14/02/13 G. Beroggi © 1 Decision Support Systems (DSS) Grundlagen der DSS-Entwicklung DSS in der...

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Decision Support Systems (DSS)

Grundlagen der DSS-EntwicklungDSS in der Einsatz- und ZeitplanungDSS in der Transportplanung und im ProjektmanagementDSS in der FinanzplanungDSS für WahlverfahrenDSS in der KonfliktlösungDSS in der StrategieplanungDSS im Produktdesign und in der MarketingplanungProjekt (in 2-er Gruppen)ProjektProjektmdl. Präsentation (mdl. Prüfung)LiteraturLinks

Termine und Inhalte

Daten20.02.201327.02.201306.03.201313.03.201320.03.201327.03.201310.04.201317.04.201324.04.201315.05.201322.05.201329.05.2013

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Grundlagen der DSS Entwicklung

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Elemente der DSS Vorlesung

3. Präferenzen- Multiattribute Utility Theory- Analytic Hierarchy Process- Conjoint Analyse

2. Simulation- Monte Carlo- Discrete Event- Bayes- Spieltheorie- Social Choice (LSA)

4. Entscheiden- Solver (Math. Optimierung)- Lagrange Multiplier- Multivariate Regression- Induktive Statistik

1. Grundlagen- DSS-Umgebungen/Beispiele- Interface Design- Mathematische Modellierung

DSS

AufbauAllgemeine Beschreibung:Entwicklung interaktiver web-basierter Decision Support Systems unter Berücksichtigung von informationstechnischen, analytischen und kognitiven Anforderungen. Anwendungen beziehen sich auf aktuelle Themen wie interaktives Marketing, Investitionsmanagement, Social Choices, Gruppenentscheidungen, Business Intelligence, Advisory Systems, Konfliktanalysen, Logistik, Prozessoptimierung, räumliche Analysen, Policy Analysis etc. Der Kurs basiert auf aktiver Projektarbeit der Studierenden als zentraler Bestandteil.

Grundkenntnisse:Grundkenntnisse in Lineare Algebra und Statistik, sowie Kenntnisse von MS Excel, Open Office Calc oder Google Spreadsheets.

Lernziele:Kenntnis der wichtigsten Konzepte und Methoden intelligenter Systeme und Fähigkeit diese in praktische Decision Support Systems im Rahmen eines Projekts integrieren zu können.

Zielgruppen:Empfohlen für Studierende aller MSc Studiengänge.

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DSS Architektur

User

-Graphik-Multimedia-web-Virt. Realität-Animation

Interface

Datenbanken

Infobanken

Wissensbanken

- Bewerten - Berechnen- Suchen- Optimieren

AlgorithmenModelle

- Rationalität- Subjektivität- Künstl. Intell.- Inferenzen- Logik

Decision Support System

Schwerpunkt der Vorlesung

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Beispiele von DSS

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Decision Support SystemsProblem Modellierung DSS Design

Logik

Wissensbanken

Datenbanken

Informationsbanken

User / Interface

Die Elemente von Decision Support Systems:

• User: Menschlicher Entscheidungsträger, einzeln oder in Gruppen, kollaborierend oder in Konfliktsituationen, zentral oder dezentral, online oder remote etc.

• Interface: Schnittstelle zwischen Mensch und technischem System, über das Internet oder lokal, Aspekte von Multimedia und Interaktivität.

• Logik: Suchen, verarbeiten oder folgern mit und aus den verschiedenen Daten-, Informations- und Wissensbanken. Logische Schlüsse werden durch die sog. Inference-Engine gezogen.

• Datenbanken: Systematische Erfassung von binärer Werten.

• Informationsbanken: Systematische Erfassung von Fakten.

• Wissensbanken: Systematische Erfassung von Regeln (wenn, dann).

Problem StrukturellesModell

FormalesModell

Berechnungs-modell

i jkjik

i jijij

xx

Kcx

0?

Verifizierung, Validierung Kalibrierung

Die Schritte der Modellierung des Problems sind:

• Strukturelles Modell: Die Elemente und deren Wechselwirkungen (Abhängigkeiten, Einflüsse etc.) werden graphisch dargestellt.

• Formales Modell: Das visuell dargestellte Problem wird formal mit mathematischer Notation festgehalten.

• Berechnunsgmodell: Der Algorithmus oder die Berechnunsgart wird definiert.

• Verifizierung: Der Code wird hinsichtlich Logik überprüft.

• Validierung: Die Wirkungsweise des Modells wird an der Realität getestet.

• Kalibrierung: Das Modell wird so geändert, dass die Validierung zufriedenstellen wird.

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DSS Engineering Methodology

Decision TaskAnalysis

Requirements Engineering:• User analysis• Support analysis• Decision model analysis• Knowledge base analysis• Data base analysis• Unser interface analysis• HW/SW analysis• Usability analysis

DSS Design:• Decision and knowledge

base model• Unser interface modeling• Data base modeling• Designing DSS

architecture

Prototyping

UserEvaluation

Systems Engineering

Decision Making Support

ChangeRequest

DSSUsage

ChangeRequest

DSSRequirements

ChangeRequest

TaskRequirements

Modell nach A. Gachet und P. Haettenschwiler, 2006 (in Intelligent Decision-Making Support Systems, J.N.D. Gupta et al., Springer, S. 110)

Interessante Quellen für DSS Design sind:

• Siehe auch: Decision Support Tools, Artificial Intelligence, Business Intelligence, Management Information Systems, Führungsinformationssysteme, Data-Warehouse, Online Analytic Programming (OLAP) etc.

• Cambridge University: Modelling and Decision Support Tools

• Decision Support Resources

• IEEE Computational Intelligence Society

• Fachzeitschrift Decision Support Systems (Elsevier)

• Fachzeitschrift Group Decision and Negotiation (Springer)

• INFORMS Section on Group Decision and Negotiation

• Association for Information Systems: Spatial Decision Support Systems

• Clinical Decision Support Systems

• DSS-Lösungen: http://www.dssinfotech.com/index.html

• Cambridge University Decision Support Tools:

• Decision Analysis Society

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Entwicklungsumgebungen

• http://code.google.com/hosting/ • http://de.wikipedia.org • http://www.visual-prolog.com • http://code.google.com/

• Delphi • Director• SPSS• VB .NET• ASP .NET• Java, C++

Bsp. (not in Chrome)

Bsp. xls

Bsp. htm

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Vom Modell zum Internet-DSS mit GAMS

GAMS

“The General Algebraic Modeling System (GAMS) is specifically designed for modeling linear, nonlinear and mixed integer optimization problems. The system is especially useful with large, complex problems. GAMS is available for use on personal computers, workstations, mainframes and supercomputers. GAMS allows the user to concentrate on the modeling problem by making the setup simple.”

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Vom Modell zum Internet-DSS mit Lindo/API

Lindo/API

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Vom Modell zum Internet-DSS mit IBM’s ILOG CPLEX Optimization Studio

ILOG CPLEX

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Vom Modell zum Internet mit Excel

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Excel Convertor

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1. Installation of R: http://cran.r-project.org/ 2. Installation of packages; select all of them (lasts up to 1h)3. Start R (double klick on the R-icon)4. Start a new script (Ctrl-N)5. Arrange windows vertically6. Start working; type code, execute selected lines: (a) by clicking on Icon or (b): by “Ctrl-R”

7. Use Quick-R as totorial: www.statmethods.net8. Start R-Commander: library(Rcmdr)9. Once started, look also at: - R-Tutorial: http://www.r-tutor.com/ - Revolution: http://blog.revolutionanalytics.com/ - inside-R: http://www.inside-r.org/ - Tutorial: http://ww2.coastal.edu/kingw/statistics/R-tutorials/index.html 10. Also, look at working environments: - Tinn-R: http://www.sciviews.org/Tinn-R/ - R-Studio: http://rstudio.org/ 11. Check some classic books: - “R in Action”, R. Kabacoff (goes with Quick-R) - “R Cookbook”, P. Teetor

# draw a simple curvecurve(2*x^2+3*x+4, from=-2, to=2) # draw the curve

# draw the logit curvecurve(log(x/(1-x)),0,1,xlab="probability",ylab="logit")title("Probit function")abline(h=0)

Vom Modell zum Internet mit R (1/2)

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editor window

execution window

R-commander generates the code in the upper window and shows the output in the lower window. If code is selected in the upper window, it can be re-run by clicking on „Befehl ausführen“, just like in the editor window of R.

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Vom Modell zum Internet mit R (2/2)

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library(lpSolve)# Set up problem: maximize# x1 + 9 x2 + x3 subject to# x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9# 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15#f.obj <- c(1, 9, 3)f.con <- matrix (c(1, 2, 3, 3, 2, 2), nrow=2, byrow=TRUE)f.dir <- c("<=", "<=")f.rhs <- c(9, 15)## Now run.#lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)## The output is: Success: the objective function is 40.5lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)$solution## The output is: [1] 0.0 4.5 0.0

siehe: http://cran.r-project.org/web/packages/lpSolve/lpSolve.pdf

siehe auch: http://cran.r-project.org/web/views/Optimization.html

Create a user-friendly web interface for R scripts with package „Rwui“: http://sysbio.mrc-bsu.cam.ac.uk/Rwui/

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Entwicklungsumgebungen mit analytischen Algorithmen

• Statistische Tools (R): http://www.r-project.org/ • Mathematische Optimierung:

– Frontline Solvers: http://www.solver.com/ (einsetzbar mit Visual Studio.NET, Visual Basic, Matalab, Java, C/C#/C++)

– Lindo Systems, Frontline Solvers, – AIMMS (Modellierung, Database Links, Links zu Solvers, GUI, Deployment)– MPL Modeling System: www.maximalsoftware.com (einsetzbar mit Visual

Basic, VBA, C/C++, Java, Delphi, plus popular Web-scripting languages)– QMS: http://www.quantmethods.com/ (läuft auf dem Internet für Studierende)– Knitro: www.ziena.com (einsetzbar mit Matlab, Mathematica, C/C++, Excel,

Fortran, Java)– Vanguard: http://www.vanguardsw.com/ – Mathtools: http://www.mathtools.net/ – Belief Nets and Influence Diagrams: http://www.norsys.com/index.html – Digital Analytics Association: http://www.digitalanalyticsassociation.org/ – Softwareübersicht:

• Vehicle Routing • Simulation • Linear Programming • Statistical Analysis • Decision Analysis • Forecasting

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Excel Webexport

Eine Excel-Datei kann in eine html-Datei mit Java-Skript automatisch umgewandelt werden (siehe Beispiel unten).

Bsp. xlsBsp. htm

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Übungsbeispiel von DSS

Link xls Link htm

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Entscheidungsvariablen, Zielfunktion und Randbedingungen

• Bsp. 1: Entscheide (resp. berechne), welche Zahl zu 3 hinzugezählt werden muss, damit man 10 erhält.

• Entscheidungsvariable: x• Modell: 3 + x = 10• Zielwert: Summe der zwei Zahlen ist gleich 10

• Lösung x = 7

• Bsp. 2: Entscheide (resp. berechne), welche zwei ganze Zahlen zusammengezählt 10 ergeben und deren Differenz gleich 2 ist.

• Entscheidungsvariablen: x, y• Modell: x + y = 10; x - y = 2• Ziel: Summe der zwei Zahlen ist gleich 10• Randbedingung: Differenz der beiden Zahlen ist gleich 2.

• Lösung x = 6, y = 4.

Matrizenschreibweise: A . X = b

x y1 1 6.00 10.00 = 10 Ziel1 -1 4.00 2.00 = 2 Randbedingung

x =

Ctrl+Shift+Enter

Der „Solver“ im Excel sucht mit einem Algorithmus für x und y Werte, so dass das Ziel und die Randbedingung erfüllt sind.

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Optimierung mit binären Variablen in R

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# install and load package "lpSolve"# Set up problem: choose the two cheapest of 3 contracts# min: 1x1 + 9x2 + 3x3 (sum of costs of the three contracts)# s.t.: x1 + x2 + x3 = 2 (choose two out of three contracts)library(lpSolve)f.obj <- c(1, 9, 3)f.con <- matrix (c(1, 1, 1), nrow=1, byrow=TRUE)f.dir <- c("=")f.rhs <- c(2)f.bin <- c(1,1,1)f.tra <- TRUEf.int <- c()f.pre <- 0f.com <- 0f.bin <- c(1,2,3) # the vecror of indices of the variables that are binary: 1,2,3lp ("min", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, f.tra, f.int, f.pre, f.com, f.bin)Output: Success: the objective function is 4lp ("min", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, f.tra, f.int, f.pre, f.com, f.bin)$solutionOutput: [1] 1 0 1

siehe Paket "lpSolve"lp (direction = "min", objective.in, const.mat, const.dir, const.rhs,transpose.constraints = TRUE, int.vec, presolve=0, compute.sens=0,binary.vec, all.int=FALSE, all.bin=FALSE, scale = 196, dense.const,num.bin.solns=1, use.rw=FALSE)

Die Lösung ist, Vertrag 1 und 3 zu wählen, mit den totalen Kosten von 4.

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Logistische Randbedingungen

Logistische Bedingungen

•xi = 1 bedeutet, dass ai gewählt wurde•xi = 0 bedeutet, dass ai nicht gewählt wurde•xi {0,1}

Bsp.1: Von fünf Stellenbewerbern (zwei Ingenieure und drei Juristen) wähle mindestens ein Ingenieur und zwei Juristen. Wenn Jurist zwei gewählt wird, dann muss auch Jurist drei gewählt werden. Minimiere das totale Salär aller Angestellten.

•entweder a1 oder a2

•höchstens einer der beiden (a1 oder a2)•mindestens einer der beiden•entweder beide oder keine•wenn a1 dann auch a2

•x1 + x2 = 1•x1 + x2 ≤ 1•x1 + x2 1•x1 - x2 = 0•x1 - x2 ≤ 0

Bsp. 2: Es bewerben sich je drei Ingenieure, Juristen und Ökonomen. Es darf höchstens ein Ökonom angestellt werden. Wenn die zwei Juristen angestellt werden, dann müssen auch die beiden Ingenieure angestellt werden. Das totale Salär aller Angestellten soll minimiert werden.

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DSS in der Einsatzplanung

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Das Entscheidungsmodell: Ein BeispielEntscheidungsvariablen: Wie viele Mio. Fr. (xS) soll eine Gemeinde in das Sozialprogramm (S) und wie viele (xT) in

das Transportprogramm (T) investieren (einsetzen)?

Kriterien• Anz. Arbeiter, die für jede Mio. anzustellen sind: 4 for S and 1 for T.• Anz. Computer, die für jede Mio. gebraucht werden: 1 for S and 3 for T.• Profit für jede Mio.: 1 for S and 2 for T.

• Zielfunktion Maximiere Profit: P*=max: 1xS + 2xT

Randbedingungen

• Tot. Anz. anzustellender Arbeiter: A*= 32 4xS + 1xT

• Tot. Anz. zu kaufender Computer: C*= 23 1xS + 3xT

Nie vergessen!xS 0; xT 0;

Achtung: Gerundete reelleLösung ist oft nicht die optimale ganzzahlige Lösung!

