!.L

~C=URL+UL

.!.R=.!.L +.!.C2

UR=R·.!.R

Zu 1. Schaltbild im Bildbereich:


.!.Jl

~Jl = j roL . .!.Jl

UJl la=-- RFe

.!.O= .!.Jl + .!.a

~eu=Reu' .!.o

~a = j roLa . .!.O

~ =UJl+ Ueu+ ~a

Zu 2. Berechnung der Effektivwerte:

IJl = 0,3 A ~ 3 cm

UJl = roL · IJl

U Jl = 21t . 50 s-l . 1,5 H . 0,3 A

U Jl = 141 V ~ 3,5 cm

la= UJl = 141 V RFe 708Q

Ia=0,2A~2cm

10=~ 10 = -J (0,3 A)2 + (0,2 A)2

.!.C1 =jroCl · U

.!. = .!.R+ .!.Cl

!! Bild A-78 Übungsaufgabe 4.16

1\ I \

J I \ - J.I I \10

I \

L_~ 1a

Bild A-79 Übungsaufgabe 4.16 (qualitatives Zeigerbild)

K I \ I \

\

1a

u

Bild A-80 Übungsaufgabe 4.16 (quantitatives Zeigerbild)

299

•

300

10=0,36A ~3,6cm

UCu=RCu·Io

Ueu = 1200· 0,36A

Ueu =43,2V~ 1,1 cm

Ua = coLa· 10 = 56,5 V ~ 1,4 cm

abgelesen aus dem Zeigerbild:

U = 216 V ~ 5,4 cm

4.17


Die Umwandlung der x-Schaltung in die äquivalente T-Schaltung entspricht einer Dreieck-SternTransformation nach Bild 4.67.

0

I 1, 0 0

I jwL jwL1 jwL2

1 .. 1 jw C1 I I ;W(: I jwC

0 0

o

o

A ...---. C A

f2 z' Z' -1 -3

f3 ] ) f 1 .. Z' -2

B B B ~------~------~B

Nach den Gleichungen (4.100) bis (4.102) ist

. L 1 Jco ._-jcoC1

_1_._1_ jcoC1 j coC2

1 . L 1 --+Jco +--jcoC2 jcoC1

jcoL

1



1 0 L -_oJro jroC2 = jroL

o C J 0 C JroC2 JroL+----_1_+ °roL+_1 _ 0 (0 1 Cl + CzJ Jro 2 Jro I jro Cl oC2

, L Z3=jro o------- CI +C22

LoCI jro 0 = jroL2

Cl + Cz-ro2LC1 C2 ---roLCz Cl

Die Bauelemente der T-Schaltung betragen:

und

4.18 Zu 1. Dreieck-Stern-Transformation in der Anderson-Brücke:

Rr1 jw Lr1

-, I I" I

I f3 = R4 B: L __________ -.J

Rr1

R3

jwLr1

I t A -1

I

R2

t _2

L ____ - - - ---

Bild A-82 Übungsaufgabe 4018

, Z2° Z3 Zl = - -- ~l +~2+~3

ergibt ~3 = R3 + ~l

R4 0_1 _

__ ~j,-"ro,-C,,----_ ergibt ~4 = ~2 -0 _1_+ Rs + R4 JroC

301

I I I I

BI I

-l

_l_ oRs jroC

~3 liegt im Diagonalzweig (ist bei Abgleich stromlos)


Stern-Dreieck-Transformation in der Anderson-BrUcke:

Rr1 jw Lr1 Rr1 j wLr1 R2

.. r ------( -- -, I

BI I

I I B L _________ ...J


, , " , , ~2 . ~3 ~ . Rs

Zl = Z2 + Z3 +-- = ~ + Rs +--- - -, R ~l 3


RS·~ R3+-----

-. -1-+Rs+R4 R rl + j ülLrl = R2 . _--LJ ül_C ___ _

R4 ·_1-jülC

-. -l-+Rs+~ JülC

I

IA I I

z" -2 z" _3

L ___ _

. 1" ergibt Z4=-IIZl

- jülC -

" ergibt ~3 = ~2

I _____ -1

~3liegt parallel zur Brücke


Stern-Dreieck-Transformation:

" ~3=~Z und 1 . C 1 -=Jw +-

Z " _4 ~1

4.19

Zu 1. ~1 =0,2-j·O,6

~z = 0,4 - j . 0,8

~3 =0,4

.:!:.1 =0,5+j·1,5

.:!:.Z = 0,5 + j ·1,0

, , 10-1,5 Bp = Go (BZ-B1) = 600 0 =- 0,83 mS

1 1 Lp =--- = = 955 nH wBp 21t . 200 . 106 s-1 . 0,83 . 10- 3 S

Xr = Ro (X3 - Xz) = 600 0 (0 + 0,8) = 480 0

Lr=Xr = 4800 = 382 nH w 21t . 200 . 106 s- 1

303


Zu2. Kontrollrechnung:

~1 = 1200 - j . 360 0 r1 = 0,833 mS + j ·2,5 mS

r2 = G1 + j (B1 + Bp) = 0,833 mS + j . (2,5 - 0,833) mS = 0,833 mS + j . 1,67 mS

~2=2400-j·479,40 ~3=2400

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten

4.20

Zu 1. (00 = 1 = 1 = 1000 s- 1

,J Lr Cr VO). H . 5 . 10- 6 F

nach GI. (4.115)

Xkr = (L; = A / 0). H = 200 0 ~ C; 'V 5·1O- 6 F

nach GI. (4.118)

Xkr 2000 Qr=-=--=10

Rr 200

Zu 2. Nach GI. (4.132)

1

(0 x=~ (00

s-1 1

250 1/4 500 1/2 750 3/4 900 9/10

1000 1 1111 10/9 1333 4/3 2000 2 4000 4

1

V r = x-i x

1

- 3,75 -1,50 - 0,583 - 0,211

0 + 0,211 + 0,583 + 1,50 + 3,75

I U/Rr

1

0,0267 0,0665 0,169 0,428 1 0,428 0,169 0,0665 0,0267


0,9 r 0,8 1

0,707 llX=S=O,125

_1_0,7 U/Rr

Q.6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0 0 1/4 1/2 3/4 1 4/3 I i I i i i

Zu 3.

0 250 500 750 1000 13 33

Bandbreite:

6x = 0,125

6w=wo·6x

600 = 1000 s-I ·0,125

600= 125 s-1

Bild A-84

Übungsaufgabe 4.20

I

2000

Grenzfrequenzen:

wg1 = 9S0s- 1

fgl = 151 Hz

wg2 = 1075 s- I

Cg2 = 171 Hz

4 x_

w _

rechnerisch:

ÄX = lIOr = 0,1

1 vg2,1 =Xg2,1---=±0,1

xg2,1

X~2,1 + 0,1 . xg2,1 - 1 = 0

305

Wo·öx öf=--=20Hz

21t xg2 = 1,051 "g1 = 0,951

4.21 Zu 1. Nach GI. (4.124)

Co Or = - ist fo = Or . M = 100 . 5 kHz = 500 kHz

M

Zu 2. Nach GI. (4.115)

Xkr=Wo· Lr =_1_= 5000 Wo · Cr

Lr = Xkr = Xkr 5000 = 160~ Wo 21t fo 27t . 500 . 103 s- I

wg2 = 1051 s-l wg1 = 951 s-1

Cr = _1_ = 1 1 = 637 pF Wo Xkr 21t . Co · 500 0 21t . 500 . 103 s- I . 500 0

nach GI. (4.118)

Xkr Xkr 5000 Or =- ist Rr=-=--=SO

Rr Or 100


4.22 Zu 1. RLr:lo RCr

nach GI. (4.152)

1 fo=-27t

1 fo=-27t

1 RL-Lr/Cr roo

Lr CrR~r - Lr/ Cr 27t

1 10· 103 0.2 - 50· 103 n.2 = 2,002 . 103 s-l = 319 Hz 0,1 H . 2 . 10- 6 F 1000.2 - 50 . 103 0.2 27t

YO= _____ 1_0_o. _____ + 1000.

100 0.2 + 1 10 . 103 0.2 + (2,002 . 103 s- 1 . 0,1 Hi (2,002 . 103 s- 1 . 2 . Hi 6 F)2

Yo = 2,157 .1()"-3 S Zo = 464 0.

Zu 2. Nach GI. (4.155)

ro~ = / _1 _(RLr J2 = ~ LrCr Lr

1 _(1000.)2 =2,000.103s- 1 0,1 H . 2 . 10- 6 F 0,1 H

roo = 2,002 . 103 s-l -;;; 100 %

ro~ = 2,000 . 103 s-l -;;; 99,9 % , d. i. eine um 0,1 % niedrigere Kreisfrequenz.

4.23 1

!Lr jroCr Zu 1. - =------

I R +J·roL +_1_ Lr r. C

J ro r


!c !Lr

_l_· U jooCr -

RLr+ jooLr

-. _1_. U . j 00 Cr . (RLr + j 00 Lr ) J 00 Cr

U !c=---------=~--------

R+ R ._1_+_1_ RLr + j 00 L r j 00 Cr j 00 Cr

U Ic=----------~----------- R+_1_+ R

j 00 Cr - ffi2 Lr Cr + j 00 RLr Cr

u !c=----------------~~--~--------~

R+_1_ R oo2 Lr Cr + jooRLrCr

j 00 Cr 002 L r Cr - j 00 RLr Cr 002 Lr Cr + j 00 RLr Cr

1 +jooCr !:!.C RLr + jooLr

Zu 2. -= 1 !:!. R+------------

!:!.c= ______________ _ u

307

Zu3. ue und u sind in Phase, wenn der Operator zwischen U e und U reell ist, d.h. wenn der Imaginärteil des Operators Null ist:

ie und u sind um 900 phasenverschoben, wenn der Operator imaginär ist, d.h. wenn der Realteil des Operators Null ist:

LrR RCr 0

R2 +w2L2 Lr r

w2Lr Cr ---:---=---=--:--::--::- = 0 ro4 L2 C2 + olR2 C2

r r Lr r

1

Bei der gleichen Kreisfrequenz ro, d.i. die Resonanzkreisfrequenz roo des praktischen ParallelResonanzkreises (GI. (4.155», sind die genannten Bedingungen erfüllt. Wenn ue und u in Phase sind, muß auch uR mit u in Phase sein, und da UR = R· i ist, muß der Strom i mit u in Phase sein. Wenn ue und u in Phase sind, dann muß auch ie gegenüber u um 900 phasenverschoben sein.

4.24 Zu 1. Reihenfolge der Zeigerdarstellung:

!Lr

UR=RLr'!Lr

UL=jroLr · !Lr

u=ue=UR+UL

!e=jroCr·U

! = !Lr+!e

Zeigerbild für ro = 1000 s-l: (Bild A-85)

ILr = 10mA

UR = RLr . ILr = 100 n . 10 . 10- 3 A = 1 V

UL = coLr · ILr = 1000 s-l ·0,1 H· 10.10-3 A = 1 V

U = ue=J U~ + ut =YZV = 1,414 V

Ie = coCr · U = 1000 s-l. 2 .10- 6 F· -{Iv = 2,83 mA

I = 8,2 mA J. = 310

Y G OB I 0 I 0

_p1= p1+J p1=U oCOSJ.-J U oSInJ.

:r.p1 = 4,97 mS - j 2,99 mS

(induktiver komplexer Leitwert)

Zeigerbild für ül = 2000 s-l:

ILr = 10mA

UR = 1 V UL =2V

U=Ue=V5=2,24V

Ie = 2000s- 1 . 2 .1O- 6 F· V5V

Ie =8,94mA

I = 4,3 mA q>z = 0°

Y G ·B- I 4,3mA _p2 = p2+J p2 =-=-

U 2,24 V

r p2 = Gp2 = 1,92 mS mit Bp2 = 0

(ohmseher komplexer Leitwert)

1. w=1000s- t

3. w=3000s-1;


Zeigerbild für ül = 3000 s-l:

ILr = 10mA

UR =1 V UL =3V

U = Ue = ffO = 3,16 V

Ie = 3000 s-l ·2· 10- 6 F . ffO V

I e = 18,97mA

I =lOmA <J>3=-71°

r p3 = Gp3 + j Bp3

Y I . I . P3 = - COSC!h - J - Slll<J>3 - U T.) U

r p3 = 1,03 mS + j 2,99 mS

(kapazitiver komplexer Leitwert)

2. w=2000s- 1;

lLL

309

lLL


Zu 2. Nach GI. (4.156)

I p R2 :~2L2 +i[WCr R2 :~2L2) Lr r Lr r

W = 1000 s-l: Ri. + w2 L; = (100 Q)2 + (1000 s- 1 . 0,1 H)2 = 20 . 103 Q2

Y 1 100Q +i(1000S-1.2.1O-6F l000S- 1 .0,1H) -p 20 . 103 Q2 20 . 103 Q2

I p1 = 5 mS + i (2 mS - 5 mS) = 5 mS - j- 3 mS

W = 2000 s-l: Ri. + w2 L; = (100 Q)2 + (2000 s- 1 . 0,1 H)2 = 50 . 103 Q2

I p2 =2mS+j(4mS-4mS)=2mS

W = 3000 s-l: Ri. + w2 L; = (100 n)2 + (3000 s- 1 ·0,1 H)2 = 100 . 103 n 2

I p3 = 1 mS + i (6 mS - 3 mS) = 1 mS + i . 3 mS

. / 1 (100n)2 =2000s- 1 = "V 0,1 H . 2 . 10- 6 F 0,1 H

222 Lp RLr + Wo Lr = (100 Q)2 + (2000 s- 1 . 0,1 Hf = 125 mH

w~ Lr (2000 s- 1)2 . 0,1 H

Q = ~ ~ -1 = A / 0,1 H -1 = 2 p R2 C ·V(100Q)2. 2 . 1O-6 F

Lr r

s. GI. (4.157)

U

1

U/Rr ~ (1)2 I+Q;. x-;