4xS + 1xT 32 = A*

1xS + 3xT 23 = C*

1xS + 2xT = max = P*

4 15 31 2

32 23max

= xs

xt

4 1 6.64 321 3 x 5.45 : 231 2 17.55

4 1 51 3 x 6 :1 2

4 1 0 321 3 x 0 : 231 2 0

A x =mmult(A,x)

xS

xT

0 1 2 3 4 5 6 7 8

8

7

6

5

4

3

2

1

0

A

C xS = 6.64xT = 5.45P*=17.55

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Lösung mit Excel Solver

Falls Solver nicht installiert ist:

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Lösung mit Open Office

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Lösung mit Google Spreadsheetshttp://docs.google.com/support/bin/answer.py?answer=139704&hl=en

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Lösung mit R

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# Set up problem: maximize# 1x1 + 2x2 subject to# 4x1 + 1x2 <= 32# 1x1 + 3x2 <= 23library(lpSolve)f.obj <- c(1, 2)f.con <- matrix (c(4,1,1,3), nrow=2, byrow=TRUE)f.dir <- c("<=", "<=")f.rhs <- c(32,23)## Now run.#lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)## Output is: Success: the objective function is 17.54545lp ("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)$solution## Output is: [1] 6.636364 5.454545


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Simplex Algorithmus

T0 x1=0 x2=0 10 ≤ e1 -4 -1 32 -8 max0 ≤ e2 -1 -3 23 -23max e3 1 2 0

x

T1 e1=0 x2=0 1frei x1 -0.25 -0.25 8.000 ≤ e2 0.25 -2.75 15.00 -5.5 maxmax e3 -0.25 1.75 8.00

T2 e1=0 e2=0 1frei x1 -0.27 0.09 6.64frei x2 0.09 -0.36 5.45max e3 -0.09 -0.64 17.55

Arbeiter: 32 4xS + 1xT

Computer: 23 1xS + 3xT

Profit: max:1xS + 2xT

Arbeiter: 32 - 4xS - 1xT 0

Computer: 23 - 1xS - 3xT 0

Profit: max: 1xS + 2xT

• Da beide Entscheidungsvariablen x1 (xS) und x2 (xT) frei sind, können wir auswählen welche der beiden wir zuerst austauschen wollen; wir wählen x1; diese Kolonne wird zur Pivotkolonne.

• Der charakteristische Quotient wird berechnet, indem man die Werte in der „1“-Kolonne mit den Werten in der Pivotkolonne dividiert. Die Zeile mit dem grössten charakteristischen Quotienten wird zur Pivotzeile. Somit ist der Wert „-4“ der Pivotwert.

• Das Tableau T1 wird folgendermassen berechnet:• Der Pivotwert wird zum Reziproken Wert (1/Pivot).• Die Werte in der Pivotkolonne werden durch den Pivot

dividiert.• Die Werte in der Pivotzeile werden durch den Pivot dividiert

und mit -1 multipliziert.

• Für die restlichen Werte gilt: wik wik – wip*wpk/p.

• Das Tableau T2 wird berechnet, indem im Tableau T1 mit dem letzten möglichen Pivot die analogen Berechnungen durchgeführt werden.

• Die Lösung x1 = 6.64, x2 = 5.45 und Profit = 17.55 wird erhalten.• http://cgm.cs.mcgill.ca/~beezer/cs601/main.htm • http://www.ifor.math.ethz.ch/cplex/index.en.html

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Arbeiter: 16 4xS + 1xT

Computer: 17 1xS + 3xT

Büros: 10 = 1xS + 1xT

xS xTAspi-ration

Straf-gewicht

A 4 1 16 3 (+)

C 1 3 17 2 (+)

B 1 1 = 10 1 (+)

3 (-)

Arbeiter: 16 = 4xS + 1xT – xA+

Computer: 17 = 1xS + 3xT – xC+

Büros: 10 = 1xS + 1xT – xB+ + xB-

Min: 3xA++ 2xC++ 1xB+ + 3xB-

xA+: Abweichung Anzahl Arbeiter über 16

xC+: Abweichung Anzahl Computer über 17

xB+: Abweichung Anzahl Büros über 10

xB-: Abweichung Anzahl Büros unter 10

Total haben wir 6 Entscheidungsvariablen: xS, xT, xA+, xC+, xB+, xB-

Arbeiter: 4xS + 1xT 32 + M(1-yA)

. . . .

. . . .

Computer: 1xS + 3xT 23 + M(yC -1)

Profit: max:1xS + 2xT

yi = r

“oder” Randbedingungen

3x1 + 2x2 + 5x3 = 10 oder 153x1 + 2x2 + 5x3 = 10y1 + 15y2

yk = 1

Nur r Randbedingungen müssen gelten

Mehrfache Ziele müssen gelten (keine Zielfunktion)

Modellierungs-Tricks

Anstatt dass man eine Zielfunktion hat und mehrere Randbedingungen, will man alle Aspekte gleichzeitig berücksichtigen. Dafür definiert man Strafgewichte, wenn von einem Ziel zu viel oder zu wenig erreicht wird.

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Generalized Reduced Gradient Method• Für nichtlineare Optimierungsprobleme gebraucht der Solver als

Optimierungsalgorithmus die sog. Generalized Reduced Gradient Method (GRGM).

• Bei nichtlinearen Problemen muss dem Solver gesagt werden, dass es sich nicht um ein lineares Problem handelt, sonst löst der Solver ein falsches Problem.

• Der Solver kann auch über VBA durch klicken auf einen erstellten Knopf ausgelöst werden.

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Beispiel GRGM

Solver mit VBA

GRGM Excel

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Interior Point Method

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Eine einfache Erklärung der Interior Point Method ist hier:http://www.benthamscience.com/open/toorj/articles/V003/1TOORJ.pdf

Die Lösung wird iterativ berechnet. min: cTxs.d. Ax = b x ≥ 01: wähle einen x-Vektor als Startpunkt,

der alle Randbedingungen erfüllt (z.B. xi = 0)

2: überprüfe ob der x-Vektor eine Lösung innnerhalb einer gewählten Genauigkeit ergibt.

3: falls ja, Lösung ist gefunden. Falls nicht, dann berechne die neue Richtung und den neue Schrittlänge.

4: bestimme den neuen x-Vektor und gehe zu Punkt 2.

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Nicht-lineare Optimierung

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10;0)sin(:

8.0:max

xyxNB

yx

x = 2.50y = 0.60z = 2.60

mit x=0 und y=0 als Anfangswerte

mit x=8 und y=0 als Anfangswerte

x = 8.78y = 0.60z = 7.63

x y2.50 0.60 2.60 max (0.8*x+y)

0.00 sin(x)-y>=02.50 x<=10

Die Anfangswerte beeinflussen das Finden der „optimalen“ Lösung.

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Einsatzplanung von Personen: Scheduling

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Optimierung einer Einsatzplanung

EV: xij (ganzzahlig): Anzahl Pfleger in Schicht Si und Sj

Zielfunktion: min: x12+x23+x34+x45+x56 +x61

Schicht Nr. Zeit benötigte Pf leger

1 00:00 - 04:00 32 04:00 - 08:00 23 08:00 - 12:00 44 12:00 - 16:00 55 16:00 - 20:00 66 20:00 -24:00 8

Problem: Wie viele Pfleger müssen angestellt werden, wenn die minimale Anzahl Pfleger pro Schicht eingehalten werden muss (links) und jeder Pfleger in zwei sich folgenden Schichten arbeiten muss.

Schicht Nr. anwesende Pfleger benötigte Pfleger 1 x61+x12 3 2 x12+x23 2 3 x23+x34 4 4 x34+x45 5 5 x45+x56 6 6 x56+x61 8

Andere Lösungen:3/2/4/5/8/83/2/6/5/6/8

1 0 0 0 0 1 1 x12 3 S11 1 0 0 0 0 1 x23 2 S20 1 1 0 0 0 5 x34 4 S30 0 1 1 0 0 x 0 x45 5 S40 0 0 1 1 0 6 x56 6 S50 0 0 0 1 1 2 x61 8 S61 1 1 1 1 1 = 15 N

library(lpSolve)# Nurse scheduling problem# Set up cost matrixf.obj <- c(1,1,1,1,1,1)f.con <- matrix(c( 1,0,0,0,0,1, 1,1,0,0,0,0, 0,1,1,0,0,0, 0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,1,0, 0,0,0,0,1,1),nrow=6,ncol=6,byrow=TRUE)f.dir <- c(">=")f.rhs <- c(3,2,4,5,6,8)f.tra <- TRUEf.int <- c(1,2,3,4,5,6) # all variables are integersf.pre <- 0f.com <- 0f.bin <- c() lp ("min", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, f.tra, f.int, f.pre, f.com, f.bin)# Output: Success: the objective function is 15lp ("min", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, f.tra, f.int, f.pre, f.com, f.bin)$solution# Output: [1] 0 2 2 3 3 5

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Zuordnungsmethode

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MaschinenAbeiten

A B C

I $11 $14 $ 6

II $ 8 $10 $11

III $9 $12 $7

Drei verschiedene Maschinen können drei verschiedene Arbeiten ausführen. Gesucht ist die Zuordnung je einer Maschine an je einer Arbeit, so dass die totalen Kosten minimiert werden.

Zuordnungsalgorithmus Subtrahiere den kleinsten Wert in jeder Zeile von jedem Wert in dieser Zeile; subtrahiere dann den kleinsten

Wert in jeder Spalte von jedem Wert in dieser Spalte. Zeichne die kleinste Anzahl vertiakler und horizontaler Linien, um alle Nullen in der Tabelle zu bedecken.

– Wenn die Anzahl Linien entweder gleich der Anzahl Zeilen oder gleich der Anzahl Spalten ist, dann ist eine optimale Zuordnung möglich (Schritt 4).

– Ansonsten: Subtrahiere den kleinsten Wert, der noch nicht bedeckt ist, von jedem anderen unbedeckten Wert. Addiere

den gleichen Wrt zu jedem Wert, der auf dem Schnittpunkt von zwei Linien ist. Gehe zurück zu Schritt 2. Optimale Zuordnungen liegen immer bei Null-Werten in der Tabelle.

MaschinenArbeiten

A B C

I 5 8 0

II 0 2 3

III 2 5 0

MaschinenArbeiten

A B C

I 5 6 0

II 0 0 3

III 2 3 0

Schritte 1a und 1b

MaschineArbeit

A B C

I 5 6 0

II 0 0 3

III 2 3 0

kleinster ungedeckter Wert

Schritt 2

MaschineArbeit

A B C

I 3 4 0

II 0 0 5

III 0 1 0

optimale Zuordnung

Schritt 3

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Zurdnungsmethode mit lpSolve in R

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library(lpSolve)assign.costs <- matrix (c(11,14,6,8,10,11,9,12,7), 3, 3)lp.assign (assign.costs)lp.assign (assign.costs)$solution

> assign.costs <- matrix (c(11,14,6,8,10,11,9,12,7), 3, 3)> lp.assign (assign.costs)Success: the objective function is 25 > lp.assign (assign.costs)$solution [,1] [,2] [,3][1,] 0 0 1[2,] 0 1 0[3,] 1 0 0


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Johnson‘s Zuordnungsverfahren

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N jobs müssen sequentiell durch 2 Maschine

Säge Bohrer

Job AJob A

Job BJob B

Job CJob C

Jobs (N = 3)Johnson’s Zuordnungsverfahren

Alle Jobs werden mit den Arbeitszeiten aufgelistet.1. Wähle den Job mit der kürzesten Aktivitätszeit. Wenn

dieser sich auf die erste Maschine bezieht (Säge), dann ist der Job als erster dran; wenn mit der zweiten Maschine (Bohrer), dann ist er als letzter dran.

2. Wenn ein Job zugeordnet ist wird er eliminiert von der Liste. 3. Führe Schritte 2 bis 3 für die übrigen Jobs durch, und

arbeite in das Zentrum der Zuordnungssequenz zu.

Job Säge Bohrer

A 5 2

B 3 6

C 8 4

D 10 7

E 7 12

ASchritt 1

B ASchritt 2

B C ASchritt 3

B D C ASchritt 4

B E D C ASchritt 5

B E D C A

B E D C A

Säge

Bohrer

0 3 10 20 28 33

0 3 9 10 20 22 28 29 33 35Zeit =>

Zeit =>

B E D C AJobs erledigt =>

= Wartezeiten

14/02/13 G. Beroggi © 37

DSS in der Transportplanung und im Projektmanagement

14/02/13 G. Beroggi © 38

„In die Irre geleitet …“

Neue Luzerner Zeitung, 06.04.06, S. 32

• „GPS lotst Autofahrer an den Rand des Abgrunds auf eine 30 Meter hohe Klippe.“

• „Ich lese Karten und plane im voraus. Dies ist viel genauer und zuverslässiger.“

Zürich – Alpthal47 km, 59 Min., 46 km/h

Zürich – Alpthal*106 km, 111 Min., 54 km/h

* mit Strassenangabe des Zielortes

Sie folgen dem G

PS wie Sch

afe

Tagi, 13.11.07

14/02/13 G. Beroggi © 39

Optimierung der Transportverteilung

S1: 12

S2: 15

S3: 18

D1: 10

D2: 9

D3: 14

D4: 12

12

14

20

16

14

8

14

10k32

Problem: Gesucht ist der billigste Versand der produzierten Autos von den drei Stationen an die vier Destinationen, so dass alle in den drei Stationen produzierten Autos weggehen und alle vier Destinationen genau die bestellte Anzahl Autos erhalten.

Achtung: wenn man die Randbedingung xij 0 weglässt, dann konvergiert die Lösung nicht!

0:Lösung negative keine

:ankommen Autos bestellten alle

:müssen weg Autos alle :RB

:Kosten tot.min. :ZF

bringenzu nach von Autoein umKosten :

nach von Autos Anzahl :g)(ganzzahli :EV

3

1

4

1

4

1

3

1

ij

ji

ij

jiij

j iijij

jiij

jiij

x

dx

sx

xk

D Sk

D Sx1 1 0 0 0 0 0 0 7 x11 12 S10 0 1 1 1 0 0 0 5 x13 15 S20 0 0 0 0 1 1 1 3 x21 18 S31 0 1 0 0 0 0 0 x 0 x22 = 10 D10 0 0 1 0 1 0 0 12 x24 9 D20 1 0 0 0 0 1 0 9 x32 14 D30 0 0 0 1 0 0 1 9 x33 12 D4

12 14 14 20 8 16 14 10 0 x34 562 C

14/02/13 G. Beroggi ©

Modellspezifikation in GAMS

40

Siehe: http://en.wikipedia.org/wiki/General_Algebraic_Modeling_System

(Verpackzentren)

Seattle(350)

San-Diego(600)

New York(325)

Chicago(300)

Topeka(275)

2.5

1.7

1.8 2.5

1.8

1.4

x11 x12 x13 x21 x22 x23 EV sol1 Seattle 1 1 1 0 0 0 25 325 <= 3502 San Diego 0 0 0 1 1 1 300 575 <= 6001 New York 1 0 0 1 0 0 X 0 = 325 >= 3252 Chicago 0 1 0 0 1 0 300 300 >= 3003 Topeka 0 0 1 0 0 1 0 275 >= 275

Costs 2.5 1.7 1.8 2.5 1.8 1.4 275 1707.5 min

to slide 34

more details

14/02/13 G. Beroggi ©

Lösung mit lpSolve in R

41

Seattle(350)

San-Diego(600)

New York(325)

Chicago(300)

Topeka(275)

2.5

1.7

1.8 2.5

1.8

1.4

New York Chicago Topeka dummy Supply1 Seattle 2.5 1.7 1.8 0 350 <= 3502 San Diego 2.5 1.8 1.4 0 600 <= 600

Demand 325 300 275


library(lpSolve)# Transportation problem, # Set up cost matrixcells <- c(2.5,1.7,1.8,0,2.5,1.8,1.4,0)rnames <- c("Seattle","San Diego")cnames <- c("New York","Chicago","Topeka","dummy") costs <- matrix(cells, nrow=2, ncol=4, byrow=TRUE,dimnames=list(rnames, cnames))# Set up constraint signs and right-hand sides.row.signs <- rep ("<", 2)row.rhs <- c(350,600)col.signs <- rep (">", 4)col.rhs <- c(325,300,275,0)# Runlp.transport (costs, "min", row.signs, row.rhs, col.signs, col.rhs)lp.transport (costs, "min", row.signs, row.rhs, col.signs, col.rhs)$solution

> costs New York Chicago Topeka dummySeattle 2.5 1.7 1.8 0San Diego 2.5 1.8 1.4 0> row.signs <- rep ("<", 2)> row.rhs <- c(350,600)> col.signs <- rep (">", 4)> col.rhs <- c(325,300,275,0)> lp.transport (costs, "min", row.signs, row.rhs, col.signs, col.rhs)Success: the objective function is 1707.5 > lp.transport (costs, "min", row.signs, row.rhs, col.signs, col.rhs)$solution [,1] [,2] [,3] [,4][1,] 0 300 0 0[2,] 325 0 275 0

Die minimalen totalen Kosten (1‘707.50) sind gleich wie auf der letzten Seite (gerechnet mit Excel), aber die Zuordnung ist anders (es gibt mehrere optimale Lösungen!).

14/02/13 G. Beroggi © 42

-1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x12 -1 C11 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 x13 0 C20 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 x14 0 C30 0 1 1 0 1 0 -1 -1 -1 0 0 0 x24 0 C40 0 0 0 1 0 0 1 0 0 -1 0 x 0 x25 = 0 C50 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 x34 0 C60 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 x36 1 C75 4 1 2 1 2 1 1 5 6 4 3 1 x45 6 C

0 x460 x471 x570 x67

Schnellster Weg

2 5

4

5

1 2

1

5

1

2 1

6

4

3

13

4

6

7

Problem: Gesucht ist der schnellste Weg von San Francisco nach Kairo.

sonst 0

7für 1

1für 1

: - von Weg:RB

: Zeit tot.min. :ZF

nach Ort Zeit von :

0sonst ist, n Wegsschnellste des Teil Verbindung wenn 1

nach Ort von Verbindung :(binär) :EV

7

1

7

171

7

1

7

1

k

k

xxOO

xt

O Ot

x

O Ox

i jkjik

j iijij

jiij

ij

jiij

Um den längsten Weg zu finden:- max tot. Zeit- Sumi xij 1 j, ij (höchstens ein Zufluss pro Stadt)

14/02/13 G. Beroggi © 43

Travelling Salesperson Problem

2 5

4

5

1 2

1

5

1

2 1

6

4

3

13

4

6

7

Problem: Die Travelling Salesperson muss alle Städte genau einmal besuchen und wieder an den Ausgangspunkt zurück kommen.

jx

jixx

kxx

xt

O Ot

x

xxO Ox

iij

jiij

i jkjik

j iijij

jiij

ij

jiijjiij

,1

,,1

,0

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

:Zufluss einen genauhat Stadt Jede

:Richtungeiner in höchstens Verbindung jedefür Reise

:Städte allefür 0 AbflüsseSumme minus -Zu Summe

:Zeit tot. min.

nachOrt vonZeit :

0sonst ist, Wegsnschnellste des Teil Verbindung wenn

) und d.h. ,Richtungen (beide nachOrt von Verbindung :(binär) :EV

Bsp.: http://www.tagesanzeiger.ch/digital/internet/Die-freien-Karten-inspirieren-die-Forscher/story/25670349www.tourpl.ch

14/02/13 G. Beroggi © 44

Schnellster Weg (Inferenzmodelle)

weg(Ziel,Ziel,Zustandsliste):- write(Zustandsliste),nl. /* Ziel erreicht, Abbruch der Rekursion und Ausgabe */weg(Start,Ziel,Zustandsliste):- /* Es gibt einen Weg vom Start zum Ziel, wenn ... */ operator(Op), /* ... es einen Operator gibt, ... */ anwendbar(Op,Start), /* ... der im Startzustand anwendbar ist, ... */ fuehrt_zu(Op,Start,Neu), /* ... von dort zu einem neuen Zustand fuehrt, ... */ not(member(Neu,Zustandsliste)), /* ... der noch nie da war (Verhinderung von Schleifen) ... */ zulaessig(Neu), /* ... und zulaessig ist, ... */ weg(Neu,Ziel,[Neu|Zustandsliste]). /* ... und es von dort einen Weg zum Ziel gibt. */

http://de.wikipedia.org/wiki/Prolog_(Programmiersprache)

Dijkstra Algorithmus:• Gesucht ist der kürzeste Weg von S1 nach S7.• S ist die Menge der „geschlossenen“ Städte, d.h. jene

Städte, für die man den kürzesten Weg zu S1 bereits bestimmt hat.

1. Schliesse Stadt 1 (S1): S1S.2. Schliesse Sk (SkS), so dass xik+L1k = minimal für alle k und

SiS.3. Wenn Sk = S7 dann stopp, sonst zurück zu Punkt 2.

Prolog

domains town = symbol distance = integer

predicates road(town, town, distance) route(town, town, distance)

clauses road(San_Francisco, Paris, 3) road(San_Francisco, St_Louis, 4) ...

route(Town1, Town2, Distance) :- road(Town1, Town2, Distance). route(Town1, Town2, Distance) :- road(Town1, X, Dist1), route(X, Town2, Dist2), Distance=Dist1+Dist2.

14/02/13 G. Beroggi ©

Projektmanagement: Critical Path Method (CPM)

45

Activity

(time)

Description Immediate Predecessors

A (2) Build internal components -

B (3) Modify roof and floor -

C (2) Construct collection stack A

D (4) Pour concrete and install frame A, B

E (4) Build high-temperature burner C

F (3) Install pollution control system C

G (5) Install air pollution device D, E

H (2) Inspect and test F, G

Start

B

A

D

C

G

F

HE

Latest Finish

ES

LS

EF

LF

Earliest Finish

Latest Start

Earliest Start

Activity

Nam

eA

ctivity D

uration

Slack=0

Start

A

B

C

D

F

F

G

HH

13

132

1515

HG

8

85

1313

HF

4

103

713

HC

2

22

44

HE

4

44

88

HD

3

44

78

HB

0

13

34

HA

0

02

22

H0

00

00

Slack=0 Slack=0

Slack=0

Slack=0

Slack=6

Slack=1Slack=1

Start

)max( predi

iii

EFES

tESEF

1. Forward Calculation:

2. Backward Calculation:

)min( succi

iii

LSLF

tLFLS

Critical path has 0 slack and is the slowest path from start to end.

14/02/13 G. Beroggi © 46

DSS in der Finanzplanung

14/02/13 G. Beroggi © 47

Optimierung von Investitionen

14/02/13 G. Beroggi © 48

Optimierung eines Portfolio

GxgKx

xx

JAAgggg

Ag

g

JAg

Ax

ii

ii

i

i jjiij

kjik

jjkiikij

ik

ik

i

jiij

ii

3

1

3

1

3

1

5

1

2

5

1

2

5

1

; :RB

:ätVariabilit tot.min. :ZF

Jahr im und Aktiezwischen Kovarianz:))((5

1

Aktiefür Jahren 5letzten den in Gewinn ttlicher durchschni :5

Jahr im Aktie ausGewinn :

soll werden investiert Aktiein das Kapital, g),(ganzzahli :EV

CXXT

Problem: Wie soll ein gegebenes Kapital (K=10‘000.-) auf (n=3) Aktien verteilt werden, so dass ein minimaler Gewinn (G=800.-) erzielt wird und die totale Variabilität künftiger Gewinne minimiert wird.

Durch-2001 2002 2003 2004 2005 schnitt A1 A2 A3

Aktie 1 10 4 12 13 6 9 A1 12 -5.6 23Aktie 2 6 9 6 5 9 7 A2 -5.6 2.8 -12 CAktie 3 17 1 11 19 2 10 A3 23 -12 55.2

Gewinn in Rappen pro investiertem Franken

x1 = 5000 x1 x2 x3 45000x2 = 5000 X 5000 5000 0 XT 35000x3 = 0 90'000'000 XTCX 0

10'000.00 32000 -14000 55000 XTC 80'000.00 G >=80'000F =10'000 Gewinn in Rappen

Jahre

14/02/13 G. Beroggi © 49

Projektfinanzierung

0 alle

000'000'1045.165.175.1

000'000'6

:s.d.

5.2286.1140.209

6.1149.1971.302

0.2091.3028.486

:min

:s.d

:min

erhält Jahre 6über Bank welcher ins, totaler Z:

solln werden aufgenomme Bank von das Kapital, g),(ganzzahli :EV

321

321

3

2

1

321

i

T

ii

ii

x

xxx

xxx

x

x

x

xxxz

Bz

Bx

BAX

QXX

Problem: Eine Firma will ein Projekt von 6 Mio. über 6 Jahre finanzieren, durch Kreditaufnahme bei 3 Banken. Die jährlichen Zinszahlungen sollten möglichst gleich sein (min. Co-Varianz) über die 6 Jahre und total nicht mehr als 4 Mio. betragen.

% der Schuld, die den Banken zurückbezahlt werden muss totalJahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Rückzahl. Bank 2 Bank 2 Bank 3

Bank 1 0 0 30 40 50 55 1.75 Bank 1 486.8 302.1 -209.0Bank 2 5 15 25 35 40 45 1.65 Bank 2 302.1 197.9 -114.6 QBank 3 40 40 0 35 15 15 1.45 Bank 3 -209.0 -114.6 228.5

x1 = 0 x1 x2 x3x2 = 3139831 X 0 3139831 2860169 XTx3 = 2860169 2.E+15 XTCX

3.51E+08 2.94E+08 2.94E+08 XTQ

1 1 1 6'000'000 6'000'0001.75 1.65 1.45 9'327'966 10'000'000

14/02/13 G. Beroggi ©

Stochastische Optimierung

50

Aktionen (Aj)

verkaufe Getränke (A1)Ereignisse (Ei)

kaltes Wetter p(E1) =0.2 x11 =$50 x12 = $100

warmes Wetter p(E2) =0.8 x21 = $200 x22 = $125

verkaufe Hot Dogs (A2)

Getränke

Hot Dogs

kaltes Wetter

kaltes Wetter

warmes Wetter

warmes Wetter

x11 = $50

x21 = $200

x22 =$125

x12 = $100

Opportunitätsverlust = höchst möglicher Wert für ein Ereignis i - Wert der Aktion j

Aktionen (Aj)

verkaufe Getränke (A1)Ereignisse (Ei)

kaltes Wetter (E1) x11 =$50 x12 = $0

warmes Wetter (E2) x21 = $0 x22 = $75

verkaufe Hot Dogs (A2)

Entscheidungskriterien• Erwarteter monetärer Wert (EMW)

– Erwartungswert für Aktion Aj

• Erwarteter Opportunitätsverlust (EOV)– Erwarteter Verlust für Aktion Aj

• Erwarteter Wert der perfekten Information (EWPI)– Erwarteter Opportunitätsverlust der besten

Entscheidung (für die Ereignisse) = Erwarteter Gewinn bei Sicherheit - Erwarteter Gewinn der besten Aktion

Entscheidungskriterien• EMW(A1)=0.2*50+0.8*200 =170; EMW(A2)=0.2*100+0.8*125=120

• max(EMW) = EMW(A1) = 170• EOV(A1)= 0.2*50+0.8*0 =10; EOV(A2)=0.2*0+0.8*75=60

• min(EOV) = EOV(A1) = 10• EWPI = (0.2*100+0.8*200) - 170 = 10 (Betrag, den man bereit ist zu

bezahlen, um die Unisicherheit zu eliminieren.

14/02/13 G. Beroggi ©

Decision Tree Analysis

51

Suppose a firm is considering marketing a new product in Region 1 or Region 2. In Region 1, management believes there to be a 30% chance of making $4M profit if the product is launched and demand is high, but a 70% chance of incurring a $2M loss if demand is low. In Region 2, management believes there to be a 30% chance of making $3M profit if the product is launched and demand is high, but a 70% chance of incurring a $1M loss if demand is low. In what region should the new product be marketed? The cost of marketing the product is $0.1M. The relevant pay-off table (in terms of profit) is derived as follows:

A1 A2

high demand (0.3) $4M $3Mlow demand (0.7) -$4M -$1M

Market product in Region 1

Market product in Region 2

Using the criterion of maximizing expected profit:•E(a1) = (0.3) ($4m) + (0.7) (–$2m) = –$0.20M•E(a2) = (0.3) ($3m) + (0.7) (–$1m) = $0.20MThus, the optimal solution is to market the product in Region 2.But the EVPI = [0.3(4) + (0.7) (–1)] – 0.2 = $0.3MThus, if the cost of marketing the product is $0.1M, then it looks attractive to seek additionalinformation as management is prepared to spend up to $0.3M for perfect information.From previous experience with the launching of other products, management assesses the following probabilities (conditional probabilities):•P (favourable survey outcome/high demand) = 0.47•P (unfavourable survey outcome/high demand) = 0.53•P (favourable survey outcome/low demand) = 0.08•P (unfavourable survey outcome/low demand) = 0.92The cost of the survey is $0.09M.With this information, we can determine the complete joint distribution of forecast and actualoutcomes.

high lowdemand demand

results favorable 0.141 0.056 0.197results unfavorable 0.159 0.644 0.803

0.3 0.7 1

Using the information from section 4.2.2 we can now compute the conditional probabilities of theform P (actual result/test market result) from the definition of conditional probability, P(H| F) =P(H∩ F) / P(F)This can readily be calculated by substituting the values of the joint probabilities from the abovetable. The remaining three conditional probabilities are obtained similarly.It should be noted that these calculations are an application of Bayes’ Theorem.Hence, applying Bayes’ Theorem enables computation of posterior probabilities of the form:P (high demand | favourable survey outcome) = 0.141/0.197 = 0.716 P (H/F)P (low demand | favourable survey outcome) = 0.056/0.197 = 0.284 P (L/F)P (high demand | unfavourable survey outcome) = 0.159/0.803 = 0.198 P (H/U)P (low demand | unfavourable survey outcome) = 0.644/0.803 = 0.802 P (L/U)

Decision Tree (next slide)

14/02/13 G. Beroggi ©

(1) Expected value of additional(survey) information (EVSI) = 0.285 – 0.2 = 0.085

Expected payoff using additional(survey) information

Expected payoff without additional(survey) information

(2) Expected net gain from sampling(ENGS) = EVSI – cost of survey = 0.085 – 0.09 = -0.005

14/02/13 G. Beroggi © 53

Discrete Event and Continuous Simulation

• Simulation Software Development Frameworks• Simulation Software Übersicht• Link zu Warteschlange Modellen• Open Simulator OMNest• Open Simulator OMNet• Simwalk: Simulation für Personenbewegungen• Arena• Extend• Simul8• Simulation Resources

14/02/13 G. Beroggi © 54

Simulation: Bsp. Bankschalter-Prozess

1. Eintritt

2. Reihe3. Schalter

4. Abgang

Zufalls-ereignisse

Zwischen-ankunfts-

zeit

Schalter-verarbeitungs-

zeit

StarteSchalterservice

Wartetjamand?