U

U=--,=:====

Gp~ 1 + Q~ .(x-~r

u

Bkp mit Q =

p G p

1

IIGp ~ 2 ( 1)2 1+Q· x--p x

ro ins- 1 500

x in 1 1/4

U in 1 0,132 --I/Gp

1,0

0,9

0,8

U 0,7

I /Gp 0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0 0 1/4 1n 3/4 1 4/3

mit x=~ und ~=2000s-1 roo

1000 1500

1/2 3/4

0,316 0,651

2

2000 2666

1 4/3

1 0,651


X-4

4000

2

0,316

I

0 I

2000 I

4000 w - 80005-1

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik 4.26

1

!l jroCp Zu 1. - =----=----

!2 _. _1_ + Rrl + jroLrl jroCp

u mit 12 = - ~1----~-----

-. -<Rrl +jroLrl) jroC

p + Rr2 + j mLr2 -. _1_ + Rrl + jroLr1 jroCp

311

8000

4

0,132


1 _ U _1- 2 . 2

[Rr1 + Rr2 - 00 Cp (Lr1 Rr2 + Lr2 Rr1) 1 + J 00 [Lr1 + Lr2 + ~ Rr1 Rr2 - 00 ~ Lr1 LrZl

Zu 2. Die Phasenverschiebung zwischen il und u beträgt 90°, wenn der Realteil des Widerstandsoperators gleich Null ist:

Rrl + Rr2 - 002 Cp (Lr1 Rr2 + Lr2 Rr1 ) = 0,

nach Cp aufgelöst:

R r1 + R r2 Cp=~------------

002 (Lr1 Rr2 + Lr2 Rr1 )

Zu 3. Strom il und Spannung u sind in Phase bzw. um 180° phasenverschoben, wenn der Widerstandsoperator reell ist, d.h. wenn der Imaginärteil Null gesetzt wird:

00 [Lr1 + Lr2 + Cp Rr1 Rr2 - oo2 Cp Lrl Lr2 J = 0

1. bei 00 = 0 (Gleichspannung):

U 11 = , ~ = Rr1 + R r2

Rrl + Rr2

2. mit Lr1 + Lr2 + Cp Rr1 Rr2 - 002 Cp Lrl Lr2 = 0

bei 00= Lr1 + Lr2 + Cp Rrl Rr2 = • / J-. (_1_ + _1_) + Rrl Rr2

Cp Lrl Lr2 /V Cp Lr1 Lr2 Lrl Lr2


4.27 200 Q + 100 Q

(27t · 200 s-I)2. (0,4 H · 100 Q + 0,2 H· 200 Q)

Cl> = 2,375 J.1F' = 2,4 J.1F'

Zu 2. Reihenfolge der Zeigerdarstellung:

!.1 11 =20mA

!:!.Rl = Rr1 . !.1

!:!.U = j roLrl . !.1

!:!.1 =U Rl + U LI

!.p = jroCp·!:!.1

!.2 = !.I + !.p

!:!.R2 = Rr2 ·!.2

!:!.U = j roLr2 . !.2

!:!.2 = !:!.R2 + U L2

!:!. = !:!.I + !:!.2

Zu 3. nach Aufgabe 4.26:

Uu = 10,05 V

UI = 10,82 V

Ip = 32,3 mA

12 = 15 mA

UR2 = 1,5 V

UL2 =3,77 V

U2 =4,2 V

U =8,8 V

~Rl


1. bei ro = ° (Gleichspannung): ~ = Rrl + Rr2 = 200 Q + 100 Q = 300 Q

313

2. bei ro = 1 (_1_ + _1_) + 200 Q ·100 Q = 1,837.103 s-I mit ro2 = 3,375 .106s- 2 2,4 . 10- 6 F 0,4 H 0,2 H 0,4 H . 0,2 H

~ = Rrl + Rr2 - ro2 Cl> (Lri Rr2 + Lr2 R rl )

~ = 200 Q + 100 il - 3,375 · 106 s- 2 . 2,4 . 10- 6 F· (0,4 H . 100 Q + 0,2 H · 200 il) = - 348 il

Effektivwerte für das Zeigerbild:

11 =20mA

UR1 =4 V

Uu = 14,7 V

U1 = 15,2 V

Ip = 67 mA

12 =48mA

UR2 = 4,8 V

UL2 = 17,6 V

U2 = 18,3 V

U=7V

1800 !:!Rl



1 Rr2 jW(r2

R}·~ R r3 + j 00 Lr3 = ----

Rr2 +-. _1_ J 00 Cr2

R . 1 r2+J--

R}· ~ ooCr2 Rr3 + joo Lr3 =---- ----

R . 1 R . 1 r2-J-- r2+J--ooCr2 ooCr2

R} . R4 . Rr2 + j _1 - . R} . ~ . 00 Cr2

Rr3 + JOO Lr3 = ---------R2 +_1_

r2 2 2 00 Cr2

002. C;2· R} . R4 · Rr2 + j . 00· Cr2 . R1 . R4

2 2 2 00 • Rr2 . Cr2 + 1

2C2 00 r2 R1 R4 Rr2

d.h. Rr3 222

00 Rr2 Cr2 + 1

Rr3 jwLr3

!,!

Bild A·89 Übungsaufgabe 4.28

Der Abgleich der Brücke ist frequenzabhängig, weil 00 in der Abgleich-Bedingung vorkommt.

Zu 2. nach GI. (4.178)

R} oo2C;2 R} R4 R r2 R r3 =-~= 2 2 _2

~2 00 Rr2 C;:2 + 1

daraus folgt

R2 +_1_ r2 2 2

00 Cr2

(vgl. GI. (4.69), äquivalente Schaltungen)

und aus

folgt

R2 +_1_ r2 2 2

00 Cr2 (vgl. GI. (4.69), äquivalente Schaltungen)


Zu 3. Mit 0). Rr2 . Cr2 = 1 bzw. 0)2 R~2 ~2 = 1

ergeben sich für

Rl ·R4 R r3 =---

2Rr2 und

Der Abgleich der Brücke ist dann frequenzunabhängig.

4.29

Zu 1. siehe Bild A-90

( Rrl + -. _1_J' R4 = (Rr2 + -. _1_J' R3 J 0) Crl J 0) Cr2

R4 R3 Rrl R4+-. --=Rr2 R3 +-. --

J 0) Crl J 0) Cr2 d.h.

Rrl R4 = Rr2 R3 bzw. Rel R3 ---Rr2 R4

und R4 R3

bzw. ~2 R3

--- ---Crl Cr2 Crl R4

Die Brücke ist frequenzunabhängig.

315

Bild A-90 Übungsaufgabe 4.29 (1)

Anwendung: Messung von verlustbehafteten Kondensatoren (vgl. Bild 4.123 und GI. (4.172»


1 . Cl. C -+JO) pl -+JO) p2 Rpl _ Rp2

--'-----


d.h.

und

Cpl c;,2 c;,2 R3 -=- bzw. -=-R4 R3 c;,l R4

Die Brücke ist frequenzunabhängig. Anwendung: Messung von verlustbehafteten Kondensatoren.

316


d.h.

und

bzw.

1 . R4 =(Rr2 +_. _1_). R3 _1_ + j 00 C J 00 Cr2 R pI

pI

R4 = (Rr2 + _. _1_) (_1_ + j 00 Cp1 ) . R3 Joo Cr2 Rp1

R4 R r2 ('1 . R C " -=-+ +Joo r2 pI +-

R3 Rp1 j 00 Cr2 Rp1 Cr2

0) = --,=.========= ..j Rp1 Cp1 Rr2 Cr2

Die Brücke ist frequenzabhängig.



Anwendung: Frequenzmessung (vgl. Bild 4.131 und GI. (4.186»

4.30 Zu 1. Bei Abgleich sind

!:!.1 =U3

(Rr1 + jooLr1 )·1.1 = R3 ·1.3 + RS·1.s

und !:!.2=!:!.4

Beide Gleichungen dividiert, ergibt

(Rr1 + j 00 Lr1 ) . 1.1

R2·1.2

R3 · 1.3+ RS· 1.s

~·1.4

und mit 1.1 =1.2 und 1.4=1.S

Rr1 + j 00 Lr1 R3 1.3 Rs ----=_._+-

R2 R4 1.s R4

mit der Stromteilerregel

1 1.S jooC

1.3 R4 + Rs +-. _1_ JooC

A

11 Rr1 jwLr1 R2 12 • -!!.1 !!.2

!!.4 • - B R3 13 R4 h

• !!.



d.h.

Rrl = ~ (R3 + RS) und Lrl = CR2 R3 (1 + ~) (vgl. GI. (4.182))

Zu 2. Der Abgleich der Brücke ist nicht frequenzabhängig, weil in der Abgleichsbedingung die Frequenz nicht vorkommt.

4.31 Zul.

jwM

1

•

• j wL1

R3

11

R1 Rr 2

R4

y Bild A-94 Übungsaufgabe 4.31

12 R1 j w(L1-Mj

_1_ jW[r2 ..

14 R3 jwM

1

• lJ.

(Rl +j roLl)·!1-jroM.!=R3 ·!3 mit !=!l+!3

und

(R1 + jroL1)'!1 -jroM . !l-jroM '!3 = R3 · !3

(R1 + jroLl - jroM) . !l = (R3 + jroM) . !3

( Rr2 +-. _1_)'!2=~ '!4 jroCr2

und mit !l =!2 und!3 =!4

R1 +jro(L1-M)

1 Rr2 +-.--

jroCr2

Rr2

1 jW[r2

R4

Rl~ +jro(L1-M) R4 =Rr2R3+~+j(roMRr2-~) Cr2 roCr2


bzw.

M ro Rr2 + roR4 ro2 c r2 (Rr2 + R4)

Aus beiden Gleichungen läßt sich M nach Abgleich der Brücke berechnen. Der Abgleich der Brücke ist frequenzabhängig, weil in der Abgleichbedingung die Frequenz enthalten ist.

Zu 2. Aus (Rl + j roLl - j roM) !l = (R3 + j roM) !3

( Rr2 +-. _1_J' !2= R4 '!4 J roCr2

ergeben sich

4.32

~l = Rl + j ro (LI - M)

1 ~2=Rr2+-. --

J ro Cr2

~3 = R3 + jroM

z Z Z 1 _1 __ 2

u .---~3 ~4

mit

ergibt sich

1 ~ C =j:~4 . (R1p3 +jrocp3)

-+ Jro p2 Rp2

1 . C ---Jro p3 1. jroC4 Rp3

- + J ro Cp2 = . --"-=------Rp2 Rl (_1_ + jrocp3) _1_ -jro Cp3

Rp3 Rp3

(siehe Bild A-94)


1 . C -+)00 p2 Rp2

d.h.

und

Zu 2. Im Zeigerbild für Leitwerte ist der Tangens des Verlustwinkels abzulesen:

1

Rn 2 tan op =---'=

ooCp2

1 tan op = ---=---:--00 Rp2Cp2


1(2

(vgl. GI. 4.185)

319

Zu 3. Ist die Parallelschaltung der Reihenschaltung äquivalent, dann sind die Phasenverschiebungswinkel und die Verlustwinkel gleich:

<Pr = 'Pp = <P

Mit GI. (4.184)

und

tan/) = ooRr2 Cr2

und mit GI. (4.77) der Transformation der Parallelschaltung in die äquivalente Reihenschaltung

ist

Rp2 tano =---'---

_1_+ 002 C2 2 p2

Rp2

_1_ + 002 C 2 2 p2

R p2 und 00 Cr2 = -'---,---

ooCp2

4.33 Zu 1. Nach GI. (4.202) ist die Wirkleistung

p= U· I· coscp= S · coscp= 2kVA· cos(-lt/3) =2kVA· 0,5= 1 kW

und nach GI. (4.206) die Blindleistung

Q = U . I . sincp = S · sincp = 2 kVA . sin (-lt/3) = - 2 kVA ·0,5 . {3 = -1,73 kVar

Nach GI. (4.205) ergibt sich dann für die Augenblicksleistung

p = P (1 - cos2 rot) - Q . sin2 rot = 1 kVA · (1 - cos2 rot) + 1,73 kVA . sin2 rot

rot 1 0 lt/6 lt/3 lt/2 2lt/3 5lt/6

P (1 - cos 2M) kVA 0 0,5 1,5 2,0 1,5 0,5

+ Q . sin 2rot kVA 0 1,5 1,5 0 -1,5 -1,5

P kVA 0 2,0 3,0 2,0 0 -1,0

Die Verläufe der Leistungen sind im Bild A-97 dargestellt.

2 P(l- cos 2wtJ

0

2 ·P V /

1\ I1 r\ /

\ 1\ l' P V V V \ I\. 1\ \. I' 0 r:r"

2

Q·sin 2wt

0

-f3 - - Lr - - -~ 1-1- - - -\

1 11 \ 1/ \ I1 \ wt I-f--

0.

-1

-2

I 1\ 1 1\ / 1\

---13 ~V 1/ \ / 1/ - - r'-' - - r--< - - 1- - - - 0.

3

p=P(l-cos 2wtJ 2 .o.·sin 2wt

; ,\ 1/1\ 1\ 1/1\

1\ 1 \ / 1\ 1 \ P 1 \ \ I \ I1

0

-1 lJ \) \) \1/ \~ o

- 2

-n - n/2 0 n/2 n 3/2n 2n S/2n


lt

0

0

0

4.34 Zu 1. Die Ersatzschaltungen sind wegen 0 die Reihenschaltung von Rr und Lr und die Parallelschaltung von Rp und Lp :

Zu 2.