Schalter-Abgang

Nimm wartetendePerson aus der Reihe

Starte Wartezeitdes Schalters

(1) Schalterbeendung

Wartetjamand?

Person kommt an

Person geht in die ReihePerson geht zum Schalter

(2) Personenankunft

janein

nein ja

= Mittelwert der Ankunftsrate (Anzahl Personen pro Zeiteinheit) = Mittelwert der Verarbeitungsrate (Anzahl Personen pro Zeiteinheit)

Beachte:1/ = Durchschnittliche Zwischenankunftszeit zwischen zwei Personen1/ = Durchschnittliche Verarbeitungszeit des Schalters und sind Poisson verteilt und 1/ und 1/ sind exponentiell verteilt.

:Schalters des ungBeschäftigProzent

1 :istleer Schalter dass WS

:System im Anzahl ttlicheDurchschni

1 :System im Zeit ttlicheDurchschni

)( :Schlangein Anzahl ttlicheDurchschni

)( : WartezeitttlicheDurchschni

0

2

P

L

W

L

W

q

q

14/02/13 G. Beroggi © 55

Stochastische Simulation

1 2 3 5 6 4 7 8

Zufa ll 2(i-1)+1(i) Zufa ll m ax(2(i),4(i-1)) 5(i)-2(i) 5(i)+3(i) 4(i)-2(i) 5(i)-4(i-1)

Zeit, d ie Zeitpunkt Zeit Zeit Kunde

Kunde Zeit s e it der Kunde des Kunde Zeit verbringt Wartezeit

le tzter Ankunfts - am Schalter Schalter- wartet in Schalter im Schalter-

Ankunft ze it verbringt anfangs Reihe endet Sys tem pers on

1 0 4 0 0 4 4 0

2 8 8 1 8 0 9 1 4

3 6 14 4 14 0 18 4 5

4 1 15 3 18 3 21 6 0

5 8 23 2 23 0 25 2 2

6 3 26 4 26 0 30 4 1

7 8 34 5 34 0 39 5 4

8 7 41 4 41 0 45 4 2

9 2 43 5 45 2 50 7 0

10 3 46 3 50 4 53 7 0

11 1 47 3 53 6 56 9 0

12 1 48 5 56 8 61 13 0

13 5 53 4 61 8 65 12 0

14 6 59 1 65 6 66 7 0

15 3 62 5 66 4 71 9 0

16 8 70 4 71 1 75 5 0

17 1 71 3 75 4 78 7 0

18 2 73 3 78 5 81 8 0

19 4 77 2 81 4 83 6 0

20 5 82 3 83 1 86 4 0

82 68 56 124 18

1. Durchschnittliche Wartezeit für einen Kunden: 6/K = 56/20 = 2.8 Min.

2. WS, dass ein K warten muss: Kwartend/Kunden

3. WS, dass Server arbeitslos ist (Zeit, wo Server nicht arbeitet): 8/Zeit = 18/82 = 0.21

4. Durchschnittliche Bedienungszeit: 3/Kunden = 68/20 = 3.4 Min.

5. Durchschnittliche Zwischenankunftszeit: 1/(K-1) = 82/19 = 4.3 Min. („-1“ da K1 um t=0 ankommt)

6. Durchschnittliche Wartezeit der wartenden: 6/Kwartend = 56/13 = 4.2 Min.

7. Durchschnittliche Zeit Kunde

verbringt im System: 7/K = 124/20 = 6.2 Min.

8. Kontrolle: „1“ + „4“ = „7“

d.h. 2.8 + 3.4 = 6.2 OK

Wichtige Kenngrössen

http://www.usm.maine.edu/math/JPQ/

14/02/13 G. Beroggi © 56

Zufallszahlengenerierung mit EXCEL

Zufallszahlengenerierung

ExtrasAnalyse-Funktionen

14/02/13 G. Beroggi © 57

Zufallszahlengenerierung mit EXCEL

Zufallszahlengenerierung

ExtrasAnalyse-Funktionen

Aufgabe: Man lasse EXCEL 600 x einen fairen Würfel würfeln, d.h. man generiere 600 Zufallswerte, die der „Würfel Verteilung“ entsprechen.

Aufgabe: Man lasse EXCEL 600 x einen fairen Würfel würfeln, d.h. man generiere 600 Zufallswerte, die der „Würfel Verteilung“ entsprechen.

Werte WS Daten

„Würfel Verteilung“

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Poisson Verteilung

• Bei sehr grosser Grundgesamtheit n kann die Binomialverteilung durch die Poisson Verteilung approximiert (angenähert) werden.

• Mögliche Interpretation: p(x) ist die WS, dass x Unfälle pro Jahr geschehen, wenn im Schnitt Unfälle pro Jahr geschehen (Annahme: Unfälle sind unabhängig).

• p(x) = wobei x = 0, 1, 2, ...e- x

x!• E(X) =

• V(X) =

p(x) =e- x

x!

x

=POISSONVERT(x,,falsch)

Beispiel: Im Jahresschnitt geschehen 2 Flugzeugabstürze; was ist die WS, dass nächstes Jahr 3 Abstürze geschehen?

• Lösung: p(3)=(e-223)/3! = 0.18EXCEL

• =POISSON(3,2,FALSE) = 0.18

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Falsch: F(x)Richtig: p(x)

Generierung einer Poisson-Wahrscheinlichkeit

14/02/13 G. Beroggi © 60

Exponentielle Verteilung• ZV X ist exponentiell verteilt mit Parameter :

• f(x) = e-x wobei x 0

• F(x) = 1 - e-x

• E(X) = 1/

• V(X) = 1/2

• Merke: Wenn Ereignisse gemäss einer Poisson Verteilung stattfinden (im Mittel Ereignisse pro Jahr), dann ist die Zeit zwischen zwei Ereignissen exponentiell verteilt; d.h. ein Ereignis tritt im Schnitt alle 1/ Jahre ein! Dichtefunktion

f(x)Wahrscheinlichkeitsfunktion

F(x)

• Die Zeitspanne einer Maschine bis zur nächsten Reparatur ist exponentiell verteilt. Man erwartet, dass sie alle 3 Jahre repariert werden muss. Was ist die WS, dass die Maschine länger als erwartet hält?

Lösung:

• Zwischenankunftszeiten sind exponentiell verteilt mit Paramter .

• = 1/3 (d.h. „1/3 Mal pro Jahr muss sie repariert werden“)

• WS dass Maschine länger als 3 Jahre ohne Reparatur auskommt:

• p(x > 3) = 1 – p(x 3) = 1 - (1 - e-1) = 0.368.

• EXCEL: =1-EXPONDIST(3,0.333333,TRUE)

14/02/13 G. Beroggi © 61

Generierung von exponentiell verteilten Zwischenankunftszeiten

• F(x) = 1 – e-x

• e-x = 1 – F

• ex = 1/(1 – F)

• x = ln(1/(1-F))

• x = ln(1/(1-F))/

ExponentielleWahrscheinlichkeitsfunktion

F(x)

EXCEL: =LN(1/(1-ZUFALLSZAHL()))/3

Für F generiere man eine Zufallszahlzwischen 0 und 1EXCEL: =zufallszahl()

Xgesuchte zufällige

Zwischenankunftszeitmit exponentieller Verteilung

Beachte: Die Anzahl Poisson-Ereignisse kann aus den Zwischenankunftszeiten abgeleitet werden. Ist z.B. die Zwischenankunftszeit 20 Minuten, dann bedeutet das, dass 3 Ereignisse pro Stunde geschehen (Poisson verteilt).

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DSS für Wahlverfahren

14/02/13 G. Beroggi © 63

E-Voting

Schlussbericht E-Voting Kt. ZH 2011

14/02/13 G. Beroggi ©

A1 > A2

A2 > A1

3 Alternativen: A1 A2 A3

2 1 3

1 3 2

2 1 3

1 3 2

2 1 3

8 9 138 7

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

Aggregation mit Borda Count

14/02/13 G. Beroggi ©

3 Alternativen: A1 A2 A3

super gut OK

gut OK super

OK super gut

Paradoxon:

• A1 > A2,

• A2 > A3

• Aber: A1 < A3super > gut > OK

Aggregation mit Mehrheitsregel

14/02/13 G. Beroggi ©

N(A1)=0.65; N(A2)=0.5

N(A1)=0.20; N(A2)=0.45

N(A1)=0.6; N(A2)=0.2

N(A1)=0.3; N(A2)=0.8

A2 > A1

0.5

0.5

N(A1)=0.7; N(A2)=0.8

N(A1)=0.1; N(A2)=0.1

0.8

0.2

E[u(A1)]=0.45E[u(A2)]=0.50

E[N(A1)]=0.58E[N(A2)]=0.66

E[N(A1)]=0.49E[N(A2)]=0.48&

0.65

0.35

A2 > A1

A1 > A2

Pareto Optimalität

14/02/13 G. Beroggi ©

Verschiedene Social Choice MethodenRang P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

1 a a a c c b e2 b d d b d c c3 c b b d b d d4 d e e e a a b5 e c c a e e a

1. Condorcet‘s Methode: Mehrheitsregel (keine Gewinnerin)

2. Plurality Voting: wer hat am meisten 1. Plätze (Gewinnerin ist a)

3. Borda Count: Summe der Punkte (Gewinnerin ist b)

4. Hare System: sukzessives Streichen der Alternative mit den wenigsten 1. Rängen (zuerst d streichen, dann b und e, dann a und somit: die Gewinnerin ist c)

5. Sequentielle paarweise Wahl mit fixer Liste: die Liste ist a, b, c, d, e, somit a gegen b, mit Mehrheitsregel gewinnt b und a fällt weg, dann b gegen c usw. Gewinnerin ist d)

6. Dictatorship: eine Person wird als Diktator bestimmt und seine Liste ist bestimmend; wenn z.B. P7 der Diktator ist, dann: Gewinnerin ist e).

Beispiel entnommen von (S. 8): Taylor A.D. and Pacelli A.M, 2008. Mathematics and Politics:Strategy, Voting, Power, and Proof. Springer, New York.

7 Personen, 5 Alternativen

14/02/13 G. Beroggi ©

Transitivität: A1>A2, A2>A3 A1>A3.

Pareto Optimalität: Falls für alle: A1>A2 Gruppe:A1>A2

Binäre Relevanz: Keine Umkehrung der Prioritäten.

Kein Diktator: Aggregation individuelle Bewertung.

Wenn mindestens 2 Personen die Priorität von 3 oder mehr Alternativen bewerten, dann gibt es kein Wahlverfahren, das allen vier Axiomen der Sozialentscheidung genügt:

Axiome der Sozialentscheidung

14/02/13 G. Beroggi ©

Probleme mit Sitzzuteilungsverfahren

Wichtige Eigenschaften von Sitzzuteilungsverfahren:

Monotonie: Kein Wahlkreis erhält weniger Sitze, als ein Wahlkreis mit kleinerer (oder gleicher) Anzahl Stimmenden.

Quota: Die Sitzzuteilung unterscheidet sich höchstens um einen Sitz vom idealen Sitzwert (z.B. wenn 7.34 der ideale Sitzwert ist, dann soll die Anzahl Sitze im Wahlkreis 7 oder 8 sein).

Population: Kein Wahlkreis sollte durch Zunahme von Stimmenden einen Sitz verlieren, während ein anderer Wahlkreis durch Abnahme von Stimmenden einen Sitz dazu gewinnt.

Wichtige Sitzzuteilungsverfahren:

Hamilton: Berechne den idealen Sitzwert als den prozentualen Sitzanspruch basierend auf der Anzahl Stimmberechtigten und runde alle Werte ab. Die verbleibende Anzahl Sitze wird schrittweise den Wahlkreisen mit dem grössten Nachkommawert verteilt bis alle Sitze vergeben sind.

Jefferson: Wähle eine ganze Zahl D (Divisor) und dividiere die Anzahl Stimmberechtigte aller Wahlkreise durch D und runde ab zur nächsten ganzen Zahl. Verändere D solange, bis alle Sitze vergeben sind (Vorteil für grosse Wahlkreise).

Adam: Gleich wie Jefferson, aber mit aufrunden (Vorteil für kleine Wahlkreise). Webster: Gleich wie Adam und Jefferson, aber „normale“ Rundung von Brüchen auf nächste

ganze Zahlen. Huntington-Hill:Gleich wie Adam, aber das Auf- resp. Abrundungskriterium basiert auf dem

geometrischen Mittel (z.B. 4.3 wird aufgerundet, da 4.3 < 20 .5 (=4.47).(Achtung: die Divisormethoden erfüllen immer die Pop.-Eigenschaft aber nicht immer die Quota-Eig.)

Ref. 1 App. 1Ref. 2 App. 2

14/02/13 G. Beroggi ©

Gesetz politischer Rechte im Kt. ZHGesetz über die politischen Rechte

(vom 1. September 2003)

Der Kantonsrat,nach Einsichtnahme in den Antrag des Regierungsrates vom 28. August2002 und in den Antrag der Kommission für Staat und Gemeinden vom 7. März 2003,

beschliesst:

§ 88. Die Zahl der Personen, die in einem Wahlkreis wohnhaft sind, wird durch den Zuteilungs-Divisor geteilt und zur nächstgelegenen ganzen Zahl gerundet. Das Ergebnis bezeichnet die Zahl der Sitze, die im betreffenden Wahlkreis zu vergeben sind.

Der Zuteilungs-Divisor wird so festgelegt, dass beim Verfahren nach Abs. 1 genau 180 Sitze vergeben werden.

Der Kantonsrat nimmt die Sitzzuteilung vor jeder Wahl auf Antrag des Regierungsrates vor.

§ 103. Die Parteistimmenzahl einer Liste wird durch die Zahl der im betreffenden Wahlkreis zu vergebenden Sitze geteilt und zur nächstgelegenen ganzen Zahl gerundet. Das Ergebnis heisst Wählerzahl der Liste.

In jeder Listengruppe werden die Wählerzahlen der Listen zusammengezählt. Die Summe wird durch den Kantons-Wahlschlüssel geteilt und zur nächstgelegenen ganzen Zahl gerundet. Das Ergebnis bezeichnet die Zahl der Sitze der betreffenden Listengruppe.

Die Direktion legt den Kantons-Wahlschlüssel so fest, dass 180 Sitze vergeben werden, wenn gemäss Abs. 2 vorgegangen wird.

§ 104. Die Parteistimmenzahl einer Liste wird durch den Wahlkreis-Divisor und den Listengruppen-Divisor geteilt und zur nächstgelegenen ganzen Zahl gerundet. Das Ergebnis bezeichnet die Zahl der Sitze dieser Liste.