Z U .U . r=- cos<p+ J- Slll<p

- 1 1

R = U cos<p = 220 V cos600

r 1 9,1 A

Rr = 12,1 0

L U. r=-Slll 9,1 A . cos60°

Rp =48,40

L = U Pool· sin<p

L - 220 V p- 21t·50s-I·9,1 Asin60°

L p = 88,9 mH

P = U . I . cos<p = 220 V . 9,1 A . cos60° = 1 kW

P = (9,1 A)2. 12,1 0 = 1 kW

U2 P=-

Rp

P = (220 V) 2 = 1 k W 48,40

Q = U . I . sin<p = 220 V . 9,1 A· sin60° = 1,73 kVar

Q = 12 . Xr =1 2 . ooLr Q =_ U2 . Bp =_ U2 .( __ I_) ooLp

Q=(9,IA)2.21t.50s-I.66,6mH Q= (220V)2 21t . 50 s- I . 88,9 mH

Q = 1,73 kVar Q = 1,73 kVar

mit

S = (9,1 A)2. -V (12,1 Q)2 + 438 Q2

S =2kVA

mit

1 1

002 L2 (21t· 50 s-l ·88,9 mH)2 p

_1_ = 1282.10-3 S2 002 L2 '

p

S=(220V)2. A /l +1,282·1Q-3 S2 ·V (48,4 Q)2

S=2kVA

4.35 Zu 1. S = U . 1= 110 V . 5,2 A = 572 VA

P = U· I· cosq> = 110 V . 5,2A· 0,25 = 143 W

o =VS2 -pZ = V (572 VA)2 - (143 VA)2 = 554 Var


IR = I . cos = 21,2 Q . 0,25 = 5,3 Q I 5,2 A

X r = J Z; - R; = V (21,2 Q)2 - (5,3 Q)2 = 20,5 Q

L r = Xr = 20,5 Q = 65,3 mH w 21t· 50 s-l

4.36 Zu 1. Nach GI. (4.225) und GI. (4.214) sind

und

dC1=tanOC1=~= 1,2 VA =6,6.10- 3 1011 182 VA

mit 0 1 = - U2 . wCpt = - (220 V)2 . 21t . 50 s- 1 . 12 ~F = -182 Var

dC2 = tanoC2 = ~ = 0,8 VA = 13,15 . 10- 3 1021 61 VA

mit 02 = - U 2 . wCp2 = - (220 V)2. 2n· 50 s-l . 4 ~F = - 61 Var


und

Mit

dC= 1 wRcpCp

dC1 = _----=.1 __ wRCp1 ~1

_1_=_1_+_1_ RCp R Cp1 RCp2

ergibt sich

und dC2 = _--=1 __ wRCp2~2

wCp . dc = W~l . dC1 + wCp2 . dC2


d q,1· dc1 + q,2 . dC2 ·t r - r r_ e rru -p - -p1 + -p2

q,1 +q,2

de 12.10-6 F· 6,6 .10- 3 + 4 .10- 6 F .13,15.10- 3 = 8,24 .10-3 (12 + 4) . 10- 6 F

Zu3 d =tanö =~= P1+ P2 =(1,2+0,8)VA=823·1Q-3 . e e IQI IQ1+ Q21 (182+61)VA '

4.37

Zu 1. Nach GI. (4.243) ist ~ = r* . U2

~=P+j.Q

R ·U2 mit P = --::-_Lr_--=-

R2 +ro2 L2 Lr r

(1- W2 Lr Cr) + jroRLr Cr

RLr + jroLr

Zu 2. Mit GI. (4.70) sind

RLr 1

R2 +W2L2 RLp Lr r

und

P= U2 und Q=_(roCr __ l_).U2=_Bp.U2 RLp roLp

Zu3 P= 1000· (20 V)2 = 2 W . (100 0)2 + (1000 s-1 ·0,1 H)2

Q = ( 1000 s-l . 0,1 H _ 1000 s- 1 . 2 . 10-6 F) . (20 V) 2 = 1,2 Var (100 0)2 + (looos- l . 0,1 H)2

323


4.38 Zu 1. Die Parallelschaltung wird nach GI. (4.77) in die äquivalente Reihenschaltung transformiert:

___________ 10_0_0 ___________ =220

1 + (2n . 50 s- 1 . 60 . 10- 6 F) 2 (1000)2

die Reihenschaltung der beiden ohmschen Widerstände ergibt dann

R + RCr = 20 0 + 22 0 = 42 0

und

1 + (2 n . 50 s - I . 60 . 10- 6 F)2 (1000)2

(J) Cr __ 1_ + (J)2 C2 R 2 P

Cp

__ 1_=41,40 (J)Cr

Cr = 1 77IlF (J) ·41,4Q 2n· 50s- I . 41,40


S = U2 mit Z*

z= (R+ RCr)_j_l- (J)Cr

Z* = (R + RCr ) + j __ l_ = (42+ j ·41,4) 0 - (J)Cr

s = (220V)2 . (42-j . 41,4) Q

- (42+j·41,4)0 (42-j·41,4)Q

S = (220V)2. (42- j. 41,4) 0 =584 W -j. 577 Var - (420)2+(41,40)2

~=P+j·Q d.h. P=584W und Q=-577Var


S = U2 - Z*

(~+I)+j(J)RCp mit Z = R + 1 _ -'.R __ Cp'----~ ____ __

__ 1_+ jWCp _1_+ j (J)Cp Rcp Rcp

(R+ Rep) + j(J). R· Rcp · Cp Z = bzw.

(R + Rep) - j (J) . R· Rc . C Z' = P P

1 + j (J) . Rcp . Cp 1 - j (J) . Rcp . Cp


mit

und

S = u2

- R+Rcp

R·RC 1+jc.o·---p Cp

R+RCp

R · RC R·Rc 1-jc.o · Pc 1+jc.o.--_Pcp

R+Rcp p R+Rcp

(1-jc.oRcp.Cp)(1+jc.o. R.Rcp Cp) S = _u_2 _______ -'--__ R--,,+_R_Cp-'---'-

- R + Rcp 1 + (c.o R· Rcp Cp)2 R+Rcp

s = u2 ( 2 R· Rcp 2) ( 1 + c.o . Rcp . ---Cp - J c.o Cp Rcp

R+Rcp

- R+ Rcp

~=P+j·Q

R · Rcp _ 20n.100n

R+RCp 20n+100n 16,6n

c.o = 21t . 50- 1 = 314,16 s-l

ergibt sich für die Wirkleistung

R.RCP )

R+RCp

p = (220 V)2 . 1 + 314,162 s- 2 . 100 n· 16,6 n . (60. 10- 6 F)2 584W 120 n 1 + (314,16 s- 1 . 16,6 n· 60. 10- 6 F)2

und für die Blindleistung

Q = _ (220 V)2 . 314,16 s-l .60.10- 6 F · (100 n -16,6 n) = _ 577 Var

120 n 1 + (314,16 s-l . 16,6 n· 60.10- 6 F)2

4.39 Wirkleistung für den komplexen Widerstand ?:.:

p = U . 13 . coscp

mit

Ii = ri + I~ - 2 . 12 . 13 . cos (180° - cp)

und

325

IR3 mit IR3 = 13·(OS IP

l!

mit -I B3 = 'lsin IP

cos (180° - cp) = - cosq> Bild A-98 Übungsaufgabe 4.39

und

Ii - (I~ + I~) 13 . cos cp=----

2.12


und

Leistungsfaktor:

cosep 12 (12 + 12) 1 - 2 3

Blindleistung:

Q = U . 13 . sin cp = Rp . 12 . 13 .

mit sin cp = -V 1 - cos2 cp und

4.40 Zu 1. UR3=81 V Ul.3= 138 V

UR3 81 V Zu 2. Rr =-=--= 1800

1 0,45 A

Uu Uu roLr =- Lr=-

1 ro . 1

Lr = 138 V = 0,98 H 27t . 50 s- 1 . 0,45 A Bild A·99 Obungsaufgabe 4.40

2 2 2 Zu 3. coscp = U I - (U2 + U3 ) = (220 V)2 - (90 V)2 - (160 V)2 = 0,51

2 . U2 . U3 2 . 90 V . 160 V

U3 . coscp 160 V . cos59 3° Rr = ' = 1810

1 0,45 A

U3' sincp 160 V . sin59 3° Lr = ' =097H

ro . 1 2 1t . 50 s- 1 . 0,45 A '

4.41 Zu 1. 0 = p. tanep= 5000 VA · 0,62 = 3100 Var


C = p. tancp = 5000 V . 0,62 = 2041J.F p ro·U2 21t·50s-l.(220V)2

Zu 2. vor der Kompensation: cos ep = 0,85

aus P=U · I·cosep

I = P = 5000 VA = 26,7 A U . coscp 220 V ·0,85

nach der Kompensation: cos ep = 1 P 5000 VA

IKp = U = 220 V = 22,7 A

1= 26,7A

327

= 22 ,7A

~ =!J Kp

!L !C IC=L-sin lfI IC=-14,lA

Zu 3. Bild A-l00. Bild A-IOO Übungsaufgabe 4.41 Zu 4. Nach GI. (4.270) ist

Cr=--~~-P-----ro· U2 . sincp · coscp

5000 VA = 7341J.F 21t · 50 s-l . (220 V)2. 0,527 · 0,85


Uc = U . tanep = 220 V . 0,620 = 136 V.

Kontrolle mit GI. (4.271):

~ = Cr . sin2 ep = 7341J.F . 0,2775 = 2041.1F.

4.42

Zu 1. SI =~ = 150 · 103 VA = 250 kVA > 200 kVA, cos~ 0,6

der Transformator ist überlastet.

Zu 2. Die Summe der Blindleistungen beider Motoren müssen kompensiert werden, denn dann ist die gesamte Wirkleistung P = 190 kW < 200 kV A. Der Leistungsfaktor cosep der beiden kompensierten Motoren ist dann gleich 1.

Motor 1:

01 = Pl . tanepl = 150 kVA· 1,33 = 200 kVar

mit ~ = arccos 0,6 = 53,13°

Motor 2:

02 = P2 · tan~ = 40 kVA· 0,75 = 30 kVar

mit ~ = arccos 0,8 = 36,87°

Mit der gesamten Blindleistung 0 = 230 kVar und mit der gesamten Wirkleistung P = 190 kW ergibt sich der Leistungsfaktor beider Motoren:

tanep = 0 = 230 kVA = 1,21 cp = 50,44° und cosep = 0,64. P 190 kVA

Die notwendige Parallelkapazität kann über die zu kompensierende Blindleistung oder nach GI. (4.263) berechnet werden:


Aus

Oc = - u 2 . 00'1> = - 0

ergibt sich

C =~= 230kVA = 15mF Pro. u2 27t. 50 s-l . (220 V)2

Die Reihenkapazität beträgt nach GI. (4.271)

4.43

Cp 15 mF Cr = --=--- = 25,2 mF sin2q> (0,771) 2

* oder Z· =Z _1 =a

1 . C ---Joo p . 1 Rep

~a= RLr + JooLr + _.!....-_-

1 . Cl. C -+ Joo P ---Joo P Rep Rep

RCp Rj = RLr + ---'--

_1_+ CJ)2C2 R2 P

cp

~l

~l


~a= RLr + Rer + j. (00 Lr __ 1_) ooCr

1


4.44

Zu 1. ~a = ~~ers

(Rj+RLr+jwLr) ,---_1_+ jwCp Rcp

~jers =---------'------1

Rj+RLr+jwLr +----_1_+ jwCp Rcp

~jers = ( 1 ) (Rj + RLr + jwLr) --+jwCp + 1

Rcp

329

2 Uqers Zu 2. P amax = ---

4· Rjers nach GI. (4.281)

Uq U qers = U 1=-----"------ ---=----- - 1

Rj + RLr + j roLr + - + j ro Cp 1 +J·roC RCp - P

RCp

~qers=(I+ Rj+RLr ro2LrCp)~:. (Rj+RLr)Cp+2) RCp RCp

U

U q

P,m~= '[(I'i+RII)['+ ~:;"]+ :~] mit 1<;=1<,. (d) 1 Zu 3. Rj = 40 RLr = 60 roLr = 80 -- = S 0 Rq, = SOO 0

roCp

Ra = 100· (1 + 100/S00 0) + 6402 /S00 0 = 2 3S 0 (1 + 10 O/SOO 0 - 8 O/S 0)2 + (10 O/S 0 + 8 O/Soo 0)2 '

Xa = 10002 /S0-80.(1-8Q/H2) =S,640

(1 + 10 O/SOO 0 - 8 O/S 0)2 + (10 O/S 0 + 8 Q/SOO 0)2

81 y2 Pamax = = 1,96 W

4· [100 (1 + 10 0/5000) + 64 02/S00 01

5 Orts kurven

5.1 Zu 1. U = (Rr + j . X r) . .!. = (Rr + j ro Lr) . .!.

~=Rr·.!.+jropLrO·.!.

mit Lr = p . Lrü = p . 100 mH und p = 1 ... 3

U = 200 0 . 0,01 A + j . 21t . 200 s- 1 . P . 0,1 H . 0,01 A

~ = 2 Y + P . j . 1,257 V

5 Ortskurven

Zu 2. 1= U = U

mit

und

und

- Rr + j . Xr Rr + j roLr

Rr . roLrO -+JP--U U

1 I=------------~~---- 200 n . 21t · 200 s- 1 . 0 1 H

10V +JP lOV'

1

(20 + p . j . 12,57) A - 1

Lr = P . LrO = P . 100 roH

p=1...3

A = 20 K 1 !! = j . 12,57 K 1

1I2A = 0,025 A = 25 mA

j3V

j2V

-j10

- j20

-pO mA

2V

" '" " CL " CL CL

!!

p=3

p= 2

p=l

p=3

Q

Zu 1.

1 = 10 mA

p=2 Zu2.

p=l

!! = 10 V

p=2

ll."

p=3

Bild A-IOI Übungsaufgabe 5.1

Zu 3. Kontrolle:

P = 1: 11= .1 20 - ~ . 12,57 A = (35,8 - j . 22,5) mA - 2O+J·12,5720-J·12,57

p=2: 12 = 1 2O-j · 25,1 A=(19,3-j.24,4)mA - 20 + j- 25,1 20 - j . 25,1

p=3: 13 = ~ 20-~.37,7 A=(ll,O-j.20,7)mA - 20 + J . 37,7 20 - J . 37,7

331

332

5.2 Zu 1. ~~

Rr -.--J pWoC r

Bild A·I02 Reihenschaltung Übungsaufgabe 5.2


Zu 2. -CD-j p woCp

Bild A-I03 Parallelschaltung Übungsaufgabe 5.2

y =_I_+j,p·Wo·79,6IlF -p 23,1 Q

Die Bedingungsgleichung für die Äquivalenz der Reihen- und Parallelschaltung bei p = 1 lautet:

~rl =_1_ ~pl

Rr-j._l_ 1 000' Cr l/Rp + j . Wo . S>

Re + S> + j . (wo Rr Cp 1 ) - 1 Rp Cr Wo Rp Cr

d.h.

Rr S> -+-=1 Rp Cr

17,3 Q + 79,6 J.lF = 1 23,1 Q 3181lF

0,7489 + 0,2503 = 1

und

1 Wo Rr Cp = ---

oooRp Cr

000= 1 -v' Rr Cr Rp Cp

00 - 1 0- V17,3 Q. 318 J.lF. 23,1 Q. 79,61lF

Wo=314s- 1 und fo=50Hz

Bei fo = 50 Hz sind die beiden Schaltungen äquivalent (vgl. Aufgabe 4.6).