Die Direktion legt für jeden Wahlkreis einen Wahlkreis-Divisor und für jede Listengruppe einen Listengruppen-Divisor so fest, dass bei einem Vorgehen nach Abs. 1

a)jeder Wahlkreis die ihm vom Kantonsrat zugewiesene Zahl von Sitzen erhält,

b)jede Listengruppe die ihr gemäss Oberzuteilung zustehende Zahl von Sitzen erhält.

14/02/13 G. Beroggi © 71

Das Wahlverfahren im Kanton ZürichWK 1 WK 2 WK 3

4 5 6 Sitzanspruch

P 1 1275 1960 750 3985

P 2 1500 2000 2000 5500

P 3 1575 2040 2400 6015

Es sind total 15 (180) Kantonsratssitze zu vergeben. Gewählt wird in 3 (18) Wahlkreisen. Es treten 3 (ca. 11) Parteien (d.h. Listen) an. Die Sitze sollen folgendermassen an die Parteien in den 3 Wahlkreisen vergeben werden:

1. Der Sitzanspruch der 3 Wahlkreise ist proportional zu der Bevölkerung in den 3 Wahlkreisen. Bsp. für Bevölkerung: WK1 (41500), WK2 (57200) and WK3 (61400).

2. Der Sitzanspruch der Parteien ist proportional zu den Wählerstimmen der Parteien, wobei die Wählerstimme einer Partei in einem Wahlkreis berechnet wird als: Anzahl Parteistimmen in diesem Kreis dividiert durch den Sitzanspruch des Wahlkreises.

3. Die Sitzverteilung der 3 Parteien in den 3 Wahlkreisen ist proportional zu den erhaltenen Stimmen. Gerundet muss so werden, dass die in (2) und (3) bestimmten Wahlkreisstimmen und die Parteistimmen Gültigkeit haben.

abgegebene Stimmenzahl

– EV: sj (Anzahl Sitze für WK j).

– bj: Bevölkerung in WK j.

– B: Gesamtbevölkerung (78’300)– S: Gesamtzahl Sitze (15) ganzz.:,..

)(:min 2

jj

j

jjj

jj

sSsds

sf

B

bSf

WK 1 WK 2 WK 3

P 1 5100 9800 4500 19400

P 2 6000 10000 12000 28000

P 3 6300 10200 14400 30900

17400 30000 30900 78300

– EV: si (Anzahl Sitze für Partei i).

– wi: Anzahl Wählerstimmen für

Partei i).– W: Gesamtzahl Wählerstimmen– S: Gesamtzahl Sitze (15) ganzz.:,..

)(:min 2

ii

i

iii

ii

sSsds

sf

W

wSf

– EV: sij (Anzahl Sitze für Partei i

in WK j)– wi: Anzahl Wählerstimmen für

Partei i).– V: Gesamtzahl Stimmen– S: Gesamtzahl Sitze (15)

ganzz.:,,..

)(:min 2

ijj

iijji

ij

i jijij

ijij

sssssds

sf

V

wSf

14/02/13 G. Beroggi © 72

Berechnung der Sitzverteilung1. Votes for Parties and Districts 2. Real-valued Seat Allocation

Districts Districtsd1 d2 d3 d1 d2 d3

Parties Seats 4 5 6 15 Parties Seats 4 5 6 15p1 4 5100 9800 4500 19400 p1 4 0.98 1.88 0.86 3.72p2 5 6000 10000 12000 28000 p2 5 1.15 1.92 2.30 5.36p3 6 6300 10200 14400 30900 p3 6 1.21 1.95 2.76 5.92

15 17400 30000 30900 78300 15 3.33 5.75 5.92 15.00

3. Decision Variables 4. Sum of Squared DeviationsDistricts Districts

d1 d2 d3 d1 d2 d3Parties Seats 4 5 6 15 Parties Seats 4 5 6 15

p1 4 1.00 2.00 1.00 4.00 p1 4 0.00 0.02 0.02 0.03p2 5 1.00 2.00 2.00 5.00 p2 5 0.02 0.01 0.09 0.12p3 6 2.00 1.00 3.00 6.00 p3 6 0.63 0.91 0.06 1.60

15 4.00 5.00 6.00 15.00 15 0.65 0.93 0.17 1.75

14/02/13 G. Beroggi ©

Gerechte Verteilung (Fair Division)

73

App. 1• Gegeben sind Gegenstände (z.B. Haus, Auto) und/oder Mengen (z.B. Geld, Schulden), die auf eine gegebene Anzahl Personen (z.B. Erbgemeinschaft) möglichst gerecht verteilt werden soll.

• Grundsätzlich könnte man alles monetarisieren, z.B. indem man alles verkauft und den Ertrag aufteilt.

• Jedoch werten die verschiedenen Personen die Gegenstände und Mengen unterschiedlich.

• Definitionen: (1) Eine Verteilung der Werte auf n Personen ist proportional, wenn jede aufgrund der eigenen Bewertung mindestens 1/n erhält. (2) Eine Verteilung ist neidlos, wenn keine Person den Anteil einer anderen Person als wertvoller einstuft, als den eigenen Anteil. (3) eine Verteilung ist gleichwertig, wenn jede Person den gleichen prozentualen Anteil erhält aus eigener Sicht. (4) Eine Verteilung ist effizient, wenn es keine andere Verteilung gibt, die für alle Personen mindestens gleichwertig ist und für mindestens eine Person bessert ist (Pareto optimal).

• Bsp.: zwei Personen teilen sich einen rechteckigen und heterogenen Kuchen (z.B. die Dekoration ist ungleichmässig verteilt) unter sich auf. Eine Person nimmt zwei Messer in die Hand und hält sie parallel über den Kuchen. Das linke Messer am linken Rand und das rechte Messer (aus ihrer Sicht) in der „Mitte“, so dass sie die linke und rechte Seite als gleichwertig betrachtet. Nun bewegt sie gleichzeitig die beiden Messer von links nach rechts über den Kuchen, bis die andere Person „stopp“ ruft (d.h. für sie ist was zwischen den Messern ist gleichwertig mit dem, was ausserhalb der Messer ist).

14/02/13 G. Beroggi ©

Adjusted Winner Procedure

74

Zwei Personen müssen sich sechs Gegenstände aufteilen, für die sie unterschiedliche Gewichtungen haben:

Pers 1 Gegenst Pers 2 Ratio35 Haus 1520 Geld 25 1.2510 Piano 25 2.505 TV 15 3.0025 Hund 105 Auto 10 2.00

100 100

Zweistufiger Verteilungsprozess:1.Initialverteilung

• Jede Person erhält den Gegenstand, den sie höher gewichtet (bei gleicher Gewichtung wählt zuerst jene Person, die weniger Gegenstände hat):

• P1 erhält Haus und Hund.• P2 erhält Geld, Piano, TV und Auto. P1 hat 60 Punkte

und P2 75.• P2 ist die vorläufige Gewinnerin.

2.Anpassungen• Gegenstände oder Teile davon müssen von P2 zu P1

ausgetauscht werden, bis beide gleich viele Punkte haben.

• Dies erfolgt in der Reihenfolge der kleinsten „Ratio“, d.h. zuerst das Geld (falls das Gut nicht teilbar ist, müsste man es verkaufen und dann das Geld aufteilen).

• P1 erhält einen x-tel vom Geld, so dass: 60+20x=50+25(1-x) und somit 45x=15 resp. x=1/3, d.h. P1 erhält von P2 1/3 des Geldes.

• Das Verfahren ist „gleichwertig“, „effizient“ und „neidlos“, denn beide erhalten aus ihrer Sicht die gleichen Werte, nämlich 66.67 Punkte.

14/02/13 G. Beroggi ©

Anwendung: Mittlerer Osten

75

Massound T.G., 2000. „Fair Division, Adjusted Winner Procedure (AW), and the Israeli-Palestinian Conflict .” Journal of Conflict Resolution June 44: 333-358.

Palästinenser und Israeli streiten sich über folgende Themen:1.West Bank: Verschiedene Teile der WB sind von Israeli bewohnt, die ihre Siedlungen nicht verlassen wollen.2.Ost-Jerusalem: Nach dem Sechstagekrieg in 1967 hat Israel die Kontrolle über die gesamte Stadt Jerusalem übernommen (ein grosser Teil der Bevölkerung in Ost-Jerusalem sind Palästinenser und beide Parteien bezeichnen Ost Jerusalem als zentralen Teil ihrer Souveränität. 3.Palästinensische Flüchtlinge: Israel anerkennt nicht, dass die Staatsgründung in 1948 und die Ereignisse in 1967 eine Versetzung von palästinensischen Siedlungen und Menschen zur Folge hatte. Die Palästinenser drängen darauf, dass Israel das „Recht der Flüchtlinge heimzukehren“ anerkennt und diese sowie die sie beherbergenden arabischen Staaten kompensiert. 4.Palästinensische Souveränität: Israel anerkennt Palästina nicht als souveränen Staat. 5.Sicherheit: Auf beiden Seiten bestehen (Anschläge, Grenzkontrolle, Sicherheit in Jerusalem).

Mittels Expertenbefragungen kommt Massoud zu folgenden annähernden Prioritäten:

Israel Thema Palestina Ratio22 West Bank 21 1.0525 Ost-Jerusalem 23 1.0912 Flüchtlinge 1815 Souveränität 2426 Sicherheit 14 1.86

100 100

1. Initialverteilungen (siehe gelbe und blauen Farben): Israel (I) erhält die West Bank, Ost-Jerusalem und die Sicherheit und Palästina (P) die Flüchtlinge und die Souveränität.

2. Anpassungen: I gibt Teile der WB an P ab: 51+22x=42+21(1-x) somit: 43x=12 resp. x=12/43; d.h. Israel gibt rund 2/7 der West Bank an die Palästinenser.

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DSS in der Konfliktlösung

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Strategischer Konflikt

• Zwei Mitarbeiter wissen, dass der Chef ihnen je 60.- Fr. Lohnerhöhung geben möchte.

• Die zwei möchten aber je 80.- Fr. mehr Lohn.

• Sie sprechen separat und unabhängig beim Chef vor.

• Fragt nur einer für 80.-, dann bekommt er sie, der andere aber nur noch 20.-

• Fragen beide (unabhängig voneinander), dann bekommt jeder 40.- Fr.

• Wie sollen sich die zwei verhalten?

14/02/13 G. Beroggi © 78

Frage für 80.- Fr.Ja Nein

Ja

Nein

40.- 80.-

40.- 20.-

20.- 60.-

80.- 60.-

Fra

ge f

ür

80.-

Fr.

• Individuelle Rationalität: 2 x Ja• System-Optimum: 2 x Nein

• Individuelle Rationalität: 2 x Ja• System-Optimum: 2 x Nein

Konfliktmatrix

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S1 S2 S3Z1 5 4 7Z2 4 5 7Z3 4 3 2Z4 6 5 6

Min in Zeile = Max in SpalteMin in Zeile = Max in Spalte

S1 S2 S3Z1 5 4 7Z2 4 5 7Z4 6 5 6

S1 S2Z1 5 4Z2 4 5Z4 6 5

S1 S2Z4 6 5

S2Z4 5

Null-Summe, reine StrategieDie Werte in den Zellen sind die Gewinne, welche die Frau erhält respektive die Verluste, welche der Mann erfährt (Null-Summen Konflikt: was die Frau gewinnt ist was der Mann verliert).

14/02/13 G. Beroggi © 80

S1 S2q 1-q

Z1 p 6 3Z2 1-p 4 5

• Gleichgewicht: Jeder bekommt gleich viel, unabhängig vom

anderen (sog. „Security Level“):

• Frau: 6p + 4(1-p) = 3p + 5(1-p) p = 1/4

• Mann: 6q + 3(1-q) = 4q + 5(1-q) q = 1/2

• Jeder bekommt: E[N(Frau)] = - E[N(Mann)] =

• 61/21/4 + 31/21/4 + 41/23/4 + 51/23/4 = 4.5

Null-Summe, gemischte Strategie als Entscheidungsproblem

x1 x2 p6 4 0.06 1.00 1.00 0.253 5 0.17 1.00 1.00 0.751 1 0.22 min

„Security Level“ (n*) als mathematische Optimierung

• E[N(Frau)]: 6p1 + 4p2 n* und 3p1 + 5p2 n*

• setzte: xi = pi/n*, wodurch: x1 + x2 = 1/n*

• Somit folgt: min: x1 + x2; s.d.: 6x1 + 4x2 1 und 3x1 + 5x2 1

• E[N(Mann)]: 6q1 + 3q2 n* und 4q1 + 5q2 n*

• setzte: xi = pi/n*, wodurch: x1 + x2 = 1/n*

• Somit folgt: min: x1 + x2; s.d.: 6x1 + 3x2 1 und 4x1 + 5x2 1

x1 x2 p6 3 0.11 0.99 1.00 0.54 5 0.11 0.99 1.00 0.51 1 0.22 min

1/n

14/02/13 G. Beroggi © 81

Lösung von Konflikten

Lea‘s Nutzen hängt von Lea‘s p und Jan‘s q ab!Jan‘s Nutzen hängt von Jan‘s q und Lea‘s p ab!

Lea Jan

p% 100-p%

q% 100-q%

Investition A Investition B

p% geht zu A

und 100-p% zu Bp% geht zu A

und 100-p% zu B

q% geht zu A

und 100-q% zu Bq% geht zu A

und 100-q% zu B

Lea

InvesitionenA B

Jan

A

BInve

stit

ion

en

genügend sehr gut

schlecht gut

genügend

sehr gut

schlecht

gut

• Annahme: Beide Akteure können ihre Investitionen ausschliesslich entweder in A oder B tätigen (d.h. p und q = 0 oder 100%).

• Wenn Lea annimmt, dass Jan alles in A investiert, dann sollte sie auch alles in A investieren („genügend“ > „schlecht“).

• Wenn sie annimmt, dass Jan alles in B investiert, dann sollte sie auch alles in A investieren.• Somit sollte Lea, unabhängig von Jan, immer alles in A investieren.• Die analogen Überlegungen für Jan führen zum Schluss, dass auch er, unabhängig von Lea,

alles in A investieren sollte. Somit führt die individuelle Rationalität dazu, dass alles in A investiert werden müsste.

• Das Systemoptimum wäre aber, wenn beide alles in B investieren würden. Diese Lösung ist aber nicht stabil, denn wenn einer vom anderen weiss, dass er/sie alles in B investiert, dann ist er/sie versucht, alles in A zu investieren, denn das führt zum gewünschten individuellen Optimum.

Lea

InvesitionenA B

Jan

A

BInve

stit

ion

en

100 300

0 200

100

300

0

200

Der erwartete Nutzen (n) der beiden ist: nLea=100pq+300p(1-q)+0(1-p)q+200(1-p)(1-q)

nJan=100pq+0p(1-q)+300(1-p)q+200(1-p)(1-q)

14/02/13 G. Beroggi © 82

Dynamische Plots für virtuelle Verhandlungen

Auswahl einerAusgangsverteilung

für p und q

VerzichtetGegenpartei

auf Reaktion?

Gleichgewichtist erreicht!

Akteure verändernabwechselnd p oder q

ja

nein

web

14/02/13 G. Beroggi © 83

• Sicherheits-Niveau (SN): Garantiertes Minimum bei

unabhängigen Entscheiden

• 0p1+100p2 u* und 300p1+200p2 u*

• Substitution: x1= p1/u* und x2= p2/u*

• 0x1+100x2 1 und 300x1+200x2 1

• x1+x2: min

• 0q1+300q2 u* und 100q1+200q2 u*

• Substitution: x1= q1/u* und x2= q2/u*

• 0x1+300x2 1 und 100x1+200x2 1

• x1+x2: min

alles zu A alles zu B

q1 q2=(1- q1)

alles zu A

p1 0,0 300,100

alles zu B

p2=(1- p1) 100,300 200,200

Sicherheits-Niveau als Entscheidungsproblem

Neue numerische Verteilung:

0 100 0.000 1.000300 200 x 0.010 = 2.000

1 1 0.010 = 1/u*

p1= 0 = x1 u* 100 = u*p2= 1 = x2 u*

Lea

0 100 0.000 1.000300 200 x 0.010 = 2.000

1 1 0.010 = 1/u*

q1= 0 = x1 u* 100 = u*q2= 1 = x2 u*

Jan

14/02/13 G. Beroggi © 84

• Nash-Gleichgewicht (NG): 1-Bewegungs-Horizont• 0q + 300(1-q) = 100q + 200(1-q)

q = 1/2; nNG = 150

• 0p + 300(1-p) = 100p + 200(1-p)

p = 1/2; nNG = 150

• Nash-Punkt (NP): min: (nL - nNG) (nJ – nNG)

• nL = nJ = 200

Gleichgewichtszustände als Entscheidungsproblem


q1 q2=(1- q1)

alles zu A

p1 0,0 300,100

alles zu B

p2=(1- p1) 100,300 200,200

Nashpunkt

Nashgleichgewicht

Sicherheitsniveau

Lea

Jan

100 200 300

300

200

100

Definition Nash-Gleichgewicht: Keiner der beiden Akteure kann (im nächsten Zug) seine eigene Position verbessern, ohne die Hilfe des anderen.

14/02/13 G. Beroggi © 85

Nash Point

Security Level = Nash Equilibrium

Unabhängige Entscheide:uTM= uUM =300pq+200(1-p)(1-q)

Perfekt korellierte Entscheide:uTM= uUM =300k+200(1-k)

Der Wert der Kommunikation


q1 q2=(1- q1)

alles zu A

p1 300,200 0,0

alles zu B

p2=(1- p1) 0,0 200,300

14/02/13 G. Beroggi © 86

Konfliktlösung in der Planung

Die Themen Wirtschaft

Leben

Arbeit

Die Akteure Gemeinde

Bevölkerung

Unternehmen

Konsumenten

Quartierplanung

Konfliktpotentiale Asymmetrische Interessen

Asymmetrische Macht

Unklare “win-win Situationen

Misstrauen

14/02/13 G. Beroggi © 87

Schrittweise Annäherung an das Gleichgewicht

Bewertung vonKontrolle und Interesse

Bilaterale Verhandlungzu zwei Themen

Identifikation von Verhandlungspotential

Gemeinde

Bevölkerung

Unternehmen

Konsumenten

• Wirtsch.• Leben• Arbeit

Gemeinde

Bevölkerung

Unternehmen

Konsumenten

• Wirtsch.• Leben• Arbeit

14/02/13 G. Beroggi © 88

Linear System of ActionsInteresse der Akteure in Themen: X Kontrolle der Akteure in Themen: C

Unternehmer Bew ohner Pendler Umw eltschutz Erschliessung Erholung Landw irtschaft Siedlung Total

Erschliessung 10 30 40 40 Unternehmer 10 20 30 10 70

Erholung 20 10 15 10 Bew ohner 40 15 15 25 95

Landw irtschaft 50 25 30 25 Pendler 20 25 25 35 105

Siedlung 20 35 15 25 Umw eltschutz 30 40 30 30 130

Total (100) 100 100 100 100 Total (100) 100 100 100 100 400

Abhängigkeiten: Z=(CX)/100 Gleichgew ichtskontrolle: 100*GK

Unternehmer Bew ohner Pendler Umw eltschutz Erschliessung Erholung Landw irtschaft Siedlung Total

Unternehmer 0.22 0.16 0.175 0.16 Unternehmer 5 27 28 14 75

Bew ohner 0.195 0.26 0.265 0.275 Bew ohner 24 20 21 37 101

Pendler 0.265 0.27 0.245 0.255 Pendler 32 30 25 16 103

Umw eltschutz 0.32 0.31 0.315 0.31 Umw eltschutz 39 24 26 32 121

Total 0.68 0.69 0.685 0.69 Total (100) 100 100 100 100 400

Pow er (%) 28 35 32 45

Nachfrage für Kontrolle: 100*NK

Erschliessung Erholung Landw irtschaft Siedlung Total

Unternehmer -1.48 0.88 -0.48 1.08 0

Bew ohner -5.25 0.59 1.77 2.89 0

Pendler 3.87 0.61 0.08 -4.56 0

Umw eltschutz 2.85 -2.08 -1.37 0.60 0

eq

k

v

k

r

nn

n

nn

vT

req

CC

v

mmD

rXvr

r

nnD

Enxe

nnnE

eECXIr

DXDC

XC

:Kontrollefür Nachfrage die Berechne 3.

Diagonalender auf von Elementen

mittrix Diagonalma die als erstelle dann

:berechne mit 2.3

Diagonalender auf von Elementen

mittrix Diagonalma die als erstelle dann

vonVektor der als und

Elementen allenmit Matrix die als mit

:berechnezuerst 2.1

:llechtskontroGleichgewi die Berechne 2.

Akteurenden von und Befragung durch Erhebe 1.

2.2

1

/1

)(

1

11

1

Web (not in Chrome)

14/02/13 G. Beroggi © 91

Spidernetz

Alter Note Sem. Salär Alter Note Sem. Salär26.00 5.00 5.00 80.00 0.75 0.50 1.00 0.0426.00 5.00 8.00 120.00 0.75 0.50 0.40 0.3325.00 4.50 9.00 132.00 0.83 0.25 0.20 0.4231.00 4.00 8.00 145.00 0.33 0.00 0.40 0.5235.00 4.00 9.00 210.00 0.00 0.00 0.20 1.0025.00 6.00 6.00 75.00 0.83 1.00 0.80 0.0023.00 5.50 6.00 95.00 1.00 0.75 0.80 0.1524.00 4.50 7.00 105.00 0.92 0.25 0.60 0.2229.00 5.00 7.00 126.00 0.50 0.50 0.60 0.3832.00 4.50 10.00 150.00 0.25 0.25 0.00 0.56

B 23.00 6.00 5.00 210.00S 35.00 4.00 10.00 75.00

Normalisierung:

xi – xs

xb - xs

yi =

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00Alter

Note

Sem.

Salär

Reihe1

Reihe2

Reihe3

Reihe4

Reihe5

Reihe6

Reihe7

Reihe8

Reihe9

Reihe10

Abb. 8: Normierte Werte für 10 Personen (Reihe 1 bis 10).

xi : zu transformierender Wertxs : schlechtester Wertxb : bester Wertyi : transformierter Wert

Normalisierte Werte(je weiter draussen, desto besser)

14/02/13 G. Beroggi © 92

Men Mar Umf w

Men 1.0 2.0 6.0 0.6

Mar 0.5 1.0 3.0 0.3

Umf 0.2 0.3 1.0 0.1

Analytischer Hierarchieprozess

Risiken

Personen

A1 A2 A3 A4

Per A1 A2 A3 A4 w

A1 1.0 0.3

A2 1.0 0.2

A3 1.0 0.4

A4 1.0 0.1

Mar A1 A2 A3 A4 w

A1 1.0 0.4

A2 1.0 0.3

A3 1.0 0.1

A4 1.0 0.2

Umf A1 A2 A3 A4 w

A1 1.0 0.2

A2 1.0 0.1

A3 1.0 0.4

A4 1.0 0.3

u(Ai) = wPwAi,P + wMwAi,M + wUwAi,U

Markt

A1 A2 A3 A4

Umfeld

A1 A2 A3 A4• Die paarweise Bewertung der

Alternativen erfolgt zuerst für jedes Kriterium einzeln. Daraus erfolgen Gewichte für die Alternativen und zwar pro Kriterium.

• Mit der parweisen Bewertung der Kriterien kann man das gewichtete Mittel der Alternativen berechnen.

Gesucht ist eine Funktion, die jeder Alternative (d.h. Entscheidungsoption) einen Wert zuordnet, so dass beliebteren Alternativen höhere Werte zugeordnet werden. Die Funktion soll additiv sein hinsichtlich der Kriterien, d.h. man setzt präferentielle Unabhängigkeit der Kriterien voraus.

14/02/13 G. Beroggi © 93

Profit Risiko Umwelt w LösungProfit 1.00 2.00 6.00 0.6 w1 = sum(R1)/sum(alle)Risiko 0.50 1.00 3.00 0.3 w2 = sum(R2)/sum(alle)Umwelt 0.17 0.33 1.00 0.1 w3 = sum(R3)/sum(alle)

15.00Profit

Risiko

Umwelt

2 3

6

Axiom: Reziproke Symmetrie, k12 = 1/ k21

Inkonsistenzen zugelassen: k13 k12 k23

Paarweise Bewertung

kij = 9: extreme Priorität von ei über ej

kij = 7: starke Priorität von ei über ej kij = 5: wesentliche Priorität von ei über ej kij = 3: moderate Priorität von ei über ej

kij = 1: gleiche Priorität von ei über ej

kij = 1/3: moderate Inferiorität von ei über ej

kij = 1/5: wesentliche Inferiorität von ei über ej

kij = 1/7: starke Inferiorität von ei über ej

kij = 1/9: extreme Inferiorität von ei über ej

ei ejkij

Bewertungsskala

webweb

Präferenzbewertung

14/02/13 G. Beroggi © 94

Profit Risiko Umwelt

Profit 1.00 2.00 4.00Risiko 0.50 1.00 3.00

Umwelt 0.25 0.33 1.00

1.75 3.33 8.00

Profit Risiko Umwelt w Inkonsistenz m RIProfit 0.57 0.60 0.50 0.56 3.03 2 0.00Risiko 0.29 0.30 0.38 0.32 3.02 3 0.58

Umwelt 0.14 0.10 0.13 0.12 3.01 4 0.90

1.00 1.00 1.00 CR 0.43 5 1.12 3.02 6 1.24

7 1.328 1.41

A:

A×w = max×w

A

A5

83

(max-m) __________________

m-1CI =

CR = CIRI

Auflösung von Inkonsistenzen• Die Berechnung der Prioritäten resp. die Auflösung der Inkonsistenzen hinsichtlich

der transitiven Multiplikation geschieht mit der Lösung des Eigenwertproblems. Der gesuchte Gewichtsvektor ist der Eigenvektor, der zum grössten Eigenwert der Matrix A gehört.

• Mit dem grössten Eigenwert max kann man den Konsistenzindex CI berechnen.

• Die Inkonsistenz CR wird benutzt um die Zulässigkeit der Bewertung zu entscheiden. CR sollte kleiner als ca. 10% sein; falls nicht, müsste die Bewertung wiederholt werden.

• Numerisch kann der Eigenvektor auch berechnet werden, indem man die Matrix A mit einer grossen Potenz exponentiert resp. mit einem approximativen Verfahren, wo der Random Index (RI) aus der Tabelle unten herausgelesen wird.

Profit Risiko Umwelt w ResolutionProfit 1.00 1.76 4.60 0.55505279 w1 = sum(row1)/sum(all)Risiko 0.57 1.00 2.64 0.317496229 w2 = sum(row2)/sum(all)

Umwelt 0.30 0.39 1.00 0.12745098 w3 = sum(row3)/sum(all)1.00 13.26

Approximatives numerischesVerfahren:

14/02/13 G. Beroggi © 95

Nutzwertfunktionu(Ai)

A1 ist A2 bevorzugt E[u(A1)] > E[u(A2)]

Wir möchten eine Nutzwertfunktion, u:

so dass für 2 Alternativen A1 und A2:

Beispiel: - A1: 200.- Gewinn mit p=0.5, 100.- Gewinn mit p=0.5

- A2: 90.- Gewinn mit p=0.5, 0.- Gewinn mit p=0.5

- E[(A1)]=150.- > E[(A2)]=45

- u(200.-)=1, u(100.-)=0.8, u(90.-)=0.4, u(0.-)=0.

- E[u(A1)]=0.9 < E[u(A2)]=0.2

Nutzwertfunktion für 3 Kriterien• A ist bewertet mit 3 Kriterien (Risiko,

Kosten, Profit); z.B., A=(0.6,25,134)• Gewünscht ist eine lineare

Nutzwertfunktion

• u(e1,e2,e3) = k1u1(e1) + k2u2(e2) + k3u3(e3)

• u1(e1): Komponenten- Nutzwertfunktion

• k1: Skalierkonstanten (Gewicht)

• u(0.6,25,134)= k1u1(0.6) + k2u2(25) +

k3u3(134)

Präferentielle Unabhängigkeit• Risiko ist präferentiell unaghängig (PU) von

den Kosten: (0.6,$5) > (0.4,$5) (0.6,$100)

> (0.4,$100)• Kosten sind PU vom Risiko:

(0.1,$4) > (0.1,$8) (0.9,$4) > (0.9,$8)• Gegenseitige PU wenn Risiko PU von Kosten

und Kosten PU vom Risiko• Gegenseitige PU ist Voraussetzung für eine

lineare Nutzwertfunktion!

14/02/13 G. Beroggi © 96

u(e1,e2,e3) = k1u1(e1) + k2u2(e2) + k3u3(e3)• B steht für bester Wert (z.B. kleinste Kosten)

• W steht für schlechtester Wert (grösste Kosten)

• u(B)=1, u(W)=0, k1 + k2 + k3 = 1

• u(B,B,B)=1, u(W,W,W)=0

W B e2

u2

1

0W B e1

u1

1

0W B e3

u3

1

0

Form der normativen Präferenzfunktion

100 75 50 25 0 $ (Kosten)

u1

.5

0

1

2

3

(1) Risiko meidend: p > 0.5, kein Gambler

(2) Risiko neutral: p=0.5

(3) Risiko suchend: p < 0.5, Gambler

Erwartete $: p$0+(1-p)$100 = $50 p=0.5

Interpretation der Komponentenfunktion

14/02/13 G. Beroggi © 97

• Analyst: “Wären Sie indifferent zwischen der Lotterie und dem Sicherheitswert, für p=0.5?”• Entscheidungsträger: “Nein, für p=0.5 würde ich eher $50 bezahlen, als $100 zu riskieren.”• Analyst: “Dann machen wir die Lotterie attraktiever. Wären Sie indifferent zwischen den zwei für p=0.8?”• Entscheidungsträger : “Jetzt würde ich die Lotterie nehmen.”• Analyst: “OK, wieviel wären Sie bereit, p zu reduzieren?”• Entscheidungsträger : “Zu p=0.75, nicht tiefer.”• Analyst: “Dies bedeuted, dass Ihr Nutzen $50 zu bezahlen 0.75 ist.”

indifferent

$0

$100

p

(1-p)

Lotterie

$501.0

Sicherheitswert

Bewertung der Komponenten Funktion

100 75 50 25 0 $ (Kosten)

u1

.5

0

• Was ist z.B. u($50)=?• Für welches p, ist: [$0 mit p und $100 mit 1-p] indifferent zu $50 mit Sicherheit?• Wir wissen: u($0)=1, u($100)=0 E[u(1)] = E[u(2)]• pu($0)+(1-p)u($100) = u($50)• p1+(1-p)u0 = u($50) u($50) = p

14/02/13 G. Beroggi © 98

• k1: Für welches p ist: [(B,B,B) mit p und (W,W,W) mit (1-p)] indifferent mit garantiertem (B,W,W)?