Die Ortskurvengleichungen lauten dann

~r= 17,3Q-j· 1. P . 314 s-l . 318 J.lF

Zr= 17,3Q-l.. j ·10Q - P

y =.!...= 1 _r ~r 17,3Q-l..j10Q

p

mit ~ = 17,3 Q und 1/2A = 28,9 mS

r p = 43,3 mS + j . p. 314 s-l ·79,6 J.lF

r p = 43,3 mS + p . j . 25 mS

Z =_1_= 1 -p r p 43,4 mS + p . j 25 mS

mit ~ = 43,3 mS und 1/2A = 11,5 Q

5 Ortskurven

j 60 mS

po mS

Zu 1.

p=1f2 rr

p ~ 1/3

z" _r

p ~ 1/2

p =0 30mS O ~------r---~~~-----

10Q

~rl

- j 1011

-j 2011 p = 1/2

p = 1/3

j 60 mS

po mS

Zu 2 .

pd

pd

o p=oo~------~--~~~~----

- j 1011

- j 2011

Bild A-I04 Ortskurven der Reihen- und Parallelschaltung der Übungsaufgabe 5.2

Zu 3. Zrl = -V (17,3 0)2 + (10 0)2 = 200

d.h.

5.3 Zu 1. Reihenschaltung

~r= Rr+ j . (PoooLr --1-) pooo Cr

1 . 1 mit 000 = --====

-I LrCr YO,04H · l J.lF'

000 = 5000 s-l

~r = Rr + j. Xkr · (p-~)

mit Xkr = . (L; = ~ 0,04 H = 200 0 \/ t IJ.lF'

Yp1 =-V (43,3 mS)2+ (25 mS)2 = 50 mS

Parallelschaltung

r p = Gp + j. (pooo Cp ___ 1_) poooLp

mit 000 1 1 -.fCI: Y 1 J.lF' . 0,04 H

p p

333


~r = 200Q+ j. 200Q· (p-~) r p = 5 mS + j . 5 mS . ( P - ~ )

y =-..L= I _r Z ( 1) _r 2ooQ+j.200QP-p

Z =_1_= 1

-p r p 5mS+j ' 5ms(p-~)

mit!:!. = 200Q und 1/2A = 2,5 mS mit A=5mS und 1/2A = 100Q

Werden für 2,5 mS und 100 Q gleiche Längen gewählt, sind die Ortskurven für ~r und rp,rr und ~p identisch.

p= 1,9

p:l,8

p: 1.7

j200 Q j 5 mS p = 1. 6

p = 1,5 Xr' bp

p : 1,4

p : 1,2

p=l,l

p = 0, 91

p=O,83

N:.CD. r- .,0 u"\ -' " It 11"- ....--....-"'

" " 0. c.. 11 11 11

0. o..c... Cl.. CL 0.

p: 0,77

P =0,71

p : 0,67

- j 200Q - j 5 mS p: 0,625

p = 0,59

p =O,S3

Bild A-I05 Ortskurve der Reihen- und Parallelschaltung der Übungsaufgabe 5.3

5 Ortskurven 335

Zu 2. Aus der Leitwert-Ortskurve des Reihenschwingkreises lassen sich die Zeigerlängen Y r in Abhängigkeit von p ablesen:

P 1 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 0,91 0,83 0,77 0,71 0,67 0,63 0,59

Yr mS 5 4,9 4,7 4,4 4,1 3,9 3,6 3,4

Werden die abgelesenen Y r-Werte mit Rr multipliziert,

I I Yr·Rr =U· Rr=U/R '

r

dann ergeben sich die bezogenen Stromwerte der Gleichung 4.132, die mit

Q =Xkr=2000=1 r Rr 2000

1,8 1,9 2,0 0,56 0,53 0,5

3,2 3,0 2,7

im Bild 4.98 der obersten Kurve entsprechen. Die abgelesenen Yr-Werte können also mit der Gleichung (4.132) mit x = p rechnerisch kontrolliert werden:

5.4

I 1 1 Yr =-

U Rr.~ l+Q;(p-~r 2000.~ l+(p-~r

I Rr jwLr IR Rp

0 • I I 0 I - - IL jwLp !.!R .!.!l ..

.!J. .!J. Bild A-I06 RL-Schaltungen im Bildbereich der Übungsaufgabe 5.4

1

1 . Lr +Joo-

Rr

1

UR!L 1 1 -=-=---=-- mit Ol =p. 000 U I 1 +j~ 1 +j P

000

1 !R jooLp 1

Re 1+--

I ~+joor"

jooLr

..


UL!R 1 1 1 U=-I-=~= 1_j°1:. = 1-jp*

1-j -;- p

IR Rp

!R

I 1

01 Rp 1-j--

00 L p

mit oo=po~ und p*=1/p

1

I 1

I Rr jW[r ~c--·~c=J __ r---,I~

lc jw[p

.. lJ. lJ.

Bild A-I07 RC-Schaltungen im Bildbereich der Übungsaufgabe 5.4

!R

I

1 jooCp 1

R +_1_ l+jooRpCp p jooCp

1 000=--

RpCp

Uc

U

1 joo Cr 1

1 1 + jooRrCr Rr+--jooCr

!R Uc 1 1 -=-=--=-- mit oo=po~

I U l+j~ l+jp

!c

I 1

000

Rr 1

•

R_+_1 _ -" j ooCp

R +_1_ 1+ 1 r jooCr jooRrCr

!c 1

I 1_j..!._1_ 00 RpCp

UR 1

U 1_j..!._1_ 00 RrCr

!c= UR =_1_=_1_=_1_ mit oo=po~ und p*=1/p I U 000 1_j°1:. 1-jp*

1-j -;- p

Wie aus den Ortskurvengleichungen ersichtlich. sind die Ortskurven von jeweils vier Strom- und Spannungsverhältnissen identisch; die Größen Rr• L r• er. Rp• Lp und Cp. gehen nur in die jeweiligen Bezugsfrequenzen roo eino

5 Ortskurven

p=1 'G- , . 1 P =, _ = +J p

K=-'-- l- j llp p=1

= 1/2

p =0 p = CD

o 1/2 1 p= oo

p=1 p=1/2 p= 1/2

K=-'-- Hp

p= 2

-j \.li-= 1- j P , p= ' -j p= '

5.5

1

(1+ R~ +jro ~J Zu 2. Mit ro = p . ~ und ~ = RII.-r und RLr = R

1 1

.Ql (1+ R~ )+jproo ~ 2+jp

Die Ortskurve ist ein Kreis durch den Nullpunkt mit 1 1 2A 4

Zu 3.

RLr/R 0 1/2

.Q2/.Ql l/(l+jp) 1/(1,5+ jp)

1/2A 1/2 1/3

1

Bild A·I08 Ortskurven der Übungsaufgabe 5.4

2

1/(2 + jp) 1/(3 + jp)

1/4 1/6

337


1,5 2

p=ll2 p =1/2 (p= 1 für

p =1 RLr/R= 2)

0,7 -j

0,6 p=l p=l p=l

0,4

0,3 '" 1- j P 1,5- jp 2 - j p Bild A-I09 ,...,

0,2 ci Ortskurven und Betragsfunk-

0,1 tion der Übungsaufgabe 5.5

- 2j 0

p=2 p=2 p=2

0 1/2 1 RLr 2 R -

Zu 4. Die Beträge von U 2/.Ql lassen sich sowohl aus der Ortskurvenschar ablesen als auch rechnerisch ermitteln durch

5.6

Mit

mit

(Darstellung siehe Bild A-109)

UR Rr -U

Rr+i( roLr-_1 ) roCr

.QR 1 --U

. (roLr 1) l+J ------Rr ro RrCr

ro=p · roO

UR 1 --

P roo~rCJ U

( Lr l+i p roo-Rr

Bild A-110 Schaltung im Bildbereich der Übungsaufgabe 5.6

1 _ 1

l+iQr(P-~) -l+i(P-~)

roo = 1 = 1 = 2500 s- 1

~ VO,08H.2.10 6 F r r

5 Ortskurven 339

und

(vgl. GI. (4.118»

Die Ortskurve ist ein Kreis durch den Nullpunkt mit 1/2A = 1/2. Bei p = 1, also bei Resonanzfrequenz ist UR = U, denn die induktive und kapazitive Spannung kompensieren sich: .!:!.L + .!:!.c=O. Bei p = 0, d.h. bei Gleichspannung, fließt kein Strom, weil der Kondensator einen unendlichen Widerstand bedeutet. Die Spannung UR ist also Null.

Bei p = 00 , d.h. bei unendlich hoher Frequenz, ist der Wechselstrom ebenfalls Null, weil der induktive Widerstand unendlich groß ist. Die Spannung UR ist also ebenfalls Null.

- j

5.7

!d.2 Zu 1.

.!:!.l

p=2

p=1I2

------;----------,---.!:!.l R1.(_1_+....!...+iWC +_1_)+1

Rp R2 P i wLp

Bild A-lll Ortskurve der Übungsaufgabe 5.6

0. Q:

Bild A-ll2 Schaltung im Bildbereich der Übungsaufgabe 5.7

R2


~2 1 mit w=p· Wo

~l (Rl+Rl+IJ+j(WRICP-~J Rp R2 wLp

Wo = 1 1 = 10000 s- 1

,.j Cp Lp -.j 100 . 10- 9 F . 100 . 10- 3 H

~2 = 1

~l (!.+!.+I)+j(P . 10000S-1.500n.100.1O-9F- 500n ) 2 2 p . 10000 s- 1 . 100 . 10- 3 H

~2 1

~l = 2+j.0,5(p-~)' d.i. die Gleichung eines Kreises durch den Nullpunkt mit dem Mittelpunkt auf der reellen Achse mit 1/2A=I/4.

Zu 2.

p=3

p=2

p=l 2

P !l1'l!2

0,00 2 +joo - jf2 lf3, 3 2. j ·l,34

lf2, 2 2., jO,75 1 2

p=1/2

Bild A-l13 Ortskurve der Übungsau(gabe 5.7

Zu 3. Bei p = 1 herrscht Resonanz zwischen Cp und Lp, d.h. der Leitwert der Parallelschaltung von Cp und Lp ist Null und der Widerstand ist entsprechend unendlich groß. Dadurch bleiben von der Schaltung nur zwei in Reihe geschaltete, gleich große ohmsche Widerstände von je 500 n übrig, so daß die Spannung Vl halbiert wird.

5 Ortskurven

5.8

Zu!. y=1..+ 1 =1..+ =L+ __ 1_ - R RLr + jroLr R RLr+p·jroOLr §+p . .f

~ = 100 s-1, P = 1,2, ... , 10

y=_I_+ 1 =OOlS+ 1 100 Q 50 Q + P . j . 100 s-1 . 0,1 H' 50 Q + P . j . 10 Q

d.i. ein verschobener Kreis durch den Nullpunkt mit 1/2A = 1/2·50 Q = O,ül S

0

0,03 S

Yf 0,02

+

0,01 -+ -+

0,0' - - - - - - - - - - - -

Ot--.--.--.--r---._ o 200 400 600 8001000 S-1

w-

0,02 -O;Q+-~

p=7

p=8

P =9

p=10

Bild A-114 Ortskurve der Übungsaufgabe 5.8

0,03 S ~

P=O

~"=50 Q - p.j .l0Q

Zu 2. P=O und ro=o: y=_I_+_I_ =_3_=0,03S - 100 Q 50 Q 100 Q

P = 00 und ro = 00: Y = _1_ = ° 01 S - 100 Q ,

341

p=5 und ro=500s- 1: y=_l_+ 1 =_1_+_1 __ j _1_=(0,02_jO,0l)S 100 Q 50 Q+ j 50 Q 100 Q 100 Q 100 Q

Zu 3. siehe Bild A-114 mit Asymptote r = 0,01 S.


5.9

U Zu 1.

.!!.L

1 * mit 0) = P . 0)0 = .. Wo und 1/ p = P .

Mit P

1 O)oLr Xkr 0)0 = und -- = - = Qr = 2 (vgl. GI. (4.118»

-J LrCr Rr Rr

ist

Bei Resonanz des Reihenschwingkreises ist 0) = 0)0, also p * = 1/p = 1 und das Spannungsverhältnis ist

imaginär:

U . . . U 1 1 UL -=-=_~=_L ffi1t -=-=- bzw. -=Qr =2 (vgl.GI.4.125) .!!.L Qr 2 UL Qr 2 U

Die Ortskurve ist eine Parabel, die spiegelsymmetrisch zu der Ortskurve von .!!./.!!.c (Bild 5.30) an

der reellen Achse ist. Das Vorzeichen des Imaginärteils ist umgekehrt, und bei den Parameterwerten steht anstelle von p der Kehrwert l/p.

p= 1,07

- 3 -2

--pJ=~o"'!!, 5~~~P;;::=~1~/1~,5~~~~:tP·= 2, p= 0,5

l-p·i 2


Zu 2. Inversion:

.!!.L U . * 1 *2 1-J'p --p

Qr

p=O,p* = 00:

p=1/2,p*=2:

* j *2 1-p --p 2

U L =_1_ = -0,3 + j 0,1 = 0,316. ei ' 161,6° U -3-j

5 Ortskurven

p=2/3,p* =1,5:

p= l,p* = 1:

p=2,p*=1/2:

p=oo,p* =0:

_U_L = 1 = _ 0,59 + j 0,35 = 0,686 . ei . 149,3" U -I,25-jO,75

UL

U 1 j 2 = 2 . ei . 90·

I-1-jl2

_U_L = 1 1,2 + j 0,4 = 1,26. ei . 18,4· U 0,75 - j 0,25

343

Zu 3. Mit Hilfe der GI. (4.127) mit x = p und Or = 2 lassen sich für p = 0, ... , 2 obige Ergebnisse bestätigen:

UL

U p

FUrp = 00 ist

UL . 1

U= pl~oo~ 1 ( 1)2 =1 -+ 1--4 p2 p2

Nach GI. (4.129) ist das Maximum bei XL = PL = 1 = 1,07 V 1-1/8

und beträgt

ULmax 2 --- =2,066.

U Vl-1/16

5.10

Zu!. y=_I_+jros,+ 1 =_l_+p.jrooC + 1 - RCp RLr+jroLr Rcp p RLr+p' jrooLr

mit ro = P . 0>0. Mit 0>0 = 10 . 103 s-l und den gegebenen Größen ist

y = 1 + p. j 10. HP s-1 .0,2.10- 9 F + 1 - 100 . 103 0 50 . 103 0 + p . j 10 . 103 s- 1 . 1 H

Y =10"~ + P . J' 2"~ + 1 -..., ..., 50kO+p·jlOkO

Die Ortskurve kann durch Überlagerung einer Geraden und eines Kreises durch den Nullpunkt mit 1/2A = 1/2·50 kO = 10 I1S ermittelt werden (siehe Bild A-116).

344

j 10

115

o

- j 10

j 10 j 50 IIS k fl

- j 10 6


10

9

B

7

6

5

4

3

2

3

4

5

6

8

9

10

50 k fl • PJ10 k fl lOIlS·P·PIl5

50 kQ + p.j.10kfl

50 kfl - p.j .10 kfl

Bild A-1l6 Ortskurve der Übungsaufgabe 5.10

Der parametrierte Kreis müßte wegen des Realteils der Geraden nach rechts um 10 J.!S verschoben werden. Einfacher ist jedoch eine Verschiebung des Koordinatenursprungs um - 10 J.!S, also nach links; der Kreis bleibt dann unverändert. Selbstverständlich müssen dann die J.!S-Werte der reellen Achse um 10 J.!S verändert werden. Anschließend lassen sich die lmaginärteile des Kreises mit denen der Geraden überlagern.

Zu 2. Bei p = 5, also bei ro = 50000 s-l ist der komplexe Leitwert reell: ~5 = 20 flS. Nachweis für ro: Nach der Abhandlung über "Parallelschaltung verlustbehafteter Blindwiderstände" im Abschnitt 4.5.2 ist nach GI. (4.150)

i=[[R~p + Rtr:~2L~1+j,[rocp- Rtr:~2L;llQ Bei Resonanz ist der lmaginärteil des Leitwertoperators Null:

roCp = roLr bzw. R~ _ + ro2 L 2 = ~ Rtr + ro2 L; .LA r Cp

5 Ortskurven

Die Formel für die Resonanzfrequenz lautet dann und ergibt

Nachweis für den reellen Leitwert mit Hilfe der Ortskurvengleichung mit p = 5:

y 5 =10 ~ + 5 . j . 2 ~ + 1 = 10 j.LS + j . 10 j.LS + _1 __ 1_ - 50kQ+j5·lOkQ 50kQ1+j

5.11

Zu 1.

1.

2.

Y 5 =10 j.LS + j 10 j.LS + 20 j.LS . .!. (1 - j) = 20 j.LS - 2

Z = RLr + j roLr + 1 - lIRcp+jroCp

ro = 0 mit ~ = RLr + Rcp

1 1/Rep-jroCp Z = RLr + j roLr + ----- ---=----=-- lIRep+jroCp lIRep-jroCp

Z=[RLr + 1/Rcp ]+jro.[Lr - Cp ] - lIR2 + ro2 C2 1/R2 + ro2 C2 Cp p cp p

Der komplexe Widerstand ist reell, wenn der Imaginärteil Null gesetzt wird:

C C Lr = P bzw. _1_ + ro2 C2 =-.-E. 222 2 0 PL lIRCp + roo Cp Rcp r

~ 1 1 roo= LC-~

r p RcpCp

roo - " / 1 1 = 5000 s-l _. V 120.10-3 H· 0,12.10- 6 F (1,25.103 Q. 0,12 .10- 6 F)2

Zu 2. Z = RLr + P . j roo Lr + 1 mit ro = p . CIlo . - 1/RCp+p·jroo Cp

Mit roo = 5000 s-l (roo = 0 scheidet als Bezugsfrequenz aus) und den gegebenen Größen ist

Z = 1 kQ + P . j 5000 s-l . 120 . 10- 3 H + 1 - 1/1,25 kQ + P . j 5000 s- 1 . 0,12 . 10- 6 F

Z = 1 kQ + P . j 0,6 kQ + 1 - 0,8 mS + p . j 0,6 mS

345

Die Ortskurve ist eine Überlagerung einer Geraden und eines Kreises durch den Nullpunkt mit 1/2A = 1/(2·0,8 mS) = 625 Q = 0,625 kQ (siehe Bild A-1l7).

346

j O,5kl!

o

- j 0,5 kl1

O,5kl!

- j 0,8 mS


1,5

lkl!+p.j- O,6 kl!

j O,5 kl1

0,5

o

0,5

0,5 1,5

3 2.5

2 1,5 O,8mS+ pjO,6mS

2,5 O,8mS - pjO,6mS

3


Zu3. p=O:

p= 1:

~ = RLr + Rcp = 1 kil + 1,25 kil = 2,25 kil

I/Rcp 1 Z = RLr + = RLr + -----'------,-- I/R~p + w5 C~ 1/Rcp + RCp (wo Cp)2

Z=lkil+-------~-~---~~ 111 ,25 kil + 1,25 kil· (5000 s-l ·0,12· 10- 6 F)2

~= 1,8 kil .

6 Transformator

6. Transformator

6.1 Zu 1. Quantitatives Zeigerbild


Reihenfolge der Darstellung und Berechnung der Effektivwerte:

.!:!.2 U2 =40V

R2 ·!2

12 = U2/R

IF40V/200Q= 0,2 A

R2 . 12 = 10 Q . 0,2 A = 2 V

j ro L:z . !2 ro L:z . 12 = Hf s-1 . 45 mH 0,2 A

ro L:z . 12 = 90 V

mit L2 = M2 = (15 mH)2 = 45 mH k2 LI 0,52 . 20 mH

aus k = _M_ (GI. (3.369), Band 1) .JL1L2

jroM·!1

-jroM · !2

R1 · !1

jroL1 ·!1

.!:!.1

Zu 2. Nach GI. (6.25)

.!:!.2

ro M . 11 = 100 V (abgelesen)

roM·l1 10üV 11 =--= =0,67 A

roM 104 s- 1 . 15 mH

roM . 12 = 104 s- 1 . 15 mH . 0,2 A = 30 V

R1 . 11 = 6 Q . 0,67 A = 4,02 V

ro LI . 11 = 104 s-1 ·20 mH . 0,67 A = 133,3 V

U1 = 107 V mit <j!l = 80" (abgelesen)

!:!.1 -(R+ R2) · LI + RI · Lz)+i . (ro2 (LI Lz-M2)-(R+R2) · RI )

M · R roM·R

1

347

!:!.1 210 Q . 20 mH + 6 Q . 45 mH + j 100002 s- 2 [20 mH . 45 mH - (15 mH)2)_ 210 Q . 6 Q

15 mH . 200 Q lOooOs- 1 . 15 mH . 200 Q

1 mit U 2 = 40 V 1st U 1 = (1,49 + j 2,208) . 40 V = (59,6 + J 88,32) V !:!.l 1,49 + j 2,208 - -

und

U1 = 11,492 + 2,2082 . 40 V = 2,66·40 V = 106,5 V

UI 220V Zu 3. U2=-=--=82,7V

2,66 2,ffJ

Zu 4. Mit ~ = M2 = (15 mH)2 = 11,25 mH (GI. (3.370), Band 1) LI 20mH

~2_ 1

~I - 210 Q . 20 mH + 6 Q . 11,25 mH + j 100002 8- 2 [20 mH . 11,25 mH - (15 mH)2]_ 210 Q . 6 Q

15 mH . 200 Q 10000s- I . 15 mH . 200 Q

U2 1 U2 1 1 - = mit - = --= -- und UI = 1,423 . 40 V = 56,9 V U I 1,4225 - j 0,042 U I 12,025 1,423

6.2 Zu 1. Die Gleichungen (6.10) bis (6.12) vereinfachen sich mit RI = 0, R2 = 0, ~ = 0 in

~I= jOlLI ·.!.I-jOlM·.!.2

~2 = -jOl~·.!.2 + jOlM . .!.I =0

Damit ist

und

(vgl. GL (6.27) mit RI = 0 und R2 = 0)

und mit M2 = k2 . LI ·L2

~ink. =jOl (LI - k2~~ J =jOlLt· (1-k2) =jOl·<JLt (GI. (3.m) , Band 1)

Zu 2. Im Bild 6.19 (Ersatzschaltbild des Transformators mit nur einer Längsinduktivität werden RI = 0, R2 = 0 und U 2 = 0 gesetzt, wodurch sich das Ergebnis bestätigt.

Zu 3. ~ink. = j ol (LI - ~) = j OlLers

Zink=jOl(20mH (15mH)2)=jOl15mH, d.h. Lers =15mH - 45mH

6.3

Zu 1. Mit den Gleichungen (6.32) bis (6.34) und RI = 0, R2 = 0 und ~ = Rr + _. _1_ ist JOl Cr

~I = jOlLI . .!.1-jOl (LI + M) ·.!.2

~2=jOl(L1 + M)· .!.1-jOl(Lt + ~+ 2M) ·.!.2

U2= (Rr + jOl1CJ·.!.2

6 Transformator

Zu 2. Zin = U 1 = jooL1-joo (LI + M) . !2 - !I !I

ist

mit .!:!.2 = joo (LI + M) ·!1 -joo (LI + Lz + 2 M) ·!2 = ( Rr + joo1Cr)·!2

!2 j 00 (LI + M) und -=------__ _

!I joo(LI +Lz+2M)+Rr +-. _1_ JOO Cr

. 002 (LI + M)2 Zin = jooLI +--~---------,,-- Rr + j . [00 (LI + Lz + 2 M) __ 1_]

00 Cr

002 (LI + M)2 . Zu 3. Zin= +jooLI wegen oo(LI +L2+ 2M) =_1_

- ~ oo~

Zu 4. 00 1

"j (LI +Lz+2M) . Cr

mit M = k "j LI L2 = 0,6 . 200 mH = 120 mH

00 = 1 5000s- 1 Y (200 mH + 200 mH + 2 . 120 mH) . 62,5 nF

z. = [5000 s-1 . (200 mH + 120 mH)f + j . . 5000 s-1 . 200 mH _Iß 25 0

~in = 102400 0 + j . 1000 0

6.4 Zu 1. Nach Bild 6.16 ist mit 0 = 1,2

M'= o· M = 1,2 · 15 mH= 18mH mit

M = k .,jL1Lz

M = 0,5· '120·45 mH = 15 mH

R1 =600

L1s = LI - M' = 20 mH - 18 mH = 2 mH

L;s =~-M'= 02 . Lz-M'

L;s = 1,22 . 45 mH - 18 mH = 46,8 mH

R; = 02 . R2 = 1,22 . 100 0 = 144 0

U2 =0· U2 = 1,2 · 4OV=48V

R~ = 02 . Rr = 1,22 . 500 = 720

L~ = 02 . Lr = 1,22 . 8,67 mH = 12,5 mH


Bild A-UO Übungsaufgabe 6.4

349

Zu 2. Reihenfolge der Zeigerbilddarstellung und Berechnung der Effektivwerte:

~2 ,

, V 2 12=- Z'

mit Z' = -./ R~ 2 + (WL~ )2

z: = -./ (72 Q)2 + (10000 s-1 . 12,5 mH)2 = 144 Q

und <p= arctan (wLr/~) = arctan (125 QI72Q) = 60°

, 48V 12 = 144 Q =0,33 A

Rz·.!.2 R2 .1 2 = 144Q· 0,33 A =48V

j w L~ . i2 w L~s . {2 = 10000 s- 1 . 46,8 mH . 0,33 A = 156 V

jwM'· I" ' 1 -,.. - 1 1 -!l. jwM' -_1-_2

.!.1 =.!.!l. +.!.2

jwL1s · .!.1

R1 ·.!.1

~1

, wM'.I!l.

.!.!l. jwM' 206 V = 1,14A

10000 s- 1 . 18 mH

11 = 1,46A

w L1s . 11 = 10000 s-1 ·2 mH . 1,46 A = 29,2 V

R1 . 11 = 60 Q. 1,46 A = 87,6 V

VI =256V

V· Zu 3. Maßstabsänderung des Zeigerbildes: _1 = 500 V = 1,953

V 1 256V

Damit ändern sich:

• 11 = 1,953 . 1,46 A = 2,85 A

* 12 = 1,953 . 1,2 . 0,33 A = 0,761 A

V; = 1,953 . 40 V = 78,1 V

6 Transformator

6.5 Zu 1. Ersatzschaltbildgrößen mit ü = Wl/W2 = 2500/500 = 5

R1 =400il

L1s =0,8H

Re =5kil

'2 2 R2 =ü . R2 = 5 . 40 il = 1 kil

L;s =ü2 . L2s = 52 . 0,12 H = 3 H

M' = ü . M = 5 . 1,2 H = 6 H

U2 =ü . U2 = 5 ·600 V = 3 kV

R' =ü2 . R = 52 . 20 il = 500 il r r

L~ =ü2 . Lr = 52 . 95,5 mH = 2,39 H

Bild A-l21 ÜbungsauCgabe 6.5

Zu 2. Reihenfolge der Zeigerdarstellung und Berechnung der Effektivwerte:

, '" I

~~ = ~2 + j OlL2s . .!.2 + R2 . .!.2

, ~~ 1 =--~ jOlM'

U I =-~ _v Re

, , .!.1 = .!.~+ .!.V+.!.2

, ,

weil .!.~ + .!.v= .!.1-!2

j OlL1s . 11

R1· !1

.!d:.l = U ~ + R1 ·.!.l + j Ol L1s . .!.l

mit Z' =,.,; R/ + (OlL~)2

Z' = -I (500 il)2 + (2n . 50 s-l . 2,39 H)2 = 901,4 il

und <p = arctan (OlL;/I\) = arctan (750 il/500 il)

<p=56,3° , 3kV

12=--=3,33A 901,4il

Ol L~ . 1'2 = 21t . 50 s-1 · 3 H . 3,33 A = 3,14 kV

Rz ' 12 = 1 kil . 3,33 A = 3,33 kV

V~=7,5kV

I' = V~ = 7,5kV = 3,98 A -~ OlM' 2n . 50 s- 1 . 6 H

V Iv=-~=7,5kV =1,5A - Re 5 kil

Ol L1s . 11 = 2n· 50 s-1 · 0,8 H· 7,5 A = 1,88 kV

R1 ·I1 =400il·7,5A=3kV

VI = 10,8 kV und !pJ = 520

351

6.6 Zu 1. ~lI = Rl + j roLl = 6 Q + j 80 Q

LI = Xli = roLl = 80 Q 8 mH ro ro 10000 s-l

~rI = R + j . Xri = RI + R2 + j ro (LI + L2 + 2 M) = 42 Q + j . 830 Q

LI + ~ + 2M = Xri = 830 Q = 83 mH ro 10000 s-I

~r2 = R + j. Xr2 = RI + R2 + jro (LI + Lr 2 M) = 42 Q + j . 230 Q

Xr2 230Q LI +~-2M=-= = 23 mH

ro 10000 s-l

Durch Addition und Subtraktion von Xrl/ro und Xdro

(LI + ~ + 2M) + (LI + L2 - 2M) = 83 mH + 23 mH = 106 mH = 2 (LI + L2)

(LI + L2 + 2 M) - (LI + ~ - 2 M) = 83 mH - 23 mH = 60 mH = 4 M

ergeben sich L2 und M:

2 (LI +~) ~ 2 LI

~ = 106 mH _ 8 mH = 45 mH 2

M=60mH =15mH 4

Y'l

R,=60 .....---.