• pu(B,B,B)+(1-p)u(W,W,W) = u(B,W,W)

• u(B,W,W) = k1u1(B)+k2u2(W)+ k3u3(W) = k1

• p1+(1-p)0 = k1 k1=p

• k2: Für welches p ist: [(B,B,B) mit p und (W,W,W) mit (1-p)] indifferent zu garantiertem (W,B,W)?

• k2=p

• k3: Analog wie für k1 und k2.

Bewertung der Skalierungskonstanten

WB

Wi

xx

xx

i ee

eeu

14/02/13 G. Beroggi © 99

# 1 2 3 4 5 6p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

L1 $ 500 600 700 800 900 1000L2 $ 600 700 800 900 1000 500

L1 > L2 or L2 > L1 ?

Psychologische Aspekte

$1m1.0

$1m

$5m

$0m

0.89

0.10

0.01

L1

L2

L3 > L4Hoffnung $5 (max) zu bekommen

L1 > L2Angst $0 (nichts) zu bekomment

• u($0)=0• u($5)=1• u($1)=?

• 1u(1) > 0.89u(1)+0.11• u(1) > 0.1/0.11

• 0.11 > 0.11u(1)• u(1) < 0.1/0.11

$0m

$1m

0.89

0.11

$0m

$5m

0.9

0.1

L3

L4

L3 > L4Hoffnung $5 (max) zu bekommen

Paradoxon von Allais

14/02/13 G. Beroggi © 100

t-Test (MF)

Gesch. Salär

F 80F 120F 132F 145F 210M 75M 95M 105M 126M 150

Der p-Wert ist grösser als 5%; somit schliessen wir, dass das Geschlecht keinen Einfluss hat auf das Salär.

F MMittelwert 137.4 110.2Varianz 2238.8 832.7Beobachtungen 5 5Hypothetische Differenz der Mittelwerte 0Freiheitsgrade (df) 7t-Statistik 1.0974346P(T<=t) einseitig 0.1543808Kritischer t-Wert bei einseitigem t-Test 1.8945786P(T<=t) zweiseitig 0.3087616Kritischer t-Wert bei zweiseitigem t-Test 2.3646243

t

tt =0 t = 1.89

t = -2.36 t =0 t = 2.36

p = 2.5%

p = 5%

p = 2.5%

t = 1.097

p = 15.4%

• Frage: „Hängt das Salär vom Geschlecht ab?“

• Z.B. „Männer (mM) verdienen im Schnitt mehr, als Frauen (mF).“

• H: M > F.• t-Test• 1-Faktor Varianzanalyse (ANOVA)

Salär(Fr.)

Geschl.(M/F)

1-Faktor Hypothese(kategorische Werte (M/F) und kontinuier-liche Werte (Fr.)

2

)1()1( ;

222

mn

smsns

s

yx

mn

nmt yx

14/02/13 G. Beroggi © 101

beobachtete Wertehoch tief

64.0% M 16 9 2520.0% F 5 20 25

21 29 50

erwartete Werte 0.16% p-Wert für Chi^2-Test

hoch tief42.0% M 11 15 2542.0% F 11 15 25

21 29 50

Prozent hohes Salär (beobachtet)

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

M F

Prozent hohes Salär (erw artet)

0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

M F

Chi2-Test (MF)

Die beobachteten Werte (rote Zahlen in der gelben Kontingenztabelle) unterscheiden sich signifikant von den erwarteten* Werten (blaue Zahlen in der blauen Tabelle). Somit ist das Salär vom Geschlecht abhängig. Mit der Aussage „Das Salär ist vom Geschlecht abhängig“ irrt man sich zu 0.16%, was eine sehr kleine Irrtumswahrscheinlichkeit (resp. Signifikanzniveau) ist.* „erwartet“ im Sinne, dass Geschlecht keinen Einfluss auf Salär hat.

Salär(hoch/tief)

Geschl.(M/F)

1-Faktor Hypothese(beide kategorische Werte: M/F und h/t)

• Frage: „Hängt das Salär vom Geschlecht ab.“

• Z.B. „Überproportionale viele Männer (pM) haben hohe Saläre als Frauen (pF).“

• H: M > F.• Chi-2-Test

Verteilung

a b a+bc d c+d

a+c b+d N

))()()((

)( 22

dcdbcaba

bcadN

14/02/13 G. Beroggi © 103

Optimierung einer Mischung

ji

iij

ii

ii

i

jiij

jj

ii

ii

pG

xp

Gx

xk

MNp

Np

Mk

Mx

4

1

4

1

4

1

:RB

:Kosten tot.min. :ZF

Mischungin Nährstoffs des Anteiler prozentual :

rKraftfutte im Nährstoff von lProzentzah geforderte minimal :

Mischung kg 1für Kosten :

Mischung von kgin Menge g)(ganzzahli :EV

Problem: Wie soll ein Kraftfutter von G = 8‘000 kg Kilogramm aus vier Mischungen zusammengesetzt werden, so dass das Kraftfutter mindestens 20% Mais, 15% Korn und 15% Mineralien enthält.

Nährstoff Mischung 1 Mischung 2 Mischung 3 Mischung 4 EVMais 30% 5% 20% 10% 4'500 1'600 >= 1'600Korn 10% 30% 15% 10% 2'000 1'200 >= 1'200Mineralien 20% 20% 20% 30% 0 1'750 >= 1'200Kosten pro kg 0.25 0.3 0.32 0.15 1'500 1'950 minTot. Gewicht 1 1 1 1 8'000 = 8'000

1600 = 20% von 8000

14/02/13 G. Beroggi © 104

Was gefällt den Kunden?

• Produkte bestehen aus vielen Faktoren, mit unterschiedlichen Ausprägungen

• Beispiel:• Faktor 1: Verpackung (A, B, C)

• Faktor 2: Marke (Cif, Ajax, Lemon)

• Faktor 3: Preis (11.95.-, 13.95.-, 15.95.-)

• Faktor 4: Test (ja, nein)

• Faktor 5: Garantie (ja, nein)

• Anzahl der möglichen Offerten-Variationen: 108=3x3x3x2x2

• Nur 18 müssen bewertet werden!

Nr. Pack Marke Preis Test Garantie Rang

1 A I 11.95 nein nein 13

2 A II 13.95 nein ja 11

3 A III 15.95 ja nein 17

4 B I 13.95 ja ja 2

5 B II 15.95 nein nein 14

6 B III 11.95 nein nein 3

7 C I 15.95 nein ja 12

8 C II 11.95 ja nein 7

9 C III 13.95 nein nein 9

10 A I 15.95 ja nein 18

11 A II 11.95 nein ja 8

12 A III 13.95 nein nein 15

13 B I 11.95 nein nein 4

14 B II 13.95 ja nein 6

15 B III 15.95 nein ja 5

16 C I 13.95 nein nein 10

17 C II 15.95 nein nein 16

18 C III 11.95 ja ja 1

Bewertung

Präferenz eines Produkts =4.8– 4.5(A) + 3.5(B)– 1.5(I) – 2.0(II)+ 7.7(11.95 Fr.)+4.83(13.95 Fr.)+ 1.5(getestet)+ 4.5(Garantie)

KonstanteVerpackung

MarkePreisTest

Garantie

Faktoren Modell Beispiel

BII

15.95nein

ja

4.8+3.5- 2.0+ 0+ 0+4.510.8

Geschätzter Rang:18 – 10.8 = 7.2

web

14/02/13 G. Beroggi © 105

Warum 18 anstatt 108 Produkte?• Die Wahl der Kombinationen ist von der sog.

“Conjoint-Analyse” abgeleitet.

• Oft wird der sog. “Orthogonale Design” angewendet, in der Annahme, dass die Faktoren keine Interaktion (resp. keine Korrelation) haben.

• Addelman, S. “Orthogonal Main Effect Plans for Asymmetrical Factorial Experiments,” Technometrics, Vol. 4, 1962, Seiten 21-46 gibt folgende Tabelle an:

PlanAnzahl

Kombinationen

Kombinationen der Faktorenausprägungen, die berücksichtigt werden können

1 8 4, 3, 27

2 9 34, 24

3 16 45, 35, 215

4 18 37, 27

5 25 56, 46, 36, 26

6 27 9, 8, 7, 6, 5, 4, 313, 213

7 32 49, 39, 231

• Beispiel: Plan 6 erfordert 27 Kombinationen von Produkten. Diese können bestehen aus einem Faktor mit 4 bis zu 9 Ausprägungen (z.B. ein Reinigungsmittel mit 9 verschiedenen Preisen) oder bis zu 13 Faktoren mit jeweils bis zu 2 oder 3 Ausprägungen.

• Unser Beispiel besteht aus 5 Faktoren mit je bis zu 3 Ausprägungen (35); somit eignet sich Plan 4 (37) mit bis zu 7 Faktoren mit bis zu 3 Ausprägungen; die benötigte Anzahl Kombinationen ist 18.Der Exponent entspricht der Anzahl Faktoren und die

Basis der Anzahl Ausprägungen pro Faktor

weitere Angaben

14/02/13 G. Beroggi © 106

Umsetzung von Plan 4

Nr. Pack Marke Preis Test Garantie Rang

1 A I 11.95 nein nein 13

2 A II 13.95 nein ja 11

3 A III 15.95 ja nein 17

4 B I 13.95 ja ja 2

5 B II 15.95 nein nein 14

6 B III 11.95 nein nein 3

7 C I 15.95 nein ja 12

8 C II 11.95 ja nein 7

9 C III 13.95 nein nein 9

10 A I 15.95 ja nein 18

11 A II 11.95 nein ja 8

12 A III 13.95 nein nein 15

13 B I 11.95 nein nein 4

14 B II 13.95 ja nein 6

15 B III 15.95 nein ja 5

16 C I 13.95 nein nein 10

17 C II 15.95 nein nein 16

18 C III 11.95 ja ja 1

Faktor Auspr. Bedeutung

Pack 0 Pack A

Pack 1 Pack B

Pack 2 Pack C

Marke 0 Marke I

Marke 1 Marke II

Marke 2 Marke III

Preis 0 11.95

Preis 1 13.95

Preis 2 15.95

Test 0 ja

Test 1 nein

Garan 0 ja

Garan 1 nein

Plan 4 für 3^7 und 2^7für 3^7 (mit 0/1/2) für 2^7 (mit 0/1)

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

3 0 2 2 1 2 2 2 0 0 0 1 0 0 0

4 1 0 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0

5 1 1 2 0 2 0 1 1 1 0 0 0 0 1

6 1 2 0 2 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0

7 2 0 2 2 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0

8 2 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0

9 2 2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 1

10 0 0 2 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1

11 0 1 0 0 1 2 2 0 1 0 0 1 0 0

12 0 2 1 2 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0

13 1 0 0 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 1

14 1 1 1 1 0 0 2 1 1 1 1 0 0 0

15 1 2 2 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0

16 2 0 1 0 2 1 2 0 0 1 0 0 1 0

17 2 1 2 2 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0

18 2 2 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1

ja ja ja ja ja

Wir wählen die ersten drei gelben Kolonnen für die 3x3x3 Faktoren Pack, Marke und Preis und die ersten zwei blauen Kolonnen für die 2x2 Faktoren Test und Garantie

Man überprüfe mit der Korrelations-funktion, dass alle 14 Faktoren untereinander nicht korrelieren (entspricht dem orthogonalen Design).

14/02/13 G. Beroggi © 107

Regressionsmodell

Var Pack A Pack B MarkI MarkII 11.95 13.95 Test Gara Rang InvR AUSGABE: ZUSAMMENFASSUNG1 1 0 1 0 1 0 0 0 13 6

2 1 0 0 1 0 1 0 1 11 8 Regressions-Statistik3 1 0 0 0 0 0 1 0 17 2 Multipler Korrelationskoeffizient0.991536254 0 1 1 0 0 1 1 1 2 17 Bestimmtheitsmaß0.983144135 0 1 0 1 0 0 0 0 14 5 Adjustiertes Bestimmtheitsmaß0.968161146 0 1 0 0 1 0 0 0 3 16 Standardfehler 0.952579347 0 0 1 0 0 0 0 1 12 7 Beobachtungen 188 0 0 0 1 1 0 1 0 7 12

9 0 0 0 0 0 1 0 0 9 10 ANOVA10 1 0 1 0 0 0 1 0 18 1 Freiheitsgrade (df)Quadratsummen (SS)Mittlere Quadratsumme (MS)Prüfgröße (F) F k rit11 1 0 0 1 1 0 0 1 8 11 Regression 8 476.333333 59.541667 65.61735 4.4924E-0712 1 0 0 0 0 1 0 0 15 4 Residue 9 8.16666667 0.907407413 0 1 1 0 1 0 0 0 4 15 Gesamt 17 484.514 0 1 0 1 0 1 1 0 6 13

15 0 1 0 0 0 0 0 1 5 14 KoeffizientenStandardfehler t-Statistik P-Wert Untere 95% Obere 95%Untere 95.0%16 0 0 1 0 0 1 0 0 10 9 Schnittpunkt 4.83333333 0.6350529 7.6109146 3.29E-05 3.39674388 6.269923 3.3967438817 0 0 0 1 0 0 0 0 16 3 Pack A -4.5 0.54997194 -8.182236 1.85E-05 -5.744123 -3.255877 -5.7441229618 0 0 0 0 1 0 1 1 1 18 Pack B 3.5 0.54997194 6.363961 0.000131 2.25587704 4.744123 2.25587704

MarkI -1.5 0.54997194 -2.727412 0.023323 -2.744123 -0.255877 -2.74412296MarkII -2 0.54997194 -3.636549 0.00543 -3.244123 -0.755877 -3.24412296

11.95 7.66666667 0.54997194 13.940105 2.13E-07 6.4225437 8.91079 6.422543713.95 4.83333333 0.54997194 8.7883271 1.04E-05 3.58921037 6.077456 3.58921037

Test 1.5 0.47628967 3.149344 0.01175 0.42255791 2.577442 0.42255791Gara 4.5 0.47628967 9.4480319 5.73E-06 3.42255791 5.577442 3.42255791

14/02/13 G. Beroggi © 108

Interpretation

Präferenz = 4.8 – 4.5(A) + 3.5(B) – 1.5(I) – 2.0(II) + 7.7(11.95 Fr.)+4.8(13.95 Fr.) + 1.5(getestet) + 4.5(Garantie)

• Verpackung C erzielt einen 4.5 mal höheren Rang als A und 3.5 mal tieferen Rang als B

• Marke III erzielt einen 1.5 mal höheren Rang als Marke I und einen 2 mal höheren Rang als Marke II

• Ein Preis von 11.95 erzielt einen 7.7 mal höheren Rang als 15.95 und einen 4.8 mal höheren Rang als 13.95

• Ein getestetes Produkt erzielt einen 1.5 mal höheren Rang als ein ungetestetes

• Eine Garantie erzielt einen 4.5 mal höheren Rang als keine Garantie

• Eine Preiserhöhung um 2.-, von 11.95 zu 13.95, entspricht einer Rangreduktion von (7.7 - 4.83 = 2.87); d.h. Rangreduktion von 1 entspricht 2/2.87 = 0.7 Fr.