1,

jwo L, -oL,=3mH

1, - 1i

Ri=40 .....---.

j wk2L1 Ik2L, =5mH

Zu 2. Mit

ü= M = 15mH =.!. ~ 45 mH 3

Bild A-122 Übungs aufgabe 6.6

ergeben sich die Ersatzschaltbildgrößen nach Bild 6.19:

mit

mit

Rl =6Q

M' = ü . M =.!. . 15 mH = 5 mH oder M' = k2 . LI = 0,792 . 8 mH = 5 mH 3

k = M 15 mH = 079 und k2 = 0 625 -J LI ~ f8.4s mH ' ,

LI - M' = 8 mH - 5 mH = 3 mH oder LI - M' = <J . LI = 0,375 . 8 mH = 3 mH

<J= 1- k2 = 1-0,792 = 0,375

'2 1 R2 = Ü . R2 = 9" . 36 Q = 4 Q

R' = ü2 . R =.!. . 180 Q = 20 Q 9

12

IY; ( R'= 200

6 Transformator

Zu 3. Reihenfolge der Zeigerbilddarstellung und Berechnung der Effektivwerte:

, , ~ !2 12 = - = 0,1 A . 3 = 0,3 A

, " .!:!.R2=Rz· !2

, , .!:!.2+.!:!.R2

, U 2+ U R2 1 - --j.l jroM'

, , !j.l=!1-!2

!1=!2+!j.l

.!:!.Rl = R1 ·!1

.!:!.L1s = j ro crLI . !1

.!:!.1 U1 jfPJ. Zu 4. Zin=-=-·e

- !1 11

Z . = 15,4 V . ei57· _10 0,33 A

~in = 46,7 il · ei 57·

Kontrolle mit Hilfe des Schaltbildes:

o , ,

U:l= R'· 12=20n · 0,3 A =6 V

Rz · 12 = 4 n . 0,3 A = 1,2 V , ,

U2 + UR2 = 6 V + 1,2 V = 7,2 V , ,

, U 2 + U R2 1,,=----

,.. roM'

I' = 7,2 =OI44A j.l 10000 s- 1 . 5 mH '

11 =0,33A

R1 . 11 = 6 il· 0,33 A = 2 V

ro L1s . 11 = 10000 s-1 · 3 mH . 0,33 A = 10 V

U1 = 15,4 V und fPJ. = 570

(~+ R') · jrok2 L1 Zin=Rl +jrocrL1 +------- ~ + R' + jrok2L1


~in = 6 il + j . 10000 s-1 . 3 . 10- 3H + 24 n . j . 10000 s- 1 . 5 . 10- 3H 24 n + j . 10000 s-1 . 5 . 10- 3H

Z . =6il+j . 30il+ 24il · j · 50n . 24n-j ·50il _In 24il+j · 50il 24il-j .50il

~in = 6 n + j · 30 il + 19,51 n + j . 9,36 il = 25,51 il + j ·39,36 il = 46,9 il . ei 57·

353


6.7 Zu 1. Ersatzschaltbild siehe Bild 6.30

R1 =50Q

cr· LI = (1- k2). LI = (1- 0,9952) ·0,8 mH = 0,01 ·0,8 mH = 8 J.lH

mit k2 = 0,9952 = 0,990 und cr = 1 - k2 = 1 - 0,9952 = 0,Q1

(1- cr) . LI = k2 . LI = 0,9952 . 0,8 mH = 0,990 . 0,8 mH = 792 J.lH = 800 J.lH

R'= (M)2. R= (3,56 mH)2. 1 kQ = 49,5 Q L2 16 mH

mit M = k . ,..; LI Lz = 0,995 . 10,8 . 16 mH = 3,56 mH

Zu 2. Ortskurvengleichung nach GI. (6.70) mit GI. (6.71):

!:!.2

VI (1+ R1 + crL1 ]+j.QT.(p_l) 2,02+ i ·O,I'(P--p1) R' k2L1 P

mit

und

und

fo= 000 =625.103s- 1 =99,47 kHz= 100kHz 21t 21t

d.h.

Or = 625 . 103 s- 1 . 8 J.lH 50 Q = 0,1 49,5 Q 625.103 s-l ·800 J.lH

und

R1 crL1 50 Q 81lH 1 +-+ -- = 1 + --+--= 2,02 = A

R' k2L1 49,5 Q 800 IlH

und

1I2A = 1/(2·2,02) = 0,2475 = 0,25.

6 Transformator

2j

p=10

p=l f.

2

!,[1 V -2

- j p= 1/10

- 2j p = 1120 Igl

Bild A-U4 Ortskurven der Übungsaufgabe 6.7

Zu 3. Obere Grenzfrequenz: aus der Ortskurve abgelesen: P = 20

berechnet:

( 1) Rl aLl QT P-- =1+-+--P R' k2 Ll

0,1 (p-;) = 2,02

0,1 P - 0,1 - 2,02 = ° P

p2 _ 20,2 P - 1 = ° Pl2 = 10,1 ±-V 10,12 + I

P = PI = 20,25 P2 = - 0,05 entfällt

fg2 = P . fo = 20,25 ·99,47 kHz

fg2 = 2014 kHz z 2 MHz

355

0,5 t l~ 1 0.45

0.4

0.35

0,3

0. 25

1 1 1 J.. 1 5 10 15 20 25 i5 2ö 15 10 "5 p ___

5 6.7 10 20 100 500 1000 1500 2000 kHz

Bild A-U5 Durchlaßkurve der Übungsaufgabe 6.7

Untere Grenzfrequenz: aus der Ortskurve abgelesen: P = 1/20

(p = 0,05) berechnet:

( 1) RI aLl -QT P-- =1+-+--

P R' k2 L1

-0,1 (p-;) = 2,02

_ 0,1 P + 0,1 - 2,02 P

p2 + 20,2 P - 1 = ° PI,2 = - 10,1 ± -j 10,12 + I

P = PI = 0,05 P2 = - 20,25 entfällt

fgl = P . fo = 0,05 ·99,47 kHz

fgl = 4,97 kHz z 5 kHz

1 -192

nach (GI. 4.120) ist die Bandbreite: t'J. f = fg2 - fgl = 2 MHz - 5 kHz

Zu 4. Nach (GI. 6.76) errechnet sich die obere Grenzfrequenz

R'+R f 2=l __ 1 =_1_49,50+500 = 1,98 MHz .. 2 MHz g 21t crLI 2n 8 JllI

und nach GI. (6.74) beträgt die untere Grenzfrequenz

1 1 1 1 fgl = = 4,95 kHz .. 5 kHz 2n k2 LI 1/RI + 1/R' Zn· 800 I1H 11500+ 1/49,50


cog2 =1.. (k2LI . R+ RI . ~)2

cogl cr LI ~ RI R

1 (800 JllI . 1 kO + 500 . 16 mH)2 = 400 0,01 0,8 mH . 16 mH . 50 0 . 1 kO

, ~ 1

Zu 6. = (siehe Bild A-125)

!b. -V 2,022 + 0,12 . (p _lIp)2

P 1 2 5 8 10 12 15 18 20 1/2 1/5 1/8 1110 1112 1115 1118 1120

I~I 0,495 0,494 0,482 0,461 0,445 0,426 0,398 0,370 0,352

22 1122

0,335

Für die Bestimmung der Grenzfrequenzen ist der Maximalwert durch f2 zu dividieren:

0,495 = 0,35 (vgl. Bild 4.98) {f

7 Mehrphasensysteme

7.1 Zu 1. Nach GI. (7.23) ist

und mit cos <p = 1

bei Sternschaltung ist

und damit

bei Dreieckschaltung ist

und damit

p = 3· U St . ISt' cos <p

p= f3 ,ULt' I Lt · cos<p

P = f3 . ULt . ILt

USt ULt 1 ILt=-=--

R f3R

2 ULt 1 ULt

p=f3.uLt ·_-=-f3 R R

ULt ILt = f3 . ISt = f3 . -

R

2 ULt ULt

P=f3·ULt·f3·-=3·-R R

25 1125

0,311

7 Mehrphasensysteme

Zu 2. Sternschaltung:

Ust 220V ILt = ISt =-=--=5,5 A

R 40n

P = V3 . U Lt . ILt . cos cp = V3 . 380 V . 5,5 A . 1 = 3,6 kW

2 ULt (380V)2

oder P=- - - 3,6kW R 40n

Dreieckschaltung:

7.2

.f'> .f'> ULt .f'> 380 V ILt = ,3 . ISt = y3 ._= ,3 ·--=16,5A R 40n

P = V3 . ULt . ILt . cos cp = V3 . 380 V . 16,5 A . 1 = 10,8 kW

2 oder P = 3 . U Lt = 3 . (380 V)2 10,8 kW

R 40n

Zu 1. Wicklungsnennspannung: 220 V Sternschaltung des Motors an ein 380/220 V-Os-Netz Dreieckschaltung des Motors an ein 220/127 V-Os-Netz

Zu 2. 11 = P mech = 1,2 kW = 0,8 d.s. 80 % Pe! 1,5 kW

mit Pe! = V3. ULt· ILt· cos cp

Sternschaltung des Motors:

Pel = {3. 380 V ·2,8 A . 0,81 = 1,493 kW '" 1,5 kW

Dreieckschaltung des Motors:

Pe! =V3. 220 V . 4,8 A ·0,81 = 1,482kW= 1,5 kW

Pe! 1,5 kVA 185 kVA Zu 3. S=--cos cp 0,81 '

Q = Pe! . tan cp = 1,5 kVA . tan 35,9° = 1,08 kVar

357


Zu 4. Sternschaltung des Motors mit Sternschaltung der Kondensatoren:

\,13N

!!lN

!!23

Bild A-126 Schaltbild (Stern/Stern) Bild A-127 Zeigerbild (Stern/Stern)

ULt = 380 V und USt = 220 V

vor der Kompensation:

11 = 12 = 13 = 2,8 A I1R = 12R = 13R = 2,8 A . 0,81 = 271 A

I1L = 12L = I3L = 2,8 A . sin cp = 2,8 A . sin 35,90 = 2,8 . 0,59 = 1,64 A

nach der Kompensation:

!lk = !IR, !2k = !2R' !3k = bR mit !lC = - !U.l !2C = -!2.Lo !3C = - !3L

Sternwiderstände:

R1 = R2 = R3 = 220 V = lJ7 Q 2,27 A

X1C = X2C= X3C = Xc = -134Q

X1L = X2L = X3L = _22_0_V_ = 134 Q l,64A

1 1 d.h. ep =---= ------oo · Xc 27t · 50s-1 ·134Q

23,71lF

\,112

Die kapazitiven Ströme Ic und die Parallel kapazitäten ep sollten mit Hilfe von Formeln berechnet werden können, in die die angegebenen Daten des Leistungsschildes eingesetzt werden:

Nach GI. (7.24) Q = 3 . USt . ISt· sin cp = 3· USt . Ic mit Ic = 1st ' sin cp ist

Ic=-Q- Pe1·tancp l,5kVA·tan35,9° l,08kVA=l,64A 3,Ust 3 , USt 3 · 220V 3·220V

Mit Ic = wCP ' USt ist

ep = ~ = 1,64 A = 23,7 IJ.F oo.Us t 27t · 50s-1·220V

oder IC eingesetzt ist

ep = P el . tan: 1,5 kVA . tan 35,90 = 23,71J.F

3,oo.USt 3.2n . 50s-1 .(220V)2

(vgl. GI. (4.265) mit P = PeIl3).

7 Mehrphasensysteme 359

Zu 5. Dreieckschaltung des Motors mit Sternschaltung der Kondensatoren:

b 2

131 !lC

!.!31 !.!12

\,123

!23l

!2C~13 131L l1 c

h3l 12c 1m

3 hk

Bild A-128 Schaltbild Dreieck/Stern Bild A-129 Zeigerbild Dreieck/Stern

ULt = 220 V und US t = 127 V


11 = 12 = 13 = 4,8 A

112 = 123 = 131 = 4,8 A = 2,8 A V3


112R = 123R = 131R = 2,8 A . 0,81 = 2;z7 A

112L = I23L = I31L = 2,8 A · sin 35,9° = 1,64 A

!1C = !31L - !l2L !2C = !12L - !23L

mit I1C = 12C= 13C = V3 · 1,64 A = 2,8 A

~=~R-~ ~=~R-~2R ~=~R-~R

mit 11k = 12k = 13k = V3 . 2,27 A = 3,9 A = 4,8 A . 0,81

Dreieckwiderstände: Sternkapazitäten:

R12 = R23 = R31 = 220 V = fJ7 n 2,27 A

127 V X1C = X2C = X3C = Xc = --= 45 n

2,8A

X12L = X 23L = X 31L = 220 V = 134 n 1,64A

71J.lF

Die Formeln für die kapazitiven Ströme IC und die Parallelkapazitäten Cp sind die gleichen wie unter 4.:

Ic=-Q-= Pel ' tan<p 1,5 kVA · tan35,9° 2,8A 3 . USt 3 . USt 3 . 127 V

Cp=~= 2,8A 71J.lF Cl). USt 21t · 50s-I . 127 V

oder

Zu 6. Sternschaltung des Motors mit Dreieckschaltung der Kondensatoren

Bild A-130 Schaltbild Stern/Dreieck


\!31

! 12C I

I -23C ~Ll -lL

I hL -31(

Bild A-131 Zeigerbild Stern/Dreieck

1I1N


11 = 12 = 13 = 2,8 A IIR = 12R = 13R =2,8A· 0,81 = 2;n A

I1L = 12L = 13L = 2,8 A . sin<p = 2,8 A . sin 35,9° = 2,8 A . 0,59 = 1,64 A


!2L = !12C - !23C,

mit 112C = 123C = 131C = 1,64 A = 0,95 A f3

Sternwiderstände:

R1 = R2 = R3 = 220 V = 97 Q 2,27 A

X1L= X2L =X3L = 220 V = 134Q l,64A

!3L = !23C - !31C

Dreieckkapazitäten:

380V X12C = X23C = X31C = Xc = --= 401 Q

0,95 A 1 1 Cp=--= 7,91J.F

co · Xc 21t ·50s-1 . 401 Q

1112

Die kapazitiven Ströme der Dreieckkompensation sind um das l/f3-fache kleiner als die kapazitiven Ströme der Stern kompensation unter 4.;

1 Q P el . tan <p P el . tan <p 1 5 kVA tan 35 9° Ic =-·--= ' . , O,95A

f3 3· USt 3 · f3 . USt 3 . ULt 3 ·380 V

Mit Ic = cos, . ULt ist Cp Ic = 7,91J.F oder Ic eingesetzt ist 27t·50s-1 · 380V

Pel · tan<p 1,5 kVA · tan35,9° Cp 2 7,91J.F

3· co · ULt 3 · 21t· 50s-I . (380V)2

7 Mehrphasensysteme 361

Zu 7. Dreieckschaltung des Motors mit Dreieckschaltung der Kondensatoren

3 ! 3k

Bild A-132 Schaltbild DreieckIDreieck Bild A-133 Zeigerbild Dreieck/Dreieck



11 =12 =13 =4,8A 112R = 123R = 131R = 2,8 A . 0,81 = 2,27 A

48A 112 = 123 = 131 = 'v3 = 2,8 A 112L = 123L = 131L = 2,8 A· sin 35,9° = 1,64 A


!12C = - !12L ' !23C = - !23L ' !31C= - !31L

mit 112C = 123C = 131C = 1,64 A

mit llk = 12k = 13k = f3 . 2,27 A = 3,9 A = 4,8 A . 0,81

Dreieckwiderstände:

220 V R12 = R23 = R31 =--=970.

2,27 A

220 V X1L=X2L=X3L=--= 1340.

l,64A

1 1 X12C = X23C = X31C = Xc = 1340. d.h. Cl> = -- = 23,7 ~

(j) · Xc 27t·50s-1 ·134Q

Die kapazitiven Ströme der Dreieckkompensation sind um das lIf3-fache kleiner als die kapazitiven Ströme der Sternkompensation unter 5.:

_ 1 Q _ Pe1 · tanq> Pe1·tanq> l,5kVA·tan35,9° Ic --.--- l,64A

f3 3· Ust 3· f3 . USt 3 . ULt 3·220 V

Mit Ic = (j)Cp . ULt ist Cp = Ic = 23,7 ~ oder Ic eingesetzt ist 2lt·50s-1·220V

P el . tan q> 1,5 kV A . tan 35,9° 23,7 .. h' Cp = 2 p.-'

3'(j),ULt 3·27t·50s-1·(220V)2


Zu 8. Mit Hilfe der Umrechnungsformeln für die Umwandlung einer Sternschaltung in eine äquivalente Dreieckschaltung lassen sich die Ergebnisse für die Kompensationskondensatoren kontrollieren:

C' j coCp = j co ....E. oder

3

'2 -co· Cp

3· jcoCp

d.h. 7,9 J.LF = 23,7 IlF bzw. 23,7 J.LF = 71IlF 3 3

(analog zu den GIn. (4.100) bis (4.102) oder GI. (2.157) bis (2.159) im Abschnitt (2.2.10) im Band 1).

Kompensationskondensatoren in

Sternschaltung Dreieckschaltung

Motor Sternschaltung 380/220 V 23,7 J.LF/220 V 7,9 IlF/380 V

in Dreieckschaltung 2201127 V 71 J.LF/127 V 23,7 J.LF/220 V

Die Kondensatoren müssen für den Maximalwert der anliegenden Spannung f2. U ausgelegt sein, d.h. für f2. 380 V = 538 V, f2. 220 V = 311 V und f2. 127 V = 180 V. Bei der Kompensation in Sternschaltung sind hohe Kapazitäten bei niedrigen Spannungen und bei der Kompensation in Dreieckschaltung niedrige Kapazitäten bei hohen Spannungen erforderlich.

7.3

Zul. ~=RN=50Q

Rl = 100Q R2 =71 Q R3 =220Q RN =50Q

Gl = lIRl = lOmS

nach GI. (7.36) ist

G2 = lIR2 = 14,1 mS G3 = l/R3 = 4,546 mS GN = lIRN = 20 mS

Gl . .!2lN + G2 . .!22N + G3 . .!23N

GN + Gl + G2 + G3

~ lOmS· 220 V + 14,1mS· (-llO-j ·190,5) V +4,546mS· (-110+j ·190,5) V 20 mS + 10 mS + 14,1 mS + 4,546 mS

~ = 2200 - 1549 - j . 2683 - 500 + j . 866 V 151 - j . 1817 V 48,63 48,63

~ = (3,11- j . 37,4) V = 37,5 V . e-i· 85,24°

U'lN = U lN-~ = 220 V - (3,11- j. 37.4) V

U'lN = (217 + j . 37) V = 220 V . ei . 9,7°

.Q'2N=U2N-!:!N= (-110-j . 190,5) V -(3,l1-j ·37,4) V

.Q'2N = (-113 - j . 153) V = 190 . ei . 233,5°

7 Mehrphasensysteme

U 3N = U 3N -.!dN = (-110 + j . 190,5) V - (3,11- j . 37,4) V

U 3N = (-113 + j . 228) V = 254 · ei · 116,4°

!!lN 220 V . ei . 9,7° !1=~= 1000

!1 = 2,2 A . ei . 9,7° = (2,17 + j . 0,37) A

UZN 190 V . ei . 233,5° !2=~= 71Q

12 = 2,7 A· ei · 233,5° = (-1,6-j· 2,15) A

!!3N 254 V . ei . 116,4° !3=~= 2200

!3 = 1,15 A · ei · 116,4° = (-0,5 + j . 1,04) A

363

-!lN ~=----...

!:~ Bild A-134 Zeigerbild Übungsaufgabe 7.3/1

1 UN 37,5 V· e- i· 85,24° 0,75 A . e+ 85,24° = (O,06-J·. 0,75) A _N= RN = 500

Kontrolle:

!1 + !2+ !3=!N

r (2,17 -1,6 - 0,5) + j . (0;37 - 2,15 + 1,04)1 = (0,06 - j . 0,75) A

Zu 2. ~N = RN = 0, d.h . .!dN = ° !!IN = U IN = 220 V

QZN = U 2N = 220 V . e-i · 120°

!!3N = U 3N = 220 V . ei . 120°

1 = U I N = 220 V =22A _1 Rl 1000 '

U 2N 220V. e+ 120° !2=R;= 71 0

!2 = 3,1 A· e-i · 120° = (-1,55 - j · 2,68) A

IN 11

!N\?, 13V!2

Bild A-BS Zeigerbild Übungsaufgabe 7.3/2

U 3N 220 V ei· 120° . 1200 1 = =-- . 10 A . el . = (-° 5 + . . 087) A _3 R3 220 0' , J ,

!N = !1 +!2 = !3 = [(2,2 -1,55 - 0,5) + j . (- 2,68 + 0,87)] A

!N = (0,15 - j . 1,81) A = 1,8 A . e - i . 85°


Zu 3. ~ = 00 nach GI. (7.37) ist

VlN !:!.2N V3N

7.4

--+--+--Rl R2 R3 ISI- j . 1817 V !:!.N =------ -

...l..-+...l..-+...l..- 28,63 Rl R2 R3

!:!N = (S;n - j . 63,S) V = 63,7 V . e - i . 85,24°

V'lN = V IN - !:!N = 220 V - (S,27 - j · 63,5) V

V'lN = (214,7 + j · 63,5) V = 224 V . ei . 16,5°

!:!.2N = V 2N-!:!N = (-110- j · 190,5) V - (S,27 - j. 63,S) V

V2N = (-11S,3 - j . 127) V = 171,5 V · ei . 227,8°

!:!.3N = !:!.3N - !:!N = (-110 + j . 190,S) V - (S,27 - j . 63,5) V

!!3N = (-11S,27 + j . 254) V = 279 V · ei ' 114,4°

V' . 16,5° Il=_lN 224V · eJ · =2,24A·ei · 16,5° - Rl looil

!:!.2N 171,5 V · ei ' 227,8° '. 2278° 12=--- =2,42A · eJ , - R2 71 il

13 = Q3N 279 V . ei . 114,4° 1,27 A . ei . 114,4°

- R3 220il

Bild A-136 Zeigerbild Übungsaufgabe 7.3/3

Zu 1. ~l = Rl = 1 kil, ~2 = R2 = 1 kil, ~3 = R3 = 1 kil, da symmetrische Belastung sind !N = 0 und

!:!N = 0

V'lN = !:!.1N = 220 V

~2N=V2N= 220 V . e-i ·120°

V 3N =V 3N= 220 V . ei ·120°

V'lN 220V 11 =--=--=220mA - R1 1 kil

V' -' ·120° I = _2N = 220 V . e J -220 mA . e- i . 120° _2 R2 1 kil

Q3N 220 V . ei . 120° 220 mA . ei . 120° !3=~= 1 kil

!:! 3N

!!lN

11

!V2

Bild A-137 Zeigerbild Übungsaufgabe 7.4/1

7 Mehrphasensysteme

Zu 2. ~1 = R1 = 1 kO,

~2=-. _1_= 1 =-j·l kO J roC2 j . 21t · 50 s-l . 3,18 J.LF

~3=R3 = 1 kO

~=RN= 1000

nach GI. (7.36) ist

V 1N !:!.2N !:!.3N --+--+--

G1 = lIR1 = 1 mS

r2 = 1I~2 = j . 1 mS

V ~1 ~2 ~3 G1 ·!:!.lN+jroC2 ·!:!.2N+ G3 · !:!.3N ~=

~+...!....+...!....+...!.... GN +G1 +jroC2 +G3

~ ~1 ~2 ~3

!:!.N 1 mS· 220 V + j . 1 mS· (-110 - j . 190,5) V + 1 mS· (-110 + j . 190,5) V 10 mS + 1 mS + j . 1 mS + 1 mS

!:!.N 220 - j . 110 + 190,5 -110 + j . 190,5 V 300,5 + j ·80,5 . 12 - j V 12+j 12+j 12-j

!:!.N 3686,5 + j . 665,5 V = (25,4 + j . 4,6) V = 25,8 V . ei . 10,20 145

V'lN = V 1N - .!:!N = 220 V - (25,4 + j . 4,6) V

V'lN = (194,6-j · 4,6) V= 194,7 V · e-i .1,40

V2N=!:!.2N-.!:!N= (-110-j · 190,5)-(25,4+ j. 4,6) V

!:!.'2N = (-135,4 - j . 195,1) V = 237,5 V · ei' 235,20

!:!.3N = V 3N -.!:!N = (- 110 + j . 190,5) - (25,4 + j . 4,6) V

!:!.3N = (-135,4 + j . 185,9) V = 230 V· ei' 1260

V' -' .1,40 •

I =_lN =194,7V·e J =195mA.e-J·l,4° - !lN _1 R1 1 kO

. ,237,5 V · ei' 235,20 !2 = )roC2 . !:!.2N = . 0

lkO · e-J · 90

!2 = 238 mA · e- j ' 34,80

365

!:!.'3N 230 V . ei . 1260

!3=% 1 kO

-UN 1, !!lN -

!3 = 230 mA . ei . 1260

!:!.N .. 1020 !N =- 25,8 V · eJ , = 258 mA . ei 10,20

RN 1000 Bild A-138 Zeigerbild Übungsaufgabe 7.4/2


7.5 Zu 1. Nach GI. (7.37) ist

V1N ~N V3N --+--+--~1 ~2 ~3 Gl . .!:!.lN + j roC2 . .!:!.2N + G3 . .!:!.3N

Gl +jro~+G3

mit den Ergebnissen von Aufgabe 7.4 ist

v 300,5 + j. 80,5 . ~ V 681,5 -(139,5 V ~ 2+j 2-j 5

!!N = (136,3 -j. 27,9) V = 139,1 V· e-i ·11,6°

V'lN= V IN-!!N= 220 V - (136,3-j· 27,9) V

V'lN = (83,7 + j ·27,9) V = 88,2 V . ei . 18,4°

V2N= V2N-!!N= (-110-j ·190,5) V -(136,3 -j. 27,9) V

V2N = (- 246,3 - j . 162,6) V = 295,1 V . ei . 213,4°

V 3N= V 3N-!!N= (-110+ j ·190,5) V - (136,3-j· 27,9) V

V 3N = (- 246,3 + j . 218,4) V = 329,2 V . ei . 138,4°

Zu 2. Wird die Strangspannung V IN in die reelle Achse der Gaußschen Zahlenebene gelegt, dann

hat die Außenleiterspannung V 12 den Anfangsphasenwinkel von 300 (siehe Bild 7.10). Die Außen

leiterspannungen betragen dann

V 12 = 380 V . ei . 30" = (329 + j . 190) V

V23 =380V· e-i ·90° = (0- j ·380) V

V 31 = 380 V . ei . 150" = (- 329 + j . 190) V

Nach GI. (7.43) bis (7.45) ergeben sich dann die Strangspannungen

V 12 V 31 ---Z Z V' __ 2 _3

_lN - 1 1 1 jroC2 . .!:!.12 - G3 · V 31

V'tN

V'lN

-+-+-~1 ~2 ~3

j . 1 mS . (329 + j . 190) V - 1 mS . (- 329 + j . 190) V

1mS+j·1mS+1mS

(329 -190) + j- (329 - 190) V 139 + j . 139 . ~ V = (83 4 + .. 27 8) V 2+j 2+j 2-j , J ,

V 23 V 12

G3 . .!:!.23 - Gl . .!:!.12

Gl +jro~ + G3

7 Mehrphasensysteme

V' 1 mS . (- j . 380 V) - 1 mS . (329 + j . 190) V _2N 1 mS + j . 1 mS + 1 mS

V' = -329 + j. (-380-190) V -329 -j. 570 .~ V = (-245,6-j ·162,2) V _2N 2 . 2' 2' +J +J-J

!:!. 31 !:!.23

V' _ ~1 ~2 GI . !:!.31 - j roC2 . ~23

_3N - ....!....+....!....+....!.... GI + jro~ + G 3

~1 ~2 ~3

V:3N 1 mS . (- 329 + j . 190) V - j . 1 mS . (- j . 380) V 1 mS + j . 1 mS + 1 mS

V 3N (- 329 - 380) + j . 190) V = - 709 + j . 190 . ~ V = (- 245,6 + j . 217,8) V 2+j 2+j 2-j