• Ein Wechsel von Verpackung B zu C (Rangreduktion von 3.5) entspricht einer Preiserhöhung von 13.95 Fr. auf 15.40 Fr. (um 3.5x0.7 = 2.45 Fr.)

• Wenn wir eine Garantie einführen (Rangsteigerung = 4.5), können wir den Preis von 11.95 Fr. auf 15.10 erhöhen (Rangsteigerung um 4.5x0.7 = 3.15 Fr. mehr)

• Der Vorteil von Marke I gegenüber Marke II (Rangsteigerung = 0.5) hat den gleichen Effekt wie eine Preissenkung von 13.95 auf 13.60 (Senkung um 0.5x0.7=0.35 Fr.)

Verpackung > Preis > Garantie > Marke > Test

Faktor Streuung Rang

Verpackung 3.5 – (-4.5) = 8 1

Marke 0 – (-2) = 2 4

Preis 7.67 – 0 = 7.67 2

Test 1.5 – 0 = 1.5 5

Garantie 4.5 – 0 = 4.5 3

14/02/13 G. Beroggi © 109

Präferenz innerhalb der Faktoren

Verpackung

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

B C A

MARKE

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

III I II

Preis

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

11.95 13.95 15.95

Test

0

0.05

0.1

0.15

0.2

ja nein

Garantie

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

ja nein

14/02/13 G. Beroggi © 110

Berechnung des Marktanteils

• Herleitung eines Präferenzmodells für jedes Marktsegment

• Bestimmung des aktuellen Marktanteils von zu untersuchenden Produkten

• Berechnung des erwarteten Marktanteils des Produktes Pi für alle Segmente:

• Berechnung des totalen Marktanteil jedes Produkts über alle Segmente: Gewichtete Summe mit Anzahl Kunden pro Segment

• Berechnung des Wertes , so dass die Quadratsumme der Abweichungen von geschätztem und wahrem Marktanteil minimiert wird

• Beispiel: Heutiger Marktanteil von 3 Produkten ist 30%, 50% und 20%; vorhergesagter Marktanteil ist 34%, 48% und 17% mit =2.08.

i P

Pi

i

i

IR

IRPMA

)(

• Veränderung der Produkteigenschaften im Modell eingeben

• Beispiel:

Produkt 1 (MA: 34%)• Verpackung A• Marke I• 11.95 Fr.• Nicht getestet• Keine Garantie

Produkt 2 (MA: 48%)• Verpackung B• Marke II• 13.95 Fr.• Getestet• Keine Garantie

Produkt 3 (MA: 17%)• Verpackung C• Marke III• 15.95 Fr.• Nicht getestet• Garantie

Produkt 1 (MA: 52%)• Verpackung A• Marke I• 11.95 Fr.• Getestet• Garantie

Veränderung von Produkt 1durch Test und Garantie erhöhtseinen Marktanteil um 18%

Berechnung des Marktanteils Einfluss der Produktveränderung auf den Marktanteil

14/02/13 G. Beroggi ©

--> veränderbare Zellen

111

Berechnung der Regression als Entscheidungsproblem

YXXXb

XY

xxx

xxx

xxx

X

Y

Y

Y

Y

xxY

xxY

TT

pn

npnjn

ipiji

pj

p

n

in

n

in

n

i

iinnii

nn

1

))1((

1

1

1111

1)1(

1

1

1

1

1

110

110

)(

..1

......

..1

......

..1

.

.

und

.

.

,

.

.

...

...

Alter Salär25 7526 8023 9524 10526 12029 12625 13231 14532 15035 210

Salär und Alter

y = 8.6197x - 114.1

0

50

100

150

200

250

20 22 24 26 28 30 32 34 36

Alter

Sal

är

Alter Salär1 25 751 26 801 23 951 24 105 XT.X= 10 276

X = 1 26 Y = 120 276 77581 29 1261 25 132 5.53 -0.1971 31 145 (XT.X)^-1= -0.2 0.0071 32 1501 35 210

XT= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 125 26 23 24 26 29 25 31 32 35

0.6111 0.4145 1 0.81 0.41 -0.18 0.611 -1 -0.765 -1.3547

(XT.X)^-1. XT = -0.0185 -0.0114 -0 -0.03 -0 0.01 -0.019 0 0.03134 0.05271

-114.1mal Y = b = 8.6197

Gesucht sind die Entscheidungsvariablen a und b, so dass die Summe der Quadratabweichungen zwischen „beobachteten“ Salären (Si) und den mit dem linearen Modell berechneten „vorhergesagten“ Salären (Si = axAi + b), minimal wird:

Alter Salär25 75 8.62 696.37

26 80 -114.10 900.50

23 95 117.73

24 105 149.59

26 120 99.83

29 126 97.36

25 132 937.05

31 145 65.72

32 150 137.50

35 210 502.43

3704.09

(S5 – axA5 + b)2 A5

S5

ab

--> min. Summe der quadratischenAbweichungen zwischen beobachtetenWerten und vorhergesagten Werten

10

1

2)(:mini

ii bAaS

14/02/13 G. Beroggi ©

Numerische Regression für Ranking

112

Var Pack A Pack B MarkI MarkII 11.95 13.95 Test Gara Rang InvR 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 1 0 0 0 13 6 4.83 1 1 1 0 0 0 0 0 0 12 1 1 0 0 1 0 1 0 1 11 8 -4.50 0 0 0 1 1 1 0 0 0 03 1 1 0 0 0 0 0 1 0 17 2 3.50 1 0 0 1 0 0 1 0 0 14 1 0 1 1 0 0 1 1 1 2 17 -1.50 0 1 0 0 1 0 0 1 0 05 1 0 1 0 1 0 0 0 0 14 5 -2.00 1 0 0 0 0 1 0 1 0 06 1 0 1 0 0 1 0 0 0 3 16 7.67 0 1 0 1 0 0 0 0 1 07 1 0 0 1 0 0 0 0 1 12 7 4.83 0 0 1 1 0 0 0 1 0 18 1 0 0 0 1 1 0 1 0 7 12 1.50 0 1 0 1 0 0 1 0 0 09 1 0 0 0 0 0 1 0 0 9 10 4.50

10 1 1 0 1 0 0 0 1 0 18 1 18.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.0011 1 1 0 0 1 1 0 0 1 8 11 6.00 6.00 0.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.0012 1 1 0 0 0 0 1 0 0 15 4 6.00 0.00 6.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.0013 1 0 1 1 0 1 0 0 0 4 15 6.00 2.00 2.00 6.00 0.00 2.00 2.00 2.00 2.0014 1 0 1 0 1 0 1 1 0 6 13 6.00 2.00 2.00 0.00 6.00 2.00 2.00 2.00 2.0015 1 0 1 0 0 0 0 0 1 5 14 6.00 2.00 2.00 2.00 2.00 6.00 0.00 2.00 2.0016 1 0 0 1 0 0 1 0 0 10 9 6.00 2.00 2.00 2.00 2.00 0.00 6.00 2.00 2.0017 1 0 0 0 1 0 0 0 0 16 3 6.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 6.00 2.0018 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 18 6.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 6.00

-0.06 -0.14 0.19 -0.22 0.11 0.11 0.19 0.03 0.28 0.030.17 0.17 0.17 0.00 0.00 0.00 -0.17 -0.17 -0.17 0.170.00 0.00 0.00 0.17 0.17 0.17 -0.17 -0.17 -0.17 0.000.17 0.00 -0.17 0.17 0.00 -0.17 0.17 0.00 -0.17 0.170.00 0.17 -0.17 0.00 0.17 -0.17 0.00 0.17 -0.17 0.000.17 0.00 -0.17 0.00 -0.17 0.17 -0.17 0.17 0.00 -0.170.00 0.17 -0.17 0.17 -0.17 0.00 -0.17 0.00 0.17 -0.17

-0.08 -0.08 0.17 0.17 -0.08 -0.08 -0.08 0.17 -0.08 0.17

Achtung: Bei n >= 10 wird die Determinante 0 und somit die nxn Matrix XTX nicht mehr invertierbar!

14/02/13 G. Beroggi © 113

Matrix Operations (Lingo Code)on Mmult -- matrix multiplication global A,B,Z -- Z = A * B --put field "matrix" into A --put field "MatrixXX" into B put "" into Z put the number of lines of A into ma put the number of items in line 1 of A into na put the number of lines of B into mb put the number of items in line 1 of B into nb if na <> mb then alert "The matrices have the wrong sizes" exit end if set the floatPrecision to 8 repeat with i=1 to ma repeat with j=1 to nb put 0 into sum repeat with k=1 to na put sum + (item k of line i of A) * (item j of line k of B) into sum end repeat put sum into item j of line i of Z end repeat end repeatend

on MTransp -- transposes matrix A into T global A,T --put field "matrix" into A put "" into T put the number of lines of A into m put the number of items of line 1 of A into n repeat with i=1 to m repeat with j=1 to n put item j of line i of A into item i of line j of T end repeat end repeatend

14/02/13 G. Beroggi © 114

Matrix Operations (Lingo Code)on Minverse global A,E -- A is the matrix to be inverted and E is the inverse put the number of lines of A into m put the number of items in line 1 of A into n if m<>n then alert "The matrix is not quadratic" exit end if -- generate matrix E put "" into E repeat with i=1 to n times repeat with j=1 to n times if i=j then put 1 into item j of line i of E else put 0 into item j of line i of E end if end repeat end repeat set the floatPrecision to 8-- make all values to 0 in lower triangle of matrix A into and perform same operations on E repeat with i=1 to n-1 repeat with j=i to n-1 put (item i of line j+1 of A)/(item i of line i of A) into pivot repeat with k=1 to n put (item k of line j+1 of A) - pivot * (item k of line i of A) into item k of line j+1 of A put (item k of line j+1 of E) - pivot * (item k of line i of E) into item k of line j+1 of E end repeat end repeat end repeat-- divide lowest row by its element in position n,n put item n of line n of A into pivot repeat with k=1 to n put (item k of line n of A) / pivot into item k of line n of A put (item k of line n of E) / pivot into item k of line n of E end repeat

-- make all values to 0 in upper triangle of matrix A into and perform same operations on E repeat with i=n down to 2 repeat with j=i down to 2 put (item i of line j-1 of A)/(item i of line i of A) into pivot repeat with k=1 to n put (item k of line j-1 of A) - pivot * (item k of line i of A) into item k of line j-1 of A put (item k of line j-1 of E) - pivot * (item k of line i of E) into item k of line j-1 of E end repeat -- divide each row by its element in position i,i put item i of line i of A into pivot repeat with k=1 to n put (item k of line i of A) / pivot into item k of line i of A put (item k of line i of E) / pivot into item k of line i of E end repeat end repeat end repeat -- divide top row by its element in position n,n put item 1 of line 1 of A into pivot repeat with k=1 to n put (item k of line 1 of A) / pivot into item k of line 1 of A put (item k of line 1 of E) / pivot into item k of line 1 of E end repeatend

Austauschverfahren zur Berechnung der Inversen einer Matrix

14/02/13 G. Beroggi © 116

Projektbeschreibung DSS1. Aufgabe• Zwei Studierende bilden ein Projektteam.• Das Projekt wird in EXCEL, Open Office oder Google Spreadsheets erstellt.• Es soll ein Decision Support System (DSS) erstellt werden, welches eine zu definierenden Person in einer Organisation in

einem zu definierenden Entscheidungs-Prozess unterstützt.

2. Elemente und Benotung (%)• Konzept DSS (5%): Beschreiben Sie die Funktion und Architektur des DSS (Input, Output, Interface, Architektur, Datenbanken,

Analysemodule, Dateneinfluss von anderen Systemen, Datenabfluss an welche andere Systeme, Instandhaltung, Wartung, Weiterentwicklung etc.).

• Konzept Organisation (5%): Beschreiben Sie die organisatorische Einbettung des DSS (wen soll es unterstützen, für welche Aufgaben / Entscheide, in welcher Situation, wie oft soll es benützt werden etc.).

• Analytik (45%): Beschreiben Sie die mathematisch-analytischen Entscheidungsmodelle Ihres DSS (mit Formeln, wie im Skript). • Prototyp (45%): Entwickeln Sie einen Prototyp ohne Makros, der möglichst benutzerfreundlich ist.

3. Abgabe / Prüfung am letzten Tag• Abgabe von DSS.xls (oder Open Office oder Google Spreadsheets) und DSS.doc (oder DSS.pdf) an

„giampiero<at>beroggi.net“ als zip-Datei (max. 1 MB) vor dem letzten Tag.• DSS.doc: Beschrieb der Funktion und der Funktionsweise des DSS, sowie der Formeln. Beschrieb einer Anwendung mit einem

hypothetischen Fall.• mdl. Prüfung: Vorstellung des Systems und des Falls am letzten Tag mit Diskussion.

4. Integrierbare analytische Elemente (siehe Beispiele: Excel-Datei, mit Taste F9 simulieren)Datenanalyse

• Graphiken, Tabellen• t-Test, Chi2-Test, Regression

Solver• mathematische Optimierung (z.B. Netzwerk, Transport, Personenzuordnung, Spieltheorie etc.)

Simulation• Zufallszahlengenerator und Generieren von Verteilungen gemäss Poisson- und Exponentialfunktion• Simulation von diskreten Ereignissen (z.B. Warteschlangen)

14/02/13 G. Beroggi © 117

Literatur

• Cliff T. Ragsdale, 2007. Managerial Decision Modeling. Thomson.• James R. Evans and David L. Olson, 2003. Statistics, Data Analysis, and Decision

Modeling. Prentice Hall.• Wayne L. Winston, 2000. Financial Models using Simulation and Optimization.

Palisade.• Wayne L. Winston, 2001. Financial Models using Simulation and Optimization II.

Palisade.• Richard Bronson, 1982. Theory and Problems of Operations Research. Schaum‘s

Outline Series.• Sam L. Savage, 2003. Decision Making with Insight. Thomson.• Jatinder N.D. Gupta et al. (eds.), 2007. Intelligent Decision-Making Support

Systems. Springer.• Ruhul A. Sarker and Charles S. Newton, 2008. Optimization Modelling – A

Practical Approach. CRC Press.• Giampiero E.G. Beroggi, 1999. Decision Modeling in Policy Management – An

Introduction to the Analytic Concepts. Springer.• Giampiero E.G. Beroggi, 2005. Designing and Evaluating E-Management Decision

Tools – The Integration of Decision and Negotiation Models into Internet-Multimedia Technologies. Springer.

14/02/13 G. Beroggi © 1 Decision Support Systems (DSS) Grundlagen der DSS-Entwicklung DSS in der...

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