Zu 3. 11 = V'lN = (83,5 + j ·27,9) V = (83,5 + j . 27,8) mA = 88 mA. ei ·18,4· - ~1 1 kQ

12 = !:!.'2N = (- 246,0 - j . 162,4) V (162,4 _ j . 246,0) mA = 295 mA . e-i ' 56,6· - ~2 - j. 1 kQ

13 = !:!.'3N = (-246,0 - j ·218,1) V = (_ 246,0 + j .218,1) mA = 329 mA . ei' 138,4· - ~3 1 kQ

7.6 Zu 1. Nach GI. (7.47) sind

Mit

V 12 !12==

~12

V 12 = 380 V . ei . 30·

V 12 = (329 + j . 190) V

!:!.23 = 380 V . e- i . 90·

!:!.23 = (0 - j . 380) V

ergibt sich

1 (329 + j . 190) V (8225 + j . 475) A _12 40 Q , ,

I _-j·380V -·.38A _23 - 100 Q J,

1 - (- 329 + j- 190) V (_ 4,11 + j .2,375) A _31 - 80 Q

!:!.31 = 380 V . ei . ISO·

!:!.31 = (- 329 + j . 190) V

367


Zu 2. Nach GI. (7.48) bis (7.50) betragen die Außenleiterströme:

!1 = !12-!31 !1 = (8,225 + j. 4,75) A - (-4,11 + j ·2,375) A ~31

!1 = (12,335 + j ·2,375) A = 12,6 A . ei .110

!2 = !23 - !12 = - j . 3,8 A - (8,225 + j . 4,75) A

!2 = (- 8,225 - j . 8,55) A = 11,9 A· ei' 2260

!3= !31-!23 = (-4,11 + j. 2,375) A + j. 3,8 A

!3 = (- 4,11 + j ·6,175) A = 7,4 A· ei' 1240

Bild A-139 Zeigerbilder Übungsaufgabe 7.6/3

Verwendete und weiterführende Literatur 369

Verwendete und weitenührende Literatur

[1] Lunze, K.: Theorie der Wechselstromschaltungen, VEB Verlag Technik 1981 [2] Lunze, K.: Berechnung elektrischer Stromkreise, Arbeitsbuch VEB Verlag Technik, Berlin

1970 [3] Philippow, E.: Grundlagen der Elektrotechnik, Akademische Verlagsgesellschaft, Geest &

Portig K.G., Leipzig, 1967 [4] Philippow, E.: Nichtlineare Elektrotechnik, Akademische Verlagsgesellschaft, Geest & Portig

K.G., Leipzig, 1963 [5] Führer, Heidemann, Nerreter: Grundgebiete der Elektrotechnik, 2 Bände, Hanser Verlag

München, Wien, 1984 [6] Frohne, H.: Einführung in die Elektrotechnik, 3 Bände, Teubner Verlag Stuttgart,1971 bis 1974,

Neuauflage 1987 [7) Ameling, Walter.: Grundlagen der Elektrotechnik, 2 Bände, Vieweg-Verlag Braunschweig,

1985 [8] von Weiss, A., Krause, M.: Allgemeine Elektrotechnik, Vieweg Verlag, Braunschweig, 1984 [9] Parnemann, W.: Aufgaben aus der Elektrotechnik, 5 Bände, Schroedel-Verlag, Hannover 1962

[10] Krutzsch, J.: Elektrotechnik für Ingenieure, Schroedei Verlag Hannover, 2 Bände, 1966 [11) Janning, W.: Elektrotechnik-Aufgaben, Schroedei Verlag Hannover, 1965 [12) Lindner, H.: Elektro-Aufgaben, VEB Fachbuchverlag Leipzig, 3 Bände, 1968 bis 1977,

Neuauflage im Vieweg-Verlag Braunschweig, Wiesbaden 1989 [13) Nicolai, K.: Das Kreis-(Smith-)Diagramm und seine Anwendungen, Funktechnik 1970, Nr. 5 [14) Böök, D. und StruB, c.: Harmonische Analyse einer in diskreten Punkten vorgegebenen Funk

tion, Diplomarbeit an der FH Hannover, 1982 [15] Köhler, G. und Walther, A.: Fouriersche Analyse von Funktionen mit Sprüngen, Ecken und

ähnlichen Besonderheiten, Archiv für Elektrotechnik 25 (1931), S. 747-758 [16] Dirschmid, H. J.: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik, Vieweg-Verlag, Braun

sChweig, 1987

370

Sacbwortverzeicbnis

Abgleichbedingung von Wechselstrombrücken 128

Admittanz 39 äquivalente Schaltungen 47 ff., 77 allgemeine Ortskurvengleichung 187 Andersonbrücke 93, 132 ff. Anfangsphasenwinkel 3 Anpassung 176 ff. Amplitude 3 Aronschaltung 281 ff. Augenblickswert 1 Augenblicksleistung 138 ff. Außenleiter 252 Außenleiterspannungen 253,256 Außenleiterströme 253,256

Balancierte Mehrphasensysteme 252 Bandbreite 100, 113 Berechnung von

Wechselstromnetzen 23 ff., 64 ff. Blindleistung 123, 146 ff.

- der Reihenschaltung 149 - der Parallelschaltung 149 - des Dreiphasensystems 261 ff.

Blindleistungskompensation 167 ff., 283 Blindspannung 35 Blindstrom 43 Blindwiderstand 32 Boucherotschaltung 126 ff. Brückenschaltung für

900 Phasenverschiebung 125

Drei-Amperemeter-Methode 166 Drei-Voltmeter-Methode 164 ff. Dreieckschaltung 252,259 ff. Dreieck-Stern-Transformation 79 ff. Dreileiternetze 273 ff. Dreiphasengenerator 250 Dreiphasensysteme

-, symmetrische 256 ff. -, unsymmetrische 267 ff.

Drehstrommotor 262 ff. Drehstromsysteme 267 Drehzeiger des Dreihphasensystems 257 Duale Schaltungen 63 Durchlaßbereich eines Transformators 245

Effektivwert 2, 4 Eingangswiderstand des Transformators 226 ff. Eisenverluste eines Transformators 248 elektrische Energie im

kapazitiven Widerstand 143 elektrodynamische Meßwerke 161 ff.

Ersatzschaltbilder von Transformatoren 230 ff. - mit anderen Reduktionen 234 - mit Streuinduktivitäten 231

Eulersche Formel 7 ewige Resonanz 117 ff.

Fehlwinkel 225 Frequenz 1 Frequenzabhängigkeit der Transformator

Spannungsübersetzung 242 ff. Frequenz-Meßbrücken 135 Formfaktor 3, 4

Gegen-Reihenschaltung 240 Gleichrichtwert 2, 4 gemischte Schaltungen 47 ff., 53 ff. Güte der Spule und des Kondensators 153 Gütefaktor 100, 113, 152 Grenzfrequenzen 100, 113, 244 ff.

Hertz 1 Hummelschaltung 123 ff. Hochfrequenz-Transformatoren 218 ff.

Illiovici-Brücke 78 ff., 132 ff. Impedanz 31 induktiver Widerstand 29 induktiver komplexer Leitwert 44 induktiver komplexer Widerstand 36

kapazitiver Widerstand 30 kapazitiver komplexer Leitwert 44 kapazitiver komplexer Widerstand 36 Kennleitwert 111 Kennwiderstand 98 Knotenpunktsatz 20 ff. komplexe Anpassung 178 ff. komplexe Amplitude 8, 19 komplexe Leistung 154 ff. komplexe Operatoren 19 ff. komplexe Zahlen 7 komplexe Zeitfunktionen 8 ff. komplexer Effektivwert 8, 19 komplexer Leitwert 39 ff. komplexer Widerstand 31 ff. Konduktanz 40 ff. konforme Abbildung 54 Kreisdiagramm 53 ff., 82 ff. Kreisgüte 100, 113 Kreiszeiger 193

Leitwertdreieck 44 Leistung

Sachwortverzeichnis

- im ohmschen Widerstand 138 ff. - im induktiven Widerstand 140 ff. - im kapazitiven Widerstand 142 ff. - eines beliebigen Widerstandes 144 ff.

Leistungsdreieck 152 Leistungseinheiten 146 Leistungsfaktor 146 Leistungsschild eines Motors 262 ff.

magnetische Energie im induktiven Widerstand 141

Maschensatz 20 ff. Maschenstromverfahren 91 Maximalwert 1,3 MaxweU-Wien-Brtlcke 131 Mehrphasensysteme 249 ff. Meßbrückenschaltungen 128 ff. Messung

- der Scheinleistung 161 - der Wirkleistung 161 ff. - der Blindleistung 161 ff. - der Ersatzschaltbildgrößen

des 'fransformators 237 Cf. - der Gegeninduktivität 239 ff. - der Leistungen des Dreiphasen-

systems 279 ff. Mittelwerte 2, 4 Momentanwert 1

Nennergerade 193 Nennmoment eines Motors 265 Netzberechnung nach den

Kirchhoffschen Sätzen 72 Neutralleiter 252 nichtverkettete Mehrphasensysteme 252 Niederfrequenz-'fransformator 218 ff. normierte Verstimmung 100 Nullzeit 1

ohmscher Widerstand 28 ohmscher komplexer Leitwert 44 ohmscher komplexer Widerstand 36 Ohmsches Gesetz der Wechselstrom-

technik 31,39 Operator

-, komplexer 19 (f. - des m-Phasensystems 251

Ortskurven 186 ff. - Gerade 188 ff. - Kreis durch den Nullpunkt 193 ff. - Kreis in allgemeiner Lage 2fJ7 ff. - höherer Ordnung 210 ff. - Parabel 210 ff. - zirkulare Kubik 212 ff.

Parabel 210 ff. Parallel-Kompensation 168 ff., 265 ff.

Parallel-Resonanz 110 Parallel-Resonanzkreise 47 ff. Parallelschaltung

371

- von Wechselstromwiderständen 40 (f., 107 ff.

- verlustbehafteter Blindwiderstände 115 Parallelschwingkreise 110 ff. Periode 1 Periodendauer 1 periodische Wechselgrößen 1 (f. Phase des Mehrphasensystems 252 Phasendrehbrücke 91 6-Phasensystem 254 ff. Phasenverschiebung 31,39,152 Polekschaltung 125 Polygonschaltung 252 Polygon-Polygon-Schaltung 254 (f. Praktischer Parallel-Resonanzkreis 119 ff.,

212ff.

quadratischer Mittelwert 2, 4

Reaktanz 32 Reaktanz-Vierpole 93 Reihen-Kompensation 168 ff. Reihenresonanz 97 Reihenresonanzbedingung 97 Reihenschaltung

- von Wechselstromwiderständen 32 ff., 94ff.

- des Transformators 239 Reihenschwingkreise 94 H. relative Verstimmung 99, 112 Resistanz 32 Resonanzfrequenz 97,110 Resonanzschärfe 100, 113 Ringschaltung 252 Rücktransformation komplexer

Zeitfunktionen 10 (f.

Scheinleistung 145 - der Reihenschaltung 150 - der Parallelschaltung 150 - des symmetrischen Dreiphasen-

systems 261 ff. Scheinleitwert 39 Scheinwiderstand 31 Scheitelfaktor 3, 4 Schering-Meßbrücke 134 sinusförmige Wechselgrößen 3 Spannungsdreieck 36,96 Spannungsresonanz 97 Spannungsteilerregel 37 Spannungsverhältnis des 'fransformators

226ff. Spartransformator 228 ff. Stern-Dreieck-'fransformation 79

372

Sternpunktleiter 252 Sternschaltung 257 ff. Stern-Stern-Schaltung 253 ff. Strang des Mehrphasensystems 252 Suangspannungen 253,256 Strangströme 253, 256 Stromdreieck 44, 109 Suomresonanz 110, 116 Strom-Resonanzkurven 102,106 Stromteilerregel 45 Suszeptanz 40 Symbolische Methode 21 ff. symmetrische Resonanzkurven 105 symmetrisches Strom- und Spannungssystem 250 ff.

teilweise Reihen- und Parallelkompensation 168

Transformation - von Sinusfunktionen 8 - von Differentialgleichungen 10 - in Zeiger 13

Transformator 218 ff. - im Leerlauf 224 ff. - Übersetzungsverhältnis 224 - Spannungsverhältnis 226 - Eingangswiderstand 227 ff. - Ersatzschaltbilder 230 ff. - Spannungsübersetzung 242 ff. - Eisenverluste 248

Transformatorgleichungen 220 ff.

Überlagerung - von sinusförmigen WechselgröBen 14 ff. - von Zeigern 15 ff.

Übersetzungsverhältnis 224 ff. Übertrager 218 ff. Umspanner 218

vereinfachte Zeigerbilder 17 ff. verkettete Mehrphasensysteme 252

Sachwortverzeichnis

Verlustfaktor der Spule und des Kondensators 152 ff.

Verlustwinkel 134 ff., 152 Verschiebungswinkel 134 ff. 45°-Verstimmung 101,114 Vierleiternetz 268 ff. vollständige Reihen- und Parallel

kompensation 169 Cf. Voltampere 146 Voltampere reaktiv 146

Walzenschalter 264 Watt 146 Wechselgrößen 1 ff. Wechselstrombrücken 128 ff. Wechselstromleistung 138 ff. Wechselstromleitwerte 39 ff. Wechselstromwiderstände 28 ff. Wickelsinn des Transformators

- gleichsinnig 220 ff. - gegensinnig 222 ff.

Wicklungsnennspannung eines Motors 263 Widerstandsdreieck 36 Widerstandsuansformation 88 Wien-Robinson-Brücke 135 Wirkleistung 139,144 ff.

- der Reihenschaltung 148 - der Parallelschaltung 148 - des symmetrischen Dreiphasen-

systems 261 ff. Wirkleistungsfunktion 180 ff. Wirkleitwert 40 Wirkspannung 35 Wirkstrom 43 Wirkungsgrad 174 ff.

- im Grundstromkreis 175 Cf. Wirkwiderstand 32

Zeiger 13 ff. Zeigerbilder 13 ff., 36, 44,75,221 ff. Zirkulare Kubik 212 Zweipoltheorie 73

Elektrotechnik f¼r Ingenieure 2: Wechselstromtechnik Ortskurven Transformator Mehrphasensysteme....

Documents

Transcript of Elektrotechnik f¼r Ingenieure 2: Wechselstromtechnik Ortskurven Transformator Mehrphasensysteme....